Zadatak

Metodom sila odrediti reakcije za datu obostrano uklještenu gredu uslijed zadatih pomjeranja oslonaca: 1 , 2 , v1 ,, v2 , u1 , u2.

Zadato E, J i A. Nepoznato: M1,M2,V1,V2,N1,N2

L

1 2

u

v

M1 M2

N2

N1

V1 V2

Osnovni sistem i jedinični dijagrami momenata

X1 X2

X3

M1

M2

N3

1.0

1.0

1.0

M3=0

Sistem jednačina

EJ11=EJ 22=L/3; EJ12=-L/6; EJ 13= EJ 23=0; EA 33=L

1S=1+v1/L-v2/L; 2S=2+v1/L-v2/L; 3S=u2-u1;1 2 1

1 2 2

3 3

03 6

06 3

0

S

S

S

L LX X EJ

L LX X EJ

L X EA

1 1 1 2

1 1 2

1 21 1 2

22 0

3 6

22

322

S S

S S

L LX X EJ EJ

LX EJ

v vEJX

L L

Reaktivne sile

1 21 1 2

1 22 2 1

1 21 21 1 22

1 22 1 22

1 21

2 12

322

322

62

62

v vEJM

L L

v vEJM

L L

v vM M EJV

L L L

v vEJV

L L

u uN EA

Lu u

N EAL

*

*

* - Takabey-eve jedna~ine

Veza između sila i pomaka na krajevima štapaMatrica krutosti

3 2 3 21 1

1 1

2 21 1

2 2

2 2

2 23 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

EA EA

L LEJ EJ EJ EJ

N ul l l lV vEJ EJ EJ EJM l l l lN uEA EA

L LV vEJ EJ EJ EJMl l l lEJ EJ EJ EJ

l l l l

Matrica krutosti

3 2 3 2

2 2

3 2 3 2

2 2

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 4 6 20 0

0 0 0 0

12 6 12 60 0

6 2 6 40 0

EA EA

L LEJ EJ EJ EJ

l l l lEJ EJ EJ EJ

l l l lKEA EA

L LEJ EJ EJ EJ

l l l lEJ EJ EJ EJ

l l l l

F K u

Matrica krutosti

Matrica krutosti zavisi isklju~ivo od du`ine, popre~nog presjeka i modula elasti~nosti. Svaki {tap u ravni ima ovakvu matricu krutosti. Dimenzije matrice krutosti odgovaraju stepenu slobode kretanja {tapa.

[tap u prostoru ima 12 SSK, {to zna~i da matrica krutosti ima dimenzije 12x12.

U slu~aju da se zanemaruju normalne sile, odnosno aksijalne deformacije {tapa, matrica krutosti za {tapove u ravni ima dimenzije 4x4.

Matrica krutosti u slu~aju zanemarenja normalnih sila

3 2 3 2

1 1

2 21 1

2 22 2 3 2

2 2

2 2

12 6 12 6

6 4 6 2

12 6 12 6

6 2 6 4

EJ EJ EJ EJ

l l l lV vEJ EJ EJ EJM l l l lV vEJ EJ EJ EJ

l l l lMEJ EJ EJ EJ

l l l l

Metoda deformacija

Metoda deformacija služi za izračunavanje uticaja na statički neodređenim nosačima. Zasniva se na tome da se za svako pomjeranje postavljaju odgovarajući uslovi ravnoteže. U opštem slučaju to su:

- za zaokrete čvorova: suma momenata jednaka nuli

- za pomake čvorova: suma sila jednaka nuli.

Pri ovome se sile izražavaju preko pomjeranja krajnjih čvorova štapa. Na taj način se dobiva n jednačina sa n nepoznatih pomjeranja, gdje je n ukupan broj mogućih pomjeranja čvorova na sistemu.

Matrična jednačina metode deformacija

FuK

Gdje je: [K] - globalna matrica krutosti sistema, dimenzija n x n

{u} - vektor nepoznatih pomjeranja

{F} - vektor sila koje djeluju u pravcu nepoznatih pomjeranja

Metoda deformacija

Tačna metoda deformacija podrazumijeva da se u račun uzimaju sva moguća pomjeranja sistema, tj. matrice krutosti štapova su dimenzija 6x6. Ovakve matrice krutosti se koriste u softverskim algoritmima za proračun linijskih nosača.

Tehnička metoda deformacija zanemaruje pomjeranja duž štapa, odnosno pretpostavlja se da je aksijalna krutost štapova beskonačna. To odgovara zanemarenju uticaja normalnih sila kod metode sila. Ova metoda se primjenjuje pri proračunu konstrukcija bez korištenja računara.

Tehnička metoda deformacija - Postupak

1. Identificiraju se nepoznata pomjeranja, i to:

•Uglovi zaokreta čvorova - u svakom čvoru gdje postoji barem jedan kruti ugao. Ako u jednom čvoru ima više krutih uglova, tu i dalje postoji samo jedan nepoznati ugao zaokreta.

•Pomaci čvorova

Pomaci čvorova se određuju tako što se u svaki čvor sistema ubaci puni zglob. Na taj način se dobiva tzv. zglobna šema. Virtualna pomjeranja zglobne šeme kao mehanizma predstavljaju nepoznate pomake čvorova nosača.

Tehnička metoda deformacija - Postupak

2. Sastavljaju se Takabejeve jednačine za momenat na svakom kraju štapa i postavlja se uslov da je suma momenata u svakom čvoru jednaka nuli. Na taj način se dobiva m jednačina, gdje je m broj nepoznatih uglova zaokreta čvorova, odnosno formirano je m vrsta globalne matrice krutosti.

3. Isijecaju se svi čvorovi koji imaju isto pomjeranje i postavljaju se uslovi ravnoteže za svaki čvor. Ovi uslovi se uvijek mogu izraziti pomoću onoliko jednačina koliko ima nepoznatih pomjeranja. Na taj način se dobivaju preostale jednačine metode deformacija.

Tehnička metoda deformacija - Postupak

4. Dobiveni sistem jednačina se rješava, čime se dobivaju nepoznata pomjeranja.

5. Dobivene vrijednosti za pomjeranja se ubacuju u Takabejeve jednačine, čime se dobivaju vrijednosti momenata na krajevima svakog štapa.

6. Svaki štap se rješava posebno, kao prosta greda, opterećena datim opterećenjem i dobivenim momentima na krajevima štapa.

Umjesto tačke 5 može se izmnožiti matrica krutosti štapa sa vektorom pomjeranja na krajevima štapa. Na taj način se dobiva vektor čiji su članovi momenti i transverzalne sile na krajevima štapa.

KONVENCIJE

U literaturi se mogu sresti razne konvencije koje definišu pozitivni smjer sila, odnosno pomjeranja. U zavisnosti od usvojene konvencije, mijenjaju se određeni predznaci u matrici krutosti štapa. Na vježbama ćemo koristiti konvenciju koja se koristi u programu CAL.

Pozitivni smjer pomjeranja

Pozitivni smjer sila na štapovima

Pozitivni smjer sila na čvorovima

Matrica krutosti {tapa

l

EJ

l

EJ

l

EJ

l

EJl

EJ

l

EJ

l

EJ

l

EJL

EA

L

EAl

EJ

l

EJ

l

EJ

l

EJl

EJ

l

EJ

l

EJ

l

EJL

EA

L

EA

K

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

0000

22

2323

22

2323

Takabejeva jedna~ina:

L

vv

L

EJM 21

211

32

2

ZADATAK

Za dati nosač naći dijagrame presječnih sila:

a) Tačnom metodom deformacija

b) Tehničkom metodom deformacija

E = 1000 kN/m2

40/40

40/60

20 kN/m

100 kN

4

4

A) Tačna metoda deformacija

U skladu sa tačnom metodom deformacija, ovaj sistem ima ukupno tri pomjeranja: ugao zaokreta, horizontalni i vertikalni pomak, tj. 1, u1 i v1.

1

2

3

u

v

1

2

[tap 1.

Takabejeva jednačina: 1 3

m1-3u1

1

67.267.22.7;322

11313-11

131

vM

l

v

l

EJM m

131131

11313113311

1231

133131

60;

4035.17.2;632

uNul

EAN

vVTll

v

l

EJV

l

MMV

mm

v1

m3-1

60;35.112

3.64

4.142

3

l

EA

l

EJl

EJ

M1-3 M3-1

V1-3 V3-1

N3-1

N1-3

T1-3 T3-1

Štap 1.

Prethodne jednačine napisane u matričnom obliku:

67.26

40

0

67.26

40

0

0

0

0

2.77.206.37.20

7.235.107.235.10

00600060

6.37.202.77.20

7.235.107.235.10

00600060

1

1

1

13

13

13

31

31

31

v

u

M

V

N

M

V

N

Štap 2.Takabejeva jednačina:

1

2

u1

1

11211

11

21 8.013.2;322

uMl

u

l

EJM

121121

11211

1221

122121

40;

40.08.0;632

vNvl

EAN

uVl

u

l

EJV

l

MMV

v1

40;40.012

07.14

27.42

13

1

1

l

EA

l

EJl

EJ

M2-1

M1-2

V1-2

V2-1N2-1

N1-2

Štap 2.

Prethodne jednačine napisane u matričnom obliku:

0

0

0

13.280.0007.180.00

80.040.0080.040.00

00400040

07.180.0013.280.00

80.040.0080.040.00

00400040

1

1

1

12

12

12

21

21

21

u

v

M

V

N

M

V

N

Ravnoteža čvora 1.

N1-3

100

M1-2

N1-2

V1-2

V1-3M1-3

00.3

00.2

01000.1

2131

2131

2131

MMM

NVY

VNX

Izražavajući sile preko pomjeranja gornje jednačine se transformišu u:

067.268.013.27.22.7.3

0404035.17.2.2

010040.08.060.1

1111

111

111

uv

vv

uu

Globalna matrica krutosti

0

0

0

0

67.26

40

100

33.97.28.0

7.235.410

8.004.60

1

1

1

FuK

ili

v

u

Prethodni sistem jednačina napisan u matričnom obliku:

Matrica K je globalna matrica krutosti sistema, u je vektor nepoznatih pomjeranja, a F vektor sila, koje djeluju u pravcu tih pomjeranja. Slijedeći korak je rješavanje sistema jednačina.

Rješenje sistema jednačina

776.2

786.0

692.1

1

1

1

v

u

Rješavanjem prethodnog sistema jednačina dobiva se:

Slijedeći korak je da se ova rješenja uvrste u jednačine za sile u štapovima, tj. dobivena pomjeranja se smještaju u vektor pomjeranja za svaki štap. Da bi se dobile sile na krajevima štapa, potrebno je za svaki štap vektor pomjeranja pomnožiti sa matricom krutosti štapa.

Presječne sile

56.467.267.22.7 1131 vM

Štap 1.

78.3867.267.26.3 1113 vM

44.314035.17.2 1131 vV

56.484035.17.2 1113 vV

52.10160 131 uN

52.10160 113 uN

15.20202

44.3156.4

2

max

M

Presječne sile

56.48.013.2 1121 uM

Štap 2.

61.18.007.1 1112 uM

54.14.08.0 1121 vV

44.3140 121 vN

54.14.08.0 1112 vV

44.3140 112 vN

B) Tehnička metoda deformacija

Pod pretpostavkom da su štapovi aksijalno apsolutno kruti, može se zaključiti da nijedna tačka nema translaciju. Takav sistem se naziva nepomjerljiv sistem. To znači da kompletan sistem ima samo jedno generalisano pomjeranje: 1.

1

2

3

1

2

1

2

3

1

2

Zglobna šema

Štap 1.

Takabejeva jednačina:

1 3m1-3

1

67.262.7;22

1313-1131 Ml

EJM m

m3-1

35.112

3.64

4.142

3

l

EJl

EJ

M1-3 M3-1

V1-3 V3-1

67.266.3;2

1311-3131 Ml

EJM m

Štap 1.

U ovom slučaju vektor sila se izražava matričnom jednačinom:

67.26

40

67.26

40

0

0

0

2.77.26.37.2

7.235.17.235.1

6.37.22.77.2

7.235.17.235.1

1

13

13

31

31

M

V

M

V

Štap 2.Takabejeva jednačina:

1

2

1

12111

21 13.2;22

Ml

EJM

40.012

07.14

27.42

31

1

l

EJl

EJ

M2-1

M1-2

V1-2

V2-1

Štap 2.

Pisano pomoću matrica:

0

0

0

13.28.007.18.0

8.04.08.035.1

07.18.013.28.0

8.04.08.04.0

1

12

12

21

21

M

V

M

V

Ravnoteža čvora 1.

100

M1-2

M1-3

00 2131 MMM

ili

858.2067.2633.9

067.2613.22.7

11

11

Presječne sile

09.667.262.7 131 M

Štap 1.

96.3667.266.3 113 M

96.19202

28.3209.6

2

max

M

6.09 36.96

32.28

47.72

Presječne sile

09.613.2 121 M

Štap 2.

05.307.1 112 M

6.09 3.05

2.28 2.28

Normalne sile u štapovima se dobivaju iz uslova ravnoteže horizontalnih i vertikalnih sila koje djeluju na čvor 1. To su isti uslovi ravnoteže koji su korišteni kod tačne metode deformacija ali su sada transverzalne sile poznate.

Dijagrami presječnih sila M

T

N

101.54

31.44

38.784.56

1.61 1.54

31.44 48.566.09

3.05

36.96

47.72

2.28

32.28

32.28

102.28

20.1519.96

Žuto - Tačna metoda def.

Zeleno - Tehnička met. def.