Mehanika fluida I

Sveuilite u Zagrebu Fakultet strojarstva i brodogradnje

Zdravko Virag, Mario avar, Ivo Dijan

MEHANIKA FLUIDA I

Zagreb, 2015

Predavanja

MANUALIA UNIVERSITATIS STUDIORUM ZAGRABIENSIS

UDBENICI SVEUILITA U ZAGREBU

FAKULTET STROJARSTVA I BRODOGRADNJE


M E H A N I K A F L U I D A I

Predavanja

Zagreb, 2015

Mehanika fluida I

Predgovor

Gradivo izneseno u ovim skriptama pokriva sadraj predavanja iz kolegija

Mehanika fluida I koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveuilita u Zagrebu

predaje studentima smjerova: Procesno energetski, Brodostrojarstvo, Inenjersko

modeliranje i raunalne simulacije te na studiju Zrakoplovstva, i Mehanika fluida K koji se

predaje studentima Konstrukcijskog smjera. Skripta su prvenstveno namijenjena za lake

razumijevanje teorijskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih jednadbi

mehanike fluida. Nadamo se da e materijali dani u ovim skriptama studentima olakati

praenje predavanja i omoguiti bre usvajanje znanja. Svrha i cilj ovih skripata nije bio da

zamijene udbenike i knjige iz Mehanike fluida I, jer je u njima dan skraeni materijal, tj.

pregled potrebnih znanja iz Mehanike fluida I.

Koncept predavanja koji je iznesen u ovim skriptama rezultat je gotovo etrdeset

godina kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se

elimo zahvaliti naim uiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr.

Zdravku Dolineru, koji su znaajno doprinijeli dananjem obliku nastave iz Mehanike

fluida I.

U Zagrebu, 20.02.2015.


Mehanika fluida I I

SADRAJ

1. Matematike osnove ...................................................................................................... 1

1.1. Pravila indeksnog zapisivanja vektorskih i tenzorskih veliina ............................. 1

1.2. Pravila za promjenu komponenti tenzora pri rotaciji koordinatnog sustava Oxi u

Ozj ........................................................................................................................... 1

1.3. Definicije ................................................................................................................ 1

1.4. Raunske operacije s tenzorima ............................................................................. 2

1.5. Geometrijska interpretacija skalarnog umnoka vektora: ...................................... 3

1.6. Geometrijska interpretacija vektorskog umnoka vektora: .................................... 3

1.7. Diferencijalni operatori .......................................................................................... 4

1.8. Derivacija u smjeru jedininog vektora n ............................................................. 4

1.9. Totalni prirast polja na putu 332211 ddddd exexexexr ii

........................... 4

1.10. Geometrijska interpretacija gradijenta na primjeru funkcije dviju varijabli .......... 5

1.11. Gaussova formula ................................................................................................... 5

2. Fizikalne osnove ............................................................................................................. 7

2.1. Osnovne dimenzije u mehanici fluida .................................................................... 7

2.2. Hipoteza kontinuuma ............................................................................................. 7

2.3. Fluid ili tekuina ..................................................................................................... 7

2.4. Viskoznost fluida .................................................................................................... 8

2.5. Sile u fluidu ............................................................................................................ 8

2.5.1. Masene sile ................................................................................................ 8

2.5.2. Povrinske sile ........................................................................................... 9

3. Statika fluida ................................................................................................................ 13

3.1. Osnovna jednadba statike (sluaj 0ia ) ........................................................... 13

3.2. Promjena tlaka izmeu dvije toke (uz konst. i konst.if ) ..................... 14

3.3. Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee ( 3i if g ,

29,80665 m/sg ) ................................................................................................ 14

3.4. Princip spojenih posuda ........................................................................................ 15

3.5. Hidrostatski manometri ........................................................................................ 15

3.6. Sila tlaka na ravne povrine .................................................................................. 17

Sadraj

II Mehanika fluida I

3.6.1. Geometrijska svojstva nekih povrina ..................................................... 18

3.6.2. Fiktivna slobodna povrina...................................................................... 19

3.7. Sila tlaka na zakrivljene povrine ......................................................................... 20

3.8. Sila uzgona ............................................................................................................ 22

4. Kinematika fluida ......................................................................................................... 23

4.1. Lagrangeov opis gibanja fluida ............................................................................. 23

4.2. Eulerov opis gibanja fluida ................................................................................... 25

4.3. Materijalna derivacija ............................................................................................ 26

4.4. Trajektorije, strujnice i krivulje obiljeenih estica .............................................. 27

4.5. Protok .................................................................................................................... 29

4.6. Strujna povrina i strujna cijev .............................................................................. 31

4.7. Protok fizikalne veliine ....................................................................................... 31

4.8. Brzina promjene veliine volumena ...................................................................... 32

4.9. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar volumena ............................. 33

4.10. Koncept kontrolnog volumena .............................................................................. 34

4.11. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar materijalnog volumena

izraena promjenom u kontrolnom volumenu ...................................................... 34

4.12. Zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta) kao primjer primjene

Reynoldsovog transportnog teorema ..................................................................... 34

5. Dinamika fluida ............................................................................................................ 37

5.1. Osnovni zakoni dinamike nestlaivog strujanja fluida za materijalni volumen ... 38

5.2. Formulacija osnovnih zakona za kontrolni volumen ............................................ 39

5.3. Zakon mehanike (kinetike) energije .................................................................. 40

5.3.1. Formulacija zakona mehanike energije za kontrolni volumen .............. 42

5.3.2. Primjena zakona kinetike energije na jednodimenzijsko strujanje u

cjevovodu ................................................................................................. 42

5.3.3. Promjena tlaka okomito na strujnice ....................................................... 45

5.4. Ilustracija sadraja modificirane Bernoullijeve jednadbe ................................... 46

5.5. Pojave i principi rada nekih ureaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom

jednadbom ........................................................................................................... 50

5.5.1. Kavitacija ................................................................................................. 50

5.5.2. Ejektor ...................................................................................................... 51

5.5.3. Istjecanje iz velikog spremnika ................................................................ 51

5.5.4. Gubitak utjecanja u veliki spremnik ........................................................ 52

Sadraj

Mehanika fluida I III

5.5.5. Sifon ......................................................................................................... 53

5.5.6. Maksimalna visina usisavanja pumpe ..................................................... 54

5.5.7. Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore ............................. 54

5.5.8. Formula za izraunavanje vremena pranjenja posude ......................... 55

5.6. Mjerenje brzine ..................................................................................................... 56

5.6.1. Prandtl-Pitotova cijev ............................................................................. 57

5.6.2. Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi ................................................. 58

5.6.3. Venturijeva cijev ...................................................................................... 59

5.7. Primjena zakona koliine gibanja i momenta koliine gibanja za kontrolni

volumen ................................................................................................................ 60

5.7.1. Primjena jednadbe koliine gibanja i momenta koliine gibanja za

odreivanje sile fluida na plat cijevi ..................................................... 64

5.7.2. Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile mlaza fluida na

lopatice .................................................................................................... 67

5.8. Primjena osnovnih zakona za kontrolni volumen koji se translatira konstantnom

brzinom ................................................................................................................. 73

6. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na hidraulike strojeve ...................... 79

6.1. Sila mlaza na pominu lopaticu ............................................................................ 79

6.2. Primjena jednadbe koliine gibanja na Pelton turbinu ....................................... 81

6.3. Primitivna teorija propelera .................................................................................. 83

6.4. Primjena jednadbe momenta koliine gibanja na centrifugalni stroj.................. 85

6.5. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na rotirajuu cjevicu ...................... 87

6.6. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na aksijalni turbostroj ..................... 89

7. Dimenzijska analiza ..................................................................................................... 93

7.1. Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji slinosti) .................................... 102

7.2. Neki zavisni bezdimenzijski parametri .............................................................. 102

8. Hidrauliki proraun cjevovoda ............................................................................... 107

8.1. Modeliranje linijskih gubitaka ............................................................................ 107

8.2. Modeliranje lokalnih gubitaka ............................................................................ 110

8.3. Veza meu faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka .......................... 111

8.4. Ekvivalentna duljina cjevovoda ......................................................................... 112

8.5. Postupci prorauna jednostavnih cjevovoda ...................................................... 112

8.6. Hidrauliki proraun cjevovoda nekrunog poprenog presjeka ....................... 115

Sadraj

IV Mehanika fluida I

MEHANIKA FLUIDA K DODATAK ........................................................................ 117

9. Osnovne jednadbe dinamike fluida u diferencijalnom obliku.............................. 117

9.1. Zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta) .................................................. 117

9.2. Dva pomona pravila u izvodu osnovnih zakona dinamike fluida ..................... 118

9.3. Zakon ouvanja koliine gibanja (jednadba gibanja fluida) ............................. 119

9.4. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja ......................................................... 122

9.5. Zakon ouvanja energije ..................................................................................... 123

9.6. Drugi zakon termodinamike ................................................................................ 127

9.7. Skup jednadbi osnovnih zakona dinamike fluida .............................................. 127

9.8. Konstitutivne (dopunske) jednadbe ................................................................... 128

9.8.1. Odnosi za savreni plin .......................................................................... 128

9.8.2. Fourierov zakon toplinske vodljivosti .................................................... 128

9.8.3. Newtonov zakon viskoznosti ................................................................... 129

9.9. Dodatak iz kinematike fluida .............................................................................. 129

9.9.1. Prvi Helmholtzov teorem ....................................................................... 129

9.9.2. Tenzor brzine deformacije ..................................................................... 130

9.9.3. Tenzor vrtlonosti................................................................................... 131

9.9.4. Vektor vrtlonosti ................................................................................... 131

9.10. Osnovne jednadbe dinamike Newtonskog savrenog plina .............................. 133

9.11. Matematiki model nestlaivog strujanja ............................................................ 134

9.12. Poetni i rubni uvjeti ........................................................................................... 135

9.13. Alternativni oblik energijske jednadbe .............................................................. 136

10. Teorija slinosti ........................................................................................................... 159

10.1. Definicija slinosti dvaju pojava: ........................................................................ 160

10.2. Karakteristina vrijednost fizikalne veliine ....................................................... 161

10.3. Bezdimenzijska polja fizikalnih veliina ............................................................ 161

10.4. Teorem slinosti .................................................................................................. 162

10.5. Postupak odreivanja kriterija slinosti .............................................................. 162

10.6. Analiza vanosti bezdimenzijskih parametara .................................................... 170

10.6.1. Strouhalov broj ...................................................................................... 170

10.6.2. Froudeov broj ........................................................................................ 171

10.6.3. Eulerov broj, kavitacijski broj, Machov broj ......................................... 171

10.6.4. Reynoldsov broj ..................................................................................... 173

Mehanika fluida I V

POPIS NAJVANIJIH OZNAKA

Fizikalna veliina Oznaka Dimenzija Jedinica u

SI sustavu

povrina A, S L2 m2

brzina zvuka c LT-1

m/s

promjer D, d L m

sila F MLT-2

N

gravitacija g LT-2

m/s2

volumenski modul elastinosti K ML-1T-2 Pa

maseni protok m MT-1 kg/s

moment sile M ML2T

-2 Nm

snaga P ML2T

-3 W

tlak p ML-1

T-2

Pa

volumenski protok Q L3T

-1 m

3/s

potencijal masene sile U L2T

-2 m

2/s

2

specifina unutranja energija u L2T-2 J/kg

volumen fluida V L3 m

3

brzina strujanja fluida v LT-1

m/s

rad sile, energija W, E ML2T

-2 J

geodetska visina z L m

gustoa fluida ML-3

kg/m3

koeficijent kinematike viskoznosti L2T

-1 m

2/s

koeficijent dinamike viskoznosti ML-1

T-1

Pas

kutna brzina T-1

rad/s

koeficijent otpora trenja - -

naprezanje , ML-1

T-2

N/m2

kut - rad

VI Mehanika fluida I

PREPORUENA LITERATURA

Virag, Z.: Mehanika fluida odabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveuilite u Zagrebu,

Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.

Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnika enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod,

Zagreb, 1982.

Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John

Wiley&Sons, Toronto, 1990.

White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.

Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics Fundamentals and Applications,

McGraw-Hill, 2006.

Mehanika fluida I 1

1. MATEMATIKE OSNOVE

1.1. Pravila indeksnog zapisivanja vektorskih i tenzorskih veliina

1. Slobodni indeks je onaj koji se pojavljuje tono jedan puta u svakom aditivnom lanu

jednadbe, a oznauje komponente tenzora. lanovi bez slobodnog indeksa su skalari,

s jednim slobodnim indeksom su vektori, a lanovi s dva i vie slobodnih indeksa su

tenzori odgovarajueg reda. Broj komponenti tenzora u trodimenzijskom prostoru je

jednak 3n gdje je n broj slobodnih indeksa.

2. Ponovljeni (nijemi) indeks je onaj koji se u nekom aditivnom lanu jednadbe

pojavljuje u paru, a oznauje zbroj po svim njegovim vrijednostima.

3. Niti jedan indeks se u bilo kojem aditivnom lanu ne smije pojaviti vie od dva puta.

4. Paru nijemih indeksa se smije promijeniti oznaka.

1.2. Pravila za promjenu komponenti tenzora pri rotaciji koordinatnog sustava

Oxi u Ozj

ij il jm lmT C C T odnosno lm il jm ijT C C T (za vektore i il la C a odnosno j il la C a )

gdje je matrica cos ( )ij i jC x ,z , a ijT i ia su komponente tenzora i vektora u odnosu na

Oxi dok su lmT i ja komponente u odnosu na koordinatni sustav Ozj.

1.3. Definicije

1. Izotropni tenzor drugog reda ima svojstvo da mu se rotacijom koordinatnog sustava

komponente ne mijenjaju, tj. vrijedi: ij ijT T

2. Transponirani tenzor drugog reda dobije se tako da se indeksima zamijene mjesta

T

ij jiT T

3. Simetrini tenzor ijS se ne mijenja transponiranjem tj. vrijedi T

ij ij jiS S S .

4. Antisimetrini tenzor ijA je suprotan po predznaku svome transponiranome tenzoru, tj.

vrijedi Tij ij jiA A A . Slijedi: 11 22 33 0A A A .

1. Matematike osnove

2 Mehanika fluida I

5. Kroneckerov delta: 1 za

0 zaij

i j

i j; 3ii

6. Permutacijski simbol:

1 za 123 231 312

1 za 132 213 321

0 za dva (tri) jednaka indeksa

ijk

ijk , ,

ijk , , ;

=ijk jki kij

ijk ikj

ijk jik

Vrijedi: ijk lmk il jm im jl

; 2ijk ljk il ; 6ijk ijk

1.4. Raunske operacije s tenzorima

1. Zbrajanje: ij ij ijA B C (za vektore i i ic a b )

2. Mnoenje skalarom: ij ijA B (za vektore i ic a )

3. Mnoenje tenzora

a) skalarno (pojavljuje se jedan ili vie parova nijemih indeksa), primjeri: j i ijc bT ,

ij ijA B (dvostruki skalarni produkt tenzora).

b) vektorsko (pojavljuje se permutacijski simbol), primjer: lj lki k ijC b T

c) tenzorsko (svi su indeksi slobodni), primjer: kij k ijC b T

4. Kontrakcija (izjednaavanje) indeksa:

Izjednaavanjem indeksa se red tenzora smanjuje za dva. Tenzorski produkt

kontrakcijom indeksa prelazi u skalarni, primjer: k ikij k ij iij j i ijC b T C c bT .

5. Pravilo skalarnog mnoenja s Kroneckerovim delta:

Nijemi indeks u izrazu kojeg se mnoi, zamjenjuje se slobodnim u Kroneckerovom

delta, a Kroneckerov delta iezava, primjer: ij im mjT T .

6. Dvostruki skalarni produkt simetrinog Sij i antisimetrinog Aij tenzora jednak je nuli

0ij ijS A .

3

1

2

i

j k


Mehanika fluida I 3

1.5. Geometrijska interpretacija skalarnog umnoka vektora:

1 1 2 2 3 3

projekcija na projekcija na

cos cos i ic a a c

a c a c c a a c a c a c a c

Ako je npr. a jedinini vektor onda skalarni umnoak

oznauje projekciju ac vektora c na smjer vektora a . Vrijedi i

obrnuto, za sluaj da je c jedinini vektor je projekcija ca

vektora a na vektor c . Za sluaj skalarnog umnoka

jedininog vektora i tenzora, govori e se o projekciji tenzora na smjer vektora.

1.6. Geometrijska interpretacija vektorskog umnoka vektora:

Indeksni zapis vektorskog produkta v a c glasi

l lki k iv a c

Geometrijski gledano intenzitet vektorskog produkta ima

znaenje povrine paralelograma ije su stranice vektori a

i

c

.

v v a c ac sin

Vektor v je okomit i na vektor a

i na vektor c

. Smjer

vektora v je odreen pravilom desne ruke: idui prstima

desne ruke od vrha vektora a

prema vrhu vektora c

palac e pokazivati smjer vektora v .

Jasno je da kod promjene mjesta vektora a

i c

u produktu, vektor v mijenja smjer.

Takoer je vektorski produkt dvaju kolinearnih vektora ili vektora samog sa sobom biti

jednak nuli.

ca

ac


4 Mehanika fluida I

1.7. Diferencijalni operatori

Operator nabla: i

ix

ex

ex

ex

e

3

3

2

2

1

1

Opis Polje operator oznaka Ineksni zapis

Gradijent

(Tenzorski

umnoak s )

Skalarno grad ix

Vektorsko v grad v v j

i

v

x

Tenzorsko T gradT T jk

i

T

x

Rotor

(Vektorski

umnoak s )

Skalarno - - -

Vektorsko v rot v v k

ijk

j

v

x

Tenzorsko T rot T T kmijkj

T

x

Divergencija

(Skalarni

umnoak s )

Skalarno - - -

Vektorsko v div v v j

j

v

x

Tenzorsko T divT T jk

j

T

x

1.8. Derivacija u smjeru jedininog vektora n

grad jj

n nn x

(projekcija vektora gradijenta na smjer normale)

1.9. Totalni prirast polja na putu 332211 ddddd exexexexr ii

1 2 3

1 2 3

d d grad d d d d djj

r r x x x xx x x x

Prirast polja je najvei pri pomaku u smjeru gradijenta (gradijent pokazuje smjer najbreg

porasta polja).

Smanjenje polja je najvee pri pomaku u smjeru suprotnom od smjera gradijenta.

Pri pomaku u smjeru okomitom na smjer gradijenta nema prirasta polja (vektor grad je

okomit na plohu =konst.)


Mehanika fluida I 5

1.10. Geometrijska interpretacija gradijenta na primjeru funkcije dviju varijabli

Prostorni prikaz polja 1 2,x x

Crte oznauju presjeke sa =konst.

Polje gradijenta je vektorsko polje.

Vektorsko polje se vizualizira vektorskim

krivuljama koje svojim tangentama pokazuju

smjer vektora vektorskog polja. Desna slika

prikazuje vektorske krivulje koje

vizualiziraju polje gradijenta gornjeg

primjera.

Dvodimenzijski prikaz polja izolinijama

Vektori oznauju smjer gradijenta

1.11. Gaussova formula

Povezuje volumenski integral s povrinskim

integralom po zatvorenoj povrini S koja

opasuje volumen V:

d djjS V

n S Vx

gdje umjesto tokice moe stajati skalarno,

vektorsko ili tenzorsko polje.

S

Slika uz Gaussovu formulu

O

x3

x2

x1

dV

V

dS


6 Mehanika fluida I

Primjeri:

d djjS V

ppn S V

x ili d grad d

S V

pn S p V

d dj

j j

jS V

vv n S V

x ili d div d

S V

v n S v V

Mehanika fluida I 7

2. FIZIKALNE OSNOVE

2.1. Osnovne dimenzije u mehanici fluida

Veliina Oznaka dimenzije Jedinica u SI sustavu

masa M kg

duljina L m

vrijeme T s

temperatura K

2.2. Hipoteza kontinuuma

Kontinuum je matematiki model materije prema kojem ona zadrava svoja fizikalna

svojstva pri smanjivanju volumena u toku. estica kontinuuma (materijalna toka) ima

infinitezimalni volumen dV, a svaka estica zauzima samo jednu toku prostora, a u jednoj

toki prostora se moe nalaziti samo jedna estica kontinuuma. Hipoteza kontinuuma

omoguuje primjenu integralnog i diferencijalnog rauna u mehanici fluida.

Primjeri:

Gustoa estice kontinuuma (materijalne toke) se izraava derivacijom:

d

d

m

V, 3 3SI

kgML ;

m .

Brzina estice kontinuuma definirana je masenom gustoom koliine gibanja

atoma/molekula unutar estice

k k

k

k

k

m v

vm

, -1

SI

mLT ;

sv v

Kinetika energija estice fluida

2 2

Kd d d2 2

v vE m V 2 -2K K SIML T ; JE E

2.3. Fluid ili tekuina

Definicija fluida: Fluid je tvar koja struji (tj. neprekidno se deformira) pod djelovanjem ma

kako malog sminog naprezanja. Fluid moe biti u kapljevitom ili plinovitom stanju.

Iz definicije fluida slijedi: U fluidu u mirovanju nema sminih naprezanja.

2. Fizikalne osnove

8 Mehanika fluida I

2.4. Viskoznost fluida

Fluid se opire vanjskim sminim silama putem viskoznih naprezanja, koja se javljaju kao

reakcija na brzinu deformacije (u elastinim tijelima su to naprezanja definirana Hookovim

zakonom, kao reakcija na deformaciju). U newtonskim fluidima viskozna naprezanja su

linearno razmjerna brzini deformacije fluida. Koeficijent razmjernosti se naziva

(dinamika) viskoznost fluida , 1 -1ML T ; SI

Pa s . Viskoznost je fizikalno

svojstvo fluida, koje pokazuje njegov otpor ka teenju, a zavisi od termodinamikog stanja

fluida. Kod plinova s porastom temperature viskoznost raste, a kod kapljevina opada.

Kinematika viskoznost 2

2 -1

SI

m L T ;

s,

.

2.5. Sile u fluidu

2.5.1. Masene sile

su posljedica poloaja mase u polju if masene sile. ( if je specifina masena sila = sila po

jedininoj masi, 2 2SIm

LT ; s

i if f )

Masena sila d iF na esticu fluida:

d d di i iF f m f V

Sila iF na ukupni volumen V

di iV

F f V

2SI

MLT ; Ni iF F

Primjeri: sila gravitacije: 3i if g

inercijske sile: i if a

Slika uz definiciju masenih sila

O

x3

x2

x1

V

2. Fizikalne osnove

Mehanika fluida I 9

2.5.2. Povrinske sile

su sile dodira izmeu estica fluida ili izmeu estica fluida i stijenke. Definirane su

specifinim vektorom naprezanja i , -1 2

SIML T ; Pai i

.

Sila d iF na elementarnu povrinu dS

d = di iF S

Sila iF na ukupnu povrinu S

= di iS

F S

Za povrinske sile vrijedi III Newtonov

zakon (princip akcije i reakcije), tj.

i j i jn n

(itaj vektor naprezanja na povrini

orijentiranoj jedininim vektorom

normale jn jednak je po veliini i suprotan po smjeru vektoru naprezanja na povrini

orijentiranoj normalom jn ).

Stanje naprezanja u toki prostora jednoznano je definirano tenzorom naprezanja.

Komponente tenzora naprezanja definirane su

komponentama triju vektora naprezanja koji

djeluju na povrinama orijentiranim normalama u

smjeru osi koordinatnog sustava, kao na slici.

Svaki vektor naprezanja ima jednu normalnu

komponentu (okomitu na povrinu) i dvije

tangencijalne (smine) komponente. Tablini

zapis komponenti tenzora naprezanja

11 12 13

21 22 23

31 32 33

i

jij

Prvi indeks oznauje redak, tj. smjer normale na

povrinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja komponente tenzora naprezanja.

Tenzor naprezanja je simetrian ij ji (osim ako postoje maseni i povrinski momenti).

x1

x2

x3

Slika uz definiciju komponenti

tenzora naprezanja

S

Slika uz definiciju povrinskih sila

O

x3

x2

x1

V

2. Fizikalne osnove

10 Mehanika fluida I

Veza izmeu vektora i tenzora naprezanja:

( )i j j jin n (vektor naprezanja je projekcija tenzora naprezanja na smjer normale)

Dogovor o predznacima naprezanja:

Pozitivna naprezanja na povrinama orijentiranim normalama u pozitivnom smjeru

koordinatnih osi takoer gledaju u pozitivne smjerove tih osi i obrnuto, pozitivna

naprezanja na povrinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjeru

koordinatnih osi, takoer gledaju u negativne smjerove tih osi.

Stanje naprezanja u fluidu

Sluaj Tenzor naprezanja Vektor naprezanja

Realni fluid u gibanju

(postoje viskozne sile)

ij ij jip

ji = viskozna naprezanja

p = tlak

f

f

i j ji i i

i j ji

n pn

n

- Realni fluid u mirovanju

ili relativnom mirovanju

- Idealni fluid (neviskozan)

ij ijp i j ji in pn

Fluid relativno miruje kada se giba poput krutog tijela (nema pomicanja estica jednih

prema drugima). U relativnom mirovanju nema deformacije, to znai da nema ni

viskoznih sila.

2. Fizikalne osnove

Mehanika fluida I 11

Povrinska sila (vektor naprezanja) za sluaj stanja tlanog naprezanja: i ipn

Iz Gaussove formule slijedi

= d d grad di iiS V V

pF pn S V p V

x

da se povrinske sile mogu prikazati

volumenskim integralom.

Za konst. je 0 (grad 0)i

pp p

x pa

je rezultirajua sila konstantnog tlaka na

zatvorenu povrinu jednaka nuli.

Rezultirajua sila tlaka na esticu fluida se

dobije smanjivanjem volumena V na

infinitezimalni volumen dV, pri emu se konana sila iF smanji na infinitezimalnu silu d iF

tj. vrijedi.

d = d grad dii

pF V p V

x

S

Slika uz definiciju sile tlaka

O

x3

x2

x1

V

2. Fizikalne osnove



3. STATIKA FLUIDA

3.1. Osnovna jednadba statike (sluaj 0ia )

ili gradii

pf f p

x

(izraava ravnoteu masenih sila i sila tlaka).

Iz osnovne jednadbe statike imajui na umu svojstva gradijenta zakljuuje se:

1. Ako nema masenih sila ( 0if ) slijedi da je tlak p konstantan. Pascalov zakon: Tlak

narinut izvana na fluid u mirovanju iri se jednoliko u svim smjerovima. Ilustracija:

hidraulika prea

Tlakovi ispod stapova su jednaki, to znai da je

1 2

1 2

F F

A A ili 22 1

1

AF F

A

to znai da dolazi do pojaanja sile.

2. Tlak najbre raste u smjeru gradp tj. u smjeru masene sile, a najbre opada u smjeru

gradp tj. u smjeru suprotnom od masene sile,

3. Budui da je gradp okomit na povrinu p=konst. promjena tlaka u okomitom smjeru na

vektor masene sile je jednaka nuli. Drugim rijeima, vektor masene sile je okomit na

povrine konstantnog tlaka (izobare).

Takoer vrijedi:

4. Granica dvaju fluida u mirovanju poklapa se s izobarom, te je vektor masene sile u

svakoj toki okomit na razdjelnu povrinu,

5. Vektor masene sile je usmjeren od razdjelne povrine prema fluidu vee gustoe,

6. Na granici dvaju fluida tlak je neprekidan, ako se zanemare uinci povrinske

napetosti.

F

1

F

2

A

1

A

2

3. Statika fluida


3.2. Promjena tlaka izmeu dvije toke (uz konst. i konst.if )

Iz osnovne jednadbe statike slijedi:

2 1 i ip p f x

ili

2 1 1 cosp p f r p f r

Iz svojstva skalarnog produkta je jasno da se pri

odreivanju promjene tlaka moe ili put

projicirati na silu ili silu na put.

Oito je, ako se povea tlak p1 u toki 1,

poveat e se i tlak p2 u toki 2, odnosno u svim drugim tokama, to je bit Pascalova

zakona koji kae da se tlak narinut izvana na fluid u mirovanju iri jednoliko u svim

smjerovima.

3.3. Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee

( 3i if g , 29,80665 m/sg )

0 0p p gz p gh ili 0 konst.

p pz

g g

gdje z oznauje visinu, h dubinu, a 0p tlak u ishoditu koordinatnog sustava.

SI

visina tlaka, L, m stupca fluida,p p p

g g g

piezometrika visina.p

zg

1

2

xi fi

3. Statika fluida


3.4. Princip spojenih posuda

Ako homogena kapljevina

miruje u vie meusobno

spojenih posuda, tada e

slobodne povrine otvorene

prema istom atmosferskom

tlaku 0p leati u istoj

izobari (za mirujui fluid to

je horizontalna ravnina).

3.5. Hidrostatski manometri

Postupak za postavljanje jednadbe manometra (jednadbe promjene tlaka izmeu dviju

toaka koje se mogu meusobno spojiti kroz mirujui fluid)

Polazi se s tlakom u jednoj toki i tom se tlaku dodaju sve promjene tlaka oblika gh ,

(idui od meniskusa do meniskusa) i to s pozitivnim predznakom ako se ide prema dolje, a

s negativnim ako se ide prema gore. Kada se doe do druge toke tako dobiveni izraz se

izjednauje s tlakom u toj toki.

Primjer diferencijalnog manometra:

- jednadba od toke B do toke A

B 2 2 0 0 1 1 Ap gh gh gh p

- jednadba od toke A do toke B

A 1 1 0 0 2 2 Bp gh gh gh p

Napomena: Jednadba manometra se

moe pisati i s manometarskim

tlakovima u obje toke.

p0 p0p0

g

. z=konst.

O

h2

h1

h0

A

B

12

0

3. Statika fluida


Apsolutni tlak p se mjeri od apsolutne nule (100% vakuum).

Manometarski tlak pM je razlika apsolutnog p i atmosferskog tlaka pa (mjeri se u odnosu na

atmosferski tlak). Pozitivni manometarski tlak pM > 0 se naziva pretlak, a negativni pM < 0

podtlak.

M ap p p

ivin barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka (apsolutnog).

Slika shematski prikazuje ivin barometar. Zamislimo da je

cjevica u trenutku uranjanja u posudu bila potpuno ispunjena

ivom, gustoe 0 . Nakon uspostavljanja ravnotee visina ive e

se u cjevici ustaliti na visini ha, a iznad ive, u zatvorenom dijelu

cjevice bi teorijski bio vakuum. Realno e zbog vakuuma doi do

isisavanja molekula ive koje e se slobodno gibati u prostoru

iznad kapljevite faze, inei ivinu paru. Naravno, itavo vrijeme

e neki atomi iskakati iz kapljevite faze, a neki slobodni bivati

privueni u kapljevitu fazu, a kada se brojevi tih molekula

izjednae, postii e se ravnoteno stanje, pri emu e u prostoru

iznad ive vladati tlak ivinih para (tlak zasienja) vp .

Jednadba hidrostatskog manometra, uz oznake prema slici glasi:

a v 0 ap p gh

Tlak zasienja ovisi o temperaturi (raste s temperaturom), a za ivu on iznosi 0,021 Pa kod

temperature 0C i 0,841 Pa pri temperaturi 40C, to je zanemarivo u osnosu na mjereni

atmosferski tlak koji je reda veliine 100000 Pa. Zbog toga se tlak vp zanemaruje, tj.

vrijedi a 0 ap gh .

Kao to je uvedena dogovorena (standardna) vrijednost gravitacije, tako se uvodi i

dogovoreni atmosferski tlak, koji iznosi 760 mmHg ili 101325 Pa (izraunato s gustoom

ive 13595 kg/m3 i standardnom gravitacijom g=9,80665 m2/s).

pa

ha

g

3. Statika fluida


3.6. Sila tlaka na ravne povrine

Sila 0F uslijed konstantnog tlaka 0p okomita je na ravnu povrinu A i djeluje od

fluida prema povrini u njenom teitu, a po veliini je: 0 0F p A

Sila hF uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka hp gh okomita je na ravnu

povrinu A i djeluje od fluida prema povrini u toki H, a po veliini je:

h hC CF p A gh A gdje je Ch dubina na kojoj se nalazi teite C povrine A .

Poloaj toke H je u odnosu na teite C povrine A definiran pomacima x i y za

koje vrijedi: C

I

yy A

i

C

I

xy A

gdje je C C siny h udaljenost teita C

od slobodne povrine, mjereno u ravnini u kojoj se nalazi povrina (udaljenost OC

prema slici), a I i I su glavni i centrifugalni moment inercije povrine A u odnosu

na osi i kroz teite, prema slici. Pomak x je za povrine s barem jednom osi

simetrije jednak nuli (vidjeti kao primjer tablicu koja prikazuje podatke o

centrifugalnom momentu inercije I ).

Za vertikalno uronjenu povrinu prema slici vrijedi yC=hC. Za horizontalno uronjenu

povrinu ( 0 ) Cy pa su prema gornjim izrazima x=y=0, te e sila hF

djelovati u teitu povrine, kao i za sluaj konstantnog tlaka p0.

F p A0= 0

F p Ah= C

h

p0O

x

CH

y

x

A

hC

=konst.

p p gh= +0

n

C

H

y

g

yC =

sin

hC

h hCF p A

3. Statika fluida


Momenti Mx i My sile hidrostatskog tlaka u odnosu na teite C povrine ne zavise od

dubine na kojoj se teite nalazi

h C

C

sinxI

M F y gh A gIy A

h C

C

sinyI

M F x gh A gIy A

3.6.1. Geometrijska svojstva nekih povrina

Geometrijski lik Povrina I I I

A ab 3

12

ba

3

12

ab 0

2A R 4

4

R

4

4

R 0

21

2A R 40 1098, R 40 3927, R 0

A

F gh Ah= C

p0O

C

Hh

y hC C=

g

A

F gh Ah= C

p0

C

hC

g

b/2 b/2

a

C

CR

C

R R

4R3

A C

3. Statika fluida


2

abA

3

36

ba

2

272

bab d

21

4A R 40 05488, R 40 05488, R 40 01647, R

Poloaj rezultantne sile FR=Fh+F0 za sluaj istosmjernih i mimosmjernih sila F0 i Fh.

a) istosmjerne sile

b) mimosmjerne sile

3.6.2. Fiktivna slobodna povrina

Ako je tlak s obje strane povrine isti (sluaj otvorenog spremnika), sile konstantnog tlaka

se ponitavaju. Za sluaj zatvorenog spremnika rezultatntna sila konstantnog tlaka se

rauna s manometarskim tlakom M0p u spremniku. Raunanje sile konstantnog tlaka (u

sluaju da je povrina potpuno uronjena u fluid) moe se izbjei uvoenjem fiktivne

slobodne povrine. Fiktivna slobodna povrina je udaljena od stvarne slobodne povrine za

visinu manometarskog tlaka f M0h p g (za sluaj pretlaka je iznad, a za sluaj podtlaka

ispod stvarne slobodne povrine). Ako fiktivna slobodna povrina padne ispod teita C

povrine, dubina h postaje negativna, a svi izrazi i dalje vrijede.

C

b+d

3

a3

d

b

a

R

4R3

4R3 C

R

F0

Fh

+F0FhFR=

y

yR

C

H

y yR=+F0Fh

Fh

F0

Fh -F0FhFR=

y

yR

C

H y yR=

-F0Fh

Fh

3. Statika fluida


Fiktivna slobodna povrina se moe uvesti i za sluaj mirovanja dvaju fluida razliitih

gustoa prema slici.

3.7. Sila tlaka na zakrivljene povrine

Sila tlaka na zakrivljenu povrinu se razlae na komponente u smjerovima osi. Zakrivljena

povrina S se projicira na koordinatne ravnine. Projekcija povrine je pozitivna ako je kut

izmeu vektora normale i pozitivnog smjera osi manji od 90 (fluid je ispred povrine S

gledano iz pozitivnog smjera osi).

pa

pa

C

A

g

h hf = 1

h1

1

fiktivna slobodnapovr ina

p p gh g h h= + + ( - )a 0 1 1

p p gh= +a

O

p p gh= +a 0

p ghM0 0=

0

3. Statika fluida


Izrazi za komponente 0xF , 0 yF , 0zF sile 0F uslijed konstantnog tlaka

0 0x xF p S ; 0 0y yF p S ; 0 0z zF p S

Izrazi za horizontalne komponente hxF i hyF sile uslijed promjenjivog hidrostatskog

tlaka hp gh i za pomake hvatita tih komponenti u odnosu na teita projekcija su:

h hC Cx x x x xF p S gh S h hC Cy y y y yF p S gh S

C

xh

x x

Ih

h S

C

xy

x x

Ih

h S

C

yh

y y

Ih

h S

C

yx

y y

Ih

h S

Vertikalna komponenta hzF sile hidrostatskog tlaka na povrinu S je po veliini

jednaka teini fluida koji se nalazi ili bi se nalazio u volumenu V izmeu povrine S i

slobodne povrine. Sila hzF prolazi teitem volumena V. Predznak komponente sile

hzF ovisi o predznaku projekcije Sz, te se moe pisati da je

hzF gV

Negativni predznak se odnosi na sluaj pozitivne projekcije povrine Sz (fluid je iznad

povrine S), a pozitivni predznak za sluaj negativne projekcije Sz (fluid je ispod

povrine S).

Ako se zakrivljena povrina nalazi ispod slobodne povrine sve komponente sile

hidrostatskog tlaka djeluju od fluida prema povrini.

Primjer: Vertikalna i horizontalna komponenta sile na zakrivljenu povrinu ABDEF (prema slici) irine B

(okomito na ravninu slike). Fluid je oznaen sivom bojom, a toke G, H i I su na slobodnoj povrini.

Vertikalna komponenta jednaka je po veliini teini fluida u rafiranom volumenu V, djeluje prema dolje i

prolazi teitem tog volumena. Na dijelu povrine BDEF fluid je iznad povrine, te sila djeluje prema dolje, a

po veliini je jednaka teini fluida u volumenu BDEFIGB. Na dijelu povrine AB fluid je ispod povrine pa

sila djeluje prema gore, a po veliini je jednaka teini fluida u volumenu AHGBA.

A

B B B

D DE EF F

V

H HI I GG

+=

3. Statika fluida


Horizontalne komponente sile tlaka na dijelovima povrine EF i ED se meusobno ponitavaju. Projekcija

povrine s kojom se rauna horizontalna sila tlaka je dakle jednaka umnoku visine AD sa irinom B

povrine. Horizontalna komponenta sile tlaka djeluje od fluida prema dijelu povrine ABD, dakle s desna u

lijevo.

3.8. Sila uzgona

Sila uzgona je rezultat djelovanja sila tlaka po povrini tijela uronjenog u fluid. Sila uzgona

je jednaka teini fluida istisnutog tijelom (teini istisnine), djeluje vertikalno u vis i prolazi

teitem istisnine.

Sila uzgona na granici dvaju fluida

Slika prikazuje sluaj plivanja tijela mase m , gustoe 0 na razdjelnoj povrini dvaju

fluida gustoa 1 i 2. Toke C1 i C2 su teita volumena istisnine V1 i V2, a T je teite

tijela.

Sila Fb uzgona je zbroj b b1 b2 1 1 2 2F F F gV gV

Uvjet plivanja (ravnotee) je da su rezultantna sila (tj. bF mg ) i rezultantni moment na

tijelo jednaki nuli (tj. suma momenata sila b1F i b2F u odnosu na teite tijela mora biti

jednaka nuli). Jasno je da vrijedi 2 0 1 . Za sluaj 2 1 sila b1F se zanemaruje.

Fb1

Fb2

V1

V2C2

0

1

mg

g

T


4. KINEMATIKA FLUIDA

Prema hipotezi kontinuuma vrijedi pravilo da svaka estica fluida (materijalna toka)

zauzima samo jednu toku prostora, a u jednoj toki prostora se moe nalaziti samo

jedna estica kontinuuma.

Materijalni volumen MV (fluidno tijelo) je uoeni dio prostora ispunjen fluidom koji se

tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih estica. Materijalni volumen je od

okoline odijeljen materijalnom povrinom MS koja se takoer sastoji stalno od jednih

te istih estica. Jasno je da je brzina gibanja materijalne povrine jednaka brzini

gibanja estica fluida, koje ine materijalnu povrinu.

U opem sluaju materijalni volumen tijekom gibanja mijenja svoj poloaj, oblik i

veliinu, pa je za opis njegova gibanja, potrebno opisati gibanje svake njegove estice.

4.1. Lagrangeov opis gibanja fluida

Poloaji toaka prostora i poloaji estica fluida opisuju se radijus vektorom r (ije su

komponente prostorne ili Eulerove koordinate ix ). U apsolutnom koordinatnom

sustavu je poloaj toke prostora stalan u vremenu (prostorne koordinate ix nisu

funkcije vremena), a poloaj gibajue estice fluida se mijenja s vremenom, to znai

da komponente ix radijus vektora (vektora poloaja) koje opisuju poloaj estice

fluida jesu funkcija vremena. Gibanje estice definirano je vremenskom promjenom

njena vektora poloaja u obliku ( )i ix x t (jednadba gibanja estice fluida).

Brzina estice fluida jest vremenska derivacija vektora poloaja ( )i iv x t (tokica

oznauje vremensku derivaciju), a ubrzanje estice fluida jest vremenska derivacija

brzine ( ) ( )i i ia v t x t .

4. Kinematika fluida


Materijalni volumen se sastoji od beskonanog broja estica fluida, a koje su to estice

definirano je uoenom konfiguracijom M 0V t u poetnom vremenskom trenutku 0t .

Za potrebe opisa njihova gibanja nuno ih je razlikovati. S obzirom da se u jednoj

toki prostora moe nalaziti samo jedna estica fluida, estice e se razlikovati po

poloaju kojeg zauzimaju u poetnoj konfiguraciji. Za koordinate poetnog poloaja

estica fluida se uvodi posebna oznaka 0( )j jy x t i te se koordinate nazivaju

materijalnim ili Lagrangeovim koordinatama. Jasno je da su materijalne koordinate

vremenski nezavisne.

Gibajui materijalni volumen e u trenutku t zauzeti novi poloaj, a budui da se radi

o materijalnom volumenu u tom trenutku e se u njemu nalaziti iste estice koje su u

njemu bile i u trenutku 0t . Na primjer toka A koja je u poetnoj konfiguraciji bila na

poloaju definiranom koordinatama jy , e u trenutku t biti u toki s koordinatama ix .

Jasno je da e vrijednosti koordinata ix zavisiti i od vremena i od toke u poetnoj

konfiguraciji, tako da vrijedi

,i i jx x y t , odnosno tyyyx

tyyyx

tyyyx

,,,

,,,

,,,

32133

32122

32111

Gornje jednadbe opisuju vremenski promjenljivi poloaj one estice fluida koja je u

O

VM(t)

A

A

VM(t0)

xi=xi(yj,t)

Slika uz opis gibanja estica fluida



trenutku 0t bila na poziciji opisanoj vektorom poloaja jy . Mijenjajui vektor jy

dobivaju je jednadbe gibanja razliitih estica materijalnog volumena.

Brzina estice fluida jest vremenska derivacija vektora poloaja

konst.( , ) D

( , )Dj

i j ii j y

x y t xv y t

t t

U mehanici se ona naziva materijalnom derivacijom, a zbog posebne vanosti se

oznauje s D

Dt. Materijalnom derivacijom se izraava vremenska promjena fizikalnog

svojstva estice fluida, onako kako bi to osjeao promatra koji se giba zajedno s

esticom. Gornji izraz opisuje promjenu brzine estica fluida izraenu Lagrangeovim

koordinatama. Promjenom koordinata jy dobiju se brzine razliitih estica

materijalnog volumena.

Ubrzanje estice fluida jest materijalna derivacija brzine

konst.

( , ) D( , )

Dji j i

i j y

v y t va y t

t t

Ponovo se promjenom Lagrangeovih koordinata dolazi do ubrzanja razliitih estica

kontinuuma, u bilo kojem trenutku.

U Lagrangeovom opisu strujanja fluida se funkcijama Lagrangeovih koordinata i

vremena mogu opisati i druga fizikalna svojstva estica fluida. Ako se sa oznai

neko fizikalno svojstvo kontinuuma (gdje za moe stajati skalarno fizikalno

svojstvo poput gustoe i temperature, vektorsko poput poloaja, brzine i ubrzanja ili

tenzorsko svojstvo), openito se moe pisati:

L ,jy t

Rijeima bi se reklo da gornja jednadba opisuje vremensku promjenu fizikalnog

svojstva estice yj. Nadindeks L u oznaci funkcije ukazuje da je fizikalno svojstvo

izraeno Lagrangeovim koordinatama.

4.2. Eulerov opis gibanja fluida

U mehanici fluida se uglavnom koristi Eulerov opis strujanja fluida, koji se temelji na

poljima fizikalnih veliina. Ako se svakoj toki prostora u svakom vremenskom

trenutku pridrui fizikalno svojstvo one estice fluida koja se u promatranom trenutku

nalazi u promatranim tokama prostora dobije se polje fizikalne veliine izraeno



prostornim (Eulerovim) koordinatama

E ,ix t

Za polje koje nije funkcija vremena kae se da je stacionarno, inae je nestacionarno.

Vezu meu Lagrangeovim i Eulerovim opisom nekog fizikalnog svojstva u strujanju

fluida definiraju inverzne jednadbe gibanja1:

1 1 1 2 3

2 2 1 2 3

3 3 1 2 3

, , ,

, , ,

, , ,

y y x x x t

y y x x x t

y y x x x t

ili krae ,j j iy y x t

Gornje jednadbe daju poetni poloaj (u trenutku 0t ) one estice fluida koja se u

trenutku t nalazi na poziciji definiranoj prostornim koordinatama xi. Uvrtavanjem

gornjeg izraza u Lagrangeov zapis fizikalnog svojstva slijedi Eulerov zapis polja

L E E, ( , ), ,j j i iy t y x t t x t

Bez obzira to su fizikalna svojstva izraena prostornim koordinatama jasno je da su

nositelji fizikalnih svojstava estice fluida, a ne toke prostora. U tokama prostora u

kojima nema estica fluida polje fizikalne veliine nije definirano.

4.3. Materijalna derivacija

Materijalna derivacija izraava brzinu promjene fizikalnog svojstva estice fluida, tj.

promjenu koju bi osjetio promatra koji bi se gibao zajedno s esticom. Za fizikalno

svojstvo zapisano Lagrangeovim koordinatama ona je definirana kao

L

konst.

,D

Dj

j

y

y t

t t

Materijalna derivacija istog tog fizikalnog svojstva zapisanog u Eulerovim

koordinatama glasi

E E

E

konst. konst.

( , ) ( , )D( , )

Di

i ii i

ix t

x t x tv x t

t t x

Prvi lan desne strane gornjeg izraza oznauje lokalnu brzinu promjene fizikalnog

svojstva, koju bi osjetio promatra u fiksnoj toki prostora, dok drugi lan desne strane

1 Nuan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne funkcije je da je determinanta razliita od nule i

konana.

/i jx y



oznauje konvektivnu ili prijenosnu brzinu promjene fizikalnog svojstva, uslijed

pomicanja estice fluida u polju . Isputajui oznaku E za Eulerovo polje i

izbjegavajui eksplicitno navoenje zavisnosti polja od prostornih i vremenske

koordinate, gornji izraz u razvijenom obliku poprima oblik:

1 2 31 2 3

materijalna brzina lokalnebrzina konvektivne promjenederivacija promjene

D

Dv v v

t t x x x

Mogue je definirati i operator materijalne derivacije, koji glasi:

D

Dj

j

vt t x

Gdje umjesto oznake moe stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje izraeno u

funkciji prostornih koordinata i vremena.

Dok se u Lagrangeovom opisu strujanja fluida polazi od jednadbi gibanja (ijim se

deriviranjem dolazi do brzine i ubrzanja), u Eulerovom se opisu polazi od polja brzine

(jer se polje brzine pojavljuje u operatoru materijalne derivacije).

Primjer: Polje ubrzanja. Prema definiciji ubrzanje estice fluida je materijalna derivacija njene brzine, te za

polje ubrzanja ia , vrijedi:

D

D

i i i

i j

j

v v va v

t t x

odnosno raspisano po komponentama:

1 1 1 11 1 2 3

1 2 3

2 2 2 2

2 1 2 3

1 2 3

3 3 3 3

3 1 2 3

1 2 3

v v v va v v v

t x x x

v v v va v v v

t x x x

v v v va v v v

t x x x

4.4. Trajektorije, strujnice i krivulje obiljeenih estica

Trajektorija je prostorna krivulja koju svojim gibanjem opisuje estica fluida.

Jednadbe gibanja estice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama oznauju

parametarski zapis jednadbe trajektorije. U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi

od polja brzine, do jednadbe trajektorija se dolazi, polazei od definicije brzine

estice kontinuuma. Ako je dxi usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali



estica kontinuuma gibajui se po svojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, tada

za taj usmjereni element luka trajektorije, iz same definicije brzine slijedi:

d ( , ) di i jx v x t t , to se moe prikazati i u obliku sustava diferencijalnih jednadbi:

31 2

1 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3

dd dd

( , , , ) ( , , , ) ( , , , )

xx xt

v x x x t v x x x t v x x x t

ijim se rjeavanjem uz poetne uvjete za t=t0, xi(t0)=yi, dolazi do jednadbi

trajektorija.

Strujnice su zamiljene krivulje kojima se u svakoj toki smjer tangente poklapa sa

smjerom vektora brzine. Na strujnicama se ucrtava smjer strujanja kao to prikazuje

slika. Za nestacionarno polje brzine, slika strujnica se mijenja od trenutka do trenutka,

pa se slika strujnica odnosi na jedan izabrani vremenski trenutak, npr. t=t1. Ako se

pravac vektora brzine poklapa s tangentom na strujnicu, tada je usmjereni element

luka strujnice dxi paralelan vektoru brzine vi, te je njihov vektorski produkt jednak

nuli, odnosno pripadajue komponente im se razlikuju istim faktorom, tako da vrijedi:

),,,(

d

),,,(

d

),,,(

d

13213

3

13212

2

13211

1

txxxv

x

txxxv

x

txxxv

x

Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to znailo da u

toki presjeka vektor brzine ima dva razliita smjera, to je nefizikalno. Izuzetak ine

toke zastoja u kojima je brzina jednaka nuli.

Krivulja obiljeenih estica u danom vremenskom trenutku spaja sve estice fluida

koje su prole zadanom tokom prostora.

U stacionarnom strujanju trajektorije, strujnice i krivulje obiljeenih estica se

poklapaju.



Vektori brzine za strujanje u blizini toke

zastoja

Strujnice za strujanje u blizini toke

zastoja

Strujnice pri optjecanju cilindra Strujnice za sluaj naglog proirenja

4.5. Protok

Volumenski protok ili jednostavno protok Q jest volumen estica fluida koje u jedininom

vremenu prou kroz promatranu povrinu S orijentiranu jedininim vektorom normale in .

Ako se estice fluida gibaju brzinom iv , a toke povrine brzinom iu , tada je relativna

brzina gibanja estica fluida u odnosu na povrinu i i iw v u , a protok Q je definiran

izrazom

d di i i i iS S

Q w n S v u n S .



Primjer 1: Protok kroz mirujuu povrinu ( 0iu ) je prema opoj

formuli di iS

Q v n S .

estica fluida T se u trenutku t nalazi na povrini dS , a u trenutku

t+dt e zauzeti novi poloaj u prostoru, pri emu e prevaliti put

dv t , odnosno svojim gibanjem opisati kosu prizmu, kojoj je visina

jednaka projekciji vektora puta na smjer normale

d d di ih n v t v n t . Volumen estica fluida koje u vremenu dt

prou kroz povrinu dS jednak je volumenu prizme

d d d d di iV S h v n S t . Elementarni protok kroz povrinu dS

jednak je po definiciji omjeru volumena dV i vremena dt , tj.

dd = d

di i

VQ v n S

t , a ukupni protok kroz povrinu S jednak je zbroju svih elementarnih protoka, to se opisuje

integralom di iS

Q v n S .

Poseban sluaj (brzina okomita na ravnu povrinu)

d di iA A

Q v n A v A

Brzina je okomita na ravnu povrinu i konstantna

dA

Q v A vA

Primjer 2: Protok kroz povrinu koja se giba brzinom ju u

mirujuem fluidu ( 0iv ) je prema opoj formuli

di iS

Q u n S .

Gibanjem povrine S, element dS opisuje kosu prizmu kojoj je

duljina brida du t , a volumen d d di iV u n S t . Dakle gibanjem

povrine S mirujue estice fluida prelaze s desne na lijevu

stranu povrine, pa gledano relativno u odnosu na povrinu to

je isto kao da je povrina mirovala, a estice brzinom u

prolazile kroz povrinu. Zato je protok definiran izrazom di iS

Q u n S .

Primjer 3: Protok kroz materijalnu povrinu ( i iu v )

d 0i i iS

Q v u n S . Jasno je da kroz materijalnu povrinu nema protoka estica fluida jer se ona sastoji

stalno od jednih te istih estica.

vdA vA

Mirujua povrina S

dS

T(t)

T(t+dt)

Gibajua povrina S

dS S(t+dt)

S(t)



4.6. Strujna povrina i strujna cijev

Strujna povrina je sastavljena od strujnica koje

prolaze tokama neke krivulje C.

Vektor brzine je tangencijalan na povrinu

0i iv n , pa kroz strujnu povrinu nema protoka

d 0i iS

Q v n S .

Ako je krivulja C zatvorena, strujna povrina

prelazi u plat strujne cijevi, kroz kojeg nema

protoka fluida, kao i kroz plat neke fizike

cijevi.

Ako je povrina poprenog presjeka cijevi dS

infinitezimalna, govori se o elementarnoj

strujnoj cijevi. U graninom prijelazu d 0S

elementarna strujna cijev prelazi u strujnicu.

4.7. Protok fizikalne veliine

estice fluida osim volumena imaju masu, energiju, koliinu gibanja, itd. Prolaskom

estice fluida kroz neku povrinu, ona pronosi fizikalne veliine, pa se govori o protocima:

volumena (to je gore definirano jednostavno kao protok), mase, energije, koliine gibanja

i sl. Ako se s F oznai fizikalna veliina, a s volumensku gustou te fizikalne veliine,

koja je definirana izrazom

0

dlim

dV

F F

V V

,

odnosno sadraj fizikalne veliine unutar estice fluida (unutar infinitezimalnog volumena

dV ) jest d = dF V , a sadraj te fizikalne veliine unutar odreenog volumena V je

definiran integralom

= dV

F V

Primjeri: = 1F V ; = F m ; = i iF mv v , 2 21 1=

2 2F mv v



Dakle za sluaj gibajue povrine u gibajuem fluidu, volumenski protok kroz elementarnu

povrinu dS e biti d di i iQ v u n S , a protok fizikalne veliine pronesene kroz tu

povrinu je d di i iQ v u n S F , odnosno protok fizikalne veliine kroz ukupnu povrinu

je

F di i iS

Q v u n S

Primjeri:

a) Maseni protok: dm i i iS

Q m v u n S ; 1

SIMT , kg/sm m . Za sluaj mirujue

povrine: di iS

m v n S . Za konst. vrijedi m Q .

b) Teinski protok dG i i iS

Q G g v u n S ; 3

SIMLT , N/sG G . Za sluaj mirujue

povrine: di iS

G gv n S . Za konst. i konst.g vrijedi G mg gQ .

c) Protok koliine gibanja: KG dk i i ikS

Q v v u n S ; 2

KG KG SIMLT , N

k kQ Q . Za

sluaj mirujue povrine: KG dk i ikS

Q v v n S . (Protok koliine gibanja je vektorska veliina!)

d) Protok kinetike energije: 2EK1

d2

i i i

S

Q v v u n S ; 2 3

EK EK SIML T , WQ Q .

4.8. Brzina promjene veliine volumena

a) Opi sluaj volumena V ija se granica S giba

brzinom iu

Brzina promjene volumena je po definiciji

ddd d

V t t V tV

t t

, a element povrine dS

opisuje element volumena d(d ) d di iV u n t S , to

integrirano po povrini S daje razliku volumena

dV t t V t , te je konano:

d

d dd

ii i

iS V

V uu n S V

t x

.

Za granini prijelaz dV V vrijedi



d dd

d

i

i

V uV

t x

b) Sluaj materijalnog volumena MV ija se granica MS pomie brzinom iv gibanja estica

( i iu v ), pa vremenska derivacija postaje materijalnom derivacijom MDd

d D

VV

t t , te se

moe pisati

M M

MM

Dd d

D

ii i

iS V

vVv n S V

t x

Pri graninom prijelazu kada se materijalni volumen saima u toku ( M MdV V ) odnosno

esticu fluida, vrijedi

MM

D dd

D

i

i

V vV

t x

ili M

M

D d1

d D

i

i

Vv

x V t

, gdje

MD dD

V

t oznauje brzinu promjene

obujma estice fluida.

c) Sluaj volumena s nepominom granicom ( 0iu ) iji je obujam konstantan, pa vrijedi

d0

d

V

t , to se dobije i iz opeg izraza uz 0iu .

4.9. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar volumena

a) Opi sluaj gibajueg volumena

lokalna promjena promjena uslijedgibanja volumena

dd d d d

d

ii i

iV V S V

uV V u n S V

t t t x

b) Materijalni volumen ( i iu v ,d D

d Dt t )

M M M M

Dd d d d

D

ii i

iV V S V

vV V v n S V

t t t x

c) Mirujui volumen ( 0iu )

dd d

dV V

V Vt t



4.10. Koncept kontrolnog volumena

Svi zakoni mehanike i termodinamike bit e primjenjivi na materijalni volumen (u

mehanici je to materijalno tijelo ili sustav materijalnih toaka, a u termodinamici je to

zatvoreni termodinamiki sustav). U mehanici fluida nije interes pratiti to se dogaa sa

samim fluidom (dakle nee se pratiti gibanje materijalnog volumena, kao to se u mehanici

prati gibanje tijela), nego je potrebno odrediti posljedice strujanje fluida u blizini neke

konstrukcije. U tom smislu e se definirati kontrolni volumen ije se granice poklapaju s

povrinom konstrukcije za koju se eli istraiti utjecaj strujanja fluida. Budui da e svi

zakoni mehanike fluida biti formulirani za materijalni volumen potrebno ih je

preformulirati za kontrolni volumen. Kontrolni je volumen u veini sluajeva s mirujuim

granicama ( 0iu ), a u analizi konstrukcija s pominim dijelovima koristi se i formulacija

kontrolnog volumena s pominim granicama.

4.11. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar materijalnog volumena

izraena promjenom u kontrolnom volumenu

U trenutku poklapanja materijalnog i kontrolnog volumena brzina lokalne promjene im je

ista, kao to su isti i povrinski integrali, u gornjim izrazima, iz kojih slijedi:

a) sluaj kontrolnog volumena KVV koji je ograen mirujuom kontrolnom povrinom KVS

M KV KV

Dd d d

Di i

V V S

V V v n St t

(Reynoldsov transportni teorem)

uz napomenu da vrijedi:

KV KV

dd d

dV V

V Vt t

b) sluaj promjenjivog kontrolnog volumena V ija se granica S giba brzinom iu

M

D dd d d

D di i i

V V S

V V v u n St t

4.12. Zakon ouvanja mase (jednadba kontinuiteta)

kao primjer primjene Reynoldsovog transportnog teorema

Materijalni volumen se tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih estica fluida, to

znai da mu je masa konstantna, to se moe izraziti rijeima: Brzina promjene mase

materijalnog volumena jednaka je nuli tj. matematiki:



M

Dd 0

DV

Vt

Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema uz zakon se formulira za kontrolni

volumen

KV KV

dd d

di i

V S

m

V v n St

Lijeva strana oznauje brzinu promjene mase fluida unutar kontrolnog volumena, a desna

ukupni maseni protok kroz kontrolnu povrinu. Na dijelu kontrolne povrine kroz koju

fluid ulazi u kontrolni volumen vektor vanjske normale i vektor brzine ine kut vei od

90, te je 0i iv n i maseni protok je negativan, a negativni predznak ispred integrala

ukazuje da e taj protok poveavati sadraj mase unutar kontrolnog volumena. Na izlaznoj

granici je 0i iv n , pa negativni predznak ispred integrala ukazuje na istjecanje fluida iz

kontrolnog volumena tj. oznauje smanjenje sadraja mase unutar kontrolnog volumena.

Kroz nepropusnu stijenku nema protoka, to znai da je brzina ili jednaka nuli ili je

tangencijalna na stijenku. Ako se sa um oznai ukupni maseni protok kojim fluid ulazi u

kontrolni volumen, a sa im maseni protok kojim fluid iz njega izlazi, tada vrijedi:

KV

u id dd

V

V m mt

.

a) Sluaj stacionarnog strujanja. U stacionarnom strujanju fluida se slika strujanja ne

mijenja s vremenom, to znai da se nee mijenjati niti sadraj mase unutar

kontrolnog volumena pa vrijedi jednakost ulaznog i izlaznog masenog protoka

u im m

b) Sluaj nestlaivog (stacionarnog ili nestacionarnog) strujanja homogenog fluida (

konst. ). S obzirom da je gustoa konstantna u kontrolnom volumenu e se u

svakom trenutku nalaziti jednaka masa fluida, a maseni protok je m Q , te

vrijedi

u iQ Q

Primjer: Strujanje kroz ravastu cijev



Na slici je uoen kontrolni volumen koji obuhvaa

unutarnjost ravaste cijevi. Kroz dva presjeka nestlaivi

fluid ulazi u kontrolni volumen protocima 1Q i 2Q , a

kroz dva izlazi protocima 3Q i 4Q . Kroz plat rave

nema protoka fluida.

Prema jednadbi kontinuiteta vrijedi

1 2 3 4Q Q Q Q .

Q2Q4

Q3Q1


5. DINAMIKA FLUIDA

Materijalni volumen (fluidno tijelo) je ekvivalentno sustavu materijalnih toaka u

mehanici, te zatvorenom termodinamikom sustavu u termodinamici, pa e svi zakoni

mehanike i termodinamike biti direktno primjenjivi i na materijalni volumen.

U mehanici su definirani Newtonovi zakoni gibanja, od kojih se drugi Newtonov

zakon, moe zapisati u obliku zakona koliine gibanja, zakona momenta koliine

gibanja ili zakona kinetike (mehanike) energije, a u termodinamici su definirani prvi

zakon termodinamike (zakon ouvanja energije) i drugi zakon termodinamike. Svi su

ti zakoni, kao i zakon ouvanja mase, osnovni za klasinu fiziku pa tako i za mehaniku

fluida.

U termodinamici se uvodi koncept topline, unutarnje energije i entropije, a radni medij

je uglavnom plin, kojemu se djelovanjem sile tlaka moe mijenjati volumen. Za

smanjivanje volumena plina unutar termodinamikog sustava (kada se govori o

kompresiji), potrebno je ulagati mehaniki rad, a pri irenju plina (ekspanziji) plin vri

rad u odnosu na okolinu. U procesima pri konstantnom volumenu korisni mehaniki

rad jednak je nuli.

Osim tlanih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budui su

sile trenja uvijek suprotne pomaku, njihovim se djelovanjem uvijek mehanika

energija pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Iz reenog se zakljuuje da se u

sustavima s konstantnim volumenom ne moe poveati mehanika energija na raun

unutarnje. Zato se u mehanici krutog tijela (sustava materijalnih toaka, kojima je

volumen konstantan) ne razmatraju termodinamiki zakoni, odnosno unutarnja

energija, jer se iz unutarnje energije ne moe dobiti mehanika energija, odnosno ne

moe se djelovati na gibanje tijela. U mehanici se rad sila trenja, kojim se mehanika

energija (zbroj kinetike i potencijalne energije) pretvara u unutarnju oznauje kao

gubitak mehanike energije (jer je jasno da je ta pretvorba jednosmjerna).

U mehanici fluida se bitno razlikuje stlaivo od nestlaivog strujanja. U stlaivom

strujanju se gustoa fluida u strujanju mijenja, dok je u nestlaivom strujanju (najee

se radi o strujanju kapljevina) gustoa fluida (dakle i volumen estica) konstantna. S

obzirom na gore reeno u nestlaivom strujanju se nee moi unutarnju energiju

iskoristiti u gibanju fluida, te e se gibanje fluida opisati samo Newtonovim zakonima,

kao i u mehanici krutog tijela, dok e za opis stlaivog strujanja biti nuno uzeti i

termodinamike zakone, to je dano u sljedeoj tablici.

5. Dinamika fluida


Nestlaivo strujanje ( konst. ) Stlaivo strujanje

1) Zakon ouvanja mase

2) Zakon ouvanja koliine gibanja

3) Zakon ouvanja momenta koliine gibanja

4) Zakon mehanike (kinetike)

energije

4) Zakon ouvanja energije

(I. zakon termodinamike)

5) II. zakon termodinamike

5.1. Osnovni zakoni dinamike nestlaivog strujanja fluida za materijalni volumen

Mehanika (sustav materijalnih toaka)

Materijalni sustav se sastoji od n toaka

Unutranje sile i njihovi momenti se ponitavaju

prema III. Newtonovom zakonu (snage ne!)

kF = rezultirajua vanjska sila na k-tu toku

kF= rezultirajua unutranja sila na k-tu toku

,k km v = masa i brzina k-te toke

Mehanika fluida (materijalni volumen)

Povrinske sile dodira meu esticama fluida

unutar VM su unutarnje sile, a sile dodira s

okolinom (po SM) su vanjske.

Zakon ouvanja mase materijalnog sustava

1

Brzina promjene mase materijalnog sustava

d0

d

n

k

k

mt

Zakon ouvanja mase za VM

M

MBrzina promjene mase

Dd 0

DV

V

Vt

Zakon koliine gibanja za materijalni sustav Zakon koliine gibanja za VM

Okolin

a

Sustav

SM

O

x3

x2 x1

VM

dS

dm=dV

5. Dinamika fluida


Suma vanjskih sila

1 1

Brzina promjene koliine gibanja sustava

d

d

n n

k k k

k k

m v Ft

M

M M M

M M M

Suma vanjskih sila na

Brzina promjene Ukupna masena Ukupna povrinskakoliine gibanja sila na sila na

Dd d d

D

V

i i i

V V S

V V V

v V f V St

Zakon momenta koliine gibanja za materijalni

sustav

Suma momenata vanskih sila

1 1

Brzina promjene momenta koliine gibanja sustava

d

d

n n

k k k k k

k k

r m v r Ft

Zakon momenta koliine gibanja za VM

M M M

M M M

Suma momenata vanskih sila

Brzina promjene momenta Moment masenih Moment vanjskih koliine gibanja sila na povrinskih sila na

Dd d d

Dkji j i kji j i kji j i

V V S

V V V

x v V x f V x St

Mna V

Zakon mehanike energije za materijalni sustav

Snaga vanjskih sila

2 '

1 1 1

Brzina promjene Snaga unutranjihkinetike energije sustava sila unutar sustava

d 1

d 2

n n n

k k k k k k

k k k

m v F v F vt

Zakon mehanike energije za VM

M

M M M

M

M M

Snaga vanjskih sila na

2

F

Snagaunu

Brzina promjene Snaga vanjskih Snaga vanjskihkinetike energije masenih povrinskih

sila na sila na

Dd d d

D 2

V

i i i i

V V S

VV V

vV f v V v S P

t

M

tranjihpovrinskihsila unutarV

U nestlaivom strujanju se snaga unutarnjih sila

odnosi na viskozne sile koje uvijek pretvaraju

mehaniku energiju u unutarnju, pa je snaga PF

uzeta s negativnim predznakom (smanjenje

mehanike energije), pri emu je PF>0.

5.2. Formulacija osnovnih zakona za kontrolni volumen

Za praktino rjeavanje problema strujanja fluida osnovni zakoni e se uglavnom koristiti

za kontrolni volumen, kako je to pokazano na primjeru jednadbe kontinuiteta. Zakoni se

od formulacije za materijalni volumen transformiraju u oblike za mirujui kontrolni

volumen primjenom Reynoldsova transportna teorema, koji je dan u poglavlju kinematike,

a koji glasi:

KV

M KV

KV

dD

d ddD

dd

V

i i

V S

V

Vt

V v n St

Vt

na lijeve strane osnovnih zakona formuliranih za materijalni volumen. Veliina u

gornjoj formuli poprima vrijednost: u zakonu ouvanja mase, 2 / 2v u zakonu

5. Dinamika fluida


mehanike energije, iv u zakonu ouvanja koliine gibanja te kji j ix v u zakonu

ouvanja momenta koliine gibanja. Fizikalno gledajui volumenski integral na desnoj

strani gornje formule oznauje brzinu promjene sadraja fizikalnog svojstva unutar

kontrolnog volumena, a povrinski protok fizikalnog svojstva kroz kontrolnu povrinu, kao

posljedicu strujanja fluida.

Sljedea tablica daje pregled svih zakona za mirujui kontrolni volumen.

Zakon Formulacija za kontrolni volumen

ouvanja

mase KV KVBrzina promjene mase protok mase krozu kontronom volumenu kontrolnu povrinu

dd d

di i

V S

V v n St

mehanike

energije

KV KV KV

2 2

Brzina promjene kinetike Protok kinetike energije Snaga masenih silaenergije kontronog volumena kroz kontrolnu povrinu na kontroni volumen

d 1 1d d d

d 2 2j j i i

V S V

v V v v n S f v Vt

KV

F

Snaga unutarnjih povrinskih

Snaga vanjskih sila unutar KVpovrinskih sila na KV

di iS

v S P

koliine

gibanja KV KV KV KVBrzina promjene Protok koliine ukupna masena ukupna povrinskakoliine gibanja KV gibanja kroz KP sila na KV sila na KV

dd d d d

di i j j i i

V S V S

v V v v n S f V St

momenta

koliine

gibanja

KV KV KV

Brzina promjene momenta Protok momenta koliine ukupni moment masenihkoliine gibanja KV gibanja kroz KP sila na KV

dd d d

dkji j i kji j i r r kji j i kji j i

V S V S

x v V x v v n S x f V xt

KV

ukupni moment povrinskihsila na KV

dS

U nastavku emo posebno obraditi redom, zakon mehanike energije, pa zakone ouvanja

koliine gibanja i momenta koliine gibanja. Ponovit e se definicije zakona za materijalni

volumen, formulirat e ih se za kontrolni volumen, te primijeniti prvo na sluaj

jednodimenzijskog strujanja u cijevima, a zatim dati praktine primjene tih zakona u

strojarstvu.

5.3. Zakon mehanike (kinetike) energije

Definicija zakona kinetike energije za materijalni volumen dana je u gornjoj tablici, a

moe se iskazati sljedeim rijeima:

5. Dinamika fluida


Brzina promjene kinetike energije materijalnog volumena jednaka je zbroju snaga

vanjskih sila (masenih i povrinskih) koje djeluju na materijalni volumen, te snazi

unutarnjih sila koje djeluju u materijalnom volumenu2.

Matematiki zapis zakona kinetike energije za materijalni volumen:

U strujanju fluida u polju masene

sile if uoen je materijalni

volumen MV koji je od okolnog

fluida odijeljen materijalnom

povrinom MS . Na svaku esticu

fluida, kojoj je kinetika energija

21 2 dv V , djeluje elementarna

masena sila dif V , a snaga te sile

je di if v V . Na svaki djeli

povrine MS elementarna

povrinska sila di S , a njena

snaga je di iv S , pri emu je

vektor naprezanja i definiran

zbrojem tlanih i viskoznih sila

f

i i ipn .

Povrinske sile koje djeluju po materijalnoj povrini su za materijalni volumen vanjske sile

(sile dodira izmeu estica materijalnog volumena i okoline), a unutar materijalnog

volumena (meu esticama materijalnog volumena) djeluju unutarnje povrinske sile. U

nestlaivom strujanju je snaga sila tlaka jednaka nuli (jer nema promjene obujma estica

fluida), te snagu unutarnjih sila definiraju samo viskozne sile. Viskozne sile uvijek

pretvaraju mehaniku energiju u unutranju, te e uvijek voditi smanjivanju mehanike

energije. Ako se snaga unutarnjih sila oznai s FP i definira kao pozitivna veliina, tada e

2 U zakonima koliine gibanja i momenta koliine gibanja se unutarnje sile i njihovi momenti meusobno

ponitavaju po treem Newtonovom zakonu (princip akcije i reakcije). Budui je snaga skalarni umnoak vektora sile i vektora brzine, snage sile akcije i reakcije na dvije estice nee biti jednake, budui da se estice mogu gibati razliitim brzinama.

SM

Slika uz definiciju zakona koliine gibanja

O

x3

x2

x1

V

M

dS

dm=dV

5. Dinamika fluida


se u jednadbi kinetike energije ona pojavljivati s negativnim predznakom, jer smanjuje

kinetiku energiju materijalnog volumena. Matematiki zapis zakona je:

M M M

M M M

M

2

F

snagaunutranjih

Brzina promjene snaga masenih snaga vanjskih sila unutarkinetike energije sila na povrinskih

sila na

Dd d d

D 2i i i i

V V S

V V VV

vV f v V v S P

t

5.3.1. Formulacija zakona mehanike energije za kontrolni volumen

Kao to je prije reeno, za potrebe rjeavanje praktinih problema, osnovni zakoni e se

preformulirati za kontrolni volumen. U svakom trenutku se promatra onaj materijalni

volumen koji ispunjava odabrani kontrolni volumen (volumen stalan u vremenu). U tom se

sluaju volumenski i povrinski integrali po materijalnom volumenu i materijalnoj povrini

mogu smatrati integralima po kontrolnom volumenu i kontrolnoj povrini, a brzina

promjene sadraja kinetike energije unutar materijalnog volumena se iskazuje integralima

po kontrolnom volumenu i kontrolnoj povrini, prema Reynoldsovu transportnom teoremu

(RTT). Primjenom RTT na lijevu stranu gornje jednadbe dobije se formulacija zakona

mehanike energije za kontrolni volumen koja glasi:

KV KV KV

2 2

Brzina promjene kinetike Protok kinetike energije Snaga masenih silaenergije kontronog volumena kroz kontrolnu povrinu na kontroni volumen

d 1 1d d d

d 2 2j j i i

V S V

v V v v n S f v Vt

KV

F

Snaga unutarnjih povrinskih

Snaga vanjskih sila unutar KVpovrinskih sila na KV

di iS

v S P

5.3.2. Primjena zakona kinetike energije na jednodimenzijsko strujanje u

cjevovodu

U strogom smislu rijei strujanje je jednodimenzijsko u elementarnoj strujnoj cijevi. S

obzirom da elementarna strujna cijev ima infinitezimalnu povrinu, moe se pretpostaviti

da su sve veliine po poprenom presjeku elementarne strujne cijevi konstantne, a u

stacionarnom strujanju se mijenjaju samo uzdu cijevi (dakle u smjeru jedne dimenzije).

Strujanje u realnim cijevima e biti priblino jednodimenzijsko, ako je promjena povrine

poprenog presjeka cijevi blaga (nema naglih proirenja ili suenja) i kada je radijus

zakrivljenosti cijevi velik u odnosu na njen promjer. U realnoj cijevi veliine po presjeku

nisu konstantne pa se barata s njihovim srednjim vrijednostima po presjeku.

5. Dinamika fluida


Pretpostavke:

1. Fluid je nestlaiv

2. Masena sila je sila

gravitacije 3i if g

3. Vektori brzine

okomiti na presjeke, a

uvodi se faktor

korekcije kinetike

energije u obliku

3

3

r

1d

s A

v Sv A

Integracijom jednadbe kinetike energije, po kontrolnom volumenu prema slici i uz

navedene pretpostavke, dobije se

KV KV KV KV

22 2 2 1 2 1

2 2 1 1

1

2 2

F

1d 2

d 1 1d d d d

d 2 2j j i i i i

V S V S

Qg z z Q p pv Q v vQ st

v V v v n S f v V v S Pt

gdje su 1v i 2v prosjene brzine na presjecima 1A (ulazni) i 2A (izlazni), a Q protok kroz

cijev. Zakon kinetike energije za jednodimenzijsko strujanje oznauje modificiranu

Bernoullijevu jednadbu, koja glasi

22 2

F

12 1

brzina promjene snaga na izlazu iz cijevi snaga na ulazu u cijevkinetike energije

d2 2

KV

v v vp gz Q p gz Q P Q s

t

Ako u cjevovodu izmeu presjeka postoji stroj (pumpa koja predaje snagu PP fluidu ili

turbina koja oduzima snagu TP od fluida), onda se modificirana jednadba moe poopiti u

sljedei oblik

22 2

F P T

12 1

brzina promjene snaga na izlazu iz cijevi snaga na ulazu u cijevkinetike energije

d2 2

KV

v v vp gz Q p gz Q P Q s P P

t

Sw

A1

A2

dsj=dsej

A

dV=dAds

vj=-vnj

vj=vnj

x3

5. Dinamika fluida


Pumpa je pogonjena motorom, pri emu motor predaje pumpi snagu MP , pa je faktor

korisnosti pumpe PP

M

P

P . Turbina obino pogoni generator, pri emu generatoru predaje

snagu GP , pa je faktor korisnosti turbine definiran odnosom G

T

T

P

P .

U gore prikazanom obliku modificirane Bernoullijeve jednadbe, svaki lan ima dimenziju

snage, a koriste se i sljedei oblici te jednadbe

Oblik Dimenzija

22 2

F P T

12 1

d2 2

v v P P Pvp gz p gz s

Q t Q Q

snaga

volumenki protok

22 2

F P T

12 1

d2 2

v v P P Pp p vgz gz s

Q t Q Q

snaga

maseni protok

22 2

F P T

12 1

1d

2 2

v v P P Pp p vz z s

g g g g gQ g t gQ gQ

snaga

teinski protok

U zadnjem obliku modificirane Bernoullijeve jednadbe obino se uvode oznake

PP

Ph

gQ =visina dobave pumpe,

TT

Ph

gQ =pad visine energije u turbini

FF

Ph

gQ =visina gubitaka mehanike energije (energije pretvorene u unutarnju energiju)

Za sluaj ravanja cjevovoda oblici modificirane Bernoullijeve jednadbe iz gornje tablice

postavljaju se du strujnice.

Primjer:

Slika prikazuje ravastu cijev s dva ulazna presjeka (1 i 2) te

dva izlazna presjeka (3 i 4). Izmeu toaka 5 i 6 se nalazi

pumpa koja predaje fluidu snagu PP. Prema jednadbi

kontinuiteta ukupni protok kroz pumpu je

1 2 3 4Q Q Q Q Q . Ako nema gubitaka energije u ravi,

u tokama 5 i 6 visina energije (energija po jedinici

teinskog protoka) ostaje konstantna neovisno o protoku.

Integralni oblik zakona kinetike energije za stacionarno strujanje fluida kae da je snaga na izlazu iz KV

(presjeci 3 i 4) jednaka snazi na ulazu (presjeci 1 i 2) uveanoj za snagu pumpe i umanjenoj za snagu

viskoznih sila, tj.

5. Dinamika fluida


2 2 2 23 4 1 2

3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 P F2 2 2 2

v v v vp gz Q p gz Q p gz Q p gz Q P P

Modificirana Bernoullijeva jednadba postavljena izmeu toaka 1 do5 je:

2 25 5 1 1

5 5 1 1 F152 2

v p v pz z h

g g g g, gdje je F15F15

1

Ph

gQ

Modificirana Bernoullijeva jednadba izmeu toaka 5 i 6 glasi

2 26 6 5 5

6 6 5 5 P F562 2

v p v pz z h h

g g g g, gdje su F56F56

Ph

gQ i PP

Ph

gQ,

a izmeu toaka 6 i 3

2 23 3 61

3 3 6 6 F632 2

v p pvz z h

g g g g, gdje je F63F63

3

Ph

gQ

Iz kombinacije prethodnih jednadbi dobije se modificirana Bernoullijeva jednadba izmeu presjeka 1 i 3

2 23 3 1 1

3 3 1 1 P F15 F56 F632 2

v p v pz z h h h h

g g g g

Dakle modificirana Bernoullijeva jednadba vrijedi du strujnice. Analogno se dobije izraz za modificiranu

Bernoullijevu jednadbu izmeu presjeka 1 i 4 ili izmeu presjeka 2 i 3 ili izmeu presjeka 2 i 4. Vano je

zapamtiti da se snaga viskoznih sila dobije mnoenjem visine gubitaka Fh s pripadajuim teinskim

protokom, kao i snaga pumpe (u ovom primjeru P 1 2 PP g Q Q h ).

5.3.3. Promjena tlaka okomito na strujnice

(integral jednadbe gibanja fluida po putu okomitom na strujnice)

Izraz za promjenu tlaka

okomito na strujnice je:

2 2

2 1 2 1

1

dv

p p g z z nR

udaljenost n se mjeri od

sredita zakrivljenosti strujnice.

1. U strujanju fluida s ravnim strujnicama ( R ) promjena tlaka okomito na strujnice

ista je kao u fluidu u mirovanju.

Slika uz definiciju promjene tlaka okomito na strujnice

R=radijus

zakrivljenosti O

x3

x2

x1

1

2

5. Dinamika fluida


2. U strujanju fluida u horizontalnoj ravnini sa zakrivljenim strujnicama tlak raste od

sredita zakrivljenosti strujnica.

3. Strujnica ne moe biti slomljena krivulja, jer bi u toki loma bilo R=0, pa bi dp/dn bilo

beskonano, to nije fizikalno.

5.4. Ilustracija sadraja modificirane Bernoullijeve jednadbe

Za grafiki prikaz sadraja Bernoullijeve jednadbe pogodno je koristiti oblik u kojem su

svi lanovi izraeni kao snaga po jedinici teinskog protoka (ili energija po jedinici teine

fluida), koji za sluaj stacionarnog strujanja i 1 , glasi

2 2

geometrijska(geodetska)

visina visina visinakineticke tlaka definira GLenergije

piezometricka visinadefinira HGL

Visina ukupne energije =EL 2

Documents

Mehanika fluida I