MECCANICA COMPUTAZIONALE - people.dicea.unifi.itpeople.dicea.unifi.it/lsalv0/didattica/Capitolo 5.pdf · Modellazione delle strutture Rev. 31 maggio 2006 Università degli Studi di

1

Università degli Studi di FirenzeDipartimento di Ingegneria CivileCorso di Meccanica Computazionale

Wolfhard ZahltenClaudio Borri, Luca Salvatori

(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 1/70

MECCANICA COMPUTAZIONALEMECCANICA COMPUTAZIONALE

Claudio BorriLuca Salvatori

Capitolo 5

Modellazione delle strutture

Rev. 31 maggio 2006



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 2/70

Argomenti trattati nel capitolo 5Criteri di modellazione

Esempi di discretizzazione di continui 2D:

Convergenza al raffinamento del reticolo

Effetti della distorsione del reticolo

Raffinamento locale del reticolo

Modellazione di singolarità

Esempi di modellazione strutturale:

Elementi troppo rigidi

Cinematismi

2



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 3/70

Idealizzazione

collegamenti

membrature

vincoli

Struttura reale

Struttura idealizzata

[figure per gentile concessionedel Prof. C. Felippa]



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 4/70

Esempi di idealizzazione dei componenti strutturali in elementi

biella

trave

parete di taglio

3



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 5/70

Programmi FE: alcuni nomiFEMAS (University of Bochum)

ANSYS (Houston, TX)

DIANA (TU-Delft)

SAP (Berkeley)

MARC (privato)

ABAQUS (Brown University)

NASTRAN (NASA)

STRUDL (Georgia Tech)

FEABL (MIT)

ADINA (MIT)

NONSAP (Berkeley)

BERSAFE (Berkeley)

CASTEM (Université de Bourgogne)

…



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 6/70

Operazioni (ed errori conseguenti)

sistemafisico

modelloingegneristico

modellodiscreto

soluzionediscreta

idealizzazione discretizzazione soluzione numerica

approssimazione della realtà nel

modello

approssimazione indotta dalla

discretizzazione

errore numerico(precisione finita dei

calcolatori)

FEM

Il processo di idealizzazione è il passaggio fondamentale della pratica ingegneristica, consiste nel costruire un modello matematico in grado di simulare (predire) alcuni aspetti della realtà. Il problema risulta semplificato (si idealizzano carichi e sezioni, si trascurano effetti, ecc.).

La discretizzazione (con il FEM) consente di approssimare il problema al continuo con un numero discreto di variabili (il problema diviene algebrico).

L’errore numerico è spesso marginale, ma utilizzando oggetti con rigidezze molto diverse si può incorrere negli effetti della cancellazione numerica (v. seguito).

4



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 7/70

Regole di modellazione: SEMPLICITÀ

Regola 1: SEMPLICITÀ. Usare modelli e tipi di elementi i più semplici possibile (ma non più semplici, cfr. Einstein)!

Tipi di elementi “speciali” e complessi vanno usati con consapevolezza della teoria con cui sono formulati.

Diffidare dagli automatismi di molti programmi commerciali che possono allontanare dalla percezione del modello con la grafica: il “disegno” della struttura non è il suo modello!

È necessario conoscere la teoria per comprendere i risultati: i programmi agli elementi finiti non sostituiscono l’ingegnere, sono un potente ausilio che deve essere saputo utilizzare!

È inutile modellare dettagli quando si hanno grandi incertezze su altri dati (e.g. in un edificio in muratura non ha significato modellare leggere irregolarità quando le proprietà dei materiali e dei collegamenti fra i vari membri sono note solo con grande approssimazione!).



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 8/70

Quando raffinare la discretizzazione

aperture fessure

spigoli rientranti

in prossimità di carichiconcentrati e zone di contatto

saldature

zone ove venganoscambiate azioni

(saldature, bullonature,rinforzi, armature, …)

bruschi cambiamenti di spessore

interfacce fra materiali diversi

[figure per gentile concessionedel Prof. C. Felippa]

5



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 9/70

Mantenere le proporzioni fra le dimensioni degli elementi continui (aspect ratio)

rapporti fra le dimensioni troppo elevati

OK ☺



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 10/70

Tipiche fonti di errore nei modelli

Errori di introduzione dati (e.g. carichi, vincoli, caratteristiche dei materiali).

Equilibrio globale della struttura;

Deformata;

Stato di tensione.

Fonte di errore Controlli da effettuare

Errori di approssimazione. Infittire la discretizzazione (èdifficile dare criteri esatti, il test da fare e la variazione di risposta all’infittimento della discretizzazione).

Errori di modellazione (uso di elementi sbagliati o errate combinazioni degli stessi).

Teoria;

Esperienza;

Intuizione.

6



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 11/70

Esempi di modellazione per problemi piani

Gli esempi numerici riportati nel seguito sono stati analizzati da:

Prof. Dr.-Ing. Wolfhard Zahlten

Istituto di Meccanica delle Strutture e Metodi Numerici

Università di Wuppertal

Si ringrazia l’autore per averli messi a disposizione del corso.



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 12/70

Esempio 1: trave appoggiata,convergenza all’infittimento del reticolo

rapporto fra lunghezza e altezza della trave pari a 10

vale il modello teorico della trave

Soluzione analitica nella sezione di mezzeria(momento, freccia e massima tensione per unità di spessore):

E = 3.0 107 kN/m2

ν = 0.0h = 0.2 m

q = 240.0 kN/m

q

5.0 m

0.5 m

y

x

2 4 2

max max5750.0 31.75

8 384 8 Q

qL qL qLM kNm w mmEI GA

= = = + =

18000.0 /2xx

M dn h kN mI

= =

7



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 13/70

Ordine di descrizione delle varie grandezz

12110nxx(y)1 (~ taglio)2110nxy(x)

2 (~ momento)1100nxx(x)

42211uy(x)

TeoriaDe Saint Venant

ISO 8ISO 6ISO 4ISO 3

grado del polinomio

Per la simmetria della struttura è possibile discretizzarne solo metà imponendo le opportune condizioni di vincolo.

s



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 14/70

ISO 3: spostamentireticolo 10x10GdL 230v = 22.98 mm (errore -27.6 %)

reticolo 40x10GdL 890v = 30.85 mm (errore -2.8 %)

reticolo 20x10GdL 450v = 28.82 mm (errore -9.2 %)

L’errore è sempre per difetto, di fatto la struttura è più rigida che nella realtà perché le funzioni di forma sono un vincolo per gli spostamenti.

8



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 15/70

ISO 3: sforzi

reticolo 10x10GdL 230nxx = 12819 kN/m (errore 28.7 %)





(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 16/70

ISO 6: spostamenti

0.631.9619416x1

0.531.91988x1

0.031.74504x1

-2.830.86262x1

-16.826.40141x1

errore [%]v [mm]GdLreticolo

9



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 17/70

ISO 6: sforzi

0.01800019416x1

0.017998988x1

0.317955504x1

-3.817312262x1

-26.413249141x1

errore [%]nxx [kN/m]GdLreticolo



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 18/70

ISO 4: spostamenti

-4.430.366516x1

-16.326.57338x1

-44.317.67174x1

-76.97.3592x1

-94.01.9251x1


10



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 19/70

ISO 4: sforzi

4.8171286516x1

17.014942338x1

45.69789174x1

78.8381892x1

96.366751x1




(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 20/70

ISO 8: spostmenti

1.032.0316216x1

0.831.99828x1

0.331.86424x1

-1.631.25222x1

-13.927.33121x1


11



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 21/70

ISO 8: sforzi

0.01801116216x1

0.218042828x1

0.618107424x1

0.717870222x1

19.014580121x1




(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 22/70

Convergenza degli spostamenti

0 160 32080 240 400 480 560 640 720 800 880 960numero di GdL

0.0

6.0

12.0

18.0

24.0

30.0

36.0

spostamenti [mm]

ISO4

ISO3

ISO6

ISO8

12



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 23/70

Convergenza degli sforzi

0 160 32080 240 400 480 560 640 720 800 880 960numero di GdL

0

3000

6000

9000

12000

15000

18000

sforzo nxx [kN/m]

ISO3

ISO4

ISO6

ISO8



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 24/70

Esempio 2: trave appoggiata,effetti della distorisione del reticolo

Fattore di distorsione f=a/b=c/d

La mesh è fissata 4x2, poiché la soluzione non è esatta, la soluzione di riferimento è quella con f=1

a

a

b

b

c

cd

d

13



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 25/70

ISO 4: risultati

f = 0.9 f = 0.8

f = 0.5 f = 0.2

35695955907796249789nxx [kN/m]

8.3212.0816.6717.4717.67v [mm]

0.20.50.80.91.0

f



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 26/70

ISO 8: risultati

Discretizzazione per f = 0.2

Deformata:v(f=1.0) = 31.86 mmv(f=0.2) = 30.90 mm (-3.0%)

Sforzo nxx:nxx(f=1.0) = 18107 kN/mnxx(f=0.2) = 16972 kN/m (-6.2%)

14



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 27/70

Esempio 3: stato di tensione monoassiale,infittimento del reticolo errato con nodi singolari

E = 1.0 106 kN/m2

ν = 0.2h = 0.1 m

q = 10.0 kN/m

q

0.6 m

0.2 m

nodo singolare

(solo parzialmente connessi con gli elementi circostanti)

Discretizzazione con elementi ISO 4, infittita introducendo nodi singolari:



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 28/70

Nodi singolari: spostamenti

Effetti dei nodi singolari:

I nodi singolari “si staccano” dai lati cui non sono connessi.

Il campo di spostamenti non è continuo (nonostante ciascun elemento sia di per sé conforme).Gli spostamenti lungo il lato libero sono a loro volta non uniformi poichéinfluenzati dalla presenza delle discontinuità interne.

soluzione analitica: u = 6.0 10-5 mu = 6.610 10-5 m

u = 6.625 10-5 m

u = 6.631 10-5 m

15



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 29/70

Nodi singolari: sforzinxx [kN/m]

nyy [kN/m]

nxy [kN/m]

15.21

15.32

10.0

9.93

6.21

2.46

In prossimità dei nodi singolari lo stato tensionale èpesantemente alterato:

variazioni “a dente di sega”per nxx.

valori di nyy e nxy dello stesso ordine di grandezza di nxx anziché nulli.

Allontanandosi dai nodi singolari si ritonra progressivamente ad uno stato tensionale corretto (cfr. principio di De Saint Venant).



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 30/70

Esempio 4: stato di tensione monoassiale,mescolanza di elementi di diverso ordine

ISO4ISO8 Anche se in maniera

meno marcata rispetto alla presenza di nodi singolari:

Gli spostamenti del bordo libero sonodisuniformi.

Gli spostamenti non sono continui lungo le interfacce fra elementi.

u = 6.024 10-5 m

u = 6.021 10-5 m

u = 6.020 10-5 m

16



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 31/70

Mescolanza di elementi di ordine diverso: sforzinxx [kN/m]

nyy [kN/m]

nxy [kN/m]

9.13 11.06

10.04

10.03

1.98

0.48



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 32/70

Esempio 5: stato di tensione monoassiale,differenti elementi ma dello stesso ordine

ISO4ISO3

nxx = 10.0 kN/m (in tutti gli elemenit)

v = 6.000 10-5 m

v = 6.000 10-5 m

v = 6.000 10-5 m

Deformata e sforzi corretti: è il giusto modo di infittire la discretizzazione!

17



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 33/70

Esempio 6: carico concentrato

possibile rottura nella sottostruttura 2

H

HV

sottostruttura 1

sottostruttura 2

V E = 2.1 108 kN/m2

ν = 0.2h = 0.05 m

P = 1.0 kN

P

1.0 m

1.0 m



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 34/70

Carico concentrato: spostamenti

9.016 10-532x327.604 10-516x166.195 10-58x84.796 10-54x43.436 10-52x2

spostamento massimo [m]mesh

Non c’è convergenza!

18



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 35/70

Carico concentrato: sforzi

767832x32383916x1619208x89604x4

nyy [kN/m]mesh

La massima tensione dipende linearmente dalle dimensioni dell’elemento!



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 36/70

Stiamo cercando di modellare una singolarità!

1.0 m

1.0 m

paP

1.0 m

1.0 m

P = p a

Nella realtà non esistono carichi concentrati.Il modello di carico concentrato va bene se ci interessa lo stato di sollecitazione solo in punti lontani dal punto di applicazione (Saint Venant).Distribuendo l’azione P lungo la sua effettiva (piccola ma finita) lunghezza di applicazione si ottiene un modello realistico e convergente!

19



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 37/70

mesh 4x4: v = 2.977 10-5 m

mesh 32x32: v = 3.033 10-5 mmesh 16x16: v = 3.030 10-5 m

mesh 8x8: v = 3.013 10-5 m

Modello convergente con carico distribuito: spostamenti



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 38/70

mesh 4x4 mesh 8x8

mesh 16x16 mesh 32x32

Modello convergente con carico distribuito: sforzi

20



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 39/70

E = 3.4 107 kN/m2

ν = 0.2h = 0.2 m

q = 10.0 kN/m

1.5 m

1.5 m

0.5 m

0.5 m

q

axes of symmetry

Esempio 7: modellazione di spigoli acutiMembrana sollecitata sollecitata uniformemente con apertura rettangolare

Problema:Stato tensionale in prossimità dell’apertura

Ci sono due assi di simmetria

è sufficiente modellare un quarto della struttura.



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 40/70

deformata sforzi principali

nmax = 34.11 kN/m

Reticolo 12x12

21



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 41/70

nmax = 47.42 kN/m

Reticolo 24x24




(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 42/70

nmax = 65.40 kN/m


Reticolo 48x48

22



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 43/70

Le tensioni nello spigolo divergono all’infittirsi del reticolo: si è in presenza di una singolarità.

Nella realtà nello spigolo le tensioni superano immediatamente il limite elastico e, a seconda dei materiali danno luogo a plasticizzazione o alla formazione di fessure.

Di conseguenza lo spigolo “si arrotonda”.

La singolarità sparische nella realtà.

Interpretazione



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 44/70

1.5 m

1.5 m

0.5 m

0.5 m

q

axe

r

Modellazione con lo spigolo arrotondatoassi di simmetria

modellazione

le tensioni non sono più singolari!

23



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 45/70

Elementi diversi hanno comportamenti diversi.Attenzione a:

Discretizzazioni poco raffinate.Discretizzazioni che non rispettano la continuità (nodi singolari, elementi di ordine diverso).Applicazione errata dei carichi.Interpretazione dei risultati.

I programmi FE sono un ausilio se utilizzati intelligentemente eimprescindibilmente dalla conoscenza di:

Meccanica teorica: continui, piastre, gusci, …Meccanica computazionale: funzioni di forma, conformità, GdL degli elementi, …

E.g. modellare spigoli acuti e carichi concentrati è perfettamente corretto, si deve essere consapevoli però che i risultati in quei punti non sono attendibili!

Conclusioni per le modellazioni di continui 2D



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 46/70

idealizzazioneidealizzazione

elementi trave

elementi travemolto rigidi

elementi biella

strutturastrutturapiastra di

collegamento

cavi

pilone

Talvolta è necessario idealizzare dei collegamenti con elementi trave di elevata rigidezza (grandi sezioni e piccole lunghezze).

Unioni rigide

24



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 47/70

6.0 m

3.0 m

0.2 m

0.3 m

P = 100 kN

Ac = 0.06 m2

Ic = 0.45 10-3 m4

Ac = 0.06 m2

Ic = 0.45 10-3 m4

Ab = αAcIb = Ic

Ab = αAcIb = Ic

A 21

3

Esempio 8: portale,elevati rapporti fra sezioni

Facciamo aumentare il rapporto fra l’area della trave e quella dei pilastri…

Rh1 Rh2

Qc3

Nb3



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 48/70

discretizzazione con 30 elementidiscretizzazione con 3 elementi

matrice di rigidezza singolare!

107.6923

51.6677

50.0000

50.0020

50.0200

50.1992

Rh1[kN]

107.6923

51.6677

50.0000

49.9980

49.9800

49.8008

Rh2 [kN]

107.69

51.67

50.00

50.00

49.98

49.80

Qc3 [kN]

-62.13

-45.17

-50.35

-50.00

-50.00

-49.98

-49.80

Nb3 [kN]

matrice di rigidezza singolare!1015

39.1939.191639.19161014

-111.3950.9850.981150.98111013

-53.7450.1450.138450.13841012

-50.0050.0050.000050.0000106

-50.0050.0049.998050.0020102

-49.9849.9849.980050.0200101

-49.8049.8049.800850.1992100

Nb3 [kN]Qc3 [kN]Rh2 [kN]Rh1[kN]Ab/Ac

Risultati

All’aumentare del rapporto fra le aree i risultati si deteriorano fino ad arrivare ad avere la matrice di rigidezza singolare!Infittire la discretizzazione è controproducente (3 elementi sono teoricamente sufficienti a fornire la soluzione analitica esatta).

25



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 49/70

Durante l’assemblaggio la rigidezza flessionale dei pilastri viene sommata a quella assiale della trave:

entrambi i numeri vengono scalati secondo il massimo esponente e rappresentati con un numero finito di decimali (3 nell‘esempio)

1000.0000+ 0.0001= 1000.0001

1.000 0000 103

+ 0.000 0001 103

= 1.000 103

3

12 c bww

c b

EI EAKL L

= +

w

pilastro

trave

Spiegazione

Quando Ab/Ac è grande, il pilastro è come se non esistesse per quel GdL!

I numeri reali sono rappresenti dal calcolatore in forma esponenziale con un numero finito di cifre significative per mantissa ad esponente (rappresentazione in virgola mobile con precisione finita): R = x.yyy * 10m

Se due numeri hanno grandezze molto diverse il minore si perde durante le operazioni di somma!



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 50/70

0.2 m

0.3 m

E = 3.4 107 kN/m2

10.0 m

P = 1.0 kN

kNm010PLM

cm17862EI3

PLw3

.

.

−=−=

==

soluzione analiticasoluzione analitica discretizzazionediscretizzazione

2 elementi trave di lunghezza disuguale2 elementi trave di lunghezza disuguale

Esempio 9: mensola,elemento troppo corto (e dunque troppo rigido)

26



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 51/70

matrice di rigidezza singolare!0.000019.99999-2.44-0.53070.000059.99995-10.032.18590.00019.9999

-9.99962.17820.0019.999-10.02.17865.05.0-10.02.1786analitica

M[kNm]w[cm]L2[m]L1[m]

3 31 2

12 12ww

EI EIKL L

= +

Risultati ed interpretazione

Anche in questo caso al variare delle proporzioni la rigidezza della trave piùcorta tende a cancellare numericamente quella del restante tratto fino ad eliminarlo del tutto creando un cinematismo!

Elementi molto rigidi (o molto corti) vanno utilizzati con estrema cautela: la formazione di un cinematismo è il caso estremo, normalmente si ha solo un’alterazione dei risultati (più difficile da verificare!).



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 52/70

elementi traveelementi trave

incastri alla baseincastri alla base

Si ottiene una matrice di rigidezza singolare!

Si ottiene una matrice di rigidezza singolare!

Discretizzazione del traliccio con elementi trave e biella (4

bielle per ogni “X”)

Discretizzazione del traliccio con elementi trave e biella (4

bielle per ogni “X”)

La struttura è uncinematismo!

La struttura è uncinematismo!

Esempio 10:cinematismi di bielle

elementi biellaelementi biella

27



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 53/70

La matrice di rigidezza ha 12 autovalori nulli

La matrice di rigidezza ha 12 autovalori nulli

Ad essi corrispondono 12 cinematismi individuati dai corrispondenti 12

autovalori

Ad essi corrispondono 12 cinematismi individuati dai corrispondenti 12

autovalori

Analisi agli autovalori

Nell’esempio sono i 12 spostamenti fuori dal piano dei centri delle “croci di S. Andrea”.

primo cinematismoprimo cinematismo



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 54/70

Un modo per eliminare la singolarità della matrice di rigidezza e di conseguenza i

cinematismi consiste nell‘introdurre una debole pretensione negli elementi biella.

In tal modo questi acquistano rigidezza anche fuori dal piano (v. cap. 6).

Nell‘esempio una pretensione di 0.1 kN èsufficiente a stabilizzare l‘analisi senza alterare in maniera percettibile le proprietà del sistema.

Un modo per eliminare la singolarità della matrice di rigidezza e di conseguenza i

cinematismi consiste nell‘introdurre una debole pretensione negli elementi biella.

In tal modo questi acquistano rigidezza anche fuori dal piano (v. cap. 6).

Nell‘esempio una pretensione di 0.1 kN èsufficiente a stabilizzare l‘analisi senza alterare in maniera percettibile le proprietà del sistema.

Modello con pretensione

28



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 55/70

elementi traveelementi trave

elementi guscio pianielementi guscio piani

incastroincastro

Esempio 11: formazione di cinematismo fra elementi trave ed elementi guscio



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 56/70

Discretizzazione con due elementi guscio ed un elemento trave

Discretizzazione con due elementi guscio ed un elemento trave

Rigidezza singolare!Si forma un cinematismo!

Rigidezza singolare!Si forma un cinematismo!

Formazione di un cinematismo!

29



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 57/70

y

x

zmxxmxx

mxymxy

mxymxy

myymyy

La lastra inflessa possiede 2 momenti flettenti (mxx e myy) e 1 momento torsionale (mxy). Non c‘è alcun momento mzz attorno all‘asse normale.

La lastra inflessa possiede 2 momenti flettenti (mxx e myy) e 1 momento torsionale (mxy). Non c‘è alcun momento mzz attorno all‘asse normale.

Una rotazione attorno all‘asse z non compie lavoro e dunquel‘elemento non ha rigidezza rispetto a ϕz.

Una rotazione attorno all‘asse z non compie lavoro e dunquel‘elemento non ha rigidezza rispetto a ϕz.

Spiegazione



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 58/70

Si aggiunge un segmento di elemento trave.Si aggiunge un segmento di elemento trave.

Il momento sulla trave è generato da una coppia di forze.Il momento sulla trave è generato da una coppia di forze.

Discretizzazione corretta

La rigidezza non è singolare!La rigidezza non è singolare!

30



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 59/70

10 kN

20 kN30 kN

1.0 m

1.0 m

0.5 m

Esempio 12: travi incernierate

Struttura spaziale incernierata.



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 60/70

N1 = 0.00 kNN1 = 0.00 kN

m101866

12440622

5−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

...

v

N2 = -8.66 kNN2 = -8.66 kN

N3 = -17.32 kNN3 = -17.32 kN

N4 = -25.98 kNN4 = -25.98 kN

Con elementi biella: nessun problema.Con elementi biella: nessun problema.

Discretizzazione con elementi biella

31



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 61/70

elemento 1: 1-11elemento 1: 1-11

elemento 2: 2-12elemento 2: 2-12

elemento 3: 3-13elemento 3: 3-13 elemento 4: 4-14elemento 4: 4-14

nodi 11,12,13,14nodi 11,12,13,14

nodo 1nodo 1

node 2node 2

node 4node 4

nodo 3nodo 3

vincoli:nodi 1-4: Ux = 0; Uy = 0; Uz = 0nodi 11-14: Ux Uy Uz uguali fra loro

vincoli:nodi 1-4: Ux = 0; Uy = 0; Uz = 0nodi 11-14: Ux Uy Uz uguali fra loro

Rigidezza di sistema singolare!Rigidezza di sistema singolare!

Discretizzazione con elementi trave

Discretizzazione con elementi trave(può essere utile per analisi di stabilità)!

Discretizzazione con elementi trave(può essere utile per analisi di stabilità)!



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 62/70

4 autovalori nulli.Le corrispondenti forme non mostrano deformazioni.

4 autovalori nulli.Le corrispondenti forme non mostrano deformazioni.

autovettori 1-4autovettori 1-4

Analisi agli autovalori

32



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 63/70

nodo 1:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Φ

806708067080670

1

.

.

.

nodo 11:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Φ

806708067080670

11

.

.

.GdL locali:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=ϕ

0000

39721

11

.

..

Andando a vedere i valori numerici ci si accorge che sono rotazioni attorno agli assi delle travi!



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 64/70

Soluzione del problema

Ad ogni cerniera si aggiungono molle rotazionali di piccola rigidezza (0.1 kNm). La labilità viene così eliminata senza

alterare apprezzabilmente il comportamento della struttura.

Ad ogni cerniera si aggiungono molle rotazionali di piccola rigidezza (0.1 kNm). La labilità viene così eliminata senza

alterare apprezzabilmente il comportamento della struttura.

33



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 65/70

• Sottostrutture di un sistema possono dar luogo a cinematismiper differenti ragioni, e.g.:

• bielle complanari,• travi incernierate,• unione di elementi con differenti GdL• ...

• I cinematismi possono venire individuati con analisi agli autovalori, i programmi commerciali tuttavia non offrono questa possibilità!

• Esperienza e conoscenza della teoria sono le uniche difese per evitare, individuare e risolvere questi problemi.

Nota



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 66/70

Esempio 13: stabilità di trave IPE caricata di punta, modello con elementi guscio piani

gusci piani a 4 nodi6 GdL/nodo (vx,vy,vz,ϕx,ϕy,ϕz)

modellazione analisi

primaforma

secondaforma

terzaforma

la continuità degli spostamenti non è rispettata!

34



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 67/70

sottostruttura 1

sottostruttura 2 vx

vz vyϕn

ϕx

ϕy

ϕz

sottostruttura 1

sottostruttura 2

Interpretazione del risultato erratoAncora una volta il problema è dovuto agli elementi guscio piani che non hanno rigidezza alla rotazione attorno all’asse ortogonale agli elementi stessi:

Le sottostrutture sono collegate nei nodi, essendo fra loro ortogonali ciascuna non offre rigidezza alle rotazioni dell’altra.

si comportano come vicendevolmente incernierate nei nodi e le forme di instabilità viste sono possibili!



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 68/70

Soluzione: discretizzazione più fineDiscretizzando con un reticolo più fine le forme di instabilità delle singole lamine si ottengono per valori del carico via via più alti (diminuisce la distanza fra gli appoggi e dunque la lunghezza di libera inflessione) ed è così possibile cogliere il comportamento globale della struttura.

35



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 69/70

ConclusioniL’utilizzo del FEM non è banale: gli errori in cui si può incorrere sono di molti tipi.

Iniziare sempre con modellazioni semplici (meglio controllabili) ed aggiungere dettagli (se necessario!) per passi.

Mai prendere risultati per buoni senza verifica!

In caso di dubbio semplificare il problema al massimo ed eseguire verifiche anche manuali.

Non credere all’infallibilità dei programmi commerciali con comportamento “black box”.

La conoscenza della teoria (sia della meccanica che del FEM) èindispensabile.

L’esperienza è altrettanto importante: quanto visto in questo capitolo può solo dare un’idea!



(rev. 31/05/2006) Capitolo 5: 70/70

Nel prossimo capitolo

Introduzione all’analisi non-lineare

Documents

MECCANICA COMPUTAZIONALE - people.dicea.unifi.itpeople.dicea.unifi.it/lsalv0/didattica/Capitolo 5.pdf · Modellazione delle strutture Rev. 31 maggio 2006 Università degli Studi di