Mehanika fluida

Što očekujem da znate?- Definicija gustine tvari i jedinica- Definicija pritiska u fluidu i jedinica- Promjena pritiska u fluidu sa dubinom- Arhimedov zakon i primjena- Pascalov princip-primjena

Dinamika fluida

Proticanje fluida: - Stacionarno - Nestacionarno - Stišljivo - Nestišljivo - Viskozno - Neviskozno

Stacionarno proticanje- Brzina fluida na jednom mjestu ne mijenja se u vremenu

Na dva mjesta u fluidu brzine mogu biti različite ali se ne mijenjaju u vremenu

Nestacionarno strujanje- Brzina fluida na jednom mjestu mijenja se u vremenu. Turbulentno kretanje je poseban oblik nestacionarnog proticanja. Brzina se kaotično mijenja i po smjeru i po iznosu. Javlja se kada fluid velikom brzinom protiče oko prepreka oštrih ivica.

Pri mjerenju pritiska, slušalicom se može čuti tzv. turbulentni šum od Turbulentnog strujanja krvi u velikim krvnim Sudovima.

Stišljivi fluidi mijenjaju svoju gustinu kada se pritisak mijenja.- U dobroj aproksimaciji tekućine su nestišljive- Plinovi su vrlo stišljivi ali se u puno slučajeva strujanje plinova može se smatrati nestišljivim jer je promjena gustine plina mala.

Viskozno strujanje fluida je strujanje viskoznog fluida. Viskoznost je otpor koji jedan sloj fluida pruža relativnom kretanju drugog sloja fluida.To je vrsta strujanja pri kojoj dolazi do disipacije, rasipanja, energije. Mehanička energija kretanja fluida prelazi najčešće u toplotnu energiju

Definicija idealnog fluida Idealni fluid je nestišljivi, neviskozni fluid

Pri stacionarnom strujanju fluidapogodno je uvesti pojam strujnice ili strujne linije. Strujnica ima smjer tangente na putanju čestice fluida koji struji.Često se koristi pojam strujna cijev- dio fluida koji je ograničen velikim brojem strujnica. Strujnu cijev najlakše je predstaviti kao realnu cijev.

strujnica

Između dva poprečna presjeka strujne cijevi, fluid niti utiče niti ističe. Kažemo da izmedju dva presjeka nema niti izvora niti ponora fluida.

Strujne linije u Aerodinamičkom tunelu pri Ispitivanju aerodinamičnostiautomobila

Slika strujnica zraka koji strujioko avionskg krila. Uočite nepravilan raspored silnica iza krila. Tu se javlja turbulentno strujanje.

Strujanje zraka u blizini krošanja drveća

Jednadžba kontinuiteta

Masa tekućine koja za vrijeme Δt protekne kroz presjek 2:

111 vAt m

Masa tekućine koja za vrijeme Δt protekne kroz presjek 1:

222 vAt m

111 A)t v(m 222 A)t v(m

Kako kroz bočne strane cijevi fluid ne može uticati niti isticati, masa fluida koja u vremenskom intervalu Δt protekne kroz presjek 2 mora biti jednaka odgovarajućoj masi fluida koja za isto vrijeme prođe kroz poprečni presjek 1:

222111 vAvA Gustina tekucine

A= površina poprečnog presjeka v = brzina strujanjaJednadžba kontinuiteta

Za nestišljive fluide jednadžba kontinuiteta glasi:

2 2 1 1v A v A

Proizvod Av zove se protok i predstavlja volumen tekućine koji u jedinici vremena protekne kroz presjek cijevi.

AvI SI jedinica m3/s

Ništa bolje od dobrog primjera.

Kroz cijev za zalijevanje bašte, površine pp od 2.85·10-4m2 napuni se kantavolumena 8.0·10-3 m3 za30 s. Odrediti brzinu vode na izlazu iz cijevia) Kada voda nesmetano prolazi kroz cijeli pp cijevi.b) Kada se otvor suzi tako da mu se površina smanji na jednu polovinu.

a)

b)

Odredimo protok vode kroz cijev: s/m10267.0s0.30m100.8

tVI 33

33

a) s/m936.0m1085.2

s/m10267.0AIv 24

33

b) Primijenimo jednadžbu kontinuiteta za dva otvora A1=A i A2=A/2:

s/m87.1v2AAvvAvAv 1

1

2122211

Arteroskleroza.U Karotidnoj arteriji, krv na mjestu gdje postoji suženje struji tri puta brže nego na drugo mjestu gdje nema suženja. Odrediti odnos poluprečnika karotidne arterije na ta dva mjesta.

Uzet cemo da je Karotidna arterija kružnog presjeka. Neka je poluprečnik arterije na suženju r1, a na mjestu gdje suženja nema r2.Jednadžba kontinuiteta daje:

222

2112211 rvrvAvAv

pa se za traženi odnos dobije:

7.1vv

rr

vv

rr

2

1

1

2

2

12

1

22

Bernoullieva jednadžba

Između pritiska, brzine strujanja i visine poprečnog presjeka u cijevi u kojoj stacionarno struji nestišljivi fluid postoji veza. Ta veza je dana Bernoullievom jednadžbom.

P2>P1 P2>P1

2v y g p

2v y g p

21

11

22

22 const

2v

y g p 2

Vanjski P+statički P+ dinamički P=const

Bernoullieva Jednadžba

Izvođenje Bernoullieve jednadžbe Bernoullievu jednadžbu izvodimo koristeći zakon o sačuvanju energije.Promatramo fluid u strujnoj cijevi između presjeka 1 i 2.Interesiraju nas elementi fluida na presjeku 1 i 2, jer se elementi fluida unutar cijevi ne mijenjaju. Izračunajmo razliku energija sistema:Presjek 2:

,Vgy E ,2

vV E 2p2

22

2k

Presjek 1

,Vgy E ,2

vV E 1p1

21

1k

Po teoremu o radu i energiji, razlika energija u pocetnom i konacnom stanjujednaka je radu vanjskih sila.

)gy2vV( EEE 2

22

2p2k2

)gy2vV( EEE 1

21

1p1k1

)1p2p(V )gy2v gy

2v V(

WEE V )pp(sApsApsFsFWWW

2

22

1

21

21

12111222112221

Grupiranjem odgovarajućih članova dobije se Bernoullieva jednadžba

• Bernoullieva jednadžba vrijedi samo za nestišljive idealne fluide• Premda je izvedena za strujnu cijev, Bernoullieva jednadžba vrijedi za sve tačke fluida pod uvjetom da je strujanje fluida nerotaciono. Nerotaciono strujanje je takva vrsta strujanja pri kojem mali propeler stavljen u fluid ne rotira.

Primjeri:

2v p

2v p

yy22

2

21

1

21

Za dva položaja na istoj visini:

Veća brzina – manji pritisak

Strujanje viskoznih fluida

a) U idealnom fluidu nema unutrašnjeg trenja svi slojevi, i oni uz stijenku cijevi imaju istu brzinu strujanja.

b) U prisustvu viskoznosti, brzine strujanja slojeva su različite. Sloj uz samu stijenku miruje a sloj u sredini ima najveću brzinu strujanja

Gornja pločicamože se slobodnoKretati, a donja jenepokretna

• Fluid zamišljamo kao sastavljen od velikog broja slojeva ( lamene)• Kada se gornji sloj kreće, međuslojevi klize jedan preko drugog.• Brzina slojeva je različita i jednoliko se mijenja od v do nule- Laminarno strujanje fluida.

Eksperiment pokazuje:Tangencijalna sila potrebna da bi se sloj fluida površine A,na udaljenosti y od nepokretne površine kretaobrzinom v iznosi:

y v AF

0y0vA

yvAF

A= površina slojaη= koeficijent viskoznosti SI jedinica Pa s

y v

= gradient brzine

• Tekućine imaju puno veće vrijednosti koef. viskoznosti od plinova.• Koef. viskoznosti je osjetljiv na promjenu temperature.• Koef. viskoznosti tekućina opada sa temperaturom.• Koef. viskoznosti plinova raste sa temperaturom.• Koef. viskoznosti za idealne fluide jednak je nuli.

Newtonovski fluidi

Poiseuilleov zakon

ηProtok I viskoznog fluidakroz cijev kružnog presjeka ovisi o poluprečniku cijevi R,Dužini cijevi L, razlici pritisaka(p2-p1) na krajevima cijevi i o koef. viskoznosti fluida η.

Funkcionalnu ovisnost protoka o ovim veličinamadaje Poiseuilleov zakon.

L8)pp(RI 12

4

UOČITE: Smanjenje poluprečnika cijevi za 10 % ( R1=0.9 R) prouzrokuje smanjenje protoka za oko 35% pri istim ostalim uvjetima. Izračunajte za koliko puta se smanji protok ako se poluprečnik prepolovi! Suženje velikih krvnih sudova jedan je od značajnih problema suvremenemedicine.

Iz opće definicije protoka fluida, dobije se izraz za srednju brzinu strujanja fluida-Hagenov zakon

L8)pp(R

RIv 12

2

2

Ništa bolje od dobrog primjeraInjekciona šprica sadrži rastvor lijekaKoeficijenta viskoznosti 1.5·10-3 Pas. Površina poprečnog presjeka šprice je8.0 ·10-5m2, dužina igle 0.025m ipoluprečnik igle 4.0 ·10-4m. Pritisak U veni je 1900 Pa.Odrediti kojom silom se mora djelovati na klip šprice da bi se njen sadržaj od 1.0 ·10-6 m3 injektirao za 3.0 s.Protok tekućine se izračuna iz zadanihpodataka, a zatim se iz Poiseuilleovogzakona odredi razlika pritisaka na krajevima igle.

s/m103.3s0.3

m100.1t

VI 3736

Pa120014.3)m100.4(

s/m103.3Pas105.18R

LI8pp 44

373

412

Kako je p1=1900Pa, imamo da je: Pa3100pPa1200p 12 Po Pascalovom zakonu, pritisak koji stvara sila F prenosi se neizmjenjenna sve strane pa je gdje je A površina pp šprice. ,ApF 2

N25.0m100.8Pa3100F 25

Otpor strujanju viskoznog fluida kroz cijev kružnog presjeka

Ohmov zakona:

V2

V1

RVVI 21

Poiseuelleov zakon:L8

)pp(RI 124

Analogije:

I Protok I StrujappVV 1212

4RL8R

fluida viskoznog strujanju OtporR otpor Ohmski

p1p2 p2 p1

R1 R2Rs

21s RRR

21s RRR

Analogije: Serijsko vezanje otpora i strujanje fluida

I

I1

I2

I

21p

21

R1

R1

R1

III

21p

21

R1

R1

R1

III

Analogija-Paralelno vezivanje Otpora i strujanje fluida

Turbulentno strujanje

Ako brzina fluida koji laminarno struji premaši neku kritičnu vrijednost, laminarno strujanje spontano prelazi u turbulentno

Svojstva Turbulentnog strujanja

• Brzina jednomolekularnog sloja fluida uz stijenku cijevi jednaka je nuli• U tankom graničnom sloju uz stijenku cijevi strujanje je laminarno a brzina naglo raste prema osi cijevi.• U preostalim dijelovima cijevi strujanje je nepravilno, javljaju se vrtlozi koji povecavaju otpor proticanju fluida kroz cijev.• Iako je orjentacija vektora brzine strujanja kod turbulentnog kretanja nepravilna, postoji srednja komponenta brzine u smjeru kretanja fluida kao cjeline.

Reynoldsov broj

Kako predvidjeti kakvo je strujanje- laminarno ili turbulentno? Karakter strujanja tekućine u cijevi ovisi o svojstvima tekućine, brzine njenog strujanja, prečnika cijevi i određuje se Reynoldsovim brojem:

D v Re = gustina fluida

v = brzina fluidaD = prečnik cijevi = koeficijent viskoznosti tekućine

Re<Rec= 2000 strujanje laminarno

Re>3000 strujanje turbulentno

2000<Re<3000 strujanje u prelaznom režimu. Strujanje može u svakom trenutku promijeniti karakter iz laminarnog u turbulentno i obrnutoKrv: Rec=1940

Karakter strujanja tekućine ovisi o dimenziji cijevi.

• U cijevi prečnika 2mm strujanje vode je turbulentno za v=1.27m/s U cijevi 2 cm, strujanje postaje turbulentnim već pri brzini v=0.12m• Turbulentno kretanje izaziva gubitak energije, što u slučaju krvi znači dodatno opterećenje srcu. • Strujanje krvi u arterijama uglavnom je laminarno.• Šum koji se javlja pri turbulentnom strujanju krvi može poslužiti pri diagnozi oboljenja krvnih sudova i srce.

Ništa bolje od dobrog primjera.

Vrijednost kritičnog Reynoldsovog broja za krv iznosi 1940 a viskoznost krvi η=2.5 mPas. Ako je poluprečnik aorte r=1 cm, naći maksimalnu zapreminu krvi koja prođe kroz aortu za jednu minutu ( bazalni minutni volumen) da bi strujanje krvi ostalo laminarno. Gustina krvi je 1060 kg/m3.

Brzinu strujanja krvi u aorti pri kritičnoj vrijednosti Reynoldsovog broja nađemo iz definicije :

D RevD v Re

Uvrštavajući zadane vrijednosti i uzimajući za Reynoldsov broj kritičnu vrijednost za krv, dobijemo maksimalnu brzinu strujanja a da pri tome strujanje još ostaje laminarno:

smm

mkg

PasD

v c /229.01021060

105.21940Re2

3

3

smvrvAI /1018.7 352

Iz definicije protoka dobije se:

l31.4Q

m1031.4s60s

m18.7ItQtQI 33

3

Dakle, kroz aortu prođe približno 4.3 l krvi u jednoj minuti.

Viskoznost disperznih sistemaDo sada promatrali viskoznost homogenih supstanci. Njihova se viskoznost može opisati koeficijentom viskoznosti η.U biofizici važni su tzv disperzni sistemi.Disperzni sistem je sistem u kojem su čestice jedne tvari ( disperzna faza)ravnomjerno rapoređeni unutar druge tvari ( disperzna sredina-najčešće tekućina).Prema veličini čestica disperzione faze, disperzioni sistemi se dijele na:• Grubo zrnaste – dimenzije čestica veće od 0.1μm suspenzije i emulzije• Koloidne- dimenzija čestica od 1nm do 0.1μm• Pravi rastvori- dimenzija čestica disperzne faze manje od 1 nm

Koeficijent viskoznosti disperznih sistema ne mora biti konstantan, ovisi o gradijentu brzine

Tada govorimo o nenjutnovskim fluidima.• Najveći broj pravih rastvora i homogenih fluida su njutnovski fluidi• Većina grubozrnastih sistema i koloida su nenjutnovski fluidi.Za nenjutnovske fluide definira se prividni koeficijent viskoznosti:

x v D ),(

Df

DD1

AF

Einsteinova jednadžba viskoznosti

Einstein 1906. Godine.Suspenzija čvrste tvari sa osobinama:• čestice, sfernog oblika, puno manje od čestica disperzne sredine• koncentracija mala pa se interakcija između čestica disperzne faze može zanemaritiPonaša se kao njutnovska a njen prividni koef. viskoznosti računa po formuli:

)cK1(0

C= zapremiska koncentracija čestica disperzne faze:suspenzije

faze.disp

VV

c

K=2.5 po Einsteinovim proračunima.

Einsteinova jednadžba je dobro eksperimentalno provjerena

Granice valjanosti Einsteinove jednadžbe

Einsteinova jednadžba vrijedi pod sljedećim uvjetima:• Zapreminska koncentracija do 3%• Čestice disperzne faze su sfernog oblika. Kada oblik ovih čestica odstupa od sfernog, koeficijent K raste. Za čestice oblika elipsoida ili kraćih štapića K se kreće između 5 i 10.

Što ako je koncentracija disperzne faze veća od 3% ?

Generalizacija Einsteinove jednadžbe- posebno interesantnoZbog toga što krv čovjeka predstavlja suspenziju ( eritrociti imaju promjer od oko 8 μm) koncentracije Od oko 45%

Međudjelovanje molekula

Tvar je organizirana u molekule međudjelovanjem u obliku kemijskih sila.Javlja se i dodatno međudjelovanje između molekula- kulonska Međudjlovanja. Molekule se prema drugim molekulama ponašaju kao dipoli. Tako seostvaruje dipol- dipol međudjelovanje. Dvije vrste dipolnih molekula:•Stalan dipolni moment- polarne molekule

•Nepolarne molekule pod djelovanjem električnog polja druge molekule dolazi do razdvajanja naboja i induciranja dipolnog momenta.

Mehanička svojstva krutih tijela

Pojam deformacije tijela:Deformacija tijela je bilo koja izmjena oblika i dimenzije tijela.• Deformacija je elastična ako iščezava po prestanku djelovanja vanjske sile.• Deformacija je plastična ako ostaje i po prestanku djelovanja vanjske sile.

Vrste deformacije:• Istezanje-sabijanje relativno istezanje ( sabijanje)

napon • Smicanje- sila je tangencijalna na jednu od površina tijela

ll

AF

AF Napon smicanja

0Lx tg

AF

AF Napon

E

Napon smicanja

G

E= Youngov modul elastičnosti

G= modul smicanja

Reološki materijali

Definicija: Reologija je oblast mehanike koja se bavi izučavanjem Pojava vezanih za proticanje fluida ( na primjer proticanjem fluida kroz tanke cijevi).Klasifikacija reoloških materijala:U reologiji se tvari klasificiraju ne prema agregatnom stanju nego ponjihovoj reakciji na vanjske sile:• Elastična tijela• Plastična tijela• Viskozne tekućine• Viskoelastična tijela

• Elastična tijela- Tijelo je elastično ako ga po prestanku djelovanja vanjskih sila unutrašnjs međumolekularne sile vraćaju u prvobitni oblik i stanje. Ako se deformacija tijela može opisati Hookeovim zakonom elestičnosti, tijelo je savršeno elastično

• Plastična tijela- Tijelo je plastično ako ga međumolekularne sile ne praćaju u početno stanje i oblik već tijelo ostaje u stanju u kojem se zateklo u trenutku prestanka djelovanja vanjskih sila.

• Viskozne tekućine- Između slojeva tekućine koja struji javlja se viskozno trenje. Njutnovske tekućine:

• Pojmovi elastičnih i plastičnih tijela su idealizacija- tvari u prirodi pokazuju istovremeno oba svojstva, pri čemu jedno od svojstava dominira. Za biomedicinu su od interesa tvari kod kojih su ova svojstva približno jednako izražena. Takve tvari zovu se viskelastične tvari a tijela iz njih načinjena viskoelastična tijela.

Svako se tijelo usljed djelovanja vanjskih sila deformira.

E

y v F

Reološki modeli

Da bi se prikazala svojstva reoloških materijala koji ulaze u sastav biološkog sistema, koriste se reološki modeli. Ovi mehanički modeligrade se kombiniranjem dva osnovna modela. Jedan model modelira elastična a drugi plastična svojstva.

x

A

A

Opruga kao model elastičnosti

o

o

• Istezanje Δx proporcionalno je vanjskoj sili F (Hookeov zakon).

• Opruga se trenutno isteže pod djelovanjem vanjske sile i trenutno vraca u ravnotežni položaj po prestanku djelovanja vanjske sile- modeliranje elastičnost.

• Kruto tijelo bi se moglo modelirati teško istegljivom oprugom.

F

F

Prigušivač kao model plastičnosti

F

Prigušivač predstavlja zatvoreni cilindar napunjen viskoznom tekućinom u kojem se kreće klip.

• Viskozna tekućina lagano protiče pored ivica klipa. Sporo istezanje elementa (dio cilindra ispod klipa).

• Postoji linearna veza između vanjske sile i brzine pomjeranja klipa pa se tačka A kreće konačnom brzinom

• Čim sila prestane djelovati, klip se zaustavlja i zadržava u stanju u kojem je bio po prestanku djelovanja sile- modeliranje plastičnosti

o A

Osnovna svojstva viskoelastičnih materijala.

Kod viskoelastičnih materijala istovremeno su izražena svojstva elastičnosti i plastičnosti. Zato ovi materijali imaju dva svojstva• Relaksacija- vraćanje tijela u početno stanje• Krip ( to creep- puzati) lagano deformiranje tijela usljed dugostrajnog djelovanja vanjske sile.

x

Maxwellov model relaksacije predstavlja serijsku vezu opruge i prigušivača.

• Neka se Maxwellov model pod dejstvom sile istegne i neka mu se dužina x zadrži stalnom.• Početno istezanje je rezultat istezanja opruge jer prigušivač treba vrijeme da bi se istegao.• Opruga se skraćuje a prigušivač produžava.

Vrijeme potrebno da se opruga Maxwellovog modela vrati u početno stanje zove se vrijeme relaksacije a proces relaksacija sistema

Plastičnost i elastičnost na Maxwellovom modelu

•Po isteku vremena relaksacije model zadržava prethodno nametnutu duljinu- plastičnost• Ako se djelovanje sile prekine prije isteka vremena relaksacije, opruga će još uvijek ostati istegnuta. Model će se djelomično skratiti ali neće dostići svoju prvobitnu duljinu- elastična i plastična svojstva.• Ako na sistem djeluje impulsna sila, opruga se izduži ali ne i prigušivač. Model se vraća na početnu dužinu- elastičnost

t

σ

Na slici je prikazan slučaj kada je deformacija modelakonstantna- plastičnost.Napon eksponencijalno opadasa vremenom. Nakon nekog vremena napon postaje jednak nuli- relaksacija

Kelvinov model kripa Maxwell Kelvinov- model

F

Kelvinov model.Realan sistem: metalna šipka.Na sredini djelujemo silom- šipka se ugiba na sredini poslije dugotrajnog djelovanja sile. Po prestanku djelovanja sile šipka se polagano vraća u stanje prije djelovanja sile.U Kelvinovom modelu:• U prigušivaču vrlo viskozan fluid.• Pod djelovanjem sile F, istezanje sistema je sporo.• Po prestanku djelovanja sile sistem se sporo vraća u ravnotežno stanje- opruga se sporo kontrahira jer je u tome sprečava istegnuti prigušivač

a) b)

Maxwell-Kelvinov model pokazujesvojstva relaksacije i kripa.• Pri brzom istezanju i zadržavanju određene dužine modela manifestira se svojstvo relaksacije. • Paralelni spoj opruge i amortizera ima svojstvo kripa.

tt1

Relativno istezanje uKelvinovom modelu. Model je izložen stalnom naponu σ a poslije vremena t=t1 djelovanje sile prestaje.• Za vrijeme djelovana sile relativno istezanje eksponenijalno raste.• Po prestanku djelovanja sile relativno istezanje eksponencijalno pada.

Viskoelastična svojstva nekih bioloških sistema

Za razumijevanje građe ljudskog tijela, interesantna su viskoelastična svojstva mišića, tetiva, ligamenata i tkiva.

Skeletni : Ponašaju se kao Maxwell Kelvinov model. Sastoje semišići iz plastičnog materijala ( proteina, aktina i miozina) koji je raspoređen paralelno elastičnim materijalima. Ovaj sistem je zatim serijski vezan u seriju sa elastičnom tetivom.

Glatki : Sastoje se iz plastičnih materijala vezano paralelno sa mišići primjesama elastičnog tkiva. Sistem se ponaša kao Maxwellov model sa izraženom relaksacijom.

Arterije: Sastoje se iz 1/3 glatkih mišića ( plastični materijal- udio se povećava sa udaljenošću od srca) i 2/3 elastičnog vezivnog tkiva ( elastin, kolagen). Ako se u arteriju brzo ubrzga tekućina ( krv) ona će se odmah proširiti. Arterija zadržava svoj oblik a usljed relaksacije pritisak postepeno pada. Proces se obično ne završava potpunom relaksacijom zida arterije.Arterije se ponašaju kao Maxwell-Kelvin model.

Vene: Pokazuju svojstvo kripa. Nakon uklještenja sporo se vraća u početno stanje ( obnavlja svoj pp).