Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannuv integrálLineární algebraTayloruv polynomExtrémy funkcí více promenných
Matematika III Program
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannuv integrál
Lineární algebraTayloruv polynomExtrémy funkcí více promenných
Matematika III Program
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannuv integrálLineární algebra
Tayloruv polynomExtrémy funkcí více promenných
Matematika III Program
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannuv integrálLineární algebraTayloruv polynom
Extrémy funkcí více promenných
Matematika III Program
Matematika III
Primitivní funkce a Riemannuv integrálLineární algebraTayloruv polynomExtrémy funkcí více promenných
Matematika III Program
VIII.2. Primitivní funkce
VIII.2. Primitivní funkce
DefiniceNecht’ funkce f je definována na neprázdném otevrenémintervalu I. Rekneme, že funkce F : I → R je primitivnífunkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x ∈ I existujeF ′(x) a platí F ′(x) = f (x).
Veta 1 (jednoznacnost primitivní funkce)Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f naotevreném intervalu I. Pak existuje c ∈ R tak, žeF (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
VIII.2. Primitivní funkce
DefiniceNecht’ funkce f je definována na neprázdném otevrenémintervalu I. Rekneme, že funkce F : I → R je primitivnífunkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x ∈ I existujeF ′(x) a platí F ′(x) = f (x).
Veta 1 (jednoznacnost primitivní funkce)Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f naotevreném intervalu I. Pak existuje c ∈ R tak, žeF (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
VIII.2. Primitivní funkce
DefiniceNecht’ funkce f je definována na neprázdném otevrenémintervalu I. Rekneme, že funkce F : I → R je primitivnífunkce k f na intervalu I, jestliže pro každé x ∈ I existujeF ′(x) a platí F ′(x) = f (x).
Veta 1 (jednoznacnost primitivní funkce)Necht’ F a G jsou primitivní funkce k funkci f naotevreném intervalu I. Pak existuje c ∈ R tak, žeF (x) = G(x) + c pro každé x ∈ I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
PoznámkaMnožinu všech primitivních funkcí k funkci f znacímesymbolem ∫
f (x) dx .
Skutecnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme∫f (x) dx c
= F (x), x ∈ I.
Veta 2 (o existenci primitivní funkce)Necht’ f je spojitá funkce na neprázdném otevrenémintervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
PoznámkaMnožinu všech primitivních funkcí k funkci f znacímesymbolem ∫
f (x) dx .
Skutecnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme∫f (x) dx c
= F (x), x ∈ I.
Veta 2 (o existenci primitivní funkce)Necht’ f je spojitá funkce na neprázdném otevrenémintervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
PoznámkaMnožinu všech primitivních funkcí k funkci f znacímesymbolem ∫
f (x) dx .
Skutecnost, že F je primitivní funkcí k f na I zapisujeme∫f (x) dx c
= F (x), x ∈ I.
Veta 2 (o existenci primitivní funkce)Necht’ f je spojitá funkce na neprázdném otevrenémintervalu I. Pak f má na I primitivní funkci.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Tvrzení 3 (linearita neurcitého integrálu)Necht’ funkce f má na otevreném intervalu I primitivnífunkci F , funkce g má na I primitivní funkci G a α, β ∈ R.Potom funkce αF + βG je primitivní funkcí k αf + βg na I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Primitivní funkce k nekterým duležitým funkcím
∫xn dx c
=xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c
=xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),∫
1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫
ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Primitivní funkce k nekterým duležitým funkcím∫xn dx c
=xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,
∫xα dx c
=xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),∫
1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫
ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Primitivní funkce k nekterým duležitým funkcím∫xn dx c
=xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c
=xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},
∫1x
dx c= log x na (0,+∞),∫
1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫
ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Primitivní funkce k nekterým duležitým funkcím∫xn dx c
=xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c
=xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),
∫1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫
ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Primitivní funkce k nekterým duležitým funkcím∫xn dx c
=xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c
=xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),∫
1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),
∫ex dx c
= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Primitivní funkce k nekterým duležitým funkcím∫xn dx c
=xn+1
n + 1na R pro n ∈ N ∪ {0};
na (−∞,0) a na (0,∞) pro n ∈ Z, n < −1,∫xα dx c
=xα+1
α + 1na (0,+∞) pro α ∈ R \ {−1},∫
1x
dx c= log x na (0,+∞),∫
1x
dx c= log(−x) na (−∞,0),∫
ex dx c= ex na R,
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce∫sin x dx c
= − cos x na R,
∫cos x dx c
= sin x na R,∫1
cos2 xdx c
= tg x na každém z intervalu
(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalu
(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1
1 + x2 dx c= arctg x na R,∫
1√1− x2
dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce∫sin x dx c
= − cos x na R,∫cos x dx c
= sin x na R,
∫1
cos2 xdx c
= tg x na každém z intervalu
(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalu
(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1
1 + x2 dx c= arctg x na R,∫
1√1− x2
dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce∫sin x dx c
= − cos x na R,∫cos x dx c
= sin x na R,∫1
cos2 xdx c
= tg x na každém z intervalu
(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,
∫1
sin2 xdx c
= − cotg x na každém z intervalu
(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1
1 + x2 dx c= arctg x na R,∫
1√1− x2
dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce∫sin x dx c
= − cos x na R,∫cos x dx c
= sin x na R,∫1
cos2 xdx c
= tg x na každém z intervalu
(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalu
(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,
∫1
1 + x2 dx c= arctg x na R,∫
1√1− x2
dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce∫sin x dx c
= − cos x na R,∫cos x dx c
= sin x na R,∫1
cos2 xdx c
= tg x na každém z intervalu
(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalu
(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1
1 + x2 dx c= arctg x na R,
∫1√
1− x2dx c
= arcsin x na (−1,1),∫− 1√
1− x2dx c
= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce∫sin x dx c
= − cos x na R,∫cos x dx c
= sin x na R,∫1
cos2 xdx c
= tg x na každém z intervalu
(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalu
(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1
1 + x2 dx c= arctg x na R,∫
1√1− x2
dx c= arcsin x na (−1,1),
∫− 1√
1− x2dx c
= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce∫sin x dx c
= − cos x na R,∫cos x dx c
= sin x na R,∫1
cos2 xdx c
= tg x na každém z intervalu
(−π2 + kπ, π2 + kπ), k ∈ Z,∫
1sin2 x
dx c= − cotg x na každém z intervalu
(kπ, (k + 1)π), k ∈ Z,∫1
1 + x2 dx c= arctg x na R,∫
1√1− x2
dx c= arcsin x na (−1,1),∫
− 1√1− x2
dx c= arccos x na (−1,1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 4 (o substituci)(i) Necht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Necht’ je ϕ
funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu(a,b), která má v každém bode t ∈ (α, β) vlastníderivaci. Pak∫
f(ϕ(t)
)ϕ′(t) dt c
= F(ϕ(t)
)na (α, β).
(ii) Necht’ funkce ϕ má v každém bode intervalu (α, β)vlastní derivaci, která je bud’ všude kladná, nebovšude záporná, a ϕ
((α, β)
)= (a,b). Necht’ funkce f
je definovaná na intervalu (a,b) a platí∫f(ϕ(t)
)ϕ′(t) dt c
= G(t) na (α, β).Pak ∫
f (x) dx c= G
(ϕ−1(x)
)na (a,b).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 4 (o substituci)(i) Necht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Necht’ je ϕ
funkce definovaná na (α, β) s hodnotami v intervalu(a,b), která má v každém bode t ∈ (α, β) vlastníderivaci. Pak∫
f(ϕ(t)
)ϕ′(t) dt c
= F(ϕ(t)
)na (α, β).
(ii) Necht’ funkce ϕ má v každém bode intervalu (α, β)vlastní derivaci, která je bud’ všude kladná, nebovšude záporná, a ϕ
((α, β)
)= (a,b). Necht’ funkce f
je definovaná na intervalu (a,b) a platí∫f(ϕ(t)
)ϕ′(t) dt c
= G(t) na (α, β).Pak ∫
f (x) dx c= G
(ϕ−1(x)
)na (a,b).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 5 (integrace per partes)Necht’ I je neprázdný otevrený interval, funkce f a g jsouspojité na I, F je primitivní funkce k f na I a G je primitivnífunkce ke g na I. Pak platí∫
g(x)F (x) dx = G(x)F (x)−∫
G(x)f (x) dx na I.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Integrace racionálních funkcí
DefiniceRacionální funkcí budeme rozumet podíl dvou polynomu,kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule.
Veta („základní veta algebry“)Necht’ n ∈ N, a0, . . . ,an ∈ C, an 6= 0. Pak rovnice
anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0
má alespon jedno rešení z ∈ C.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Integrace racionálních funkcí
DefiniceRacionální funkcí budeme rozumet podíl dvou polynomu,kde polynom ve jmenovateli není identicky roven nule.
Veta („základní veta algebry“)Necht’ n ∈ N, a0, . . . ,an ∈ C, an 6= 0. Pak rovnice
anzn + an−1zn−1 + · · ·+ a1z + a0 = 0
má alespon jedno rešení z ∈ C.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Lemma 6 (o delení polynomu)Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexnímikoeficienty), pricemž polynom Q není identicky rovennule. Pak existují jednoznacne urcené polynomy R a Zsplnující:
Polynom Z je nulový nebo má stupen menší nežstupen Q.P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x ∈ C.
Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálnékoeficienty.
DusledekJe-li P polynom a λ ∈ C je jeho koren (tj. P(λ) = 0), pakexistuje polynom R, pro který platí P(x) = (x − λ)R(x)pro x ∈ C.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Lemma 6 (o delení polynomu)Necht’ P a Q jsou dva polynomy (s komplexnímikoeficienty), pricemž polynom Q není identicky rovennule. Pak existují jednoznacne urcené polynomy R a Zsplnující:
Polynom Z je nulový nebo má stupen menší nežstupen Q.P(x) = R(x)Q(x) + Z (x) pro všechna x ∈ C.
Pokud mají P a Q reálné koeficienty, mají i R a Z reálnékoeficienty.
DusledekJe-li P polynom a λ ∈ C je jeho koren (tj. P(λ) = 0), pakexistuje polynom R, pro který platí P(x) = (x − λ)R(x)pro x ∈ C.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 7 (o rozkladu na korenové cinitele)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupne n.Pak existují císla x1, . . . , xn ∈ C taková, že
P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.
DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Rekneme, že λ jekoren násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splnuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C. (Tj. násobnost korene λ je rovna poctu výskytucísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z vety 7.)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 7 (o rozkladu na korenové cinitele)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupne n.Pak existují císla x1, . . . , xn ∈ C taková, že
P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.
DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Rekneme, že λ jekoren násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splnuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C.
(Tj. násobnost korene λ je rovna poctu výskytucísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z vety 7.)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 7 (o rozkladu na korenové cinitele)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupne n.Pak existují císla x1, . . . , xn ∈ C taková, že
P(x) = an(x − x1) · · · (x − xn), x ∈ R.
DefiniceNecht’ P je polynom, λ ∈ C a k ∈ N. Rekneme, že λ jekoren násobnosti k polynomu P, jestliže existuje polynomR, který splnuje R(λ) 6= 0 a P(x) = (x − λ)kR(x) prox ∈ C. (Tj. násobnost korene λ je rovna poctu výskytucísla λ v n-tici x1, x2, . . . , xn z vety 7.)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Tvrzení 8 (o korenech polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P je polynom s reálnými koeficienty a z ∈ C jekoren P násobnosti k ∈ N. Pak i komplexne sdruženécíslo z je korenem P násobnosti k.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 9 (o rozkladu polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupne n sreálnými koeficienty. Pak existují reálná císla x1, . . . , xk ,α1, . . . , αl , β1, . . . , βl a prirozená císla p1, . . . ,pk , q1, . . . ,ql
taková, žeP(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1
· · · (x2 + αlx + βl)ql ,
žádné dva z mnohoclenu x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají spolecnýkoren,mnohocleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný koren.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 9 (o rozkladu polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupne n sreálnými koeficienty. Pak existují reálná císla x1, . . . , xk ,α1, . . . , αl , β1, . . . , βl a prirozená císla p1, . . . ,pk , q1, . . . ,ql
taková, žeP(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1
· · · (x2 + αlx + βl)ql ,
žádné dva z mnohoclenu x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají spolecnýkoren,
mnohocleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný koren.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 9 (o rozkladu polynomu s reálnýmikoeficienty)Necht’ P(x) = anxn + · · ·+ a1x + a0 je polynom stupne n sreálnými koeficienty. Pak existují reálná císla x1, . . . , xk ,α1, . . . , αl , β1, . . . , βl a prirozená císla p1, . . . ,pk , q1, . . . ,ql
taková, žeP(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1
· · · (x2 + αlx + βl)ql ,
žádné dva z mnohoclenu x − x1, x − x2, . . . , x − xk ,x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemají spolecnýkoren,mnohocleny x2 + α1x + β1, . . . , x2 + αlx + βl nemajížádný reálný koren.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 10 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupen P je ostre menší než stupen Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1
· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z vety 9.
Pak existují jednoznacne urcená reálná císlaA1
1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak
1, . . . ,Akpk
,B1
1 ,C11 , . . . ,B
1q1,C1
q1, . . . ,B l
1,Cl1, . . . ,B
lql,C l
qltaková, že platí
P(x)Q(x) =
A11
(x−x1)+ · · ·+ A1
p1(x−x1)
p1 + · · ·+ Ak1
(x−xk )+ · · ·+ Ak
pk(x−xk )
pk
+B1
1x+C11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B1
q1x+C1
q1(x2+α1x+β1)
q1 + · · ·
+Bl
1x+C l1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ Bl
qlx+C l
ql(x2+αl x+βl )
ql .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 10 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupen P je ostre menší než stupen Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1
· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z vety 9.
Pak existují jednoznacne urcená reálná císlaA1
1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak
1, . . . ,Akpk
,B1
1 ,C11 , . . . ,B
1q1,C1
q1, . . . ,B l
1,Cl1, . . . ,B
lql,C l
qltaková, že platí
P(x)Q(x) =
A11
(x−x1)+ · · ·+ A1
p1(x−x1)
p1 +
· · ·+ Ak1
(x−xk )+ · · ·+ Ak
pk(x−xk )
pk
+B1
1x+C11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B1
q1x+C1
q1(x2+α1x+β1)
q1 + · · ·
+Bl
1x+C l1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ Bl
qlx+C l
ql(x2+αl x+βl )
ql .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 10 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupen P je ostre menší než stupen Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1
· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z vety 9.
Pak existují jednoznacne urcená reálná císlaA1
1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak
1, . . . ,Akpk
,B1
1 ,C11 , . . . ,B
1q1,C1
q1, . . . ,B l
1,Cl1, . . . ,B
lql,C l
qltaková, že platí
P(x)Q(x) =
A11
(x−x1)+ · · ·+ A1
p1(x−x1)
p1 + · · ·+ Ak1
(x−xk )+ · · ·+ Ak
pk(x−xk )
pk
+
B11x+C1
1(x2+α1x+β1)
+ · · ·+ B1q1
x+C1q1
(x2+α1x+β1)q1 + · · ·
+Bl
1x+C l1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ Bl
qlx+C l
ql(x2+αl x+βl )
ql .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 10 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupen P je ostre menší než stupen Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1
· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z vety 9.
Pak existují jednoznacne urcená reálná císlaA1
1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak
1, . . . ,Akpk
,B1
1 ,C11 , . . . ,B
1q1,C1
q1, . . . ,B l
1,Cl1, . . . ,B
lql,C l
qltaková, že platí
P(x)Q(x) =
A11
(x−x1)+ · · ·+ A1
p1(x−x1)
p1 + · · ·+ Ak1
(x−xk )+ · · ·+ Ak
pk(x−xk )
pk
+B1
1x+C11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B1
q1x+C1
q1(x2+α1x+β1)
q1 + · · ·
+
Bl1x+C l
1(x2+αl x+βl )
+ · · ·+ Blql
x+C lql
(x2+αl x+βl )ql .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.2. Primitivní funkce
Veta 10 (o rozkladu na parciální zlomky)Necht’ P,Q jsou polynomy s reálnými koeficienty takové,že stupen P je ostre menší než stupen Q aQ(x) = an(x − x1)p1 · · · (x − xk )pk (x2 + α1x + β1)q1
· · · (x2 + αlx + βl)ql je rozklad polynomu Q(x) z vety 9.
Pak existují jednoznacne urcená reálná císlaA1
1, . . . ,A1p1, . . . ,Ak
1, . . . ,Akpk
,B1
1 ,C11 , . . . ,B
1q1,C1
q1, . . . ,B l
1,Cl1, . . . ,B
lql,C l
qltaková, že platí
P(x)Q(x) =
A11
(x−x1)+ · · ·+ A1
p1(x−x1)
p1 + · · ·+ Ak1
(x−xk )+ · · ·+ Ak
pk(x−xk )
pk
+B1
1x+C11
(x2+α1x+β1)+ · · ·+ B1
q1x+C1
q1(x2+α1x+β1)
q1 + · · ·
+Bl
1x+C l1
(x2+αl x+βl )+ · · ·+ Bl
qlx+C l
ql(x2+αl x+βl )
ql .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Riemannuv integrál – opakování
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Riemannuv integrál – opakování
2.56
1.34
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1)
S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Riemannuv integrál – opakování
2.56 1.34
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Riemannuv integrál – opakování
2.15 1.84
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Riemannuv integrál – opakování
2.08 1.92
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Riemannuv integrál – opakování
2.08 1.92
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
inf S(f ,D)?= sup S(f ,D)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Riemannuv integrál – opakování
2.08 1.92
S(f ,D) =n∑
j=1
Mj(xj − xj−1) S(f ,D) =n∑
j=1
mj(xj − xj−1)
∫ b
af (x) dx := inf S(f ,D) = sup S(f ,D)
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Lemma 11 (Spojitost Riemannova integrálu)Necht’ a, b ∈ R, a < b a funkce f má Riemannuv integrálna 〈a,b〉. Pak∫ b
af (x) dx = lim
y→b−
∫ y
af (x) dx = lim
y→a+
∫ b
yf (x) dx .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Lemma 12 (Korektnost zobecneného RI)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b a c ∈ (a,b). Necht’ funkce f máRiemannuv integrál na každém podintervalu〈y , z〉 ⊂ (a,b) a výraz
limy→a+
∫ c
yf (x) dx + lim
z→b−
∫ z
cf (x) dx (1)
má smysl (tj. limity existují a jejich soucet má smysl).
Pakpro každé d ∈ (a,b) má výraz
limy→a+
∫ d
yf (x) dx + lim
z→b−
∫ z
df (x) dx
smysl a je roven výrazu (1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Lemma 12 (Korektnost zobecneného RI)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b a c ∈ (a,b). Necht’ funkce f máRiemannuv integrál na každém podintervalu〈y , z〉 ⊂ (a,b) a výraz
limy→a+
∫ c
yf (x) dx + lim
z→b−
∫ z
cf (x) dx (1)
má smysl (tj. limity existují a jejich soucet má smysl).Pakpro každé d ∈ (a,b) má výraz
limy→a+
∫ d
yf (x) dx + lim
z→b−
∫ z
df (x) dx
smysl a je roven výrazu (1).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
DefiniceNecht’ f : (a,b)→ R, a, b ∈ R∗, a < b a necht’ c ∈ (a,b).Zobecneným Riemannovým integrálem od a do b zfunkce f rozumíme∫ b
af (x) dx := lim
y→a+
∫ c
yf (x) dx + lim
z→b−
∫ z
cf (x) dx , (2)
pokud Riemannovy integrály na pravé strane existují,limity existují a jejich soucet má smysl.
Poznámka1. Definice nezávisí na volbe c ∈ (a,b) (dle Lemmatu 12).2. Pokud má funkce Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pak má i zobecnený Riemannuv integrál na (a,b) aoba integrály jsou si rovny (dusledek lemmatu 11).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
DefiniceNecht’ f : (a,b)→ R, a, b ∈ R∗, a < b a necht’ c ∈ (a,b).Zobecneným Riemannovým integrálem od a do b zfunkce f rozumíme∫ b
af (x) dx := lim
y→a+
∫ c
yf (x) dx + lim
z→b−
∫ z
cf (x) dx , (2)
pokud Riemannovy integrály na pravé strane existují,limity existují a jejich soucet má smysl.
Poznámka1. Definice nezávisí na volbe c ∈ (a,b) (dle Lemmatu 12).
2. Pokud má funkce Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pak má i zobecnený Riemannuv integrál na (a,b) aoba integrály jsou si rovny (dusledek lemmatu 11).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
DefiniceNecht’ f : (a,b)→ R, a, b ∈ R∗, a < b a necht’ c ∈ (a,b).Zobecneným Riemannovým integrálem od a do b zfunkce f rozumíme∫ b
af (x) dx := lim
y→a+
∫ c
yf (x) dx + lim
z→b−
∫ z
cf (x) dx , (2)
pokud Riemannovy integrály na pravé strane existují,limity existují a jejich soucet má smysl.
Poznámka1. Definice nezávisí na volbe c ∈ (a,b) (dle Lemmatu 12).2. Pokud má funkce Riemannuv integrál na intervalu〈a,b〉, pak má i zobecnený Riemannuv integrál na (a,b) aoba integrály jsou si rovny (dusledek lemmatu 11).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Poznámka3. Zobecnený Riemannuv integrál muže být roven +∞nebo −∞.
Pokud je tomu tak, ríkáme, že integrál∫ b
a fdiverguje. Pokud má konecnou hodnotu, ríkáme, žekonverguje. Pokud výraz na pravé strane v 2 nemá smysl,ríkáme, že funkce f nemá zobecnený Riemannuv integrálod a do b.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Poznámka3. Zobecnený Riemannuv integrál muže být roven +∞nebo −∞. Pokud je tomu tak, ríkáme, že integrál
∫ ba f
diverguje.
Pokud má konecnou hodnotu, ríkáme, žekonverguje. Pokud výraz na pravé strane v 2 nemá smysl,ríkáme, že funkce f nemá zobecnený Riemannuv integrálod a do b.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Poznámka3. Zobecnený Riemannuv integrál muže být roven +∞nebo −∞. Pokud je tomu tak, ríkáme, že integrál
∫ ba f
diverguje. Pokud má konecnou hodnotu, ríkáme, žekonverguje.
Pokud výraz na pravé strane v 2 nemá smysl,ríkáme, že funkce f nemá zobecnený Riemannuv integrálod a do b.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Poznámka3. Zobecnený Riemannuv integrál muže být roven +∞nebo −∞. Pokud je tomu tak, ríkáme, že integrál
∫ ba f
diverguje. Pokud má konecnou hodnotu, ríkáme, žekonverguje. Pokud výraz na pravé strane v 2 nemá smysl,ríkáme, že funkce f nemá zobecnený Riemannuv integrálod a do b.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Tvrzení 13 (linearita zobecneného RI)Necht’ f a g jsou funkce mající zobecnený RI na intervalu(a,b), a, b ∈ R∗, a < b a necht’ α ∈ R. Potom
(i) funkce αf má zobecnený RI na (a,b) a platí∫ b
aαf = α
∫ b
af ,
(ii) funkce f + g má zobecnený RI na (a,b) a platí∫ b
af + g =
∫ b
af +
∫ b
ag,
pokud je soucet na pravé strane definován.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Tvrzení 13 (linearita zobecneného RI)Necht’ f a g jsou funkce mající zobecnený RI na intervalu(a,b), a, b ∈ R∗, a < b a necht’ α ∈ R. Potom
(i) funkce αf má zobecnený RI na (a,b) a platí∫ b
aαf = α
∫ b
af ,
(ii) funkce f + g má zobecnený RI na (a,b) a platí∫ b
af + g =
∫ b
af +
∫ b
ag,
pokud je soucet na pravé strane definován.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Tvrzení 14 (zobecnený RI a nerovnosti)Necht’ a,b ∈ R∗, a < b, a necht’ f a g jsou funkce majícízobecnený Riemannuv integrál na intervalu (a,b). Potomplatí:
(i) Je-li f (x) ≤ g(x) pro každé x ∈ (a,b), pak∫ b
af ≤
∫ b
ag.
(ii) Funkce |f | má zobecnený RI na (a,b) a platí∣∣∣∣∫ b
af∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a|f |.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Tvrzení 14 (zobecnený RI a nerovnosti)Necht’ a,b ∈ R∗, a < b, a necht’ f a g jsou funkce majícízobecnený Riemannuv integrál na intervalu (a,b). Potomplatí:
(i) Je-li f (x) ≤ g(x) pro každé x ∈ (a,b), pak∫ b
af ≤
∫ b
ag.
(ii) Funkce |f | má zobecnený RI na (a,b) a platí∣∣∣∣∫ b
af∣∣∣∣ ≤ ∫ b
a|f |.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Tvrzení 15 (zobecnený RI a podintervaly)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b, funkce f má zobecnený RI naintervalu (a,b) a c ∈ (a,b). Pak funkce f má zobecnenýRI na intervalech (a, c) a (c,b) a platí∫ b
af =
∫ c
af +
∫ b
cf .
PoznámkaPOZOR! Pro zobecnené RI (na rozdíl od RI) neplatí:Existují-li zobecnené RI
∫ ca f ,
∫ bc f , pak existuje zobecnený
RI∫ b
a f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Tvrzení 15 (zobecnený RI a podintervaly)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b, funkce f má zobecnený RI naintervalu (a,b) a c ∈ (a,b). Pak funkce f má zobecnenýRI na intervalech (a, c) a (c,b) a platí∫ b
af =
∫ c
af +
∫ b
cf .
PoznámkaPOZOR! Pro zobecnené RI (na rozdíl od RI) neplatí:Existují-li zobecnené RI
∫ ca f ,
∫ bc f , pak existuje zobecnený
RI∫ b
a f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 16 (Newtonuv–Leibnizuv vzorec)Necht’ f , je spojitá na intervalu (a,b), a, b ∈ R∗, a < b, anecht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Integrál∫ b
a f (x) dx existuje, práve když existují limity limx→a+ F (x),limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl.
V tomto prípade platí∫ b
af (x) dx = lim
x→b−F (x)− lim
x→a+F (x). (3)
Výraz na pravé strane v (3) znacíme [F ]ba.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 16 (Newtonuv–Leibnizuv vzorec)Necht’ f , je spojitá na intervalu (a,b), a, b ∈ R∗, a < b, anecht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Integrál∫ b
a f (x) dx existuje, práve když existují limity limx→a+ F (x),limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl.V tomto prípade platí∫ b
af (x) dx = lim
x→b−F (x)− lim
x→a+F (x). (3)
Výraz na pravé strane v (3) znacíme [F ]ba.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 16 (Newtonuv–Leibnizuv vzorec)Necht’ f , je spojitá na intervalu (a,b), a, b ∈ R∗, a < b, anecht’ F je primitivní funkce k f na (a,b). Integrál∫ b
a f (x) dx existuje, práve když existují limity limx→a+ F (x),limx→b− F (x) a jejich rozdíl má smysl.V tomto prípade platí∫ b
af (x) dx = lim
x→b−F (x)− lim
x→a+F (x). (3)
Výraz na pravé strane v (3) znacíme [F ]ba.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 17 (per partes pro urcitý integrál)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b a f a g mají na intervalu (a,b)spojitou první derivaci. Pak platí∫ b
af ′g = [fg]ba −
∫ b
afg′, (4)
pokud má výraz na pravé strane smysl.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 18 (substituce pro urcitý integrál)Necht’ a, b ∈ R∗, a < b a f je spojitá na (a,b). Necht’ α,β ∈ R∗, α < β a φ má na intervalu (α, β) spojitou prvníderivaci, je ryze monotónní a zobrazuje (α, β) na (a,b).Pak platí ∫ b
af (x) dx =
∫ β
α
f (φ(t))|φ′(t)| dt , (5)
pokud aspon jeden z integrálu existuje.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta (zavedení logaritmu)Existuje jediná funkce (znacíme ji log a nazýváme jiprirozeným logaritmem), která má tyto vlastnosti:(L1) Dlog = (0,+∞),(L2) funkce log je na (0,+∞) rostoucí,(L3) ∀x , y ∈ (0,+∞) : log xy = log x + log y,(L4) lim
x→1
log xx−1 = 1.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 19 (srovnávací kritérium pro integrály)Necht’ a, b ∈ R∗, funkce f , g splnují 0 ≤ f (x) ≤ g(x) provšechna x ∈ (a,b) a f je na (a,b) spojitá. Pokud
∫ ba g
konverguje, pak∫ b
a f konverguje.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 20 (limitní srovnávací kritérium)Necht’ f a g jsou spojité a nezáporné funkce na 〈a,b),b ∈ R∗ a existuje limita limx→b−
f (t)g(t) = c ∈ R∗.
Je-li c ∈ (0,+∞), pak konvergence∫ b
a f jeekvivalentní konvergenci
∫ ba g.
Je-li c = 0, pak z konvergence∫ b
a g plynekonvergence
∫ ba f .
Je-li c = +∞, pak z divergence∫ b
a g plynedivergence
∫ ba f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 20 (limitní srovnávací kritérium)Necht’ f a g jsou spojité a nezáporné funkce na 〈a,b),b ∈ R∗ a existuje limita limx→b−
f (t)g(t) = c ∈ R∗.
Je-li c ∈ (0,+∞), pak konvergence∫ b
a f jeekvivalentní konvergenci
∫ ba g.
Je-li c = 0, pak z konvergence∫ b
a g plynekonvergence
∫ ba f .
Je-li c = +∞, pak z divergence∫ b
a g plynedivergence
∫ ba f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 20 (limitní srovnávací kritérium)Necht’ f a g jsou spojité a nezáporné funkce na 〈a,b),b ∈ R∗ a existuje limita limx→b−
f (t)g(t) = c ∈ R∗.
Je-li c ∈ (0,+∞), pak konvergence∫ b
a f jeekvivalentní konvergenci
∫ ba g.
Je-li c = 0, pak z konvergence∫ b
a g plynekonvergence
∫ ba f .
Je-li c = +∞, pak z divergence∫ b
a g plynedivergence
∫ ba f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.3. Zobecnený Riemannuv integrál
Veta 21 (integrální kritérium konvergence rad)Necht’ f : (0,+∞)→ R je nezáporná, nerostoucí a spojitá.Rada
∑∞n=1 f (n) konverguje, práve když
∫ +∞1 f (x) dx
konverguje.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceNecht’ A je nejaký systém podmnožin Rn. Rekneme, že Aje σ-algebra, jestliže platí:
(i) ∅ ∈ A,(ii) je-li A ∈ A, pak také Rn \ A ∈ A,(iii) jsou-li A1,A2, . . . ∈ A, pak také
⋃∞j=1 Aj ∈ A.
DefiniceNecht’ A je σ-algebra podmnožin Rn. Zobrazeníµ : A → 〈0,+∞) ∪ {+∞} se nazývá míra, jestližeµ(∅) = 0, a jestliže je σ-aditivní, tj. pokud A1,A2, . . . ∈ Ajsou po dvou disjunktní, pak µ(
⋃∞j=1 Aj) =
∑∞j=1 µ(Aj).
Množinám z A se ríká meritelné (prípadne µ-meritelné)množiny.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceNecht’ A je nejaký systém podmnožin Rn. Rekneme, že Aje σ-algebra, jestliže platí:
(i) ∅ ∈ A,(ii) je-li A ∈ A, pak také Rn \ A ∈ A,(iii) jsou-li A1,A2, . . . ∈ A, pak také
⋃∞j=1 Aj ∈ A.
DefiniceNecht’ A je σ-algebra podmnožin Rn. Zobrazeníµ : A → 〈0,+∞) ∪ {+∞} se nazývá míra, jestližeµ(∅) = 0, a jestliže je σ-aditivní, tj. pokud A1,A2, . . . ∈ Ajsou po dvou disjunktní, pak µ(
⋃∞j=1 Aj) =
∑∞j=1 µ(Aj).
Množinám z A se ríká meritelné (prípadne µ-meritelné)množiny.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceNecht’ A je nejaký systém podmnožin Rn. Rekneme, že Aje σ-algebra, jestliže platí:
(i) ∅ ∈ A,(ii) je-li A ∈ A, pak také Rn \ A ∈ A,(iii) jsou-li A1,A2, . . . ∈ A, pak také
⋃∞j=1 Aj ∈ A.
DefiniceNecht’ A je σ-algebra podmnožin Rn. Zobrazeníµ : A → 〈0,+∞) ∪ {+∞} se nazývá míra, jestližeµ(∅) = 0, a jestliže je σ-aditivní, tj. pokud A1,A2, . . . ∈ Ajsou po dvou disjunktní, pak µ(
⋃∞j=1 Aj) =
∑∞j=1 µ(Aj).
Množinám z A se ríká meritelné (prípadne µ-meritelné)množiny.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 22Existuje práve jedna σ-algebra Λ na Rn a práve jednamíra λ na Λ mající následující vlastnosti:
(i) Λ obsahuje všechny otevrené podmnožiny Rn;(ii) jestliže A,B ∈ Λ, A ⊂ E ⊂ B, a λ(B \ A) = 0, pak
E ∈ Λ;(iii) je-li I = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉 ⊂ Rn, pak
λ(I) =∏n
j=1(bj − aj);(iv) λ je translacne invariantní, tj. λ(x + A) = λ(A) pro
každou A ∈ Λ a x ∈ Rn.
Míra λ z predchozí vety se nazývá Lebesgueova míraa množinám v Λ se ríká lebesgueovsky meritelnémnožiny.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 22Existuje práve jedna σ-algebra Λ na Rn a práve jednamíra λ na Λ mající následující vlastnosti:
(i) Λ obsahuje všechny otevrené podmnožiny Rn;(ii) jestliže A,B ∈ Λ, A ⊂ E ⊂ B, a λ(B \ A) = 0, pak
E ∈ Λ;(iii) je-li I = 〈a1,b1〉 × 〈a2,b2〉 × · · · × 〈an,bn〉 ⊂ Rn, pak
λ(I) =∏n
j=1(bj − aj);(iv) λ je translacne invariantní, tj. λ(x + A) = λ(A) pro
každou A ∈ Λ a x ∈ Rn.
Míra λ z predchozí vety se nazývá Lebesgueova míraa množinám v Λ se ríká lebesgueovsky meritelnémnožiny.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
PríkladPríklady lebesgueovsky meritelných množin:
otevrené a uzavrené množiny,konvexní množiny,konecné množiny,{xk ∈ Rn : k ∈ N}, tj. množina všech clenu nejaképosloupnosti v Rn.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
PríkladPríklady množin nulové míry v Rn:
konecné množiny,{xk ∈ Rn : k ∈ N}, tj. množina všech clenu nejaképosloupnosti v Rn,nadroviny v Rn,grafy spojitých funkcí z Rn−1 do R,hranice konvexních množin,Cantorovo diskontinuum v R.
Je-li V (x), x ∈ Rn výroková forma, pak ríkáme, že V (x)platí pro „skoro všechna x “ nebo „skoro všude“, jestližeexistuje množina E nulové míry taková, že∀x ∈ Rn \ E : V (x).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
PríkladPríklady množin nulové míry v Rn:
konecné množiny,{xk ∈ Rn : k ∈ N}, tj. množina všech clenu nejaképosloupnosti v Rn,nadroviny v Rn,grafy spojitých funkcí z Rn−1 do R,hranice konvexních množin,Cantorovo diskontinuum v R.
Je-li V (x), x ∈ Rn výroková forma, pak ríkáme, že V (x)platí pro „skoro všechna x “ nebo „skoro všude“, jestližeexistuje množina E nulové míry taková, že∀x ∈ Rn \ E : V (x).
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefinicePro A ⊂ Rn definujeme charakteristickou funkcimnožiny A takto:
χA(x) =
{1 x ∈ A,0 x ∈ Rn \ A.
Necht’ A1, . . . ,Ak ⊂ Rn a c1, . . . , ck ∈ R. Funkci tvaru∑kj=1 cjχAj nazýváme jednoduchou funkcí. Jsou-li navíc
A1, . . . ,Ak ∈ Λ, pak funkci∑k
j=1 cjχAj nazývámejednoduchou meritelnou funkcí.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefinicePro A ⊂ Rn definujeme charakteristickou funkcimnožiny A takto:
χA(x) =
{1 x ∈ A,0 x ∈ Rn \ A.
Necht’ A1, . . . ,Ak ⊂ Rn a c1, . . . , ck ∈ R. Funkci tvaru∑kj=1 cjχAj nazýváme jednoduchou funkcí.
Jsou-li navícA1, . . . ,Ak ∈ Λ, pak funkci
∑kj=1 cjχAj nazýváme
jednoduchou meritelnou funkcí.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefinicePro A ⊂ Rn definujeme charakteristickou funkcimnožiny A takto:
χA(x) =
{1 x ∈ A,0 x ∈ Rn \ A.
Necht’ A1, . . . ,Ak ⊂ Rn a c1, . . . , ck ∈ R. Funkci tvaru∑kj=1 cjχAj nazýváme jednoduchou funkcí. Jsou-li navíc
A1, . . . ,Ak ∈ Λ, pak funkci∑k
j=1 cjχAj nazývámejednoduchou meritelnou funkcí.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceZobrazení f : Rn → R∗ nazýváme numerickou funkcí.
Rekneme, že numerická funkce f je meritelná, jestližeexistuje posloupnost jednoduchých meritelných funkcí{fj}∞j=1 taková, že pro všechna x ∈ Rn platílimj→∞ fj(x) = f (x).
DefiniceJe-li {fj}∞j=1 posloupnost numerických funkcí, rekneme ženumerická funkce f je bodovou limitou posloupnosti {fj},jestliže pro každé x ∈ Rn platí limj→∞ fj(x) = f (x).Znacíme limj→∞ fj = f nebo fj → f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceZobrazení f : Rn → R∗ nazýváme numerickou funkcí.Rekneme, že numerická funkce f je meritelná, jestližeexistuje posloupnost jednoduchých meritelných funkcí{fj}∞j=1 taková, že pro všechna x ∈ Rn platílimj→∞ fj(x) = f (x).
DefiniceJe-li {fj}∞j=1 posloupnost numerických funkcí, rekneme ženumerická funkce f je bodovou limitou posloupnosti {fj},jestliže pro každé x ∈ Rn platí limj→∞ fj(x) = f (x).Znacíme limj→∞ fj = f nebo fj → f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceZobrazení f : Rn → R∗ nazýváme numerickou funkcí.Rekneme, že numerická funkce f je meritelná, jestližeexistuje posloupnost jednoduchých meritelných funkcí{fj}∞j=1 taková, že pro všechna x ∈ Rn platílimj→∞ fj(x) = f (x).
DefiniceJe-li {fj}∞j=1 posloupnost numerických funkcí, rekneme ženumerická funkce f je bodovou limitou posloupnosti {fj},jestliže pro každé x ∈ Rn platí limj→∞ fj(x) = f (x).Znacíme limj→∞ fj = f nebo fj → f .
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceLebesgueuv integrál jednoduché nezáporné meritelnéfunkce f :=
∑kj=1 cjχAj definujeme predpisem
∫f dλ =
k∑j=1
cjλ(Aj),
kde používáme konvenci 0 · (+∞) = 0.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceLebesgueuv integrál nezáporné meritelné funkcedefinujeme predpisem∫
f dλ = sup{∫
g dλ : g ∈ JM+, g ≤ f},
kde JM+ je množina všech nezáporných jednoduchýchmeritelných funkcí.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Oznacme f+ := max{f ,0} a f− := max{−f ,0}.
DefiniceLebesgueuv integrál meritelné funkce definujemepredpisem ∫
f dλ =
∫f+ dλ−
∫f− dλ,
pokud je rozdíl definován.
Ríkáme, že funkce f je (lebesgueovsky) integrovatelná,pokud má konecný Lebesgueuv integrál.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Oznacme f+ := max{f ,0} a f− := max{−f ,0}.
DefiniceLebesgueuv integrál meritelné funkce definujemepredpisem ∫
f dλ =
∫f+ dλ−
∫f− dλ,
pokud je rozdíl definován.Ríkáme, že funkce f je (lebesgueovsky) integrovatelná,pokud má konecný Lebesgueuv integrál.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 23 (vlastnosti meritelných funkcí)Meritelné funkce mají následující vlastnosti:
(i) Jsou-li f ,g meritelné a α ∈ R, pak i αf , f + g, fg, fg
jsou meritelné, pokud jsou definované na celém Rn.(ii) Jsou-li f ,g meritelné, pak i max{f ,g} a min{f ,g}
jsou meritelné.(iii) Je-li f reálná meritelná a g reálná spojitá, pak g ◦ f je
meritelná.(iv) Je-li {fj}∞j=1 posloupnost meritelných funkcí
s bodovou limitou f , pak f je také meritelná.(v) Spojité funkce jsou meritelné.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
DefiniceJe-li M ⊂ Rn meritelná množina a f meritelná funkce, pakdefinujeme ∫
Mf dλ =
∫χM f dλ.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 24 (vlastnosti Lebesgueova integrálu)Necht’ M je meritelná množina a f , g jsou meritelnéfunkce.
(i) Necht’ α ∈ R. Pak∫
M αf dλ = α∫
M f dλa∫
M(f + g) dλ =∫
M f dλ +∫
M g dλ, pokud jsou výrazynapravo definovány.
(ii) Platí-li f ≤ g skoro všude na M, pak∫M f dλ ≤
∫M g dλ, pokud oba integrály existují.
(iii) Jestliže∫
M f dλ existuje, pak existuje i∫
M |f | dλ a platí∣∣∫M f dλ
∣∣ ≤ ∫M |f | dλ.(iv) Je-li f = 0 skoro všude na M, pak
∫M f dλ = 0.
(v) Je-li f = g skoro všude na M, pak∫
M f dλ =∫
M g dλ,pokud alespon jeden z integrálu existuje.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 25 (souvislost s Riemannovým integrálem)
(i) Jestliže existuje Riemannuv integrál∫ b
a f , pakexistuje i Lebesgueuv integrál
∫(a,b) f dλ a oba
integrály se rovnají.
(ii) Je-li f omezená na 〈a,b〉, pak její Riemannuv integrálexistuje, práve když je skoro všude spojitá.
(iii) Je-li f spojitá nezáporná funkce na (a,b), pak∫(a,b) f dλ =
∫ ba f , kde vpravo je zobecnený
Riemannuv integrál.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 25 (souvislost s Riemannovým integrálem)
(i) Jestliže existuje Riemannuv integrál∫ b
a f , pakexistuje i Lebesgueuv integrál
∫(a,b) f dλ a oba
integrály se rovnají.(ii) Je-li f omezená na 〈a,b〉, pak její Riemannuv integrál
existuje, práve když je skoro všude spojitá.
(iii) Je-li f spojitá nezáporná funkce na (a,b), pak∫(a,b) f dλ =
∫ ba f , kde vpravo je zobecnený
Riemannuv integrál.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 25 (souvislost s Riemannovým integrálem)
(i) Jestliže existuje Riemannuv integrál∫ b
a f , pakexistuje i Lebesgueuv integrál
∫(a,b) f dλ a oba
integrály se rovnají.(ii) Je-li f omezená na 〈a,b〉, pak její Riemannuv integrál
existuje, práve když je skoro všude spojitá.(iii) Je-li f spojitá nezáporná funkce na (a,b), pak∫
(a,b) f dλ =∫ b
a f , kde vpravo je zobecnenýRiemannuv integrál.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 26 (Príklady integrovatelných funkcí)
(i) Necht’ M ⊂ Rn je omezená otevrená nebo uzavrenámnožina a f je omezená spojitá funkce na M. Pak f jeintegrovatelná na M.
(ii) Necht’ M ⊂ Rn je omezená konvexní otevrenámnožina a f je spojitá funkce na M. Pak f jeintegrovatelná na M i na M a platí
∫M f dλ =
∫M f dλ.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 26 (Príklady integrovatelných funkcí)
(i) Necht’ M ⊂ Rn je omezená otevrená nebo uzavrenámnožina a f je omezená spojitá funkce na M. Pak f jeintegrovatelná na M.
(ii) Necht’ M ⊂ Rn je omezená konvexní otevrenámnožina a f je spojitá funkce na M. Pak f jeintegrovatelná na M i na M a platí
∫M f dλ =
∫M f dλ.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 27 (Fubiniova)Necht’ m,n ∈ N a f : Rm+n → R je integrovatelná funkce.Pro každé x ∈ Rm definujme funkci fx : Rn → R predpisemfx (y) = f (x , y). Pak pro skoro všechna x ∈ Rm je funkce fxintegrovatelná a platí∫
Rm+nf dλ =
∫Rm
(∫Rn
fx (y) dλ(y)
)dλ(x). (6)
PoznámkaNecht’ m,n ∈ N a f : Rm+n → R∗ je nezáporná meritelnáfunkce. Pro každé x ∈ Rm definujme funkci fx : Rn → Rpredpisem fx (y) = f (x , y). Pak pro skoro všechna x ∈ Rm
je funkce fx meritelná a platí opet vzorec (6). Zde ovšemmuže být integrál
∫Rm+n f dλ nekonecný.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 27 (Fubiniova)Necht’ m,n ∈ N a f : Rm+n → R je integrovatelná funkce.Pro každé x ∈ Rm definujme funkci fx : Rn → R predpisemfx (y) = f (x , y). Pak pro skoro všechna x ∈ Rm je funkce fxintegrovatelná a platí∫
Rm+nf dλ =
∫Rm
(∫Rn
fx (y) dλ(y)
)dλ(x). (6)
PoznámkaNecht’ m,n ∈ N a f : Rm+n → R∗ je nezáporná meritelnáfunkce. Pro každé x ∈ Rm definujme funkci fx : Rn → Rpredpisem fx (y) = f (x , y). Pak pro skoro všechna x ∈ Rm
je funkce fx meritelná a platí opet vzorec (6). Zde ovšemmuže být integrál
∫Rm+n f dλ nekonecný.
Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
VIII.4. Lebesgueuv integrál v Rn
Veta 28 (o substituci)Necht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, funkceϕ1, . . . , ϕn ∈ C1(G) a zobrazení ϕ : G→ Rn definovanépredpisem ϕ(x) = [ϕ1(x), . . . , ϕn(x)] necht’ je prosté. Dálepredpokládejme, že determinant (tzv. jakobián)
Jϕ(x) =
∣∣∣∣∣∣∣∂ϕ1∂x1
(x) . . . ∂ϕ1∂xn
(x)...
. . ....
∂ϕn∂x1
(x) . . . ∂ϕn∂xn
(x)
∣∣∣∣∣∣∣je nenulový v každém bode x ∈ G. Pak ϕ(G) je otevrenáa pro každou meritelnou M ⊂ ϕ(G) a každou f : G→ R∗platí ∫
Mf dλ =
∫ϕ−1(M)
f(ϕ(x)
)|Jϕ(x)| dλ(x),
pokud je alespon jeden z techto integrálu definován.Matematika III VIII. Primitivní funkce a Riemannuv integrál
IX.1. Vektorové prostory
IX.1. Vektorové prostory
Symbol K znací množinu R nebo C.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
IX.1. Vektorové prostory
Symbol K znací množinu R nebo C.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
Vektorovým prostorem nad K rozumíme trojici (V ,+, ·),kde V je neprázdná množina, + je operace z V × V doV a · je operace z K× V do V , pricemž tyto operace majínásledující vlastnosti:
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),
∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),
množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,
∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,
∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,
∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,
∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Definice
∀u,v ∈ V : u + v = v + u (komutativita scítání),∀u,v ,w ∈ V : (u + v) + w = u + (v + w)(asociativita scítání),množina V obsahuje prvek, který znacíme o (aríkáme mu nulový prvek), splnující
∀v ∈ V : o + v = v .
∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : a · (b · v) = (ab) · v ,∀a,b ∈ K ∀v ∈ V : (a + b) · v = a · v + b · v ,∀a ∈ K ∀u,v ∈ V : a · (u + v) = a · u + a · v ,∀v ∈ V : 1 · v = v .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor nad K a U ⊂ V ,U 6= ∅. Rekneme, že U je vektorový podprostor prostoruV , jestliže∀u,v ∈ U : u + v ∈ U,
∀a ∈ K ∀u ∈ U : a · u ∈ U.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor nad K a U ⊂ V ,U 6= ∅. Rekneme, že U je vektorový podprostor prostoruV , jestliže∀u,v ∈ U : u + v ∈ U,∀a ∈ K ∀u ∈ U : a · u ∈ U.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, m ∈ N,u1, . . . ,um ∈ V a λ1, . . . , λm ∈ K. Výraz
λ1u1 + · · ·+ λmum
nazýváme lineární kombinací vektoru u1, . . . ,um.
Pokudalespon jedno z císel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoríme o netriviální lineární kombinaci, v opacnémprípade jde o triviální lineární kombinaci. Lineárníkombinací prázdné množiny vektoru rozumíme nulovývektor.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, m ∈ N,u1, . . . ,um ∈ V a λ1, . . . , λm ∈ K. Výraz
λ1u1 + · · ·+ λmum
nazýváme lineární kombinací vektoru u1, . . . ,um. Pokudalespon jedno z císel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoríme o netriviální lineární kombinaci, v opacnémprípade jde o triviální lineární kombinaci.
Lineárníkombinací prázdné množiny vektoru rozumíme nulovývektor.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, m ∈ N,u1, . . . ,um ∈ V a λ1, . . . , λm ∈ K. Výraz
λ1u1 + · · ·+ λmum
nazýváme lineární kombinací vektoru u1, . . . ,um. Pokudalespon jedno z císel λ1, . . . , λm je nenulové, pakhovoríme o netriviální lineární kombinaci, v opacnémprípade jde o triviální lineární kombinaci. Lineárníkombinací prázdné množiny vektoru rozumíme nulovývektor.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Rekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárne závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru.
Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárne závislé, pak ríkáme, že jsou lineárne nezávislé.Rekneme, že množina M ⊂ V je lineárne nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou ruzných vektoru z M jelineárne nezávislá.
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Rekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konecne mnoha vektoru z M.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Rekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárne závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárne závislé, pak ríkáme, že jsou lineárne nezávislé.
Rekneme, že množina M ⊂ V je lineárne nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou ruzných vektoru z M jelineárne nezávislá.
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Rekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konecne mnoha vektoru z M.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Rekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárne závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárne závislé, pak ríkáme, že jsou lineárne nezávislé.Rekneme, že množina M ⊂ V je lineárne nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou ruzných vektoru z M jelineárne nezávislá.
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Rekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konecne mnoha vektoru z M.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, u1, . . . ,um ∈ V .Rekneme, že vektory u1, . . . ,um jsou lineárne závislé,pokud existuje jejich netriviální lineární kombinace, jež jerovna nulovému vektoru. Pokud vektory u1, . . . ,um nejsoulineárne závislé, pak ríkáme, že jsou lineárne nezávislé.Rekneme, že množina M ⊂ V je lineárne nezávislá,jestliže libovolná m-tice po dvou ruzných vektoru z M jelineárne nezávislá.
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor, M ⊂ V . Rekneme, žemnožina M generuje V , jestliže každý vektor z V jelineární kombinací konecne mnoha vektoru z M.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
DefiniceNecht’ (V ,+, ·) je vektorový prostor a B ⊂ V . Rekneme,že B je báze prostoru V , jestliže množina B je lineárnenezávislá a generuje V .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Veta 29 (o bázi vektorového prostoru)
(i) Každou lineárne nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.
(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Pocet prvku báze prostoru V je urcen jednoznacne a
nazýváme ho dimenze prostoru V (znacíme dim V).
DefiniceJe-li dim V < +∞, rekneme, že V je konecnerozmerný(konecnedimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonecnerozmerném (nekonecnedimenzionálním)vektorovém prostoru.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Veta 29 (o bázi vektorového prostoru)
(i) Každou lineárne nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.
(ii) Každý vektorový prostor má bázi.
(iii) Pocet prvku báze prostoru V je urcen jednoznacne anazýváme ho dimenze prostoru V (znacíme dim V).
DefiniceJe-li dim V < +∞, rekneme, že V je konecnerozmerný(konecnedimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonecnerozmerném (nekonecnedimenzionálním)vektorovém prostoru.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Veta 29 (o bázi vektorového prostoru)
(i) Každou lineárne nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.
(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Pocet prvku báze prostoru V je urcen jednoznacne a
nazýváme ho dimenze prostoru V (znacíme dim V).
DefiniceJe-li dim V < +∞, rekneme, že V je konecnerozmerný(konecnedimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonecnerozmerném (nekonecnedimenzionálním)vektorovém prostoru.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Veta 29 (o bázi vektorového prostoru)
(i) Každou lineárne nezávislou podmnožinuvektorového prostoru lze doplnit na bázi tohotoprostoru.
(ii) Každý vektorový prostor má bázi.(iii) Pocet prvku báze prostoru V je urcen jednoznacne a
nazýváme ho dimenze prostoru V (znacíme dim V).
DefiniceJe-li dim V < +∞, rekneme, že V je konecnerozmerný(konecnedimenzionální). Je-li dim V = +∞, mluvíme onekonecnerozmerném (nekonecnedimenzionálním)vektorovém prostoru.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Tvrzení 30 (o bázi konecnerozmernéhoprostoru)Necht’ V je vektorový prostor dimenze n ∈ N nad K.
(i) Jsou-li v1, . . . ,vn lineárne nezávislé vektory vprostoru V , pak množina {v1, . . . ,vn} je bázíprostoru V .
(ii) Jestliže pro vektory v1, . . . ,vn ∈ V platílinK{v1, . . . ,vn} = V, je množina {v1, . . . ,vn} bázíprostoru V .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.1. Vektorové prostory
Tvrzení 30 (o bázi konecnerozmernéhoprostoru)Necht’ V je vektorový prostor dimenze n ∈ N nad K.
(i) Jsou-li v1, . . . ,vn lineárne nezávislé vektory vprostoru V , pak množina {v1, . . . ,vn} je bázíprostoru V .
(ii) Jestliže pro vektory v1, . . . ,vn ∈ V platílinK{v1, . . . ,vn} = V, je množina {v1, . . . ,vn} bázíprostoru V .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustavlineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:
∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustavlineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),
∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustavlineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K. ZobrazeníL : U → V se nazývá lineární, jestliže platí:∀u1,u2 ∈ U : L(u1 + u2) = L(u1) + L(u2),∀a ∈ K ∀u ∈ U : L(au) = aL(u).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazeníL nazveme množinu
Ker(L) = L−1({o}) = {u ∈ U : L(u) = o}.
Symbolem Im(L) znacíme obor hodnot zobrazení L, tedy
Im L = L(U) = {v ∈ V ; ∃u ∈ U : L(u) = v}.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
DefiniceNecht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Jádrem lineárního zobrazeníL nazveme množinu
Ker(L) = L−1({o}) = {u ∈ U : L(u) = o}.
Symbolem Im(L) znacíme obor hodnot zobrazení L, tedy
Im L = L(U) = {v ∈ V ; ∃u ∈ U : L(u) = v}.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
Veta 31 (vlastnosti jádra a obrazu)Necht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Potom platí:
(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.
(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
Veta 31 (vlastnosti jádra a obrazu)Necht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Potom platí:
(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.
(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
Veta 31 (vlastnosti jádra a obrazu)Necht’ U a V jsou vektorové prostory nad K, L : U → Vnecht’ je lineární zobrazení. Potom platí:
(i) Množina Ker(L) je vektorovým podprostorem U.(ii) Množina Im(L) je vektorovým podprostorem V.(iii) Pro dimenze platí: dim U = dim Ker(L) + dim Im(L).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
Necht’ U, V jsou vektorové prostory, L : U → V je lineárnízobrazení a b ∈ V . Uvažujme rovnici
L(x) = b. (7)
Veta 32 (rešení nehomogenní rovnice)Necht’ x0 ∈ U je rešením rovnice (7). Potom množina
{x0 + w : w ∈ Ker(L)}
je množinou všech rešení rovnice (7).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
Necht’ U, V jsou vektorové prostory, L : U → V je lineárnízobrazení a b ∈ V . Uvažujme rovnici
L(x) = b. (7)
Veta 32 (rešení nehomogenní rovnice)Necht’ x0 ∈ U je rešením rovnice (7). Potom množina
{x0 + w : w ∈ Ker(L)}
je množinou všech rešení rovnice (7).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
Necht’ A ∈ M(m × n), b ∈ Rm. Uvažujme soustavu mrovnic o n neznámých
Ax = b. (8)
Dusledek 33Má-li soustava (8) rešení x0 ∈ Rn, pak množina všechrešení má tvar
{x0 + w : Aw = o}.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.2. Lineární zobrazení a rešení soustav lineárních rovnic
Necht’ A ∈ M(m × n), b ∈ Rm. Uvažujme soustavu mrovnic o n neznámých
Ax = b. (8)
Dusledek 33Má-li soustava (8) rešení x0 ∈ Rn, pak množina všechrešení má tvar
{x0 + w : Aw = o}.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),
(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),
(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),
(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineárníforma, jestliže platí:
(i) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u + v ,w) = B(u,w) + B(v ,w),(ii) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(au,v) = aB(u,v),(iii) ∀u,v ,w ∈ Rn : B(u,v + w) = B(u,v) + B(u,w),(iv) ∀a ∈ R ∀u,v ∈ Rn : B(u,av) = aB(u,v).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Veta 34 (reprezentace bilineárních forem)Zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineární forma, práve kdyžexistuje matice A ∈ M(n × n) taková, že
∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = uT Av .
DefiniceMatice A ∈ M(n × n) z predchozí vety se nazýváreprezentující maticí formy B.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Veta 34 (reprezentace bilineárních forem)Zobrazení B : Rn × Rn → R je bilineární forma, práve kdyžexistuje matice A ∈ M(n × n) taková, že
∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = uT Av .
DefiniceMatice A ∈ M(n × n) z predchozí vety se nazýváreprezentující maticí formy B.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že bilineární forma B : Rn × Rn → R jesymetrická, jestliže platí
∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = B(v ,u).
PoznámkaBilineární forma B je symetrická, práve když jejíreprezentující matice A je symetrická, tj. A = AT .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že bilineární forma B : Rn × Rn → R jesymetrická, jestliže platí
∀u,v ∈ Rn : B(u,v) = B(v ,u).
PoznámkaBilineární forma B je symetrická, práve když jejíreprezentující matice A je symetrická, tj. A = AT .
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Rekneme, že B je
pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,
negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Rekneme, že B je
pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,
pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Rekneme, že B je
pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,
negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Rekneme, že B je
pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,
indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceNecht’ B : Rn × Rn → R je symetrická bilineární forma.Rekneme, že B je
pozitivne definitní (PD), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) > 0,negativne definitní (ND), jestliže∀u ∈ Rn,u 6= o : B(u,u) < 0,pozitivne semidefinitní (PSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≥ 0,negativne semidefinitní (NSD), jestliže∀u ∈ Rn : B(u,u) ≤ 0,indefinitní (ID), neplatí-li nic z predchozího, tj.∃u,v ∈ Rn : B(u,u) > 0 & B(v ,v) < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 35 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 35 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;
A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 35 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;
A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 35 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;
A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 35 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;
A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceRekneme, že matice A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální,jestliže aij = 0 pro každé i , j ∈ {1, . . . ,n}, i 6= j .
Tvrzení 35 (definitnost diagonální matice)Necht’ A = (aij) ∈ M(n × n) je diagonální. Pak platí:
A je PD, práve když aii > 0, i = 1, . . . ,n;A je ND, práve když aii < 0, i = 1, . . . ,n;A je PSD, práve když aii ≥ 0, i = 1, . . . ,n;A je NSD, práve když aii ≤ 0, i = 1, . . . ,n;A je ID, práve když existují taková i , j ∈ {1, . . . ,n}, žeaii > 0 a ajj < 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
DefiniceSymetrickou elementární úpravou matice A ∈ M(n × n)budeme rozumet úpravu, kdy provedeme jistouelementární rádkovou úpravu matice A a vzniklou maticiupravíme odpovídající sloupcovou úpravou.Symetrickou transformací matice A budeme rozumetkonecnou posloupnost symetrických elementárních úprav.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Lemma 36 (o matici transformace)Necht’ T je transformace matic o m rádcích. Potomexistuje regulární matice B ∈ M(m ×m) taková, žekdykoli A′ ∈ M(m × n) vznikla z A ∈ M(m × n) pomocí T ,tak platí BA = A′.
Veta 37 (o matici symetrické transformace)Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n × n.Potom existuje regulární matice B ∈ M(n × n) taková, žekdykoli matice A′ ∈ M(n × n) vznikne z A ∈ M(n × n)pomocí T , tak platí BABT = A′.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Lemma 36 (o matici transformace)Necht’ T je transformace matic o m rádcích. Potomexistuje regulární matice B ∈ M(m ×m) taková, žekdykoli A′ ∈ M(m × n) vznikla z A ∈ M(m × n) pomocí T ,tak platí BA = A′.
Veta 37 (o matici symetrické transformace)Uvažujme symetrickou transformaci T matic typu n × n.Potom existuje regulární matice B ∈ M(n × n) taková, žekdykoli matice A′ ∈ M(n × n) vznikne z A ∈ M(n × n)pomocí T , tak platí BABT = A′.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Lemma 38 (o symetrické transformacisymetrické matice)
(i) Je-li A ∈ M(n × n) symetrická matice aC ∈ M(n × n), pak CACT je opet symetrická matice.
(ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice.
Veta 39 (symetrické transformace a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice a necht’B ∈ M(n × n) vznikla z A pomocí symetrickétransformace. Matice A je pozitivne definitní (negativnedefinitní, pozitivne semidefinitní, negativne semidefinitní,indefinitní), práve když B je pozitivne definitní (negativnedefinitní, . . . ).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Lemma 38 (o symetrické transformacisymetrické matice)
(i) Je-li A ∈ M(n × n) symetrická matice aC ∈ M(n × n), pak CACT je opet symetrická matice.
(ii) Symetrická transformace zachovává symetrii matice.
Veta 39 (symetrické transformace a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice a necht’B ∈ M(n × n) vznikla z A pomocí symetrickétransformace. Matice A je pozitivne definitní (negativnedefinitní, pozitivne semidefinitní, negativne semidefinitní,indefinitní), práve když B je pozitivne definitní (negativnedefinitní, . . . ).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Veta 40 (diagonalizace symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak ji lzesymetrickou transformací prevést na diagonální matici.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Veta 41 (Sylvestrovo kritérium)Necht’ A = (aij) ∈ M(n×n) je symetrická matice. Pak A je
pozitivne definitní, práve když∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...
...ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,
negativne definitní, práve když
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...
...ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
Veta 41 (Sylvestrovo kritérium)Necht’ A = (aij) ∈ M(n×n) je symetrická matice. Pak A je
pozitivne definitní, práve když∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...
...ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,
negativne definitní, práve když
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1k...
...ak1 . . . akk
∣∣∣∣∣∣∣ > 0 pro každé k = 1, . . . ,n,
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
pozitivne semidefinitní, práve když pro každou k -ticiprirozených císel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí ∣∣∣∣∣∣∣
ai1i1 . . . ai1ik...
...aik i1 . . . aik ik
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0,
negativne semidefinitní, práve když pro každou k -ticiprirozených císel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣ai1i1 . . . ai1ik...
...aik i1 . . . aik ik
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.3. Bilineární formy
pozitivne semidefinitní, práve když pro každou k -ticiprirozených císel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí ∣∣∣∣∣∣∣
ai1i1 . . . ai1ik...
...aik i1 . . . aik ik
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0,
negativne semidefinitní, práve když pro každou k -ticiprirozených císel 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, k = 1, . . . ,n,platí
(−1)k
∣∣∣∣∣∣∣ai1i1 . . . ai1ik...
...aik i1 . . . aik ik
∣∣∣∣∣∣∣ ≥ 0.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že λ ∈ C je vlastní císlomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A príslušným k vlastnímu císlu λ.
Veta 42 (o charakteristickém polynomu matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Prvek λ ∈ C je vlastním císlemmatice A, práve když det(λI − A) = 0. Funkceλ 7→ det(λI − A) je polynom stupne n s koeficientemjedna u λn.
Veta 43 (o poctu vlastních císel)Matice A ∈ M(n × n) má nejvýše n ruzných vlastníchcísel.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že λ ∈ C je vlastní císlomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A príslušným k vlastnímu císlu λ.
Veta 42 (o charakteristickém polynomu matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Prvek λ ∈ C je vlastním císlemmatice A, práve když det(λI − A) = 0. Funkceλ 7→ det(λI − A) je polynom stupne n s koeficientemjedna u λn.
Veta 43 (o poctu vlastních císel)Matice A ∈ M(n × n) má nejvýše n ruzných vlastníchcísel.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že λ ∈ C je vlastní císlomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A príslušným k vlastnímu císlu λ.
Veta 42 (o charakteristickém polynomu matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Prvek λ ∈ C je vlastním císlemmatice A, práve když det(λI − A) = 0. Funkceλ 7→ det(λI − A) je polynom stupne n s koeficientemjedna u λn.
Veta 43 (o poctu vlastních císel)Matice A ∈ M(n × n) má nejvýše n ruzných vlastníchcísel.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n × n). Rekneme, že λ ∈ C je vlastní císlomatice A, jestliže existuje nenulový vektor x ∈ Cn takový,že Ax = λx . Vektor x pak nazýváme vlastním vektoremmatice A príslušným k vlastnímu císlu λ.
Veta 42 (o charakteristickém polynomu matice)Necht’ A ∈ M(n × n). Prvek λ ∈ C je vlastním císlemmatice A, práve když det(λI − A) = 0. Funkceλ 7→ det(λI − A) je polynom stupne n s koeficientemjedna u λn.
Veta 43 (o poctu vlastních císel)Matice A ∈ M(n × n) má nejvýše n ruzných vlastníchcísel.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n× n). Polynom λ 7→ det(λI −A) se nazývácharakteristický polynom matice A. Násobnost vlastníhocísla matice definujeme jako násobnost tohoto císlajakožto korene charakteristického polynomu.
Veta 44 (vlastní císla symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak jsouvšechna její vlastní císla reálná.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A ∈ M(n× n). Polynom λ 7→ det(λI −A) se nazývácharakteristický polynom matice A. Násobnost vlastníhocísla matice definujeme jako násobnost tohoto císlajakožto korene charakteristického polynomu.
Veta 44 (vlastní císla symetrické matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak jsouvšechna její vlastní císla reálná.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceRekneme, že matice Q ∈ M(n × n) je ortogonální, jestližeplatí QT Q = QQT = I .
Veta 45 (spektrální rozklad matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak existujeortogonální matice Q ∈ M(n × n) taková, že
QAQT =
λ1 . . . 0...
. . ....
0 . . . λn
,
kde λ1, . . . , λn jsou vlastní císla matice A.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceRekneme, že matice Q ∈ M(n × n) je ortogonální, jestližeplatí QT Q = QQT = I .
Veta 45 (spektrální rozklad matice)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak existujeortogonální matice Q ∈ M(n × n) taková, že
QAQT =
λ1 . . . 0...
. . ....
0 . . . λn
,
kde λ1, . . . , λn jsou vlastní císla matice A.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
Veta 46 (vlastní císla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,
A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
Veta 46 (vlastní císla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,
A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
Veta 46 (vlastní císla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,
A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
Veta 46 (vlastní císla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,
A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
Veta 46 (vlastní císla a definitnost)Necht’ A ∈ M(n × n) je symetrická matice. Pak platí:
A je pozitivne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla kladná,A je negativne definitní, práve když jsou všechna jejívlastní císla záporná,A je pozitivne semidefinitní, práve když jsou všechnajejí vlastní císla nezáporná,A je negativne semidefinitní, práve když jsouvšechna její vlastní císla nekladná,A je indefinitní, práve když má kladné vlastní císlo izáporné vlastní císlo.
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímecíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Veta 47 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímecíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Veta 47 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),
(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímecíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Veta 47 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),
(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímecíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Veta 47 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),
(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.4. Vlastní císla a vektory
DefiniceNecht’ A = (aij) ∈ M(n × n). Stopou matice A rozumímecíslo
tr(A) =n∑
i=1
aii .
Veta 47 (vlastnosti stopy)Necht’ A,B,C ∈ M(n × n), a ∈ R. Pak platí:
(i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B),(ii) tr(aA) = a tr(A),(iii) tr(AB) = tr(BA),(iv) tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA).
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.5. Norma vektoru
DefiniceNormou vektoru x ∈ Rn rozumíme císlo
‖x‖ =
√√√√ n∑i=1
x2i .
Veta 48 (vlastnosti normy)Necht’ x ,y ∈ Rn, α ∈ R. Pak platí
(i) ‖x‖ ≥ 0,(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.5. Norma vektoru
DefiniceNormou vektoru x ∈ Rn rozumíme císlo
‖x‖ =
√√√√ n∑i=1
x2i .
Veta 48 (vlastnosti normy)Necht’ x ,y ∈ Rn, α ∈ R. Pak platí
(i) ‖x‖ ≥ 0,
(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.5. Norma vektoru
DefiniceNormou vektoru x ∈ Rn rozumíme císlo
‖x‖ =
√√√√ n∑i=1
x2i .
Veta 48 (vlastnosti normy)Necht’ x ,y ∈ Rn, α ∈ R. Pak platí
(i) ‖x‖ ≥ 0,(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,
(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.5. Norma vektoru
DefiniceNormou vektoru x ∈ Rn rozumíme císlo
‖x‖ =
√√√√ n∑i=1
x2i .
Veta 48 (vlastnosti normy)Necht’ x ,y ∈ Rn, α ∈ R. Pak platí
(i) ‖x‖ ≥ 0,(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,
(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),
Matematika III IX. Lineární algebra
IX.5. Norma vektoru
DefiniceNormou vektoru x ∈ Rn rozumíme císlo
‖x‖ =
√√√√ n∑i=1
x2i .
Veta 48 (vlastnosti normy)Necht’ x ,y ∈ Rn, α ∈ R. Pak platí
(i) ‖x‖ ≥ 0,(ii) ‖x‖ = 0, práve když x = o,(iii) ‖αx‖ = |α| · ‖x‖,(iv) ‖x + y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖ (trojúhelníková nerovnost),
Matematika III IX. Lineární algebra
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálnépromenné
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
DefiniceNecht’ f je funkce, a ∈ R a funkce f má v bode a vlastnín-tou derivaci. Pak polynom
T f ,an (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +
12!
f ′′(a)(x − a)2+
+ · · ·+ 1n!
f (n)(a)(x − a)n
nazýváme Taylorovým polynomem funkce f v bode arádu n.
PoznámkaOznacíme-li T = T f ,a
n , pak platí T (k)(a) = f (k)(a) prok = 0,1, . . . ,n.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
DefiniceNecht’ f je funkce, a ∈ R a funkce f má v bode a vlastnín-tou derivaci. Pak polynom
T f ,an (x) = f (a) + f ′(a)(x − a) +
12!
f ′′(a)(x − a)2+
+ · · ·+ 1n!
f (n)(a)(x − a)n
nazýváme Taylorovým polynomem funkce f v bode arádu n.
PoznámkaOznacíme-li T = T f ,a
n , pak platí T (k)(a) = f (k)(a) prok = 0,1, . . . ,n.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Veta 49 (Peanuv tvar zbytku)Necht’ n ∈ N, a ∈ R a funkce f má v bode a vlastní n-touderivaci. Potom
limx→a
f (x)− T f ,an (x)
(x − a)n = 0.
Veta 50 (o jednoznacnosti)Necht’ n ∈ N, a ∈ R, funkce f má v bode a vlastní n-touderivaci a P je polynom stupne nejvýše n splnující
limx→a
f (x)− P(x)
(x − a)n = 0.
Potom P = T f ,an .
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Veta 49 (Peanuv tvar zbytku)Necht’ n ∈ N, a ∈ R a funkce f má v bode a vlastní n-touderivaci. Potom
limx→a
f (x)− T f ,an (x)
(x − a)n = 0.
Veta 50 (o jednoznacnosti)Necht’ n ∈ N, a ∈ R, funkce f má v bode a vlastní n-touderivaci a P je polynom stupne nejvýše n splnující
limx→a
f (x)− P(x)
(x − a)n = 0.
Potom P = T f ,an .
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
DefiniceNecht’ f a g jsou funkce, a ∈ R∗. Rekneme, že funkce f jev bode a malé o od g (píšeme f (x) = o
(g(x)
), x → a),
jestliže platí
limx→a
f (x)
g(x)= 0.
Poznámka1. Rovnost f (x) = g(x) + o(h(x)) je jiný zápis prof (x)− g(x) = o(h(x)).2. Veta 49 ríká, že f (x) = T f ,a
n (x) + o((x − a)n)
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
DefiniceNecht’ f a g jsou funkce, a ∈ R∗. Rekneme, že funkce f jev bode a malé o od g (píšeme f (x) = o
(g(x)
), x → a),
jestliže platí
limx→a
f (x)
g(x)= 0.
Poznámka1. Rovnost f (x) = g(x) + o(h(x)) je jiný zápis prof (x)− g(x) = o(h(x)).
2. Veta 49 ríká, že f (x) = T f ,an (x) + o((x − a)n)
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
DefiniceNecht’ f a g jsou funkce, a ∈ R∗. Rekneme, že funkce f jev bode a malé o od g (píšeme f (x) = o
(g(x)
), x → a),
jestliže platí
limx→a
f (x)
g(x)= 0.
Poznámka1. Rovnost f (x) = g(x) + o(h(x)) je jiný zápis prof (x)− g(x) = o(h(x)).2. Veta 49 ríká, že f (x) = T f ,a
n (x) + o((x − a)n)
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Tvrzení 51 (aritmetika malého o)Necht’ a ∈ R∗.
(i) Jestliže f1(x) = o(g(x)
), x → a a f2(x) = o
(g(x)
), x → a, potom
f1(x) + f2(x) = o(g(x)
), x → a.
(ii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2(x) = o
(g2(x)
), x → a,
potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)g2(x)
), x → a.
(iii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2 je nenulová na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)f2(x)
),
x → a.
(iv) Jestliže f (x) = o(g1(x)
), x → a a existuje vlastní limx→a
g1(x)g2(x)
,potom f (x) = o
(g2(x)
), x → a.
(v) Jestliže f (x) = o(g(x)
), x → a a h je omezená na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom h(x)f (x) = o(g(x)
), x → a.
(vi) Jestliže m,n ∈ N ∪ {0}, m ≤ n, a f (x) = o((x − a)n
), x → a,
potom f (x) = o((x − a)m
), x → a.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Tvrzení 51 (aritmetika malého o)Necht’ a ∈ R∗.
(i) Jestliže f1(x) = o(g(x)
), x → a a f2(x) = o
(g(x)
), x → a, potom
f1(x) + f2(x) = o(g(x)
), x → a.
(ii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2(x) = o
(g2(x)
), x → a,
potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)g2(x)
), x → a.
(iii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2 je nenulová na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)f2(x)
),
x → a.
(iv) Jestliže f (x) = o(g1(x)
), x → a a existuje vlastní limx→a
g1(x)g2(x)
,potom f (x) = o
(g2(x)
), x → a.
(v) Jestliže f (x) = o(g(x)
), x → a a h je omezená na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom h(x)f (x) = o(g(x)
), x → a.
(vi) Jestliže m,n ∈ N ∪ {0}, m ≤ n, a f (x) = o((x − a)n
), x → a,
potom f (x) = o((x − a)m
), x → a.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Tvrzení 51 (aritmetika malého o)Necht’ a ∈ R∗.
(i) Jestliže f1(x) = o(g(x)
), x → a a f2(x) = o
(g(x)
), x → a, potom
f1(x) + f2(x) = o(g(x)
), x → a.
(ii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2(x) = o
(g2(x)
), x → a,
potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)g2(x)
), x → a.
(iii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2 je nenulová na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)f2(x)
),
x → a.
(iv) Jestliže f (x) = o(g1(x)
), x → a a existuje vlastní limx→a
g1(x)g2(x)
,potom f (x) = o
(g2(x)
), x → a.
(v) Jestliže f (x) = o(g(x)
), x → a a h je omezená na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom h(x)f (x) = o(g(x)
), x → a.
(vi) Jestliže m,n ∈ N ∪ {0}, m ≤ n, a f (x) = o((x − a)n
), x → a,
potom f (x) = o((x − a)m
), x → a.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Tvrzení 51 (aritmetika malého o)Necht’ a ∈ R∗.
(i) Jestliže f1(x) = o(g(x)
), x → a a f2(x) = o
(g(x)
), x → a, potom
f1(x) + f2(x) = o(g(x)
), x → a.
(ii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2(x) = o
(g2(x)
), x → a,
potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)g2(x)
), x → a.
(iii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2 je nenulová na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)f2(x)
),
x → a.
(iv) Jestliže f (x) = o(g1(x)
), x → a a existuje vlastní limx→a
g1(x)g2(x)
,potom f (x) = o
(g2(x)
), x → a.
(v) Jestliže f (x) = o(g(x)
), x → a a h je omezená na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom h(x)f (x) = o(g(x)
), x → a.
(vi) Jestliže m,n ∈ N ∪ {0}, m ≤ n, a f (x) = o((x − a)n
), x → a,
potom f (x) = o((x − a)m
), x → a.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Tvrzení 51 (aritmetika malého o)Necht’ a ∈ R∗.
(i) Jestliže f1(x) = o(g(x)
), x → a a f2(x) = o
(g(x)
), x → a, potom
f1(x) + f2(x) = o(g(x)
), x → a.
(ii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2(x) = o
(g2(x)
), x → a,
potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)g2(x)
), x → a.
(iii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2 je nenulová na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)f2(x)
),
x → a.
(iv) Jestliže f (x) = o(g1(x)
), x → a a existuje vlastní limx→a
g1(x)g2(x)
,potom f (x) = o
(g2(x)
), x → a.
(v) Jestliže f (x) = o(g(x)
), x → a a h je omezená na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom h(x)f (x) = o(g(x)
), x → a.
(vi) Jestliže m,n ∈ N ∪ {0}, m ≤ n, a f (x) = o((x − a)n
), x → a,
potom f (x) = o((x − a)m
), x → a.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Tvrzení 51 (aritmetika malého o)Necht’ a ∈ R∗.
(i) Jestliže f1(x) = o(g(x)
), x → a a f2(x) = o
(g(x)
), x → a, potom
f1(x) + f2(x) = o(g(x)
), x → a.
(ii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2(x) = o
(g2(x)
), x → a,
potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)g2(x)
), x → a.
(iii) Jestliže f1(x) = o(g1(x)
), x → a a f2 je nenulová na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom f1(x)f2(x) = o(g1(x)f2(x)
),
x → a.
(iv) Jestliže f (x) = o(g1(x)
), x → a a existuje vlastní limx→a
g1(x)g2(x)
,potom f (x) = o
(g2(x)
), x → a.
(v) Jestliže f (x) = o(g(x)
), x → a a h je omezená na jistém
prstencovém okolí bodu a, potom h(x)f (x) = o(g(x)
), x → a.
(vi) Jestliže m,n ∈ N ∪ {0}, m ≤ n, a f (x) = o((x − a)n
), x → a,
potom f (x) = o((x − a)m
), x → a.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Tvrzení 52 (malé o a složená funkce)Necht’ a,b ∈ R∗, f (y) = o
(g(y)
), y → b, limx→a ϕ(x) = b
a existuje δ ∈ R, δ > 0, takové, že
∀x ∈ P(a, δ) : ϕ(x) 6= b.
Potom f(ϕ(x)
)= o
(g(ϕ(x)
), x → a.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.1. Tayloruv polynom funkce jedné reálné promenné
Veta 53 (Lagrangeuv tvar zbytku)Necht’ n ∈ N, a dále necht’ I je otevrený interval,f ∈ Cn+1(I) a a ∈ I. Potom pro každé x ∈ I existuje císloξ ∈ 〈a, x〉 splnující
f (x) = T f ,an (x) +
1(n + 1)!
f (n+1)(ξ)(x − a)n+1.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.2. Taylorovy polynomy a rady elementárních funkcí
X.2. Taylorovy polynomy a radyelementárních funkcí
Tvrzení 54 (TP elementárních funkcí)Pro každé k ∈ N platí:
T exp,0k = 1 + x + 1
2!x2 + · · ·+ 1
k!xk ,
T sin,02k−1 = T sin,0
2k =
x − 13!x
3 + 15!x
5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x
2k−1,
T cos,02k = T cos,0
2k+1 = 1− 12!x
2 + 14!x
4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x
2k ,
T log(1+x),0k = x − 1
2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1
k xk ,
T (1+x)α,0k =
(α0
)+(α1
)x + · · ·+
(αk
)xk , kde α ∈ R,(
α0
)= 1,
(αj
)= α(α−1)···(α−j+1)
j! .
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.2. Taylorovy polynomy a rady elementárních funkcí
X.2. Taylorovy polynomy a radyelementárních funkcí
Tvrzení 54 (TP elementárních funkcí)Pro každé k ∈ N platí:
T exp,0k = 1 + x + 1
2!x2 + · · ·+ 1
k!xk ,
T sin,02k−1 = T sin,0
2k =
x − 13!x
3 + 15!x
5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x
2k−1,
T cos,02k = T cos,0
2k+1 = 1− 12!x
2 + 14!x
4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x
2k ,
T log(1+x),0k = x − 1
2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1
k xk ,
T (1+x)α,0k =
(α0
)+(α1
)x + · · ·+
(αk
)xk , kde α ∈ R,(
α0
)= 1,
(αj
)= α(α−1)···(α−j+1)
j! .
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.2. Taylorovy polynomy a rady elementárních funkcí
X.2. Taylorovy polynomy a radyelementárních funkcí
Tvrzení 54 (TP elementárních funkcí)Pro každé k ∈ N platí:
T exp,0k = 1 + x + 1
2!x2 + · · ·+ 1
k!xk ,
T sin,02k−1 = T sin,0
2k =
x − 13!x
3 + 15!x
5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x
2k−1,
T cos,02k = T cos,0
2k+1 = 1− 12!x
2 + 14!x
4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x
2k ,
T log(1+x),0k = x − 1
2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1
k xk ,
T (1+x)α,0k =
(α0
)+(α1
)x + · · ·+
(αk
)xk , kde α ∈ R,(
α0
)= 1,
(αj
)= α(α−1)···(α−j+1)
j! .
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.2. Taylorovy polynomy a rady elementárních funkcí
X.2. Taylorovy polynomy a radyelementárních funkcí
Tvrzení 54 (TP elementárních funkcí)Pro každé k ∈ N platí:
T exp,0k = 1 + x + 1
2!x2 + · · ·+ 1
k!xk ,
T sin,02k−1 = T sin,0
2k =
x − 13!x
3 + 15!x
5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x
2k−1,
T cos,02k = T cos,0
2k+1 = 1− 12!x
2 + 14!x
4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x
2k ,
T log(1+x),0k = x − 1
2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1
k xk ,
T (1+x)α,0k =
(α0
)+(α1
)x + · · ·+
(αk
)xk , kde α ∈ R,(
α0
)= 1,
(αj
)= α(α−1)···(α−j+1)
j! .
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.2. Taylorovy polynomy a rady elementárních funkcí
X.2. Taylorovy polynomy a radyelementárních funkcí
Tvrzení 54 (TP elementárních funkcí)Pro každé k ∈ N platí:
T exp,0k = 1 + x + 1
2!x2 + · · ·+ 1
k!xk ,
T sin,02k−1 = T sin,0
2k =
x − 13!x
3 + 15!x
5 + · · ·+ (−1)k−1 1(2k−1)!x
2k−1,
T cos,02k = T cos,0
2k+1 = 1− 12!x
2 + 14!x
4 + · · ·+ (−1)k 1(2k)!x
2k ,
T log(1+x),0k = x − 1
2x2 + 13x3 + · · ·+ (−1)k−1 1
k xk ,
T (1+x)α,0k =
(α0
)+(α1
)x + · · ·+
(αk
)xk , kde α ∈ R,(
α0
)= 1,
(αj
)= α(α−1)···(α−j+1)
j! .
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.2. Taylorovy polynomy a rady elementárních funkcí
DefiniceNecht’ f je funkce, a ∈ R a funkce f má v bode a derivacevšech rádu. Potom radu
∞∑n=0
1n!
f (n)(a)(x − a)n
nazýváme Taylorovou radou funkce f o stredu a. Vespeciálním prípade a = 0 mluvíme o MacLaurinove rade.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.2. Taylorovy polynomy a rady elementárních funkcí
Veta 55 (T. rady elementárních funkcí)Platí:
∀x ∈ R : exp x =∞∑
n=0
1n!
xn,
∀x ∈ R : sin x =∞∑
n=1
(−1)n−1
(2n − 1)!x2n−1,
∀x ∈ R : cos x =∞∑
n=0
(−1)n
(2n)!x2n,
∀x ∈ (−1,1〉 : log(1 + x) =∞∑
n=1
(−1)n−1
nxn,
∀x ∈ (−1,1) : (1 + x)α =∞∑
n=0
(α
n
)xn,
tedy tyto funkce jsou souctem své Taylorovy rady o stredu 0 prouvedené hodnoty x.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce vícepromenných
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
DefiniceNecht’ G ⊂ Rn je otevrená množina, a ∈ G a f ∈ C2(G).Definujme funkci T f ,a
2 : Rn → R predpisem
T f ,a2 (x) = f (a)+
n∑i=1
∂f∂xi
(a)(xi−ai)+12
n∑i,j=1
∂2f∂xi∂xj
(a)(xi−ai)(xj−aj).
Tuto funkci nazýváme Taylorovým polynomem druhéhorádu funkce f v bode a.
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
Oznacme symbolem ∇2f (a) matici druhých parciálníchderivací funkce f v bode a (tzv. Hessovu matici), tj.
∇2f (a) =
(∂2f∂xi∂xj
(a)
)i,j=1..n
.
Pak mužeme psát
T a2 (x) = f (a) +∇f (a)(x − a) +
12
(x − a)T∇2f (a)(x − a).
Matematika III X. Tayloruv polynom
X.3. Tayloruv polynom 2. rádu funkce více promenných
Veta 56 (o TP funkce více promenných)Necht’ a ∈ Rn, ∆ > 0 a f ∈ C2
(B(a,∆)
). Potom existuje
funkce ω : B(a,∆)→ R taková, že
∀x ∈ B(a,∆): f (x) = T f ,a2 (x) + ω(x) · ‖x − a‖2
a platílimx→a
ω(x) = 0.
Matematika III X. Tayloruv polynom
XI.1. Podmínky druhého rádu
XI.1. Podmínky druhého rádu
Opakování
DefiniceBud’ G ⊂ Rn otevrená, neprázdná, f : G→ R. Rekneme,že f nabývá v bode a ∈ G lokálního maxima, jestližeexistuje δ > 0 takové, že B(a, δ) ⊂ G a∀y ∈ B(a, δ) : f (y) ≤ f (a).Rekneme, že f nabývá v bode a ∈ G ostrého lokálníhomaxima, jestliže existuje δ > 0 takové, že B(a, δ) ⊂ G a∀y ∈ B(a, δ) \ {a} : f (y) < f (a).Podobne difinujeme lokální minimum a ostré lokálníminimum. Body lokálního minima a lokálního maxima senazývají body lokálního extrému, podobne body ostréholokálního extrému.
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.1. Podmínky druhého rádu
XI.1. Podmínky druhého rádu
Opakování
DefiniceBud’ G ⊂ Rn otevrená, neprázdná, f : G→ R. Rekneme,že f nabývá v bode a ∈ G lokálního maxima, jestližeexistuje δ > 0 takové, že B(a, δ) ⊂ G a∀y ∈ B(a, δ) : f (y) ≤ f (a).Rekneme, že f nabývá v bode a ∈ G ostrého lokálníhomaxima, jestliže existuje δ > 0 takové, že B(a, δ) ⊂ G a∀y ∈ B(a, δ) \ {a} : f (y) < f (a).Podobne difinujeme lokální minimum a ostré lokálníminimum. Body lokálního minima a lokálního maxima senazývají body lokálního extrému, podobne body ostréholokálního extrému.
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.1. Podmínky druhého rádu
Opakování
Veta (nutná podmínka 1. rádu)Necht’ f ∈ C1(G) a f nabývá v a lokálního extrému. Potomplatí ∇f (a) = 0, tj. a je stacionárním bodem funkce f .
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.1. Podmínky druhého rádu
DefiniceNecht’ f je funkce n promenných. Je-li bod a ∈ Rn
stacionárním bodem funkce f a f nenabývá v a extrému,tj.
∀δ > 0 ∃x ,y ∈ B(a, δ) : f (x) > f (a) a f (y) < f (a),
pak bod a nazýváme sedlovým bodem funkce f .
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.1. Podmínky druhého rádu
Veta 57 (nutné podmínky druhého rádu)Budiž G ⊂ Rn otevrená, f ∈ C2(G), a ∈ G. Potom platí:
(i) Je-li a bodem lokálního maxima funkce f , je matice∇2f (a) negativne semidefinitní.
(ii) Je-li a bodem lokálního minima funkce f , je matice∇2f (a) pozitivne semidefinitní.
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.1. Podmínky druhého rádu
Veta 57 (nutné podmínky druhého rádu)Budiž G ⊂ Rn otevrená, f ∈ C2(G), a ∈ G. Potom platí:
(i) Je-li a bodem lokálního maxima funkce f , je matice∇2f (a) negativne semidefinitní.
(ii) Je-li a bodem lokálního minima funkce f , je matice∇2f (a) pozitivne semidefinitní.
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.1. Podmínky druhého rádu
Veta 58 (postacující podmínky druhého rádu)Budiž G ⊂ Rn otevrená, f ∈ C2(G), a ∈ G a necht’ a jestacionárním bodem funkce f . Potom platí:
(i) Je-li ∇2f (a) negativne definitní, nabývá f v bode aostrého lokálního maxima.
(ii) Je-li ∇2f (a) pozitivne definitní, nabývá f v bode aostrého lokálního minima.
(iii) Je-li ∇2f (a) indefinitní, nenabývá f v bode a anilokálního maxima, ani lokálního minima, tj. a jesedlový bod funkce f .
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.1. Podmínky druhého rádu
Veta 58 (postacující podmínky druhého rádu)Budiž G ⊂ Rn otevrená, f ∈ C2(G), a ∈ G a necht’ a jestacionárním bodem funkce f . Potom platí:
(i) Je-li ∇2f (a) negativne definitní, nabývá f v bode aostrého lokálního maxima.
(ii) Je-li ∇2f (a) pozitivne definitní, nabývá f v bode aostrého lokálního minima.
(iii) Je-li ∇2f (a) indefinitní, nenabývá f v bode a anilokálního maxima, ani lokálního minima, tj. a jesedlový bod funkce f .
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.1. Podmínky druhého rádu
Veta 58 (postacující podmínky druhého rádu)Budiž G ⊂ Rn otevrená, f ∈ C2(G), a ∈ G a necht’ a jestacionárním bodem funkce f . Potom platí:
(i) Je-li ∇2f (a) negativne definitní, nabývá f v bode aostrého lokálního maxima.
(ii) Je-li ∇2f (a) pozitivne definitní, nabývá f v bode aostrého lokálního minima.
(iii) Je-li ∇2f (a) indefinitní, nenabývá f v bode a anilokálního maxima, ani lokálního minima, tj. a jesedlový bod funkce f .
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.2. Extrémy konkávních funkcí
XI.2. Extrémy konkávních funkcí
Veta 59 (charakterizace konkávních funkcí trídyC2)Budiž G ⊂ Rn otevrená konvexní množina a f ∈ C2(G).Potom je funkce f na množine G konkávní, práve když provšechna x ∈ G je matice ∇2f (x) negativne semidefinitní.
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.2. Extrémy konkávních funkcí
XI.2. Extrémy konkávních funkcí
Veta 59 (charakterizace konkávních funkcí trídyC2)Budiž G ⊂ Rn otevrená konvexní množina a f ∈ C2(G).Potom je funkce f na množine G konkávní, práve když provšechna x ∈ G je matice ∇2f (x) negativne semidefinitní.
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných
XI.2. Extrémy konkávních funkcí
Veta 60 (postacující podmínka pro globálnímaximum)Necht’ G je otevrená konvexní podmnožina Rn, f ∈ C2(G)a a ∈ G. Necht’ platí
(i) ∀x ∈ G : ∇2f (x) je negativne semidefinitní,(ii) ∇f (a) = o.
Potom funkce f nabývá v bode a svého maxima namnožine G.
Matematika III XI. Extrémy funkcí více promenných