MEHANIKA FLUIDA Skripta za studente Tehničkog fakulteta u Rijeci

Luka Sopta Lado Kranjčević

Rijeka, 2006.

SADRŽAJ

1. Fluid i njegova svojstva 2. Statika fluida 3. Osnove dinamike fluida 4. Strujanje idealnog fluida 5. Strujanje realnog fluida u cijevi 6. Optjecanje tijela

1

1. FLUID I NJEGOVA SVOJSTVA

Materija se dijeli na čvrstu, tekuću i plinovitu. U čvrstom stanju materije molekule se nalaze u kristalnoj rešetki s malim stupnjem slobode gibanja. U tekućem stanju molekule imaju veću slobodu gibanja i mogu zauzeti proizvoljan oblik zadržavajući isti volumen, a u plinovitom stanju molekule mogu zauzeti proizvoljan prostor. Najveći dio svemira je u fluidnom stanju. Galaksije, zvijezde i planete u većem dijelu se promatraju kao fluid. Atmosfera, oceani, mora, jezera i rijeke su fluidi. Unutrašnjost zemlje je u fluidnom stanju. Za gotovo sve industrijske grane važna je mehanika fluida: automobilska, avionska, brodograđevna, kemijska industrija, energetika… Čovjekovo tijelo je većim dijelom fluid. Za medicinu je od velike važnosti poznavanje strujanja krvi i drugih fluida u tijelu.

Definicija fluida: fluid je materija koja se deformira za proizvoljno malo tangencijalno naprezanje (Sl.1.1). Fluid je moguće podijeliti na kapljevine (voda, ulje ...) i plinove.

0),(,0 =>τ txv rr 0),(,0 >>τ txv rr Krutina Fluid

τ τ

Sl.1.1 1.1 Fluid kao kontinuum

1.1.1 Gustoća U mehanici fluida stvarna molekularna struktura materije zamjenjuje se hipotetskim kontinuumom koji zadržava neprekidnost fizikalnih svojstava prelazeći i u infinitezimalne volumene, odnosno u graničnom prijelazu i u nulti volumen, tj. u točku. Na osnovu toga gustoću je moguće definirati na način

Vm

v ΔΔ

=→Δ 0

limρ .

a. b.

Sl.1.2 Definicija gustoće u točki

2

Na slici 1.2 a označen je volumen V . Potrebno je odrediti gustoću u točki C(x0,y0,z0). Srednja gustoća u volumenu V je Vm /=ρ . Kako bi se odredila gustoća u točki C definiran je maleni volumen Vδ . Na slici 1.2 b vidljivo je da smanjivanje volumena Vδ ne može ići ispod minimalne vrijednosti 'Vδ jer on mora sadržavati barem toliko mnogo molekula da statistički proračun daje pouzdanu i stabilnu srednju vrijednost fizikalnih svojstava i dinamičkih vrijednosti, a u tom slučaju srednja gustoća se približava asimptotskoj vrijednosti slika 1.2 b. Smanjivanjem volumena

Vδ ispod granice 'Vδ on sadržava samo mali broj molekula te je nemoguće fiksirati konačnu vrijednost Vm δδ / jer će vrijednost jako varirati kako molekule ulaze i izlaze iz volumena. Definirajući gustoću na takav način u beskonačno mnogo točaka u fluidu postavlja se gustoća fluida u obliku skalarnog polja

( )tzyx ,,,ρρ = .

U gornjem izrazu t je vrijeme pošto gustoća može varirati u vremenu zbog rada učinjenog na fluidu ili sa fluidom i/ili zbog dovođenja ili odvođenja topline fluidu. Elementarna čestica fluida, definirana je u tom skalarnom polju elementom mase mδ

Vm δρδ ⋅= .

Tako definirana čestica fluida ne smije se zamijeniti s pojmom molekule tvari.

Kapljevine je praktički nemoguće toliko razrijediti da se ne bi mogla primijeniti hipoteza kontinuuma. Za razliku od kapljevina plinovi mogu doći u tako razrijeđeno stanje da hipoteza kontinuuma više nije održiva. Kao kriterij primjenjivosti hipoteze kontinuuma najprikladniji je omjer slobodne putanje molekula l i karakteristične duljine L koja se zove Knudsenov broj

LlK = .

Za plin se ponaša kao kontinuum. Na visini od 200 km iznad Zemlje zrak je toliko razrijeđen da molekule u prosjeku pređu udaljenost od približno 300m prije sudara. Kod računanja leta rakete duljine L=30m nemoguće je stoga primijeniti hipotezu zraka kao kontinuuma.

01,0~<K

Sl.1.3 Gustoća vode

3

Konverzija jedinica iz engleskog BG i EE sustava u SI sustav

1.1.1 Stlačivost i tlak

Tlak fluida u mirovanju definira se kao djelovanje normalne sile po jedinici površine tijela okruženog (uronjenog) fluidom i nastaje bombardiranjem površine molekulama fluida. U SI sustavu jedinica je Pascal (Pa).

Nestlačiv fluid definiran je izrazom

.const=ρ

te je definicijski izraz za gustoću nestlačivog fluida moguće napisati u obliku

Vm /=ρ .

Praktično, kapljevine su nestlačive te se gornji izraz može primijeniti na njih. Efekt stlačivosti kod vode se javlja tek kod ekstremnog tlaka od GPap 1~> . Plinovi se u problemima mehanike fluida mogu javiti kao kontinuum s prostorno i, u općem slučaju, s vremenski promjenjivom gustoćom, u pojedinim točkama i vremenskim trenucima. Realni plinovi se ponašaju približno prema zakonu idealnog plina. Idealni plin je potrebno razlikovati od pojma idealnog fluida pošto se pod pojmom idealnog fluida smatra fluid bez trenja,

4

dok je idealan plin viskozan i u njemu se razvija smično naprezanje. Plin je stoga stlačiv prema zakonu idealnog plina

mRTpV = ili RTp ρ=

gdje je R (Nm/kg K) plinska konstanta. Za zrak pri normalnim uvjetima R=287 (Nm/kg K). Prijelaz iz plinovitog u stanje kapljevine i obrnuto u ovisnosti o tlaku i temperaturi moguće je prikazati p-V dijagramom gdje je p tlak, a V specifični volumen (slika 1.3).

Sl.1.3 p-V dijagram

Efekt stlačivosti plinova prisutan je i kod transsoničnog strujanja. Kod male izmjene topline i

Machov broj 3,0<=cvM plinovi pokazuju varijaciju gustoće do 5% i mogu se aproksimirati kao

nestlačivi. Koeficijent stlačivosti Stlačivost fluida izražava se koeficijentom stlačivosti. Ako se u jedinici volumena tlak poveća za dp to će uzrokovati smanjenje volumena za –dV. Kvocijent

dpVdV

−=κ

se naziva koeficijentom stlačivosti ( ) (stišljivosti, kompresibilnosti). 1−Pa

5

Modul elastičnosti (Pa)

κ1

=E Koliko je puta zrak stlačiviji od vode ? Izotermna i izentropska kompresija i ekspanzija Kod stlačivanja plinova odnos između tlaka i gustoće ovisi o prirodi procesa. Ako se kompresija ili ekspanzija događa uz konstantnu temperaturu tada je taj proces izoterman te na osnovu jednadžbe idealnog plina slijedi

.constp=

ρ

U slučaju da je proces kompresije ili ekspanzije izentropan tj. proces je bez trenja i ne dolazi do izmjene topline s okolinom vrijedi

.constpk =

ρ,

gdje je koeficijent k kvocijent specifične topline cp pri konstantnom tlaku i specifične topline cv pri konstantnom volumenu: k=cp/cv. Specifične topline se odnose prema plinskoj konstanti R na način: R= cp-cv. Stlačivo strujanje se često javlja u inženjerskoj praksi kod kompresora i raznih sustava s komprimiranim zrakom, zubarskih bušilica, ventilatora, pri prijenosu plinova u plinovodima pod visokim tlakom, transsoničnih strujanja oko aviona i projektila itd. 1.1.2 Tlak isparavanja Isparavanje (ishlapljivanje) – izbacivanje molekula kapljevine u plin događa se kada neke molekule kapljevine imaju dovoljnu količinu gibanja da svladaju međumolekularne kohezivne sile. Ako se kapljevina zatvori u spremniku s malo zrakopraznog prostora (vakuuma) iznad površine fluida, prostoru iznad površine fluida rasti će tlak kako odbjegle molekule kapljevine ishlapljuju. Kada se stvori ravnoteža u smislu da je broj molekula koje napuštaju kapljevinu jednak broju molekula koji se vraća u fluid smatra se da je para zasićena te se tlak pare tada naziva tlak zasićene pare. Vrenje – formiranje mjehurića pare unutar kapljevine počinje kada se apsolutan tlak u fluidu izjednači s tlakom isparavanja. Voda vrije u normalnim uvjetima (tlak 1 bar) pri temperaturi od 100OC, dok na nadmorskoj visini od npr. 3000m pri atmosferskom tlaku od približno 70000 Pa voda vrije pri temperaturi od približno 90OC. Vrenje je stoga moguće inducirati pri zadanom tlaku povećanjem temperature ili na zadanoj temperaturi smanjenjem tlaka.

6

1.1.3 Površinska napetost σ Na granici između kapljevine i plina ili dviju kapljevina koje se ne miješaju, na površini kapljevine razvijaju se sile koje uzrokuju da se površina ponaša kao neka vrsta membrane koja okružuje fluid. Iz tog razloga čelična igla može plutati na površini vode ili se javlja fenomen žive koja se formira u kuglice kada se stavi na glatku površinu pošto kohezivne sile površine nastoje držati sve molekule žive zajedno u kompaktnoj formi. Tlak u kapljici vode koja leti zrakom je veći nego tlak zraka koji ju okružuje. Površinska napetost se javlja radi neuravnoteženih kohezivnih sila između molekula fluida na površini. Površinska napetost σ jest intenzitet privlačnih molekularnih sila po jedinici duljine bilo koje linije na površini. Dimenzija σ jest Nm-1. Fenomen koji se javlja radi površinske napetosti je i povišenje (ili sniženje) stupca fluida u kapilari. U kapilarnoj cjevčici umetnutoj u vodu javit će se povišenje razine vode zbog međudjelovanja kapljevine, plina i krute stjenke. U primjeru a. na slici između molekula krute stjenke i molekula kapljevine javlja se privlačna molekularna sila koja je jača od interne kohezivne molekularne sile među molekulama u kapljevini i koja zato uzdiže stupac kapljevine. Takva kapljevina se naziva važeća kapljevina.

Sl.1.4 Površinska napetost

Visina elevacije kapljevine u kapilari određuje se izrazom

gRh

ρθσ cos2

=

gdje je σ površinska napetost, R radijus kapilare, θ kut kontakta fluida i stjenke. Kut kontakta je funkcija i svojstava kapljevine i vrste stjenke. Za vodu u kontaktu sa staklom , dok živa u kontaktu sa staklom ima te je primjer nevlažećeg fluida u kontaktu sa staklom pošto je u adhezivna sila molekula krute stjenke slaba u usporedbi s kohezivnom molekularnom silom fluida. Površinska napetost ima važnu ulogu u strujanju kapljevina kroz tlo i poroznu sredinu, kod formiranja kapljica i mjehurića, disperziji mlaza kapljevine, penjanju vode kroz korijenje biljaka itd.

o0≈θo130≈θ

Efekt kapilarnosti omogućuje da stablo kroz korijenje crpi vodu iz tla do iznad površine zemlje. Sunčeva energija preko procesa isparavanja i osmoze koja se događa u stanicama listova diže vodu od površine zemlje do listova.

7

Sl.1.4 Veliko stablo sekvoje

1.2 Viskoznost Fluid je tvar koja se kontinuirano deformira pod utjecajem smičnog naprezanja ma kako malo to naprezanje bilo. Viskoznost – svojstvo otpornosti fluida prema smičnoj deformaciji. Svojstvo suprotno viskoznosti jest fluidnost. Viskoznost je također i mjera unutarnjeg trenja u fluidu. Povezanost viskoznosti i trenja ukazuje na viskoznost kao svojstvo fluida zbog kojeg nastaju gubici pri strujanju. Viskoznost je svojstvo fluida koje se očituje tek pri gibanju fluida.

U F

x

y

y

u

H

Sl.4.1.1

Između dvije paralelne ploče nalazi se neka tvar (Sl.4.1.1). Donja ploča je fiksna, dok na gornju djeluje sila F, koja proizvodi smično naprezanje τ = F/A na tvar među pločama. A je površina gornje ploče. Ako sila F prouzrokuje gibanje ploče stalnom brzinom, tada je moguće zaključiti da je tvar među pločama fluid. Fluid u neposrednom kontaktu s čvrstom granicom ima istu brzinu kao čvrsta granica (tzv. ''no slip condition''). Pokus pokazuje da je sila F direktno proporcionalna površini i brzini A i U i obrnuto proporcionalna debljini sloja fluida H

8

HUAF μ= ,

gdje je μ faktor proporcionalnosti vezan za svojstva fluida. Kvocijent U/H predstavlja brzinu kutne

deformacije i općenitije ga se može napisati dydu

. Ako se nadalje u prethodnu jednadžbu uvede

izraz za smično naprezanje τ = F/A. Slijedi Newtonov zakon viskoznosti:

dyduμτ = ,

gdje je τ smično naprezanje, du/dy brzina kutne deformacije pri 1D strujanju fluida, a μ dinamički koeficijent viskoznosti.

[ ]sPa

Osnovna podjela fluida je na njutnovske i nenjutnovske (ili newtonske, nenewtonske) fluide (Sl.4.1.2). Kod njutnovskih fluida (plinovi, većina tekućina) postoji linearna relacija (kao na Sl.4.1.1) između intenziteta smičnog naprezanja i odgovarajuće brzine deformacije. Nenjutnovski fluidi jesu npr. dugolančani hidrokarbonati, krv, zubna pasta, neke boje, blato... (Sl.4.1.2) i kod njih je odnos između intenziteta smičnog naprezanja i odgovarajuće brzine deformacije nelinearan.

Sl.4.1.2 Newtonovski i nenewtonovski fluid

Viskoznost se gotovo ne mijenja promjenom tlaka, a mijenja se s promjenom temperature. Kod tekućina, povećanjem temperature smanjuje se viskoznost, dok se kod plinova povećanjem temperature viskoznost povećava (Sl.4.1.3.a,b).

9

Sl.4.1.3a,b Dinamička i kinematska viskoznost u ovisnosti o temperaturi, za neke fluide

Dijeljenjem koeficijenta dinamičke viskoznosti s gustoćom fluida dobiva se koeficijent kinematske

viskoznosti fluida ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

sm2

ρμ

ν . Kinematska viskoznost se često koristi u mehanici fluida i

inženjerstvu i predstavlja mjeru otpora fluida smičnoj deformaciji odn. tečenju pod djelovanjem sile gravitacije. Na slikama Sl.4.1.3a,b uočljivi su različiti međusobni odnosi dinamičkog odn. kinematskog viskoziteta za neke fluide (npr. voda i živa Sl.4.1.3a,b). Za vodu pri normalnim

uvjetima vrijedi cSts

m 11012

6 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅≈ −ν (centi Stokes), odn. (centi Poise).

Spomenute su starije jedinice za kinematsku viskoznost Stokes i dinamičku viskoznost Poise koje su još ponegdje u upotrebi.

[ ] cPsPa 1101 3 =⋅≈ −μ

10

PRIMJER 1.1: Mjerenje dinamičke viskoznosti rotacijskim viskozimetrom Uz zadanu brzinu kutne deformacije du/dy te mjerenjem smičnog naprezanja τ , moguće je pomoću Newtonovog zakona viskoznosti

dyduμτ = , izračunati koeficijent dinamičke

viskoznosti μ.. Rotacijski viskozimetar se u osnovi sastoji od vanjskog rotirajućeg cilindra i unutarnjeg, koncentričnog, stacionarnog cilindra Sl.4.1.P1. Mjerenjem torzijskog momenta T na unutarnjem stacionarnom cilindru moguće je izračunati smično naprezanje.

Sl.4.1.P1 Shematski prikaz rotacijskog viskozimetra

Unutarnji je cilindar u dodiru s fluidom preko "plašta" i dna. Ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru je stoga

DC TTT +=

gdje je TC torzija zbog smičnog naprezanja na plaštu i TD torzija zbog naprezanja na dnu. Za plašt:

br

dydu 2ω

= ,

gdje je ω brzina rotacije vanjskog cilindra , a b zračnost među cilindrima. Torzijski moment zbog trenja na plaštu je

112 rhrTC ⋅⋅⋅= πτ . Uzevši u obzir prethodna dva izraza i Newtonov zakon viskoznosti slijedi

bhrr

TCωμπ 2

212

= .

Za dno cilindra:

drdrdA ⋅= θ

11

drdrrardArdTD θωμτ ⋅==

Integriranjem po dnu unutarnjeg cilindra slijedi:

∫∫=1

0

32

0

r

D drrda

Tπ

θωμ

2

41 πωμ r

aTD =

gdje je a zračnost na dnu cilindra prema slici.

Slijedi jednadžba za ukupni torzijski moment

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ar

bhr

rT2

2 2122

1πωμ .

Pošto je T ukupni torzijski moment izmjeren na unutarnjem cilindru iz gornjeg izraza direktno proizlazi dinamički koeficijent viskoznosti μ.

12

PRIMJER 1.2: Mjerenje kinematske viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom Princip mjerenja viskoznosti Sayboltovim viskozimetrom (Sl.4.1.P2) sastoji se u mjerenju vremena potrebnog za istjecanje VL=60 cm3 fluida kroz kapilarnu cijev pod utjecajem gravitacije. Pri mjerenju se održava konstantna temperatura mjerenog fluida. Pošto fluid istječe pod utjecajem sile gravitacije važnost pri ovom mjerenju ima i gustoća fluida te je mjerena viskoznost kinematska viskoznost ν.

Sl.4.1.P2 Shematski prikaz Sayboltovog viskozimetra

Pri analizi strujanja kreće se od Hagen Poisseuilleove formule za strujanje viskoznog fluida kroz cijev ( Hagen Poisseuilleova formula će biti analizirana kasnije u ovom poglavlju) :

LDpQμπ

128

4Δ= .

Dalje, definira se prosječna piezometrična visina za vrijeme istjecanja hL, poznat je volumen mjerenog fluida VL, protok Q se aproksimira tVQ L /= te se uzima Lhgp ρ=Δ . Slijedi:

LDhg

tV LL

μπρ

128

4

=

tCtLV

hgD

L

L ⋅=⋅= 1

4

128πν .

Pošto je duljina kapilarne cjevčice L relativno malena dodaje se gornjem izrazu još i korekcijski faktor oblika C/t pa konačno slijedi izraz za kinematski viskozitet oblika

tCtC 2

1 +=ν

tj. približni odnos Sayboltovih sekundi i kinematske viskoznosti jest

124108.10022.0 −−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= sm

ttν .

13

PRIMJER 1.3: SAE gradacija viskoznosti motornih ulja S inženjerskog motrišta viskoznost je najvažnije svojstvo industrijskih maziva. Premalo viskozno mazivo pod silom strojnih nasjednih površina bude istisnuto te dolazi do kontakta strojnih elemenata i oštećenja. Previše viskozno mazivo npr. ne teče preko cijele ležajne površine te dolazi do oštećenja ili zbog svoje prevelike viskoznosti apsorbira previše energije koja se potom pretvara u toplinu te dovodi do pregrijavanja. Stoga je pravilan izbor određenog maziva, ulja za određenu industrijsku namjenu od izuzetne važnosti. Za pravilan izbor maziva odn. motornih ulja važna je njihova što preciznija klasifikacija. SAE (Society of Automotive Engineers) klasifikacija motornih ulja prema viskoznosti je najrašireniji i općenito prihvaćen sustav klasifikacije na svijetu. Prema SAE oznakama definiraju se dvije grupe viskoznosti: - sa oznakom W - kojom se klasificiraju ulja za zimske uvjete rada; - bez oznake - ulja za općenite uvjete rada. Viskoznost se kod ulja s oznakom W mjeri na dva načina: - simulatorima hladnog starta; - testom pumpanja koji definira kritičnu temperaturu pumpanja. U simulatorima hladnog starta dobiva se dinamička viskoznost u (Pa s), dok ta ulja moraju također zadovoljiti i test minimalne kinematske viskoznosti pri 100oC. Kod ulja bez oznake mjeri se samo kinematska viskoznost pri višoj temperaturi. U modernim motorima koriste se tzv. multigrade ulja koja se dobiju miješanjem prethodno navedenih dviju grupa ulja te ona zadovoljavaju kriterije viskoznosti pri niskim temperaturama i zadovoljavaju također uvjete minimalne viskoznosti pri 100oC. Npr. ulje koje zadovoljava 10W uvjete i 30 uvjet označava se SAE 10W30.

SAE Viskoznost

ASTM D2602 Viskoznost (Pa s)

Max temp. (oC)

ASTM D3829 Granična temp. pumpanja (oC)

ASTM D445 Minimalna viskoznost

(mm2/s) pri 100oC

ASTM D445 Maksimalna viskoznost (mm2/s) pri

100oC 0W 6200 pri -35 -35 3,8 - 5W 6600 pri -30 -30 3.8 -

10W 7000 pri -25 -25 4,1 - 15W 7000 pri -20 -20 5,6 - 20W 9500 pri -15 -15 5,6 - 25W 13000 pri -10 -10 9,3 - 20 5,6 9,3 30 9,3 12,5 40 12,5 16,3 50 16,3 21,9

Tablica 4.1.P3 SAE klasifikacija viskoznosti motornih ulja

U inženjerstvu se često koristi veličina indeksa viskoznosti "VI". Unutarnje trenje u kapljevinama pa tako i mazivu je veće pri nižoj temperaturi i manje pri višoj temperaturi. Npr. med pri niskoj temperaturi jedva da teče, a nakon zagrijavanja teče sasvim lako. Med i njemu slični fluidi imanju nizak indeks viskoznosti dok fluid koji podjednako teče i pri niskim i visokim temperaturama ima visok indeks viskoznosti. Raspon indeksa VI ide od VI=0 za ulja sa visokom osjetljivošću na viskoznost obzirom na temperaturu do cca. VI=200 za ulja kod kojih se viskoznost puno manje mijenja s promjenom temperature. U motorna ulja stoga se dodaju kemijski aditivi (obično dugolančani polimeri) za poboljšanje indeksa viskoznosti, a što se posebno odnosi na miješana (multigrade) ulja.

14

1.3 Sile, naprezanja i tlak u fluidu Sile u mehanici fluida dijele se na [Cauchy]:

- masene ili tjelesne sile, u oznaci mFr

, (gravitacija, inercijalna sila, centrifugalna sila, Coriolisova sila, elektromagnetska sila)

- kontaktne ili površinske sile , u oznaci sFr

.

a. b.

Sl.1.2 Masene i kontaktne sile u fluidu Gustoća masene sile, u oznaci f

r, se definira u svakoj točki promatranog tijela fluida kao

( )V

Fm

Fzyxf m

V

m

m ΔΔ

=ΔΔ

=→Δ→Δ ρ

rrr

00000 limlim,, ,

gdje je Δm masa tijela ΔV koje sadrži točku (xo, yo, zo) i mF

rΔ masena sila na to tijelo (Sl.1.2).

Gustoća kontaktne sile, u oznaci tr

, se definira u svakoj točki tijela fluida kao

( )S

Fzyxt S

A ΔΔ

=→Δ

rr

0lim,, ,

gdje je ΔS površina diferencijalnog dijela ravnine definirane točkom (x, y, z) i normalom nr , te

SFr

Δ kontaktna sila na ΔS (Sl.1.3). Uz osnovna dva zakona statike fluida, koji su ujedno osnovni zakoni statike bilo kojeg kontinuuma, potrebno je definirati konstitutivnu relaciju za fluid koja se očituje u definiranju tenzora naprezanja

15

Kontaktne sile Kontaktne ili površinske sile djeluju na plohu – granicu tijela. Naprezanja proizlaze od kontaktnih sila koje djeluju na granicu tijela. Konceptom naprezanja objašnjava se način na koji se djelovanje sila koje djeluju na granicu tijela prenosi kroz tijelo. Obzirom da su i sila i ploha (definirana normalom) vektorske veličine očigledno je da je polje naprezanja skalarno polje. Pretpostavimo neku plohu u fluidu koji struji te kontaktnu silu koja djeluje na tu plohu. Pretpostavimo dalje dio te plohe – malenu plohu Aδ u sredini koje se nalazi točka C, kao što je prikazano na slici. Kontaktnu silu Fδ (čiju gustoću označujemo sa ) koja djeluje na malenu plohu t

Aδ moguće je rastaviti na dvije komponente, jednu u smjeru normale na plohu i jednu tangencijalnu na plohu. Na osnovu toga definiraju se normalno σ i tangencijalno naprezanje τ :

Sl.1.5 Kontaktne sile u fluidu

AFn

A δδ

σδ 0lim→

= i AFt

A δδ

τδ 0lim→

= . (1.1.4.1)

Segment plohe – malena ploha Aδ , slobodno je orijentirana u trodimenzijskom prostoru te se komponente sile koja na nju djeluje, dalje u kartezijevom koordinatnom sustavu rastavljaju na x, y i z komponente. Isto tako analiziramo plohu Aδ kroz njene projekcije prema koordinatnim osima

xAδ , yAδ , zAδ . Ako se prvo analizira x projekcija plohe - xAδ čija je normala u smjeru osi x te se definiraju limesi slično (1.1.4.1) dobivaju se komponente naprezanja:

Sl.1.6 Komponente sile i naprezanja na malenu plohu Aδ x

16

x

xn

Axx AF

x δδ

σδ

,

0lim

→= ,

x

yt

Axy AF

x δδ

τδ

,

0lim

→= ,

x

zt

Axz AF

x δδ

τδ

,

0lim

→= . (1.1.4.2)

Naprezanja su označena dvostrukim indeksima, gdje prvi indeks označuje projekciju male plohe

Aδ , a drugi indeks označuje smjer u kojem naprezanje djeluje. Sukladno projekciji xAδ računaju

se i označuju naprezanja i za druge projekcije. U y smjeru, na projekciji plohe - yAδ definiraju se

naprezanja yyσ , yxτ , yzτ . Za projekciju plohe zAδ slično prethodnome, vrijede naprezanja zzσ , zxτ ,

zyτ .

Naprezanje u točki C potpuno je definirano definicijom naprezanja na tri međusobno okomite, prethodno opisane plohe koje prolaze kroz tu točku. Skup prethodno definiranih (devet) naprezanja zapisuje se u obliku tenzora naprezanja

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Tστττστττσ

σ . (1.1.4.3)

Moguće je dokazati da je prethodno definirani tenzor simetričan, tj. da vrijedi

zyyz ττ = , xzzx ττ = , yxxy ττ = , (1.1.4.4)

te na osnovu toga proizlazi da je za definiranje stanja naprezanja unutar fluida potrebno poznavati šest skalarnih funkcija, međusobno različitih komponenti tenzora naprezanja.

Sl.1.7 Način označavanja naprezanja

Na slici 1.7 prikazan je infinitezimalni volumen ograničen sa šest ploha, sa dvije x plohe, dvije y plohe i dvije z plohe. Normala svake plohe usmjerena je prema van u odnosu na centar elementa.

17

Na slici su radi zornosti prikazana naprezanja samo na x i y plohama. Npr. gornja ploha (y ploha) je pozitivna, a donja (y ploha) negativna, što proizlazi iz usmjerenosti njihovih vektora normala obzirnom na odgovarajuću koordinatnu os (y os). Komponenta naprezanja je pozitivna ako su smjerovi komponente naprezanja i normale plohe na kojoj naprezanje djeluje oboje pozitivni ili negativni. Na slici 1.7 sva naprezanja prikazana su kao pozitivna. Komponente gustoće kontaktnih sila definiranih na početku poglavlja moguće je zapisati pomoću komponenti naprezanja:

kjit xzxyxxx ττσ ++= , kjit yzyyyxy τστ ++= , kjit zzzyzxz σττ ++= (1.1.4.5) Prema definiciji, u fluidu u stanju mirovanja nema smičnih naprezanja. Isto tako u idealnom fluidu (koji se giba ili miruje) koji predstavlja idealizirani model u kojem ne postoje viskozne sile tj. ne postoje smična naprezanja, ukupna kontaktna sila na bilo koju plohu unutar fluida kolinearna je s vektorom normale plohe. Za mirujući realni fluid i gibajući ili mirujući idealni fluid vrijedi da jedina preostala komponenta naprezanja – normalna naprezanja σ ne ovise o orijentaciji plohe. Tu zakonitost definirao je Blaise Pascal (1623.-1662.). Pascalov zakon definira: „tlak u nekoj točki fluida koji miruje ili se giba, neovisan je o orijentaciji plohe na kojoj je točka, ako nema smičnih naprezanja “. Kod realnog gibajućeg fluida (kod kojeg stoga postoje smična naprezanja) normalno naprezanje u nekoj točki nije nužno isto u svim smjerovima tako da se u tom slučaju tlak računa kao srednja vrijednost normalnih naprezanja u tri međusobno okomita pravca (smjera). Za bilo koju točku unutar mirujućeg ili idealnog fluida osim činjenice da ne postoje tangencijalna naprezanja 0=τ vrijedi i

pzzyyxx −=== σσσ (1.1.4.6) gdje je p tlak. Tenzor naprezanja (1.1.4.3) se stoga pojednostavljuje u

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

pp

pTp

000000

. (1.1.4.7)

odnosno, raspored unutarnjih kontaktnih sila dan je jednom skalarnom funkcijom – tlakom. Vektor gustoće kontaktne sile

( ) ntzyxtrrr⋅−=000 ,, .

moguće je stoga u mirujućem ili idealnom fluidu jednostavnije izraziti pomoću tlaka p. Vrijedi:

( ) npzyxt

rr⋅−=000 ,,

Kad fluid miruje, sila fluida na plohu je okomita i tlak je uvijek isti, kako god orijentirali plohu sΔ . Tlak je temeljna varijabla u mehanici fluida. Tlak u točki (x, y, z), p(x,y,z) , definiran je omjerom intenziteta kontaktne sile i površine plohe. Osnovna jedinica za tlak je paskal (Pa) i jednaka je kvocijentu sile od jednog njutna i površine od jednog metra kvadratnog, Pa (paskal) =N/m2. Često se koristi i jedinica bar = 105 Pa.

18

U tablici 1.1.4.1 dane su osim normalnog (normnog) tlaka na površini mora i druge normalne veličine.

Svojstvo Simbol Vrijednost Temperatura T 150C Tlak p 101.3 kPa Gustoća ρ 1.225 kg/m3

Viskoznost μ 1.781 10-5 Pa s Tablica 1.1.4.1 Normalni uvjeti na površini mora

PRIMJER 1.4: Primjena Pascalovog zakona kod tlačnih hidrauličnih sustava Pascalov zakon definira da povećanje tlaka u bilo kojoj točki fluida zatvorenog u spremniku uzrokuje jednako povećanje tlaka u svim točkama fluida u spremniku. Primijenjeno na slučaj hidrauličke dizalice prikazane na slici vrijedi da je tlak na površini lijevog i desnog klipa isti

21 pp = .

Sila na klip manje površine A1 jest 111 ApF = pa slijedi da se sila na klipu veće površine za idealan slučaj bez gubitaka trenja, multiplicira prema izrazu

11

22 F

AAF = .

Multipliciranje sile istodobno pretpostavlja da će hod manjeg klipa biti znatno duži d1 od hoda većeg klipa d2 pošto volumen kojega prebriše manji klip mora biti jednak volumenu kojega prebriše veći klip (tamno siva područja na slici). Pokazani princip koristi se kod raznih hidrauličnih sustava: teških građevinskih strojeva – raznih kopača i buldožera, automehaničarskih dizalica, kočionih sustava u automobilu, hidrauličnih preša itd.

19

2. STATIKA FLUIDA Statika fluida se bavi fluidom u stanju mirovanja. Fluid je u stanju mirovanja ako postoji koordinatni sustav u kojem je brzina čestica fluida u svakoj točki jednaka nuli.

2.1 Osnovni zakoni statike fluida U statici fluida vrijede dva osnovna zakona:

1.Suma sila na svako tijelo fluida jednaka je nuli. 2.Suma momenata na svako tijelo fluida jednaka je nuli.

2.2 Osnovna jednadžba statike fluida – Eulerova jednadžba U poglavlju 1.1.4 pokazano je kako se tlak u točki ne mijenja s promjenom smjera plohe. Važno je definirati i na koji način se tlak u fluidu bez smičnih naprezanja (mirujućem ili idealnom) mijenja od točke do točke. Maleni dio tijela fluida oblika kocke prikazan je na slici 2.1.1. Na taj element djeluju: kontaktne sile zbog djelovanja tlaka te masena koja je jednaka težini elementa fluida. Ako se tlak u središtu elementa označi sa p, tada se srednje vrijednosti tlaka na plohama koje omeđuju element mogu izraziti pomoću tlaka u središtu elementa p i njegovih derivacija (slika 2.1.1). Koristi se razvoj u Taylorov red kako bi se na osnovu tlaka u centru elementa aproksimirale srednje vrijednosti tlaka na stranicama uz istovremeno zanemarivanje članova višega reda kako se vrijednosti xδ , yδ , zδ približavaju nuli. Radi zornosti na slici nisu prikazane kontaktne sile u x smjeru. Rezultantna sila

Sl.2.1.1 Kontaktne i masene sile na segment fluida

20

u y smjeru je

zxyyppzxy

yppFy δδδδδδδ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

−=22

odnosno slijedi

zyxypFy δδδδ∂∂

−= .

Sličnim postupkom dobivaju se kontaktne površinske sile za x i z smjer:

zyxxpFx δδδδ∂∂

−= zyxzpFz δδδδ∂∂

−= .

Vektorski zbroj definiranih komponenti xFδ , yFδ , zFδ daje rezultantnu kontaktnu površinsku silu

kjiF zyxs FFF δδδδ ++=

odnosno

zyxzp

yp

xp

s δδδδ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

−= kjiF .

Jedinični vektori po koordinatnim osima x, y, z označeni su , dok su u prethodnom izrazu u zagradi članovi koji čine gradijent tlaka i mogu se kraće zapisati pomoću operatora (nabla) ili grad na sljedeći način:

kji ,,∇

pgradpzp

yp

xp

=∇=∂∂

+∂∂

+∂∂ kji .

Osim kontaktnih površinskih sila u analizu je potrebno uključiti djelovanje gravitacijske (masene) sile na element fluida pa slijedi izraz za težinu elementa fluida

kW zyxg δδδρδ −=− gdje negativan predznak znači da je z os usmjerena prema gore tj. suprotno djelovanju gravitacijske sile. Ako se sve sile (i kontaktne površinske i masene) sumiraju i uključe u drugi Newtonov zakon ∑ = aF mδδ koji djeluje na element fluida, slijedi

aWF ms δδδ =−

odnosno

akgrad zyxzyxgzyxp δδρδδδδρδδδ =−−

21

akgrad ρρ =−− gp .

Dobiveni izraz jest Eulerova jednadžba gibanja, za fluid bez smičnih naprezanja. Za slučaj mirujućeg fluida pod djelovanjem gravitacijske sile prethodni izraz se reducira u 0a =

kgrad gp ρ=− .

Ako se prethodni izraz poopći tako da vrijedi za slučaj mirujućeg fluida pod utjecajem masene sile u općenitom smislu, proizlazi Eulerova jednadžba mirujućeg fluida

fgrad ρ=p

gdje f označava gustoću (sila kroz masa) masene sile jedinice ms-2. Eulerova jednadžba predstavlja sustav diferencijalnih jednadžbi:

xfxp

ρ∂∂

= yfyp ρ∂∂

= zfzp ρ∂∂

=

Zadatak statike fluida sastoji se u tome da se iz Eulerove jednadžbe statike fluida uz poznatu - gustoću volumne sile i ρ - gustoću (mase), izračuna raspodjela tlaka p(x,y,z).

f

Eulerova jednadžba izražava zakonitost da je najveća promjena tlaka ( grad p) u mirujućem fluidu u smjeru masene sile . Gradijent tlaka je vektor okomit na izobaru (plohu jednakog tlaka). f 2.3 Fluid konstantne gustoće u polju sile teže Važan slučaj je slučaj fluida konstantne gustoće (homogenog fluida) u konstantnom polju sile teže. Koordinatni sustav definiran je tako da je

kgfrr

= , gdje je g = 9,81 m/s2 ubrzanje sile teže (Sl.1.4).

voda z

xy

zrak

= . kf g

p0

Izobare

Sl.1.4 Mirujući fluid u polju sile teže Eulerova jednadžba napisana po komponentama glasi:

gzp

yp

xp ρ

∂∂

∂∂

∂∂

=== ,0,0 .

22

Iz prve dvije jednadžbe izlazi da je p funkcija samo varijable z, tj. p = p (z ). Treća diferencijalna jednadžba je:

gdzdp

ρ= .

Opće rješenje ove jednadžbe je

Cgzzp += ρ)( .

Konstanta integracije C se određuje iz poznavanja tlaka u jednoj točki fluida. Za z = 0, prema slici Sl.1.4 tlak je p = p0 pa slijedi vrijednost konstante integracije C:

Cpp == 0)0( .

Iz prethodnog izraza vidljivo je: Izobare, plohe jednakog tlaka, su ravnine , gdje je C proizvoljan broj, odnosno izobare su ravnine okomite na smjer sile teže. Na određenoj dubini fluida z = h tlak je:

Cz =

( ) ghpzp ρ+= 0 .

2.4 Mjerenje tlaka Barometar Barometar je instrument za mjerenje atmosferskog tlaka. Princip barometra [Torricelli, 1643] je prikazan na Sl.1.5. Cijev dužine 1m napunjena je živom i uronjena u posudu sa živom . Živa u cijevi ostane na visini H, približno 760 mm , iznad površine žive u posudi.

živa Hg

pAB

Cp

0

h

atm

Sl.1.5

Prema Sl.1.5: atmA pp = (atmosferski tlak)

AB pp = , , )(0 vakuumpC ≈ hgpp HgCB ⋅⋅+= ρ

barPamkgNmkghgpp HgBatm 01396.11001396.176.0/81.9/13600 53 =⋅=⋅⋅=== ρ

23

Manometar Manometar je instrument koji mjeri tlak pomoću stupca fluida. Princip rada manometra je prikazan na Sl.1.6. Sa slike moguće je zaključiti:

H

B C

A

zrak

voda

h

patm

Sl.1.6

ABatmfluidaCCB ppphgppp ≅+== ρ

Diferencijalni manometar Diferencijalni manometar prikazan na Sl.1.7 mjeri pad tlaka u dijelu cijevi. Vrijedi:

( )hxgpp AC Δ++= ρ , hgxgpp mBD Δ++= ρρ

Sl.1.7 Izobara povučena kroz točke C i D daje DC pp = . Slijedi:

( ) hgpp mBA Δ−=− ρρ U slučaju da u cijevi Sl.1.7 struji zrak, a mjerni fluid je voda, gornji izraz za razliku tlakova moguće je aproksimirati

hgpp mBA Δ≈− ρ , pošto je mjerni fluid (voda vodam ρρ = ) u ovom slučaju približno tisuću puta gušći od fluida čiju

razliku tlakova mjerimo (zrak zrakρρ = ).

2.5. Relativno mirovanje fluida

24

Jednoliko pravocrtno ubrzanje fluida. Promatra se fluid u posudi koja se giba konstantnim ubrzanjem ar , (Sl.1.8) Čestice fluida miruju u koordinatnom sustavu vezanom za spremnik.

Sl.1.8

Gustoća masene sile je:

gafrrr

−−= Eulerova jednadžba glasi:

( )gafpgrad

rrr+−=⋅= ρρ ,

odnosno po komponentama:

gzp

ypa

xp ρ

∂∂

∂∂ρ

∂∂

−==−= 0

Iz druge jednadžbe slijedi

( )zxpp ,= .

Integracijom iz prve jednadžbe slijedi

)(zaxp ϕρ +−=

Uvrštavanjem u treću jednadžbu dobije se:

Cgzzgdzdp

zp

+−=−==∂∂ ρϕρ )(,.

Konačno se može napisati

Czgxap +−−= ρρ .

Konstanta C se određuje iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj točki fluida. Izobare su ravnine (u XZ ravnini pravci):

25

0=+−− Czgxa ρρ

Ako fluid ima slobodnu površinu, onda je ona jedna izobara. Kut θ izobara u odnosu na horizontalnu ravninu može se izračunati iz relacije:

ga

=θtan .

Rotacija fluida u rotirajućem spremniku Fluid u spremniku koji rotira konstantnom kutnom brzinom ω, rotira kao kruto tijelo. Čestice fluida miruju u koordinatnom sustavu koji je vezan za posudu.

Sl.1.9

Gustoća masene sile je sada

cagfrrr

+=

gdje je centrifugalno ubrzanje. Treba uočiti da se car cagf rrr+= mijenja po smjeru i intenzitetu

počevši od osi rotacije do ruba posude. U cilindričnom koordinatnom sustavu (gdje je ishodište sustava na dnu posude, a osi z i r usmjerene kako je prikazano na slici Sl.1.9) je

( )kgeerf r

rrrr−+⋅+= ϕω 02 .

i gradijent tlaka

kzpep

re

rppgrad r

rrr

∂∂

∂ϕ∂

∂∂

ϕ ++=1 .

Eulerove jednadžbe po komponentama glase:

gzpp

rr

rp ρ

∂∂

∂ϕ∂ωρ

∂∂

−=== 012

te slijedi p = p(r,z). Integracijom prve jednadžbe dobiva se

26

( ) ( )zr

zrp ψωρ +=2

,2

2 .

gdje je ψ(z) proizvoljna funkcija varijable z. Ako se navedeni izraz uvrsti u treću jednadžbu, nalazimo:

Czgodnosnogdzd

dzdp

+−=−== ρψρψ ,

Konačno, polje tlaka je definirano relacijom:

Crzgzrp ++−=2

),(2

2ωρρ

Konstanta integracije C se dobije iz poznavanja tlaka u proizvoljnoj točki fluida (npr. na površini fluida p=p0):

00

22 )(

2),( pzZgrzrp +−+= ρωρ

Izobare, plohe konstantnog tlaka, su rotacijski paraboloidi:

0

22

2Z

grz +=

ω .

Ako fluid ima slobodnu površinu, onda je ona izobara – rotacijski paraboloid. Volumen rotacijskog paraboloida jest pola volumena valjka visine ZR

RR ZRV π2

21

= ,

gdje je (Sl.1.9):

gRZ R 2

22ω= .

27

2.6. Sile fluida na ravnu plohu Na dio ravnine A treba izračunati silu F. Na dA djeluje sila u smjeru normale Fd

rnr

(Sl.2.6.1):

Sl.2.6.1 Sila fluida na ravnu plohu

ndApFdrr⋅⋅= .

Ukupna sila je (vektor normale u ovom slučaju je konstanta):

∫=A

dApnFrr

,

a intenzitet sile jednak je:

∫==A

dApFFr

.

Za slučaj fluida konstantne gustoće u konstantnom gravitacijskom polju tlak je definiran relacijom:

0

0

sinsin,

pygpyhphgp

+==+=

αραρ

Sada za silu vrijedi:

28

∫ ∫∫ +=+=⋅+=A AA

dAygApdApdAygdaygpF αραραρ sinsin)sin( 000 ∫A

,

Prvi moment plohe A oko osi x definiran je izrazom

∫ =A

T AydAy ,

gdje je yT ordinata težišta T(xT,,yT) površine A. Slijedi izraz za intenzitet sile fluida na plohu A:

AygApF Tαρ sin0 += Centar tlaka

Centar tlaka je točka P(xP, yP) za koju vrijedi:

Mx = yP F , My = xP F

gdje su Mx , My momenti oko osi-x i osi-y. Kako je ukupni moment oko x-osi promjenjive sile po površini A :

∫∫∫∫∫∫ ⋅+=⋅⋅⋅+====AAAAAA

xx dAygdAypdAygdApyypdAydFdMM 200 sin)sin( αραρ

slijedi da je:

AypIgFy TxxP 0sin +⋅= αρ ,

ApAygAypIg

yT

TxxP

0

0

sinsin

+⋅+

=αραρ

gdje je Ixx (moment inercije plohe A prema osi x ):

∫=A

xx dAyI 2

Na analogan način moguće je dobiti i x-koordinatu centra tlaka :

∫∫ ∫∫ ∫∫ +=+==A A A

TxyP AxpIgdydxxpdydxyxgdApxFx 00 sinsin αραρ

ApAygAxpIg

xT

TxyP

0

0

sinsin

+

+=

αρ

αρ ,

pri čemu je:

∫=A

xy dydxxyI

produkt inercija plohe A (ili centrifugalni moment plohe A) obzirom na osi x i y. Za slučaj da je vanjski tlak po isti s obje strane plohe (Sl.2.6.2) vrijedi:

αραρ sinsin 210201 ⋅⋅=−=⋅⋅+= AygFFApFAygApF TT

29

AygF T αρ sin=

AyI

gAygI

yT

xx

T

xxP =

⋅⋅

=αραρ

sinsin

.

F

p

p

0

0

F

1

2

Sl.2.6.2 Tlak p0 s obje strane plohe Translacijom koordinatnog sustava x-y u težište plohe A dobije se novi koordinatni sustav ηξ − .

Ako se moment inercije Ixx izrazi pomoću , gdje je moment inercije prema osi

ξξIAyI Txx += 2ξξI

ξ koja prolazi kroz težište plohe, slijedi:

AyAyI

yT

TP

2+= ξξ , tj.

AyI

yyT

TPξξ+=

Slično, dobije se i

AyI

xxT

TPξη+= ,

gdje je produkt inercija obzirom na koordinatni sustav koji prolazi kroz težište plohe i pomoću kojega je moguće izračunati produkt inercija oko osi x i y

ξηI

ξηIAyxI TTxy += . Izraze za moment inercije i produkt inercija za različite geometrijske likove moguće je očitati u većini adekvatnih priručnika.

ξξI ξηI

30

2.7. Sile fluida na plohu Na dio plohe S, dS, djeluje sila dF u smjeru vektora normale (Sl.1.12):

fluid

S

F

n

S

S

Δ

Δ

Sl.2.7.1 Odnos vektora sile fluida i normale plohe

ndSpFd rr⋅⋅−= .

Ukupna sila je:

∫∫ −=−=SS

dSnpFdF rrr.

Vektor normale može se napisati kao

knjninn zyx

rrrr++=

pri čemu je nx=cos α, ny=cos β, nz=cos γ, a α, β, γ kutovi koje vektor normale zatvara sa koordinatnim osima. Sila fluida na plohu po komponentama jest:

∫ ∫==S A

xxx

x

pdAdSpnF , , ∫ ∫==S A

yyy

y

pdAdSpnF ∫ ∫==S Az

zzz pdAdSpnF

pri čemu su Ax, Ay, i Az odgovarajuće projekcije plohe S na ravnine yz, xz i xy.

31

Sl.2.7.2 Zakrivljena ploha

Za zakrivljenu plohu S u mirujućem fluidu s otvorenom površinom moguće je izraziti komponente sile fluida na plohu. Fx i Fy komponente jesu

xTxTx AghApFxx

ρ−=−= , yTyTy AghApFyy

ρ−=−= .

Vertikalna komponenta sile fluida jest

∫∫ ==zz A

zA

zz hdAgpdAF ρ .

Obzirom da je volumen fluida između zakrivljene plohe S i slobodne površine slijedi

konačni izraz za intenzitet vertikalne komponente sile fluida

∫=zA

zhdAV

gVFz ρ=

što predstavlja težinu fluida između zakrivljene plohe S i slobodne površine.

32

2.8. Uzgon Ukupna kontaktna sila mirujućeg fluida na tijelo koje pluta ili je potopljeno u njemu zove se uzgon. Uzgon na tijelo u mirujućem fluidu (pod djelovanjem gravitacije) djeluje vertikalno prema gore, suprotno smjeru djelovanja gravitacijske sile jer je uzrokovan porastom tlaka u fluidu s povećanjem dubine. Horizontalne se komponente sile tlaka na površinu tijela međusobno poništavaju. Sila fluida na tijelo uronjeno u njemu jest

kVgF tijelafluida

rr⋅⋅⋅= ρ

tijelaz gVFU ρ==

odnosno, sila fluida na tijelo, uzgon (U), ne ovisi o gustoći (materijalu) tijela, nego o gustoći fluida, gravitacijskom ubrzanju i volumenu tijela. Zadržavši se na izrečenim pretpostavkama da se horizontalne sile fluida na uronjeno tijelo poništavaju te da je sila uzgona na tijelo u mirujućem fluidu uzrokovana porastom tlaka u fluidu s povećanjem dubine i usmjerena vertikalno prema gore, za slučaj prikazan na sljedećoj slici vrijedi:

Sl.2.8.1 Uzgon

( ) ( ) ( )dAhhgdAghpdAghpdFz 121020 −=+−+= ρρρ .

Obzirom da je volumen elementa ( )dAhhdV 12 −= slijedi izraz za uzgon

∫∫ ====V

zz gVgdVdFFU ρρ .

Hvatište sile uzgona jest u težištu istisnutog volumena fluida.

33

PRIMJER 2.1: Definiranje uzgona za tijelo koje je isplivalo na površinu Ako je težina tijela veća od uzgona, , tijelo tone, ako je težina tijela jednaka uzgonu,

, tijelo lebdi u fluidu, a ako je težina tijela manja od uzgona, UG >

UG = UG < , tijelo izranja. Nakon što je tijelo izronilo njegova težina je jednaka uzgonu, i vrijedi, npr. za tijelo na granici kapljevine i plina (vode i zraka), sljedeće (Sl.2.8.2):

GgVgVU =+= 1122 ρρ

Sl.2.8.2

U ovom slučaju gustoća vode , znatno je veća od gustoće zraka

te se potvrđuje prethodno definiran izraz za uzgon:

32 /1000 mkg=ρ

31 /29,1 mkg=ρ

GVgU ≅⋅⋅≅ 22ρ

tj. uzgon je jednak težini vode istisnute tijelom. Ova zakonitost naziva se Arhimedov zakon prema grčkom misliocu Arhimedu (287-212 pr.n.e.).

Ωρ

ρ

2

1

V

V

1

2voda

zrak

PRIMJER 2.2: Uzgon na tijelo djelomično potopljeno u fluidu

A

B

C

F

D

G

Gornja ploha

Donja ploha

E

fiktivna površina fluida

TIJELO

B

G

A

TIJELO

E

D

C

F

Sl.2.8.3 Primjer računanja uzgona za tijelo djelomično uronjeno u fluid

Ako na slici Sl.2.8.3 označimo plohu CDA kao gornju plohu tijela i plohu ABC kao donju plohu tijela, uzgon na tijelo, potpuno ili djelomično potopljeno u fluidu, jednak je razlici vertikalne komponente sile fluida na donju plohu tijela i vertikalne komponente sile fluida na gornju plohu tijela. Sila na gore koja djeluje na donju plohu tijela jest, ABCFGAfluidaG VgF ⋅⋅= ρ , gdje je

ABCFGAV volumen između donje plohe tijela i površine fluida (realne ili fiktivne.). Sila na dolje, koja djeluje da gornju plohu je AEGAfluidaD VgF ⋅⋅= ρ , gdje je volumen između gornje plohe tijela i AEGAV

površine fluida (realne ili fiktivne). Uzgon je jednak razlici: DG FFU −= tj. za dani primjer na slici Sl.2.8.3 ABCFEAfluida VgU ⋅⋅= ρ .

34

2.9. Stabilnost Tijelo potpuno uronjeno u fluid ili plutajuće tijelo, smatra se stabilnim, ako se nakon pomaka iz ravnotežnog položaja ono vraća u prvobitni položaj. Potpuno uronjeno tijelo Za slučaj potpuno potopljenog tijela koje ima težište T ispod centra uzgona C vrijedi da će pomak iz ravnotežnog položaja kreirati moment težine G i uzgona U koji će vratiti tijelo u početni položaj te je takvo tijelo stabilno. Vrijedi da će potpuno uronjeno tijelo biti stabilno uvijek ako se težište nalazi ispod hvatišta uzgona.

Sl.2.9.1 Stabilno, uronjeno tijelo. Stabilizirajući moment vraća u početno stanje

U slučaju da se težište T nalazi iznad hvatišta uzgona C pomak iz ravnotežnog položaja uzrokovat će prevrtanje tijela odnosno vrijedi da je potpuno uronjeno tijelo sa težištem iznad hvatišta uzgona u nestabilnom stanju.

Sl.2.9.2 Nestabilno, uronjeno tijelo. Destabilizirajući moment preokreće tijelo

35

Djelomično uronjeno tijelo Za djelomično uronjeno tijelo tj. plutajuće tijelo, analiza stabilnosti je znatno kompliciranija.

Sl.2.9.3 Stabilno, djelomično uronjeno tijelo. Stabilizirajući moment vraća u početno stanje

Kod tijela djelomično uronjenog u fluid za stabilan položaj nije nužno da se težište nalazi iznad hvatišta uzgona. Na slici Sl.2.9.3 prikazana je barža mase G čije se težište nalazi iznad hvatišta uzgona. U stabilnom stanju, prikazanom na lijevom dijelu prethodne slike, hvatište uzgona C1 predstavlja težište volumena fluida istisnutog podvodnim dijelom brodskog trupa. U nagnutom položaju veličina podvodnog volumena nije se promijenila, ali se mijenja njegov oblik te se težište istisnine pomaknulo u točku C2. Uzgon, djelujući kroz točku C2, siječe simetralu barže u točki M koja se naziva metacentar. U slučaju da je metacentar M iznad težišta tijela T nastaje spreg sila koji vraća tijelo u početni položaj, a u slučaju da se metacentar nalazi ispod težišta tijela na tijelo u nagnutom položaju djeluje spreg sila koji povećava njegov nagib i može dovesti do prevrtanja tijela (kao na slici Sl.2.9.4).

Sl.2.9.4 Nestabilno, djelomično uronjeno tijelo. Destabilizirajući moment preokreće tijelo

36