Upload
emir-neziric
View
598
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Osnove nosivih konstrukcija II
2. ANALIZA NAPREZANJA I DEFORMACIJA
2.1. Naprezanja
Utjecaj unutrašnjih sila na promatrani element ovisi o svojstvima materijala od kojeg je
element izrađen i dimenzijama elementa. Promatramo li dva elementa izrađena od istog
materijala, veću će silu moći preuzeti element većih dimenzija. Zbog toga se vrlo često pri
proračunu konstrukcije prikazuju naprezanja umjesto unutrašnjih sila u presjeku.
Naprezanje se može općenito definirati kao sila u presjeku elementa podijeljena s
površinom na koju djeluje. Jedinica za naprezanje je Pascal (Pa). Jedan Pascal je naprezanje
silom od 1N na površini od 1 m2 (1 Pa = 1 N/m2). Pascal je vrlo mala veličina pa se često
kao jedinica za naprezanje koristi megaPascal (1 MPa = 1 N/mm2).
Elementi u konstrukcijama su rijetko izloženi djelovanju samo jedne vrste sila. Na element
ravninske linijske konstrukcije kao jedne od jednostavnijih konstrukcija općenito djeluje
kombinacija uzdužne sile, poprečne sile i momenta savijanja. U prostornim konstrukcijama
stanje unutrašnjih sila je još složenije. Kao rezultat ovakvih djelovanja javlja se složeno
stanje naprezanja u presjeku koje se može podijeliti u dvije vrste: normalno naprezanje koje
djeluje okomito na ravninu promatranog presjeka i posmično naprezanje koje djeluje u
ravnini promatranog presjeka.
2.1.1 Normalno naprezanje
Promotrimo dio linijskog elementa izloženog djelovanju uzdužne sile N. Proračun
unutrašnjih sila linijskog elementa vršimo s pretpostavkom da su dimenzije poprečnog
presjeka elementa zanemarivo male u odnosu na njegovu duljinu. U stvarnosti poprečni
presjek ima konačne dimenzije koje treba uzeti u obzir pri proračunu naprezanja. Ako
presječemo element u presjeku x-x tada će se u promatranom presjeku kao rezultat
djelovanja uzdužne sile Nx javiti naprezanje σxx jednoliko raspoređeno po površini
poprečnog presjeka:
AN x
xx =σ
Osnove nosivih konstrukcija II
Prvi indeks određuje smjer vanjske normale na poprečni presjek, a drugi indeks smjer
naprezanja. Naprezanje σxx je normalno naprezanje koje djeluje u smjeru osi x u poprečnom
presjeku s vanjskom normalom u smjeru osi x.
Crtež. Normalno naprezanje u presjeku
Naprezanje ne mora uvijek biti jednoliko raspoređeno po površini poprečnog presjeka. U
tom slučaju uzimamo da na elementarnu površinu dA djeluje sila dNx pa je naprezanje dano
izrazom:
dAdN x
xx =σ
Integracijom prethodnog izraza po površini poprečnog presjeka dobivamo ukupnu silu:
∫σ=A
xxx dAN
2.1.2 Posmično naprezanje
Unutrašnja sila u presjeku linijskog nosača se obično sastoji od uzdužne komponente Nx i
poprečne komponente Ty. Komponenta Nx uzrokuje normalno naprezanje, dok komponenta
Ty koja djeluje u ravnini poprečnog presjeka uzrokuje posmično naprezanje.
Osnove nosivih konstrukcija II
Crtež. Normalno i posmično naprezanje u presjeku
Pretpostavimo li da je naprezanje jednoliko raspoređeno po površini poprečnog presjeka,
dobivamo izraz za posmično naprezanje:
ATy
xy =τ
Ako u presjeku djeluje i poprečna sila u smjeru z, tada će postojati i posmično naprezanje u
istom smjeru:
ATz
xz =τ
Indeksi uz posmično naprezanje određuju se analogno kao i kod normalnog naprezanja. Prvi
indeks određuje smjer vanjske normale na poprečni presjek, a drugi indeks smjer
naprezanja.
U slučaju nejednolike raspodjele naprezanja u presjeku, posmična naprezanja možemo
odrediti prema izrazima:
dAdT,
dAdT z
xzy
xy =τ=τ
a odgovarajuće poprečne sile u presjeku integracijom po površini poprečnog presjeka:
∫∫ τ=τ=A
xzzA
xyy dAT,dAT
Umjesto oznaka , xyτ xzτ mogu se za posmična naprezanja koristiti i oznake , xyσ xzσ .
Osnove nosivih konstrukcija II
2.1.3 Prostorno stanje naprezanja
Promotrimo li tijelo u prostoru izloženo djelovanju vanjskih sila te ga prerežemo na dva
dijela, tada na presječnoj plohi djeluje vektor punog naprezanja kojeg možemo rastaviti na
komponentu naprezanja okomito na ravninu presjeka (normalno naprezanje) i komponentu
naprezanja u ravnini presjeka (posmično naprezanje).
Naprezanja na ravninu presjeka
Orjenitramo li ravnine presjeka okomito na koordinatne osi y i z, dobit ćemo na svakoj od tih ravnina tri komponente naprezanja, jednu normalnu i dvije posmične.
Promotrimo li diferencijalno mali trodimenzionalni element izrezan iz krutog tijela u
prostoru tada se na svakoj plohi elementa javljaju tri komponente naprezanja.
Osnove nosivih konstrukcija II
Crtež. Prostorno stanje naprezanja
Stanje naprezanja u prostoru potpuno je određeno s 9 komponenti naprezanja, tri normalne i
šest posmičnih komponenti, koje djeluju na tri međusobno okomite ravnine, a možemo ih
prikazati u obliku kvadratne matrice:
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσσσσσσσσ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
στττστττσ
=σ
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
ij
koju nazivamo matricom tenzora naprezanja ili kraće tenzorom naprezanja. Elementi jednog
retka matrice predstavljaju komponente naprezanja u jednoj ravnini. Normalna naprezanja
često označavamo s , a posmična iiσ iσ ijτ sa ijσ .
Komponente naprezanja su pozitivne ako djeluju u pozitivnim smjerovima koordinatnih
osi na površini s vanjskom normalom orjentiranom u smjeru koordinatne osi, odnosno ako
djeluju u negativnim smjerovima koordinatnih osi na površini s vanjskom normalom
orijentiranom suprotno od koordinatne osi. Komponenta naprezanja djeluje u smjeru
vanjske normale pa je to normalno vlačno naprezanje, a
ijσ
iiσ+
iiσ− je normalno tlačno naprezanje.
Iz tijela u stanju ravnoteže izrežimo beskonačno mali prostorni diferencijalni element sa
stranicama dx, dy, dz. Pri homogenom stanju naprezanja na paralelnim stanicama
prikazanog diferencijalnog elementa djeluju komponente iste veličine. U općem slučaju
komponente naprezanja su neprekinute funkcije koordinata )z,y,x(ijij σ=σ pa na paralelnim
stranicama elementa ne djeluju komponente naprezanja jednakog iznosa. Razlika između
Osnove nosivih konstrukcija II
komponeti može se prikazati preko diferencijalnih prirasta naprezanja na razmacima dx, dy,
dz.
Težištem prostornog diferencijalnog elementa postavimo os z0 paralelno s osi z i postavimo
jednadžbu ravnoteže . Moment u odnosu na os z0M0z =Σ 0 dat će samo posmične
komponente naprezanja okomite na tu os prikazane na crtežu. Iz uvjeta ravnoteže 0M0z =Σ
dobivamo:
02
dydzdxdxy2
dxdzdydyx2
dydzdx2
dxdzdy yxyx
xyxyxyxy =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂τ∂
+τ−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂τ∂
+τ+τ−τ
Crtež. Posmična naprezanja na diferencijalnom elementu u ravnini xy
Ako se jednadžba podijeli s i zanemare diferencijalni prirasti u odnosu na osnovne
veličine i dobivamo:
dzdydx
xyτ yxτ
yxxy τ=τ
Analogno bismo za 0M0x =Σ i 0M
0y =Σ dobili:
zxxzyzzy , τ=ττ=τ
Općenito ove izraze možemo prikazati u obliku:
)z,y,xj,i;ji(,jiij =≠τ=τ
Gornja jednadžba izražava zakon o uzajamnosti posmičnih naprezanja koji glasi:
U dvjema međusobno okomitim ravninama komponente posmičnih naprezanja
koje su okomite na presječnicu tih ravnina jednake su po iznosu i usmjerene su
prema presječnici tih ravnina ili od nje.
Kako su posmične komponente naprezanja s jednakim indeksima jednake, broj nezavisnih
komponenti naprezanja tenzora naprezanja se smanjuje s 9 na 6. Matrica tenzora naprezanja
ima oblik:
Osnove nosivih konstrukcija II
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
στττστττσ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
στττστττσ
=σ
zyzxz
yzyxy
xzxyx
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
ij
Primjer:
Štap poprečnog presjeka površine A izložen je djelovanju uzdužne sile F. Potrebno je
izračunati normalno i posmično naprezanje u ravnini s normalom pod kutem ϕ u odnosu na
os štapa. Kod štapa izloženog djelovanju uzdužne sile naprezanja u presjeku su raspoređena
jednoliko po površini poprečnog presjeka.
φF F
a a
Nφ R=
A
T Crtež. Naprezanja u presjeku štapa
Vanjsku silu F možemo u poprečnom presjeku pod kutem ϕ prikazati kao zbroj normalne
komponente i tangencijalne komponente ϕ= cosFN ϕ= sinFT . Naprezanju u presjeku
iznose:
- normalno ϕ=
ϕ
ϕ==σϕ
2cosAF
cosA
cosFAN
- posmično ϕ=ϕϕ=
ϕ
ϕ==τϕ
2sinA2Fcossin
AF
cosA
sinFAT
Uvrštavajući različite vrijednosti za kut ϕ vidljivo je da normalno naprezanje opada s
povećanjem kuta ϕ. Najveće normalno naprezanje je u poprečnom presjeku okomitom na os
štapa (ϕ=0°) i iznosi A/F=σ . Posmično naprezanje raste s povećanjem kuta ϕ od 0° do 45°.
Najveće je u poprečnom presjeku pod kutem od 45° i iznosi . S daljnjim
povećavanjem kuta posmično naprezanje opada.
A/F5.0=τ
Osnove nosivih konstrukcija II
2.1.4 Ravninsko stanje naprezanja
Tenzor naprezanja: [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡σττσ
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡σττσ
=σyyx
xyx
yyyx
xyxxij
Jednadžbe transformacije
σ σ
σ
x
n n
y
τ
τ
τ
x
nt
t
y
y
x
φ
φA
B
O x
y
Jednadžbe transformacije služe za
određivanje naprezanja u proizvoljnom
smjeru ako su poznate komponente
naprezanja u dva međusobno okomita
smjera.
φ⋅=φ⋅=
cosABOBsinABOA
Uvjeti ravnoteže:
0X =∑ ; φ⋅⋅τ−φ⋅⋅σ=⋅τ+⋅σ sinABcosABA0B0 ntnxyx
⇓ φ⋅τ−φ⋅σ=φ⋅τ+φ⋅σ sincossincos ntnxyx (1)
0Y =∑ ; φ⋅⋅τ−φ⋅⋅σ=⋅τ+⋅σ cosABsinABB0A0 ntnxyy
φ⋅τ+φ⋅σ=φ⋅τ+φ⋅σ cossincossin ntnxyy (2)
Iz (1) i (2) slijedi sustav od 2x2 jednadžbi:
1sincos)S(DET
cossincossin
sincossincos
22
xyyntn
xyxntn
=φ+φ=
φ⋅τ+φ⋅σ=τ⋅φ+σ⋅φ
φ⋅τ+φ⋅σ=τ⋅φ−σ⋅φ
Osnove nosivih konstrukcija II
Rješenje sustava:
φ⋅τ+φ⋅σ−σ
=τ
φ⋅τ+φ⋅σ+φ⋅σ=σ
2cos2sin2
2sinsincos
xyxy
nt
xy2
y2
xn
analogno je: φ+π
=φ21
φ⋅τ+φ⋅σ−σ
=τ
φ⋅τ−φ⋅σ+φ⋅σ=σ
2sincos2
2sincossin
xyxy
tn
xy2
y2
xt
Smjerovi i veličine glavnih naprezanja
Traži se kut φe=α za koji su normalna naprezanja σn i σt ekstremna. To je kut za koji je . 0tnnt =τ=τ0nt =τ ;
yx
xye
yx
xye
exyexy
2arctg
21
22tg
2cos2sin2
σ⋅σ
τ=φ=α
σ−σ
τ=φ
φτ−=φσ−σ
Kutovi α i ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
±α2
određuju pravce
glavnih naprezanja. Pravci glavnih naprezanja nazivaju se glavnim osima naprezanja.
Pravci na kojima ne djeluje posmično naprezanje nazivaju se glavne osi naprezanja, a normalna naprezanja koja djeluju na tim pravcima nazivaju se glavna naprezanja i označavaju s σ1, σ2.
Veličine glavnih naprezanja: 2121 min,,max σ≥σ=σ=σ
2xy
2yxyx
2
2xy
2yxyx
1
222
22)(
τ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ−
σ+σ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π
−ασ=σ
τ+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ−σ+
σ+σ=ασ=σ
Zbroj normalnih naprezanja u bilo koja dva okomita smjera:
yx
xy2
y2
xxy2
y2
xtn 2sincossin2sinsincos
σ+σ=
φ⋅τ−φ⋅σ+φ⋅σ+φ⋅τ+φ⋅σ+φ⋅σ=σ+σ
121yxtn I=σ+σ=σ+σ=σ+σ I1 – prva invarijanta naprezanja
Osnove nosivih konstrukcija II
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
x x
y
1
1
2
2
y
τ τ
τ
τ
x x
y
y
y y
x
x
S
1
2
α
A
B
Dijagonala posmika – pravac koji spaja vrhove
kvadrata prema kojem djeluju posmična naprezanja τxy
Maksimalno naprezanje ima pravac koji leži
između dijagonale posmika i algebarski većeg
normalnog naprezanja.
Smjerovi i veličina maksimalnih posmičnih naprezanja:
Nalaze se pod kutom 4παβ −=
( ) 2xy
2yx21
max τ2σσ
2σστ +
−=
−=
Mohr-ova kružnica naprezanja Grafička konstrukcija za transformaciju naprezanja i određivanje smjerova i veličine glavnih naprezanja.
σ σ
σ
σ
σ
σ
σ
σ
x x
y
1
1
2
2
y
τ τ
τ
τ
x x
y
y
y y
x
x
S
1
2
ασ
τ
α 2α
σ σ1 2+2
σ σ1 2-
2
Osnove nosivih konstrukcija II
Posebni slučajevi naprezanja
σσ x 1x xx
S
σ
=
=
0
0 =2
β = 45
σσ
xx
σx
τ
σ
σ
y
y
max=2
τmax=σ
ββ
= 45
2β
JEDNOOSNO STANJE NAPREZANJA
σx
σ = 0σ y
maxτmax
σ
σ σσ
σ
σ
xx x
1 2
x
τσ
σ
σ
σ
σσ
y
y
=
=
=
= =
= σ
σ σσ
σ
σ
xx x
1 2
x
τσ
σ
σ
σ
σσ
y
y
=
=
=
= =
=
IZOTROPNO STANJE NAPREZANJA /TLAČNO, VLAČNO/
Mohr-ova kružnica
degenerira u točku.
Nema glavnih osiju.
Nema posmika.
ČISTI POSMIK σ=σ=σ yx
σ
τ
τ
τ
σ
Max
y
a
b
c
d
a1
b1
c1
d1 0
π/2 + γπ/2 − γ
=
τ
ττ
x x
σ
σ
σ
σ
σ
y
y
x
a
b
c
d
a1
b1
c1
d1 0
π/2 + γπ/2 − γ
=
Osnove nosivih konstrukcija II
2.2. Pomaci i deformacije
Djelovanje sila na tijelo izaziva pomicanje tijela koje možemo pratiti u odabranom
koordinatnom sustavu preko komponenti pomaka )z,y,x(ww),z,y,x(vv),z,y,x(uu ===
u smjeru odgovarajućih koordinatnih osi.
z
x
y
V
V
A
0
F
F
F
F
1 1
n
i
2k
r 1
r
u
wv
p
ij
Ukupan pomak može se izraziti kao zbroj komponenti:
kwjviuwvurrrrrrr
⋅+⋅+⋅=++=δ
Pored pomaka moguće je pratiti i deformaciju tijela. Promjena razmaka među promatranim
točkama tijela A i B naziva se apsolutna deformacija dužine AB. Važnija veličina od
apsolutne deformacije je relativna deformacija koja predstavlja promjenu udaljenosti
među točkama podijeljenu s početnom duljinom.
Kao što naprezanja mogu biti normalna i posmična tako postoji normalna i posmična
relativna deformacija. Promotrimo štap izložen djelovanju uzdužne vlačne sile.
∆l/2∆l/2 lx
Crtež. Deformiranje štapa izloženog djelovanju uzdužne sile
Štap se uzdužno rasteže za veličinu ∆lx i istovremeno se poprečno sužava, ali ćemo u ovom
trenutku to zanemariti. Ako početnu duljinu štapa označimo s lx, a produljenje (apsolutnu
deformaciju) s ∆lx, veličina x
xxx l
l∆=ε naziva se relativna normalna deformacija. Kako
Osnove nosivih konstrukcija II
normalno naprezanje izaziva samo promjenu duljine štapa, neće doći do promjene kuta
među slojevima koji se pomiču.
Položaj prije deformiranja
Položaj deformiranjanakon
Crtež. Normalna deformacija štapa
Na slijedećem crtežu prikazana je pravokutna ploča koja je zglobnim ležajevima vezana s
podlogom i opterećena posmičnom silom na gornjem rubu.
ly
ux
Crtež. Deformiranje pravokutne ploče izložene posmičnoj sili
Dimenzije ploče uslijed djelovanja zadane sile se ne mijenjaju, međutim cijela ploča se
posmično deformira na način da dolazi do međusobnog klizanja horizontalnih slojeva te do
promjene kuta među stranicama.
međusobno pomicanje slojeva
Crtež. Posmično deformiranje pravokutne ploče Ovakva deformacija naziva se kutna deformacija ili relativna posmična deformacija i
predstavlja relativnu promjenu kuta među stranicama u odnosu na početni pravi kut.
y
xxy l
utg =γ≈γ
Osnove nosivih konstrukcija II
U prostoru su deformacije funkcije pomaka u, v, w u smjeru tri međusobno okomite
koordinatne osi i općenito su male u odnosu na dimenzije konstrukcije, mijenjaju se od
točke do točke pa se izražavaju u obliku derivacija.
Relativnu normalnu deformaciju u smjeru koordinatnih osi x,y,z označavamo s εxx, εyy, εzz, a
relativnu posmičnu deformaciju u koordinatnim ravninama s γxy, γyz, γzx. Pored ovih oznaka
u analizi kutnih deformacija upotrebljavaju se oznake:
zxzxyzyzxyxy 21;
21;
21
γ=εγ=εγ=ε
Tenzor deformacija u prostoru je oblika:
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εεεεεεεεε
ε
Slično kao i kod naprezanja vrijedi uzajamnost posmičnih deformacija 3,2,1j,i,jiij =ε=ε . Veza između relativnih deformacija i pomaka izvest će se za pravokutnu ploču smještenu u ravnini x-y. Promatrani problem je dvodimenzionalan.
u
A x
y
A’
dx
dy
dxxuu ⋅
∂+
B’
D’
C’
B0
d xxv
⋅∂
v
CD
α
β
xu
∂∂ - relativna promjena pomaka ″u″ u x smjeru
Normalna deformacija: xu
dx
udxxuu
xx ∂∂
=−
∂∂
+=ε
Analogno je yv
dy
vdyyvv
yy ∂∂
=−
∂∂
+=ε
Osnove nosivih konstrukcija II
xv
1xv
dxxudx
dxxv
tanxx ∂
∂≈
ε+∂∂
=
∂∂
+
∂∂
=α za 1xx <<ε ; yutan
∂∂
=β
Posmična deformacija (ukupna promjena kuta):
yu
xvtantanxy ∂
∂+
∂∂
=β+α=γ
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=ε=εyu
xv
21
yxxy
Analogno izvedenim izrazima za relativne deformacije u ravnini, za diferencijalno mali element u prostoru dimenzija dx-dy-dz i komponente pomaka u, v, w u smjeru koordinatnih osi x-y-z relativne normalne deformacije su prikazane izrazom:
zw;
yv;
xu
zzyyxx ∂∂=ε
∂∂=ε
∂∂=ε
a posmične deformacije:
zw
zu;
zy
yw;
yu
xv
zxyzxy ∂∂
+∂∂
=γ∂∂
+∂∂
=γ∂∂
+∂∂
=γ
Primijetimo da u slučaju slobodnog pomicanja konstrukcije može doći do translacijskih pomaka i rotacija, ali pri tome ne dolazi do deformacije konstrukcije. Deformacija se događa samo u uvjetima spriječenih pomaka odnosno rotacija. Primjer translatornog pomaka (nema deformacija):
δ t
Primjer rotacijskog pomaka (nema deformacija):
θ