Mechanicke kmitanı(test version, not revised)

Petr Postapposta@karlin.mff.cuni.cz

9. prosince 2009

Obsah

Kmitavy pohyb

Kinematika kmitaveho pohybu

Skladanı kmitu

Dynamika kmitaveho pohybu

Premeny energie v mechanickem oscilatoru

Nucene kmity

Kmitavy pohyb

Jake pohyby zname?

Typy pohybu

I klid

I prımocare (rovnomerny, rovnomerne zrychleny)

I po kruznici

Pri vsech techto pohybech ma pusobıcı sıla stalou velikost.

Kmitavy pohyb

Kmitavy pohyb

I pohyb kolem stabilnı rovnovazne polohy

I vznika (malym) vychylenım pusobenım sıly, ktera se telesosnazı vratit zpet

Muze byt periodicky i neperiodicky. (Napr. netlumene vs.tlumene kmitanı pruziny.)

Periodicky pohyb — teleso ma po urcite dobe (periode)stejnou polohu, rychlost, zrychlenı, ...Periodicky dej — fyzikalnı veliciny, ktere jej charakterizujı,majı po urcite dobe (periode) stejne hodnoty.

Kmitavy pohyb

Mechanicky oscilator

I libovolne mechanicke zarızenı, ktere kona kmitavy pohyb”bez vnejsıho pusobenı”

Prıklady

I pruzina

I kyvadlo

I kulicka v jamce

I boje ve vode

I ...

Kmitavy pohyb

Casovy diagram

I vyjadrenı polohy telesa jako funkce casu

Prıklady

I harmonicke kmitanı (”funkce sinus”)

I pilovite kmity (”vytah”)

I obdelnıkove kmity (”svıtı/nesvıtı”)

I ...

Kinematikakmitaveho pohybu

Kinematika kmitaveho pohybu

Rovnomerny / nerovnomerny ?

I Kmitavy pohyb je vzdy nerovnomernyTeleso se musı neustale vracet do rovnovazne polohy,menı se tedy orientace i velikost jeho rychlosti

Prımocary / krivocary ?

I my se budeme zabyvat predevsım prımocarym kmitanım

I kazde jine se z nich da poskladat podle principusuperpozice

Dale se budeme zabyvat pouze periodickym kmitavympohybem.

Kinematika kmitaveho pohybu

Kmit

I cast pohybu, behem ktere kmitajıcı teleso dospeje dostejne polohy (se stejnou rychlostı, zrychlenım, ...)

Pozor, behem jednoho kmitu pruzina projde stejnou polohoudvakrat!

Perioda T / Frekvence f

I Perioda = doba jednoho kmitu (jednotkou je sekunda)

I Frekvence = pocet kmitu za jednu sekundujednotka s−1 = Hz [hertz]

f =1

T

Kinematika kmitaveho pohybu

Velikost frekvence ruznych deju mohou byt znacne odlisne.

Frekvence ruznych deju

I sekundove kyvadlo (1 Hz)

I komornı ”A” (440 Hz)

I mobilnı sıte (900, 1800 Mhz)

I procesor pocıtace (3 GHz)

I viditelne svetlo (cca 3,9 - 7,9 . 1014 Hz)

Kinematika kmitaveho pohybu

(okamzita) vychylka (elongace)

I vztaznou soustavu obvykle spojujeme s polohou tezistekmitajıcıho telesa v rovnovazne poloze

I vychylkou rozumıme polohu teziste kmitajıcıho telesa vteto vztazne soustave

Pro prımocare kmitajıcı oscilator (napr. pruzinu) je urcenajedinou souradnicı y

I |y | urcuje vzdalenost od rovnovazne polohy

I podle znamenka y muzeme urcit, na kterou stranu jeoscilator vychylen

amplituda vychylky

I maximalnı kladna hodnota vychylky

Kinematika kmitaveho pohybu

Harmonicky kmitavy pohyb

I Jako harmonicky kmitavy pohyb (tez harmonicke kmitanı)oznacujeme takovy kmitavy pohyb, kdy je vychylkaurcena funkcı sinus

y = ym · sin(ωt + ϕ0)

I Velicine ω se rıka uhlova frekvence.

ω = 2πf =2π

T[ω] = s−1 = rad . s−1

I Velicine ϕ = (ωt + ϕ0) se rıka faze, ϕ0 je pocatecnı faze.

Harmonicky kmitavy pohyb dostaneme promıtanımrovnomerneho pohybu po kruznici do svisle roviny.

Kinematika kmitaveho pohybu

Vyznam faze a pocatecnı faze

I faze jednoznacne urcuje polohu telesa

I nenulova pocatecnı faze indukuje, ze cas zacıname meritv okamziku, kdy teleso nemusı byt v rovnovazne poloze(pokud ϕ0 6= 2kπ, kde k je cele cıslo).

Specialnı prıpady:ϕ0 = 0 ... rovnovazna polohaϕ0 = π

2... jedna krajnı poloha

ϕ0 = π ... rovnovazna poloha, teleso z nı ale vychazı opacnymsmerem nez vyseϕ0 = 3π

2... druha krajnı poloha

Kinematika kmitaveho pohybu

UlohaNapiste rovnici harmonickych kmitu hmotneho bodu samplitudou 1,5 cm, periodou 0,2 s a nulovou pocatecnı fazı.

UlohaRovnice harmonickych kmitu ma tvar

y = 5, 0 · 10−3 sin(4π{t}) cm.

Urcete amplitudu vychlky, uhlovou frekvenci, frekvenci aperiodu kmitaveho pohybu.

Kinematika kmitaveho pohybu

UlohaHarmonicke kmitanı je urceno vztahem

y = 2, 0 sin(π{t}) cm

Urcete periodu kmitanı a vsechny casy behem prvnı periody,kdy je teleso vzdaleno na 1,0 cm od rovnovazne polohy.

Kinematika kmitaveho pohybu

Rychlost a zrychlenı harmonickeho kmitanı(odvozenı pres kruznici)

v = ωym cos (ωt + ϕ0)

a = −ω2ym cos (ωt + ϕ0) = −ω2y

Amplitudyvm = ωym

am = ω2ym

Rychlost je maximalnı pri pruchodu rovnovaznou polohou,nulova v krajnıch polohach.Zrychlenı je maximalnı v krajnıch polohach, nulove vrovnovazne poloze.Zrychlenı je prımo umerne vychylce a ma opacny smer.

Kinematika kmitaveho pohybu

Harmonicka velicinalibovolna velicina, ktera ma sinusovy prubeh (napr. vychylka,rychlost, zrychlenı kmitaveho pohybu)

Fazovy rozdılRozdıl fazı dvou harmonickych velicin. Mohou se tykat ruznychvelicin u stejneho pohybu:

I mezi vychylkou a rychlostı je fazovy rozdıl π/2 (odvodit)

I mezi vychylkou a zrychlenım je fazovy rozdıl π (odvodit)

Mohou se take tykat ruznych pohybu: pri skladanı dvoukmitavych pohybu je pro vyslednou vychylku dulezity fazovyrozdıl vychylek obou kmitavych pohybu.

Poznamka – fazor a fazorovy diagram.

Skladanı kmitu

Skladanı kmitu v temze smeru

Princip superpozice pro kmityJestlize hmotny bod kona soucasne nekolik harmonickychkmitavych pohybu tehoz smeru s vychylkami y1, y2, . . ., yk , jevychylka vysledneho kmitanı

y = y1 + y2 + . . . + yk

(Obdobny vztah platı pro rychlost a zrychlenı.)

Skladanı kmitu v temze smeru

1. Skladanı izochronnıch kmitu (o stejne amplitude)izochronnı kmity – kmity stejne frekvence

y1 = ym sin(ωt + ϕ01)

y2 = ym sin(ωt + ϕ02)

Kmity majı stejnou amplitudu a stejnou (uhlovou) frekvenci,mohou mıt ale rozlisnou pocatecnı fazi. Na fazovem rozdıluzavisı amplituda vyslednych kmitu.

y = y1 + y2 = 2ym cosϕ01 − ϕ02

2sin

(ωt +

ϕ01 + ϕ02

2

)

Skladanı kmitu v temze smeru

2. Skladanı izochronnıch kmitu (obecne)Obecneji platı: Skladanım izochronnıch kmitu stejnehosmeru vznika harmonicke kmitanı teze frekvence. Jehoamplituda zavisı na fazovem rozdılu obou slozek.

I 1. specialnı prıpad: ∆ϕ = 2kπ (kmity majı stejnou fazi)

ym = ym1 + ym2

I 2. specialnı prıpad: ∆ϕ = (2k + 1)π (majı opacnou fazi)

ym = |ym1 − ym2|

Pri rovnosti amplitud dojde k vzajemnemu utlumenı.

Skladanı kmitu v temze smeru

Skladanı neizochronnıch kmituVzdy vznika pohyb, ktery nenı harmonicky.

I v prıpade, ze frekvence jsou soudelne, vznika pohyb,kteremu rıkame slozene kmitanı. (graf)

I v prıpade, ze frekvence jsou nesoudelne, vznikaneperiodicky pohyb

I v prıpade, ze frekvence jsou si velmi blızke (a amplitudastejna), vznikajı razy.

y1 + y2 = ym sin(ω1t) + ym sin(ω2t) =

= 2ym cos

(ω1 − ω2

2t

)sin

(ω1 + ω2

2t

)Graf! Vyznam pro merenı frekvencı. Zazneje.

Skladanı kolmych kmitu

Skladanı kolmych kmituVznikajı obrazce.

I stejne frekvence (usecka, elipsa, kruznice)

I soudelne frekvence (Lissajousovy krivky)

I nesoudelne frekvence (otevrene krivky)

Dynamikaharmonickeho kmitanı

Dynamika kmitaveho pohybu

Zrychlenı...

a = −ω2y

... odpovıda sıla

F = −mω2y

I pohybova rovnice oscilatoru

I sıla je prımo umerna vychylce a je oproti nı opacneorientovana

Dynamika kmitaveho pohybu

Kazda sıla, jejız velikost je prımo umerna vychylce avuci nı opacne orientovana, zpusobuje harmonickekmitanı telesa.

I nucene kmitanı (sıla je dana zvnejsku)

I vlastnı kmitanı (sıla je urcena parametry oscilatoru)

Jak urcit (uhlovou) frekvenci vlastnıch kmitu?

F = −mω2y

I Jestlize umıme urcit sılu v prıpade konkretnıho oscilatoruz jeho parametru (tuhost pruziny, delka kyvadla, ...), pakumıme take urcit frekvenci vlastnıch kmitu.

Dynamika kmitaveho pohybu

Pruzina (obrazek!)Po zavesenı zavazı o hmotnosti m se pruzina prodlouzı o delku∆l a zustane v klidu. Prodlouzenı uvazujeme elasticke, podleHookova zakona tedy prımo umerne pusobıcı sıle. Platı tedyF = k∆l a F + FG = 0, tj.

k∆l − mg = 0.

Pri malem vychylenı y z rovnovazne polohy pusobı na zavazısıla

F = Fp + FG = k(∆l − y) − mg = −ky

(Pozor na znamenka!!)

I k je tzv. tuhost pruziny

Dynamika kmitaveho pohybu

PruzinaZjistili jsme, ze pokud k je tuhost pruziny a m hmotnostzaveseneho telesa (a vlastnı hmotnost pruziny zanedbavame),pak

F = −ky (pruzina)

F = −mω20y (kmitanı)

odkud vyplyva, ze uhlova frekvence (vlastnıch) kmitu je

ω20 =

k

m

Odtud

ω0 =

√k

m, f0 =

1

2π

√k

m, T = 2π

√m

k

Dynamika kmitaveho pohybu

Jestlize je na (nehmotnou) nit’ delky l zaveseno zavazı a(malo) vychyleno z rovnovazne polohy, zacne konat (priblizne)harmonicky kmitavy pohyb. Vychylka nesmı presahnout uhelcca 5◦.

Matematicke kyvadlo (obrazek a odvozenı!)

ω0 =

√g

l, f0 =

1

2π

√g

l, T = 2π

√l

g

UlohaUrcete delku sekundoveho kyvadla. (Doba kyvu = polovicnıperioda = 1 s.)

Poznamka o fyzikalnıch kyvadlech.

Dynamika kmitaveho pohybu

Uloha – jiny typ oscilatoruUrcete uhlovou frekvenci (frekvenci, periodu) malych kmituhomogennı krychlove boje o hrane a plovoucı ve vode, jestlizema morska voda hustotu %.

Premeny energie

Premeny energie

I kmity netlumene(idealnı nebo s kompenzacı odporovych sil)

I kmity tlumene

Premeny energie pri netlumenem vlastnım kmitanı

I kineticka energie oscilatoru Ek = 12mv 2

I maximalnı v rovnovazne polozeI nulova v krajnıch polohach

I potencialnı energie oscilatoru Ep = 12ky 2

Je rovna praci potrebne na prekonanı sıly pusobıcıkmitavy pohyb pri vychylenı z rovnovazne polohy ovychylku y . (odvozenı z grafu!)

I maximalnı v krajnıch polohachI nulova v rovnovazne poloze

Premeny energieCelkova mechanicka energie vlastnıch kmituoscilatoru

E = Ep + Ek

E =1

2ky 2 +

1

2mv 2

V krajnı poloze je

E = Ep =1

2ky 2

m

V rovnovazne poloze je

E = Ek =1

2mv 2

m

Pri netlumenem kmitanı se mechanicka energie zachovava vprubehu celeho deje (vypocet!)

Premeny energie

Tlumene kmity

I zmensuje se mechanicka energie oscilatoru

I prodluzuje se perioda kmitu

Pri prılis velkem tlumenı telesu nemusı udelat ani jeden kmit.Pri tzv. kritickem tlumenı se z krajnı polohy vratı dorovnovazne a zustane tam. (Zavıranı dverı.)

Nucene kmity.Rezonance

Nucene kmity. Rezonance

Nucene harmonicke kmitanı

I je zpusobeno vnejsı silou, ktera ma harmonicky prubeh

F = Fm sin(ωt)

I oscilator pak vzdy kmita s uhlovou frekvencı ωvnejsıho pusobenı

I tato frekvence ω muze byt v zasade libovolna

I obecne je tedy frekvence ω ruzna od frekvence vlastnıchkmitu ω0

I nucene kmitanı je vzdy netlumene

Vlastnosti kmitajıcıho objektu neovlivnı frekvenci, ale zatovyznamne ovlivnujı amplitudu nucenych kmitu.

Nucene kmity. Rezonance

Rezonance

I v prıpade, ze nutıme kmitat mechanicky oscilator, skladajıse jeho vlastnı kmity a nucene kmity

I rezonancnı krivka – zavislost amplitudy vyslednychkmitu na frekvenci nucenych kmitu

I rezonance – pokud ω = ω0 (frekvence nucenych avlastnıch kmitu se shoduje), dochazı k velkemu zvetsenıamplitudy (teoreticky neomezenemu, ovsem realne nikolivdıky vsudyprıtomnemu tlumenı).

Nucene kmity. Rezonance

Rezonance (matematicke oduvodnenı)

ma = −ky + Fm sin ωt

−mω2ym sin ωt = −kym sin ωt + Fm sin ωt

Odtud vyplyva, ze

ym =Fm

m

1

ω20 − ω2

Nucene kmity. Rezonance

Vyznam rezonanceMalou, periodicky pusobıcı silou, lze dosahnout velkehozvetsenı amplitudy kmitu.

Houpacka – lze ji znacne rozhoupat i malymi presuny teziste.Poznamka o sprazenych kyvadlech (rezonance jakomechanismus prenosu energie).Hudebnı nastroje.Elektricka rezonance.Nezadoucı rezonance (turbıny, mosty, ...)