Método de Gaspar Kani Aplica a Vigas

UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA- SEDE JAÉN

INTRODUCCION

Este método está basado en el desarrollado inicialmente por Gaspar Kani quien nació en

octubre de 1910 en Frantztal, Serbia, que fue publicado en el idioma español por primera vez en

1968, en inglés en 1957 y en la propuesta mejorada por el Ingeniero Japonés Fukuhei TaKabeya,

publicada por primera vez en el idioma español en 1969, siendo su primera edición en Inglés en

1965. También se incluyen algunos conceptos desarrollados por Hardy Cross En todas las

publicaciones mencionadas se incluía el análisis para pórticos con nodos desplazables.

Estos procedimientos resuelven el sistema de ecuaciones de rotación para una estructura

o sistema estructural del tipo fundamentalmente llamado Pórtico Plano, por medio de

aproximaciones sucesivas que se corrigen también sucesivamente. Por tanto es importante

recordar las hipótesis bajo las cuales se deducen las ecuaciones de rotación como son:

A) El material es homogéneo, isótropo y se comporta como lineal elástico, es decir, todo el

material es de la misma naturaleza, tiene idénticas propiedades físicas en todas las direcciones y

las deformaciones, e , que sufre son directamente proporcionales a los esfuerzos, s , que resiste y

el factor de proporcionalidad se llama módulo de elasticidad, E, es decir, s = E e (Ley de Hooke)

B) El principio de las deformaciones pequeñas que señala que una vez cargada la estructura las

deformaciones o desplazamientos lineales y angulares de las juntas o nodos y de cada uno de los

puntos de sus miembros son bastantes pequeños de tal manera que la forma de ella no cambia ni

se altera apreciablemente

C) El principio de superposición de efectos que supone los desplazamientos y fuerzas internas

totales o finales de la estructura sometida a un conjunto o sistema de cargas se pueden encontrar

por la suma de los efectos de cada una de las cargas consideradas aisladamente

D) Solo se pueden tomar en cuenta los efectos de primer orden como son: Las deformaciones

internas por flexión siempre, mientras que las por fuerza axial y torsión así como la existencia de

segmentos rígidos se pueden tomar en cuenta o no.

ANALISIS ESTRUCTURAL II Página 1


MÉTODO DE GASPAR KANI APLICA A VIGAS

Este método es una variante del método de Cross. Consiste en un método de aproximaciones sucesivas y los resultados se logran con la exactitud que se desee. Este método conduce a una eliminación prácticamente automática de los errores ocasionales.La deducción de las formulas básicas para la aplicación a los distintos tipos de estructuras sin desplazamiento ó con desplazamiento es análoga a la del método de angulos de giro y de Cross, solo existen pequeños cambios.

1) CONCEPTOS PREVIOS1.1. Suposiciones básicas del método

Todos los miembros de la estructura son prismáticos Las deformaciones de la estructura son debidas principalmente al efecto de los

momentos. Las deformaciones axiales son despreciadas.

1.2 Nodo Rígido

Una de las características principales de un nodo rígido es que los extremos de los elementos que concurren a él tienen la misma rotación y el mismo desplazamiento, es decir no hay desplazamiento ni rotaciones relativas entre los extremos del elemento.Los nodos que concurren a un Nodo rígido conservan el mismo ángulo inicial entre ellos, incluso después de que la estructura se ha deformado bajo la acción de cargas externas.

2) TIPOS DE ESTRUCTURAS2.2 Estructuras sin desplazamiento: Considerando que el estado final del elemento se alcanza mediante la superposición de los tres estados de carga mostradas a continuación:

M i− j=M i− jF + 4 EI

Lθi+2 EILθ j

M j−i=M j−iF + 2 EI

Lθi+4 EILθ j

En donde:

M i− j :Momento final en el extremo i de la barra i-jM j−i : Momento final en el extremo j de la barra i-jθi : Rotación en el extremo i de la barraθ j : Rotación en el extremo j de la barraM i− j

F : Momento de empotramiento del Nodo iM j−i

F : Momento de empotramiento del Nodo j



E : Modulo de elasticidad del materialI : Momento de inercia de la barra (se considera constante)L : Longitud de la barra i-j

Obteniendo:

M i− j=M i− jF + 2 EI

L(2θi+θ j)

M j−i=M j−iF + 2 EI

L(θi+2θ j)

A la relación 2EIL

se le conoce como el factor de rigidez rotacional y se representa

mediante el símbolo K i− j

Es decir las ecuaciones quedarían:

M i− j=M i− jF +K i− j(2θi+θ j)

M j−i=M j−iF +K i− j(θi+2θ j)

También:

M´ i− j = K i− j*θi (Momento generado en el nodo i debido a la rotación del nodo i (θi))M´ j−i = K i− j*θ j (Momento generado en el nodo i debido a la rotación del nodo j (θ j))

M i− j= M i− jF + 2M´ i− j + M´ j−i

M j−i=M j−iF + M´ i− j +2M´ j−i

2.2.1 Distribución de Momentos en un Nodo

M i− j= M i− jF + 2M´ i− j + M´ j−i

M´ i− j = K i− j*θi

Ejemplo: Considere la siguiente estructura sometida a la acción de las cargas mostradas



∑M i=0=M i−1+M i−2+M i−3

Reemplazando la ecuacion para el momento en i de cada una de las barras que llegan al

nodo i se tiene:

0=(M i−1F +2M í−1+M´ 1−i )+(M i−2

F +2M í−2+M´ 2−i)+(M i−3F +2M í−3+M ´3−i )

Aprupando los terminos semejantes se obtiene:

0=(M i−1F +M i−2

F +M i−3F )+(2.M í−1+2M í−2+2M í−3 )+(M ´1−i+M´ 2−i+M ´3−i )

la anterior ecuacion escrita en forma general para cualquier numero de barras que llegen

al nodo i se tiene.

0=∑ M i− jF +2∑ M´ i− j+¿∑M´ j−i ¿

Despejando el termino ∑M í− j , se obtiene:

∑M í− j=−12

[∑M i− jF +∑M í− j ]

Reemplazando la ecuacion anterior se obtiene:

∑ [K i− j .θi ]=−12

[∑ M i− jF +∑M´ i− j ]



La rotacion que sufre cada una de las barras que llegan al nodo i esla misma para todas

las barras, (θi), (ver propiedad de un odo riguido) , luego:

θi .∑ K i− j=−12

[∑ Mi− jF +∑ M´ i− j ]

θi=−12

1

∑ K i− j[∑M i− j

F +∑M í− j ]

Reemplazando el valor de θi en la ecuacion se obtiene:

M´ i− j=K i− j .(−12 1

∑ K i− j

[∑M i− jF +∑ Mí− j ])

Ordenando la ecuacion anterior ae obtiene:

M´ i− j=(−12 K i− j

∑ K i− j ) . [∑M i− jF +∑M í− j ]

Con la ecuacion antrior se calcula el valor del momento que se genera en el extremo i,

debido a la rotacion que sufre el nodo (θi), de cada una de las barras que llegan a este

nodo.

Analizando la ecuacion anterior se puede ver que el metodo de Kani presenta un factor de

distribucion de momentos similar a usado en el metodo de Cross, este factor se

representa mediante el simbolo μi− j, asi:

μi− j=(−12 K i− j

∑ K i− j )Donde:

K i− j = rigidez rotacional de la barra i-j.

∑ K i− j = suma de todas las rigideces de las barras i-j que llegan al nodo i.

Asi , la ecuacion anterior se convierte en:

M´ i− j=μ i− j . [∑M i− jF +∑ M´ j−i ]



M´ i− j = momento generado en el nodo i debido a la rotacion del nodo i (θi)

μi− j = factor de distribucion de Kani.

∑M i− jF = sumatoria de los momentos producidos en los extremos i de cada una de

las barras que llegan a este nodo.

∑M í− j = sumatoria de los momentos producidos en los extremos j de cada una de

las barras que llegan al nodo i cuando ocurre una rotacion en nodo i (θi)

Esta es la ecuacion basica para el desarrollo del proceso iterativo del metodo de Kani

utilizado en estructuras sin desplazamientos relativos entre los extremos de las

barras.

Si se analiza la ecuacion se pude ver que los terminos ∑M i− jF y μi− j son valores

constantes y conocidos para cada nodo, lo que reduce el proceso iterativo a aplicar

esta ecuacion a cada uno de los elementos de la estructura, utilizando cada vez los

ultimos valores hallados para el termino M´ i− j.

Factor de destribucion μij

Los principales caracteristicas del factor de distribucion en el metodo de Kani son:

El factor de distribucion es independiente de la carga y solo depende de las

caracteristicas de la viga tales como: el momento de inercia, el modulo de

elasticidad y su longitud (I , E , L)

El calculo del factor de rigidez para las barras se calcula dividiendo la rigidez de

cada barra sobre la suma de las rigideces de todad las barras que llegan a ese

nodo.

La suma de los factores de distribucion de todad las barras que concurren a un

nodo es igual a (-1/2). Es decir ∑ μ i− j=−12

.

Este dato es bastante util para comprobar las operaciones.



3) PROPIEDAD DE LOS APOYOS.

En el metodo de Kani se empleaen las mismas propiedades del metodo de Cross para el

calculo del factor de rigidez en los apoyos extremos de las estructuras.

Para el caso de un apoyo simple (extremo A) se considera que la barra se encuentra unida

a otra barra de rigidez nula (K=0), por lo que el factor de distribución es igual a μAB=−12

Para el caso de un empotramiento en un extremo (extremo C) se considera que la barra se encuentra unida a otro elemento de rigidez infinita (K=∞), por lo que el factor de distribución es nulo μDC=0

El voladizo (A-B) no contribuye a la rigidez rotacional del Nodo B, este tramo no opone resistencia para impedir la rotación del Nodo B, por lo tanto, el factor de distribución para



el extremo BA es nulo μ BA = 0, mientras que para el extremo BC el factor de distribución será igual a 1, μ BC = 1. De acuerdo a lo anterior, este Nodo se puede tratar como simplemente apoyado, sin embargo es de suma importancia transmitir al Nodo B el momento y el cortante que se generan por la carga sobre el voladizo.

Estructura Cargada y Simplemente Apoyada

4) PROCEDIMIENTO PARA SOLUCIONAR ESTRUCTURAS SIN DESPLAZAMIENTO RELATIVO ENTRE NODOS MEDIANTE EL MÉTODO DE KANI

A continuación se describe el procedimiento para desarrollar estructuras sin desplazamientos relativos entre Nodos por el método de Kani:

a. Calcule la rigidez K i− j de cada barra de la estructura.

b. Calcule el factor de distribución ui− j para cada una de las barras que concurren a un

Nodo.

c. Considere todos los Nodos de la estructura empotrados y calcule los momentos de empotramiento en los extremos de cada una de las barras.

d. Sume en cada Nodo los momentos de empotramiento (teniendo en cuenta los signos) para calcular el término ∑M i− j

F

e. Calcule el M i− j' valor del término para cada uno de los elementos que llegan a cada

nodo con la Ecuación anterior. Se recomienda empezar por el Nodo que presenta el mayor valor de ∑M i− j

F para que el proceso iterativo converja más rápido. Los resultados

obtenidos de M i− j' se escribirán en el diagrama y serán los M i− j

' para ese ciclo. Estos

valores se convertirán en M i− j' al analizar los Nodos opuestos. Este proceso iterativo se

mostrará más adelante mediante un ejemplo.

f. Recorrido todos los Nodos se acaba el primer ciclo. Nuevamente aplicamos el paso (e) recorriendo los Nodos en el mismo orden de la iteración inmediatamente cuantas veces



sea necesario hasta alcanzar la aproximación deseada. Detenemos el proceso iterativo cuando el resultado de la última iteración realizada para el termino (M i− j

' ) sea muy

cercano al resultado obtenido en la iteración inmediatamente anterior para (M i− j' ).

g. Terminado el proceso iterativo encontraremos el valor de los momentos definitivos en cada uno de los extremos de cada barra con las siguientes ecuaciones:

Es importante tener en cuenta los signos de cada uno de los términos.

Importante:

La aproximación de los resultados obtenidos depende del número total de iteraciones que se hagan.

Si el proceso de iteración de momentos se realizó en forma correcta, entonces los momentos finales deben satisfacer las ecuaciones de equilibrio de momentos en todos los Nodos de la estructura.

h. Conocidos los momentos resultantes en los extremos de cada barra se calculan los cortantes y las fuerzas axiales para cada una de las barras mediante las ecuaciones básicas de equilibrio ¿ , lo que permite calcular las reacciones en los Nodos y revisar el equilibrio externo.

5) VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MÉTODO DE KANI

5.1. VENTAJAS

El método de Kani maneja aproximaciones sucesivas y, en consecuencia las

respuestas se pueden lograr con la exactitud que se desee mientras las hipótesis

fundamentales y los datos básicos lo permitan.

La inclusión de los efectos de desplazamiento se hace en forma muy simple.

La formulación del procedimiento conduce a una eliminación prácticamente

automática de los errores ocasionales.

Es muy fácil verificar en cualquier nudo la verdad de los resultados.

Los cambios eventuales de cargas o dimensiones en cualquier elemento se

pueden tener en cuenta con muy poco esfuerzo adicional.



No es difícil de aplicar a estructuras con miembros acartelados.

Es fundamentalmente un método de distribución de momentos.

Tiene facilidad de programación y baja exigencia de memoria de computador.

5.2. DESVENTAJAS

Su aplicación está limitada a pórticos octogonales y que no incluye los efectos de

los acortamientos axiales, que se hacen cada vez más importantes al incrementar

el número de pisos a los niveles corrientes en las torres de nuestros días.

Este tipo de método es algo extenso para edificios de muchos pisos por ser

método manual.

AplicaciónHallar el diagrama de momento y cortante, además verificar si el sistema se encuentra en equilibrio.

Solución:

Hallamos las rigideces de las barras

K A−B=2EI ABLAB

= 2EI10

= EI5

K B−C=2BCLBC

= 2(2EI )6

= 2EI3

KC−D( Voladizo) = 0

Factor de distribución



Nudo A:

uAB =−12 ( K A−B

K A−B+∞ )= 0

Nudo B:

uBA =−12 ( K A−B

K A−B+K B−C)=-0.12

uBC =−12 ( K B−C

K A−B+K B−C)=-0.38

Nudo C:

uCB =−12

¿=-0.5

Momentos de Empotramiento

M AB=−M BA=PL8

= 37.5 KN-m

MBC=−MCB=W L2

12 = 36 KN- m

MCD=¿3*15 = 45 KN-m

Cálculo de ∑M i− jF en cada nodo:

Nodo A:

∑M AF = M A−B

F = 37.5 KN-m

Nodo B:

∑M AF = MB−A

F +MB−CF = -37.5 +36= -1.5 KN- m.

Nodo C:

∑MCF = MC−B

F +MC−DF = -36+ 45= 9 KN- m.

Esquema de cálculos para el proceso iterativo:



Los valores antes obtenidos se escriben en el esquema de cálculo como se muestra a continuación:

Para realizar el proceso iterativo se aplica lo siguiente en cada uno de los nodos de la estructura:

M´ i− j=μ i− j . [∑M i− jF +∑ M´ j−i ]

Al aplicar esta ecuación en el primer nodo, el termino ∑M ´ j−i será cero, es decir se tendrá el valor del termino ∑M i− j

F .

El orden en que se realizan las iteraciones no tiene importancia. Sin embargo es de gran importancia efectuar la iteración en todos y cada uno de los nodos. Como se mencionó con anterioridad se recomienda empezar con el nodo que presenta el mayor termino ∑M i− j

F .En este ejercicio se opta por el siguiente orden de recorrido de nodos: C-B-A-

Primera Iteración

Nodo C:

MĆB = -0.5 *(9) = -45 KN-m

Nodo B

M´BA = -0.12 *(-1.5 – 4.5) = 0.72 KN-m

M´BC = -0.38 *(-1.5 -4.5) = 2.28 KN-m

Nodo A:

MĆB = 0 *(37.5 + 0.72) = 0 KN- m



Los valores recién calculados se colocan en el diagrama de cálculos como se muestra a continuación:

De igual manera se continuara haciendo con cada una de las iteraciones .

Segunda Iteración

MĆB = -0.5 *(9 + 2.28) = -5.64 KN- m

M´BA = -0.12 *(-1.5 +0 – 5.64) = 0.86 KN- m

M´BC = -0.38 *(-1.5 +0 – 5.64) = 2.71 KN- m

M´ AB = 0 *(37.5 + 0.86) = 0 KN- m

Tercera Iteración

MĆB = -0.5 *(9 + 2.71) = -5.86 KN- m

M´BA = -0.12 *(-1.5 +0 – 5.86) = 0.88 KN- m

M´BC = -0.38 *(-1.5 +0 – 5.86) = 2.80 KN- m

M´ AB = 0 *(37.5 + 0.88) = 0 KN- m

Cuarta Iteración

MĆB = -0.5 *(9 + 2.80) = -5.90 KN- m

M´BA = -0.12 *(-1.5 +5.90 -0) = 0.89 KN- m

M´BC = -0.38 *(-1.5 +5.90 -0) = 2.81 KN- m

M´ AB = 0 *(37.5 + 0.89) = 0 KN- m



Quinta Iteración

MĆB = -0.5 *(9 + 2.81) = -5.91 KN- m

M´BA = -0.12 *(-1.5 -5.90) = 0.89 KN- m

M´BC = -0.38 *(-1.5 - 5.90) = 2.82 KN- m

M´ AB = 0 *(37.5 + 0.89) = 0 KN- m

Sexta Iteración

MĆB = -0.5 *(9 + 2.82) = -5.91 KN- m

M´BA = -0.12 *(-1.5 -5.91) = 0.89 KN- m

M´BC = -0.38 *(-1.5 -5.91) = 2.82 KN- m

M´ AB = 0 *(37.5 + 0.89) = 0 KN- m

Como se puede observar, los valores de momento obtenidos en las dos últimas iteraciones son bastante parecidos, así que se da por terminado el proceso iterativo.

A continuación se muestra en el diagrama de cálculo los resultados obtenidos para cada iteración:

Cálculo de momentos extremos finales

Una vez terminado el proceso iterativo, se calculan los momentos en los extremos de cada barra con el uso de la ecuación (M ij= M ij

F + 2 M´ ij + M´ ij). Recuérdese que los valores a reemplazar en la ecuación anterior, son los correspondientes a la última iteración.



M AB = 37.5 + 2(0) + 0.89 = 38.39 KN-m.

MBA = -37.5 + 2(0.89) + 0 = -35.72 KN-m.

MBC = 36 + 2(2.82) – 5.91 = 35.73 KN-m.

MCB = -36+ 2(-5.91) = -45 KN-m.

M vol = 45 + 2(0) + 0 = 45 KN-m.

Estática de cada Barra

Una vez conocidos los momentos finales, se calculan los cortantes de los elementos por medio de la estática:

TRAMO AB:

∑M A= 0

38.39 – 35.72 – 30(5) + 10 V BA

V BA = 14.73

∑ F y= 0

V AB -30 + V BA = 0V AB = 15.27 KN.

TRAMO BC

V CB = 37.55 KN.



V BC = 34.45 KN.

TRAMO CD (voladizo)

V CB = 15 KN.

Cálculo de reacciones:

Conocidos los cortantes, se plantea equilibrio en cada nodo de la estructura para conocer el valor de las reacciones:

Equilibrio en Nodo A:

∑M nodo A= M A - M AB= 0

M A = M AB

M A = 38.39 KN.

∑ F y = RA - V AB = 0

RA = V AB = 15.27 KN

Equilibrio en Nodo B:

∑M nodo B= MBA - MBC= 0

35.72- 35.73= -0.01 ≅ 0

∑ F y = 0RB - V BA- V BC = 0

RB = V BA+ V BC = 49.18 KN

Equilibrio en Nodo C:



∑M nodo C= MCB - MCD= 0

45 - 45= 0

∑ F y = 0 RC - V CB- V CD = 0

RC = V CB + V CD = 52.55 KN

Equilibrio externo en la estructura:

Para comprobar que los valores obtenido son correctos, se plantea el equilibrio general para toda la estructura:

∑M A = 38.39 -30(5) + 10(49.18) – 12.6 (13) + 52.55 (16) – 15(19) =0

∑M A = -0.01 ≅ 0

∑ F y= 15.27 -30 + 49.18 -12.6 + 52.55+ -15 = 0

Luego se comprueba que el sistema está en equilibrio.





CONCLUSIONES

Los métodos de Kani y Cross son métodos tradicionales para el Análisis de Estructuras de gran importancia para el estudiante de ingeniería civil ya que le aporta los fundamentos teóricos sobre ellos, y a la vez desarrolla su capacidad para pensar lógica, racional y analíticamente y cultiva su apreciación, su sentido y su intuición, en relación con el comportamiento de las estructuras

Los métodos de Kani, Cross, Viga conjugada y Slope Deflection, entre otros, han constituido durante años la columna vertebral del análisis estructural cuya importancia se ha visto reducida con los avances actuales en computación.

No obstante el desarrollo de las calculadoras electrónicas y el perfeccionamiento de las herramientas Software, se hace necesario tener en cuenta la fundamentación de los métodos tradicionales ya que el conocimiento de ellos permite al estudiante de Ingeniería civil emitir juicios de valor respecto a unos resultados obtenidos.


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