Wolff, Daniel
Degree Grantor / Ustanova koja je dodijelila akademski / struni stupanj: University of Zagreb, Faculty of Mechanical Engineering and Naval Architecture / Sveuilište u Zagrebu, Fakultet strojarstva i brodogradnje
Permanent link / Trajna poveznica: https://urn.nsk.hr/urn:nbn:hr:235:495816
Rights / Prava: In copyright
Repository / Repozitorij:
Zagreb, 2015.
Izjavljujem da sam ovaj rad izradio samostalno koristei steena znanja tijekom studija i
navedenu literaturu.
elio bih se zahvaliti svojem mentoru Prof. dr. sc. eljku Tukoviu na njegovom vremenu,
strunoj pomoi i korisnim savjetima pri izradi ovog završnog rada.
Daniel Wolff
SADRAJ
1.4. Toluen ......................................................................................................................... 8
2. MATEMATIKI MODEL .............................................................................................. 11
2.1. Energetska jednadba ............................................................................................... 11
2.2. Homogeno tijelo ....................................................................................................... 11
2.3. Hookeov zakon ......................................................................................................... 13
3.1. Uvod ......................................................................................................................... 17
3.2. Diskretizacija ............................................................................................................ 17
4.1. Opis problema .......................................................................................................... 20
4.3. Prikaz i komentar rezultata numerike analize problema ........................................ 21
4.4. Analitiki proraun savijanja grede .......................................................................... 23
5. PRORAUN TOPLINSKIH NAPREZANJA ................................................................. 26
5.1. Priprema geometrije statora za numeriku analizu toplinskih naprezanja ............... 26
5.2. Generiranje mree .................................................................................................... 28
5.4. Rubni uvjeti .............................................................................................................. 30
Daniel Wolff Završni rad
5.5. Proraun koeficijenata prijelaza topline α ................................................................ 31
6. Rezultati ........................................................................................................................... 38
POPIS SLIKA
Slika 2. Shema postrojenja s plinskom turbinom ....................................................................... 4
Slika 3. Utjecaj razlike temperature isparavanja radnog fluida na temperaturu radnog medija i
na temperaturu ispušnih plinova koji se bacaju u okoliš ............................................................ 6
Slika 4. T-s dijagram organskog Rankinovog ciklusa sa toluenom ........................................... 7
Slika 5. Shema organskog Rankinovog ciklusa ......................................................................... 8
Slika 6. T-s dijagram za nekoliko tipinih organskih fluida i vode ........................................... 9
Slika 7. Normalna naprezanja .................................................................................................. 12
Slika 8. Smina naprezanja ...................................................................................................... 12
Slika 9. Naprezanja .................................................................................................................. 13
Slika 11. Ukliještena greda zagrijavana sa gornje strane ......................................................... 20
Slika 12. Temperaturno polje grede ......................................................................................... 21
Slika 13.Prikaz savijanja grede poveano 100 puta ................................................................. 22
Slika 14. Greda duljine L i širine d .......................................................................................... 23
Slika 15. Nagib i pomak slobodnog kraja grede ...................................................................... 24
Slika 16. Usporedba analitikih i numerikih rješenja ............................................................. 25
Slika 17. Stator mikroturbine ................................................................................................... 26
Slika 18. Konana geometrija na prema kojoj e se izraditi mrea ......................................... 27
Slika 19.Rotacijski periodiki rubni uvjet ................................................................................ 27
Slika 20. Mjesta uklještenja statora .......................................................................................... 28
Slika 21. Mrea ........................................................................................................................ 29
Slika 22. Prijelaz topline u prostoru privoda ............................................................................ 32
Slika 23. Prijelaz topline prstenastim zazorima izmeu statora i rotora .................................. 33
Slika 24. Prijelaz topline na profilima lopatica ........................................................................ 34
Slika 25. Prijelaz topline na cilindrinim stijenama meulopatinog kanala........................... 35
Slika 26. Prijelaz topline na stupnjevima statora od drugog do petog stupnja ......................... 36
Slika 27. Temperaturno polje nakon 10 sekundi zagrijavanja statora ...................................... 39
Slika 28. Temperaturno polje nakon minute zagrijavanja ........................................................ 39
Slika 29. Temperaturno polje nakon dvije minute zagrijavanja ............................................... 39
Slika 30. Temperaturno polje nakon tri minute zagrijavanja ................................................... 40
Slika 31. Ekvivalentna naprezanja nakon 10 sekundi zagrijavanja.......................................... 40
Slika 32. Ekvivalentno naprezanje nakon jedne minute zagrijavanja ...................................... 41
Slika 33. Ekvivalentno naprezanje nakon dvije minute zagrijavanja ....................................... 41
Slika 34. Ekvivalentno naprezanje nakon tri minute zagrijavanja ........................................... 41
Slika 35. Ekvivalentne deformacije nakon tri minute zagrijavanja boni pogled na prvi stupanj
statora ....................................................................................................................................... 42
Slika 36. Ekvivalentne deformacije nakon tri minute zagrijavanja pogled na lopaticu i
unutarnji prsten ......................................................................................................................... 42
Slika 37. Ekvivalentne deformacije nakon tri minute zagrijavanja pogled na lopaticu i vanjski
dio statora ................................................................................................................................. 43
Slika 39. Pomaci na podruju prvog stupnja statora ................................................................ 44
Slika 40. Pomaci površina na mjestima gdje se nalaze lopatice statora ................................... 45
Daniel Wolff Završni rad
POPIS TABLICA
Tablica 2. Svojstva materijala korištena za analitiki i numeriki proraun............................ 21
Tablica 3.Fizikalna svojstva materijala od kojega je izraen stator (Aluminij) ....................... 29
Tablica 4. Temperature radnog fluida po stupnjevima statora ujedno i temperature rubnih
uvjeta ........................................................................................................................................ 30
Daniel Wolff Završni rad
POPIS OZNAKA
1 Jedinini vektor vanjske normale za stranicu elije
E N/mm2 Youngov modul elastinosti
I 1 Jedinini tenzor drugog reda
K N/mm2 Volumenski modul elastinosti
2 Površina stranice
s Staro vrijeme
s Novo vrijeme
1 Tenzor Deformacije
λ Lameov koeficijent
ili Lameov koeficijent
ν 1
2 ⁄
Poissonov faktor
∅ Vrijednost centra elije
starog
Daniel Wolff Završni rad
SAETAK RADA
U ovom radu izvršena je numerika analiza nestacionarnih toplinskih naprezanja koja se
javljaju u kuištu, statoru mikroturbine tijekom puštanja u rad. Izmjena topline izmeu radnog
fluida, toluena i statora opisana je primjenom poznatih eksperimentalnih korelacija za
koeficijent prijelaza topline. Mikroturbina koja se obrauje dio je Rankinovog organskog
ciklusa za koji se kao radna tvar koristi toluen. U okviru ovoga rada dan je kratki opis rada
mikroturbina i Rankinovog organskog ciklusa. Nakon uvoda opisan je matematiki model te
je prikazan postupak diskretizacije matematikog modela primjenom metode kontrolnih
volumena. Dalje se u radu opisuje izrada mree, postavljanje numerikog modela koji e se
rješavati, daju se svojstva materijala iz kojeg je izraen stator mikroturbine, poetni i rubni
uvjeti za rješavanje diskretiziranog matematikog modela te postupak primjene poznatih
eksperimentalnih korelacija za koeficijent prijelaza topline. Nakon numerike simulacije za
koju je korišten programski paket OpenFOAM, daj se analiza rezultata.
Kljune rijei: raunalna mehanika kontinuuma, mikroturbina, organski Rankinov ciklus,
toplinska naprezanja
SUMMARY
This paper presents a numerical analysis of unsteady thermal stresses that occur in the
housing of microturbine during commissioning. The heat exchange between working fluid,
toluene and stator is described using known experimental correlations for heat transfer
coefficient. Microturbine presented in this paper is part of the organic Rankin cycle which
uses toluene as working fluid. There is also short general description of microturbines and
organic Rankin cycle. Mathematical model is presented after introduction. Discretization of
mathematical model using finite volume method is briefly described. Next, the paper
describes the creation of the mesh and the way the numerical model is set. Then the properties
of material which makes the stator of microturbine is given, initial and boundary conditions
for solving discretization of mathematical model and application of known experimental
correlations for heat transfer coefficient. After numerical simulations is complete using the
software package OpenFOAM, the analysis of the results is given.
Key words: computational continuum mehanics, microturbines, organic Rankine cycle,
thermal stress
1. UVOD
Progrijavanjem turbine dolazi do toplinskih naprezanja u samom materijalu od kojeg je
turbina izraena. Zbog širenja materijala uslijed zagrijavanja dolazi do naprezanja i
deformacije. Kako bi bili sigurni da zbog toplinskog naprezanja u tijelu statora nee doi do
pucanja ili pomicanja koje bi onemoguilo rad turbine proces progrijavanja simuliran je
numerikim rješavanjem (simulacijom) matematikog modela.
Raunalna mehanika kontinuuma je raunalni numeriki alat kojim se mogu simulirati i
poblie istraiti toplinska naprezanja i deformacije u materijalu uslijed njegova zagrijavanja.
1.1. Turbostrojevi - turbine
Kao turbostrojeve klasificiramo sve ureaje koji pretvaraju energiju u ili iz kontinuiranog toka
fluida preko jednog ili više stupnjeva lopatica. Rije turbines – ono što se okree –rotacijsko
gibanje. Postoje dvije glavne kategorije turbostrojeva: Strojevi koji na raun smanjenja
energije fluida, tlaka ili entalpije, predaju rad okolini su turbine i strojevi koji od okoline
preuzimaju rad i time poveavaju energiju fluida, tlak ili entalpiju su ventilatori, kompresori,
pumpe.[1]
Toplinske turbine su strojevi koji pretvaraju toplinsku energiju toka fluida u kinetiku
energiju, a potom kinetiku energiju u mehaniku rad putem rotacije rotora. Turbina se sastoji
od jednog ili više naizmjenino poredanih redova mirujuih (statorskih) i rotirajuih
(rotorskih) lopatica. Tako postavljene lopatice tvore kanale za strujanje radnog fluida (plina ili
pare). U turbini se energija sadrana u radnom fluidu uz ekspanzijsko strujanje,
karakterizirano padom tlaka i temperature pretvara u kinetiku energiju. Ta kinetika energija
pokree rotorske lopatice odnosno rotor te se pretvara u mehaniki rad koji se dalje koristi za
pokretanje nekog radnog stroja. Naješe za pokretanje elektrinog generatora odnosno
pretvaranje mehanikog rada u elektrinu energiju. Turbina se zajedno s pogonjenim strojem
naziva turboagregat. Turbina moe sluiti i za pokretanje kompresora (turbokompresor) ili se
moe koristiti za pokretanje vozila kao što su zrakoplovi, brodovi itd.
Turboagregat zajedno s kondenzatorom (hladnjakom), pripadajuim cjevovodima i
izmjenjivaima topline, pumpama potrebnima za rad, ine postrojenje toplinske turbine ili
jednostavno termoenergetsko postrojenje. Cjelokupno postrojenje s pripadajuim izvorom
topline naziva se termoenergetski blok ili krae blok. Ako se radi o bloku parne turbine izvor
topline je jedan generator pare (ili parni kotao), a obino cijelo takvo postrojenje naziva se
Daniel Wolff Završni rad
Fakultet strojarstva i brodogradnje 2
parni blok. Za plinsku turbinu s pripadajuim izvorom topline, koji moe biti komora za
izgaranje ili izmjenjiva (povrat otpadne topline) – plinski blok.
Kod toplinskih turbina toplinska energija pretvara se u kinetiku energiju, zbog toga toplinske
turbine moraju sadravati elemente kojima se ta pretvorba postie. Pretvorba toplinske
energije u kinetiku energiju toka fluida moe se ostvariti adijabatskim procesom ekspanzije
pri emu tlak opada, a brzina strujanja raste. Za takav proces moraju postojati kanali koji to
omoguuju. Te kanale oblikuju statorske lopatice privršene neposredno ili posredno preko
dijafragmi u kuište turbine te ine statorsku rešetku turbine. Prolaskom kroz statorsku
rešetku radni fluid ekspandira, te prilikom ekspanzije brzina radnog fluida raste od ulaza u
stator do izlaza. S tako poveanom brzinom ulazi u kanale rotora koji ine rotorske lopatice.
Na taj se nain toplinska energija, potencijalna pretvara u kinetiku energiju struje radnog
fluida. Prelaskom radnog fluida sa statora na rotor radni fluid svojom kinetikom energijom
pokree rotor, odnosno pretvara kinetiku energiju u mehaniku energiju. Pri pretvorbi
toplinske energije radnog fluida u kinetiku energiju dolazi do prijenosa topline sa radnog
fluida na dijelove turbine kojima temperatura raste. Ti dijelovi s porastom temperature se šire,
odnosno zbog nejednolike raspodijele temperature dolazi do toplinskih naprezanja. Kod
zagrijavanja dijelova turbine vrlo je vano da se razliiti dijelovi npr. stator i rotor zagrijavaju
jednoliko odnosno da se jednoliko šire.
Dva bitna funkcionalna elementa svake turbine su mirujue (statorske) lopatice i rotirajue
(rotorske) lopatice. Statorske lopatice su obino smještene u kuište obino preko dijafragme
u kojoj su smještene dok su rotorske lopatice smještene u radno kolo razmještene po
njegovom obodu. Statorske i rotorske lopatice poredane po obodu ine kanale u kojima se
obavljaju odreene termodinamike promjene i pretvorbe energije. One se obino nazivaju
statorska rešetka i rotorska rešetka i ine turbinski stupanj. Jedno ili više kola na kojem su
smještene rotorske lopatice privršene su na vratilo kojim se okretni moment preko spojke
prenosi na radni stroj. Vratilo s radnim kolima naziva se rotor turbine. Da fluid ne bi izlazio u
okolinu, radni prostor turbine mora biti zatvoren, a to je uloga kuišta turbine koje
istovremeno štiti rotor od ošteenja. Na mjestima gdje rotor prolazi kroz kuište (stator) ili
ostale mirujue dijelove mora se s jedne strane sprijeiti kontakt rotirajueg rotora o mirujui
stator, a s druge strane gubitak radnog fluida u okolinu. Zbog toga se na tim mjestima
ugrauju bez kontaktne labirintne brtve. Ovi funkcionalni elementi turbine, plohe statora i
rotora te njegove lopatice u neposrednom su dodiru s radnim fluidom. Što znai da se prijenos
topline konvekcijom odvija na tim dijelovima statora i rotora. Ulaskom topline u stator i rotor
Daniel Wolff Završni rad
dolazi do provoenja topline kroz materijal, širenja materijala i toplinskih naprezanja u
materijalu. Iz tog razloga kod konstruiranja stator i rotora mora se voditi rauna i o tome.[2]
Slika 1. Toplinska turbina
1.2. Mikroturbine
Mikoturbine su vrlo male turbine, naješe su to vrlo male plinske turbine koje imaju
rekuperator za povrat topline i poveanje iskoristivosti. U tipinim mikorturbinama ciklus je
slian kao kod konvencionalnih plinskih turbina. Konstrukcije sustava mikroturbine se
naješe sastoje od jedno stupanjskog radijalnog kompresora, jedno stupanjske radijalne
turbine i rekuperatora.
Slika 2. Shema postrojenja s plinskom turbinom
Aksijalni kompresor usisava zrak iz okoline i komprimira ga na neki viši tlak. Tako
komprimirani zrak dodatno se zagrijava u rekuperatoru prijelazom topline sa dimnih plinova
na komprimirani zrak. Takav komprimirani i zagrijani zrak ulazi u komoru izgaranja u koju se
ubrizgava gorivo (tekue ili plinsko) koje izgaranjem podie toplinsko stanje zraka, izobarno.
Dimni plinovi tada ulaze u turbinu u kojoj se vrši ekspanzija, do atmosferskog tlaka i
proizvodi koristan rad. Dimni plinovi iz turbine odlaze u rekuperator koji iskorištava toplinu
iz dimnih plinova za zagrijavanje zraka, te se dimni plinovi ispuštaju u atmosferu.
Rekuperatori se koriste kako bi se poveala iskoristivost sustava, a oni su vrlo zahtjevni za
konstruiranje i proizvodnju zato što rade pri visokim razlikama temperatura i tlakova.
Korištenje mikorturbina postaje sve rasprostranjenije za distribuciju energije i kogeneracije-
proizvodnja toplinske energije i elektrine energije (eng. CHP-combined heat and power).
Snage mikroturbina kreu se od nekoliko kilowata do serijskih proizvedenih sistema koji
proizvode više stotina kilowata.
Uspjeh mikroturbina usko je vezan uz napredak u elektronici koja omoguuje njihovo lakše
prikljuivanje na elektroenergetsku mreu. Sustavi sa mikroturbinama imaju mnoge prednosti
u odnosu na sustave s motorima s unutrašnjim izgaranjem kao što su vea gustoa energije,
manje štetnih emisija, manje pominih dijelova u sustavu. Meutim generatori s motorom s
unutrašnjim izgaranjem bre se prilagoavaju promjenama u elektroenergetskoj mrei. Ostale
prednosti su mogunost korištenja veine komercijalnih goriva, kao što su prirodni plin,
Daniel Wolff Završni rad
propan, diesel, kerozin itd. Miktoturbine je mogue primijeniti i kod proizvodnje energije iz
obnovljivih izvora kao što bioplin.[3]
Mikorturbina koja se obrauje u ovome radu nije plinska turbina nego ciklus, proces koji se
koristi ovdje je ORC Organic Rankin Cycle, organski Rankinov ciklus. Što znai da turbina
nije pogonjena ispušnim plinovima kao radnim medijem nego organskom tvari, u našem
sluaju toluenom. Toluen e se zagrijavati ispušnim plinovima nekog procesa zatim ui u
turbinu gdje e ekspandirati i proizvesti rad zatim e se ohlaivati u izmjenjivau vodom.
Velike koliine otpadne energije u obliku topline ispuštaju se u okoliš putem ispušnih plinova
od turbina i motora kao i od industrijskih postrojenja. Niskotemperaturana energija koja se
ispušta u okoliš dimnim ispušnim plinovima mogla bi se iskoristiti. Iz tog razloga od nedavno
sve više panje posveuje se iskorištavanju te otpadne energije. Ne samo da korištenje te
energije poveava iskoristivost nego i smanjuje emisiju štetnih plinova.
1.3. ORC – Organski Rankinov Ciklus
Razlika ORC (engl. Organic Rankine Cycle) i klasinog RC (engl. Rankin Cycle) lei u
razlici radnoga fluida koji se koristi u procesu. U klasinom Rankinovm ciklusu kao radni
fluid koristi se voda dok se u ORC-u kao radna tvar koristi organska tvar. Glavni razlog
korištenja organskih tvari kao radnog fluida umjesto vode je puno manja specifina toplina
isparavanja organskih tvari nasuprot vode. Recimo da su izvor topline ispušni plinovi plinske
turbine. U organskom Rankinovom ciklusu ispušni plinovi e se ohladiti do nie temperature,
a radni fluid e se zagrijati na znatno višu temperaturu nego što bi to bilo da kao radnu tvar
koristimo vodu upravo zbog manje specifine topline isparavanja. Iz toga slijedi da iz istog
izvora topline moemo dobiti više korisnog rada odnosno elektrine energije samo zato što
koristimo organsku tvar umjesto vode.[4]
Daniel Wolff Završni rad
Slika 3. Utjecaj razlike temperature isparavanja radnog fluida na temperaturu radnog
medija i na temperaturu ispušnih plinova koji se bacaju u okoliš
Razvitak organskog Rankinovog ciklusa zapoet je sedamdesetih godina prošlog stoljea, a
prve primjene pojavile su se kasnih sedamdesetih i osamdesetih godina prošlog stoljea na
geotermalnim i solarnim elektranama. Danas se organski Rankinov ciklus sve više koristi i
koliina elektrine energije proizvedena njime sve više raste. Najviše se koristi za biomasu,
kogeneraciju (CHP – Combined Heat and Power) zatim za geotermalne i solarne elektrane te
za (engl. WHR – waste heat recovery) povrat otpadne topline.
Osnovni princip rada, ciklus organskog Rankinovg ciklusa slian je tradicionalnom parnom
Rankinovm ciklusu. Zagrijavanje radnog medija koji u kapljivijoj fazi ulazi u izmjenjivau
topline (pregrijavanje, isparavanje, pregrijavanje). Iz izmjenjivaa topline izlazi u parovitoj
fazi te se odvodi do turbine u kojoj ekspandira proizvodivši pri tome rad koji se recimo
prenosi na vratilo elektrinog generatora. Mokra para sa snienim parametrima izlazi iz
turbine, odvodi se u kondenzator u kojemu potpuno kondenzira. Nastala vrela kapljevina
pumpa se do izmjenjivaa ime je ciklus zatvoren.
Daniel Wolff Završni rad
Slika 4. T-s dijagram organskog Rankinovog ciklusa sa toluenom
Mnogi pogoni u industriji bacaju toplinu koju ne mogu iskoristiti u okoliš pri relativno niskim
temperaturama. Veliki pogoni i termoelektrane esto ne mogu iskoristiti nisko temperaturnu
energiju ni za grijanje (imaju previše niskotemperaturne energija, a nemaju koga grijati). Uz
gubitak bacanja te energije tu se javlja i oneišivanje okoliša. Povrat, iskorištavanje te
niskotemperaturne energije smanjuje zagaivanje okoliša i poveava iskorištavanje samim
korištenjem energije koja se bacala u okoliš. Primjenu povrata energije organskog
Rankinovog ciklusa moemo nai i kod motora s unutrašnjim izgaranjem, ona se danas malo
primjenjuje, ali još je u razvoju.
Danas kada se tei smanjenju zagaivanja okoliša i sve veem poveanju iskoristivosti, što
manjem bacanju energije, organski Rankinov ciklus mogao bi igrati vrlo veliku ulogu.
Organski Rankinov ciklus moe poveati ukupnu iskoristivost i smanjiti bacanje neiskorištene
topline u okoliš, moe imati pozitivan efekt na trošenje energije u zgradarstvu (korištenjem
CHP), omoguuje korištenje obnovljivih izvora energije kao što su geotermalni izvori,
biomasa i solarne elektrane, moe poveati iskoristivost motora s unutrašnjim izgaranjem kod
kojih se ispušni plinovi bacaju u okoliš pri visokim temperaturama. [5]
Daniel Wolff Završni rad
Slika 5. Shema organskog Rankinovog ciklusa
1.4. Toluen
Naješe korištene radne tvari (fluid) za organski Rankinov ciklus su : R11(3) ,
R113(23), R114(233), Toluene(78), i fluorinol (32).
Brojni su kriteriji za odabir radnog medija organskog Rankingovog ciklusa kao što su:
termodinamika svojstva, rubni uvjeti, razina opasnosti i zaštita okoliša.Od termodinamikih
svojstva vana su: toka vrelišta, svojstva isparavanja i kondenzacije, specifina toplina
isparavanja, viskoznost, toplinska vodljivost. Od ostalih svojstva bitna su: korozivnost,
kemijska stabilnost, otrovnost, zapaljivost, eksplozivnost, svojstva podmazivanja i cijena.S
obzirom na ove kriterije odabire se neki od naješe korištenih radnih fluida u organskom
Rankinovom ciklusu.
Fakultet strojarstva i brodogradnje 9
Slika 6. T-s dijagram za nekoliko tipinih organskih fluida i vode
Toluen ili Metilbenzen je aromatski ugljikovodik (78, 65 − 3). Bezbojna zapaljiva
tekuina ugodna mirisa, vrelišta 111. Nalazi se u nafti i kamenom ugljenu. Dobiva se
ekstrakcijom ili destilacijom iz benzina, suhom destilacijom kamenog ugljena i frakcijskom
destilacijom katrana kamenog ugljena. Kao sastojak benzina nalazi se i u ispušnim plinovima.
Koristi se kao otapalo. Toluen je suhi fluid. Suhe fluide karakterizira da se ne trebaju
pregrijavati zato što nakon ekspanzije pare ostaju pregrijanom podruju. Toluen se naješe
koristi kod povrata topline nakon nekog procesa koja se inae baca u okoliš.[6]
Svojstva toluena po stupnjevima turbine bila su nuan podatak za izraun koeficijenta
prijelaza topline α.
Svojstva radnog medija, toluena po
stupnjevima turbine
jedinica
Toplinska vodljivost λ 42,23 38,61 36,93 35,71 34,64 ⁄
Daniel Wolff Završni rad
1.5. Raunalna mehanika kontinuuma
Kontinuum je matematika idealizacija (reprezentacija) realnog materijala kao što su kruta
tijela. Mehanika kontinuuma se bavi ponašanjima takvih kontinuuma. Bazira se na zakonima
ouvanja (mase, energije, gibanja, momenta, entropije) i koristi se matematikim aparatima
razvijenih posebno za mehaniku kontinuuma. Pomou raunalne tehnologije i raznih
numerikih metoda raunalna mehanika kontinuuma (engl. Computational Continuum
Mechanics - CCM) postala je vrlo moan alat za numeriku analizu problema mehanike
kontinuuma.
Brojne numerike metode koriste se za analizu problema mehanike kontinuuma, kao što su
metoda konanih elemenata, metoda konanih volumena, metoda konanih diferencija.
Metoda konanih elemenata bila je najšire korištena za numerike analize mehanikih
problema krutih tijela, dok se metoda konanih volumena najviše koristi kod raunalne
dinamike fluida CFD. Danas se obje metode koriste i razvijaju. U ovome radu koristi se
raunalna mehanika kontinuuma za analizu toplinskih naprezanja u statoru mikroturbine.
Korištena numerika metoda je metoda konanih volumena.[7]
Daniel Wolff Završni rad
2. MATEMATIKI MODEL
2.1. Energetska jednadba

U kojoj je ρ gustoa, c specifini toplinski kapacitet, a vektor toplinskog toka.
Odnos toplinskog toka i temperaturnog gradijenta dan je Fourierovim zakonom
= −
2.2. Homogeno tijelo
Homogeno tijelo je tijelo u kojemu su svojstva materijala jednaka za svaku esticu toga tijela,
odnosno svojstva materijala su jednaka u svakoj toci toga tijela. Izotropno tijelo je jednako u
svim smjerovima. Tijelo je homogeno i izotropno ako su njegova svojstva neovisna o smjeru i
identina u svakoj toki tijela.
Vanjske sile koje djeluju na neko tijelo nastoje razdvojiti ili pribliiti pojedine estice tijela,
emu se suprotstavljaju unutrašnje sile meu esticama. Kao rezultat istovremenog djelovanja
unutrašnjih i vanjskih sila tijelo mijenja oblik i dimenzije, drugim rijeima kaemo da se tijelo
deformira. Distorzija je deformiranje tijela koje se sastoji od promjene u obliku bez promjene
volumena tijela. Dilatacija je deformiranje tijela koje se sastoji od promjene volumena bez
promjene oblika tijela.
Naprezanje moemo rastaviti na normalnu komponentu, koja je okomita na presjek i
tangencijalnu ili posminu komponentu, koja lei u ravnini presjeka. Umjesto normalne
komponente naprezanja esto krae kaemo normalo naprezanje, a umjesto tangencijalna
komponenta naprezanja krae tangencijalno ili posmino naprezanje.
Normalna naprezanja u homogenom izotropnom tijelu stvaraju samo volumenske,
deformacije produljenja odnosno dilatacije.
Daniel Wolff Završni rad
Slika 7. Normalna naprezanja
Smina naprezanja u homogenom izotropnom tijelu stvaraju samo distorzije, smine
naprezanja proizvode deformacije samo u ravnini u kojoj djeluju.
Slika 8. Smina naprezanja
su definirana kao slobodne toplinske deformacije .Sve slobodne toplinske ekspanzije su
volumenske i jednolike u homogenom, izotropnom tijelu.
Daniel Wolff Završni rad
Slika 9. Naprezanja
2.3. Hookeov zakon
U 17. st Robert Hooke poeo je razvijati konstitutivni zakon za elastina izotropna tijela.
Hookeov zakon kae da je deformacija tijela proporcionalna primijenjenoj sili pod uvjetom da
se ne pree granica elastinosti. Kada se sila ukloni tijelo e se vratiti u svoj prvobitan oblik.
Za jednadbe Hookoe-ova zakona vano je da su deformacije uzrokovane vanjskim
naprezanjima i pomacima. Ako neko tijelo opteretimo, u njemu e se pojaviti naprezanja
deformacije. Što je vee optereenje, bit e vea naprezanja, ali i deformacije. Smanjujemo li
naprezanja, smanjiti e se i deformacije, pa zakljuujemo da su naprezanja i deformacije
meusobno ovisni.
=
= 1
= 1
2.4. Duhamel-Neumann-ov zakon
Proširenje Hooke-ova zakona s utjecajem toplinskog naprezanja na naprezanja i deformacije
tijela. Zakon se bazira na pretpostavci da se ukupna deformacija u nekoj toki tijela,
podvrgnuta termomehankom naprezanju sastoji od mehanike deformacije i deformacija
uzrokovane slobodnom toplinskom ekspanzijom .
Mehanike deformacije su deformacije inducirane naprezanjima koja su posljedica
vanjskim naprezanja, pomaka i deformacije uzrokovane naprezanjima koja su posljedica
nejednolikosti temperaturnog polja (T) ili nejednolikosti svojstva toplinske ekspanzije
materijala ().
[(1 + )σ − ]
= ( − )
Temperaturna polja T i su openito funkcije pozicije u tijelu = (1 + 2 + 3) i
= (1 + 2 + 3). Temperaturno polje T je openito ovisno o vremenu, a je
tipino uniforman sa vrijednostima jednakim za normalnu temperaturu okoliša.
Toplinska naprezanja uzrokovana su dvama efektima: prostornom nejednakošu
temperaturnog polja i vezama, ogranienjima koje onemoguuju toplinsku ekspanziju bez
stvaranja naprezanja.
( − )
Kada u tijelu doe do nejednolikog temperaturnog polja ili ako svojstva toplinske ekspanzije
nisu jednolika (npr. granica dvaju razliita materijala), dolazi do nejednolikog širenja
susjednih dijelova materijala što za posljedicu ima javljanje unutrašnjih toplinskih naprezanja.
Termoelastina konstitutivna jednadba (Duhamel-Neumann-ov zakon) prikazuje da je
izotropni materijal karakteriziran potpuno sa dvije nezavisne elastine konstante E i i sa
jednim svojstvom materijala, koeficijentom toplinske ekspanzije.[8]
= 1
Daniel Wolff Završni rad
=
( − )
(1 + 2)
=
= 2µ + − 3( − )
Veliine E, µ, ν, K, su karakteriziraju elastina svojstva tijela, nazivaju se zajednikim
imenom konstante elastinosti. Za elastino tijelo dovoljno je poznavati dvije konstante
elastinosti jer se ostale mogu iz njih izraunati.
Modul elastinosti ili Youngov modul elastinosti E predstavlja mjeru krutosti materijala
odnosno jednak je omjeru vlanog naprezanja i linijske vlane deformacije.
Vrlo je vana veliina prilikom odreivanja stabilnosti i sigurnosti nekih konstrukcija.
=
Za homogene izotropne materijale odnosi izmeu Youngva modula elastinosti i sminog
modula µ
Lame-ovi koeficijentiμ i
Poissonov omjer je omjer poprenog smanjenja i uzdunog produljenja materijala prilikom
vlanog naprezanja (npr. Na kidalici)[9]
= −
Homogeno, izotropno, linearno termoelastino tijelo (kontinuum) opisano je kao linearni
zakon ouvanja momenta sa pripadajuim linearno elastinim konstitutivnim odnosima:
∫ 2
= [∇ + (∇)] + (∇) − 3K( − ) (2)
Gdje je ρ gustoa elastinog materijala, V je volumen kontinuuma, n je jedinina normala koja
gleda prema van na površini S tijela, u je vektor pomaka u odnosu na poetno stanje, σ je
Cauchy-ev tenzor naprezanja, µ i λ su Lame-ovi koeficijenti, dok je ν Poissonov omjer.
Vektor naprezanja = . na desnoj strani jednadbe (1) moe se napisati kao vektor pomaka
u koristei konstitutivnu jednadbu (2) kako slijedi:
= . = . ∇ + ∇. + (∇). − 3K( − ). (3)
= (2 + ). ∇ − ( + ). ∇ + ∇. + (∇). − 3K( − ). (4)
Odreivanje problema je završeno sa definiranjem domene u prostoru i vremenu te poetnih
rubnih uvjeta. Poetni uvjeti sastoje se od odreene distribucije pomaka u i brzine
u
vremenu nula. Rubni uvjeti konstantni ili vremenski promjenjivi mogu biti: fixed
dispalcement, plane of simetry and fixed traction.
Daniel Wolff Završni rad
3.1. Uvod
Matematiki model dan nam je u obliku parcijalnih diferencijalnih jednadbi koje su za
veinu realnih problema analitiki nerješive. Kako bi se parcijalne diferencijalne jednadbe
mogle riješiti numerikim metodama koriste se metode diskretizacije. Prvi korak kod metode
kontrolnih volumena je integracija sustava parcijalnih diferencijalnih jednadbi što metodu
kontrolnih volumena razlikuje od ostalih metoda. Dobivene jednadbe predstavljaju tono
ouvanje relevantnih svojstava za svaku eliju (kontrolni volumen). Ova jednostavna veza
izmeu numerikog algoritma i fizikalnog zakona ouvanja ini jednu od glavnih razloga
zašto se koncept metode konanih volumena ini jednostavniji za razumijevanje inenjerima.
U ovom radu su jednadbe diskretizirane metodom kontrolnih volumena. Domena se
diskretizira konanim brojem proizvoljnih volumena koji su nepomini u vremenu koje je
diskretizirano vremenskim korakom. Primjenom Gasussovog teorema za transformaciju
volumenskih u površinske integrale, integracijom po kontrolnom volumenu i njegovoj
površini te uz pomo shema interpolacije, dobije se sustav linearnih jednadbi koje se
rješavaju za svaki vremenski korak. Rješenja su vektorska i skalarna polja u samim centrima
kontrolnih volumena koja opisu naprezanja i pomake u materijalu prilikom njegova
zagrijavanja.
Numerika integracija modela u vremenu je izvršena koristei implicitnu metodu prvog reda
tonosti. Diskretizacija matematikog modela:
Diskretizacija konanih volumena drugog reda tonosti integralne jednadbe ouvanja
pretvara površinske integrale u sumu integrala stranica i aproksimira ih, te volumenske
integrale u tonost drugog reda koristei pravilo srednje toke. Vremenska diskretzacija je
izvršena numerikom integracijom diferencijalnih jednadbi u vremenu od starih instanci 0
do novih vremenskih instanci = 0 + koristei tonost prvog reda implicitne Eulerove
sheme.
Potpuno diskretiziran oblik momentne jednadbe (1) za kontrolni volumen ita se kao:

Fakultet strojarstva i brodogradnje 18
Gdje indeks P predstavlja vrijednost centra elije, a f predstavlja vrijednosti centara stranica
za unutarnju površinu. Indeksi n, o i oo predstavljaju vrijednosti promjene u novom vremenu
instance i dvije prethodne vremenske instance i = − . Kako se moe vidjeti iz
lijeve strane jednadbe (5) akceleracija u središtu elije izraunata koristei dva koraka
pomaka prošlog vremena, zbog toga predstavlja aproksimaciju tonosti prvoga reda.
Naprezanje u unutarnjoj površini. Aproksimacija naprezanja u unutrašnjoj površini
kontrolnog volumena koja se ne podudara s interfejsom razliitog materijala je dobivena
diskretizacijom jednadbe (4):
− ( + ) . (∇ ) + (∇)

(6)
Derivacija normale stranice pomaka . (∇) u prvom lanu na desnoj strani jednadbe (6)
je diskretizirana kao:
Gdje je=
. . Ortogonalni doprinos u gornjoj jednadbi je obraen implicitno, dok je ne-
ortogonalna korekcija obraena eksplicitno. Procedure diskretizacije definirane gornjom
jednadbom su isto primijenjene na derivaciju normale stranice tangencijalnog pomaka
. (∇) u drugom lanu na desnoj strani jednadbe (6). Trei i etvrti lan na desnoj strani
jednadbe (6) kao i ne-ortogonalna korekcija u prva dva lana tretirana su kao eksplicitni
nakon diskretizacije i za njihov izraun potrebni su tangencijalni gradijent pomaka od polja
pomaka u stranicama kontrolnog volumena. Gradijent pomaka u centrima stranica izraunat je
linearnom interpolacijom susjednih veliina centara elija,
(∇) = (∇) + (1 − )(∇) (8)
Gdje je = ⁄ interpolacijski faktor. Gradijent pomaka središta elija izraunat je
korištenjem diskretizacije integralnim Gaussovim teoremom,
(∇) = 1
Fakultet strojarstva i brodogradnje 19
Pri emu je pomak središta stranica, koji je proraunat linearnom interpolacijom susjednih
vrijednosti središta elija. Jednadba (9) e dati aproksimaciju drugog reda tonosti gradijenta
središta elija ako su pomaci središta stranica izraunati s tonosti drugog reda. Jednostavna
linearna interpolacija dati e aproksimaciju drugog reda tonosti varijable u centru stranica
samo ako linija presijeca stranicu f u njezinom središtu. Inae, linearna interpolacija sa
skewness korektorom mora biti primijenjena, tako da,
= + (1 − ) + . (∇) (10)
Gdje je skewness vektor korekcije, koji gleda od toke presijecanja linije i stranice
prema središtu stranice kao na slici (10). Gradijent pomaka središta elije potrebni za
skewness i ne-ortogonalni korektor te sve ostale eksplicitne lanove u diskreditiranoj
momentnoj jednadbi su korišteni iz prethodne iteracije. [10]
Slika 10. Kontrolni volumen
Daniel Wolff Završni rad
4. VERIFIKACIJA NUMERIKOG MODELA
Verifikacija numerikog modela izvršena je na problemu grijanja ukliještene grede. Ta greda
je ukliještena s lijeve strane na iju se gornju stranu dovodi toplina. Dovod topline na gornju
stranu grede simuliran je zadavanjem rubnih uvjeta na gornjoj strani grede, a to je temperatura
T. Na donjoj strani grede zadana je poetna temperatura i poetna temperatura u
materijalu grede je .
= 100, = 0
Daniel Wolff Završni rad
Tablica 2. Svojstva materijala korištena za analitiki i numeriki proraun
Svojstvo Oznaka Iznos Mjerna
Specifini toplinski kapacitet c 500 ⁄
Toplinska vodljivost λ 50 ⁄
Youngov modul elastinosti E 200e+09 2⁄
Poissonov koeficijent ν 0,3 -
Linearni koeficijent temperaturnog širenja α 1e-06 −1
4.3. Prikaz i komentar rezultata numerike analize problema
Toplina koja ulazi u gredu s gornje strane provodi se u dubinu materijala. Poveanje
temperature materijala za posljedicu ima njegovo širenje. Temperatura u gredi bit e najviša
na gornjoj strani i smanjivati e se prema donjoj strani, gdje e i biti najmanja temperatura
kako se i vidi na slici 12.
Slika 12. Temperaturno polje grede
Daniel Wolff Završni rad
Fakultet strojarstva i brodogradnje 22
Gornji slojevi grede se zagrijavaju i šire više od donjih slojeva što uzrokuje savijanje grede
prema dolje. Na lijevoj strani grede gdje je ona ukliještena nee doi do deformacija odnosno
pomaka. Udaljavanjem od uklještenja na lijevoj strani grede dobivat emo sve vee pomake
zbog toplinskih naprezanja u gredi. Na desnom rubu grede pomaci e biti najvei što se i vidi
na slici 13.
Slika 13.Prikaz savijanja grede poveano 100 puta
Usporedba numerikog analitikog rješenja dano je na grafu. To je graf pomaka/udaljenosti
grede od uklještenja vidljiv na slici 16. Numerika rješenja dobivena OpenFOAM-om dana su
zvjezdicama na odreenim udaljenostima grede od uklještenja, dok su analitika rješenja dana
krivuljom. Vidimo kako krivulja analitikih rješenja prolazi skoro tono kroz toke, zvjezdice
numerikog rješenja. Iz ega moemo zakljuiti da se rješenja poklapaju i da numerika
analiza ovog problema daje iste rezultate kao i analitika.
Daniel Wolff Završni rad
1 = 100 , Temperatura gornje površine grede
2 = 0 , Temperatura donje površine grede
= 110−6
2 , koeficijent toplinske ekspanzije
Daniel Wolff Završni rad
Slika 15. Nagib i pomak slobodnog kraja grede

=
Za = 0,
= 0 i = 0 slijedi da je 1 = 2 = 0
Nagib i pomak slobodnog kraja zagrijavane grede:
= (2 − 1)
Jednadba pomou koje su dobivena analitika rješenja pomaka grede od uklještenja do
slobodnog kraja grede:
Slika 16. Usporedba analitikih i numerikih rješenja
Daniel Wolff Završni rad
5. PRORAUN TOPLINSKIH NAPREZANJA
Toplinska naprezanja u statoru mikroturbine izazvana su prijenosom topline sa radnog fluida,
toluena na stator turbine. Za model prorauna tolinskih naprezanja korišten je model koji
rauna provoenje topline i naprezanja u solidu. Prijenos topline sa radnog fluida na pojedine
dijelove statora mikroturbine simuliran je koeficijentima prijenosa topline α. Kako bi
proraun bio mogu domena u našem sluaju stator mora biti diskretiziran mreom kontrolnih
volumena koja se jednostavno naziva mreom.
Slika 17. Stator mikroturbine
5.1. Priprema geometrije statora za numeriku analizu toplinskih naprezanja
Površinski model, geometrija cijele turbine dobivena je u 3D CAD obliku. Kako se u ovome
radu obrauju toplinska naprezanja u kuištu turbine odnosno u statoru prvi zadatak je bio
izdvojiti geometriju statora od ostatka turbine. Kako bi smanjili kompleksnost i veliinu
mree sa geometrije statora uklonjeni su stupnjevi statora od 2 do 5. Uklonjene lopatice
ostalih stupnjeva statora e biti simulirane promjenom izraunatih koeficijenata prijelaza
toplineαna površinama gdje su te lopatice u dodiru s vanjskim prstenom, dijelom statora.
Lopatice i unutarnji prsten prvog stupnja statora ostavljene su kakvima jesu jer je stator
ukliješten upravo na unutrašnjem prstenu prvog stupnja statora. Tako su ostali privod fluida,
prvi stupanj statora i cijeli vanjski dio statora. Kako su na prvom stupnju statora po obodu
razmještene 30 lopatica odlueno je primijeniti periodini model. Na taj nain da smo stator
Daniel Wolff Završni rad
Fakultet strojarstva i brodogradnje 27
izrezali kako bi dobili isjeak koji sadri jednu lopaticu prvog stupnja. Kut isjeka je tono od
12 stupnjeva jer u prvom stupnju ima upravo 30 lopatica ( 360°
30 = 12°). Što nam daje tono
geometriju za jednu cijelu lopaticu.
Slika 18. Konana geometrija na prema kojoj e se izraditi mrea
Slika 19.Rotacijski periodiki rubni uvjet
Daniel Wolff Završni rad
Odvajanjem statora od ostatka turbine, njegovo rezanje i ostale promjene napravljane su u
SolidWoksu, a neke korekcije geometrije radi lakše izrade mree u Gambitu. Za ovaj rad
napravljena je strukturirana heksaedarska mrea generirana u Gambitu.
5.2. Generiranje mree
U ovom radu napravljena je blok strukturirana heksaedarska mrea. Model, geometrija
korištena za izradu mree vidljiva je na slici 16. Za bolju kvalitetu i lakšu upravljivost gustoe
mree na razliitim dijelovima statora odabrana je blok-strategija izrade mree. Što je vei
broj blokova, mogua je bolja kontrola mree. Mogua je kontrola gustoe mree po
blokovima. Na blokovima koji definiraju prvi stupanj statora i koji sadri lopaticu generirana
je guša mrea nego na ostalim dijelovima statora zbog sumnje da e se tamo biti najvea
naprezanja i zato što je najtanji dio statora upravo lopatica. Razlika u gustoi mree po
blokovima vidi se na slici 19.Mrea se sastoji od 1.300000 kontrolnih volumena
Daniel Wolff Završni rad
Slika 21. Mrea
Tablica 3.Fizikalna svojstva materijala od kojega je izraen stator (Aluminij)
Svojstvo Oznaka Iznos Mjerna
Specifini toplinski kapacitet c 897 ⁄
Tolinska vodljivost λ 237 ⁄
Youngov modul elastinosti E 69109
Poissonov koeficijent ν 0,32 -
Daniel Wolff Završni rad
5.4. Rubni uvjeti
Prijenos topline sa radnog fluida (toluena) na stator simuliran je zadavanjem temperature
radnog fluida i koefcijenta prijelaza topline koji bi trebali simulirati jainu prijelaza topline sa
fluida na stator.
Na taj nain dobivena je toplinu koja ulazi u domenu, mreu statora koja se zatim unutar
statora prenosi provoenjem. Zbog nejednolikog zagrijavanja cijelog statora, neuniformiranog
temperaturnog polja dijelovi tijela statora u odreenim trenucima imaju razliite temperature.
Porastom temperature tijelo statora se širi, a zbog razliite temperatura dolazi do razliite
koliine širenja te se javljaju toplinska naprezanja i deformacije.
Tablica 4. Temperature radnog fluida po stupnjevima statora ujedno i temperature
rubnih uvjeta
Stator 574 552 543 534 527
Rotor 574 552 543 534 527
Za potrebe simulacije na granice domene postavljene su sljedee temperature radnog fluida:
a) Prostor privoda radnog fluida
- Temperatura 574K
- Temperatura 574K
- Temperature su zadane po stupnjevima rotora po tablici 4.
e) Cilindrine stjenke koje simuliraju prijelaz na mjestima uklonjenih statorskih lopatica
- Temperature su zadane po stupnjevima statora po tablici 4.
Na površinama gdje je stator ukliješten, vidljive na slici 18. stavljen je rubni uvjet koji
onemoguuje pomake u smjeru osi x.
Na bonim stranama postavljen je periodini rubni uvjet, rotacijski periodini rubni uvjet.
Moe se vidjeti na slici 17.
Daniel Wolff Završni rad
5.5. Proraun koeficijenata prijelaza topline α
Koeficijente prijelaza topline proraunati su prema poznatim eksperimentalnim korelacijama.
U [11] dani su postupci i odnosi Nuesltovg broja Nu i Reinoldsovog broja Re preko kojih se
dobivaju koeficijenti prijelaza topline α za razliite dijelove turbine. Za proraun još su bili
potrebni podaci o geometriji statora koja je poznata iz 3D CAD modela i svojstva toluena pri
razliitim temperaturama odnosno po stupnjevima turbine.
U [11] prikazane su zavisnosti i korelacije iz literature za odreivanje prijelaza topline na
pojedinim dijelovima toplinskih turbostrojeva dobivenih na pojedinim dijelovima toplinskih
turbostrojevima dobivenih na temelju eksperimentalnih istraivanja. Na temelju tih korelacija
predloene su originalne korelacije za proraun koeficijenata prijelaza toplineα za pojedine
dijelove turbostrojeva.
U ovome radu korištene su originalne korelacije iz [11]za proraun koeficijenta prijelaza
topline. Korelacije su tipa = za odreivaje srednjih koeficijenata prijelaza
toplineαpo pojedinim dijelovima toplinskih turbostrojeva.
Na temelju poznatih podataka o procesu, poznate geometrije i korelacija za proraun
koeficijenta prijelaza topline prema [11] proraunati su koeficijenti prijelaza topline α za
potrebne dijelove turbine.
Korelacije koje su korištene u ovome radu su: Prijelaz topline u prostoru privoda, prijelaz
topline na profilima lopatica, prijelaz topline na cilindrinim stjenkama meulopatinog
kanala, prijelaz topline u prstenastim zazorima izmeu statora i rotora.
Daniel Wolff Završni rad
Slika 22. Prijelaz topline u prostoru privoda
Prijelaz topline konvekcijom sa radnog fluida na stator u prostoru privoda simuliran je
odreenom vrijednosti koeficijenta prijelaza topline koja je proraunata pomou postupka iz
[11]. Na slici 22. crvenom bojom obojana je površina privoda na koju se toplina sa radnog
fluida predaje na stator.
Sa dobivenim podatcima o strujanju fluida i sa dimenzijama geometrije statora izraunati je
Reynoldsov broj i sa svojstvima radnog fluida izraunat je Prandtlov broj Pr. Te sa
Reynlodsovim i Prandtlovim brojem iz korelacije dobio sam Nusseltov broj s kojem sam
izraunao koeficijent prijelaza topline. Ovaj koeficijent prijelaza topline korišten je za
simulaciju prijelaza topline u prostoru privoda.
= 0.0210.80.43
=
Prijelaz topline u prstenastim zazorima izmeu statora i rotora
Pojedini dijelovi statora i rotora parnih i plinskih turbina opstrujavani su tokom, koji struji
kroz prstenasti zazor izmeu odgovarajuih elemenata rotora i statora, pri emu je osobitost
takovih prstenastih zazora, da od dva koaksijalna cilindra, koji ine zazor, unutarnji cilindar
rotira, dok je vanjski nepomian. Strujanje fluida u prstenastom kanalu takovoga tipa ima
sloeni karakter, pošto se odvija u polju aktivnog djelovanja masnih inercijalnih sila. Nastaje
strujanje s makorvrtlozima. Vrtlozi se javljaju regulirano, prstenastog su oblika i simetrini su
s obzirom na os cilindrino razmješteni na fiksnom rastojanju jedan od drugoga. Prvi ih je
primijetio Taylor. Na slici 23. crvenom bojom obojana se su površine na kojima toplina
prijelazi prstenastim zazorom izmeu statora i rotora.
Slika 23. Prijelaz topline prstenastim zazorima izmeu statora i rotora
Sa dobivenim podacima o strujanju fluida i sa dimenzijama geometrije statora izraunat je
Reynoldsov broj, te sa Reynoldsovim brojem izraunat je Taylorov broj Ta. S Taylorovim
brojem iz korelacije dobiven je Nusseltov broj s kojem je izraunat koeficijent prijelaza
topline. Ovaj koeficijent prijelaza topline korišten je za simulaciju prijelaza topline u
prstenastim zazorima izmeu statora i rotora.
= 0.03170.1868
= 1
Fakultet strojarstva i brodogradnje 34
Prijelaz topline na profilima lopatica
Prijelaz topline sa radnog fluida na stator preko površine profila lopatica koja je obojana u
crveno vidljiv je na slici 24.
Slika 24. Prijelaz topline na profilima lopatica
Sa dobivenim podacima o strujanju fluida i sa dimenzijama geometrije statora izraunat je
Reynoldsov broj. Te sa Reynlodsovim brojem iz korelacije dobiven je Nusseltov broj s kojem
je izraunat koeficijent prijelaza topline. Ovaj koeficijent prijelaza topline korišten je za
simulaciju prijelaza topline sa radnog fluida na lopatice statora.
= 0.0980.6921
= 10
Prijelaz topline na cilindrinim stjenkama meulopatinog kanala
Prijelaz topline sa radnog fluida na stator preko cilindrine površine meulopatinog kanala
koja je obojana u crveno vidljiv je na slici 25.
Slika 25. Prijelaz topline na cilindrinim stijenama meulopatinog kanala
Sa dobivenim podacima o strujanju fluida i sa dimenzijama geometrije statora izraunat je
Reynoldsov broj. Te sa Reynlodsovim brojem iz korelacije dobiven je Nusseltov broj s kojem
je izraunat koeficijent prijelaza topline. Ovaj koeficijent prijelaza topline korišten je za
simulaciju prijelaza topline sa radnog fluida na cilindrine stjenke meulopatinog kanala.
= 0.08370.7494
= 10
Prijelaz topline na stupnjevima statora od drugog do petog stupnja
Slika 26. Prijelaz topline na stupnjevima statora od drugog do petog stupnja
Kako su lopatice uklonjene na svim stupnjevima statora osim prvog potrebno je simulirati
prijenos topline sa radnog fluida u tijelo statora. Na tim stupnjevima gdje su uklonjene
lopatice ostale su samo cilindrine površine . Cilindrine površine vidljive su na slici 24.
obojane u crveno. Inae se ta površina sastoji od površine cilindrinog meulopatinog kanala
1 i površine 2kojom je lopatica u dodiru sa ostalim dijelom statora. Potrebno je izraunati
koeficijent prijelaza toplineαtemeljem metode ekvivalentnih površina koja e simulirati
prijelaz topline na stator.
Toplina koja se sa radnog fluida konvekcijom prenosi na lopaticu statora:
= 11
Toplina koja sa radnog fluida konvekcijom prenosi na cilindrinu stjenku meuloaptinog
kanala:
= 22
Ukupna toplina koja se prijenosi na stator provoenjem kroz lopaticu i konvekcijom na
cilindrinu stjenku:
11 + 22 =
2 ] koji simulira prijenos topline na stator pojedinog stupnja:
= 11 + 22
Tablica 5. Proraunati koeficijenti prijelaza topline α
Mjesto prijelaza topline
jedinica

2 ]

2 ]

2 ]
6. Rezultati
temperaturnih polja, ekvivalentnih naprezanja, ekvivalentnih deformacija i pomaka za neke
karakteristine vremenske trenutke. Numerika analiza provedena je za 180 koraka, a svaki
korak oznaava promjenu jedne sekunde. Tako da rezultate numerike analize toplinskih
naprezanja u statoru mikroturbine moemo dati u svakoj sekundi zagrijavanja koje je trajalo
tri minute.
Temperaturno polje statora mikroturbine dano je u nekoliko karakteristinih vremenski
trenutaka. Na slici 25. vidljivo je polje temperature nakon 10 sekundi zagrijavanja. Na toj
slici zorno se moe uoiti podruja gdje su koeficijenti prijelaza topline vei. Na tim
dijelovima doi e do breg zagrijavanja tijela statora u odnosu na ostale dijelove. Na slici 26.
temperaturnog polja odnosno nakon jedne minute zagrijavanja vidljivo je da se kod veih
stupnjeva statora turbine tijelo bre zagrijalo. To je posljedica upravo razlike u koeficijentima
prijelaza topline, ali i površine na koju se predaje toplina koja raste porastom broja stupnja
turbine. Na slici 27. nakon dvije minute zagrijavanja temperature u tijelu statora kod petog
stupnja došle su blizu temperatura fluida na tim stupnjevima što znaci da su skoro dosegle
maksimalnu temperaturu. Dok na niim stupnjevima je razlika u temperaturi izmeu radnog
fluida i tijela statora još uvijek velika. Na slici 28. vidljivo je s obzirom na prethodne kako se
maksimalna temperatura u tijelu statora sa petog stupnja turbine prebacila na prvi stupanj
turbine što je i logino budui da radni medij ima najveu temperaturu na prvom stupnju
turbine, a najmanju na zadnjem. To nam govori da je temperatura tijela statora došla do ili
blizu radnih temperatura te da je statora turbine progrijan.
Daniel Wolff Završni rad
Slika 27. Temperaturno polje nakon 10 sekundi zagrijavanja statora
Slika 28. Temperaturno polje nakon minute zagrijavanja
Slika 29. Temperaturno polje nakon dvije minute zagrijavanja
Daniel Wolff Završni rad
Slika 30. Temperaturno polje nakon tri minute zagrijavanja
6.2. Ekvivalentna naprezanja
Ekvivalentna naprezanja u statoru mikroturbine dana su u etiri slike, 10 sekundi
zagrijavanja, minutu, dvije i tri minute nakon poetka zagrijavanja. Na slici 29. vidljivo je da
ve nakon 10 sekundi dolazi do javljanja naprezanja na prvom stupnju statora, a to je i mjesto
gdje je stator ukliješten. Kako vrijeme odmie temperatura tijela statora se poveava te dolazi
do porasta naprezanja. Kako je tijelo statora sprijeeno u širenju na mjestima uklještenja tamo
e doi do najveih naprezanja kako se i vidi na slici 32, najvea naprezanja javljaju se upravo
na mjestima uklještenja. Lokalno na mjestima najveeg naprezanja u tijelu statora dolazi do
prijelaza granice razvlaenja odnosno prelazi se iz elastinog u plastino podruje.
Slika 31. Ekvivalentna naprezanja nakon 10 sekundi zagrijavanja
Daniel Wolff Završni rad
Slika 32. Ekvivalentno naprezanje nakon jedne minute zagrijavanja
Slika 33. Ekvivalentno naprezanje nakon dvije minute zagrijavanja
Slika 34. Ekvivalentno naprezanje nakon tri minute zagrijavanja
Daniel Wolff Završni rad
6.3. Ekvivalentne deformacije
Ekvivalentne deformacije tijela statora u statoru mikroturbine dane su na slici koje
prikazuju deformacije u podruju lopatice prvoga stupnja nakon tri minute zagrijavanja
statora.
Slika 35. Ekvivalentne deformacije nakon tri minute zagrijavanja boni pogled na prvi
stupanj statora
Slika 36. Ekvivalentne deformacije nakon tri minute zagrijavanja pogled na lopaticu i
unutarnji prsten
Slika 37. Ekvivalentne deformacije nakon tri minute zagrijavanja pogled na lopaticu i
vanjski dio statora
6.4. Pomaci
Pomaci tijela statora uslijed zagrijavanja vidljivi su na slikama 38. i 39. Do pomaka tijela
statora u odnosu na poetnu poziciju došlo je zbog poveanja temperature te naprezanja i
deformacija u tijelu statora.
Na slici 38. vidljive su raspodijele pomaka u tijelu statora. Strelice na slici 38. oznaavaju
mjesta ukliještena što znai da na tim mjestima nema pomaka u aksijalnom smjer. Kako je na
tim mjestima onemogueno pomicanje du x osi svi pomaci s obzirom na x os odvijat e u
lijevo iznad lijevog uklještenja odnosno prema privodu jer je taj dio statora slobodan i ništa ne
sprjeava pomake u tom smjer.
Slika 38. Pomaci na statoru
Daniel Wolff Završni rad
Fakultet strojarstva i brodogradnje 44
Na slici 39. vidljivo je podruje prvog stupnja statora. Plavo podruje na slici je podruje
najmanjih pomaka. Strelicama na slici nastoji se ukazati na smjer pomaka tijela statora u
podruju lopatica statora prvoga stupnja. Uklještenje onemoguuje pomicanje tijela statora
unutrašnjeg prstena u lijevo odnosno u negativnom smjeru osi x. Meutim dolazi do pomaka
u pozitivnom smjeru osi y unutrašnjeg prstena i lopatice. Dok se tijelo statora iznad lopatice
slobodno pomie u lijevo odnosno u negativnom smjeru osi x. Iz ove slike je vidljivo da je
tendencija pomaka lopatice i tijela statora oko lopatice statorskih stupnjeva u lijevo ili u
negativnom smjeru osi x. Kako se pomicanja odvija u tom smjeru kod prvog stupnja nema
opasnosti od dodira statora i rotora. Meutim kod ostalih stupnjeva postoji opasnost da e
pomakom lopatice i tijela statora oko lopatice doi do kontakta statora i rotora.
Graf na slici 40. prikazuje pomake cilindrinih površina na kojima su lopatice vezane na
vanjski dio statora u vremenu zagrijavanje od tri minute. Uslijed zagrijavanja te površine
pomiu se u lijevo odnosno u negativnom smjeru osi x. Ovi pomaci morali bi biti manji od
zazora izmeu rotora i statora kako ne bi došlo do njihovog kontakta. Projektirani zazor je 1
mm i kako se vidi iz grafa na slici 40. niti jedna površina nema pomak koji premašuje veliinu
zazora. Što znai da nee doi do kontakta statora i rotora uslijed pomaka tijela statora
zagrijavanjem.
Daniel Wolff Završni rad
Fakultet strojarstva i brodogradnje 45
Slika 40. Pomaci površina na mjestima gdje se nalaze lopatice statora
0 50 100 150 200
-0,0012
-0,001
-0,0008
-0,0006
-0,0004
-0,0002
0
0,0002
7. Zakljuak
U ovome radu izvršena je numerika analiza toplinskih naprezanja u kuištu mikroturbine
tijekom puštanja u rad. Izmjena topline izmeu radnog fluida i kuišta opisana je primjenom
poznatih eksperimentalnih korelacija. Temperatura radnog fluida od poetka do kraja
simulacije zadana je kao temperatura koja e se ustaliti pri nazivnom radu turbine.
Rezultati numerike analize dani slikama temperaturnog polja, ekvivalentnih naprezanja,
ekvivalentnih deformacija i pomaka u karakteristinim vremenskim intervalima prikazuju
ponašanje tijela statora tijekom njegova zagrijavanja. Kako je i vidljivo iz slika temperaturno
polje tijela statora tijekom zagrijavanje nije uniformirano. Zbog neuniformnog temperaturnog
polja u tijelu statora dolazi do njegovog razliitog širenja što za posljedicu ima pojavu
toplinskih naprezanja i deformacija. Na mjestima uklještenja statora onemogueno je
slobodno širenje materijala te se zato na tim mjestima javljaju najvea naprezanja. Lokalno na
mjestima najveeg naprezanja u tijelu statora dolazi do prijelaza granice razvlaenja odnosno
prelazi se iz elastinog u plastino podruje.
Kao posljedica porasta temperature, dolazi i do pomaka tijela statora u odnosu na poetnu
poziciju. Opasnost kod pomaka tijela statora pri zagrijavanju je ako su ti pomaci dovoljno
veliki da premaše veliinu zazora izmeu statora i rotora. Što bi onemoguilo vrtnju rotora
odnosno normalni rad turbine. Kako se vidi iz rezultata pomaci su manji od zazora prema
tome nee doi do kontakta rotora i statora.
Daniel Wolff Završni rad
LITERATURA
[2] Guzovi, Z.: Podloge iz predmeta Toplinske turbine, Zagreb, 1996.
[3] Soares, C.: Microturbines, London, 2007.
[4] Larjola J.: Electricityfromindustrialwasteheatusinghigh-speedorganic Rankine cycle
(ORC), Elsevier, 1994, Int. J. Production Economics 41 227-235
[5] Vanslambrouck B, Vamkeirsvlick I, Gusev S, De Paepe M.: Turn waste heat into
electricity by usingan Organic Rankine Cycle, Spain, 2011.
[6] Quoilin S.: Sustainable Energy ConversionThroughtheUse ofOrganic Rankine Cycles for
WasteHeatRecoveryandSolarApplications, Liège, Belgium, 2011.
[7] Demirdi I, Ivankovi A, NoelO'Dowd.: Lecture notes for the courese Computational
Continuum Mechanics (CCM)
Materials, Hamptn, Virgenia, 2011
[9] Barron R.F, Barron R B.: Design for thermalstresses, New Jersey, USA, 2012.
[10] Tukovi , Ivankovi A, Kara A.: Finite-volumestressanalysisinmulti-materia llinear
elastic body,Int. J. Numer. Meth. Engng 2013; 93:400-419
[11] Guzovi Z.: Ocjena upotrebljivosti postojeih korelacija za odreivanje prijelaza topline
kod toplinskih turbostrojeva, Zagreb, 1998.