MEHANIKA FLUIDA dio 4

Željko Andreić – Mehanika fluida: P4 1

MEHANIKA FLUIDA

dio 4

prof. Željko Andreić

Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Sveučilište u Zagrebu

[email protected]

http://rgn.hr/~zandreic/


sadržaj 1-2-3!

1. plutanje

2. translacija i rotacija tekućina

3. Euler-ova jednadžba za stacionarno tečenje

4. Bernoulli-jeva jednadžba


pdA

n

Hidrostatska sila na zakrivljenu stijenku

dA


Hidrostatska sila na zakrivljenu stijenku 2

Stijenku sad moramo podijeliti na elementarne površine i ukupnu

silu naći integracijom iz:

gdje je jedinični vektor plohe A. Ako on sa koordinatim osima

zatvara kuteve (n,x), (n,y) i (n,z) onda je:



je projekcija elementarne površine dA na yz ravninu, pa je:



što se formalno integrira u:



Rješenje za horizontalne komponente tlačne sile je:

hTx i hTy su koordinate težišta projekcije plohe na yz odn. xz ravninu,

a Ax i Ay su površine odgovarajućih projekcija.

Kao i kod ravne plohe, horizontalna tlačna sila jednaka je umnošku

tlaka u težištu plohe i površine vertikalne projekcije plohe u ravnini

okomitoj na smjer tlačne sile.



Vertikalna komponenta tlačne sile je:

je volumen stupca tekućine iznad elementarne površine

dA, pa je:

Vertikalna komponenta tlačne sile je i ovdje jednaka težini

tekućine iznad te plohe.


Hidrostatska sila na stijenku cijevi

p

φD

dz dz

s s

dTdT


Hidrostatska sila na stijenku cijevi 2

Ukupna tlačna sila na polovicu prstena širine dz je:

Razmicanju poluprstenova odupire se napetost materijala

Poluprstenovi se spajaju na dva mjesta pa je:



Uvrštavanjem nalazimo:

Ako je je najveće dopušteno naprezanje materijala stijenke

onda je:

Ovo je Mariott-ova formula za debljinu stijenke cijevi.



Ona vrijedi za cijevi sa tankom stijenkom ( .

Za dugu cijev zatvorenu na krajevima na sličan način nalazi se

da je uzdužno naprezanje:


Uzgon

Fu

G


Uzgon 2

Zatvorimo plohom proizvoljni volumen fluida. On je u ravnoteži pa

je:

tojest:

Ako sad iz naše plohe izvadimo fluid i zamijenimo ga sa nekom

drugom tvari gustoće ρT, izvan plohe se ništa ne mijenja, pa

tlačne sile ostaju iste.


Uzgon 3

Na tijelo dakle djeluje vertikalna tlačna sila u iznosu:

Ova sila naziva se uzgon a pravilo da je uzgon jednak težini

istisnutog fluida naziva ase Arhimed-ov zakon.

No, težina tijela je različita od težine istisnutog fluida:


Uzgon 4

Tijelo je u ravnoteži sa okolnim fluidom samo ako je:

Pa na tijelo djeluje rezultantna sila u iznosu:

U suprotnom tijelo tone ili izranja.


Plutanje

Uzgon i težina tijela su u ravnoteži:

Fu

G


Plutanje

Gustoća tijela je manja od gustoće fluida, uzgon dolazi samo od

umoćenog dijela tijela.

Ovisno o položajima hvatišta uzgona i težine, plutajuće tijelo

može biti u tri ravnotežna stanja: labilnom, stabilnom i

indiferentnom.


Plutanje 2

G

U U

G

G

U

labilno stabilno indiferentno


Plutanje 3

G U

stabilno - moment sila vrača brod u početni položaj


Plutanje 4

G

U

labilno - moment sila prevrče brod!


Translacija tekućine kao cjeline

Gibanje kod kojeg nema relativnog pomaka izmeñu čestica

tekućine.

1. jednolika translacija: nema ubrzanja, isto kao i mirovanje.

2. vanjsko ubrzanje: tekućina osječa inercionu silu koja je

reakcija na ubrzanje. Ubrzanje inercione sile (III: Newton-ov

aksiom) je iste veličine a suprotnog smjera od ubrzanja sile koja

ju izaziva. To ubrzanje se vektorski zbraja sa g i tekućina kao

cjelina prelazi u novo stanje ravnoteže za koje i dalje vrijede

zakoni statike.


Translacija tekućine - horizonalno ubrzanje

g

a

r

r

ϕ ϕ

ai=-a


Translacija tekućine - horizonalno ubrzanje 2

h'

ϕ


Translacija tekućine - vertikalno ubrzanje

r

g

a h

ai


Translacija tekućine - koso ubrzanje

g+ap

ao

r

r

ϕ ϕ

ao

apai


x

y

z

Ravnotežno stanje -tekućina poprima brzinu

rotacije posude.

centrifugalna sila: acf=rω2

ω=konst.

Rotacija tekućine u otvorenoj posudi

00


Rotacija tekućine u otvorenoj posudi 2

x

y

r

rω2

ax

ay

O



Krećemo od Euler-ove jednadžbe (zbrojimo komponente!) :

Uvrstimo naša ubrzanja:

I integriramo:



Malo sredimo:

Konstantu c nalazimo iz uvjeta da u ishodištu imamo p=pa:

Istovremeno, i na cijeloj slobodnoj plohi je p=pa pa dalje nalazimo:



Ovo je jednadžba rotacionog paraboloida.


h0 (visina bez rotacije)


R

hC

hR

ne ovisi o ρ!


hc i hR nañemo iz sačuvanja volumena tekućine:


(volumen rotacionog paraboloida je: )

Dalje nalazimo: a uz

Na kraju imamo:


Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi

ω=konst.

rph phr


Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi 2

Ne zaboravite da tlak djeluje okomito na plohu pa i na

poklopcima dolazi do porasta tlaka!

Porast tlaka opaža se i kod svake

promjene smjera tečenja!


Euler-ova jednadžba za stacionarno tečenje

kod stacionarnog tečenja zadnji član lijeve strane isčezava,

pa nam ostaje:

Polazimo od integralnog oblika kvazi-1D Eulerove jednadžbe za

polje sile teže:


Bernoulli-ova jednadžba 1

Ako zanemarivo stlačivost, Euler-ovu jednadžbu za

stacionarno strujanje možemo integrirati pa dobijemo:

Ovo je Bernoulli-jeva jednadžba za nestlačivi fluid.

Analizirajmo dimenzije pojedinih članova na lijevoj strani:



Svi članovi predstavljaju energiju po jedinici mase.

Konstanta na desnoj strani je ukupna energija jedinične

mase fluida.

uz



predstavlja kinetičku energiju fluida.

predstavlja unutrašnju energiju fluida (zbog tlaka).

predstavlja potencijalnu energiju fluida.

B.J. je u stvari zakon sačuvanja energije za tekućine.


Ravnoteža čestice fluida okomito na strujnicu

r

α

dA


Ravnoteža čestice fluida okomito na strujnicu 2

Okomito na strujnicu na česticu fluida djeluju:

1. tlačne sile po bočnoj plohi.

2. centrifugalna sila (zbog zakrivljenosti strujnice).

3. sila teža.

Gledamo ravnotežu svih tih sila u smjeru glavne

normale (=normala u smjeru prirasta polumjera r).



Pretpostavimo strujnu cijev kvadratičnog presjeka pa je:

a gornja jedn. postaje:



Nakon sreñivanja ostaje nam:

dinamički

dio

statički

dio

Ako nema strujanja ovo prelazi u jednadžbu hidrostatske

ravnoteže:



Ako je strujanje u horizontalnoj ravnini, statički dio

možemo zanemariti pa je:

Ovo je jednadžba radijalne ravnoteže toka.

Ako su strujnice koncentrične kružnice (vrtlog) ovo postaje:


Bernoulli-jeva jednadžba za tekućine

Svi članovi sad imaju dimenzije duljine i nazivaju se visine:

brzinska v. + tlačna v. + geodetska v. = v. energetskog

horizonta (energetske linije).

tlačna v. + geodetska v. = piezometarska v.

B.J. za nestlačivi fluid podijelimo sa g:


Bernoulli-jeva jednadžba za tekućine 2

Ovo je energija po težini jedinične mase (g⋅1 kg).

Ovaj oblik najčešće se koristi jer se piezometarska visina može

direktno mjeriti.

Energetski karakter je skriven. Možemo probati ovako:



gdje su 1 i 2 bilo koje dvije točke na strujnici.

Tu je problem: B.J. vrijedi za jednu strujnicu.

Praksa: "ignoriramo" problem i u B.J. uvrštavamo srednje

vrijednosti odgovarajućih veličina.

Kako je gustoća konstantna (početna pretpostavka!) i

zo konstanta, možemo pisati:



Protok mase je dan sa:

Najveću grešku unosi srednja vrijednost brzine (tlak i visina se

sporije mijenjaju). Probajmo ocijeniti tu grešku. Polazimo od

toka kinetičke energije kroz strujnu cijev:



odnosno:

Za cijeli presjek toka, to moramo integrirati po površini presjeka:



Račun sa srednjom vrijednošću brzine daje:

Matematički se može dokazati da uvijek vrijedi:


Corioliss-ov koeficijent

Omjer:

naziva se Coriollis-ov koeficijent.

Da izbjegnemo greške zbog usrednjavanja, moramo modificirati B.J:


Corioliss-ov koeficijent 2

Odnosno:

Coriollis-ov koeficijent u realnim situacijama moramo odrediti iz

poznatih podataka o toku na mjestu za koje taj koeficijent tražimo.


Statička granica Bernoulli-jeve jednadžbe

Ako se strujanje zaustavi, B.J. prelazi u jednadžbu

hidrostatske ravnoteže:

Documents

MEHANIKA FLUIDA dio 4