Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica a.a. 2008/2009 - IIIperiodo - Prof. A. Passerini

Note di Meccanica Razionale

Nella visione di Laplace (1749-1827), l’apparato formale eteorico della Meccanica Classica per-metteva di descrivere l’evoluzione dell’intero universo in modo assolutamente causale e deterministico.Questo sogno di perfetta predizione del futuro e ricostruzione del passato viene via via nel tempo ridi-mensionato dall’insorgere di nuove teorie, come la Fisica dei Quanti o la Teoria del Caos. Ciononostantela Meccanica resta uno straordinario strumento, sempre suscettibile di sviluppi, per tenere sotto control-lo il mondo delle cose. Molto piu modestamente, scopo del presente corsoe ampliare le conoscenze didinamica del punto acquisite in Fisica I allo studio di oggetti piu complessi, quali il corpo rigido e isistemi vincolati.

Indice

1 Descrizione geometrica del moto e vincoli olonomi. 21.1 Lo spazio euclideo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 21.2 Vincoli olonomi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 31.3 Gradi di liberta del corpo rigido e definizione di moto piano. . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Calcolo vettoriale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 61.5 La velocita dei punti di un corpo rigido. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 91.6 I moti relativi e la composizione delle velocita angolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Classificazione dei moti del corpo rigido ed esempi. . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 13

2 Dinamica dei sistemi vincolati. 152.1 Introduzione al problema: il punto vincolato. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Dinamica del punto vincolato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 172.3 Il lavoro dei vincoli ideali e delle forze attive. . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 202.4 Le equazioni di Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 21

3 Equazioni cardinali, vettori applicati, tensore d’inerzia. 243.1 Le equazioni cardinali della meccanica dei sistemi di punti. . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Sistemi di vettori applicati. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 263.3 Il baricentro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 283.4 Asse centrale, invariante scalare, vettori nel piano. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.5 Il momento della quantita di moto e il tensore d’inerzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.6 Tensore d’inerzia e baricentro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 38

4 Dinamica del corpo rigido, libero e vincolato. 404.1 Corpi rigidi vincolati: le equazioni del moto. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Calcolo delle reazioni vincolari. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 424.3 Scrittura delle equazioni di Lagrange in presenza di corpi rigidi. . . . . . . . . . . . . . 434.4 Equazioni del moto del corpo rigido libero e del corpo rigido con punto fisso. . . . . . . 45

1

1 Descrizione geometrica del moto e vincoli olonomi.

1.1 Lo spazio euclideo.

Al fine di descrivere il moto dei punti massivi e dei corpi rigidi richiamiamo alcune proprieta degli spazivettoriali.

In quanto segue, i vettori saranno sempre indicati in grassetto ad eccezione dei vettori spostamento:con

u = uxi + uy j + uzk =3∑

i=1

uiei , (1.1)

si indica il vettore generico, mentre il vettore spostamento, che indica la posizione di un punto mobile Posservato da un riferimento con origine inO, si scrive come segue

P − O = xPi + y

Pj + z

Pk =

3∑

i=1

xiP

ei . (1.2)

I versoriei, coni = 1, 2, 3, associati a un riferimento levogiro, costituiscono una base ortonormale perlo spazio vettoriale tridimensionale: l’unico tipo di baseutilizzato nelle presenti note.

I risultati ottenuti in Geometria I saranno sempre applicati al caso particolare di basi ortonormali.Ad esempio, se si cambia terna levogira mantenendo fissa l’origine del riferimento, la matrice del cam-biamento di base (che permette di trasformare le une nelle altre le coordinate di uno stesso vettore) sarasempre una matrice ortogonale con determinante 1.

La notazione introdotta in (1.2) permette di decomporre un vettore nella somma di altri due (vedifigura) semplicemente aggiungendo e togliendo un punto, vale a dire

P − O = P − Q + Q − O = (P − Q) + (Q − O) , (1.3)

6

-

1

y

xx

Q

yQ Q

O

�> P

dove P − Q = (xP− x

Q)i + (y

P− y

Q)j + (z

P− z

Q)k . (1.4)

Richiamiamo poi la definizione di prodotto scalare. Esso sara qui indicato come

u ·w = uw cos θ , (1.5)

in cui u e w rappresentano la lunghezza dei vettori (invece il modulo dei vettori spostamento si indicacon |P − O|).

Il prodotto scalare permette di calcolare le componenti di un vettore utilizzandone le proiezioniortogonali, una volta noti gli angoliαi (i = 1, 2, 3) che esso forma con gli assi coordinati:

ui= u · ei = u cos αi . (1.6)

poiche i versori degli assi cartesiani sono ortogonali fraloro ecos(π/2) = 0, si ha peri, j = 1, 2, 3

ei · ej = δij

, (1.7)

2

dove il simbolo di kroneckerδij

si usa per indicare una quantita che si annulla se gli indicisono diversi,e vale1 se sono uguali.

Utilizzando la (1.1), la (1.7) e la proprieta distributivadel prodotto scalare questo puo esser scritto infunzione delle componenti dei vettori nel modo seguente

u ·w = (

3∑

i=1

uiei) ·(

3∑

j=1

wjej) =

3∑

i=1

3∑

j=1

uiw

jei · ej

=

3∑

i=1

uiw

i= uxwx +uywy +uzwz . (1.8)

Viceversa, note le componenti, si calcola facilmente la lunghezza dei vettori con la

u =√

u · u =√

u2x

+ u2y

+ u2z

. (1.9)

Se decomponiamoP − O utilizzando proiezioni ortogonali, la (1.9) si deduce comeapplicazione delTeorema di Pitagora al calcolo della diagonale di un parallelepipedo rettangolo (vedi figura). Infatti,seQ e H sono rispettivamente la proiezione ortogonale diP nel pianoxy e di Q sull’assex, allora laP − O = (P − Q) + (Q − H) + (H − O) implica

|P − O|2 = |P − Q|2 + |Q − O|2 = z2P

+ |Q − H|2 + |H − O|2 = z2P

+ y2P

+ x2P

, (1.10)

ove si e applicato il Teorema di Pitagora prima al triangolorettangoloOQP e poi adOHQ.

+

-

6

*

z

y

x

O

P

H Qq

1.2 Vincoli olonomi.

Le nozioni fin qui collezionate ci permettono di introdurre il concetto di vincolo olonomo con unsemplice esempio.

Esempio 1.Le estremitaA e B di un’asta di lunghezzal sono costrette a scorrere lungo due guide rettilinee

ortogonali (vedi figura). Mostriamo ora che il punto medioP dell’asta e costretto a muoversi su unacirconferenza.

Per farlo scegliamo assi cartesiani in direzione delle guide, indichiamo conθ l’angolo che l’astaforma con l’assex, e scomponiamo il vettore, ottenendo

P − O =l

2cos θ e1 +

l

2sin θ e2 .

Dalla (1.9) scritta peru = P −O euz = 0, utilizzandocos2 θ + sin2 θ = 1, si ricava l’equazione di unacirconferenza

|P − O|2 =l2

4.

Infatti, questa relazione fissa la distanza diP dall’origine, indipendentemente dall’angoloθ, e da comeesso eventualmente varia nel tempo.

3

6

-

y

A

O

P

xB

In realta, nella situazione descritta dall’Esempio 1, la curva contenente le posizioni ammissibili peril punto P non e l’unico luogo geometrico che risulta delimitato: servendosi dell’angoloθ e possibileesprimere la posizione di ogni puntoQ dell’asta, una volta che sia nota la sua distanza da uno degliestremi.

E utile ora osservare come il risultato dell’esempio derividall’implicita ipotesi che le guide e l’astasiano indeformabili, e sia quindi possibile realizzare delle limitazioni geometriche molto precise al motodi punti o di oggetti: tali limitazioni sono, nel caso particolare,x

A= 0, y

B= 0 e la condizione di rigidita

dell’asta(xA− x

B)2 + (y

A− y

B)2 = l2.

La realizzazione di qualunque limitazione al moto di un sistema avviene tramite dispositivi meccaniciche non sono univocamente determinati. Ad esempio, se si vuole che un punto materialeP appartengaa una superficie sferica, cioe soddisfi l’equazionex2

P+ y2

P+ z2

P= l2 (con l fissato), si puo incollarlo

all’estremita di un’asta di lunghezzal e massa trascurabile, il cui altro estremo sia fisso inO (vedi asinistra, in figura). Ma questo non e l’unico modo: si puo mettereP all’interno di una cerniera sferica diraggiol centrata nell’origine (vedi a destra, in figura).

6

-

z

Φ

θx y

P

Q

O

O

P

Avvertenza: in tutti i testi si usa la parolavincolo per designare sia l’equazione che il dispositivo.Pur mantenendo tale consuetudine nelle presenti note, si ritiene utile mettere in guardia il lettore dallaconfusione che essa potrebbe generare.

Diamo ora una definizione che riguarda qualunque sistema meccanico, inteso come insieme di puntimassivi e/o di corpi rigidi.

Definizione 1.Un sistema meccanico si dice soggetto a un vincolo olonomo (bilaterale) quando lecoordinate di uno o piu suoi punti devono a ogni istante di tempo soddisfare un’equazione algebrica,matematicamente indipendente dagli eventuali vincoli di rigidita.

Riportiamo qui un risultato che si apprende nel Corso di Analisi II: per arbitrari interim edr, conm < r, le equazionifk(y1, ......, yr) = 0, in cuik = 1, ...,m, sono indipendenti se la matrice le cui righesono i gradienti delle funzionifk ha rango massimale.

Il sistema dell’Esempio 1 e soggetto a due vincoli olonomi perche le equazionixA

= 0 e yB

= 0sono indipendenti fra loro, oltre che dal vincolo di rigidita.

La trattazione dei vincoli olonomi unilaterali esula dalloscopo di queste dispense.Fissato un sistema di riferimento, descrivere il moto di un punto significa conoscere la curva

P = (xP(t), y

P(t), z

P(t))

che ne individua la posizione a ogni istante. Se il punto e vincolato la descrizione risulta semplificatadal fatto che le coordinate non sono piu indipendenti, perche ogni equazione di vincolo puo essere usataper esplicitarne una in funzione delle altre. A questo scoporisulta spesso utile riscrivere l’equazione delvincolo dopo aver effettuato un’opportuno cambio di variabili nello spazio o nel piano.

4

Esempio 2.Per studiare un punto che deve muoversi sulla superficie di una sfera di raggiol conviene utilizzare

il cambio di variabilix = r cos θ sin φ y = r sin θ sin φ z = r cos φ , (1.11)

dover = |P − O|, φ e l’angolo formato daP − O con l’assez, e, dettaQ la proiezione ortogonale diP sul pianoxy, θ e l’angolo cheQ − O forma con l’assex (vedi figura precedente). La corrispondenzadefinita in (1.11) e biunivoca seφ ∈ [0, π) e θ ∈ [0, 2π). Nelle nuove variabili l’equazione di vincolodiventar = l, e qualunque moto del punto sara descritto da curve del tipo(φ(t), θ(t)).

Piu in generale, un sistema diN punti soggetto am equazioni di vincolo indipendenti tra loro potrasempre venir descritto da sole3N − m = n variabili. Diremo poi che laconfigurazionedi un sistemameccanico qualunque e nota quando e nota la posizione di ogni suo punto.

Definizione 2.Indichiamo conn il numero di gradi di liberta di un sistema meccanico, vale a direil numero minimo di coordinate sufficienti a individuare la posizione di tutti i suoi punti. Allora, sidicono coordinate lagrangianen variabili comunque prese, purche in corrispondenza biunivoca con leconfigurazioni possibili per il sistema.

Continuando a riferirci all’asta dell’Esempio 1, il cui grado di liberta e 1, vediamo che una possibilecoordinata lagrangiana eθ. In alternativa, si potrebbero usare come coordinate lagrangianex

Ao y

B,

esplicitandoθ in funzione di tali variabili, pero i calcoli ne risulterebbero appesantiti.

1.3 Gradi di libert a del corpo rigido e definizione di moto piano.

Il corpo rigido si definisce come un sistema in cui la distanzafra ogni coppia di punti si mantiene costantenel tempo. Il corpo rigido puo avere infiniti punti, ma non per questo ha infiniti gradi di liberta. Percapirlo basta immaginare di attaccare rigidamente a ogni solido, nella posizione che rende piu comodala descrizione matematica dell’oggetto, una terna levogira dettasistema di riferimento solidale al corpo,che si muove insieme ad esso. I punti del solido hanno coordinate costanti nel riferimento solidale,dunque per studiare il moto del solido basta studiare il motodel riferimento solidale.

Teorema 1.Un corpo rigido libero, cioe non soggetto a vincoli, ha 6 gradi di liberta. Eccezion fattaper le aste che ne hanno 5.

Dimostrazione.Per quanto appena osservato, si tratta solo di dimostrare che per individuare unaterna levogira nello spazio bastano 6 coordinate lagrangiane. Notiamo poi che la posizione della terna eperfettamente nota una volta che siano note (nel riferimento fisso ovviamente) le coordinate dell’origineO, e dei puntiP1 = O + e1 eP2 = O + e2. Infatti in tal caso l’orientazione die3 risulta univocamentedeterminata, perche si ottiene applicando la regola dellamano destra (o della vite).

Possiamo senz’altro decidere che 3 coordinate lagrangianesono le coordinate dell’origine del ri-ferimento solidale. Per descrivere l’orientazione del riferimento dobbiamo allora individuareP1 e P2,nell’ipotesi cheO sia gia stato fissato. Dapprima osserviamo cheP1 e vincolato a stare sulla superficiedi una sfera di raggio 1 centrata inO, e quindi bastano 2 coordinate per fissarlo. InfineP2 deve starecontemporaneamente su due superfici sferiche, una centratanell’origine e l’altra centrata inP1. Infat-ti e1 · e2 = 0 implica |P2 − P1| =

√2. Allora il movimento diP2 e limitato all’intersezione fra le

due superfici, che e una circonferenza. E per descrivere unacirconferenza e sufficiente una coordinatalagrangiana. Dunque per l’operazione nel suo complesso e sufficiente utilizzarne 6.

Fa eccezione l’asta perche per individuarne i punti basta un unico asse orientato solidale ad essa,invece di una terna intera.

Le coordinate usuali per la descrizione delle configurazioni del corpo rigido libero sono le 3 coor-dinate dell’origineO e i tre angoli di Eulero, la cui definizione esonda pero dagli scopi di un corsointroduttivo.

Dal Teorema 1 segue che, i gradi di liberta di un sistema formato daN1 punti materiali e daN2 corpirigidi (aste escluse), soggetto am vincoli olonomi, sonon = 3N1 + 6N2 − m.

5

Nelle applicazioni, anziche studiare il moto dei punti delcorpo puo risultare comodo studiare ilmoto di punti che, pur non appartenendo fisicamente al corpo,hanno coordinate costanti nel riferimentosolidale. Tali punti si diconopunti solidali, e da qui in poi sostituiranno i punti del corpo rigido in ognienunciato. Del resto, gia nella dimostrazione precedentei punti O, P1 e P2, solidali per definizione,avrebbero potuto benissimo non appartenere al corpo.

Nella stragrande maggioranza delle applicazioni che il lettore incontrera, il corpo rigido sara soggettoa tre vincoli olonomi, sempre gli stessi, che nel loro insieme danno luogo al cosiddettomoto piano.

Definizione 3.Un moto piano si realizza quando un puntoO solidale a un corpo rigidoe costrettoa muoversi su un piano ed esiste un altro puntoP solidale al corpo tale cheP − O e costante duranteogni moto.

In effetti, essendoP − O costante in direzione e verso, oltre che in modulo, i punti del corpo simuovono su curve piane, che si ripetono, congruenti, lungo un fascio di piani paralleli fissi. Per fissarele idee, in quanto segue porremo sempreP − O = e3 perpendicolare al fascio di piani.

Il moto dell’asta di un orologio a pendolo e, evidentemente, piano, ma anche il moto di una portache si apre lo e (si consideri il fascio di piani paralleli normale alla retta passante per i cardini), oppureil moto di un disco che scivola su una superficie ghiacciata (si consideri il fascio di piani paralleli a talesuperficie).

Non e invece piano il moto di una pallina sull’asta di un pallottoliere (ma lo sarebbe se potessimoimpedire alla pallina di ruotare su se stessa) e nemmeno il moto della terra intorno al sole (ma lo sarebbese l’asse della terra fosse normale al piano dell’eclittica; il che non e, come il susseguirsi delle stagionitestimonia).

Supponiamo di studiare il moto di un corpo rigido in un riferimento fisso con origine nel puntoO′

e assix′, y′ e z′. Scelta l’origineO del riferimento solidale, il moto piano si impone richiedendo chevalgano le 3 equazioni di vincoloz′

O= c (conc ∈ R), unitamente allex′

P= x′

Oey′

P= y′

O.

Una conveniente caratteristica dei moti piani e che per studiarli e sufficiente studiare il moto su ununico piano, ad esempioz′ = O, dal momento che esso si ripete identico su ogni piano di equazionez′ = c, conc costante arbitraria.

Percio, per un corpo che si muove di moto rigido piano e sempre possibile scegliere come coordinatelagrangiane le 3 variabilix′

O, y′

Oe l’angoloθ che l’arbitrario versore solidaleei (coni = 1, 2 o 3) forma

con il versore fissoe′i al variare del tempo (in figura si e sceltoi = 2).

1.4 Calcolo vettoriale.

Introduciamo ora la definizione di prodotto vettorialeu × w. Il risultato del prodotto vettoriale e unvettore la cui lunghezza euw sin θ, doveθ e l’angolo cheu forma conw (evidentemente il piu piccolo

6

dei due, altrimenti il seno non sarebbe positivo). Tale vettore e normale al piano formato dau e w, eorientato nel verso che vedrebbe spazzare l’angoloθ in verso antiorario per sovrapporreu a w (regoladella vite). Percio, evidentemente, il prodotto vettoriale e anticommutativo:

u × w = −w × u .

Inoltre, come il prodotto scalare, gode della proprieta distributiva rispetto alla somma:

u × (v + w) = u× v + u× w

E, cosı come il prodotto scalare permette di scrivere la relazione di perpendicolarita tra due vettoritramite lau ·w = 0, allo stesso modo il prodotto vettoriale permette di definire il parallelismo tramite lau× w = 0.

Nel presente corso si utilizzera assai spesso la formula del prodotto vettoriale in componenti

u× w = (uywz − uzwy)e1 − (uxwz − uzwx)e2 + (uxwy − uywx)e3 , (1.12)

che corrisponde al calcolo simbolico del determinante∣

∣

∣

∣

∣

∣

e1 e2 e3

ux uy uz

wx wy wz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

. (1.13)

La (1.12) puo facilmente essere provata nel piano calcolando ad esempio

|(P − O) × (Q − O) | = |P − O||Q − O| sin(α2 − α1)

= |P − O||Q − O| sin α2 cos α1 − |P − O||Q − O| sin α1 cos α2 ,

e notando che

xP

= |P − O| cos α1 xQ

= |Q − O| cos α2 yP

= |P − O| sin α1 yQ

= |Q − O| sin α2 .

6

-

�:

α2α1

Ox

y

Q

P

h

Il prodotto vettoriale avrebbe potuto essere utilizzato per produrre una definizione alternativa diriferimento levogiro, tramite una qualunque delle seguenti relazioni

e1 × e2 = e3 , e2 × e3 = e1 , e3 × e1 = e2 , (1.14)

le quali si ottengono l’una dall’altra per permutazione ciclica degli indici. Con l’aiuto delle (1.14), la(1.12) si puo dedurre allo stesso modo di (1.8).

Osserviamo infine che|(P − O) × (Q − O)| e l’area del parallelogramma definito dai due vettori.Mentre il volume del parallelepipedo definito dai tre vettori u, v ew risulta pari al modulo delprodottomistou × w · v. In esso il prodotto scalare deve comunque essere eseguito per secondo (dal momentoche da come risultato un numero e non un vettore).

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Per verificare che il prodotto misto misura il volume individuato dai vettori presi come spigoli, esufficiente moltiplicarev per il coseno dell’angolo da esso formato con la normale al parallelogrammadefinito dau ew, e notare che il risultato di tale proiezione e l’altezza del parallelepipedo relativamentea quella base (vedi figura).

Utilizzando insieme la (1.8) e la (1.12) si ottiene subito laregola per il calcolo del prodotto misto incomponenti secondo il determinante

∣

∣

∣

∣

∣

∣

vx vy vz

ux uy uz

wx wy wz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

.

Le proprieta geometriche del parallelepipedo inerenti alsuo volume sono perfettamente riflesse dalleproprieta matematiche del determinante. Per esempio, il volume si annulla se i tre vettori sono com-planari, mentre il determinante si annulla quando una riga `e combinazione lineare delle altre due (e, inparticolare, se due righe sono multiple, cioe se due dei vettori sono paralleli). Inoltre, per il calcolodel volume non ha nessuna importanza l’ordine in cui i vettori vengono presi. Parallelamente il mo-dulo del determinante, cioe il modulo del prodotto misto, non cambia permutando le righe. Infine, perpermutazioni cicliche delle righe non cambia neppure il segno del determinante (e quindi del prodottomisto).

Il prodotto vettoriale, il prodotto misto e le loro proprieta si utilizzano molto spesso, e si puo vedereda subito come.

La prima applicazione del prodotto vettoriale consiste nella descrizione sintetica del vettore velocitain un moto circolare (non necessariamente uniforme) secondo la

vP

= ω × (P − O) , (1.15)

in cui ω ha il verso che vede il punto muoversi in senso antiorario (vedi figura) e moduloω = |θ|.

6

y

~ω

Oθ

P~vP

Osserviamo ora che per definizionevP

:= d/dt(P − O) con O punto arbitrario purche fisso. Sedefiniamo unmoto centralecome un moto in cuia

P:= d

dtv

Pe sempre parallelo aP − O, possiamo

usare le proprieta del prodotto misto per provare che la traiettoria di un punto che si muove di motocentrale e una curva piana.

Esempio 3.Supponiamo dunque che l’accelerazione soddisfi la

0 = aP× (P − O) .

8

Allora, poiche la regola per la derivata del prodotto di funzioni vale anche per i prodotti vettoriali(omettiamo la dimostrazione, semplice ma noiosa), si deduce subito la

0 =d

dt(v

P× (P − O)) − v

P× v

P,

dove il secondo termine e banalmente nullo. La relazione continua a valere se moltiplicata per un numeroqualunque, per esempio per la massam del puntoP , e ci garantisce che esiste un vettore costante neltempo, ilmomento angolareL(O) rispetto al puntoO, tale che

(P − O) × mvP

= L(O)

a ogni istante di tempo. In base alle proprieta del prodottomisto, moltiplicando ambo i membri diquest’equazione scalarmente perP − O si ottiene

0 = L(O) · (P − O) .

Quest’ultima equazione puo venir riscritta in coordinatescegliendoO come origine del riferimento, ediventa la

L(O)xxP

+ L(O)yyP+ L(O)zzP

= 0 ,

che e la tipica equazione di un piano per l’origine.Naturalmente, non tutti i moti che si svolgono in un piano sono centrali; basti pensare alla parabola

descritta da un grave lanciato con velocita orizzontale diversa da zero.

1.5 La velocita dei punti di un corpo rigido.

Consideriamo la descrizione del moto di un puntoP appartenente a un corpo rigido libero fatta daun’osservatore fermo in una terna con origine inO′. Al solito indichiamo conO il punto, in generalemobile, scelto come origine della terna solidale al corpo rigido. L’osservatore fisso, quando misura lavelocita diP , potra scrivere

vP

=d

dt(P − O′) =

d

dt(P − O) +

d

dt(O − O′) = v

O+

d

dt(P − O) , (1.16)

dove, val la pena di ripeterlo,O puo essere un qualunque punto del corpo rigido (o rigidamente collegatoad esso).

L’ultimo termine a destra nella (1.16) non e la velocita diP percheO e un punto mobile (e quindiP − O non e un vettore posizione); quel termine e semplicementela derivata di un vettore solidale alcorpo. Studiando l’azione della derivata temporale, pensata comefunzione linearedefinita nellospaziovettorialedei vettori solidali si prova il seguente fondamentale teorema sul moto dei corpi rigidi.

Teorema 2.Presi due qualunque punti solidali a un corpo rigido esiste un vettoreω per cui

vP

= vO

+ ω × (P − O) . (1.17)

Il vettoreω puo dipendere dal moto dell’osservatore, ma non dipende ne dalla scelta dei puntiP edO,ne dal particolare riferimento levogiro sui cui assi si decida di proiettare la (1.17).

Dimostrazione.Tenendo conto della (1.16), si tratta di dimostrare che

d

dt(P − O) = ω × (P − O) . (1.18)

A questo scopo proveremo innanzitutto che fissato un’istante di tempo, la derivata temporale e unafunzione lineareT antisimmetrica se definita nello spazio dei vettori solidali. Per farlo, basta provare

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che la matrice i cui elementi sonoTij

= ei · T (ej) e che rappresentaT in una base ortonormale, e unamatrice antisimmetrica, cioeT

ij+ T

ji= 0 peri, j = 1, 2, 3.

Per dimostrarlo basta derivare rispetto al tempo la (1.7):

0 =d

dt(ei · ej) = ej ·

d

dtei + ei ·

d

dtej .

Ora si puo provare che per ogni operatore antisimmetrico esiste un vettore, che indicheremo conω, taleche

T (u) = ω × u . (1.19)

A questo scopo notiamo in primo luogo che per scrivere la matrice rappresentativa diT sono sufficientitre parametri indipendenti, infatti essa deve necessariamente essere del tipo

0 T12 T13

−T12 0 T23

−T13 −T23 0

,

e la (1.19) diventa un’identita ponendoωx = −T23 , ωy = T13 eωz = −T12 . Se poi si applica la (1.19) alcasou = (P − O) e si sostituisce il risultato nella (1.18), si vede che la (1.17) e vera per ogni coppia dipunti solidali.

La dimostrazione non e tuttavia terminata, non essendo scontata l’ultima parte dell’enunciato, ove siafferma cheω, una volta individuato, non dipende dal riferimento levogiro e quindi, in particolare, nondipende dall’orientazione degli assi. Per comprendere cosa dev’essere ancora provato basta osservareche i numeriωx , ωy e ωz non sono stati definiti come componenti di vettori ma come elementi di ma-trice. Occorre dunque provare che, nel corso di un cambiamento di base, vale per essi la stessa legge ditrasformazione che vale per le componenti dei vettori. In caso contrario, ci ritroveremmo con importantilimitazioni all’uso della (1.17). In particolare, la sommadi due vettoriω1 eω2 le cui componenti sianostate ricavate in due riferimenti diversi non risulterebbedefinita.

Nel programma del corso, questa seconda parte della dimostrazione e facoltativa.Supponiamo di aver riscritto la (1.19) in una base alternativa{e′i}i=1,2,3, utilizzando la matrice(T ′

ij),

e ottenendo le relazioniω′x

= −T ′23

, ω′y

= T ′13

eω′z

= −T ′12

, che definiscono il vettoreω′.Evidentemente, si avraω′ = ω se e solo seω′

x= ω · e′1, ω′

y= ω · e′2 e ω′

z= ω · e′3, cioe

se le componenti del vettoreω nel sistema accentato coincidono con quelle del vettoreω′ ottenuto fin

dall’inizio in tale sistema. Ci limitiamo qui a dimostrareω′z

= ω · e′3, perche la prova e del tutto analogaper le altre due componenti. Si utilizza la legge di trasformazione delle matrici rappresentative delle

funzioni lineari(T ′jk

) = Mei

e′

i

(Tjk

)Me′

i

eie ci si serve della possibilita di permutare i vettori all’interno del

prodotto misto. Ricordiamo poi che la matrice del cambiamento di base e, nel nostro caso, ortogonale eche i suoi elementi di matrice si scrivono come segueM

ej

e′

i

= (e′i · ej). Allora peri, j = 1, 2, 3 vale la

T ′ij

=

3∑

k=1

3∑

l=1

e′i · ek Tkl

el · e′j =

3∑

k=1

e′i · ek

(

3∑

l=1

Tkl

e′j · el

)

=

=

3∑

k=1

(e′i · ek)(ek · T (e′j)) =

3∑

k=1

(e′i · ek)(ek · ω × e′j) = e′i · ω × e′j .

Osserviamo poi chee′i · ω × e′j = ω · e′j × e′i .

Quindi, usando la prima delle (1.14) e ricordando l’anticommutativita, peri = 1 e j = 2 vale la

T ′12

= −ω · e′3 .

10

Essendo pero vera anche laT ′12

= −ω′z

la dimostrazione puo dirsi terminata.

La (1.18), applicata a dei vettori solidali del tipoPi − O = ei, coni = 1, 2, 3, fornisce le cosiddetteFormule di Poisson

ei = ω × ei .

Nel caso di moto piano di un corpo rigido, il vettoreω che compare nella (1.17), e che viene chiamatovelocita angolare, ha un significato fisico analogo a quello illustrato dopo la (1.15) per il moto circolare.Al fine di riconoscere tale moto, dobbiamo avere il punto di vista di un osservatore per il quale l’originedel riferimento e in un puntoO, comunque scelto purche solidale al corpo, e gli assi sono paralleli a quellifissi. Costui, per definizione di moto piano, vede fissi i puntidell’assez (si noti che il riferimento sceltonon e solidale al corpo, perche in tal caso non si osserverebbemoto). Ne consegue che tale osservatore,vedendo che tali punti hanno velocita nulla, quando applica la (1.17) puo scrivere

vP

= ω × (P − Q) ,

doveQ e la proiezione diP sull’assez.In effetti, egli vede ogni punto del corpo ruotare intorno all’assez, perche see3 e costante allora

e3 = 0. Cio implica, in base alla terza formula di Poisson, cheω × e3 = 0. Dunqueω e parallelo ae3.

1.6 I moti relativi e la composizione delle velocita angolari.

Per chiarire il significato fisico della velocita angolare di un corpo rigido abbiamo appena introdotto,di fatto, il problema della correlazione fra due descrizioni dello stesso moto fatte da osservatori diversi.Intendendo per osservatori diversi due osservatori collocati su riferimenti diversi e inmoto relativofraloro. Prima di formalizzare la soluzione di tale problema, proponiamo un ulteriore esempio che illustraquanto il piu semplice cambio di osservatore incida sullatraiettoria di un punto, che e l’insieme delleposizioni da esso occupate durante il moto.

Esempio 4.Supponiamo che un uomo, in piedi su un treno che si muove con velocita costanteu lungo una rotaia

rettilinea, si lasci cadere di mano una pallina. E ne descriva il moto considerando la propria mano comeorigineO del riferimento, l’assey rivolto verso il basso, ex diretto come il moto del treno. Il riferimentosi puo considerare inerziale e l’unica forza e la forza peso, dunque la traiettoria della pallina e rettilinea.Infatti, alle condizioni inizialix

P(0) = 0, y

P(0) = 0, x

P(0) = 0 e y

P(0) = 0 corrisponde la soluzione

xP(t) = 0, y

P(t) = gt2/2. Lo stesso moto ha un aspetto completamente diverso se descritto da un

osservatore fermo sul binario nel puntoO′. Possiamo scegliere gli assi fissix′ e y′ paralleli a quellimobili, e supporre per comodita che le posizioni dei due osservatori coincidano all’istante iniziale, cioeO(0) = O′. Le equazioni differenziali del moto saranno identiche. Ciononostante, poiche l’osservatorefisso misurerax

P(0) = u, le diverse condizioni iniziali produconox

P(t) = ut e y

P(t) = gt2/2.

Ricavandot dall’equazione perx e sostituendolo nell’altra equazione si ottiene come orbita la parabolay

P= gx2

P/2u2.

?? ?

?

--

e2

e1

O O O O

O′

P (t1)P (t2)

P (t3)

-u

Generalizziamo le nostre considerazioni continuando a indicare conO′ un osservatore che chiame-remo fisso, e conO un osservatore mobile, il cui moto sia ora arbitrario. Allora la domanda e: se

11

l’osservatore fisso conosce il moto del riferimento con origine inO, in che modo puo evitare di misurarela velocitav′

Pdi un generico punto, deducendola invece dalla corrispondente misurav

Peffettuata daO?

Per rispondere, si prendeP mobile per entrambe gli osservatori e si scrive

vP

= xPe1 + y

Pe2 + z

Pe3 , (1.20)

che e il punto di vista diO. Per tale osservatore infattiO e fisso e la derivata temporale dei suoi versorie nulla: ei = 0. Naturalmente, per le componenti div

Psi hax

P= d/dt(x

P− x

O).

D’altra parte, dal punto di vista diO′ siaO che i versori del riferimento mobile hanno una derivatatemporale non nulla. Quindi egli scrivera

v′P

=d

dt(O − O′) +

d

dt(P − O) = v′

O+

3∑

i=1

(

d

dt(x

iP− x

iO)ei + (x

iP− x

iO)ei

)

. (1.21)

Poiche il riferimento mobile non e altro che un corpo rigido, l’osservatore inO′ puo usare le formule diPoisson in (1.21) e scrivereei = ω × ei, per i = 1, 2, 3. Poi puo mettere in evidenzaω, confrontarel’espressione ottenuta con (1.20), e ottenere infine la legge di trasformazione che gli serve:

v′P

= vP

+ v′O

+ ω × (P − O) , (1.22)

in cui il terminevτ (P ) := v′

O+ ω × (P − O) (1.23)

e chiamato velocita di trascinamento e, tutte le volte cheω e non nullo, dipende anche dalla posizionedel puntoP .

Il tipico esempio di riferimento con velocita angolare diversa da zero e quello dell’osservatore sedutosu una giostra per bambini. Lasciamo al lettore per esercizio il calcolo dell’accelerazione che un taleosservatore misurerebbe per una pallina di massam non soggetta a forze, posta sulla piattaforma dellagiostra (nell’ipotesi cheω sia costante nel tempo).

Sviluppiamo invece per esteso un ragionamento che, sulla base della teoria dei moti relativi, permettedi definire la somma di due velocita angolari come un vettoreche conserva il significato fisico di una ve-locita angolare. Da tale premessa risulta possibile operare concretamente con velocita angolari associatea moti anche non piani, basta che i due vettori della somma nonsiano paralleli.

Supponiamo dunque che il moto di un corpo rigido sia studiatodaN osservatori in moto relativo unorispetto all’altro. Con ripetute applicazioni successivedella (1.22) alla (1.17) si puo dedurre una legge dicomposizione dei moti rigidi. SianoP edO due punti solidali,v

(1)

Pev

(1)

Ole velocita misurate dal primo

osservatore,ω(1)

la velocita angolare del corpo rigido misurata dal primo osservatore eO1 l’origine delsuo riferimento; siano inoltreω

(2)la velocita angolare del primo riferimento (visto come corpo rigido)

misurata dal secondo osservatore eO2 l’origine del secondo riferimento,v(2)

le velocita misurate dalsecondo osservatore, e cosı via. Scriviamo ora la (1.17) nel riferimento 1, applichiamoN − 1 volte la(1.22) e otteniamo

v(1)

P= v

(1)

O+ ω

(1) × (P − O),

v(2)

P= v

(1)

P+ v

(2)

O1+ ω

(2) × (P − O1) =

= v(1)

O+ v

(2)

O1+ ω

(2) × (P − O1) + ω

(1) × (P − O) ,

v(3)

P= v

(1)

O+ v

(2)

O1+ v

(3)

O2+ ω

(3) × (P − O2) + ω

(2) × (P − O1) + ω

(1) × (P − O) ,

...

12

v(N)

P=

N∑

i=1

v(i)

Oi−1+

N∑

i=1

ω

(i) × (P − Oi−1) , (1.24)

in cui per definizione l’N -esimo osservatore e fisso, mentre il riferimento ’zero’ equello solidale al corporigido, e ha origine inO. Inoltre,v

(i)

Oi−1e ω

(i)sono rispettivamente la velocita dell’origine e la velocita

angolare del riferimentoi − 1 misurate dall’i-esimo osservatore.Se riscriviamo la (1.24) prendendo al posto diO un altro punto solidaleQ, e sottraiamo le due

espressioni membro a membro, otteniamo

v(N)

P− v

(N)

Q=

N∑

i=1

ω

(i) × (P − Oi−1) +

N∑

i=1

ω

(i) × (Oi−1 − Q) =

=

N∑

i=1

ω

(i) × (P − Oi−1 + Oi−1 − Q) .

Questa formula, dopo aver posto in evidenzaP − Q e confrontato il risultato con la (1.17), fornisce lavelocita angolare totale del corpo rigido, infatti

v(N)

P− v

(N)

Q= (

N∑

i=1

ω

(i)) × (P − Q) ,

e quindi

ω =N∑

i=1

ω

(i).

Per avere un’idea della struttura del vettoreω in un moto non piano sono sufficienti due osservatori,di cui uno, mobile, vede il corpo rigido in moto piano con velocita angolareω

(1)e l’altro, fisso, vede

l’ossevatore mobile muoversi di moto piano con velocita angolareω

(2), non parallela aω

(1).

Ad esempio, un disco giace in un piano verticale e ruota intorno al suo centro con velocita angolareω

(1)(orizzontale, perche normale al piano); il centro del disco e fissato nel piano il quale pero ruota

intorno a un asse verticale con velocita angolareω

(2)(verticale, perche diretta come l’asse di rotazione)

rispetto all’osservatore fisso. Questi misura per il disco la velocita angolareω = ω

(1)+ ω

(2), in cui

ω

(1)eω

(2)sono perpendicolari e hanno per modulo le derivate di due angoli diversi che variano in modo

indipendente.

1.7 Classificazione dei moti del corpo rigido ed esempi.

Nei due esempi che ci hanno condotto alla derivazione di (1.22), la terna mobile avevaω = 0 rispettoalla terna fissa. In realta si tratta di un caso particolare:quandoω = 0 a ogni istante di tempo, la (1.17)ci garantisce che tutti i punti del corpo rigido hanno la stessa velocita, e il moto si dicetraslatorio. Seω

si annulla a un solo istante si dice invece che l’atto di motoe traslatorio.E utile precisare che il moto traslatorio di un corpo rigido non e necessariamente un moto rettilineo.

Ad esempio, se si vincolano le estremita di un’asta rigida astare su due guide congruenti, curvilinee,piane, e situate su piani paralleli posti a distanza pari alla lunghezza dell’asta, questa sara costretta amuoversi di moto traslatorio, ma le traiettorie dei suoi punti non saranno rettilinee.

Un’altro caso particolare di moto si ha quando a ogni istantet esiste un puntoQt del corpo rigido lacui velocita e nulla. In tal caso, tutti i punti del corpo rigido soddisfano la (1.15) conQt al posto diO,e si dice che l’atto di moto erotatorio, eQt e il centro di istantanea rotazione. L’esempio tipico di talesituazione, che sara illustrato fra poco, e il rotolamento senza strisciamento.

13

Se, poi,Qt e sempre lo stesso punto del corpo rigido, cioe se esiste unpunto fisso che indichiamo alsolito conO, il moto si dicesferico. Un cubo con gli spigoli vincolati a stare su una superficie sfericafissa si muove di moto sferico. Il terminesfericoviene utilizzato al posto del terminerotatorio non percaso, ma perche in un moto sferico non e detto che le traiettorie dei punti siano circolari. Questo avvienesoltanto quando il moto sferico e anche piano, cioe esisteun interoasse fisso(esempio: lo sportello chesi apre).

Consideriamo ora un disco di raggior soggetto a un particolare tipo di vincolo dettoanolonomointegrabile. Si tratta di un vincolo sulla velocita dei punti e non sullaloro posizione, che ha pero laparticolarita di essere equivalente a un vincolo sulla posizione, a patto che la configurazione iniziale deldisco sia assegnata. L’esempio e necessariamente preceduto da una definizione.

Definizione 4.Si dice che due superfici rigide poste a contatto rotolano senza strisciare l’una sull’al-tra se un’osservatore solidale ad una di esse vede istantaneamente fermi quei punti dell’altra superficieche si trovano a contatto con la prima.

Esempio 5.Il disco in figura rotola senza strisciare lungo una guida rettilinea posta in quiete, e dunque e soggetto

anche al vincolo olonomoy′O

= r, oltre che al vincolo di rotolamento senza strisciamentov′Q

= 0. L’asse

x della terna solidale forma un angoloθ con l’assex′ fisso (vedi figura) eω = θe3.

-

6

>o

�

6

y′

x′

xy

O

O′ θ

~v0R

Q

Osserviamo che abbiamo a disposizione due espressioni alternative perv′O

la

v′O

= x′Oe′1 ,

e quella derivata da (1.17) imponendo il vincolo di rotolamento senza strisciamento

v′O

= ω × (O − Q) = θre′3 × e′2 = −θre′1 .

Uguagliandole si ottienex′

O= −θr

e dunquex′

O(t) = x′

O(0) − r(θ(t) − θ(0)) . (1.25)

L’equazione (1.24) e equivalente a un vincolo olonomo perche permette di eliminare una delle variabili,per esempiox

O, dalla descrizione del moto. E il segno meno sta a indicare che quandoθ aumenta il centro

del disco e diretto nel verso negativo dell’assex′. L’unica variabile lagrangiana rimasta (ricordiamo chein un moto piano ce ne sarebbero tre) eθ, che risulta soggetta, come vedremo nel prossimo capitolo,aun’equazione differenziale dipendente da eventuali forzenote agenti sul disco.

Notiamo inoltre che dal vincolo di rotolamento senza strisciamento e dalla (1.17) si puo dedurreimmediatamente che il puntoP che si trova alla sommita del disco si muove con velocita doppia rispettoal centroO.

L’atto di moto del disco e rotatorio. Poiche il punto di contatto fra la guida e il disco cambia incontinuazione, il centro di istantanea rotazione non e sempre lo stesso punto solidale. Come conseguenzadi cio si ha che le traiettorie dei punti non sono circonferenze, pur essendo tangenti a delle circonferenze.

14

2 Dinamica dei sistemi vincolati.

2.1 Introduzione al problema: il punto vincolato.

Richiamiamo le nozioni di dinamica del punto libero appresein Fisica I e sintetizzate dall’equazionedifferenziale vettoriale del second’ordine

maP

= F(P,vP, t) , (2.1)

la cui incognita e la curvaP (t) che contiene tutte le informazioni sul futuro (e anche sul passato) delpuntoP , e puo essere univocamente determinata date le condizioniiniziali

P (0) = P 0 (2.2)

vP(0) = v0

P.

E da rimarcare l’implicita assunzione che il secondo membrodi (2.1) sia una funzione vettoriale nota.Esempio 6.Consideriamo un punto posto all’estremita di una molla di costante elasticak, supponendo per

comodita che tale molla abbia lunghezza zero all’equilibrio l’equazione del moto e

maP

= −k(P − O) . (2.3)

Essendo il moto centrale (vedi Esempio 3), la traiettoria epiana. Allora due sole equazioni differenzialisono sufficienti per studiare il moto, a patto di scegliere l’origine nel punto fissoO e gli assix e y nelpiano definito dalle condizioni iniziali (1.2). Se per esempio le condizioni iniziali sono

P (0) = (a, 0, 0)

vP(0) = b

√

k

me2 ,

si tratta di risolvere lemx

P= −kx

P

myP

= −kyP

.

Si verifica immediatamente per sostituzione diretta che il moto cercato e dato dalle

xP(t) = a cos

√

k

mt

yP(t) = b sin

√

k

mt .

E la traiettoria diP e un’ellisse perche vale la

x2P

a2+

y2P

b2= 1 . (2.4)

Le considerazioni che stiamo per fare parlando di dinamica del punto sono fondamentali, e vannointese come valide per ogni sistema meccanico.

Se un punto invece che esser libero e soggetto a un vincolo olonomo lo studio del moto risultasemplificato solo in apparenza. Le coordinate lagrangiane diminuiscono, ma a secondo membro di (2.1)compaiono anche lereazioni vincolariF

v. Queste ultime non sono funzioni vettoriali note, essendo

15

nient’altro che le forze occorrenti a mantenere il punto sulvincolo. In un certo senso, esse vengonointrodotte per far tornare i conti. Invece la forzaF(P,v

P, t) che compare in (2.1) e che e nota, viene

ribattezzataforza attivae indicata con l’apicea. Allora, l’equazione differenziale del moto diventa

maP

= Fa

(P,vP, t) + F

v

(2.5)

e risulta indefinita. Si usa dire che non e un’equazione differenzialepura.Ci troviamo dunque di fronte a due problemi

• trovare un’equazione differenziale pura per poter studiare il moto;

• valutare le reazioni vincolari al fine di costruire (per esempio con materiali adeguati) dei dispositiviatti a sostenere quel moto.

Entrambi i problemi si risolvono a patto di restringere lo studio a una particolare classe di vincoli, ivincoli ideali, la cui definizione verra data fra breve. Si tratta di una categoria di vincoli comunque moltoampia, in quanto contiene per esempio ivincoli olonomi liscie anche tutti i rotolamenti, compresi quellianolonomi e non integrabili. Tuttavia nel presente corso ci limiteremo a studiare vincoli ideali olonomi,o al piu anolonomi integrabili.

Un’idea abbastanza generale delle modalita risolutive nel caso di vincoli lisci e data dal seguenteesempio.

Esempio 7.Scriviamo l’equazione differenziale del moto di un punto pesante, vincolato senza attrito a una cir-

conferenza che giace in un piano verticale fisso. In assenza di vincolo, poicheF = mg, si avrebbea

P= g = −ge3, e le soluzioni del problema sono state scritte esplicitamente nell’Esempio 4. Nel

nostro caso l’equazione vettorialema

P= mg + F

v

,

che ha 3 componenti, va sostituita da un’unica equazione differenziale pura, perche siamo in presenzadei 2 vincoli olonomiy

P= 0 e x2

P+ z2

P= l2 (vedi figura), che costringono il punto ad avere un solo

grado di liberta.

6

-

*]

K

z

x

α

O

P

er

eθ

Iθ

Sia che il vincolo sia stato realizzato con una guida circolare, che tramite un’asta rigida, la mancanzadi attrito si traduce nel fatto che la reazioneF

vin (2.5) e normale alla guida. A causa di cio, moltiplicando

scalarmente ambo i membri dell’equazione vettoriale originaria per un versore tangente alla guida siottiene un’equazione pura.

Si puo scegliere come coordinata lagrangiana l’angoloθ cheP − O forma con l’assex. Quindi ilversore che risulta tangente alla guida per ogni valore diθ e eθ = − sin θe1 + cos θe3. D’altra parte lavelocita diP puo anche essere scritta comev

P= lθeθ. Di qui, tenuto conto chel e costante e usando la

regola di derivazione delle funzioni composte si ottiene laformula

aP

= lθeθ − lθ2er , (2.6)

16

in cui il versoreradiale er e dato dallaer = cos θe1 + sin θe3 ,, che vale, tra l’altro, per tutti i moticircolari.

Sostituendo (2.6) nell’equazione vettoriale, moltiplicando pereθ e tenendo conto cheeθ · er = 0, siha

mlθ = −mg cos θ . (2.7)

Da ultimo calcoliamo la reazione vincolareFv

moltiplicando scalarmente l’equazione vettoriale perer e ricavando

Fv

= −mlθ2 + mg sin θ ,

in cui Fv

indica l’unica componente del vettore, il quale ha la direzione dell’asse passante per l’originee il verso in direzione uscente.

Scegliendo come coordinata lagrangiana l’angoloα = θ + π/2, la (2.7) assumerebbe la piu notaforma: α + g

lsin α = 0, dettaequazione del pendolo semplice, cui si associano leposizioni di equilibrio

α = 0 (stabile) eα = π (instabile). Ricordiamo che si dice di equilibrio una posizione in cui la quieterappresentata dalla curvaα(t) = 0, e soluzione dell’equazione del moto. Cio rende la quietematema-ticamente possibile. Dalla differenza fra matematicamente possibile efisicamente osservabilediscendepoi l’ulteriore distinzione fra posizioni di equilibrio stabili e instabili, che pero non verra approfondita inquesto corso.

2.2 Dinamica del punto vincolato.

L’Esempio 7 suggerisce la possibilita di ottenere equazioni del moto pure per un punto vincolato molti-plicando scalarmente l’equazione (2.5) per i versori tangenti ai vincoli.

Avvertenza: in realta, se un punto e vincolato a una curva la reazione vincolare dovrebbe avere ingenerale 2 componenti, perche, nello spazio tridimensionale, esistono 2 vettori indipendenti normali auna curva in un punto dato. Tuttavia se, come nell’Esempio 7,un punto e vincolato a una curvapiana efissae le forze attive giacciono nel piano, e naturale aspettarsi che la componente della reazione vincolarein direzione normale al piano sia nulla. Essenzialmente perche i due versi della normale orientata sonoperfettamente equivalenti dal punto di vista fisico: non c’`e ragione perche la reazione vincolare spinga ilpiano in un verso piuttosto che nell’altro. Quindi la reazione vincolare normale al piano non c’e.

Cerchiamo ora di stabilire il procedimento generale per studiare la dinamica di un punto vincolato auna superficie liscia arbitraria. Premettiamo qualche considerazione geometrica.

L’equazionef(xP, y

P, z

P, t) = 0 che definisce la superficie, eventualmente mobile, e l’appartenenza

del puntoP alla medesima, puo esser espressa informa parametrica, esattamente come si fa con le curve(vedi Analisi II). In pratica, le coordinate cartesiane diP vengono scritte come funzioni di due variabili,che assumono il ruolo di coordinate lagrangiane. Tali funzioni possono eventualmente dipendere anchedal tempo, nel caso di superficie mobile.

xP

= f1(q1 , q2 , t) (2.8)

yP

= f2(q1, q2 , t)

zP

= f3(q1, q2 , t) .

Avvertenza: da qui in poi per indicare coordinate lagrangiane arbitrarie scriveremoqi, dovei = 1, ..., n

essendon il numero di gradi di liberta del sistema meccanico in esame.Una delle possibili forme parametriche di una superficie si ottiene, ad esempio, ponendox

P= q1 e

yP

= q2, ed esplicitando poizP

nell’equazionef = 0.Se la superficie e liscia, la reazione vincolareF

vapplicata al puntoP risulta perpendicolare alla

superficie non solo nel caso del pendolo semplice, bensı nelcaso generale. Percio il procedimentogenerale che suggeriamo qui richiede di trovare vettori normali e vettori tangenti.

17

Se nelle (2.8) si considera variabile una sola coordinata, per esempioq1, e si fissano invece le altrevariabili, allora il puntoP si muove sulla superficie descrivendo una curva parametrizzata daq1. Perciola derivata rispetto aq1 e tangente a tale curva, e quindi anche alla superficie. Ne consegue che diffe-renziando le (2.8) rispetto alle coordinate lagrangiane siottengono due vettori tangenti alla superficie eindipendenti fra loro (non necessariamente ortogonali):

∂P

∂q1

=

(

∂f1

∂q1

,∂f2

∂q1

,∂f3

∂q1

)

(2.9)

∂P

∂q2

=

(

∂f1

∂q2

,∂f2

∂q2

,∂f3

∂q2

)

,

come si puo vedere nel seguente esempio.

6

�

1

.....................

y

x

z

O

P

Esempio 8.Possiamo parametrizzare l’equazione della superficie in figura, definita day = x2, ponendox = q1 ,

y = q21

ez = q2. Allora due vettori tangenti sono

∂P

∂q1

= (1, 2x, 0) e∂P

∂q2

= (0, 0, 1) .

Inoltre, postof = y − x2 un vettore normale e

∇f =

(

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

)

= (−2x, 1, 0) .

Ora possiamo descrivere la generalizzazione del procedimento utilizzato nell’Esempio 7: a) si mol-tiplica la (2.5) per ciascuno dei due vettori tangenti in (2.9) al fine di eliminare le reazioni vincolari, siottengono cosı due equazioni differenziali pure; b) si derivano rispetto al tempo le (2.8) al fine di scri-verev

Pe a

Pin funzione diq

i, q

ie q

i, e si sostituisce il risultato in (2.5); c) si calcolaF

vdopo aver

moltiplicato (2.5) per il gradiente della funzionef che definisce la superficie in modo implicito. e noto,infatti, che il gradiente di una funzione e perpendicolarealle superfici a valori costanti della funzionemedesima. In alternativa, si puo moltiplicare per il prodotto vettoriale dei due vettori tangenti. Si noticheF

vdipende in generale anche dalleq

i.

Ci si avvicina allora per gradi alla definizione divincolo ideale, una definizione che deve riflettere lapossibilita di pervenire a un’equazione pura caratterizzando la reazione vincolare con una relazione deltipo

Fv · v

P= 0 , (2.10)

18

in cui P e il punto di applicazionedella forza evP

e una velocita possibile, compatibile con il vincolo.La (2.10) e soddisfatta sia da una superficie liscia fissa, perche la velocita e ad essa tangente, che

da un rotolamento descritto da un’osservatore solidale a una delle due superfici, perche in tal caso lavelocita e nulla. Si noti che la (2.10) ha le dimensioni della derivata temporale di un lavoro, cioe di unapotenza. Dunque tale relazione equivale a postulare che, nei casi sopra indicati, la realizzazione dellelimitazioni al moto avvenga senza dissipazione di energia.

Tuttavia la (2.10) potrebbe essere una definizione riduttiva, perche il procedimento risolutivo cheabbiamo precedentemente descritto non richiede che la superficie sia fissa. Come si vede nel seguenteesempio.

R-�ct O

P0

P (t)

vP

t ≪ 1

Esempio 9.Si consideri un puntoP di massam non soggetto a forze, ma soggetto alla seguente equazione:

f = x2P

+ y2P

+ z2P− c2t2 = 0 ,

che e unvincolo dipendente dal tempoin quanto la derivata parziale dif rispetto al tempo e diversa dazero. E in effetti descrive l’evoluzione della superficie diun palloncino che si gonfia, con il raggio cheaumenta con velocitac. Se si effettua il cambio di variabili (1.11) dell’Esempio 2, e si poner = ct,si vede la superficie del palloncino parametrizzata dagli angoli θ e φ. I due versori tangenti e quellonormale si trovano facilmente e sono

eφ

= (cos θ cos φ, sin θ cos φ,− sin φ) eθ

= (− sin θ, cos θ, 0)

er = (cos θ sin φ, sin θ sinφ, cos φ) .

Lasciamo al lettore per esercizio la scrittura delle equazioni del moto nel caso in cui la superficie sialiscia. Vogliamo invece rimarcare che le velocita possibili non sono tangenti alla superficie. Infatti,derivando rispetto al tempo le coordinate diP secondo la regola di derivazione delle funzioni composte,e tenendo presente cheθ e φ sono del tutto arbitrarie (almeno all’istante iniziale), si ricava l’espressionedella generica velocita compatibile con il vincolo dato

xP

= ct(cos θ cos φφ − sin θ sin φθ) + c cos θ sin φ

yP

= ct(sin θ cos φφ + cos θ sin φθ) + c sin θ sin φ

zP

= −ct sin φφ + c cos φ .

ScomponendovP

secondo i tre versori sopra indicati, si vede immediatamente che esiste una componentedella velocita diversa da zero in direzione normale alla superficie. Infatti, la componente lungoer hanormac, come si puo facilmente verificare eseguendo (in componenti) il prodotto vP · er .

19

2.3 Il lavoro dei vincoli ideali e delle forze attive.

L’Esempio 9 suggerisce di cercare una definizione di vincoloideale che si applichi anche nel caso in cui ivincoli, siano essi lisci o di rotolamento, dipendono esplicitamente dal tempo. Specifichiamo dunque che,se la superficie e liscia ma non fissa, la (2.10) vale solo a patto di inserire al posto divP la componentedella velocita in direzione tangente alla superficie. Talecomponente, che indichiamo conuP , e quellache risentirebbe dell’attrito se questo fosse presente.

Notiamo poi chevP in (2.10) risulta essere unavelocita possibile, come definita dalla

vP

=n∑

j=1

∂P

∂qj

qj+

∂P

∂t,

e in cui si e utilizzata la regola di derivazione delle funzioni composte.Avvertenza: la velocita possibile e piu generale dellavelocita reale, in quanto la regola di deriva-

zione delle funzioni composte viene applicata a una qualunque curva compatibile con i vincoli e nonnecessariamente a un moto vero, il quale dipende anche dalleforze attive e deve essere soluzione delleequazioni differenziali del moto.

Allora, per calcolareuP a partire da una curva compatibile con i vincoli basta ignorare la dipendenzaesplicita dal tempo quando si differenziano le (2.8):uP = vP − ∂P

∂t. La componente tangente della

velocita compare nella prima delle seguenti definizioni a patto di porreuj

= qj.

Definizione 5.Dato un puntoP soggetto a vincoli olonomi (e/o anolonomi integrabili), sidicevelocita virtuale diP il vettore

uP

=n∑

j=1

∂P

∂qj

uj, (2.11)

in cui la n-upla(u1 , u2 , ..., un) e arbitraria in Rn.

La definizione piu usata in letteratura e applicabile anche a vincoli anolonomi non integrabili e dipen-denti dal tempo; in essa si parla divelocita compatibile con i vincoli all’istante fissatoe la Definizione5, che noi abbiamo preferito perche immediatamente applicabile al calcolo, ne e un sottocaso.

Definizione 6.Dato un sistema meccanico an gradi di liberta, i cui puntiPi, coni = 1, ..., N , sono

soggetti a vincoli olonomi (e/o anolonomi integrabili), sidice che i vincoli sono ideali se la quantita

W =N∑

i=1

Fv

i· u

Pi=

N∑

i=1

n∑

j=1

Fv

i· ∂Pi

∂qj

uj

, (2.12)

detta potenza virtuale delle reazioni vincolari, si annulla per ogni configurazione del sistema e per ognin-upla di valori diu

j, conj = 1, ..., n.

La potenza reale dissipataW e anch’essa nulla per vincoli indipendenti dal tempo, in quanto in talcaso la velocita reale soddisfa la Definizione 5. Infatti, l’insieme delle velocita possibili, cui la velocitareale appartiene, se i vincoli olonomi sono fissi coincide con l’insieme delle velocita virtuali.

Molti libri di testo, al posto delle definizioni date qui, utilizzano lospostamento virtualedi P , che inpratica risulta essere

δP = uPdt .

Parallelamente, per definire il vincolo ideale usano la relazione

δLv

= Fv · δP = 0 ,

in cui il termine a primo membro e dettolavoro virtualedelle reazioni vincolari.Il nucleo di questo capitolo e un importante teorema, che risolve il problema del moto in modo

soddisfacente e del tutto generale definendo leequazioni di Lagrange. Esso permette di studiare il moto

20

di tutti i sistemi meccanici soggetti a vincoli olonomi ideali. Siano essi composti soltanto da punti isolati,o anche da corpi rigidi continui.

Per comodita, la dimostrazione si riferira solo a sistemidiscreti (leggi: insiemi finiti di punti), maessa vale anche se le parti rigide del sistema sono distribuzioni continue di massa. In particolare, nellepresenti note autorizziamo il lettore a pensare che ogni risultato ottenuto per mezzo di espressioni deltipo

N∑

i=1

mif(Pi) ,

in cui m sta per massa edf per funzione, valga senz’altro anche nel caso piu generalein cui al postodella somma c’e l’espressione

∫

V

ρ(P )f(P )dVP

,

in cui ρ sta per densita edVP

e il volume infinitesimo che circonda il puntoP .E utile far precedere il teorema da un approfondimento dellanozione diforza conservativaintrodotta

nel corso di Fisica I.Definizione 7.Per essere conservativa una forza deve dipendere solo dallaposizione dei punti e non

dalla loro velocita, e non deve avere dipendenza esplicita dal tempo. Inoltre deve esistere una funzionescalareV , detta energia potenziale, tale per cui

F = −∇V ,

dove il gradientee calcolato rispetto alle coordinate del punto di applicazione della forza.

Come si puo facilmente verificare consultando qualunque testo di Analisi II alla voce ‘forme diffe-renziali esatte’, questa definizione equivale a richiedereche il lavoro fatto per spostare il punto d’appli-cazione della forza da una posizioneA a una posizioneB, non dipenda dal percorso scelto per andare daA aB. Essendo tale lavoro, in effetti, uguale aV (A) − V (B).

Quest’ultima quantita e pari all’incremento di energia cinetica di un punto massivo posto nel puntodi applicazione della forza, a patto che tale punto abbia massa finita. Se la massa e infinitesima, comenel caso di forze applicate a singoli punti di un corpo rigido, tale proprieta, evidentemente, non vale.Ma vale comunque il Teorema 4 posto a conclusione del presente capitolo, purche si consideri l’energiacinetica del corpo rigido nel suo insieme.

Con la Definizione 7, chi non sia in grado di integrare forme differenziali puo comunque verificareche una forza e conservativa, purche gli venga data l’espressione dell’energia potenzialeV . A quel puntobasta calcolare il gradiente.

Diamo qualche esempio: se un campo di forzeF e costante in ogni punto dello spazio, e immediatoprovare cheV = −F · (P −O). In particolare, per la forza peso si haV = mgz se l’assez e ascendente,e V = −mgz se e discendente. Inoltre, la forza elasticaF = −k(P − O) ammette energia potenziale

V = 12k|P − O|2 (sempre positiva), mentre per la forza di CoulombF =

Qq

4πǫ|P − O|−3(P − O) si ha

V =Q

4πǫ|P − O|−1.

2.4 Le equazioni di Lagrange.

Dimostriamo ora che i vincoli ideali permettono sempre di scrivere un numero di equazioni pure pari alnumero di gradi di liberta del sistema.

Avvertenza: in presenza di corpi rigidi le modalita di applicazione del teorema che vogliamo enun-ciare risulteranno chiare soltanto al termine dell’ultimocapitolo. In altre parole: il teorema vale anche

21

per corpi rigidi, ma lo studente non potra usarlo per risolvere esercizi sui corpi rigidi finche la cinematicadel corpo rigido non sara completamente nota.

Teorema 3.Sia dato un sistema meccanico an gradi di liberta, i cui puntiPi, coni = 1, ..., N , sono

soggetti a vincoli olonomi ideali (e/o anolonomi integrabili), e a forze attiveFa

i. Allora fra tutti i moti

compatibili con i vincoli, e quindi descritti da arbitrarien-uple(q1(t), q2(t), ..., qn(t)), quelli realmentecompiuti dal sistema meccanico corrispondono alle soluzioni delle seguentin equazioni differenziali delsecond’ordine

d

dt

∂T

∂qj

− ∂T

∂qj

= Qj j = 1, ..., n , (2.13)

dette equazioni di Lagrange, dove le incognite sono leqj(t), mentre

T :=

N∑

i=1

1

2miv

2Pi

e l’energia cinetica del sistema e

Qj =

N∑

i=1

Fa

i· ∂Pi

∂qj

, (2.14)

sono le componenti lagrangiane della forza. L’energia cinetica e le componenti lagrangiane della forzasi intendono calcolate lungo arbitrarie curve compatibilicon i vincoli e quindi lev

Piappartengono

all’insieme delle velocita possibili. Nel caso le forze siano conservative, le componenti lagrangianesoddisfano la

Qj = −∂V

∂qj

, (2.15)

in cui V e l’energia potenziale del sistema.Dimostrazione.Scriviamo la (2.5) per ciascuno dei punti del sistema, moltiplichiamola scalarmente

peruPi

e sommiamo sui da1 aN :

n∑

j=1

N∑

i=1

(miaPi− F

a

i− F

v

i) · ∂Pi

∂qj

uj

= 0 .

In questa relazione compare la quantitaW definita in (2.12) che, poiche i vincoli sono ideali, si annulla.Si annulla comunque si scelga la n-upla(u1 , u2 , ..., un ), e in particolare per(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0),. . . ,(0, 0, ..., 1). Queste scelte particolari una volta sostituite nell’equazione precedente, in cui si sia gia postoW = 0, producono len equazioni pure

N∑

i=1

(miaPi− F

a

i) · ∂Pi

∂qj

= 0 j = 1, ..., n.

Poiche il secondo termine dentro la parentesi tonda corrisponde alla definizione (2.14), per completarela dimostrazione resta da provare che

miaPi· ∂Pi

∂qj

=d

dt

∂Ti

∂qj

− ∂Ti

∂qj

,

conTi = 12miv

2Pi

. Per farlo servono due equazioni, caratteristiche dei vincoli olonomi, che ora derivere-mo.

Dalle (2.9) e (2.8), generalizzate al caso din gradi di liberta, e immediato dedurre che, essendo

vPi

=

n∑

j=1

∂Pi

∂qj

qj+

∂Pi

∂t,

22

valgono le∂v

Pi

∂qj

=∂Pi

∂qj

, (2.16)

∂vPi

∂qj

=d

dt

∂Pi

∂qj

. (2.17)

Allora le (2.16) e (2.17) si possono sostituire nel seguentecalcolo

miaPi· ∂Pi

∂qj

= mi

dvPi

dt· ∂Pi

∂qj

=

d

dt

(

mivPi· ∂Pi

∂qj

)

− mivPi· d

dt

∂Pi

∂qj

=d

dt

(

mivPi·∂v

Pi

∂qj

)

− mivPi·∂v

Pi

∂qj

.

Questo e proprio il risultato che cercavamo: per ritrovarel’espressione dell’energia cinetica basta os-servare che la regola di derivazione del prodotto si applicaanche alle derivate parziali e ai prodottiscalari.

Sostituendo la generalizzazione delle (2.8) nell’espressione dell’energia potenzialeV , l’ultima af-fermazione del teorema discende banalmente dalla definizione (2.14) e dalla formula per la derivazionedelle funzioni composte (valida anche per derivate parziali). Infatti nel nostro caso tale formula produceesattamente il prodotto scalare fra il gradiente diV e i vettori tangenti scritti in (2.9).

Esempio 10.Scriviamo ora le equazioni di Lagrange del sistema meccanico in figura. Tenendo presente che i

vincoli sono lisci, che il pianoxy e orizzontale, che la guida su cui scorre il puntoB si muove nel versopositivo dell’assey con accelerazione costantea, che la molla ha costante elasticak e lunghezza nulla ariposo e che, infine,A e B hanno entrambi massam. Supponiamo inoltre, tanto per fissare le idee, cheall’istante iniziale le due guide coincidano e siano in quiete l’una rispetto all’altra.

Scelte come coordinate lagrangianexA

exB

, l’energia cinetica vale

T = TA

+ TB

=1

2mx

A

2 +1

2m(x

B

2 + a2t2)

L’energia potenziale dovuta alla molla e

V =1

2k|B − A|2

Infatti, indicando con∇A

e∇B

i gradienti rispetto alle coordinate diA e di B, si verifica subito che laforzaF

Adi cui risenteA per effetto diB soddisfa la

FA

= −∇AV = −k(A − B) ,

23

e analogamente si trovaFB

= −FA

, come deve essere. Dunque

V =1

2k[(x

B− x

A)2 +

1

4a2t4] .

E immediato verificare che le equazioni di Lagrange sono

mxA

= −k(xA− x

B) ,

mxB

= −k(xB− x

A) .

Il lettore puo utilizzarle per calcolare la derivata temporale dell’energia totaleE = T + V , verificandocheE non e costante. Questo risultato dipende dal fatto che i vincoli non sono fissi. Allora, anche se essisono lisci e le forze sono conservative, e necessario fornire energia per mantenere il moto della guida cuie vincolatoB.

Queste considerazioni conducono direttamente all’ultimorisultato di questo capitolo.Teorema 4.In un sistema meccanico con vincoli olonomi ideali fissi (e/oanolonomi integrabili), sul

quale agiscono forze attive conservative, l’energiaE = T + V e costante nel tempo.dimostrazione.Senza perdita di generalita, possiamo limitarci a considerare un sistema di due punti

materialiA e B, per ciascuno dei quali si puo scrivere (2.5), conFa

A= −∇

AV e analogamente per

B. Moltiplichiamo allora scalarmente le (2.5) pervA

e vB

rispettivamente, e sommiamole. Otteniamosubito

d

dt(1

2m1v

2A

+1

2m2v

2B) = −(∇

AV · v

A+ ∇

BV · v

B) = −dV

dt.

Osserviamo infine che la (2.15) talvolta vale anche se le forze non sono conservative; ad esempio, sela coordinata lagrangiana e una sola e sempre possibile trovare una funzione energiaV : basta trovare la

primitiva di Q1. In tal caso il Teorema 4 vale ancora percheF · vP

=dV

dt.

3 Equazioni cardinali, vettori applicati, tensore d’inerzia.

3.1 Le equazioni cardinali della meccanica dei sistemi di punti.

Le equazioni differenziali del moto di un corpo rigido non vincolato devono essere6, come i gradidi liberta del sistema. Ricaveremo ora due equazioni differenziali vettoriali, detteequazioni cardinali(valide in verita per ogni sistema meccanico anche non rigido) che risultano essere equazioni pure nelcaso di un continuo rigido. Con l’espressione ’equazioni pure’ si intendono qui delle equazioni che noncontengono la reazione vincolare incognita teoricamente associabile al vincolo di rigidita nel caso di unsistema rigido formato da finiti punti, come pure nel caso di un continuo rigido.

Tali equazioni consentono infatti di eliminare, o meglio, non richiedono di esplicitare, l’espressionedi quelle forze che mantengono costante la distanza fra coppie di punti. Queste forze sono di fatto rea-zioni vincolari, in quanto permettono la realizzazione di quei vincoli di rigidita, evidentemente olonomi,che hanno consentito di ridurre a6 il numero di gradi di liberta del corpo rigido.

Come si e visto nel caso di sistemi di punti materiali, eliminare dalla descrizione le forze di vin-colo significa pervenire a equazioni differenziali pure, lecui soluzioni descrivono in modo completol’evoluzione temporale del sistema.

Senza perdita di generalita, supponiamo dunque di avere unarbitrario sistema meccanico formato daN punti e scriviamo per ognuno di essi

miaPi= F

(i)

i+ F

(e)

ii = 1, ..., n , (3.1)

doveF

(i)

i=∑

j 6=i

Fij

24

In (3.1) le forze sono state suddivise in interneF(i)

ed esterneF(e)

, anziche attive e vincolari. In parti-colare, si e esplicitato il totaleF

(i)

idelle forze interne agenti suPi per effetto degli altri puntiPj . Poiche

per il principio di azione e reazione

N∑

i=1

F(i)

i=

N∑

i=1

∑

j 6=i

Fij

= 0 ,

sommando le (2.13) da1 aN si ottiene un’equazione in cui non compaiono le forze interne. Posto

P :=N∑

i=1

mivPie R

(e):=

N∑

i=1

F(e)

i,

tale equazione si legged

dtP = R

(e). (3.2)

La (3.2) e dettaprima equazione cardinale, il vettoreP e detto impulso oquantita di motoo momentolineare, il vettoreR

(e)e il risultantedelle forze esterne.

Non si puo far a meno di notare che se il sistema e un corpo rigido libero le forze interne sono quelleassociate ai vincoli di rigidita. E come qualunque altra reazione vincolare non sono note come funzionidella posizione e della velocita, ma sono note solo nel loroeffetto, che e appunto quello di mantenerecostante|Pi − Pj|. E dunque auspicabile la loro eliminazione dalle equazioni del moto, e le (3.2) sonoper l’appunto equazioni pure per il corpo rigido libero.

Ricaviamo ora le tre equazioni pure che ci mancano moltiplicando le (3.1) vettorialmente per(Pi−O)

(Pi − O) × miaPi= (Pi − O) × F

(i)

i+ (Pi − O) × F

(e)

ii = 1, ..., n , (3.3)

con O punto arbitrario, non necessariamente in quiete rispetto all’osservatore che descrive il moto delsistema. Sostituiamo poi nel primo membro di (3.3) l’espressione

(Pi−O)×miaPi=

d

dt

(

(Pi − O) × mivPi

)

−(vPi−v

O)×mivPi

=d

dt

(

(Pi − O) × mivPi

)

+vO×mivPi

Di nuovo, sommando (3.3) sui da1 aN il termine che contiene le forze interne si annulla. Questo `edovuto al fatto che le forze interne, per soddisfare il principio di azione e reazione, non sono solo ugualie opposte, ma anche dirette come la retta che congiunge la coppia di punti. Dalla proprieta del prodottovettoriale di annullarsi se i due vettori sono paralleli, sideduce allora

(Pi − O) × Fij

+ (Pj − O) × Fji

= (Pi − Pj) × Fij

+ (Pj − O) × Fij

+ (Pj − O) × Fji

=

= (Pj − O) × (Fij

+ Fji) = 0 i, j = 1, ..., N .

Se dopo aver sommato le (3.3) si mettono in evidenza le espressioni

L(O) :=

N∑

i=1

(Pi − O) × mivPie M

(e)(O) :=

N∑

i=1

(Pi − O) × F(e)

i,

che rappresentano rispettivamente il momento angolare totale rispetto al poloO, e il momento delleforzeesterne (sempre rispetto al poloO), possiamo infine scrivere laseconda equazione cardinaledellameccanica nella forma

d

dtL(O) = M

(e)(O) + P× v

O. (3.4)

25

Per quanto precedentemente osservato, le (3.2) e (3.4) sonoda ritenersi a tutti gli effetti le equazionidel moto del corpo rigido libero, e in questo capitolo ne studieremo in dettaglio la struttura e le proprietamatematiche.

Come si puo forse gia intuire, la grande differenza fra dinamica del punto e dinamica del corpo rigidoe insita nella seconda equazione cardinale della meccanica (3.4), che, come vedremo, descrive la parterotatoria dei moti.

La struttura dell’equazione e molto complessa, e richiedel’utilizzo di varie proprieta matematichedelle grandezze vettoriali. Proprieta che devono essere studiate in dettaglio per la loro importanza nelleapplicazioni. Tutte le formule che scriveremo sono di un qualche interesse ingegneristico, percio non neenfatizziamo nessuna in particolare.

In sintesi, esse sono finalizzate alla soluzione di due distinte questioni

• studiare il vettoreM(O) come funzione del poloO, per maneggiare nel migliore dei modi ilsecondo membro dell’equazione;

• studiare la cinematica del corpo rigido, e in particolare larelazione fraL(O) e ω, vale a dire ilprimo membro dell’equazione (3.4).

3.2 Sistemi di vettori applicati.

Cominceremo dallo studio dei momenti delle forze.E importante rilevare il fatto che nelle equazioni (3.2) e (3.4), viste come equazioni del moto del

corpo rigido, l’insieme delle forze esterneF(e)

i, applicate nei puntiPi, influenza il moto solo attraverso

il suo risultanteR(e)

, che fa variare nel tempo la quantita di moto, e il suo momento M(e)

(O), che favariare nel tempo il momento della quantita di moto. Qualunque altro sistema di forze con lo stessorisultante e lo stesso momento (rispetto a un polo arbitrario) ha il medesimo effetto sul moto del corporigido.

Per ottenere unsistema di forze equivalentedue operazioni sono possibili, le quali non alterano neR neM(O):

a) sommare forze applicate in uno stesso punto, o scomporne una nella somma di altre due, applican-dole nello stesso punto;

b) spostare il punto di applicazione della forza lungo laretta d’azionedella medesima. Essendo laretta d’azione quella retta che e parallela alla forza e passa per il suo punto di applicazione.

Come si vede anche in figura, dati due puntiP1 e P2 sulla retta d’azione, il momento della forzarispetto adO soddisfa la

(P1 − O) × F = (P2 − O) × F .

26

Infatti, il prodotto vettoriale e in entrambi i casi normale al piano che contiene la retta d’azione e ilpuntoO. D’altra parte, l’uguaglianza delle norme si prova richiamando l’espressione per il modulo delprodotto vettoriale fornita nel Paragrafo 1.4, e verificando che|P1 − O| sin θ1 = |P2 − O| sin θ2 := b.

Il braccio della forza, comunemente indicato con la letterab, si definisce come la distanza fra la rettad’azione e la sua parallela passante perO. Come si vede in figura, spostare il punto d’applicazione lungola retta d’azione non cambia il braccio della forza.

Alternativamente, per provare che l’operazioneb) lascia invariato il momento delle forze si sarebbepotuto procedere nel seguente (sintetico) modo: seP1 − P2 e parallelo aF, allora

(P1 − O) × F = (P1 − P2) × F + (P2 − O) × F = (P2 − O) × F .

A questo punto, nella definizione del vettore momento, si possono sostituire alle forzeFi dei vettorigenericiwi, i quali potranno essere di volta in volta forze, quantita di moto dei punti o velocita angolaridi sistemi di riferimento in moto relativo, con diversi significati fisici per le stesse proprieta matematiche.Significati fisici che saranno illustrati successivamente.

Dato il momento rispetto aP di un sistema di vettori applicati nei puntiPi, coni = 1, ..., N , la leggedi variazione al variare del polo si ottiene come segue

M(P ) =

N∑

i=1

(Pi − P ) × wi =

N∑

i=1

(Pi − Q) × wi +

N∑

i=1

(Q − P ) × wi =

= M(Q) + (Q − P ) × (

N∑

i=1

wi) = M(Q) − R× (Q − P ) = M(Q) + R × (P − Q) .

Uguagliando il primo e l’ultimo termine della catena, si vede che tale legge e

M(P ) = M(Q) + R × (P − Q) . (3.5)

Se avessimo scelto come vettori applicati le quantita di moto di N punti di ugual massamvPi

= wi,allora il loro momento rispetto al poloP sarebbe stato il momento angolareL(P ) e il risultante laquantita di moto totaleP. Utilizzando nuovamente la (3.5), la legge di trasformazione del momentodella quantita di moto al variare del polo e

L(P ) = L(Q) + P× (P − Q) . (3.6)

Proprieta 1.Se due sistemi di vettori hanno lo stesso risultante e lo stesso momento rispetto ad unqualche polo, allora sono equivalenti.

Infatti, in tal caso, i due sistemi hanno lo stesso momento rispetto a qualunque polo a causa della(3.5).

Due forze uguali e opposte con due rette d’applicazione distinte costituiscono unacoppia. In basealla (3.5), avendo il risultante nullo, una coppia ha momento costante. Scegliendo come polo uno deidue punti di applicazione delle forzeF e−F, si vede che tale momento e in modulo pari abF . Esistono,evidentemente, infinite coppie di momento assegnato.

Il piu semplice sistema equivalente a un sistema dato si ottiene con il seguente procedimento: appli-care inO il risultante del sistema originario, costruire una coppiail cui momento sia pari al momento delsistema originario rispetto adO, applicare inO uno dei due vettori della coppia e sommarlo al risultante.Allora, vale la seguente affermazione.

Proprieta 2.Ogni sistema di forzee equivalente a non piu di due vettori applicati.Vedremo ora che se i vettori sono paralleli, se cioe per ognii si hawi = wie cone versore arbitrario,

il sistema risulta equivalente a un unico vettore.

27

A questo scopo, si definisce ilcentro del sistema di vettori applicati parallelicome segue

C − O =1

R

N∑

i=1

wi(Pi − O) , (3.7)

conR definito tramite il risultanteR = Re e, di conseguenza

R =N∑

i=1

wi .

Proprieta 3.SeC e il centro di un sistema di vettori applicati paralleli, allora M(C) = 0 e il sistemaepercio equivalente al risultante applicato inC.

Infatti, applicando la (3.5) si ottiene

M(C) = M(O) + (N∑

i=1

wie) × (C − O) = M(O) + (N∑

i=1

wi)e × 1

R

N∑

i=1

wi(Pi − O) =

= M(O) + e ×N∑

i=1

wi(Pi − O) = M(O) −N∑

i=1

(Pi − O) × wie = 0 .

Il fatto che il risultante possa essere applicato inC e banale conseguenza di (3.5).

3.3 Il baricentro.

L’esempio piu noto di vettori applicati paralleli e dato dalla forza pesomig applicata ai puntiPi di massami. Semplificando il modulog dell’accelerazione di gravita nella definizione di centrodi un sistema divettori, si ottiene la definizione dibaricentro

G − O =1

M

N∑

i=1

mi(Pi − O) , (3.8)

in cui M e la massa totale.Sostituendo gli integrali alle somme, la (3.8) vale anche nel caso di distribuzioni continue di massa

e di corpi rigidi. La (3.8) descrive un luogo geometrico che non dipende dall’orientazione del corporispetto alla forza peso.E chiaro quindi che ai fini del calcolo il sistema di riferimento piu conveniente esempre un sistema solidale al corpo rigido.

Una proprieta molto utile ai fini del calcolo, e che discendedirettamente dalla definizione (3.8), e lacosiddetta proprieta distributiva del centro di massaG.

Proprieta 4.Se si opera una partizione di un sistema meccanico inN0 sottoinsiemi a due a duedisgiunti (la cui unione sia il sistema di partenza), il baricentro si puo calcolare sostituendo al sistemaoriginario N0 punti di massaMi pari alla massa delle parti e posti nei rispettivi baricentri parziali Gi,coni = 1, ..., N0.

Nel caso di sistemi discreti l’affermazione e banale, mentre nel caso di corpi rigidi e conseguenzadelle proprieta di additivita degli integrali rispetto alla partizione del dominio.

Esempio 11.

G

28

Applichiamo la Proprieta 4 per individuare il baricentro di un triangolo. Cominciamo con l’osservareche datidue punti di ugual massail baricentro si trova nel punto medio del segmento che li congiunge.Inoltre, la mediana relativa a un qualunque lato del triangolo contiene i punti medi dei segmenti parallelia quel lato, costituenti una partizione del triangolo. poiche i punti medi sono baricentri parziali e sonoallineati sulla mediana, segue dalla Proprieta 4 e da (3.4)che anche il baricentro totale deve trovarsi sullamediana. Ed essendo cio vero per ogni mediana, il baricentro non puo che trovarsi all’incrocio dellemediane.

Quando nei problemi di Fisica I si studia il moto di un oggettoapplicando la forza peso, o addiritturaaltre forze, nel baricentro si compie un’operazione che pu`o sembrare arbitraria, finche non si conosce lateoria dei sistemi di forze applicate equivalenti.

In effetti la prima equazione cardinale (3.2) puo essere riscritta tenendo presente che la derivando(3.8) rispetto al tempo si haMv

G= P, e quindi

Mdv

G

dt= R

(e). (3.9)

In particolare, se il risultante delle forze esterne e la forza peso si ha chiaramenteG = g.La relazioneMv

G= P permette anche di semplificare la seconda equazione cardinale (3.4). Nel

caso in cui il polo eG essa diventad

dtL(G) = M

(e)(G) , (3.10)

percheP evG

sono paralleli.Vedremo ora alcune proprieta che permettono di utilizzareal meglio (3.10) nello studio delle rota-

zioni di un corpo rigido libero. Nella descrizione di tale moto si utilizza il particolare punto di vista delcosiddettoosservatore baricentrale, la cui terna ha l’origine nel baricentro del sistema e moto traslatoriorispetto alla terna fissa. I motivi per cui tale riferimento risulta utile saranno chiari fra poco.

Un’ulteriore conseguenza dell’equazioneMvG

= P e l’annullarsi diP per ogni osservatore per ilqualeG e fermo. E in particolare per ogni sistema di riferimento, comunque orientato, che abbia l’originein G. Allora, in base a (3.6) si ha

L(P ) = L(Q) ,

e il momento non dipende dal polo.D’altra parte non e difficile ricavare la relazione fra il momento angolareL′(P ) misurato in un rife-

rimento fisso con origine inO′ e assix′, y′ ez′, e il momento angolareL(P ) osservato da un riferimentocon l’origine inO e assix, y ez, che si muove di mototraslatorio rispetto al riferimento fisso. Infatti intal caso, poiche vale la (1.22) conω = O, la velocita di trascinamento e pari av′

Oe

L′(P ) =

N∑

i=1

(Pi − P ) × miv′Pi

=

N∑

i=1

(Pi − P ) × mi(vPi+ v′

O) =

= L(P ) + (

N∑

i=1

(Pi − P )mi) × v′O

= L(P ) + M(G − P ) × v′O

,

in cui l’ultimo passaggio e conseguenza diretta di (3.8) ove si sia sceltoO = P . Questa legge ditrasformazione ci assicura che se il polo eG alloraL′(G) = L(G).

Osserviamo poi che per sistemi in moto relativo traslatorio, essendo costanti i versori degli assi, lalegge di trasformazione delle accelerazioni, che si deducederivando rispetto al tempo la (1.22) scrittaperω = 0, risulta essere

a′P

= aP

+ a′O

.

29

Moltiplichiamo quest’ultima equazione perm e riscriviamo la (2.1) nel riferimento accentato, tenendoconto che la forzaF non dipende dall’osservatore. Otteniamo:

maP

= F(P,vP, t) − ma′

O,

in cui l’ultimo termine prende il nome diforza apparente. Questa equazione del moto implica che quandoil punto P viene studiato dall’osservatore mobileO anziche daO′, esso risulta sottoposto all’azione diuna forza supplementare, la quale, pur chiamandosi forza apparente, ha tutti gli effetti pratici di una forzareale.

Prendiamo il sistema delle forze apparenti applicate a ciascuno dei puntiPi di massami: poiche taliforze sono parallele e, per la (3.7), il loro centro eG, allora il loro momento rispetto a un puntoQ, perla Proprieta 3, vale(G − Q) × (−Ma′

O). E si annulla, quindi, se il polo eG. Allora, se il polo eG e il

riferimento mobile trasla, il secondo membro di (3.10) rimane invariato nel passaggio da un osservatoreall’altro.

L’insieme delle considerazioni fatte a partire dalla (3.10) costituisce la dimostrazione del seguenteteorema

Teorema 5.SceltoG come polo, allora per tutti i riferimenti in moto traslatorio, non necessariamenteuniforme, gli uni rispetto agli altri il momento angolare risulta lo stesso e l’equazione

d

dtL(G) = M

(e)(G)

e invariante. In particolare, scelto fra questi riferimenti quello con l’origine inG, detto baricentrale,il momento angolare risulta indipendente dal polo. E l’equazione puo essere studiata tenendo presenteche in tal caso l’atto di moto di un corpo rigidoe rotatorio intorno al baricentro.

3.4 Asse centrale, invariante scalare, vettori nel piano.

Le relazioni che andiamo a mostrare ora valgono per tutte le funzioni vettoriali, quali ad esempio lavelocita dei punti del corpo rigido oppure i momenti delle forze e della quantita di moto, che soddisfanoequazioni come la (1.17) o la (3.5). Tali funzioni sono chiamatecampi vettoriali equiproiettivi, perchemoltiplicando scalarmente la (3.5) per(P − Q) si ha:

M(P ) · (P − Q) = M(Q) · (P − Q) ,

e percio i due vettori hanno la stessa proiezione lungo la retta che li congiunge. Nel presente paragrafoindichiamo conM(P ) il generico campo equiproiettivo.

Proprieta 5.Il momentoe costante su ogni retta parallela al risultante.Questo si dimostra scrivendo, in forma parametrica, l’equazione di una retta parallela aR, che passa

per un punto prefissato ma arbitrario che chiameremoQ. Le coordinate variabili di un generico puntoPappartenente a tale retta soddisfano le relazioni

xP− x

Q= λRx

yP− y

Q= λRy

zP− z

Q= λRz

in cui λ e un numero reale. (Per ritrovare la nota equazione implicita di una retta, ad esempio giacentenel pianoxy, e sufficiente ricavareλ dalla prima equazione e sostituirlo nella seconda). Le tre relazionisono sintetizzate dall’equazione vettorialeP −Q = λR che, sostituita in (3.5), implica subitoM(P ) =M(Q).

30

Proprieta 6.SeR e diverso da zero, il luogo dei punti in cui il momentoe parallelo al risultanteeuna retta, parallela al risultante, detta asse del campo.

Questa proprieta si dimostra richiedendo il parallelismo

M(P ) ×R = 0 ,

e cercando di provare che sotto quest’ipotesiP soddisfa l’equazione della retta.Sostituiamo (3.5) nella relazione precedente, e applichiamo poi l’identita

(v1 × v2) × v3 = (v1 · v3)v2 − (v2 · v3)v1 , (3.11)

verificabile con elementari ma noiosi calcoli algebrici.In questo modo si ottiene subito che la (3.11) permette di scrivere il luogo dei puntiP in cui il

momento e parallelo aR come segue

0 = (M(Q) + R× (P − Q)) × R =

= M(Q) × R + R2(P − Q) − (R · (P − Q))R .

Da qui, si ricava

P = Q − 1

R2M(Q) × R +

1

R2(R · (P − Q))R .

Poniamo ora

Q∗ = Q +1

R2R× M(Q) ,

in modo che, in base all’equazione precedente, il puntoP variabile e il puntoQ∗ fissato soddisfano la

P − Q∗ =1

R2(R · (P − Q))R = λR ,

e quindi appartengono a una stessa retta parallela aR. Allora, se vogliamo completare la dimostrazionenon dobbiamo far altro che provare che ancheQ∗ appartiene a quello stesso luogo di punti che stiamocercando di caratterizzare. Ma poiche

Q∗ − Q =1

R2R× M(Q) ,

applicando la (3.5) alla coppia di puntiQ∗ e Q, e usando nuovamente l’identita (3.11) del doppioprodotto, si calcola

M(Q∗) = M(Q) + R × (Q∗ − Q) = M(Q) + R ×(

1

R2R × M(Q)

)

=

= M(Q) − M(Q) +1

R2(R · M(Q))R =

1

R2(R ·M(Q))R .

Il che prova, effettivamente, cheM(Q∗) eR sono paralleli.Proprieta 7.L’asse del campoe il luogo dei punti in cui il modulo del momentoe minimo.Questo si vede scrivendo la (3.5) quando uno dei due punti appartiene all’asse del campo:

M(P ) = M(Q∗) + R × (P − Q∗) , (3.12)

e notando che il secondo membro e somma di due vettori che sono perpendicolari fra loro, per definizionedi asse centrale e per definizione di prodotto vettoriale. Quindi vale la

M(P )2 = M(Q∗)2 + |R × (P − Q∗)|2 ,

31

e la proprieta citata discende dal fatto che il primo termine a secondo membro non dipende daP , mentreil secondo dipende daP e puo pure annullarsi.

Proprieta 8.Se la quantita I := M(P ) ·R, detta invariante scalare, si annulla, o il campoe costanteo esiste un puntoC, detto centro del sistema di vettori, tale per cui

M(P ) = (C − P ) × R , (3.13)

per ogniP .Cominciamo col dire cheI non dipende daP , ed e per questo che lo chiamiamoinvariante scalare.

Infatti, sostituendo nell’espressione che lo definisce la (3.5), e notando che il prodotto misto si annulla,si vede cheI(P ) = I(Q) per ogniQ. D’altra parte, calcolandoI in un generico puntoQ∗ appartenenteall’asse si ottiene il prodotto di due numeriI = ±M(Q∗)R. Per cui seI e nullo o e nulloR, e quindi ilcampo e costante, oppure il campo si annulla nei punti dell’asse, e (3.13) diventa immediata conseguenzadi (3.12). In realta (3.13) vale per tutti i punti dell’asse, anche se siamo soliti indicare conC quel puntodell’asse che appartiene al piano normale aR perP .

La Proprieta 8 ha alcune importantissime applicazioni.Esempio 12.Prendiamo un sistema di forze applicate in un piano, cioe con i punti di applicazionePi complanari

e le forzeFi complanari esse stesse. La nullita dell’invariante scalare si prova scegliendo come poloproprio un punto di quel piano, in modo che, per definizione diprodotto vettoriale, il momento risulteraperpendicolare al piano, e quindi al risultante. Se questo `e diverso da zero bastera applicarlo inC, o inun qualunque punto dell’asse, per ottenere un sistema equivalente a quello di partenza.

Un esempio che trattiamo ora in dettaglio e quello dei moti piani di un corpo rigido. Il campo dellevelocita dei punti solidali al corpo rigido e equiproiettivo a causa della (1.17), in cui il vettoreω gioca ilruolo fin qui giocato dal risultante. Dunque, in particolare, per il campo di velocita valgono le proprieta5, 6, 7 e8. E quest’ultima e soddisfatta dai moti piani.

Infatti, come si deduce dalla Definizione 3 e dalle osservazioni immediatamente precedenti l’Esem-pio 4, il vettoreω, essendo parallelo ae3, che e solidale e costante, risulta normale ai piani nei quali ilmoto dei punti si svolge, e quindi normale av

P. Percio

I = vP· ω = 0

In ogni piano esiste allora un puntoC, dettocentro di istantanea rotazione, che appartiene all’asse delcampo, ha velocita nulla, e per il quale vale l’analogo di (3.13)

vP

= ω × (P − C) ,

espressione che denota come i moti dei punti siano tangenti acirconferenze concentriche.Nel moto piano dell’Esempio 5, per il disco rotolante esistea ogni istante di tempo un diverso punto

del corpo avente velocita nulla. poiche il punto materiale cambia, il luogo geometrico definito dallacondizione

vC

= 0 , (3.14)

puo, nonostante le apparenze, essere mobile. E in generalelo e.Definizione 8.Durante un moto piano in cui l’atto di moto sia sempre rotatorio, la curva descritta

dal centro di istantanea rotazione nel riferimento fissoe chiamata base. La curva descritta daC in unriferimento solidalee chiamata rulletta.

Nell’Esempio 5, particolarmente semplice, labasee l’assex, e basta un po’ di immaginazione percapire che larulletta e la circonferenza del disco stesso.

Un metodo grafico per individuare il centro di istantanea rotazione e il cosiddettoTeorema di Cha-sles. Esso si basa sul fatto che i moti sono tangenti a moti circolari, e afferma che, note le direzioni

32

della velocita di due qualunque punti solidali, il centro si trova all’intersezione delle rette passanti perquei punti e normali alle rispettive velocita. Tale risultato si spiega banalmente ricordando che i vettorivelocita sono tangenti a delle circonferenze concentriche. E ricordando che in una circonferenza la rettacui il raggio appartiene e perpendicolare alla tangente e passa per il centro del cerchio.

Esempio 13.

6

-j

�

6

y′ y

x′

x

2θ

C

O

A

B

M

θ

θ

Applicando il Teorema di Chasles, si vede che il centro di istantanea rotazione di una sbarra vincolatacome nell’Esempio 1 si trova nell’intersezione della normale per A all’assey con la normale perBall’assex. poicheC − O e disposto come la diagonale del rettangoloOBCA, si ha

|C − O| = l ,

percio la base e una circonferenza di raggiol. Scegliendo come origine del riferimento solidale il puntomedioP dell’asta e anche chiaro che

|C − P | =l

2,

e quindi la rulletta e una circonferenza di raggiol/2. Inoltre, mentre l’angolo cheC − O forma cone′1 e θ, da elementari considerazioni geometriche si deduce che l’angolo cheC − P forma cone1 =(B − P )/|B − P | e 2θ. Quindi, mentreC descrive mezzo giro sulla rulletta, soltanto un quarto di giroviene percorso sulla base.

Esempio 14.

-O

AR

R

C

B

Rθ θ

β

α

γ

α = 2θ

β =π

2− θ

=⇒ γ =π

2− θ

L’asta AB di lunghezzaR in figura, dettabiella, ha un estremo vincolato a una circonferenza, diraggioR, e l’altro a una guida passante per il diametro del cerchio. L’ubicazione diC e data ancora unavolta dal teorema di Chasles. Valutando gli angoli e immediato capire che il triangoloCAB e isoscelequantoAOB. Percio la base e la circonferenza

|C − O| = 2R ,

allora la rulletta e, chiaramente|C − A| = R.

Tuttavia, trattando questo tipo di problemi, le curve con cui si ha a che fare non sono in generale sem-plici come negli esempi precedenti. Pero, data la base, la rulletta puo sempre essere trovata trasformandole x′

iC(t) trovate dall’osservatore fisso con origine inO′ nelle x

iC(t) misurate dall’osservatore mobile

33

con origine inO, secondo il seguente procedimento: scrivere nel sistema fisso le componentix′iC

− x′iO

del vettoreC −O e poi applicare ad esse la matrice del cambiamento di baseMe′

j

ei= (ei · e′j). Tanto per

fissare le idee, scriviamo la forma di tale matrice nel caso dell’Esempio 13

(

cos(−θ) sin(−θ)− sin(−θ) cos(−θ)

)

. (3.15)

Il segno meno davanti all’angolo in (3.15) si deve al fatto che un’osservatore orientato nel verso positivodell’assez vedrebbee′1 ruotare in sensoantiorario per andare a sovrapporsi ae1.

Studiamo ora la composizione delle velocita angolari in unmoto piano. A tal fine, consideriamo unaparticolare applicazione di (1.24), quella in cui il corpo egli N sistemi di riferimento si muovono tuttidi moto piano gli uni rispetto agli altri, avendo in comune ilversoree3 dell’assez. Riscriviamo la (1.24)supponendo che quando il campo di velocita del corpo e misurato dal primo osservatore, il puntoO sitrovi sull’asse di Mozzi, e che le originiOi stiano sull’asse di Mozzi del riferimentoi-esimo mentre ilsuo moto viene osservato dal riferimentoi + 1. In questo modo si ottienev

(i)

Oi−1= 0 per ognii, e quindi

la (1.24) diventa

v(N)

P=

N∑

i=1

(Oi−1 − P ) × ω

(i). (3.16)

In questo modov(N)

Psoddisfa la definizione di momento di un sistema di vettori applicati paralleli cal-

colato rispetto al poloP . A patto di porreω(i)

= wi, R = ωT

, e considerando i puntiOi−1 come sefossero punti di applicazione.

Allora l’asse di Mozzi del moto composto, che e evidentemente parallelo ae3, si ottiene individuandoil centro di istantanea rotazione tramite la formula (3.7) che definisce il centro di un sistema di vettoriapplicati paralleli.

3.5 Il momento della quantita di moto e il tensore d’inerzia.

Passiamo ora al secondo argomento fondamentale di questo capitolo, cioe la relazione fraL(O) e ω, edimostriamo il seguente teorema.

Teorema 6.Supponiamo che durante il moto di un corpo rigido un puntoO solidale al corpo abbiaa un dato istante velocita nulla. Allora se in quell’istante si sceglieO come polo, il momento angolareeuna funzione lineare diω detta tensore d’inerzia e indicata come segue

L(O) = I(O)(ω) . (3.17)

Il tensore d’inerziae simmetrico e la sua matrice rappresentativa in una arbitraria basee data da

I11O I12

O I13O

I21O I22

O I23O

I31O I32

O I33O

=

=

∫

Vρ(P )(y2

P+ z2

P)dV

P−∫

Vρ(P )x

Py

PdV

P−∫

Vρ(P )x

Pz

PdV

P

−∫

Vρ(P )x

Py

PdV

P

∫

Vρ(P )(x2

P+ z2

P)dV

P−∫

Vρ(P )y

Pz

PdV

P

−∫

Vρ(P )x

Pz

PdV

P−∫

Vρ(P )y

Pz

PdV

P

∫

Vρ(P )(x2

P+ y2

P)dV

P

. (3.18)

Nello scrivere (3.19), in cuiP e un qualunque punto del corpo rigido, sie scelto per brevita di porre inO l’origine del riferimento.

34

Dimostrazione.Ci limiteremo a dimostrare (3.18) per la componentex del momento angolare, perchele altre due componenti si ottengono in maniera analoga. Vogliamo quindi provare che

L(O)x = I11

Oωx + I

12

Oωy + I

13

Oωz .

Sostituendo nella definizione di momento angolare la (1.17), in cui perovO

= 0, e applicando poil’identita (3.11), si ricava

L(O) =

∫

V

ρ(P )(P − O) × vPdV

P=

∫

V

ρ(P )(P − O) × (ω × (P − O))dVP

=

=

∫

V

ρ(P )[|P − O|2ω − (ω · (P − O))(P − O)]dVP

.

Estraendo la prima componente dai vettori che compaiono in quest’ultima espressione si ha

L(O)x =

∫

V

ρ(P )[(x2P

+ y2P

+ z2P)ωx − (ωxx

P+ ωyyP

+ ωzzP)x

P]dV

P=

=

∫

V

ρ(P )[(y2P

+ z2P)ωx − ωyyP

xP− ωzzP

xP]dV

P=

=

(∫

V

ρ(P )(y2P

+ z2P)dV

P

)

ωx −(∫

V

ρ(P )xPy

PdV

P

)

ωy −(∫

V

ρ(P )xPz

PdV

P

)

ωz ,

come volevasi dimostrare.

Si noti che, se il riferimento in cui si calcolano le componenti del momento angolare e fisso mentreil corpo si muove, allora gli elementi della matrice (3.19) dipendono dal tempo.

In qualche corso elementare di fisica il lettore potrebbe aver gia incontrato, al posto del tensored’inerzia, il momento d’inerzia. Esso viene solitamente introdotto considerando un sistema rigido diNpunti massivi in moto attorno a un asse fisso con velocita angolare in modulo pari aω. In tal caso, sceltoO sull’asse di rotazione, il modulo diL(O) risulta proporzionale alla velocita angolareω, che essendouguale per tutti i punti, puo esser posta in evidenza nella relazione che definisceL(O). La costante diproporzionalita cosı ottenuta si chiama momento d’inerzia.

Questo esempio si riferisce essenzialmente a un’equazionescalare: chiariremo ora la relazione fra ilmomento d’inerzia e la (3.18).

Definizione 9.Dato un sistema meccanico, la somma dei prodotti fra le massemi e i quadrati delledistanze tra i puntiPi e una retta data (che passa per un puntoO e ha la direzione del versoren), si dicemomento d’inerziaI(O,n) del sistema rispetto all’asse dato.

Considerando distribuzioni continue di massa si vede subito cheI11

Oe il momento d’inerzia del

corpo rigido rispetto all’assex, comeI22

Olo e per l’assey e I

33

Oper l’assez. Cio significa che per

i = 1, 2, 3 il momento d’inerzia rispetto a un asse passante per l’origine e avente la direzione diei valeei · IO

(ei) := Iii

O. L’arbitrarieta dell’orientazione del riferimento cartesiano suggerisce di generalizzare

questo risultato.A tale scopo osserviamo che, vedi figura, per definizione di prodotto vettoriale la distanzad di P da

una retta perO avente la direzione din soddisfa lad = |n× (P − O)|.

3~n

:

O

P

d

α

35

Percio per definizione

I(O,n) =

∫

V

ρ(P )|n × (P − O)|2dVP

.

D’altra parte, postoω = n, dalla (3.18) e dai calcoli sviluppati nella dimostrazioneprecedente discendela

IO(n) =

∫

V

ρ(P )(P − O) × (n× (P − O))dVP

,

e quindi anche la

n · IO(n) =

∫

V

ρ(P )n · (P − O) × (n × (P − O))dVP

.

Ora basta osservare che, essendo per ogniu (vedi Paragrafo 1.4)

n · (P − O) × u = u · n × (P − O) ,

allora peru = n× (P − O) vale la

n · (P − O) × (n× (P − O)) = n × (P − O) · n× (P − O) = |n × (P − O)|2 ,

e di conseguenza, sostituendo quest’espressione in quelladi n · IO(n), resta provata la

I(O,n) = n · IO(n) . (3.19)

La (3.20) permette di calcolare il momento d’inerzia rispetto a un qualunque asse passante perO, notache sia la matrice in (3.19). Questa formula, come pure la relazione fra momento angolare e velocitaangolare, risulta piu maneggevole in un particolare riferimento solidale, dettoterna principale d’inerzia,che verra introdotto ora.

La (3.19) vale per qualunque riferimento con l’origine inO, quindi anche in un sistema solidale.In un riferimento solidale gli elementi di matrice non dipendono dal tempo. Inoltre, in base a un nototeorema di Geometria sulla diagonalizzazione delle matrici simmetriche, possiamo allora dire che esistecertamente almeno una base ortonormale, formata dagli autovettori del tensore d’inerzia, in cui la matricerappresentativa oltre a verificare (3.19) e diagonale, cioe

IO

=

A 0 00 B 00 0 C

. (3.20)

Qui A,B e C sono gli autovalori del tensore d’inerzia, che non dipendono dal tempo perche la matriceda diagonalizzare non dipendeva dal tempo. Alla base formata dagli autovettori, che indicheremo coni,j ek, corrisponde fisicamente una particolare terna di assi solidali al corpo rigido dettaterna principaled’inerzia perO. Le componenti del momento angolare nella terna principaled’inerzia hanno una formasemplice. Infatti la (3.18) diventa

L(O) = Aωxi + Bωyj + Cωzk , (3.21)

da cui si vede, tra l’altro, che il momento angolare e parallelo (e quindi multiplo) della velocita angolarese e soltanto se questa e parallela a un asse principale d’inerzia.

Inoltre, dettenx,ny enz le componenti del versoren, la (3.20) diventa subito

I(O,n) = An2x + Bn2

y + Cn2z (3.22)

Vediamo ora qualche elementare regola per individuare gli assi principali d’inerzia.

36

Data una figura piana la matrice d’inerzia in un puntoO, appartenente al piano, risulta notevolmentesemplificata se uno degli assi della terna solidale, per esempio l’assez, e perpendicolare alla figura.SostituendozP = 0 in (3.19), si vede subito che, in tal caso,

IO

=

I11O

I12O

0I21

OI22

O0

0 0 I33O

, (3.23)

con I33O

= I11O

+ I22O

. E poiche applicando questa matrice al versoree3, ovvero (0, 0, 1), si ottieneil versore stesso moltiplicato perI33

O, tale versore e un autovettore, e quindi l’assez e asse principale

d’inerzia.

P ∈ S ⇒ P ′ ∈ Sx

Py

P= −x

P ′y

P ′

Per corpi rigidi omogenei, cioe con densita costante, si puo adottare il criterio per cui ogni rettapassante perO che sia un asse di simmetria geometrico risulta essere ancheun asse principale d’inerzia.Infatti, se gli assi cartesiani coincidono con gli assi di simmetria gli elementi non diagonali di (3.19),dettiprodotti d’inerzia, si annullano automaticamente. Considerando per esempio una lamina simmetricacome quella in figura, si vede subito che per ogni punto del corpo che si trovi a destra dell’assey, neesiste un altro a sinistra dell’asse tale per cui il prodottox

Py

P, che corrisponde all’integrando nella

definizione diI12

(O), ha lo stesso modulo ma segno opposto. Percio tale integrale, calcolato sullasuperficie della lamina, si annulla. Inoltre, nel caso di figure piane con un asse di simmetria, essendo gial’assez un asse principale d’inerzia, il terzo asse principale risulta automaticamente individuato comequello perpendicolare agli altri due.

K

*Y

�y

y′

x

x′

O

α α-�

6

y

y′ = x

O x′

Dalla definizione di momento d’inerzia discende anche che seuna figura omogenea e invarianteper rotazioni intorno ad un asse passante perO (come avviene nel caso di un disco o di una sfera perrotazioni di ampiezza arbitraria, ma anche, per rotazioni di π/2, nel caso di una lamina quadrata), imomenti d’inerzia rispetto a due rette che possono venir sovrapposte per mezzo della suddetta rotazionerisultano uguali. Allora, se tali rette sono ortogonali e vengono scelte come assi cartesiani, la matriced’inerzia ha un autovalore doppio

37

IO

=

A 0 00 A 00 0 C

, (3.24)

e qualunque vettore del tipou = uxi + uyj e autovettore perche soddisfa laIO(u) = Au. Dunque, se

c’e invarianza per rotazioni qualunque retta passante perO, e normale all’asse di rotazione, puo esserscelta come asse principale d’inerzia. Quando vale la (3.25) si dice che il solido e astruttura giroscopicanel puntoO.

Esempio 15.

La (3.25) puo valere anche quando il solido non e invariante per rotazioni. Per esempio, una laminaomogenea di massaM a forma di semidisco non e invariante per rotazioni, ma ha struttura giroscopicarispetto al centro del disco.E evidente infatti che il momento d’inerzia del semidisco rispetto al diametroche ha diviso in due il disco originario risulta essere la meta del momento d’inerzia corrispondente aldisco tutto intero. poiche quest’ultimo vale14 (2M)R2, conR raggio del disco, il momento d’inerziadel semidisco e14MR2. Lo stesso ragionamento puo essere ripetuto per valutare il momento d’inerziadel semidisco rispetto al suo asse di simmetria, il quale e perpendicolare all’asse considerato in prece-denza. E siccome tale ragionamento conduce allo stesso risultato numerico trovato in precedenza (dalmomento che il disco intero ha struttura giroscopica rispetto adO), allora anche il semidisco ha strutturagiroscopica rispetto adO.

3.6 Tensore d’inerzia e baricentro.

Il baricentro gioca un ruolo significativo anche nella teoria del tensore d’inerzia, come si vede nella leggedi trasformazione che andiamo a dimostrare.

Teorema 7.Fra la matrice d’inerzia calcolata in un generico riferimento con l’origine inO e quellacalcolata in un riferimento parallelo con l’origine nel baricentroG del corpo rigido, sussiste la relazione

IO

= IG

+ I(OG)

, (3.25)

con

I(OG)

=

M(y2G

+ z2G) −Mx

Gy

G−Mx

Gz

G

−MxGy

GM(x2

G+ z2

G) −My

Gz

G

−MxGz

G−My

Gz

GM(x2

G+ y2

G)

.

Nello scrivereI(OG)

si e scelto il riferimento con l’origine inO.Dimostrazione.Sostituiamo nell’espressione

IO(u) =

∫

V

ρ(P )(P − O) × (u× (P − O))dVP

,

38

che rappresenta il tensore d’inerzia applicato a un generico vettoreu, la decomposizioneP − O = (P − G) + (G − O):

IO(u) =

∫

V

ρ(P )(P − G) × (u × (P − G))dVP+

+

∫

V

ρ(P )(P − G) × (u × (G − O))dVP+

+

∫

V

ρ(P )(G − O) × (u × (P − G))dVP+

+

∫

V

ρ(P )(G − O) × (u × (G − O))dVP

.

Per il secondo integrale della somma, mettendo in evidenza itermini che non dipendono dalla variabiled’integrazioneP , e per definizione di baricentro di una distribuzione continua di massa (confronta con(3.8)), si ha che

∫

V

ρ(P )(P − G) × (u × (G − O))dVP

= (

∫

V

ρ(P )(P − G)dVP) × (u × (G − O)) =

= M(G − G) × (u × (G − O)) = 0 ,

perche si e scelta nel baricentro l’origine degli assi delriferimento rispetto al quale calcolare le coordinatedel baricentro stesso.

Lo stesso risultato si ottiene per il terzo integrale, mentre il primo rappresenta evidentementeI(G)(u)conu arbitrario. Allora, per dedurre (3.26), occorre che l’ultimo integrale rappresentiI

(OG)(u). Tenu-

to conto che, a parte la densita, l’integrando e costante,tale risultato puo essere facilmente provatosviluppando l’integrale come segue

∫

V

ρ(P )(G − O) × (u × (G − O))dVP

= M(G − O) × (u × (G − O)) =

= M(

|G − O|2u − (u · (G − O))(G − O))

:= I(OG)

(u) ,

in cui nuovamente si e usata la (3.11). Infine, i singoli elementi di matrice si ricavano facilmente con lostesso procedimento usato per scrivere (3.19).

Osserviamo che i tre elementi diagonali della matriceIOG

non sono altro che il prodotto della massaper il quadrato della distanza fra gli assi coordinati del sistema originario e quelli paralleli passanti perG.Cio fornisce una relazione fra momenti d’inerzia rispettoad assi paralleli che puo essere generalizzata.

39

Considerando l’ultima espressione della dimostrazione precedente, e immediato verificare che

n · I(OG)

(n) = M(

|G − O|2 − (n · (G − O))2)

= Mδ2 ,

doveδ e la distanza fra la retta perO avente la direzione din e la parallela passante perG, come si puoverificare subito in figura.

Allora, basta applicare la (3.20) alla (3.26) per provare ilcosiddettoTeorema di Huygens: dato ilmomento d’inerzia rispetto a un asse passante per il baricentro, il momento d’inerzia rispetto a un asseparallelo passante per il puntoO e dato da

I(O,n) = I(G,n) + Mδ2 , (3.26)

doveδ e la distanza fra le due rette.Conseguenza del Teorema di Huygens e che dato un fascio di rette parallele quella che passa per il

baricentro del corpo e quella rispetto alla quale il momento d’inerzia e minimo. Dunque, gli autovaloridel tensore d’inerzia, essendo i momenti d’inerzia rispetto agli assi della terna principale, sono minimiquandoG e l’origine del riferimento. La terna principale d’inerzia con l’origine inG e dettaternacentrale d’inerzia.

Come corollario del Teorema 7 possiamo inoltre affermare che qualunque riferimento ottenibile apartire dalla terna centrale d’inerzia per traslazione lungo uno dei suoi assi, e esso stesso una terna prin-cipale d’inerzia. Infatti in tal caso due delle coordinate del baricentro si annullano certamente nel nuovoriferimento, e quindi tutti gli elementi non diagonali diI

OGsi annullano. Infine, nel nuovo riferimento,

due degli autovalori risulteranno corretti, secondo il teorema di Huygens, aggiungendo a ciascuno di essila quantitaMδ2.

Una banale conseguenza di queste ultime osservazioni riguarda il cosiddettogiroscopio. Un solido astruttura giroscopica rispetto a un puntoO si dice giroscopio se l’asse, dettoasse giroscopico, corrispon-dente all’autovaloreC (che e quello diverso dagli altri due) passa per il baricentro. Quindi il disco e ungiroscopio con asse normale al disco e passante per il centro, mentre il semidisco non e un giroscopio.

Ebbene, per quanto appena detto un giroscopio risulta essere a struttura giroscopica rispetto a ognipunto dell’asse giroscopico.

4 Dinamica del corpo rigido, libero e vincolato.

4.1 Corpi rigidi vincolati: le equazioni del moto.

Cominciamo questo capitolo illustrando le tecniche che, quando un corpo rigido e vincolato per mezzodi vincoli ideali e olonomi (e/o anolonomi integrabili), consentono di derivare, a partire dalle equazionicardinali, un numero di equazioni differenziali pure che sia pari al numero di gradi di liberta residui.

Questa trattazione e del tutto analoga a quella svolta all’inizio del secondo capitolo a proposito dipunti materiali vincolati e rappresenta un metodo alternativo, rispetto alle equazioni di Lagrange, per scri-vere le equazioni del moto di un corpo rigido vincolato. Essaha il vantaggio di adattarsi immediatamenteal calcolo delle reazioni vincolari.

Supponiamo dunque che il solido sia vincolato, e suddividiamo le forze esterne in attive e vincolari.Si ha

d

dtP = R

a

+ Rv

, (4.1)

d

dtL(O) = M

a

(O) + Mv

(O) + P× vO

. (4.2)

Per dedurre delle equazioni pure occorre il seguente risultato.

40

Teorema 8.Sia dato un arbitrario sistema di forzeFi, coni = 1, ..., N , applicate in punti solidali aun corpo rigido in movimento. Allora, se si definiscono la potenza, il risultante e il momento delle forzerispettivamente come

W :=N∑

i=1

Fi · vPi,

R :=N∑

i=1

Fi ,

M(O) :=N∑

i=1

(Pi − O) ×Fi ,

e se il puntoO, detto polo,e un arbitrario punto solidale al corpo rigido, vale la

W = R · vO

+ M(O) · ω , (4.3)

per qualunque osservatore.Dimostrazione.La dimostrazione si basa su un semplice calcolo che utilizzala (1.17) e le proprieta

del prodotto misto:

N∑

i=1

Fi · vPi=

N∑

i=1

Fi · (vO+ ω × (Pi − O)) =

(

N∑

i=1

Fi

)

· vO

+

N∑

i=1

Fi · ω × (Pi − O) =

= R · vO

+N∑

i=1

ω · (Pi − O) × Fi = R · vO

+ ω ·(

N∑

i=1

(Pi − O) × Fi

)

= R · vO

+ ω ·M(O) .

La (4.3) vale anche per la potenza virtualeW (vedi Definizione6) di un sistema di forze applicatea un corpo rigido. Infatti, le velocita virtuali soddisfano un’identita analoga alla (1.17), ed e proprioquesta proprieta del campo di velocita che ha reso possibile la dimostrazione precedente. Dunque, datidue arbitrari punti solidali a un corpo rigido vincolato esiste un unico vettoreω′, dettovelocita angolarevirtuale, per cui vale la

uP

= uO

+ ω′ × (P − O) ,

e che per vincoli fissi coincide conω. Questa identita e dimostrabile con un procedimento simile a quellousato nel Teorema 2.

Della velocita angolare virtuale si puo anche dare una definizione molto classica.Definizione 10.Si dice velocita angolare virtuale ogni velocita angolare compatibile con la forma

che avrebbero i vincoli se venissero fissati all’istante dato.Quando i vincoli sono ideali l’annullarsi della potenza virtuale delle reazioni vincolari implica la

Rv · u

O+ M

v

(O) · ω′ = 0 , (4.4)

e questa puo essere utilizzata per scrivere equazioni pure, come andiamo ora a verificare per alcuni casisignificativi.

a) Se il vincolo impone al corpo rigido di traslare soltanto,da un lato e sufficiente conoscere il motodi un qualunque punto solidaleO (perche tutti i punti hanno traiettorie congruenti), dall’altro,poicheω

′ = ω = 0, succede che la (4.4) assume una forma perfettamente analoga alla (2.10).Allora, se scegliamo di studiare il moto diG, possiamo dedurre un’equazione pura dalle (4.1)con lo stesso procedimento utilizzato per la (2.5). Infattila (3.9) permette di usare le (4.1) comeequazioni del moto del baricentro, considerato come un punto materiale sotto l’effetto di una forzapari al risultante.

41

b) Se invece esiste un punto solidaleO che e stato fissato si avrauO

= 0, e quindi

Mv

(O) · ω = 0

per ogniω possibile. In particolare, la relazione dovra valere anche nel caso in cui si abbiaω = ei,scegliendo a turnoi = 1, 2, 3. Cio, a causa della definizione (1.6) delle componenti di unvettore,implica M

v

(O)x = Mv

(O)y = Mv

(O)z = 0, e quindiMv(O) = 0. Allora, data la (4.2), le equazioni

pure che cercavamo sonod

dtL(O) = M

a

(O) .

c) L’ultimo esempio e quello in cui ad essere fisso e un asse solidale. Per fermare le idee poniamoche l’asse passi perO e abbia la direzionee3. In questa situazione laM

v(O) · ω = 0 resta vera,

essendo fissi tutti i punti dell’asse, ma non consente piu didedurre l’annullarsi del momento dellereazioni vincolari. Infatti, poicheω non e piu arbitraria ma parallela ae3, si puo soltanto affermareche il momento e normale all’asse fisso. Ciononostante, si ottiene un’equazione pura eseguendo ilprodotto scalare di (4.2) cone3:

d

dt(L(O) · e3) = M

a

(O) · e3 . (4.5)

D’altra parte, un’unica equazione differenziale pura e sufficiente, perche il solido cosı vincolatoha un solo grado di liberta.

4.2 Calcolo delle reazioni vincolari.

Mostriamo ora, tramite un esempio, in che modo le equazioni cardinali possono servire a calcolare lereazioni vincolari applicate a corpi rigidi soggetti a vincoli ideali. Svilupperemo il caso di un corporigido con asse fisso, in assenza di attrito.

L’equazione differenziale del moto si ricava da (4.5), una volta scelta come coordinata lagrangianal’angolo θ che una qualunque retta solidale normale all’asse di rotazione forma con una qualunque rettafissa, pure normale all’asse di rotazione. Il procedimento consiste nell’applicare il Teorema 6, cosapossibile se il poloO viene scelto sull’asse fisso. Allora, poicheω = θe3 e poiche si puo applicare la(3.19) conn = e3 , si ha che

L(O) · e3 = e3 · IO(θe3) = I(O, e3)θ .

Qui I(O, e3) rappresenta il momento d’inerzia rispetto all’asse fisso, che non va confuso, lo sottolineia-mo, con il terzo asse della terna principale d’inerzia perO, la cui direzione e data dak. Per calcolareI(O, e3) si puo far ricorso alla (3.22).

Avendo cosı esplicitato il primo membro, l’equazione (4.5) diventa

I(O, e3)θ = Ma

(O) · e3 . (4.6)

Passiamo ora al calcolo delle reazioni vincolari esercitate dall’asse fisso.Nota che sia l’accelerazione angolare, e possibile scrivere la (4.2). Lo faremo servendoci della (3.21),

e sviluppando la derivata temporale del momento angolare nel modo seguente

d

dtL(O) =

d

dt(Aωxi + Bωyj + Cωzk) = (4.7)

Aωxi + Bωyj + Cωzk + Aωxdi

dt+ Bωy

dj

dt+ Cωz

dk

dt=

IO(ω) + Aωxω × i + Bωyω × j + Cωzω × k =

IO(ω) + ω × (Aωxi + Bωyj + Cωzk) = I

O(ω) + ω × L(O) .

42

Nell’ultimo passaggio di (4.7) non si e fatto altro che porre in evidenzaω, mentre il simboloIO(ω)

sta a indicare la derivata del momento angolare come verrebbe calcolata dall’osservatore solidale, per ilquale variano solo le componenti e non i versori.

Ora nella (4.2) possiamo sostituire l’accelerazione angolare corrispondente al nostro caso, cioe laderivata temporale diω = θe3. L’equazione risultante e

IO(θe3) + θ2e3 × [A(e3 · i)i + B(e3 · j)j + C(e3 · k)k] − M

a

(O) = Mv

(O) .

Qui si puo sostituire l’espressione diθ ricavabile dalla (4.6), e in tal modo il secondo membro diventauna funzione nota diθ e θ. Esso rappresenta il momento delle reazioni vincolari rispetto a un arbitrariopunto dell’asse.

Se fossimo interessati anche al calcolo del risultante potremmo effettuarlo usando la prima equazionecardinale nella forma (4.1), perche prendendoθ come in (4.6) si puo esprimere ancheG in funzione diθe θ soltanto.

6

�I

e3

α

ji

abG

Esempio 16.La lamina omogenea in figura e vincolata senza attrito a un asse fisso diretto come ladiagonale, ed e soggetta solo alla forza peso. Scrivere l’equazione del moto e calcolare il momento dellereazioni vincolari nel caso in cuib =

√3a, e nel casob = a.

Essendo il baricentro sull’asse di rotazione, il secondo membro di (4.6) si annulla perche il momentodella forza peso e nullo rispetto a G. Dunque l’equazione del moto e

I(G, e3)θ = 0 .

Allora, la velocita angolare e costante indipendentemente dal rapporto fra i lati e dall’orientazione,verticale o meno, dell’asse di rotazione.

Per il momento delle reazioni vincolari, postoα = arctan(b/a), calcoliamo

Mv

(G) = IG(θe3) + θ2e3 × [A(e3 · i)i + B(e3 · j)j] =

= θ2(cos αi + sin αj) ×(

1

12Mb2 cos αi +

1

12Ma2 sin αj

)

= θ2 sinα cos α1

12M(a2 − b2)k .

Percio il risultato, normale all’asse di rotazione, nel primo caso e in modulo pari aθ2Ma2√

3/24, e nelsecondo caso vale zero.

Avvertenza: al termine dell’ultimo paragrafo l’annullarsi delle reazioni vincolari quandob = asembrera banale. Infatti, per un quadrato (che e un giroscopio) la diagonale e asse principale d’inerzia.Vedremo nell’ultimo paragrafo che la rotazione uniforme intorno a un asse principale e un moto che siverifica spontaneamente, senza bisogno di vincoli che lo sostengano, quando, come inquesto caso, ilsistema delle forze attive e equivalente a zero.

4.3 Scrittura delle equazioni di Lagrange in presenza di corpi rigidi.

L’interesse dimostrato nel secondo capitolo per le equazioni di Lagrange e dovuto al fatto che esse sonoutilizzabili come equazioni del moto per qualunque sistemameccanico, quali che siano i vincoli, purche

43

ideali e olonomi. Occorre pero riuscire a scrivere l’energia cinetica dei corpi rigidi, e le componentilagrangiane delle forze attive, in funzione delle coordinate lagrangiane e delle loro derivate prime rispettoal tempo.

Supponiamo dapprima che il corpo rigido abbia un punto fisso,o un punto istantaneamente fermo,che indicheremo conO, cosı che, al solito, valga lav

P= ω × (P − O). Allora

T =

∫

V

1

2ρv2

PdV

P=

∫

V

1

2ρv

P· ω × (P − O) dV

P=

=

∫

V

1

2ρω · (P − O) × v

PdV

P=

1

2ω ·∫

V

ρ(P − O) × vP

dVP

,

perche il prodotto misto non cambia per permutazioni cicliche. Ma questo risultato non e altro che

T =1

2ω · L(O) =

1

2ω · I

O(ω) =

1

2(Aω2

x + Bω2y + Cω2

z) , (4.8)

in cui l’ultimo passaggio utilizza le componenti della velocita angolare nella terna principale d’inerzia(vedi (3.21)), riferimento in cui la formula appena ottenuta risulta semplice da ottenere e da applicare.

Supponiamo ora che il corpo rigido non abbia punti fissi, oppure che ne abbia uno ma che non siaimmediato individuare la terna principale per quel punto. In tal caso, conviene utilizzare il riferimentobaricentrale.

Consideriamo la legge di trasformazione delle velocita fra il riferimento fisso, con origine inO′ eassix′, y′ e z′, e la terna baricentrale (con origine inG e assi sempre paralleli a quelli fissi). Inseriamotale legge nella definizione di energia cinetica, dove indicheremo con l’accento la velocita calcolatadall’osservatore fisso per distinguerla da quella calcolata dall’osservatore baricentrale:

T ′ =

∫

V

1

2ρv

′2P

dVP

=

∫

V

1

2ρ(v

P+ v′

G) · (v

P+ v′

G) dV

P=

=

∫

V

1

2ρv2

PdV

P+ 2

∫

V

1

2ρv

P· v′

GdV

P+

∫

V

1

2ρv

′2G

dVP

=

= T + v′G·∫

V

ρvP

dVP

+1

2Mv

′2G

.

Da qui, poiche differenziando rispetto al tempo la definizione di baricentro si ottiene∫

V

ρvP

dVP

= MvG

,

e poicheMvG

= 0 per l’osservatore baricentrale; tenendo conto inoltre chetale osservatore puoapplicare la (4.8) conG = O, si ricava infine

T ′ =1

2Mv

′2G

+ T =1

2Mv

′2G

+1

2(Aω2

x + Bω2y + Cω2

z) . (4.9)

In (4.9), A, B e C sono calcolati nellaterna centraled’inerzia, e di solito sono tabulati o facilmentededucibili da risultati tabulati, mentre il vettoreω e evidentemente lo stesso per i due osservatori in motorelativo traslatorio. L’equazione (4.9) rappresenta la formula generale per il calcolo dell’energia cineticadi un corpo rigido.

Il primo passaggio in (4.9) e dettoTeorema di Konig, e vale per qualunque sistema, anche non rigido.Le (4.8) e (4.9) permettono di scrivere le equazioni del motodi Lagrange del corpo rigido nel caso piu

generale, a patto di poter esprimere in funzione delle coordinate lagrangiane non solo le componenti dellavelocita angolare, ma anche le componenti lagrangiane delsistema delle forze attive. Tale sistema puo

44

essere anche una distribuzione continua (come avviene per la forza peso o, se si lavora in un riferimentoruotante, per la forza centrifuga).

Una buona indicazione generale per la scrittura delle componenti lagrangiane delle forze applicate alcorpo rigido si ottiene applicando la (4.3) del Teorema 8 al caso di potenza virtuale di forze attive

Wa

= Ra · u

O+ M

a

(O) · ω′ ,

e confrontando questa formula con la

Wa

=

N∑

j=1

Qjuj,

che si deduce facilmente dalla definizione (2.14) del Teorema 3.Dal confronto fra le due formule e dalla definizione di velocita virtuale implicitamente discende la

definizione operativa

Qj = Ra · ∂O

∂qj

+ Ma

(O) · ∂ω′

∂qj

,

ove si e fatta l’identificazioneuj

= qj

e si e data per scontata la dipendenza lineare della velocita angolaredalle derivate degli angoli.

4.4 Equazioni del moto del corpo rigido libero e del corpo rigido con punto fisso.

I due distinti approcci al problema delle equazioni del motoe del calcolo delle reazioni vincolari risultanodel tutto equivalenti per quanto riguarda il moto del corpo rigido libero.

Affrontiamo questo argomento riscrivendo le equazioni (3.9) e (3.10)

Mdv

G

dt= R

(e),

d

dtL(G) = M

(e)(G) .

La prima equazione altro non e che l’equazione del moto di unpunto. La seconda, come e stato provatonel Teorema 5, puo essere studiata in un riferimento parallelo a quello fisso e avente l’origine inG.

In tale riferimento la struttura della seconda equazione risulta relativamente semplice, e, per di piu, edel tutto identica a quella che descrive il moto di un corpo rigido con un punto fissoO, quando i vincolisono lisci.

Infatti in quest’ultimo caso si puo riscrivere la (4.2) tenendo conto che il poloO ha velocita nulla

d

dtL(O) = M

a

(O) + Mv

(O) .

Poiche al punto b) del Paragrafo 4.1 e stato provato cheMv(O) = 0, si ottiene di conseguenza la

d

dtL(O) = M

a

(O) .

Sebbene nella seconda equazione cardinale il momento angolare e le sue derivate siano misurati daun osservatore che, necessariamente, non e solidale al corpo rigido, le quantita vettoriali in essa presentipossono comunque venir proiettate in un sistema di riferimento solidale, e, in particolare, in una ternaprincipale d’inerzia perO.

Possiamo allora riscrivere il primo membro dell’equazioneusando la (3.21) e poi le formule diPoisson, come in (4.7). Si ottiene cosı

d

dtL(O) = I

O(ω) + ω × L(O) .

45

L’equazione puo poi esser proiettata sugli assi di qualunque riferimento. In particolare, la derivatacalcolata dall’osservatore fisso puo essere proiettata sugli assi della terna principale d’inerzia, che e unriferimento mobile, semplicemente utilizzando in tale riferimento il determinante simbolico per il calcolodel prodotto vettoriale.

Si termina il calcolo ponendo in evidenza i prodotti di componenti di ω che appaiono nelle trecomponenti della derivata del momento angolare. Infine si scrive l’uguaglianza con le tre componentidel momento delle forze. Si hanno allora leequazioni di Eulero:

Aωx + ωyωz(C − B) = Ma

(O)x(4.10)

Bωy + ωxωz(A − C) = Ma

(O)y

Cωz + ωxωy(B − A) = Ma

(O)z.

Anche per un corpo libero la seconda equazione cardinale assume la forma (4.10), in quanto sappia-mo dal Teorema 5 che essa puo venir scritta in unriferimento baricentralesenza che le grandezze fisichein questione cambino. Poiche in tale riferimentoG e, evidentemente, un punto fisso, si possono usare irisultati del Teorema 5, e in particolare la (3.21).

Interessante, e relativamente semplice, e il caso in cui ilsecondo membro di (4.10) e nullo. Si hannoallora i cosiddettimoti per inerzia, e le equazioni possono esser trattate come equazioni differenziali delprim’ordine nell’incognitaω. Un tipico esempio e il moto di un oggetto lanciato, ovvero il moto di uncorpo rigido libero soggetto solo alla forza peso, il cui momento rispetto al baricentro, come si sa, enullo.

La prima osservazione da fare e che, mentre la velocita di un punto materiale in assenza di forze ecostante, la velocita angolare del corpo rigido non e necessariamente costante quando il momento delleforze e nullo.

Per dimostrare cio occorre prima dire che la velocita angolare del corpo, al contrario di quantoavviene per il momento angolare, ha nel riferimento fisso la stessa derivata temporale che in quellosolidale. Infatti, ripetendo per la derivata diω gli stessi calcoli svolti in (4.7) per la derivata del momentoangolare si vede che le due derivate differirebbero solo peril termineω × ω, che e nullo. Dunque, peravere una velocita angolare costante nel riferimento fissoe necessario e sufficiente che si conservino lesue componenti nel riferimento mobile.

Si possono allora sostituire le relazioniωx = ωy = ωz = 0 nel sistema di equazioni differenziali(4.10), e vedere se effettivamente esso ammette una soluzione (ωx, ωy, ωz) che non dipende dal tempo.Cio avverra se il sistema omogeneo di equazioni algebriche

ωyωz(C − B) = 0 (4.11)

ωxωz(A − C) = 0

ωxωy(B − A) = 0 ,

nelle incogniteωx, ωy eωz, ammette soluzioni diverse da quella nulla.Ne consegue che assegnata al corpo una velocita angolare iniziale questa, in generale, non si mantiene

costante nel tempo in assenza di forze. Perche solo le soluzioni del sistema (4.11) si comportano cosı. Sipuo poi verificare per sostituzione che tali soluzioni sono, seA 6= B 6= C, del tipo (ωx, 0, 0), oppure (0,ωy, 0), oppure (0, 0,ωz); e seA = B 6= C (struttura giroscopica), del tipo (ωx, ωy, 0), oppure (0, 0,ωz).Soltanto nel casoA = B = C (sfere omogenee, cubi) capita che qualunque vettore dello spazio risolve(4.10).

Per quanto osservato dopo la (3.24) circa i solidi a struttura giroscopica, le precedenti considerazionipossono essere riassunte nella seguente proposizione.

Teorema 9.In un moto per inerzia la velocita angolare si mantiene costante se e soltanto see direttacome un asse principale d’inerzia, ede quindi parallela al momento angolare.

46

Si puo considerare come controesempio il caso generale delmoto per inerzia di un solido a strutturagiroscopica intorno al suo baricentro, o intorno ad un puntofissoO.

Per meglio seguire il ragionamento si prenda a modello il moto della terra, che e un giroscopio inquanto schiacciata ai poli: per i poli e per il baricentro passa l’asse giroscopico, che e anche l’assedella rotazione giorno-notte. Esso forma un angolo costante con il piano che contiene l’orbita della terraintorno al sole, dettopiano dell’eclittica, e cio produce l’alternarsi delle stagioni nel corso dell’anno.Tuttavia la direzione dell’asse giroscopico non e costante rispetto alle cosiddettestelle fisse. Per esserepiu precisi esso ruota con velocita angolare costante intorno all’asse normale al piano dell’eclittica epassante per il baricentro della terra, e compie un giro completo ogni26000 anni (dunque, ogni13000anni sulla terra si invertono le stagioni!).

La ’spiegazione’ di tale moto, come pure dell’analogo moto di un pallone da rugby intorno al suobaricentro (purche si trascuri l’effetto dell’aria), e la seguente: nel moto per inerzia di un giroscopio leequazioni (4.10) diventano

Aωx + ωyωz(C − A) = 0

Aωy + ωxωz(A − C) = 0

Cωz = 0 .

Di conseguenzaωz e costante. Allora, poiche

ω = ωxi + ωyj + ωzk

e poiche per un giroscopio la (3.21) assume la forma

L(G) = A(ωxi + ωyj) + Cωzk = A(ω − ωzk) + Cωzk ,

uguagliando il primo e l’ultimo termine di questa relazionesi ricava, dopo due passaggi algebrici,un’espressione diω in funzione diL(G):

ω =1

AL(G) +

(

1 − C

A

)

ωzk .

Ma in un moto per inerzia ancheL(G) e costante (dal momento che il secondo membro di (3.10) siannulla), e dunque la formula appena scritta ci dice cheω e sempre somma di un vettore costante nelriferimento fisso (il momento angolare) e di un vettore, parallelo all’asse giroscopico, costante nel ri-ferimento solidale. L’angolo fra i due vettori e pure costante, come si puo immediatamente verificareeseguendo il loro il prodotto scalare. Quindi il modulo diω e costante (per vederlo basta calcolareω ·ω)ma la direzione non lo e.

In effetti, applicandoω in un punto dell’asse fisso se ne vedrebbe l’estremita muoversi di motocircolare uniforme intorno ad esso. Questo tipo di moto e detto precessione.

47