Mehanika Fluida Skripta Šavar

Embed Size (px)

Text of Mehanika Fluida Skripta Šavar

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    1/93

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    2/93

    Sveuilite u ZagrebuFakultet strojarstva i brodogradnje

    Zavod energetska postrojenja, energetiku i ekologiju

    Katedra za mehaniku fluida

    Mario avar - Zdravko Virag - Ivo Dijan

    Mehan ika f luid a

    Skripta predavanja

    Zagreb 2014

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    3/93

    Mehanika fluida I

    Predgovor

    Gradivo izneseno u ovoj skripti predstavlja dio materijala predavanja kolegija

    Mehanika fluida koji se na Fakultetu strojarstva i brodogradnje, Sveuilita u Zagrebu

    predaje studentima smjerova: Mehatronika i robotika, Proizvodno strojarstvo, Raunalno

    inenjerstvo, Industrijsko inenjerstvo i menadment. Skripta je prvenstveno namijenjena

    za lake razumijevanje teoretskih izvoda koji su potrebni za razumijevanje osnovnih

    jednadbi mehanike fluida. Nadamo se da e materijali dani u ovoj skripti omoguiti

    studentima da lake prate predavanja, te da ta znanja kasnije lake usvoje. Svrha i cilj ove

    skripte nije bio da zamjeni udbenike i knjige iz Mehanike fluida, ve je u njoj dan samo

    materijal koji omoguuje studentima da kvalitetnije, preglednije i lake usvoje potrebna

    znanja iz Mehanike fluida.

    Koncept predavanja koji je iznesen u ovoj skripti rezultat je gotovo etrdeset godina

    kontinuiranog nastavnog rada na Katedri za mehaniku fluida. Na ovome mjestu se elimo

    zahvaliti naim uiteljima i prethodnicima prof. dr. Mladenu Fancevu i prof. dr. Zdravku

    Dolineru, na ijem je konceptu predavanja formiran kolegij u dananjem obliku.

    U Zagrebu, 06.02.2014.

    Mario avar, Zdravko Virag, Ivo Dijan

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    4/93

    Sadraj

    Mehanika fluida II

    SADRAJ

    1. Uvod ................................................................................................................................ 1

    1.1. Fluid ili tekuina ..................................................................................................... 11.2.

    Osnovne dimenzije u mehanici fluida .................................................................... 1

    1.3.

    Hipoteza kontinuuma ............................................................................................. 1

    1.4.

    Sile u fluidu ............................................................................................................ 2

    1.4.1. Masene sile .................................................................................................. 2

    1.4.2. Povrinske sile............................................................................................. 2

    1.4.3. Tenzor naprezanja (Dodatak) ..................................................................... 3

    1.5.

    Viskoznost fluida .................................................................................................... 4

    2. Hidrostatika .................................................................................................................... 52.1.

    Osnovna jednadba statike fluida........................................................................... 52.2. Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee.............................................. 62.3.

    Hidrostatski manometri .......................................................................................... 7

    2.4.

    Sila tlaka na ravnepovrine.................................................................................... 8

    2.5. Sila tlaka na zakrivljene povrine......................................................................... 12

    2.6.

    Sila uzgona ........................................................................................................... 13

    3. Kinematika fluida ........................................................................................................ 15

    3.1. Opis gibanja fluida ............................................................................................... 15

    3.1.1.

    Lagrangeov opis gibanja fluida ................................................................ 15

    3.1.2. Eulerov opis gibanja fluida ....................................................................... 16

    3.1.3.

    Materijalna derivacija .............................................................................. 17

    3.2. Strujnice ................................................................................................................ 18

    3.3.

    Trajektorije ........................................................................................................... 18

    3.4.

    Strujna povrina i strujna cijev............................................................................. 19

    3.5. Protok ................................................................................................................... 20

    3.6. Protok fizikalne veliine....................................................................................... 21

    3.7. Leibnitzov teorem ................................................................................................. 22

    3.7.1. Brzina promjene veliine volumena.......................................................... 22

    3.7.2. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar volumena................. 233.8.

    Materijalni volumen ............................................................................................. 23

    4. Dinamika fluida ............................................................................................................ 244.1. Osnovni zakoni ..................................................................................................... 24

    4.2. Zakon ouvanja mase........................................................................................... 25

    4.3. Zakon ouvanja koliine gibanja.......................................................................... 254.4.

    Zakon ouvanja momenta koliine gibanja.......................................................... 26

    4.5. Zakon ouvanja energije...................................................................................... 27

    4.6. Zakon produkcije entropije................................................................................... 27

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida....... 285.1.

    Koncept kontrolnog volumena ............................................................................. 28

    5.2. Reynoldsov transportni teorem ............................................................................ 28

    5.3. Jednadba kontinuiteta......................................................................................... 29

    5.4. Jednadba koliine gibanja................................................................................... 30

    5.4.1. Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile fluida na platcijevi .......................................................................................................... 31

    5.4.2.

    Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile mlaza fluida nalopatice ...................................................................................................... 33

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    5/93

    Sadraj

    Mehanika fluida III

    5.5. Jednadba momenta koliine gibanja................................................................... 34

    5.6. Bernoullijeva jednadba....................................................................................... 35

    6. Primjena osnovnih jednadbi mehanike fluida......................................................... 406.1. Mjerenje brzine ..................................................................................................... 40

    6.2.

    Prandtl-Pitotova cijev ........................................................................................... 41

    6.3.

    Mjerenje protoka u strujanju kroz cijevi .............................................................. 42

    6.3.1.

    Venturijeva cijev........................................................................................ 42

    6.3.2. Kavitacija .................................................................................................. 43

    6.3.3.

    Ejektor ....................................................................................................... 44

    6.3.4. Istjecanje iz velikog spremnika ................................................................. 44

    6.3.5. Gubitak utjecanja u veliki spremnik .......................................................... 45

    6.3.6.

    Sifon .......................................................................................................... 46

    6.3.7. Maksimalna visina usisavanja pumpe ....................................................... 46

    6.3.8.

    Korekcije brzine i protoka pri istjecanju kroz otvore ............................... 46

    6.3.9. Formula za izraunavanje vremena pranjenja posude........................... 476.4.

    Ilustracija sadraja Bernoullijeve jednadbe

    ........................................................ 48

    7. Dimenzijska analiza ..................................................................................................... 507.1.

    Osnovna jednadba metrologije........................................................................... 507.2. Skup osnovnih i izvedenih fizikalnih jedinica ..................................................... 50

    7.3.

    Dimenziono nezavisan skup ................................................................................. 51

    7.4. Backinghamov teorem (Pi-teorem) ...................................................................... 52

    7.5. Nezavisni bezdimenzijski parametri (kriteriji slinosti)...................................... 55

    7.6. Neki zavisni bezdimenzijski parametri ................................................................ 55

    8. Primjena osnovnih zakona dinamike fluida na strujanje u hidraulikimstrojevima ..................................................................................................................... 61

    8.1.

    Osnovni zakoni u koordinatnom sustavu koji se giba pravocrtno brzinom u...... 61

    8.2. Bernoullijeva jednadba za rotirajuu strujnu cijev............................................. 638.3.

    Eulerova jednadba za turbostrojeve.................................................................... 638.4. Primjena na rotirajuu cjevicu............................................................................ 658.5.

    Primjena na hidraulike strojeve.......................................................................... 678.5.1. Primitivna teorija propelera ..................................................................... 67

    8.5.2.

    Primjena na centrifugalni stroj ................................................................. 69

    8.5.3. Primjena na Pelton turbinu ....................................................................... 72

    8.5.4.

    Primjena na aksijalni tubostroj ................................................................. 73

    9. Hidrauliki proraun cjevovoda................................................................................. 779.1. Osnovne jednadbe............................................................................................... 779.2.

    Modeliranje linijskih gubitaka .............................................................................. 77

    9.3.

    Modeliranje lokalnih gubitaka .............................................................................. 80

    9.3.1. Veza meu faktorom brzine i koeficijentom lokalnog gubitka.................. 819.3.2.

    Ekvivalentna duljina cjevovoda ................................................................ 81

    9.4. Hidrauliki proraun cjevovoda nekrunog poprenog presjeka......................... 829.5.

    Ilustracija modificirane Bernoullijeve jednadbe................................................. 839.6.

    Postupci prorauna jednostavnih cjevovoda........................................................ 849.7. Energetske karakteristike pumpe .......................................................................... 85

    9.7.1. Realna karakteristika hidraulikog stroja................................................ 85

    9.7.2. Radna toka pumpe................................................................................... 869.7.3.

    Zakoni slinosti......................................................................................... 869.7.4. Spajanje pumpi .......................................................................................... 87

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    6/93

    Popis najvanijih oznaka

    Mehanika fluida IV

    POPIS NAJVANIJIH OZNAKA

    Fizikalna veliina Oznaka Dimenzija Jedinica uSI sustavu

    povrina poprenog presjeka A, S L mbrzina zvuka c LT- m/s

    promjer D, d L m

    sila F MLT- N

    gravitacija g LT- m/s

    volumenski modul elastinosti K ML- T- Pamaseni protok m MT

    - kg/s

    moment sile M ML T- Nm

    snaga P ML T- W

    tlak p ML- T- Pa

    volumenski protok Q L T-

    m /spotencijal masene sile U L T- m /s

    specifina unutranja energija u L T- J/kgvolumen fluida V L m

    brzina strujanja fluida v LT- m/s

    rad sile W ML T- J

    geodetska visina z L m

    gustoafluida ML- kg/m

    koeficijent kinematike viskoznosti L T- m /s

    koeficijent dinamike viskoznosti ML- T- Pas

    brzina vrtnje T-

    rad/skoeficijent otpora trenja - -

    naprezanje ML- T- N/m

    kut - rad

    PREPORUENA LITERATURA

    Virag, Z.: Mehanika fluidaodabrana poglavlja, primjeri i zadaci, Sveuilite u Zagrebu,Fakultet strojarstva i brodogradnje, Zagreb, 2002.

    Fancev, M.: Mehanika fluida, Tehnika enciklopedija, 8, Hrvatski leksikografski zavod,Zagreb, 1982.

    Munson, B. R., Young, D. F., Okiishi, T. H.: Fundamentals of Fluid Mechanics, John

    Wiley&Sons, Toronto, 1990.

    White, F. M.: Fluid Mechanics, McGraw-Hill, 2003.

    Cengel, Y. A., Cimbala, J. M.: Fluid Mechanics Fundamentals and Applications,McGraw-Hill, 2006.

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    7/93

    1. Uvod

    Mehanika fluida 1

    1.UVOD

    Mehanika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida i silama koje djeluju na fluid.

    Mehanika fluida se dijeli na statiku fluida koja prouava ravnoteu fluida u mirovanju,kinematiku fluida koja se bavi zakonima gibanja fluida, i dinamiku fluida koja se bavisilama koje djeluju na fluid i gibanjima koje nastaju djelovanjem tih sila te interakcijama

    izmeu vrstihtijela i fluida.

    1.1. Fluid ili tekuina

    Definicija fluida:Fluid je tvar koja se neprekidno deformira (tj. struji) pod djelovanjem ma

    kako malog sminog naprezanja. Ova neprekidna deformacija naziva se strujanje.Iz definicije fluida slijedi:U fluidu u mirovanju nema sminih naprezanja.Fluid dijelimo:Fluide dijelimo s obzirom na veliinu deformacije kao posljedicu tlanognaprezanja na kapljevine i plinove

    1.2. Osnovne dimenzije u mehanici fluida

    Veliina Oznaka dimenzije Jedinica u SI sustavumasa M kg

    duljina L mvrijeme T s

    temperatura K

    1.3. Hipoteza kontinuuma

    Gledajui u mikroskopskom svijetu materija se sastoji od atoma i molekula, a ovi sesastoje od jo sitnijih estica. Gledajui iz makrosvijeta diskretna strukture se ne moematematiki opisati jer i vrlo mali volumen sadri jako veliki broj molekula (V = 10-3

    mm3

    Nplin=1015

    Nkaplj=1018

    ) . Zbog toga se uvodi hipoteza kontinuuma po kojem fluidkontinuirano popunjava prostor, a sva fizikalna svojstva e biti definirana u svakoj tociprostora.

    Definicija: Kontinuum je matematiki model materije prema kojem ona zadrava svojafizikalna svojstva pri smanjivanju volumena u toku. estica kontinuuma (materijalnatoka) ima infinitezimalni volumen dV, a svaka estica zauzimasamo jednu toku prostora,a u jednoj toki prostora se moe nalaziti samo jedna estica kontinuuma. Hipotezakontinuuma omoguuje primjenu integralnog i diferencijalnog rauna u mehanici fluida.

    Primjer: Gustoa estice fluida se izraava derivacijomd

    d

    m

    V,

    3 3SIkg

    ML ;m

    .

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    8/93

    1. Uvod

    Mehanika fluida 2

    1.4. Sile u fluidu

    1.4.1. Masene sile

    Masene sile su rasporeene po prostoru i djeluju na svaki element mase fluida. Silenisu posljedica fizikog dodira estica fluida nego su posljedica poloaja mase u poljumasene sile, Tipine masene sile su sila tea, inercijska sila, magnetska sila, centrifugalnasila itd.

    Masene silesu posljedica poloaja mase u polju masene sile. ( f je specifina masena sila

    = sila po jedininoj masi, 22SI

    mLT ;

    sf f )

    Masena sila dFna esticu fluida:

    d d dF f m f V

    Sila Fna ukupni volumen V

    d

    V

    F f V

    2

    SIMLT ; NF F

    Primjeri: sila gravitacije: f gk

    inercijske sile: f a

    1.4.2.

    Povrinske sile

    Povrinske sile su sile dodira izmeu esticafluida ili izmeu estica fluida i stjenke.Definirane su specifinom povrinskom silom ilivektorom naprezanja ,

    -1 2SI

    ML T ; Pa .

    Sila dFna elementarnu povrinu dS

    d = dF S

    Sila Fna ukupnu povrinu S

    = d

    S

    F S

    Za povrinske sile vrijedi III Newtonow zakon(princip akcije i reakcije), tj.

    n n

    (itaj vektor naprezanja na povrini orijentiranoj jedininim vektorom normale n jednak jepo veliini i suprotan po smjeru vektoru naprezanja na povrini orijentiranoj normalom

    n ).

    Slika uz definiciju masenih sila

    O

    z

    y

    x

    df m

    V

    f

    S

    Slika uz definiciju povrinskih sila

    O

    z

    y

    x

    V

    n

    dS

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    9/93

    1. Uvod

    Mehanika fluida 3

    Povrinska specifina sila (vektor naprezanja) dijeli se na normalno naprezanje (tlak) itangencijalno naprezanje ( viskozno naprezanje)

    tpn

    p = tlak = normalno naprezanjet = viskozno naprezanje = tangencijalno n. (neki autori oznaavaju s )

    1.4.3. Tenzor naprezanja (Dodatak)

    Stanje naprezanja u toki prostora jednoznano jedefinirano tenzorom naprezanja. Komponente

    tenzora naprezanja definirane su komponentama

    triju vektora naprezanja koji djeluju na povrinamaorijentiranim normalama u smjeru osi koordinatnog

    sustava, kao na slici. Svaki vektor naprezanja ima

    jednu normalnu komponentu (okomitu na povrinu)i dvije tangencijalne (smine) komponente.

    Tablini zapis komponenti tenzora naprezanja

    xx xy xz

    ji yx yy yz

    zx zy zz

    Prvi indeks oznauje redak, tj. smjer normale napovrinu, a drugi stupac odnosno pravac djelovanja

    komponente tenzora naprezanja.

    Tenzor naprezanja je simetrian ij ji (osim ako postoje maseni i povrinski momenti).

    Veza izmeu vektora i tenzora naprezanja:(vektor naprezanja je projekcija tenzora naprezanja na smjer normale)

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ji x xx y yx z zx

    x xy y yy z zy x xz y yz z zz

    n n n n n i

    n n n j n n n k

    Dogovor o predznacima naprezanja:

    Pozitivna naprezanja na povrinama orijentiranim normalama u pozitivnom smjerukoordinatnih osi takoer gledaju u pozitivne smjerove tih osi i obrnuto, pozitivna

    naprezanja na povrinama orijentiranim normalama koje gledaju u negativnom smjerukoordinatnih osi, takoer gledaju u negativne smjerove tih osi.

    Povrinska sila (vektor naprezanja) za sluaj stanja tlanog naprezanja: tpn Sluaj Vektor naprezanja

    - Realni fluid u gibanju

    (postoje viskozne sile)

    t

    ji jin pn n pn

    ji = tenzor viskozna naprezanja

    p = tlak = normalno naprezanjet= viskozno naprezanje = tangencijalno n.

    - Realni fluid u mirovanju ili

    relativnom mirovanju- Idealni fluid (neviskozan)

    jin pn

    xx xy

    xz yy

    yz

    yx

    zz

    zx zy

    Slika uz definiciju komponenti

    tenzora naprezanja

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    10/93

    1. Uvod

    Mehanika fluida 4

    1.5. Viskoznost fluida

    Viskoznost fluida je mjera otpora teenju fluida.Newtonov zakon viskoznosti

    vAF

    h

    Generalizirani Newtonov zakon viskoznosti

    xdvF

    A dy

    U newtonskim fluidima viskozna naprezanja su linearno razmjerna brzini deformacije

    fluida. Koeficijent razmjernosti se naziva (dinamika) viskoznost fluida ,

    1 -1ML T ; SI

    Pa s . Viskoznost je fizikalno svojstvo fluida, i zavisi od

    termodinamikog stanja fluida. Kod plinova s porastom temperature raste i viskoznost, akod kapljevina opada. Viskoznost pokazuje otpor fluida ka teenju.

    Kinematika viskoznost 2

    2 -1

    SI

    m L T ;

    s,

    .

    Fluidi koji potuju zakonitostv

    y

    nazivaju se Newtonovski fluidi

    x ydv x yd v y

    t t

    v y

    y y

    Smino ili tangencijalno naprezanje proporcionalno je gradijentu brzine odnosno brzinikutne deformacije ( u Hookovom zakonu smino naprezanje proporcionalna jedeformaciji).

    v

    F

    Ah

    dvx

    dy

    xv+v

    v

    d y

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    11/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 5

    2.HIDROSTATIKA

    Ako nema gibanja fluida sile u fluidu moraju

    biti u ravnotei. Suma sila jednaka je nuli.

    Ako nema gibanja fluida iz definicije fluidaslijedi da nama niti tangencijalnih sila

    0 d dV S

    F f V S

    d dS=0tV S

    f V pn

    Uz zanemarenje viskoznih sila

    d dS=0V S

    f V pn

    Primjenom formula Gauss-Ostrograskid dV=0

    V V

    f V p

    2.1. Osnovna jednadba statike fluida

    Osnovna jednadba gibanja za izraava ravnoteu masenih sila i sila tlaka za svakuelementarnu esticu fluida u mirovanju.

    ili gradf p f p

    Iz osnovne jednadbe statike imajui na umu svojstva gradijenta zakljuuje se:

    1) Ako nema masenih sila ( 0f ) slijedi da je tlak p konstantan,

    2) Tlak najbre raste u smjeru gradp tj. u smjeru masene sile, a najbre opada u smjerugradp tj. u smjeru suprotnom od masene sile,3) Budui da je gradp okomit na povrinu p=konst. promjena tlaka u okomitom smjeruna vektor masene sile je jednaka nuli. Drugim rijeima, vektor masene sile je okomit na

    povrine konstantnog tlaka (izobare).Takoer vrijedi:4) Granica dvaju fluida u mirovanju poklapa se s izobarom, te je vektor masene sile u

    svakoj toki okomit na razdjelnu povrinu,Vektor masene sile je usmjeren od razdjelne povrine prema fluidu vee gustoe,Na granici dvaju fluida tlak je neprekidan, ako se zanemare uinci povrinske napetosti.

    S

    Slika uz definiciju sile tlaka

    O

    z

    y

    x

    V

    n

    dS

    dV

    fdV

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    12/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 6

    2.2. Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee

    Promjena tlaka izmeu dvije toke

    (uz konst.

    i konst.f

    )Iz osnovne jednadbe statike sljedi:

    /

    x y z

    x y z

    f p dr

    f dr p dr

    p p pf i f j f k dxi dyj dzk i j k dxi dyj dzk

    x y z

    p p pf dx f dy f dz dx dy dz dp

    x y z

    2 1p p f r

    ili

    2 1 1 cosp p f r p f r

    Iz svojstva skalrnog produkta je jasno da se pri odreivanju promjene tlaka moe ili putprojicirati na silu ili silu na put.

    Oito je da ako se povea tlakp1u toki 1, da e se on poveati i u toki 2, odnosno u svimdrugim tokama, to je bit Pascalova zakona koji kae da se tlak narinut izvana na fluid umirovanju iri jednoliko u svim smjerovima.

    Promjena tlaka u mirujuem fluidu u polju sile tee

    0 0x y zf f i f j f k i j ( g )k (

    2

    9,80665 m/sg )

    0 0p p gz p gh ili0 konst.

    p pz

    g g

    gdjezoznauje visinu, h dubinu, a0

    p tlak u ishoditu koordinatnog sustava.

    SI

    visina tlaka, L, m stupca fluida,p p p

    g g g

    piezometrika visina.p

    zg

    U fluidu u mirovanju piezometrika visina jekonstantna

    Princip spojenih posuda

    p0

    p0

    p0

    g

    . z=konst.

    O

    Ako homogena kapljevina miruje u viemeusobno spojenih posuda, tada eslobodne povrine otvorene premaistom atmosferskom tlaku

    0p leati u

    istoj izobari (za mirujui fluid to jehorizontalna ravnina).

    1

    2

    r

    f

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    13/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 7

    2.3. Hidrostatski manometri

    Apsolutni tlak se mjeri od apsolutne nule (100% vakuum).

    Manometarski tlakpMje razlika apsolutnogpi atmosferskog tlakapa(mjeri se u odnosu na

    atmosferski tlak)pM=p - pa.

    Pozitivni manometarski tlak se naziva pretlak, a negativni podtlak.

    Postupak za postavljanje jednadbe manometra (jednadbe promjene tlaka izmeu dvijutoaka koje se mogu meusobno spojiti kroz fluid)

    Polazi se s tlakom u jednoj toki i tom se tlaku dodaju sve promjene tlaka oblika gh ,(idui od meniskusa do meniskusa) i to s pozitivnim predznakom ako se ide prema dolje, as negativnim ako se ide prema gore. Kada se doe do druge toke tako dobiveni izraz seizjednauje s tlakom u toj toki.

    h2

    h1

    h0

    A

    B

    1

    2

    0

    Primjer diferencijalnog manometra:

    -jednadba od toke B do toke A

    B 2 2 0 0 1 1 Ap gh gh gh p

    -jednadba od toke A do toke B

    A 1 1 0 0 2 2 Bp gh gh gh p

    Barometar

    Barometar je hidrostatski manometar kojim se mjeri apsolutni atmosferski tlak.

    pvtlak zasienja

    pa st= 101325 Pa = 760 mmHg

    [ C] pv Hg[Pa]0 0.021

    40 0.8412ha

    v

    a

    0

    a a v

    a a v v

    a a

    p gh p

    p gh p p

    p gh

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    14/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 8

    2.4. Sila tlaka na ravne povrine

    F p A0= 0

    F p Ah= C

    h

    p0O

    x

    CH

    y

    x

    A

    hC

    =konst.

    p p gh= +0

    n

    C

    H

    y

    g

    yC=

    sin

    hC

    0 0 0 0( ) sin( )

    c

    c

    S S S S

    y S

    F pdS p gh dS p S g hdS p S g ydS p S gh S

    2sin

    xx

    h c

    S S

    I

    F y y g h ydS g y dS

    2sin sinxx

    c c c

    I

    g y S y y g I y S

    c

    Iy

    y S

    Sila0

    F uslijed konstantnog tlaka0

    p okomita je na ravnu povrinu A i djeluje u njenom

    teitu, a po veliini je: 0 0F p A

    Silah

    F uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka hp gh okomita je na ravnu povrinu

    A i djeluje u toki H, a po veliini je: C ChF p A gh A gdje je Ch dubina na kojoj se

    nalazi teite C povrine A .Poloaj toke H je u odnosu na teite C povrine Adefiniran pomacima x i yza koje

    vrijedi:C

    I

    yy A

    iC

    I

    xy A

    gdje je C C siny h udaljenost teita C od

    slobodne povrine, mjereno u ravnini u kojoj se nalazi povrina (udaljenost OC premaslici), a I

    i I

    su glavni i centrifugalni moment inercije povrineAu odnosu na osi i

    kroz teite, prema slici. Pomak x je za povrine s barem jednom osi simetrije jednaknuli (vidjeti kao primjer tablicu koja prikazuje podatke o centrifugalnom momentu inercije

    I ).

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    15/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 9

    Za vertikalno uronjenu povrinu prema slici vrijedi yC=hC. Za horizontalno uronjenupovrinu ( 0 ) Cy pa su prema gornjim izrazima x=y=0, te e sila hF djelovati uteitu povrine, kao i za sluaj konstantnog tlakap0.

    A

    F gh Ah= C

    p0O

    C

    H h

    y hC C=

    g

    A

    F gh Ah= C

    p0

    C

    hC

    g

    Momenti Mx i My sile hidrostatskog tlaka u odnosu na teite C povrine ne zavise oddubine na kojoj se teite nalazi

    h C

    C

    sinxI

    M F y gh A gIy A

    h C

    C

    sinyI

    M F x gh A gIy A

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    16/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 10

    Geometrijska svojstva nekih povrina

    Geometrijski lik Povrina I I I

    b/2 b/2

    a

    C

    A ab 3

    12ba

    3

    12ab 0

    CR

    2A R 4

    4

    R

    4

    4

    R 0

    C

    R R

    4R3

    21

    2A R 40 1098, R 40 3927, R 0

    C

    b+d3

    a3

    d

    b

    a

    2

    abA

    3

    36

    ba

    2

    272

    bab d

    R

    4R3

    4R3 C

    R

    21

    4A R 40 05488, R 40 05488, R 40 01647, R

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    17/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 11

    Poloaj rezultantne sileFR=Fh+F0za sluaj istosmjernih i mimosmjernih silaF0iFh.

    F0

    Fh

    +F0FhFR=

    y

    yR

    C

    H

    y yR=+F0Fh

    Fh

    a) istosmjerne sile

    F0

    Fh -F0FhFR=

    y

    y

    R

    C

    H y yR=

    -F0Fh

    Fh

    b) mimosmjerne sile

    Fiktivna slobodna povrina

    Ako je tlak s obje strane povrine isti (sluaj otvorenog spremnika), sile konstantnog tlakase ponitavaju. Za sluaj zatvorenog spremnika rezultatntna sila konstantnog tlaka se

    rauna s manometarskim tlakom M0p u spremniku. Raunanje sile konstantnog tlaka (usluaju da je povrina potpuno uronjena u fluid) moe se izbjei uvoenjem fiktivneslobodne povrine. Fiktivna slobodna povrina je udaljena od stvarne slobodne povrine zavisinu manometarskog tlaka f M0h p g (za sluaj pretlaka je iznad, a za sluaj podtlaka

    ispod stvarne slobodne povrine).

    Fiktivna slobodna povrina se moe uvesti i za sluaj mirovanja dvaju fluida razliitihgustoa prema slici.

    pa

    pa

    C

    A

    g

    h hf = 1

    h1

    1

    fiktivnaslobodnapovr ina

    p p gh g h h= + + ( - )a 0 1 1

    p p gh= +a

    O

    p p gh= +a 0

    p ghM0 0=

    0

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    18/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 12

    2.5. Sila tlaka na zakrivljene povrine

    Sila tlaka na zakrivljenu povrinu se razlae na komponente u smjerovima osi. Zakrivljenapovrina Sse projicira na koordinatne ravnine. Projekcija povrine je pozitivna ako je kutizmeu vektora normale i pozitivnog smjera osi manji od 90 (fluid je ispred povrine Sgledano iz pozitivnog smjera osi).

    y

    z

    Sz

    O

    h z= -

    x

    Cy

    x

    z

    Hy

    hyx

    hyh

    hy

    slobod

    napov

    r ina

    Vd = dV h Sz

    dSz

    dS

    n

    S z

    hHx hxh

    hxy

    g

    Sx

    Cx

    Sy

    hx

    Izrazi za komponente 0xF ,

    0

    yF , 0

    zF sile0F uslijed konstantnog tlaka

    0

    x 0 xF p S ;0

    y 0 yF p S ;0

    z 0 zF p S

    Izrazi za horizontalne komponente Fx i Fy sile uslijed promjenjivog hidrostatskog tlaka

    hp gh i za pomake hvatita tih komponenti u odnosu na teita projekcija su:

    Cx x x x xF p S gh S Cy y y y yF p S gh S

    xh

    x x

    Ih

    h S

    yh

    y y

    Ih

    h S

    xy

    x x

    Ih

    h S

    yx

    y y

    Ih

    h S

    Vertikalna komponenta Fz sile hidrostatskog tlaka na povrinu Sje po veliini jednakateini fluida koji se nalazi u volumenu V izmeu povrine S i slobodne povrine. Sila Fz

    prolazi teitem volumena V. Predznak komponente sile Fz ovisi opredznaku projekcije Sz, te se moe pisati da je

    zF gV

    Negativni predznak se odnosi na sluaj pozitivne projekcije povrine Sz (fluid je iznadpovrine S), a pozitivni predznak za sluaj negativne projekcije Sz(fluid je ispod povrineS).

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    19/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 13

    Primjer: Vertikalna i horizontalna komponenta sile na zakrivljenu povrinu ABDEF(prema slici) irineB(okomito na ravninu slike). Fluid je oznaen sivom bojom, a toke G,H i I su na slobodnoj povrini.

    A

    B B B

    D DE EF F

    V

    H HI I GG

    +=

    Vertikalna komponenta jednaka je po veliini teini fluida u osjenanom volumenu V,

    djeluje prema dolje i prolazi teitem tog volumena. Na dijelu povrine BDEF fluid jeiznad povrine, te sila djeluje prema dolje, a po veliini je jednaka teini fluida u volumenuBDEFIGB. Na dijelu povrine AB fluid je ispod povrine pa sila djeluje prema gore, a poveliini jejednaka teini fluida u volumenu AHGBA.Horizontalne komponente sile tlaka na dijelovima povrine EF i ED se meusobno

    ponitavaju. Projekcija povrine s kojom se rauna horizontalna sila tlaka je dakle jednakaumnoku visine AD sa irinomBpovrine.

    2.6. Sila uzgona

    Sila uzgona je rezultat djelovanja sila tlaka po povrini tijela uronjenog u fluid. Sila uzgonaje jednaka teini fluida istisnutog tijelom (teini istisnine), djeluje vertikalno u vis i prolaziteitem istisnine.

    m

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    20/93

    2. Hidrostatika

    Mehanika fluida 14

    Sila uzgona na granici dvaju f luidaSlika prikazuje sluaj plivanja tijela mase m , gustoe

    0 na razdjelnoj povrini dvaju

    fluida gustoa 1 i 2. Toke C1 i C2su teita volumena istisnine V1 i V2, a T je teite

    tijela.

    Fb1

    Fb2

    V1

    V2C2

    0

    1

    mg

    g

    T

    SilaFbuzgona je zbroj b b1 b2 1 1 2 2F F F gV gV

    Uvjet plivanja (ravnotee) je da su rezultantna sila (tj. bF mg ) i rezultantni moment na

    tijelo jednaki nuli (tj. suma momenata sila b1F i b2F u odnosu na teite tijela mora biti

    jednaka nuli). Jasno je da vrijedi 2 0 1 . Za sluaj 2 1 sila b2F se zanemaruje.

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    21/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 15

    3.KINEMATIKA FLUIDA

    Kinematika fluida je dio fizike koji se bavi gibanjem fluida.

    Prema hipotezi kontinuuma vrijedi pravilo da svaka estica fluida (materijalna toka)zauzima samo jednu toku prostora, a u jednoj toki prostora se moe nalaziti samo jedna

    estica kontinuuma.

    3.1. Opis gibanja fluida

    3.1.1. Lagrangeov opis gibanja fluida

    Poloaji toaka prostora i poloaji estica fluida opisuju se radijus vektorom r (ije sukomponente prostorne ili Eulerove koordinatex, y, z). U apsolutnom koordinatnom sustavu

    poloaj toke prostora je stalan u vremenu (prostorne koordinate x, y, z nisu funkcije

    vremena), a poloaj gibajue estice fluida se mijenja s vremenom, to znai dakomponente radijus vektora r(vektora poloaja) koje opisuju poloaj estice fluida jesufunkcija vremena. Gibanje estice definirano je vremenskom promjenom njena vektora

    poloaja u obliku ( )r r t (jednadba gibanja estice fluida).

    Brzina estice fluida jest vremenska derivacija vektora poloaja ( )v r t (tokica oznaujevremensku derivaciju), a ubrzanje estice fluida jest vremenska derivacija brzine

    ( ) ( )a v t r t .

    Materijalni volumen se sastoji od beskonanog broja estica fluida, a koje su to esticedefinirano je uoenom konfiguracijom 0M tV u poetnom vremenskom trenutku 0t . Za

    potrebe opisa njihova gibanja nuno ih je razlikovati. S obzirom da se u jednoj tokiprostora moe nalaziti samo jedna estica fluida, estice e se razlikovati po poloaju kojegzauzimaju u poetnoj konfiguraciji. Za koordinate poetnog poloaja estica fluida seuvodi posebna oznaka 0 0( )r r t i te se koordinate nazivaju materijalnim ili Lagrangeovim

    koordinatama. Jasno je da su materijalne koordinate vremenski nezavisne.

    0t

    0 0( )r r t

    0( , )r r t

    O

    VM

    (t)

    A

    A

    tVM(t0)

    x

    y

    z0( , )r r r t

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    22/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 16

    Gibajui materijalni volumen e u trenutku tzauzeti novi poloaj, a budui da se radi omaterijalnom volumenu u tom trenutku e se u njemu nalaziti iste estice koje su u njemu

    bile i u trenutku0

    t . Na primjer estica A koja je u poetnoj konfiguraciji bila na poloaju

    definiranom koordinatama0r , e u trenutku tbiti u toki s koordinatama r. Jasno je da e

    vrijednosti koordinatax, y, zzavisiti i od vremena i od toke u poetnoj konfiguraciji, takoda vrijedi

    0 ,r r r t , odnosno

    1 0 0 0

    2 0 0 0

    3 0 0 0

    , , ,

    , , ,

    , , ,

    x x y z t

    y x y z t

    z x y z t

    Gornje jednadbe opisuju vremenski promjenljivi poloaj one estice fluida koja je utrenutku

    0t bila na poziciji opisanoj vektorom poloaja

    0r . Mijenjajui vektor

    0r dobivaju

    je jednadbe gibanja razliitih estica materijalnog volumena.Brzina estice fluida jest vremenska derivacija vektora poloaja

    0

    00

    konst.

    ( , ) D( , )

    Dr

    r r t rv r t

    t t

    U mehanici se ona naziva materijalnom derivacijom, a zbog posebne vanosti se oznauje

    sD

    Dt. Materijalnom derivacijom se izraava vremenska promjena fizikalnog svojstva

    estice fluida, onako kako bi to osjeao promatra koji se giba zajedno s estico m. Gornjiizraz opisuje promjenjivu brzinu estice fluida izraenu Lagrangeovim koordinatama.Promjenom koordinata

    0r dobiju se brzine razliitih estica materijalnog volumena.

    Ubrzanje estice fluida jest materijalna derivacija brzine

    0

    0

    0konst.

    ( , ) D( , )

    Dr

    v r t va r t

    t t

    Ponovo se promjenom Lagrangeovih koordinata dolazi do ubrzanja razliitih esticakontinuuma, u bilo kojem trenutku.

    U Lagrangeovom opisu strujanja fluida se funkcijama Lagrangeovih koordinata i vremena

    mogu opisati i druga fizikalna svojstva estica fluida. Ako se sa oznai neko fizikalnosvojstvo kontinuuma (gdje za moe stajati skalarno fizikalno svojstvo poput gustoe itemperature, vektorsko poput poloaja, brzine i ubrzanja ili tenzorsko svojstvo), openitose moe pisati:

    L

    0 ,r t

    Rijeima bi se reklo da gornja jednadba opisuje vremensku promjenu fizikalnog svojstva

    estice 0r . Nadindeks L u oznaci funkcije ukazuje da je fizikalno svojstvo izraenoLagrangeovim koordinatama.

    3.1.2. Eulerov opis gibanja f luida

    U mehanici fluida se uglavnom koristi Eulerov opis strujanja fluida, koji se temelji na

    poljima fizikalnih veliina. Ako se svakoj toki prostora u svakom vremenskom trenutkupridrui fizikalno svojstvo one estice fluida koja se u promatranom trenutku nalazi upromatranim tokama prostora dobije sepolje fizikalne veliine izraeno prostornim

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    23/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 17

    (Eulerovim) koordinatama

    E ,r t Za polje koje nije funkcija vremena kae se da je stacionarno, inae je nestacionarno.Vezu meu Lagrangeovim i Eulerovim opisom nekog fizikalnog svojstva u strujanju fluidadefiniraju inverzne jednadbe gibanja1:

    0 0

    0 0

    0 0

    , , ,

    , , ,

    , , ,

    x x x y z t

    y y x y z t

    z z x y z t

    ili krae 0 0 ,r r r t

    Gornje jednadbe daju poetni poloaj (u trenutku 0t ) one estice fluida koja se u trenutku

    tnalazi na poziciji definiranoj prostornim koordinatama r. Uvrtavanjem gornjeg izraza uLagrangeov zapis fizikalnog svojstva slijedi Eulerov zapis polja

    L E E0 0, ( , ), ,r t r r t t r t Bez obzira to su fizikalna svojstva izraena prostornim koordinatama jasno je da su

    nositelji fizikalnih svojstava estice fluida, a ne toke prostora. U tokama prostora ukojima nema estica fluida polje fizikalne veliine nije definirano.

    3.1.3. Materi jalna deri vacija

    Materijalna derivacija izraava brzinu promjene fizikalnog svojstva estice fluida, tj.promjenu koju bi osjetio promatra koji bi se gibao zajedno s esticom. Za fizikalnosvojstvo zapisano Lagrangeovim koordinatama ona je definirana kao

    0

    L

    0

    konst.

    ,

    r

    r tD

    Dt t

    Materijalna derivacija istog tog fizikalnog svojstva zapisanog u Eulerovim koordinatama

    glasiE

    E E

    konst.

    konst.

    D ( , )( , ) ( , )

    D t

    r

    r tv r t r t

    t t

    Prvi lan desne strane gornjeg izraza oznauje lokalnu promjenu fizikalnog svojstva, kojubi osjetio promatra u fiksnoj toki prostora, dok drugi lan desne strane oznaujekonvektivnu ili prijenosnu brzinu promjene fizikalnog svojstva, uslijed pomicanja esticefluida u polju . Isputajui oznaku E za Eulerovo polje i izbjegavajui eksplicitnonavoenje zavisnosti polja od prostornih i vremenske koordinate, gornji izraz urazvijenom obliku poprima oblik:

    lokalnakonvektivna promjena

    promjena

    D

    D x y zv v v

    t t x y z

    Mogue je definirati i operator materijalne derivacije, koji glasi:D

    Dv

    t t

    Gdje umjesto oznake moe stajati skalarno, vektorsko ili tenzorsko polje izraeno ufunkciji prostornih koordinata i vremena.

    1Nuan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne funkcije je daje determinanta 0/r r razliita od nule i

    konana.

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    24/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 18

    Dok se u Lagrangeovom opisu strujanja fluida polazi od jednadbi gibanja (ijim sederiviranjem dolazi do brzine i ubrzanja), u Eulerovom se opisu polazi od polja brzine (jer

    se polje brzine pojavljuje u operatoru materijalne derivacije).

    3.2.

    Strujnice

    Strujnice su zamiljene krivulje kojima se u svakoj toki smjer tangente poklapa sasmjerom vektora brzine. Na strujnicama se ucrtava smjer strujanja kao to prikazuje slika.Za nestacionarno polje brzine, slika strujnica se mijenja od trenutka do trenutka, pa se slika

    strujnica odnosi na jedan izabrani vremenski trenutak, npr. t=t1. Poto se pravac vektorabrzine poklapa s tangentom na strujnicu, usmjereni element luka strujnice dr je paralelan

    vektoru brzine v , te je njihov vektorski produkt jednak nuli, odnosno omjer pripadajuihkomponenti im je jednak, tako da vrijedi:

    1 1 1

    d d d( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z

    x y zv x y z t v x y z t v x y z t

    Osnovno svojstvo strujnica je da se one ne mogu presijecati, jer bi to znailo da u tokipresjeka vektor brzine ima dva razliita smjera, to je nefizikalno. Izuzetak ine tokezastoja u kojima je brzina jednaka nuli.

    3.3. Trajektorije

    Trajektorija je prostorna krivulja koju svojim gibanjem opisuje estica fluida. Jednadbegibanja estice fluida zapisane u Lagrangeovim koordinatama oznauju parametarski zapisjednadbe trajektorije. U Eulerovom opisu strujanja, gdje se polazi od polja brzine, dojednadbe trajektorija se dolazi, polazei od definicije brzine estice kontinuuma. Ako jedr usmjereni infinitezimalni element puta kojeg prevali estica kontinuuma gibajui se posvojoj trajektoriji za infinitezimalno vrijeme dt, tada za taj usmjereni element luka

    trajektorije, iz same definicije brzine slijedi: d ( , )dr v r t t , to se moe prikazati i u oblikusustava diferencijalnih jednadbi:

    d d dd

    ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )x y z

    x y zt

    v x y z t v x y z t v x y z t

    ijim se rjeavanjem uz poetne uvjete za t=t0, 0 0r t r , dolazi do jednadbi trajektorija.

    Krivulja obiljeenih estica u danom vremenskom trenutku spaja sve estice fluida koje suprole zadanom tokom prostora.U stacionarnom strujanju trajektorije, strujnice i krivulje obiljeenih estica se poklapaju.

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    25/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 19

    Vektori brzine za strujanje u blizini tokezastoja

    Slika strujnica za strujanje u blizini tokezastoja

    Slika strujnica pri optjecanju cilindra Slika strujnica za sluaj naglog proirenja

    3.4. Strujna povrina i strujna cijev

    Strujna povrina je sastavljena od strujnica kojeprolaze tokama neke krivulje C.Vektor brzine je tangencijalan na povrinu

    0v n , pa kroz strujnu povrinu nema protoka

    d 0S

    Q v n S .

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    26/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 20

    Ako je krivulja C zatvorena, strujna povrinaprelazi u plat strujne cijevi, kroz kojeg nemaprotoka fluida, kao i kroz plat neke fizikecijevi.

    Ako je povrina poprenog presjeka cijevi dS

    infinitezimalna, govori se o elementarnojstrujnoj cijevi. U graninom prijelazu d 0S elementarna strujna cijev prelazi u strujnicu.

    3.5. Protok

    Volumenski protok ili jednostavno protok Q jest volumen estica fluida koje u jedininomvremenu prou kroz promatranu povrinu Sorijentiranu jedininim vektorom normale n .Ako se estice fluida gibaju brzinom v , a toke povrine brzinom u , tada je relativna

    brzina gibanja estica fluida u odnosu na povrinu w v u , a protok Q je definiranizrazom

    d dS S

    Q w n S v u n S .

    Primjer 1: Protok kroz mirujuu povrinu ( 0u ) je

    prema opoj formuli dSQ v n S .estica fluida T se u trenutku tnalazi na povrini dS , au trenutku t+dte zauzeti novi poloaj u prostoru, priemu e prevaliti put dv t, odnosno svojim gibanjemopisati kosu prizmu, kojoj je visina jednaka projekciji

    vektora puta na smjer normale d dh n v t . Volumenestica fluida koje u vremenu dtprou kroz povrinudS jednak je volumenu prizme

    d d d d dV S h v n S t . Elementarni protok krozpovrinu dS jednak je po definiciji omjeru volumena

    dV i vremena dt, tj. dd = dd

    VQ v n S t

    , a ukupni

    protok kroz povrinu S jednak je zbroju svih elementarnih protoka, to se opisuje

    integralom dS

    Q v n S .

    Poseban sluaj (brzina okomita na ravnupovrinu)

    d dA A

    Q v n A v A

    Brzina je okomita na ravnu povrinu ikonstantna

    dA

    Q v A vA

    Mirujuapovrina S

    n

    dS

    T(t)dv t

    T(t+dt)

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    27/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 21

    vdA

    vA

    Primjer 2: Protok kroz povrinu koja se giba brzinomu u mirujuem fluidu ( 0v ) je prema opojformuli d

    S

    Q u n S .

    Gibanjem povrine S, element dS opisuje kosuprizmu kojoj je duljina brida du t, a volumen

    d d dV u n S t . Dakle gibanjem povrine Smirujue estice fluida prelaze s desne na lijevustranu povrine, pa gledano relativno u odnosu na

    povrinu to je isto kao da je povrina mirovala, aestice brzinom u prolazile kroz povrinu. Zato je

    protok definiran izrazom dS

    Q u n S .

    Primjer 3: Protok kroz materijalnu povrinu ( u v )

    d 0S

    Q v u n S . Jasno je da kroz materijalnu povrinu nema protoka estica fluida

    jer se ona sastoji stalno od jednih te istih estica.

    3.6. Protok fizikalne veliine

    estice fluida osim volumena imaju masu, energiju, koliinu gibanja, itd. Prolaskomestice fluida kroz neku povrinu, ona pronosi fizikalne veliine, pa se govori o protocima:volumena (to je gore definirano jednostavno kao protok), mase, energije, koliine gibanjai sl. Ako se sa F oznai fizikalna veliina, a sa volumensku gustou te fizikalneveliine, koja je definirana izrazom

    0

    d

    dVlim

    V V

    F F,

    odnosno sadraj fizikalne veliine unutar estice fluida (unutar infinitezimalnog volumenadV ) jest d dVF = , a sadraj te fizikalne veliine unutar odreenog volumena V jedefiniran integralom

    dV

    VF =

    Primjeri: F = 1V ; F = m ; F = mv v ,

    2 21 1F =2 2

    mv v

    Dakle za sluaj gibajue povrine u gibajuem fluidu, volumenski protok kroz elementarnupovrinu dS e biti d dQ v u n S , a protok fizikalne veliine pronesene kroz tu

    povrinu je Fd dQ v u n S , odnosno protok fizikalne veliine kroz ukupnu povrinu

    Gibajua povrina S

    dSS(t+dt)

    n S(t)

    du t

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    28/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 22

    je

    F dS

    Q v u n S

    Primjeri:

    Maseni protok: dmS

    Q m v u n S ; 1

    SIMT , kg/sm m . Za sluaj mirujue

    povrine: dS

    m v n S . Za konst. vrijedi m Q .

    Teinski protok dGS

    Q G g v u n S ;3

    SIMLT , N/sG G . Za sluaj

    mirujue povrine: dS

    G gv n S . Za konst. i konst.g vrijedi G mg gQ .

    Protok koliine gibanja: KG dS

    Q v v u n S ; 2

    KG KG SIMLT , NQ Q . Za sluaj

    mirujue povrine: KG dS

    Q v v n S . (Protok koliine gibanja je vektorska veliina!)

    Protok kinetike energije: 2EK1

    d2

    S

    Q v v u n S ; 2 3

    EK EK SIML T , WQ Q .

    3.7. Leibnitzov teorem

    3.7.1.

    Brzina promjene veliine volumena

    Opi sluaj volumena Vija se granica Sgiba brzinom u

    Brzina promjene volumena je po definiciji

    ddd d

    V t t V t V

    t t

    , a element povrine

    dS opisuje element volumena

    ( ) d dd dV u n t S , to integrirano popovrini S daje razliku volumena

    dV t t V t , te je konano:

    dd d

    dS V

    Vu n S u V

    t .

    Gibajua povrina S

    dSS(t+dt)

    n

    S(t)

    du t

    V(t+dt)V(t)

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    29/93

    3. Kinematika fluida

    Mehanika fluida 23

    3.7.2. Brzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar volumena

    0( ) ( ) ( )

    0( ) ( ) ( ) ( )

    0( ) ( )

    1lim ( , ) ( , )

    1lim ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

    1lim ( , )

    tV t V t t V t

    tV t V t V t t V t

    tV t V t t V

    ddV r t t dV r t dV

    dt t

    r t t dV r t dV r t t dV r t t dV t

    dV r t t dV t t

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    ( )t V t S t V t V t

    dV u ndS dV u dV t t

    a) Opi sluaj gibajueg volumena

    lokalna promjena promjena uslijedgibanja volumena

    dd d d d

    dV V S V

    V V u n S u V t t t

    b) Materijalni volumen ( u v ,d D

    d Dt t )

    M M M M

    Dd d d d

    DV V S V

    V V v n S v V t t t

    c) Mirujui volumen ( 0u )d

    d ddV V

    V Vt t

    3.8. Materijalni volumen

    Materijalni volumenM

    V (fluidno tijelo) je uoeni dio prostora ispunjen fluidom koji setijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih estica. Materijalni volumen je od okolineodijeljen materijalnom povrinom MS koja se takoer sastoji stalno od jednih te istih

    estica. Jasno je da je brzina gibanja materijalne povrine jednaka brzini gibanja esticafluida, koje ine materijalnu povrinu.U opem sluaju materijalni volumen tijekom gibanja mijenja svoj poloaj, oblik iveliinu, pa je za opis njegova gibanja, potrebno opisati gibanje svake njegove estice.

    Nema protoka kroz materijalnu povrinu ( v u ). Brzina promjene sadraja fizikalneveliine za materijalni volumen jednaka je

    ( ) ( ) ( )M M MV t V t S t

    DdV dV v ndS

    Dt t

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    30/93

    4. Dinamika fluida

    Mehanika fluida 24

    4.DINAMIKA FLUIDA

    Dinamika fluida je dio mehanike fluida koji se bavi silama koje djeluju na fluide,

    gibanjima koja nastaju djelovanjem tih sila i interakcijama izmeu vrstih tijela i fluida u

    gibanju

    Materijalni volumen (fluidno tijelo) je ekvivalentno sustavu materijalnih toaka umehanici, te zatvorenom termodinamikom sustavu u termodinamici, pa e svi zakonimehanike i termodinamike biti direktno primjenjivi i na materijalni volumen.

    U mehanici su definirani Newtonovi zakoni gibanja, od kojih se drugi Newtonov zakon,

    moe zapisati u obliku zakona koliine gibanja, zakona momenta koliine gibanja ilizakona kinetike (mehanike) energije, a u termodinamici su definirani prvi zakontermodinamike (zakon ouvanja energije) i drugi zakon termodinamike. Svi su ti zakoni,kao i zakon ouvanja mase, osnovni za klasinu fiziku pa tako i za mehaniku fluida.

    U termodinamici se uvodi koncept topline, unutarnje energije i entropije, a radni medij je

    uglavnom plin, kojemu se djelovanjem sile tlaka moe mijenjati volumen. Za smanjivanjevolumena plina unutar termodinamikog sustava (kada se govori o kompresiji), potrebno jeulagati mehaniki rad, a pri irenju plina (ekspanziji) plin vri rad u odnosu na okolinu. U

    procesima pri konstantnom volumenu korisni mehaniki rad jednak je nuli.

    Osim tlanih sila u sustavu djeluju i sile trenja (u fluidu su to viskozne sile). Budui su siletrenja uvijek suprotne pomaku, njihovim se djelovanjem uvijek mehanika energija

    pretvara u unutarnju, a nikad obrnuto. Iz reenog se zakljuuje da se u sustavima s

    konstantnim volumenom ne moe poveati mehanika energija na raun unutarnje. Zato seu mehanici krutog tijela (sustava materijalnih toaka, kojima je volumen konstantan) nerazmatraju termodinamiki zakoni, odnosno unutarnja energija, jer se iz unutarnje energijene moe dobiti mehanika energija, odnosno ne moe se djelovati na gibanje tijela. Umehanici se rad sila trenja, kojim se mehanika energija (zbroj kinetike i potencijalneenergije) pretvara u unutarnju oznauje kao gubitak mehanike energije (jer je jasno da jeta pretvorba jednosmjerna).

    4.1. Osnovni zakoni

    Dinamika fluida bazirana je na pet osnovnih zakona koji su definirani za materijalni

    volumen:1. Zakon ouvanja mase2. Zakon ouvanja koliine gibanja3.

    Zakon ouvanja momenta koliine gibanja4. Zakon ouvanja energije5.

    Zakon produkcije entropije

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    31/93

    4. Dinamika fluida

    Mehanika fluida 25

    4.2. Zakon ouvanja mase

    Materijalni volumen se tijekom gibanja sastoji stalno od jednih te istih estica fluida, toznai da mu je masa konstantna, to se moe izraziti rijeima: Brzina promjene masematerijalnog volumena jednaka je nuli tj. matematiki:

    M

    Dd 0

    DV

    Vt

    4.3. Zakon ouvanja koliine gibanja

    Definicija zakona ouvanja koliine gibanja za materijalni volumen:Brzina promjene koliine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbroju vanjskih sila(masenih i povrinskih) koje djeluju na materijalni volumen.

    Matematiki zapis zakona ouvanja koliine gibanja za materijalni volumen:

    U strujanju fluida u polju masene

    sile f uoen je materijalni

    volumenMV koji je od okolnog

    fluida odijeljen materijalnom

    povrinom MS . Na svaku esticu

    fluida djeluje elementarna masena

    sila df V , a na svaki djeli

    povrine MS elementarna

    povrinska sila dS , pri emu jevektor naprezanja definiran s

    pomou tenzora naprezanjarelacijom jin . Koliina

    gibanja estice fluida je dv V .

    M M M M M

    M M M

    Brzina promjene ukupna masena ukupna povrinskakoliine gibanja sila na sila na

    Dd d d d d

    D ji

    V V S V S

    V V V

    v V f V S f V n S

    t

    SM

    Slika uz definiciju zakona koliine gibanja

    O

    z

    y

    x

    V

    n

    dS

    f

    dS

    df V

    dm=dV

    v

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    32/93

    4. Dinamika fluida

    Mehanika fluida 26

    4.4. Zakon ouvanja momenta koliine gibanja

    Definicija zakona ouvanja momenta koliine gibanja zamaterijalni volumen:Brzina promjene momenta koliine gibanja materijalnog volumena jednaka je zbrojumomenata vanjskih sila (masenih i povrinskih) koje djeluju na materijalni volumen2.

    Matematiki zapis zakona ouvanja momenta koliine gibanja za materijalni volumen:

    U strujanju fluida u polju masene

    sile f uoen je materijalni

    volumenMV koji je od okolnog

    fluida odijeljen materijalnom

    povrinom MS . Na svaku esticu

    fluida djeluje elementarna

    masena sila df V . Udaljenost

    estice fluida od ishodita jedefinirana radijus vektorom r,

    ije su komponente x, y, z, amoment masene sile u odnosu na

    ishodite koordinatnog sustava je

    dr f V . Na svaki djeli

    povrine MS djeluje elementarna

    povrinska siladS , pri emu je vektor naprezanja definiran s pomou tenzora naprezanja relacijom

    ijn . Moment elementarne povrinske sile u odnosu na ishodite je dr S.

    Moment koliina gibanja estice fluida je dr v V .

    M M M M M

    M M M

    Brzina promjene momenta ukupni moment masenih ukupni moment povrinskihkoliine gibanja sila na sila na

    Dd d d d d

    D ij

    V V S V S

    V V V

    r v V r f V r S r f V r n S t

    2 Pretpostavlja se da u fluidu nema momenata raspodijeljenih po materijalnom volumenu ili materijalnoj

    povrini.

    Slika uz definiciju zakona momenta koliine gibanja

    SM

    O

    z

    y

    x

    V

    n

    dS

    f

    dS

    df V

    dm=dV

    v

    r

    r

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    33/93

    4. Dinamika fluida

    Mehanika fluida 27

    4.5. Zakon ouvanja energije

    Definicija zakona ouvanja energije za materijalni volumen:Brzina promjene energije materijalnog volumena jednaka je zbroju snaga vanjskih sila

    (masenih i povrinskih) koje djeluju na materijalni volumen i brzini dovoenja topline.

    Matematiki zapis zakona ouvanja energije za materijalni volumen:

    U strujanju fluida u polju masene

    sile f uoen je materijalni

    volumenM

    V koji je od okolnog

    fluida odijeljen materijalnom

    povrinom MS . Na svaku esticu

    fluida, kojoj je ukupna energija

    de V , djeluje elementarnamasena sila df V , a snaga te sile

    je df v V . Na svaki djeli

    povrineM

    S elementarna

    povrinska sila dS , a njenasnaga je dv S, pri emu jevektor naprezanja definiran

    zbrojem tlanih i viskoznih silafpn .

    Povrinske sile koje djeluju po materijalnoj povrini su za materijalni volumen vanjske sile(sile dodira izmeu estica materijalnog volumena i okoline. Ukupna energija de V estice

    fluida definirana je kao zbroj unutranje du V i kinetike energije2

    d2

    vV

    2

    2

    ve u

    .

    Kroz svaki djeli povrine MS prolazi toplinski tok definiran vektorom gustoe toplinskog

    toka q . Matematiki zapis zakona je:

    M M M M M

    MM M

    M

    2

    Brzina promjene energije snaga masenih snaga vanjskih brzina dovoenjasi la na povrinskih topline nasila na

    D Dd d d d d

    D D 2V V V S S

    V V VV

    ve V u V f v V v S q n S

    t t

    4.6. Zakon produkcije entropije

    Definicija zakona produkcije entropije (II zakon termodinamike) za materijalni volumen:

    Produkcija entropije materijalnog volumena vea je ili jednaka nuliD

    0D

    M MV S

    q nsdV dS

    t T

    gdje je produkcija entropije,sentropija, a Tapsolutna temperatura.

    SM

    Slika uz definiciju zakona ouvanja energije

    O

    z

    y

    x

    V

    n

    dS

    f

    dS

    df V

    dm=dV

    v dS

    n

    q

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    34/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 28

    5.INTEGRALNE METODE RJEAVANJAJEDNODIMENZIJSKIH PROBLEMA MEHANIKE

    FLUIDA

    Formulacija za jednodimenzijsko strujanje

    Pretpostavke:

    Strujanje je stacionarno 0t

    Fluid je nestlaiv .const Masena sila je sila gravitacije

    f gk fpn

    5.1. Koncept kontrolnog volumena

    Svi zakoni mehanike i termodinamike bit e primjenjivi na materijalni volumen (umehanici je to materijalno tijelo ili sustav materijalnih toaka, a u termodinamici je tozatvoreni termodinamiki sustav). U mehanici fluida nije interes pratiti to se dogaa sasamim fluidom (dakle nee se pratiti gibanje materijalnog volumena, kao to se u mehanici

    prati gibanje tijela), nego je potrebno odrediti posljedice strujanje fluida u blizini neke

    konstrukcije. U tom smislu e se definirati kontrolni volumen ije se granice poklapaju spovrinom konstrukcije za koju se eli istraiti utjecaj strujanja fluida. Budui da e svizakoni mehanike fluida biti formulirani za materijalni volumen potrebno ih je

    preformulirati za kontrolni volumen. Kontrolni je volumen s mirujuim granicama( 0u ), a u analizi konstrukcija s pominim dijelovima koristi se i formulacija opeg

    promjenjivog volumena s pominim granicama.

    5.2.

    Reynoldsov transportni teoremBrzina promjene sadraja fizikalne veliine unutar materijalnog volumena izraena

    promjenom u kontrolnom volumenu

    U trenutku poklapanja materijalnog i kontrolnog volumena brzina lokalne promjene im je

    ista, kao to su isti i povrinski integrali, u gornjim izrazima, iz kojih slijedi:

    a) sluaj kontrolnog volumenaKVkoji je ograen mirujuom kontrolnom povrinomKP

    M M M

    Dd d d d d

    DV V S KV KP

    V V v n S V v n S t t t

    SwSu

    Si

    d d ss se

    S

    dV=Sds

    v vn

    v vn

    z

    x y

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    35/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 29

    uz napomenu da vrijedi: dd d

    dKV KV

    V Vt t

    b) sluaj opeg promjenjivog volumena V ija se granica Sgiba brzinom u

    M

    D dd d d

    D dV V S

    V V v u n S

    t t

    5.3. Jednadba kontinuiteta

    Zakon odranja mase:

    M

    Dd 0

    DV

    Vt

    Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema uz zakon se formulira za kontrolni

    volumen

    dd d

    dKV KP

    m

    V v n S t

    Lijeva strana oznauje brzinu promjene mase fluida unutar kontrolnogvolumena, a desnaukupni maseni protok kroz kontrolnu povrinu. Na dijelu kontrolne povrine kroz kojufluid ulazi u kontrolni volumen vektor vanjske normale i vektor brzine ine kut vei od90, te je 0v n i maseni protok je negativan, a negativni predznak ispred integralaukazuje da e taj protok poveavati sadraj mase unutar kontrolnog volumena. Na izlaznojgranici je 0v n , pa negativni predznak ispred integrala ukazuje na istjecanje fluida izkontrolnog volumena tj. oznauje smanjenje sadraja mase unutar kontrolnog volumena.

    Kroz nepropusnu stijenku nema protoka, to znai da je brzina ili jednaka nuli ili jetangencijalna na stijenku. Ako se sa Um oznai ukupni maseni protok kojimfluid ulazi u

    kontrolni volumen, a saI

    m maseni protok kojim fluid iz njega izlazi, tada vrijedi:

    U I

    dd

    dKV

    V m mt

    .

    Sluaj stacionarnog strujanja. U stacionarnom strujanju fluida se slika strujanja ne mijenjas vremenom, to znai da se nee mijenjati niti sadraj mase unutar kontrolnog volumena

    pa vrijedi jednakost ulaznog i izlaznog masenog protoka

    U Im m Sluaj nestlaivog (stacionarnog ili nestacionarnog) strujanja homogenog fluida( konst. ). S obzirom da je gustoa konstantna u kontrolnom volumenu e se u svakomtrenutku nalaziti jednaka masa fluida, a maseni protok je m Q , te vrijedi

    U IQ Q

    Primjer: Strujanje kroz ravastu cijev

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    36/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 30

    Q2Q4

    Q3Q1

    Na slici je uoen kontrolni volumen kojiobuhvaa unutarnjost ravaste cijevi. Kroz dva

    presjeka nestlaivi fluid ulazi u kontrolnivolumen protocima

    1Q i

    2Q , a kroz dva izlazi

    protocima3

    Q i4

    Q . Kroz plat rave nema

    protoka fluida.Prema jednadbi kontinuiteta vrijedi

    1 2 3 4Q Q Q Q .

    5.4. Jednadba koliine gibanja

    Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijevu stranu zakona ouvanja koliinegibanja za materijalni volumen, koji glasi

    M M M

    D d d dD

    V V S

    v V f V S t

    slijedi jednadba koliine gibanja za kontrolni volumen s mirujuim granicama

    protok koliine gibanja ukupna povrinskabrzina promjene ukupna masenakroz kontrolnu povrinu sila nakoliine gibanja -a sila na

    dd d d d

    dKV KP KV KP

    KVKV KV

    v V v v n S f V S t

    gdje se kontrolna povrina moe openito prikazati zbrojem ulaznog dijela uS kontrolnepovrine (kroz koji fluid utjee u kontrolni volumen), izlaznog dijela iS (kroz koji fluidnaputa kontrolni volumen) i povrine stijenke wS (koja je dio nekog ureaja, stroja ilikonstrukcije, kroz koju nema strujanja fluida 0v n )

    u i wKP S S S

    Uz pretpostavku nestlaivog strujanja, uzimajui da je masena sila jednaka sili teine

    f gk i uz 0v n na wS ,jednadba koliine gibanja se moe napisati i u obliku

    brzina promjene =teina fluida u - =sila stijenkekoliine gibanja -ana fluid

    dd d d d

    d u i w

    w

    KV KV S S S

    G KV FKV

    v V gk V v v n S S t

    Posljednji integral u gornjoj jednadbi daje ukupnu povrinsku silu izmeu stjenke i fluidai to silu kojom okolina (stjenka) djeluje na fluid. Ta je sila po treem Newtonovom zakonu

    jednaka negativnoj vrijednosti sile wF kojom fluid djeluje na stjenku. Vektor povrinskesile se moe prikazati zbrojem sile tlaka i viskoznih sila

    fpn

    pri emu se viskozne sile na ulaznoj i izlaznoj povrini obino zanemaruju (tangencijalneviskozne sile se obino meusobno ponitavaju, a normalne komponente viskoznih sila sumale u odnosu na tlane sile), tako da zakon koliine gibanja za kontrolni volumen prelaziu oblik

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    37/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 31

    brzina promjenekoliine gibanja -a

    dd d

    d u i

    w

    KV S S

    KV

    v V G v v n pn S F t

    U uvjetima stacionarnog strujanja (kada se slika strujanja ne mijenja s vremenom) brzina

    promjene koliine gibanja kontrolnog volumena (lijeva strana jednadbe) je jednaka nuli,te e zakon koliine gibanja izraen za kontrolni volumen sluiti za odreivanje sile kojomfluid djeluje na stjenku

    n

    du i

    w

    vS S

    F G v v n pn S

    Oito je da e za odreivanje sile kojom fluid djeluje na stjenku biti potrebno poznavanjeprofila brzine i tlaka na ulaznom i izlaznom dijelu kontrolne povrine.

    5.4.1. Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile fluida na

    plat cijevi

    Slika prikazuje jedan

    kontrolni volumen koji

    obuhvaa unutranjost ra-vaste cijevi, a na kontrolnoj

    povrini se mogu uoiti dvaulazna presjeka (presjeci 1 i

    2) i dva izlazna presjeka (3 i

    4). U tim su presjecima

    strujnice meusobno para-lelne, a vektori brzine suokomiti na presjek, pri emuvrijedi

    Za ulazni presjek Za izlazni presjek

    v vn

    v n v

    u un

    2d dvS S

    v v n pn S n v p S

    v vn

    v n v

    i in

    2d dvS S

    v v n pn S n v p S

    Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprenom presjeku cijevi nije konstantna, ali seintegral kvadrata brzine po presjeku moe prikazati pomou kvadrata srednje brzine i

    faktora ispravka koliine gibanja u obliku 2 2srdS

    v S v S gdje je faktor ispravka koliine

    gibanja definiran izrazom 22

    sr

    1d

    S

    v Sv S

    . Vrijednosti faktora su:

    Strujanje idealnog fluidajednoliki profil brzine po presjeku: 1 Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R postoji 1,33

    p4, 4v

    x

    z

    yO

    p1, 1v

    p2, 2v

    p3, 3v

    1

    2

    3

    4

    f gk

    n v

    Su

    n v

    Si

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    38/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 32

    analitiko rjeenje za profil brzine2

    max 21

    rv v

    R:

    Turbulentno strujanje u okruglim cijevima profil brzine zavisi od

    Reynoldsova brojavD

    Re , a koeficijent se kree u rasponu

    1,01 (pri viim vrijednostima Re>106) do 1,03 (pri niimvrijednostimaRe)

    1,01 1,03

    U praksi je strujanje najee turbulentno pa se uzima da je 1 (bez da se bitno naruitonost rezultata)U strujanju fluida kroz cijevi strujnice su paralelne, pa e promjena tlaka po presjeku bitiista kao u fluidu u mirovanju, tj. bit e linearna. Ako se promatra strujnica koja prolaziteitem poprenog presjeka cijevi, tada je integral tlaka po povrini poprenog presjeka

    jednak umnoku tlaka na strujnici i povrini poprenog presjeka dS

    p S pS .

    Konaan izraz za izraunavanje sile kojom fluid djeluje na plat cijevi jest

    2

    = imulsna funkcijak

    kkw

    k k

    I

    F G n v p S G I ili kw

    k

    F G I

    gdje je kbroj ulaznih i izlaznih dijelova kontrolne povrine.

    Impulsna funkcija je vektor, koji je po veliini jednak 2I v p S , okomit je napovrinu S i gleda suprotno od vanjske normale (uvijek gleda u kontrolni volumen bezobzira radi li se o ulaznom ili izlaznom dijelu kontrolne povrine), kao na sljedeoj slici.

    Ako se impulsne funkcije

    shvate kao sile, tada seproblem odreivanja silekojom fluid djeluje na platcijevi svodi na problem statike

    tj. odreivanje suma sila.Zakonom koliine gibanjadefinirana je veliina i smjersile fluida na plat, a hvatite

    je definirano zakonom

    momenta koliine gibanja.Postupak izrauna sile:Primjenom jednadbe kontinuiteta i Bernoullijeve jednadbe odrede se brzine i tlakovi naulaznim i izlaznim dijelovima kontrolne povrine.Iz izraunatih brzina i tlakova raunaju se vrijednosti impulsnih funkcija na ulaznim iizlaznim dijelovima kontrolne povrine.Vektorskim zbrajanjem (u analitikom postupku sumiranjem komponenti sila usmjerovima osi) impulsnih funkcija i sile teine se dobije sila kojom fluid djeluje na platcijevi.

    Treba naglasiti da gornja formula vrijedi za bilo kakav oblik kontrolnog volumena, jedino

    je vano da na ulaznim i izlaznim presjecima strujnice budu meusobno paralelne i da su

    vektori brzine okomiti na pripadajue presjeke.

    x

    z

    yO

    1I

    f gk

    4I

    2I

    3I

    1G

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    39/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 33

    Impulsne funkcije raunate s apsolutnim tlakom definiraju silu fluida na stijenku (daklesilu na plat samo s unutranje strane). Ako s vanjske strane plata djeluje atmosferski tlak,onda bi rezultantna sila na plat bila jednaka zbroju unutarnje sile i vanjske sileatmosferskog tlaka. Do rezultantne sile se dolazi tako da se u impulsnu funkciju umjesto

    apsolutnog tlaka uvrtava manometarski tlak, dakle vrijedi

    2 MF G n v p S gdje je Frezultantna sila na plat cijevi.

    5.4.2. Primjena jednadbe koliine gibanja za odreivanje sile mlaza fluida

    na lopatice

    Slika prikazuje mlaz fluida povrine poprenogpresjeka 1A , koji brzinom 1v i protokom 1 1 1Q v A ,

    nailazi na ravnu lopaticu (plou jedinine irine)koja na sebi ima razdjelnik strujanja (nosi) kojimse mlaz dijeli na dvije grane oznaene indeksima 2i 3. Ako je povrina mlaza mala u odnosu na

    povrinu lopatice mlaz e tangencijalno naputatilopaticu. Mlaz struji u atmosferi, a s druge strane

    lopatice vlada atmosferski tlak. Na slici je ucrtan

    odabrani kontrolni volumen (crta-toka linija) naijoj se kontrolnoj povrini moe uoiti ulazni

    presjek mlaza, dva izlazna presjeka, rub mlaza i povrina lopatice. Ako se pretpostavejednoliki profili brzine po presjecima i linearnu promjenu tlaka, tada e se impulsne

    funkcije raunati po istim formulama kao i pri odreivanju sile fluida na plat cijevi. Akose trai rezultantna sila na lopaticu (uzimajui u obzir i silu atmosferskog tlaka s vanjskestrane, impulsne funkcije se raunaju s manometarskim tlakom, koji je u svim presjecima

    jednak nuli, te za veliinu impulsne funkcije vrijedi2I v A Qv

    Na ulaznim i na izlaznim dijelovima

    kontrolne povrine impulsne funkcijegledaju u kontrolni volumen, a okomite su

    na povrine. Po rubu mlaza takoer trebaizraunati impulsnu funkciju, jer ta povrina

    nije dio povrine lopatice na kojoj se eliodrediti silu. Meutim budui da kroz tu

    povrinu nema strujanja, a na njoj je pretlakjednak nuli, zakljuuje se da je i impulsnafunkcija jednaka nuli, te preostaju samo

    impulsne funkcije kao prema slici. Traenasila jednaka je vektorskom zbroju impulsnih

    funkcija i sile teine.

    Ako bi strujanje bilo neviskozno (nema sminih naprezanja), a ploa bila ravna (nemarazdjelnika strujanja) sila fluida bi bila okomita na plou (jer postoje samo sile tlaka), a

    protoci 2Q i 3Q bi bili upravo takvi da nema tangencijalne komponente sile na plou.

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    40/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 34

    5.5. Jednadba momenta koliine gibanja

    Primjenom Reynoldsova transportnog teorema na lijevu stranu jednadbe momentakoliine gibanja za materijalni volumen, slijedi jednadba momenta koliine gibanja zakontrolni volumen s mirujuim granicama

    Protok momenta koliine ukupni momeBrzina promjene momenta ukupni moment masenihgibanja krozkoliine gibanja sila na

    dd d d d

    dKV KP KV KP

    KPKV KV

    r v V r v v n S r f V r S t

    nt povrinskih

    sila naKP

    Uz sljedee pretpostavke:strujanje je nestlaivo i stacionarnomasena sila je sila teine

    kontrolna povrina se sastoji od ulaznog, izlaznog dijela i povrine plata,u i wKP S S S vektor naprezanja fpn

    jednadba momenta koliine gibanja primjenjena na kontrolni volumen, slui zaodreivanje momenta sile kojom fluid djeluje na plat

    n

    moment sile moment silefluida na plat teine

    du i

    w f

    vS S

    M F M G r v v n pn S

    Primjena jednadbe momenta koliine gibanja za odreivanje momenta sile fluida na platcijevi

    Slika prikazuje jedan

    kontrolni volumen koji

    obuhvaa unutranjost ra-vaste cijevi, a na kontrolnoj

    povrini se mogu uoiti dvaulazna presjeka (presjeci 1 i

    2) i dva izlazna presjeka (3 i

    4). U tim su presjecima

    strujnice meusobno para-lelne, a vektori brzine su

    okomiti na presjek.

    Na gornjoj slici je takoer ucrtan radijus vektor do teita prvog presjeka. Ako se zanemaremomenti viskoznih sila na ulaznim i izlaznim presjecima, tada bi jednadba momentakoliine gibanja za prikazani kontrolni volumen (uzimajui u obzir da je na ulaznom

    presjeku vektor brzine orijentiran suprotno od vanjske normale, a na izlaznom u smjeru

    normale) glasila

    p4, 4v

    x

    z

    yO

    p1, 1v

    p2, 2v

    p3, 3v

    1

    2

    3

    4

    f gk

    1r

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    41/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 35

    2

    moment sile moment silefluida na plat teine

    dk

    w

    kA

    M F M G r n v p S

    Ako su povrine poprenih presjeka male u odnosu na veliinu radijus vektora, tada se

    mogu zanemariti promjene radijus vektora po povrini poprenog presjeka i zamijeniti ga ugornjem integralu s konstantnim radijus vektorom do teita presjeka. U tom se sluajuumnoak r n moe izluiti ispred integrala, pa integral oznauje impulsnu funkcijudefiniranu u zakonu koliine gibanja, te vrijedi

    kkk

    w ( )M F M G r I

    Dakle za sluaj strujanja kroz cijevi, na svakom ulazno/izlaznom presjeku se postavljaimpulsna funkcija, koja se za potrebe prorauna sile fluida na plat cijevi i momenta te sileu odnosu na odabranu toku (obino je to ishodite koordinatnog sustava), tretira kaovanjska sila. Prema jednadbi koliine gibanja sila fluida na plat jednaka je sumi vanjskihsila koje djeluju na kontrolni volumen (impulsne funkcije i sila teine), a moment silekojom fluid djeluje na plat cijevi je jednak sumi momenata vanjskih sila na kontrolnivolumen (sumi momenata impulsnih funkcija i momentu sile teine). Problem se daklesvodi na primjenu uvjeta ravnotee sila i momenata, kao u klasinoj mehanici, odnosnostatici fluida.

    5.6. Bernoullijeva jednadba

    Matematiki zapis zakona ouvanju energije (unutranje i kinetike):

    M M M M

    M

    M M

    M

    2

    Brzina promjene energije snaga masenih snaga vanjskih brzina dovoenjasila na povrinskih topline na

    sila na

    Dd d d d

    D 2V V S S

    VV V

    V

    vu V f v V v S q n S

    t

    Primjenom Reynoldsovog transportnog teorema, zakon ouvanja energije se moeprikazati za kontrolni volumen:

    2 2dd d d d d

    d 2 2KV KP KV KP KP

    v vu V u v n S f v V v S q n S

    t

    U stacionarnomstrujanju fluida prvi lan na lijevoj strani gornje jednadbe je jednak nuli.

    Kada ovu jednadbu primijenimo na strujnu cijev uz f gk , sv e v , d dV S s ,

    d dsk e s z i konst.Q vS prvi volumenski integral na desnoj strani jednadbe koji

    predstavlja snagu masenih sila postaje:

    d d di i

    u u

    s z

    s i u

    KV s z

    f v V gk e vS s gQ z gQ z z

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    42/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 36

    Kontrolna povrina strujne cijevi se sastoji od izlazne, ulazne i povrine stijenke cijeviu i wKP S S S pri emu je v n v na iS , v n v na uS i 0v n na wS , te je

    drugi integral na lijevoj strani jednadbe jednak:

    2 2 2

    d d d2 2 2i u

    KP S S

    v v vu v n S u v S u v S

    Za nestlaivo strujanje i ako u predstavlja konstantnu srednju vrijednost specifineunutranje energije po ulaznom, odnosno izlaznom presjeku dobijemo

    23 3d d d d d

    2 2 2i i u ui u

    KP S S S S

    vu v n S u v S v S u v S v S

    Za strujnu cijev vrijedi d dQ v S , odnosno d d konstu i

    u u i i

    S S

    Q v S v S v S v S .

    Pri strujanju viskoznog fluida brzina po poprenom presjeku cijevi nije konstantna, ali seintegral tree potencije brzine po presjeku moe prikazati pomou tree potencije srednje

    brzine i faktora ispravka kinetike energije u obliku 3 3srdS

    v S v S pri emu je faktor

    definiran izrazom 33

    sr

    1d

    S

    v Sv S

    . Vrijednosti faktora ispravka kinetike energije su:

    Strujanje idealnog fluidajednoliki profil brzine po presjeku: 1Laminarno strujanje u okruglim cijevima polumjera R postoji

    analitiko rjeenje za profil brzine2

    max 21

    rv v

    R: 2

    Turbulentno strujanje u okruglim cijevima profil brzine zavisi od

    Reynoldsova brojavD

    Re 1,01 1,1

    U praksi je strujanje najee turbulentno pa se uzima da je 1(bez da se bitno naruitonost rezultata).

    Nakon uvoenja konstantnog protoka kroz strujnu cijev i faktora ispravka kinetikeenergije drugi integral na lijevoj strani jednadbe ima oblik:

    22 2d

    2 2 2i i i u u u

    KP

    vu v n S u Q v Q u Q v Q

    Drugi integral na desnoj strani jednadbe se modificira uz fpn , gdje jepsrednja

    vrijednost tlaka po ulaznom, odnosno izlaznom presjeku. Ponovo se koristi v n v nai

    S ,v n v na uS , 0v n te 0v na wS . Snaga viskoznih sila na ulaznom i izlaznom

    presjeku se zanemaruje, tako da je taj integral:

    d d d d di u

    f

    i u

    KP KP KP S S

    v S pn v S v S pv S pv S p Q p Q

    Posljednji lan na desnoj strani jednadbe predstavlja toplinski tok koji je pozitivan kadse dovodi fluidu u kontrolnom volumenu

    dKP

    q n S

    Nakon uvrtavanja gornjih rezultat dobije seBernoullijeva jednadba:

    2 2

    2 2i i i u u u i u i uu Q v Q u Q v Q gQ z z p Q p Q

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    43/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 37

    Za sluaj adijabatske cijevi ( 0 ) ukupno poveanje unutranje energije nastaje zbogsnage unutranjih sila koje uvijek poveavaju unutranju energiju na raun smanjenjamehanike energije (ovaj proces je jednosmjeran). Ako snagu unutranjih sila definiramokao pozitivnu i oznaimo s FP onda je:

    F i uP Q u u

    Bernoullijeva jednadba sada ima oblik:2 2

    2 2

    i ui i i u u u F

    v vQ p gz Q p gz P

    Ako u cjevovodu izmeu ulaznog i izlaznog presjeka postoji stroj (pumpa koja predajesnagu

    PP fluidu ili turbina koja oduzima snagu

    TP od fluida), onda se modificirana

    jednadba moe poopiti u sljedei oblik2 2

    F P T

    snaga na izlazu iz ci jevi snaga na ulazu u ci jev

    2 2i u

    v v

    p gz Q p gz Q P P P

    Pumpa je pogonjena motorom, pri emu motor predaje pumpi snagu MP , pa je faktor

    korisnosti pumpe PPM

    P

    P . Turbina obino pogoni generator, pri emu generatoru predaje

    snagu GP , pa je faktor korisnosti turbine definiran odnosomG

    T

    T

    P

    P .

    U gore prikazanom obliku modificirane Bernoullijeve jednadbe, svaki lan ima dimenzijusnage, a koriste se i sljedei oblici te jednadbeOblik Dimenzija

    2 2

    F P T

    2 2i u

    v v P P P p gz p gz

    Q Q Q

    snaga

    volumenki protok

    2 2

    F P T

    2 2i u

    v v P P P p pgz gz

    Q Q Q

    snaga

    maseni protok

    2 2

    F P T

    2 2i u

    v v P P P p pz z

    g g g g gQ gQ gQ

    snaga

    teinski protok

    U zadnjem obliku modificirane Bernoullijeve jednadbe obino se uvode oznake

    PP

    PhgQ

    =visina dobave pumpe,

    TT

    Ph

    gQ =pad visine energije u turbini

    FF

    Ph

    gQ =visina gubitaka mehanike energije (energije pretvorene u unutarnju energiju)

    Za sluaj ravanja cjevovoda oblici modificirane Bernoullijeve jednadbe iz gornje tablicepostavljaju se du strujnice.

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    44/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 38

    Primjer:

    Slika prikazuje ravastu cijev s dva ulaznapresjeka (1 i 2) te dva izlazna presjeka (3 i 4).

    Izmeu toaka 5 i 6 se nalazi pumpa koja predajefluidu snagu PP. Prema jednadbi kontinuiteta

    ukupni protok kroz pumpu je 1 2 3 4Q Q Q Q Q .U tokama 5 i 6 visina energije je jednoznanodefinirana, bez obzira s koje strane se u te tokedolazi.

    Integralni oblik zakona kinetike energije za stacionarno strujanje fluida kae da je snagana izlazu izKV(presjeci 3 i 4) jednaka snazi na ulazu (presjeci 1 i 2) uveanoj za snagu

    pumpe i umanjenoj za snagu viskoznih sila, tj.2 2 2 23 4 1 2

    3 3 3 3 4 4 4 4 1 1 1 1 2 2 2 2 P F2 2 2 2

    v v v vp gz Q p gz Q p gz Q p gz Q P P

    Modificirana Bernoullijeva jednadba postavljena izmeu toaka 1 do5 je:

    2 25 5 1 15 5 1 1 F15

    2 2

    v p v pz z hg g g g

    , gdje je F15F151

    PhgQ

    Modificirana Bernoullijeva jednadba izmeu toaka 5 i 6 glasi2 26 6 5 5

    6 6 5 5 P F562 2

    v p v pz z h h

    g g g g, gdje su F56F56

    Ph

    gQi PP

    Ph

    gQ,

    a izmeu toaka 6 i 32 23 3 61

    3 3 6 6 F632 2

    v p pvz z h

    g g g g, gdje je F63F63

    3

    Ph

    gQ

    Iz kombinacije prethodnih jednadbi dobije se modificirana Bernoullijeva jednadba

    izmeu presjeka 1 i 32 23 3 1 1

    3 3 1 1 P F15 F56 F632 2

    v p v pz z h h h h

    g g g g

    Dakle modificirana Bernoullijeva jednadba vrijedi du strujnice. Analogno se dobije izrazza modificiranu Bernoullijevu jednadbu izmeu presjeka 1 i 4 ili izmeu presjeka 2 i 3 iliizmeu presjeka 2 i 4. Vano je zapamtiti da se snaga viskoznih sila dobije mnoenjemvisine gubitaka Fh s pripadajuim teinskim protokom, kao i snaga pumpe (u ovom

    primjeru P 1 2 PP g Q Q h ).

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    45/93

    5. Integralne metode rjeavanja jednodimenzijskih problema mehanike fluida

    Mehanika fluida 39

    Promjena tlaka okomito na strujnice(integral jednadbe gibanja fluida po putu okomitom na strujnice)

    Izraz za promjenu tlaka okomito

    na strujnice je:

    2 2

    2 1 2 1

    1

    dv

    p p g z z nR

    udaljenost n se mjeri od sreditazakrivljenosti strujnice.

    U strujanju fluida s ravnim strujnicama (R ) promjena tlaka okomito na strujnice istaje kao u fluidu u mirovanju.

    U strujanju fluida u horizontalnoj ravnini sa zakrivljenim strujnicama tlak raste od sreditazakrivljenosti strujnica.

    Slika uz definiciju promjene tlaka okomito na strujnice

    R=radijus

    zakrivljeno

    O

    x3

    x2

    x1

    g

    iv

    1

    2

    n

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    46/93

    6. Primjena osnovnih jednadbi mehanike fluida

    Mehanika fluida 40

    6.PRIMJENA OSNOVNIH JEDNADBI MEHANIKEFLUIDA

    Pojave i principi rada nekih ureaja koji se mogu objasniti Bernoullijevom jednadbom

    6.1. Mjerenje brzine

    pa pa

    pa

    v1

    21

    z

    A B

    h

    g

    h

    Sluaj otvorenog strujanja s ravnim strujnicama

    Cjevica A (piezometrika cijev) mjeri visinu tlaka utoki 1. Promjena tlaka okomito na ravne strujnice ista jekao u fluidu u mirovanju, pa e razina fluida u cjevici

    biti u slobodnoj povrini.

    Cjevica B(Pitotova cijev) mjeri visinu tlaka u toki 2, ukojoj je brzina jednaka nuli (zaustavna toka). PremaBernoullijevoj jednadbi visina zaustavnog tlaka 2p / g

    je vea od visine tlaka 1p / g u toki 1 za visinu brzine2

    1 2h v / g .

    lanovi Bernoullijeve jednadbe se mogu tumaiti i na sljedei nain

    2

    dinamiki tlak hidrostatski tlakstatiki tlak

    zaustavni tlak

    totalni tlak

    1konst.

    2p v gz

    Bernoullijeva jednadba kae da totalni tlak ostaje konstantan du strujnice.

    h

    v1

    21

    Mjerenje brzine strujanja fluida u cijevima

    Lijeva cjevica mjeri statiki tlak u toki 1, aPitotova cijev zaustavni tlak u toki 2. Razlika ta dva

    tlaka je visina brzine, pa vrijedi 1 2 v g h . Oito

    je da se brzina rauna iz mjerene razlike tlakova,

    koja se obino mjeri diferencijalnim manometrom.

    h1

    v1

    2

    R

    x

    1

    1 2

    R

    x

  • 7/21/2019 Mehanika Fluida Skripta avar

    47/93

    6. Primjena osnovnih jednadbi mehanike fluida

    Mehanika fluida 41

    Sluaj kada je diferencijalnimanometar ispunjen fluidom manje

    gustoe od fluida koji struji u cijevi

    01 2 1v g h

    Sluaj kada je diferencijalni manometar ispunjenfluidom vee gustoe od fluida koji struji u cijevi

    01 2 1v g h

    6.2. Prandtl-Pitotova cijev

    Sastoji se od dvije koaksijalne cijevi, pri emu je unutarnja cjevica svojim otvoromsuprotstavljena strujanju i mjeri zaustavni tlak (toka 2 na slici). Vanjska cijev ima poobodu rupice s otvorima preko kojih estice fluida prolaze tangencijalno kojima se mjeristatiki tlak (toka 3 na slici). Donja slika kvalitativno prikazuje promjenu tlaka dustrujnice 1-2-3. U toki zastoja je brzina jednaka nuli, a tlak je maksimalan. Od tokezastoja fluid se ponovo ubrzava, a tlak opada. U podruju izmeu toaka 2 i 3 brzina nanekim mjestima premauje brzinu

    1v , te tlak opada ispod tlaka

    1p , ali se na odreenoj

    udaljenosti od toke 2 tlak ponovo vraa na vrijednost tlaka1

    p . Ako se zanemari uinak

    viskoznih sila