Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)

Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)

• Analitik Ortalamalar– Aritmetik– Geometrik– Harmonik– Kareli ortalama

• Analitik olmayan ortalamalar– Mod– Medyan– Kartil, Desil ve Santiller

I. Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)

• Bir veri setinin merkez noktasını gösteren, serinin normal değerinin bir göstergesi olan ve veriyi tek bir değerle ifade eden değerlere merkezi eğilim ölçüleri adı verilir. Bir verinin ortalaması onun en küçük ve en büyük değeri arasında yer alır.

Ortalamaların Faydaları: Ortalamaların faydaları kısaca şöyle özetlenebilir.

1. Ortalamalar çoğu zaman serinin normal değerini gösterir. Tabi bunun için serinin dağılımının da aşırı çarpık olmaması gerekir.

2. İstatistik analiz işleminin temel elemanlarından biridir.3. Aynı birimle ölçmek kaydıyla farklı serileri karşılaştırmaya

imkan tanır.4. Tek bir sayı olması sebebiyle hatırda tutulması kolaydır.

maxmin XOrtalamaX

Ortalamalar verinin tamamını kapsayıp kapsamamasına göre analitik ve analitik olmayan ortalamalar şeklinde iki grupta incelenir.

1. Analitik (Hassas ortalamalar)Verideki bütün değerleri dikkate alarak hesaplanan ortalamalardır. Analitik ortalamalar verinin özelliğine ve hesap tarzına göre dört farklı şekilde elde edilir.

1.1. Aritmetik ortalama 1.2. Geometrik ortalama (G)1.3. Harmonik ortalama (H)1.4. Kareli ortalama (K).

)(X

• Aritmetik ortalama serideki gözlem değerleri toplamının toplam gözlem sayısına oranıdır.

• Basit seride

• Tasnif edilmiş seride

• Gruplanmış seride

Xi : i. gözlem değeri fi : i. değerin frekansı

mi : i. sınıfın orta noktası N : toplam gözlem sayısı

1.1. Aritmetik ortalama

N

X

N

XXXX iN

...........21

i

ii

k

kk

f

Xf

fff

XfXfXfX

....

....

21

2211

i

ii

k

kk

f

mf

fff

mfmfmfX

....

....

21

11 22

• Örnek: Adapazarı'nda nisan ayı ortalama yağışlarını tahmin etmek için geçmiş nisan ayı yağış rakamlarından rasgele 7 tanesi seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle Adapazarı'nda nisan ayı yağışlarının aritmetik ortalamasını hesaplayınız.

7

720

...........21

N

XX

N

XXXX

i

NNisan ayı yağışları (Kg)

(Xi)

60

75

80

100

120

130

155

∑Xi=720

KgX 86,102

Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten işçilerin bu parçayı üretim sürelerinin dağılımı aşağıdaki gibi gözlenmiştir. Parça üretim süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

0

2

4

6

8

10

12

12 13 14 15 16

Parça üretim süresi(dk)(Xi)

İşçi sayısı (fi)

fi.Xi

12 2 24

13 5 65

14 10 140

15 7 105

16 4 64

Toplam 28 398

.21,14

28

3985

1

5

1

dkX

f

XfX

i

i

i

ii

Örnek Bir işyerinde yapılan telefon görüşmelerinin süresinin dağılımı için aşağıdaki gruplanmış seri verilmiştir. Buna göre görüşme süresinin aritmetik ortalamasını bulunuz.

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 3 5 7 9

Görüşme süresi

Görüşme sayısı (fi)

mi fimi

0 - 2 5 1 5

2 - 4 10 3 30

4 - 6 40 5 200

6 - 8 30 7 210

8 - 10 25 9 225

Toplam 110 670

dakikaX

f

fX k

i

i

k

i

mii

09,6

110

670

1

1

Tartılı Aritmetik Ortalama

• Bir serideki gözlem değerlerlerinin önem dereceleri farklı olursa, bu tür serilerin aritmetik ortalaması tartılı olarak hesaplanır. Bunun için önem derecesini gösteren katsayılar (tartılar) kullanılır. Örnek olarak öğrencilerin ortalama notlarını hesaplarken derslerin kredileri tartı olarak düşünülürken, ücretlerin belirlenmesinde kıdem tartı olarak kabul edilebilir.

• Basit seride



i

iiT t

XtX

ii

iiiT ft

XftX

ii

iiiT ft

mftX

Örnek Aşağıda bir öğrencinin almış olduğu dersler, notları ve kredileri verilmiştir. Not ortalamasını tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız.

DerslerNotlar (Xi)

Kredi (ti)

tiXi

İstatistik 70 3 210

Matematik 60 4 240

Fizik 50 3 150

Kimya 80 2 160

Toplam 260 ti=12 tiXi=760

puanX

t

XtX

T

i

iiT

33,63

12

760

Örnek Bir işletmede işçilerin saat ücretleri çalıştıkları süre (kıdem) dikkate alınarak belirlenmektedir. Veriler aşağıdaki gibi olduğuna bu işletmede ortalama saat ücretini tartılı aritmetik ortalama cinsinden hesaplayınız.

Saat ücreti (milyon) (YTL)


Ortalama kıdem

(ti)mi fiti fitimi fimi

1.00 – 1.40 10 2.5 1.20 25 30.0 12.00

1.40 – 1.60 30 5.0 1.50 150 225.0 45.00

1.60 – 1.80 50 9.5 1.70 475 807.5 85.00

1.80 – 2.00 15 13.0 1.90 195 370.5 16.90

2.00 – 2.50 5 18.0 2.25 90 202.5 11.25

Toplam 110 935 1635.5 170.15

saatYTLXtf

mtfX

ii

iii/75,1

935

5,1635

Tartılı aritmetik ortalamanın kullanıldığı yerler

Tezgahlar

Üretim miktarı

(ti)

Kusurlu oranı (Xi)

tiXi

A 100 0.03 3

B 200 0.05 10

C 50 0.01 0.5

ti = 350 Xi = 0.09 tiXi = 13.5

- Veriler arasında önem farkı bulunması halinde kullanılır.- Oranların ve ortalamaların ortalaması hesaplanırken kullanılır.- Ortalama maliyet ve satış fiyatı, bileşik fiyat ve miktar indekslerinin

hesaplanmasında da tartılı ortalama kullanılır.Örnek Bir işletmede bulunan üç tezgahın belli bir günde ürettikleri

malların sayısı ve üretimlerindeki kusurlu oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir. Buna göre bu tezgahlarının ürettiği mamul kütlesinin kusurlu oranını bulunuz.

03857,0

350

5,13

T

i

ii

T

X

t

XtX

Aritmetik ortalamanın özellikleri1 - Aritmetik ortalama hassas bir ortalama olup serideki aşırı

değerlerden etkilenir ve aşırı değere doğru kayma gösterir.2 - Serinin gözlem sayısı ile aritmetik ortalaması çarpılırsa serinin

toplam değeri elde edilir.3- Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları

toplamı sıfır olur.

4- Serideki değerlerin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareleri toplamı minimum olur.

5- Aritmetik ortalama özellikle normal dağılıma yakın serilerin ortalaması için elverişlidir.

6- Bir serinin değerleri, diğer iki serinin değerleri toplamından oluşuyorsa bu serinin aritmetik ortalaması da diğer iki serinin aritmetik ortalamaları toplamına eşit olur. X =Y +Z

iXXN

0)( XXN

XN

N

XXNXXX i

ii

MinimumXX i2)(

Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması• Aritmetik ortalamayı SPSS’te analyze menüsünün Reports

kısmından hesaplamak mümkündür. Bunun için Analyze, Reports ve Case summaries tıklanır.

• Gelen ekranda Variables kısmına Ağırlık değişkeni girilir ve Statistics tıklanır. Gelen ekranda Cell statistics kısmına Mean atanır. Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir.

Aritmetik ortalamanın SPSS’te hesaplanması

Sonuç çıktı ekranında şöyle görüntülenir.Case Summaries

Mean

Aracın ağırlığı

2970,99

• Aritmetik ortalamanın belli bir değişkenin kategorilerine göre hesaplanması: Bunun için otomobilin ağırlığının aritmetik ortalamasını ülke orjinine göre hesaplayacağız. Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda Variables kısmına ağırlık, Grouping variable(s) kısmına ülke orjini değişkeni girilir ve statistics tıklanır ve gelen ekranda Mean girilip Continue ve OK tıklanır.


• Sonuçlar SPSS ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.


Case Processing Summary

Cases

Included Excluded Total

N Percent N Percent N Percent

Aracın ağırlığı * Ülke orjini 393 100,0% 0 ,0% 393 100,0%

Case Summaries

MeanÜlke orjini Aracın ağırlığı

American 3366,92European 2437,09Japanese 2221,23Total 2970,99

SPSS te Aritmetik Ortalama• SPSS’te aritmetik ortalamayı hesaplayabilmek için

Analyze menüsünden Descriptive Statistics seçeneği tıklanır.

• Gelen ekranda Variable(s) kısmına ortalamasını hesaplamak istediğimiz değişkenleri ( Alınanyol, Motorhacmi, Beygirgücü, Ağırlık) girilir. Options tıklanır ve gelen ekranda Mean (aritmetik ortalama) işaretlenir ve Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır.

SPSS te Aritmetik Ortalama

SPSS te Aritmetik Ortalama• Sonuçlar aşağıdaki şekilde elde edilir.

Descriptive Statistics

N Minimum Maximum Sum MeanGalon başına Miles 392 10 47 9216 23,51

Motor hacmi boyutu 393 68 455 76127 193,71

Beygir gücü 392 46 230 40869 104,26

Aracın ağırlığı 393 1613 5140 1167601 2970,99

Valid N (listwise) 391

En küçük değerler

En büyük değerler

Verinin toplamı

Aritmetik ortalama

SPSS’te Tasnif Edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması

• Önce tasnif edilmiş bir seri oluşturalım. Bunun için öğrencilerin 0-10 arasındaki notların dağılımını SPSS sayfasına giriş yapalım. Bunun için veri ekranının 1. sütununa notları, 2. sütununa öğrenci sayılarını girelim. File menüsünden New ve Data tıklanır ve yeni bir veri sayfası ekrana gelir. Bu sayfaya veriler girilir. Variable view sayfasından değişken isimleri girilir.

• Öğrenci sayılarını frekans olarak tanımlayabilmek için Data menüsünden Weight cases tıklanır ve gelen ekranda Weight cases by kısmına öğrencisayısı değişkeni girilir böylece frekans tanımlanmış olur.

SPSS’te Tasnif edilmiş serinin Aritmetik Ortalaması

• Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda Variables kısmına Ağırlık değişkeni girilir ve statistics tıklanır. Gelen ekranda Mean (aritmetik ortalama) seçilir, continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır.



Sonuçlar aşağıdaki gibi görüntülenir.

Case Summaries

Mean

Notlar

5,00

• Analyze menüsünden Descriptive statistics kısmından Descriptive tıklanır. Gelen ekranda Variable(s) için Notlar girilir.Options tıklanır Mean işaretlenip Continue ve OK tıklanır


• Sonuçlar çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.


Descriptive Statistics

N Minimum Maximum Sum Mean

Notlar 113 0 10 617 5,46

Valid N (listwise)

113

Öğrenci sayısı

Endüşük not

Enyüksek not

Notlar toplamı

Aritmetik ortalama

2- Geometrik Ortalama (G)• Bir serideki gözlem değerlerinin birbirleri ile

çarpımlarının, gözlem sayısı derecesinde kökünün alınması ile elde edilir. Basit seri için şöyle yazılır.

• olupyazılırsa kısaca geometrik ortalama olarak yazılır.

Ancak bu yoldan geometrik ortalamayı bulmak için gözlem sayısının az olması gerekir. Gözlem sayısı arttıkça bu yoldan geometrik ortalamayı hesaplamak güçleşmektedir. Bunun yerine logaritmik dönüşüm uygulanarak geometrik ortalama hesaplanır.

NNXXXXG 321 iN XXXXX 321

N

N

i

Xi

G

1

ifadesi üslü olarak yazılır, bu ifadenin her iki

tarafının logaritması alınırsa

Çarpımın logaritması ayrı ayrı logaritmalar toplamına eşit olduğuna göre;

olup düzenlenirse,

Burada logG’yi G ye çevirmek için logG’nin ters logaritması alınarak geometrik ortalama elde edilir.

NNXXXXG 321

NNXXXXG /1

321 )(

)log(1

log 321 NXXXXN

G

N

XXXXG

Nlogloglogloglog

321

N

XG

N

i

i 1

loglog

GG log10

• Tasnif edilmiş seride; logaritmik olarak;

olur.• Gruplanmış seri için;

Geometrik ortalamanın özellikle geometrik dizi şeklindeki serilere uygun olduğunu söylemek mümkündür. Geometrik bir diziye logaritması alınarak aritmetik diziye dönüşür.

i fk

ffffXXXXG k321

321

k

kk

ffff

XfXfXfXfG

321

332211 logloglogloglog

i fk

ffffmmmmG k321

321

k

kk

ffff

mfmfmfmfG

321

332211 logloglogloglog

k

i

i

k

i

ii

f

XfG

1

1

loglog

k

i

i

k

i

ii

f

mfG

1

1

loglog

Kusurlu parça sayısı (Xi)

logXi

3 0.477

5 0.699

8 0.903

15 1.176

30 1.477

log Xi = 4.732

Örnek Bir işletmede aynı parçayı üreten 5 işçinin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayıları aşağıda verilmiştir. Bu işçilerin parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz.

NNXXXXG 321

5 3015853 G 5 54000parçaG 84,8

9464,0log5

732.4log

log 1 G

N

XG

veyaN

İ

i

9464,010G parçaG 84,8

Örnek 1.10) Bir işletmede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parça sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına günlük kusurlu parça üretiminin geometrik ortalamasını bulunuz.

=13,918

G=13,918 parça

Kusurlu parça sayısı


mi logmi filogmi

0 – 10 5 5 0.69897 3.49485

10 – 13 8 11.5 1.0606 8.4848

13 – 15 10 14 1.146 11.46

15 – 20 12 17.5 1.243 14.316

20 – 40 5 30 1.477 7.385

fi = 40 filogmi = 45.74065

i fk

ffffmmmmG k321

32140 512108 305.17145.1155

1436,1log40

74065,45log

log

1

1

Gf

mfG k

i

i

k

i

ii

1436,110G

Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu• Basit serinin geometrik ortalaması• Basit bir serinin geometrik ortalamasını SPSS’te bulabilmek

için Analyze menüsünden Reports ve cases summary tıklanır.

• Gelen ekranda geometrik ortalaması bulunacak değişken(ler) Variables kısmına taşınır (Gidilenyol). Statistics tıklanır ve gelen ekranda Geometric mean seçilir, continue ve OK tıklanır. Sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir.

Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşu

Sonuçlar çıktı ekranda aşağıdaki gibi görüntülenir.

Case Summaries

Geometric Mean

Galon başına Miles

22,24

• Tasnif edilmiş serinin geometrik ortalaması• Tasnif edilmiş bir serinin geometrik ortalamasını

SPSS’te bulabilmek için serinin frekansının tanımlanması gerekir. Bilindiği gibi bunun için Data menüsünden Weight cases seçeneği tıklanıp frekans değişkeni Weight cases by kısmına taşınarak tanımlanmaktadır. Geometrik ortalama için diğer işlemler yukarıda anlatıldığı gibi yapılmaktadır.

• Öğrencilerin notlarının geometrik ortalaması SPSS’te hesaplanacaktır. İlgili ekranlar aşağıdaki gibi görüntülenir.


Geometrik ortalamanın SPSS’te bulunuşuFrekans tanımlama işlemi aşağıdaki gibi yapılır


Case Summaries

Geometric Mean

Notlar4,98

Geometrik ortalama çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.

• Geometrik Ortalamanın Tahmin Amacıyla Kullanımı• Geometrik diziye benzer değişim gösteren nüfus, milli gelir artışı, fiyat

artışı ve sermaye artışı gibi değişkenlerin tahmininde geometrik ortalama özelliğinden yararlanılabilir. Bu tür seriler genel olarak bir önceki yılın belli bir yüzdesi şeklinde değişim göstermektedir. Bunun için bir dönemlik (ay yıl vs)değişim oranı geometrik ortalama ile belirlenir. Bu eğilimin gelecekte de benzerlik göstereceği varsayımı ile gelecek dönem ile ilgili tahminler elde edilebilir.

• Bir malın fiyatı için:Po: başlangıç dönemi değeri,Pn: n. Dönemin değeri,

r : bir dönemlik değişim yüzdesi

şeklinde olur.

n

P

Pr n

0

)1( 0

)1(P

Pr nn nrPP

n)1(

0

Örnek Bir X malının 1995 yılı fiyatı 10000 TL , 2003 yılı fiyatı 300000 TL olduğu bilindiğine göre;

a) Bu malın yıllık fiyat artış oranını hesaplayınızb) 2010 yılı için X malının fiyatını tahmin edinizc) 1985 yılı fiyatı ne olmuş olabilird) 1999 yılı fiyatını tahmin edinize) Hangi yılda fiyatlar 50000000 TL olur?

Çözüm P1995 = 10000 P2003 = 300000 n= 8 (2003-1995)

Fiyat artış oranı için geometrik artış dikkate alınırsa; fiyat artışı %53

b) formülünden 2010 yılı fiyatı tahmin edilebilir.

P2010 = P2003(1,53)(2010-2003) P2010 = 300000(1,53)7 = 300000(19,626) P2010 = 5887800 TL olur.

nn

P

Pra

0)1() 53,1)1(30)1(

10000

300000 88 rr

nn rPP )1(0

Geometrik ortalamanın özellikleri1) Geometrik ortalamanın gözlem sayısı kadar üssü alınırsa serinin

çarpımı elde edilir.

GN = X1X2X3XN GN = Xi2) Bir serideki gözlem değerlerinin geometrik ortalamaya oranları

çarpımı 1’e eşittir.

3) Bir serideki değerlerin logaritmalarının serinin geometrik

ortalamasının logaritmasından farklarının toplamı sıfır olur (logXi - logG) = 0 logXi - NlogG = 0

4) Serideki aşırı değerlere karşı, aritmetik ortalama kadar hassas

değildir.

1321

N

N

N

iN

G

G

G

X

GGGG

XXXX

0loglog0loglog

GGN

GN

N

Xi

5- İki serinin gözlem sayısı ve çarpımları eşit ise geometrik ortalamaları da eşit olur.6) Seride sıfır veya negatif gözlem değeri varsa geometrik ortalama hesaplanamaz.7) Geometrik ortalama özellikle geometrik dizi şeklindeki (değişim oranı sabit) serilerin ortalamasının hesaplanmasında kullanılır. (2,4,8,16,32,64 tam geometrik 1,10,100,1000,10000 tam geometrik vs.)

Xi logXi

3 0,477

9 0,954

27 1,431

81 1,908

243 2,386

55 14348907243812793 G

27G

4312,1log5

156,7loglog G

N

XG i

4312,110G 27G

3- Harmonik Ortalama

• Harmonik ortalama bir serideki gözlem değerlerinin terslerinin aritmetik ortalamasının tersine eşittir. Basit bir seri için bu ifade şöyle gösterilebilir.



N

i iNN X

NH

XXXX

N

NXXXX

H

1321321

1111111111

i

i

i

X

f

fH

i

i

i

m

f

fH

• Örnek Bir ilkokulda 5. Sınıf öğrencilerinin okuma hızlarını ölçmek için yapılan araştırmada alınan sonuçlar şöyledir. Buna göre öğrencilerin ortalama okuma hızını harmonik ortalama ile bulunuz

1 dakikada okunan kelime sayısı (Xi)

60 0,0167

68 0,0147

72 0,0139

75 0,0133

80 0,0125

Toplam 0,0711

0711.0

51

1

N

i iX

NH

H=70,33 kelime

iX

1

Harmonik ortalamanın SPSS’te hesaplanmasıSPSS’te bir önceki slayttaki örneğin Harmonik ortalamasını hesaplamak için Anayze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır.

• Gelen ekranda Variables kısmına kelimesayısı değişkeni girilir ve statistics tıklanır. Cell statistics kısmına Harmonic mean girilir continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır.

Harmonik ortalamanın SPSS’te hesaplanması

Sonuç çıktı ekranında aşağıdaki gibi görüntülenir.

Case Summaries

Harmonic Mean

Kelimesayısı

70,33

i

i

m

fYağış (kg/m2)

Ay sayısı (fi)

mi

0 - 20 4 10 0,4

20- 40 6 30 0,2

40- 60 10 50 0,2

60- 80 7 70 0,1

27 0,9

Örnek: Sakarya ilinde aylık yağışların dağılımı ile ilgili yapılan çalışmada aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilerden hareketle aylık yağışların harmonik ortalamasını bulunuz.

9,0

27

i

i

i

mf

fH

2/30 mkgH

Harmonik ortalamanın gruplanmış seride hesaplanması

• Kategorik veriler için her bir kategorinin harmonik ortalamasını hesaplamak için Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklanır. Gelen ekranda variables kısmına ortalaması hesaplanacak değişken (ağırlık), grouping variable(s) kısmına kategori değişkeni (ülke orjini) girilip Statistics tıklanır. Gelen ekranda Cell statistics kısmına Harmonic mean girilip continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir.

Harmonik ortalamanın SPSS’te hesaplanması

Çıktı ekranıCase Summaries

Harmonic MeanÜlke orjini Aracın ağırlığı

American 3173,02European 2351,26

Japanese 2177,43

Total 2749,20

Harmonik ortalamanın kullanıldığı yerler• Harmonik ortalamanın kullanıldığı yerler• Harmonik ortalama az kullanılan ortalamalardan biri olup, özellikle oran

şeklinde ortaya çıkan verilerin ortalamasında kullanılır. Bir seride sabit ve değişken unsurun yer değiştiriyorsa, yani sabit unsur, değişken, değişken unsur sabit oluyorsa böyle durumlarda harmonik ortalama kullanılır.

• Hız → yol (km)/zaman(saat):zaman sabit, alınan yol değişken• Verim → zaman/parça:üretilen parça sabit,zaman değişken• Fiyat → ödenen para(TL)/miktar(kg): miktar sabit, ödenen para değişken

olarak ifade edilir. • Bu ifadeler tam ters şekilde; yani sabit unsuru değişken, değişken unsuru

sabit tutmak sureti ile de ifade edilebilir.• Hız → zaman/yol şeklinde ters olarak ifade edilebilir. (Belli uzunluktaki

bir yolun ne kadar zamanda alındığı ifade edilebilir.)• Verim → parça/zaman: Belli bir zamanda ne kadar parça üretildiği • Fiyat → miktar/ödenen para: Para miktarı sabit iken, bu paraya

alınabilecek değişen mal miktarı şeklinde düşünülebilir Bu gibi durumlarda harmonik ortalama en uygun sonucu verir.

• Örnek: Bir işletmede çalışan ve aynı parçayı işleyen 4 işçinin buparçayı üretim sürelerinin dağılımıaşağıda verilmiştir. Bu işçiler hepbirlikte bu parçayı 4 saat süre ileÜrettiklerinde ürettikleri parçalarınOrtalama üretim süresini bulunuz.Çözüm:Üretim süresi 4*60=240 dakika 1. İşçinin üretimi 240/5=48 parça2. İşçinin üretimi 240/6=40 parça,3. İşçinin üretimi 240/10=24 parça,4. İşçinin üretimi 240/20=12 parça.İşçilerin 4 saatteki toplam üretimi 48+40+24+12=124 parça Toplam işçilik süresi 4*240=960 dakika Parçanın ortalama üretim süresi: 960/124=7,74 dakika/parça

İşçiler Üretim süresi

A 5

B 6

C 10

D 20

parçadakikaH

X

NH

i

/74,7

517.0

41

• Yukarıdaki örneğin Harmonik ortalama ile çözümü:

Üretim süresi (Xi) 1/Xi

5 0,2

6 0,167

10 0,1

20 0,05

Toplam 0,517

Harmonik ortalamanın özellikleri- Harmonik ortalama seride sıfır değeri varsa hesaplanamaz,- Seride farklı işaretli değerler varsa harmonik ortalama mantıklı

olmayan sonuçlar verir.- Xi: -2, 5,10,20 serisinin harmonik ortalaması

- olup sonuç mantıksızdır.

66,2615,0

41

H

X

NH

i

4. Kareli Ortalama (K)• Kareli ortalama serideki değerlerin karelerinin aritmetik

ortalamasının kareköküdür.Kareli ortalama aşağıdaki formüllerle hesaplanır.

Basit seride:

Tasnif edilmiş seride:

Gruplanmış seride:

N

XK

N

XXXXK

N

ii

N

1

222

322

21

k

i

i

k

iii

k

kk

f

XfK

ffff

XfXfXfXfK

1

1

2

321

2233

222

211

k

i

i

k

iii

k

kk

f

mfK

ffff

mfmfmfmfK

1

1

2

321

2233

222

211

Örnek: Bir otomobil servis istasyonuna günlük olarak gelen araçların dağılımı aşağıda verilmiştir.

4542 ii Xf

Araç sayısı (Xi)

Gün sayısı(fi)

1 4 1 4

2 8 4 32

3 12 9 108

4 10 16 160

5 6 25 150

Toplam ∑fi= 40

2iX 2

ii Xf

35,11

40

4542

K

f

XfK

i

ii

araçK 39,3

Örnek Bir şehirdeki konutlarda elektrik enerjisi tüketimi üzerine yapılan araştırmada, 200 konut rasgele seçilmiş ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir.

Aylık elektrikTüketimi (Kwh)

Konut sayısı

(fi)mi fimi

2

0 – 60 10 30 9000

60 – 100 20 80 128000

100 – 120 40 110 484000

120 – 140 50 130 845000

140 – 180 45 160 1152000

180 – 250 35 215 1617875

Toplam 200 4235875

375,21179

200

4235875

1

1

2

K

f

mfK k

i

i

k

iii

ayKwhK /53,145

Kareli ortalamanın kullanıldığı yerler• Diğer ortalamaların kullanılmadığı durumlarda kareli ortalama

kullanılabilir. Bir seride sıfır ve/veya farklı işaretli değerler varsa geometrik ve harmonik ortalamalar hesaplanamaz, hesaplansa da mantıklı sonuçlar vermez. Eğer aritmetik ortalama da makul bir sonuç vermiyorsa kareli ortalama kullanılabilir.

• Kareli ortalama özel olarak sapmalar serisinin ortalamasında kullanılır. Sapmalar serisi verilerin aritmetik ortalamadan sapmalarını veren seridir. Yani serisidir. Zira sapmalar serisinin toplamı sıfır olduğundan { = 0 }, bu serinin ortalaması kareli ortalama ile hesaplanabilir. Bu şekilde hesaplanan ortalamaya standart sapma adı verilir.

• SPSS’te kareli ortalama işlemi yapılamamaktadır. Bu sebeple kareli ortalamayı Excel kullanarak hesaplayacağız.Analitik ortalamalar arasındaki ilişkilerNormal bir seride ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir büyüklük ilişkisi vardır.

K >X > G > H

)( XX i

)( XX i

Analitik Ortalamaların Excel Kullanılarak Hesaplanması• Excel sayfasına veri girişi SPSS’te olduğu gibi girilir. Hücre

tanımlamak suretiyle ilgili işlemler yapılarak ortalamalar hesaplanır. Aşağıda basit bir serinin ortalamaları Excel ortamında gerçekleştirilmiştir.

• Önceki slaytta ortalama formülleri kullanılarak ortalamalar hesaplanmıştı. Ancak Excelde doğrudan ortalamaları hesaplayan fonksiyonlar vardır. Bunları kullanarak ta ortalamalar hesaplanabilir.

Aritmetik Ortalamanın Excel Kullanılarak Hesaplanması

16

• Harmonik ortalamanın hesaplanmasıHarmonik Ortalamanın Excel Kullanılarak Hesaplanması

14,55696203

• Excel fonksiyonu kullanılarak Geometrik ortalamanın hesaplanması. Excelde kareli ortalama için fonksiyon yoktur. Kareli ortalama formül kullanılarak hesaplanır.

Kareli Ortalamanın Excel Kullanılarak Hesaplanması

15,26181087

Analitik Ortalamaların Excel Kullanılarak Hesaplanması• Excel sayfasına veri girişi SPSS’te olduğu gibi girilir. Hücre

tanımlamak suretiyle ilgili işlemler yapılarak ta ortalamalar hesaplanır. Aşağıda basit bir serinin ortalamaları Excel ortamında gerçekleştirilmiştir.

• Örnek: Bir işletmede gerçekleştirilen günlük üretim miktarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilerden hareketle;

• Aritmetik ortalamayı,• Geometrik ortalamayı,• Harmonik ortalamayı,• Kareli ortalamayı bulunuz.

• Aritmetik ortalama: 137,63 logGeometrik ortalama: 2,105• Harmonik ortalama: 112,64 Geometrik ortalama: 127,36• Kareli ortalama: 145,53• K = 145,53>X = 137,63 > G = 127,36> H = 112,64 olduğu görülür.

Üretim (Kg)

fi mi fi.mi fi/mi mi2 fimi

2 logmi filogmi

0 – 60 10 30 300 0,3333 900 9000 1,47712 14,771

60 – 100 20 80 1600 0,25 6400 128000 1,90309 38,062

100 – 120 40 110 4400 0,3636 12100 484000 2,04139 81,656

120 – 140 50 130 6500 0,38462 16900 845000 2,11394 105,7

140 – 180 45 160 7200 0,2813 25600 1152000 2,20412 99,185

180 – 250 35 215 7525 0,1628 46225 1617875 2,33244 81,635

Toplam 200 27525 1,7756 4235875 12,0721 421,01

Analitik olmayan ortalamalar

Bu gruptaki ortalamalar serinin bütün değerlerini dikkate almayıp, sadece belli birkaç değerini, özellikle ortadaki değerleri esas alarak hesaplanan ortalamalardır. Serinin bütün değerlerini dikkate almadan hesaplandıkları için analitik olmayan ortalamalar olarak adlandırılmaktadırlar.1. Mod Bir seride en çok tekrarlanan değere mod adı verilir. İstatistikte nispeten az kullanılan bu ölçü özellikle verilerin simetrik bir dağılış göstermediği durumlarda iyi bir ölçü olarak düşünülebilir. Basit ve tasnif edilmiş seride modun bulunması oldukça kolaydır. Seride en fazla rastlanan ya da frekansı en yüksek olan değer mod olarak ifade edilir. Eğer seride en çok tekrarlanan birden fazla eleman varsa bu tür seriler çok modlu seriler olarak isimlendirilir. Böyle serilerde modun tek bir değerle ifade edilmesi istenirse seri gruplanmış hale dönüştürülerek modu hesaplanabilir. Gruplama sonrasında da en yüksek frekansa sahip tek bir sınıf bulunamazsa sınıflar birleştirilerek mod hesaplanabilir.

Mod = 5gün Mod= 6 gün

Örnek:Adapazarı’nda nisan ayında yağışlı gün sayısı için aşağıdaki iki veri elde edilmiştir. Nisan ayı yağışlı gün sayısının modunu bulunuz.

Yağışlı gün sayısı

3

4

5

5

5

6

6

7

Yağışlı gün sayısı Ay sayısı

3 24 45 76 97 4

Gruplanmış seride modun hesaplanması

Gruplanmış seride modu belirleyebilmek için önce modun içinde bulunduğu sınıf belirlenir. Mod sınıfı frekansı en fazla olan sınıftır. Gruplanmış seride modun hesaplanabilmesi için serinin sınıf aralığının eşit olması gerekir. Çünkü sınıf içindeki frekansların dağılımı sınıf aralıklarının büyüklüğüne göre değişir. Eğer sınıf aralıkları eşit değilse eşit hale getirmek gerekir. Eşit hale getirilemiyorsa modun bu şekilde hesaplanması uygun olmaz. Bu sınıf içindeki modun değeri aşağıdaki formülle bulunur.

Yukarıdaki formülde;l1: mod sınıfının alt sınırı1: mod sınıfı frekansından bir önceki sınıf frekansının farkı,2: mod sınıfı frekansından bir sonraki sınıf frekansının farkı,s: seride sabit olan sınıf aralığı

slMod

21

11

• Örnek Bir ilköğretim okulunda öğrencilerin günlük olarak aldıkları harçlıkların dağılımı aşağıda verilmiştir. Öğrencilerin aldıkları günlük harçlık miktarının ortalamasını mod ile belirleyiniz.

Harçlık (YTL/gün) Öğrenci sayısı

0 – 0,5 30 l1 = 1

0,5 – 1 50 1 = 100 – 50 = 50

1 – 1,5 100 Mod sınıfı

1,5 – 2 70 2 = 100 – 70 = 30

2 – 2,5 20 s = 0,5

günYTLMod

ModModslMod

/312500,1

3125,15,03050

501

21

11

• Örnek: Aşağıda bir parçanın üretim süreleri verilmiştir. Bu parçanın üretim sürelerinin

• a) Aritmetik (13,52) b) Geometrik (12,77)• c) Harmonik (12,03) d) Kareli ortalamalarını (14,25)• e) modunu bulunuz. (11,67)

Üretim süresi

Parça sayısı (fi) mi fimi

5-9 4 7 28 0,571 49 196

9-13 10 11 110 0,909 121 1210

13-17 7 15 105 0,467 225 1575

17-21 4 19 76 0,211 361 1444

21-25 2 23 46 0,087 529 1058

Toplam 27 365 2,245 5483

2ii mf 2

imi

i

m

f

Modun Grafikle Gösterilmesi

• modun grafikle gösterilebilmesi için serinin histogramı çizilir. Histogramda en yüksek sütün mod sınıfına karşılık gelir. Burada modun yerini tayin etmek için en yüksek sütunun üst köşegenleri ile komşu sütunların bitişik üst köşeleri çapraz olarak birleştirilir. İki doğrunun kesim noktasından yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta mod olarak tespit edilir.

Modun özellikleri

• Ortalamalar arasında en temsili olanıdır.• Pratik hayatta çok kullanılan ortalamalardandır• Özellikle kalitatif (niteliksel) serilerin ortalaması mod ile ifade edilir.

Göz rengi, medeni hal, marka, cinsiyet v.s gibi değişkenler kalitatif değişkenler olup sayısal olarak ifade edilemezler

• Mod serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü normal serilerde mod genellikle serinin orta bölgesinde yer alır, uç değerlerden etkilenmez.

• Yukarıdaki avantajlarının yanında analitik olmaması sebebi ile matematik işlemlere elverişli olmaması dezavantajıdır.

• J, ters J ve U tipi serilerde mod temsili alma özelliğini kaybeder. Böyle serilerde mod ya en küçük veya en büyük değere karşılık gelir.

SPSS’te Modun Belirlenmesi• Araçların modelininin dağılımının modunu belirlemek

istiyoruz. Bunun için Analyze menüsünden Descriptive ve Frequencies tıklanır.

• Gelen ekranda variable(s) kısmına Modu hesaplanacak Model değişkeni girilir. Statistics tıklanır gelen ekranda Mode işaretlenir, continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir.

SPSS’te Modun Belirlenmesi

Çıktı aşağıdaki gibi görüntülenir.

Statistics

Modeli

N Valid 393Missing 0

Mode 73

• Sonucu frekans tablosu ile birlikte almak istersek frequencies ekranının altındaki Display frequency tables işaretlenerek OK tıklanır.

SPSS’te Modun Belirlenmesi

Frequency Percent

Valid Percent

Cumulative Percent

Valid 70 28 7,1 7,1 7,171 27 6,9 6,9 14,072 28 7,1 7,1 21,173 40 10,2 10,2 31,374 26 6,6 6,6 37,975 30 7,6 7,6 45,576 34 8,7 8,7 54,277 28 7,1 7,1 61,378 36 9,2 9,2 70,579 29 7,4 7,4 77,980 27 6,9 6,9 84,781 30 7,6 7,6 92,482 30 7,6 7,6 100,0Total 393 100,0 100,0

StatisticsModeli

N Valid 393Missing 0

Mode 73

Mod

2. Medyan (Ortanca)

• Serideki değerler küçükten büyüğe sıralandığında tam ortaya düşen ve seriyi iki eşit parçaya bölen değere medyan adı verilir.

• Basit ve tasnif edilmiş seride medyanın bulunuşu: • Bunun için serideki değerler küçükten büyüğe sıralanır. Daha sonra

medyana karşılık gelen değerin sıra değeri işlemi ile belirlenir. Eğer bu işlemin sonucu tam sayı ise bu sıradaki eleman medyan olarak belirlenmiş olur. Eğer bu işlemin sonucu kesirli çıkarsa medyan iki değerin tam ortasına düşeceğinden bu iki değerin ortalaması alınarak medyan bulunur.

• Örnek: Xi:15,8,12,23,45,32,5,18,16,28,39,51Yukarıdaki serinin medyanını bulunuz.Önce serideki değerler büyüklük sırasına göre dizilir. Xi : 5,8,12,15,16,18,23,28,32,39,45,51 gözlem sayısı N=12 sıradaki değer medyandır. Bu değer 18;23 arasına düşer. Medyan = 20,5 olur.

2

1N

5,62

112

2

1

N

2

2318 Medyan

• Örnek: Aşağıda bir atölyede çalışan işçilerin belli bir günde ürettikleri kusurlu parçalarının dağılımı verilmiştir. Bu verilerden hareketle işçi başına ortalama kusurlu parça sayısını medyanla belirleyiniz.

• Çözüm:• Medyanın serideki sırası

• Medyan = 18 parça

Kusurlu parça sayısı

İşçi sayısı İşçi sayısı

10 2 10 ve daha az 212 3 12 ve daha az 515 4 15 ve daha az 916 6 16 ve daha az 1518 10 18 ve daha az 2520 521 425 2

Toplam (N) 365,18

2

136

2

1

N

Gruplanmış seride medyanın hesaplanması

• Gruplanmış seriler sürekli karakterde seriler olduğu için medyanın sıra değeri N/2 şeklinde bulunur. Bu değer toplam frekansın yarısına eşit olup serinin orta noktasını gösterir. Bu noktayı tespit etmek gruplanmış serilerde basit bir sayma işlemi ile mümkün olmaz. Bu işlemle medyanın içinde bulunduğu sınıf tespit edilir. Belirlenmiş olan medyan sınıfından hareketle aşağıdaki formül yardımı ile medyan değeri hesaplanır.

• l1 : Medyan sınıfının alt sınırı Nm : Medyan sınıfının frekansı• Sm : Medyan sınıfının sınıf aralığı N/2 : Medyanın sıra değeri

• : Medyandan sınıfından önceki frekanslar toplamı

mm

m

ii

sN

NN

lMedyan

1

11

2

1

1

medyan

iiN

• Örnek: Bir işletmede işçilere ödenen saat ücretlerinin dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu verilere göre medyan saat ücretini hesaplayınız.

sıradaki değer medyandır. Bu değer 700-800 sınıfına düşmektedir. Bu sınıf içindeki medyan değeri şöyle hesaplanır.

Saat ücreti (Bin TL) İşçi sayısı İşçi sayısı

500 – 600 10 600 den az 10 l1=700

600 – 700 50 700 den az 60 N/2=150/2=75

700 – 800Medyan sınıfı 40 800 den az 100 Ni= 60

800 – 1000 30 Nm=40

1000 – 1500 20 Sm= 800-700 = 100

Toplam 150

.752

150

2

N

saatYTLMedyanMedyansN

NN

lMedyan mm

m

ii

/5,73710040

6075700

2

1

11

SPSS’te Medyanın Bulunuşu• SPSS’te Medyanı hesaplayabilmek için Reports ya da

Descriptive statistics menülerini kullanabiliriz. • Analyze menüsünden Reports ve case summaries tıklanır.

Gelen ekranda medyanı hesaplanacak değişken (Aracın ağırlığı) variables kısmına taşınır. Statistics tıklanır, gelen ekranda Median seçilir continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir.

Case Summaries

Median

Aracın ağırlığı

2800,00

• Diğer bir yoldan Medyanı belirleyebilmek için Analyze menüsünden Descriptive ve frequencies tıklanır. Gelen ekranda Variable(s) kısmına medyanı hesaplanacak değişken ya da değişkenler (Aracın ağırlığı) taşınır. Statistics tıklanır gelen ekranda Median işaretlenir continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranından alınır.

SPSS’te Medyanın Bulunuşu

Statistics

Aracın ağırlığıN

Valid 393

Missing 0

Median 2800,0

Çıktı ekranı

Medyanın grafikle belirlenmesi

• Medyanın grafik üzerinde gösterilebilmesi için kümülatif ve ters kümalatif frekans serilerin oluşturulması gerekir. Bu serilerin grafiği birlikte çizildiğinde iki eğrinin birbirini kestiği noktadan yatay eksene çizilen doğrunun ekseni kestiği nokta medyan olarak tespit edilir. Esasen bu işlemi sadece eğrilerden birini çizmekle de yapabiliriz. Eğrilerden biri çizildiğinde Y ekseninde N/2 değerine karşılık gelen noktadan X eksenine paralel çizildiğinde, bu doğrunun kümülatif eğriye temas ettiği noktadan X eksenine çizilen doğrunun ekseni kestiği noktada medyanı gösterecektir.

• Örnek: Yukarıdaki örneğin grafikle gösterimi

Kümülatif frekans dağılımı Ters kümülatif frekans dağılımı

Saat ücreti (Bin TL) fi fi

500 den az 0 500 den çok 150

600 den az 10 600 den çok 140

700 den az 60 700 den çok 90

800 den az 100 800 den çok 50

1000 den az 130 1000 den çok 20

1500 den az 150 1500 den çok 0

Medyanın grafikle gösterilmesi

Medyanın özellikleri

• 1- Pratik bir ortalamadır. Çünkü sadece basit bir sıralama işlemi gerektirir.

• 2- Özellikle açık sınıflı seriler için medyan daha bir önem kazanır. Bu tür serilerde diğer ortalamalar ya hesaplanamaz, ya da açık sınıflar için sınıf sınırları farazi olarak seçilerek hesaplanabilir. Mod ise sınıf aralıklarının eşit olmasını gerektirdiğinden hesaplanamaz. Medyan ise böyle serilerin ortalamasında problemsiz olarak hesaplanabilir.

• 3- Serideki aşırı değerlere karşı hassas değildir. Çünkü medyan serinin ortasına rastladığından, uçlarda oluşan aşırı değerler medyanı etkilemez.

• 4- Serideki değerlerin medyandan mutlak farkları toplamı minimum olur. Bu sebeple ortalama sapma medyandan sapmalar şeklinde de hesaplanmaktadır.

Xi-medyan minimum • 5- Medyanın zayıf tarafı serideki bütün değerleri dikkate almaması

sebebi ile matematik işlemlere uygun olmamasıdır.

Mod, Medyan ve Aritmetik Ortalama Arasındaki İlişkiler

• 1- Simetrik seride her üç ortalama birbirine eşit olur.

• X = medyan = mod• 2- Sağa çarpık serilerde

• 3- Sola çarpık seride

• 4- Asimetrisi hafif serilerde aşağıdaki yaklaşık eşitlik vardır.

Medyan)X3(Mod)X(

Sapma (Dağılma) ölçüleri

• Mutlak Sapma Ölçüleri– Değişim aralığı– Kartil ve Desil aralığı– Ortalama mutlak sapma– Standart sapma ve Varyans

• Nispi sapma ölçüleri– Değişim Katsayısı

• Bir veri setini meydana getiren elemanlar ortalama değer etrafında belirli bir dağılış gösterirler. Gözlem değerleri arasındaki farklılıktan ileri gelen bu durum istatistik olarak serinin önemli karakteristiklerinden biridir.

• Bilindiği gibi ortalamalar serinin merkezi noktasını belirlemeye yarayan ölçülerdir. Dağılma ölçüleri ise gözlem değerlerinin bu merkezi noktadan uzaklaşma durumunu ortaya koyan ölçülerdir. Aynı ortalamaya sahip seriler farklı dağılış gösterebilirler. Bu yüzden bir seriyi sadece ortalama değere göre tanımlamak yanlış olur. Bunun yanı sıra dağılışının da bilinmesi gerekir.

• Bir seride ortalamanın temsil kabiliyeti ile dağılma ölçüleri arasında ters bir ilişki vardır. Dağılışı az olan serilerin ortalamaları daha temsili oldukları halde, dağılışı fazla olanların ortalamaları seriyi daha az temsil eder. Bu sayede veri setindeki dağılışın tespiti ortalamanın temsil kabiliyeti hakkında da bilgi verecektir.

II. Sapma ölçüleri

II.1. Mutlak Dağılma Ölçüleri

• Mutlak dağılma ölçüleri ilgili değişkenin kendi ölçüldüğü birim cinsinden (kg, cm, TL vs) sonuç verir. Bu sebeple mutlak dağılma ölçüleri olarak adlandırılırlar.

• • 1.1. Değişim Aralığı• Gözlem değerlerinin en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark

olup, verilerin ne kadarlık bir aralıkta değiştiğini gösterir.•

R = Xmax – Xmin

• Xi : 12,15,20,30,50,52,58,70,90 • olan bir serinin değişim aralığı R=90-12 =78 olur . Yani gözlem

değerleri 78 birimlik bir aralıkta değişme göstermektedir. • Bu dağılım ölçüsü oldukça basit ve anlaşılır olmasına karşılık sadece iki

uç değere bağlı olması sebebiyle serideki aşırı değerlerin etkisi altında kalması zayıf yönünü oluşturur. Sadece iki uç değeri dikkate alması diğer gözlem değerlerinin dağılımının hiç dikkate alınmamasına sebep olmaktadır.

1.2) Kartil ve Desil Aralığı

Bilindiği gibi değişim aralığı serideki sadece iki uç değeri dikkate almakta, dolayısıyla aşırı değerlerin etkisi altında kalmaktadır. Bu durumu ortadan kaldırmak için kartil ve desillerden faydalanılmaktadır. Kartil ve desil aralıkları kullanılarak gözlem değerleri için daha tutarlı değişme aralığı belirlenmiş olacaktır.

• Kartil aralığı 3. kartil ile 1.kartil arasındaki fark olup serinin orta bölgesindeki %50’lik gözlem kümesinin değişim aralığını verir.

• Q = Q3 – Q1 şeklinde belirlenir. • Desil aralığı ise 9. desil ile 1.desil arasındaki fark olup, her

iki uçtaki %10 gözlem değeri haricinde kalan %80 lik gözlem değerinin değişim aralığını verir.

• D = D9 – D1 şeklinde belirlenir.

• Örnek: Bir işletmede belli bir parçayı üreten işçinin bu parçayı üretim süresi gözlemlenmiş ve aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre parça üretim süresinin;a) Değişim aralığını b) Kartil aralığınıc) Desil aralığını bulunuz.

• Çözüm: a) R=Xmax – Xmin• R = 60-30 = 30 dakika• b) Q = Q3 – Q1 idi

• Q3 için sıradaki

değer Q3 dür. . Bu değer 40-42 sınıfındadır.

Benzer şekilde bulunur.Şu halde kartil aralığı Q = 41,43 - 36.67 = 4,76 dakika olur.

Üretim Süresi Parça Sayısı fi

30-35 10 10

35-37 30 40

37-40 40 80

40-42 35 115

42-50 20 135

50-60 5 140.1054

3.140.

r

hN

parçadakikaQ /43.412*35

80105403

parçadakikaQ /67.362*30

1035351

• c) D=D9-D1 idi. D1 için olup D1 35-37 sınıfındadır. Bu sınıf içindeki değeri;

• D9 için .sıradaki değer olup 42-50 sınıfındadır. Bu sınıf içindeki D9 değeri şöyle bulunur.

• Desil aralığı ise D = 46,4-35,27 = 11,13 dakika olur. Burada aşırılıklar yok edildiğinden gözlem değerlerinin ortalamaya daha

yakın dağıldıkları anlaşılmaktadır. Bununla birlikte yukarıda anlatılan sapma ölçüleri sadece iki değere bağlı olduklarından serideki bütün değerlerin sapmasını göstermekten uzaktır. Veri setindeki bütün değerlerin merkez noktadan sapmalarını gösterecek başka ölçülere ihtiyaç vardır. Bu amaçla ortalama mutlak sapma ve standart sapma ölçülerinden faydalanılır.

1410

1.140.

r

hN

parçadakikaD /27.352*30

1014351

12610

9.140.

r

hN

parçadakikaD /4.468*20

115126429

1.3. Ortalama (mutlak) Sapma• Bilindiği gibi sapmalar serisinin (aritmetik

ortalamadan sapmalar) toplamı sıfıra eşittir. Bu durumda sapmalar serisinin ortalaması da sıfır olacağından bir sapma ölçüsü elde etmek mümkün değildir. Serinin toplamını sıfır olmaktan kurtarabilmek için mutlak sapmalar dikkate alınabilir. Çünkü mutlak sapmalar serisinin toplamı sıfırdan büyük olacaktır Böylece mutlak sapmalar serisinin ortalaması alınarak yeni bir sapma ölçüsü elde edilebilir. Bu sapma ölçüsü diğer iki sapma ölçülerinin aksine serinin bütün değerlerini dikkate almaktadır. Bu sebeple daha kullanışlı ve daha temsili bir sapma ölçüsü elde edilmiş olmaktadır.

)0)((

XX i

)0( XX i

Ortalama (mutlak) sapma formülleri

• Ortalama sapmayı şöyle formüle edebiliriz. • Basit Seride

• Tasnif Edilmiş Seride

• Gruplanmış Seride

N

XX

SOi

.

fi

XXfi

SOi

.

fi

Xmfi

SOi

.

Örnek: Bir atölyede üretim hattında günlük olarak üretilen mamul sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Günlük üretimin ortalama sapmasını bulunuz.

XX i

XXfi i

Mamul Sayısı (Xi)

Gün Sayısı

(fi)

fi.Xi

33 2 66 -3,5 7

34 5 170 -2,5 12,5

35 9 315 -1,5 13,5

36 30 1080 -0,5 15

37 20 740 0,5 10

38 16 608 1,5 24

39 5 195 2,5 12,5

40 3 120 3,5 10,5

Toplam 90 3286 105

• Aritmetik ortalama

• Ortalama sapma

OS = 1,167 adet/gün

5,3690

3286

fi

fiXiX

90

105.

fi

XXifi

SO

Örnek:Bir ağrı kesicinin insanlar üzerinden ne kadar süre ile etkili olduğunu belirlemek için yapılan araştırmada, ağrı kesicinin etkinlik süresinin aşağıdaki gibi dağıldığı gözlenmiştir.

Bu verilere göre etkinlik sürenin ortalama sapmasını bulunuz.

• Ortalama sapma serinin sapmasını iyi bir şekilde ölçmektedir. Ancak mutlak işlemler gerektirmesi bu sapma ölçüsünün aritmetik işlemlere elverişsiz olmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple istatistik analizde kullanılması mümkün olamamaktadır.


• Ortalama sapma

• OS = 2,68 saat

Xmi

Xmfi i

Etkin.Sür(saat)

Hast.Say mi fi.mi

2 - 5 10 3,5 35 -5,8 58

5 - 8 30 6,5 195 -2,8 84

8 - 12 50 10 500 0,7 35

12 - 20 16 16 256 6,7 107,2

Toplam 106 986 284,2

saatX 3,9106

986

106

2,284.

fi

Xmifi

SO

1.4-Standart Sapma

• Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları (sapmalar serisi) toplamı sıfır idi. Bu durumu daha önce mutlak değer almak suretiyle önlemiş olduk. Ancak bu yol aritmetik işlemler için elverişli olmamaktadır. Mutlak işlemler yerine kare alma yolu ile sapmalar serisi toplamı sıfır olmaktan kurtarılabilir. Böylece yeni bir sapma ölçüsü elde edilmektedir.

• Standart sapma, sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) kareli ortalamasıdır. Yani gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareli ortalamasına standart sapma denir. Standart sapmanın karesine varyans adı verilir. Kütle ve örnek standart sapması için aşağıdaki formüller kullanılır.

Standart sapma formülleri

• Aşağıda farklı seri ve veri türü için standart sapmanın formülleri verilmiştir.

• Yukarıdaki formüllerde örnek verileri için standart sapma formüllerinde paydada (n-1) serbestlik derecesi kullanılmıştır. Örnek hacmi büyük olduğunda bu düzeltmeye ihtiyaç kalmaz.

N

XXi

2)(

1

)( 2

n

XXiS

fi

XXifi 2)(

1)(

)( 2

fi

XXifiS

fi

Xmifi 2)(

1)(

)( 2

fi

XmifiS

Basit seri Kütle Örnek

Tasnif edilmiş

seriKütle Örnek

Gruplanmış seri Kütle Örnek

• Örnek: Bir beyaz eşya servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin dağılımı ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz.

Servis isteği

3 -4 164 -3 95 -2 47 0 0

10 3 913 6 36

∑Xi=42 ∑74

• Aritmetik ortalama:

• Standart sapma• s = 3,85

76

42 X

n

XX

8,1416

74

1

)( 2

N

XXiS

XX i 2)( XX i

• Örnek:Doğru, yanlış şeklinde cevap şıkları olan 10 soruya öğrencilerin verdikleri doğru cevap sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu serinin standart sapmasını ve varyansını bulunuz.

XXi 2)(

XXifi

Doğru Cevap. Sayısı

Öğr. Sayısı (fi)

fi.Xi

2 2 4 -4,69 43,99

3 4 12 -3,69 54,46

4 5 20 -2,69 36,18

5 10 50 -1,69 28,56

6 20 120 -0,69 9,52

7 30 210 0,31 2,88

8 20 160 1,31 34,32

9 10 90 2,31 53,36

10 3 30 3,31 32,87

Toplam 104 696 296,15

• Çözüm: Yukarıdaki verileri kütle verisi olarak kabul ederek çözelim. Çözüm için önce aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekir.

• Aritmetik ortalamadan farklar serisi oluşturularak standart sapma elde edilir.

• Yukarıdaki verileri örnek kabul edersek standart sapma şöyle olur.

• Örnek hacmi büyük olduğundan kütle ve örnek varyansları arasında önemli bir fark çıkmamıştır.

69,6104

696

X

847,2:varyans687,1104

15,296)( 22

fi

XXifi

875,2varyans6956,1103

15,296

1)(

)( 22

sSfi

XXifiS

• Örnek: Bir liseden mezun olan ve ÖSS sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Buna göre öğrenci puanlarının standart sapmasını bulunuz.

Xmi2)(

XmifiÖSS Puanları Öğr.Sayısı mi fi.mi

90-110 10 100 1000 -37,9 14364,1

110-130 30 120 3600 -17,9 9612,3

130-150 50 140 7000 2,1 220,5

150-170 25 160 4000 22,1 12210,25

170-210 5 190 950 52,1 13572,05

Toplam 120 16550 49979,2

puanX 9,137120

16550:Ortalama

puanfi

Xmifi4,20

120

2,49979)(sapmaStandart

2

Standart sapmanın kısa yoldan hesaplanması

• ifadesi açılarak yazılırsa;

• şeklinde yazılabilir.

• Bu ifade ayırarak yazılırsa• olduğuna göre;

• olur. Buna göre;

• Standart sapma kısa yoldan şeklinde yazılır.• Şu halde varyans kareli ortalamanın karesinden aritmetik ortalamanın

karesinin farkına eşit olup, bunun kare kökü standart sapmaya eşit olur.

N

XXi

22 )(

N

XXiXXi

).2(2

22

.olur..222

2

N

XN

N

XiX

N

Xi

XN

XiK

N

Xi ,2

2

222222 2.2 XXKXXXK

22 XK

Örnek: Yukarıdaki ÖSS örneği için standart sapmayı kısa yoldan hesaplayınız.


• Kareli ortalama

• Standart sapma

ÖSS Puanları

Öğr.Sayısı mi fi.mi fi.mi2

90-110 10 100 1000 100000

110-130 30 120 3600 432000

130-150 50 140 7000 980000

150-170 30 160 4800 768000

170-190 20 180 3600 648000

190-210 10 200 2000 400000

Toplam 150 22000 3328000

puanX 67,146150

22000

67,22186150

33280002 K

22 XK

267,14667,22186

puan97,2558,674

Standart sapmanın kısa yoldan hesabı• Kütle verisi için standart sapma (kısa yol formülünün farklı

yazılışı)• Basit seride



• Örnek verisi için standart sapma hesaplamak için payda N-1 serbestlik derecesi ile bölünür.

N

XNX i

22

i

ii

f

XNXf 22

i

ii

f

XNmf 22

1

22

N

XNXS i

Örnek: Bir çekme halatının kopma kuvveti için yapılan deneyde aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Kopma kuvvetinin standart sapmasını yukarıdaki formülden hesaplayınız.

Kopmakuvveti

Halat sayısı

mi fimi mi2 fimi

2

5 – 7 3 6 18 36 108

7 – 9 7 8 56 64 448

9 – 11 10 10 100 100 1000

11 - 13 5 12 60 144 720

Toplam 25 234 2276 36,925

234

X

X

f

mfX

i

ii

85,125

76,85

25

36,9252276 222

N

XNmf ii

Standart Sapmanın Özellikleri:

• Matematik işlemler için uygun bir dağılma ölçüsüdür. Bu sebeple en yaygın kullanılan ölçüdür.

• Standart sapmada aritmetik ortalama gibi istatistik analiz için temel ölçülerden birisidir.

• Genel olarak standart sapma ortalama sapmadan daha büyüktür. (OS < )

• N1 ve N2 gözlemden oluşan iki serinin ortalamaları aynı ve sırayla varyansları 1

2 ve 22 olsun. Bu iki serinin birleştirilmiş ortak

varyansı .

• şeklinde olur. 21

222

2112 ..

NN

NN

II. 2. Nispi sapma ölçüleri

• Mutlak dağılma ölçüleri gözlem değerlerinin ifade edildiği birimler cinsinden sonuç vermekte idi. Mutlak dağılma ölçülerinin bu özelliği farklı birimlerle ifade edilen serilerin değişkenliklerini karşılaştırma imkanı vermemektedir. Diğer taraftan aynı birimle ifade edilen serilerde bile gözlem değerleri arttıkça mutlak dağılma ölçüleri de buna paralel olarak artmaktadır. Bu durumda aynı cins serilerin dağılımlarını da mutlak sapma ölçüleri ile karşılaştırmak çoğu zaman mümkün olamamaktadır.

• Nispi dağılma ölçüleri serideki gözlem değerlerinin ölçüldüğü birim farklılıklarını ortadan kaldırmakta ve değişkenliği yüzde(%) cinsinden ifade etmektedir. Böylece nisbi dağılma ölçüleri farklı birimlerle ifade edilen ve farklı büyüklüklerdeki serileri aynı cins ve büyüklükte ifade etme imkanı tanımaktadır. Nispi sapma ölçüleri bu özellikleri dolayısıyla farklı birimlerle ölçülmüş, farklı büyüklük ve özelliklerdeki verilerin sapmalarının karşılaştırılmasına imkan sağlamaktadır

2.1. Değişim Katsayısı

• Standart sapmanın ortalamanın bir yüzdesi olarak ifade edilmesine değişim katsayısı adı verilir. Bu tanıma göre standart sapmanın büyüklüğü aritmetik ortalamaya göre ifade edilmektedir.

• Bu ölçü farklı cins ve büyüklüklerdeki serileri aynı cins ve büyüklükte (yüzde cinsinden) ifade etme imkanı sağlamaktadır. Ancak bu ölçünün bir dezavantajı bir üst sınırının olmamasıdır. Yani değişim katsayısı %100 ü geçen değerler de alabilmesi bu ölçünün zayıf tarafıdır. Eğer bu ölçünün üst sınırı %100 olsaydı verinin değişkenliğini daha iyi yorumlamak mümkün olurdu. Özellikle ortalaması sıfıra yakın seriler için kullanımı pek uygun değildir.

100..X

KD

Örnek:

• Konutlarda tüketilen aylık elektrik ve su miktarları için aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Değişim katsayılarını bularak hangi grupta değişikliğin daha fazla olduğunu araştırın.

• Elektrik Tüketimi İçin:

• Değişim katsayısı:

Elekt. Tük.(kw/h) Konut Say.(fi) mi fi.mi fi.mi2

50-100 10 75 750 56250

100-150 20 125 2500 312500

150-200 30 175 5250 918750

200-300 15 250 3750 937500

300-500 5 400 200 800000

125,17880

14250

X 5,3781280

30250002 K

7898,6083125,1785,37812 22

2

XK

100125,178

78.100. KD

XKD

8,44%DK

• Su Tüketimi İçin değişim katsayısı;

• Bu verilere göre elektrik tüketiminin değişkenliği (DK=44,8) su tüketiminin değişkenliğine göre (DK=39.7) daha fazladır.

Su Tük.(ton/h) Konut Say. mi fi.mi fi.mi2

5-15 10 10 100 1000

15-25 30 20 600 12000

25-35 40 30 1200 36000

35-45 20 40 800 32000

45-65 10 55 550 30250

55,29110

3250

X 4,1011110

1112502 K

75,1116,13855,294,1011 22

2

XK

100.55,29

75,11.100.. KD

XKD

76,39%DK

Sapma ölçüleri için SPSS uygulaması

• Sapma ölçülerini SPSS ortamında hesaplayabilmek için Analyze menüsünden, Reports ve Case summaries seçeneği tıklanarak hesaplanabilir.

• Gelen ekranda Variable(s) kısmına sapması hesaplanacak değişken ya da değişkenler girilir. Statistics tıklanır ve bu kısımdan Standard Deviation, Variance ve Range işaretlenir Continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir.


Case Summaries

Aracın ağırlığıStd.

Deviation Variance Range

844,353 712932,235 3527

Çıktılar aşağıdaki gibi görüntülenir.

Standart sapma

Varyans Değişim aralığı

• Sapma ölçülerini SPSS te farklı şekilde de hesaplamak mümkündür. Analyze menüsünden Descriptive ve frequencies tıklanır. Gelen ekranda variable(s) kısmına sapması araştırılan değişken(ler) taşınır. Statistics tıklanarak gelen ekranda dispersion kısmından istenen sapma ölçüleri işaretlenerek continue ve OK tıklanarak sonuçlar elde edilir.



StatisticsMotor hacmi

boyutuBeygir gücü

N Valid 393 392Missing 0 1

Std. Deviation 104,536 38,230Variance 10927,784 1461,557Range 387 184

Çıktılar aşağıdaki gibi görüntülenir.

• Bir değişkenin kategorilerine göre sapma ölçülerini hesaplamak için Analyze menüsünden Reports ve Case summaries tıklandıktan sonra Variables kısmına değişken ya da değişkenler girilir, grouping varisble(s) kısmına kategori değişkeni girilerek statistics tıklanır. Gelen ekranda standart deviation, variance ve range girilip continue ve OK tıklanarak sonuçlar elde edilir.


• Aşağıdaki çıktı ekranında ülke orjinine göre otomobillerin gittiği yolun, motor gücünün ve motor hacminin sapma ölçüleri elde edilir.


Case Summaries

Ülke orjiniGalon başına

Mil Beygir gücüMotor hacmi

boyutu

American Std. Deviation 6,415 39,696 98,512Variance 41,146 1575,787 9704,547

Range 29 178 370European Std. Deviation 6,584 20,321 22,434

Variance 43,351 412,926 503,272

Range 28 87 115Japanese Std. Deviation 6,090 17,819 23,140

Variance 37,089 317,524 535,465

Range 29 80 98

Total Std. Deviation 7,791 38,230 104,536

Variance 60,693 1461,557 10927,784

Range 37 184 387

Documents

Merkezi Eğilim Ölçüleri (Ortalamalar)