1

MATRICE I DETERMINANTE

1. Koje se od matrica mogu pomnožiti i u kom redosledu. Izračunati moguće proizvode.

1) ,20

11

A ,

04

30

12

B

220

103C ,

2) ,

030

202

101

A ,122

130

B

2

0

3

C ,

3) ,012A ,014

102

B

11

10

03

C ,

4)

34

20

01

,420

213 ,

20

12CBA ,

5) ,

7006

5301

2043

A ,

211

030

021

B

2

0

1

C ,

6) ,051

103 ,0124

BA

12

01

20

13

C ,

7) ,101

023

A ,

12

01

30

24

B

33

01C ,

8) ,102

041 ,

002

110

321

,

31

10

21

CBA

0120

3015D ,

2

9) ,1302 A

04

30

20

13

B ,

1220

3104C ,

014

102D

10)

61

05

30

12

,1035 ,

150

413

102

,

1

2

1

DCBA

11)

17

50

41

,410

602 ,32 ,

5410

7032DCBA

12)

340

708 ,

2

1

6

,271 ,

750

231

024

DCBA

13)

40

21 ,

70

52

43

,415

602 473 DCBA

14)

3

5

2

,213

506 ,31 ,

01

65

30

24

DCBA

15)

10

32

34

,251 ,1067

3350 ,

5

2-

0

3

DCBA

3

16)

54

23 ,203 ,

20

32

41

,1067

3051DCBA

17)

56

45 ,

12

32

50

,1302 ,

014

231

120

506

DCBA

18)

541

620

503

,176 ,124

630 ,

7

3DCBA

19)

3650

4021 ,

147

302 ,

501

623

014

,23 DCBA

20)

3608

0179 ,

147

302 ,

201

650

918

,

41

64

57

30

DCBA

21)

6351

4520 ,

67

53 ,52 ,

5

2

4

3

DCBA

22)

1302

2671

3024

,

02

10

47

53

,52 ,352

034DCBA

4

2. Izračunati determinantu matrice:

1)

1030

0211

1203

0102

A , 2)

1400

0311

2010

0034

A , 3)

0011

0140

1231

1003

A ,

4)

0402

1010

4203

0121

A

, 5)

0402

3010

5231

0120

A , 6)

0300

2010

3243

0125

A ,

7)

6153

2004

5021

3102

A , 8)

0905

3037

8010

0161

A , 9)

0402

3010

3215

4123

A .

3. Izračunati inverznu matricu matrice A:

1)

112

310

201

A , 2)

112

130

102

A , 3)

114

263

104

A ,

4)

501

160

531

A , 5) ,

304

023

210

A 6)

321

120

524

A ,

7) ,

551

110

207

A 8) ,

300

611

432

A 9)

430

021

201

A .

5

REŠAVANJE MATRIČNIH JEDNAČINA

1. Rešiti po X matričnu jednačinu IBIXA )2( gde je ,

300

611

432

A

540

032

201

B .

Najpre se transformiše matrična jednačina, tako da sa leve strane ostane samo nepoznata matrica X.

Pri tome treba voditi računa da za sabiranje matrica važi komutativnost tj. A+B=B+A, dok za množenje

matrica komutativnost ne važi: BAAB .

IBIXA )2(

BIIXA )2( (B prelazi na levu stranu i zbog toga menja znak)

1/)2( ABIIXA (sada množimo jednačinu sa A-1 sa leve strane;

A-1 je inverzna matrica matrice A; ( IAAAA 11 , I je jedinična matrica

100

010

001

I );

)()2( 11 BIAIXAA

)()2( 1 BIAIXI (za množenje jediničnom matricom važi AAIIA )

)(2 1 BIAIX (sad -2I prelazi na desnu stranu i jednačina dobija oblik)

IBIAX 2)(1 .

Pošto smo jednačinu transformisali tako da je sa leve strane ostala samo nepoznata matrica X, ostalo je

da izračunamo tu matricu.

Inverzna matrica A-1 izračunava se po obrascu:

332313

322212

3121111

)det(

1

AAA

AAA

AAA

AA .

Determinanta reda 3 može se izračunati Sarusovim pravilom.

Ako su elementi determinante

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A , dopisujemo elemnte prve i druge kolone i

računamo vrednost determinante po sledećem obrascu

_ _ _

3231

2221

1211

333231

232221

131211

aa

aa

aa

aaa

aaa

aaa

A =

= 312213322311332112322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa .

6

Za matricu ,

300

611

432

A

00

11

32

300

611

432

)det(

A = 2(-1)3 + (-3)60 + 410 –

(-3)13 - 260 - 4(-1)0 = -6 + 0 + 0 + 9 – 0 – 0 = 3.

Kofaktore Aij dobijamo na sledeći način: ijji

ij MA )1( . Minor Mij je determinanta koja se dobija

kada se u matrici A precrtaju i-ta i j-ta kolona.

,

300

611

432

A 3063)1(30

61)1( 11

11

A ,

,

300

611

432

A 3)0631(30

61)1( 21

12 A ,

,

300

611

432

A 00)1(0100

11)1( 31

13

A ,

,

300

611

432

A 9)9()043)3((30

43)1( 12

21

A ,

,

300

611

432

A 6043230

42)1( 22

22 A ,

,

300

611

432

A 0)0)3(02(00

32)1( 32

23

A ,

,

300

611

432

A 14418)1(46361

43)1( 13

31

A ,

,

300

611

432

A 8)412()1462(61

42)1( 23

32 A ,

,

300

611

432

A 132)13()1(211

32)1( 33

33

A .

7

Pošto smo izračunali determinantu i kofaktore, inverzna matrica je

800

1463

093

3

11A . Inverznu matricu možemo ostaviti u ovom obliku, a možemo je i

pomnožiti sa 3

1. Matrica se množi skalarom (nekim brojem), tako što se svaki element matrice

pomnoži tim skalarom.

3800

31421

0311A .

Iz jednačine IBIAX 2)(1 , vidimo da najpre treba izračunati I – B . Dve matrice se sabiraju

(oduzimaju) tako što se sabiraju odgovarajući elementi.

640

022

202

540

032

201

100

010

001

BI

Sad treba izračunati ).(1 BIA Jednostavnije za računanje je upotrebiti prvi oblik matrice.

)(1 BIA

640

022

202

800

1463

093

3

1=

6)8(00)2(0)4()8()2(0000)8(2020

6)14(06)2(3)4()14(.)2(6030)14(2623

6009)2(3)4(0)2(903002923

3

1

163

2100

263

2222

264

48320

78686

61812

3

1.

183

2100

263

2202

266

200

020

002

163

2100

263

2222

264

2)(1 IBIA

Dakle rešenje matrične jednačine je

183

2100

263

2202

266

X .

8

2. Rešiti po X matričnu jednačinu CBIXA 2)2( gde je

313

201

012

A ,

001

014

321

B ,

111

025

301

C

22 /)2( BCBIXA množimo jednačinu sa B2 sa desne strane;

222)2( BCBBIXA

2)2( BCIIXA

22 BCIXA

12 /2 AIBCXA

121 )2( AIBCAXA

12 )2( AIBCXI

12 )2( AIBCX

5043060

3001)2(2)3()1(11)1(03)2(1)3(02

13

01

12

313

201

012

)det(

A

313

201

012

, 21)2()3(031

20)1( 11

11

A

313

201

012

, 9)63()3)2()3()1((33

21)1( 21

12

A

313

201

012

, 1301113

01)1( 31

13

A

313

201

012

, 3)3()10)3(1(31

01)1( 12

21

A

313

201

012

, 630)3(233

02)1( 22

22

A

9

313

201

012

, 1)1()3112(13

12)1( 32

23 A

313

201

012

, 200)2(120

01)1( 13

31

A

313

201

012

, 4)4()1(0)2(2(21

02)1( 23

32

A

313

201

012

, 1)1(10201

12)1( 33

33

A .

111

469

232

5

11A

321

1270

304

00003100)1(0)2(1104011

000)1(3400)1()1()2(4104)1(14

030)2(3103)1()2()2(1134)2(11

001

014

321

001

014

3212 BBB

12115

91420

1261

321

1270

304

111

025

3012BC

10115

91620

1261

200

020

002

12115

91420

1261

22 IBC

12 )2( AIBC

111

469

232

5

1

10115

91620

1261

10

8,82,188,13

193935

8,22,108,8

449199

95195175

145144

5

1

Rešenje jednačine je

8,82,188,13

193935

8,22,108,8

X .

3. Rešiti po X matričnu jednačinu DIXC )23( gde je

,

553

110

207

C

033

306

753

D .

1/)23( CDIXC množimo jednačinu sa C-1 sa leve strane;

DCIXCC 11 )23(

DCIXI 1)23(

DCIX 123

IDCX 23 1 sada množimo celu jednačinu sa 1/3

3

1/23 1 IDCX

)2(3

1 1 IDCX

05555

11)1( 11

11

C , 3)30(

53

10)1( 21

12

C ,

,10))10(0(55

20)1( ,3)3(0

53

10)1( 21

2131

13

CC

6635000353)1()2(517)5(00

50)2(310)5()1(7

53

10

07

553

110

207

553

110

207

)det(

C

11

,35)035(53

07)1( ,29)6(35

53

27)1( 32

2322

22

CC

,7)07(10

27)1( ,220

11

20)1( 23

3213

31

CC

.710

07)1( 33

33

C

7353

7293

2100

6

11C

14637

11631

5111

8436222

6636186

30666

6

1

033

306

753

7353

7293

2100

6

11 DC

12637

11831

5113

3

1

200

020

002

14637

11631

5111

3

1)2(

3

1 1 IDC

Rešenje jednačine je

4212

3210

14

12637

11831

5113

3

1

3

13

2

3

2

3

13

2

3

1

3

1

X .

12

1. Reši po X matričnu jednačinu BCIXA )2( 1 gde je

,

402

011

102

A

222

041

202

B ,

112

310

201

C

Rešenje:

141428

81411

2210

112

356

222

2

1 2 11 X,C,IBCAX

2. Reši po X matričnu jednačinu IFEXD 2)( gde je

110

413

021

D , ,

102

510

134

E

112

130

102

F

Rešenje:

312

2

11

2

712

2

9

2

51

626

202

312

2

1 2 11 X,F,EFDIX

3. Rešiti po X matričnu jednačinu AXBIC )3( 1 gde je

535

15410

505

A , ,

042

230

101

B

114

263

104

C

Rešenje

5

42

5

44744

154047

5

17

5

5313

24421

505

614

5

1 3 11 X,C,BIACX

13

4. Reši po X matričnu jednačinu DEXIF )2( gde je

534

061

207

D , ,

533

231

216

E

501

160

531

F

Rešenje

4116

63

196

16195

636

101

271530

3

1 2 11 X,F,IEDFX _

5. Reši po X matričnu jednačinu CIBXA 2)( 2 gde je

,

304

023

210

A

542

026

233

B ,

412

110

213

C

6. Reši po X matričnu jednačinu ICBXA 2)( 2 gde je

,

304

023

210

A

104

021

120

B ,

010

310

021

C

7. Reši po X matričnu jednačinu ACBIX 2)2( gde je

,

504

410

032

A

321

120

524

B ,

103

110

020

C

8. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA 3)(2 gde je

,

011

102

203

A

204

125

320

B ,

103

110

020

C

14

9. Reši po X matričnu jednačinu, gde je DXICA )3( gde je

,

2-53

11-4

8-6-4

A ,

551

110

207

C

033

306

753

D .

10. Reši po X matričnu jednačinu CAIXB 2)( gde je

,

200

310

312

A

130

321

210

B ,

001

221

110

C

11. Reši po X matričnu jednačinu CBAIX 2)2( gde je

313

201

012

A ,

001

014

321

B ,

541

016

301

C

12. Reši po X matričnu jednačinu 2)2( GFIXE gde je

124

010

234

,

101

230

156

FE , ,

011

210

312

G

13. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA )( 2 , gde je

,

101

120

013

A ,

010

023

120

B

011

103

032

C

15

14. Reši po X matričnu jednačinu IXCBA 3)(2 gde je

,

201

013

302

A ,

300

611

432

B

315

103

367

C

15. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA )( 2 gde je

,

001

224

310

A ,

010

043

102

B

511

100

432

C

16. Reši po X matričnu jednačinu CAIXB 2)2( gde je

,

200

310

312

A

130

321

210

B ,

001

221

110

C

17. Reši po X matričnu jednačinu ICBXA 2)(2 gde

je ,

130

321

210

,

120

010

012

BA

205

110

215

C

18. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA 2)( 2 gde

je

105

002

011

B ,

021

203

101

A

205

140

213

C

19. Reši po X matričnu jednačinu ICBXA )( 2 gde je

,

430

021

201

,

200

310

312

BA

315

140

302

C

16

20. Reši po X matričnu jednačinu ICXBA 2)(2 gde je

,

001

123

010

A ,

010

023

102

B

561

103

432

C

21. Reši po X matričnu jednačinu CBIXA 2)2( gde je

,

300

611

432

A

540

032

201

B ,

205

110

215

C

22. Reši po X matričnu jednačinu EDCXI )2( gde

je

315

103

367

,

175

310

012

,

522

515

001

EDC

23. Reši po X matričnu jednačinu 2)2( FXIHG gde je

,

430

021

201

F

331

120

570

,

211

430

102

HG

24. Reši po X matričnu jednačinu CBAIX 2)2( gde je

430

021

201

A ,

103

010

211

B ,

715

122

108

C ,

25. Reši po X matričnu jednačinu DXIC )3( , gde je

,

553

110

207

C

033

306

753

D .

17

26. Reši po X matričnu jednačinu CIBXA )(2 gde je

,

200

310

312

A

130

321

210

B ,

001

221

110

C

27. Reši po X matričnu jednačinu CBIXA 2)2( gde je

313

201

012

A ,

001

014

321

B

28. Reši po X matričnu jednačinu 0)2( FIXE gde je

124

010

234

,

101

230

156

FE

29. Reši po X matričnu jednačinu CIXAB )(2 , gde je

,

012

035

312

A ,

031

110

210

B

420

231

012

C

30. Reši po X matričnu jednačinu CBIAX 2)( , gde je

,

012

035

321

A ,

031

110

210

B

420

231

010

C

31. Reši po X matričnu jednačinu ICXAB )( 2 , gde je

,

012

010

124

A ,

033

100

212

B

420

201

014

C

18

32. Reši po X matričnu jednačinu IBIXA )2( gde je

,

300

611

432

A

540

032

201

B

33. Reši po X matričnu jednačinu CXBIA )(2 , gde je

102

131

200

,

020

31-1

201

B ,

103

020

101

CA

34. Reši po X matričnu jednačinu CIBXA )(2 gde je

,

200

310

312

A

130

321

210

B ,

001

221

110

C

35. Reši po X matričnu jednačinu IDCXI )2( gde je

175

310

012

,

522

515

001

DC

36. Reši po X matričnu jednačinu 0)2( XIHG gde je

331

120

570

,

211

430

102

HG

37. Reši po X matričnu jednačinu CBXAI 21 )( , gde je ,

005

130

121

B ,

200

013

102

A

140

301

021

C

19

38. Reši po X matričnu jednačinu CXAIB )(2 , gde je

105

002

011

B ,

021

203

101

A ,

101

023

210

C

39. Reši po X matričnu jednačinu CAIXB 12 )( , gde je

,

110

131

012

A

422

010

301

B ,

100

031

402

C

40. Reši po X matričnu jednačinu CBIAX 2)( , gde je

,

220

130

012

A ,

031

110

210

B

400

231

012

C

41. Reši po X matričnu jednačinu CIXAB )( 21 , gde je

,

012

035

312

A ,

031

110

210

B

420

231

012

C

42. Reši po X matričnu jednačinu CBIXA )( 2 , gde je

,

012

030

321

A ,

031

110

210

B

420

231

010

C

43. Reši po X matričnu jednačinu ICXAB )( 21 , gde je

,

012

010

124

A ,

031

100

216

B

420

201

014

C

20

44. Reši po X matričnu jednačinu IXACB )( 2 , gde je

,

012

010

231

A ,

031

100

412

B

520

201

013

C

45. Reši po X matričnu jednačinu CXBIA )( 21 , gde je

102

131

200

,

020

31-1

202

B ,

103

020

101

CA