Metoda Deformacija Z

8/20/2019 Metoda Deformacija Z

1/37

5.1 O SNOVNI POJMOVI

Stroga metodadeformacija EA

l 0 0 −

EAl

0 0

0 12EI

(1 + Φ) l36EI

(1 + Φ) l2 0 −

12EI (1 + Φ) l3

6EI l2

0 6EI

(1 + Φ) l24EI

(1 + Φ) l 0 −

6EI (1 + Φ) l2

2EI l

− EAl

0 0 EAl

0 0

0 −12EI

(1 + Φ) l3 −

6EI (1 + Φ) l2

0 12EI

(1 + Φ) l3 −

6EI l2

0 6EI

(1 + Φ) l22EI

(1 + Φ) l 0 −

6EI (1 + Φ) l2

4EI l

1 4

2 5

3 6

l

y

x

B r o j e v i m a s u o z n a ˇ c e n i l o k a l n i s t e p e n i s l o b o d e

k r e t a n j a .

( V a ˇ z i z a s v e .

)

Proizvoljan položaj štapovaTransformacija iz lokalnog u globalnikoordinatni sistem K glob = T T K loc T

Stroga metodadeformacija sa zanemarenjemdeformacije smicanja

Gornja matrica krutosti sa Φ = 0

Tehnička metodadeformacijaˇStap aksijalnokrut ⇔ zanemarenapodužna deformacija

EI

l3

12 6l − 12 6l6l 4l2 − 6l 2l2

− 12 − 6l 12 − 6l6l 2l2 − 6l 4l2

1 3

2 4

k1 k2 k3

EI l3

3 0 − 3 3l0 0 0 0

− 3 0 3 − 3l3l 0 − 3l 3l2

1 2

3

k1 k2 k3

EI l3

3 3l − 3 03l 3l2 − 3l 0

− 3 − 3l 3 00 0 0 0

Pošto su štapovi horizontalni ilivertikalni, izb jeći ćemo premnožavanjesa matricom transformacije

Moguće je formirati i matricekrutosti za štap sa otpuštenompoprečnom silom, što će biti datou zadacima

1 3

2

Štapovi horizontalni ili vertikalni

Metoda zaokretauglova

EI l

4 22 4

Matrica transformacije T = I Rotacija ostaje nepromijenjena prirotaciji koordinatnog sistema u ravnipa ovu matricu krutosti nije potrebnopremnožavati sa matricom transformacije

12

Proizvoljan položaj štapova 3EI

l 1

Metoda krutihrigli, a vertikalnihelastičnih stubova(ad hoc naziv;ovakav okvirse zove i“smičuća greda”)

12EI l3

1 − 1− 1 1 Bíce korǐsteno kod dinamǐckog proračuna

gdje ćemo (da bismo smanjili broj stepenislobode kretanja) pretpostaviti da su grede potpunokrute a stubovi aksijalno kruti.

1

2

Štap vertikalankod okvira sakrutom gredom

3EI l3

1 − 1− 1 1

1

2

RěsetkaEA

l

c2 cs − c2 − cscs s 2 − cs − s 2

− c2 − cs c 2 cs− cs − s 2 cs s 2

=

c 0s 00 c0 s

EAl

1 − 1− 1 1

c s 0 00 0 c s

u 1u 2u 3u 4

=

c 0s 00 c0 s

un 1u n 2

Matrica krutosti već premnoženasa matricom transformacije

1

3

2

4

α

l

c = cos αs = sin α

Slika 5.1: Matrice krutosti u lokalnom koordinatnom sistemu (osim štapa re šetke) za naj češće slu čajeve idealizacija ravnih linijskih kon-strukcija. Matrica krutosti elementa u globalnom koordinatnom sistemu se dobija transformacijom komponentalnih krutosti iz lokalnogu globalni koordinatni sistem dakle premnožavajući matricu krutosti sa matricom transformacije: K globe = T T K loke T . U slučaju kad seradi o horizontalnim i vertikalnim štapovima elementi matrice T su 1 i − 1 što nam omogu ćava da ekasno (a bez ra čunara) formiramoglobalnu matricu konstrukcije. U slučaju rešetke zbog proizvoljnosti položaja štapova ne možemo izbjeći matricu transformacije T alimožemo unaprijed proračunati T T K loke T što je gore i dato.

Biljěske sa vje ̌zbi - ver 0.14 - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba 93

http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statika


2/37

5. M ETODA DEFORMACIJA

T •i T •

k

M •i M •

k

l

y

x

M •i

M •k

T •i

T •k

P

a b− P

ab2

l2 P

a2 bl2

− P b2

l3 (3a + b) −

P a 2

l3 (a + 3 b)

M

a b− M

bl2

(2a − b) − M al2

(2b − a) − 6M abl3

6M abl3

p− pl

2

12 pl2

12 − pl

2 − pl

2l

p− pa

2

12l22l(3l − 4a) + 3 a 2

pa3

12l2(4l − 3a)

pa2

2l32al − a 2 −

2l3

a pa2

2l3(l − a)2 − l3

a

p− pl

2

20 pl2

30 − 7 pl

20 − 3 pl

20l

p− pa

2

60l2(10bl + 3 a 2 )

pa3

60l2(5b + 2 a)

pa60l3

(5a 2 b − 20al 2 − a 3

− 10abl − 30bl2 )

pa3

12l3(a − b − 2l)

a

− EIα t∆ T h

EIα t∆ T h

T gT d

∆ T = T d − T gT 0 = ( T d + T g )/ 2

Slika 5.2: Evivalentno optere ćenje na štapu kruto vezanom na oba kraja

94 Statika Konstrukcija I - siljak.ba/statika ,,, siljak.ba

http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statika


3/37

5.2 P RORA ̌CUN PRESJEČNIH SILA NA KRAJEVIMA ŠTAPOVA

5.1.1 Matematska konvencija o predznakupresječnih sila

U metodi deformacija koristimo matematsku konvenciju opredznacima presje čnih sila. Pozitivne sile i pomjeranja su datina slici 5.4

y

x

T ivi

T kvk

N iu i

N ku k

M iϕ i

M kϕk

i k

Slika 5.4: Matematska konvencija o predznacima pomjeranja isila - pozitivni smjerovi.

Dakle ako kao rezultat dobijemo vektor sila

T iM iT k

M k

=

0.0054.34

0.00

−54.34dobili smo konstantan momenat du ž štapa.

5.2 Proračun presječnih sila na krajevimaštapova

Presječne sile na krajevima štapa proračunavamo sa

f e = K e u e − s•

e (5.1)

gdje je

• f e vektor sila na krajevima štapa,

• K e matrica krutosti elementa,

• u e vektor pomjeranja čvorova štapa,

• s •e vektor ekvivalentng optere ćenja na kruto vezanomštapu dat u tabeli 5.2 za neke naj češće slu čajeveoptere ćenja.

5.2.1 Štap kruto vezan na oba kraja

M ik = kik 4ϕi + 2 ϕk − 6∆ iklik − M

•

ik

M ki = kik 2ϕi + 4 ϕk − 6∆ iklik − M

•

ki

T ik = kik 6ϕi + 6 ϕk − 12∆ iklik − T

•

ik

T ki = kik −6ϕi − 6ϕk + 12∆ iklik − T

•

ki

gdje je kik = EI lik i kik = EI l2ik

= kiklik

5.2.2 Štap kruto vezan u čvoru i a zglobno učvoru k

f e = K e u e − s◦

e (5.2)

M ik = kik 3ϕi − 3∆ iklik − M

◦

ik

M ki = 0

T ik = k ik 3ϕi − 3∆ iklik − T

◦

ik

T ki = −k ik 3ϕi − 3∆ iklik − T

◦

ki

ϕk = −0.5ϕi + 1 .5∆ iklik

+ 0 .25M •kikik

(5.3)

Vektor s •e predstavlja vektor ekvivalentnog optere ćenja naštapu kruto vezanom na oba kraja, dok sa oznakom s ◦eozna čavamo evivalentno optere ćenje na štapu sa otpu štenomnekom vezom, u gornjem slu čaju je to zglobna veza u čvoru k.

s•

e =T

•

ikM •ikT •kiM •ki

s◦

e =T

◦

ikM ◦ikT ◦kiM ◦ki

Veza izmedu sila na zglobno i kruto vezanom štapu postoji pa je za gornji slu čaj

M ◦ik = M •

ik −12

M •ki

M ◦

ki = 0

T ◦

ik = T •

ik − 1.5M •kilik

T ◦

ki = T •

ki + 1 .5

M •kilik

5.2.3 Štap kruto vezan u čvoru k a zglobno učvoru i

M ik = 0

M ki = kik 3ϕk − 3∆ iklik − M

◦

ik

T ik = k ik 3ϕk − 3∆ iklik − T

◦

ik

T ki = −k ik 3ϕk − 3∆ iklik − T

◦

ki

ϕi = −0.5ϕk + 1 .5∆ iklik

+ 0 .25M •ikkik

Veza izmedu sila na zglobno i kruto vezanom štapu postoji pa je za gornji slu čaj

M ◦

ik = 0

M ◦ki = M •

ki −12

M •ik

T ◦

ik = T •

ik − 1.5M •iklik

T ◦ki = T •

ki + 1 .5 M •

ik

lik


http://-/?-http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-http://-/?-


4/37


b)

K uu

c)

K

a)

K

K u kruto = 0K u def . = r u

T K u > 0, (u = 0 )

uT u K uu u u > 0, (u u = 0 )u

T

K u ≥ 0, (u = 0 )

K uu K urK ru K rr

u uu r

= r ur r

u u

u kruto

u def .

Slika 5.3: a) Deformaciona energija se može proračunati kao U = 12 u T Ku . Ako nema deformacije nema ni deformacione energije pa je za nenulte vektore u (za nula vektor trivijalno) koji predstavljaju pomjeranje konstrukcije kao kruto tijelo u T K u = 0 ; za vektorekoji predstavljaju deformisanje konstrukcije je u T K u > 0 ; Dakle za matricu K postoje nenulti vektori u za koje je kvadratna formau T K u = 0 i nenulti vektori u za koje je kvadratna forma pozitivna u T K u što je po deniciji pozitivno-semidenitna matrica, a takav sistem jednačina nema jedinstveno rješenje.b) Uobičajena procedura rješavanja sistema jednačina: uvrštavanje poznatih pomjeranja u r i rješavanje po nepoznatim pomjeranjimau u . Za svaki nenulti vektor u u je u T u K uu u u > 0 pošto dio konstrukcije koji odgovara K uu nemo že biti pomjeren bez deformisanja. Podeniciji pozitivno denitne matrice, matrica K uu je pozitivno denitna. Determinanta pozitivno denitne matrice je uvijek pozitivna,što zna či da matrica K uu nije singularna što dalje zna či da sistem K uu u u = f u ima jedinstveno rje šenjec) Druga mogućnost formiranja rješivog sistema jednačina konstrukcije je apliciranje opruga krutosti k . Ovdje se ne radi o opruzi sadva stepena slobode kretanja (iako ovdje možemo zamisliti i takav element, a onda uvršteno poznato pomjeranje 0 i lokalno statičkikondenzovan pa dobijen element sa jednim stepenom slobode kretanja) ve ć o opruzi sa jednim stepenom slobode kretanja čija je

jednačuna ravnoteže ku = f gdje su k , u i f skalari. k se ovdje dodaje globalnoj matrici krutosti, naravno, samo na dijagonalni elementGlob K SSKO,SSKO gdje je SSKO stepen slobode kretanja u kojem je aplicirana opruga. Apliciranjem opruga se sprije či pomjeranjekonstrukcije kao kruto tijelo i dobije pozitivno denitna matrica sistema jednačina.




5/37

5.3 Z ADA CI

5.3 Zadaci

Zadatak 1 Prora čunati ugib u sredini grede na slici 5.5metodom deformacija. Pretpostaviti da je greda aksijalno kruta.

l

g

EI

Slika 5.5

Rjěsenje U sredini grede ćemo umetnuti čvor. Matrica krutostištapa zglobno vezanog na jednom kraju koji ima dva stepenaslobode kretanja, koja su pomjeranja čvorova okomito na štap je

3EI l3

1 −1

−1 1

1 321 2

1

Slika 5.6: Obilje žavanje čvorova, štapova i stepeni slobode kre-tanja.

Matrice krutosti štapova sa obilje ženim globalnim stepenimaslobode kretanja:

1 0 1

0 3EI

(l/ 2) 3 −3EI

(l/ 2) 3

1 −3EI

(l/ 2) 33EI

(l/ 2) 3

2 1 0

1 3EI

(l/ 2) 3 −3EI

(l/ 2) 3

0 −3EI

(l/ 2) 33EI

(l/ 2) 3

K 11 = 3EI (l/ 2) 3

+ 3EI (l/ 2) 3

= 48EI

l3

Opterećenje

T ◦ki = T •

ki + 1 .5M •iklik

= −gl

2

·2

+ 1 .5−g(l/ 2)2

12

·l/ 2

= −5gl16

T ◦ik = T •

ik − 1.5M •kilik

= −gl

2 ·2 −1.5

g(l/ 2) 2

12 · l/ 2 = −

5gl16

f 1 = −5gl16 −

5gl16

= −5gl8

Postavljamo jedna činu metode deformacija i rje šavamo

K 11 u 1 = f 1 ⇒48EI

l3 u1 = −

5gl8 ⇒u 1 = −

5gl4

384EI


http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-


6/37


Zadatak 2 Metodom deformacija odrediti pomjeranja ipresječne sile za konstrukciju na slici 5.7 .E = 2 · 10

7 kN/m 2 . Pretpostaviti da su svi štapovi aksijalnokruti.

4 m

3 m 3 m

150 kN

100 kN

10 kN/m

30 / 50

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

Slika 5.7

Rjěsenje

1

2

1

34

1

2 3 4

5

1 2

3 4

y

x

x

y

Slika 5.8: Obilježavanje čvorova, štapova i stepena slobodekretanja. Po što se pretpostavlja aksijalna krutost štapova,čvorovi 2 i 4 imaju isti SSK “ 1 ” u horizontalnom pravcu, amogućnost vertikalnog pomjeranja čvorova 2 i 4 ne postoji

1 1 2 0 0

1 3EI s

l3s3EI s

l2s −3EI s

l3s0

2 3EI s

l2s3EI s

ls −3EI s

l2s0

0

−

3EI s

l3

s −

3EI s

l2

s

3EI s

l3

s

0

0 0 0 0 0

2 1 3 0 0

1 3EI s

l3s3EI s

l2s −3EI s

l3s0

3 3EI s

l2s3EI s

ls −3EI s

l2s0

0

−

3EI s

l3

s −

3EI s

l2

s

3EI s

l3

s

0

0 0 0 0 0

3 0 2 4 0

0 3EI gl3g

3EI gl2g −

3EI gl3g

0

2 3EI gl2g

3EI glg −

3EI gl2g

0

4 −3EI g

l3g −3EI g

l2g3EI g

l3g0

0 0 0 0 0

4 4 0 0 3

4 3EI gl3g

0 −3EI g

l3g3EI g

l2g

0 0 0 0 0

0 −3EI g

l3g0 3EI g

l3g −3EI g

l2g

3 3EI gl2g

0 −3EI g

l2g3EI g

lg

K 1 , 1 = 3EI s

l3s+

3EI sl3s

= 1265 .625

K 1 , 2 = 3EI s

l2s= 2531 .25

K 1 , 3 = 3EI s

l2s= 2531 .25

K 2 , 2 = 3EI s

ls+ 3EI g

lg= 72625 .00

K 2 , 4 = −3EI gl2g = −20833.333

K 3 , 3 = 3EI s

ls+ 3EI g

lg= 72625 .00

K 3 , 4 = 3EI g

l2g= 20833 .333

K 4 , 4 = 3EI g

l3g+

3EI gl3g

= 13888 .889

Matrica krutosti

K =

1265.625 2531.250 2531.250 072625.000 0 −20833.33372625.000 20833.333simetricno 13888.889

Vektor sila

Za kruto vezan štap 3

M •23 = −q · l

2

12 = −

10 ·32

12 = −7.5

M •

32 = q

·l2

12 = 10

·32

12 = 7 .5

V •

23 = −q · l

2 = −

10 ·32

= −15.0

V •32 = −q · l

2 = −

10 ·32

= −15.0

Za štap 3 zglobno vezan u čvoru 3

M ◦

23 = M •

23 − 0.5 ·M •

32 = −7.5 − 0.5 ·7.5 = −11.25M ◦32 = 0

V ◦23 = V •

23

−1.5

M •32

l23

=

−15

−1.5

7.5

3 =

−18.75

V ◦32 = V •

32 + 1 .5M •32l23

= −15 + 1 .57.53

= −11.25

f = f 3 + f n =

0.00

−11.250.00−11.25

+

100.000.000.00

−150.00=

100.00

−11.250.00−161.25

Rješenjem sistema K u = f dobijaju se pomjeranja

u =

0.092172

−0.0277340.021154−0.084943


http://-/?-http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-


7/37

5.3 Z ADA CI

Prora čun rotacija krajeva štapa u čvoru 3

ϕ◦

32 = −0.5 ·ϕ23 + 1 .5∆ 23l23

+ 0 .25 ·M •32k23

ϕ◦

34 = −0.5 ·ϕ43 + 1 .5∆ 34l34

+ 0 .25 ·M •34k34

k23 = EI l23

= 2 ·10

7

·0.0031253

= 20833 .333

k34 = EI l34

= 2 ·10

7

·0.0031253

= 20833 .333

∆ 23 = vk − vi = −0.084943 − 0 = −0.084943∆ 34 = vk − vi = 0 − (−0.084943) = 0 .084943

ϕ◦

32 = −0.5 · (−0.027734) + 1 .5−0.084943

3 + 0 .25 ·

7.520833.333

=

−0.028514 (5.4)

ϕ◦

34 = −0.5 ·0.021154 + 1 .50.084943

3 + 0 .25 ·

0k34

= 0 .031894 (5.5)

Uvodenje stepena slobode kretanja u proračun

Sad ćemo, da bismo vježbali metodu deformacija, uvesti stepenslobode kretanja 5 u proračun, kako je prikazano na slici 5.9 .U ovom slučaju štap 3 je kruto vezan na oba kraja, dok je štap4 štap sa otpuštenim momentom kod čvora 3 čime se ostvarujezglobna veza u čvoru 3.

5

1

2

1

34

1

2 3 4

5

1 2

3 4

y

x

x

y

Slika 5.9

1 1 2 0 0

1 3EI s

l3s3 EI s

l 2s −3EI s

l3s0

2 3EI sl2s

3EI sls −

3EI sl2s

0

0 −3EI s

l3s −3EI s

l2s3EI s

l3s0

0 0 0 0 0

2 1 3 0 0

1 3EI s

l3s3EI s

l2s −3EI s

l3s0

3 3EI sl2s

3EI sls −

3EI sl2s

0

0 −3EI s

l3s −3EI s

l2s3EI s

l3s0

0 0 0 0 0

3 0 2 4 5

0 12EI gl3g

6EI gl2g −

12EI gl3g

6EI gl2g

2 6EI g

l2g

4EI g

lg −6EI g

l2g

2EI g

lg

4 −12EI g

l3g −6EI g

l2g12EI g

l3g −6EI g

l2g

5 6EI gl2g

2EI glg −

6EI gl2g

4EI glg

4 4 0 0 3

4 3EI gl3g

0 −3EI g

l3g3EI g

l2g

0 0 0 0 0

0 −3EI g

l3g0 3EI g

l3g −3EI g

l2g

3 3EI g

l2g0 −

3EI gl2g

3EI glg

K 1 , 1 = 3EI s

l3s+

3EI sl3s

= 1265 .625

K 1 , 2 = 3EI s

l2s= 2531 .25

K 1 , 3 = 3EI s

l2s= 2531 .25

K 2 , 2 = 3EI s

ls+ 4EI g

lg= 93458 .333

K 2 , 4 = −6EI g

l2g= −41666.667

K 2 , 5 = 2EI g

lg= 41666 .667

K 3 , 3 = 3EI s

ls+

3EI glg

= 72625 .00

K 3 , 4 = 3EI g

l2g= 20833 .333

K 4 , 4 = 12EI g

l3g+

3EI gl3g

= 34722 .222

K 4 , 5 = −6EI g

l2g= −41666.667

K 5 , 5 = 4EI g

lg= 83333 .333

Matrica krutosti

K =1265.625 2531.250 2531.250 0 0

93458.333 0 −41666.667 41666.66772625.000 20833.333 0simetricno 34722.222 −41666.667

83333.333

Vektor sila

Za kruto vezan štap 3

M •

23 = −q · l

2

12 = −

10 ·32

12 = −7.5

M •32 = q · l

2

12 =

10 ·32

12 = 7 .5

V •23 = −q · l

2 = −

10 ·32

= −15.0

V •

32 = −q · l

2 = −

10 ·32

= −15.0

Globalni vektor sila

f =

100.00

−7.500.00−165.007.50


u =

0.092172

−0.0277340.021154−0.084943−0.028514

Zaključujemo da je

u 5 = ϕ◦32




8/37


što je prora čunato jedna činom 5.4 .

Prora čun rotacije kraja štapa 3 u čvoru 3:

∆ 34 = vk − vi = 0 − (−0.084943) = 0 .084943 (5.6)

ϕ◦

34 =

−0.5

·ϕ43 + 1 .5

∆ 34

l34+ 0 .25

·M •34

k34

ϕ◦

34 = −0.5 ·0.021154 + 1 .50.084943

3 + 0 .25 ·

0k34

= 0 .031894 (5.7)

Uvodenje jo š jednog stepena slobode kretanja u prora čun

Sad ćemo, ponovo u svrhu vje žbanja metode deformacija,uvesti stepen slobode kretanja 6 u prora čun, kako je prikazanona slici 5.10 . Štapovi 3 i 4 su kruto vezani na oba kraja, aliimaju razli čite rotacione stepene slobode kretanja u čvoru 3 iisti vertikalni ( 4) SSK čime se ostvaruje zglobna veza.

5 6

1

2

1

3

4

1

2 3 4

5

1 2

3 4

y

x

x

y

Slika 5.10

1 1 2 0 0

1 3EI s

l3s3 EI s

l 2s −3EI s

l3s0

2 3EI s

l2s3EI s

ls −3EI s

l2s0

0 −3EI s

l3s −3EI s

l2s3EI s

l3s0

0 0 0 0 0

2 1 3 0 0

1 3EI s

l3s3EI s

l2s −3EI s

l3s0

3 3EI s

l2s3EI s

ls −3EI s

l2s0

0 −3EI s

l3s −3EI s

l2s3EI s

l3s0

0 0 0 0 0

3 0 2 4 5

0 12EI g

l3g

6EI g

l2g −

12EI g

l3g

6EI g

l2g

2 6EI gl2g

4EI glg −

6EI gl2g

2EI glg

4 −12EI g

l3g −6EI g

l2g12EI g

l3g −6EI g

l2g

5 6EI gl2g

2EI glg −

6EI gl2g

4EI glg

4 4 6 0 3

4 12EI g

l3g

6EI g

l2g −

12EI g

l3g

6EI g

l2g

6 6EI gl2g

4EI glg −

6EI gl2g

2EI glg

0 −12EI g

l3g −6EI g

l2g12EI g

l3g −6EI g

l2g

3 6EI gl2g

2EI glg −

6EI gl2g

4EI glg

K 1 , 1 = 3EI s

l3s+

3EI sl3s

= 1265 .625

K 1 , 2 = 3EI s

l2s= 2531 .25

K 1 , 3 = 3EI s

l2s= 2531 .25

K 2 , 2 = 3EI s

ls+ 4EI g

lg= 93458 .333

K 2 , 4 = −6EI g

l2g= −41666.667

K 2 , 5 = 2EI g

lg= 41666 .667

K 3 , 3 = 3EI s

ls+

4EI glg

= 93458 .333

K 3 , 4 = 6EI g

l2g= 41666 .667

K 3 , 6 = 2EI g

lg= 41666 .667

K 4 , 4 = 12EI gl3g+ 12EI g

l3g= 55555 .556

K 4 , 5 = −6EI g

l2g= −41666.667

K 4 , 6 = 6EI g

l2g= 41666 .667

K 5 , 5 = 4EI g

lg= 83333 .333

K 6 , 6 = 4EI g

lg= 83333 .333

Matrica krutosti

K =1265.625 2531.250 2531.250 0 0 0

93458.333 0 −41666.667 41666.667 093458.333 41666.667 0 41666.66755555.556 −41666.667 41666.667simetricno 83333.333 0

83333.333


f =

100.00

−7.500.00

−165.007.500.00


u =

0.092172

−0.0277340.021154−0.084943−0.0285140.031894

Možemo zaklju čiti da je

u 6 = ϕ◦34

prora čunato jedna činama 5.5 i 5.7


http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


9/37

5.3 Z ADA CI

Prora čun presje čnih sila na krajevima štapova

Presje čne sile na krajevima štapa prora čunavamo sa

f e = K e u e − s•

e

U razvijenom obliku mo žemo pisati

Za kruto vezan štap

M ik = kik 4ϕi + 2 ϕk − 6∆ iklik − M

•

ik

M ki = kik 2ϕi + 4 ϕk − 6∆ iklik − M

•

ki

T ik = kik 6ϕi + 6 ϕk − 12∆ iklik − T

•

ik

T ki = kik −6ϕi − 6ϕk + 12∆ iklik − T

•

ki

gdje je kik = EI lik

i k ik = EI l2ik

Za štap kruto vezan u čvoru i, a zglobno u čvoru k

M ik = kik 3ϕi − 3∆ iklik − M

◦

ik

M ki = 0

T ik = kik 3ϕi − 3∆ iklik − T

◦

ik

T ki = −k ik 3ϕi − 3∆ iklik − T

◦

ki

Štap zglobno vezan u čvoru i, a kruto u čvoru k

M ik = 0

M ki = kik 3ϕk − 3 ∆ iklik − M ◦

ik

T ik = kik 3ϕk − 3∆ iklik − T

◦

ik

T ki = −k ik 3ϕk − 3∆ iklik − T

◦

ki

Na stranici 102 dat je numeri čki prora čun presje čnih sila nakrajevima štapova.

-47.5 -

4 7

. 5 - 4 4 7

. 5

-447.5

M-

-

11.875

11.875

- 3 0

. 8 3 3

- 0

. 8 3 3

1 4 9

. 1 6 7

1 4 9

. 1 6 7

-111.875

-111.875

T

-

+

-30.833

-30.833

- 1 1

. 8 7 5

- 1 1

. 8 7 5

- 1 1

. 8 7 5

-1 49.167

-149.167

N

--

Slika 5.11: Dijagrami presje čnih sila


http://-/?-http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-


10/37


Štap 1

M 21 = 3375 .0 · 3 · (−0.027734) − 3−0.092172

4 = −47.5

M 12 = 0

T 21 = 843 .75 3 · (−0.027734) − 3−0.092172

4 = −11.875

T 12 = −843.75 3 · (−0.027734) − 3−0.092172

4 = 11 .875

Štap 2

M 23 = 20833 .333 4 · (−0.027734) + 2 · (−0.028514) − 6−0.084943

3 − (−7.5) = 47 .50

M 32 = 20833 .333 2 · (−0.027734) + 4 · (−0.028514) − 6−0.084943

3 − 7.5 = 0 .00

T 23 = 6944 .444 6 · (−0.027734) + 6 · (−0.028514) − 12−0.084943

3 − (−15.0) = 30 .833

T 32 = 6944 .444 −6 · (−0.027734) − 6 · (−0.028514) + 12 −0.084943

3 − (−15.0) = −0.833

Štap 3

M 34 = 20833 .333 4 ·0.031894 + 2 ·0.021154 − 6−(−0.084943)

3 = 0 .00

M 43 = 20833 .333 2 ·0.031894 + 4 ·0.021154 − 6−(−0.084943)

3 = −447.50

T 34 = 6944 .444 6 ·0.031894 + 6 ·0.021154 − 12 −(−0.084943)

3 = −149.167

T 43 = 6944 .444 −6 ·0.031894 − 6 ·0.021154 + 12 −(−0.084943)

3 = 149 .167

Štap 4

M 45 = 3375 .0 · 3 ·0.021154 − 3−0.0921724 = 447 .50M 54 = 0

T 45 = 843 .75 3 ·0.021154 − 3−0.092172

4 = 111 .875

T 54 = −843.75 3 ·0.021154 − 3−0.092172

4 = −111 .875




11/37

5.3 Z ADA CI

Zadatak 3 Zglob u čvoru 3 na konstrukciji iz prethodnogzadatka ukrutiti vezom krutosti cM = 5000 kNm/rad kako je prikazano na slici 5.12 . Prora čunati pomjeranja čvorova,presje čne sile i nacrtati dijagrame presje čnih sila.E = 2 ·10

7 kN/m 2 .

4 m

3 m 3 m

150

100 kN

10 kN/m

30 / 50

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

cM = 5000 kN mrad

3

Slika 5.12

Rjěsenje Obilje žićemo stepene slobode kretanja kao u prethod-nom zadatku

5 6

1

2

1

3

4

1

2

3

4

5

1 2

3 4

c M = 5000kN m

rad

y

x

x

y

Slika 5.13

Matrica krutosti opruge je k −k−k k

Sa slike 5.13 vidimo

da opruga povezuje SSK 5 i 6 pa ćemo sljede ću matricu dodati

matrici krutosti konstrukcije koju smo prora čunali u prethod-nom zadatku

5 6

5 5000 −50006 −5000 5000

pa dobijamo

K =1265.625 2531.250 2531.250 0 0 0

93458.333 0 −41666.667 41666.667 093458.333 41666.667 0 41666.667

55555.556 −41666.667 41666.667simetricno

83333.333+5000.000

0-5000.000

83333.333+5000.000

Globalni vektor sila ostaje isti kao u prethodnom zadatku

f =

100.00

−7.500.00−165.007.50

0.00


u =

0.092172

−0.0156450.009065−0.039863−0.0105500.013930

Sila u opruzi

f opr = 5000 −5000−5000 5000 ·

−0.0105500.013930 = −122.401122.401

74.9 7 4

. 9

1 2 2

. 4

- 3 2 5

. 1

-325.1

M

-

-

18.73

18.73

- 3 0

. 8 3 3

- 0

. 8 3 3

1 4 9

. 1 6 7

1 4 9

. 1 6 7

-81.27

-81.27

T

-

+

-30.833

-30.833 1 8

. 7 3

1 8

. 7 3

1 8

. 7 3

-149.167

-149.167

N

--

Slika 5.14: Dijagrami presječnih sila




12/37


Zadatak 4 Konstrukciju iz prethodnog zadatka prora čunati saelastičnim osloncima umjesto krutih, prema slici 5.15 .

5 6

12

13

48 10

7

8

9

10

1

2

3

4

5

1 2

3 4

cM = 5000 kN mrad

c1 = 3 · 10 4 kN/m c 5 = 2 · 10 4 kN/m

yx

x

y

Slika 5.15

Rjěsenje Na slici 5.15 su takoder dati stepeni slobode kretanja.Možemo primijetiti da smo u čvorovima 1 i 5 uveli dodatnestepene slobode kretanja 7, 8 i 9, 10. Uvode ći stepen slobodekretanja 8 u čvoru 1, a zadr žavaju ći pretpostavku o aksijalnojkrutost štapova, čvor 2 takode dobija mogu ćnost pomjeranja 8.Isto važi i za čvor 4 i SSK 10.

1 1 2 7 0

1 3EI s

l3s3 EI s

l 2s −3EI s

l3s0

2 3EI sl2s

3EI sls −

3EI sl2s

0

7 −3EI sl3s −3EI sl2s 3EI sl3s 0

0 0 0 0 0

2 1 3 9 0

1 3EI s

l3s3EI s

l2s −3EI s

l3s0

3 3EI sl2s

3EI sls −

3EI sl2s

0

9 −3EI sl3s −3EI sl2s 3EI sl3s 0

0 0 0 0 0

3 8 2 4 5

8 12EI g

l3g6EI g

l2g −12EI g

l3g6EI g

l2g

2 6EI gl2g

4EI glg −

6EI gl2g

2EI glg

4 −12EI g

l3g −6EI g

l2g12EI g

l3g −6EI g

l2g

5 6EI gl2g

2EI glg −

6EI gl2g

4EI glg

4 4 6 10 3

4 12EI g

l3g6EI g

l2g −12EI g

l3g6EI g

l2g

6 6EI gl2g

4EI glg −

6EI gl2g

2EI glg

10 −12EI g

l3g −6EI g

l2g12EI g

l3g −6EI g

l2g

3 6EI gl2g

2EI glg −

6EI gl2g

4EI glg

Vektor sila

f =

100.00

−7.500−165.007.50

00

−15.0000

Rješenjem sistema K u = f dobijamo

u =

0.098800

−0.0169720.008249−0.044748−0.0117940.013031

0.000639−0.0010280.004042−0.007458

76.63 7 6

. 6 3

1 2 4

. 1 2 6

- 3 2 3

. 3 7 4

-323.374

M

-

-

19.16

19.16

- 3 0

. 8 3 3

- 0

. 8 3 3

1 4 9

. 1 6 7

1 4 9

. 1 6 7

-80.844

-80.844

T

-

+

-30.833

-30.833 1 9

. 1 5 6

1 9

. 1 5 6

1 9

. 1 5 6

-149.167

-149.167

N

--

Slika 5.16: Dijagrami presje čnih sila


http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-http://-/?-


13/37

5.3 Z ADA CI

1265 .625 2531 .250 2531 .250 0 0 0 − 632 .813 0 − 632 .813 093458 .333 0 − 41666 .667 41666 .667 0 − 2531 .250 41666 .667 0 0

93458 .333 41666 .667 0 41666 .667 0 0 − 2531 .250 − 41666 .66755555 .556 − 41666 .667 416 66 .667 0 − 27777 .778 0 − 27777 .778

88333 .333 − 5000 .000 0 41666 .667 0 088333 .333 0 0 0 − 41666 .667

30632 .813 0 0 0simetricno 57777 .778 0 0

20632 .813 047777 .778




14/37


Zadatak 5 Metodom deformacija odrediti pomjeranja ipresječne sile za konstrukciju na slici 5.17

50 kN

6 m

2 m

4 m

3 m

50 kN

1 0 k N / m

30 / 40

30 / 40

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

Slika 5.17

∆ 1 ∆ 1

∆ 2 ∆ 2

1 2

3 4

3

4

1

2

5

6

1 2

34

56

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

yx

Y

X

Slika 5.18: Obilje žavanje stepeni slobode kretanja

Rjěsenje

Postavljanjem Takabejevih jedna čina

Pomjeranja koja se traže

• Rotacije čvorova ϕ3 ,ϕ4 ,ϕ5 ,ϕ6

• Translatorna pomjeranja ∆ 1 , ∆ 2

Takabejeve jedna čine

Štap kruto vezan na oba kraja

ik ki

M ik M ki

i k

EI

l

Slika 5.19

M ik = kik 2ϕi + ϕk − 3∆ iklik − M

•

ik

M ki = kik ϕi + 2 ϕk − 3∆ iklik − M

•

ki

T ik = k ik ϕi + ϕk − 2∆ iklik − T

•

ik

T ki = k ik −ϕi −ϕk + 2∆ iklik − T

•

ki

gdje je kik = 2EI

lik, k ik =

6EI l2ik

, k ik = 3kik

lik

Štap sa oslobodenim momentom na kod čvora i

T ik T ki

M ki

i k

EI

l

Slika 5.20

M ik = 0

M ki = 1 .5kik ϕk −∆ iklik − M

◦

ki

T ik = 0 .5k ik ϕk −∆ iklik − T

◦

ik

T ki = −0.5k ik ϕk −∆ iklik − T

◦

ki

Štap sa oslobodenim momentom na kod čvora k

T ik T ki

M ik

i k

EI

l

Slika 5.21

M ik = 1 .5kik ϕi −∆ iklik − M

◦

ik

M ki = 0

T ik = 0 .5k ik ϕi −∆ iklik − T

◦

ik

T ki = −0.5k ik ϕi −∆ iklik − T

◦

ki




15/37

5.3 Z ADA CI

Postavljanje Takabejevih jedna čina ravnote že

Rotacija čvora 3

M 31 = 1 .5 ·10125 ϕ3 − −∆ 14 − 20

M 34 = 1 .5 ·16000(ϕ3 ) − (−55.555)M 35 = 13500 [2ϕ3 + ϕ5 − (−∆ 2 ) − (−7.5)]

M 31 = 15187 .5 ·ϕ3 +3796 .875 ·∆ 1 − 20.00M 34 = 24000 .0 ·ϕ3 +55 .555M 35 = 27000 .0 ·ϕ3 +13500 .000 ·ϕ5 + 13500 ·∆ 2 + 7 .5

k =1 , 4 , 5

M 3 k = 0

66187.5·ϕ3 +13500 ·ϕ5 +3796 .875·∆ 1 +13500 ·∆ 2 +43 .055 = 0Rotacija čvora 4

M 42 = 10125 [2ϕ4 − 0.75(−∆ 1 )]M 46 = 13500 [2ϕ4 + ϕ6

−(

−∆ 2 )]

M 42 = 20250 ·ϕ4 +7593 .75 ·∆ 1M 46 = 27000 ·ϕ4 +13500 ·ϕ6 + 13500 ·∆ 2

k =2 , 6

M 4 k = 0

47250 ·ϕ4 + 13500 ·ϕ6 + 7593 .75 ·∆ 1 + 13500 ·∆ 2 = 0Rotacija čvora 5

M 53 = 13500 [ϕ3 + 2 ϕ5 − (−∆ 2 ) − 7.5]M 56 = 16000 (2 ϕ5 + ϕ6 )

M 53 = 13500 ·ϕ3 +27000 ·ϕ5 + 13500 ·∆ 2 − 7.5M 56 = 32000 ·ϕ5 +16000 ·ϕ6

k =3 , 6

M 5 k = 0

59000 ·ϕ5 + 13500 ·ϕ3 + 16000 ·ϕ6 + 13500 ·∆ 2 − 7.5 = 0Rotacija čvora 6

M 65 = 16000 ( ϕ5 + 2 ϕ6 )M 64 = 13500 [ϕ4 + 2 ϕ6 − (−∆ 2 )]

M 65 = 16000 ·ϕ5 +32000 ·ϕ6M 64 = 13500 ·ϕ4 +27000 ·ϕ6 + 13500 ·∆ 2

k =4 , 5

M 6 k = 0

59000 ·ϕ6 + 13500 ·ϕ4 + 16000 ·ϕ5 + 13500 ·∆ 2 = 0Pomjeranje ∆ 1

T 31 = −0.5 ·7593.75 ϕ3 − −∆ 14 − (−25)

T 42 = 7593 .75 −ϕ4 + 2 −∆ 14

T 31 = −3796.875 ·ϕ3 − 949.21875∆ 1 + 25T 42 = −7593.750 ·ϕ4 − 3796.875 ·∆ 1

T I = T 31 + T 42 + P = 0

−3796.875 ·ϕ3 − 7593.750 ·ϕ4 − 4746.094∆ 1 = −105Pomjeranje ∆ 2

T 53 = 13500 −ϕ3 −ϕ5 + 2 −∆ 23 − (−15)

T 64 = 13500 −ϕ6 −ϕ4 + 2 −∆ 23

T 53 = −13500 ·ϕ3 − 13500 ·ϕ5 − 9000∆ 2 + 15T 64 = −13500 ·ϕ6 − 13500 ·ϕ4 − 9000∆ 2

T II = T 53 + T 64 + P = 0

−13500·ϕ3 −13500·ϕ4 −13500·ϕ5 −13500·ϕ6 −18000∆ 2 = −65Kona čno mo žemo napisati sistem jedna čina

ϕ3 ϕ4 ϕ5 ϕ6 ∆ 1 ∆ 266187.5 0 13500 0 3796.875 13500

0 47250 0 13500 7593.75 1350013500 0 59000 16000 0 13500

0 13500 16000 59000 0 135003796.875 7593.75 0 0 4746.094 0

13500 13500 13500 13500 0 18000

ϕ3

ϕ4

ϕ5

ϕ6

∆ 1∆ 2

=

−43.05507.50

10565

Rješenjem sistema jedna čina dobijaju se pomjeranja

ϕ3

ϕ4

ϕ5

ϕ6

∆ 1∆ 2

=

−0.0079122−0.0149656−0.0032522−0.00121220.0523981

0.0241177

(5.8)

Sad ćemo istu konstrukciju rije šiti koriste ći Scilab. U prvomkoraku implementirácemo matrice krutosti štapova (kruto izglobno vezan) i odgovarajuće vektore opterećenja, a zatimćemo formirati skriptu kojom ćemo proračunati konstrukciju.

Takode ćemo uvesti dodatne stepene slobode kretanja kakobismo dobili sva pomjeranja, reakcije i presje čne sile koriste ći jedinstvenu kompaktnu formu prora čuna. Da pojasnimo ovo,dakle u prethodnoj sekciji smo za štapove 3 i 5 koji imajuotpu šten momenat u čvoru k koristili kondenzovanu matricukrutosti pa rotacija kraja štapa ϕk kod čvora k nije guri-rala u globalnom sistemu jedna čina, ve ć rotaciju kraja štapamoramo prora čunati naknadno koriste ći jednakost 5.3 , dok ćemo u sljedećem uvesti stepene slobode kretanja 7 i 8 (vidjetisliku 5.22 ) a onda štapove 3 i 5 posmatrati kao kruto vezane.Zglobna veza izmedu štapa 5 i ostalih štapova u čvoru 4 jepostignuta time što ostali štapovi imaju različit stepen slobodekretanja u čvoru 4 (SSK 2)


http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-http://-/?-


16/37


5 5

6 6

1 28

3 4

9

9

9

11

11

11

7 1310 12

3

4

1

2

5

6

12

3 4

5 6

x

y

x

y

x

y

x

y

yx

yx

Y

X

Slika 5.22: Obilje žavanje stepeni slobode kretanja. Štapovi suaksijalno kruti.

Listing 5.1: Formiranje matrice krutosti u lokalnom koordinatnomsistemu, Greda2D4x4.sci

1 function rezultat = Greda2D4x4(idx, koordinate, elementi,presjek)

2 // Greda2D4x4 - Matrica krutosti ravnog grednog stapa3

4 Em = presjek(1);5 I = presjek(2);6

7 x1 = koordinate(elementi(idx, 1), 1);8 y1 = koordinate(elementi(idx, 1), 2);9 x2 = koordinate(elementi(idx, 2), 1);

10 y2 = koordinate(elementi(idx, 2), 2);11

12 duzina = sqrt((x2 - x1)̂ 2 + (y2 - y1)ˆ2);13

14 km12 = 12 * Em * I / duzinaˆ3;15 km6= km12 * duzina / 2;16 km4= km6 * duzina / 1.5;17 km2= km4 / 2;18

19 rezultat = [20 km12 km6 -km12 km621 km6 km4 -km6 km222 -km12 -km6 km12 -km623 km6 km2 -km6 km4];24 endfunction

Listing 5.2: Vektor ekvivalentnog optere ćenja od ravnomjernoraspodjeljenog opterećenja, RavnomjernoOpt.sci

25 function rezultat = RavnomjernoOpt(idx, koordinate, elementi,p)

26 // RavnomjernoOpt - Vektor ekvivalentnog opterecenja na gredi27 // od ravnomjernog opterecenja28

29 x1 = koordinate(elementi(idx, 1), 1);30 y1 = koordinate(elementi(idx, 1), 2);31 x2 = koordinate(elementi(idx, 2), 1);32 y2 = koordinate(elementi(idx, 2), 2);33

34 d = sqrt((x2 - x1)ˆ2 + (y2 - y1)̂ 2);35

36 rezultat = [37 p*d/238 p*dˆ2/1239 p*d/240 -p*dˆ2/12];41

42 endfunction

Listing 5.3: Vektor ekvivalentnog opterećenja od koncentrične sileokomito na gredu, KoncOpt.sci

43 function rezultat = KoncOpt(idx, koordinate, elementi, P, a)44 // KoncOpt - Vektor ekvivalentnog opterecenja na gredi

45 // od koncentricne sile okomito na gredu46


52 d = sqrt((x2 - x1)ˆ2 + (y2 - y1)ˆ2);53 b = d - a;54

55 rezultat = [56 P*b*b*(3*a+b)/(dˆ3)57 P*a*b*b/dˆ258 P*a*a*(3*b+a)/(dˆ3)59 -P*a*a*b/dˆ260 ];61 endfunction

Sa ovim možemo napisati sljedeću skriptu

Listing 5.4: Prora čun konstrukcije, Zadatak5.sce

62 // Tehnicka metoda deformacija63 // Zadatak 564 // ***********************************************************65 clear;

66 clc;67 exec ( ./Greda2D4x4.sci , -1);68 exec ( ./RavnomjernoOpt.sci , -1);69 exec ( ./KoncOpt.sci , -1);70

71 // ******************* ULAZNI PODACI *************************72 // duzina m; sila kN;73

74 // E I75 presjekG = [3*10 7̂, 0.3*0.4ˆ3/12];76 presjekS = [3*10ˆ7, 0.3ˆ4/12];77

78 // Koordinate cvorova79 koordinate = [80 0 081 6 082 0 483 6 484 0 785 6 7];86

87 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima88 elementi =[89 2 490 4 691 1 392 3 593 3 494 5 6];95

96 SSKEL = [97 5 2 12 1398 6 4 5 299 5 1 10 7

100 6 3 5 1101 9 1 11 8102 9 3 11 4] ;103

104 Kels = hypermat([4 4 size (elementi, r )]);105 Fels = hypermat([4 1 size (elementi, r )]);106

107 Kels(:,:,1) = Greda2D4x4(1, koordinate, elementi, presjekS);108 Kels(:,:,2) = Greda2D4x4(2, koordinate, elementi, presjekS);109 Kels(:,:,3) = Greda2D4x4(3, koordinate, elementi, presjekS);110 Kels(:,:,4) = Greda2D4x4(4, koordinate, elementi, presjekS);111

112 Kels(:,:,5) = Greda2D4x4(5, koordinate, elementi, presjekG);113 Kels(:,:,6) = Greda2D4x4(6, koordinate, elementi, presjekG);114

115

116 Fels(:,:,3) = RavnomjernoOpt(3, koordinate, elementi, 10);117 Fels(:,:,4) = RavnomjernoOpt(4, koordinate, elementi, 10);118 Fels(:,:,5) = KoncOpt(5, koordinate, elementi, -50, 2);119

120 // ********************** RJESAVANJE *************************121

122 KGlob = zeros (13, 13);




17/37

5.3 Z ADA CI

123 FGlob = zeros (13, 13);124

125 for i=1: size (elementi, r )126

127 Kel = Kels(:,:,i);128

129 adresa = SSKEL(i,:);130

131 for j = 1:4132 for k = 1:4133 if (adresa(j) ˜= 0) & (adresa(k) ˜= 0) then134 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) = ..135 KGlob( adresa(j), adresa(k) ) + Kel(j, k);136 end

137 end / / for k138 end / / for j139

140 //dodavanje vektora opterecenja globalnom vektoru opterecenja141 Fel = Fels(:,:, i);142

143 for j = 1:4144 if (adresa(j) ˜= 0) then145 FGlob( adresa(j) ) = FGlob( adresa(j) ) + Fel(j, 1);146 end

147 end / / for j148 end / / for i149

150 // ******** DODAVANJE KONCENTRICNE SILE U CVOROVIMA **********151

152 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) + 50;153

154 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************155

156 // Nema pomjeranja fiksnih oslonaca pa se za rjesavanje157 // sistema jednacina uzima "gornji lijevi" blok matrice158 // krutosti i odgovarajuci vektor sila159

160 K11 = KGlob(1:8,1:8);161 F1 = FGlob(1:8,1);162

163 // rjesenje164 U1 = K11 \ F1;165

166 UGlob = zeros (13, 13);167 UGlob(1:8, 1) = U1(1:8, 1);168

169 mprintf( "\n================== REZULTATI PRORACUNA");170 mprintf( "\n=== GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA");171 mprintf( "\n\%15.6f" , UGlob(1:13,1));172

173 // ************* PRORACUN REAKCIJA ***************************174

175 Reakc = KGlob * UGlob - FGlob;176

177 mprintf( "\n============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA");178 mprintf( "\n\%11.2f" , Reakc(1:13,1));179

180

181 // **************** POST PROCESSING **************************

182 // *** PRORACUN POMJERANJA I PRESJECNIH SILA PO ELEMENTIMA ***183

184 for i = 1: size (elementi, r )185 mprintf( \n============================ STAP %d , i);186


189 // uzimanje pomjeranja stapa iz globalnog vektora pomjeranja190 for j = 1:4191 if adresa(j) ˜= 0 then192 u( j ) = UGlob( adresa(j) );193 else

194 u( j ) = 0;195 end ;196 end / / for j197

198 // printanje vektora pomjeranja po stapovima199 mprintf( "\nVektor pomjeranja" );200 mprintf( "\n\%15.6f" , u(1:4,1));201

202 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora transformisati203 // iz globalnog u lokalni koordinatni sistem, ali ovdje204 // lokalni sistem nije zarotiran pa je

205 / / u .l = T * U.g206

207 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja208 Ke = Kels(:,:,i);209 Fe = Fels(:,:,i);210

211 // proracun vektora sila na stapu212 f = Ke * u - Fe;213

214 mprintf( "\nVektor Sila" );215 mprintf( "\n\%11.2f" , f(1:4,1));216

217 end / / for i

Listing 5.5: Rezultat proračuna

218 ================== REZULTATI PRORACUNA219 === GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA220 -0.007912221 -0.014966222 -0.003252223 -0.001212224 0.052398225 0.076516226 -0.016352227 0.004651228 0.000000229 0.000000230 0.000000231 0.000000232 0.000000233 ============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA234 0.00235 0.00236 0.00237 0.00238 -0.00239 -0.00240 0.00241 -0.00242 -24.77243 -34.70

244 74.77245 -85.30246 246.37247 ============================ STAP 1248 Vektor pomjeranja249 0.052398250 -0.014966251 0.000000252 0.000000253 Vektor Sila254 85.30255 94.85256 -85.30257 246.37258 ============================ STAP 2259 Vektor pomjeranja260 0.076516261 -0.001212262 0.052398263 -0.014966264 Vektor Sila265 -1.34266 90.83267 1.34268 -94.85269 ============================ STAP 3270 Vektor pomjeranja271 0.052398272 -0.007912273 0.000000274 -0.016352275 Vektor Sila276 -5.30277

58.78278 -34.70279 0.00280 ============================ STAP 4281 Vektor pomjeranja282 0.076516283 -0.003252




18/37


284 0.052398285 -0.007912286 Vektor Sila287 51.34288 123.47289 -81.34290 75.56291 ============================ STAP 5292 Vektor pomjeranja293 0.000000294 -0.007912295 0.000000296 0.004651297 Vektor Sila298 10.94299 -134.34300 39.06301 -0.00302 ============================ STAP 6303 Vektor pomjeranja304 0.000000305 -0.003252306 0.000000307 -0.001212308 Vektor Sila309 -35.72310 -123.47311 35.72312 -90.83

Pomjeranja ∆ 1 i ∆ 2 u rezultatu 5.8 predstavljaju relativno pomjeranje čvorova štapa, dok je rezultat na liniji 225 apsolutnopomjeranje čvora što mo žemo i provjeriti

∆ 2 = 0 .0241177 u6 −u 5 = 0 .076516−0.052398 = 0 .024118




19/37

5.3 Z ADA CI

Zadatak 6 Metodom deformacija odrediti pomjeranja ipresječne sile za konstrukciju na slici 5.23

3 m 3m 3m

4 m

4 m

30 kN

p = 6 kN/m

30 / 50 30 / 50 30 / 50

30 / 50 30 / 50 30 / 50

30 / 50

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

3 0 / 3 0

Slika 5.23

Rjěsenje

1 2 3

4 5 6

7

8 1 0 1 2

1 3

9 1 1

12 3 4

56 7 8

910

1

2 3

4

5 5 5 5

6 6

7

7

7

x

y

x

y

yx

Y

X

Slika 5.24

a) Rje šavanje direktnim asembliranjem matrica krutosti

1 0 0 7 1

0 3EI

l3 0 −

3EI l3

3EI l2

0 0 0 0 0

7 −3EI l3 0 3EI l3 −3EI l2

1 3EI l2

0 −3EI

l23EI

l

2 7 1 0 0

7 3EI

l33EI

l2 −3EI

l3 0

1 3EI l2

3EI l −

3EI l2

0

0 −3EI l3 −3EI l2 3EI l3 0

0 0 0 0 0

4 0 2 7 0

0 3EI

l33EI

l2 −3EI

l3 0

2 3EI l2

3EI l −

3EI l2

0

7 −3EI

l3 −3EI

l23EI

l3 0

0 0 0 0 0

5 7 0 0 3

7 3EI

l3 0 −

3EI l3

3EI l2

0 0 0 0 0

0 −3EI

l3 0

3EI l3 −

3EI l2

3 3EI l2 0 −3EI l2 3EI l

6 0 3 0 0

0 3EI

l33EI

l2 −3EI

l3 0

3 3EI l2

3EI l −

3EI l2

0

0 −3EI

l3 −3EI

l23EI

l3 0

0 0 0 0 0

7 0 0 7 4

0 3EI

l3 0 −

3EI l3

3EI l2

0 0 0 0 0

7 −3EI

l3 0

3EI l3 −

3EI l2

4 3EI l2

0 −3EI

l23EI

l

8 5 2 0 0

5 3EI

l33EI

l2 −3EI

l3 0

2 3EI l2

3EI l −

3EI l2

0

0 −3EI

l3 −3EI

l23EI

l3 0

0 0 0 0 0

9 6 0 5 2

6 3EI

l3 0 −

3EI l3

3EI l2

0 0 0 0 0

5 −3EI

l3 0

3EI l3 −

3EI l2

2 3EI l2

0 −3EI

l23EI

l

10 5 0 0 1

5 3EI

l3 0 −

3EI l3

3EI l2

0 0 0 0 0

0 −3EI

l3 0 3EI

l3 −3EI

l2

1 3EI l2

0 −3EI

l23EI

l

11 6 4 5 0

6 3EI

l33EI

l2 −3EI

l3 0

4 3EI

l23EI

l −3EI

l2 0

5 −3EI

l3 −3EI

l23EI

l3 0

0 0 0 0 0

12 5 3 0 0

5 3EI

l33EI

l2 −3EI

l3 0

3 3EI

l23EI

l −3EI

l2 0

0 −3EI

l3 −3EI

l23EI

l3 0

0 0 0 0 0

3EI G /l G = 3 ·3 ·107

·0.003125 = 937503EI G /l

2G = 3 ·3 ·10

7

·0.0031252 = 31250

3EI G /l3G = 3 ·3 ·10

7

·0.0031253 = 10416 .67

3EI S /l S = 3 ·3 ·107

·0.000675 = 15187 .53EI S /l

2S = 3 ·3 ·10

7

·0.0006752 = 3796 .88

3EI S /l3S = 3 ·3 ·10

7

·0.0006753 = 949 .22




20/37


202687 . 50 0 0 0 3796 . 88 0 0

124125 . 00 0 0 0 3796 . 88 − 31250 . 00202687 . 50 0 3796 . 88 0 31250 . 00

108937 . 50 − 3796 . 88 3796 . 88 − 31250 . 004746 . 1 − 1898 . 44 0

simetricno 1898 . 44 0

52083.34

ϕ 2 ϕ 5 ϕ 7 ϕ 10 u 1 u 2 u 3

ϕ 2

ϕ 5

ϕ 7

ϕ 10

u 1

u 2

u 3

=

0

0

6 . 75

6 . 75

30 . 00

0− 18

.00

Slika 5.25: Sistem jednačina

K 11 = 3EI G

lG+

3EI GlG

+ 3EI S

lS= 202687 .5

K 12 = 0K 13 = 0K 14 = 0

K 15 = 3EI S

l2S= 3796 .88

K 16 = 0

K 17 = −3EI G

l2G+

3EI Gl2G

= 0

K 22 = 3EI G

lG+

3EI SlS

+ 3EI S

lS= 124125

K 23 = 0K 24 = 0

K 25 = 3EI S

l2S −3EI S

l2S= 0

K 26 = 3EI Sl2S= 3796 .88

K 27 = −3EI G

l2G= −31250

K 33 = 3EI G

lG+

3EI GlG

+ 3EI S

lS= 202687 .5

K 34 = 0

K 35 = 3EI S

l2S= 3796 .88

K 36 = 0

K 37 = 3EI G

l2G = 31250

K 44 = 3EI G

lG+

3EI SlS

= 108937 .5

K 45 = −3EI S

l2S= −3796.88

K 46 = 3EI S

l2S= 3796 .88

K 47 = −3EI G

l2G= −31250

K 55 = 3EI Sl3S

+ 3EI Sl3S

+ 3EI Sl3S

+ 3EI Sl3S

+ 3EI Sl3S

= 4746 .1

K 56 = −3EI S

l3S −3EI S

l3S= −1898.44

K 57 = 0

K 66 = 3EI S

l3S+

3EI Sl3S

= 1898 .44

K 67 = 0

K 77 = 3EI G

l3G + 3EI G

l3G + 3EI G

l3G + 3EI G

l3G + 3EI G

l3G = 52083 .35

Rješenje sistema jedna čina

u =

−0.0002197−0.0006170−0.0000602−0.00023220.0117308

0.0134291

−0.0008190

Sad ćemo rijěsiti ovaj sistem postavljanjem Takabejevih jednačina i uporediti rezultate, a nakon toga ćemo odreditipresječne sile po štapovima.


http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statika


21/37

5.3 Z ADA CI

b) Rje šavanje postavljanjem Takabejevih jedna čina

1 2 3

4 5 6

7

8 1 0 1 2

1 3

9 1 1

12 3 4

56 7 8

910

ϕ2

ϕ5 ϕ7

ϕ10

∆ 1

∆ 2

∆ 3

x

y

yx

Y

X

Slika 5.26

Pomjeranja koja se tra že

• Rotacije čvorova ϕ2 ,ϕ5 ,ϕ7 ,ϕ10

• Translatorna pomjeranja ∆ 1 , ∆ 2 , ∆ 3

Takabejeve jedna čine

ik ki

M ki

i k

EI

l

Slika 5.27

M ik = 0

M ki = 1 .5kik ϕk − ∆ik

lik − M ◦

ki

T ik = 0 .5k ik ϕk −∆ iklik − T

◦

ik

T ki = −0.5k ik ϕk −∆ iklik − T

◦

ki

gdje je kik = 2EI

lik, k ik =

6EI l2ik

, k ik = 3kik

lik

T ik T ki

M ik

i k

EI

l

Slika 5.28

M ik = 1 .5kik ϕi −∆ iklik − M

◦

ik

M ki = 0

T ik = 0 .5k ik ϕi −∆ iklik − T

◦

ik

T ki = −0.5k ik ϕi − ∆ iklik − T ◦

ki

Postavljanje jedna čina ravnote že

Rotacija čvora 2

M 21 = 93750 .0·ϕ2 − 31250 ·∆ 3M 26 = 15187 .5·ϕ2 − 3796.875 ·∆ 1M 23 = 93750 .0·ϕ2 − 31250 ·(−∆ 3 )

k =1 , 3 , 6

M 2 k = 202687 .5 ·ϕ2 − 3796.875 ·∆ 1 = 0

Rotacija čvora 5M 51 = 15187 .5·ϕ5 − 3796.875 ·∆ 1M 56 = 93750 .0·ϕ5 − 31250 ·∆ 3M 59 = 15187 .5·ϕ5 − 3796.875 ·∆ 2

k =1 , 6 , 9

M 5 k = 0

124125 ·ϕ5 − 3796.875 ·∆ 1 − 3796.875 ·∆ 2 − 31250 ·∆ 3 = 0Rotacija čvora 7

M 76 = 93750 .0·ϕ7 − 31250 ·(−∆ 3 ) + 6 .75M 73 = 15187 .5·ϕ7 − 3796.875 ·∆ 1M 78 = 93750 .0·ϕ7

k =6 , 3 , 8

M 7 k = 0

202687.5 ·ϕ7 − 3796.875 ·∆ 1 + 31250 ·∆ 3 = −6.75Rotacija čvora 10

M 10 − 9 = 93750 .0·ϕ10 − 31250 ·(−∆ 3 ) + 6 .75M 10 − 6 = 15187 .5·ϕ10 − 3796.875 ·∆ 2

k=9

,6

M 10 − k = 0

108937.5 ·ϕ10 − 3796.875 ·∆ 2 + 31250 ·∆ 3 = −6.75Relativno pomjeranje ∆ 1

T 51 = −3796.875·ϕ5 + 949 .219 ·∆ 1T 62 = −3796.875·ϕ2 + 949 .219 ·∆ 1T 73 = −3796.875·ϕ7 + 949 .219 ·∆ 1T 84 = 0

i,k

T ik = 0

2847.657

·∆ 1

−3796.875

·ϕ2

−3796.875

·ϕ5

−3796.875

·ϕ7 = 30

Relativno pomjeranje ∆ 2

T 95 = −3796.875·ϕ5 + 949 .219 ·∆ 2T 10 − 6 = −3796.875·ϕ10 + 949 .219 ·∆ 2




22/37


202687 . 50 0 0 0 − 3796 . 88 0 00 124125 . 00 0 0 − 3796 . 88 − 3796 . 88 − 31250 . 000 0 202687 . 50 0 − 3796 . 88 0 31250 . 000 0 0 108937 . 50 0 − 3796 . 88 − 31250 . 00

− 3796 . 88 − 3796 . 88 − 3796 . 88 0 2847 . 66 0 00 − 3796 . 88 0 − 3796 . 88 0 1898 . 44 0

0 − 31250 . 00 31250 . 00 − 31250 . 00 0 0 52083 . 34

ϕ 2 ϕ 5 ϕ 7 ϕ 10 ∆ 1 ∆ 2 ∆ 3

ϕ 2

ϕ 5

ϕ 7

ϕ 10

∆ 1∆ 2

∆ 3

=

0

0− 6 . 75− 6 . 7530 . 00

0

18 . 00

i,k

T ik = 0

1898.438 ·∆ 2 − 3796.875 ·ϕ5 − 3796.875 ·ϕ10 = 0Relativno pomjeranje ∆ 3

T 10 − 9 = −31250·ϕ10 + 10416 .667 ·∆ 3 − 11.25T 65 = −31250·ϕ5 + 10416 .667 ·∆ 3T 21 = −31250·ϕ2 + 10416 .667 ·∆ 3T 23 = 31250 · ϕ2 − 10416.667 ·(−∆ 3 )T 67 = 31250 · ϕ7 − 10416.667 ·(−∆ 3 ) − 6.75

i,k

T ik = 0

52083.335 ·∆ 3 − 31250 ·ϕ5 + 31250 ·ϕ7 − 31250 ·ϕ10 = 18

4 . 9

9

4 6

. 1 9

3 2

. 2 5

3 7

. 9 8

5 . 6

235.172.92

41.2

2.92

43.63

M

+

-

-

+

Slika 5.29: Dijagram momenata

- 1

. 6 6

1 5

. 4

1 0

. 7 5

3 . 6

6

2 1

. 6 6

1 . 8

8

-8.79

0.73

-10.3

-0.73

-10.91

-8.03

9.97

T

Slika 5.30: Dijagram poprečnih sila


http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statika


23/37

5.3 Z ADA CI

Zadatak 7 Konstrukciju na slici 5.31 prora čunati koriste ćimetodu deformacija. Za gredne elemente pretpostaviti da suaksijalno kruti.

a) Odrediti mogu će stepene slobode kretanja,

b) Prora čunati pomjeranja u prethodno denisanim stepen-ima slobode kretanja. Prora čunati takode i rotaciju kraja

grede ϕg .c) Proračunati presječne sile na krajevima elemenata i nacr-

tati dijagrame presječnih sila.

3 m

3 √

2 2

m

5m4m3 √ 2

2 m

10kN/m

c = 10 4 kN/m

GredeEI = 5 · 104 kNm 2

EA = ∞

ZategaEA = 3 · 104 kN

ϕg

Slika 5.31Rjěsenje

a) Stepeni slobode kretanja su ozna čeni na slici 5.32

5

3 42

1

1

2 3

4

1 2

x

y

y

x

y

x

x

y

x̂

ŷ

Slika 5.32

b) Proračun pomjeranja

1 0 0 0 1

0 c2 cs −c2

−cs

0 cs s 2 −cs −s2

0 −c2

−cs c2 cs

1 −cs −s2 cs s 2

EAl1

2 1 0 0 2

1 3EI

l320 −

3EI l32

3EI l22

0 0 0 0 0

0 −3EI

l320

3EI l32 −

3EI l22

2 3EI

l220 −

3EI l22

3EI l2

3 0 2 0 0

0 3EI l33

3EI l23 −

3EI l33

0

2 3EI

l233EI

l3 −3EI

l230

0 −3EI

l33 −3EI

l233EI

l330

0 0 0 0 0

4 0 2 0 0

0 3EI l34

3EI l24 −

3EI l34

0

2 3EI

l243EI

l4 −3EI

l240

0 −3EI

l34 −3EI

l243EI

l340

0 0 0 0 0

K 11 = EA

l1s 2 +

3EI l32

+ 10 4 = 10 4 ·12

+ 1564 ·10

4 + 10 4 = 111

64 ·104

K 12 = 3EI

l22=

1516 ·10

4

K 22 = 3EI

l2+

3EI l3

+ 3EI

l4=

474 ·10

4

pa dobijamo

K = 10 4 ·1.7344 0.9375

0.9375 11.75


Štap 2


M •

2 = −q · l

2

12 = −

10 ·42

12 = −13.333

M •

3 = q

·l2

12 = 10

·42

12 = 13 .333

V •2 = −q · l

2 = −

10 ·42

= −20.0

V •

3 = −q · l

2 = −

10 ·42

= −20.0


M ◦

2 = 0M

◦

3 = M •

3 −0.5 ·M •

2 = 13 .333 − 0.5 · (−13.333) = 20 .0V

◦

2 = V •

2 −1.5M •2l2

= −20.0 − 1.5−13.333

4 = −15.0

V ◦3 = V •

3 + 1 .5M •2

l2=

−20.0 + 1 .5−13.333

4 =

−25.0

Vektor sila štapa 2 za globalni sistem jednačina, formiran naosnovu globalnih stepeni slobode kretanja

f 2 = −15.020.0

Štap 3


M •3 = −q · l

2

12 = −

10 ·52

12 = −20.8333

M •4 = q

·l2

12 = 10

·52

12 = 20 .8333

V •3 = −q · l

2 = −

10 ·52

= −25.0

V •4 = −q · l

2 = −

10 ·52

= −25.0


M ◦3 = M •

3 −0.5 ·M •

4 = −20.8333 − 0.5 · (20.8333) = −31.25M ◦4 = 0

V ◦3 = V •

3 −1.5M •4l3

= −25.0 − 1.520.8333

5 = −31.25

V ◦

4 = V •

4 + 1 .5M •4

l3=

−25.0 + 1 .5

20.8333

5 =

−18.75

Vektor sila štapa 3 za globalni sistem jedna čina, formiran naosnovu globalnih stepeni slobode kretanja

f 3 = 0

−31.25




24/37


Kona čno dobijamo globalni vektor sila

f = −15.020.0 + 0

−31.25 = −15

−11.25


u = −0.000850−0.000028

Rotacija grede 2 u čvoru 2

ϕ2 = −0.5ϕ3 + 1 .5∆ 23l2

+ 0 .25M •23k23

∆ 23 = vk − vi = 0 − (−0.000850) = 0 .000850k23 =

EI l2

= 5 ·10

4

4 = 1 .25 ·10

4

ϕ2 = −0.5 · (−0.000028) + 1 .5 0.0008504 + 0 .25 −13.3331.25 ·104

= 0 .000066

Uvodenje stepena slobode kretanja 3Druga mogu ćnost za prora čun rotacije grede 2 u čvoru 2 jeuvodenje stepena slobode kretanja 3, koje ulazi u vektor nepoz-natih pomjeranja, kako je prikazano na slici 5.33 U ovomslu čaju za štap 2 koristimo matricu krutosti štapa kruto vezanogna oba kraja. Primijetimo da iako postoji SSK 3 u čvoru 2 štap 1nema odgovaraju ći SSK i ne doprinosti rotacionoj krutosti (SSK

3) u čvoru 2

5

3 42

1

1

2 3

4

1 23

x

y

y

x

y

x

x

y

x̂

ŷ

Slika 5.33

1 0 0 0 1

0 c2 cs −c2

−cs

0 cs s 2 −cs −s2

0 −c2

−cs c2 cs

1 −cs −s2 cs s 2

EAl1

2 1 3 0 2

1 12EI l32

6EI l22 −

12EI l32

6EI l22

3 6EI

l224EI

l2 −6EI

l222EI

l2

0 −12EI

l32 −6EI

l2212EI

l32 −6EI

l22

2 6EI l22

2EI l2 −

6EI l22

4EI l2

3 0 2 0 0

0 3EI l33

3EI l23 −

3EI l33

0

2 3EI

l233EI

l3 −3EI

l230

0 −3EI

l33 −3EI

l233EI

l330

0 0 0 0 0

4 0 2 0 0

0 3EI l34

3EI l24 −

3EI l34

0

2 3EI

l243EI

l4 −3EI

l240

0 −3EI

l34 −3EI

l243EI

l340

0 0 0 0 0

K 11 = EA

l1s 2 +

12EI l32

+ 10 4 =

104 ·12

+ 6064 ·10

4 + 10 4 = 156

64 ·104

K 12 = 6EI

l22=

3016 ·10

4

K 13 = 6EI

l22=

3016 ·10

4

K 22 = 4EI

l2 + 3EI

l3 + 3EI

l4 = 13 ·104

K 23 = 2EI

l2=

52

104

K 33 = 4EI

l2= 5 ·10

4

pa dobijamo

K = 10 4 ·2.4375 1.875 1.875

13.000 2.500simetricno 5.000


f = −20.00013.333

−13.333+

0

−31.250 = −

20.000

−17.917−13.333


u = −0.000850

−0.0000280.000066odakle možemo zaključiti da je u 3 = ϕ2 koje je proračunato uprethodnoj sekciji.

c) Presje čne sile na krajevima elemenata

Štap 1Transformacija pomjeranja čvora û n iz globalnog koordinatnogsistema u lokalni koordinatni sistem (vektor pomjeranja u en ).

û n = c −ss c u

en ⇒ u

en =

c s

−s cû n

gdje je

û n = ûnxûny , u

en =

uenxu eny

(α = −45◦ )




25/37

5.3 Z ADA CI

Pomjeranje čvora 2 u lokalnom koordinatnom sistemu štapa 1

u12 = u

12 x

u 12 y =

√ 22

1 −11 1 0

−0.000850 = 0.000601

−0.000601 Vektor pomjeranja čvorova štapa 1 u lokalnom koordinatnomsistemu

u1 = u

11 x

u12 x

= 0

0.000601

f 1 = K 1 u 1 = 10 4 ·

1 −1−1 1

00.000601 = −

6.016.01

Štap 2

f 2 = K 2 u 2 − s

•

2

= 5 ·10

4

64 ·12 24 −12 2424 64 −24 32

−12 −24 12 −2424 32 −24 64

−0.0008500.0000660

−0.000028−

−20.000−13.333−20.00013.333

=

12.740

27.26

−29.02Sad ćemo za vježbu proračunati vektor sila štapa 2 koristećirezultat dobijen u prvoj sekciji kad smo štap 2 posmatrali kaozglobno vezan učvoru 2, dakle rotacija ϕ2 je izbačena statičkomkondenzacijom i vektor pomjeranja štapa je

v2v3ϕ3

f 2 = K 2 u 2

−s

◦

2

= 5 ·10

4

64 ·3 −3 12

−3 3 −1212 −12 48−0.0008500−0.000028

−−15.0−25.020.0

=12.7427.25

−29.02

Štap 3

f 3 = K 3 u 3 − s

◦

3

= 3

·5

·104

125 ·

1 5 −1 05 25 −

5 0

−1 −5 1 00 0 0 0

0

−0.000028

00 −

−31.25

−31.25

−18.7510

=

31.0830.4118.92

0

Štap 4

f 4 = K 4 u 4 − s

◦

4

= 3 ·5 ·10

4

27 ·

1 3 −1 03 9 −3 0

−1 −3 1 00 0 0 0

0

−0.00002800 −

00

00

=−0.467−1.4000.467

0

1.4

- 3 0

. 4 1

- 2 9

. 0 1

M

+

-

+

0.47 3 1

. 0 8

1 8

. 9 2

1 2

. 7 4

2 7

. 2 6

T

+

-

+

-58.34

3.78 3.784.25

6. 0 1

6. 0 1

N

-

+

+

Slika 5.34




26/37


Zadatak 8 Prora čunati pomjeranja, reakcije i presje čne sile nakonstrukciji sa slike 5.35 primjenom metode deformacija. Pret-postaviti da su svi štapovi aksijalno kruti.

4 m 6m

3 . 5

m

3 m

12 kN/m 4 k N / m

S S S

S S

G G

G

E = 3 · 10 7 kN/m 2

G : 30 × 50 cmS : 40 × 40 cm

80 kN

Slika 5.35

Rjěsenje Stepeni slobode kretanja su dati na slici 5.36 . Sa pret-postavkom o aksijalnoj krutosti štapova čvorovi 4, 5 i 6 imajuisti stepen slobode kretanja u X pravcu 6, a čvorovi 7 i 8 imajuisti SSK 7. Po što su i stubovi aksijalno kruti nijedan čvor nemamogu ćnost pomjeranja u pravcu Y .

1 2 3

4 5

6

7 8

1 23

4 5 6

7 8

8

1 2 3

4 5

6 6 6

7 7

x

y

x

yyx

Y

X

Slika 5.36

Primjetimo da su štapovi 1 i 2 na isti način vezani, medutim usvrhu vje žbanja, za štap 1 ćemo koristiti matricu krutosti ele-menta kojem je oslobadanje momenta na kraju štapa uzeto uobzir stati čkom kondenzacijom sistema jedna čina nakon čegarotacioni SSK kod čvora j (na štapu sa čvorovima i − j ) ne g-urira u sistemu jedna čina. (Isto i za štap 7). Za štap 2 ćemokoristiti matricu krutosti elementa kruto vezanog na oba krajapa ćemo zato kod čvora 2 imati SSK 8 koji ulazi u vektor nepoz-natih pomjeranja u n , vidjeti jedna činu 5.9 Za štap 3 ćemo ko-

ristiti istu matricu krutosti kao za štap 2 medutim po što je štap3 uklje šten kod čvora 3,

K nn K npK pn K pp

u nu p

= F pF n (5.9)

u n - vektor nepoznatih pomjeranjau p - vektor poznatih pomjeranja u osloncimaF p - vektor poznatih silaF n - vektor nepoznatih sila - reakcije

njegovo rotaciono pomjeranje kod čvora 3 ulazi u vektor poz-natih pomjeranja u p , a kako su sva poznata pomjeranja u p = 0formiramo samo matricu K nn koja odgovara vektoru nepoz-natih pomjeranja tako da nismo ni obilježili stepene slobodekretanja koji odgovaraju poznatim pomjeranjima.

Iz globalnog sistema jedna čina 5.9 , uvr štavaju ći poznata pomjeranja dobijamo redukovani sistem

K nn ·u n + K np · 0 = F p ⇒ u n = K − 1nn F p

Listing 5.6: Matrica krutostištapa sa otpuštenim momentom učvoruk , Greda2DTiMi Tk.sci

313 function rezultat = Greda2DTiMi_Tk(idx, koordinate, elementi,presjek)

314 // Greda2DTiMi_Tk - Matrica krutosti ravnog grednog315 // aksijalno krutog stapa316 // cvorovi i-k ; u cvoru k otpusten momenat317

318 Em = presjek(1);319 I = presjek(2);320


326 duzina = sqrt((x2 - x1)̂ 2 + (y2 - y1)ˆ2);327

328 km3 = 3 * Em * I / duzina 3̂ ;329 km3L2 = km3 * duzina;330 km3L = km3L2 * duzina;331

332 rezultat = [333 km3 km3L2 -km3 0334 km3L2 km3L -km3L2 0335 -km3 -km3L2 km3 0336 0 0 0 0];337

338 endfunction

Listing 5.7: Vektor ekvivalentnog opterećenja od ravnomjernoraspodjeljenog opterećenja na gredi sa otpuštenim momentomkod čvora k , RavnomjernoOptTiMi Tk.sci

339 function rezultat = RavnomjernoOptTiMi_Tk(idx, koordinate,elementi, p)

340 // RavnomjernoOptTiMi_Tk - Vektor341 // ekvivalentnog opterecenja na gredi342 // sa otpustenim momentom na suprotnom cvoru343 // od ravnomjernog opterecenja

344


350 d = sqrt((x2 - x1)ˆ2 + (y2 - y1)ˆ2);351

352 Mki = -p*dˆ2/12;353

354 rezultat = [355 p*d/2 - 1.5*Mki/d356 p*d 2̂/12 - Mki/2357 p*d/2 + 1.5*Mki/d358 0];359

360 endfunction

Kona čno mo žemo napisati sljede ću skriptu za prora čun kon-strukcije

Listing 5.8: Proračun pomjeranja primjenom tehničke metode defor-macija, Zadatak8.sce


http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-http://siljak.ba/statikahttp://siljak.ba/http://siljak.ba/http://siljak.ba/statikahttp://-/?-http://-/?-http://-/?-http://-/?-


27/37

5.3 Z ADA CI

361 // Zadatak 8362 // ***********************************************************363 clear;364 clc;365 exec ( ./Greda2D4x4.sci , -1);366 exec ( ./Greda2DTiMi_Tk.sci , -1);367 exec ( ./RavnomjernoOpt.sci , -1);368 exec ( ./RavnomjernoOptTiMi_Tk.sci , -1);369

370 // ******************* ULAZNI PODACI *************************371 // duzina m; sila kN;372


377 // Koordinate cvorova378 koordinate = [379 0 0380 4 0381 10 0382 0 3.5383 4 3.5384 10 3.5385 4 6.5386 10 6.5];387

388 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima389 elementi =[390 1 4391 2 5392 3 6393 5 7394 6 8395 7 8396 4 5397 5 6];398

399 SSKEL = [400 6 1 0 0401 6 2 0 8402 6 3 0 0403 7 4 6 2404 7 5 6 3405 0 4 0 5406 0 1 0 0407 0 2 0 3] ;408


412 Kels(:,:,1)=Greda2DTiMi_Tk(1, koordinate, elementi, presjekS);413 Kels(:,:,2) = Greda2D4x4(2, koordinate, elementi, presjekS);414 Kels(:,:,3) = Greda2D4x4(3, koordinate, elementi, presjekS);415 Kels(:,:,4) = Greda2D4x4(4, koordinate, elementi, presjekS);416 Kels(:,:,5) = Greda2D4x4(5, koordinate, elementi, presjekS);417 Kels(:,:,6) = Greda2D4x4(6, koordinate, elementi, presjekG);418 Kels(:,:,7)=Greda2DTiMi_Tk(7, koordinate, elementi, presjekG);419 Kels(:,:,8) = Greda2D4x4(8, koordinate, elementi, presjekG);

420421 Fels(:,:,5) = RavnomjernoOpt(5, koordinate, elementi, -4.0);422 Fels(:,:,7)=RavnomjernoOptTiMi_Tk(7,koordinate,elementi,-12);423

424 // ********************** RJESAVANJE *************************425

426 KGlob = zeros (8, 8);427 FGlob = zeros (8, 8);428

429 for i=1: size (elementi, r )430

431 Kel = Kels(:,:,i);432 adresa = SSKEL(i,:);433


440 end / / for k441 end / / for j442



450 end / / for j451

452 end / / for i453


456 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) - 80;457

458 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************459

460 UGlob = KGlob \ FGlob;461

462 mprintf( "\n================== REZULTATI PRORACUNA");463 mprintf( "\n=== GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA");464 mprintf( "\n\%15.6f" , UGlob(:,1));

Listing 5.9: Globalni vektor pomjeranja, Zadatak2.sce

465 ================== REZULTATI PRORACUNA466 === GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA467 0.000438468 0.000489469 0.000914470 0.000247471 0.000066472 -0.005032473 -0.006425474 0.001912




28/37


Prora čun reakcija 5.37

1 2 3

4 5

6

7 8

1 23

4 5 6

7 8

8

1 2 3

4 5

6 6 6

7 7

9

10 11

12

14

1315

10 11

11

14

14

x

y

x

yyx

Y

X

Slika 5.37

Listing 5.10: Zadatak 8A, Zadatak8A.sce

475 // Zadatak 8A476 // ***********************************************************477 clear;478 clc;479 exec ( ./Greda2D4x4.sci , -1);480 exec ( ./Greda2DTiMi_Tk.sci , -1);481 exec ( ./RavnomjernoOpt.sci , -1);482 exec ( ./RavnomjernoOptTiMi_Tk.sci , -1);483

484 // ******************* ULAZNI PODACI *************************485 // duzina m; sila kN;


491 // Koordinate cvorova492 koordinate = [493 0 0494 4 0495 10 0496 0 3.5497 4 3.5498 10 3.5499 4 6.5500 10 6.5];501

502 // Definisanje stapova krajnjim cvorovima503 elementi =[504 1 4505 2 5506 3 6507 5 7508 6 8509 7 8510 4 5511 5 6];512

513 SSKEL = [514 6 1 9 0515 6 2 12 8516 6 3 13 15517 7 4 6 2518 7 5 6 3

519 11 4 14 5520 10 1 11 0521 11 2 14 3];522


526 Kels(:,:,1)=Greda2DTiMi_Tk(1, koordinate, elementi, presjekS);527 Kels(:,:,2) = Greda2D4x4(2, koordinate, elementi, presjekS);528 Kels(:,:,3) = Greda2D4x4(3, koordinate, elementi, presjekS);529 Kels(:,:,4) = Greda2D4x4(4, koordinate, elementi, presjekS);530 Kels(:,:,5) = Greda2D4x4(5, koordinate, elementi, presjekS);531 Kels(:,:,6) = Greda2D4x4(6, koordinate, elementi, presjekG);532 Kels(:,:,7)=Greda2DTiMi_Tk(7, koordinate, elementi, presjekG);533 Kels(:,:,8) = Greda2D4x4(8, koordinate, elementi, presjekG);534

535 Fels(:,:,5) = RavnomjernoOpt(5, koordinate, elementi, -4.0);536 Fels(:,:,7)=RavnomjernoOptTiMi_Tk(7,koordinate,elementi,-12);537

538 // ********************** RJESAVANJE *************************539 KGlob = zeros (15, 15);540 FGlob = zeros (15, 15);541

542 for i=1: size (elementi, r )543 Kel = Kels(:,:,i);544 adresa = SSKEL(i,:);545


552 end / / for k553 end / / for j554



562 end / / for j563 end / / for i564


567 FGlob( 6 ) = FGlob( 6 ) - 80;568

569 // ************* RJESAVANJE SISTEMA JEDNACINA ****************570 // Nema pomjeranja oslonaca pa se za rjesavanje571 // sistema jednacina uzima "gornji lijevi" blok matrice572 // krutosti i odgovarajuci vektor sila573

574 K11 = KGlob(1:8,1:8);575 F1 = FGlob(1:8,1);576

577 // RJESENJE SISTEMA JEDNACINA578 U1 = K11 \ F1;579

580 UGlob = zeros (15, 15);581 UGlob(1:8, 1) = U1(1:8, 1);582

583 mprintf( "\n================== REZULTATI PRORACUNA");584 mprintf( "\n=== GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA");

585 mprintf( "\n\%15.6f" , UGlob(1:15,1));586

587 // ************* PRORACUN REAKCIJA ***************************588

589 Reakc = KGlob * UGlob - FGlob;590

591 mprintf( "\n============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA");592 mprintf( "\n%11.2f" , Reakc(1:15,1));593

594 // **************** POST PROCESSING **************************595 // *** PRORACUN POMJERANJA I PRESJECNIH SILA PO ELEMENTIMA ***596 for i = 1: size (elementi, r )597 mprintf( \n============================ STAP %d , i);598


601 // uzimanje pomjeranja stapa iz globalnog vektora pomjeranja602 for j = 1:4603 if adresa(j) ˜= 0 then604 u( j ) = UGlob( adresa(j) );605 else

606 u( j ) = 0;607 end ;




29/37

5.3 Z ADA CI

608 end / / for j609

610 // printanje vektora pomjeranja po stapovima611 mprintf( "\nVektor pomjeranja" );612 mprintf( "\n%15.6f" , u(1:4,1));613

614 // U opstem slucaju vektor pomjeranja se mora transformisati615 // iz globalnog u lokalni koordinatni sistem, ali ovdje616 // lokalni sistem nije zarotiran617 // (jer smo tako formirali SSKEL polje)618 / / pa je u .l = T * U.g619

620 // matrica krutosti i vektor vanjskog opterecenja621 Ke = Kels(:,:,i);622 Fe = Fels(:,:,i);623

624 // proracun vektora sila na stapu625 f = Ke * u - Fe;626

627 mprintf( "\nVektor Sila" );628 mprintf( "\n\%11.2f" , f(1:4,1));629 end / / for i

Listing 5.11: Rezultat prora čuna, Zadatak8A.sce

630 ================== REZULTATI PRORACUNA631 === GLOBALNI VEKTOR POMJERANJA CVOROVA632 0.000438633 0.000489634 0.000914635 0.000247636 0.000066637 -0.005032638 -0.006425639 0.001912640 0.000000641 0.000000642 0.000000643 0.000000644 0.000000645 0.000000646 0.000000

647 ============= GLOBALNI VEKTOR REAKCIJA648 0.00649 -0.00650 0.00651 0.00652 0.00653 0.00654 -0.00655 0.00656 15.66657 37.71658 37.11659 14.87660 61.47661 -26.81662 -124.30663 ============================ STAP 1664 Vektor pomjeranja665 -0.005032666 0.000438667 0.000000668 0.000000669 Vektor Sila670 -15.66671 -54.82672 15.66673 0.00674 ============================ STAP 2675 Vektor pomjeranja676 -0.005032677 0.000489678 0.000000679 0.001912680

Vektor Sila681 -14.87682 -52.03683 14.87684 0.00685 ============================ STAP 3686 Vektor pomjeranja

687 -0.005032688 0.000914689 0.000000690 0.000000691 Vektor Sila692 -61.47693 -90.85694 61.47695 -124.30696 ============================ STAP 4697 Vektor pomjeranja698 -0.006425699 0.000247700 -0.005032701 0.000489702 Vektor Sila703 -8.20704 -17.47705 8.20706 -7.13707 ============================ STAP 5708 Vektor pomjeranja709 -0.006425710 0.000066711 -0.005032712 0.000914713 Vektor Sila714 8.20715 -11.81716 3.80717 18.41718 ============================ STAP 6719 Vektor pomjeranja720 0.000000721 0.000247722 0.000000723 0.000066724 Vektor Sila725 4.88726 17.47727 -4.88728 11.81729 ============================ STAP 7730 Vektor pomjeranja731 0.000000732 0.000438733 0.000000734 0.000000735 Vektor Sila736 37.71737 54.82738 10.29739 0.00740 ============================ STAP 8741 Vektor pomjeranja742 0.000000743 0.000489744 0.000000745 0.000914

746 Vektor Sila747 21.93748 59.16749 -21.93750 72.44

Primijetimo da se i za elemente kojima je otpu šten momenat nakraju printa vektor 4 ×1 iako takavštap ima 3 stepena slobodekretanja. Potrebno je znati dakle da vrijednost na liniji 668 nepredstavlja rotaciju kraja štapa, vec ćemo u ovakvom slučajumorati proračunati rotaciju kraja štapa kako slijedi.

ϕk = −0.5ϕi + 1 .5∆ iklik

+ 0 .25M •kikik

, (∆ ik = vk − vi )

= −0.5 ·0.000438 + 1 .5 ·0

−(

−0.005032)3.5

= 0 .001938 (5.10)




30/37


Ovo bismo morali uraditi na svakom mjestu gdje smo stati čkomkondenzacijom izbacili stepen slobode kretanja. U sljedećoj vježbi ćemo formirati sistem jedna čina tako što ćemo uvesti ste-pen slobode kretanja na svako mjesto gdje želimo prora čunatipomjeranje na konstrukciji. Stepeni slobode kretanja su dati naslici 5.38 . Možemo vidjeti da smo denisali SSK 10 da bismoosigurali razli čito pomjeranje kraja štapa 7 od ostalih štapova vezanih u čvoru 5 čime modeliramo zglobnu vezu štapa 7. Uovom slu čaju za štap 7 koristimo matricu kruto vezanog štapana oba kraja.

Prora čun svih pomjeranja 5.38

Documents

Metoda Deformacija Z