MODELOWANIE RUCHU TORPEDY.pdf

ZESZYTY NAUKOWE AKADEMII MARYNARKI WOJENNEJ ROK LIV NR 3 (194) 2013

101

DO I: 10.5604/0860889X/1086928

Edyta Ładyżyńska-Kozdraś Poli technika Warszawska Wydział Mechatroniki, Instytut Mikromechaniki i Fotoniki 02-525 Warszawa, ul. św. A. Boboli 8 e-mail: [email protected]

RÓWNANIA MAGGIEGO W MODELOWANIU RUCHU TORPEDY

NAPROWADZANEJ METOD Ą TRÓJPUNKTOW Ą NA OKR ĘT PODWODNY

STRESZCZENIE

W artykule zaprezentowano modelowanie dynamiki oraz symulację numeryczną kierowania

pocisku torpedowego naprowadzanego metodą trójpunktową na okręt podwodny. Model matema-

tyczny opracowany został przy zastosowaniu równań Maggiego dla układów mechanicznych o wię-

zach nieholonomicznych. Pokazano, jak stosując ogólny model matematyczny sterowanego obiektu

i wprowadzając prawa sterowania jako więzy nieholonomiczne, można sterować automatycznie poci-

skiem torpedowym. Wprowadzone prawa sterowania stanowią związki kinematyczne uchybów, to

znaczy różnic między parametrami zadanymi i realizowanymi ruchu torpedy. Otrzymane prawa ste-

rowania potraktowano jako więzy nieholonomiczne ograniczające ruch pocisku tak, aby spełniał on

żądany manewr sterowany. Związki kinematyczne i kryteria naprowadzania stanowią koordynację

ruchu sterowanej torpedy. Przeprowadzona symulacja numeryczna potwierdziła poprawność opraco-

wanego modelu matematycznego.

Słowa kluczowe:

modelowanie, symulacja, równania Maggiego, model matematyczny, torpeda, okręt podwodny,

metoda trójpunktowa.

WSTĘP

Badania teoretyczne stanowią niezbędny element w procesie poznawania

i modelowania zjawisk fizycznych. Według A. Einsteina [1]: „umysł ludzki musi

Edyta Ładyżyńska-Kozdraś

102 Zeszyty Naukowe AMW

najpierw samodzielnie budować poszczególne formy, zanim zdołamy je wykryć

w świecie rzeczy (…) z samej empirii nie zdoła wykwitnąć poznanie, lecz jedynie

z konfrontacji tego, co wymyślimy, z tym, co zaobserwujemy”. Teoria i doświad-

czenie są dwoma elementami niezbędnymi do rzetelnego i kompletnego poznania

oraz analizy otaczającego nas świata. Powinny one ze sobą współpracować i uzu-

pełniać się wzajemnie. Teoria umożliwia wyjaśnienie zjawisk obserwowanych do-

świadczalnie, a przez to pozwala nakreślać schematy kolejnych eksperymentów oraz

przewidywać ich wyniki i konsekwencje.

Podczas teoretycznych badań właściwości dynamicznych obiektu rzeczą

bardzo istotną są właściwe metody modelowania. Aby poprawnie zbudować model

fizyczny i odpowiadający mu model matematyczny, należy znać nie tylko strukturę

obiektu fizycznego, ale również strukturę systemu, którego elementem jest ten

obiekt. Następnie badania sprowadzają się do analizy utworzonego modelu matema-

tycznego, najczęściej poprzez badania numeryczne. Każda symulacja numeryczna

jest powtarzalna, dzięki czemu na jej podstawie można przeanalizować różne moż-

liwe sytuacje, nawet te ekstremalne, które w normalnych warunkach są niejedno-

krotnie trudne do zbadania.

W artykule zaprezentowano model matematyczny pocisku torpedowego na-

prowadzanego metodą trzech punktów, która jest jedną z metod stosowanych

w systemach kierowania zdalnego (automatycznych lub półautomatycznych) [2].

Metoda trzech punktów charakteryzuje się tym, że w procesie naprowadzania okre-

ślane jest położenie w przestrzeni trzech punktów: punktu naprowadzania, pocisku

i celu. Więzy na ruch pocisku są nakładane pośrednio poprzez powiązanie ruchu

linii wyznaczonej poprzez punkt naprowadzania i cel (tzw. linii obserwacji celu

LOC) z ruchem pocisku. Dąży się przy tym do tego, aby pocisk podczas naprowa-

dzania stale znajdował się na LOC.

Opracowane kinematyczne równania więzów automatycznie sterowanego

pocisku torpedowego zostały powiązane w artykule poprzez zastosowanie równań

Maggiego [3, 5] z równaniami dynamiki torpedy. Równania te wyprowadzono

w układzie odniesienia O1x1y1z1 sztywno związanym z okrętem-bazą, z którego zo-

stał wystrzelony pocisk torpedowy. Założono, że sterowanie ruchem pocisku torpe-

dowego odbywa się w sposób automatyczny za pomocą wychylenia powierzchni

sterowych — steru kierunku i steru wysokości odpowiednio o kąty δV i δH. Prawa

Równania Maggiego w modelowaniu ruchu torpedy…

3 (194) 2013 103

sterowania stanowią kinematyczne związki uchybów zadanych i realizowanych

parametrów ruchu, stabilizując ruch pocisku torpedowego na zadanej trajektorii.

MODEL FIZYCZNY UKŁADU OTOCZENIE — TORPEDA — STEROWANIE

Rozpatrzono pocisk torpedowy naprowadzany z okrętu-bazy metodą trzech

punktów na manewrujący okręt podwodny. Model fizyczny układu sformułowano

w następujący sposób:

— torpedę potraktowano jak bryłę nieodkształcalną — sztywną, o sześciu stop-

niach swobody, całkowicie zanurzoną w wodzie;

— sterowanie pocisku torpedowego odbywa się poprzez wychylenie sterów kie-

runku i głębokości z uwzględnieniem giroskopowego systemu stabilizującego;

— w wodzie nie występują żadne prądy lub wiry i ma ona wszędzie jednakową

gęstość;

— założono istnienie potencjału prędkości dla cieczy;

— zastosowano hydrodynamikę quasi-stacjonarną;

— siłami działającymi na pocisk torpedowy są siły hydrodynamiczne QH, grawita-

cyjne Qg, wypornościowe QW oraz siły od napędu QT i od sterowania Qδ.

Rys. 1. Przyjęte układy odniesienia, prędkości liniowe i kątowe pocisku torpedowego

Źródło: opracowanie własne.



ZWI ĄZKI KINEMATYCZNE ZACHODZĄCE MI ĘDZY TORPEDĄ A CELEM W FAZIE NAPROWADZANIA

Naprowadzanie pocisku torpedowego odbywa się z okrętu-bazy przy zasto-

sowaniu metody trzech punktów, dlatego też przyjęto inercjalny układ odniesienia

O1x1y1z1 jako układ podstawowy i wyznaczono w nim związki kinematyczne oraz

równania ruchu badanego obiektu.

W przypadku metod trójpunktowych warunkiem trafienia pocisku w cel jest

dążenie do utrzymania sterowanego obiektu (punkt O) na linii obserwacji celu

(LOC), będącej linią łączącą punkt kierowania (punkt O1) z celem, do spotkania

którego sterowany obiekt dąży (punkt OC) (rys. 2.).

Rys. 2. Utrzymanie pocisku torpedowego na LOC


VPε

y1

zw

x1 xw

z1

O1

yw

O

OC

VPr

VCr

VC

VCε

VCsinγCw

γCw

VCθ ηCw

V0

V0sinγPw γPw

θw

εw

εw

εw

HC

VPθ

.

θw

.

O

VPr

VPθ

V0

VPε

ηPw

γPw γPw1

γPw2

V0sinγPw


3 (194) 2013 105

Warunek osiągalności celu w tym przypadku jest następujący:

Pw

CwCVV

γγ

cos

cos0 > , (1)

gdzie:

γCw, γPw — kąty określające położenie wektora prędkości odpowiednio celu i pocisku

torpedowego względem LOC.

Przyjęta metoda naprowadzania wymusza istnienie więzów nałożonych na ruch

torpedy poprzez powiązanie jej ruchu z ruchem linii wyznaczonej przez punkt naprowa-

dzania i cel. W ten sposób prędkości kątowe pochylania i odchylania LOC stanowią

wymuszenie kinematyczne dla ruchu sterowanego pocisku torpedowego [5, 6]:

CwCwC

Cw

w

CwCw

C

Cw

r

V

r

V

ηγθ

θηγε

sinsin

cos

cossin

=

=

&

&

. (2)

Równania położenia LOC wyznaczono z zależności trygonometrycznych na

podstawie rysunku 2. Wynikają one z chwilowego położenia celu [5, 6]:

C

Cw

C

Cw

r

z

x

ytg

1

1

1

sinarc

arc

−=

=

θ

ε. (3)

Stanowią one podstawę do wyznaczenia parametrów zadanych pocisku tor-

pedowego, uzależnionych w ten sposób od ruchów celu, na który naprowadzana jest

torpeda.

PARAMETRY ZADANE I REALIZOWANE W PROCESIE NAPROWADZANIA POCISKU TORPEDOWEGO

Parametry zadane pocisku torpedowego wyprowadzono w globalnym ukła-

dzie odniesienia O1x1y1z1, wykorzystując zależności określające położenie (2)

i prędkość (3) LOC, której ruch kulisty zależny jest od manewrów celu.



Wektor zadanego położenia torpedy:

r z = x1z i1 + y1z j 1 + z1z k1, (4)

gdzie:

wwz rx θε coscos1 =

wwz ry θε cossin1 −= (5)

wz rz θsin1 −= .

Wektor zadanej prędkości liniowej torpedy przy idealnym naprowadzaniu:

Vz = Uz i 1+ Vz j 1 + Wz k1 =

wzwwzwwz

wwwww

rrrt

θθεθεεεθεθsincossincoscos

cossin

−−−+

∂∂= &&&

111z

kjir

. (6)

Wektor zadanej prędkości kątowej torpedy:

Ωz = Pz i + Qz j + Rz k =

−

−+

++

++

−+

−

=

w

ww

ww

zz

zz

zzz

zz

zzz

zz

zz

zzz

zz

zzz

zzzzz

εεθεθ

θφφψ

θψφφψ

θψφ

θφθψ

θψφθψ

θψφ

θθψθψ

&

&

&

cos

sin

coscos

sincos

sinsinsin

sinsin

sincoscos

cossin

coscos

sinsinsin

cossin

sincossin

sincossincoscos

. (7)

Parametry realizowane przez pocisk torpedowy opisują zachowanie się

obiektu ruchomego na torze podczas naprowadzania. Są to funkcje określające

związki między położeniem oraz prędkością liniową i kątową badanego obiektu,

które to zależności związane są bezpośrednio z przyjętym układem odniesienia.

W układzie globalnym O1x1y1z1 wektor chwilowej prędkości liniowej torpe-

dy V0 wyraża się zależnością (rys. 1):

V0 = U i 1+ V j 1 + W k1, (8)


3 (194) 2013 107

gdzie:

1xU &=

1yV &= (9)

1zW &= .

Składowe chwilowej prędkości kątowej P, Q, R są związkami prędkości

uogólnionych ψθφ &&& ,, i funkcji trygonometrycznych współrzędnych uogólnionych

ψθφ ,, . Wyrażają się następującymi zależnościami [5, 6]:

−

−=

ψθφ

θφφθφφ

θ

&

&

&

coscossin0

cossincos0

sin01

R

Q

P

. (10)

Zwrot wektora prędkości przepływu względem układu nieruchomego okre-

ślają kąty natarcia α i ślizgu β, które zdefiniowano w następujący sposób [5, 6]:

— kąt natarcia: θα −=U

Warctan ;

(11)

— kąt ślizgu: ψβ −=0V

arcsinV

.

(12)

PRAWA STEROWANIA TORPEDY

Przy założeniu, że pocisk torpedowy sterowany jest w dwóch kanałach: po-

chylania przez wychylenie steru głębokości δH i odchylania przez wychylenie steru

kierunku δV, prawa sterowania obiektu ruchomego przedstawiono jako związki

uchybów między parametrami realizowanymi przez pocisk torpedowy (jego położe-

niem, prędkością liniową i kątową) i parametrami zadanymi, wynikającymi z przyję-

tej metody naprowadzania (parametry oznaczone indeksem „z”) [3, 5].

P r a w o s t e r o w a n i a w k a n a l e p o c h y l a n i a :

0

1111

)()(

)()()()(

HzH

zHQ

zHWz

HUz

Hzz

HxHH

KQQK

WWKUUKzzKxxKT

δθθδ

θ +−+−+

+−+−+−+−=. (13)



P r a w o s t e r o w a n i a w k a n a l e o d c h y l a n i a :

0

1111

)()(

)()()()(

VzV

zVR

zVVz

VUz

Vyz

VxVV

KRRK

VVKUUKyyKxxKT

δψψ

δ

ψ +−+−+

+−+−+−+−=, (14)

gdzie:

KiH — współczynniki wzmocnienia w kanale pochylania;

KiV — współczynniki wzmocnienia w kanale odchylania;

TH, TV — stałe czasowe układu wykonawczego sterowania.

Otrzymane prawa sterowania określają związki między wychyleniami ste-

rów głębokości oraz kierunku a parametrami zadanymi wynikającymi z naprowa-

dzania i bieżącymi parametrami opisującymi zachowanie się pojazdu podwodnego.

Wystąpienie różnic między parametrami realizowanymi i zadanymi wyznacza wy-

chylenie sterów głębokości δH i kierunku δV, co z kolei powoduje zmianę sił sterują-

cych i powrót sterowanej torpedy na zadany tor ruchu.

Wyznaczone prawa sterowania stanowią dwa równania więzów nieholono-

micznych, ponieważ są one niecałkowalne (można je scałkować dopiero wraz z rów-

naniami ruchu) oraz nakładają ograniczenia na ruch obiektu. Ograniczenia te

stanową: bezpośrednio prędkość kątowa LOC, a pośrednio położenie i prędkość

celu, na który naprowadzany jest pocisk torpedowy. Wraz z równaniami ruchu wy-

znaczają one tor ruchu pocisku oraz jego zachowanie się na torze.

MODEL DYNAMIKI POCISKU TORPEDOWEGO — WYKORZYSTANIE RÓWNAŃ MAGGIEGO

Zważywszy na fakt, iż pocisk torpedowy naprowadzany jest w układzie iner-

cjalnym O1x1y1z1, a prawa sterowania (13), (14) potraktowano jako więzy nieholono-

micze nałożone na ruch układu, dynamiczne równania ruchu wyprowadzono,

posługując się równaniami mechaniki analitycznej w postaci równań Maggiego [3, 5].

∑∑==

=−k

i

k

i QCq

T

q

T

dt

dC

11

**

])([σ

σσσ σσ

σ ∂∂

∂∂&

k,..,1=σ li ,..,1= , (15)


3 (194) 2013 109

gdzie:

k — liczba niezależnych współrzędnych uogólnionych;

l — liczba niezależnych prędkości uogólnionych;

b — liczba równań więzów nieholonomicznych;

T* — energia kinetyczna układu wyrażona w quasi-prędkościach;

σQ — siły uogólnione wyrażone w quasi-współrzędnych;

iii eqC && ∂∂σ /= — współczynniki równań Maggiego.

Zachowanie się badanego modelu torpedy naprowadzanej na cel opisane

jest sześcioma niezależnymi współrzędnymi uogólnionymi (k = 6). Na prędkości

uogólnione nałożone są dwa równania więzów nieholonomicznych (b = 2). Tak więc

cztery prędkości uogólnione są niezależne, tzn. istnieją cztery charakterystyki kine-

matyczne, w oparciu o które wyznaczono cztery równania Maggiego silnie sprzężone

z dwoma równaniami więzów nieholonomicznych w postaci praw sterowania.

Wektor sił i momentów sił zewnętrznych działających na pocisk torpedowy

w ruchu przestrzennym jest sumą oddziaływań ośrodka, w którym porusza się

obiekt. Tworzony jest on przez siły grawitacyjne Qg, wyporu QW, od napędu QT, od

sterowania Qδ oraz siły hydrodynamiczne QH, których składowe rozpisano w grawi-

tacyjnym układzie odniesienia Oxgygzg

δgσ QQQQQQ ++++=+++++= THWQQQQQQ 654321 . (16)

Ponieważ torpeda porusza się w środowisku o dużej lepkości, jej całkowitą

energię kinetyczną potraktowano jako sumę energii kinetycznej bryły sztywnej Tb*

oraz energii kinetycznej masy dołączonej Td* cząsteczek cieczy wprawianej w ruch

przez pocisk torpedowy pod wodą [4, 7]

**b

*dTTT += , (17)

przy czym, energia kinetyczna cząstek cieczy wprawionych w ruch przez torpedę,

traktowaną jako ciało osiowosymetryczne, wyliczona w układzie Oxgygzg jest nastę-

pująca:



( ) ( )( ) ( )

( )θφψφθλθφψφθλθφψφθλ

θφψφθλθψφλλλλ

cossincos

coscossin]coscossin

cossincossin[

135

126

2

66

2

55

2

442133

2122

21112

1*

&&&

&&&&&

&&&&&&&

++

+−+−+

+++−+++=

z

y

zyxTd

, (18)

gdzie:

λij — współczynniki masy dołączonej; wymiar współczynników jest następujący:

332211 ,, λλλ [kg], 665544 ,, λλλ [kgm2], 3526,λλ [kgm].

Po podstawieniu do równań Maggiego (15) zróżniczkowanych zależności na

energię kinetyczną pocisku torpedowego (17) oraz po uwzględnieniu osiowej syme-

trii badanego pocisku (geometrycznej, masowej, aerodynamicznej), a także zależności

na siły zewnętrzne otrzymano równania ruchu torpedy, które stanowią powiązanie

czterech równań Maggiego silnie sprzężonych z dwoma równaniami więzów nieho-

lonomicznych, dając w sumie układ sześciu równań różniczkowych zwyczajnych

z sześcioma niewiadomymi funkcjami czasu x1, y1, z1, φ, θ, ψ:

R ó w n a n i e r u c h ó w p o d ł uż n y c h

+−++

++−+−−

++−+−++

)]cossincoscos)(2(

2cos]cos)(cos)2[(2

1)cos

sin)2()2)[(cossin()2(

26

225544

265511

θφθφλ

θφλθλφ

φλλθθλ

WRVRS

RJPRJW

VSQJK

K

K

KUm

x

yx

xyHQ

HU

VR

VU

&

&&&

++++−+− θλθλψθ

ψθ 2

4444 sin)2[(sin)2()[cos

cos

cos

sin( xxV

R

VU

HQ

HU JPJ

K

K

K

K& (19)

651

262

55

)cos

cos

cos

sin()cossin(

)]cossincoscos)(2()cos)2(

QK

K

K

KQ

K

K

K

KQ

WVSRJ

VR

VU

HQ

HU

HQ

HU

VR

VU

xy

ψθ

ψθθθ

θφθφλθλ

+−−+

=−++++ &&&


3 (194) 2013 111

R ó w n a n i e p r z e m i e s z c z eń b o c z n y c h

++−+−+−

+++++−+

Ryxx

yVR

VV

x

RJJWS

QJK

KRQSVm

θφλλφλ

λθθφφλλ

2cos)cos)()[(2

1cos)(

)[(sin)coscossin)(()(

22665526

662622

&

&&&&

(20)

65226

266

25555

2655

cos

cossin)]cossincoscos)((

)cos)(sin)[(sin)()[cos

cos

)]cossincoscos)((cos)(

QK

KQ

K

KQWVS

RJJPJK

K

WRVRSPRJ

VR

VV

VR

VV

x

xxxVR

VV

xx

ψθθθφθφλ

θλθλθλψθ

θφθφλθλ

−+=−++

++++++−+

+−++++

&&

&&

R ó w n a n i e p r z e m i e s z c z eń p i o n o w y c h

++−+−−+−

++−−+++

θλλφφλ

λθθφφλλ

2cos))()((2

1cossin)((

)[(cos)coscoscos)(()(

2554426

552633

RJJWVS

QJK

KRQSWm

yxx

yHQ

HW

x

&&

&&&&

++++++−−

+−++++

RJJPJK

K

WRVRSPRJ

yxxHQ

HW

xx

&& ]cos)(sin)[(sin)([cos

sin

)]cossincoscos)((cos)(

255

24444

2644

θλθλθλψθ

θφθφλθλ (21)

65326 cos

sincos)]cossincoscos)(( Q

K

KQ

K

KQWVS

HQ

HW

HQ

HW

x ψθθθφθφλ −−=−++ &&

Z i n t e g r o w a n e r ó w n a n i e m o m e n t ó w

426

2644

)coscossin)((

)cossincos)(()sin)((

QWRWQS

VRVQSRPJ

x

xx

=++−+−++−+

θφφλθφφλθλ &&

(22)

P r a w o s t e r o w a n i a w k a n a l e p o c h y l a n i a

)()()()( zH

zHQz

HWz

HUHH KQQKWWKUUKT θθδ θ −+−+−+−= (23)

P r a w o s t e r o w a n i a w k a n a l e o d c h y l a n i a

)()()()( zV

zVRz

VVz

VUVV KRRKVVKUUKT ψψδ ψ −+−+−+−= (24)



Uzyskane równania po dołączeniu związków kinematycznych (8)–(12),

związków naprowadzania (1)–(3) oraz parametrów zadanych (4)–(7) stanowią pod-

stawę do dalszych badań właściwości dynamicznych pocisku torpedowego i pełnej

symulacji jego ruchu.

SYMULACJA NUMERYCZNA NAPROWADZANIA TORPEDY NA CEL

Stosując przedstawione powyżej dynamiczne równania ruchu, przeprowa-

dzono symulację numeryczną obrazującą poprawność opracowanego modelu mate-

matycznego na przykładzie torpedy kalibru 553 mm (fot. 1.), której model został

wykonany w warsztatach Wydziału Mechanicznego Energetyki i Lotnictwa Poli-

techniki Warszawskiej [7]. Konstrukcja modelu pozwala na wymianę części dzio-

bowej oraz sterów i stateczników torpedy. Przeprowadzono badania w tunelu

aerodynamicznym, gdzie zmierzono siły działające na torpedę, a następnie wyzna-

czono bezwymiarowe współczynniki siły nośnej, oporu i momentu pochylającego

[4, 7]. Ponieważ współczynniki są bezwymiarowe, mogą być zastosowane niezależ-

nie od środowiska, w jakim porusza się torpeda.

Fot. 1. Model torpedy stosowanej w badaniach

Źródło: fot. E. Ładyżyńska-Kozdraś.

Współczynniki masy przyłączonej dla omawianej torpedy wyznaczono

w pracy [7]. Wynoszą one odpowiednio: λ11 = 26 kg, λ22 = λ33 = 1334,6 kg,

λ44 = 1470,6 kgm2, λ55 = λ66 = 7367,6 kgm2, λ26 = λ35 = 1600 kgm.

Przyjęto, iż stałe czasowe układu wykonawczego sterowania równe są jed-

ności, natomiast współczynniki wzmocnień w prawach sterowania (13), (14) dobra-

no, stosując całkowe kryterium jakości sterowania:


3 (194) 2013 113

∫ −=kt

izii dtXXJ0

2)( , (25)

gdzie:

Xi, Xiz — odpowiednio rzeczywisty i założony przebieg i-tej zmiennej zależnej od czasu.

Otrzymujemy wówczas następujące wartości:

2,35,300054,00004,0

0004,00005,08,372,1

0003,00025,00004,00006,0

==−==

==−=−=

==−==

VVR

VV

VU

Vy

Vx

HHQ

HW

HU

Hz

Hx

KKKK

KKKK

KKKK

ψ

θ

Zasymulowano przestrzenny atak torpedy na zanurzony na głębokość względ-

ną 40-metrowy okręt podwodny, który w chwili oddania strzału znajduje się w odle-

głości 400 metrów i porusza się z prędkością 10 węzłów. Rysunki 3–4 obrazują

trajektorię pocisku torpedowego zrzutowaną odpowiednio na płaszczyznę poziomą

i pionową.

Rys. 3. Odchylenie boczne torpedy naprowadzanej na cel




Rys. 4. Zanurzenie naprowadzanej na cel torpedy


Rys. 5. Kąt wychylenia steru zanurzenia w funkcji czasu



3 (194) 2013 115

Rys. 6. Kąt wychylenia steru kierunku w funkcji czasu


Na przedstawionych wykresach (rys. 3–6) widać, że torpeda zaraz po

opuszczeniu wyrzutni okrętu podwodnego rozpoczyna namierzanie manewrującego

celu. Proces naprowadzania przebiega prawidłowo. Drgania torpedy są szybko wy-

tłumiane przez układ sterowania i już w początkowej fazie następuje stabilizacja jej

ruchu. Przez cały czas pocisk torpedowy utrzymuje parametry zadane wynikające

z przyjętego naprowadzania metodą trzech punktów. Sterowanie jest precyzyjne. Po

upływie 48 s cel zostaje osiągnięty.

Otrzymane wyniki symulacyjne świadczą o poprawności opracowanego

modelu matematycznego. Ruch torpedy przebiega w sposób prawidłowy. Utrzymuje

ona parametry wynikające z przyjętej metody naprowadzania.

WNIOSKI

Stosując prawa sterowania jako kinematyczne związki uchybów od zada-

nych parametrów sterowania idealnego, związano prawa sterowania z dynamiczny-

mi równaniami ruchu automatycznie sterowanego obiektu. Zastosowanie równań

Maggiego dla mechanicznych układów o więzach nieholonomicznych pozwoliło na

wprowadzenie nowego podejścia przy opracowywaniu modelu dynamiki ruchu po-

cisku torpedowego, który w pracach innych autorów [7, 8] traktowany był jako

obiekt z więzami holonomicznymi.



Opracowany model matematyczny pocisku torpedowego zawierający sprzę-

żenie dynamiki sterowanego obiektu z nałożonym naprowadzaniem cechuje się

uniwersalnością i może zostać w prosty sposób zaadaptowany dla dowolnego obiektu

naprowadzanego zarówno w środowisku wodnym, jak i – po wyrugowaniu współ-

czynników masy wody przyłączonej – powietrznym.

BIBLIOGRAFIA

[1] Einstein A., Mój obraz świata, Wyd. M. Fruchtmana, Warszawa 1935.

[2] Ilustrowany leksykon lotniczy — uzbrojenie, Wydawnictwo Komunikacji i Łączności, Warszawa 1991.

[3] Ładyżyńska-Kozdraś E., Application of the Maggi equations to mathematical modeling of a robotic underwater vehicle as an object with superimposed non-holonomic constraints treated as control laws, Solid State Phenomena Mechatronics Systems, ‘Mechanics and Materials’, 2012, Vol. 180, pp. 152–159.

[4] Ładyżyńska-Kozdraś E., Maryniak J., Modelowanie dynamiki torped lotni-czych po zrzucie z samolotu, [w:] Kierowanie ogniem systemów obrony po-wietrznej (przeciwlotniczej), red. J. W. Kobierski, Gdynia 2010, s. 137–152.

[5] Ładyżyńska-Kozdraś E., Modelowanie i symulacja numeryczna ruchomych obiektów mechanicznych skrępowanych więzami nieholonomicznymi w postaci praw sterowania, Prace naukowe: „Mechanika”, z. 237, Oficyna Wydawni-cza Politechniki Warszawskiej, Warszawa 2011.

[6] Ładyżyńska-Kozdraś E., The control laws having a form of kinematic rela-tions between deviations in the automatic control of a flying object, ‘Journal of Theoretical and Applied Mechanics’, 2009, 47, 2, pp. 363–381.

[7] Maryniak J., Oskroba B., Zagadnienia modelowania matematycznego dyna-miki ruchu torpedy, V Sympozjum Wojskowej Techniki Morskiej, t. 1, OBR Centrum Techniki Morskiej, Gdynia 1995.

[8] Żak B., Kitowski Z., The control of motion of unmanned underwater vehicle operated near to the bottom sea, Proceedings of the 9th WSEAS International Conference on Systems, Publisher World Scientific and Engineering Academy and Society (WSEAS), 2005.


3 (194) 2013 117

APPLICATION OF MAGGI EQUATIONS TO TRAFFIC MODELING

OF TORPEDO GUIDED WITH THREE-POINT METHOD TO SUBMARIME

ABSTRACT

The paper presents the modeling and numerical simulation of the dynamics of a guided

torpedo. A mathematical model was developed using the Maggi equations for mechanical sys-

tems with non-holonomic constraints. A relatively simple method for automatic control was pre-

sented based on introducing the control laws into a general model of an object. The paper shows

how, using general mathematical model of the object guided and introducing control laws as non-

holonomic constraints, a torpedo can be automatically guided. The control laws introduced consti-

tute he constitute kinematic relations, i.e. differences between parameters set and realized in

torpedo’s motion. The resulting control laws were treated as non-holonomic constraints of the

torpedo motion so that it executed the controlled maneuver expected. Kinematic relations com-

bined with homing criteria represent the coordination of movement of the automatically guided

torpedo. A numerical simulation proved the correctness of the mathematical model developed.

Keywords:

modeling, simulation, Maggi equations, mathematical model, torpedo, submarine, three-point

method.

Documents

MODELOWANIE RUCHU TORPEDY.pdf