Método de Takabeya

UNIVERSIDAD NACIONALPEDRO RUIZ GALLOINGENGENIERÍA CIVIL

MÉTODO DE FUKUHEITAKABEYAFórmulas fundamentales para vigas ypórticosDOCERNTE: PORRO AÑIS OSCAR

Alumno: Darwin Alfredo Torres GarcíaCÓDIGO: 102323D

29/07/2014

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLOINGENIERÍA CIVIL Página 2

ContenidoINTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 3

1. DEFINICIÓN .................................................................................................................. 4

2. ESTRUCTURAS CON NUDOS RIGIDOS .................................................................. 4

2.1. Estudio de los ángulo de giro.................................................................................. 4

3. CASOS PARTICULARES CON ARTICULACIÓN .................................................................... 6

4. ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS: SIN CARGAS HORIZONTALES O CON CARGASHORIZONTALES APLICADAS EN LOS NUDOS............................................................................ 9

BIBLIOGRAFÍA..................................................................................................................... 14


MÉTODO DE FUKUHEI TAKABEYA

INTRODUCCIÓNLa principal ventaja a comparación con la del método de Kani y Cross es el tiempo, sobre todocuando los edificios llegan a ser muy altos el método de Takabeya es más beneficioso, pues sepudo resolver un edificio de 200 pisos y 30 luces en 78 horas con sólo calculadora en aquellostiempos donde era realmente corto para tal problema con tal complicación, y cuyo métodoconsiste en encontrar, por aproximaciones sucesivas, los giros de los nudos y losdesplazamientos de los pisos, en lugar de los momentos debidos a ellos, con lo cual sedisminuye considerablemente el número de operaciones. Esto lo hace sumamente útil. Una vezobtenida la convergencia de giros y desplazamientos, se procede a evaluar los momentosdefinitivos mediante las ecuaciones de ángulos de giro y deflexión.


1. DEFINICIÓN

El objeto del cálculo estático de una estructura es obtener el equilibrio de la misma, cuando, lacargar sus distintos elementos, giran y se desplazan los nudos de aquella.

Conocidos los momentos flectores en los extremos de cada una de las barras, quedadeterminado el cálculo de la misma, pues los demás valores estáticos pueden deducirse de estosmomentos, por lo cual el cálculo consistirá esencialmente en la determinación de los momentosen los extremos de cada barra. En cada nudo actúan dos momentos, iguales y contrarios, uno deellos, que gira con el extremo de la barra, es el que debernos considerar como momento endicho extremo, y el otro el que actúa exteriormente sobre el citado nudo (fig. 1). Cuando actúasobre un nudo un momento flector exterior de sentido positive, el nudo y todos los extremos delas barras que concurren en él reciben momentos positivos en este extremo.

Empezaremos el cálculo suponiendo que al actuar las cargas exteriores existe empotramientoperfecto en los dos extremos de cada barra, o sea, que los nudos permanecen fijos sin poderefectuar ningún giro ni desplazamiento. Cada barra es, por lo tanto, como una viga de últimoempotrada en sus extremos, para los cuales nos será fácil calcular los correspondientesmomentos de empotramiento.

A las fuerzas y momentos exteriores que impiden el desplazamiento y el giro de estos nudos lasllamaremos fuerzas y momentos de sujeción. Determinados los momentos de empotramiento enlos nudos, se calculan luego los momentos y fuerzas de sujeción en cada uno de ellos. El hechode existir equilibrio en un nudo i, equivale a expresar que el momento de sujeción M debe serigual a la suma de todos los momentos de empotramiento de las barras que concurren en dichonudo, así: =

2. ESTRUCTURAS CON NUDOS RIGIDOS2.1. Estudio de los ángulo de giro

En esta primera etapa de cálculo se supone que los nudos sonindesplazables.

Cuando se deforma una estructura bajo la acción de ciertascargas exteriores, sin suponer que existe rigidez en los nudos dela misma, cada uno de ellos gira en un determinado valor; porejemplo, para una barra i-k el extremo i girará en un ángulo τ yel extremo k en un ángulo τ . Vamos a descomponer el girototal de los extremos de la barra i-k, como superposición de lastres siguientes y sucesivas etapas (ver fig. 2)

1. La barra i-k se deforma, flexando, bajo la acción de la


carga, sin girar los extremos de la misma.2. El extremo i gira en un ángulo , mientras el extremo k no gira.3. El extremo k gira en un ángulo , mientras el extremo i no gira.

Se pude, por lo tanto, escribir para el extremo i de la barra i-k:= + 4 + 2 (1 )= + 4 + 2 (1 )Conociendo estos valores podremos obtener el momento total , mediante la ecuación(1a y 1b), por suma de los mismos, o sea:

Del momento de empotramiento perfecto en el extremo ( ). Del momento debido al giro del propio extremo (4 ). Del momento debido al giro del extremo contrario de la barra (2 ).

Por conveniencia se define:

= (2)El valor de C es una constante de proporcionalidad que nos permitirá trabajar con valoresrelativos. Remplazando 2 en 1, se tiene así:= + 4 + 2 (3a)= + 4 + 2 (3b)Definimos rotaciones relativas: = 2 (4a)= 2 (4b)Remplazamos 4 en 3 tenemos: = + (2 + ) (5a)= + + 2 (5b)Cuando a un nudo lo aplicamos la ecuación de equilibrio ∑ = 0, se obtien:0 = + 2 + ( ) (6)Despejando la rotación debido al nudo i:

= − ∑2 ∑ − 2 ∑ (7)Según la ecuación 7 vemos que el primer término que está representado por el cociente entreel momento de empotramiento y dos veces el coeficiente de rigidez, lo cual es un término quesiempre será constante para cada nudo, y en consecuencia el segundo nudo representa losgiros en los extremos alejados del nudo de las barras que concurren a él. Para dar unarepresentación se define:


= − ∑2 ∑ (8)Y también se tiene

= − 2 ∑ (9)La ecuación 7 la podemos escribir como: = + (10)Esta ecuación es la iteración buscada. Los siguientes pasos son básicos para la aplicación deeste método:

1. Evalúense los coeficientes de giro y momentos de empotramiento .2. Calcúlese los giros relativos iniciales de cada nudo mediante la ecuación (6).3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se está trabajando a mano, para

acelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial.4. Aplíquese a cada nudo la ecuación (10) y escríbase en el diagrama los resultados

obtenidos, que constituyen para el ciclo de valores de . Obsérvese que estos valorescorresponden a los al pasar a los nudos opuestos.

5. Una vez recorrido todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 4 una yotra vez hasta obtener convergencia entre los nudos.

6. Finalmente aplíquese las ecuaciones (5) a todos los elementos para obtener losmomentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones verdaderas sepuede obtener despejando su valor en la ecuación (4 a)

3. CASOS PARTICULARES CON ARTICULACIÓN

Consideremos que el nudo i esté restringido (empotrado) y que el nudo k esté articulado, ylo aplicamos en la ecuación (5b) resulta:= + ( + 2 ) = 0 (11)

Despejamos : = − 2 − 2 (12)Remplazando (12) en (5a)

= + (2 − 2 − 2 )= − 2 + 32 (13)El primer paréntesis es igual al momento de empotramiento verdadero para el extremoopuesto articulado:


= − 2 + 32 (14)Se define además que: ′ = 34 (15)Entonces la ecuación (13) se escribe como: = + (2 ) (16)Ejemplo 1

Analice el pórtico mostrado por el método de Takabeya, las vigas tienen una seccion de 30cm x60cm, y las columnas 30cm x 50cm.

SoluciónPASO 1Rigidez relativa

Tipo Tramo Lon. Sección Momento Coeficiente de Rigidez CargaMomentoEmpotram.

b h de Inercia Distribuida Perefecto

m cm cm cm4 K Representación Ton/ml Mik Mki

Vigas 34 6.00 30.00 60.00 6480000 10800 3.63 5.22 -15.666 15.666

56 6.00 30.00 60.00 6480000 10800 3.63 5.22 -15.666 15.666

53 3.00 30.00 50.00 3750000 12500 4.2064 3.00 30.00 50.00 3750000 12500 4.20

Columnas 75 4.20 30.00 50.00 3750000 8929 3

86 4.20 30.00 50.00 3750000 8929 3


Nudo Tramo Valores FactoresPi de Giro

56 3.6288 -0.1685 57 3 -0.139

53 4.2 -0.194P5 21.6576 -0.50065 3.6288 -0.168

6 68 3 -0.13964 4.2 -0.194P6 21.6576 -0.50034 3.6288 -0.232

3 35 4.2 -0.268

P3 15.6576 -0.50043 3.6288 -0.232

4 46 4.2 -0.268

P4 15.6576 -0.500

Diagrama de iteración

Tipo Tramo Momentos Parciales Momentos Finales Cortantes Finales

mik mki Mik Mki Vik Vki

Vigas 34 1.025 -0.795 -11.11 13.61 15.25 -16.08

56 0.597 -0.433 -12.90 14.69 15.37 -15.96

Columnas 53 0.597 1.025 9.32 11.11 -6.81 -6.8164 -0.433 -0.795 -6.98 -8.50 5.16 5.1675 0.000 0.597 1.79 3.58 -1.28 -1.28

86 0.000 -0.433 -1.30 -2.60 0.93 0.93


4. ESTRUCTURAS CON DESPLAZAMIENTOS: SIN CARGAS HORIZONTALES O CON CARGASHORIZONTALES APLICADAS EN LOS NUDOS

Para el cálculo de estructuras con desplazamiento, los momentos finales en los extremos delas barras están representados por las ecuaciones de ángulo de giros y deflexión:= + 4 + 2 + 6 ∆ (17)Definimos: = 6 ∆ (18)

==Remplazamos 18 en 17 tenemos: = + (2 + + ) (19)el signo positivo de indica que el nivel n se ha desplazado hacia la derecha, con respecto alnivel n+1.


Aplicando la ecuación de equilibrio al ∑ = 0, se obtien:0 = + 2 + ( ) + ( )Despejando la rotación debido al nudo i:

= − ∑2 ∑ − 2 ∑ − 2 ∑ (20)Si recordamos las definiciones que se hicieron en las ecuaciones 7 y 8 tenemos:= + ( + ) (21)Si las fuerzas horizontales están aplicadas únicamente en los niveles de placa, para esto elequilibrio horizontal requiere que: = ( ) (22)En donde:∑ representa la fuerza de corte en el piso n

es el corte en el extremo inferior de la columna q del piso n, como se indica en elsiguiente esquema

Figura 3 Equilibrio de fuerzas horizontales en el piso n.

Pero: = + , (23)Remplazando 23 en 22, resulta: = + , (24)Si todas las columnas del piso tiene la misma altura, esta se puede sacar de la suma ydespejando: = + ,Remplazando la ecuación (19) en (24):= + , + 3 ( + ) + 2


Cuando no existen cargas aplicadas directamente sobre las columnas, el primer sumando escero y si todas las columnas son de igual altura, es constante para el piso. Por tanto, laexpresión anterior se puede reescribir así:= 3 ( + ) + 2Despejando = = ∑2 ∑ − 32 ∑ ( + ) (25)Los desplazamientos relativos iniciales de piso y coeficiente de desplazamiento de columna= ∑2 ∑ (26)y = − 32 ∑ (27)

Con lo que la ecuación 25 se simplifica a: = + ( + ) (25 )Esta ecuación es la que nos servirá para la iteración para evaluar el desplazamiento relativodel piso n.

Al terminar el proceso no se obtendrá un balance perfecto, para esto se hacer una corrección quese distribuirá de forma proporcional a las rigideces de las barras que concurres en él, tal como:ó =Pasos a seguir:

1. Evalúense los coeficientes de giro , los de desplazamiento y momentos deempotramiento .

2. Calcúlese los giros relativos iniciales de cada nudo mediante la ecuación (6), y losdesplazamientos relativos iniciales de cada piso , mediante la ecuación (26) .

3. Adóptese una secuencia de recorrido de los nudos. Si se está trabajando a mano, paraacelerar la convergencia conviene empezar por el de mayor giro inicial.

4. Aplíquese a cada nudo la ecuación (21) y escríbase en el diagrama los resultadosobtenidos, que constituyen para el ciclo de valores de . Obsérvese que estos valorescorresponden a los al pasar a los nudos opuestos.

5. Una vez recorrido todos los nudos se tiene concluido un ciclo. Se repite el paso 25 unay otra vez hasta obtener convergencia entre los nudos.

6. Repita los pasos 4 y 5 para obtener una convergencia de en todos los nudos y deen todos los pisos.

7. Finalmente aplíquese las ecuaciones (19) a todos los elementos para obtener losmomentos definitivos en cada uno de sus extremos. Las rotaciones y desplazamientosde pisos verdaderos y ∆ se puede obtener despejando su valor en la ecuación (4 a)y 18 respectivamente.


EJERCICIO 2: Analizar el pórtico siguiente:

SOLUCION

Calculo de rigideces relativas

Tipo Tramo Longitud Sección Momento Coeficientede Rigidezb h de Inercia

m cm cm cm4 KikVigas 34 5.00 30 50.00 0.0375 7.50E-03

56 5.00 30 50.00 0.0375 7.50E-0353 3.00 30 40.00 0.0192 6.40E-0364 3.00 30 40.00 0.0192 6.40E-03

Columnas 75 3.00 30 40.00 0.0192 6.40E-0386 3.00 30 40.00 0.0192 6.40E-03

coeficientes degiroNudo Tramo Pi

kik uik=-Kik/(2∑kik)

5

56 7.50E-03 -0.18557 6.40E-03 -0.15853 6.40E-03 -0.158

2∑kik 4.06E-02 -0.500

6

65 7.50E-03 -0.18568 6.40E-03 -0.15864 6.40E-03 -0.158

2∑kik 4.06E-02 -0.500

334 7.50E-03 -0.27035 6.40E-03 -0.230

2∑kik 2.78E-02 -0.500

443 7.50E-03 -0.27046 6.40E-03 -0.230

2∑kik 2.78E-02 -0.500


coeficiente de desplazamiento

ᵞik =-3Kik/(2∑kik)Columna Kik

75 0.019 -0.75086 0.019 -0.750

2∑kik 0.038 -1.50075 0.019 -0.75086 0.019 -0.750

2∑kik 0.038 -1.500

desplazamientos iniciales relativos de pisoφi=∑Mik/(2∑kik)

Niveles Q=∑Hi (Ton) hn(m.) 2∑kik ᵟn1er Nivel 10.95 4.20 0.026 1796.642do Nivel 3.44 3.00 0.026 403.18


Tipo TramoLongitud Momentos

ParcialesMomentosParciales

MomentosFinales Cortantes Finales

(m) m'ij m'ji m''ij m''ji Mij Mji Vij Vji

Vigas1 2 3 4 5 6 7 -(7+6)/1 -(7+6)/1

34 5.00 0.348 0.348 0.000 0.000 3.67 3.67 -1.47 -1.4756 5.00 1.077 1.077 0.000 0.000 11.36 11.36 -4.55 -4.55

Col

53 3 1.077 0.348 -2.997 -2.997 -1.48 -3.67 1.72 1.7264 3 1.077 0.348 -2.997 -2.997 -1.48 -3.67 1.72 1.7275 3 0.000 1.077 -5.448 -5.448 -13.11 -9.88 7.66 7.6686 3 0.000 1.077 -5.448 -5.448 -13.11 -9.88 7.66 7.66

BIBLIOGRAFÍA1. Cesar Fonceca Ponce, Estructuras Hiperestàticas, Mexico, Universidad Autónoma de

Mexico, 2007

Documents

Método de Takabeya