3. MIROVANJE FLUIDA (STATIKA FLUIDA) 3.1. Uvod Saznanja o zakonitostima mirovanja fluida su najstarija saznanja mehanike fluida. Kao to je napomenuto viskoznost se ne manifestuje pri mirovanju fluida pa je razumevanje pojava u ovom sluaju jednostavnije. U stanju mirovanja fluida postavlja se zadatak utvrivanja meusobnog uticaja tri osnovne veliine: - pritiska p - gustine i r - spoljnih sila F , koje deluju na fluid. Unutranje sile u fluidu iskazuju se pritiskom. Kao to je pri definisanju naznaeno pritisak je skalarna veliina i iskazuje dejstvo sile po jednici povrine. Spoljnje sile su sile koje su posledica okruenja fluida. One dejstvuju po jednici mase fluida F (N/kg). 3.2. Ojlerova jednaina za miran fluid Zadatak statike fluida je da utvrdi uslove mirovanja svih delia u odreenom fluidu. Slino kao i u mehanici vstih tela i u ovom sluaju potrebno je nai uslov ravnotee svih sila koje deluju na fluid. U svrhu ovog zadatka posmatra se proizvoljna fluidna zapremina (sl. 3.1) koja je sastavni deo ukupne zapremine fluida. Na svaki elementarni fluidni deli zapremine dV deluje spoljna sila FdV. Ukupna spoljnja sila u uoenoj fluidnoj zapremni iznosi: r (3.1) FdVV

Unutranja sila na uoenoj fluidnoj zapremini dejstvuje po njenim granicama jer se dejstvo pritiska izmeu elementarnih fluidnih delia dV potire. Unutranja sila na uoenu fluidnu zapreminu deluju r po omotau te zapremine. Elementarna sila dejstvuje na elementarnu povrinu i ona iznosi - pdA . Znak minus potie od suprotnog usmerenja sile u odnosu na jedinini vektor povrine. Ukupna sila na celoj povrini uoene fluidne zapremine iznosi: r pdA (3.2)A

S.3.1. Dejstvo sila na proizvoljnu fluidnu zapreminu

Uslov ravnotee fluida je da je zbir svih sila koje deluju na uoenu fluidnu zapreminu jednak nuli.

V

FdV pdA = 0A

r

r

(3.3)

Uzimajui u obzir Gausovu teoremu vai:

A

pdA = gradpdVV

r

(3.4)

gde je u Dekartovom parvouglom koordinatnom sistemu, p r p r p r gradp = i+ j+ k x y z dobija se:

(3.5)

V

(F gradp )dV = 0r

(3.6)

Reenje ovog integrala je (dV ne moe biti jednako nula jer to nema fizikog smisla): r F gradp = 0 ili r 1 F = gradp

(3.7)

(3.8)

Ova vektorska jednaina naziva se Ojlerova jednaina za miran fluid. Skalarni oblik ove jednaine u pravouglom Dekartovom koroordinatnom sistemu je:

X =

1 p x

Y=

1 p y

Z=

1 p z

(3.9)

Reenje Ojlerove jednaine za miran fluid je jednostavno ako je = const (nestiljivi fluid) ili ako je poznata funkcija = (p) - barotropni fluid.3.3. Osnovna jednaina statike fluida

Ako se prethodne jednaine (j.3.9) pomnoe sa dx, dy i dz,sukcesivno, dobija se sistem jednaina:Xdx = 1 p dx xYdy = 1 p dy y

Zdz =

1 p dz z

(3.10)

Sabiranjem prethodnih jednaina (j.3.10) dobija se jedna jednaina: Xdx + Ydy + Zdz = ilip p 1 p dx + dy + dz x y z Izraz u zagradi je totalni diferencijal pritiska. Uzimajui ovo u obzir sledi: Xdx + Ydy + Zdz =

1 p 1 p 1 p dx + dy + dz x y z (3.11)

Xdx + Ydy + Zdz =

1

dp

(3.12)

Jednaina (j.3.12) naziva se osnovna jednaina statike fluida. U ovoj jednaini, kao to je i bio cilj, povezane su veliine gustine, pritiska i spoljnjih sila.

3.4. Jednaina statike fluida u polju zemljine tee

Jedina spoljnja sila koja deluje na fluid koji miruje u polju zemljine tee je gravitaciona sila, koja je jednaka ubrzanju zemljine tee g (m/s2 = N/kg). Uobiajeno je da se koordinatni suistem u polju zemljine tee postavlja tako da je z-osa usmerena vertikalno navie. Iz prethodne diskusije sledi: dX = 0; dY = 0; dZ = -g zamenom jednaina (j.3.13) u jednainu (j.3.12) dobija se: gdz = dp (3.14) (3.13)

Ovaj izraz je jednaina statike fluida u polju zemljine tee. Samo ako je u celom posmatranom fluidom prostoru ova jednaina zadovoljena fluid e mirovati. 3.4.1.Mirovanje nestiljivog fluida u polju zemljine tee U sluaju nestiljivog fluida reenje jedaine je jednostavno. Naime potrebno je integraliti jednainu u zadatim granicama:p2 p1

dp = g dzz1

z2

Reenje je:p 2 p1 = g ( z 2 z1 ) (3.15) Obino se prethodna jednaina izraava na sledei nain: p p1 (3.16) + z1 = 2 + z 2 g g p Za prvi lan jednaine 1 obino se kae da je to pritisna visina, dok se drugi lan jednaine z g naziva geodezijskom visinom. Iz ovoga sledi da je zbir pritisne i geodezijske visine, za neki jedinstveni (neperkinuti) fluidni prostor, konstantan. Grafiki prikaz ovakvog razumevanja jednaine (j.3.16) dat je na slici (sl. 3.2).

Sl.3.2. Grafiko prikaz jednaine statike fluida u polju zemljine tee

Iz jednaine (j. 3.16) sledi da je pritisak u bilo kojoj taki unutar tenosti koja se nalazi u otvorenom rezervoaru jednak: p = p a + gH (3.17) gde je pa atmosferski pritisak, a H (m) dubina poloaja posmatrane take, odnosno vertikalno rastojanje te take od slobodne povrine. Proizvod gH naziva se hidrostatiki pritisak. 3.4.2. Posledice i zakoni koji proitiu iz jednaine statike fluida u polju zemljine tee Iz jednaine statike fluida u polju zemljine tee izvodi se vei broj zakona i zakljuaka. 1. Zakon spojenih sudova je direktna posledica jednaine (j.3.17). Poto su pritisci na slobodnoj povrini jednaki sledi da te slobodne povrine u jedinstvenom fluidnom prostoru moraju biti na istoj visini (sl.3.3 a). 2. Slobodna povrina tenosti je uvek horizontalna. Zakljuak proistie iz jednaine statike fluida. 3. Prtisci u istim horizontalnim ravnima jedinstvenog fluidnog protora su jednaki. Ovaj zakljuak proistie, takoe, iz jednaine statike fluida. Ovaj zakljuak, mada na prvi pogled izgleda trivijalno, neobino je vaan u reavanju zadataka iz statike fluida. 4. Paskalov zakon glasi: Promena pritiska (poveanje ili smanjenje) u bilo kojoj taki jednistvenog fluidnog prostora izazvae istu toliku promenu pritiska u svim takama tog fluidnog prostora. Zakon se moe isvesti posmatrajui sliku (sl. 3.3. b). Na osnovu jednaine statike fluida moe se napisati da je: p1 = p 2 + gh (3.18) Ako se pritisak p1 povea za neku vrednost p1 ona de moe pretpostaviti da e doi do poveanja pritiska p2 za neku vrednost p2. Promenjeno stanje opisuje se jednainom: (3.19) p1 + p = p 2 + p + gh 1 241 1 242 4 3 4 3p1' p2 '

Ako se od jednaine (j.3.19) oduzme jednaina (j.3.18) dobija se: p1 = p 2 to se elelo i dokazati.

(3.20)

Sl. 3.3. Spojeni sudovi

5. Hidrauna presa je naprava u kojoj se koristi jednaina statike fluida u tehnikim problemima. Hidraulina presa je maina pomou koje se malom silom (na primer runa sila) ostvariti veoma velika sila potrebna za ceenje, presovanje, dizanje i sl. Hidraulika presa se sastoji od dva cilindra sa klipovima razliitih prenika, cevovoda koji povezuje te cilindre (sl. 3.4). Malom silom F1 deluje sa na klip I. Povrina ela klipa je A1. Posledica dejstva sile na klip je pritisak p1, ija vrednost se izraunava po sledeem izrazu:p1 = F1 A1

(3.21)

U jednostavnijem sluaju, kakav je prikazan na slici, elo klipa I i elo klipa 2 su u istoj horizontalnoj ravni. S obzirom da su cilindri spojeni cevovodom pritisci tenosti na oba ela klipa, po jednaini statike fluida, su jednaki:p1 = p2

(3.22)

Sl. 3.4. Hidraulina presa (1- cilindar I, 2 cilindar II, 3 klip I, 4 klip II, 5 cevovod, 6 objekt koji se presuje, 7 podloga)

Dejstvo pritiska tenosti p2 na klip II izaziva silu F2, koja deluje navie na objekt koji se presuje. Ta sila je jednaka:F2 = p 2 A2

(3.23)

iz ega sledi:F2 (3.24) A2 Ako se zamene vrednosti pritisaka (j. 3.21 i j. 3.24) u jednainu (j. 3.22) dobija se: p2 = F1 F2 = A1 A2

(3.25)

iz ega sledi:F2 = A2 F1 A1

(3.26)

Pomou izraza (j. 11) moe se izraunati sila kojom se pritiskuje objekt. Vidi se da ta sila zavisi od veliina eonih povrina klipova i sile kojom se dejstvuje na klip I. Iz prethodnog proizilazi da se malim silama mogu izazvati veoma velike sile pritiska na objekt. Prethodni izrazi vae za sluaj da su klipovi u istoj horizontalnoj ravni. U sluaju da to nije tako, potrebno je korigovati izraz (j. 3.22) za vrednosti razlike hidrostatikog pritiska koja zavisi od visinske razlike eonih povrina klipova.

3.5. Merenje pritiska

Osnovne definicije naziva pritiska (sl. 3.5): 1. Apsolutni pritisak p je ukupni pritisak u nekoj taki fluidnog prostora. Prethodno objanjavanje pritiska se odnosilo na ovaj pojam. 2. Atmosferski pritisak pa je pritisak koji vlada u okolnom vazduhu. Pri normalnim termodinamikim uslovima uzima se da on iznosi pa= 101325 Pa. U svakom sluaju, on se meri i tako se utvruje njegova vrednost u konkretnim sluajevima lokalni uslovi. 3. Nadpritisak ili manometarski pritisak pm je razlika izmeu apsolutnog pritiska i atmosferskog pritiska, ako je apsolutni pritisak vei od atmosferskog: pm = p -pa (3.27) 4. Podpritisak ili vakumetarski pritisak je razlika izmeu atmosferskog pritiska i apsolutnog pritiska, ako je atmosferski pritisak vei od apsolutnog. pv = pa p (3.28)

Sl. 3.5. Definicije nadpritiska i podpritiska

Pritisak se meri na razliite naine, to zavisi od vrste fluida i veliine pritiska. Najednostavniji i pouzdan nain merenja malih nadpritisaka i podpritisaka je pomou U cevi (sl. 3.6).

Sl. 3.6. Merenje pritiska pomou U - cevi

Za preciznija merenja veoma malih nadpritiska i podpritisaka koristi se mikromanometar sa kosom cevi (sl. 3.7). U ovom sluaju jedan krak U-cevi je nagnut pod poznatim uglom . Ako je ovaj ugao manji preciznost oitavanja je vea. Ovaj mikromanometar najee slui za merenja razlika

izmeu dva pritiska. Ta razlika se odreuje oitavanjem duine l i sledeim izraunavanjem (sl.3.7):p = pa p = t l sin(3.29)

Sl. 3.7. Mikromanometar sa kosom U-cevi

Za odreivanje veih nadpritisaka i podpritisaka u praksi se najee koriste manometri sa Burdonovom cevi (sl. 3.8). Ovaj manometar funkcionie na elastinom deformisanju savijene cevi. Naime, cev (poz.1 na sl. 3.8) se pod dejstvom pritiska elastino deformie tako da se ispravlja, a ta deformacija se prenosti na mehanizam (poz. 3,4,5 i 6, sl.3.8), to ima za posledicu zakretanje kazaljke (poz. 7, sl. 3.8). Na kalibrisanoj skali (poz. 8, sl. 3.8) oitava se vrednost pritiska. Elastina cev je elipsastog poprenog preseka.

Sl. 3.8. Manometar sa Burdonovom cevi

U svakodnevnom okruenju esto se sree aneroidno merilo pritiska (sl.3.9). Ovo merilo funkcionie na principu promene zapremnine gasovitog fluida u nekoj komori i prenosu promene te zapremnine na membranu. Komora moe biti harmonikasta ili jednostavna cilindrina sa osetljivom membranom. Ovim merilom mere se male razlike pritiska. Najee se meri atmosferski pritisak (sl.3.8.b). Na slici (sl.3.8. a) prikazana je konstrukcija aneroidnog manometra sa harmonikastom komorom.

aSl.3.9. Aneroidno merilo pritiska3.6. Pritisak tenosti na ravne povrine

b

Teni fluidi nalaze se, najee, u posudama, rezervoarima i sl. Zbog prisustva hidirostatikog pritiska oni pritiskajue dejstvuju na zidove rezervoara. Potrebno je poznavati intenzitet tog dejstva. Dejstvo na neku konkretnu potoljenu povrinu manifestuje se rezultujuom silom pritiska. Pored toga, vano je da se sazna gde je napadna taka te sile. Ovde e se razmotriti sluaj kada je povrina na koju dejstvuje sila pritiska fluida ravna. To je jednostavniji sluaj u odnosu na sluaj kada je ta povrina zakrivljena. Neka se posmatrana ravna povrina A nalazi na ravni , koja je nagnuta pod uglom u odnosu na ravan slobodne povrine tenosti gustine (sl. 3.10). Pravougli koordinatni sistem postavlja se tako da je osa x u preseku ravni i ravni slobodne povrine tenosti. Osa y nalazi se, takoe, u ravni slobodne povrine tenosti. Osa z usmerena je nanie.

Sl.3.10. Pritisak tenosti na ravne povrine

Hidrostatiki pritisak tenosti u bilo kojoj taki prostora koju zauzima tenost, na osnovu jednaine statike fluida je:p= g z

(3.30)

Uoava se elementarna povrina dA u posmatranoj povrini A. Sila pritiska na tu povrinu je: dP = p dA = gzdA (3.31) Za izraunavanje ukupne sile pritiska P na povrinu A potrebno je integraliti prethodnu jednainu.

P = g zdAA A

(3.32)

Izraz zdA je statiki moment inercije povrine A u odnosu na x,y-ravan. Poznato je da on iznosi:A

zdA = z C A

(3.33)

gde je zC najkrae rastojanje teita C do do slobodne povrine tenosti (x,y-ravan). Imajui ovo u vidu dobija se daje sila pritiska:P = g zC A

(3.34)

iliP = pC A

(3.35)

Bilo koja od jednaina (j.3.34 ili j.3.35) moe posluiti da se odredi intenzitet sile hidrostatikog pritiska na datu povrinu. Pri tome je pC vrednost hidrostatikog pritiska u taki C, koja je teite povrine A. Za odreivanje napadne take D sile pritiska P potrebno je primeniti Varinjonovu teoremu. Ona glasi: Moment rezultante jednak je zbiru momenata komponenti. Primenjujui Varinjonovu teoremu za x,z-ravan dobija se:

g zydA = y D PA

(3.36)

za y,x-ravan:

g z 2 dA = z D PA

(3.37)

i za z,y-ravan:

g xzdA = x D PA

(3.38)

U prethodnim izrazima (j.3.36, 3.37 i 3.38) koordinate xD, yD i zD se odnose na napadnu taku. Ove veliine su, za sada, nepoznate. Cilj naredne analize da se one odrede. U tu svrhu uvodi se pojednostavljenje. To pojednostavljenje je svoenje problema na dvodimenzijsko u novom ravanskom koordinatnom sistemu , . Kao to je na slici (sl. 3.10) pokazano -osa se podudara sa x-osom, a -osa se nalazi u ravni u kojoj je i povrina A. Transformacija koordinata je sledea:y = cos; z = sin; x=

(3.39)

Uvodei smenu koordinata u jednainu (j.3.36) i uzimajui u obzir jednainu (j.3.34) dobija se:

g 2 sin cos dA = D cos g C sin AA

1 24 14243 4 3 4 4yD P

(3.40)

Skraivanjem se dobija:A 2 dA = D C A

(3.41)

ili

D =

A

2 dA

C A

(3.42)

Izraz iznad razlomake crte u prethodnoj jednaini je moment inercije I za osu , pa se moe napisati:

D =

I

C A

(3.43)

Dobijen je izraz koji na bazi poznatih veliina odreuje jednu kordinatu poloaja napadne take D. Zamena koordinata se moe uvesti i u jednainu (j.3.38):

g sin dA = D g C sin A {A xD

14243 4 4P

(3.44)

Sreivanjem prethodne jednaine dobija se:

A

dA = D C A

(3.45)

ili

D =

A

dAC A=

I

C A

(3.46)

gde je I centrifugalni moment inercije za ,-ravan. Ako su povrine A simetrine u odnosu na osu tada je: I = 0, odnosno = 0 to je najjednostavniji sluaj. Moment inercije povrine A za osu , koja se nalazi u ravni slobodne povrine tenosti moe se predstaviti zbirom sopstvenog momenta inerecije I i poloajnog momenta inercije AC2, pa je

D =

I ' + A C 2

C A

= C +

I '

C A

(3.47)

Formule za izraunavanje sopstvenog momenta inercije za proste povrine nalaze se u prirunicima. U sluaju sloenih povrina analiza veliine sile hidrostatikog pritiska sprovodi se za svaki deo sloene povrine.

3.7. Arhimedov zakon i plivanje tela

Iz svakodnevnog iskustva poznato je da tela, koja se zarone u tenost, nisu "tako teka", kao to su bila pre zaranjanja. Oigledno je da dejstvo hidrostatikih sila prouzrokuje sile koje deluju navie, tako da rezultujua sila, koja deluje na telo, postaje manja od teine G ili se izjednaava sa nulom. Prouavanje ovog fizikog fenomena zasnovano je na analizi sila hidrostatikog pritiska koje deluju na telo. Telo zapremine V zaronjeno je u tenost gustine (sl.3.11).

Arhimed (287-212. pr.n.e.) Sl.3.11. Analiza dejstva sila pritiska na telo koje je zaronjeno u mirnu tenost

Analiza poinje posmatranjem elementarne zapremine zaronjenog tela, dimenzija dx, dy i dz, koja se nalazi na dubini z. Na ovu elementarnu zapreminu deluju sile pritiska sa svih strana. Bone sile pritiska koje dejstvuju na povrine dxdz su meusobno jednake jer su na istoj dubini, pa poto su suprotnog smera potiru se. isto vai i za sile koje deluju na povrini dydz. Ali na elementarnoj povrini dxdy koja se nalazi dublje (dole) deluje neto vea sila nego na onu koja se nalazi gore. Ako se primeni ve izvedena jednaina (j.3.34) na ovaj sluaj moe se izraziti rezultujua sila dP:dP = - gzdxdy + g(z+dz)dxdy

(3.48)

Sreivanjem izraza dobija se:dP = gdzdxdy = gdV (3.49) Ako se pomou zapreminskog integrala rei rezulttujua sila za celokupnu zapreminu V, dobija se:

V

dP = g dVV

(3.50)

iliP= gV

(3.51)

Izraz (j.3.51) je uveni Arhimedov zakon. Rezultujua sila P naziva se sila potiska (ili krae potisak). Vidi se da je intenzitet sile potiska koja deluje na telo zavisan od gustine tenosti u koju je telo zaronjeno i od njegove zapremine. Sila potiska usmerena je uvek navie. U ovoj analizi tenost je smatrana nestiljivom ( = const). Ukupna sila potiska P na potuno zaronjeno telo moe biti vea, manja ili jednaka teini tela G. U zavisnosti od ovog tela mogu da plivaju, tonu ili da lebde (sl.3.12): 1. sluaj - telo pliva (sl.3.12. a) Uslov za plivanje tela je da je P > G. Kada je to tako telo e jednim delom isplivati na povrinu toliko dok se dejstvo hidrostatikog pritiska ne smanji dotle da se izjednai sa teinom G. Dejstvo hidrostatikog pritiska - sila P', u ovom sluaju je posledica hidrostatikog pritiska na okvaenu povrinu A. Dakle, vaie G = P.

2. sluaj telo lebdi (sl.3.12. b) U ovom sluaju sila potiska jednaka je siteini tela P = G. Telo e biti potpuno okvaeno, ali ne mora da potone do dna. 3. sluaj telo tone (sl.3.12.c) U ovom sluaju sila postiska je manja od teine tela P < G.

Sl.3.12. tela u tenosti mogu da plivaju (a) da lebde (b) ili da tonu (c)

Tela koja plivaju mogu se ponaati na razliite naine (sl. 3.13). Ako je teite C ispod napadne take sile potiska D telo e stabilno plivati (stabilna ravnotea). Na slici je primer jedrilice kod kojih se obavezno na kobilici (odozdo) dodaju tegovi, kako bi se teite cele jedrilice spustilo nie. Na slici je, takoe, prikazan sluaja kada se telo izvede iz ravnotee. U tom sluaju pojavljuje se spreg sila P i G (one su na rastojanju l) koji rezultuje momentom M ija je tenja da telo vrati u ravnoteu. U sluaju labilnog plivanja napadna taka sile potiska je ispod teita pa ako se telo izvede iz ravnotee ono e nastaviti da se rotira, to plivanje ini nestabilnim (labilnim). Kada se sila napadna taka sile potiska D poklapa sa teitem C, ne pojavljuje se nikakav rezultujui moment, tako da telo rotira dok na njega deluje dodatna spoljnja sila. Primer za ovaj sluaj je "tranje po balvanima koji plivaju". Na slici (sl.3.12) prikazane su mehanike analogije za sluajeve ravnotee, zasnovane na fizikom klatnu i ravnokrakoj poluzi.

Sl.3.13. Stabilnost plivanja

3.8. Relativno mirovanje tenosti pri translatornom kretanju

U praksi se esto javlja sluaj transporta tenosti u rezervoarima. Pri tome se dogaa da se vozilo sa rezervoarom ubrzava ili usporava. U ovakvim i slinim sluajevima se, pored gravitacione sile javljaju inercijalne sile kao spoljnje dejstvo na fluid. Sluajevi promenjljivog kretanja mogu biti veoma razliiti. Najednostavniji sluaj je pravolinijsko jednako ubrzano kretanje. Naravno, sluaj jednako usporenog kretanja je identian jednako ubrzanom kretanju, s tim to je vektor ubrzanja suprotno orijentisan u odnosu na smer kretanja. U ovakvim sluajevima potrebno je poznavati pritiske u pojedinim takama u rezervoarau i geometriju "naginjanja" tenosti. Dakle, odreuje se polje (raspored) pritiska u tenosti i oblik slobodne povrine. Radi toga razmotrie se opti sluaj parvolinisjkog jednako ubrzanog kretanja tenosti u rezerevoaru (sl. 3.14) ubrzanjem a. Celokupna materija tenosti e u ovakvom sluaju zauzeti neki poloaj i pri tome se nee dalje kretati u odnosu na rezervoar. Zbog ove injenice ovaj sluaj spada u statiku fluida. Na rezervoar, koji se kree translatorno u horizontalnom pravcu, moe se "privrstiti" koordinatni sistem, koji se kree jednako kao i rezervoar. Delii tenosti nee se kretati u odnosu na ovakav koordinatni sistem. Koordinatni poetak nalazi se na sredini rezervoara, a na slobodnoj povrini tenosti. Osa y usmerena je u pravcu i smeru kretanja.

Sl. 3.14. Relativno mirovanje tenosti prihorizontalnom translatornom kretanju

Jenaina statike fluida (j.3.12) glasi: 1 Xdx + Ydy + Zdz = dp

Spoljnje sile u ovom sluaju su:X = 0; Y = -a; Z = -g

(3. 52)

Ovde treba zapaziti da je jedinina inercijana sila Y (N/kg) jednaka ubraznju, ali je suprotnog predznaka. Uvrtavanjem vrednosti spoljnih sila u jednainu statike fluida dobija se: ady gdz =

1

dp

(3.52)

U prethodnoj jednaini vrednosti x i z su nezavisno promenjljive, a p je zavisno promenjljiva. Jednaina se reava neodreenim integralom, pri emu se tenost smatra nestiljivom ( = const).

a dy g dz =

1

dp(3.53)

ili ay gz =

1

p+C

U ovoj jednaini C je konstanta integracije. Granini uslovi integracije se uzimaju na slobodnoj povrini u koordinatnom poetku, y = 0; z = 0; p = pa, tako da se moe izraunati konstanta intergacije C: p C= a (3.54)

Ako se ovo uzme u obzir sledi:p p a = (ay + gz )

(3.55)

Ova jednaina (j.3.55) opisuje polje pritisaka u tenosti koja se kree translatorno i relativno miruje u odnosu na rezervoar. Ako se eli doznati jednaina slobodne povrine tenosti u prethodnu jednainu zamenjuje se p = pa, pa se dobija:ay + gz = 0

(3.56)

Ovo je jednaina ravni. Slobodna povrina tenosti nije zakrivljena, ona je ravna i nagnuta pod uglom u odnosu na ravan y,x. Ovaj ugao se odreuje iz sledeeg izraza:tg = z a = y g

(3.57)

Ako se ele odrediti povrine (ravni) istog pritiska u tenosti tada se uzima da je p pa = K, gde je K konstanta. Na osnovu ovoga se dobija jednaina povrina u kojima su meusobno jednake vrednosti pritiska:

ay + gz = K

(3.58)

Iz prethodne jednaine (j.3.58) zakljuuje se da je povrina u kojoj su jednake vrednosti pritiska ravna i da je paralelna slobodnoj povrini tenosti. Dakle, i ova povrina je nagnuta u odnosu na ravan y,x pod uglom . Prethodna naliza i dobijeni izrazi omoguavaju izraunavanje pritiska u bilo kojoj taki unutar prostora koju zauzima tenost. Pored toga, lako se izraunava ugao pod kojim se tenost naginje u odnosu na horizontalnu ravan. U sluaju kada je translatorno kretanje tenosti u pravcu koji nije horizontalan, tada je potrebno uzeti u obzir da jedinina inercijalna sila i sila gravitacije moraju da se projektuju na novi korodinatni sistem, koji se ne kree horizontalno.