Embed Size (px)
DESCRIPTION
Asimetri ve Basıklık Ölçüleri. Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri. III. Asimetri ve Basıklık ölçüleri. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Asimetri ve Basıklık Ölçüleri
•Ortalamalara dayanan (Pearson)•Kartillere dayanan (Bowley)
•Momentlere dayananasimetri ve basıklık ölçüleri
• Asimetri ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem değerlerinin dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir. Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri dikkate alınır. Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal bir basıklığa sahiptir. Asimetri ölçüsü serinin frekans dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal dağılıma göre ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde dağıldığını gösteren ölçülerdir.
• Asimetri ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin çarpıklığının yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün büyüklüğü verilerin ortalama civarında aşırı yoğunlaştığına, küçüklüğü ise verilerin ortalamaya etrafında fazla dağınık olduğuna işaret etmektedir.
III. Asimetri ve Basıklık ölçüleri
III. 1- Ortalamalara Dayanan (Pearson) Asimetri Ölçüleri
)medyan(3mod)( XX
mod
)1
XAs
)(3
)2medyanX
As
• Asimetrisi hafif serilerde ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir ilişki söz konusudur.
• Bu ilişkinin her iki tarafı standart sapmaya oranlandığında iki asimetri ölçüsü elde edilir.
• As = 0 ise seri simetrik• As > 0 ise seri sağa çarpık• As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilir.
• Yukarıdaki asimetri ölçülerinden daha çok birincisi kullanılır. Modun hesaplanamadığı durumlarda ikinci formül kullanılarak asimetri belirlenir. Bu asimetri ölçüsü ±1 e yaklaştıkça çarpıklık kuvvetli hale gelirken, 0,5 e yaklaştıkça orta şiddette 0’a yaklaştıkça hafif şiddette çarpıklık söz konusu olur.
• Sağa çarpık durumda gözlem değerlerinin büyük bir kısmı modun sağında, sola çarpık durumda ise solunda yer alacaktır. Diğer bir deyişle sağa çarpık serilerde aritmetik ortalama sağa doğru (büyük değerler yönüne) kayarken, sola çarpık serilerde aritmetik ortalama sola (küçük değerler yönüne) kayma göstermektedir.
• Örnek : X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pearson asimetri ölçülerini bulup sonucu yorumlayınız.
Ömür (saat) Pil sayısı mi fimi fimi2
100-120 10 110 1100 121000
120-140 50 130 6500 845000
140-160 60 150 9000 1350000
160-180 20 170 3400 578000
180-200 10 190 1900 361000
Toplam 150 21900 3255000
• Pearson asimetri ölçülerini elde edilebilmesi için serinin aritmetik ortalaması, standart sapması, mod ve medyanının bilinmesi gerekir.
• Aritmetik ortalama Kareli ortalama
• Standart sapma
• Mod
• Medyan
saatf
mfX
i
ii 146150
21900
21700150
32550002
2
i
ii
f
mfK
saatXK 6,1938414621700 22
2
saatsMod 144mod20.4010
10140
21
11
saatmedyanSN
NN
lMedyan mm
m
ii
1452060
6075140.
2
1
11
çarpiksağaseri01,06,19
144146modX)1
AsAs
çarpiksağaseri015,06,19
)145146(3)MedyanX(3)2
AsAsAs
Serinin şeklinin Histogram ve frekans poligunu ile gösterimi
III.2) Kartillere Dayanan (Bowley) Asimetri Ölçüsü
• Simetrik serilerde Q3-Q2 = Q2-Q1 olduğu bilinmektedir. Eğer Q3-Q2 > Q2-Q1 ise serinin sağ tarafında bir yoğunlaşma olduğu, aksi halde sol tarafta bir yoğunlaşma olduğu söylenebilir. Bu durumu daha iyi ortaya koymak için Bowley tarafından geliştirilen aşağıdaki asimetri ölçüsü kullanılabilir.
• As = 0 ise seri simetrik• As > 0 ise seri sağa çarpık• As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilebilir.• Bu ölçü sıfıra yaklaştıkça asimetri hafifler ±1 e yaklaştıkça
asimetri kuvvetli hale gelir.
)(
)()(
13
1223
QQQQAs
Örnek: Yukarıdaki pillerin ömür deneyi örneği için Bowley asimetri ölçüsünü bularak sonucu yorumlayınız.
• Q1için
• Q2 için
Ömür fi fi
100–120 10 10
120–140 50 60
140–160 60 120
160–180 20 140
180–200 10 150
5,374
1.150.
r
hN
13120.50
105,371201
Q
754
2.150.
r
hN
14520.60
60751402
Q
5,1124
3.150.içinQ3
r
hN 5,15720.60
605,1121403
Q
çarpiktir.hafifsolaoldugundan005,0
)1315,157(
)131145()1455,157(
)(
)()(
13
1223
As
AsQQ
QQQQAs
III.3. Momentlere Dayanan Asimetri ve Basıklık Ölçüleri
• Moment Tanımı ve Çeşitleri : Moment bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan farklarının kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır. Bu ölçüler serinin frekans dağılımının şeklinin belirlenmesinde kullanılan ölçülerdir.
• Bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamasına sıfıra göre moment adı verilir. Sıfıra göre moment “Mr“ şeklinde yazılır. Burada “r” momentin derecesi olup, fark alma işleminin derecesini gösterir. Buna göre sıfıra göre momentler şöyle formüle edilir.
N
XM
N
XM
ri
r
r
r
)0(serideBasit
i
rii
ri
rii
r f
XfM
f
XfM
)0(serideedilmis Tasnif
• Burada r = 1,2,3,4 değerlerini alır. Asimetri ve basıklık için daha üst derecelerde momentler gerekli değildir.
• Sıfıra göre 1.moment aritmetik ortalamaya
• 2.moment ise kareli ortalamanın karesine eşittir. Sıfıra göre momentleri kullanarak asimetri ve basıklık ölçüsünü elde etmek mümkün değildir. Asimetri ve basıklık ölçüleri aritmetik ortalamaya göre momentler yardımı ile elde edilebilir. Ancak sıfıra göre momentler kullanılarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilebilir.
i
rii
ri
rii
r f
mfM
f
mfM
)0(serideGruplanmis
X
N
XiM 1
2
2
2 KN
XiM
Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler
• Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamalardan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamalarına aritmetik ortalamaya göre momentler adı verilir. Aritmetik ortalamaya göre momentler “r” şeklinde gösterilir. Burada “r” momentin derecesi olup 1,2,3,4 değerlerini alır. Aritmetik ortalamaya göre momentler şöyle yazılır.
N
XX ri
r
)(serideBasit
i
rii
r f
XXf )(serideedilmisTasnif
i
rii
r f
Xmf )(serideGruplanmis
• r =1 için 1 = 0 olur
• r =2 için 2 = 2 yani varyans olur.
• 3.1. Momentlere Dayanan Asimetri Ölçüsü (3)
• Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3), asimetrik ortalamaya göre 3. momentin standart sapmanın küpüne oranlanması ile elde edilir.
• olup
3 = 0 ise seri simetrik
3 > 0 ise seri sağa çarpık
3 < 0 ise seri sola çarpık olmaktadır.
3 için bir üst sınır olmamakla birlikte olursa asimetrinin kuvvetli olduğu kabul edilir.
00)(
1
NN
XX i
2
2
2
)(
N
XX i
3
33
5,03
• 3.2. Momentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü (4)• Momentlere dayanan basıklık ölçüsü, asimetrik ortalamaya
göre 4. momentin standart sapmanın 4. kuvvetine oranlanması ile elde edilir.
• olup,
4 = 3 ise serinin basıklığı normal
4 > 3 ise seri normal dağılıma göre daha sivridir.
4 < 3 ise seri normal dağılıma göre daha basıktır.
• Eğer bir seri 3 = 0 ve 4 = 3 şeklinde bir dağılım gösteriyorsa
bu serinin dağılımının normal olduğu söylenir.
44
4
• Örnek: Yukarıdaki pil örneği için;
• a-) Sıfıra göre momentleri bulunuz.
• b-) Aritmetik ortalamaya göre momenti hesaplayınız.
• c-) 3 asimetri ölçüsünü bularak yorumlayınız.
• d-) 4 basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız.
Ömür (x10) fi mi fimi fimi2 fimi
3 fimi4
10–12 10 11 110 1210 13310 146410
12–14 50 13 650 8450 109850 1428050
14–16 60 15 900 13500 202500 3037500
16–18 20 17 340 5780 98260 1670420
18–20 10 19 190 3610 68590 1303210
Toplam 150 2190 32550 492510 7585590
• a) Sıfıra göre momentler
6,14150
2190M1
i
ii
f
mf217
150
32550M
2
2
i
ii
f
mf
4,3283150
492510M
3
3
i
ii
f
mf 6,50570150
7585590M
4
4
i
ii
f
mf
b) Aritmetik ortalamaya göre momentler
)(
Xmf ii2)(
Xmf ii3)(
Xmf ii4)(
Xmf ii
-3,6 -36 129,6 -466,56 1679,616
-1,6 -80 128 -204,8 327,68
0,4 24 9,6 3,84 1,536
2,4 48 115,2 276,48 663,552
4,4 44 193,6 851,84 3748,096
Toplam 0 576 460,8 6420,48
Xmi
• b) Aritmetik ortalamaya göre momentler:
0150
0)(1
i
ii
f
Xmf 84,3
150
576)( 2
2
i
ii
f
Xmf
072,3150
8,460)( 3
3
i
ii
f
Xmf 8,42
150
48,6420)( 4
4
i
ii
f
Xmf
c) 3 asimetri ölçüsü:
96,184,322
233
3
04,0)96,1(
072,333
olduğundan seri sağa çarpıktır.
• d) Basıklık Ölçüsü
• Şu halde seri normal dağılan bir seriye göre sağa çarpık ve hafif basık bir dağılış göstermektedir. Kabaca grafiği şöyle çizilebilir.
39,296,1
8,4244
44
olduğundan seri hafif basıktır.
Sıfıra Göre Momentlerden Hareketle Aritmetik
Ortalamaya Göre Momentlerin Bulunuşu • Sıfıra göre momentlerden yararlanarak aritmetik ortalamaya göre
momentler elde edilerek serinin asimetri ve basıklığı hesaplanabilir. Burada basit seri için aritmetik ortalamaya göre momentlerin sıfıra göre momentlerden bulunuşu gösterilecektir. Diğer seriler için de aynı formüller geçerlidir.
• Aritmetik ortalamaya göre 1. moment:
• Aritmetik ortalamaya göre 2. moment
acilirsaN
XX i
)(1 .0 olurXX
N
XN
N
X i
21
212
222
2
2
2)(
MMM
N
XN
N
XX
N
X
N
XX iii
2
122 MM
• Aritmetik ortalamaya göre 3. moment
• Aritmetik ortalamaya göre 4. moment
311
211233
32233
3
MM3MM3MM
33)(
N
XN
N
XX
N
XX
N
X
N
XX iiii
311233 2MM3MM μ
N
XN
N
XX
N
XX
N
XX
N
X
N
XX iiiii
432
2344
4
464)(
411
31
2121344 6MM4MM6MM4MM
41
2121344 3MM6MM4MM μ
• Örnek: Yukarıdaki pil örneği için sıfıra göre momentleri kullanarak aritmetik ortalamaya göre momentleri bularak asimetri ve basıklığı belirleyiniz.
• Çözüm: Yukarıda bu örnek için sıfıra göre momentler bulunmuştu. Buna göre;
• Bu verilenden hareketle 2, 3 , 4 ‘ü yukarıda verilen formülleri kullanarak bulalım.
• Standart sapma• 3. moment
50570,6M;3283,4M;217M;14,6M 4321
84,384,3)6,14(217 22
22122 yaniMM
96,184,3
072,3)6,14(2)6,14217(34,328323 3311233 MMMM
• Aritmetik ortalamaya göre 4. moment:
3 asimetri ölçüsü:
4 basıklık ölçüsü:
42
41
2121344
)6,14(3)6,14217(6)6,144,3283(46,50570
364
MMMMMM
56,13631132,27753456,1917506,505704
8,424
çarpiksağa04,096,1
072,333
33
basikhafif39,296,1
8,4244
44
• Aşağıda D100 karayolunun Adapazarı İzmit kesiminde meydana gelen kazaların günlere göre dağılımı verilmiştir. Bu veriler göre serinin;
• a) Sıfıra ve aritmetik ortalamaya göre momentleri bulunuz.• b) Asimetri ölçüsünü bulunuz.• c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız.
Kaza sayısı
Gün sayısı fiXi fiXi2 fiXi3 fiXi4
0 5 0 0 0 0
1 10 10 10 10 10
2 12 24 48 96 192
3 18 54 162 486 1458
4 11 44 176 704 2816
5 4 20 100 500 2500
Toplam 60 152 496 1796 6976
Sıfıra göre 4 moment şöyle olur.
53,260
15211
Mf
XfXM
i
ii
27,860
4962
2
2
M
f
XfM
i
ii
93,2960
17963
3
3
Mf
XfM
i
ii
27,11660
69764
4
4
Mf
XfM
i
ii
a) Sıfıra göre momentler
Aritmetik ortalamaya göre momentlerin hesaplanması
Kaza sayısı Gün sayısı
0 5 -2,53 32,09 -81,29 205,94
1 10 -1,53 23,51 -36,05 55,28
2 12 -0,53 3,41 -1,82 0,97
3 18 0,47 3,92 1,83 0,85
4 11 1,47 23,66 34,70 50,90
5 4 2,47 24,34 60,03 148,08
Toplam 60 110,93 -22,60 462,02
)( XX i 2)( XXf ii 3)( XXf ii 4)( XXf ii
• Aritmetik ortalamaya göre momentlerin farklar serisinden hesaplanması
85,160
93,110)(2
2
2
i
ii
f
Xmf
377,060
6,22)(3
3
3
i
ii
f
Xmf
7,760
02,462)(4
4
4
i
ii
f
Xmf
Sıfıra göre momentlerden aritmetik ortalamaya göre momentlerin bulunuşu
87,153,227,8 222
122 MM
45,053,2253,227,8393,29
2MM3MM
33
311233
μ
07,8
53,2353,227,8653,293,29427,116
3MM6MM4MM
4
42
41
2121344
μ
c) Asimetri ve basıklık ölçüleri
• Asimetri ölçüsü (3)
• Basıklık ölçüsü (4)
çarpiksola015,036,1
377,033
33
basikseri325,236,1
7,744
44
• Örnek: Basit bir seri için aşağıdaki verilere ulaşılmıştır. Bu verilerden hareketle;
• a) Aritmetik ortalamayı (8.5)• b) Kareli ortalamayı (10,238)• c) Gözlem sayısını (N=6)• d) Modu tahmin ediniz ( Mod=10,6)• e) α3 asimetri ölçüsünü (1,07)• f) µ4 aritmetik ortalamaya göre 4. momenti (3230,6)• g) α4 Basıklık ölçüsünü (3,04)• h) Değişim katsayısını bulunuz. (%67,17)
2,9293391191)(
5,16436,3274,1)(1
43
32
MedyanMXX
MKXN
i
i
• Örnek: Basit bir seri ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir.
• M2 = 69,8 DK= 38,38 Xi3 = 3429 3 = 0,059
• M4 = 7282 Xi = 1920 Mod= 8,4
• a) Aritmetik ortalamayı, (7,8)• b) Gözlem sayısını, (5)• c) Geometrik ortalamayı bulunuz. (4,536)• d) Standart sapmayı, (3)• e) Medyanı tahmin ediniz. ( 8 )• f) 4 basıklık ölçüsünü, (3,21)
