Tema III: Solución de ecuaciones no lineales Método de la Bisección Método de Newton Método de la Secante Método de Regula Falsi Método de Sustitución

Tema III: Solución de ecuaciones no lineales

•Método de la Bisección•Método de Newton•Método de la Secante•Método de Regula Falsi •Método de Sustitución Sucesiva

¿Qué buscan estos métodos?

Hallar raíces de funciones, f(x)=0

•Caso particular: Funciónes polinómicas

•Primer Grado: ax + b = 0 -> una raíz x=-b/a

•Segundo Grado: ax2 + bx + c -> dos raíces

•Tercer Grado: ax3 + bx2 + cx + d -> tres raíces

a

cabb

2

42

Método de Bisección

•Definición: Es el método más elemental y antiguo

para determinar las raíces de una ecuación. Consiste

en partir de un intervalo [x0,x1] tal que f(x0)f(x1) <

0 . A partir de este punto se va reduciendo el

intervalo, hasta que sea menor al error

(Tolerancia).

X

f(X)

X1

Xo

Cambio de Signo de f(x)

X

f(X)

X1

XoX

f(X)

X1

Xo


•Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de

la siguiente función en el intervalo con un

error )1()2()1()( xxxxf

Raíces: x=1, x=2, x=-1

]2

3,0[ 1.0

0 3/2


No: Sigo

Si: Fin

Si X0=m

No X1=m

210 xx

m

0)()( 1 xfmf0x 1x || 01 xx || 01 xx

m X1X0


0 1.5 1.5 No 0.75

0.75 1.5 0.75 No 1.125

0.75 1.125 0.5 No 0.813

0.813

1.125 0.312 No 0.969

0.969

1.125 0.156 No 1.047

0.969

1.047 0.078 Si

210 xx

m

0)()( 1 xfmf0x 1x || 01 xx || 01 xx

34.0)5.1()75.0( ff

15.0)5.1()125.1( ff

09.0)125.1()813.0( ff

015.0)125.1()969.0( ff

021.0)125.1()047.1( ff


•Ejemplo: Hallar por el método de bisección la raíz de




]0,2[ 1.0

0 3/2


-2 0 2 No -1

-1 0 1 No -0.5

-1 -0.5 0.5 No -0.75

-1 -0.75 0.25 No -0.875

-1 -0.875 0.125 No -0.9375

-1 -0.9375

0.0625

Si

210 xx

m

0)()( 1 xfmf0x 1x || 01 xx || 01 xx

0)0()1( ff

75.3)0()5.0( ff

26.2)5.0()75.0( ff

81.0)75.0()875.0( ff

24.0)875.0()9375.0( ff


•Ventajas del Método−Algoritmo muy sencillo−Muy estable (Está garantizada su convergencia)

•Desventajas del Método−De muy lenta convergencia

Método de Newton

•Definición: Partiendo de un punto x0, el método

de Newton consiste en una linealización de la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (x0,f(x0)) y cuya pendiente

coincide con la derivada de la función en el punto, f'(x0)

)(

)(

0'

001 xf

xfxx

))(()( 00'

0 xxxfxfy )( 00 xxmyy

),( 00 yx

Raíz

Método de Newton

•Ejemplo: Hallar por el método de newton la raíz de la

siguiente función partiendo de x0 = 3 con un error

)1()2()1()( xxxxf


1.0

0 3/2

22)( 23 xxxxf

143)( 2' xxxf

Método de Newton

3 8 14 2.429 0.571 No

2.429 2.102 6.984 2.128 0.3 No

2.128 0.4516 4.073 2.017 0.11 No

2.017 0.0522 3.137 2.00036 0.0166 Si

nx )(

)('1

n

nnn xf

xfxx || 1 nn xx)( nxf )(' nxf || 1 nn xx

Método de Newton

Zoom

Método de Newton

•Ventajas del Método−Convergencia muy rápida

•Desventajas del Método−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)−La función debe ser derivable y contínua−Se requiere conocer la primera derivada de la función

Método de Newton

•Inestabilidad del Método de Newton

X0

X1

X0 X2 X1

(A) (B)

A : No se alcanza la convergenciaB : Converge pero fuera de la raíz

Método de la Secante

•Definición: Partiendo de dos puntos [x0,f(x0)] y

[x1,f(x1)]. El método de la secante utiliza una

aproximación de la pendiente mediante la

expresión:

)()()( 001

0102 xf

xfxf

xxxx

)()()(

)( 001

010 xx

xx

xfxfxfy

)( 00 xxmyy

),( 00 yx

Raíz

01

01

01

01 )()(

xx

xfxf

xx

yym

),( 11 yx


•Ejemplo: Hallar por el método de la secante la raíz

de la siguiente ecuación partiendo de X0 = 0 y X1 =

3/2 con error

)1()2()1()( xxxxf


1.0 0 3/2

22)( 23 xxxxf

Ejemplo:

0 1.5 2 -0.625 1.143 0.357 No

1.5 1.143 -0.625 -0.2626

0.8843 0.259 No

1.143 0.8843

-0.2626

0.243 1.0086 -0.1243 No

0.8843

1.0086

0.2432 -0.0171

1.000424 0.00436

Si

1nx || 11nn xx)( 1nxf )( nxf || 1 nn xxnx 1nx

)()()( 11

111

n

nn

nnnn xf

xfxf

xxxx


•Ventajas del Método−Convergencia muy rápida, aunque no tan rápida comoEl Método de Newton-No requiere conocer la derivada de la función

•Desventajas del Método−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)

Método Regula Falsi (Falsa Posición)•Definición: Es un método similar al de bisección, con la diferencia que en vez de tomar el punto medio, se toma como nuevo valor, la intersección con el eje x de una línea recta formada por los dos puntos del intervalo.

X

f(X)

X1

Xo

X2

01

01

01

01 )()(

xx

xfxf

xx

yym

)()()( 001

0102 xf

xfxf

xxxx

)( 00 xxmyy 0x2

Método Regula Falsi (Falsa Posición)

•Ejemplo: Hallar por el método Regula Falsi la raíz de




]2

3,0[ 1.0

0 3/2


0 1.5 2 -0.625

1.143

No No

0 1.143 2 -0.263

1.01 No No

0 1.01 2 -0.02 1 Si

0)()( 1 nn xfxf1nx nx

)()()( 11

111

n

nn

nnnn xf

xfxf

xxxx

)( 1nxf )( nxf 1nx || 1nn xx


•Ventajas del Método−Convergencia intermedia, más rápido que el método de bisección, aunque no tan rápida como el Método de Newton o de la Secante.-Muy estable

•Desventajas del Método−Como converge a partir de un sólo extremo del intervalo, si ese extremo se encuentra muy lejos de la raíz, la convergencia sería mucho más lenta.

Método de Sustitución Sucesiva

•Definición: Dada una función f(x), la idea es reemplazar la ecuación f(x) = 0 por otra de la forma x = g(x) (Si s es una solucion de f(x), entonces s = f(s)). Se calcula x1 a partir de x0 y se repite el proceso, esta vez con el nuevo valor x1, hasta que |x1 – x0|<Error.Por ejemplo:

1813)( 3 xxxf 018133 xx

31 1813)( xxxg

Raíz, ya queg(x) = x

13

18)(

3

2

x

xxg

13

18)(

23

x

xxg


• Condiciones para Aplicación del Método:

1. Partiendo de un intervalo I = [a,b], tal que para

todo x Є I, se debe cumplir que g(x) Є I

a) La función de iteración g(x) debe ser continua sobre I=[a,b].

b) La función de iteración es diferenciable sobre I = [a,b]. Además, existe una constante no negativa K < 1 tal que para todo x Є I, | g’(x) | ≤ K < 1


Zoom

-4,1622

2 2,1622

1813)( 3 xxxf


Raíz

Intervalo [1,4]

g(x) Pertenece a [1,4] ?

13

18)(

3

2

x

xxg

13

18)(

23

x

xxg3

1 1813)( xxxg


Raíz

Raíz

Raíz


•Ejemplo: Hallar por el método de la sustituciones

sucesivas la raíz de la siguiente ecuación partiendo

de x0 = 3/2 con un error

22)( 231 xxxg


01.00 3/2

22)( 23 xxxxf

3 22 22)( xxxg


22)( 231 xxxg

xxf )(

3 22 22)( xxxg

X=1.5

2

1

Ejemplo:

1.5 1.5874 0.0874 No

1.5874 1.666 0.0786 No

1.666 1.7344 0.06838 No

1.7344 1.79157 0.05175 No

1.79157 1.83818 0.04661 No

1.83818 1.8754 0.0372 No

1.8754 1.90466 0.0292 No

1.90466 1.9274 0.02275 No

1.9274 1.9449 0.0175 No

1.9449 1.958 0.01344 No

1.958 1.9686 0.0106 No

1.9686 1.9763 0.0077 Si

nx || 11nn xx)(1 nn xgx || 1 nn xx

3 2 22)( xxxg

Método de la Sustitución Sucesiva

•Ventajas del Método-Convergencia rápida (dependiendo de la g(x))-No requiere conocer la derivada de la función

•Desventajas del Método−Muy inestable (No se garantiza la convergencia)−Depende de una escogencia adecuada de la g(x)

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