Mehanika - Statika prezentacija

UNIVERZITET U ISTOČNOM SARAJEVUSAOBRAĆAJNI FAKULTETDOBOJ Ul. Vojvode Mišića br.52 Doboj

dr Boško Mišić

Doboj 2008


[1] Alfirević, I.: Nauka o čvrstoći I, Tehnička knjiga, Zagreb 1997.[2] Bazjanac, D.: Zbirka zadataka iz tehničke mehanike - Statika,

Sveučilište u Zagrebu, Zagreb 1967.[3] Gavrić,B.:Otpornost materijala,Viša Tehnička Škola, Doboj 2005.[4] Beer F.P. & Johnston, E.R. Jr.: Vector Mechanics for Engineers: STATICS,

McGraw-Hill Book Company, New York 1985[5] S.M.Targ.: Teorijska mehanika, Građevinska knjiga, Beograd,1971[6] Berezova, O.A. i dr.: Teoretičeskaja mehanika, Zbornik zadač, Visšaja

škola, Kiev, 1980.[7] Brnić, J.: Mehanika i elementi konstrukcija, Školska knjiga, Zagreb,

1993.[8] Holzmann, G., Meyer, H., Schumpich, G.; Technische Mechanik,

Kinematik und Kinetik, B.G. Teubner, Stuttgart, 1991[9] Kolesnikov, K.S.: Zbornik zadač po teoretičeskoj mehanike, Nauka,

Moskva, 1983.

LITERATURA


1. UVODNI POJMOVI1. Što je to kruto tijelo? 2. Što je sila? 3. Što je masa tijela i čime se mjeri? 4. Koji se mjerni sistem koristi u Tehničkoj mehanici? 5. Kako glase osnovni zakoni mehanike (Newton)? 6. Kako glase aksiomi Statike?

1. Što je to kruto tijelo?Kruto je tijelo idealizirano čvrsto tijelo. Ono se pod djelovanjem opterećenja ne deformiše - ne mijenja svoj oblik i dimenzije.

2. Što je sila?Sila je usmjerena ili vektorska veličina koja je određenapravcem djelovanja, hvatištem, veličinom i smjerom.Sila se može objasniti kao međusobno djelovanje materijalnih tijela koja nastoji promijeniti stanje kretanja tijela. Sila može tijelo ubrzati i može ga deformisati

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/B_uvodni_pojmovi/B_o_001.htm



































. 3. Što je masa tijela i čime se mjeri?Masa se tijela definiše u fizici kao mjera tromosti ili inercije tijela, a jedinica joj je kilogram (kg). Jedan je kilogram određen etalonom koji se čuva u Sevresu (Sevru) Francuskoj.

4. Koji se mjerni sistem koristi u Tehničkoj mehanici? U Tehničkoj se mehanici primjenjuje MEĐUNARODNI SISTEM JEDINICA (SI).Za Tehničku su mehaniku važne:

Veličina: Mjera:

Naziv Oznaka Jedinica Naziv

dužina l m metarvrijema t s sekundamasa m kg kilogramsila F N njutn


5. Kako glase osnovni Njutnovi zakoni mehanike (Newton)?Svako tijelo ostaje u stanju mirovanja ili stanju jednolikog pravolinijskog kretanja sve dok neka sila koja djeluje na njega ne promijeni to stanje. (Zakon tromosti)Ubrzanje (vektor!) (promjena brzine) proporcionalno je sili koja djeluje na tijelo, a zbiva se u smjeru djelovanja sile. (Zakon proporcionalnosti sile i ubrzanja)Dva tijela djeluju uvijek jedno na drugo silama koje su po veličini jednake, ali suprotnog smjera. (Princip akcije i reakcije)

6. Kako glase aksiomi Statike?1. Ako na kruto tijelo djeluju dvije sile, ono će biti u ravnoteži ako su sile kolinearne, jednake po veličini, i suprotnog smjera. Kolinearne sile su one sile koje leže na istom pravcu.


2. Rezultatnta se dviju sila koje djeluju u istoj tački krutog tijela određuje po zakonu paralelograma. Umjesto paralelograma može se upotrijebiti trokut sila. Dakle, ove se dvije sile mogu zamijeniti rezultantom, a isto tako se ova rezultanta (dakle nova sila) može rastaviti na dvije sile koje djeluju u istoj tački, a na pravcu ove rezultante.


3. Ravnoteža ili jednoliko kretanje krutog tijela neće se promijeniti ako se tijelo oslobodi veza i umjesto njih dodaju se krutom tijelu sile koje su jednake reakcijama veza.


4. Stanje ravnoteže ili jednolikog kretanja neće se promijeniti ako se tijelu doda ili oduzme uravnoteženi sistem sila.


5. Ako deformabilno tijelo pod djelovanjem sila zauzme deformisani ravnotežni položaj, ravnoteža se neće promjeniti ako se deformisano tijelo razmatra kao idealno kruto tijelo. Ovaj se aksiom često naziva i princip solidifikacije ili princip ukrućenja.


2. PODJELA I METODE TEHNIČKE MEHANIKE

Kako se dijeli Tehnička mehanika?Prema karakteru problema koji se proučavaju u teorijskoj mehanici obično se usvaja njena podjela na tri odvojene cjeline: Statiku, Kinematiku i Dinamiku.Statika proučava uslove ravnoteže materijalnih tijela pod dejstvom sila.Kinematika proučava opšta geometrijska svojstva kretanja tijela.Dinamika proučava zakone kretanja materijalnih tijela pod dejstvom sila.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/Frameset.htm


Nekoliko značajnih imena uTehničkoj mehanici u posljednjih 5 stoljeća?Leonardo da Vinči (1452 - 1519), matematičar

Kopernik (1473 - 1543), teorija kretanja planeta (heliocentrični sistem)

Никола Коперник (Nikolas Koppernigk, лат. Nicolaus Copernicus, пољ. Mikołaj Kopernik, нем. Nikolaus Kopernikus, 19. фебруар 1473. Торуњ- 24. мај 1543. Фромборк/Фрауенбург), пољско-немачки астроном, први научник који је формулисао хелиоцентричну теорију свемирских тела.Од 1491. до 1494. године студирао је теологију, математику, медицину и астрономију у Кракову.Од 1496. до 1504. године студирао је црквено право, астрономију и медицину у Италији. После је био до 1512. године лекар и повереник свом ујаку, вармијском бискупу (Warmia, црквена кнежевина на ушћу Висле), онда до краја свог живота је био свештеник у Фрауенбургу (Frauenburg), где је на једној кули тврђаве, која је окруживала цркву, уредио опсерваторију (Коперников торањ) са које је посматрао небеска кретања. На темељу тих посматрања, а и резултата до којих је дошао, написао је дело „О кружењу небеских тела“ (De revolutionibus orbium coelestium) у 6 књига, објављено у Нирнбергу 1543. године, непосредно пред смрт. Ово дело беше револуционарна прекретница у астрономији, и било је потстицај капиталних открића Кеплера и Њутна.

Leonardo da Vinči (ital. Leonardo da Vinci; 15. april 1452 — 2. maj 1519) je bio italijanski renesansni arhitekta, pronalazač, inženjer, vajar i slikar. Bio je opisan kao ideal "renesansnog čoveka" i kao univerzalni genije. Poznat je po svojim remek-delima, kao što su "Tajna večera" i Mona Liza, a njegovi izumi se danas koriste u modernoj tehnologiji, iako nisu primenjivani u njegovo doba. Pomogao je razvoju anatomije, astronomije, i građevinarstva.Njegove slike se danas smatraju vrhunskim delima ovog "univerzalnog genija" kako su ga često nazivali. Bio je fasciniran misterijom ljudskog lica i mogućnošću čitanja "pokreta duše" kroz pokrete i izraze lica. Leonardov portret žene fjorentinskog zvaničnika toga vremena "Mona Liza" nadaleko je poznat po zagonetnom izrazu lica portretisane dame. Portret "Mona Liza" je prvi psihološki portret naslikan u istoriji te se zato daje toliki značaj ovom delu.Leonardo da Vinči je rođen u blizini grada Vinči u Toskani 1452. godine, a slikarstvo i vajarstvo je učio kod Verokija, uticajnog umetnika toga doba. Više puta se selio, menjajući gradove Italije — svuda kuda ga je vodio posao. Pred kraj života 1517, na poziv francuskog kralja da oslika dvorac u Parizu otišao je iz Rima, gde je tada živeo, u Francusku. U Parizu je i umro 1519. godine.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/A_s_c_leonardo.htm






http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/A_s_c_kopernik.htm

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9B%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%99%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%99%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%87%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/wiki/19._%D1%84%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%83%D0%B0%D1%80

http://sr.wikipedia.org/wiki/19._%D1%84%D0%B5%D0%B1%D1%80%D1%83%D0%B0%D1%80

http://sr.wikipedia.org/wiki/1473

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%BE%D1%80%D1%83%D1%9A

http://sr.wikipedia.org/wiki/24._%D0%BC%D0%B0%D1%98

http://sr.wikipedia.org/wiki/24._%D0%BC%D0%B0%D1%98


http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A4%D1%80%D0%BE%D0%BC%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%BA&action=edit&redlink=1



http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D1%86%D0%B8%D0%BD%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D1%81%D1%82%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%B2



http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%98%D0%B0


http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%B3


http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%88%D0%BE%D1%85%D0%B0%D0%BD_%D0%9A%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D1%80

http://sr.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D0%B0%D0%BA_%D0%8A%D1%83%D1%82%D0%BD

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%98%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BA%D0%B8_%D1%98%D0%B5%D0%B7%D0%B8%D0%BA

http://sr.wikipedia.org/sr-el/15._%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BB

http://sr.wikipedia.org/sr-el/15._%D0%B0%D0%BF%D1%80%D0%B8%D0%BB

http://sr.wikipedia.org/sr-el/1452

http://sr.wikipedia.org/sr-el/2._%D0%BC%D0%B0%D1%98

http://sr.wikipedia.org/sr-el/2._%D0%BC%D0%B0%D1%98

http://sr.wikipedia.org/sr-el/1519

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D1%82%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D1%98%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A0%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%90%D1%80%D1%85%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%83%D1%80%D0%B0

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%9F%D1%80%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B0%D0%B7%D0%B0%D1%87

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D0%BD%D0%B6%D0%B5%D1%9A%D0%B5%D1%80

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%92%D0%B0%D1%98%D0%B0%D1%80

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%A1%D0%BB%D0%B8%D0%BA%D0%B0%D1%80

http://sr.wikipedia.org/sr-el/%D0%98%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB

http://sr.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%A0%D0%B5%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%B0%D0%BD%D1%81%D0%BD%D0%BE%D0%B3_%D1%87%D0%BE%D0%B2%D0%B5%D0%BA%D0%B0&action=edit&redlink=1




Galilej (1564 - 1642) i mnogi drugi.

Najveći impuls razvoju mehanike dao je Newton (1643 - 1727) svojim djelom: Matematička načela prirodne filozofije. Uvodi u mehaniku, infinitezimalni račun.

Mnogo vekova kasnije jedan italijanski naučnik, ne verujući mnogo u Aristotelove "dokaze", započeo je sistematsku analizu i eksperimentalnu proveru zakona fizike, i time načinio suštinski preokret u shvatanju osnovnih fizičkih pojava. Taj naučnik bio je Galileo Galilej. Galilej je rođen u Pizi, Italija, 1564. godine, iste godine kada je rođen Šekspir, a umro Mikelanđelo. Studirao je medicinu, ali fakultet nikada nije završio. Ceo svoj život posvetio je nekim drugim naukama - fizici i astronomiji. Godine 1592, kada mu je bilo 26 godina, prelazi iz rodne Pize u Veneciju gde biva postavljen za profesora matematike na jednom vodećem Italijanskom univerzitetu

Doprinos Galileja savremenom shvatanju prostora i vremena imao je vrlo veliki značaj. Galilej je bio prvi čovek koji je posle mnogo vekova posumnjao u neispravnost Aristotelovih učenja i Aristotelovog shvatanja prostora, i ne samo što je mislio da je Aristotel pogrešio on je čak uspeo to i eksperimentalno da dokaže!

Његова студија Математички принципи филозофије природе (Philosophiae Naturalis Principia Mathematica), објављена 1687, која описује универзалну гравитацију и три закона кретања, поставила је темеље класичне (Њутнове) механике и послужила као пример за настанак и развој других модерних физичких теорија. Изводећи из овог свог система Кеплерове законе кретања планета, он је био први који је показао да се кретања тела на Земљи и кретања небеских тела потчињавају истим физичким законима. Уједињујућа и детерминистичка моћ његових закона довела је до револуције у науци и до даљег напретка и уздизања хелиоцентризма.У механици, Њутн је такође указао на један нови, велики, значај принципа одржања импулса и момента импулса. У оптици, он је изумео рефлексиони (огледалски) телескоп и открио да се пропуштањем беле светлости кроз стаклену призму она разлаже у спектар свих боја (у складу са тврђењем Роџера Бејкона из 13. века). Њутн се снажно залагао у прилог честичне природе светлости. Он је такође формулисао емпиријски закон хлађења, проучавао брзину звука и предложио теорију о пореклу звезда..

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/A_s_c_galilei.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/A_podjela/A_s_c_newton.htm


6. Redukcija sile koja djeluje na tijelo (npr. s hvatištem u tački A) znači njezin paraleni pomak u neku drugu tačku hvatišta, npr. B. Ovo ima za posljedicu da se tijelu mora pridodati odgovarajući spreg sila kako bi se poništio efekt redukcije sile.

tijelo na koje djeluje sila u tački A

odrediti željenu tačku redukcije B,

u tački B dodati uravnotežene dvije sile F, -F

3. REDUKCIJA SKUPA SILA Što je to redukcija sile?

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/D_o_009.htm


Sile F, -F čine par (spreg) sila spreg sila je slobodan vektor koji se može postaviti i u tačku B,

na ovaj je način izvršen paraleni pomak ili redukcija sile F u tačku redukcije B


Što je to statički moment sile? Statički moment sile F s obzirom na tačku O jest vektor definisan:

To je vektor s hvatištem u O i upravljen okomito na ravninu trougla OAB.

STATIČKI MOMENT SILE I SPREG SILA


Kako se izračunava statički moment sile? Smjer se statičkog momenta sile određuje po pravilu desnog vijka, dok je njegova apsolutna vrijednost (veličina, intenzitet ili modul) jednaka:

umnošku iznosa sile i njezinog kraka, tj. udaljenosti h tačke O od pravca djelovanja sile.


Kako se izračunava moment sile obzirom na os?Statički moment sile s obzirom na os z jest vektor, a predstavlja statički moment sile s obzirom na tačku O u kojoj os z probija ravninu

Iznos sile jednak je projekciji sile na ravninu koja stoji okomito na os z:

odnosno


Kako glasi Varignonov (Varinjonov ) teorem?Na ravnu krutu ploču djeluje skup komplanarnih sila različitog pravca. Ako je rezultanta tada je:

ili skalarno

tj. statički moment rezultante skupa sila s obzirom na tačku O jednak je zbiru momenata ovoga skupa sila s obzirom na istu tačku. Ovo se pravilo zove momentno pravilo ili Varinjonova teorema (Varignonov teorem).

Gdje se primjenjuje Varinjonova teorema? Varinjonova teorema ili momentno pravilo seprimjenjuje: kod određivanja položaja rezultanteravanjskog skupa sila, kod određivanja položaja rezultante prostornog skupa paralelnih sila, kod određivanja položaja težišta,



Što je to spreg (par) sila?Spreg sila je vektor (moment). Ovaj vektor čine dvije po iznosu jednake suprotnosmjerne sile. Moment sprega je slobodni vektor i stoji okomito na ravninu sprega. Smjer je određen pravilom desnog vijka, a veličina je:


Što je to rezultanta ili glavni vektor opšteg prostornog skupa sila? Što je to glavni moment opšteg prostornog skupa sila? Neka je zadan skup sila u prostoru koje djeluju u tačkamakao na slici, tada redukcijom (paralelnim pomakom) tih sila na proizvoljnu tačku O (centar redukcije) postoji:

• n sila u tački O, čija je rezultanta - glavni vektor:

• n spregova sila, koji su ekvivalentni jednom rezultantnom spregu silaglavni moment u tački O:

REDUKCIJA PROSTORNOG SKUPA SILA

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/b_prostor/D_s_016_1.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/b_prostor/D_o_016.htm


i se nazivaju ponekad zajedničkim imenom:rezultanta prostornog skupa sila.


Koje su invarijante pri redukciji opšteg prostornog skupa sila? Neka je prostorni skup sila reduciran u točki A. Rezultat je rezultanta i glavni moment

Invarijante pri redukciji opšteg prostornog skupa sila su:1. Rezultanta redukcije se ne mijenja izborom tačke redukcije, dakle: 2. Skalarni proizvod glavnog momenta i rezultante se ne mijenja izborom tačke redukcije, dakle:

DOKAZ:• Neka je rezultat redukcije rezultanta i glavni moment


Odrediti željenu NOVU tačku redukcije B.

U tački B dodati uravnotežene dvije sile i


• sile i čine par (spreg) sila

• spreg sila je slobodan vektor te se može postaviti i u tačku B kao i glavni moment


• vektori se momenta i mogu sabrati u

• te sada u NOVOJ tački redukcije B djeluju i

• Ovime je dokazano da se glavni vektor (rezultanta ) ne mijenja izborom tačke redukcije.


• Neka se skalarno pomnoži gornja jednačina s slijedi:

Kako su vektori i uzajamno okomiti (skalarni proizvod takvih

vektora je jednak nuli), slijedi:

Ovime je dokazano da se skalarni umnožak glavnog momenta i rezultante ne mijenja izborom tačke redukcije.


Koji su primjeri kada je skalarni proizvod rezultante i momenta jednak nuli?Skalarni proizvod glavnog momenta i rezultante je jednak nuli, dakle:

Ovo je moguće u ČETIRI slučaja: 1.Glavni je moment jednak nuli:

Kako rezultanta ne mora biti jednaka nuli, to ima za posljedicu ubrzano pravolinijsko kretanje krutog tijela.

2. Glavni vektor - rezultanta je jednaka nuli: Kako u ovom slučaju glavni moment ne mora biti jednak nuli, to ima za posljedicu ubrzano rotaciono kretanje krutog tijela.

3. Glavni je moment jednak nuli i glavni vektor - rezultanta je jednaka nuli:

i

Ovim su određeni uslovi ravnoteže tijela u vektorskom obliku.


4. Ugao između glavnog momenta i rezultante

Ovaj je slučaj moguć u dva pimjera: a) skup paralenih sila u prostoru

b) skup ravninskih (komplanarnih) sila.


U ovim se primjerima redukcija skupa sila može svesti samo na glavni vektor - rezultantu. Položaj se rezultante u ovim primjerima određuje posebnim postupkom - izborom posebne NOVE tačke redukcije u kojoj će moment sprega uravnotežiti glavni moment.

Kako se analitički određuje položaj rezultante prostornog skupa paralelnih sila?

Neka je zadat skup paralelnih sila u prostoru


Ovaj je skup moguće zamijeniti s jednom silom - rezultantom na sljedeći način: Odabere se koordinatni sistem tako da je jedna os npr. z, paralelna sa zadatim skupom sila. Izvrši se redukcija sila na tačku ishodišta O pri čemu je:

Momenti oko osa su:

Glavni moment:


2. Potrebno je odabrati NOVU tačku redukcije B, ali tako da se nalazi na pravcu određenim vektorom koji je OKOMIT na glavni moment . U ovoj tački

dodati skupu sila dvije uravnotežene sile i čime se ništa ne mijenja.


3. Dvije sile i čine spreg


4. Ovaj je spreg slobodan vektor pa može imati hvatište u B kao i glavni moment. Iz ovoga je vidljivo da zapravo treba odbrati iznos vektora položaja tako da su veličine sprega i glavnog momenta JEDNAKI, a kako su im

smjerovi suprotni, oni će se poništiti.


5. Iz gornjih je jednačina vidljivo kako se određuje iznos rezultante i iznosi komponenti momenata iz:

slijede koordinate vektora položaja


REDUKCIJA RAVANJSKOG (KOMPLANARNOG) SKUPA SILAKako se zovu crteži koje upotrebljavamo kod grafičkih metoda?

U pravilu se koriste DVA crteža. Prvi crtež je PLAN POLOŽAJA i on se crta u mjerilu koje govori koliko centimetara na crtežu ogovara npr. metara u stvarnosti. Ovo se mjerilo piše npr.

Drugi je crtež PLAN SILA i on se crta u mjerilu koje govori koliko centimetara na crtežu odgovara npr. kilonjutna veličine sile. Ovo se mjerilo piše npr.

Što prikazuje plan položaja?U planu se položaja prikazuje stvarni crtež tijela koje se analizira. Na crtežu su ucrtane sve važnije kote kao i pravci djelovanja sila koja tijelo opterećuju kao i mjesta gdje se tijelo oslanja na okolinu. Ukoliko se ucrtavaju i djelujuće (aktivne) sile, one ne moraju, u pravilu, biti crtane u mjerilu.


Što prikazuje plan sila?

U planu se sila prikazuje uzajamni položaj aktivnih i reaktivnih sila kod kojih su pravci obično definisani u planu položaja. Kako izgleda ovaj crtež zavisi o metodi koja se koristi kod rješavanja zadatka.

Kako se GRAFIČKI određuje rezultanta ravanjskog skupa sila i kako se GRAFIČKI određuje položaj rezultante opšteg ravanjskog skupa sila?

Rezultanta ravanjskog skupa sila grafički se može odrediti na dva načina:Grafički - pomoću pravila o trokutu sila i pomoću verižnog poligona.

Pomoću pravila o trokutu sila:

1. nacrtati plan položaja skupa sila;


2. po pravilu trokuta sila u planu sila, odrediti rezultatntu od sile i sile

Kako je sila klizni vektor to se može pomicati u planu položaja po svom pravcu. Položaj se rezultante u planu položaja nalazi u sjecištu ove dvije sile.


3. Po pravilu trokuta sila u planu sila, odrediti rezultatntu od rezultante i sile

Položaj te rezultante u planu položaja nalazi u sjecištu ove dvije sile.


4. Konačno se po istom pravilu odredi iznos i položaj rezultante


Cjelokupni postupak na crtežu izgleda kao na slici

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/c_ravnina/D_s_023_5.htm


Kada se i kako koristi verižni poligon za određivanje rezultante ravanjskog skupa sila?

Metoda se verižnog poligona koristi kod grafičkih rješenja u primjerima kada se sjecišta pojedinih sila nalaze izvan raspoloživog prostora za crtež.

Metoda ima objašnjenje u sljedećem postupku:1. Neka su poznate dvije sile kojima treba odrediti iznos i položaj rezultante


2. U planu sila se može odrediti iznos rezultante

se sjecište zadatih sila npr. ne nalazi u okviru crteža. ali ne i položaj u planu položaja jer


3. Dodaju se ovim silama dvije uravnotežene sile čime se ništa ne mijenja.


4. Primjenom pravila trokuta sila mogu se zbrojiti sile i u rezultantu


5. te sile i u rezultantu


6. Zbir i je opet rezultanta


7. U planu sila tačka O (pol plana sila) ima zapravo proizvoljan položaj jer pravac p u planu položaja je proizvoljan kao i iznos uravnoteženih sila i


8. Sve se ove "pomoćne" sile mogu u planu sila zamijeniti dužinama (polne zrake). Paralele s ovim dužinama u planu položaja predstavljaju verižnice.

9. PRAVILO: dvije polne zrake i jedna sila koje oblikuju TROKUT u planu sila, u planu se položaja moraju sijeći u istoj točki.


Rezultanta se ravninskog skupa više sila grafički može odrediti

Pomoću verižnog poligona:

1. nacrtati plan položaja skupa sila;


2. nacrtati sile u planu sila; odrediti rezultatntu


3. odabrati POL plana sila O, povući polne zrake, povući verižnicu 1 u planu položaja paralelno s polnom zrakom 1 u planu sila;


4. povući verižnicu 2 tako da prolazi sjecištem sile i verižnice 1


5. povući sve ostale verižnice po istom principu;


6. Rješenje: položaj je rezultante

POLNE ZRAKE u planu sila tvore trokut - dakle 1 i 5.

određen sjecištem ONIH verižnica čije


Kako se grafički određuje iznos statičkog momenta skupa sila u ravnini?

Pomoću verižnog poligona:

1. nacrtati plan položaja skupa sila te tačku A za koju treba odrediti statički moment sila;


2. nacrtati sile u planu sila; pomoću verižnog poligona odrediti rezultatntu - iznos i položaj;


3. statički moment svih sila s obzirom na točku A jednak je statičkom momentu njihove rezultante oko iste tačke (momentno pravilo ili Varinjonov teorem);

iznos statičkog momenta rezultante s obzirom na tačku A jednak je umnošku

udaljenosti i iznosa rezultante


4. kao kontrolni postupak može poslužiti pravilo o sličnosti trokuta BCD i EOG gdje vrijedi:

: : = te slijedi = = =


Kako se analitički određuje položaj rezultante opšteg ravanjskog skupa sila?1. Nacrtati plan položaja skupa sila;


2. Odabere se koordinatni sistem s ishodištem O, npr. u tački

gdje je ujedno i hvatište sile pod uglom


3. potrebno je tačno definisati i hvatište sile te ugao djelovanja


4. na isti način se kotiraju i hvatišta svih ostalih sila i njihovi uglovi djelovanja;


5. Projiciraju se sve sile na osi koordinatnog sistema pri čemu je:

pri čemu je


6. Položaj se rezultante može odrediti tako da se odredi iz momentne jednadžbe

oko C jer prolazi tom točkom:

te se odredi iz momentne jednadžbe oko B jer prolazi tom točkom:


7. Položaj se rezultante može odrediti i preko

i


RASTAVLJANJE SILE NA DVIJE KOMPONENTE

Kako se rastavlja sila u dvije komponente: pravci komponenti se sijekua) analitički?b) grafički metodom drugog aksioma Statike?

pravci komponenti su paralelnic) analitički?d) grafički pomoću verižnog poligona?

Kako se rastavlja sila u dvije komponente, čiji se pravci sijeku - analitički?

1. Potrebno je odabrati koordinatni sistem sa ishodištem u početku sile

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Dda_o_029.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Ddb_o_029.htm










http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Ddc_o_029.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/d_rastav_sile_dvije/Ddd_o_029.htm









2. Neka su poznati pravci i u kojim smjerovima treba rastaviti silu

3. Položiti, za sada nepoznate komponente sila i u proizvoljnom smjeru

(orijentaciji) na poznatim pravcima i


Projicirati sve sile na koordinatne osi pri čemu vrijedi (sila je rezultanta i ) :

i odatle rješavanjem tih jednačina slijede iznosi komponenata sila:

Ovi se zadaci mogu riješiti i trigonometrijski pomoću sinusnog ili kosinusnog poučka


Kako se rastavlja sila u dvije komponente,čiji se pravci sijeku - grafički pomoću drugog aksioma Statike

1. Neka su poznati pravci i u kojim smjerovima treba rastaviti silu Da bi se sila rastavila u dvije komponente pravac sile mora se sjeći u jednoj tački s oba zadana pravca


2. U planu sila povući paralele sa zadanim pravcima i te ucrtati sile i

tako da je sila njihova rezultanta. Prema zadanom mjerilu očitati iznose sila i


3. U planu položaja sada se mogu ucrtati sile i

4. Zadatak se može riješiti i u planu položaja tako, da se kroz šiljak vektora sile povuku paralele sa zadanim pravcima i tako da nastane paralelogram OBACčija je dijagonala sila


5. Ucrtati sile i tako da je sila njihova rezultanta.


Kako se rastavlja sila u dvije komponente, čiji su pravci paralelni zadanoj sili - analitički?

1. Neka su poznati pravci i u kojim pravcima treba rastaviti silu


2. Potrebno je odabrati koordinatni sistem s ishodištem u proizvoljnoj točki A. pri čemu je jedna os paralelna sa zadanom silom


3. Položiti, za sada nepoznate komponente sila i u proizvoljnom smjeru(orijentaciji) na poznatim pravcima i

Projicirati sve sile na koordinatne osi pri čemu vrijedi da je sila rezultanta sila i te napisati momentnu jednadžbu oko točke A koristeći Varinjonov teorem(momentno pravilo):

Rješavanjem ovih jednadžbi slijede iznosi komponenata sila, dok smjerovi sila slijede iz algebarskog predznaka rezultata:pozitivan predznak u rješenju za iznos sile znači da je pretpostavljeni smjer ispravan (ovo ima naročito smisla kada je pravac sile izvan pravaca i jer će u tom slučaju sile i

biti suprotnog smjera

i


Kako se rastavlja sila u dvije komponente, čiji su pravci paralelni zadanoj sili - pomoću verižnog poligona?

1. Neka su poznati pravci i u kojim smjerovima treba rastaviti silu U planu sila ucrtati silu

(to su dužine koje se povlače od pola plana sila O do početka i do kraja svake sile. te uz odabrani pol plana sila O povući polne zrake


2. Dvije polne zrake i sila koje tvore trokut u planu sila, u planu se položaja sijeku u jednoj tački tj. na pravcu sile


3. Kako je sila upravo rezultanta sila i te ako se odabere da sila ima početak u početku sile te ako sila ima šiljak u šiljku sile znači da polna zraka 1 pripada i sili te da polna zraka 2 pripada i sili . Mora postojati i polna zraka r koja pripada objema silama. Ova se polna zraka naziva i razdjelnica.


4. Prema pokazanom pravilu sada se polne zrake 1 i r trebaju sijeći u planu položa na pravcu sile kao i polne zrake 2 i r na pravcu


5. Sada se u planu položaja ucrtaju sile i a u planu se sila se očitaju njihovi iznosi.


RASTAVLJANJE SILE NA TRI KOMPONENTE I analitički:

u ravnini, u prostoru

II grafički Kulmanova (Culmannova) metoda rastavljanje sile u tri komponente? Rastavljanje sile u tri komponente pomoću verižnog poligona? III grafo-analitičkiRitterova metoda rastavljanje sile u tri komponente?

Kako se rastavlja sila u tri komponente analitički u ravnini?

1. Neka su poznati pravci u ravnini i u kojim smjerovima treba rastaviti silu

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Dea_o_00a.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Dea_o_00a.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Deb_o_00b.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Deb_o_00b.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Deb_o_030.htm




http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Dec_o_031.htm












http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/e_rastav_sile_tri/Ded_o_032.htm


2. Kako se zadatak rješava analitički, potrebno je izabrati pogodan koordinatni sistem (npr. u sjecištu dva pravca, jedna od osi paralelna s nekim od pravaca i sl.), a ako to nije pogodno tada se ishodište kordinatnog sistema O može postaviti s ishodištem na pravcu jedne sile. Neka se postavi ishodište na pravcu Kako je sila klizni vektorto se hvatište sileZa odabrani koordinatni sistem, poznate su udaljenosti a i b od koordinatnih osi te ugao

može po volji izabrati npr. u tački A.

mjeren od pozitvnog smjera x-osi.


3. Neka je po istom principu određeno i hvatište sile u tački koja se poklapas ishodištem O. Smjer se sile može po volji izabrati, a ugao pozitvnog smjera x-osi.

se mjeri od


4. Neka je po istom principu određeno i hvatište sile te ugao


5. Neka je po istom principu određeno i hvatište sile te ugao

6. Kako je sila upravo rezultanta sila i , vrijedi:

tj.

tj.

tj.


7. Sada se iz ove tri jednačine mogu odrediti iznosi sila i sa smjerovima koji su zavisni o algebarskim predznacima izračunatih iznosa sila. Ako su predznaci izračunatih iznosa pozitivni tada su prepostavljeni smjerovi ispravni i obratno.

Kako se rastavlja sila u tri komponente analitički u prostoru?

Poznato je da se kod redukcije opšteg skupa sila u prostoru dolazi do glavnog vekora (rezltante) i glavnog momenta u tački redukcije.Glavni moment će kod ovakve redukcije iščeznuti jedino u primjeru paralelnih sila u prostoru i konkurentnih sila u prostoru. Dakle, kod rastavljanja sile u tri komponente to je moguće u slijedeća dva slučaja:A - rastavljanje sile u tri paralelne sile u prostoru, B - rastavljanje sile u tri konkurentne sile u prostoru.


A. Rastavljanje sile u tri paralelne sile u prostoru

1. Neka su poznati paralelni pravci u prostoru i treba rastaviti silu

u kojim smjerovima


2. Kako se zadatak rješava analitički, potrebno je izabrati pogodan koordinatni sistem tako da je jedna od osi paralelna s pravcima sila. Hvatište se sile

izabrati npr. u tački može po volji

a to je mjesto gdje pravac sile probada ravninu xy. Za odabrani koordinatni sistem, poznate su udaljenosti i od koordinatnih osi

y i x. Po istom principu se odrede točke za pravac te udaljenosti od koordinatnih osi, i tako redom.


3. Odaberu se po volji (pretpostave) orijentacije svih sila.

4. Kako je sila upravo rezultanta sila

, i , vrijedi:

5. Sada se iz ove tri jednadžbe mogu odrediti iznosi sila i sa smjerovima koji su ovisni o algebarskim predznacima izračunatih iznosa sila. Ako su predznaci izračunatih iznosa pozitivni tada su prepostavljeni smjerovi ispravni i obratno.


B. Rastavljanje sile u tri konkurentne sile u prostoru 1. Neka su poznati konkurentni pravci u prostoru , i

u kojim smjerovima treba rastaviti silu .


2. Kako se zadatak rješava analitički, potrebno je izabrati pogodan koordinatni sistem tako da je ishodište koorinatnog sistema u sjecištu

, i kao i sile .Za odabrani koordinatni sistem, poznati su uglovi

, i te iznos sile kao i uglovi , ,


, ,


, ,


3. Odaberu se po volji (pretpostave) orjentacije svih sila.


4. Kako je sila upravo rezultanta sila , i , vrijedi:

5. Sada se iz ove tri jednačine mogu odrediti iznosi sila , i sa smjerovima koji su zavisni o algebarskim predznacima izračunatih iznosa sila. Ako su predznaci izračunatih sila pozitivni tada su prepostavljeni smjerovi ispravni i obratno.


Kako se rastavlja sila u tri komponenteCulmannovom metodom?

1. Neka su poznati pravci u ravnini , i u kojim smjerovima treba. U ovom je postupku važno da se bar dva od poznatih

.

rastaviti silu

pravaca sijeku u planu položaja. U planu sila ucrtati silu


2. Na osnovu DRUGOG aksioma Statike postoji rezultanta sila i koja prolazi njihovim sjecištem u planu položaja. Sada se ovaj zadak svodi na rastavljanje sile na dvije komponente i . Neka se odabere da sila u planu sila polazi iz početka sile dok sila dolazi u šiljak sile . Kako je sila zapravo rezultanta sila i to u planu položaja sila mora ležati na pravcu koji prolazi sjecištem pravaca na kojime leže sile i .


3. Kako je sila rezultanta sila i to se iznosi ovih sila mogu odreditiu planu sila.


4. Sada se u planu položaja ucrtaju sile , i , a u planu sila se očitajunjihovi iznosi.


Kako se rastavlja sila u tri komponentepomoću verižnog poligona? 1. Neka su poznati pravci u ravnini , i u kojim smjerovima treba

. U ovom je postupku važno da se bar dva od poznatih

te uz odabrani pol plana sila O povući polne zrake (to su dužine koje se povlače od pola plana sila O do početka i do kraja sile - ovdje je dakle moguće samo dvije 1 i 2).

rastaviti silupravaca sijeku u planu položaja. U planu sila ucrtati silu


2. Dvije polne zrake i sila koje tvore trokut u planu sila, u planu se položaja sijeku u jednoj tački tj. na pravcu sile Na osnovu DRUGOG aksioma Statike postoji rezultanta

sila i koja prolazi njihovim sjecištem u planu položaja. Sada seovaj zadak svodi na rastavljanje sile na dvije komponente i

Neka se odabere da sila u planu sila polazi iz početka sile dok sila dolazi u šiljak sile . Ovo znači da u planu sila polna zraka 1 pripada i sili dok polna zraka 2 pripada i sili . Dakle, u planu se položaja verižnica 1' mora nalaziti na pravcu sile , a to je za sada jedino poznata tačka A.


3. U planu se sila, sile i (čiji pravac djelovanja je poznat - paralela s sastaju u jednoj tački. Dakle, mora postojati i polna zraka

objema silama. Ova se polna zraka naziva i razdjelnica. U planu položaja verižnica r' leži na pravcu AB. Ova polna zraka - razdjelnica r u planu sila presjeca poznati pravac djelovanja sile

r koja pripada

i time određuje njezin iznos, ali i iznos sile


4. Kako je sila rezultanta sila i to se veličine ovih sila mogu odrediti u planu sila.

5. Sada se u planu položaja ucrtaju sile i a u planu se sila se očitaju njihoviiznosi.


Kako se rastavlja sila u tri komponenteRitterovom metodom?

1. Neka su poznati pravci u ravnini , i u kojim smjerovima treba rastaviti silu . U ovom je postupku važno da se SVAKA DVA pravca sijeku u planu položaja.


2. Na osnovu momentnog pravila (Varinjonov teorem) koje govori da se statički moment skupa sila oko neke tačke može zamijeniti statičkim momentom rezultante tih sila oko te iste tačke. Neka se ova tačka izabere baš u sjecištu pravaca sila i skupa sila oko tačke A svodi samo na moment sile

(A) to se moment

U planu se položaja IZMJERE udaljenosti i te se izračuna:


3. Sada se izabere točka u sjecištu pravaca sila i oko točke B svodi samo na moment sile

(B) to se moment skupa sila



4. Sada se izabere tačka u sjecištu pravaca sila i sila oko tačke C svodi samo na moment sile

(C) to se moment skupa



5. Sada se u planu položaja ucrtaju sile i koji su zavisni o algebarskim predznacima izračunatih sila.

s ispravnim smjerovima


4. OSLOBAĐANJE KRUTOG TIJELA

1. Što je to princip izolacije ili reza?

U opštem su primjeru konstrukcije ili mehanički sistemi uzajamno vezani na raznovrsne načine. Da bi se moglo analizirati djelovanje sila na jedno tijelo posmatranog sistema, potrebno ga je izdvojiti, a umjesto veza s ostalim tijelima ili okolinom postavljaju se odgovarajuće sile. 2. Koje vrste veza postoje?a) Veza tijela preko užeta ili štapab) Pomični oslonac - veza tijela u glatkom dodiruc) Nepomični oslonac - zglobna veza tijelad) Uklještenjee) Veza tijela u dodiru uz prisustvo trenjaf) Veza tijela pomoću spiralne oprugeg) Veza tijela pomoću užeta i kolotura

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008a.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008b.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008c.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008d.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008e.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008f.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_o_008g.htm


Veza tijela preko užeta ili štapaOslobađanje se tijela svodi na zamišljeno presijecanje užeta ili štapa, te zamjena ove veze silama s hvatištem na mjestu veze i pravcem na pravcu užeta ili štapa, a usmjerene od tijela prema zamišljenom presjeku. Na ovaj se način pretpostavlja da su sile u užetu i štapu zatežuće, što se u postupku računanja stavlja kao pozitivni predznak izračunate veličine, a ako bi predznak izračunate reakcije bio negativan (što ima smisla samo za štap), tada je sila u štapu sabijajuća.


Pomični oslonac - veza tijela u glatkom dodiru

U primjerima kada se tijelo naslanja na okolinu ili drugo tijelo tako da taj kontakt ne predstavlja nikakav otpor pomicanju tijela u dodirnoj ravnini, kaže se da je oslonac pomičan, a dodir gladak.Reakcija podloge (okoline) ili drugog tijela, upravljena je okomito na dodirnu plohu usmjerenu prema posmatranom tijelu. Dodirna ploha leži u zajedničkoj tangencijalnoj ili dodirnoj ravnini tijela.

Ovakav se glatki dodir može predočiti i simbolima kao na slici

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_s_008bb.htm


Nepomični oslonac - zglobna veza tijela

Veza tijela za okolinu ili drugo tijelo na način da nema aksijalnih pomaka, nego su eventualni pomaci mogući kao rotacija oko točke veze - naziva se zglobna veza.

U ravninskim je zadacima sila reakcije ovakve veze proizvoljno upravljena sila u toj ravnini. Pravac, smjer i iznos su rezultat računanja. Kod analitičkog je računanja pogodno ovu reakciju predočiti kao dvije uzajamno okomite komponente usmjerene u pozitivnom (ili negativnom) smjeru osi pogodno odabranog koordinatnog sistema što vrijedi i za prostorne zadatke.


UklještenjeVeza tijela za okolinu ili drugo tijelo tako da je onemogućen pomak ili rotacija u bilo kojem smjeru naziva se uklještenje.Pri analizi ovakvih veza najpovoljnije je da se na mjestu uklještenja postave tri komponente sile reakcije usmjerene u pozitivnom smjeru osi odabranog koordinatnog sistema te tri komponente momenta uklještenja orjentisanih oko (i u smjeru) osi odabranog koordinatnog sistema.


Veza tijela u dodiru uz prisustvo trenja U primjerima kada se tijelo naslanja na okolinu ili drugo tijelo tako da taj kontakt predstavlja otpor pomicanju tijela u dodirnoj ravnini, govori se da u dodirnoj ravnini djeluje trenje. Detaljnije o ovakvoj vrsti veze pokazano je u poglavlju o trenju.

Veza tijela pomoću spiralne oprugeSpiralna opruga je poseban tehnički element koji, kao i štap, može prenositi sabijajuće ili zatežuće sile, a koje su usmjerene u smjeru podužne osi.Ovakve se veze posebno primjenjuju kod tijela koja vibriraju i često u sprezi s tzv. prigušnim elementima pridonose ublažavanju efekta udara vibriranja


Veza pomoću opruge isto je tako pogodna kada neki element strukture treba zauzeti po volji pogodan, ali uravnotežen položaj


Veza tijela pomoću užeta i koloturaKolotur je takav tehnički element koji u pravilu služi za promjenu smjera djelujuće sile. Kako se u pravilu trenje koje djeluje u ležajevima kolotura može zanemariti prema iznosu sile u užetu, iznos sile u užetu je nepromijenjen. Kolotur može biti nepomičan ili pomičan.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_s_008g.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_s_008gg.htm


Kombinacijom pomičnih i nepomičnih kolotura, može se ostvariti efekt smanjenja sile u užetu prema djelujućoj sili poteznika pomičnih kolotura, ( Arhimedov koloturnik ).

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/C_oslob/C_s_008ggg.htm


5. USLOVI RAVNOTEŽE TIJELAŠto je to ravnoteža tijela u smislu glavnog vektora i glavnog momenta?Tijelo je u ravnoteži kada su rezultanta sila i glavni moment jednaki nuli što se u obliku vektorskih jednadžbi piše:

Što je to ravnoteža tijela u analitičkom smislu?U primjeru OPŠTEG sistema sila opterećenog tijela u PROSTORU, vektorski se način može zamijeniti u obliku sistema od šest algebarskih jednačina gdje su iznosi rezultante svih sila u smjeru koordinatnih osi i momenti svih sila oko triju koordinatnih osi ravni nuli. Ovdje je moguće je riješiti šest nepoznatih veličina.


SISTEM SILA U PROSTORUKoje se jednačine ravnoteže postavljaju kod opšteg prostornog skupa sila?

Postavlja se sistem od šest algebarskih jednačina gdje su sume svih sila u smjeru koordinatnih osi i momenti svih sila oko triju koordinatnih osi jednaki nuli. Ovdje je moguće riješiti šest nepoznatih veličina.


Odrediti sile u užetima 1 i 2, te komponente reakcije u osloncu A grede ABC zadane i opterećene prema slici. Zadano:

Rješenje

Dužina je užeta :

Dužina je užeta :

Jednačine ravnoteže grede ABC za opšti slučaj sila u prostoru:

1)

2)

3)

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/a_prostor/E_o_p42.htm


4)

5 ) Kako se sve sile sijeku na y-osi, onda nijedna od njih nema momenta obzirom na ovu os te je ova jednačina riješena.

6)

Ovo je sistem od pet raspoloživih jednačina te se njima može odrediti pet nepoznanica: tri komponente reakcije u osloncu A i dvije sile u užetima.

Iz posljednje (šeste) jednačine slijedi izraz te uvrštavanjem u četvrtu

jednačinu slijedi:


Iz prve jednačine:

Iz druge jednačine:

Iz treće jednačine:

Veličina reakcije u osloncu A:


Koje se jednačine ravnoteže postavljaju kod prostornog skupa paralelnih sila?

Posmatrano tijelo opterećeno sistemom paralelnih sila u prostoru paralelnih npr. s koordinatnom osi z, potrebno je osloboditi veza, a veze zamijeniti odgovarajućim silama ili momentima. Tijelo je u ravnoteži kada su rezultanta sila i moment jednaki nuli što se u obliku vektorskih jednadžbi piše:

Ovaj se vektorski način ovdje može zamijeniti sistemom od tri algebarske jednačine gdje su iznosi rezultante svih sila u smjeru osi z i momenti svih sila oko dvije osi x i y jednaki nuli. Ovdje je moguće riješiti tri nepoznate veličine.


Koje se jednačine ravnoteže postavljaju kod prostornog skupa konkurentnih sila?Tijelo je u ravnoteži kada je rezultanta sila jednaka nuli što se u obliku vektorske jednačine piše:

Ovo znači da vektorski zbir svih aktivnih i reaktivnih sila mora izjednačiti tj. iznos je rezultante svih sila ravan nuli. Kako se sve sile sijeku i jednoj tački, to se ishodište koordinatnog sistema može postaviti u tačku sjecišta, što znači da ni jedna sila nema momenta. Time je momentna jednačina zadovoljena.

Ovaj se vektorski način ovdje može zamijeniti sistemom od tri algebarske jednačine gdje su iznosi rezultante svih sila u smjeru koordinatnih osi ravni nuli. Ovdje je moguće riješiti tri nepoznate veličine i to u obliku sila veza.Znači, promatrano tijelo (praktično samo čvorna točka) treba osloboditi veza s okolinom te ove veze zamijeniti odgovarajućim silama poznatog pravca i nepoznate veličine. Smjer se sila pretpostavi (obično kao zatežuće djelovanje), pa ako rezultat računanja za neku silu bude negativnog predznaka, to znači da je izračunata sila suprotnog smjera od pretpostavljenog.


Za sistem zadan prema slici odrediti sile u štapovima BD, BC i AB. Zadano:

RješenjeDužine štapova su:

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/a_prostor/E_o_p41.htm


Ovdje se radi o konkurentnom skupu sila u prostoru te se sile u štapovima (koje se sve pretpostavljaju zatežuće) mogu izračunati postavljanjem tri jednačine ravnoteže:


Ako se izrazi i uvrste u drugu jednačinu slijedi:


RAVNOTEŽA RAVANJSKOG (KOMPLANARNOG) SISTEMA SILAKako glasi teorem o ravnoteži tri neparalelne sile?U planu je sila zatvoren TROUGAO sila i u planu se položaja sve tri sile sijeku u jednoj tački.Dokaz teorema: • neka u ravnini postoje tri neparalelene sile;


• na osnovu DRUGOG aksioma Statike, dvije se sile mogu zamijeniti jednom silom koja je njihova rezultanta;

• sada zapravo u planu položaja postoja dvije sile;


• na osnovu PRVOG aksioma Statike, dvije se sile mogu poništiti samo ako leže na istom pravcu, jednakog iznosa i protivnog smjera djelovanja. Radi ovoga pravac djelovanja treće sile mora prolaziti SJECIŠTEM prethodne dvije.

• u planu sila treća sila ima početak u vršku rezultante prve dvije, a kako se mora poništiti s njom, treba šiljkom završiti u njenom početku. Za ovako nastali lik se kaže da je ZATVOREN trokut sila.


Kada se i kako primjenjuje Culmannova metoda kod ravnoteže?

Culmannova je metoda prikladna za rješavanje onih zadataka ravnoteže gdje se analizira, u pravilu, samo jedno tijelo opterećeno obično samo jednom vanjskom silom (najčešće vlastitom težinom). Drugi važan uslov je da se poznati pravci bar dviju nepoznatih veličina sila sijeku u okviru crteža plana položaja dok se treći poznati pravac nepoznate sile treba sijeći s poznatim pravcem sile vanjskog opterećenja.Princip se temelji na Drugom aksiomu Statike i na Teoremu o ravnoteži tri neparalene sile. Metoda je čisto grafička. Potrebno je crtati plan položaja i plan sila u mjerilu.

POSTUPAKPoznati pravci bar dviju nepoznatih veličina sila koji se sijeku imaju, na osnovu Drugog aksioma Statike, rezultantu čiji pravac prolazi tim sjecištem. Ovime za analizupostoje TRI sile koje su u ravnoteži: silase na njih može primjeniti Teorem o ravnoteži tri neparalelne sile.

, vanjska sila i preostala nepoznata sila te


Odrediti grafički (metodom po Culmannu) silu u užetu CD, te reakcije u A i B za homogenu gredu težine

uspravni zid i glatku kosu podlogu u točkama A i B. Zadano je:

koja se nalazi u ravnoteži oslonjena na glatki

RješenjePrimijena Culmannove metode:• oslobotiti tijelo veza,

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/b_ravnina/E_o_p44cul.htm


• pretpostavi se da sila u užetu i reakcija u tački B imaju rezultantu

koja mora prolaziti tačkom M tj :

• na osnovu teorema o ravnoteži tri neparalelne sile, u ravnoteži su sile: i ,

• u planu položaja ove sile sijeku se u jednoj tački, a u planu sila zatvaraju trougao sila!


• sila se rastavi na i


Kada se i kako se primjenjuje Ritterova metoda kod ravnoteže?

Riterova je metoda prikladna za rješavanje onih zadataka ravnoteže gdje se analizira, u pravilu, samo jedno tijelo. Drugi važan uslov je da se poznati pravci triju nepoznatih iznosa sila sijeku međusobno u okviru crteža plana položaja.Princip se temelji na Momentnom pravilu (Varinjonov teotem) za slučaj ravnoteže. Metoda je grafo-analitička. Potrebno je crtati plan položaja u mjerilu.

POSTUPAKU tački u kojoj se poznati pravci dviju nepoznatih veličina sila sijeku postavi se MOMENTNA JEDNAČINA RAVNOTEŽE. Ovo daje jednačinu samo s jednom nepoznatom - iznos treće nepoznate sile. Pri ovome se krakovi svih sila izmjere u planu položaja. Ovaj se postupak treba ponoviti za još dva preostala sjecišta.


Homogena je kružna ploča poluprečnika r = 25 cm i težine

učvršćena s tri štapa i opterećena silom Odrediti sile u štapovima 1, 2 i 3 grafo-analitičkom metodom po Ritteru.

, prema slici.


RješenjeRješenje metodom po Ritteru:Ovdje se radi o opštem ravanjskom skupu sila te je moguće postaviti TRI momentne jednačine ravnoteže. Pravci sila, koje djeluju kao reakcije u štapovima, sijeku se uzajamno u okviru crteža, a to je preduslov primjene metode po Ritteru.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/b_ravnina/E_o_p47rit.htm




Kada se i kako se primjenjuje metoda verižnog poligona kod ravnoteže?Metoda je prikladna za rješavanje onih zadtaka ravnoteže gdje se analizira, u pravilu, jedno tijelo ili više tijela zglobno povezanih, opterećeno s više vanjskih sila koje mogu biti međusobno paralelne. Jedan važan uslov je da se poznati pravci bar dviju nepoznatih iznosa sila sijeku u okviru crteža plana položaja.Princip se zasniva na sličnom postupku kao kod rastavljanja poznate sile na tri komponente samo se OVDJE radi o RAVNOTEŽI. Potrebno je crtati plan položaja i plan sila u mjerilu.

POSTUPAK• posmatrano se tijelo oslobodi veza s okolinom ili s ostalim tijelima (ako postoje) te ove veze zamijene silama poznatog pravca, za sada nepoznatog iznosa i smjera. • U planu sila nacrta se poligon zadanih (poznatih) sila proizvoljnim redoslijedom. • Nepoznate se sile, kojih u opštem pa i u ovom primjeru ne smije biti više od tri, povlače posljednje. Jedna od nepoznatih sila, čiji je pravac djelovanja poznat i smjer pretpostavljen, počinje npr. u šiljku zadnje poznate sile.


• Preostale se dvije (koje se u planu položaja sijeku u jednoj tački), a kao njihova rezultanta (na osnovu Drugog aksioma Statike) završava svojim šiljkom u početku prve zadane (poznate) sile • Granica će između ove dvije nepoznate sile biti određena polnom zrakom - zaključnicom s'. • U planu sila odabere se pol P te povuku i označe polne zrake za sve poznate ucrtane sile. • U planu položaja nacrta se verižni poligon - dvije polne zrake i sila koje stvaraju trokut u planu sila, u planu se položaja sijeku u jednoj tački na pravcu te sile. • Prva se verižnica treba povući i kroz sjecište dvije nepoznate komponente jer je to sigurno, u prvom pristupu, jedina poznata tačka pomoćne rezultante ove dvije komponente. • Prva i posljednja verižnica presijecaju pravce nepoznatih sila te se kroz te dvije tačke povuče zaključnica s' (verižni poligon zatvoren!) i paralelno prenese u plan sila kroz pol P (ovdje s). • Tamo gdje zaključnica s presječe pravac prve povučene nepoznate sile određena je granica gdje završava ta sila, te gdje počinje pomoćna rezultanta. • Na ovaj su način određeni i iznosi nepoznatih sila, a plan sila ovim je postupkom zatvoren. • Pomoćnu je rezultantu potrebno sada rastaviti na dvije komponente u početku nepoznatih sila.


Homogena je kružna ploča poluprečnika r = 25 cm i težine učvršćena s tri štapa i opterećena silom Odrediti sile u štapovima 1, 2 i 3 metodom veržnog poligona.

, prema slici.

RješenjeRješenje metodom verižnog poligona:Ovdje se radi o opštem ravanjskom skupu sila.Bar se dva pravca sila koje djeluju kao reakcije u štapovima sijeku u okviru crteža, a to je preduslov primjene metode verižnog poligona u ovakvim primjerima.

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/b_ravnina/E_o_p47ver.htm


POSTUPAK1. Posmatrana se kružna ploča oslobodi veza s okolinom te ove veze (štapovi) zamijene silama s pravcem usmjerenim kao i štapovi, za sada nepoznate veličine. Smjer ovdje (u prvom koraku) nije bitan, a može se pretpostaviti kao zatezna. U planu se sila nacrta poligon zadatih (poznatih) sila proizvoljnim redoslijedom te nacrtaju polne zrake.


2. Jedna od nepoznatih sila, npr. pretpostavljen, počinje npr. u vrhu zadnje poznate sile

, čiji je pravac djelovanja poznat i smjer

Preostale se dvije sile (koje se u planu položaja sijeku u tački K), a kao njihova rezultanta (na osnovu Drugog aksioma Statike) završava svojim vrhom u početkuprve ucrtane sile, ovdje . U planu položaja nacrta se verižni - dvije polne zrake i sila koje stvaraju trougao u planu sila, u planu se položaja sijeku u jednoj tački na pravcu te sile.

poligon

3. Granica će između ove dvije nepoznate sile i

- zaključnicom s'.biti određena polnom zrakom

4. Prva se verižnica treba povući i kroz sjecište K dvije nepoznate komponente jer je to sigurno, u prvom pristupu, jedina poznata tačka pomoćne rezultante

ove dvije sile.


5. Prva i posljednja verižnica (1' i 3') u planu položaja presijecaju pravce nepoznatih sila i (tačka K) te se kroz te dvije tačke povuče zaključnica s' (verižni poligon

zatvoren!) i paralelno prenese u plan sila kroz pol O (ovdje s).6. Tamo gdje zaključnica s presječe pravac prve povučene nepoznate sile

određena je granica gdje završava ta sila, te gdje počinje pomoćna rezultanta

7. Na ovaj su način određeni i iznosi nepoznatih sila, a plan sila ovim je postupkom zatvoren.


8. Pomoćnu je rezultantu potrebno sada rastaviti na dvije komponente


Kako glase grafički uslovi ravnoteže opšteg skupa sila u ravnini?

U planu sila zatvoren poligon sila i u planu položaja zatvoren verižni poligon.

Kako glase i koliko jednačina ravnoteže postoji kod opšteg ravanjskog skupa sila?

Kada se posmatrano tijelo oslobodi veza s drugim tijelima i okolinom sve sile moraju udovoljiti uslovu da bez obzira na tačku redukcije svih sila ne smije postojati ni rezultanta niti moment sprega sila, dakle: i

Mogu postojati tri nepoznanice (obično sile, ali mogu biti i neke druge veličine) potrebno je postaviti sustav od tri algebarske jednačine. Odabere se po volji koordinatni sistem, najpovoljnije tako da je ishodište u sjecištu pravaca dviju nepoznatih sila te su moguća tri oblika sistema algebarskih jednačina:

• zbirovi komponenti sila u smjeru dviju osi koordinatnog sistema te zbir momenta s obzirom na bilo koju tačku moraju biti jednake nuli:

1) 2) 3)


• zbir komponenti svih sila na jednu os koordinatnog sistema i zbirovi momenta svih sila oko dvije tačke moraju biti jednaki nuli. Ograničenje je da ove dvije tačke ne smiju ležati na pravcu koji je okomit na tu os koordinatnog sistema:

1) 2) 3) (uz uslov da pravac nije okomit na os x)

Zašto postoji uslov da pravac ne smije biti okomit na os x?

Ako ovaj uslov nebi bio ispunjen može se zamisliti da nakon redukcije svih sila ipak POSTOJI rezultanta koja bi mogla ležati na pravc u

i Jednačine: su odmah udovoljene jer rezultanta

NEMA kraka niti oko točke A niti oko točke B, a na temenlju momentnog pravila (Varinjonov teorem) moment rezultante oko neke točke jednak je momentu svih sila koje tu rezultantu čine.


Jednačina: je udovoljena jer je rezultanta

Ovime bi postavljene jednačine, kao uslovi ravnoteže, bile neupotrebljive!

okomita na os x.

Ako ova okomitost nebi postojala tada bi rezultanta na os x te bi se primjenom gornje jednačine

imala projekciju

dovelo do njenog poništavanja što je i uslov ravnoteže! ili zbirovi momenata svih sila oko tri tačke moraju biti jednaki nuli:

(uz uslov da tačke A, B i C nisu na istom pravcu)

Zašto postoji uslov da tačke A, B i C nisu na istom pravcu? Ako ovaj uslov nebi bio ispunjen može se zamisliti da nakon redukcije svih sila ipak POSTOJI rezultanta koja bi mogla ležati na pravcu tačaka A, B i C. Jednačine: su odmah udovoljene jer rezultanta

NEMA kraka niti oko točke A niti oko točke B, niti oko točke C, a na osnovu momentnog pravila (Varinjonov teorem) moment rezultante oko neke točke jednak je momentu svih sila koje tu rezultantu čine. Ovime bi postavljene jednačine, kao uslovi ravnoteže, bile neupotrebljive!


Ako bi npr. tačka C ležala izvan pravca tada bi rezultanta u odnosu na tačku C te bi

imala krakse primjenom jednačine

dovelo do njenog poništavanja što je i uslov ravnoteže!


Odrediti analitički silu u užetu CD, te reakcije u A i B za homogenu gredu težine koja se nalazi u ravnoteži oslonjena na glatki uspravni zid i glatku kosu

podlogu u točkama A i B. Zadano je:

Analitičko rješenje:kako se ovdje radi o opštem ravanjskom skupu sila, moguće je postaviti TRI jednačine ravnoteže. Homogena teška greda oslanja se u tačkama A i B na glatke podloge te se stoga reakcije u tim tačkama postavljaju okomito na podlogu upravljene prema gredi. Sila se u užetu pretpostavlja kao zatežuća.


Rješenje

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/E_ravnoteza/b_ravnina/E_o_p44ana.htm


Kako glase i koliko jednačina ravnoteže postoji kod ravanjskog skupa paralelnih sila?

Kada se posmatrano tijelo oslobodi veza s drugim tijelima i okolinom sve sile moraju udovoljiti uslov da bez obzira na tačku redukcije svih sila ne smije postojati ni rezultanta niti moment sprega sila, dakle:

Mogu postojati dvije nepoznanice (obično sile, ali mogu biti i neke druge veličine) potrebno je postaviti sistem od dvije algebarske jednačine.Odabere se po volji koordinatni sistem, ali tako da mu je jedna os (npr. y) paralelna sa zadanim silama. Moguća su dva pristupa: • zbir svih sila (na zajedničkom pravcu npr. y) i zbroj njihovih momenata s obzirom na bilo koju tačku moraju biti jednaki nuli

ili

zbirovi momenata s obzirom na dvije tačke jednaki nuli

(uz uslov da pravac nije paralelan s osi y)

Zašto postoji uslov da pravac

ne smije biti paralelan s osi y?


Ako ovaj uslov nebi bio ispunjen može se zamisliti da nakon redukcije svih sila ipak POSTOJI rezultanta koja bi mogla ležati na pravcu

Jednačine su odmah udovoljene jer rezultanta

NEMA kraka niti oko tačke A, niti oko tačke B, a na osnovu momentnog pravila (Varinjonov teorem) moment rezultante oko neke tačke jednak je momentu svih sila koje tu rezultantu čine. Ovime bi postavljene jednačine, kao uslovi ravnoteže, bile neupotrebljive!

Ako pravac nebi bio paralelan s osi y tada bi rezultanta na ili tačku A ili tačku B te bi se primjenom jednačina

imala krak u odnosu

dovelo do njenog poništavanja što je i uslov ravnoteže!


Kako glase i koliko jednačina ravnoteže postoji kod ravanjskog skupa konkurentnih sila?

Ovdje se zapravo radi o zglobu u kojem su povezani štapovi ili užad, a mogu se uz mala pojednostavljenja ovakvim pristupom posmatrati i mali koloturi smješteni na zajedničkoj osovini preko kojih je prebačeno jedno ili više užadi. Kada se posmatrano tijelo (zglob) oslobodi veza s drugim tijelima i okolinom, sve se sile (poznate i reakcije veza) moraju sijeći u jednoj tački. Sile moraju zadovoljiti uslov ravnoteže, bez obzira na tačku redukcije sila, da ne smije postojati rezultanta. Moment skupa sila NE MOŽE postojati jer se sve sile sijeku u jednoj tački (koja se može izabrati za točku redukcije), dakle:

Mogu postojati dvije nepoznanice (obično sile, ali mogu biti i neke druge veličine, uglovi npr.) potrebno je postaviti sistem od dvije algebarske jednačine. Odabere se u pravilu koordinatni sistem u tački sjecišta svih sila.Zbir svih projekcija sila na osi koordinatnog sistema moraju biti jednaki nuli:


6. USLOVI RAVNOTEŽE TIJELA KADA DJELUJE TRENJEŠto je to statički faktor trenja?

To je faktor na tijela u kontaktu u trenutku prije nego započne kretanje jednog tijela prema drugom.

koji pokazuje granični odnos sile trenja i normalne sile koje djeluju

Što je to kinetički faktor trenja?

To je faktor u kontaktu za vrijeme kretanja jednog tijela prema drugom.

koji pokazuje omjer sile trenja i normalne sile koje djeluju na tijela

TRENJE U DODIRU KRUTIH TIJELA Kakve vrste trenja klizanja postoje?

U pravilu postoji:• suvo trenje, (između dva tijela u dodiru ne postoji nikakvo sredstvo koje bi utiecalo da se tijela za vrijeme kretanja ne dodiruju) • polusuvo trenje, (između dva tijela u dodiru postoji sredstvo za podmazivanje, ali u tankom sloju, koje djelomično razdvaja tijela za vrijeme kretanja) • tekućinsko trenje (između dva tijela u dodiru postoji sredstvo za podmazivanje koje razdvaja tijela za vrijeme kretanja).


Zašto je kod tekućinskog trenja sila trenja najmanja?Ovo se trenje objašnjava time što je trenje koje djeluje između molekula maziva (tekućine) znatno manje nego u dodiru krutih tijela.

Kako glasi Coulombov zakon trenja klizanja dok tijelo miruje?Sila trenja usmjerena u suprotnom smjeru od vučne sile

namjeri kretanja tijela

, opirući se tako

Ugao statičkog trenja određuje pravac reakcije kada se tijelo nalazi još uvijek u mirovanju (granična ravnoteža) ili sepočinje kretati.

Vrijedi:

pri čemu je:

U ovom slučaju vrijedi nejednačina:koja samo u graničnom slučaju postaje jednačina:

Ovdje je faktor statičkog trenja(faktor prianjanja).


Kako glasi Coulombov zakon trenja klizanja kada se tijelo jednoliko kreće?

Sila trenja usmjerena u suprotnom smjeru od vučne sile kretanju tijela

opirući se tako

Uopšteno vrijedi:

Ovdje je faktor kinetičkog trenja:

U ovom slučaju vrijedi jednačina:

Ovdje je: faktor kinetičkog trenja.


Kako se tumači odnos između statičkog i kinetičkog faktora trenja?

Dok tijela, koja se dodiruju (pritišću se normalnom silom ) miruju, dolazi do "lijepljenja" vrškova neravnina koje postoje na površini tijela. Pri namjeri da se jedno tijelo pomakne u odnosu na drugo, potrebno je u graničnom trenutku "otkinuti" djeliće "spojenog" materijala. Nakon što se ove "veze" pokidaju, tijela se mogu uz manju aktivnu silu kretati jedno u odnosu na drugo.U slučaju dok tijelo miruje vrijedi nejednačine: slučaju postaje jednačina:

koja samo u graničnomOvdje je faktor statičkog trenja.

U slučaju kretanja vrijedi jednačina: . Ovdje je faktor kinetičkog trenja.

Iz ovoga se može zaključiti da je: , tj. ugao trenja


Što je to ugao trenja?

Ugao statičkog trenja određuje pravac reakcije dodira tijela kada se tijelo nalazi još uvijek u ravnoteži (granična ravnoteža)

prema normali na tangencijalnuravan

ili počinje kretanje.

Ugao kinetičkog trenja određuje pravac reakcije prema normali na tangencijalnu ravninu dodira tijela kada se tijela nalaze u stanju kretanja.


Kako bi se eksperimentalno odredio faktor trenja?

Analizom stanja slobodnog tijela na kosini.

Kada je kosina nagnuta u graničnom slučaju za ugao

u slučaju ravnoteže vrijedi: Ovdje je faktor statičkog trenja.

Od čega zavisi faktor trenja?

Faktori statičkog i kinetičkog trenja zavisi od materijala i hrapavosti površina tijela koja su u dodiru.


Kolike su veličine faktora trenja za najčešće korištene materijale u dodiru?

Faktori statičkog i kinematičkog trenja zavise od materijala i hrapavosti dodirnih površina, neke orijentacijske vrijednosti date su u tabeli.


Što je to konus trenja?Neka se zamisli da neko tijelo leži na vodoravnoj hrapavoj podlozi. Neka na tijelo djeluje horizontalna sila koja ima granični iznos tako da je reakcija otklonjena od normale upravo za ugao

Ukoliko bi se pravac djelovanja sile rotirao u vodoravnoj ravnini, tada bi pravac djelovanja reakcije kao izvodnica plašta opisivao uspravni čunj (konus). Prostor unutar čunja (konusa) su svi mogući položaji pravca reakcije koji prolaze vrhom toga čunja bez obzira na iznos i smjer djelovanja vodoravne sile


Što je to površina ravnoteže kod trenja klizanja ?Neka se zamisli da neko tijelo (homogena teška greda) leži jednim krajem na vodoravnoj hrapavoj podlozi, a drugim krajem se naslanja na uspravni hrapavi zid. Ovo tijelo ima težnju kretanja prema dolje i ulijevo. Ovo ukazuje da su mogući najveći otkloni ukupnih reakcija podloge. i zida za granične uglove tj.

Prema teoremu o ravnoteži tri neparalelne sile potrebno je da se u planu položaja sve tri sile sijeku u jednoj tački. Ako je sila jedino vanjsko opterećenje tada bi njen pravac djelovanja trebao prolaziti osjenčanom zelenom površinom.U prikazanom položaju ravnoteža nije održiva.


Odrediti analitički i grafički iznos sile F potrebne za dizanje tereta Q pomoću dva klina zanemarive težine, ako je zadano:

RješenjeAnalitičko rješenje:Koordinatni sistem zakrene se za ugao što u ovom slučaju pojednostavljuje jednačine ravnoteže. Klinovi se oslobađaju veza s podlogom ucrtavanjem odgovarajućih sila veza,Uglovi trenja su:

Slijedi:

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/F_trenje/a_klizanje/F_o_p58.htm


Jednadžbe ravnoteže su:

Klin 1:

Klin 2:

Sređivanjem jednačina i uvrštavanjem zadanih vrijednosti slijedi:


Grafičko rješenje:Primjenom teorema o ravnoteži tri neparalelne sile, prvo se riješi klin 1 čime se odredi sila kontakta Sada se može riješiti klin 2.


TRENJE UŽETAKoje pretpostavke su bitne kod analize trenja užeta?

Osnovna je pretpostavka da je uže idealno savitljivo što osigurava njegovo ravnomjerno nalijeganje na podlogu (u pravilu kružni cilindar). Ovo, isto tako, znači da se u užetu ne smiju pojavljivati niti poprečne unutrašnje sile niti moment savijanja. Ovo praktički znači da je prečnik užeta znatno manji od prečnika kružnog cilindra.

Kako glasi Ojlerova jednačina za trenje užeta?

Za određivanje granične sile u savitljivom užetu koje obuhvaća hrapavo kruto kružno cilindrično tijelo koristi se Ojlerova formula:

gdje je ugao obuhvaćanja a može se izračunati pomoću ugla

u radijanima,

u stepenima: Ovdje je faktor statičkog trenja između krutog

kružnog cilindričnog tijela i užeta.


Dva tijela težina G i Q spojena su užetom koje je prebačeno preko nepomične valjkaste površine. Treba odrediti težinu tereta Q tako, da sistem tijela ostane u stanju mirovanja. Zadano:

Rješenje

Obuhvatni ugao:

Ugao trenja:

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/F_trenje/b_uzeta/F_o_p510.htm


Spuštanje tereta Q: Analizom sila na blok G na kosini, izračuna se sila u užeta i u primjeru granične ravnoteže vrijedi:

Granična ravnoteža bit će prema Ojlerovoj formuli za trenje užeta:


Dizanje tereta Q: Analognim postupkom izračuna se sila u užetu za graničnu ravnotežu:

Težina Q za ravnotežu bit će tada prema Ojlerovoj formuli za trenje užeta:

Prema tome sistem tereta ostat će u stanju mirovanja u slučaju da je težina tereta Q u granicama:


Kako se računa moment kočenja pojasne kočnice?

Pojasna je kočnica tipičan primjer primjene trenja užeta. Savitljiva traka obuhvaća kružni bubanj koji je uležišten. Na bubanj djeluje zakretni moment kojeg treba zakočiti.

Ravnoteža bubnja kočnice:

Ojlerova formula za trenje užeta:

gdje je

R je polumjer kočionog bubnja, r je polumjer na kojem djeluje poznata sila S, a

obuhvatni ugao užeta,

je faktor kinematskog trenja između kočionog bubnja i pojasa.

Konstrukcija se izvodi obično tako da se kraj pojasa gdje djeluje sila

za nepomični oslonac (za prikazani je smjer vrtnje bubnja sila

obično veže

dok se za drugi kraj pojasa veže mehanizam kojim se zateže pojas kočnice.

,


TRENJE ROTIRAJUĆIH TIJELA I TRENJE KOTRLJANJA Kako se računa moment trenja radijalnog ležaja?

Reakcija ležaja (rezultanta) tangira kružnicu trenja polumjera na strani prema kojoj se rukavac vrti i to u primjeru trenja kada nema podmazivanja između rukavca i ležaja.

Ugao između normalne reakcije i rezultante je ugao trenja

Na rukavac djeluje moment otpora trenja protivno smjeru vrtnje:


Kako se računa moment trenja aksijalnog ležaja?

Uz pretpostavku da je između čela rukavca i ležaja, moment otpora trenja na rukavac vratila bit će:

= konst i pritisak po dodirnoj površini jednoliko raspoređen


Kako se računa otpor trenja kotrljanja?Djelovanjem težine točka nejednoliko raspoređenim opterećenjem p

podloga se deformira i djeluje na točak

Rezultanta tog opterećenja prolazi kroz točku A. Sila potrebna za kotrljanje točka

iznosi: gdje je faktor trenja kotrljanja.

Kako bi nastupilo kotrljanje bez klizanja mora biti ispunjen uslov:


7. RAVNOTEŽA RAVNIH REŠETKASTIH NOSAČAKoje se pretpostavke uzimaju kod analize rešetkastih nosača?a) Rešetkama se nazivaju konstrukcije koje se sastoje od sistema štapnih trokuta (krute figure), kod kojih svaka dva susjedna trokuta imaju jednu zajedničku stranicu

(štap); b) štapovi kod rešetkastih nosača su ravni i na krajevima su spojeni u čvorovima (zglobovi bez trenja); c) štapovi su opterećeni ili samo na zatezanje ili samo na pritisak, d) vanjske sile djeluju samo u čvorovima rešetke; e) rešetkasti je nosač upotrebljiv kao nosač samo ako je geometrijski nepromjenjiv, tj. kao cjelina mora djelovati kao kruta ploča.


Kada je rešetkasti nosač statički neodređen i kako se to provjerava?

Najmanji broj štapova od kojih se može sastaviti ravnu krutu rešetku određen je formulom:

s broju štapova,n odgovara broju čvorova rešetke, dok je broj 3 u ravanjskom primjeru broj komponenti reakcija veza. Broj je 2 u ovoj formuli broj jednačina koji se može postaviti za svaki čvor (konkurentni skup sila!).

gdje je

U tom je slučaju rešetkasti nosač statički određen.


Za: zadatak je statički neodređen,


rešetka nestabilna (pokretni mehanizam). dok je u primjeru:


Kako se analitički određuju sile u štapovima rešetke?Analitički se reakcije u osloncima određuju pomoću jednačina uslova ravnoteže ravanjskog skupa sila. Nosač se posmatra u tom slučaju kao jedna kruta ploča, oslobođena veza s okolinom. Zadanim se silama dodaju pretpostavljene sile veza i u opštem slučaju postave tri jednačine:

Što je to metoda čvorova?

Određivanje sila u štapovima zasniva se na uslovu da sve sile, vanjske i unutrašnje, koje djeluju u jednom čvoru moraju biti u ravnoteži. Ovdje se radi o konkurentnom skupu sila u ravnini. U svakom se čvoru štapovi "zamijene" silama (obično se pretpostve zatežuće sile).Uslovi ravnoteže postavljaju se za svaki čvor izdvojeno u obliku:

ANALITIČKI: GRAFIČKI: u planu položaja vanjske sile u svakom čvoru i sile u štapovima toga čvora sijeku se u jednoj tački (tome čvoru), a u planu sila je zatvoren poligon sila.Kod rješavanje se UVIJEK polazi od onoga čvora u kojem su najviše DVIJE nepoznate sile, bilo da se radi o anlitičkom ili grafičkom rješenju.


Primjenom metode čvorova potrebno je odrediti sile u štapovima nosača zadanog i opterećenog prema slici, ako je poznato:

RJEŠENJE Analitičko rješenje reakcija

Kod određivanja reakcija veza, cijela se rešetkasta konstrukcija posmatra kao jedna kruta ploča. Oslonci se zamjene pretpostavljenim reakcijama veza, te se za opšti slučaj sila u ravnini postave jednačine ravnoteže:

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/G_resetke/G_o_p6_1a.htm


Grafičko određivanje reakcija veza

U planu se sila ucrtaju zadane sile i iz proizvoljno odabranog pola P,

i povuku polne zrake 1 do 4

Kako poligon sila, uključivo i sile reakcija veze i zatvoren, to se može uzeti da sila

, mora biti

započinje u vršku sile , a sila Kako poligon sila, uključivo i sile reakcija veze

i , mora biti zatvoren, to se može uzeti da sila započinje u vršku sile , a sila

završava u početku sile

to se u planu položaja verižnica 4’ povući tačkom A kao jedinom tačkom pravca sile

nije poznat, nego

poznatom

svojim vrškomKako smjer sile

samo jedna njegova tačka,mora

, odnosno početak sile


Analitičko određivanje sila u štapovima

Određivanje sila u štapovima zasniva se na uslovu da sve sile, vanjske i unutrašnje (sile u štapovima), koje djeluju u jednom čvoru moraju biti u ravnoteži. Kako se ovdje radi o konkurentnom skupu sila, analitički se uslovi ravnoteže postavljaju za svaki čvor izdvojeno u obliku:a započinje se s onim čvorom u kojem nema više od dvije nepoznanice.

ČVOR E:

ČVOR C:


ČVOR D:

ČVOR A:


Grafičko određivanje sila u štapovima

Grafički uslovi ravnoteže ispunjeni su kada se u planu položaja vanjske sile u svakom čvoru i sile u štapovima toga čvora sijeku u jednoj tački, a u planu sila je zatvoren poligon sila. Započinje se s onim čvorom u kojem nema više od dvije nepoznanice.

ČVOR E:

ČVOR C:

ČVOR D:

ČVOR A:


Kako se primjenjuje metoda presjeka po Culmannu?

Za određivanje sila u pojedinim štapovima rešetkastog nosača, koristi se metoda presjeka. Pri tome se ne smije “presjeći” više od tri štapa, jer se metodom presjeka može odjednom odrediti samo tri nepoznate sile.Culmannova se metoda presjeka zasniva na ravnoteži jedne poznate sile i tri sile kojih su SAMO pravci djelovanja poznati (zamišljeni presjeci štapova).Postupak: zamišljeno je da se rešetka presječe kroz štapove kojih sile treba odrediti te se posmatra ravnoteža lijevog ili desnog dijela

Svaki od ovih dijelova će biti u ravnoteži pod djelovanjem vanjskih sila i nepoznatih unutrašnjih sila u presječenim štapovima, koje zamjenjuju djelovanje odsječenog dijela rešetke. Tačan će smjer sila u štapovima biti određen zatvorenim poligonom sila.


Primjenom Culmannove metode presjeka potrebno je odrediti sile u štapovima 4, 5 i 6 nosača zadanog i opterećenog prema slici, ako je poznato:

Rješenje: Rješenje po CulmannuU planu položaja odredi se pomoću verižnog poligona položaj rezultante svih vanjskih sila koje djeluju npr. lijevo od promatranog presjeka.da sile

Može se pretpostavitii imaju rezultantu L koja u planu položaja prolazi njihovim sjecištem (D), a

radi udovoljavanja uslova ravnoteže mora se sjeći u jednoj točki (M) sa silama i

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/G_resetke/G_o_p6_1b.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/G_resetke/G_o_p6_1b.htm


Dakle mora vrijediti:

(sabijanje).


Kako se primjenjuje metoda presjeka po Ritteru?Ova se metoda presjeka primjenjuje kada treba odrediti sile u pojedinim štapovima rešetkastog nosača. Ne smije se “presjeći” više od tri štapa, jer se i kod ove metode presjeka može odrediti samo tri nepoznate sile.

Ako je promatrani dio rešetke u ravnoteži, onda mora suma momenata svih sila koje na taj dio djeluju, s obzirom na bilo koju tačku posmatranog dijela rešetke, biti jednaka nuli. Za momentne polove biraju se tri sjecišta pravaca presječenih štapova. Na taj se način određuju tri jednačine, od kojih svaka sadrži samo jednu nepoznanicu, a odatle se izračunavaju tražene sile u štapovima presjeka rešetke.


Primjenom Riterove metode presjeka potrebno je odrediti sile u štapovima 2, 3 i 4 nosača zadanog i opterećenog prema slici, ako je poznato

Rješenje po RitteruAko se za rešetkasti nosač prema slici iz plana položaja izmjere udaljenosti

i pomoću poligona sila i verižnog poligona odredi položaj i iznos rezultante

, te analitički ili

koje djeluju na lijevi dio presječene rešetke, jednadžbe momenata su:

svih vanjskih sila


8. RAVNOTEŽA RAVNIH PUNIH NOSAČA - DEFINICIJE, POJAM "UNUTRAŠNJA SILA" Što je to ravni puni nosač i koje su pretpostavke sa stajališta geometrije?

Pod pojmom ravni puni nosač podrazumijeva se sljedeće:ravni: uzdužna linija (najčešće pravac) koja povezuje sva težišta poprečnih presjeka nosača leži u jednoj ravnini, a okomita je na sve poprečene presjeke;

puni: nema diskontinuiteta (prekida) između dva susjedna poprečna presjeka nosača. Ovime se razlikuju od rešetkastih nosača kod kojih globalna uzdužna os nosača (npr. os između oslonca A i B) ne povezuje zamišljene poprečne presjeke štapova od kojih je nosač sastavljen;

nosač: naziva se još i greda, pri čemu je sa stajališta geometrije dužina uzdužne osi znatno veća nego bilo koja poprečna dimenzija (poprečnog presjeka);


Koje vrste opterećenja primjenjujemo kod nosača?

Kod analize unutrašnjih sila kod nosača svrsishodno je sistematizovati opterećenje na sljedeće tri vida:koncentrisana sila: sila s hvatištem u tačno određenoj tački nosača

kontinuirano opterećenje: koji se u nekim primjerima naziva se još i rasuti teret. Jednoliko ili nejednoliko rapoređeno opretećenje uzduž osi nosača. Jedninica mjere je sila/dužini (npr. kN/m)


koncentrirani moment: to je spreg sila koji se radi jednostavnosti prikazivanja označava simbolički. Ovakvo opterećenje nastaje npr. kod redukcije sila na vratilu opterećenog zupčanika s kosim zubima.

Zašto i kada se smije sila pomicati po svom pravcu djelovanja?

Samo kada se izračunavaju rekacije veza nosača, ali nikada kada se analiziraju unutrašnje sile u nosaču.

U ovom se primjeru neće promijeniti iznosi reakcija veza!


ali će se slika unutrašnjih uzdužnih sila posve promijeniti!


Koje su unutrašnje sile kod nosača?Neka se zamisli jednostavno nosač na dva oslonca i opterećen jednom silom.

Nosač se oslobodi veza i pomoću teorema o ravnoteži tri neparalelne sile, odrede se reakcija veza u osloncima.


Neka se zamisli presjek nosača na udaljenosti x .

Neka se analizira npr. lijevi dio "presječenog" nosača. Za ovaj poprečni presjek kaže se da je pozitivan jer je njegova normala (poluos koja "izlazi" iz presjeka) upravljena u pozitivnom smjeru osi x. Kako uslovi ravnoteže moraju biti ispunjeni, to je nužno djelovanje neke sile R koja mora uravnotežiti vanjske djelatne sile na nosač. Sila se R može odrediti kao i ranije.

Neka se izvrši redukcija (izmještanje) sile R u tačku težišta poprečnog presjeka nosača. Ovo je jedino moguće ako se doda i moment M. Radi podsjećanja može se pogledati tema "redukcija sile".

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/D_redukcija/Frameset.htm


Sile se R može rastaviti u dvije komponente u smjeru pozitivnih osi koordinatnog sustava, a moment oko osu y u pozitivnom smjeru te osi.

ili samo N je ovdje uzdužna unutrašnja sila upravljena u smjeru osi x. je ovdje poprečna sila upravljena u smjeru osi z. je ovdje moment savijanja oko osi y.

Ovaj se princip može proširiti i na prostorne nosače. Tada se pojavljuju poprečene sile u smjerovima osi z i y, dok se moment savijanja javlja još i oko osi z. Moment se oko osi x tada naziva moment uvijanja ili torzije.


Po kom se principu određuju veličine i smjerovi unutrašnjih sila?Kod određivanja unutrašnjih sila, te momenata savijanja u poprečnom presjeku x nosača primjenjuje se pravilo reza.Kako oba dijela nosača razdvojena zamišljenim rezom , odnosno biti u ravnoteži, to na mjestu reza moraju djelovati unutrašnje sile.

, moraju


Posmatra li se npr. površina reza čija se normala podudara sa smjerom osi x (pozitivni presjek)

tada vrijede jednačine ravnoteže za sve vanjske sile na dijelu nosača lijevo od presjeka i za sve unutrašnje sile na mjestu reza:

te momentna jednačina oko osi y za tačku P na mjestu reza:


Ponekad je jednostavnije analizirati dio nosača od reza dakle desni dio nosača,

do kraja nosača,

Jednačine ravnoteže su analogne gornjim, a pozitivni su predznaci unutrašnjih sila na negativnom presjeku upravo protivni smjerovima osi.


Kakva su fizikalna objašnjenja predznaka unutrašnjih sila?

Uzdužna sila je pozitivna kada je nosač u

Poprečna sila je pozitivna kako je definisanoslikom.

smjeru osi x opterećen na istezanje.


Moment savijanja je pozitivan kada se uzdužna os x "želi" savijati konkavno.


8. RAVNI PUNI NOSAČI - MEĐUZAVISNOSTI UNUTRAŠNJIH SILA

U kojoj su međusobnoj zavisnosti unutrašnje sile?

Ova se međusobna zavisnost može pokazati na ravnoteži dijela nosača.


Koje je geometrijsko značenje derivacije funkcije poprečne sile po apscisi?

Zavisnost: predstavlja nagib tangente na krivulju (graf funkcije) (x) .

Na slici su pokazana tri karateristična mjesta.

Na mjestu vrijedi

na mjestu vrijedi

na mjestu vrijedi

Iz slike je vidljivo da je:

te će i uglovi nagiba tengenti na krivulju (graf funkcije) (x) prema osi x biti

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/H_nosaci/b_medjuovis/H_s_079_1.htm


Postave se jednačine ravnoteže:

(U ovom primjeru nema vanjskih sila u x smjeru!)

, slijedi zavisnost:

drugog reda, slijedi zavisnost:

, uz zanemarivanje diferencijala


Koje je geometrijsko značenje derivacije funkcije momenta savijanja po apscisi?

Zavisnost: , predstavlja nagib tangente na krivulju (graf funkcije) (x).

Na slici su pokazana tri karateristična mjesta.Na mjestu vrijedi

na mjestu

na mjestu

Iz slike je vidljivo da su iznosi poprečnih sila

tengenti na krivulju (graf funkcije)

te će i uglovi nagiba

prema osi x biti (x)

Kako je na mjestu funkcija negativna to će i ugao

(x)biti < 0.

U točki M funkcija (x) = 0 pa će nagib tangente

(x) biti na krivulju (graf funkcije)



Kako se uočava djelovanje koncentrisane sile u Qz- dijagramu?

U dijagramu (x) djelovanje se koncentrisane sile uočava kao skok za veličinuiznosa sile F.U dijagramu (x) djelovanje se koncentrirane sile uočava kao lom.

Na slici je pokazano djelovanje koncentrisane sile na dijelu nosača gdje ne djeluje kontinuirano opterećnje pri čemu je iznos sile takav da uzrokuje u dijagramu (x)

promjenu predznaka poprečne sile. Ovo je uzrok pojave ekstrema u dijagramu

(x).



Na slici je pokazano djelovanje koncentrisane sile na dijelu nosača gdje NE djeluje kontinuirano opterećnje pri čemu je iznos sile takav da NE uzrokuje u dijagramu (x) promjenu predznaka poprečne sile.



Na slici je pokazano djelovanje koncentrirane sile na dijelu nosača gdje djeluje kontinuirano opterećnje pri čemu je iznos sile takav da uzrokuje u dijagramu (x)

promjenu predznaka poprečne sile. Ovo uzrokom pojave ekstrema u dijagramu (x).



Kako se uočava djelovanje kontinuiranog opterećenja u Qz- dijagramu?U dijagramu (x) djelovanje se kontinuiranog opterećenja uočava kaosilazni (ili uzlazni) pravac s nagibom određenom derivacijom

Na slici je pokazano djeovanje kontinuiranog opterećenja na konzolnom nosaču. Na slobodnom kraju nosača, tačka B, nema npr. koncentrirane sile te stoga ne može biti niti skoka u dijagramu (x) te ovdje pravac promjene poprečne sile silazi u nulu!



Na slici je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja na nosaču na dva oslonca. Na slobodnim krajevima nosača, tačke A i B, djeluju koncentrisane sile (reakcije veza) te stoga je skok u tim tačkama u dijagramu (x).



Na slici je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja koje se mijenja kontinuirano između q i ništice. Ovo ima za posljedicu u dijagramu (x) parabolu 2. reda (obično konveksnu) s tjemenom (eksremom) na mjestu gdje je q(x) nula jer je tu i derivacija

jednaka nuli!


Kako se uočava mjesto prestanka djelovanja kontinuiranog opterećenja u Qz- dijagramu?

U dijagramu (x) učinak se prestanka ili početka djelovanja kontinuiranogopterećenja uočava kao lom pravca . Pri ovome se na dijelu nosača bez kontinuiranogOpterećenja u dijagramu (x) to prikazuje pravcem paralelnim s osi x, dok se na dijelu gdje djeluje kontinuirano opterećenje to uočava pravcem s nagibom određenimderivacijom


Kako se uočava djelovanje kontinuiranog opterećenja u My- dijagramu?U dijagramu (x) djelovanje se kontinuiranog opterećenja uočava kao parabola2. reda.Na slici je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja konstantnog iznosa na konzolnom nosaču..

Na slobodnom kraju nosača, tačka B, nema nprkoncentrisane sile te stoga ne može biti niti skoka u dijagramu (x)

te ovdje pravac promjene poprečne sile silazi u nulu! Ovo ima za posljedicu u dijagramu parabolu 2. stepena (obično konveksnu)

(x)

s tjemenom (eksremom) na mjestu gdje je (x) ništica jer je tu i derivacija

jednaka nuli!



Na slici je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja konstantnog iznosa na nosaču na dva oslonca. Na slobodnim krajevima nosača, tačke A i B, djeluju koncentrisane sile (reakcije veza) te stoga je skok u tim tačkama u dijagramu (x).

Ovdje pravac promjene poprečne sile prolazi kroz nulu u nekoj tački (radi simetrije opterećenja na polovici nosača)! Ovo ima za posljedicu u dijagramu (x) parabolu 2. stepena (obično konveksnu) s tjemenom (eksremom) tačno u sredini

gdje je (x) nula jer je tu i derivacija

jednaka nuli!



Na slikama je pokazano djelovanje kontinuiranog opterećenja koje se mijenja kontinuirano između q i nule. Ovo ima za posljedicu u dijagramu (x) parabolu 2. stepena (obično konveksnu) s tjemenom (eksremom) na mjestu gdje je q(x) nula jer je tu i derivacija

jednaka nuli! Ovakva promjena poprečene sile

ima za posljedicu u dijagramu (x) parabolu 3. stepena.




Potrebno je odrediti dijagrame unutrašnjih sila za nosače u slijedećim primjerima:Konzolni nosač opterećen silom na kraju

Dijagram poprečnih sila

Dijagram momenata savijanja


Konzolni nosač opterećen koncentriranim momentom na kraju


Dijagram Momenata savijanja


Konzolni nosač opterećen kontinuirano cijelom dužinom




Konzolni nosač opterećen djelomično kontinuiranim opterećenjem




Prosta greda opretećena silom između oslonaca




Prosta greda opretećena koncentrisanim momentom između oslonaca




Prosta greda opretećena koncentrisanim momentom u osloncu




Greda s prepustom opretećena silom na kraju prepusta




Greda s prepustom opretećena koncentriranim momentom na kraju prepusta




Prosta greda opretećena kontinuiranim jednolikim opterećenjem između oslonaca




Prosta greda opretećena kontinuiranim nejednolikim opterećenjem između oslonaca




Za ravni nosač zadan i opterećen prema slici

odrediti reakcije u osloncima A i B te skicirati i kotirati Qz - i My - dijagrame, ako je zadano:

Analitičko rješenje reakcija Određivanje reakcija u osloncima nosača:Prvo je potrebno tijelo (ovdje je to nosač) osloboditi veza (pomični oslonac u A i nepomični u B)

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/H_nosaci/b_medjuovis/H_s_pr6_6_01.htm

http://www.sfsb.hr/ksk/statika/statika/H_nosaci/c_gerberovi/H_o_pr_ger_a.htm






Iz postavljenog zadatka je vidljivo da nema niti jedne sile u smjeru osi x. Dakle, sve su sile paralelne s osi z. Kako se radi o paralelnom skupu sila u ravnini potrebne su (i dovoljne!) DVIJE jednačine ravnoteže:

Reakcije u osloncima A i B su:

Određivanje unutrašnjih sila u nosaču - dio I.:

Potrebno je podijeliti nosač na dijelove unutar kojih niti funkcija (x) niti funkcija (x) neće imati LOM. To su dakle područja I, II. i III. Unutar područja I. zamislimo bilo gdje presjek nosača. Naravno da je potrebno na mjesto presjeka postaviti nadomjesne unutrašnje sile koje s ostatkom vanjskih sila stoje u ravniteži


1) 2)

Prema jednačini 1): Ovo je pravac paralelan s osi x.


Prema jednačini 2): Ovo je padajući pravac!

Ovdje se može ispitati međuzavisnost unutrašnjih sila:

Momenti savijanja na početku i na kraju područja:


Određivanje unutrašnjih sila u nosaču - dio II.:Unutar područja II. zamislimo bilo gdje presjek nosača. Naravno da je potrebno na mjesto presjeka postaviti nadomjesne unutrašnje sile koje s ostatkom vanjskih sila

stoje u ravniteži


1)

2)

Prema jednačini 1): Ovo je padajući pravac! Poprečne sile na početku i na kraju područja:

Prema jednačini 2):


Ovo je konveksna parabola. Ovdje se može ispitati međuzavisnost unutrašnjih sila:

Ova funkcija ima ekstrem: u tački Iznos momenta savijanja u ovoj tački:

Momenti savijanja na početku i na kraju područja:


Određivanje unutrašnjih sila u nosaču - dio III.:Prethodno Unutar područja III. zamislimo bilo gdje presjek nosača. Naravno da je potrebno na mjesto presjeka postaviti nadomjesne unutrašnje sile koje s ostatkom vanjskih sila

stoje u ravniteži Iz postavljenog zadatka je vidljivo da nema niti jedne sile u smjeru osi x. Dakle, sve su sile paralelne s osi z. Kako se radi o paralelnom skupu sila u ravnini potrebne su (i dovoljne!) DVIJE jednačine ravnoteže:

1)

2)

Prema jednačini 1): Ovo je padajući pravac! Poprečne sile na početku i na kraju područja:

Prema jednačini 2):

Ovo je konveksna parabola.


Ovdje se može ispitati međuzavisnost unutrašnjih sila:

Ova funkcija ima ekstrem:

u tački (tačka D!)

Momenti savijanja u karakterističnim presjecima nosača imaju vrijednosti:


GERBEROVI ili SASTAVLJENI (SLOŽENI) NOSAČIŠto su to složeni (sastavljeni) ili Gerberovi nosači?

To su u pravilu zglobno povezani ravni puni nosači oslonjeni na jednom nepomičnom i više pomičnih oslonaca. Broj zglobova je jednak broju prekobrojnih oslonaca (broju statičke neodređenosti). Raspored zglobova i oslonaca mora biti takav da niti jedan odsječak između dva susjedna zgloba ne bude statički neodređen.

Kod složenih (Gerberovih) nosača, tj. nosača sa zglobovima reakcije u osloncima određuju se iz uslova ravnoteže, jednako kao kod statički određenih ravnih nosača te iz dopunskih uslova da je u svakom zglobu moment savijanja jednaki nuli, jer se u zglobu ne može prenositi moment već samo poprečna i uzdužna sila.


Što su to puni zakrivljeni nosači?To su nosači čija je uzdužna os (linija koja spaja sva težišta poprečnih presjeka) može imati i oblik krivulje. Opterećenje takvih nosača može biti slično definisano kao i kod ravnih punih nosača. Obično se uzima da kontinuirano opterećenje djeluje OKOMITO na uzdužnu os nosača


Što su to okvirni nosači?Okvirni nosači su sastavljeni od ravnih ili zakrivljenih štapova (nosača) koji su međusobno spojeni krutim vezama. Jednačine su ravnoteže statički određenog okvirnog nosača za nosač u cjelini, u globalnom koordinatnom sustavu (H-V),

gdje su: H - horizontalni, a V - vertikalni smjerovi sila.


Documents

Mehanika - Statika prezentacija