A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1 1 Esercizi di meccanica

A. Stefanel - Esercizi di meccanica 1

1

Esercizi di meccanica


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Stazione A

Stazione B Stazione C

Due treni Tr1 e Tr2 partono da due stazioni diverse, distanti L, allo stesso istante.

Si muovono entrambi verso la stazione C, distante LAC dalla stazione A, su due binari paralleli con velocità costanti:

il treno Tr1 con velocità v1,

il treno tr 2 con velocità v2<v1.

D1) A che istante ciò avviene?

D2) che distanza dalla stazione A, Tr1 raggiunge Tr2?

D) Il treno Tr1 riesce a raggiungere il treno Tr2 prima di arrivare alla stazione C?

L

Tr2

Tr1

LAC


3

Tr1

Tr2

Stazione A


x

yz

Tr1

Tr2

Tr1: (x1;y1;z1)

Moto uniforme con velocità v1 lungo x

Tr2: (x2;y2;z2)


x1(t) = v1 t

y1(t) = 0

z1(t) = 0

x2(t) = v2 t + L

y2(t) = y2(0)

z2(t) = 0

L

Il treno Tr1 raggiunge il treno Tr2 se ad un certo istante t’ si ha:

x1(t’) =x2(t’)


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Stazione A


x

yz

Tr1

Tr2

Tr1: (x1;y1;z1)


Tr2: (x2;y2;z2)


x1(t) = v1 · t

y1(t) = 0

z1(t) = 0

x2(t) = v2 · t + L

y2(t) = y2(0)

z2(t) = 0

L

Il treno Tr1 raggiunge il treno Tr2 se ad un certo istante t’ si ha:

x1(t’) =x2(t’)

v1 · t’ = v2 · t’ + L

(v1 - v2) · t’ = L

t’ = L/(v1 - v2)

x1(t’) = v1 · t’ = L v1/(v1 - v2)


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Stazione A


L

Tr2

Tr1

LAC



R1: t’ = L/(v1 - v2)

R2: x1(t’) = L v1/(v1 - v2)


R:

Si, se LAC > L v1/(v1 - v2)

No, se LAC < L v1/(v1 - v2)

NB: i due treni giungono insieme alla stazione se

LAC = L v1/(v1 - v2)

Che velocità deve tenere il treno Tr1 affinché ciò accada?


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Stazione A





L

Tr2

Tr1

LAC

R1: t’ = L/(v1 - v2)

R2: x1(t’) = L v1/(v1 - v2)

R: Si, se LAC > L v1/(v1 - v2)

No, se LAC < L v1/(v1 - v2)

Dati numerici: v1 = 100 km/h v2 = 80 km/h L = 30km LAC = 120 km

v1 = 27,78 m s-1 v2 = 22,22 m s-1 L = 3,0·104 m LAC = 1,20 105 m

t’ = L/(v1 – v2) = 3 104 /(27,78-22,22) = 5,00·103 s t’ = 1,5 h

x1(t’) = L v1/(v1 - v2) = 3 ·104 ·27,78/(27,78-22,22)= 1,5 105 m


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Stazione A


L

Tr2

Tr1

LAC

I due treni giungono insieme alla stazione se

LAC = L v1/(v1 - v2)

Che velocità deve tenere il treno Tr1 affinché ciò accada?

(v1 - v2) LAC = L v1 v1 (LAC – L) = LAC v2 v1 = LAC v2/(LAC – L)

Dati numerici: v2 = 80 km/h L = 30km LAC = 120 km

v1 = LAC v2/(LAC – L) = 1,20 ·105 ·22,22/[(1,20 -0,3)·105] = 29,63 m s-1

v2 = 22,22 m s-1 L = 3,0·104 m LAC = 1,20 105 m

v1 = 106,67 km h-1


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Una palla viene calciata con velocità orizzontale vo dalla sommità di un palazzo, alto h.

Determinare, nel caso in cui sia trascurabile l’attrito dell’aria:

D1) a che distanza dalla base del palazzo cade la palla

D2) in quanto tempo cade

D3) qual è il modulo della velocità

D4) che angolo forma con il piano orizzontale il vettore velocità


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x

y

h

Moto lungo x : uniforme con velocità vo.

La palla in volo interagisce solo con la terra (dato che si è supposto trascurabile l’interazione con l’aria).

L’unica forza agente sulla palla è la forza peso.

Essa è diretta verticalmente verso il basso ed ha modulo costante uguale a mg. Scelti gli assi come in figura la forza peso è diretta lungo y nel suo verso positivo

Moto lungo y : uniformemente accelerato con accelerazione costante g=9,81 m s-2 con velocità iniziale di 0 m s-1.

Moto lungo z : uniforme con velocità 0 m s-1 m(la palla si muove nel piano yx a z costante)

z


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x

y

h

z

F = m a

vx = vo

vy = g·t

vz = 0

x = v ·t

y = (g/2) · t2

z = 0

ax = Fx/m = 0

ay = Fy/m = g

az = Fz/m = 0

Traiettoria: sul piano x,y


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x

y

h

z

x = v ·t

y = (g/2) · t2

Traiettoria della palla:

t = x / v

y = [g/(2v2)] x2Equazione di una parabola con vertice nell’origine e concavità nel verso positivo delle ordinate

(xo;h)

x2 = 2v2y/g x = v 2y/g

xo = v 2h/g

t’ = 2h / g

distanza caduta

tempo caduta


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x

y

h

z

Traiettoria della palla:

y = [g/(2v2)] x2

(xo;h)

xo = v 2h/g

t’ = 2h / g

distanza caduta

tempo caduta

vy (t’) = g·t’

vx (t’) = vo

vz = 0

Velocità di impatto al suolo

Modulo:

v (t’) = vo2 + (gt’)2 =

= vo2 + 2gh

Direzione

tg = vy(t’) / vx(t’)


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x

y

h

z

(xo;h)

xo = v 2h/g

t’ = 2h / g

v (t’) = vo2 + 2gh

tg = vy(t’) / vx(t’)

D1) a che distanza dalla base del palazzo cade la palla

D2) in quanto tempo cade

D3) qual è il modulo della velocità

D4) che angolo forma con il piano orizzontale il vettore velocità


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vo

Un carrello di massa M appoggiato su un tavolo orizzontale subisce un colpo improvviso.

Comincia a muoversi sul tavolo con una velocità v0.

A causa delle forze d’attrito agenti su di esso, che nel caso specifico si possono descrivere con un’unica forza costante, si ferma dopo un tempo t = t’ e avendo percorso un segmento rettilineo lungo L.

Dati: t’ = 1,3 s; L = 0,24 m ; M = 0,7 kg; g = 9,81 m s-2

Determinare:

D1: la velocità con cui si è mosso inizialmente il carrellino

D2: la sua accelerazione

D3: il coefficiente d’attrito

Il carrello in moto sul tavolo


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Il carrello interagisce con la Terra: la forza che la terra esercita sulla macchinina è il peso (mg)

Il carrello interagisce con il piano del tavolo: la forza che esercita sulla macchinina è inclinata all’indietro verso l’alto.

Terra Terra


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x

y

z


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x

y

z

P=mg

FT

R = FT + P

Dato che il tavolo non si sfonda

Rx = 0

Ry = FTy

Rz = FTz + Pz

Rz = 0 FTz = - Pz = mg

Pz = - mg

FTy è la forza d’attrito esercitata sul carrello

FTy = - mg (ha verso opposto a quello positivo dell’asse y)


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x

y

z

P=mg

FTR = m a

ax m = Rx = 0

ay m =Ry = FTy

az m = Rz =0 FTz = - Pz = mg

FTy = - mg

II legge della dinamica

ay =Ry / m = - g

az = Rz / m =0

ax = Rx / m = 0

vy (t)= - g t + vo

vz (t) = 0

vx (t) = 0

y (t) = - [(g)/2] t2 + vot

z (t) = 0

x (t) = 0

vy (t’)= 0 = - g t’+ vo y (t’) = L = - [(g)/2] t’2 + vot’

t’ = vo / g L = - [(g)/2] (vo / g )2 + vo(vo / g ) =

= - vo2

/(2g) + vo2

/(g)= vo2

/(2g)


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x

y

z

P=mg

FT

ay =Ry / m = - g

0 = - g t’ + vo

L = - [(g)/2] t’2 + vot’

t’ = vo / g

L = vo2

/(2g)

g = vo2

/(2 L) = (4 L2/ t’2) /(2 L) = 2 L / t’2

L = ½ vo t’ vo = 2L/t’

= 2 L / (g t’2)

Dati: t’ = 1,3 s; L = 0,24 m ; M = 0,7 kg; g = 9,81 m s-2

vo = 2· 0,24 /1,3=

= 0,37 m s-1

= 2 · 0,24 / (9,81 · 1,32) = 0,03


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m

x

y

Fx = M ax

Fy = 0

Fx è la forza T esercitata dal filo sul gancio

Essa è uguale e contraria alla forza che il filo esercita sulla massa m (si costruisce una catena di azioni e reazioni uguali e contrarie perché forze di interazione, ossia per il III principio della dinamica), se il filo è inestensibile e perfettamente flessibile e la carrucola ruota con attrito trascurabile

In queste condizioni si ha anche che due masse hanno uguale accelerazione a (essa per il carrello è uguale a ax).

-T + mg= m aSecondo principio dinamica T = M a

Massa m

Carrello-Ma +mg = ma a= mg /(M+m)

Il carrello trainato da una cordicella


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F

Il pendolo inclinato

Una massa m è appesa ad un filo inestensibile e flessibile di lunghezza L.

Determinare l’intensità di una forza costante F diretta orizzontalmente che fa formare al pendolo un angolo con la verticale.


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F


mg

T

z

x

y

Le forze agiscono tutte sul piano xy.

Ci si può limitare ad analizzare il problema lungo queste due direzioni


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F


P = mg

TLe forze agiscono tutte sul piano xy.

Ci si può limitare ad analizzare il problema lungo queste due direzioni

x

y

g = 9,81 m s-2P = -mg

Il pendolo è in equilibrio:

R=0

Rx = 0

Ry = 0

Tx + F =0

Ty + P = 0

T sen + F =0

T cos + P = 0

T = - F / sen

-F cos / sen = mg

T = mg / cos

F = - tg mg


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m

Carrucola fissa

M

Carrucola mobile

Il Paranco

La carrucola mobile di massa m’ è in equilibrio sotto l’azione delle seguenti forze:

-La forza peso m’g

-La forza esercitata dal filo a cui è appesa la massa M (Se il filo non si rompe tale forza è uguale al peso Mg che agisce sulla massa M)

-La tensione esercitata dal cavetto di destra la cui estremità è bloccata a un perno fisso

-La tensione esercitata dal cavetto di sinistra che passa sulla carrucola fissa (se il filo è inestensibile, è flessibile, le forze d’attrito sulla puleggia sono trascurabili, tale tensione è uguale a -mg, ossia la forza peso che agisce su m.


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Carrucola mobile

Il Paranco

-La forza peso m’g

-La forza esercitata dal filo a cui è appesa la massa M Mg

-tensione esercitata dal cavetto di destra

-tensione esercitata dal cavetto di sinistra Ts = -mg

Td

Ts +Td + (m’ + M) g = 0

m’ g

il paranco è in equilibrio


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Carrucola mobile

Il Paranco

m’ g

Mg

Td

Ts = -mg

Ts +Td + (m’ + M) g = 0

Dato che la carrucola mobile non ruota Ts =Td

2 Td + (m’ + M) g = 0

Td = (m’ + M) g/2

Ts =Td = mg

m = (m’ + M)/ 2 m = M/ 2 Se m’ / M << 1

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