II - 1

BAB. II METODA TAKABEYA2.1 PENDAHULUANSalah satu metoda yang sering digunakan dalam perhitungan konstruksi statis tak tentu, khususnya pada konstruksi portal yang cukup dikenal adalah perhitungan konstruksi dengan metoda TAKABEYA. Dibandingkan dengan metoda yang lain, seperti metoda Cross dan metoda Kani, untuk penggunaan metoda ini terutama pada struktur portal bertingkat banyak merupakan perhitungan yang paling sederhana dan lebih cepat serta lebih mudah untuk dipelajari dan dimengerti dalam waktu yang relatif singkat.Metoda perhitungan dengan cara Takabeya yang disajikan dalam bagian ini adalah menyangkut materi perhitungan untuk portal dengan titik hubung yang tetap dan portal dengan titik hubung yang bergerak ( pergoyangan). Mengenai hal tersebut, teks ini hanya memberikan dasar-dasar pemahaman tentang metoda Takabeya yang berhubungan dengan portal-portal yang sederhana dengan atau tanpa mengalami suatu pergoyangan. Diharapkan dari dasar-dasar ini, kita sudah dapat menghitung besarnya gaya-gaya dalam berupa momen-momen ujung ( momen akhir) dari suatu batang yang menyusun konstruksi portal yang bentuknya sederhana.Persamaan - persamaan yang digunakan dalam metoda perhitungan ini hanya merupakan persamaan dasar dari Takabeya sendiri, dimana persamaan-persamaan tersebut hanya dapat digunakan khusus untuk portal yang sederhana dan hal-hal yang berhubungan dengan pergoyangan dalam satu arah saja yaitu pergoyangan dalam arah horizontal. Mengenai pergoyangan dalam dua arah ( harizontal dan vertikal) persamaan-persamaan dasar yang digunakan dalam teks ini masih perlu diturunkan lebih lanjut.Untuk menganalisa struktur portal yang sederhana, bab ini memberikan contoh-contoh perhitungan yang sudah disesuaikan dengan langkah-langkah perhitungan yang sesuai dengan prosedur perhitungan dalam metoda Takabeya. Perhitungan-perhitungan yang dimaksudkan di sini adalah hanya sampai pada bagaimana menentukan momen-momen ujung ( momen akhir ) dari suatu konstruksi. Mengenai reaksi perletakan tumpuan dan atau gaya-gaya lintang dan normal yang terjadi dalam suatu penampang batang serta penggambaran diagram dari gaya-gaya dalam tersebut, sudah dibahas dalam materi perkuliahan pada Mekanika Rekayasa I dan Mekanika Rekayasa II semester sebelumnya.PERSAMAAN DASAR METODA TAKABEYADalam perhitungan konstruksi portal dengan metoda Takabeya, didasarkan pada asumsi-asumsi Bahwa :a. Deformasi akibat gaya aksial (Tarik dan Tekan) dan gaya geser dalam diabaikan (= 0 ).b. Hubungan antara balok-balok dan kolom pada satu titik kumpul adalah kaku sempurna.Berdasarkan asumsi-asumsi tersebut, maka pada titik kumpul akan terjadi perputaran dan pergeseran sudut pada masing-masing batang yang bertemu yang besarannya sebanding dengan momen-momen lentur dari masing-masing ujung batang tersebut. Gambar 2.1 berikut ini, memperlihatkan dimana ujung batang ( titik b) pada batang ab bergeser sejauh '(' relatif terhadap titik a. Besarnya momen-momen akhir pada kedua ujung batang ( M ab dan M ba) dapat dinyatakan sebagai fungsi dari perputaran dan pergeseran sudut.

Gambar. 2.1

Kemudian keadaan pada gambar. 2.1 tersebut, selanjutnya diuraikan menjadi dua keadaan seperti terlihat pada gambar. 2.2 di bawah ini :

Gambar. 2.2Sehingga menghasilkan suatu persamaan :M ab = ( m ab + ab M ba = ( m ba + ba

Dari prinsip persamaan Slope Deplection secara umum telah diketahui bahwa :(a = (a + (ab(b = (b + (ab dan

(a = -

+ (ab x 2

(b = -

+ (ab x 1

2(a + 2(b + 3(ab

Sehingga :

( m ab = 2 EI/L ( 2(a + (b - 3(ab )

( m ba = 2 EI/L ( 2(b + (a - 3(ab )

Jika I/L = K untuk batang ab, maka :

( m ab = 2 E Kab ( 2(a + (b - 3(ab )

( m ba = 2 E Kab ( 2(b + (a - 3(ab )

Masukkan Persamaan 2. 2 ke dalam persamaan 2. 1 , diperoleh :M ab = 2 E Kab ( 2(a + (b - 3(ab ) +

M ba = 2 E Kab ( 2(b + (a - 3(ab ) +

Oleh Takabeya, dari persamaan slope deplection ini disederhanakan menjadi :M ab = kab (2ma + mb + ) +

M ba = kba (2mb + ma + ) +

Dimana :ma = 2EK(a

= -6 EK (abmb = 2EK(b

kab = Kab/K Keterangan :M ab, M ba = Momen akhir batang ab dan batang ba (ton m).

ab, ba = Momen Primer batang ab dan batang ba (ton m).( mab, ( mba = Koreksi momen akibat adanya pergeseran pada titik b sejauh ((a, (b = Putaran sudut pada titik a dan titik bkab = Angka kekakuan batang ab = K ab / K (m3)Kab = Faktor kekauan batang ab = I/L (m3)K = Konstantama, mb = Momen parsiil masing-masing titik a dan b akibat putaran sudut (a dan (b disebut momen rotasi di titik a dan titik b (ton m).

ab = Momen parsiil akibat pergeseran titik b relatif terhadap titik a sejauh ( disebut momen dispalcement dari batang ab (ton m ).Perjanjian TandaMomen ditinjau terhadap ujung batang dinyatakan positif ( + ) apabila berputar ke kanan dan sebaliknya negatif (- ) apabila berputar ke kiri

Arah momen selalu dimisalkan berputar ke kanan pada tiap-tiap ujung batang dari masing-masing free body. Apabila ternyata pada keadaan yang sebenarnya berlawanan ( berputar ke kiri ), diberikan tanda negatif ( - ) sesuai dengan perjanjian tanda.2. 2 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG TETAPYang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang tetap adalah suatu portal dimana pada tiap-tiap titik kumpulnya ( titik hubungnya ) hanya terjadi perputaran sudut, tanpa mengalami pergeseran titik kumpul. Sebagai contoh : Portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris Portal dimana baik pada struktur balok maupun kolom-kolomnya disokong oleh suatu perletakan.Oleh karena portal dengan titik hubung yang tetap tidak terjadi pergeseran pada titik-titik hubungnya, maka besarnya nilai momen parsiil akibat pergeseran titik () adalah = 0. Sehingga rumus dasar dari Takabeya (persamaan. 2. 4 ) akan menjadi :M ab = kab (2ma + mb) + ab M ba = kba (2mb + ma) + ba

Sebagai contoh, penerapan persamaan untuk Takabeya, perhatikan gambar 2. 3 berikut ini :Berdasarkan rumus dasar dari Takabeya, maka untuk struktur di atas, diperoleh persamaan :M 12 = k 12 (2ml + m2) + 12 M 1A = k 1A (2m1 + mA) + 1AM 1C = k 1C (2ml + mC) + 1CM 1E = k 1E (2m1 + mE) + 1EKeseimbangan di titik 1 = 0 ==( ( M1 = 0, sehingga :M12 + M1A + M1c + M1E = 0 Persamaan. 2. 7Dari persamaan 2. 6 dan persamaan 2. 7 menghasilkan :2m1 + + = 0 ( Pers. 2.8

dimana : 2 = (1 dan = (1 dan

Persamaan 2. 8 di atas dpt ditulis sebagai pers. momen rotasi pada titik kumpul 1( persamaan 2. 6 dan persamaan 2.7 menghasilkan :(1.m1 = - (1 +

m1 = - ((1/(1) + (Persamaan. 2. 9Untuk persamaan momen rotasi pada titik kumpul yang lainnya dapat dicari/ ditentukan seperti pada persamaan 2. 9 di atas, dimana indeks/angka pertama diganti dengan titik kumpul yang akan dicari dan angka kedua diganti dengan titik kumpul yang berada di seberangnya. Perlu diingat, bahwa pada suatu perletakan jepit tidak terjadi putaran sudut sehingga besarnya mA = mB = mC = mD = mE = mF = 0Untuk langkah awal pada suatu perhitungan momen rotasi titik kumpul, maka titik kumpul yang lain yang berseberangan dengan titik kumpul yang dihitung, dianggap belum terjadi rotasi. Sehingga :m1 = m1(0) = -((1 / (1)

m2 = m2(0) = -((2 / (2)

m1(1) = -((1/(1) +

m1(1) = m1(0) +

dan seterusnya dilakukan pada titik 2 sampai hasil yang konvergen ( hasil-hasil yang sama secara berurutan pada masing-masing titik kumpul ) yang berarti pada masing-masing titik kumpul sudah terjadi putaran sudut.Setelah pemberesan momen-momen parsiil mencapai konvergen, maka untuk mendapatkan momen akhir ( design moment ), hasil momen parsiil selanjutnya disubtitusikan dalam persamaan 2. 6 sebagai persamaan dasar. Sebagai contoh : pemberesan momen parsiil dicapai pada langkah ke-7 maka pada titik kumpul 1 adalah :M12 = M12(7) = k12 (2m1(7) + m2(7)) +

M1A = M1A(7) = k1A (2m1(7) + ma(7)) +

M1C = M1C(7) = k1C (2m1(7) + m2(7)) +

M1D = M1E(7) = k1E (2m1(7) + ma(7)) +

Keseimbangan di titik kumpul 1 = 0 ==( ( m1 = 0M12 + m1a + m1c + m1e = 0Apabila ( m1 0, maka momen-momen perlu dikoreksi. Koreksi momen akhir :M12 = M12 [( k12 / ( k12 + k1A + k1C + k1E )) x (M] Berikut ini diberikan beberapa contoh/kasus pada suatu konstruksi portal dengan titik kumpul yang tetap.Contoh 1 : Hitung momen akhir dan reaksi perletakan dengan metode Takabeya

Penyelesaian:A.Menghitung Momen-momen Parsiil.1. Hitung Angka Kekakuan Batang (k) K1A = I/H = 1/4 = 0,2500 m3 K12 = I/L = 1/6 = 0,1667 m3 K2B = I/H = 1/4 = 0,2500 m3 ==(Konstanta K diambil =1 m3 Jadi : k1A = K1A/K = 0,2500 k12 = K12/K = 0,1667 k2B = K2B/K = 0,2500

2. Hitung Nilai p tiap titik hubung :(1 = 2 (k1A+ k12 ) = 2 ( 0,2500 + 0,1667) = 0,8333 (2 = 2 ( k12 + k2B ) = 2 ( 0,1667 + 0,2500 ) = 0,83333. Hitung Nilai ( (Koefisien Rotasi) batang :

(1A = k1A / (1 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3

(12 = k12 / (1 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2

(21 = k21 / (2 = 0,1667 / 0,8333 = 0,2

(2B = k2B / (2 = 0,2500 / 0,8333 = 0,3

4. Hitung Momen Primer () :

= - (1/12.q .L2 + /8 . P.L) = -(1/12.3.62+1/8.4.6) = -12 tm

= 12 tm5.Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung (() :

(1 = + = -12 + 0 = -12 tm

(2 = + = 12 + 0 = 12 tm

6. Hitung Momen rotasi Awal (m0)m10 = - ((1 / (1) = - (- 12 / 0,8333 ) = 14,40 tm m20 = - ((2 / (2) = - (12 / 0,8333) = -14,40 tm

B. Pemberesan Momen-momen ParsiilPemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik 1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara beraturan.Langkah 1 m11 = m10 + (-(12 . m20) = 14,40 + (-0,2 . 14,400) = 11,520 m21 = m20 + (-(21 . m21) = -14,40 + (-0,2 . 11,520) = -16,704Langkah 2 m12 = m10 + (-(12 . m21) = 14,40 + (-0,2 . -16,704) = 17,741 m22 = m20 + (-(21 . m12) = -14,40 +(- 0,2 . 17,741 )= -17,948Langkah 3 m13 = m10 + (-(12 . m22) = 14,40 + (-0,2 . -17,948) = 17,990 m23 = m20 + (-(21 . m13) = -14,40 + (-0,2 . 17,990) = -17,998Langkah 4 m14 = m10 + (-(12 . m23) = 14,40 + (-0,2 . - 17,998)= 18,000 m24 = m20 + (-(21 . m14) = -14,40 + (-0,2 . - 17,998)= -18,000Langkah 5 m15 = m10 + (-(12 . m24) = 14,40 + (-0,2 . -18,000)= 18,000 m25 = m20 + (-(21 . m15) = -14,40 + (- 0,2 . 18,000 )= - 18,000C.Perhitungan Momen Akhir (design moment).M12 = M12(5) = k12 (2m1(5) + m2(5)) +

= 0,16667 (2. 18,000 + -18,000) + (-12) = -9,000 tm M1A = M1A(5) = k1A (2m1(5) + mA(5)) +

= 0,2500 (2. 18,000 + 0 ) + 0= 9,000 tmM21 = M21(5) = k21 (2m2(5) + m1(5)) +

= 0,16667 (2.-18,000 + 18,000) + (12) = 9,000 tmM2B = M2B(5) = k2B (2m2(5) + mB(5)) +

= 0,2500 (2.-18,000 + 0 ) + 0= -9,000 tmMA1 = MA1(5) = kA1 (2mA(5) + m1(5)) +

= 0,2500 ( 2.0 + 18,000) + ( 0 )= 4,5000 tmMB2 = M B2(5) = kB2 (2mB(5) + m2(5) ) +

= 0,2500 ( 2.0 + -18,000) + (0) = -4,5000 tmCatatan : Oleh karena pada suatu perletakan jepit tidak terjadi perputaran sudut, maka besarnya nilai mA = mB = 0.Diagram Fase Body Momen Struktur.

Reaksi Perletakan :(M1 = 0 ( tinjau batang 1 A )HA = ha1 = (MA1 + M1A) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah ==()

(M2 = 0 ( tinjau batang 2 B )HB =HB2 = (MB2 + M2B) / 4 = ( 4,500 + 9,00 ) / 4 = 3,375 ton ( arah (== )(M2 = 0 ( tinjau batang 1 2 )V12 . 6 - P . 3 q L2 + M21 M12 = 0V12 = (P . 3 + q L2 - M21 M12) / 6

V12 = (4 . 3 + . 3 . 62 - 9,000 + 9,000 ) / 6 = 11,000 ton VA = VA1 = V12 = 11,000 ton(M1 = 0 ( tinjau batang 1 2 )-V21 . 6 + P . 3 + q L2 + M21 M12 = 0V21 = ( P . 3 + l/2 q L2 + M21 M12 ) / 6V21 = ( 4 . 3 + . 3 . 62 + 9,000 - 9,000 ) / 6 = 11,000 tonVB = VB2 = V21 = 11,000 tonCatatan : Arah momen pada diagram freebody di atas sudah merupakan arah yang sebenarnya, sehingga nilai momen yang digunakan dalam perhitungan sudah merupakan nilai positif (+).

Contoh 2 :Suatu portal dengan struktur dan pembebanan yang simetris, seperti gambar disamping, dengan masing-masing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan ( setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K )k1A = k16 = k3C = k34 = 1

k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75k2B = k25 = 1,5Hitunglah momen-momen ujung batang dengan metoda takabeya.Penyelesaian :A. Menghitung momen-momen parsiil.1. Angka kekakuan batang (diketahui)2. Nilai ( tiap titik hubung(1 = 2 ( 1+0,75+ 1) = 5,5 (2 = 2 (1,5 + 0,75 + 1,5 + 0,75) = 9(3 = 2 (l + 0,75 + l) = 5,5

(4 = 2 (l+0,75) = 3,5

(5 = 2 (1,5 + 0,75 + 0,75 ) = 6

(6 = 2 (l+0,75) = 3,53. Nilai ( (koefisien rotasi) batang pada titik hubung (1A =1/5,5 = 0,1818 (2B= 1,5/9 = 0,1667

(3C = 1/5,5 = 0,1818(12 = 0,75/5,5 = 0,1364 (21 = 0,75 / 9 = 0,0833

(32 = 0,75/5,5 = 0,1364 (23 = 0,75 / 9 = 0,0833(16 = 1/5,5 = 0,1818 (61 = 1/3,5 = 0,2857

(43 = 1/3,5 = 0,2857 (34 = 1/5,5 = 0,1818

(52 = 1,5 /6 = 0,2500 (25 = 1,5 / 9 = 0,1667

(45 = 0,75/3,5 = 0,2143 (54 = 0,75 /6 = 0,1250 (65 = 0,75/3,5 = 0,2143 (56 = 0,75 /6 = 0,12504. Momen primer batang ( )

= -l/12 .6 .52 = -12,5 tm = -l/12 . 6.52 = -12,5 tm

= 12,5 tm = 12,5 tm

= -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm = -1/12 . 3.52 = - 6,25 tm

= 6,25 tm = 6,25 tm

5. Jumlah momen primer tiap titik hubung (()(1 = 0 + (-12,5) + 0 = -12,5 (4 = 0 +6,25 = 6,25

(2 = 0 + 12,5 + (-12,5) + 0 = 0 (5 = 0 +(-6,25) +6,25 = 0

(3 = 0 + 12,5 + 0 = 12,5

6. Momen rotasi awal (m m10 = -(-12,5/5,5) = 2,2727 m40 = -(6,25/3,5) = -1,7857

m20 = - (0 / 9 ) = 0 m50 = - ( 0 / 5,5) = 0

m30 = -(12,5/5,5) = -2,2727m60 = -(-6,25/3,5) =1,7857B. Pemberesan Momen Parsiil.Pemberesan momen parsiil dimulai secara berurutan mulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4), (5), (6) dan kembali ke titik (1), (2), (3), (4), (5) dan seterusnya.m11 = + m10 = 2,2727

= + (-(12) (m20)(-0,1364) ( 0 )= 0

= + (-(16) (m60)(-0,1818) ( 1,7857 )= -0,3246

m11= 1,9481

m21 = + m20 = 0

= + (-(21) (m11)(-0,0833) ( 1,9481 )= -0,1623

= + (-(23) (m30)(-0,0833) ( -2,2727 )= 0,1893

= + (-(25) (m50)(-0,1667) ( 0 )= 0

m21= 0,027

m31 = + m30 = -2,2727

= + (-(32) (m21)(-0,1364) ( 0,027 )= -0,0037

= + (-(34) (m40)(-0,1818) ( -1,7857 )= 0,3246

m31= -1,9517

m41 = + m40 = -1,7857

= + (-(43) (m31)(-0,2857) ( -1,9517 )= 0,5576

= + (-(45) (m50)(-0,2143) ( 0 )= 0

m41= -1,2281m51 = + m50 = 0

= + (-(54) (m41)(-0,1250) ( -1,2281 )= 0,1535

= + (-(52) (m21)(-0,2500) ( 0,0270 )= -0,0068

= + (-(56) (m60)(-0,1250) ( 1,7857 )= -0,2232

m51= -0,0765

m61 = + m60 = 1,7857

= + (-(65) (m51)(-0,2143) ( -0,0765 )= 0,0164

= + (-(61) (m11)(-0,2857) ( 1,9481 )= -0,5566

m61= 1,2455

Untuk selanjutnya berikut ini diperlihatkan perhitungan secara skematis:

m60=1.7857m50= 0.0000 m40= -1.7857m61=1.2455m51=-0.0765 m41= -1.2281

m62=1.2041m52=-0.0090m42= -1.1836m63=1.1994m53=-0.0013m43= -1.1959m64=1.1988m54=-0.0003m44= -1.1982m65=1.1987m55=-0.0001m45= -1.1986m66=1.1987m56= 0.0000m46= -1.1986m67=1.1986m57= 0.0000m47= -1.1986m68=1.1986m58= 0.0000m48= -1.1986m10=2.2727m20= 0.0000 m30= -2.2727

m11=1.9481m21= 0.0270m31= -1.9517

m12=2.0426m22= 0.0052m32= -2.0501

m13=2.0531m23= 0.0013m33= -2.0577

m14=2.0545m24= 0.0005m34= -2.0554

m15=2.0547m25= 0.0001 m35= -2.0549

m16=2.0548m26= 0.0000 m36= -2.0548

m17=2.0548m27= 0.0000 m37= -2.0548

m18=2.0548m28= 0.0000 m38= -2.0548C. Perhitungan Momen Akhir (design moment).Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 8 , dengan nilai-nilai sebagai berikut:m18 = 2,0548m28 = 0,0000m38 = -2,0548

m48 = -1,1986m58 = 0,0000m68 = 1,1986

Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut:Titik. 1M1A = k1A (2m1(8) + mA(8)) + = 1 (2 . 2,0548 + 0 ) + 0 = 4,1096 tm

M12 = k12 (2m1(8) + m2(8)) + = 0,75 (2 . 2,0548 + 0 ) + (-12,50) = -9,4178 tm

M16 = k16 (2m1(8) + m6(8)) + = 1 (2 . 2,0548 + 1,1986 ) + 0 = 5,3082 tm

(M= 0 tmTitik. 2M2B = k2B (2m2(8) + mB(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm

M21 = k21 (2m2(8) + m1(8)) + = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + 12,50 = 14,0411 tm

M23 = k23 (2m2(8) + m3(8)) + = 0,75 (2 . 0 + 2,0548) + (-12,50) =-14,0411 tm

M25 = k25 (2m2(8) + m5(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm

(M= 0 tmTitik. 3M3C = k3C (2m3(8) + mC(8)) + = 1 (2 .(-2,0548) + 0)) + 0 = -4,1096 tm

M32 = k32 (2m3(8) + m2(8)) + = 0,75 (2 .(-2,0548) + 0) + 12,50 = 9,4178 tm

M34 = k34 (2m3(8) + m4(8)) + = 1 (2 .(-2,0548) + (-1,1986)) + 0 =-5,3082 tm

(M= 0 tm

Titik. 4M43 = k43 (2m4(8) + m3(8)) + = 1 (2 .(-1,1986) + (-2,0548)) + 0 = -4,4520 tm

M45 = k45 (2m4(8) + m5(8)) + = 0,75 (2 .(-1,1986) + 0) + 6,25 = 4,4520 tm

(M= 0 tm

Titik. 5M52 = k52 (2m5(8) + m2(8)) + = 1,5 (2 .0 + 0 ) + 0 = 0 tm

M54 = k54 (2m5(8) + m4(8)) + = 0,75 (2 .0 + (-1,1986)) + (-6,250) = -7,1490 tm

M56 = k56 (2m5(8) + m6(8)) + = 0,75 (2 .0 + 1,1986) + 6,250 = 7,1490 tm

(M= 0 tmTitik. 6M61 = k61 (2m6(8) + m1(8)) + = 1 (2 . 1,1986 + 2,0548) + 0 = 4,4520 tm

M65 = k65 (2m6(8) + m5(8)) + = 0,75 (2 . 1,1986 + 0) + (-6,25) = -4,4520 tm

(M= 0 tm

Titik. A

MA1 = kA1 (2mA(8) + m1(8)) + = 1 (2 . 0 + 2,0548 ) + 0 = 2,0548 tm

Titik. B

MB2 = kB2 (2mB(8) + m2(8)) + = 1,5 (2 . 0 + 0 ) + 0 = 0 tm

Titik. CMC3 = kC3 (2mC(8) + m3(8)) + = 1 (2 . 0 + (-2,0548)) + 0 = -2,0548 tm

Gambar diagram freebody moment

Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya

Analisa sumbu simetri dari suatu struktur dan pembebanan yang simetris.

Suatu struktur dengan pembebanan yang simetris dapat dianalisa sebagian dari struktur tersebut berdasarkan sumbu simetrinya. Untuk analisa seperti ini, tergantung apakah sumbu simetri dari struktur tersebut tepat berada pada tumpuan / kolom tengah (bentangan genap) atau sumbu simetri berada pada bentangan tengah (bentangan ganjil).Untuk struktur dengan bentang genap, persamaan-persamaan yang ada pada halaman depan dapat digunakan sedangkan untuk struktur dengan bentangan ganjil, persamaan yang ada tersebut, haruslah dikoreksi terutama pada hal-hal yang berhubungan dengan bentangan tengah tersebut.Berikut ini diperlihatkan satu contoh struktur dengan bentangan ganjil, angka- angka kekakuan batang langsung pada masing-masing batang pada gambar di bawah ini. Untuk dapat memahami analisa seperti ini, coba perhatikan langkah-langkah penyelesaian yang akan diuraikan sebagai berikut :Contoh. 3 :

A. Menghitung Momen Parsiil.1. Angka Kekakuan (k) = diketahui (lihat gambar)2. Hitung Nilai ( tiap titik hubung.(1 = 2 (k1A + k12) = 2 (1 + 1,5) = 5

(2= 2(k21+k2B+k23) = 2(1,5 +1+1,5) = 8 (p2 = (2 k23 = 6,53. Hitung Nilai ( (Koefisien rotasi) batang. (1A = k1A/(1 = 1/5 = 0,200 (12 = kl2/(1 = 1,5/5 = 0,300 (21= k21/(2 = 1,5/6,5 = 0,231 (2B= k2B/(2 = 1/6,5 = 0,154 (23= k23/(2 = 1,5/6,5 = 0,2314. Hitung Momen Primer ()

= -1/12 . q . L2 = -1/12 . 3 . 42 = -4 tm ( = 4 tm

= -1/8 P. L = -1/8 . 4 . 3 = -1,5 tm ( =1,5 tm

5. Hitung Jumlah momen primer tiap titik hubung (( )(1 = + = -4 + 0 = -4 tm (2 = + + = 4 + 0+ (-1,5) = 2,5 tm6. Hitung Momen rotasi Awal ( m0)m10 = -((1 / (1) = - (-4 / 5) = 0,8000 tm

m20 = -((2 / (2) = - (2,5 / 6,50) = -0,3846 tm

B. Pemberesan Momen-momen ParsiilPemberesan momen parsiil dimulai dari titik 1 ke titik 2 dan kembali ke titik 1 kemudian ke titik 2 dan seterusnya, secara beraturan.Langkah 1m11 = m10 + (-(12 . m20) = 0,800 + (-0,3 .(-0,3846)) = 0,91538 m21 = m20 + (-(21 . m11) =-0,3846 + (-0,231 .0,91538) = -0,59605Langkah 2m12 = m10 + (-(12 . m21) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,59605)) = 0,97882

m22 = m20 + (-(21 . m12) =-0,3846 + (-0,231 . 0,97882)= -0,61071

Langkah 3m13 = m10 + (-(12 . m22) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) = 0,98321

m23 = m20 + (-(21 . m13) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98321)= -0,61172

Langkah 4m14 = m10 + (-(12 . m23) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61071)) = 0,98321

m24 = m20 + (-(21 . m14) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98351)= -0,61179

Langkah 5m15 = m10 + (-(12 . m24) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61179)) = 0,98354

m25 = m20 + (-(21 . m15) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354)= -0,61180

Langkah 6m16 = m10 + (-(12 . m25) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) = 0,98354

m26 = m20 + (-(21 . m16) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354)= -0,61180

Langkah 7m17 = m10 + (-(12 . m26) = 0,800 + (-0,3 .(- 0,61180)) = 0,98354

m27 = m20 + (-(21 . m17) =-0,3846 + (-0,231 . 0,98354)= -0,61180

C. Perhitungan Momen Akhir (design moment) Titik. 1

M1A = k1A (2m1(7) + mA(7) + = 1 (2 . 0,98354 + 0) + 0 = 1,96708tm M12 = k12(2m1(7)+ m2(7)+=1,5(2 .0,98354+(-0,61180)+(-4) = -1,96708 tm

(M = 0 tmTitik. 2

M21 = k21(2m2(7) + m1(7) + = 1,5 (2 .(0,6118)+ 098354) + 4 = 3,63991 tm

M2B = k2B (2m2(7) + mB(7) + = 1 (2 . (-0,6118) + 0) + 0 = -1,22360 tm

M23 = k23 (m2(7) + = 1,5 (-0,6118) + (-1,5) = -2,41770 tm

(M = -0,00139 tm

Pada titik 2 perlu koreksi momen sebagai berikut:

M21 = 3,63991 (1,5 / 4) . (-0,00139) = 3,64043M2B =-1,22360 (1 / 4) . (-0,00139) = -1,22325 (M= 0 tm

M23 =-2,41770 (1,5 / 4) . (-0,00139) = -2,41718

MA1 = kA1 (2mA(7) + m1(7) + = 1 (2 . 0 + 0,98354) + 0 = 0,98354tm

MB2 = kB2 (2mB(7) + m2(7) + = 1 (2 . 0 + (-0,61180)) + 0 = -0,61180 tm

Catatan:Harga-harga momen akhir ( design moment ) pada bagian kanan sumbu simetri hasilnya sama simetris dengan sebelah kiri sumbu simetri ( sama besar tetapi mempunyai arah yang berlawanan).Perhatikan diagram free body pada halaman berikut ini:Gambar diagram freebody moment

Catatan : Nilai Momen disesuaikan dengan arahnya

2.3 PORTAL DENGAN TITIK HUBUNG YANG BERGERAKYang dimaksud dengan portal dengan titik hubung yang bergerak adalah portal dimana pada masing-masing titik hubungnya terjadi perputaran sudut dan pergeseran (pergoyangan). Umumnya suatu konstruksi portal bertingkat mempunyai pergoyangan dalam arah horizontal saja. Beban-beban horizontal yang bekerja pada konstruksi, dianggap bekerja pada regel-regel (pertemuan balok dengan kolom tepi) yang ada pada konstruksi tersebut. Untuk menganalisa konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak, persamaan-persamaan 2.1 sampai dengan persamaan 2.4 pada halaman depan tetap digunakan. Disamping persamaan-persamaan tersebut, persamaan-persamaan yang berhubungan dengan pengaruh pergoyangan berikut ini juga akan sangat membantu dalam penyelesaian dari struktur portal bergoyang tersebut.Momen Displacement ().Besarnya nilai dipengaruhi oleh jumlah tingkat yang ada pada struktur portal. Coba perhatikan portal (gambar.2.4), dengan freebody tingkat atas dan bawah pada gambar 2.4a dan 2.4b berikut ini :Gambar. 2.4

Dari freebody pada gbr 2.4a dan 2.4b, diperoleh persamaan sebagai berikut : Freebody 4-5-6 ( (H=0 ( W1 = H4+ H5+ H6 ----- Pers. 2.11Freebody 1-6 ((M6 = 0 ( + h1 . H6 = 0 ----- Pers. 2.12

Freebody 2-5 ((M5 = 0 ( + h1 . H5 = 0 ----- Pers. 2.13

Freebody 3-4 ((M4 = 0 ( + h1 . H4 = 0 ----- Pers. 2.14

Dari persamaan 2.11 s/d 2.14, diperoleh :

+++ h1 . (W1) = 0 ----- Pers. 2.15

Bila dimasukkan harga-harga pada persamaan 2.4, maka : M61 = k16 (2m6 + m1 + )M16 = k16 (2m1 + m6 + )

= 3 k16 { m1 + m6 } + 2 k16. -------- Persamaan 2.16a

= 3 k25 { m2 + m5 } + 2 k25. -------- Persamaan 2.16b

= 3 k34 { m3 + m4 } + 2 k34. -------- Persamaan 2.16c

Catatan : = m16 = m25 = m34Dari persamaan 2.16a, 2.16b, 2.16c, maka persamaan 2.15 dapat dituliskan menjadi: 2 = -h1 (W1) + ---- Pers. 2.17Jika :

= t162 = TI dan = t25 ------- Pers. 2.18

= t34Maka Persamaan 2.17 dapat dituliskan menjadi:

= - ------- Persamaan 2.19Persamaan 2. 19 disebut persamaan momen displacement pada tingkat atas. Langkah perhitungan untuk momen displacement dilakukan pertama-tama dengan anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi perputaran sudut (m4 = m5 = m6 = 0) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 2.19 ) menjadi :

= - -------- Persamaan 2.20Dengan cara yang sama ( lihat gambar 2.4c ), maka persamaan momen displacement untuk tingkat bawah akan diperoleh :2 = -h2 (W1 +W2)+----- Pers. 2.21

Jika :

= t1A

2 = TII dan = t2B -------- Pers. 2.22

= t3CMaka Persamaan 2.17 dapat dituliskan menjadi:

= - ------ Persamaan 2.23

Persamaan 2. 23 tersebut di atas disebut persamaan momen displacement pada tingkat bawah. Langkah perhitungan untuk momen displacement ini dilakukan pertama-tama dengan anggapan bahwa pada titik-titik kumpul belum terjadi perputaran sudut (m1= m2 = m3 = 0) dan pada titik A, B, C dengan mA, mB dan mC sama dengan 0 ( nol ) sehingga persamaan tersebut ( persamaan 2. 23 ) menjadi:

= -

-------- Persamaan 2.24Berikut ini diperlihatkan contoh penerapan persamaan-persamaan dari takabeya serta analisa / penyelesaian contoh soal yang ada. Contoh. 4 :Suatu portal dengan struktur dan pembebanan seperti gambar di samping, dengan masing-masing nilai / angka-angka kekakuan batang (k) langsung diberikan (setelah faktor kekakuan Kab dibagi dengan konstanta K )k1A= k16 = k30 = k34 = 1k12 = k23 = k65 = k54 = 0,75

k2B = k25 = 1,5

Hitunglah momen momen ujung batang dengan metoda takabeya.Penyelesaian:A. Menghitung momen-momen parsiil.1. Angka kekakuan batang (diketahui pada gambar struktur)2. Nilai (, (, M primer, ( dan momen rotasi awal (m0)( perhitungan dapat anda lihat pada contoh. 2 halaman II-10.(1 = 5,5 (3 = 5,5 (5 = 6(2 = 9 (4 = 3,5 (6 = 3,5(1A = 0,1818 (2B = 0,1667 (23 = 0,0833 (3C = 0,1818(12 = 0,1364 (21 = 0,0833 (25 = 0,1667 (32 = 0,1364

(16 = 0,1818

(34 = 0,1818

= -12,5 tm = -12,5 tm = -6,25 tm = -6,25 tm

= 12,5 tm = 12,5 tm = 6,25 tm = 6,25 tm

(1 = -12,5(3 = 12,5(5 = 0

(2 = 0(4 = 6,25(6 = -6,25

m10 = 2,2727m30 = -2,2727 m50 = 0m20 = 0m40 = -1,7857 m60 = 1,7857

B. Momen Displacement.

Tingkat atas ( TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7

t16 = 3 k16 / TI = 3.1/7 = 0,4286 t25 = 3 k25 / TI = 3.1,5/7 = 0,6429

t34 = 3 k34 / TI = 3.1/7 = 0,4286

= -(W1 . h1) / TI = -(1,2 . 4) / 7 = -0,6857

Tingkat atas ( TI = 2 (k16 + k25 + k34) = 2 (1+1,5 + 1) = 7

t1A = 3 k1A / TII = 3.1/7 = 0,4286 t2B = 3 k2B / TII = 3.1,5/7 = 0,6429

t3C = 3 k3C / TII = 3.1/7 = 0,4286

= -{h2 (W1 + W2)} / TII = -{4 (1,2 + 2)} / 7 = -1,8286

C. Pemberesan momen parsiil, Momen displacement

Perbesaran momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4), (5), (6)dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1. m11 = + m10

= 2,27270

= + (-(1A) ()(-0,1818) (-1,8286)= 0,33244

= + (-(12) ()(-0,1364) (0) = 0

= + (-(16) (+)(-0,1818) {1,7857 +(-0,6857)}= -0,19998

m11= 2,40516m21 = + m20

= 0

= + (-(21) ()(-0,0833) (2,40516)= -0,20035

= + (-(2B) ()(-0,1667) (-1,8286)= 0,30482

= + (-(23) (

(-0,0833) (-2,2727) = 0,18932

= + (-(25) (+)(-0,1667) {0 +(-0,6857)}= -0,11431

m21= 0,40810

m31 = + m30

= 2,27270

= + (-(32) ()(-0,1364) (0,40810)= -0,05566

= + (-(3C) ()(-0,1818) (-1,8286)= 0,33244

= + (-(34) (+)(-0,1818) {(-1,7857) +(-0,6857)} = 0,44930

m31= -1,54662

m41 = + m40

= -1,78570

= + (-(43) (+)(-0,2857) {(-1,54662) +(-0,6857)} = 0,63777

= + (-(45) ()(-0,2143) (0)= 0

m41= -1,14792m51 = + m50

= 0

= + (-(54) ()(-0,1250) (-1,14792)= -0,14349

= + (-(52) (+)(-0,2500) {(0,40810) + (-0,6857)}= 0,06940

= + (-(56) ()(-0,1250) (1,7857) = -0,22321

m51= -0,01032m61 = + m60

= 1,78570

= + (-(65) ()(-0,2143) (-0,01032)= 0,00221

= + (-(61) (+)(-0,2857) {(2,40516) + (-0,6857)}= -0,49125

m61= 1,29666Untuk pemberesan momen displacement langkah 1, sebaiknya digunakan nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil langkah 1. Seperti yang dilakukan sebagai berikut :Tingkat atas : Langkah. 1

= + = -0,68570

+(-t16) (+) = (-0,4286)(2,40516 +1,29666) = -1,58660

+(-t25) (+) = (-0,6429)(0,40810 - 0,01032) = -0,25573 +(-t34) (+) = (-0,4286) -1,54662 - 1,14792) = 1,15488

= -1,37315Tingkat bawah : Langkah. I

= +

= -0,82860 + (-t1A) () = (-0,4286) (2,40516) = -1,03085 + (-t2B) () = (-0,6429) (0,40810) = -0,26237 + (-t3C) () = (-0,4286) (-1,54662) = 0,66288

= -2,45894Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-l selesai, maka dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3, 4, 5 dan titik 6 kemudian pemberesan momen displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya sampai dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema perhitungan pada halaman berikut ini.Catatan :Sebenarnya, pemberesan rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen tingkat, tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi apabila sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat dihentikan. Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu titik kumpul, kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batang-batang bersangkutan.Perhitungan secara skematis dilakukan sesuai dengan rumusan yang telah dijelaskan/ diuraikan sebelumnya, seperti berikut ini:

= -0.68570m60= 1.78570m50 = 0.00000 m40= -1.78570

= -1.37315m61= 1.29666m51 =-0.01032 m41= -1.14792

= -1.84463m62= 1.37711m52 = 0.16704 m42= -0.97924

= -2.09335m63= 1.46663m53 = 0.24751 m43= -0.90842

= -2.21999m64= 1.51782m54 = 0.28398 m44= -0.86901

= -2.28394m65= 1.54446m55 = 0.30162 m45= -0.84774

= -2.31610m66= 1.55802m56 = 0.31036 m46= -0.83674

= -2.33225m67= 1.56488m57 = 0.31472 m47= -0.83115

= -2.34034m68= 1.56832m58 = 0.31689 m48= -0.82834

= -2.34439m69= 1.57005m59 = 0.31799 m49= -0.82692

= -2.34642m610= 1.57092m510 = 0.31853 m410= -0.82621

= -2.34744m611= 1.57136m511 = 0.31880 m411= -0.82586

= -2.34795m612= 1.57157m512 = 0.31894 m412= -0.82568

= -2.34821m613= 1.57168m513 = 0.31901 m413= -0.82559

= -2.34833m614= 1.57174m514 = 0.31904 m414= -0.82555

= -2.34840m615= 1.57176m515 = 0.31906 m415= -0.82553

= -2.34843m616= 1.57178m516 = 0.31907 m416= -0.82551

= -2.34845m617= 1.57179m517 = 0.31907 m417= -0.82551

= -2.34845m618= 1.57179m518 = 0.31908 m418= -0.82551

= -2.34846m619= 1.57179m519 = 0.31908 m419= -0.82550

= -2.34846m620= 1.57179m520 = 0.31908 m420= -0.82550

= -1.82860m10= 2.27270m20 = 0.00000 m30= -2.27270

= -2.45894m11= 2.40516m21 = 0.40810 m31= -1.54662

= -2.70961m12= 2.67797m22 = 0.54629 m32= -1.44185

= -2.83788m13= 2.77579m23 = 0.62023 m33= -1.35131

= -2.90224m14= 2.81797m24 = 0.65860 m34= -1.30089

= -2.93432m15= 2.83815m25 = 0.67848 m35= -1.27604

= -2.95033m16= 2.84805m26 = 0.68865 m36= -1.26383

= -2.95834m17= 2.85296m27 = 0.69380 m37= -1.25778

= -2.96235m18= 2.85540m28 = 0.69640 m38= -1.25476

= -2.96435m19= 2.85662m29 = 0.67770 m39= -1.25325

= -2.96536m110= 2.85723m210 = 0.69835 m310= -1.25249

= -2.96586m111= 2.85753m211 = 0.69867 m311= -1.25211

= -2.96611m112= 2.85769m212 = 0.69884 m312= -1.25192

= -2.96624m113= 2.85776m213 = 0.69892 m313= -1.25183

= -2.96630m114= 2.85780m214 = 0.69896 m314= -1.25178

= -2.99634m115= 2.85782m215 = 0.69898 m315= -1.25176

= -2.96635m116= 2.85783m216 = 0.69899 m316= -1.25174

= -2.96636m117= 2.85784m217 = 0.69900 m317= -1.25174

= -2.96636m118= 2.85784m218 = 0.69900 m318= -1.25173

= -2.96637m119= 2.85784m219 = 0.69900 m319= -1.25173

= -2.96637m120= 2.85784m220= 0.69900 m320= -1.25173D. Perhitungan Momen Akhir (design moment).Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 20, dengan nilai-nilai sebagai berikut:m120 = 2,85784 m220 = 0,69900 m320 = -1,25173

= -2,34846 m420 = -0,82550 m520 = 0,31908 m620 = 1,57179

= -2,96637Untuk perhitungan besarnya momen-momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 2. 4 pada halaman depan)Titik. 1M1A = k1A (2m1(20) + ) + = 1 {(2 . 2,85784 + (-2,96637)} + 0 = 2,74931 tm

M12 = k12 (2m1(20) + m2(20)) + = 0,75 (2 . 2,85784 +0,699) + (12,50) = -7,68899 tm

M16 = k16 (2m1(20) + m6(20)) + + = 1 {(2 .+ 2,85784 + 1,57179+(-2,348646)}0 = 4,93901 tm

(M= 0,00067 tm

Titik. 2M21 = k21 (2m2(20) + ) + = 0,75 {2 . 0,699+2,85784}+ 12,50 = 15,69188 tm

M2B = k2B (2m2(20) + ) + = 1,5 {2 . 0,699+(-2,96637)} + 0 = -2,35256 tm

M23 = k23 (2m2(20) + m3(20)) + = 0,75 {2 . 0,699+(-1,25173)}+(-12,50) = -12,39030 tm

M25 = k25 (2m2(20) + m5(20)) +)+ = 1,5 {2 . 0,699+0,31908+(-2,34846)}+0 = -0,94707 tm

(M = 0,00195 tm

Titik. 3M3C = k3C (2m3(20) + ) + = 1 {2(-1,25173)+(- 2,96637)} + 0 = -5,46983 tm

M32 = k32 (2m3(20)+m2(20) + = 0,75 {2 (-1,25173)+0,699} + 12,50 = 11,14666 tm

M34 = k34 (2m3(20) + m4(20) +)+

= 1{2(-1,25173)+(-0,82550)+(-2,34846)}+0 = -5,67742 tm

(M = -0,00059 tmTitik. 4M43 = k43 (2m4(20) + m3(20) + )+

= 1 {2(-0,8255)+(- 1,25173) +(-2,34846)}+0 = -5,25119 tm

M45 = k45 (2m4(20)+m5(20) + = 0,75 {2 (-0,8255)+0,31908} + 6,25 = 5,25106 tm

(M = -0,00013 tm

Titik. 5M52 = k52(2m5(20) + m2(20) + )+

= 1,5{2.0,31908+0,699+(-2,34846)}+ 0 = -1,51695 tm

M54 = k54 (2m5(20)+m4(20) + = 0,75 {2 .0,31908)+(-0,8255)}+(-6,25) = -6,39051 tm

M56 = k56 (2m5(20)+m6(20) + = 0,75 {2 .0,31908)+1,57179) + 6,25 = 7,90746 tm

(M = 0,00000 tm

Titik. 6M61 = k61(2m6(20) + m1(20) + )+

= 1{2.1,57179+2,85784+(-2,34846)}+ 0 = 3,65296 tm

M65 = k65 (2m6(20)+m5(20) + = 0,75 {2 .1,57179 +0,31908)+(-6,25) = -3,65300 tm

(M = -0,00004 tm

Dengan (M yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen-momen ujung tersebut di atas tidak perlu dikoreksi =======( (M ( 0

Titik. A

MA1 = kA1 (2mA(20) + m1(20) + += 1 {2.0 + 2,85784+(-2,96637)}+0 = -0,10853 tmTitik. B

MB2 = kB2 (2mB(20) + m2(20) + += 1,5 (2.0 + 0,699 +(-2,96637)}+0 = -3,40106 tm

Titik. C

MC3 = kC3 (2mC(20) +m3(20) ++= 1{2.0 +(-1,25173)+(-2,96637)}+0 = -4,21810 tm

Gambar diagram freebody moment

Kontrol (H = 0-1/h2 - (W1 + W2) = 0 -1/4 - (1,2 + 2) = 0

-0,25 { 2,64078 + (-5,75362 + (-9,68793)} - (3,2) = 0

0,00019 ( 0 Ok

Konstruksi dengan sokongan sendi.Untuk konstruksi dengan sokongan sendi pada salah satu titik perletakannya, maka batang-batang yang berkumpul atau bertemu pada salah satu titik kumpul yang berhubungan dengan perletakan sendi tersebut, maka nilai p digunakan adalah ( dimana :( = ( - 1/2 k batang yang ujungnya sendi.Dan ( batang yang ujungnya sendi = k batang yang ujungnya sendi / (Disamping itu, untuk batang yang ujungnya berupa sendi, dimana ada momen primer, maka pada perletakan sendi tersebut dianggap sebagai perletakan jepit dan momen-momen primernya disebut

Sebagai contoh:

Sehingga

= -1/12 . q . L2 = 1/12 . q . L2

= -

dan ( yang digunakan adalah (, dimana (1 = + + +

sehingga Momen rotasi awal m(0) = -(1/(1dan design moment adalah M1A = k1A (3/2 m1(X)) + untuk balok 1A dan sendi di titik A serta M1A= k1A(3/2m1(X)+ + ) +utk kolom1A sendi di titik A. jika diperlukan koreksi momen akibat adanya (M, makaM1A=M1A(X)-(3/4 k1A / (1)(M dititik 1 : faktor sendi.Sebagai contoh analisa, pada halaman berikut ini diberikan suatu contoh struktur portal dengan sokongan sendi dengan penyelesaiannya.Contoh. 5diketahui :

W1 = W2 = 1,2 t

kA1 = k14 = kB2 = k23 = 1

k12 = k34 = 0,75

h1 = h2 = 4 m

L = 5 m

Penyelesaian:A. Menghitung momen-momen parsiil.1. Angka kekakuan batang ( diketahui )2. Nilai (, (, M primer, ( dan momen rotasi awal (m0)(1 = 2(k1A + k12 + k14) = 5,5

(2 = 2(k21+k2B+k23) = 5,5( (2 = (2 k2B = 5,5 .1 = 5(3 = 2(k23 + k34) = 3,5

(4 = 2(k43 + k41) = 3,5

(1A = k1A/(1 = 1/5,5 = 0,1818 (2B= k2B/(2= .1/5=0,1

(12 = k12/(1 = 0,75/5,5 = 0,1364 (21=k21/(2= 0,75/5 = 0,15(14 = k14/(1 = 1/5,5 = 0,1818 (23 = k23/(2 = 1/5 = 0,2

(32 = k32/(3 = 1/3,5 = 0,2857 (43=k43/(4 0,751/3,5=0,2143

(12 = k12/(1 = 0,75/5,5 = 0,1364 (41= k41/(4 = 1/3,5 = 0,2857

= -1/12 q L2 = -1/12 . 6 . 52 = -12,5 tm

= 12,5 tm

= -1/12 q L2 = -1/12 . 3 . 52 = -6,25 tm

= 6,25 tm

(1 = + += -12,5 tm (2 = + += 12,5 tm

(3 = + = 6,25 tm (4 = + = -6,25 tm

m10 = - ((1/(1) = -(-12,5 / 5,5) = 2,2727

m20 = - ((2/(2) = -(12,5 / 5) = -2,5000

m30 = - ((3/(3) = -(6,25 / 3,5) = -1,7857m40 = - ((4/(4) = -(-6,25 / 3,5) = 1,7857

B. Momen Displacement.Tingkat atas ( TI = 2 (k14 + k23) = 2 (1+1) = 4

t14 = 3 k14 / TI = 3 . 1/4 = 0,75

= -(W1.h1) / TI

t23 = 3 k23 / TI = 3 . 1/4 = 0,75

= -(1,2 . 4) / 4

= -1,2

Tingkat bawah TII = 2 (k1A + k2B) = 2 (1 + 1) = 4

( TII = TII 3/2 . k2B = 4 3/2 . 1 = 2,5

t'1A = 3 k1A / TII = 3.1 / 2,5 = 1,2

= -{h2 (W1+W2)} / TII

t'2B = 3/2 k2B / TII = 3/2 . 1 / 2,5 = 0,6= -{4 (1,2 + 1,2)} / 2,5

= -3,84

C. Pemberesan momen parsiil Momen displacement Pemberesan momen parsiil langkah 1 dimulai dari titik (1) ke titik (2), (3), (4) dan dilanjutkan dengan pemberesan momen displacement langkah 1. Berikut ini pemberesan momen parsiil langkah 1.

m11 = + m10

= 2,2727

= + (-(1A) (mII0) (-0,1818) (-3,84) = 0,6981

= + (-(12) (m20) (-0,1364) (-2,5) = 0,3410

= + (-(14) (m40 +mI0) (-0,1818) {1,7857 + (-1,2)} = -0,1065

m11 = 3,2053

m21 = + m20

= -2,5000

= + (-(21) (m11) (-0,15) (3,2053) = -0,4808

= + (-(2B) (mII0) (-0,10) (-3,84) = 0,3840

= + (-(23) (m30 +mI0) (-0,20) (-1,7857 + (-1,2))= 0,5971

m21 = -1,9997m31 = + m30

= -1,7857

= + (-(32) (m21 + mI0) (-0,2857) (-1,9997 + (-1,2)) = 0,9142

= + (-(34) (m40) (-0,2143) (1,7857) = -0,3827

m31 = -1,2542

m31 = + m40

= 1,7857

= + (-(43) (m31) (-0,2143) (-1,2542) = 0,2688

= + (-(41) (m11) + (mI0) (-0,2857) (3,2053 + (-1,2)) = -0,5729

m41 = 1,4816Setelah pemberesan momen parsiil langkah 1 selesai, selanjutnya pemberesan momen displacement langkah 1 dilaksanakan. Sebaiknya digunakan nilai-nilai dari hasil pemberesan momen parsiil pada langkah 1.Untuk tingkat atas: Langkah. 1

= +

= -1,2

+ (-t14) (m11 + m41) (-0,75) (3,2053 + 1,4816) = -3,5151

+ (-t23) (m21 + m31) (-0,75) (-1,9997 + (-1,2542)) = 2,4404

mI1 = -2,2747Untuk tingkat bawah: Langkah. 1

= +

= -3,84

+ (-t1A) (m11) (-1,2) (3,2053) = -3,8464

+ (-t2B) (m21) (-0,6) (-1,9997) = 1,1998

mI1 = -6,4866

Setelah pemberesan momen displacement pada langkah ke-1 selesai, maka dilanjutkan kembali dengan rotasi momen parsiil pada langkah ke-2. Seperti pada langkah-1 yang dimulai dari titik 1 ke titik 2, 3 dan 4 kemudian pemberesan momen displacement kembali dilakukan untuk langkah ke-2 . Demikian seterusnya sampai dicapai hasil yang konvergen, seperti yang diperlihatkan pada skema perhitungan pada halaman berikut ini.Catalan:Sebenarnya, rotasi momen parsiil dan rotasi momen displacemen tingkat tidak perlu dilakukan sampai hasil yang betul-betul konvergen, akan tetapi apabila sudah mendekati tingkat konvergensi, maka rotasi momen sudah dapat dihentikan. Adapun mengenai tidak tercapainya keseimbangan momen pada suatu titik kumpul, kita akan lakukan koreksi momen dan mendistribusikannya ke batang-batang bersangkutan sebanding dengan kekakuannya.

= -1.2000m40= 1.7857m30 = -1.7857

= -2.2747m41= 1.4816m31 = -1.2542

= -3.2391m42= 1.5360m32 = -0.9602

= -3.8709m43= 1.6798m33 = -0.7491

= -4.2381m44= 1.7921m34 = -0.6306

= -4.4417m45= 1.8619m35 = -0.5678

= -4.5522m46= 1.9017m36 = -0.5346

= -4.6116m47= 1.9237m37 = -0.5170

= -4.6434m48= 1.9356m38 = -0.5077

= -4.6603m49= 1.9420m39 = -0.5028

= -4.6692m410= 1.9454m310 = -0.5002

= -4.6740m411= 1.9472m311 = -0.4988

= -4.6765m412= 1.9482m312 = -0.4981

= -4.6779m413= 1.9487m313 = -0.4977

= -4.6786m414= 1.9490m314 = -0.4975

= -4.6790m415= 1.9491m315 = -0.4973

= -4.6792m416= 1.9492m316 = -0.4973

= -4.6793m417= 1.9492m317= -0.4973

= -4.6793m418= 1.9493m318 = -0.4972

= -4.6794m419= 1.9493m319 = -0.4972

= -4.6794m420= 1.9493m320 = -0.4972

= -4.6794m421= 1.9493m321 = -0.4972

= -3.8400m10= 2.2727m20 = -2.5000

= -6.4866m11= 3.2053m21 = -1.9997

= -7.4472m12= 3.8689m22 = -1.7259

= -7.9213m13= 4.1716m23 = -1.5412

= -8.1664m14= 4.3213m24 = -1.4321

= -8.2953m15= 4.3973m25 = -1.3692

= -8.3634m16= 4.4366m26 = -1.3341

= -8.3995m17= 4.4570m27 = -1.3148

= -8.4186m18= 4.4677m28 = -1.3045

= -8.4287m19= 4.4734m29 = -1.2989

= -8.4341m110= 4.4764m210 = -1.2960

= -8.4369m111= 4.4780m211 = -1.2944

= -8.4384m112= 4.4788m212 = -1.2936

= -8.4392m113= 4.4793m213 = -1.2931

= -8.4397m114= 4.4795m214= -1.2929

= -8.4399m115= 4.4796m215 = -1.2928

= -8.4400m116= 4.4797m216 = -1.2927

= -8.4401m117= 4.4797m217 = -1.2927

= -8.4401m118= 4.4797m218 = -1.2926

= -8.4401m119= 4.4798m219 = -1.2926

= -8.4401m120= 4.4798m220 = -1.2926

= -8.4401m121= 4.4798m221 = -1.2926D. Perhitungan Momen Akhir (design moment).Dari hasil perhitungan pemberesan momen parsiil dan momen displacement secara skematis pada halaman depan, dicapai hasil konvergensi pada langkah ke - 20 , dengan nilai-nilai sebagai berikut:m120 = 4,4798m220 = -1,2926 mI20 = -4,6794

m320 = -0,4972m420 = 1,9493 mII20 = -8,4401

Untuk perhitungan besarnya momen momen akhir dari struktur, selanjutnya dilakukan sebagai berikut: ( Lihat Persamaan 2. 4 pada halaman depan )Titik. 1M1A= k1A (2m1(20)) += 1{2.4,4798+(-8,4401)} = 0,5195 tm

M12 = k12 (2m1(20)) + ) +

= 0,75 {2. 4,4798+(-l,2926)}+(-12,50) = -6,7498 tm

M14 = k14 (2m1(20)) + ) +

= 1{2. 4,4798+l,9493+(-4,6794)} = 6,2295 tm

(M = -0,0008 tm

Titik. 2M2B= k2B (3/2m2(20)) + = 1 {3/2(-1,2926) + (1/2.-8,4401)} = -6,1590 tm

M21= k21 (2m2(20)) + ) +

= 0,75 {2.(-1,2926) + 4,4798} + 12,50 = -6,7498 tm

M23 = k23 (2m2(20)) + ) +

= 1{2.(-1,2926) +(-0,4972)+(-4,6794)} = -7,7618 tm

(M = 0,0002 tm

Titik. 3M32 = k3 (2m3(20)) + m2(20) +

= 1 (2.-0,4972 + -1,2926 + -4,6794 = -6,9664 tm

M3 4= k3 (2m2(20)) + ) +

= 0,75 {2.-0,4972 + 1,9493) + 6,25 = 6,9662 tm

(M = -0,0002 tm

Titik. 4M41 = k41 (2m4(20)) + m1(20) +

= 1 (2.1,9493 + 4,4798 + -4,6794 = 3,6990 tm

M43 = k43 (2m4(20)) + ) +

= 0,75 {2. 1,9493 + -0,4972) + -6,25 = -3,6990 tm

(M = 0,0000 tmDengan AM yang relatif kecil sekali, maka pada dasarnya momen momen ujung tersebut di atas tidak perlu dikoreksi =======((M ( 0Titik AMA1 = kA1 (m1(20)+) = 1{4,4798+(-8,4401)}= -3,9604 tm

MB2 = 0 ( perletakan sendi)Kontrol ( H = 0

-1/h2 - (-W1 + W2) = 0

-1/4 - (1,2 + 1,2) = 0

-0,25{(-3,4409+(-6,1590}- (2,4) = 0 0,00019 ( 0 Ok

Gambar diagram freebody

2.4 RANGKUMANDari pembahasan rumusan - rumusan dasar berikut contoh - contoh soal dan penyelesaiannya, baik untuk konstruksi portal dengan titik hubung yang tetap maupun konstruksi portal dengan titik hubung yang bergerak ( pergoyangan ), dapat diambil suatu kesimpulan mengenai langkah-langkah perhitungan penyelesaian suatu portal sebagai berikut:2.4.1 Portal dengan titik hubung yang tetapLangkah-langkah perhitungan / penyelesaian A.Menentukan Momen Parsiil.1. Menghitung angka kekakuan batang ( k).2. Menghitung nilai p masing - masing titik hubung.3. Menghitung nilai koefisien untuk rotasi momen parsiil (() masing - masing batang.4. Menghitung momen-momen primer ( ) masing - masing batang.5. Menghitung jumlah momen primer ( ( ) pada masing - masing titik hubung.6. Menghitung momen rotasi awal ( m0 ) pada masing - masing titik hubung.B.Pemberesan Momen Parsiil.Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen.C.Menghitung Momen Akhir (Design Moment).2. 4. 2 Portal dengan titik hubung yang bergerak (pergoyangan)Langkah-langkah perhitungan / penyelesaian A. Menentukan Momen parsiil.1. Menghitung angka kekakuan batang (k).2. Menghitung nilai p masing - masing titik hubung.3. Menghitung nilai koefisien untuk rotasi momen parsiil ( ( ) masing - masing batang.4. Menghitung momen-momen primer ( ) masing - masing batang.5. Menghitung jumlah momen primer ( ( ) pada masing - masing titik hubung.6. Menghitung momen rotasi awal (m0) pada masing - masing titik hubung.B. Menghitung Momen Displacement ( ..).1. Menghitung kekakuan tingkat (T...).2. Menghitung koefisien rotasi tingkat (t...) pada masing - masing kolom.3. Menghitung Momen Displacement awal tingkat (...0).C. Pemberesan Momen Parsiil dan Momen Displacement.Pemberesan momen parsiil dilakukan secara berurutan pada setiap langkah demi langkah pemberesan dan dihentikan setelah mencapai hasil yang konvergen. Pemberesan momen displacement dilakukan setiap selesai satu langkah pemberesan momen parsiil.D. Menghitung Momen Akhir (Design Moment).E. Kontrol gaya - gaya horizontal ======((H = 0

2.5 SOAL-SOAL LATIHANSoal - soal berikut ini ( lihat gambar ), dapat anda kerjakan di rumah sebagai latihan. Besarnya nilai dari ukuran yang ada, beban terpusat P dan W maupun beban terbagi rata q dapat ditentukan sendiri.

BAB. Ill PERSAMAAN TIGA MOMEN3.1 PENDAHULUAN.Persamaan tiga momen ditemukan oleh Clapeyron pada tahun 1857. Persamaan ini menyatakan hubungan antara momen lentur pada tiga perletakan yang berurutan dari suatu konstruksi balok menerus yang menerima beban luar tertentu pada masing-masing bentangnya, dengan atau tanpa terjadinya sattlement yang tidak merata pada masing-masing tumpuan atau perletakan.Persamaan tiga momen ini dapat berlaku untuk semua kemungkinan-kemungkinan pada struktur seperti : momen lembam dari suatu struktur yang tidak merata (berbeda-beda) pada masing-masing bentang, beban luar yang berbeda-beda serta ukuran panjang dari bentangan yang bervariasi.3.2 KONDISI UJUNG SENDIPenurunan Rumus.Persamaan tiga momen dari suatu struktur balok menerus dapat diturunkan dengan dasar asumsi bahwa pada masing-masing bentang dari suatu struktur balok menerus dianggap struktur balok sederhana yang terletak di atas dua tumpuan atau perletakan sendi, sehingga besarnya momen pada bentang tersebut dapat ditentukan dan besarnya luasan momen yang terjadi pada masing-masing bentang dapat diketahui.

Gambar, 3. la

Gambar. 3. 1bGambar. 3. 1cGambar 3.1 pada halaman depan memperlihatkan saiah satu contoh struktur balok menerus dengan beban terbagi rata q , terletak di atas tiga tumpuan sendi. Gambar bidang momen Al dan A2 pada masing-masing bentang dengan asumsi tiap bentang terletak di alas dua tumpuan sendi dengan jarak luasan bidang momen ke titik peninjauan (tumpuan tepi) sebesar al dan a2 diperlihatkan pada gambar 3.1b. Gambar 3.1c memperlihatkan terjadinya suatu sattlement yang tidak merata dari struktur balok menerus ABC sehingga tumpuan / perletakan A dan C terletak lebih tinggi di atas tumpuan / perletakan B.Jika Ma, Mb dan MC masing-masing merupakan momen yang terjadi pada tumpuan A, B dan C, maka dapat diturunkan dari suatu kondisi bahwa balok menerus tersebut adalah menerus di tumpuan / titik B. Atau garis singgung di titik B pada garis elastika BA terletak segaris lurus dengan garis singgung garis singgung di titik B pada garis elastika BC (gambar. 3.1c). Berdasarkan kondisi kontinuitas tersebut, diperoleh persamaan bahwa :

= .. Persamaan 3.1 Dimana:A A: hA - A A

: hA - Defleksi di titik A dari garis singgung di titik B: hA - (1/EI1)[A1.a1 + MA.Ll (l/3L1) + MB. L1 (2/3L1)] ..... Persamaan 3.2 danC C: C C hC

: Defleksi di titik C dari garis singgung di titik B hC: (1/EI2) [ A2.a2 + MC.L2 (1/3 L2) + Mb. L2 (2/3 L2) ] - hC ..... Persamaan 3.3subtitusi persamaan 3.2 dan 3.3 ke dalam persamaan 3.1 sehingga diperoleh :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

. Persamaan 3.4

Jika ke-dua ruas dikalikan dengan 6E, maka :

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 Sehingga persamaan tiga momen akan menjadi:

Jika struktur tersebut hanya menerima beban luar saja dan tanpa mengalami sattlement pada salah satu perletakannya, maka persamaan tiga momen akan menjadi :

Dimana :MA, Mb, MC :Momen pada masing-masing titik A, B dan C ( kg m )

L1, L2 : Panjang masing-masing dari bentang 1 dan 2 ( m )I1, I2 : Momen lembam dari masing-masing batang / bentang ( cm4, m4 )A1, A2 : Luas bidang momen masing-masing bentang ( kg m2 )A1, a2 :Jarak titik pusat luasan bidang momen ke perletakan / tumpuan ( m )

Persamaan tiga momen di alas akan menjadi lebih sederhana apabila sepanjang struktur mempunyai momen lembam I yang tetap (konstan).

Untuk suatu struktur balok menerus dengan pola pembebanan yang tidak umum dijumpai atau pola pembanan yang sedemikian hingga luas bidang momen (A) dan jarak titik pusat bidang momen (a) sangat sukar untuk ditentukan. Untuk hal tersebut, Persamaan tiga momen dari Clapeyron dapat dihitung dengan menggunakan rumus sebagai berikut :

Dimana:( dan ( merupakan bagian beban yang dapat ditentukan berdasarkan persamaan yang terdapat dalam tabel pada halaman lampiran.3.3 Kondisi Ujung Terjepit.Jika suatu balok menerus dimana perletakan bagian ujung dari balok tersebut merupakan perletakan jepit, maka momen lentur pada perletakan jepit tersebut merupakan suatu redundant, sehingga pada perletakan jepit tersebut diperlukan suatu bentang yang disebut bentang imajiner Ao A dengan panjang bentang Lo dan momen lembam bentang I0 = Kasus seperti ini diperlihatkan pada gambar. 3.2. sebagai berikut:

Gambar. 3.2a

Gambar. 3.2 b

Persamaan tiga momen pada kasus yang diperlihatkan pada gambar. 3.2a adalah sebagai berikut:

Untuk bentang A0 A dan A B :MA0+2MA+ME =--

.. Persamaan 3.9Perlu diingat bahwa nilai M0 = 0, L0/I0 = 0 dan A0 = 0 Sehingga persamaan tiga momen menjadi:2MA + MB = -

.. Persamaan 3.10Untuk bentang AB dan BC :

MA+2MB+MC =--

.. Persamaan 3.11

Nilai MC = 0Sehingga Persamaan 3. 11 menjadi:MA+2MB= --

.. Persamaan 3.12

Subtitusi persamaan 3.10 dengan persamaan 3.12, akan diperoleh besarnya nilai ma dan mbContoh. 1Gambar.3.3a pada halaman berikut ini, diperlihatkan suatu struktur balok sederhana statis tak tentu. Balok tersebut dibebani dengan beban q sebesar 6 t/m, bentang imajiner A0 A dan B B0 diperlihatkan pada gambar.3. 3b. dan besarnya momen lapangan dan luas bidang momen yang timbul dengan asumsi struktur tersebut merupakan struktur balok sederhana statis tertentu yang terletak di atas dua perletakan sendi ( A dan B ) diperlihatkan pada gambar.3.3c.Untuk analisa besarnya momen ujung yang timbul berdasarkan persamaan tiga momen dikerjakan sebagai berikut :

Gambar. 3. 3aGambar. 3. 3bGambar. 3. 3cMomen lapangan AB = 1/8 q L12 = 1/8 . 6 . 62 = 27,00 tm Luas bidang momen (A1) = 2/3 . L1 . M = 2/3 . 6 . 27 = 108 tm2 Jarak luas bidang momen ke titik tumpuan (a1) = L1 = 6 = 3 m Persamaan tiga momen untuk bentang A0 A dan A B adalah :MA0+2MA+MB =--

Disini MA0, L0 dan A0 = 0, dan I1 konstan sehingga:2MA . L1 + Mb . L1 = - 6A1.a1/L1

2MA . 6 + MB . 6 = - 6. 108. 3 / 62MA + Mb = - 54 ...................................... Pers. Bentang A0A dan AB Persamaan tiga momen untuk bentang AB dan BB0 adalah :MA+2MB+MB0 = - -

Disini MB0, L0 dan A0 = 0, dan I1 konstan sehingga :MA . L1 + 2Mb . L1 = - 6A1.a1/L1

MA . 6 + 2MB . 6 = - 6. 108. 3 / 6

MA + 2Mb = - 54 ...................................... Pers. Bentang AB dan BB0 Subtitusi kedua persamaan, akan menghasilkan :2MA + Mb = - 54 x 2 4MA + 2MB = - 108 MA + 2MB = - 54 MA + 2MB = - 54

3M = -54 ====( MA = -18 tm

dan ====( MB = -18 tmPersamaan tiga momen dari Clapeyron untuk soal di atas, dapat juga dihitung dengan menggunakan tabel pada lampiran 3a s/d 3c. Sebagai berikut:Persamaan tiga momen untuk bentang A0 A dan A B adalah :MA0.L0 + 2MA (L0+L1) + MB . L1 = - ( . L0 - ( . L1 ===( MA0 dan L0 = 0Sehingga:2MA . L1 + Mb . L1 = - ( . L1 =====( Tabel : ( = qL2 / 4 = 6 . 62 / 4 = 542MA . 6 + Mb . 6 = - 54 . 62MA + Mb = - 54 ................................ Pers. Bentang A0A dan ABPersamaan tiga momen untuk bentang AB dan BB0 adalah :MA.L1 + 2MB (L1+L0) + MB0 . L0 = - ( . L1 - ( . L0 ===( MB0 dan L0 = 0Sehingga :MA . L1 + 2MB . L1 = - ( . L1 =====( Tabel : ( = qL2 / 4 = 6 . 62 / 4 = 54MA . 6 + 2MB . 6 = - 54 . 6MA + 2MB = - 54

................................ Pers. Bentang AB dan BB0Subtitusi kedua persamaan di atas, akan menghasilkan : 2MA + Mb = - 54 x 2 4MA + 2MB = - 108

MA + 2MB = - 54 MA + 2MB = - 54

3M = -54 ====( MA = -18 tm

dan ====( MB = -18 tmContoh. 2Coba anda lihat kembali contoh soal 1 pada bagian Metode Cross, kita akan menentukan besarnya momen-momen ujung dari struktur - struktur tersebut dengan analisa persamaan tiga momen. Momen Lapangan Maksimum masing-masing bentang diperlihatkan pada gambar 3.4b dan 3 Ac dengan asumsi bahwa struktur terletak di atas dua tumpuan sendi.

Bentang ABM Lap1a. = 1/8 qL2 =1/8 .3 . 42 = 6 tmM Lap1b = P.a.b/L = 4.3 .1 / 4 = 3 tmBentang BCM.lap2 = 1/8 qL2 = 1/8 . 3 . 52 = 9,375 tmBentang CDM Lap3a. = 1/8 qL2 =1/8 .3 . 42 = 6 tmM Lap3b = P.a.b/L = 5.3 .1 / 4 = 3,75 tmLuas Bidang momen (A )A1a = 2/3.L1. M1a = 2/3 . 4 . 6 = 16 tm2 A1b = 1/2.L1. M1b = 1/2 . 4 . 3 = 6 tm2 A2 = 2/3.L1. M2 = 2/3 . 5 . 9,375 - 31,25 tm2 A3a = 2/3.L3. M3a = 2/3 . 4 . 6 = 16 tm2 A3b = l/2.L3. M3b =1/2.4. 3,75 = 7,5 tm2Jarak Luasan Bidang momen ke titik yang ditinjau (a) a1a = L1/2 = 4/2 = 2 m a2 = L2/2 = 5/2 = 2,5 m a1b = = 7/3 m a3a = L3/2 = 4 / 2 = 2 m

a3b = = 7/3 mPersamaan Tiga Momen :Bentang AB dan BCMA . L1 + 2MB (L1 + L2) + MC . L2 = - -

MA . 4 + 2MB (4+5) + Mc.5 = - -

4MA+18MB + 5MC = -69 - 93,75 = -162,75 =======( MA = 0 18 MB + 5 MC = -162,75 .................(Persamaan bentang AB dan BC)Bentang BC dan CDMB . L2+ 2MC (L2 + L3) + MD . L3 = - -

MB. 5 + 2MC (5+4)+MD.4 = - -

5MB+18MC + 4MD = - 93,75 74,25 = -168 =======( MD = 0 5MB + 18 MC = -168 .................(Persamaan bentang BC dan CD)Subtitusi kedua persamaan di atas : 18MB + 5 MC = - 162,75 18 324 MB + 90 MC = - 2929,5

5MB + 18 MC = -168 5 25MB + 90 MC = - 840,0

299 MB = -2089,5

====( MB = -6,9883 tm

dan nilai dari MC adalah====( MC = -7,3921 tmGambar diagram Free BodyDari gambar diagram freebody struktur tersebut di atas, kita dapat menghitung besarnya reaksi perletakan, gaya-gaya dalam serta gambar diagram bidang M, D, N.Besarnya reaksi perletakan, gaya-gaya dalam dan gambar diagram bidang M, D, N, dapat kita lihat pada contoh soal 1 bagian/Materi Metode Distribusi Momen ( Cara Cross ) pada halaman depan.

Perhitungan momen akhir dengan menggunakan tabel pada lampiran 3 a s/d 3C, untuk contoh soal 2 tersebut akan dilakukan sebagai berikut:Persamaan Bentang AB dan BCMA . L1 + 2MB ( L1 + L2) + MC . L2 = - ( . L1 - ( . L2Lihat Tabel : Lampiran 3a s/d 3c, maka:( = {qL12/4 } + {P1. a. b(a + L1/L12}( = {3 . 42 / 4 } + { 4 . 3 . 1 ( 3 + 4 )/42 }= 17,25 tm( = {q L22/ 4 } = 3 . 52 / 4 = 18,75 tmsehingga:MA . L1 + 2MB ( L1 + L2) + MC . L2 = - ( . L1 - ( . L2MA . 4 + 2MB ( 9 ) + MC . 5 = - 17,25 . 4 - 18,75 . 5 4MA +18MB+ 5Mc = - 162,75 =======( MA = 0 18MB + 5MC = - 162,75 ............ Persamaan Bentang AB dan BCPersamaan Bentang BC dan CDMb . L2 + 2Mc ( L2 + L1 ) + Md . L3 = - ( . L2 - ( . L3Lihat Tabel: Lampiran 3a s/d 3 c, maka: ( = {q L22 / 4} = 3 . 52 / 4 = 18,75 tm( = {q L32 / 4} + {P2 . a . b (b + L3) / L32}

( = {3 . 42 / 4} + {5 . 1 . 3 (3 + 4) / 42} = 18,5625 tm sehingga :Mb . L2 + 2MC ( L2 + L3 ) + MD . L3 = - ( . L2 - ( . L3Mb . 5 + 2MC ( 5 + 4 ) + MD . 4 = - 18,75 . 5 - 18,5625 . 45MB+ 18MC + 4MD= - 168 =======( MD = 05MB+ 18MC = - 168.......... Persamaan Bentang BC dan CDSubtitusi kedua persamaan di atas :18MB + 5MC = - 162,75 18 324 MB+ 90 MC = -2929,55MB + 18MC =-168 5 25 MB+ 90 MC =- 840.0 299 Mb = - 2089,5

=====( Mb = -6,9883 tm

dan nilai dari MC adalah =====( MC = -7, 3921tmCatatan : Metoda luasan kali jarak maupun dengan penggunaan rumusan pada tabel yang ada pada halaman lampiran, akan menghasilkan suatu hasil perhitungan yang sama.

1. 4 Rangkuman1 Persamaan Tiga Momen dari Clapeyron :Persamaan tiga momen selalu dibentuk dari tiga tumpuan pertama atau dua bentang pertama dari suatu struktur balok menerus. Untuk struktur balok menerus, kondisi perletakan pada tumpuan ujung berupa sendi:

Jika struktur tersebut hanya menerima beban luar saja dan tanpa mengalami sattlement pada salah satu perletakannya, maka persamaan tiga momen akan menjadi:

persamaan tiga momen untuk penggunaan tabel-tabel rumus dari Clapeyron :

Dimana: MA, Mb, MC :Momen pada masing-masing titik A, B dan C ( kg m )

L1, L2 : Panjang masing-masing dari bentang 1 dan 2 ( m )

I1, I2 : Momen lembam dari masing-masing batang / bentang ( cm4, m4 )

A1, A2 : Luas bidang momen masing-masing bentang ( kg m2 )a1, a2 :Jarak titik pusat luasan bidang momen ke perletakan / tumpuan ( m )

( dan ( :Bagian dari beban, ditentukan dari tabel.3.1 pada halaman lampiran Untuk struktur balok menerus, kondisi perletakan pada tumpuan ujung berupa Jepit:Pada balok menerus dengan kondisi perletakan bagian ujung struktur berupa jepit, diperlukan suatu bentang imajiner, dengan panjang bentang L0 = 0 dan momen lembam I0 = 0. Bentang ini merupakan bentang pertama dengan luasan bidang momen A0 = 0 dari suatu struktur balok menerus. Sehingga persamaan tiga momen akan menjadi:

Dan untuk persamaan tiga momen pada bentang berikutnya dapat menggunakan persamaan tiga momen pada persamaan.3.6 pada halaman terdahulu.2Langkah penyelesaian struktur balok menerus dengan menggunakan persamaan Tiga Momen dari Clapeyron :1. Hitung momen lapangan dan luas bidang momen pada masing-masing bentang yang ada dengan asumsi bahwa tiap bentang terletak di atas dua tumpuan sendi.2. Tentukan jarak luas bidang momen tersebut (a) ke titik tumpuan yang akan ditinjau.3. Bentuk persamaan tiga momen dari tiga tumpuan pertama atau dari dua bentang pertama dari suatu struktur balok menerus.4. Jika masih terdapat tumpuan yang belum termasuk dalam persamaan tiga momen pada point.3 di atas, bentuk kembali persamaan tiga momen untuk tiga perletakan atau dua bentang berikutnya.5. Selesaikan persamaan-persamaan tiga momen yang sudah terbentuk di atas, sampai momen-momen pada semua tumpuan yang pada balok menerus diperoleh.

1.5 SOAL SOAL LATIHAN Kerjakanlah soal-soal berikut ini dengan menggunakan metoda Dalil Tiga Momen

Gambar. 3.4d

DAFTAR PUSTAKA

Chu-Kia Wang, Ph.D, Mekanika Teknik Statically Indeterminate Structure Terjemahan Heinz Frick, Ir, Mekanika Teknik 2 (Statika dan Kegunaannya), Jilid IL Yogyakarta, Kanisius, 1979. Soetomo. HM, Ir, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid I. Jakarta, Soetomo HM, 1981 _______, Perhitungan Portal Bertingkat Dengan Cara Takabeya. Jilid II. Jakarta, Soetomo HM, 1981 V. Sunggono. KH, Ir, Buku Teknik Sipil. Bandung, Nova, 1984.

Persamaan. 2.1

+

Persamaan 2.2

Pers. 2.3

Persamaan. 2.4

Persamaan. 2.5

-0.2143

6

-0.2857

-0.2500

5

-0.1250

-0.1250

-0.2143

-0.2857

4

1

2

3

-0.1364

-0.1818

-0.0833

-0.1667

-0.0833

-0.1818

-0.1364

-0.1818

-0.1667

-0.1818

A

B

C

MA EMBED Equation.3 +2MB EMBED Equation.3 +MC EMBED Equation.3 =- EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 Persamaan 3.5

MA EMBED Equation.3 +2MB EMBED Equation.3 +MC EMBED Equation.3 =- EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 ... Persamaan 3.6

MA.L1 + 2MB (L1+L2) + MC . L2 =- EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 .. Persamaan 3.7

MA.L1 + 2MB (L1+L2) + M3 . L2 = - ( . L1 - ( . L2.. Persamaan 3.8

MA. EMBED Equation.3 + 2MB EMBED Equation.3 + MC . EMBED Equation.3 = -( . L1 - ( . L2 .. Pers. (3.8)

MA EMBED Equation.3 +2MB EMBED Equation.3 +MC EMBED Equation.3 =- EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 Pers. (3.6)

MA EMBED Equation.3 +2MB EMBED Equation.3 +MC EMBED Equation.3 =- EMBED Equation.3 - EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 .(Pers. (3.5)

2MA. EMBED Equation.3 + MB = EMBED Equation.3 .. Pers. (3.10)

-0.1818

-0.1818

-0.1

-0.2

-0.15

-0.1364

-0.6

-1.2

-0.75

-0.75

-0.2857

-0.214

-0.2857

6

-0.2143

2

1

3

-0.2857

4

-0.2143

B

A

5

A

B

C

4

3

2

1

-0.1250

-0.1250

-0.214

-0.2500

-0.2857

-0.4286

-0.6429

-0.4286

-0.4286

-0.4286

-0.6429

-0.1364

-0.136

-0.0833

-0.0833

-0.1667

-0.1667

-0.1818

-0.1818

-0.1818

-0.1818

Persamaan. 2.6

_1236242316.unknown

_1236248711.unknown

_1236253734.unknown

_1236259062.unknown

_1236318238.unknown

_1236322605.unknown

_1236323555.unknown

_1236323663.unknown

_1236323731.unknown

_1236323753.unknown

_1236323764.unknown

_1236323783.unknown

_1236323788.unknown

_1236323793.unknown

_1236323778.unknown

_1236323759.unknown

_1236323742.unknown

_1236323748.unknown

_1236323736.unknown

_1236323705.unknown

_1236323716.unknown

_1236323722.unknown

_1236323710.unknown

_1236323684.unknown

_1236323698.unknown

_1236323671.unknown

_1236323584.unknown

_1236323653.unknown

_1236323658.unknown

_1236323603.unknown

_1236323567.unknown

_1236323574.unknown

_1236323561.unknown

_1236323504.unknown

_1236323530.unknown

_1236323543.unknown

_1236323549.unknown

_1236323538.unknown

_1236323517.unknown

_1236323524.unknown

_1236323511.unknown

_1236323476.unknown

_1236323487.unknown

_1236323498.unknown

_1236323481.unknown

_1236323464.unknown

_1236323469.unknown

_1236323473.unknown

_1236323457.unknown

_1236318651.unknown

_1236318719.unknown

_1236318742.unknown

_1236318763.unknown

_1236318768.unknown

_1236318754.unknown

_1236318731.unknown

_1236318736.unknown

_1236318725.unknown

_1236318685.unknown

_1236318701.unknown

_1236318710.unknown

_1236318693.unknown

_1236318670.unknown

_1236318678.unknown

_1236318657.unknown

_1236318341.unknown

_1236318575.unknown

_1236318638.unknown

_1236318645.unknown

_1236318648.unknown

_1236318633.unknown

_1236318358.unknown

_1236318364.unknown

_1236318347.unknown

_1236318312.unknown

_1236318328.unknown

_1236318334.unknown

_1236318320.unknown

_1236318277.unknown

_1236318306.unknown

_1236318271.unknown

_1236260606.unknown

_1236262041.unknown

_1236318182.unknown

_1236318210.unknown

_1236318220.unknown

_1236318227.unknown

_1236318218.unknown

_1236318200.unknown

_1236318206.unknown

_1236318192.unknown

_1236267518.unknown

_1236274179.unknown

_1236274395.unknown

_1236275371.unknown

_1236275626.unknown

_1236278390.unknown

_1236278827.unknown

_1236280445.unknown

_1236281080.unknown

_1236317945.unknown

_1236280450.unknown

_1236278842.unknown

_1236278704.unknown

_1236278419.unknown

_1236278672.unknown

_1236276175.unknown

_1236278281.unknown

_1236278340.unknown

_1236276191.unknown

_1236275668.unknown

_1236276158.unknown

_1236275667.unknown

_1236275577.unknown

_1236275605.unknown

_1236275613.unknown

_1236275401.unknown

_1236275565.unknown

_1236275381.unknown

_1236275339.unknown

_1236275348.unknown

_1236274857.unknown

_1236274867.unknown

_1236274573.unknown

_1236274521.unknown

_1236274252.unknown

_1236274326.unknown

_1236274368.unknown

_1236274383.unknown

_1236274201.unknown

_1236274192.unknown

_1236269233.unknown

_1236273986.unknown

_1236274125.unknown

_1236274149.unknown

_1236274169.unknown

_1236274137.unknown

_1236274036.unknown

_1236274114.unknown

_1236274006.unknown

_1236273907.unknown

_1236273950.unknown

_1236273969.unknown

_1236273932.unknown

_1236273534.unknown

_1236273838.unknown

_1236273498.unknown

_1236268267.unknown

_1236268733.unknown

_1236269154.unknown

_1236269203.unknown

_1236269042.unknown

_1236268508.unknown

_1236268730.unknown

_1236268274.unknown

_1236267525.unknown

_1236268048.unknown

_1236268078.unknown

_1236267549.unknown

_1236268025.unknown

_1236265721.unknown

_1236267238.unknown

_1236267285.unknown

_1236267347.unknown

_1236267356.unknown

_1236266655.unknown

_1236266664.unknown

_1236267145.unknown

_1236265771.unknown

_1236263755.unknown

_1236264138.unknown

_1236262050.unknown

_1236261854.unknown

_1236261980.unknown

_1236262016.unknown

_1236262021.unknown

_1236261988.unknown

_1236261935.unknown

_1236261975.unknown

_1236261920.unknown

_1236261699.unknown

_1236261788.unknown

_1236261818.unknown

_1236260761.unknown

_1236260619.unknown

_1236260099.unknown

_1236260520.unknown

_1236260589.unknown

_1236260531.unknown

_1236260567.unknown

_1236260464.unknown

_1236260502.unknown

_1236260331.unknown

_1236260461.unknown

_1236259346.unknown

_1236259553.unknown

_1236260024.unknown

_1236259457.unknown

_1236259319.unknown

_1236254592.unknown

_1236257056.unknown

_1236258524.unknown

_1236258642.unknown

_1236258837.unknown

_1236258993.unknown

_1236258748.unknown

_1236258631.unknown

_1236257570.unknown

_1236257708.unknown

_1236258431.unknown

_1236257686.unknown

_1236257313.unknown

_1236257454.unknown

_1236257138.unknown

_1236255565.unknown

_1236256898.unknown

_1236256978.unknown

_1236256579.unknown

_1236256888.unknown

_1236256345.unknown

_1236254668.unknown

_1236254796.unknown

_1236255474.unknown

_1236254788.unknown

_1236254661.unknown

_1236254203.unknown

_1236254501.unknown

_1236254584.unknown

_1236254376.unknown

_1236254401.unknown

_1236254483.unknown

_1236254245.unknown

_1236253957.unknown

_1236253985.unknown

_1236253935.unknown

_1236251528.unknown

_1236253127.unknown

_1236253429.unknown

_1236253538.unknown

_1236253693.unknown

_1236253507.unknown

_1236253174.unknown

_1236253391.unknown

_1236253140.unknown

_1236251616.unknown

_1236252285.unknown

_1236252853.unknown

_1236252952.unknown

_1236251626.unknown

_1236251589.unknown

_1236251604.unknown

_1236251547.unknown

_1236250359.unknown

_1236250456.unknown

_1236251490.unknown

_1236251513.unknown

_1236250672.unknown

_1236250410.unknown

_1236250425.unknown

_1236250374.unknown

_1236250205.unknown

_1236250323.unknown

_1236250341.unknown

_1236250262.unknown

_1236250091.unknown

_1236250193.unknown

_1236249009.unknown

_1236248863.unknown

_1236248966.unknown

_1236243622.unknown

_1236247368.unknown

_1236247986.unknown

_1236248382.unknown

_1236248554.unknown

_1236248624.unknown

_1236248025.unknown

_1236248150.unknown

_1236248220.unknown

_1236247698.unknown

_1236247763.unknown

_1236247801.unknown

_1236247403.unknown

_1236246431.unknown

_1236246878.unknown

_1236246940.unknown

_1236246535.unknown

_1236246204.unknown

_1236246357.unknown

_1236246140.unknown

_1236243332.unknown

_1236243476.unknown

_1236243591.unknown

_1236243605.unknown

_1236243561.unknown

_1236243403.unknown

_1236243426.unknown

_1236242611.unknown

_1236243313.unknown

_1236242657.unknown

_1236242450.unknown

_1236242555.unknown

_1236242389.unknown

_1236231536.unknown

_1236235633.unknown

_1236241548.unknown

_1236241908.unknown

_1236242144.unknown

_1236242237.unknown

_1236242013.unknown

_1236241716.unknown

_1236241783.unknown

_1236241626.unknown

_1236241385.unknown

_1236241431.unknown

_1236241498.unknown

_1236241107.unknown

_1236241172.unknown

_1236241250.unknown

_1236235671.unknown

_1236232978.unknown

_1236235446.unknown

_1236235589.unknown

_1236235611.unknown

_1236235481.unknown

_1236235532.unknown

_1236235364.unknown

_1236235407.unknown

_1236233071.unknown

_1236232608.unknown

_1236232819.unknown

_1236232890.unknown

_1236232718.unknown

_1236231574.unknown

_1236231587.unknown

_1236231550.unknown

_1236226948.unknown

_1236230379.unknown

_1236230589.unknown

_1236231474.unknown

_1236231499.unknown

_1236231374.unknown

_1236230546.unknown

_1236230585.unknown

_1236230502.unknown

_1236228053.unknown

_1236229384.unknown

_1236230275.unknown

_1236228207.unknown

_1236227334.unknown

_1236227568.unknown

_1236227256.unknown

_1236195953.unknown

_1236226558.unknown

_1236226677.unknown

_1236226896.unknown

_1236226642.unknown

_1236196121.unknown

_1236196295.unknown

_1236196102.unknown

_1236194583.unknown

_1236194620.unknown

_1236195949.unknown

_1236195691.unknown

_1236195883.unknown

_1236194710.unknown

_1236195668.unknown

_1236194592.unknown

_1236194168.unknown

_1236194479.unknown

_1236194130.unknown