Ravno Stanje Napona i Deformacije

8/18/2019 Ravno Stanje Napona i Deformacije

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METOD KONAČNIH ELEMENATA

1. Ravno stanje napona

Oznake:

• A površina ploče; m• !A !i"eren#i$alno mali elemen% površine A; m

• % !e&l$ina ploče; m• '() '* komponen%e vek%ora pomeran$a u ; m• p() p* komponen%e vek%ora +pol$ašn$e, op%ere-en$a na kon%'ri ploče; kNm

• pv)() pv)* komponen%e vek%ora pA / t p0; kNm p0 zapremin+ke +ile

• 2( ) 2*) 2(* komponen%e %enzora napona σ; kNm

• n() n* komponen%e vek%ora normale n na kon%'ri 3

Kinema%ika veza izme4' pomeran$a i !e"orma#i$a:

( ) ( ) ( )

( )

∂∂

∂∂

∂

∂∂

∂

== y xu

y xu

x y

y

x

y x y x y

x

)

)5

5

)) Luε ) ,!e $e L ma%ri#a opera%or.

Kon+%i%'%ivne rela#i$e veza izme4' napona i !e"orma#i$a:

Eεσ =

1


2/13

−−=

155

51

51

1

ν

ν

ν

ν

E E

Napomena: εz ≠5) i o!re4'$e +e iz '+lova !a $e napon σz / 5 : ( ) y x z E σ σ ν

ε +−=

6rin#ip vir%'alno, ra!a:

. Ravno stanje deformacije

Oznake:• A površina ploče; m

• !A !i"eren#i$alno mali elemen% površine A; m

• '() '* komponen%e vek%ora pomeran$a u ; m• p() p* komponen%e vek%ora +pol$ašn$e, op%ere-en$a na kon%'ri ploče) po $e!ini#i !'7ine ' z

prav#'; kNm

• pv)() pv)* komponen%e vek%ora pA) po $e!ini#i !'7ine ' z prav#'; kNm

• 2( ) 2*) 2(*) 2z komponen%e %enzora napona σ; kNm

• n() n* komponen%e vek%ora normale n na kon%'ri 3

Kinema%ika veza izme4' pomeran$a i !e"orma#i$a:

( ) ( ) ( )

( )

∂

∂

∂

∂∂

∂∂

∂

== y xu

y xu

x y

y

x

y x y x y

x

)

)5

5

)) Luε ) ,!e $e L ma%ri#a opera%or.


3/13

Kon+%i%'%ivne rela#i$e veza izme4' napona i !e"orma#i$a:

Eεσ =

( )( ) ( )

( )

−

−−

−

−+

−=

ν

ν

ν

ν

ν

ν

ν ν

ν

1

155

511

51

1

11

1 E E

Napomena: σz ≠5) i o!re4'$e +e iz '+lova !a $e napon εz / 5 : y x z σ σ ν σ +=6rin#ip vir%'alno, ra!a:

TROUGAONI KONAČNI ELEENT

8


4/13

( )

( ) y x y xu

y x y xu

y

x

111

)

)

γ β α

γ β α

++=

++=

( )

( )

( ) 88181188

111

11111111

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)

)

x x

x x

x x

u y x y xu

u y x y xu

u y x y xu

=++=

=++=

=++=

γ β α

γ β α

γ β α

( )

( )

( )88181188

111

11111111

)

)

)

y y

y y

y y

u y x y xu

u y x y xu

u y x y xu

=++=

=++=

=++=

γ β α

γ β α

γ β α

=

8

1

8

1

1

1

1

88

11

88

11

1555

1555

1555

5551

5551

5551

y

y

y

x

x

x

u

u

u

u

u

u

y x

y x

y x

y x

y x

y x

γ

β

α

γ

β

α

=

8

1

8

1

81

81

11

81

81

81

1

1

1

555555

555

555

555

555

1

y

y

y

x

x

x

uu

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u

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u

cccbbb

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A

γ β

α

γ

β

α

88

11

1

1

1

y x

y x

y x

A =

118

8118

881

y x y xa

y x y xa

y x y xa

−=

−=

−=

18

18

81

y yb

y yb

y yb

−=

−=

−=

18

81

81

x xc

x xc

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−=

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( ) ( ) ( ) ( )

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8811

))))

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y y y y

x x x x

u y x N u y x N u y x N y xu

u y x N u y x N u y x N y xu

++=

++=

9

!

"

i# $


5/13

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) yc xba A

y x N

yc xba A

y x N

yc xba A

y x N

8888

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++=

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8

8

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y

x

y

x

y

x

u

u

u

u

u

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v

v

v

v

v

v

v

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y x N y x N y x N

y x N y x N y x N y x

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81

81N

Kinema%ika:

%vLNvLuε ===

=

8811

81

81

555

555

1

bcbcbc

ccc

bbb

A%

6rin#ip vir%'alno, ra!a:


6/13

0ek%or čvorno, op%ere-en$a:

pA / #on+%. p / #on+%.

Naponi:

−−=

8

8

1

1

8811

81

81

555

555

1

1

55

51

51

1

y

x

y

x

y

x

xy

y

x

u

u

u

u

u

u

bcbcbc

ccc

bbb

A

E

ν ν

ν

ν

σ

σ

σ

dA

dA


7/13

ATRI&A KRUTO'TI TROUGAONOG KONAČNOG ELEENTA

#1=?n1) &1?n?#1>#1?n1?&1) &1?&>#1?n1?#) &1?n?#>#1?n1?&) &1?&8>#1?n1?#8) &1?n?#8>#1?n1?&8@

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#?n?&8>&?n1?#8) #?#8>&?n1?&8@


8/13


9/13

+'miran$e po ponovl$enom in!ek+'

G


10/13


11/13

0ek%or čvorni +ila:

L jk !'7ina op%ere-ene kon%'re

a pA i p / #on+%. :

Naponi ' elemen%':

11

&


12/13

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+−−−++−−+−−−

−−++−−

+−+−−−

−−=

ym

xm

yk

xk

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xj

yi

xi

xy

y

x

u

u

u

u

u

u

u

u

abababab

bbbb

aaaa

E

1

11

11

11

11

11

11

11

1

1

151

151

151

15

51

151

151

151

1

(

(

155

51

51

1)

)

)

η ξ η ξ η ξ η ξ

ξ ξ ξ ξ

η η η η

ν ν

ν

ν η ξ σ

η ξ σ

η ξ σ

Ma%ri#a kr'%o+%i:

K / 1.C1?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)1F?%?e?Bn>1)C11?%a&?e?B9?&=Ca=>a=?n)1F?%?e?B8?nC1)11?%a&?e?BC?&=Ca=>a=?n)C1F?%?e?Bn>1)1?%a&?e?B&=Ca=>a=?n)

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13/13

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