INVERZNA DOLOČITEV MATERIALNIH PARAMETROV VOTLE CEVI … · V okviru raziskave določevanja mehanskih lastnosti aluminijastih cevi napolnjenih s kovinsko peno so bili izvedeni tri-točkovni

UNIVERZA V MARIBORU

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO

Matej ŽNIDARŠIČ

INVERZNA DOLOČITEV MATERIALNIH PARAMETROV VOTLE CEVI PRI UPOGIBNI OBREMENITVI

Magistrsko delo

študijskega programa 2. stopnje

Strojništvo

Maribor, april 2016

Magistrsko delo

INVERZNA DOLOČITEV MATERIALNIH PARAMETROV

VOTLE CEVI PRI UPOGIBNI OBREMENITVI

Študent: Matej ŽNIDARŠIČ

Študijski program 2. stopnje: Strojništvo

Smer: Računalniško inženirsko modeliranje

Mentor: izr. prof. dr. Matej Vesenjak

Somentor: asist. dr. Matej Borovinšek

Maribor, april 2016

I Z J A V A

Podpisani Matej Žnidaršič, izjavljam, da:

• je magistrsko delo rezultat lastnega raziskovalnega dela,

• predloženo delo v celoti ali v delih ni bilo predloženo za pridobitev kakršnekoli

izobrazbe po študijskem programu druge fakultete ali univerze,

• so rezultati korektno navedeni,

• nisem kršil avtorskih pravic in intelektualne lastnine drugih,

• soglašam z javno dostopnostjo magistrskega dela v Knjižnici tehniških fakultet ter

Digitalni knjižnici Univerze v Mariboru, v skladu z Izjavo o istovetnosti tiskane in

elektronske verzije zaključnega dela.

Maribor,_____________________ Podpis: ________________________

ZAHVALA

Zahvaljujem se mentorju izr. prof. dr. Mateju

Vesenjaku in somentorju asist. dr. Mateju Borovinšku

za pomoč in vodenje pri opravljanju magistrskega

dela.

- I -

INVERZNA DOLOČITEV MATERIALNIH PARAMETROV VOTLE CEVI PRI

UPOGIBNI OBREMENITVI

Ključne besede: inverzna določitev materialnih parametrov, optimizacija, metoda končnih

elementov, Abaqus, tri-točkovni upogibni preizkus

UDK: 004.896:519.863(043.2)

POVZETEK

Cilj magistrskega dela je določitev materialnih parametrov aluminijaste cevi na podlagi reakcijskih sil opravljenih tri-točkovnih upogibnih preizkusov. Pri tem je bil uporabljen inverzni postopek na osnovi reakcijskih sil numeričnega modela tri-točkovnega upogibnega preizkusa in optimizacijskih algoritmov. Izdelali smo delujoč eksplicitni numerični model s splošno nastavitvijo materialnih parametrov, katerih vrednosti smo nato zamenjali s spremenljivkami in vnesli v optimizacijsko shemo. Variacijo spremenljivk smo izvajali s pomočjo optimizacijskih algoritmov. Uporabljena sta bila genetski algoritem in Nelder-Meadova simpleks metoda. Primerjavo reakcijskih sil (F-d diagram) simulacije in ekspeimenta smo vršili z metodo najmanjših kvadratov. Povprečna napaka najboljše simulacije je zanšala le 0,89 %. Dobljeni rezultati optimizacije se več kot zadovoljivo skladajo z rezultati upogibnega preizkusa, zato smatramo, da bi se na podoben način dalo pridobiti matreialne podatke tudi pri drugih vrstah obremenitvenih primerov.

- II -

INVERSE DETERMINATION OF EMPTY TUBE MATERIAL PARAMETERS

AT BENDING LOAD

Key words: inverse determination of material parameters, optimization, finite element

method, Abaqus, three-point bending test

UDK: 004.896:519.863(043.2)

ABSTRACT

The goal of this master thesis is to determine the material parameters of empty aluminum tube based on the reaction forces of the three-point bending test. An inverse method was used, based on the reaction forces of the numerical model of the three-point bending test and optimization algorithms. We have created an explicit numerical model with general values of the material parameters, which were then replaced with variables and imported into the optimization scheme. Variation of variables was performed using optimization algorithms. Genetic algorithm and Nelder-Mead Simplex method were used. Least squares method was used to evaluate the difference between simulation and experiment reaction force data. Average error of the best simulation was only 0,89 %. The results of the optimization are more than sufficiently consistent with the results of the experimental bending test. Therefore, we consider that material data for other types of loading conditions could also be obtained in a similar manner.

- III -

KAZALO

1 UVOD ............................................................................................................................. 1

1.1 Opis problema ......................................................................................................... 1

1.2 Struktura magistrskega dela ..................................................................................... 2

2 KOMPOZITI S POROZNIM MATERIALOM........................................................................ 3

3 TRI-TOČKOVNI UPOGIBNI TEST ...................................................................................... 5

3.1 Opis eksperimenta ................................................................................................... 5

3.2 Rezultati eksperimenta ............................................................................................ 6

4 PRIPRAVA NUMERIČNEGA MODELA V PROGRAMU ABAQUS ........................................ 7

4.1 Materialni model ..................................................................................................... 7

4.2 Časovna shema ...................................................................................................... 10

4.3 Hitrost obremenjevanja in kontakti ........................................................................ 12

4.4 Mreženje, konvergenčna analiza in rezultati .......................................................... 13

5 OPTIMIZACIJA MODELA S PROGRAMOM OPTIMAX 0.6 ............................................... 23

5.1 Inverzna določitev materialnih parametrov ........................................................... 23

5.2 Opis delovanja programa ....................................................................................... 24

5.3 Opis optimizacijskih algoritmov.............................................................................. 26

5.4 Optimizacijske spremenljivke ................................................................................. 31

5.5 Priprava optimizacijske sheme ............................................................................... 33

5.6 Izboljšava optimizacijske sheme ............................................................................. 41

6 REZULTATI .................................................................................................................... 44

7 ZAKLJUČEK.................................................................................................................... 53

8 LITERATURA ................................................................................................................. 55

- IV -

UPORABLJENE KRATICE

DOE Design of Experiments

GA Genetski algoritem

KE Končni elementi

NM Nelder-Meadov algoritem

Univerza v Mariboru – Fakulteta za strojništvo Magistrsko delo

- 1 -

1 UVOD

1.1 Opis problema

V okviru raziskave določevanja mehanskih lastnosti aluminijastih cevi napolnjenih s kovinsko

peno so bili izvedeni tri-točkovni upogibni testi na votli cevi iz aluminijeve zlitine, najprej pri

kvazi-statični obremenitvi, in nato še pri dinamični obremenitvi. Kot rezultat preizkusov so

bili izdelani diagrami sile v odvisnosti od pomika.

Namen magistrske naloge je izvesti eksplicitno simulacijo z Abaqusom, kjer je potrebno

določiti materialne parametre aluminijeve zlitine tako, da bodo rezultati simulacije kar

najbolje opisovali rezultate eksperimenta. Glede na dejstvo, da so na razpolago le

eksperimentalni podatki iz upogibnega preizkusa (F-d), na podlagi katerih je nemogoče

direktno določiti materialne podatke, je torej osnovna ideja čimbolj natančna določitev le-

teh s pomočjo inverznega inženirstva.

Ker pa gre v tem primeru za variacijo različnih materialnih parametrov (npr. modul

elastičnosti, Poissonovo število, meja tečenja), ki jih je preveč za zgolj naključno

preizkušanje, kakor tudi časovno zelo potratno, si bomo pri tem pomagali s programom

OptiMax. Sestavni del programa so optimizacijski algoritmi, s pomočjo katerih se izvede

optimizacija izbranih materialnih parametrov preko Abaqusove vhodne datoteke. Rezultat

serije simulacij bodo materialni parametri, pri katerih bo krivulja odziva najmanj odstopala

od eksperimentalno dobljene krivulje.

Glede na željo, da bi se s simulacijskim modelom čimbolj natančno približali

eksperimentalnim rezultatom, bo glavna omejitev raziskave vsekakor predstavljala

zmogljivost računalnika, kar bo vplivalo na velikost in število končnih elementov, število

časovnih korakov simulacije in izbiro optimizacijskega algoritma.

V kolikor se bodo dobljeni rezultati optimizacije zadovoljivo skladali z rezultati upogibnega

preizkusa, predpostavljamo, da bi se na podoben način dalo optimizirati tudi druge vrste

obremenitvenih preizkusov.


- 2 -

1.2 Struktura magistrskega dela

Drugo poglavje vsebuje splošen opis kompozitov s poroznim materialom. V tretjem poglavju

sledi najprej opis poteka tri-točkovnega upogibnega eksperimenta, nato pa še kratek

povzetek z rezultati. Četrto poglavje vsebuje opis izdelave numeričnega modela v Abaqusu.

Najprej je predstavljena izdelava modela. Sledi izbira časovne sheme, podatki o

obremenitvah, kontaktih, robnih pogojih. Zadnji, najobsežnejši del poglavja, vsebuje detajlni

opis izbire optimalne mreže in konvergenčno analizo, izbiro kontaktnega algoritma in vpliv

stabilnega časovnega koraka na čas simulacije. Glavni cilj sestave modela je čim hitrejši

računski čas simulacije ob čim manj poenostavitvah. Peto poglavje predstavlja bistvo

magistrske naloge, to je optimizacija vhodnih simulacijskih parametrov z namenom doseči

čim manjšo razliko v vrednosti eksperimentalne in simulacijske reakcijske sile. Poglavje se

začne z opisom inverznega problema določitve materialnih parametrov. Sledi opis delovanja

obeh uporabljenih optimizacijskih algoritmov, to sta Nelder-Meadova simpleks metoda in

genetski algoritem. Opisane so tudi oprimizacijske spremenljivke, nakar sledi detajlni opis

izgradnje optimizacijske sheme z izbiro spremenljivk, vhodnih in izhodnih datotek ter

zaganjalnikov programov. V zadnjem podpoglavju je prikazan še postopek izboljšave osnovne

sheme. V šestem poglavju so predstavljeni vsi pomembnejši rezultati najuspešnejših

simulacij posameznih optimizacijskih shem, večinoma v obliki grafov in tabel. Sedmo

poglavje predstavlja zaključek magistrskega dela, v katerem so predstavljena lastna

razmišljanja ob komentarju rezultatov.


- 3 -

2 KOMPOZITI S POROZNIM MATERIALOM

Obravnavan problem magistrskega dela se nanaša na raziskave določevanja mehanskih

lastnosti aluminijastih cevi napolnjenih s kovinsko peno, katere spadajo v širše področje

kompozitnih materialov.

Kompoziti so tako rekoč nepogrešljiv del našega življenja, saj se z njimi vsakodnevno

srečujemo: armirano betonska stena, vezana lesena plošča, avtomobilska guma, teniški

lopar, PVC vrečka, itn. Po osnovni definiciji je kompozit material, sestavljen iz dveh ali več

komponent z različnimi mehanskimi, fizikalnimi ali kemijskimi lastnostmi. Z združitvijo

osnovnih komponent, ki ostanejo med seboj jasno ločene, dobi kompozit popolnoma nove

karakteristike.

Glavni namen njegove izdelave predstavlja izboljšanje lastnosti osnovnih sestavin, na primer

povečanje trdnosti, togosti, žilavosti, odpornosti na utrujanje, znižanje gostote,

temperaturnega raztezka, itn. Velika prednost kompozitov je, da lahko v večini primerov

vnaprej načrtujemo njihove lastnosti, ki so posledično odvisne od lastnosti osnovnih

komponent, njihove oblike, usmeritve, porazdelitve, prostorninskega deleža, ter interakcije

mejnih površin med komponentami [1].

V današnjem času velik razcvet doživljajo raziskave kovinskih kompozitov s poroznim

materialom, predvsem v obliki sendvič panelov (ojačana pločevina – slika 2.1) in polnjenih

zaprtih profilov (ojačane cevi – slika 2.2). Kombinacija kovinske pene in tankostenskega

kovinskega ovoja je zanimiva na področju številnih aplikacij v strojništvu, kjer je zahtevana

visoka stopnja absorpcije energije in čim lažja konstrukcija.

Slika 2.1: Kompozit iz aluminijaste pločevine in aluminijaste pene [2]


- 4 -

Pomembna komponenta kompozita je kovinska pena – to je celična struktura iz osnovne

kovine, katere velik volumski delež zavzemajo s plinom zapolnjene pore. Te so lahko

medsebojno ločene (zaprto-celična struktura), ali pa neprekinjeno povezane (odprto-celična

struktura). Struktura por je lahko urejena ali pa naključna [3].

Slika 2.2: Prerez kompozita iz jeklene cevi in aluminijaste pene po upogibnem preizkusu [4]

Visoka stopnja poroznosti (običajno 75 do 95 %) uvršča kovinske pene med izjemno lahke

materiale. V primerjavi z osnovnim materialom imajo nižjo trdnost (ta se z manjšanjem

gostote eksponentno znižuje), znižano toplotno in električno prevodnost, zelo dobro pa

absorbirajo mehansko energijo in zvok. Običajno zadržijo nekaj fizikalnih lastnosti osnovnega

materiala, na primer negorljivost in koeficient toplotnega raztezka, možna pa je tudi

reciklaža nazaj v osnovni material [3].

V okviru raziskave aluminijaste cevi s polnilom iz aluminijaste pene so ločeni upogibni

preizkusi pokazali različno obnašanje cevi, pene in kompozita. Kompozit je napram votli cevi

prenesel veliko večjo obremenitev in izkazal veliko večjo učinkovitost absorpcije energije,

vendar pa je prišlo do odpovedi materiala veliko hitreje, z manjšimi lokalnimi deformacijami.

Zato so zelo pomembne tudi lastnosti aluminijaste cevi kot osnovne komponente kompozita.

Ker pa za primer cevi ne obstaja standardiziran natezni preizkus, s pomočjo katerega bi lahko

neposredno določili osnovne materialne parametre, bomo le-te poizkusili določiti na

inverzen način s pomočjo optimizacije na podlagi reakcijske sile upogibnega testa, opisanega

v naslednjem poglavju.


- 5 -

3 TRI-TOČKOVNI UPOGIBNI TEST

3.1 Opis eksperimenta

Izvedeni so bili tri-točkovni upogibni testi na votli cevi iz aluminijeve zlitine, najprej pri kvazi-

statični obremenitvi (hitrost obremenjevanja 0,1667 mm/s), in nato še pri dinamični

obremenitvi (hitrost obremenjevanja 284 mm/s). Votla cev je dolžine 150 mm, z notranjim

premerom 26 mm in zunanjim premerom 30 mm, izdelana iz aluminijeve zlitine AA 6060 T66

(AlMgSi).

Tekom preizkusov je bila cev na spodnji strani podprta z dvema polnima valjčkoma premera

20 mm z medosno razdaljo 100 mm, z zgornje strani pa je bila obremenjevana s pomikom

sredinskega polnega valjčka premera 20 mm v smeri navpično navzdol s konstantno

hitrostjo, kot je prikazano na sliki 3.1.

Slika 3.1: Potek obremenjevanja votle cevi pri kvazi-statični upogibni obremenitvi [5]


- 6 -

3.2 Rezultati eksperimenta

Kot rezultat preizkusov so bili izdelani diagrami sile v odvisnosti od pomika, kar prikazuje

slika 3.2.

Slika 3.2: Diagram F-d pri kvazi-statični in dinamični obremenitvi

Krivuljo lahko razdelimo na tri osnovna področja: začetno kvazi-linearno elastično področje,

počasno naraščanje do največje sile (ovalizacijski plato), ter območje počasne odpovedi

materiala.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

0 5 10 15 20 25 30

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

Dinamična obremenitev

Kvazi-statična obremenitev

kvazi-linearno elastično področje

naraščanje do največje sile

območje počasne odpovedi materiala


- 7 -

4 PRIPRAVA NUMERIČNEGA MODELA V PROGRAMU ABAQUS

4.1 Materialni model

Za pripravo numeričnega modela v programskem paketu Abaqus [6] je potrebno najprej

določiti vse različne dele, ki bodo združeni v sestavo predstavljali model našega

eksperimenta. Potrebujemo torej eno cev in prav tako en valjček, saj so vsi trije identični. Za

cev izberemo 3D deformabilni ploščinski tip (3D Deformable Shell), medtem ko za valjček

izberemo 3D analitično togo telo (3D Analytical Rigid).

Nato je potrebno definirati materialne lastnosti za aluminijevo zlitino AA 6060 T66 (AlMgSi).

Ker bomo zaradi vseh v modelu prisotnih nelinearnosti (materialna, nelinearnost zaradi

velikih deformacij in predvsem kontaktov) izvedli eksplicitno simulacijo, obvezno

potrebujemo gostoto. Ta za izbrani material znaša 2700 kg/m3. Vnesti moramo še podatke za

elastične in plastične lastnosti materiala. Čeprav je cilj magistrske naloge ravno iskanje teh

parametrov, jih trenutno vnesemo zgolj zato, da dobimo delujočo simulacijo z vsemi

potrebnimi izpisi v Abaqusovo vhodno datoteko, ki jih bomo potrebovali pri kasnejši obdelavi

podatkov. Najprej vnesemo podatke za modul elastičnosti (E = 70000 MPa) in Poissonov

koeficient (ν = 0,33), ter predpostavimo izotropen material. Nato v tabelarični obliki

vstavimo podatke za plastični model, kot je prikazano v tabeli 4.1.

Tabela 4.1: Tabelarični zapis plastičnega modela

Napetost [MPa] Plastična deformacija [/]

1 100 0

2 140 0,05

3 180 0,1

4 200 0,15 5 250 0,3

Ker je trenutni geometrijski model cevi v bistvu plašč valja, moramo tako izbranemu modelu

predpisati debelino. Zato je potrebno najprej ustvariti sekcijo. Izberemo sekcijo vrste

Homogeneous Shell, kjer definiramo debelino 2 mm, prav tako pa izberemo še predhodno

definirani material z imenom Aluminij. Nato izbrano sekcijo predpišemo cevi, kjer določimo


- 8 -

še Shell Offset: Top Surface, kar pomeni, da bo debelina cevi definirana od plašča proti

notranjosti. Tako bo notranji premer cevi enak 26 mm.

Valjčku ne rabimo predpisati nobene sekcije, saj smo ga že definirali kot analitično togo telo.

Sedaj lahko določimo sestavo našega modela. Najprej vnesemo predhodno definirane dele,

torej eno cev in trikrat po en valjček. Ker so deli naključno razporejeni v sestavo,

premaknemo vsakega na svoje mesto. Seveda smo morali že na začetku pri modeliranju

valjčka določiti referenčno točko, s pomočjo katere lahko sedaj natančno določimo pozicije

vseh valjčkov. Končna sestava modela je prikazana na sliki 4.1.

Slika 4.1: Sestava celotnega modela

Ker je iz zgornje slike očitno, da je model dvojno simetričen (x-y in x-z ravnina), in ker so

numerične simulacije časovno zahtevne, si na tej točki vzporedno pripravimo še četrtino

modela, kar bo zelo skrajšalo računski čas.

Najprej določimo pomožne ravnine, s pomočjo katerih cev navidezno razdelimo na štiri

enake dele. Nato odstranimo 3 površine, ki jih ne bomo potrebovali, prav tako odstranimo še

odvečni valjček. Tako smo ustvarili četrtinski model, prikazan na sliki 4.2.


- 9 -

Slika 4.2: Sestava četrtine modela

Zaradi priprave mreže končnih elementov in definicij kontaktov pa je v tej fazi smiselno

četrtino cevi še dodatno razdeliti, kot je prikazano na sliki 4.3.

Slika 4.3: Navidezna razdelitev četrtine modela


- 10 -

4.2 Časovna shema

Najprej definiramo nov korak in izberemo shemo Dynamic Explicit, kjer določimo čas

simulacije 0,01 sekunde.

Ker želimo narediti simulacijo za primerjavo z eksperimentom pri statični obremenitvi, ki je

trajal nekaj minut, bi ob nastavitvi dejanskega časa eksperimenta na rezultate čakali nekaj

tednov, saj je čas računanja simulacije direktno odvisen od velikosti stabilnega časovnega

koraka.

Ta časovni korak pa ni odvisen od dolžine trajanja eksperimenta, ampak le od karakteristične

dolžine končnega elementa in hitrosti potovanja napetostnega vala, kot je prikazano v

enačbi 4.1. Če se na primer karakteristična dolžina končnega elementa zmanjša za faktor 2,

se bo tudi časovni korak zmanjšal za faktor 2:

∆𝑡 =∆𝑙𝑐 , (4.1)

kjer je:

Δt [s] – stabilni časovni korak

Δl [mm] – karakteristična dolžina končnega elementa

c [mm/s] – hitrost potovanja napetostnega vala

Hitrost potovanja napetostnega vala je nadalje odvisna od modula elastičnosti in gostote

končnega elementa, kot je razvidno iz spodnje enačbe 4.2:

𝑐 = �𝐸𝜌 , (4.2)

kjer je:

E [N/mm2] – modul elastičnosti

ρ [t/mm3] – gostota

Časovni korak je vedno definiran tako, da v enem simulacijskem časovnem koraku

napetostni val ne sme prečkat celotnega elementa (v vsakem časovnem koraku namreč ta


- 11 -

napetostni val potuje iz enega elementa v drugega itn), in ne sme se zgoditi, da bi katerega

koli od elementov preskočilo.

Naslednja možnost je določitev faktorja (Time Scaling Factor), s katerim lahko skaliramo

stabilni časovni korak. V kolikor ga povečamo, bo simulacija dosti hitreje potekala, vendar pa

se zaradi tega lahko zgodi, da rešitev enačb ne konvergira. Time Scaling Factor je torej bolj

namenjen zmanjševanju časovnega koraka, na primer kadar imamo veliko nelinearnost,

težave s kontaktom. S tem faktorjem tako pomnožimo stabilni časovni korak, ki ga je določil

programski paket Abaqus (nekateri programi že v osnovi uporabljajo faktor 0,9).

Imamo tudi možnost skaliranja mase (Mass Scaling), kar posredno pomeni spreminjanje

gostote, česar se bomo kasneje tudi poslužili z namenom dodatnega skrajšanja računskega

časa simulacije. Izbrali bomo pol-avtomatsko skaliranje mase (Semi-automatic mass scaling),

kjer bomo vrsto (Type) nastavili tako, da mu bomo sami določili želeni časovni korak (Scale to

target time increment). To pomeni, da bo stabilni časovni korak tak, kot ga bomo predpisali.

Le-tega pa Abaqus ne bo dosegel kar z množenjem trenutnega koraka (Scale by factor),

ampak bo na podlagi enačbe za stabilni časovni korak spremenil gostoto le pri tistih

elementih, kjer je to potrebno, da bo Δt v enačbi takšen, kot ga želimo.

Zmanjšali smo torej čas simulacije na 0,01 sekunde, s čemer smo avtomatsko nekoliko

povečali efekte vztrajnosti, a na žalost ne gre drugače, saj si ne moremo privoščiti

večtedenskega čakanja na rezultate ene same simulacije.

Ker bomo optimizacijo izvajali s primerjavo eksperimentalne in simulacijske krivulje F-d, si je

smiselno v modulu Step prilagoditi še izpise rezultatov, zato bomo v History Output določili

le izpis reakcijske sile na fiksno vpetem zgornjem valjčku.

Na voljo imamo še nekatere druge možnosti. Najprej bomo nastavili izpis reakcijske sile na

200 enakomerno porazdeljenih intervalih našega časovnega območja.

Tukaj lahko vključimo tudi opcijo avtomatskega glajenja krivulje. Namreč, želimo si čim bolj

gladko krivuljo, kakršna je tudi odzivna krivulja iz eksperimenta, saj bo vsaka nepravilnost na

rezultatih simulacije le še povečevala napako med obema krivuljama.


- 12 -

4.3 Hitrost obremenjevanja in kontakti

Najprej definiramo lastnosti interakcije površin z določitvijo koeficienta trenja (Friction

Coefficient), kjer izberemo vrednost 0,2.

Tukaj velja omeniti, da smo se za nekoliko nižji koeficient trenja odločili predvsem zaradi

dejstva, da sta se spodnja valjčka tekom eksperimenta lahko pomikala in rotirala v čašah,

medtem ko smo za potrebe simulacije privzeli, da se valjčka ne vrtita okoli svoje osi,

pomikata pa se lahko le v vertikalni smeri.

Smo pa na koncu naše optimizacije na podlagi najuspešnejše simulacije preverili različne

vrednosti koeficienta trenja na intervalu od 0 do 3 (v korakih po 0,05), s čimer smo preverili

njegov vpliv na povprečno napako v sami simulaciji, kar je razvidno iz slike 6.14.

Nato za izbrani korak definiramo kontakte med valjčki in cevjo. Najpreprostejši algoritem za

predpis kontaktov je tip General Contact (Explicit), kjer površin ne rabimo določevati, saj gre

v tem primeru za kontakt vseh površin z vsemi. Izberemo pa lahko tudi Surface-to-surface

Contact (Expicit), kjer lahko sami določimo le tiste površine, kjer bo po naši presoji prišlo do

kontakta. Ker so valjčki trenutno definirani le kot analitično togo telo, jim je za primer

kontakta z drugimi površinami potrebno določiti še zunanjo površino.

Zgornjemu valjčku predpišemo robne pogoje tako, da mu vpnemo vse prostostne stopnje.

Obremenjevanje bomo predpisali s pomikom in ne s silo, zato izberemo spodnja valjčka in

jima določimo le pomik 25 mm v smeri navpično navzgor, medtem ko imajo preostale

prostostne stopnje vrednost 0. Ker je tukaj amplituda v osnovi določena kot Insantaneous

(kar pomeni, da bi pomik v trenutku skočil iz 0 mm na 25 mm), jo moramo sami določiti.

Izberemo tabelarični vnos, in sicer tako, da bo na začetku simulacije (t = 0) enaka 0, na koncu

simulacije (t = 0,01) pa enaka 1. Tako smo normirali samo funkcijo (amplitudo) in ne pomika.

Abaqus bo namreč potem sam pomnožil to funkcijo s 25, ko bo računal pomike. V kolikor bi

dali na koncu časa vrednost funkcije 25, bi morali spremeniti pomik v 1 mm, zato je bolje, da

je normirana sama amplituda in ne pomik.


- 13 -

Na odrezanih delih cevi moramo predpisati še simetrijske robne pogoje, ki bodo nadomestili

manjkajoč del. Prostostne stopnje v vozliščih na teh robovih moramo vpeti oziroma sprostiti

tako, da se bo četrtina cevi obnašala enako, kot če bi imeli zraven še njen preostanek. Ker

imamo simetrični model in ga simetrično obremenjujemo, lahko pričakujemo, da bo tudi

deformacija simetrična preko simetrijske ravnine. Torej bodo točke, ki so bile pred

deformacijo na simetrijski ravnini, tudi po deformaciji ležale na njej.

Ker ima Abaqus že vnaprej pripravljene simetrične robne pogoje, moramo le izbrati pravega.

Najprej za polkrožni rob cevi izberemo simetrijo preko x-y ravnine, kjer je vpet pomik v z-

smeri, pomika v x in y smereh pa sta prosta. Prav tako sta fiksirani rotaciji po x in y osi,

medtem ko je rotacija po z-osi prosta. Analogija velja za oba odrezana roba cevi v vzdolžni

smeri.

Vsi predpisani robni pogoji so razvidni iz slike 4.4.

Slika 4.4: Robni pogoji na četrtini modela

4.4 Mreženje, konvergenčna analiza in rezultati

Najprej je potrebno oceniti razliko med rezultati na celotnem in četrtinskem modelu cevi,

zato za oba pripravimo mreži z velikostjo končnih elementov (KE) 4 mm in zaženemo

simulacijo. Mrežo celotnega modela tako tvori 912 KE, četrtinskega pa 216 (slika 4.5).


- 14 -

Slika 4.5: Mreža KE velikosti 4 mm na celotnem (levo) in četrtinskem (desno) modelu

Ker pri četrtinskem modelu reakcijsko silo v zgornjem valjčku povzroča le četrt cevi, moramo

za primerjavo s celotnim modelom rezultate pomnožiti s 4, kar storimo s pomočjo

Abaqusovih vgrajenih funkcij za manipulacijo s podatki.

Rezultati simulacij so razvidni iz spodnjih slik, kjer slika 4.6 prikazuje polja von Misesovih

primerjalnih napetosti na deformiranih mrežah obeh modelov s pripadajočima skalama,

medtem ko sta na sliki 4.7 direktno primerjani reakcijski sili.

Slika 4.6: Polja von Misesovih napetosti na celotnem (levo) in četrtinskem (desno) modelu


- 15 -

Slika 4.7: Primerjava reakcijske sile na celotnem in četrtinskem modelu cevi

Primerjavo dveh krivulj bomo vršili s pomočjo metode najmanjših kvadratov (Least Square

Method, [7]), ki temelji na povprečni razliki vrednosti primerjalnih točk. Seveda je osnovni

pogoj, da imata krivulji enako število točk na identičnih intervalih, torej ima vsak par

primerjalnih točk enako vrednost na abscisni osi.

Za vsak par točk najprej izračunamo razliko vrednosti odvisnih koordinat (glej enačbo 4.3).

𝑟𝑖 = 𝑦2𝑖 − 𝑦1𝑖 (4.3)

Dobljene vrednosti nato kvadriramo (s tem se izognemo vplivu predznaka), kvadrate

seštejemo, delimo s številom točk, ki določajo krivuljo (n), in izračunano vrednost korenimo.

Rezultat je povprečna napaka izražena v N:

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 [𝑁] = �∑ 𝑟𝑖2𝑛𝑖=1𝑛 . (4.4)

V kolikor zgornjo enačbo delimo s povprečjem vrednosti točk izhodiščne kririvulje (𝑦1𝚤��),

dobimo povprečno napako izraženo v %:

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

četrt cevi

cela cev


- 16 -

𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 [%] =𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛𝑛 [𝑁]

𝑦1𝚤�� . (4.5)

V našem primeru omenjena povprečna napaka predstavlja merodajni kriterij za izračun

razlike med krivuljama, kar bo uporabljeno tudi v vseh nadajnjih primerjavah.

Povprečna napaka četrtinskega modela napram celotnemu znaša 137,1 N oziroma 3,1 %.

Ocenimo, da razlika ni prevelika, zato se zadovoljimo z modelom četrtine cevi, na katerem

bodo opravljene vse nadaljnje analize. Ker predpostavimo, da je stopničast odziv na sliki 4.7

posledica gostote mreže, je naslednji korak njena izboljšava.

Narejene so bile mreže KE z velikostjo od 2 do 0,75 mm. Slika 4.8 prikazuje mreži z velikostjo

2 mm in 1,5 mm, kjer prva vsebuje 912, druga pa 1550 elementov.

Slika 4.8: Mreža KE velikosti 2 mm (levo) in 1,5 mm (desno)

Slika 4.9: Mreža KE velikosti 1 mm (levo) in 0,75 mm (desno)


- 17 -

Na sliki 4.9 sta prikazani še mreži KE z velikostjo 1 mm in 0,75 mm, kjer prva vsebuje 3525,

druga pa 6300 elementov.

Rezultate simulacij četrtine modela za vseh pet različnih računskih mrež sedaj neposredno

primerjamo med seboj, kar prikazuje slika 4.10.

Slika 4.10: Primerjava reakcijske sile pri različnih velikostih KE

Opazimo lahko, da odzivna krivulja z manjšanjem velikosti KE postaja vedno bolj gladka, kar

potrjuje našo predhodno predpostavko o stopničastem odzivu mreže. Prav tako je razvidno,

da se krivulji pri KE velikosti 0,75 in 1 mm že praktično prekrivata, zato bi bila tukaj logična

izbira mreže KE z velikostjo 1 mm, kar potrjujeta tudi povprečna napaka (tabela 4.2) in

konvergenca mrež (slika 4.11).

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

4 mm

2 mm

1,5 mm

1 mm

0,75 mm


- 18 -

Slika 4.11: Konvergenca maksimalne reakcijske sile z večanjem števila KE

Glede na dejstvo, da kasnejša optimizacija prinaša serije po 100 in več zaporednih simulacij,

je priporočljivo pogledati, koliko časa traja posamezna simulacija.

Tabela 4.2: Podatki o simulacijah pri različnih velikostih KE

Velikost KE [mm]

Število elementov

Število inkrementov

Stabilni čas. korak [s]

Procesorski čas [s]

Procesorski čas [%]

Povprečna napaka [%]

4 228 15974 6,30E-07 6,2 0,8 7,75 2 912 32080 3,10E-07 39,9 5,4 2,28

1,5 1550 46468 2,10E-07 89,0 12,1 1,35 1 3525 70153 1,40E-07 302,5 41,1 0,54

0,75 6300 94469 1,00E-07 735,7 100,0 0,00

Iz tabele 4.2 so vidne medsebojne povezave posameznih opazovanih količin. Ko

zmanjšujemo velikost KE, se povečuje njihovo število. Prav tako narašča število inkrementov,

saj se ob enakem izbranem času simulacije (0,01 s) manjša stabilni časovni korak, ki je

neposredno odvisen od velikosti KE (glej enačbo 4.1). Posledica je eksponentno naraščanje

računskega časa simulacije, saj se na primer ob prepolovljeni velikosti KE čas procesiranja

poveča za faktor 7 ali 8. V kolikor izberemo mrežo KE velikosti 1 mm, to pomeni računski čas

posamezne simulacije približno 5 minut, kar bi pri posameznem poskusu optimizacije s 100

simulacijami pomenilo skupni čas računanja več kot 8 ur. Ker pa je na podlagi slike 4.10 in

tabele 4.2 očitno, da krivulja pri velikosti KE 1.5 mm že nekoliko bolj odstopa od KE 1 mm,

poizkusimo najprej nekoliko modificirati mrežo z variiranjem velikosti elementov.

4800

4900

5000

5100

5200

5300

5400

5500

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000

Mak

sim

alna

reak

cijs

ka si

la [N

]

Število končnih elementov


- 19 -

Mrežo skušamo torej zreducirati na delih, kjer se nam zdi to smiselno, na primer na koncu

cevi, vsekakor pa se zdi potrebno najgostejšo mrežo pustiti v okolici valjčkov. Glede na to, da

je stabilni časovni korak odvisen od karakteristične velikosti najmanjšega KE (ne glede na

njihovo število), se odločimo, da bo le-ta velikosti 1 mm.

Cev najprej razrežemo na 6 delov, kot je prikazano na sliki 4.3, nato pa z ukazom Seed Edges

določimo naraščajočo oziroma padajočo razporeditev vozlišč po posameznih robovih (Bias).

Za strukturirano mrežo moramo biti pozorni, da so paroma vzporedni robovi zasejani z

vozlišči na enak način. Ob vsem naštetem se zdi smiselno v vzdolžni smeri razporediti

vozlišča tako, da so najgosteje zasejana v območju obeh valjčkov, in najredkeje tako na

koncu cevi kot tudi na polovici med obema vajlčkoma. V prečni smeri (po krožnih lokih) pa

vozlišča razporedimo najgosteje v območju vzdolžnih robov, ter najredkeje v središču

polkrogov (vendar ne preveč, saj zaradi vpliva zgornjega valjčka pričakujemo velike napetosti

po celotnem sredinskem polkrogu).

Po nekaj preizkušanih variantah z različnimi vrednostmi razdalj med vozlišči se odločimo za

razporeditev v vzdolžni smeri 1–2,5–1–2,5 mm, ter 1–1,5–1 mm v prečni smeri, kar nam da

mrežo s 1710 elementi (slika 4.12).

Slika 4.12: Mreža KE z velikostjo od 1 do 2,5 mm vzdolžno in 1 do 1,5 mm prečno

Seveda nas najprej zanima, kakšna je odzivna krivulja nove mreže (1–1,5–2,5) v primerjavi s

predhodno krivuljo velikosti mreže KE 1 mm, kar je prikazano na sliki 4.13.


- 20 -

Slika 4.13: Primerjava reakcijske sile za mreži KE 1 mm in 1-1,5-2,5 mm

Izračunana povprečna napaka nove mreže znaša le 0,93 %, obenem pa smo z njo močno

skrajšali tudi računski čas – iz 300 na 140 sekund. Kljub temu, da nova mreža nima tako

gladke reakcijske krivulje kot predhodna, se odločimo le-to obdržati.

Nato se z namenom dodatnega skrajšanja časa simulacije na novi mreži poslužimo še (v

poglavju 4.2 omenjenega) pol-avtomatskega skaliranje mase, kjer bomo predpisali želeno

vrednost stabilnega časovnega koraka – najprej z dvakratnim, nato pa še s trikratnim

povečanjem trenutnega koraka, ki znaša približno 1,4E-7 sekunde.

Ciljna vrednost stabilnega časovnega koraka pomeni seveda le okvirno vrednost, saj se le-ta

tekom simulacije spreminja od koraka do koraka, kljub temu pa ne odstopa veliko od

predpisane vrednosti in se giblje znotraj njenega ranga v zelo ozkem intervalu.

Rezultati vseh treh simulacij z različnimi stabilnimi časovnimi koraki na mreži 1–1,5–2,5 mm

so primerjani v tabeli 4.3 in na sliki 4.14. Opazimo, da se najbolj razlikujejo na samem

začetku, kjer krivulja s trikratnim povečanjem časovnega koraka že kar nekoliko odstopa od

ostalih dveh, zato za nadaljnje delo ne pride v poštev.

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

1 mm

1-1,5-2,5 mm


- 21 -

Slika 4.14: Primerjava reakcijske sile za različne stabilne časovne korake

Na obeh preostalih krivuljah nato preizkusimo še spremembo kontaktne definicije iz General

v Surface-to-surface, kjer imamo dve možnosti definicije kontakta: Kinematic in Penalty.

Rezultati novih štirih simulacij so skupaj s predhodnimi tremi prikazani v tabeli 4.3.

Tabela 4.3: Podatki o simulacijah na mreži 1–1,5–2,5 mm s 1710 elementi

Ciljni čas. korak [s]

Kontaktna definicija

Število inkrementov

Stabilni čas. korak [s]

Procesorski čas [s]

Procesorski čas [%]

Povprečna napaka [%]

1,40E-07 General 70241 1,40E-07 143,1 19,5 0,00 2,80E-07 General 37270 2,60E-07 78,6 10,7 1,35 4,20E-07 General 24714 3,90E-07 52,8 7,2 3,08 1,40E-07 Kinematic 69696 1,40E-07 124,0 16,9 0,59 1,40E-07 Penalty 71759 1,40E-07 128,3 17,4 0,47 2,80E-07 Kinematic 36692 2,70E-07 65,9 9,0 1,30 2,80E-07 Penalty 37379 2,60E-07 66,8 9,1 1,32

Najprej se odločimo, da bomo obdržali dvakratno povečanje stabilnega časovnega koraka

(2,80E-07 s), kjer je čas računanja skoraj prepolovljen. Prav tako vidimo, da se je z novo

definicijo kontaktov čas še dodatno zmanjšal, kar je posledica dejstva, da pri splošnem

kontaktu (General) algoritem preverja kontakt vsega z vsem, medtem ko smo pri Surface-to-

surface sami predhodno definirali kontaktne površine (kjer pa zna težava nastati le, če smo

kakšno izmed njih spregledali). Pred dokončno izbiro kontaktne definicije preverimo še vpliv

na vrednost povprečne napake (tabela 4.3) in reakcijske sile (slika 4.15).

0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,05,5

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

Δt = 1,4E-7 s

Δt = 2,8E-7 s

Δt = 4,2E-7 s


- 22 -

Slika 4.15: Primerjava odzivnih krivulj z različnimi kontaktnimi definicijami pri Δt=2,8E-7 s

Ker so vse tri krivulje skoraj identične, se odločimo za najkrajši čas računanja, torej izberemo

vrsto kontakta Kinematic Contact. S tem je naš model dokončno izbran. Iz tabele 4.3 vidimo,

da bo simulacija končana po 66 sekundah, kar pri 100 simulacijah znese približno 2 uri.

Končno deformacijo izbranega modela cevi prikazuje slika 4.16.

Slika 4.16: Deformirana četrtina cevi pri pomiku 25 mm

Pri vseh do sedaj predstavljenih odzivnih krivuljah je opaziti, da reakcijska sila na samem

začetku simulacije ni takoj zaznana – pojavi se določen zamik, ki je pri enih bolj, pri drugih pa

manj izrazit. Predvidevamo, da je to posledica delovanja kontaktnega algoritma. Izbrana

simulacijska krivulja tudi ni tako gladka kot eksperimentalna. Omenjeno bomo skušali rešiti

tekom izgradnje optimizacijske sheme v naslednjem poglavju.

0,00,51,01,52,02,53,03,54,04,55,05,5

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 20,0 22,5 25,0

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

General Contact

Kinematic Contact

Penalty Contact


- 23 -

5 OPTIMIZACIJA MODELA S PROGRAMOM OPTIMAX 0.6

Na osnovi rezultatov eksperimenta in izbranega simulacijskega modela bomo v tem poglavju

skušali določiti optimalne materialne parametre s pomočjo optimizacijsega programa

OptiMax 0.6. Njegove lastnosti, gradniki in način delovanja so natančneje opisani v

nadaljevanju, najprej pa sledi opis procesa določitve materialnih parametrov.

5.1 Inverzna določitev materialnih parametrov

Proces inverzne določitve materialnih parametrov za obravnavani primer bo najbolj

razumljiv kar s pomočjo sheme, ki je prikazana na sliki 5.1.

Slika 5.1: Shematski prikaz procesa inverzne določitve materialnih parametrov cevi

Vrednosti izbranih parametrov v splošnem predstavljajo vektor optimizacijskih spremenljivk

(𝒙 ∈ 𝑅), ki je omejen z zgornjo in spodnjo mejo (𝒙𝒔𝒔 ≤ 𝒙 ≤ 𝒙𝒛𝒛) predhodno določenega

intervala. Iteracijski proces se prične z Abaqusovo simulacijo na podlagi trenutno izbranih

vrednosti parametrov. Rezultat je reakcijska sila simulacije, ki jo je potrebno približati

ciljnemu odzivu oziroma eksperimentu (y). To storimo s pomočjo iskanja minimuma

namenske funkcije 𝑓0(𝒙,𝒚), katere vrednost nam podaja razliko med obema krivuljama; v

našem primeru namensko funkcijo predstavlja enačba 4.4. Proces se zaključi z izpolnjenim

Začetne vrednosti parametrov

ZAČETEK Določitev intervalov iskanih materialnih parametrov

Simulacija z Abaqusom

Reakcijska sila simulacije

Reakcijska sila eksperimenta

Izbor novih materialnih

parametrov z namenom čim nižje

vrednosti namenske funkcije

Ocena razlike med simulacijsko in

eksperimentalno reakcijsko silo s

pomočjo namenske funkcije

OK?

KONEC da

ne


- 24 -

konvergenčnim kriterijem ali s preseženim maksimalnim številom iteracij, v nasprotnem

primeru sledi izbor novih vrednosti materialnih parametrov in ponovitev zanke.

5.2 Opis delovanja programa

Ob zagonu programa OptiMax 0.6 nas na zaslonu pričaka prazno delovno polje (jeziček

Workflow), kjer s pomočjo gradnikov začnemo sestavljati shemo. Gradniki so združeni po

posameznih sklopih v orodnem stolpcu na zgornji levi strani okna.

Slika 5.2: Delovo okno programa OptiMax 0.6

V prvem sklopu so zbrane sledeče spremenljivke:

• Input Variable: vhodni parameter, ki ni vnaprej definiran, in ga bo optimizator spreminjal

znotraj določenih mej (na primer na intervalu od 1 do 5);

• Constant Variable: konstanta, ki se med samim izvajanjem programa ne spreminja;

• Variable Output: določitev izhodnega parametra iz datoteke (če imamo simulacijo, iz

katere bi radi prebrali eno končno vrednost, eno številko, na primer napetost);

• Variable Function: spremenljivka, ki jo lahko zapišemo kot funkcijo, enačbo; podprte so

osnovne matematične funkcije (sin, cos, kvadrat, koren); rezultat je skalar;

• Variable From Array: imamo polje podatkov, iz katerega hočemo dobiti eno samo

vrednost (na primer poberemo eno vrednost iz stolpca - povprečje, seštevek, min, max);

rezultat je skalar;


- 25 -

• Variables Container: več različnih spremenljivk v enem samem oknu; lahko so vhodne,

konstantne, ali pa jih zapišemo kot funkcijo.

Podobno so zgrajeni vektorji v drugem sklopu:

• Constant Array: konstanten vektor, ki se tekom optimizacije ne spreminja;

• Output Array: izhodni vektor, ki ga beremo iz datoteke; tako bomo na primer prebrali

krivuljo iz Abaqusa;

• Array Function: omogoča funkcije med vektorji (seštevanje, množenje,...); operacije bo

program izvajal le med istoležnimi elementi; ni namenjeno vektorskemu produktu;

• Array Operation: operacijo lahko izvedemo le na enem vektorju – ne moremo jih množiti,

deliti,... Na voljo imamo tri operacije: Moving Average (drseča stednja vrednost),

Subarray (iz celotnega vektorja lahko vzamemo le del podatkov), in Central Difference

(numerično izračuna odvod podatkov po metodi centralnih razlik); ob izbiri operacije se

spodaj izpiše, katere paramertre je potrebno vstaviti.

Tretji sklop predstavlja delo z datotekami:

• File Resource: kot gradnik sheme lahko izberemo vhodno datoteko (namenjena za

preračun), izhodno datoteko (ki je rezultat), ali pa konstantno datoteko.

Četrti sklop sestavljajo komponente, ki poganjajo programe – DOS, Abaqus, LS-Dyna, Qsub,

Excel. Pomembna novost v verziji programa 0.6 je komponenta Excel-a, kar za razliko od

predhodnih verzij omogoča veliko večjo fleksibilnost in stopnjo avtomatizacije.

Peti sklop vsebuje zaganjalnik za paramertične študije in optimizatorje:

• DOE Driver: Design of Experiments;

Nastaviti je potrebno meje intervala spremenljivke in število točk, ki so enakomerno

razporejene na tem intervalu od spodnje do zgornje meje. Program bo nato za vsako

vrednost parametra izvedel novo simulacijo – gre torej za parametrično analizo.

• NM Driver: Nelder-Mead oziroma Simplex metoda;

Osnovni parametri za nastavitev optimizacije so: objektna spremenljivka (kateri hočemo

poiskati minimum), toleranca (zaustavitveni kriterij), maksimalno število simulacij in


- 26 -

podatki o spremenljivkah. Le-tem nastavimo zgornjo in spodnjo mejo intervala,

izhodiščno vrednost na tem intervalu, ter začetni korak spreminjanja te vrednosti.

• GA Driver: genetski algoritem;

Osnovni parametri za nastavitev optimizacije so: objektna spremenljivka (kateri hočemo

poiskati minimum), odstotek križanja, odstotek mutacije, velikost populacije (število

osebkov), število generacij in podatki o spremenljivkah, ki jim določimo le zgornjo in

spodnjo mejo intervala.

• AMQ Driver: konveksna aproksimacijska metoda;

• LM Driver: metoda Levenberg-Marquard.

Zadnji sklop sestavljajo snemalniki:

• File Recorder: snema datoteke;

• Csv Recorder: shranjuje rezultate simulacij v *.csv datoteko;

• Mem Recorder: shranjuje rezultate simulacij v interno tabelo, ki je z grafičnim prikazom

na voljo v oknu MemRecords; podatki so na voljo le do zagona nove optimizacije,

oziroma do zaprtja programa.

5.3 Opis optimizacijskih algoritmov

Za potrebe iskanja optimalnih materialnih parametrov smo izvajali optimizacije najprej s

pomočjo genetskega algoritma, nato pa še z Nelder-Meadovo simpleks metodo. Ker sta obe

metodi dokaj dobro poznani in dokumentirani, v nadaljevanju sledi le kratek opis obeh.

Nelder-Meadov algoritem

Kljub svoji dokaj dolgi zgodovini Nelder-Meadov algoritem (NM) še vedno predstavlja enega

najboljših znanih algoritmov za iskanje minimuma nelinearne funkcije v večdimenzijskem

prostoru, ki za svoje delovanje ne potrebuje nobene informacije o njenih odvodih, zato je

splošno uporaben za iskanje okvirne vrednosti neznanih parametrov.

Metoda je zasnovana na osnovi n-dimenzijskega simpleksa S, ki je definiran kot konveksen

ovoj n+1 točk; v 1D prostoru je simpleks daljica, v 2D trikotnik, v 3D tetraeder, itn. [8]


- 27 -

Čeprav je metoda dokaj preprosta, pa obstaja kar nekaj njenih implementacij, ki se v

glavnem razlikujejo v zgradbi osnovnega simpleksa in zaustavitvenega kriterija iteracijskega

procesa. Splošna struktura algoritma je prikazana na sliki 5.3.

Slika 5.3: Osnovna struktura Nelder-Mead simpleks algoritma

Začne se z nastavitvijo osnovnih parametrov (opisanih v poglavju 5.2), nakar se zgenerira

začetni delovni simpleks iz n+1 točk, katere predstavljajo njegova oglišča z ustreznim

naborom funkcijskih vrednosti. Prva točka je določena z izhodiščnimi vrednostmi iskanih

spremenljivk. Vsaka naslednja točka simpleksa je določena s spremembo posamezne

koordinate prve točke tako, da se ji prišteje začetni korak spreminjanja odgovarjajoče

izhodiščne vrednosti.

Jedro algoritma predstavlja iteracijski postopek, ki je sestavljen iz zaporedja transformacij

delovnega simpleksa z namenom zmanjšanja funkcijskih vrednosti v njegovih ogliščih. Proces

je zaključen, ko je dosežen zaustavitveni kriterij – relativna razlika vrednosti dveh zaporednih

iteracij (konvergenčni test) oziroma maksimalno število le-teh.

ZAČETEK Nastavi parametre Nelder-Mead algoritma

Ustvari začetni delovni simpleks

Razvrsti točke simpleksa po funkcijskih vrednostih

Ali je zaustavitveni

kriterij izpolnjen?

Zaporedje transformacij trenutnega delovnega

simpleksa (zrcaljenje / ekspanzija / kontrakcija

navzven / kontrakcija navznoter / zmanjšanje)

Nov trenutni delovni simpleks

Izpis najboljše točke

trenutnega simpleksa in

funkcijske vrednosti

KONEC

da

ne


- 28 -

Iteracijski postopek se začne z razvrstitvijo točk simpleksa po funkcijskih vrednostih, kjer se

določijo še indeksi najslabše (h), druge najslabše (s), in najboljše (l) točke. Sledi izračun

koordinat težišča (c) vseh točk razen najslabšega oglišča (xh). Če si za lažjo predstavo

ogledamo primer v 2D (slika 5.4), je omenjeno težišče enako kar središču stranice, ki

povezuje najboljšo in drugo najboljšo (obenem drugo najslabšo) točko trikotnika.

Slika 5.4: Shematski prikaz osnovnih transformacij delovnega simpleksa v 2D [8]

Zrcaljenje predstavlja prvi transformacijski korak, kjer najprej določimo točko zrcaljenja (xr),

kot je prikazano na sliki 5.4a, ter izračunamo njeno funkcijsko vrednost f(xr). Sledijo trije

možni scenariji:

• če je f(xl) ≤ f(xr) < f(xs) , zamenjaj točko xh s točko xr in končaj iteracijo;

• če je f(xr) < f(xl) , začni s procesom ekspanzije;

• če je f(xr) ≥ f(xs) , začni s procesom kontrakcije.

Ekspanzija: izračunamo točko ekspanzije (xe), kot je prikazano na sliki 5.4b, ter izračunamo

njeno funkcijsko vrednost f(xe). Tukaj poznamo dva scenarija:

• če je f(xe) < f(xr) , zamenjaj točko xh s točko xe in končaj iteracijo;

• če je f(xe) ≥ f(xr) , zamenjaj točko xh s točko xr in končaj iteracijo.


- 29 -

Kontrakcija: za izračun točke kontrakcije (xc) ločimo dve različni varianti z uporabo boljše

izmed točk xh in xr, odvisno od funkcijske vrednosti f(xr):

• če je f(xs) ≤ f(xr) < f(xh) , začni s procesom kontrakcije navzven;

• če je f(xr) > f(xh) , začni s procesom kontrakcije navznoter.

Kontrakcija navzven (slika 5.4c): za izračun točke kontrakcije xc uporabimo točko xr in

izračunamo njeno funkcijsko vrednost f(xc). Poznamo dva scenarija:

• če je f(xc) ≤ f(xr) , zamenjaj točko xh s točko xc in končaj iteracijo;

• če je f(xc) > f(xr) , začni s procesom krčenja.

Kontrakcija navznoter (slika 5.4d): za izračun točke kontrakcije xc uporabimo točko xh in

izračunamo njeno funkcijsko vrednost f(xc). Poznamo dva scenarija:

• če je f(xc) < f(xh) , zamenjaj točko xh s točko xc in končaj iteracijo;

• če je f(xc) ≥ f(xh) , začni s procesom krčenja.

Krčenje oziroma zmanjšanje uporabimo, kadar nobena izmed testnih točk transformacije ni

izboljšala rezultata. Simpleks se tako zmanjša proti najboljšemu oglišču (xl), ki ostane

nespremenjeno, tako da je potrebno preračunati n novih oglišč.

Algoritem se zaključi z doseženim zaustavitvenim kriterijem, kar v večini implementacij

pomeni, da je izpolnjen konvergenčni kriterij (bodisi domene, bodisi funkcijskih vrednosti) ali

pa je preseženo maksimalno dovoljeno število iteracij.

Genetski Algoritem

Genetski algoritem (GA) predstavlja nedeterministično metodo umetne inteligence, ki

posnema proces naravne selekcije organizmov. Genetski algoritmi spadajo v razred

evolucijskih algoritmov, s pomočjo katerih iščemo rešitve optimizacijskih problemov z

uporabo tehnik naravne evolucije, kot so dedovanje, mutacija, selekcija, in križanje.

Struktura GA je močno odvisna od same narave oprimizacijskega problema, vendar jo lahko v

grobem predstavimo s shemo, prikazano na sliki 5.5.


- 30 -

Slika 5.5: Osnovna struktura genetskega algoritma

Najprej se nastavijo parametri GA (opisani v poglavju 5.2), nakar se zgenerira začetna

naključna populacija organizmov. Vsak organizem predstavlja kromosom, ta pa je sestavljen

iz posameznih genov. Obliko kromosoma imenujemo genotip, njegovo prilagojenost oziroma

funkcijsko vrednost pa fenotip.

Evolucijski proces se začne z zagonom iteracijske zanke algoritma, katere prvi korak je

ovrednotenje prilagojenosti vsakega člana trenutne populacije, ki jo imenujemo generacija.

Sledi proces naravne selekcije organizmov, ki bodo sodelovali pri genetskih operacijah za

naslednjo generacijo. Obstaja več metod za njihov izbor, med katerimi sta najpogostejši:

izbor po principu igralniške rulete (bolj prilagojeni organizmi imajo večjo verjetnost

sodelovanja) in turnirski način selekcije (za vsak turnir izberemo nekaj naključnih

organizmov, zmagovalec je najbolje ocenjeni).

Osnovne genetske operacije so sledeče:

• reprodukcija: organizem se nespremenjen prenese v naslednjo generacijo;

• križanje: z mešanjem genskega materiala dveh staršev dobimo dva potomca;

• mutacija: naključna sprememba posameznega gena v organizmu.

ZAČETEK Nastavi parametre genetskega algoritma

Ustvari začetno naključno populacijo organizmov

Oceni vrednost vsakega organizma v populaciji

Ali je zaustavitveni

kriterij izpolnjen?

Izbira organizmov in izvedba genetskih operacij

Nova generacija organizmov

Izpis najboljšega organizma in

njegove funkcijske vrednosti

KONEC

da

ne


- 31 -

Tukaj velja omeniti, da veljajo zaradi specifičnosti našega optimizacijskega problema

določene omejitve pri izvedbi genetskih operacij:

• točka križanja genetskega materiala mora biti pri obeh starših na istem mestu, saj bi sicer

dobili potomca z različnim številom genov (parametrov);

• pri mutaciji oziroma spremembi posameznega gena mora njegova zamenjava vsebovati

vrednost le iz odgovarjajočega intervala;

• permutacija dveh ali več genov je nedopustna.

Pomembno je, da v algoritem vnesemo tudi določeno stopnjo elitizma, kar pomeni, da se

najbolje prilagojeni organizmi vsake generacije avtomatsko prenesejo v naslednjo generacijo

(v našem primeru le najboljši organizem).

Po končanem procesu genetskih operacij (trenutna populacija je dosegla maksimalno število)

sledi ocenitev organizmov nove generacije. Iteracijski proces se nato ponavlja vse do zadnje

generacije, ki v tem primeru predtavlja zaustavitveni kriterij.

5.4 Optimizacijske spremenljivke

Optimizacijske spremenljivke predstavljajo vse neznane materialne parametre cevi, katerim

bomo (z namenom čim boljšega ujemanja rezultatov simulacije in eksperimenta) skušali

poiskati optimalne vrednosti. Zaradi velikega števila materialnih parametrov, ki določajo

simulacijski model, smo se že na začetku omejili na modul elastičnosti, mejo tečenja, in

napetosti v plastičnem področju.

Začetna optimizacijska shema je bila za namene testiranja zgrajena na osnovi linearnega

plastičnega modela, s spremenljivkami podanimi v tabeli 5.1.

Tabela 5.1: Optimizacijske spremenljivke linearnega plastičnega modela

Optimizacijska spremenljivka Simbol Oznaka v OptiMaxu

Modul elastičnosti E E0

Meja tečenja σy SigY

Napetost pri εpl = 1,0 σ1 Sig1


- 32 -

Optimizacije omenjenega modela smo izvajali s pomočjo NM algoritma, pri čemer pa so bile

meje intervalov optimizacijskih spremenljivk določene na podlagi testne optimizacije s

pomočjo genetskega algoritma. Nastavitve spremenljivk prikazuje tabela 5.2.

Tabela 5.2: Nastavitev optimizacijskih spremenljivk linearnega plastičnega modela

Spremenljivka Enota Spodnja meja

Zgornja meja

Izhodiščna vrednost

Korak spremembe

E0 MPa 60000 80000 70000 1000

SigY MPa 175 325 250 10

Sig1 MPa 210 500 330 10

Naslednja optimizacijska shema (poglavje 5.5) je bila zgrajena na osnovi 5-segmentnega

plastičnega modela, s spremenljivkami podanimi v tabeli 5.3.

Tabela 5.3: Optimizacijske spremenljivke 5-segmentnega plastičnega modela

Optimizacijska spremenljivka Simbol Oznaka v OptiMaxu

Modul elastičnosti E E0

Meja tečenja σy SigY






Tudi v primeru te sheme je bila z namenom določitve intervalov spremenljivk najprej

izvedena testna optimizacija s pomočjo genetskega algoritma, kjer pa je bilo iz rezultatov

dolčenih simulacij opaziti, da lahko pride do izmeničnega utrjevanja in mehčanja materiala.

Zato smo hoteli doseči, da bo vsaka naslednja vrednost napetosti σi večja od predhodne,

torej da se material le utrjuje in ne mehča. Pri tem smo si pomagali z uvedbo novih

neodvisnih spremenljivk Δσi (dSig1 do dSig5), ki so zaradi omenjenega pogoja definirane

vedno pozitivno, kar je razvidno iz tabel 5.4 in 5.5. Tako so sedaj vredosti parametrov Δσi

tiste, ki jih bomo z optimizatorjem variirali, spremenljivke σi (Sig1 do Sig5) pa postanejo

odvisne, definirane z enačbami v tabeli 5.5.


- 33 -

Tabela 5.4: Nastavitev neodvisnih spremenljivk 5-segmentnega plastičnega modela

Spremenljivka Enota Spodnja meja

Zgornja meja

Izhodiščna vrednost

Korak spremembe

E0 MPa 60000 80000 70000 1000

SigY MPa 160 300 200 10

dSig1 MPa 1 200 20 10

dSig2 MPa 1 200 20 10

dSig3 MPa 1 200 20 10

dSig4 MPa 1 200 20 10

dSig5 MPa 1 200 20 10

Tabela 5.5: Izračun odvisnih spremenljivk 5-segmentnega plastičnega modela

Spremenljivka Sig1 Sig2 Sig3 Sig4 Sig5 Izračun SigY + dSig1 Sig1 + dSig2 Sig2 + dSig3 Sig3 + dSig4 Sig4 + dSig5

S tem so določene vse spremenljivke osnovne optimizacijske sheme, katere izgradnja je

podrobno opisana v sledečem poglavju. V poglavju 5.6 sledi še opisan postopek določitve

dodatnih spremenljivk izboljšane optimizacijske sheme, zato jih tukaj ne bomo navajali.

5.5 Priprava optimizacijske sheme

Vse optimizacijske sheme, ki smo jih za potrebe te naloge testirali, so vsaj navzven identične

(slika 5.6), vendar pa se razlikujejo v številu spremenljivk, nastavitvah njihovih parametrov,

vhodnih in izhodnih datotekah, nastavitvah zaganjalnika ter excelovih datotekah.

Kljub temu, da smo začetno optimizacijsko shemo zgradili na osnovi linearnega modela, pa je

v nadaljevanju prikazan postopek izgradnje sheme na osnovi 5-segmentnega plastičnega

modela. V nadaljnjem besedilu bo omenjana kot osnovna optimizacijska shema.

S pomočjo menija TOOLS/Settings najprej nastavimo osnovne podatke o projektu – ime,

opis, ter projektno mapo, v kateri se avtomatsko ustvarita podmapi Work (delovna mapa

programa) in Results (mapa z rezultati). S potrditvijo na gumb OK se v projektni mapi ustvari

še projektna datoteka (*.om).


- 34 -

Slika 5.6: Optimizacijska shema v programu OptiMax 0.6

Ker OptiMax za zagon Abaqusovih simulacij potrebuje le vhodno datoteko modela (*.inp), je

pomembno nekaj besed nameniti še njeni strukturi in delovanju. V njej so v tekstovni obliki

shranjeni vsi vhodni podatki oziroma parametri, ki so bili v fazi predprocesiranja preko

komandnih oken vnešeni v model. Tako sedaj ustrezno vhodno datoteko izbranega

simulacijskega modela najprej skopiramo v OptiMaxovo projektno mapo, nato pa s pomočjo

okna File Resource definiramo še pot do nje, kot je prikazano na sliki 5.7. Datoteka bo na tem

mestu ostala nespremenjena, saj jo program ob zagonu avtomatsko kopira v delovno mapo,

kjer jo tekom optimizacije tudi obdeluje.

Slika 5.7: Definicija poti do Abaqusove vhodne datoteke

Datoteko je potrebno sedaj še nekoliko modificirati (s klikom na Edit jo odpremo v

urejevalniku besedil), in sicer tako, da zamenjamo vse numerične vrednosti iskanih


- 35 -

parametrov z lastnimi simboli (E0, SigY, Sig1 do Sig5). Le-te vstavimo med simbola @, kot je

prikazano na sliki 5.8. S tem bo izbrani OptiMaxov zaganjalnik sam spreminjal izbrane

parametre na način, kot mu ga določimo.

Slika 5.8: Modifikacija Abaqusove input datoteke

Nato ustvarimo novo zbirko spremenljivk (Variables Container – slika 5.9), kamor vnesemo

vse osnovne podatke o spremenljivkah 5-segmentnega plastičnega modela. Za odvisne

spremenljivke je potrebno določiti še enačbe za njihov izračun, kot so prikazane v tabeli 5.5.

Slika 5.9: Določitev neodvisnih in odvisnih spremenljivk


- 36 -

Za branje rezultatov vstavimo v shemo novo datoteko (File Resource), a tokrat kot vrsto

določimo izhodno (Output) datoteko (slika 5.10), kjer datoteka z rezultati (cev.rep)

samodejno nastane šele kasneje, ob prvem zagonu simulacije.

Slika 5.10: Abaqusova izhodna datoteka

Nato vstavimo še Abaqusovo komponento (slika 5.11), kjer izberemo predhodno definirani

vhodno (inp) in izhodno (result) datoteko. Za vrsto izpisa rezultatov v izhodno datoteko

izberemo History Output. V polju Argument je prikazan ukaz, ki ga program uporabi za zagon

Abaqusa, lahko pa le-tega tudi dopolnimo s svojimi ukazi (Argument to add).

Slika 5.11: Nastavitev Abaqusove komponente


- 37 -

Sedaj vstavimo zaganjalnik DOE Driver brez variacije parametrov, s čimer bo izvedena le ena

hitra testna simulacija. Tako v Optimaxovi delovni mapi nastane nova datoteka z rezultati

(cev.rep), ki jo skopiramo v osnovno mapo projekta (sicer bi jo ob naslednjem zagonu

simulacije pobrisalo). Na podlagi te datoteke določimo vzorec (Create/edit template), po

katerem bo program tekom optimizacij črpal podatke iz nje (slika 5.12). DOE Driver nato

nadomestimo z NM Driverjem, kjer nastavimo potrebne parametre (slika 5.13 in tabela 5.4).

Slika 5.12: Zapis izhodnega vektorja rezultatov simulacije

Slika 5.13: Določitev in omejitev vrednosti paramertov v zaganjalniku NM Driver


- 38 -

Sledi vstavitev Excelove komponente (slika 5.14), kjer najprej določimo pot do lastne

datoteke, nato pa še obseg celic v njej, kamor se bodo kopirali podatki izbrane vhodne

spremenljivke – v našem primeru izhodni vektor rezultatov simulacije (simCetrt).

Slika 5.14: Določitev Excelove komponente

Morda najpomembnejši postopek v izgradnji sheme je kreiranje Excelove datoteke, kjer

bomo s pomočjo enačb vršili primerjavo med eksperimentalno in simulacijsko krivuljo, za kar

pa ju moramo najprej uskladiti, saj ni smiselno primerjati dveh neporavnanih krivulj.

Simulacijska krivulja ima 201 točko, ki si sledijo na 200 enakomernih intervalih po abscisni osi

(od 0 do 0,01 sekunde), zato je potrebno na enak način obdelati še eksperimentalno krivuljo,

kjer imamo točke razporejene drugače, s podatki pomika na abscisni osi. Ker vemo, da

končni čas simulacije (0,01 s) ustreza 25 mm pomika, najprej izračunamo velikost enega

intervala (0,125 mm), nato pa s pomočjo linearne interpolacije določimo še nove vrednosti

točk eksperimentalne krivulje, ki so razporejene na 200 enakomernih intervalih po x-osi od 0

do 25 mm.

Obe krivulji sta sedaj poravnani, tako da lahko začnemo s sestavo Excelove datoteke. V prva

dva stolpca vnesemo velikost pomika ter pripadajoče vrednosti eksperimentalne sile, nato pa

pustimo prazen stolpec, kamor se bo tekom posamezne simulacije zapisoval izhodni vektor z

vrednostmi reakcijske sile. Ker imamo v simulaciji le četrt cevi, kjer je reakcijska sila za povrh

še negativna, pripravimo nov stolpec, kjer bodo vrednosti simulacijske krivulje pomnožene s

faktorjem –4. Dokument je sedaj pripravljen za direktno primerjavo krivulj (enačba 4.4).


- 39 -

Zavedamo se tudi problema zamujanja reakcijske sile, saj bi razlika vrednosti začetnih točk

utegnila imeti (pre)velik vpliv na rezultate optimizacije. Ker pa je začetni strm naklon

eksperimentalne krivulje praktično vzporeden z zamaknjenim simulacijskim, smo prišli do

ideje za rešitev problema kar v Excelu s sledečim zaporedjem korakov (slika 5.15):

• poišči najbolj strm naklon med posameznima zaporednima točkama;

• zapiši enačbo premice, ki poteka skozi dobljeni točki;

• izračunaj presečišče premice z x-osjo;

• izračunaj razdaljo med presečiščem in izhodiščem koordinatnega sistema;

• zamakni celotno simulacijsko krivuljo za dobljeno razdaljo v smeri negativne x-osi;

• z interpolacijo izračunaj nove točke na originalnih intervalih.

Naštete korake smo z razvojem nekoliko kompleksnejših formul uspešno implementirali v

osnovno Excelovo datoteko, tako da imamo sedaj popolnoma samodejen postopek.

Slika 5.15: Shematski prikaz zaporedja modifikacij simulacijske krivulje v Excelu

Ker pa je krivulja (zaradi vseh poenostavitev tekom izdelave simulacijskega modela) dokaj

groba, si pripravimo različne filtre po principu drseče srednje vrednosti, s čimer jo skušamo

nekoliko zgladiti. Izvedenih je bilo več variant: drsenje povprečne vrednosti razpona 5, 7, 11,


- 40 -

in 15, ter še nekatere druge kombinacije. Za najboljšo varianto se je izkazala drseča srednja

vrednost širine 11, kjer sta prvi dve točki ostali nespremenjeni (da ne zmanjšamo začetnega

naklona), tretja je povprečje treh, četrta petih, peta sedmih, šesta devetih, in sedma enajstih

točk, ter nato vse ostale točke do konca s povprečjem 11 točk. Ker smo z uporabo filtra na

koncu izgubili oziroma popačili nekaj točk, smo se odločili za primerjavo krivulj le do pomika

24 mm.

V datoteko je potrebno implementirati še enačbe (4.3, 4.4, in 4.5) za izračun merodajnega

kriterija (povprečna napaka simulacije) s pomočjo metode najmanjših kvadratov. S tem je

izdelava Excelove datoteke zaključena, vstavimo jo v shemo, kot je prikazano na sliki 5.14.

Sedaj moramo določiti še, kateri posamezni podatki naj se iz Excelovega dokumenta

kopirajo. Odločimo se za izpis začetne neobdelane cele simulacije (simCela), za zamaknjeno

in filtrirano simulacijo (simCelaFil) in za izpis povprečne napake (error), saj je le-ta merodajna

za optimizacijo (slika 5.16). Seveda si želimo tekom optimizacije spremljati tudi

eksperimentalno krivuljo.

Slika 5.16: Določitev izhodnih podatkov iz Excela za merodajno napako

V shemo vključimo še Memory Recorder in Csv Recorder, v vsakem od njiju pa izberemo

parametre za izpis. S tem je proces izdelave osnovne optimizacijske sheme zaključen.


- 41 -

5.6 Izboljšava optimizacijske sheme

Osnovno optimizacijsko shemo smo omejili s pogojem, da mora biti vsaka naslednja vrednost

napetosti (σi+1) v diagramu σ–εpl večja od predhodne (σi). Vendar pa so rezultati optimizacij

dali diagrame, kjer se je naklon posameznih odsekov močno spreminjal, kar je lepo razvidno

iz slike 6.4. Takšni rezultati se razlikujejo od splošno znanih rezultatov za izbran material, kjer

je utrjevalna funkcija strogo padajoča.

Zato je bil izveden naslednji korak, to je izboljšava optimizacijske sheme. Želimo si torej

omejitve naklonov na način, da vsak naslednji naklon (αi+1) ne sme biti večji od predhodnega

(αi), hkrati pa ne sme imeti negativne vrednosti, kar lahko zapišemo s sledečo enačbo (5.1):

0 ≤ 𝛼𝑖+1 ≤ 𝛼𝑖 . (5.1)

Ker imamo v OptiMaxu popolnoma delujočo shemo, moramo na novo definirati le

spremenljivke (inpVar), kakor tudi njihove intervale definicijskega območja z začetnimi koraki

spreminjanjanja (NM Driver).

Najprej si za lažje razumevanje pripravimo skico (slika 5.17), s pomočjo katere bomo določili

povezave med spremenljivkami:

Slika 5.17: Skica strogo padajoče utrjevalne krivulje

0 0,02 0,05

σ

εpl 0,10

σy

σ1

σ2

σ3

α1

α2

α3

Δσ1

Δσ2

Δσ3


- 42 -

Glede na obstoječo shemo obdržimo nastavitve za modul elastičnosti (E), mejo tečenja (σy),

ter spremembo napetosti na prvem intervalu v plastičnem področju (Δσ1), torej

spremenljivke, ki jih bo OptiMax tekom optimizacije spreminjal. Prav tako ostane enak

izračun napetosti pri εpl = 0,02 (σ1), ki ga izračunamo kot vsoto σy in Δσ1.

Ker pa nas sedaj zanimajo tudi nakloni, smo uvedli še naklonske kote. Najprej podamo

enačbo 5.2 za izračun prvega naklonskega kota:

𝛼1 =∆𝜎1∆𝜀𝑝𝑝,1

=∆𝜎1

0,02 − 0 =∆𝜎10,02 . (5.2)

Nato sledi izračun drugega naklonskega kota (α2). Kot je razvidno iz enačbe 5.1, α2 ne sme

biti negativen in hkrati ne večji kakor α1, kar lahko zapišemo tudi kot:

𝛼2 ∈ [0,𝛼1] . (5.3)

Tukaj naletimo na težavo, saj morajo biti meje intervalov spremenljivk določene zgolj z

numeričnimi vrednostmi, medtem ko je v tem primeru zgornja meja intervala določena z α1,

ki je odvisna od spremenljivke Δσ1. Zato si pomagamo s preprostimi matematičnimi

operacijami in enačbo 5.3 delimo z α1:

𝛼2𝛼1

∈ �0𝛼1

,𝛼1𝛼1� . (5.4)

Kvocient na levi strani enačbe 5.4, ki nam podaja razmerje dveh naklonskih kotov, lahko

nadomestimo z novo spremenljivko (k2). Enačbo uredimo in dobimo enačbo 5.5:

𝑛2 ∈ [0,1] . (5.5)

Koeficient k2, ki predstavlja našo novo neodvisno spremenljivko, vnesemo v NM Driver, kjer

zraven omenjenega intervala vnesemo še korak spreminjanja (Δ = 0,1) in izhodiščno vrednost

(odločimo se za sredino intervala, torej 0,5). Nato dodamo odvisno spremenljivko α2, ki je

določena z enačbo 5.6:


- 43 -

𝛼2 = 𝑛2 ∙ 𝛼1 . (5.6)

S pomočjo slike 5.17 lahko določimo in dodamo še enačbi 5.7 in 5.8 za odvisni spremenljivki

Δσ2 in σ2:

∆𝜎2 = ∆𝜀𝑝𝑝,2 ∙ 𝛼2 = (0,05− 0,02) ∙ 𝛼2 = 0,03 ∙ 𝛼2 , (5.7)

𝜎2 = 𝜎1 + ∆𝜎2 . (5.8)

Naslednji korak je določitev nove neodvisne spremenljivke. To je koeficient k3, ki je podan z

enačbo (5.9) in predstavlja kvocient naklonskih kotov α3 in α2. Vnesemo ga v NM Driver z

enakimi nastavitvami kot koeficient k2.

𝑛3 ∈ [0,1] . (5.9)

Podobno, kot za vse spremenljivke z indeksom 2, sledi od tod naprej analogna izpeljava za

vse spremenljivke z indeksi od 3 do 5, kot je lepo razvidno iz slike 5.18.

Slika 5.18: Nove nastavitve spremenljivk in NM Driverja

S tem je izboljšana optimizacijska shema zaključena. Materialne parametre najuspešnejše

simulacije smo uporabili še za testiranje različnih vrednosti koeficienta trenja med valjčki in

cevjo. Rezultati optimizacij so prikazani v naslednjem poglavju.


- 44 -

6 REZULTATI

Testiranih je bilo 26 optimizacijskih shem z različnim številom parametrov, različnimi

omejitvami parametrov, filtri in manipulacijami krivulj. Večina optimizacij je bila izvedenih z

Nelder-Mead metodo, in sicer s serijami po 100 simulacij, katerih izračun je trajal približno

2 uri in 15 minut (na računalniku z Intelovim i7-3630QM 2.40 GHz procesorjem in 8 GB

delovnega pomnilnika). Optimizacije z genetskim algoritmom so bile v glavnem uporabljene

za okvirno določitev intervalov gibanja posameznih materialnih parametrov.

Najprej sledi prikaz rezultatov optimizacije linearnega modela z začetno shemo. Primerjava

eksperimentalne in najboljše simulacijske krivulje je prikazana na sliki 6.1.

Slika 6.1: Primerjava reakcijskih sil eksperimenta in linearnega plastičnega modela

Povprečna napaka med krivuljama je po 100 simulacijah optimizacije znašala 94,51 N,

oziroma 1,15 %. Parametri najuspešnejše simulacije so prikazani v tabeli 6.1, medtem ko je

na sliki 6.2 prikazan še njen σ–εpl diagram.

Tabela 6.1: Najboljša simulacija optimizacije s pripadajočimi parametri

ID napaka [N] E [MPa] σy [MPa] σ1 [MPa] 57 94,508 76052,1 263,08 309,62

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

eksperiment

simulacija


- 45 -

Slika 6.2: σ–εpl diagram najuspešnejše simulacije linearnega modela

Sledi prikaz rezultatov najuspešnejše simulacije 5-segmentnega plastičnega modela,

dobljene s pomočjo osnovne optimizacijske sheme (glej poglavje 5.5). Primerjava reakcijskih

sil eksperimenta in najboljše simulacije je prikazana na sliki 6.3.

Slika 6.3: Primerjava reakcijskih sil eksperimenta in najboljše simulacije osnovne sheme

020406080

100120140160180200220240260280300320

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Sigm

a [M

Pa]

Eps,pl

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

eksperiment

simulacija


- 46 -

Tabela 6.2: Najboljših pet simulacij optimizacije s pripadajočimi parametri

ID napaka [N] E [MPa] σy [MPa] σ1 [MPa] σ2 [MPa] σ3 [MPa] σ4 [MPa] σ5 [MPa] 100 73,24 73850,5 256,69 259,64 269,54 284,75 286,16 305,19 98 73,33 73827,2 256,35 259,58 269,97 285,25 286,59 304,97 58 74,10 73571,6 256,42 257,42 270,03 287,35 288,35 306,31 94 74,23 73924,5 255,89 259,59 269,16 283,73 285,05 303,57 79 74,56 73722,4 256,89 258,88 269,19 284,40 285,85 305,69

Najuspešnejših 5 simulacij optimizacije je zbranih v tabeli 6.2, razvrščenih po naraščajočih

vrednostih povprečne napake. Ta je v primeru najboljše simulacije znašala 73,24 N oziroma

0,90 %. Na sliki 6.4 je prikazan še σ–εpl diagram najuspešnejše simulacije.

Slika 6.4: σ–εpl diagram najuspešnejše simulacije osnovne sheme

Za konec še nekoliko bolj podroben prikaz rezultatov najuspešnejše simulacije, dobljene na

osnovi izboljšane optimizacijske sheme (glej poglavje 5.6). Najboljših pet simulacij

optimizacije je skupaj s pripadajočimi parametri prikazanih v tabeli 6.3. Po 100 simulacijah je

bila povprečna napaka najboljše enaka 74,26 N, kar znaša 0,91 %. Isto optimizacijo smo

izvedli še z 200 simulacijami, kjer je najuspešnejših pet prikazanih v tabeli 6.4. Najboljša

izmed njih je imela povprečno napako 72,72 N, oziroma 0,89 %, njena primerjava z

eksperimentalno krivuljo je prikazana na sliki 6.5. Slike od 6.6 do 6.12 prikazujejo trende

gibanja parametrov v odvisnosti od povprečne napake za prvih 100 simulacij, saj so se v

250

260

270

280

290

300

310

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Sigm

a [M

Pa]

Eps,pl


- 47 -

naslednjih 100 simulacijah vrednosti že čisto ustalile. Na sliki 6.13 je prikazan σ–εpl diagram

najuspešnejše izmed 200 simulacij izboljšane sheme.

Tabela 6.3: Najboljših pet izmed 100 simulacij optimizacije s pripadajočimi parametri

ID napaka [N] E [MPa] σy [MPa] σ1 [MPa] σ2 [MPa] σ3 [MPa] σ4 [MPa] σ5 [MPa] 98 74,26 70493,1 254,37 266,77 275,06 277,55 280,66 287,41

100 74,41 70535,9 255,39 267,14 274,84 276,96 279,69 285,62 94 74,56 70565,8 256,30 267,12 274,39 276,45 279,14 284,83 70 75,12 70362,7 255,26 267,52 274,96 276,36 278,23 282,62 95 75,16 70744,7 257,97 267,32 273,13 274,37 276,09 279,80

Tabela 6.4: Najboljših pet izmed 200 simulacij optimizacije s pripadajočimi parametri

ID napaka [N] E [MPa] σy [MPa] σ1 [MPa] σ2 [MPa] σ3 [MPa] σ4 [MPa] σ5 [MPa] 159 72,72 70604,1 254,19 266,37 275,11 278,41 282,46 290,57 147 72,77 70599,5 254,21 266,40 275,13 278,41 282,43 290,50 173 72,81 70601,6 254,22 266,39 275,11 278,41 282,44 290,53 188 72,88 70604,8 254,21 266,38 275,10 278,41 282,46 290,57 198 72,89 70604,6 254,20 266,38 275,11 278,41 282,46 290,56

Slika 6.5: Primerjava reakcijskih sil eksperimenta in najboljše simulacije izboljšane sheme

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

eksperiment

simulacija


- 48 -

Slika 6.6: Trend gibanja modula elastičnosti v odvisnosti od povprečne napake

Slika 6.7: Trend gibanja σy v odvisnosti od povprečne napake

Slika 6.8: Trend gibanja σ1 v odvisnosti od povprečne napake

0

3

6

9

12

15

69000 69200 69400 69600 69800 70000 70200 70400 70600 70800 71000 71200

Nap

aka

[%]

Modul elastičnosti [MPa]

0

3

6

9

12

15

190 200 210 220 230 240 250 260 270

Nap

aka

[%]

SigmaY [MPa]

0

3

6

9

12

15

210 220 230 240 250 260 270 280

Nap

aka

[%]

Sigma1 [MPa]


- 49 -




0

3

6

9

12

15

230 240 250 260 270 280 290 300 310 320

Nap

aka

[%]

Sigma2 [MPa]

0

3

6

9

12

15

250 260 270 280 290 300 310 320 330 340 350

Nap

aka

[%]

Sigma3 [MPa]

0

3

6

9

12

15

270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

Nap

aka

[%]

Sigma4 [MPa]


- 50 -


Slika 6.13: σ–εpl diagram najuspešnejše izmed 200 simulacij izboljšane sheme

Vrednosti materialnih parametrov najboljše simulacije smo uporabili še za preizkus

ustreznosti izbranega koeficienta trenja med valjčki in cevjo (0,2), tako da smo s pomočjo

DOE Driverja naredili parametrično analizo za izbrane vrednosti od 0 do 3 v korakih po 0,05.

Slika 6.14 prikazuje vpliv vrednosti koeficienta trenja na napako najboljše simulacije, na sliki

6.15 pa je prikazan njegov vpliv na obliko reakcijske krivulje.

0

3

6

9

12

15

270 280 290 300 310 320 330 340 350 360 370

Nap

aka

[%]

Sigma5 [MPa]

250

255

260

265

270

275

280

285

290

295

0,00 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 0,90 1,00

Sigm

a [M

Pa]

Eps,pl


- 51 -

Slika 6.14: Vpliv vrednosti koeficienta trenja na napako najboljše simulacije

Slika 6.15: Vpliv vrednosti koeficienta trenja na obliko reakcijske krivulje

Na sliki 6.16 je prikazan še potek obremenjevanja votle cevi z direktno primerjavo med

eksperimentom pri kvazi-statični obremenitvi in najuspešnejšo simulacijo.

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00 1,20 1,40 1,60 1,80 2,00 2,20 2,40 2,60 2,80 3,00

Povp

rečn

a na

paka

[%]

Koeficient trenja

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 5 10 15 20 25

Reak

cijs

ka si

la [k

N]

Pomik [mm]

Eksperiment

koeTr = 0,00

koeTr = 0,20

koeTr = 0,40

koeTr = 0,65

koeTr = 1,00


- 52 -

Slika 6.16: Potek obremenjevanja votle cevi pri kvazi-statični obremenitvi (levo, [5]) in

primerjava s simulacijo (desno)


- 53 -

7 ZAKLJUČEK

Magistrska naloga prikazuje postopek določevanja materialnih parametrov votle

aluminijaste cevi, za katero je bila podana le odzivna krivulja upogibnega preizkusa (F-d). Cilj

naloge je bila izgradnja eksplicitnega modela v Abaqusu z določitvijo materialnih parametrov

na način, da bi se izhodna simulacijska krivulja čim bolj ujemala z eksperimentalno. Ker je

iskanih parametrov bistveno preveč za zgolj nakjučno preizkušanje, smo si pomagali s

pomočjo postopka optimizacije. Uporabili smo program OptiMax, v katerem smo sestavili

optimizacijsko shemo za primerjanje eksperimentalne in simulacijske reakcijske krivulje.

Posredno je bil naš cilj torej iskanje minimuma povprečne razlike v vrednostih reakcijske sile.

Že z osnovno optimizacijsko shemo smo se zelo približali optimumu funkcije, saj je

povprečna razlika znašala le 73,24 N oziroma 0,90 %. V primeru izboljšane sheme je

povprečno odstopanje reakcijske sile po 100 simulacijah znašalo 74,26 N oziroma 0,91 %, kar

je sicer malenkost več od predhodnega, kjer pa so se parametri znotraj določenega območja

lahko poljubno gibali. Z dodatnimi 100 simulacijami izboljšane sheme se je vrednost

zmanjšala na 72,72 N oziroma 0,89 %, kar ne predstavlja bistvenega izboljšanja, dosežena pa

je bila že 40 simulacij pred koncem optimizacije.

Iz tega sklepamo, da je 100 simulacij na optimizacijo več kot dovolj za naše potrebe, kar je

zelo lepo razvidno tudi iz trenda gibanja posameznih parametrov glede na povprečno napako

simulacije. Vse omenjeno potrjuje tudi ustreznost izbire Nelder-Meadovega algoritma, s

pomočjo katerega smo se optimalni rešivi problema dokaj dobro približali.

Optimizacije z genetskim algoritmom so bile uprabljene le za testiranje, saj je le-ta zaradi

svoje robustnosti več kot odličen pripomoček za iskanje okvirnih vrednosti parametrov. Ker

pa je bil naš optimizacijski problem predvsem zaradi svoje specifike dovolj omejen, se

Nelder-Meadov algoritem zaradi izredne preprostosti zelo dobro obnese.

Sama optimizacijska shema je torej v našem primeru delovala brezhibno, zato se moramo za

dodatno izboljšanje rezultatov vrniti na sam simulacijski model. Eden izmed problemov

tekom njegove izgradnje je predstavljalo začetno zamujanje reakcijske sile, katerega smo


- 54 -

vsaj nekoliko omilili z manipulacijo krivulje. Določene napake smo v sistem vnesli z

nekaterimi poenostavitvami, med katere vsekakor sodita skaliranje mase (povečanje

stabilnega časovnega koraka) in reducirana gostota mreže, ki sta imela velik vpliv na

omenjeno zamujanje sile ter še večji vpliv na oscilacije odzivne krivulje, kar je lepo razvidno

iz primerjalnih grafov.

Z vrednostmi najboljše simulacije smo izvedli tudi parametrično analizo koeficienta trenja

med valjčki in cevjo, kjer je bil ob najbolj neugodni vrednosti njegov vpliv na napako

simulacije nekaj manj kot 4 %. Seveda je tukaj še ogromno ostalih parametrov, ki bi ob

kombinaciji utegnili imeti veliko večji vpliv na povprečno napako. V kolikor bi jih hoteli vse

simultano preverjati, pa bi se pod vprašaj postavil celoten smisel optimizacije.

Dobljeni rezultati optimizacije se več kot zadovoljivo skladajo z rezultati upogibnega

preizkusa, zato smatramo, da bi se na podoben način dalo pridobiti matreialne podatke tudi

pri drugih vrstah obremenitvenih primerov.


- 55 -

8 LITERATURA

[1] I. Anžel, F. Zupanič, Gradiva. Maribor: Fakulteta za strojništvo, 2007

[2] Havel metal foam, Innovative solutions for lightweight constructions [online],

Dosegljivo: http://www.havel-mf.de/index_en.html [Datum dostopa: 6.4.2016].

[3] Wikipedia, Metal Foam [online], Dosegljivo: https://en.wikipedia.org/wiki/Metal_foam

[Datum dostopa: 6.4.2016]

[4] M. Strano, "A New FEM Approach for Simulation of Metal Foam Filled Tubes," Journal

of Manufacturing Science and Engineering, vol. 133, pp. 1-11, 2011

[5] I. Duarte, M. Vesenjak, L. Krstulović-Opara. "Dynamic and quasi-static bending

behaviour of thin-walled alluminium tubes filled with aluminium foam," Composite

Structures, vol. 109, pp. 48-56, 2014

[6] Abaqus 6.13 Documentation, Dassault Systèmes [online], Dosegljivo:

http://129.97.46.200:2080/v6.13/ [Datum dostopa: 6.4.2016]

[7] Wikiversity, Least-Squares Method [online], Dosegljivo:

https://en.wikiversity.org/wiki/Least-Squares_Method [Datum dostopa: 6.4.2016]

[8] Scholarpedia, Nelder-Mead algorithm [online], Dosegljivo:

http://www.scholarpedia.org/article/Nelder-Mead_algorithm [Datum dostopa:

6.4.2016]

[9] Wikipedia, Genetic algorithm [online], Dosegljivo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_algorithm [6.4.2016]

http://www.havel-mf.de/index_en.html

https://en.wikipedia.org/wiki/Metal_foam

http://129.97.46.200:2080/v6.13/

https://en.wikiversity.org/wiki/Least-Squares_Method

http://www.scholarpedia.org/article/Nelder-Mead_algorithm

http://en.wikipedia.org/wiki/Genetic_algorithm

Documents

INVERZNA DOLOČITEV MATERIALNIH PARAMETROV VOTLE CEVI … · V okviru raziskave določevanja mehanskih lastnosti aluminijastih cevi napolnjenih s kovinsko peno so bili izvedeni tri-točkovni