Ravno Stanje Napona i Deformacija

8/20/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacija

1/34

Ravno naponsko i ravno deformaciono stanje

155

RAVNO NAPONSKO I RAVNODEFORMACIONO STANJE

555 5.1. UvodU ovom poglavlju se razmatraju dvodimenzionalni (ravni) konačni elementi.To su takvi elementi kod kojih dvije koordinate definiraju položaj tačke napovršini elementa. Elementi su spojeni u čvorovima i duž ivica i takopredstavljaju kontinuiranu strukturu. U procesu diskretizacije nekog ravnogproblema cijeli domen se podijeli na konačne elemente kako bi se izvršilaneka analiza (npr. napona). Čvorovi u kojima se vežu elementi morajuzadovoljavati uslove kompatibilnoti. Za izabrane funkcije pomjeranja mora

se osim kompatibilnosti u čvorovima zadovoljiti i kompatibilnost dužstranica.

Dvodimenzionalni elementi su izuzetno važni u analizi napona i obuhvatajunpr. probleme ploča sa otvorima ili promjenom geometrije sa opterećenjemu ravni elementa. Rezultat djelovanje opterećenja takvih struktura sulokalne koncentracije napona.

Dvodimenzionalna analiza pomjeranja uključuje probleme dvodimenzio-nalnih struktura izloženih djelovanju ravnomjernog opterećenja koje dovodi

do pozitivnih ili negativnih pomjeranja.

Matrice krutosti se postavljaju za dvodimenzionalne ravanske konačneelemente oblika trougla. Najjednostavniji sa aspekta dobivanja matricekrutosti je trokutni konačni element sa konstatnim pomjeranjem (CST).

Matrica krutosti ovog elementa može de dobiti korištenjem principaminimuma potencijalne energije. Minimum potencijalne energije je najlakšinačin za dobivanje jednačina za dvodimenzionalne elemente.


2/34


156

5.2. Najvažniji koraci u postavljanju jednačina ravnog trokutnog elementa

Prije postavljanja jednačina za trokutni kona

čni element treba dati iosnovne jednačine za ravno stanje napona i ravno stanje deformacija kako

bi kasnije analize imale kontinuitet i jasnoću.

Ravno naponsko stanje definira se kao naponsko stanje u kome sunormalni i tangencijalni naponi okomiti na ravan elementa jednaki nuli. Tose može pokazati na primjerima, slika 5.1.

Slika 5.1. Ravni problemi

Ako djeluje istežuća sila F kako je prikazano na slici 5.1a) i b), tada su

normalni napon z i tangencijalni naponi xz i yz jednaki nuli. U opštemslučaju ploče su tanke, odnosno zanemarljive debljine z.

Ravno deformaciono stanje predstavlja takvo stanje deformacija u kome su

normalna deformacija z i klizanja xz i yz jednaka nuli.

y

x

F

a)

b)

x

y

FF


3/34


157

Ravne deformacije za tijela znatne dužine u z pravcu koja imaju konstantanpoprečni presjek ne mijenjaju se u z pravcu, ako opterećenje djeluje u x i ypravcu, slika 5.1.b.

Dvodimenzionalno stanje napona i deformacija i veza između napona ideformacija su potrebni kako za razumijevanje tako i za postavljanjematrice krutosti ravnog trokutog konačnog elementa.

Na slici 5.2. prikazan je ravni element dimenzija dx i dy sa normalnim x i y i tangencijalnim xy naponima.

Slika 5.2. Naponsko stanje dvodimenzionalnog elementa

Ravno naponsko stanje na slici može se definirati vektorom napona:

xy

y

x

(5.1)

Naponi se mogu izraziti preko pomjeranja čvorova. Ako su poznatapomjeranja čvorova mogu se izračunati i naponi.

Glavni naponi dati su izrazima (5.2) za ravno stanje napona:

y

y yx

xy

xy

yx

xx dy

dx


4/34


158

min2xy

2

yxyx2

max

2

xy

2

yxyx

1

22

22

(5.2)

Glavni ugao definira položaj glavnih pravaca i dat je izrazom (5.3)

yx

xy22tg

(5.3)

U ravnima u kojima djeluju glavni normalni naponi tangencijalni naponi jednaki su nuli, slika (5.3)

Slika 5.3. Glavni normalni napon

Slika 5.4. Ravne deformacije

x2

2 1

1

dy

dx

dyy

u

dxx

v


5/34


159

Na slici 5.4 prikazane su deformacije elementarnog pravougaonika u x yravni i to:

x

v

y

v

y

v

x

u xy y x

,, (5.4)

x i y su linearne deformacije uzdužne ili poprečne, a xy je klizanje. Izrazza ravno stanje deformacija dat je u obliku:

xy

y

x

(5.5)

Veza između deformacija i pomjeranja data je izrazima (5.4).

Za ravno stanje napona uzima se da je:

0yzxzz (5.6)

Za naponsko-deformaciono stanje kod koga je xy = yx = 0 i z 0, napon

u ravni je dat izrazom (5.7):

D (5.7)

gdje je:

2

100

01

01

1 2 E

D (5.8)

Matrica D zove se veza između napona i deformacija ili konstitutivnamatrica. E je modul elastičnosti a Poissonov broj.

Za ravno deformaciono stanje smatra se ono stanje kod koga je:

0yzxzz (5.9)


6/34


160

Za takvu vezu napona i deformacija kod koje su tangencijalni naponi nule

xz = yz = 0 i z 0 konstitutivna matrica ima oblik (5.10):

2

2100

0101

)21()1(

ED (5.10)

Slika 5.5. Slika ravne ploče opterećene na zatezanjei diskretizirane na konačne elemente oblika trokuta

Sve navedene relacije poznate su iz otpornosti materijala. Za analizu

konačnim elementima posmatra se ploča opterećena na zatezanje, slika5.5, diskretizira-izdijeli na dijelove oblika trokuta. Svi dijelovi su konačnihdimenzija, a ne beskonačno mali, pa se zovu konačni elementi. Čvorovikonačnog elementa su i, j, m. U podjeli ravnih struktura na konačneelemente, svakom čvoru pridružen je broj čvora. Svaki čvor trokutnogelementa ima dva stepena slobode, jedan u x a drugi u y pravcu.Pomjeranja se označavaju kao ui i vi . Za neki čvor "i" pomjeranja se mogupisati u obliku:

i

i

ivud (5.11)

a pomjeranja čvorova i, j, m su:

m

i jT T

y

x


7/34


161

m

m

j

j

i

i

m

j

i

v

u

v

u

v

u

d ili

d

d

d

d (5.12)

Diskretizacija predstavlja prvi korak u metodu konačnih elemenata.

Slijedeći korak je izbor funkcije pomjeranja u čvorovima. Funkcijapomjeranja bira se prema vrsti konačnog elementa. Za ravanski element

oblika trokuta funkcija pomjeranja je linearna. Konačni elementi su spojenipo stranicama i u vrhovima. Linearna funkcija pomjeranja je dovoljna daomogući kontinuitet između elemenata.

Funkcija pomjeranja zavisi od pomjeranja u čvorovima i piše se u obliku(5.13):

),(

),(

y xv

y xu (5.13)

Treći korak je postavljanje veza između deformacija i pomjeranja kao i vezanapona i deformacija. To su izrazi (5.4) i (5.7) koji se postave uz

odgovarajuću matricu D.

Četvrti korak je dobivanje elemenata matrice krutosti i jednačina.Korištenjem principa o minimumu potencijalne energije dobije se osnovnamatrica krutosti elementa i jednačine elementa u obliku:

d k f (5.14)

Princip minimuma potencijalne energije je bolji nego direktni metod.Direktni metod se koristi zbog pojašnjenja pošto je očigledan.

U petom koraku dobije se ukupna matrica krutosti strukture ili globalnamatrica krutosti korištenjem pomenutog direktnog metoda..

d K F


8/34


162

gdje je F ukupno opterećenje čvorova koje sadrži sva opterećenjasvedena na čvorove.

Matrica K je ukupna matrica strukture koja se sastoji od matrica pojedinih

elemenata strukture.

Slijedeći korak predstavlja određivanje pomjeranja u svim čvorovimastrukture. Prilikom rješavanja vodi se računa o graničnim uslovima datim zacijelu strukturu.

Na osnovu pomjeranja odrede se deformacije a poslije toga i naponi.

5.3. Matrica krutosti i jednačine ravnogkonačnog trokutnog elementa

Diskretizacijom ravne ploče na trokutne konačne elemente dobiju seelementi sa čvorovima i, j, m čije su koordinate (xi, yi), (x j, y j) i (xm, ym).

Slika 5.6. Trokutni konačni element

Pomjeranja čvorova data su vektorom:

m

m

j

j

i

i

v

u

v

u

v

u

d (5.15)

m(xm,ym

i(xi,yi) j(x j,y j)

x

y


9/34


163

Za svako pomjeranje izabere se funkcija pomjeranja u linearnom obliku:

u (x,y) = a1 + a2x + a3 y(5.16)

v (x,y) = a4 + a

5x + a

6 y

Za ovu vrstu elemenata dovoljna je linearna funkcija da se obezbijedikompatibilnost. To znači da će čvorne tačke na elementima čiji su tozajednički elementi imati isto pomjeranje kao i stranice koje spajaju takveelemente. Pomjeranje se može pisati u obliku:

6

5

4

3

2

1

654

321

1000

0001

yaxaa

yaxaa

a

a

a

a

a

a

y x

y x (5.17)

To bi za čvorove trokuta na slici 5.6 bilo:

j jm

j j j

iii

mmm

j j j

iii

ya xaav

ya xaav

ya xaav

ya xaau

ya xaau

ya xaau

654

654

654

321

321

321

(5.18)

ili u matričnom obliku:

3

2

1

1

1

1

1

a

a

a

y x

y x

y x

u

u

u

mm

j

ii

m

j

i

(5.19)

Za rješavanje šest jednačina (5.19) traži se šest koeficijenata a1 do a6

u xa 1


10/34


164

x-1 je inverzna matrica koja se određuje preko kofaktora:

m ji

m ji

m ji

A

x

2

11 (5.20)

Determinanta od x glasi:

mm

j j

ii

y x

y x

y x

A

1

1

1

2 (5.21)

tj. 2A = xi (y j-ym) + x j (ym-yi) + xm (yi-y j).

A je površina trokuta konačnog elementa, a kofaktori

i jm

jim

ji jim

mi j

im j

mim j j

jmi

m ji

m jm ji

x x

y y

x y y x

x x

y y

y x x y

x x

y y

x y y x

(5.22)


11/34


165

Koeficijenti ai mogu se napisati u obliku:

m

j

i

m ji

m ji

m ji

u

u

u

Aa

a

a

2

1

3

2

1

(5.23)

m

j

i

m ji

m ji

m ji

v

v

v

Aa

a

a

2

1

6

5

4

Nakon koeficijenata računa se pomjeranje u x pravcu u obliku funkcije

pomjeranja u (x,y). Po istom postupku računa se i pomjeranje u y pravcu uobliku v (x, y). Pomjeranje u (x,y) dobije se na osnovu koordinata x i y

čvornih tačaka i poznatih koeficijenata i j ... m . U opštem slučaju čvornapomjeranja ui , u j , um su:

3

2

1

1

a

a

a

y xu (5.24)

a može se pisati i u obliku (5.25), (5.26) i (5.27)

m

j

i

m ji

m ji

m ji

u

u

u

y xu

1 (5.25)

mm j jii

mm j jii

mm j ji

uuuuuu

uuu

y x Au

1

12

1 (5.26)

mmmm j j j jiiii u y xu y xu y x

A y xu )()()

2

1),( (5.27)

Po analogno provedenom postupku dobije se pomjeranje u y pravcu tj.v (x,y), izraz (5.28):


12/34


166

mmmm j j j jiiii v y xv y xv y x

A y xv )()()

2

1),( (5.28)

Iz jednačina (5.27) i (5.28) mogu se napisati izrazi u obliku:

yxA2

1 N

yxA2

1 N

yxA2

1 N

mmmm

j j j j

iiii

(5.29)

Funkcije Ni , N j i Nm zovu se funkcije oblika.

Pomjeranja izražena preko funkcija oblika su:

mm j jii

mm j jii

v N v N v N y xv

u N u N u N y xu

),(

),( (5.30)

a matrica pomjeranja:

mm jiii

mm j jii

v N v N v N

u N u N u N

y xv

y xu

),(

),( ili

m

m

j

j

i

i

m ji

m ji

v

u

v

u

v

u

N N N

N N N

000

000 (5.31)

U izrazu:

d N . (5.32)


13/34


167

Matrica N je matrica čiji su članovi funkcije oblika, a d vektorpomjeranja. Funkcije oblika predstavljaju oblike kada se crtaju nadposmatranim elementom. Npr. Ni predstavlja oblik varijable "u" crtane nadpovršinom elementa. Za ui = 1, a za sve ostale stepene slobode je nula. To

je u j = um = vi = vj = vm = 0. Odavde slijedi da u (x,y) mora biti u i, a Ni = 1N j = Nm = 0. Na slici 5.7 prikazana je promjena N i nacrtane iznad površineposmatranog elementa. Funkcija Ni nije nula izuzev duž linije spajanja sačvorovima j i m.

Slika 5.7. Promjena Ni iznad xy ravni

Zbir Ni + N j + Nm = 1 za bilo koji položaj na površini elementa.

Nakon izračunavanja pomjeranja za svaki čvor treba odrediti i vektordeformacija. Za dvodimenzionalni element vektor deformacija dat je uobliku:

x

v

y

u y

v x

u

xy

y

x

(5.33)

Parcijalni izvodi pomjeranja u i v po x i y potrebni u jednačini (5.33) su:

mm j jii u N u N u N x x

u

1

i

m

j

x

y

Ni


14/34


168

mm

j

j

ii u

x

N u

x

N u

N

x

u

(5.34)

Pokazano je da funkcija pomjeranja ui = ui (xi yi) ima konstantne vrijednosti,

a isto se može zaključiti i za funkcije u j i um . Zato su njihovi izvodi poodgovarajućim pomjeranjima jednaki nuli.

Na osnovu izraza (5.29) mogu se naći izvodi funkcija Ni , N j i Nm .

A2

yxxA2

1

x

NA2

yx

xA2

1

x

N

A2yx

xA2

1

x

N

mmmm

m

j

j j j

j

iiii

i

(5.35)

pa se na osnovu (5.34) i sličnog postupka za x

v

y

ui

y

v

dobije:

mmmm j j j jiiii

mm j jii

mm j jii

vuvuvu A x

v

y

u

vvv A y

v

uuu A x

u

2

1

2

12

1

(5.36)

U matričnom obliku:

m

m

j

j

i

i

mm j jii

m ji

m ji

v

u

v

u

v

u

A

000

000

2

1 (5.37)


15/34


169

m

j

i

m ji

d

d

d

B B B (5.38)

gdje su:

mm

m

m

m

j j

j

j

j

ii

i

i

i A

B A

B A

B

0

0

2

10

0

2

10

0

2

1 (5.39)

d B

gdje je: m ji B B B B

Nakon izračunavanja deformacija mogu se izračunati naponi po izrazima:

xy

x

x

xy

y

x

D

(5.40)

d B D D (5.41)

5.4. Izračunavanje matrice krutostiprimjenom principa minimumapotencijalne energije

Princip minimuma potencijalne energije se koristi za dobivanje jednačinatrokutnog konačnog elementa. Polazi se od potencijalne energije koja jefunkcija pomjeranja čvorova elementa.

m jii p p vuvu ,...,, (5.42)

Ukupna potencijalna energija jednaka je zbiru potencijalne energijedeformacije i potencijalne energije sila.


16/34


170

U p (5.43)

Potencijalna energija deformacije data je izrazom:

v

T

v

T dV DdV U

21

21 (5.44)

Potencijalna energija sila sastoji se od potencijalne energije koncentrisanihsila, površinski raspoređenih sila i sila sopstvene težine.

Pd T p (5.45)

U izrazu 5.45 za potencijalnu energiju koncentrisanih sila P su spojašnjekoncentrisane sile:

S

T

S dST (5.46)

Izraz (5.46) predstavlja potencijalnu energiju površinski raspoređenih sila

gdje je T vektor opterećenja po jedinici površine.

Sile težine tijela imaju potencijalnu energiju:

v

T

b dV X (5.47)

gdje je funkcija pomjeranja a X težina tijela po jedinici zapremine ilispecifična gustina.

Ukupna potencijalna energija može se napisati u obliku:

dS T N d Pd dV X N d

dV d B D Bd

T

S

T T

v

T T

v

T T

p

2

1

(5.48)

Ukupno opterećenje koje djeluje na tijelo može se izdvojiti iz izraza (5.48) inapisati kao:


17/34


171

v S

T T dS T N PdV X N f (5.49)

u kome se pojavljuju sile težine, zatim koncentrisane sile i kontinuirano

opterećenje.

Potencijalna energija je tada:

v

T T T

p f d d dV B D Bd 2

1 (5.50)

Parcijalni izvod potencijalne energije po pomjeranju je:

0

f d dV B D Bd v

T p (5.51)

v

T f d dV B D B (5.52)

Veza između sila i pomjeranja u izrazu (5.52) data je matricom krutostielementa:

v

T dV B D Bk (5.53)

Ako je element iste debljine t, što je slučaj sa ravanskim elementima, možese pisati:

dydx B D Bt k A

T

(5.54)

Ako su deformacije konstantne može se pisati:

B D B At k T (5.55)

Matrica krutosti k je funkcija čvornih koordinata jer su B i A njihovefunkcije.


18/34


172

Matrica D zavisi od osobina materijala definiranih karakteristikama E i .Matrica krutosti konačnog elementa može se napisati u obliku:

mmmjmi

jm jj ji

imijii

k k k

k k k

k k k

k (5.56)

u kojoj su submatrice reda 2x2

AtBDB

AtBDB

AtBDB

k

k

k

m

T

m

j

T

j

i

T

i

im

ij

ii

(5.57)

Matrica k je reda 6x6 tj. ima ukupno šest stepeni slobode pomjeranja, zasvaki od tri čvora po dva pomjeranja.

U izrazu (5.49), f predstavlja vektor čvornih sila i može se napisati kao

3

3

2

2

1

1

666261

262221

161211

3

3

2

2

1

1

...

...

...

v

u

v

u

v

u

k k k

k k k

k k k

f

f

f

f

f

f

y

x

y

x

y

x

(5.58)

Sile f zovu se konzistentne sile ako su dobivene po energetskomprincipu. Za elemente višeg reda, tj. one čija je funkcija pomjeranja

kvadratna ili kubna parabola obavezno se koristi jednačina (5.58).

5.5. Globalna matrica krutosti

Za dobivanje globalne matrice krutosti koristi se direktni metod. Ona sepredstavlja izrazom:


19/34


173

N

e

k K 1

(5.59)

gdje je: e broj elementa, a N ukupan broj elemenata.

Matrica

d K F (5.60)

predstavlja vektor sila cijelog sistema i postavlja se u odnosu na globalni

koordinatni sistem. Vektor d predstavlja vektor pomjeranja svih čvorovastrukture. Često se jednačina (5.60) zove i jednačina strukture. Za razlikuod izraza (5.59) i (5.60) koji su definisani u globalnim koordinatama

prethodne (5.56), (5.57) i (5.58) jednačine su postavljene u lokalnimkoordinatama. Veza lokalnih i globalnih koordinata data je matricom

transformacije T u obliku:

C S

S C

C S

S C

C S

S C

T

0000

0000

0000

0000

0000

0000

(5.61)

gdje je C = cos i S = sin .

Jednačina (5.60) u sebi sadrži nepoznata pomjeranja u čvorovima i ona seodrede iz sistema jednačina (5.60). Nakon što se odrede pomjeranja u svimčvorovima u x i y pravcu izračunaju se deformacije po izrazu (5.33) a zatim

glavni naponi 1 i 2 prema izrazima (5.2).


20/34


174

PRIMJER 5.1

Treba odrediti matricu krutosti i napone trokutnog elementa prikazanog na

slici 5.8. Dato je 3,0,10202

6 cm

N E i debljina t = 1 cm. Neka su

pomjeranja u čvorovima:

u1 = 0 v1 =0,001u2 = 0,0005 v2 = 0u3 = 0 v3 = 0,001 cm.

Slika 5.8. Ravna trokutna ploča

U rješavanju zadatka kreće se od matrice krutosti elementa

B D B At k T

Prvo se izračunaju članovi matrica B i D i nađe transponovana matricaBT.

Koeficijenti su:

202101

0002)1(1

220110

i jm jim

mi jim j

jmim ji

x x y y

x x y y

x x y y

x

y (0,1)

m=3

i=1(0,-1)

j=2

(2,0)


21/34


175

122012

200020

010201

22

1000

000

2

1

mm j jii

m ji

m ji

A B

2,000

07,01

017,0

4,03,1

1020

2

2100

0)1(

0)1(

)21)(1(

6 E

D

122012

200020

010201

4

1

2,000

07,01

017,0

120

201

200

002

120

201

52,0

1020

4

21 6

k

43,14544,11924,124,19506,12696,7

544,11215,7848,3734,6696,7481

924,1848,3848,30924,1848,3

24,19734,60468,1324,19734,6

506,12696,7924,124,1943,14544,11

544,11215,7848,3734,6696,7481,0

106k


22/34


176

001,0

0,0

0,0

0005,0

001,0

0,0

122012

200020

010201

2,000

07,01

017,0

52,40

1020 6

d B D

xy

y

x

8462,3

6154,97308,6

103

MPa

MPa

MPa

z

y

x

46,38

15,96

3,67

Glavni naponi su prema (5.2)

1 = 122,802 MPa2 = 42,648 MPa

5.6. Površinske sile i sile sopstvene težine

Osim koncentrisanih sila na element djeluju sile sopstvene težine koje sezovu i gravitacione sile. One su date izrazom:

v

T

b dV X N f (5.62)


23/34


177

Vektor

b

b

Y

X X (5.63)

u kome su xb i yb gustine u x i y pravcu. Ako su gustine iste u svimčvorovima može se pisati:

3

At

y x

y

x

y

x

f f

f

f

f

f

f

b

b

b

b

b

b

bmy

bmx

bjy

bjx

biy

bix

b

(5.64)

Površinske sile date su izrazom:

S

T

s dS T N f (5.65)

gdje je: T površinsko opterećenje:

y

x

p pT

px i py djeluju u pravcu osa x i y.

Slika 5.9.

Ako opterećenje djeluje u pravcu ose x onda je:

p

y

x

1

a

L


24/34


178

,

o

pT a

3

3

2

2

1

1

0

0

0

0

00

N

N

N

N

N N

N T

(5.66)

N1, N

2 i N

3 se računaju po izrazima (5.29), a koeficijenti po izrazima (5.22).

Ako su čvorovi označeni kao i = 1, j = 2 i m = 3, izračunaju se:

A

ay Lx N ia L

A

xa L N i L La

A

ay N ia

2

0

2

)(0

200

3333

2222

1111

(5.67)

pa se može pisati:

0

2

0

0

0

2

)2/(22

2

2

ap L L

p L

a

aL

t f s (5.68)

ili


25/34


179

0

2/

0

0

0

2/

3

3

2

2

1

1

pLt

pLt

f

f

f

f

f

f

f

ys

xs

ys

xs

ys

xs

s

(5.69)

5.7. Konačan oblik matrice krutosti

Na osnovu izraza (5.55) za matricu krutosti

B D BtAk T

uvrštavanjem matrica D i B dobije se konačan oblik matrice krutosti:

mm j jii

m ji

m ji

mm

mm

j j

j j

ii

ii

A

tE k

000

000

22100

010

01

0

00

0

0

0

)21)(1(4

(5.70)

PRIMJER 5.2

Tanka ploča (slika 5.9) izložena je djelovanju kontinuiranog opterećenja

T = 1000 N/cm2. Ploča je debljine t = 1 cm, a zadano je 261020

cm N E ,

= 0,3. Odrediti napone i deformacije ploče.


26/34


180

Slika 5.10 a) Tanka ploča; b) Diskretizirana ploča

Prvi korak u rješavanju je diskretizacija ploče. Ploča se može podijeliti na 2ili više elemenata, ali zbog prikazivanja postupka dovoljno je podijeliti nadva elementa. Odabere se koordinatni sistem i obilježe čvorovi elemenata ielementi. Opterećenje se rasporedi u čvorove i za svaki čvor je:

N F

AT F

5000

11010002

1

2

1

Ako se globalna matrica

d K F

napiše u proširenom obliku:

1 cm

10 cm20 cm T=1000 N/cm

x

y2

1

5000 N

5000 N

2 3

1 4


27/34


181

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

y

x

x

d

d

d

d K

d

d

d

d d

d

d

d

K R

R

R

R

F

F

F

F F

F

F

F

4

4

3

3

4

4

3

3

2

2

1

1

2

2

1

1

4

4

3

3

2

1

2

1

0

0

0

0

0

5000

0

5000 (5.71)

Matrica K ima dimenzije 8x8, jer ploča ima 4 čvora i svaki ima po dva

pomjeranja. Učvorovima 3 i 4 djeluju sile u x pravcu, a u y pravcu nemasila dok su u osloncima 1 i 2 reakcije u oba pravca.

Ukupna matrica krutosti dobije se na osnovu matrica krutosti pojednihelemenata.

Element 1 određen je čvorovima 1, 3 i 2 čije su koordinate u globalnomsistemu i (0,0); j (20, 10); m (0, 10).

Slika 5.11. Element 1.

Površina trokuta 210010202

121 cmhb A

.

Za računanje matrice krutosti elementa prema (5.55) prvo se odrede

matrice B i D, pa je:

mm j jii

m ji

m ji

A B

000

000

2

1 (5.72)

j=3

x

y

m=2

i=1

1


28/34


182

odnosno koeficijenti matrice za problem koji se rješava su:

20020

000

20200

10100

10010

01010

i jm

mi j

jmi

jim

im j

m ji

x x

x x

x x

(5.73)

1020100020

20000200

01001000

200

1 B (5.74)

Za ravno stanje napona matrica

2

100

01

01

1 2

E D (5.75)

koja za konkretni slučaj ima oblik:

35,000

013,0

03,01

91,0

1020 6 D (5.76)

Matrica krutosti elementa 1 dobije se u obliku:

1020100020

20000200

01001000

200

1

35,000

013,0

03,01

91,0

1020

10200

20010

1000

0010

0200

2000

200

1001 6

k


29/34


183

čije je konačno rješenje:

i=1 j=3 m=2

435130356040070

1302407010060140

3570350070

601000100600

400600604000

701407000140

91,0

00050k (5.77)

Na isti način odredi se matrica krutosti elementa 2, a prema slici 5.12.

Slika 5.12. Element 2

Koordinate čvorova u globalnom koordinatnom sistemu su: i (0, 0); j (20,0) m (20, 10), pa su koeficijenti:

20020

20200

02020

000

10010

10100

i jm

mi j

jmi

jim

im j

m ji

x x

x x

x x

(5.78)

0201020100

20020000

00010010

200

1 B (5.79)

m=3

j=4i=1

x

y2


30/34


184

35,000

013,0

03,01

91,0

1020 6 D (5.80)

0201020100

20020000

00010010

200

1

35,000

013,0

03,01

91,0

1020

0200

2000

10200

20010

1000

0010

200

1001 6k

400040060060

014070140700

400704351303560

6014013024070100

0703570350600601000100

91,0

00050k (5.81)

Matrice krutosti elemenata 1 i 2 se prošire do reda veličine ukupne matricekrutosti tj. 8x8 pa je matrica krutosti elementa 1:

00000000

00000000

0070714014

000201220120

0071287268014

00142026481228

000128012800

001401428028

91,0

000250k (5.82)


31/34


185

Matrica krutosti elementa 21 2 3 4

8726801400712

26481228001420

801280000012

142802800140

00000000

00000000

7140140070

122012000020

91,0

000250k (5.83)

Ukupna matrica krutosti je:

1 2 3 4

8726801400712

26481228001420

801287071402614280481220260

0071287268014

00142026481228

7140268012870

12202601428048

91,0

000250K (5.84)

Jednačina strukture ima oblik:

y

x

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

R

R

R

R

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

0

0

8726801400712

26481228001420

8012870714026

14280481220260

0071287268014

00142026481228

7140268012870

12202601428048

91,0

000250

0

5000

0

5000

(5.85)


32/34


186

Dodavanjem graničnih uslova neka pomjeranja postaju nula pa se piše:

y

x

y

x

d

d

d

d

4

4

3

3

87268014

26481228

8012870

1428048

91,0

000250

0

5000

0

5000

(5.86)

Nakon transponovanja i množenja dobije se vektor nepoznatih pomjeranja:

00878,005470,0

00034,0

05024,0

50

91,0

4

4

3

3

y

x

y

x

d d

d

d

(5.87)

cm

d

d

d

d

y

x

y

x

6

4

4

3

3

10

8,159

5,999

2,6

4,914

(5.88)

Naponi se izračunaju korištenjem izraza:

d B D (5.89)

Za element 1 naponi su:

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

A

E

2

2

3

3

1

1

223311

231

231

2 000

000

2

1

2

100

01

01

)1(

(5.90)


33/34


187

0

0

2,6

4,914

0

0

1020100020

20000200

01001000

35,010

013,0

03,01

20091,0

101020 66

(5.91)

2

3846,2

45,301

8,1004

1,9

1

7,21

2,2743

0,9144

cm

N

xy

y

x

(5.92)

Za element 2 naponi su:

y

x

y

x

y

x

d

d

d

d

d

d

A

E

3

3

4

4

1

1

334411

341

341

2 000

000

2

100

01

01

2

1

)1(

(5.93)

2,6

4,914

8,159

5,995

0

0

0201020100

20020000

00010010

35,010

013,0

03,01

20091,0

101020 66

(5.94)

2

74,307

582,22

73,948

cm

N

xy

y

x

(5.93)


34/34

Glavni naponi se odrede prema (5.2)

MPacm N

MPacm N

xy

y x y x

12,1/8744,111

38,10/0224,1038

22

2

2

2

1

2/1

2

2

2,1

Documents

Ravno Stanje Napona i Deformacija