PRINCIP VIRTUALNOG RADA

Statika je nauka koja se bavi problemom ravnoteže krutog tela ili sistema povezanih krutih tela, delimično ograničenih ili potpuno sprečenih u pogledu pomerljivosti putem raznih veza ili oslonaca, izloženih dejstvu aktivnih sila.

Ovakvi problemi mogu da se podele u dve grupe:

• Koristeći dve osnovne mere mehaničkog dejstva silu i spreg, određuju su uslovi ravnoteže krutog tela i sistema krutih tela -vektorska statika.

• Pri određivanju uslova ravnoteže prisutne su sve aktivne sile, spregovi i reakcije veza.

• Rešavanjem ovih jednačina, proisteklih iz uslova ravnoteže određuju se sve reakcije veza u zavisnosti od aktivnih sila i spregova, kod tela koja su vezana tako da su pomeranja potpuno isključena.

Određivanje stanja ravnoteže datog sistema kod koga postoji izvesna sloboda pomeranja kao što su mehanizmi sa jednim ili više stepeni slobode – analitička statika.(videti poglavlje 1, kinematička i statička stabilnost).

Prevashodni zadatak pri ovim analizama je određivanje ravnoteže i veza između aktivnih sila i spregova u konkretnom položaju sistema, bez određivanja reakcija veza.

Metode analitičke statike omogućavaju određivanje veza između aktivnih sila i spregova, kao i položaj sistema krutih tela pri ravnoteži, ali bez određivanja reakcija idealnih veza. Metode analitičke statike pružaju mogućnost proučavanja i svojstava ravnotežnih položaja, deleći ih na stabilne i nestabilne.

U vektorskoj statici se ne koristi pojam kretanja, dok je u analitičkoj statici pojam kretanja, odnosno malih pomeranja od velikog značaja, jer se pomoću njih određuje rad sile i sprega.

Osnovna mera mehaničkog dejstva u analitičkoj statici (mehanici) je rad sile ili sprega.

Rad je mera mehaničkog dejstva sile i sprega koji nastaje zbog promene položaja tela u prostoru.

I vektorska statika i analitička statika određuju uslove ravnoteže sistema krutih tela, s tim što u vektorskoj učestvuju reakcije veza, dok u analitičkoj one ne učestvuju. Kako su to dva različita načina proučavanja problema ravnoteže, njihovi rezultati moraju biti isti.

VIRTUALNO POMERANJE I

VIRTUALNO OBRTANJE

Položaj poluge je potpuno određen uglom θ koji njena osa zaklapa sa osom x, a problem se sastoji u tome da se odredi ugao θ pri kom će poluga biti u ravnoteži pod dejstvom sila P i Q.

Pošto je okretanje oko ose z jedino kretanje koje poluga može da vrši, to znači da telo ima jedan stepen slobode. Ugao θ koji definiše kretanje poluge se naziva koordinatom sistema.

Virtualnim kretanjem se zove zamišljeno, veoma malo i od vremena nezavisno, dakle čisto geometrijsko kretanje sistema, koje njegove veze dopuštaju.

A Bs , s ,δ = δθ δ = δθa b

beskrajno mali luk r δθ za koji se može smatrati da je prav i upravan na polugu AB – virtualno pomeranje

Ovakva pomeranja se nazivaju virtualna pomeranja(reč virtualno znači mogućno, što može biti).

Virtualna pomeranja tačaka A i B su:

upravna su na polugu AB i usmerena u suprotne strane, a δθ je virtualno obrtanje tela oko ose z.

beskrajno malo obrtanje δθ - virtualno ili moguće obrtanje tela oko ose z

– dužina luka

Ako se napadna tačka neke sile pomeri za neko beskonačno malo odstojanje δsi sila vrši rad koji je jednak proizvodu pomeranja δsi i projekcije te sile na pravac pomeranja:

i i i iA F cos s .δ = α δ

VIRTUALNI RAD

iFr

Virtualni rad je skalarna veličina, ima dimenziju sila × dužina i pozitivan je ako su sila, odnosno projekcija sile i pomeranje istog smera.

Virtualni rad je rad sile ili sprega usled virtualnog pomeranja ili obrtanja. Sila vrši rad na virtualnom pomeranju njene napadne tačke, a spreg vrši rad na virtualnom obrtanju krutog tela.

Virtualni rad sile je jednak proizvodu virtualnog pomeranja napadne tačke sile i projekcije sile na pravac pomeranja.Virtualni rad sprega jednak proizvodu momenta sprega i virtualne rotacije krutog tela na koje deluje spreg:

A mδ = ± δθ

Pozitivan je ako su moment sprega i virtualna rotacija istog smera, a negativan ukoliko su suprotnog smera.

A F cos sδ = ± α δ

Kada veze dozvoljavaju neka mala zamišljena pomeranja tačaka sistema, onda se napadne tačke sila koje deluju na mehanizam pomeraju, a sile vrše rad na tim pomeranjima. Pri proučavanju ovakvih sistema pretpostavlja se da nema trenja u zglobovima, u osloncima, kao i da su svi delovi sistema kruti. Takve veze se nazivaju idealnim vezama, a sistemi idealnim sistemima. U tom slučaju rad vrše samo aktivne sile na virtualnim pomeranjima njihovih napadnih tačaka, a da bi sistem bio u ravnoteži potrebno je da je ukupan rad svih aktivnih sila na odgovarajućim virtualnim pomeranjima sistema bude jednak nuli.

Virtualnim radom se meri dejstvo sila i spregova na promeni položaja tela.

LAGRANŽ-DALAMBEROV PRINCIP VIRTUALNOG RADA

PRI RAVNOTEŽI SISTEMA KRUTIH TELA ZBIR SVIH VIRTUALNIH RADOVA AKTIVNIH SILA I AKTIVNIH SPREGOVA JEDNAK JE NULI:

n n

i i i ii 1 i 1

A A F cos s 0.= =

δ = δ = α δ =∑ ∑

Prema tome, sistem krutih tela je u nekom položaju u ravnoteži, ako je u tom položaju virtualni rad sistema jednak nuli.

PPcos Qsin 0 tgQ

θ δθ − θ δθ = ⇒ θ =aa bb

Ako su poznate sile P i Q i rastojanja a i b, onda je ovim izrazom određen ugao θza koji je poluga u ravnoteži.

1 1P s sin Q s sin 0,− δ α + δ β =P sin .Q sin

β=

α

Princip virtualnog rada je primenio među prvima Galilej pri proučavanju ravnoteže dveju čestica, međusobno povezanih nerastegljivim, savršeno savitljivim koncem koje leže na dve glatke nagnute ravni. Ako teret P pređe mali put δs1 po nagnutoj ravni, to znači da će se i teret Q pomeriti za isto toliko na svojoj kosoj ravni.

Za mnogo manji ugao α od ugla β, može se dići mnogo veći teret P znatno manjom silom Q −to jest vertikalni uspon tereta P će biti u istoj srazmeri manji od spuštanja tereta Q u kojoj je teret P veći od tereta Q.

Pri izračunavanju rada koji su pri ovom pomeranju izvršile sile P i Q na virtualnim pomeranjima, treba uzeti projekcije svake sile na pravac odgovarajućeg pomeranja.

U prethodnim slučajevima posmatrali su se primeri u kojima su sistemi imali izvesnu slobodu kretanja. U ovakvim problemima princip virtualnog rada se primenjuje da bi se definisao položaj ravnoteže sistema krutih tela ako su poznate spoljašnje sile i spregovi, odnosno da bi se odredili uslovi koje trebada zadovolje sile i spregovi, da bi posmatrani sistem bio u ravnoteži.

Princip virtualnog rada može da se primeni i na potpuno nepokretne sistemeformiranjem pokretnog sistema (mehanizma) sa jednim stepenom slobode.

bP x R 0− δθ + δθ =l

Da bi se pomoću virtualnog rada odredila reakcija Rb koja mora da bude vertikalna, treba ukloniti oslonac B i zameniti ga silom Rb, čime je dobijen pokretan sistem sa jednim stepenom slobode. Ako se sistemu zada virtualna rotacija δθ oko ose z koja prolazi kroz A, napadna tačka sile P će se pomeriti za virtualno pomeranje xδθ, a tačka B za lδθ.

Statički određena, kinematički stabilna greda, koja je u A vezana nepokretnim osloncem, a u B pokretnim osloncem opterećena je vertikalnom silom P. Treba odrediti reakciju veze u B, prouzrokovane dejstvom aktivne sile P primenom principa virtualnog rada.

Jednačina virtualnog rada glasi:

b

xR P=l

c cb e

1 2

s ss i s ,δ δδ = δ =

a xl l

b b eV s P s 0,δ − δ =

1b

2

V P .a

=xll

Dve grede AC i CD povezane su zglobom C. Primenom principa virtualnog rada odrediti reakciju Vb pri bilo kom položaju sile P.

Da bi se dobio pokretan sistem (mehanizam) sa jednim stepenom slobode, uklanja se pokretan oslonac B i na tom mestu postavlja vertikalna reakcija Vb. Sada je u skladu sa ostalim vezama sistema definisano virtualno vertikalno pomeranje δsczgloba C.

Odgovarajuća vertikalna pomeranja tačaka B i E su:

Jednačina virtualnog rada glasi:

Odrediti moment savijanja u preseku A primenom principa virtualnog rada. F=10kN, q=10kN/m, l=2m.

n n

i i i ii 1 i 1

A A F cos s 0.= =

δ = δ = α δ =∑ ∑

.kNm10M020M2020MM0A,20sQ)Q(A

,0)F(A,M)M(A

,2ls,lss

AAAAi

F

AA

FDA

−=⇒=−−⇒=δθ⋅−δθ⋅−δθ⋅−⇒=δ

δθ⋅−=δ⋅−=δ=δ

δθ⋅−=δ

δθ=δδθ⋅=δ=δ

∑

Primenom principa virtualnog rada odrediti silu u štapu EC

Primenom principa virtualnih pomeranja odrediti moment ukleštenja u A. F1=90kN, F2=50kN, M=40kNm

Primenom principa virtualnih pomeranja odrediti silu u štapu CD, kao i reakciju veze u B.

1δθ 2δθ

S 20,5kN=

BH 15kN=

BV 10,5kN=