MECCANICA COMPUTAZIONALEpeople.dicea.unifi.it/lsalv0/didattica/Mecc.Comp.II-cap...Università degli Studi di Firenze Dipartimento di Ingegneria Civile Corso di Meccanica Computazionale

Università degli Studi di FirenzeDipartimento di Ingegneria CivileCorso di Meccanica Computazionale

Prof. Claudio BorriIng. Daniele Briganti

14/07/2006 - Capitolo 2: 1/74

Claudio BorriDaniele BrigantiLuca Salvatori

MECCANICA COMPUTAZIONALEMECCANICA COMPUTAZIONALEII

Capitolo 1

Stabilità Nonlineare

14 luglio 2006



14/07/2006 - Capitolo 2: 2/74

Fondamenti

Ipotesi della scienza delle costruzioni classica:

1. Piccole deformazioni e piccoli spostamenti2. Legame tensione – deformazione elastico lineare

Conseguenze:

1. Configurazione finale C(1) (tensioni e deformazioni) calcolata sulla configurazione iniziale indeformata C(0)

2. Unicità della soluzione (principio di Kirchhoff)3. Principio di sovrapposizione degli effetti



14/07/2006 - Capitolo 2: 3/74

Non linearità nel problema elasto-statico1. NON LINEARITA’ GEOMETRICA (grandi spostamenti):- soluzione del problema elasto-statico dipendente dalla configurazione finale C(1)



14/07/2006 - Capitolo 2: 4/74

Non linearità nel problema elasto-statico2. NON LINEARITA’ MECCANICA (comportamento non lineare del

materiale):- plasticità;

- fessurazione;

- isteresi;

Percorsi di equilibrio all’interno del domino d’interazione delle azioni M-N per sezione in CA

Esempio di diagramma momento curvatura in una trave in CA fessurata



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Cenni sulla storia della stabilità

Tratto da: “La stabilità delle strutture”, D.Ferretti, I.Iori, M.Morini.



14/07/2006 - Capitolo 2: 6/74

Discretizzazione inanalisi strutturale

a) Metodo alle Differenze finite

b) Metodo agliElementi finiti



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Metodo alle Differenze Finite

• L’elemento in esame viene schematizzato con un reticolo di N nodi detto dominio, rispetto ai quali si sostituiscono le equazioni differenziali con i corrispondenti rapporti incrementali. Così facendo si ottengono NxN equazioni lineari.

• Reticolo uniforme (assenza di zone più dettagliate di altre)• Soluzione di grossi sistemi lineari• Difficoltà di convergenza

Problemi connessi al metodo:



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Metodo degli Elementi Finiti (FEM)

• Discretizzazione in elementi di volume continuo a dimensioni finite, connessi ed interagenti fra loro in punti detti nodi

• Equilibrio e congruenza elemento per elemento

• Congruenza nei nodi della struttura (relazione tra spostamenti nodali dell’elemento e spostamenti nodali della struttura)

• Equilibrio nei nodi della struttura fra carico applicato e forzeinterne



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Analisi non lineare – concetti fondamentali• Equazione non lineare del moto:

)(),,( tt PVVGVM =+⋅ &&&

dove M è la matrice globale delle massesono i vettori nodali degli spostamenti, velocità e accelerazione

P è il vettore dei carichi nodaliG è la matrice della funzione di risposta delle forze interne nodali dovute

a meccanismi elastoplastici e dovuto allo smorzamento viscoso

V ,V V, &&&

+

++= VVVVo

PPP +=



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Analisi non lineare – concetti fondamentali• Variazione prima dell’equazione non lineare del moto

rispetto alla condizione fondamentale:

(t)PVδVGVδ

VGVδM

V

.

V

..

=⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅+++

&&

TViV

TViV

KVG

VG

CVG

VG

i

i

=∂∂

=∂∂

=∂∂

=∂∂

&&&& Matrice di smorzamento tangente

Matrice di rigidezza tangente



14/07/2006 - Capitolo 2: 11/74

Analisi non lineare – concetti fondamentali

• Equazioni di campo: ( ) ( )

u(u)DDuDε

σ(u)DDσDfpεσ,f,u,p,

kNkLk

eNeLe

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⋅=

⋅+=⋅=+−∈∀

21

V

• Equazione costitutiva:...oεt),εD(εεt),εE(εσσ ⋅+⋅+= ,,

• Condizioni al contorno:

( )

uRrr

σ(u)RRσRtt

tr,σu,

r

otNtLt

o

⋅==

⋅+=⋅==

∈∈∀ CV ,



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Principio dei lavori virtuali incrementale:

+++

+++

⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=++=++=

u)u(DuuDDuuu2DD kN

oo

21)()(

21

21

!21 2

ukNkLkNkL

εεεεδδεεε

....

....

2...

)()(

21

!21

+++++

+++

⋅+⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

=++=++=

u)u(Du)u(DuuDDuuuDD kNkN

ooukNkLkNkL

εεεεδδεεε



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o

C

oTo

V

oT

o

V

Too

C

oToT

V

o

V

To

o

V

TTooT

V

o

CdVd

VdCdVdVd

VdVd

too

ot

ooo

oo

++++

++++++

⋅+⋅+

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅+⋅−⋅=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅+⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅

∫∫

∫∫∫∫

∫∫

utup

rtuuup

uu

δδ

εδσσδδρδδ

εδσεδσσδρ

..

..

21

Sostituendo le equazioni precedenti all’interno della relazione sopra scritta e discretizzando il problema secondo il metodo FEM si ricaverà la forma generale dell’equazione globale tangente del moto


( ) ( )

;)

(

)(

;

pm

ppppppNu

pLu

puN

puL

pN

pL

pN

pL

ppe

ppuN

puL

pv

pp

pi

pppT

ppT

pp

pppkN

ppkN

pN

ppkL

pkL

pL

ppp

o

o

ffffpvkk

kkkkkkkk

vcccvm

fpvkvcvm

vvDuuDε

vDuDεvΩu

−−−−=⋅+

+++++++++

+⋅+++⋅

−=⋅+⋅+⋅

⋅=⋅=

⋅=⋅=

⋅=

+

++

+++

σσσ

σσσσσ

&&&

&&

&&&

&&&

Approssimando il campo degli spostamenti con adeguate funzioni di forma si ricava:



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iFPVKVCVM T -.

T

..

=⋅+⋅+⋅+++

iFPVKT -=⋅+

in condizioni statiche l’equazione si trasforma in:

volendo restringere l’attenzione al caso di un processo di carico mono-parametrico si ricava:

++

==⋅ PFPVKT io -λ

dove l’equilibrio è ottenuto per .0→∆=+

PP


( )( )( ) 0det

0det0det

<=>

T

T

T

KKK

Condizioni locali di equilibrio:Equilibrio stabile;Equilibrio indifferente;Equilibrio instabile;



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[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡===⋅⋅

++

nn

iidiagλ

λλ

λ00

0000

22

11

T

T

ΛΦKΦ

Consideriamo adesso il problema agli autovalori e scomponiamo la matrice della rigidezza tangente in una matrice diagonale (composta dagli autovalori e da una composta dai rispettivi autovettori)

Come precedentemente accennato, la condizione di stabilitàdell’equilibrio dipende dal valore del segno del determinante di KT e come tale da quello degli autovalori lii:

⇒<⇒=⇒>

000

ii

ii

ii

λλλse tutti gli autovalori sono equilibrio stabile

se almeno un autovalore è equilibrio criticose almeno un autovalore è equilibrio instabile



14/07/2006 - Capitolo 2: 18/74


Per quanto detto, è facile rendersi conto che la condizione: det(KT)>0 è solo necessaria ma non sufficiente a garantire la certezza della stabilità dell’equilibrio. Lo schema riportato e proposto da Thompson & Hunt, consente di stabilire la qualitàdell’equilibrio conoscendo: p il numero di autovalori positivi, ril rango di KT e n la dimensione della matrice stessa.



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Analisi non lineare – concetti fondamentaliPer investigare i percorsi di equilibrio critici lungo un qualunque percorso P=P(V) passante per il punto critico Pm si può considerare il vettore tangente tm al vettore P:

1T =⋅++

mm VV⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡∆= +

m

m

V

λmt

omi

omm PFPVKT λλ ∆==⋅

+

-con ,



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Considerando poi il vettore così composto:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

mm Φ

Φ0* 1T =⋅

++

mm ΦΦ0ΦKT =⋅ m ,con

A questo punto si possono fare le seguenti considerazioni:- Si hanno punti limiti se: Dlm=0 e - Si hanno punti di biforcazione se:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== +

mmmt V

Φ0*

mm ΦV ≠+

mjm ΦV ≠+

per punti di biforcazione singoliper punti di biforcazione multipli



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Analisi di stabilità non lineare – problema quadratico

Dato un sistema non lineare qualunque, possiamo esprimere, la matrice delle rigidezze tangente nel modo seguente:

uNuLNLe o KKKKKKKT +++++= σσσ

dove:

( ) ( )VVKVKK ,NL σσσ += Matrice delle tensioni iniziali

( ) ( )VVKVKK ,uNuLu += Matrice degli spostamenti iniziali



14/07/2006 - Capitolo 2: 23/74


Al fine di individuare il punto critico Pm lungo un percorso P(V), si può assumere un’adeguato stato fondamentale V, la cui deformata Vm in corrispondenza al punto critico è pari a: Vm=lm V. Sostituendo questa nell’equazione d’equilibrio si ricava:

( ) ( ) 02 =⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++=⋅ muNNmuLLmem o ΦKKKKKKΦKT σσ

σλλ

Il problema così posto si risolve quando lm=1, il quale corrisponde esattamente al problema linearizzato agli autovalori:

( ) 0=⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++++=⋅ muNuLNLmem o ΦKKKKKKΦKT σσ

σλ



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Così se per un certo punto del percorso fondamentale V = Vmallora la condizione

det(KT)=0risulta soddisfatta, insieme a lm=1, la quale consente di risolvere il problema linearizzato agli autovalori precedentemente esposto anziché il sistema in forma quadratica.



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cc

+

+= VVV ξ

Arrivati a questo punto per seguire un percorso di equilibrio secondario è possibile, utilizzando i classici metodi iterativi, usare il seguente algoritmo: determinato il carico critico Pm e assumendo al tempo stesso il corrispondente autovettore come stato perturbato dell’equilibrio, si sfrutterà quest’ultimo come start-vector per seguire i rami secondari dell’equilibrio:

dovex è un adatto parametro di controllo

cm

+

= VΦ



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METODI ITERATIVI

Per i procedimenti iterativi si rimanda al capitolo 6: Introduzione all’analisi non lineare

Analisi di stabilità non lineare – applicazioni



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14/07/2006 - Capitolo 2: 28/74




14/07/2006 - Capitolo 2: 29/74




14/07/2006 - Capitolo 2: 30/74





14/07/2006 - Capitolo 2: 31/74



14/07/2006 - Capitolo 2: 32/74





14/07/2006 - Capitolo 2: 33/74



14/07/2006 - Capitolo 2: 34/74





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Il problema di biforcazione: il caso “normale” l’asta di Eulero

Ipotesi:- le tensioni normali all’asse della trave non hanno influenza;- le sezioni rimangono piane;- le sezioni conservano la loro forma;- le sezioni rimangono normali anche rispetto all’asse deformato della trave

y

z

vAØAA'

AwA

f P

Q

N

M



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y

z

dv

d(z+w) P

dZv

Equazioni di equilibrio:

ydØ

dØ

L

dZ

dZ(y)=(L-y)dφ

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

⋅=

=

=

∫∫∫

dAyM

dAQ

dAN

Az

Az

Az

σ

τ

σ

Equazioni di congruenza: (a)1')()(

)( −−=−−

= φφ

ε yLdz

dzdyLy

Esprimendo ε e φ’ in funzione degli spostamenti v e w si ottiene:

( )22

22

')'1(''''1''),('

1')'1(),(

vwvwwvwv

vwwv

++−+

=

−++=

φ

ε

(c)

(b)



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14/07/2006 - Capitolo 2: 38/74


Inoltre si può scrivere:

εφ

εφ

++

=+

=+

=

+===

1'1)()()cos(

1')(

wdZdz

dzwzd

dZwzd

vdZdz

dzdv

dZdvsen

Esprimendo le equazioni di equilibrio in funzione dei parametri di spostamento, si ricava:

( )

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+

⋅=⋅=−==

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++⋅=⋅=−==

∫∫∫

∫∫∫

222

22

')'1(''')'1('''')(

1''1')(

vwvwwvEJEJdAyEdAyEdAyyEM

vwEAEAdAyEdAEdAyEN

AAA

AAA

φφεε

εφεε

E’ interessante confrontare le due espressioni sopra scritte con quella utilizzata nella teoria classica della trave:

'''

vEJMwEAN⋅=⋅=



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Consideriamo adesso le equazioni di equilibrio nella configurazione deformata:

00sin0cos

=−=−=+

PvMPQPN

φφ

Sostituendo l’equazione (b) in (d) si ha:

0)cos( =+ φε PEA

(d)

(e)

(f)

(g)

Differenziando l’equazione (f) secondo z e sostituendo le espressioni di M e di val suo interno di ricava:

( ) ( ) 0sin1'' =++ φεφ PEJ (g’)

Volendo rappresentare l’equazione (g’) in funzione della sola variabile φ si ricava:

( ) 0sincos1'' =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ φφφ

EAPPEJ (h)



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L’integrazione dell’equazione differenziale (h) nella variabile indipendente φ, consente di determinare la soluzione al problema dell’equilibrio da noi cercata. Per fare ciò, consideriamo le seguenti semplificazioni:

cost;;cost

==

EJEA

E chiamando:

EJEAP

EJP

⋅=

=

2

2

1

λ

λ

Grazie a queste semplificazioni l’equazione (h) può essere scritta come:

0cossinsin'' 21 =−+ φφλφλφ (i)



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φφφφ

dd '''' =

Volendo cercare le soluzioni dell’equazione (i) si può osservare che φ=0 appartiene a queste. Per cercare un risultato più interessante, si può procedere come di seguito indicato:

φφλφλφφ dd ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= )2sin(

21sin'' 21

Ponendo e sostituendo nella (i) si ricava:

La quale integrata, fornisce il seguente primo risultato:

1212 )2cos(

41cos'

21 C+−= φλφλφ

(l)

(m)

La costante d’integrazione C1 è calcolata attraverso le condizioni al contorno:

)2cos(41cosmax 211 mmm C φλφλφφ +−=⇒= (n)



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Integrando nuovamente l’equazione (n), si ricava:

( ) ( )2

21 )2cos()2cos(

2coscos2

Cdz

mm

+−−−

±= ∫φφλφφλ

φ

L’integrale sopra scritto, può essere adimensinalizzato e riportato al caso ben noto di integrale ellittico di Legendre di prima specie:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−±

−= ∫ ∫

2

0 02222 sin1sin1

π θ

θθ

θθ

kd

kdKz

(o)

(p)

Grazie alla (p) si possono fare le seguenti considerazioni:- Fissati i parametri strutturali ed utilizzando le tabelle disponibili, si

ricava z in funzione di θ e quindi φ in funzione di z;- φ e v sono funzioni periodiche in z nella configurazione deformata;



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Il problema di biforcazione: il caso “normale”l’asta di Eulero

Per piccole rotazioni φm, si può sostituire nell’equazione (o) il coseno con il corrispondente sviluppo in serie arrestato al secondo termine:

( )( ) 22221

Cdzm

+−−

±≈ ∫ φφλλφ

Considerando che la costante C1=0 per z=0 e φ=φm, si ha:

)cos( 21 zm ⋅−⋅≈ λλφφ

(q)

(r)

L’equazione (r) è la relazione cercata; la periodicità significa che:- dato φm, sono possibili infinite deformate con lunghezza iniziale l, 2l, 3l,

…,nl;z=l/2

z=l/4

z=l/6

Fig.1


- dato l, sono possibili infinite deformate, dati gli infiniti valori di φm.

φm3φm2

φm1

- Dalla Fig. 1 risulta che per z=l/(2n), φm=0 e θ=0 e quindi la relazione (p) diventa:

Fig.2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−±

−= ∫ ∫ ...

43

21

211

2sin1sin124

22

22

0 02222

kkKkd

kdK

nl π

θθ

θθ

π θ

(s)

L’equazione (s) lega, il carico P con la rotazione φm e con la lunghezza l della trave. Dato dunque l, si può determinare P in modo che, per qualsiasi valore n e quindi di deformata periodica, si verifichi l’innesco dell’instabilizzazione: ciò accadrà per φm=0, poiché all’inizio del fenomeno l’asta si troverà nella configurazione rettilinea.



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Determinando K e per φm=0, l’espressione (s) diventa:

2

22

21

21

0

1

ln

k

K

πλλ

λλ

=−

=

−=

Da qui l’espressione del carico critico Po:

EAPl

EJnPo

o

−=

1

12

22 π (t)



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Dopo ulteriori passaggi e limitandoli al caso di piccole rotazioni, si ricavano le espressioni relative alle incognite del problema:

lEAP

EAPlzwf

zzl

nnl

EAPz

EAPw

zl

nnl

EAPv

m

m

m

⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+≈=≈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−≈

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≈

2

2

2141)(

sin2

2141

sin1

φ

ππ

φ

πφπ

(t)

(u)

(v)

Il problema di biforcazione: il caso “normale”l’asta di Eulero - Risultati

- Nell’ipotesi di piccole rotazioni φ, si ottiene che la funzione φ(z) ècosinusoidale, mentre la deformata critica v(z) è sinusoidale;

- Indicando con vm l’inflessione massima, tracciamo le curve P- vm e P-f

fig.3

fig.4

n=1

n=2

n=3

n=4

Po(n=1)

Po(n=2)

Po(n=3)

Po(n=4)

vm

P

eq. stabile

prim

ario

eq. instabileeq. indifferente

n=1

n=2

n=3

Po(n=1)

Po(n=2)

Po(n=3)

Po(n=4)

f

P

eq. stabileeq. instabileeq. indifferente

n=4

prim

ario

A

BC''

D

B'

D'

D''



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- Si ottiene dunque un “fascio” di rami deviati che intersecano il ramo fondamentale n corrispondenza dei carichi Pon;

- vm può assumere segno positivo o negativo, mentre f mostra rami solo per valori positivi e crescenti;

- Al crescere del carico P aumenta il numero dei possibili stati di equilibrio:- - per P<P0(n=1) non c’è equilibrio nella configurazione inflessa: vm=0;- - per P0(n=1)<P<P0(n=2) consideriamo B e perturbiamo il sistema

raggiungendo B’ (fig.4), trasformando fB in (f+v)B. Se poi abbandoniamo la perturbazione avremo: PB> PB’ e la differenza agisce in direzione di f positivo, facendo spostare il sistema in direzione di C.

- - per P0(n=i)<P<P0(n=i+1) analoghe considerazioni del punto precedente.- Quali influenze ha la deformata per instabilità sulla capacità portante? La

sollecitazione per compressione si trasforma prevalentemente in flessione e l’equilibrio nella configurazione inflessa è stabile.



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- E’ possibile dimostrare che semplificando il problema e trascurando i rapporti P/(EA) e Po/(EA) si ottiene la seguente relazione approssimata:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅≈

=

18)1(no

m PPlv

π

Supponendo di aver oltrepassato la soglia critica del 10% allora P/P0n=1=1.1 e vm =0.285 l.

Quindi la massima inflessione trasversale è circa il 30% della lunghezza dell’asta, il che implica la pratica inutilizzabilità di una trave instabilizzata



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- 1° particolarità dell’asta caricata di punta: se P/EA<<1 l’espressione si semplifica secondo la forma di Eulero

Il fatto che la deformabilità a sforzo normale sia trascurabile è un fatto del tutto PARTICOLARE; infatti, anche se nella maggior parte dei casi di interesse pratico risulta lecito fare tale assunzione, esistono casi in cui una tale semplificazione risulta completamente illegittima, conducendo a risultati del tutto inattendibili.

2

22

lEJnP

nkπ

≈



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- 2° particolarità: la curva P-f di fig. 4, presenta in corrispondenza del punto di equilibrio indifferente, tangente non orizzontale, cosa che non accade in corrispondenza dello stesso punto nel diagramma P-v fi figura 3.

L’interpretazione fisica è che al raggiungimento del carico Po, la configurazione adiacente è raggiungibile da quella rettilinea soltanto con una perturbazione data da spostamenti v e non w (assiali). (se si perturba nella sola componente v, si ha ancora equilibrio a carico costante, altrimenti il carico cresce poiché dP/df > 0)

L’interpretazione matematica: avendo sviluppato f e vm come serie di potenza nella variabile φm, si è ottenuto che, nel caso di f il termine lineare si annulla; cioè nel denominatore di dP/df non compare un termine in dφm/dP.

- 3° particolarità: la soluzione dell’asta indeformata (relazione P-f) nel dominio pre-critico coincide con quella classica (legge lineare)

Il caso generale della biforcazione

)sin()()( mAv afff φ⋅++=

Si noti che per il caso generale della biforcazione (dP/df)P=Po=0

fP

a

aP

A B

II

III

Po(n=1)

Po(n=2)

Po(n=3)

f

P

eq. stabileeq. instabile

eq. indifferente

I



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Il caso generale della biforcazione Commenti:1. Il fermine f(A) determina la deviazione dalla retta lineare;2. Il termine a sin(φm) produce l’orizzontalità della tangente, poiché lo

sviluppo in serie del seno fa nascere una componente lineare in φm.

yV1

H1

M1

VoHo

Mo

zp(s)

p(s)m(s)

dz

v

ØAw

dssTdssmdMdssqTdNd

dsspTdNd

)()(0)()cos()sin(

0)()sin()cos(

=+=++−

=++φφ

φφEquazioni di equilibrio:



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Il caso generale della biforcazione Considerando che ds=(1+ε)dz si ricava che:

Tdz

dM

TNdzd

TNdzd

⋅+=

=+−

=+

)1(

0)cossin(

0)sincos(

ε

φφ

φφ

Integrando le prime due si ricava:

o

o

o

o

VTNVTpertTN

HTNHNpertTN

=+−=→=⇒=+−

=+=→=⇒=+

φφφφφ

φφφφφ

cossin)20coscossin

sincos)10cossincos



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Risolvendo il sistema delle equazioni 1) e 2) si ricava:

φφφφ

cossinsincos

oo

oo

VHTVHN

+=−=

Ricordando che M’=(1+ε)T e che per il legame elastico M=EJφ’ si ottiene la seguente equazione differenziale:

( ) ( )( ) 0cossin1'' =++− φφεφ oo VHEJ



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Il caso generale della biforcazione TRAVE ELASTICA CARICATA DI PUNTA

0

0

0=

−==

VPH

ε

Consideriamo il caso di trave su due appoggi, a sezione costante e nell’ipotesi di assenza di dilatazione assiale:

0sin'' =+ φφ PEJ

Con tale ipotesi l’equazione differenziale precedentemente scritta si trasformerà in:

Tale equazione è integrabile (integrale ellittico di Legendre).Ai soli fini della determinazione del carico critico è lecito linearizzare

l’equazione precedente, ponendo per l’intorno infinitesimo di Co

φφ ≅sin



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'0' vv −=⇒=+= φφλ

Nell’ipotesi, inoltre, di trascurabilità della deformazione a taglio:

( ) 0'''' =+PvEJv

L’equazione per la trave caricata di punta diviene:

21)cos()sin()( CzCzBzAzv +++= λλ

Il cui integrale generale è del tipo:

In cui l2=P/EJ

21)cos()sin()( CzCzBzAzv +++= λλ

Osservazione: dall’equazione linearizzata non sarà possibile avere informazioni sulla configurazione C1, che resta indeterminata


Condizione al contorno:v(0)=0 v(l)=0 (cinematica)v’’(0)=0 v’’(l)=0 (statica)Allora i coefficienti B=C1=C2=0A sin(ll)=0

z

P

2220)sin(0

lEJnPlA n πλ =⇒=→≠⇒



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Il caso generale della biforcazione Condizione al contorno:v(0)=0 v’(0)=0 (cinematica)

v’’(0)=0 (statica)

z

P

ELlPv

EJlTlv )(')()(''' −=−=

( )

( ) 2

2

12

22

5

)2()2(12

2120)cos(

lEJP

lEJnP

nll

nππ

πλλλ

=⇒+=

+=⇒=



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z

P Condizione al contorno:v(0)=0 v’(0)=0 (cinematica)

v(l)=0 v’(l)=0 (statica)

2

2

12

22

)5.0(4

0)2

sin(

lEJP

lEJnP

l

nππ

λ

=⇒=

=



14/07/2006 - Capitolo 2: 60/74

Il caso generale della biforcazione Condizione al contorno:v(0)=0 v’(0)=0 v(l)=0 (cinematica)

V’’(l)=0 (statica)

z

P

2

2

1 )7.0(

43.1

lEJP

lπ

πλ

=

=



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σ

λ

σκ

y

z PP EA=cost

Instabilità nel caso di instabilità non lineare Limitiamo la nostra analisi al caso di trave RETTILINEA, DOPPIAMENTE

APPOGGIATA, CARICATA ASSIALMENTE E A SEZIONE COSTANTE:

2

2

λπσ E

ki =

Come noto la tensione critica euleriana è pari:



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σ

λ

σσR,S

K

Ki

Instabilità nel caso di instabilità non lineare In realtà, supponiamo i seguenti comportamenti ideali del materiale:

σ

ε

σR

σ

ε

σS

Perfettamente Fragile

Perfettamente Plastico

In questo caso l’iperbole di Eulero si modifica secondo la figura riportata a lato.

Instabilità nel caso di instabilità non lineare

Volendo tenere in conto dell’effettivo comportamento incrudente del materiale, si può adottare la seguente legge costitutiva:

arctg(H)

εP

σ

ε

σP

arctg(E)p

p

pp

E

E

σπλ

λπσ

=

= 2

2

Introducendo il comportamento Elastico Linearmente Plastico, e ponendo:

H = n E , con 0<n<1. Supponendo che nella configurazione iniziale C0 le sezioni siano uniformemente plasticizzate per effetto di una forza normale di compressione P0 che verifica la condizione di equilibrio:

-P0 = H A e0



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Studiamo il problema di stabilità col metodo dell’equilibrio, determiniamo cioè, quando è possibile l’equilibrio in una configurazione fondamentale C1

appartenente ad un’intorno infinitesimo di C0:

- C1 è ottenuta attribuendo ai punti dell’asse geometrico sia spostamenti assiali w(z) che trasversali v(z); per garantire l’equilibrio relativo alla forza normale dovuta agli spostamenti w(z) diamo al carico P0 un un’incremento DP.

- Lo stato di deformazione puramente elastico raggiunto con l’attribuzione di un campo di spostamenti, è INDIPENDENTE dal percorso seguito, ma dipende solo dagli estremi; mentre, nello stato di deformazione elasto-plastico, l’equilibrio dipende anche dal percorso seguito. Da questo si capisce che l’equilibrio non è indipendente dall’ordine con cui si applicano le componenti di spostamento w(z) e v(z). Come tale, le conclusioni che raggiungeremo saranno diverse:


1. PRIMO PERCORSO: si applica w(z) e poi v(z) (soluzione in fase elasto-plastica)

h1

h2

0 σw

σ0 σw1

2 σv

σv1

2σ-y

y

A2

A1e

σ

ε

σP

arctg(H)

εP

σwσw=12

σv1

σv2

ATTRIBUENDO w(z): per rispettare l’equilibrio occorre applicare un DP tale che:

ww

ww

HNHAP

εσε

===∆−



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14/07/2006 - Capitolo 2: 67/74

Instabilità nel caso di instabilità non lineare ATTRIBUENDO successivamente v(z): si ottiene una configurazione adiacente inflessa che dà luogo ad un aggravio della tensione (incremento plastico) nella parte superiore della sezione (A2):

)(

'')(2

2

eyH

vey

v

v

−=

−−=

χσ

ε

mentre si avrà un decremento elastico della tensione nella parte inferiore (A1):

)(

'')(1

1

eyE

vey

v

v

−=

−−=

χσ

ε

Per determinare “e” (y=e è l’asse intorno al quale ruota la sezione), si può scrivere la condizione che v non dia sforzo normale, cioè:

∫ ∫∫ −+−⇒==A AA

vv dAeyHdAeyEdAN21

21 )()(0 χχσ



14/07/2006 - Capitolo 2: 68/74

Instabilità nel caso di instabilità non lineare Introducendo il momento statico della sezione ideale Si costituita dalla parte elastica A1 e dalla parte plastica A2/n (n=H/E) si ricava:

( )

( ) 0)(

0)(

1 2

1 2

=−+−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−

∫ ∫

∫ ∫

A Ai

A A

dAeyndAeyS

dAeyndAeyEχ

Nella configurazione adiacente le caratteristiche di sollecitazione risultano: una forza normale N ed un momento flettente rispetto all’asse y=e

( ) ( )wA

w HAdAHN εεεε +=+= ∫ 00

1(poiché le componenti v(z) non danno sforzo normale)( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+−+−+=

−+−+−+=

∫∫∫

∫∫∫

21

21

220

220

AAAw

AAAw

dAeyndAeyEdAeyHM

dAeyHdAeyEdAeyHM

χεε

χχεε



14/07/2006 - Capitolo 2: 69/74

Instabilità nel caso di instabilità non lineare Definendo: ( ) ( )∫ ∫ −+−=

1 2

22

A Ai dAeyndAeyJ

Momento di inerzia della sezione ideale in fase elasto-plastica e attraverso l’annullamento del momento statico S di tutta la sezione rispetto a y=0 le equazioni di equilibrio divengono:

( ) ( )

( ) ( )( )evPPEJeAydAH

PPHAN

iA

w

w

+∆+==⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

∆+−=+=

∫ 00

00

χεε

εε

Ricordando che e che e ricordando, l’equazione di equilibrio del sistema fondamentale intermedio, si ottiene:

dzdw

w =ε2

2

dzvd

−=χ

0)(''0'

0 =∆++=∆+

vPPvEJPHAw

i



14/07/2006 - Capitolo 2: 70/74

Instabilità nel caso di instabilità non lineare La prima equazione è irrilevante ai fini del problema di stabilità (è solo la corrispondente in campo plastico della equazione della deformazione assiale che possiamo ricavare in campo elastico).

La seconda, invece, caratterizza, il problema di stabilità in fase elasto-plastica.

Introducendo il MODULO IDEALE:

( ) ( ) KJEJJ

HJEJJ

nJJEJ

EJK ii =⇒

+=

+== 2121

Ed otteniamo ( ) 0'' 0 =∆++ vPPKJvDa questa equazione, in modo del tutto analogo a quanto visto per il caso elastico,si ottiene il carico critico:

22

lKJPk π= ENGENSSER (1895)

VON KARMAN (1910)



14/07/2006 - Capitolo 2: 71/74

Instabilità nel caso di instabilità non lineare 1. SECONDO PERCORSO: si applica v(z) e poi w(z)

ATTRIBUENDO v(z): otterremo una rotazione della sezione rispetto all’asse y=econ decremento elastico nella zona 1

( ) 11

max,1 hEeyE vv χσχσ =→−=

Ed incremento plastico nella zona 2

( ) 22

min,2 hHeyH vv χσχσ −=→−=

poiché con il solo spostamento trasversale v(z) non si è incrementato di sforzo normale, l’asse y=e è baricentrico della sezione ideale cioè:

0=iS



14/07/2006 - Capitolo 2: 72/74

Instabilità nel caso di instabilità non lineare ATTRIBUENDO successivamente w(z): otterremo un incremento del carico DP ed una dilatazione uniforme tale che'ww =ε

111

max,1 cioè hEwvw χσσσ ≥≥

Nella generica fibra della zona A1 avremo:

( ) ( ) ( )[ ] ( )111 heyHeyhHeyEeyEw −−=+−+−−−≥ χχχχσ

Mentre nella generica fibra della zona A2 avremo:

( )12 heyHw −−= χσ

In corrispondenza dell’asse neutro si ha:

( ) '10 HwheHw =+−= χσ

La sezione è completamente plasticizzata



14/07/2006 - Capitolo 2: 73/74

Instabilità nel caso di instabilità non lineare Quindi: sia in A1 che in A2 lo stato di tensione è rappresentato dalla stessa legge lineare in y.

Le caratteristiche di sollecitazione sono dunque:

'' :0y asseall' intorno flettente Momento

)( :centrata normale Forza

1

HJvHJM

ehHAN

−===+−=

χ

χ

Tralasciando la prima equazione di equilibrio:'HAwPN =∆−=

La seconda

0)('' 0 =∆++ vPPHJv



14/07/2006 - Capitolo 2: 74/74


dà luogo al problema di stabilità in fase plastica caratterizzato dal carico critico:

2

2

lHJPH

π=

Poiché H<K, PH è da riguardarsi come il carico critico effettivo.

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