MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 4 26.03.2008 r

MECHANIKA NIEBA

WYKŁAD 4

26.03.2008 r

Pole grawitacyjne i potencjał

Rozwinięcie potencjału w szeregO – centrum grawitacjiP – element masy dm

Potencjał w punkcie Q:

M PQ

dmGU

Niech PO=r, QO=R wtedy:

i wyrażenie na potencjał przyjmuje postać:

cosRr2RrPQ 222

M

21

2

2

dmRrcos

Rr21

R1GU

z

y

x

0

Pdm

θ

Q


Rozwinięcie potencjału w szereg

Ponieważ R>>r więc możemy wyrażenie podcałkowe rozwinąć wykorzystując uogólnienie dwumianu Newtona:

gdzie:

43221

X12835X

165X

83X

211X1

Rrcos2

RrX

z

y

x

0

Pdm

θ

Q


Rozwinięcie potencjału w szeregczyli:

44

33

22

21

Rrcos2

Rr

12835

Rrcos2

Rr

165

Rrcos2

Rr

83

Rrcos2

Rr

211

Rrcos2

Rr1

z

y

x

0

Pdm

θ

Q


Rozwinięcie potencjału w szeregktóre po przekształceniu i uporządkowaniu ze względu na kolejne potęgi r/R daje:

M2

2

21

M

21

2

2

dmRr)(cosP

Rr)(cosP1

R1G

dmRrcos

Rr21

R1GU

gdzie Pn(cosθ) są wielomianami Legendre’a

z

y

x

0

Pdm

θ

Q


Wielomiany Legendre’a

Wielomiany Legendre’a stanowią zbiór funkcji ortogonalnych na odcinku (-1,1).Są zdefiniowane za pomocą tzw. wzoru Rodriguesa:

n2n

n

n

nn2

n

n

nn )x1(dxd

!n21)1x(

dxd

!n21)x(P

Jak było pokazane wcześniej w. Legendre’a mają funkcję tworzącą postaci:

0n1nn

0n

nn

2

1sdlas1)x(P

,1sdlas)x(P

ssx211


Wielomiany Legendre’a

)3x30x35(81)x(P

)x3x5(21)x(P

)1x3(21)x(P

x)x(P1)x(P

244

33

22

1

0

kilka początkowych wielomianów:



z

y

x

0

Pdm

θ

Q

Wyznaczmy kilka kolejnych wyrazów rozwinięcia potencjału:

3210

M2

2

21

UUUU

dmRr)(cosP

Rr)(cosP1

R1GU

RMGdm

R1GU

M0

Pierwszy czynnik daje potencjał masy punktowej:


Środek masy

z

y

x

0

(xi,yi,zi)

ri rc(xc,yc,zc)

n

1ii

n

1iii

cn

1ii

n

1iii

cn

1ii

n

1iii

c

m

zmz;

m

ymy;

m

xmx

n

1ii

n

1iii

c

m

rmr

M

dVrrr Vc



z

y

x

0

Pdm

θ

Q (x0,y0,z0)

(x,y,z)

M

1 dmcosRr

R1GU

Drugi czynnik:

Iloczyn skalarny wektorów PO i PQ daje:

Rzzyyxxcosr 000

wtedy:

Ponieważ początek układu współrzędnych pokrywa się ze środkiem masy, więc wszystkie trzy całki są równe 0.

zdmzydmyxdmxR1GU 00031


Tensor momentu bezwładności

Tensor momentu bezwładności wiąże moment pędu ciała z jego prędkością kątową:

pozwala liczyć moment bezwładności ciała w przypadku obrotu wokół dowolnej osi.

IrrmvmrLLi

iiiii i

iiii

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

IIIIIIIII

I

momenty główne:

momenty dewiacyjne:

i

2i

2iizz

i

2i

2iiyy

i

2i

2iixx yxmI;xzmI;zymI

i i i

iiizyyziiizxxziiiyxxy zymII;zxmII;yxmII



dmzyx21dm

Rzzyyxx

23

RmG

dm1cos321

Rr

RmGU

2222

2000

3

M

22

2

2

Trzeci wyraz:

Pamiętając, że:

są momentami bezwładności względem osi układu współrzędnych.

dmyxC

dmzxB

dmzyA

22

22

22



oraz momenty odśrodkowe względem par płaszczyzn xy i zx, xy i yz oraz xz i zy:

są równe 0 w przypadku gdy osie układu pokrywają się z osiami bezwładności, możemy napisać:

xydmF

xzdmE

yzdmD

2

20

20

20

32 RCzByAx

23)CBA(

21

RmGU


Przypadek rzeczywisty: 4769 Castalia

Werner, R., Scheeres, D. 1997, CeMDA 65, 313

CeMDA – Celestial Mechanics and DynamicalAstronomy


4769 Castalia

Rozmiary planetoidy:

rmax 800 mrmin 300 mrśr 543 mgęstość 2.1 g/cm3

masa 1.4x1012 kg

Model planetoidy składa się z 3300 elementów powierzchni tworzących wielościan. Oznacza to, że dokładność odtworzenia powierzchni (rozdzielczość przestrzenna) sięga około 60m


4769 Castalia: model potencjału

Korzystając z prawa Gaussa można wyznaczyć natężenie pola grawitacyjnego przez powierzchnięplanetoidy przy założeniu stałej gęstości.


Prawo Gaussa

VS

dVG4Adg

Strumień natężenia pola g przez powierzchnię zamkniętą równy jest całkowitej masie zamkniętej przez tę powierzchnię pomnożonej przez -4πG



Potencjały związane z miejscami „zszycia” wielokątów są liczone tak jak w przypadku pręta.




4769 Castalia: natężenie pola grawitacyjnego

Już w odległości rzędu 200 m od powierzchni dobrym przybliżeniem potencjału jest potencjał pręta (powierzchnie ekwipotencjalnesą elipsami)


4769 Castalia: porównanie z metodą szeregów

potencjał

natężenie pola grawitacyjnego


Przypadek rzeczywisty: 243 Ida, Fobos

Bartczak, P., Breiter, S. 2003, CeMDA 86, 131



Potencjał od dwóch prostopadłych prętów:

gdzie:

oraz:

31

33

11

mmmGmGm



Potencjał elipsoidy postaci:

porównywany był z trzema modelami:

P2 – rozwinięcie potencjału w szereg DR – przybliżenie pojedynczym prętemBB – dwa prostopadłe pręty



Ida Fobos

Zagadnienie dwóch ciał


Równania ruchu

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r

Dwa punkty o masach m1 i m2 odległe o r

Działają na siebie siłą o wartości:

221

rmmGF

Równania ruchu tych punktów:

312

2122

321

2111

rrrmGmrm

rrrmGmrm

Otrzymujemy układ sześciu równań różniczkowych drugiego rzędu (czyli układ dwunastego rzędu).


Równania ruchu

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r

Na początek dodajemy stronami oba równania:

a następnie całkujemy dwukrotnie:

i otrzymujemy pierwszych sześć całek i sześć stałych całkowania.

0rmrm 2211

BtArmrm

Armrm

2211

2211


Równania ruchu

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r

Z def. środka masy:

zastosowanego dla układu dwóch punktów mamy:

ii

iii

c m

rmr

21

2211c mm

rmrmr

Oznaczmy M=m1+m2, wtedy:

2211c rmrmrM


Równania ruchu

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r

BtArmrm 2211

Wtedy równanie:

przyjmuje postać:

To równanie określa nam zachowanie środka masy (barycentrum). Dla t=0 znajduje się ono w punkcie B/M. Po zróżniczkowaniu tego równania otrzymujemy, że barycentrum porusza się ze stałą prędkością równą A/M

BtArM c


Równania ruchu względnego

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r3

122122

321

2111

rrrmGmrm

rrrmGmrm

wprowadźmy:

12 rrr 12 rrr

czyli:

3231 rrGm

rrGmr


Równania ruchu względnego

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r

oznaczmy:

wtedy r-nie ruchu względnego przyjmujeostatecznie postać:

21 mmG

0rrr 3

W ten sposób układ sześciu równań drugiego rzędu został zredukowany do układu trzech równań drugiego rzędu. Jego rozwiązanie polega na znalezieniu sześciu stałych.


Całki pól

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r

0rrr 3

Mnożymy obustronnie przez (wektorowo) i otrzymujemy:

po całkowaniu:

- moment pędu na jednostkę masy ,(stała ruchu)

r

0rr

crr

c

Rozpatrzmy dwa przypadki:

1.

Ponieważ r musi być prostopadłe do c więc ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do c.


Całki pól

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r

0c

2.

Ponieważ:

więc mamy:

co oznacza, że ruch odbywa się po prostej przechodzącej przez centrum grawitacji

0c

0r

rcrr

dtd

3

constrr


II prawo Keplera

z

y

x

m2(x2,y2,z2)

m1(x1,y1,z1)

1r

2r

r

Ruch odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do wektora momentu pędu.

Jeśli wybierzemy płaszczyznę xy jako pokrywającą się z płaszczyzną ruchu i wprowadzimy współrzędne biegunowe to:

c,0,0c

0,sinr,cosrr

wtedy:

2rrrcc


II prawo Keplera

m1

m2

t=0

t=δtr+δr

r

δθ δA

Powierzchnia zakreślona przez wektor wodzący:

stąd:

2r21sinrrr

21A

2r21A

Pamiętając, że:

otrzymujemy:

czyli drugie prawo Keplera

2rc

constc21A


I prawo Keplera

rrrmfrm

mnożymy je obustronnie przez (skalarnie) i otrzymujemy:r

rrfrrrrfrr

Rozpatrzmy cząstkę o masie m poddanej działaniu siły centralnej f(r). Siła jest skierowana od cząstki do początku układu współrzędnych. Równanie ruchu cząstki:

rrrfr

drrf2vd

2

W przypadku oddziaływania grawitacyjnego mamy:

hr

v21 2

Całkujemy:

2r

rf


I prawo Keplera

hr

v21 2

Ostatecznie otrzymujemy tzw. całkę sił żywych:

która wyraża zachowanie energii w układzie. h jest energią całkowitą.

Przechodząc do współrzędnych biegunowych otrzymujemy:

hr

rr21 222

2rc h

rr2cr

21

2

22

energia kinetyczna czynnik związany z działaniem siły odśrodkowej

energia potencjalna


I prawo Keplera

Wprowadźmy tzw. potencjał efektywny:

rr2cU 2

2

eff

E

r

Potencjał efektywny w łatwy sposób tłumaczy kształty orbit:

kołowa – minimum energii planetyeliptyczna – planeta zmienia odległość między

dwoma skrajnymi wartościamiparaboliczna – zerowa energia (ciało nadlatuje

z nieskończonosci)hiperboliczna– energia większa od 0

Documents

MECHANIKA NIEBA WYKŁAD 4 26.03.2008 r