Bijekcije i inverzne funkcije

Sonja unar

20. listopada 2016.

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 1/4

Bijekcija

De�nicija

Funkcija f : D → K je bijekcija ako

za svaki y ∈ K postoji to£no jedan x ∈ D takav da je f (x) = y .

Nepreciznije: �Svaki y ∈ K pogoen je to£no jednom.�

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 2/4

Bijekcija

De�nicija

Funkcija f : D → K je bijekcija ako

za svaki y ∈ K postoji to£no jedan x ∈ D takav da je f (x) = y .

Nepreciznije: �Svaki y ∈ K pogoen je to£no jednom.�

PR.:

; Nije bijekcija (1 ∈ K je pogoen dvaput).

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 2/4

Bijekcija

De�nicija

Funkcija f : D → K je bijekcija ako

za svaki y ∈ K postoji to£no jedan x ∈ D takav da je f (x) = y .

Nepreciznije: �Svaki y ∈ K pogoen je to£no jednom.�

PR.:

; Nije bijekcija (3 ∈ K je pogoen 0 puta).Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 2/4

Bijekcija

De�nicija

Funkcija f : D → K je bijekcija ako

za svaki y ∈ K postoji to£no jedan x ∈ D takav da je f (x) = y .

Nepreciznije: �Svaki y ∈ K pogoen je to£no jednom.�

PR.:

; Bijekcija (svaki y ∈ K pogoen je to£no jednom).Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 2/4

Bijekcija

De�nicija

Funkcija f : D → K je bijekcija ako

za svaki y ∈ K postoji to£no jedan x ∈ D takav da je f (x) = y .

Nepreciznije: �Svaki y ∈ K pogoen je to£no jednom.�

PR.:

; f (x) := 1 nije bijekcija (1 ∈ K = R je pogoen ∞, a svakiy ∈ R \ {1} 0 puta).

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 2/4

Bijekcija

De�nicija

Funkcija f : D → K je bijekcija ako

za svaki y ∈ K postoji to£no jedan x ∈ D takav da je f (x) = y .

Nepreciznije: �Svaki y ∈ K pogoen je to£no jednom.�

PR.:

; f (x) := x + 1 je bijekcija (svaki y ∈ K = R pogoen je to£nojednom).

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 2/4

Bijekcija

De�nicija

Funkcija f : D → K je bijekcija ako

za svaki y ∈ K postoji to£no jedan x ∈ D takav da je f (x) = y .

Nepreciznije: �Svaki y ∈ K pogoen je to£no jednom.�

PR.:

; f (x) := x2 nije bijekcija (npr. y = 1 ∈ K = R je pogoendvaput).

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 2/4

Inverzna funkcija

Funkcija g : K → D inverzna je funkciji f : D → K ako vrijedi

g(f (x)) = x za sve x ∈ D

if (g(y)) = y za sve y ∈ K .

Oznaka: g =: f −1.

Primjer: f f −1

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 3/4

Inverzna funkcija

Funkcija g : K → D inverzna je funkciji f : D → K ako vrijedi

g(f (x)) = x za sve x ∈ D

if (g(y)) = y za sve y ∈ K .

Oznaka: g =: f −1.

Primjer: f f −1

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 3/4

Inverzna funkcija

Teorem

Funkcija f : D → K ima inverznu funkciju ako i samo ako jebijekcija, i u tom je slu£aju njena inverzna funkcija f −1 jedinstvena.

Poanta pojma inverzne funkcije (za bijekciju f : D → K ):

xf7−→ y ⇔ x f

−1←− [ y ,

tj.f (x) = y ⇔ x = f −1(y).

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 4/4

Inverzna funkcija

Teorem

Funkcija f : D → K ima inverznu funkciju ako i samo ako jebijekcija, i u tom je slu£aju njena inverzna funkcija f −1 jedinstvena.

Poanta pojma inverzne funkcije (za bijekciju f : D → K ):

xf7−→ y ⇔ x f

−1←− [ y ,

tj.f (x) = y ⇔ x = f −1(y).

Sonja unar Bijekcije i inverzne funkcije 4/4