Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri

BÖLÜM 3:

MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

Hazırlayan

GülĢah BaĢol

TOKAT - 2013

T.C.

GAZĠOSMANPAġA ÜNĠVERSĠTESĠ

EĞĠTĠM FAKÜLTESĠ

Konu BaĢlıkları

• BÖLÜM 3: KONUM ÖLÇÜLERĠ

• 3.1. Nicel Verilerde Konum Ölçüleri

• 3.1.1. Aritmetik Ortalama

• 3.1.2. Geometrik Ortalama

• 3.1.3. Harmonik Ortalama

• 3.1.4. Ağırlıklı Ortalama

• 3.1.5. Tepe Değeri (Mod)

• 3.1.6. Ortanca (Medyan)

• 3.1.7. Yüzdelikler

• 3.1.8. Çeyreklikler

BÖLÜM 3: MERKEZI EĞILIM VE DAĞıLıM ÖLÇÜLERI

• 3.2. Nicel Verilerde DeğiĢim Ölçüleri

• 3.2.1. DeğiĢim Aralığı (Range)

• 3.2.2. Varyans

• 3.2.3. Standart Sapma

• 3.2.4. Standart Hata

• 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma

• 3.2.6. Mutlak Sapma

• 3.2.7. DeğiĢim Katsayısı


Kazanımlar

• KONUM ÖLÇÜLERĠ

• Aritmetik Ortalamayı hesaplar.

• Geometrik Ortalamayı hesaplar.

• Harmonik Ortalamayı hesaplar.

• Ağırlıklı Ortalamayı hesaplar.

• Tepe Değeri (Mod) hesaplar.

• Ortancayı (Medyanı) hesaplar.

• Yüzdelikleri hesaplar.

• Çeyreklikleri hesaplar.


…..

DEĞĠġĠM ÖLÇÜLERĠ

• Dizi geniĢliği (Range) hesaplar.

• Varyansı hesaplar.

• Standart Sapmayı hesaplar.

• Standart Hatayı hesaplar.

• Çeyrekler Arası Sapmayı hesaplar.

• Mutlak Sapmayı hesaplar.

• DeğiĢim Katsayısını hesaplar.


3.1.1. Aritmetik Ortalama

• Genellikle ortalama Ģeklinde ifade edilmesine alıĢık

olduğumuz aritmetik ortalama, dağılımda uç değer

olmadığı sürece merkezî eğilim ölçüleri arasında en

güvenilir olanıdır. Aritmetik ortalamayı elde etmek için

gruptaki puanlar toplanır ve kiĢi sayısına bölünür.

Aritmetik ortalama puanların eğilimi hakkında karar

vermede en sık kullanılan merkezî eğilim ölçüsüdür.




Puanların aritmetik ortalaması=

∑X (Tüm puanların toplamı)/n(KiĢi sayısı)



Puanların aritmetik ortalaması=

∑fX0 (Tüm puanların toplamı frekansları ile

çarpımlarının toplamı)/n(KiĢi sayısı)

3.1.2. Geometrik Ortalama

• n sayının çarpımının n. kuvvetten kökü bu sayıların

geometrik ortalamasıdır. Diğer bir deyiĢle her bir değerin

birbirleriyle çarpımlarının, n'inci dereceden köküne

geometrik ortalama denir. Gözlem sonuçları arasındaki

göreceli farklar mutlak farklardan önemli ise geometrik

ortalama hesaplanmalıdır. Gözlem sonuçlarının her biri bir

önceki gözlem sonucuna bağlı olarak değiĢtiğinde bu

değiĢimin hızını saptamada geometrik ortalamadan

yararlanılır (veride sıfır olmayacak tamamı pozitif olacak).

•


3.1.3. Harmonik Ortalama

• Harmonik ortalama, gözlem sonuçlarının terslerinin

aritmetik ortalamasının tersidir.

• Genellikle ekonomide kullanılır. Bir birimin üretimi için

gereken harcamayı gösterir.


3.1.4. Ağırlıklı Ortalama


Bazı durumlarda daha önceden alınan birkaç ölçümün ortalamasını

almaya ihtiyaç duyarız. Ancak elde etmek için harcanan çabayla

orantılı olarak bazı puan değerlerine, diğerlerinden daha çok ağırlık

vermek istenebilir. Bu gibi durumlarda puanlara kendi içinde

ağırlıklar verilerek ortalamalarının alınması yoluna gidilir. Bir bütün

% 100 olarak ifade edildiğine göre, tek tek ortalaması alınacak

değerler önem derecesine göre 100’e bölüĢtürülür. Örneğin;

kapsamı daha fazla olan II. arasınavın ağırlığı % 40 iken, I.

arasınava % 20 ve final sınavına % 40 ağırlık verilebilir.

3.1.5. Tepe Değeri (Mod)

• Bir dizi puan arasında en sık tekrarlanan değere denir.

Dağılımda uç değer olduğunda merkezî eğilimi aritmetik

ortalamadan daha güvenilir Ģekilde kestiren bir değerdir.

Bir dağılımda tepe değer birden çok olabilir. Dağılımda iki

tepe değer varsa dağılım iki modlu, üç tepe değer varsa

üç modlu olarak adlandırılır.


3.1.6. Ortanca (Medyan)

• Ortanca değer, puanlar büyükten küçüğe ya da küçükten

büyüğe sıralandığında orta noktadaki değerdir. Puan

adedi tek sayıysa tıpkı ortanca parmak ya da ortanca

çocuk durumlarında olduğu gibi ortanca tam ortada yer

alan değerdir. Ortancası aranan grup mevcudu tek sayıyla

ifade edildiğinde bir eklenerek ikiye bölünür, elde edilen

sıra değerine karĢılık gelen kiĢinin puanı ortanca olarak

alınır. Örneğin; 35 kiĢilik bir grupta ortanca değer

(35+1)/2=18’dir. Yani ortanca 18. inci kiĢinin puanıdır.


3.1.7. Yüzdelikler

• Yüzdelik puanlar standart değerlerden biridir. Yüzdelik

puan bireyin norm grubundaki bireylerin yüzde ne

kadarının üzerinde puan aldığını yani bulundukları

yüzdelik dilimi verir. Yüzdelik değerlere çevirerek aynı

testi alan grubun ölçümleri kıyaslanabilir. Bir testin

normlarını bulmak uzun süreli ve yorucu bir süreçtir.

Ancak normlar elde edildiğinde yaĢlarına göre, cinsiyete

göre veya ilgili olabilecek her türlü özelliğe göre gruplar

arasında kıyaslama yapmak mümkün olur.

• Doktor kontrollerinde kullanılan norm tabloları bu Ģekilde

hazırlanır. Çocukların yaĢ düzeyine göre zeka

geliĢimleri, hormon seviyeleri, kan sayımı değerleri vb

gibi.


Yüzdelik Hesabı

L: hangi yüzdelik bulunmak isteniyorsa ilgili puanın isabet ettiği aralığa ait alt

limittir.

y: hesaplanmak istenen yüzdelik,

n: gruptaki kiĢi sayısı, a: aralık geniĢliği,

fa: En düĢük puandan baĢlayarak ilgili yüzdeliğin yer aldığı alt puana kadar olan

puanların frekansı,

fb: yüzdeliğin bulunduğu aralıktaki frekans değeri.


3.1.8. Çeyrekler


Sola Çarpık Dağılımda Merkezi Eğilim

Ölçüleri


Sağa Çarpık Dağılımda Merkezi Eğilim

Ölçüleri


3.2. Nicel Verilerde DeğiĢim Ölçüleri

• 3.2.1. Dizi GeniĢliği(Range)

• 3.2.2. Varyans

• 3.2.3. Standart Sapma

• 3.2.4. Standart Hata

• 3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma

• 3.2.6. Mutlak Sapma

• 3.2.7. DeğiĢim Katsayısı


3.2.1. Dizi GeniĢliği (Range)

• Dizi geniĢliği dağılımdaki puanların geniĢliği hakkında

kabaca fikir veren bir ölçüdür. Bu değer en yüksek ve en

düĢük puan dikkate alınarak hesaplandığından, dağılımda

uç değerler varken, puanların dağılımını ortaya koymakta

yetersiz kalacaktır.

• GruplandırılmıĢ verilerde dizi geniĢliğini hesaplamak

içinse en yüksek ve en düĢük puan aralıklarının orta

noktaları arasındaki fark alınır.


3.2.2. Varyans

• Varyans puanların dağılımı hakkında bilgi verir. Puanların

aritmetik ortalamadan farkları kareleri toplamının kiĢi

sayısının bir eksiğine bölünmesi ile elde edilen varyans

standart sapmanın karesidir.


3.2.3. Standart Sapma

• Standart sapma, puanların aritmetik ortalamadan ne

derece farklılaĢtığının ölçüsüdür. Puanların aritmetik

ortalamadan sapmaları alındığında bunların mutlak

değerlerinin toplamı birbirine eĢit olacaktır. ĠĢaretleri

dikkate alınarak toplandığında ise toplamları 0 olur.

Puanların aritmetik ortalamadan farklar karesi toplamı kiĢi

sayısının bir eksiğine bölündüğünde, ortalama farklar

karesi yani varyans elde edilir. Bu değerin karekökü ise

standart sapmayı verir.

• Puanların % 68’i aritmetik ortalama artı eksi bir standart

sapma arasında olacaktır. Buna göre öğrencilerin

puanlarının üçte ikisi A.O+ 1SS aralığındadır.


Standart Sapma


3.2.4. Standart Hata

• Standart hata bir örneklemi kullanarak örneklemler üzeri

kestirimde bulunurken yapılabilecek olası hatanın

oranıdır.

• Zaman, para ve olanakların sınırlılığından dolayı evren

yerine örneklem üzerinde çalıĢılır. Ancak örneklemden

alınacak verilerin güvenirliği örneklemin evreni temsililiği

ile sınırlıdır.

• Standart hata ne kadar küçükse örneklem istatistiği evren

parametresine o derece yakın olacaktır. Böylece yapılan

kestirime de güvenilebilir.


Standart Hata

Aritmetik ortalamadan olan sapma kareleri

ortalamasının karekökü kiĢi sayısının

kareköküne bölünerek aritmetik

ortalamanın standart hatası elde edilir.

Puanların standart hatası ölçümlerin

güvenirlik katsayısının birden farkının

kareköküyle çarpılarak ilgili ölçüm için

standart hata hesaplanır.


3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma

• Dağılımda uç değerler varken merkezî eğilim ölçüsünü

ortaya koymak için aritmetik ortalama yerine ortanca,

puanlar arasındaki ortalama farklılaĢmayı ortaya koymak

içinse standart sapma yerine ise çeyrek sapma daha

güvenilirdir. Çarpıklık söz konusuyken çeyrek sapma

dağılımdaki sapma miktarını daha doğru yansıtacaktır

(Tekin, 1996). Çeyrek sapma üçüncü çeyrek ve birinci

çeyrek arasındaki geniĢliğin yarısıdır.


3.2.5. Çeyrekler Arası Sapma

Dağılım çeyrekler olarak ele alınırsa,

bir dağılımda 4 çeyrek vardır. Birinci

çeyrek 25. yüzdelik, ikinci çeyrek 50.

yüzdelik, üçüncü çeyrek 75. yüzdelik

ve 4. çeyrek 100. yüzdelik

hesaplanarak bulunabilir. Formül

incelenirse Çeyrek sapma 25. ve 75.

yüzdelikten 50. yüzdeliğe olan

ortalama mesafedir. Bu değer ne

kadar büyükse ortalama ile sağındaki

ve solundaki çeyrekler arasında

puanlar o kadar açılmıĢtır. Formülden

çeyrek sapmanın 25. yüzdeliğin altını

ve 75. yüzdeliğin üzerini hesaba

katmadığı görülür.


Çeyrek Sapma mı Standart Sapma mı?

• Çeyrek sapma mı standart sapma mı denilecek olursa,

dağılımda uç değerler olmadığı sürece ve diğer tüm

koĢullar sabit tutularak bir dağılımın değiĢkenlik ölçüsü

hesaplanmak isteniyorsa standart sapmanın daha

güvenilir bir tercih olacağı söylenebilir.


Dizi geniĢliği mi çeyrek sapma mı?

• Dizi geniĢliği mi çeyrek sapma mı denildiğinde ise dizi

geniĢliği sadece iki uç değeri dikkate alarak dağılımın

sapması hakkında fikir verdiğinden, çeyrek sapma önerilir.


3.2.6. Mutlak Sapma

• Bilindiği gibi ortalamadan sapmalar toplanırsa 0 değeri

elde edilir. Bu nedenle sapmaların iĢareti dikkate

alınmaksızın toplanarak gözlem sayısına bölünüp mutlak

sapma değeri elde edilir. Böylece gözlem noktalarının

ortalamadan toplam ne kadar uzaklaĢtıklarını görmek

mümkün olacaktır.

)0( XX i


3.2.7. DeğiĢim Katsayısı

• Aynı aritmetik ortalamalara sahip iki örneklem farklı

değiĢim katsayılarına sahip olabilir.


DeğiĢim Katsayısı

100x

sDK

Farklı birimlere sahip verilerin dağılımını karĢılaĢtırmak için değiĢim

katsayısından yararlanılır.


Sorular

• 1. Bir grup veri için merkezi eğilim ölçülerini hesaplayınız.

• 2. Bir grup veri için merkezi dağılım ölçülerini

hesaplayınız.

• 3. Hesapladığınız merkezi dağılım ölçülerini bir histogram

üzerinde göstererek yorumlayınız.

• 4. Verilerinizin merkezi eğilimini ortaya koymada hangi

merkezi eğilim ölçüsü daha uygundur?

• 5. Verilerinizin merkezi dağılımı hakkında ne

söyleyebilirsiniz?


Education

Merkezi Eğilim ve Dağılım Ölçüleri