L A B O R A T O R I J S K E V E B E M A T - L A B

1. Veba 1 Alati i osnovne funkcije

2. Veba 2 Matrice -definicija

3. Veba 3 Grafika

4. Veba 4 Upravljanje tokom programa

5. Veba 5 M fajlovi (datoteke)

6. Veba 6 Jednaine i sistemi linearnih algebarskih jednaina 7. Veba 7 Simbolika matematika 8. Veba 8 Granina vrednost i izvod funkcije 9. Veba 9 Integrali

10. Veba 10 Primena integrala

11. Zadaci za vebanje

12. Spisak naredbi i funkcija

- 279 -

- 280 -

VEBA 1 ALATI I OSNOVNE FUNKCIJE

MATLAB (Matrix Laboratory) je vii programski jezik razvijen sredinom 80-ih godina. Prvenstveno je bio namenjen ininjerima, ali je za kratko vreme postao standardni programski paket na Univerzitetima, fakultetima 1. KAKO POETI RAD U MATLAB U

MATLAB je jednostavan za korienje. Kada je program pozvan, pojavljuje se

MATLAB - ov komandni prozor (slika 1. 1).

slika 1. 1

Prvi red predstavlja liniju menija (Menu bar), koja sadri uobiajene komande. Ako se na ekranu odmah ne pojavi prozor sa slike 1.1, dobiemo ga ako izaberemo

View-Desktop Layout-Default.

- 281 -

Na ekranu se mogu videti manji prozori: Command window Command History window Launch Pad window Postoje takoe dugmad za dva nova prozora: Workspace window Current Directory window Command window je glavni deo MATLAB-ovog interaktivnog sistema. Iz tog

prozora pristupamo MATLAB-ovim komandama i funkcijama. U radnom prostoru pojavljuje se znak >> , koji se naziva prompt, pored koga se

nalazi kursor, vertikalna trepua linija, koja predstavlja spremnost raunara da primi naredbu. Kada se u radnom delu otkuca naredba i pritisne taster Enter, naredba se odmah izvrava.

Command History window uva predhodne naredbe koje su bile koriene u

Command window. Launch Pad window je drugi nain da se pristupi MATLAB-u. Treba kliknuti na ikonu

na vrhu prozora i otvorie se osnovni program ili toolbox-ovi, prema elji korisnika. Workspace window pokazuje promenljive koje su koriene tokom rada, odnosno

njihovu veliinu i vrstu. Ove informacije mogu biti od velike koristi kasnije u radu. Current Directory window pokazuje koriene fajlove.

2. OPERATORI ZA POMO U RADU Naredbom help obezbeena je pomo i informacije tokom rada. To je velika

pogodnost za korisnike jer je teko memorisati veliki broj funkcija koje su definisane. Postoji nekoliko verzija ove naredbe.

Ako otkucamo help i pritisnemo taster na ekranu e se pojaviti spisak oblasti

i uputsta za rad. Na ekranu e se pojaviti spisak svih opcija koje poseduje MATLAB. >> help HELP topics: matlab\general - General purpose commands. matlab\ops - Operators and special characters. Da bi se dobilo uputstvo za neku posebnu oblast, operator ili funkciju potrebno je

uneti naredbu:

- 282 -

>> help oblast

Otkucati sledee naredbe help i videti ta se dobija na ekranu.

>> help * >> help i >> help sqrt Za ilustrovanje mogunosti MATLAB-a, prireeni su uzorci raznih programa, koji se

mogu pozvati naredbama demo. Aktiviranjem ove naredbe otvara se grafiki prozor koji pokazuje meni demonstracionih datoteka.

3. UNOENJE PODATAKA - BROJEVI I ARITMETIKI IZRAZI Osnovni objekat nad kojim se vre operacije u MATLAB-u je polje brojeva. Ovo

polje brojeva moe da se tumai kao matrica u uobiajenom smislu, ali zavisno od komande, moe se tumaiti i kao tabela podataka koje treba obraditi.

Pod skalarom se podrazumeva matrica tipa 1 1 . Vektori predstavljaju matrice jedne vrste ili jedne kolone.

MATLAB je jezik izraza. Oni su sainjeni od konstanti, promenljivih, operatora, specijalnih znakova i funkcija. Operacije i izrazi u MATLAB-u se piu na uobiajen nain, slino kao to piemo na papiru. Rezultat izvrenja izraza je matrica. MATLAB operie sa realnim i kompleksnim brojevima. Koristi se uobiajena decimalna notacija sa znakom i decimalnom takom. MATLAB moe da se koristi za izraunavanje jednostavnih matematikih izraza. Tada on radi slino kalkulatoru.

MATLAB je veoma strog prema definisanoj sintaksi jezika. Na primer, izostavljena zagrada ili zarez mogu da utiu da ceo program ne funkcionie. Sa druge stane, velika olakica u radu je to se na ekranu ispisuje vrsta uinjene greke i olakava se korisniku da se greke isprave. >> y=sin(x ??? y=sin(x Error: ")" expected, "end of line" found. MATLAB-ove promenljive mogu imati numerike ili znakovne vrednosti (string). Znakovni tip podataka sastoji se iz niza ASCII znakova, a unose se pod jednostrukim

apostrofima, na primer 'x'. PRIMER 1: Napisati re student. >> rec='student' rec = student

- 283 -

PRIMER 2: Odrediti broj slova u rei student. >> size(rec) ans = 1 7

U ovom primeru koriena je naredba size(), koja odreuje dimenziju unete promenljive.

Napomena: (Odgovor 1 7 oznaava polje brojeva,tj. u jednom redu ima sedam elementa)

Napomena: U MATLAB-u se znak = naziva operatorom dodele. Ovaj operator dodeljuje vrednost promenljivoj

Promenljiva= numerika vrednost ili izraz Imena promenljivih ili funkcija, moraju poeti slovom, iza koga moe slediti

prizvoljan niz simbola, ali se samo prvih 31 karaktera iz imena pamti. MATLAB razlikuje velika i mala slova, tj. x i X su dve razliite promenljive. Imena matrica obino se piu velikim slovima, dok imena skalara i vektora malim

slovima. Imena funkcija moraju se pisati malim slovima.

4. ARITMETIKI OPERATORI Aritmetiki izrazi se prave korienjem uobiajenih aritmerikih operacija za koje

koristimo sledee simbole:

+ sabiranje- oduzimanje* mnoenje/ deljenje^ stepenovanje

PRIMER 3: Izraunati vrednost izraza 2+4-6. >> 2+4-6 ans = 0

Iz ovog primera vidimo da MATLAB sam kreira promenljivu pod imenom ans (answer-odgovor) ukoliko korisnik sam ne dodeli ime promenljivoj ili vrednosti izraza.

- 284 -

PRIMER 4: Izraunati vrednost izraza

+= 1422x .

>> x=2+(2*4-1/pi) x = 9.6817 Broj je definisan kao stalna veliina MATLAB-a i dovoljno je ukucati samo pi. PRIMER 5: Izraunati vrednost izraza 3y x= , ako je 23x = . >> x=3^2; >> y=3*x y = 27

Napomena: Ako ne elimo da se rezultat ili meurezultat prikae na ekranu, na kraju naredbe unesi se znak ; . Na ovaj nain se ubrzava rad na raunaru, jer se eliminie ispisivanje velikog broja, esto nepotrebnih meurezultata. 5. RELACIJSKI OPERATORI Relacijski operatori su binarni operatori i koriste se za poreenje izraza. Rezultat

poreenja je tano (true) u oznaci 1 ili netano (false) u oznaci 0 .

< Manje od Manje ili jednako od> Vee od Vee ili jednako od

== Jednako= Nejednako

PRIMER 6: Izraunati vrednost izraza 5> 5 5

Zamenimo sada == sa = >> 5

7. KOMPLEKSNI BROJEVI Imaginarna jedinica je definisana kao stalna veliina. Koristi se uobiajena definicija

1=i ili 1=j . PRIMER 8: Definisati imaginarnu jedinicu i . >> i=sqrt(-1) i = 0 + 1.0000i Kompleksni brojevi se mogu, kao i u matematici definisati na vie naina:

z x iy= + algebarski oblik, gde je x realni , a y imaginarni deo kompleksnog broja.

irew = eksponencijalni oblik, gde je r moduo, a argument kompleksnog broja.

PRIMER 9: Napisati broj 2 3z i= + . >> z=2+3*i z = 2.0000 + 3.0000i >> z=2+3i z = 2.0000 + 3.0000i

Napomena: Jedino kada se definie kompleksni broj, mogue je izostaviti operator * mnoenja. U ostalim sluajevima operator mnoenja mora da se pie.

PRIMER 10: Napisati broj 62i

ew = . >> w=2*exp(i*pi/6) w = 1.7321 + 1.0000i

Moduo, argument, realni, imaginarni deo kompleksnog broja i konjugovano kompleksni broj dobijaju se korienjem naredbi abs, angle, real, imag, conj.

- 287 -

8. OSNOVNE FUNKCIJE

Funkcije se pozivaju tako to se iza imena funkcije u maloj zagradi navede argument funkcije.

Neke od elementarnih funkcija koje su ugraene u MATLAB moemo videti u tabeli. Kao to smo ve napomenuli funkcije se piu malim slovima, a argumente navodimo u zagradama.

abs() apsolutna vrednostsqrt() kvadratni korensin() sinuscos() kosinustan() tangenscot() kotangensexp() eksponencijalna funkcija osnove elog() logaritam osnove e

log10() logaritam osnove 10

PRIMER 11: Izraunati 4

sin . >> sin(pi/4) ans = 0.7071

PRIMER 12: Za 5x = i 59y = izraunati vrednost izraza lnz y x= + . >> x=5; >> y=59; >> z=log(y)+sqrt(x) z=6.0775

Napomena: Primetimo da vrednosti promenljivih x i y nisu prikazane na ekranu, jer se iza promenljivih nalazi znak ;

PRIMER 13: Izraunati reenja kvadratne jednaine 322 xx . >> % Kvadratna jednaina je oblika ax^2+bx+c :

>> % Reenja se dobijaju na osnovu formule a

acbbx2

422,1

= : >> a=1;b=-2;c=-3; >> koren=sqrt(b^2-4*a*c); >> x1=(-b+koren)/(2*a)

- 288 -

x1 = 3 >> x2=(-b-koren)/(2*a) x2 = -1 PRIMER 14: Izraunati vrednost izraza 10logz x y= + , za vrednosti promenljivih x

i y zadatih u predhodnom primeru ( primer 12). >> % x i y su vrednosti promenljivih iz predhodnog primera >> z=log10(x)+abs(y) z = 59.6990 Napomena: Treba imati u vidu da MATLAB pamti predhodno unete veliine pa ih nije

potrebno ponovo definisati, ako nam kasnije trebaju u radu. Napomena: Oznaka % koristi se za pisanje komentara. 9. OSNOVNE KONSTANTE U MATLAB - U

ans Vrednost izraza kada nije pridruen promenljivojeps Dozvoljena tolerancija greke

i , j Imaginarna jedinica, 1 pi =3.14159265.....Inf , ili rezultat 1/0 (infinity)

NaN Nije broj, ili rezultat 0/0 (Not a Number)

Napomena: Prednost rada u MATLAB-u je to deljenje nulom ne dovodi do prekida programa ili greke. Ispisuje se poruka upozorenja i specijalna veliina se ponaa korektno u kasnijim izraunavanjima.

10. IZLAZNI FORMAT

Izlazni oblik prikazivanja rezultata moe se kontrolisati naredbom format. Ova komanda utie samo na prikaz na ekranu, a ne na to kako se ta izraunava ili smeta u memoriju. Postoje razliiti izlazni formati: format short, format long, format long e, format short e, format rat.

Ako nije definisan neki drugi format automatski se koristi format short, standardni format sa 4 znaajnih cifara.

- 289 -

PRIMER 15: Broj prikazati koristei sve prethodne komande. % napomene % format short ima 4 decimalna mesta >> format short, pi ans = 3.1416 >> format long, pi ans = 3.14159265358979 >> format long e, pi ans =3.141592653589793e+000 >> format short e, pi ans = 3.1416e+000 >> format rat, pi ans = 355/113 >>% za ponovno koriscenje standardnog formata >> format short, pi Napomena: Sledei broj sa kojim budemo radili bie u poslednjem formatu koji smo koristili. Da bi se vratili u uobiajeni format short, dovoljno je otkucati samo naredbu format. 11. BRISANJE I UVANJE PODATAKA

clear Brie podatke iz radne memorijeclear x Brie se promenljiva xsave uva podatke u fajlu na disku za kasniju upotrebusave ime Pamti sve veliine iz radnog prostora pod zadatim imenom quit , exit Ostvaruje se prekid programaload Predstvlja obrnutu naredbu od save

- 290 -

VEBA: 1. Utvrditi ta je vee e ili e ?

(Voditi rauna da e nije definisano kao konstanta MATLAB a, ve ga izraunavamo kao vrednost eksponencijalne funkcije za argument 1x = ).

2. Izraunati z , ako je ( )( ) ( )9896100

111

iiiiz +

+= .

3. Za 0x = , izraunati 5x

.

4. Proveriti tanost iskaza 2 sincos2 2x tgx x

tgx+= za

5x = .

5. Korienjem razliitih izlaznih formata napisati broj 2 . 6. Ako je ,42.6,2.18 == ba )2(5.0,/ acbdbac +== izraunati vrednost

( )abcda

cbad

2+++ . 7. Uneti svoje ime i prezime pa odrediti broj slova u njemu.

- 291 -

VEBA 2 MATRICE I OPERACIJE

1. MATRICE I VEKTORI Ve smo naglasili, da su u MATLAB - u, promenljive polja brojeva, koje mogu da se

tumae kao matrice u uobiajenom smislu. Pod skalarom se podrazumeva matrica tipa 1x1. Vektori predstavljaju matrice jedne vrste ili jedne kolone.

Matrica se definie sa dva indeksa m i n, gde prvi indeks m oznaava broj vrsta, a

drugi, n broj kolona. Elementi se uglavnom unose po vrstama, a zagrade [ , ] ograniavaju listu elemenata. U okviru liste elementi se razdvajaju zarezom ili razmakom. Taster Enter ili ; se koriste za odvajanje vrsta matrice.

PRIMER 1: Uneti matricu

=

247586421

A .

>> A=[1 -2 4; -6 8 5; 7 -4 2] A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2 Druga mogunost upisa je: >> A=[1, -2, 4; -6, 8, 5; 7, -4, 2] A = 1 -2 4 -6 8 5 7 -4 2

Vektori su matrice vrste ili kolone i unose se na isti nain. Ako su vrednosti elemenata ekvidistantne (sa istim korakom) koristi se simbol : .

PRIMER 2: Uneti vektor x=(1, 2, ... , 10). >> x=1:10 x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

- 292 -

Naredba length() izraunava duinu vektora. >> length(x) ans = 10 PRIMER 3: Uneti vektor x. >> x=1:10 ; x=[x x+2] x = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ako elimo proizvoljan korak, a ne 1, kao u predhodnom primeru, koristimo naredbu h=a:k:b, gde su a i b poetna i krajnja vrednost, a k je korak. PRIMER 4: Uneti vektor x=(1, 3, 5,7), sa korakom duine 2. >> x=1:2:8 x = 1 3 5 7 Matrice sa kompleksnim elementima moemo da unosimo na dva naina. PRIMER 5:

Uneti matricu

+++=

iiii

Z84736251

, tako to prvo unosimo realne, a zatim

imaginarne delove zadatih kompleksnih brojeva. >> A=[-1, 2; 3, 4] ; V=[5, -6; 7, 8] ; Z=A+V*i Z = -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000 PRIMER 6:

Uneti matricu Z iz prethodnog primera tako to elemente matrice unosimo kao kompleksne brojeve.

>> Z=[-1+5*i , 2-6*i ; 3+7*i , 4+8*i] Z = -1.0000 + 5.0000i 2.0000 - 6.0000i 3.0000 + 7.0000i 4.0000 + 8.0000i Element matrice A koji se nalazi u preseku i-te vrste i j-te kolone moe se dobiti primenom naredbe A(i,j).

- 293 -

PRIMER 7: Izdvojiti element 2,3a matrice

=

654132321

A .

>> A=[1 2 3 ; 2 -3 1 ; -4 -5 -6] ; >> A(2 , 3) ans = 1 Ako elimo da izdvojimo celu vrstu ili kolonu koristimo komande A(k,:), A(:,k), gde k predstavlja traenu vrstu, odnosno kolonu. Dimenzije matrice odreuju se naredbama: size(A) [m,n]=size(A). PRIMER 8: Odrediti dimenzije date matrice A, koristei naredbu size. >> size(A) ans = 3 3 PRIMER 9: Odrediti dimenzije matrice A koristei naredbu [m,n]=size(A). >> [m, n]=size(A) m = 3 n = 3

2. MATRICE SPECIJALNIH STRUKTURA Naredba eye daje jedininu matricu.

Naredba Opiseye(n) Jedinina matrica dimenzija nxneye(m,n) Jedinina matrica dimenzija mxneye(size(A)) Jedinina matrica dimenzija date matrice A

PRIMER 10: Formirati matricu X dimenzija 2 3 , iji su elementi na glavnoj dijagonali

jednaki 1, a ostali su jednaki 0. >> X=eye(2,3) X = 1 0 0 0 1 0

- 294 -

PRIMER 11: Odrediti jedininu matricu dimenzija date matrice A. >> A=[1 , 2 , 3 ; 2 , -3 , 1 ; -4 , -5 , -6] ; X=eye(size(A)) X = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Naredba ones daje matricu iji su svi elementi jedinice.

Naredba Opis

ones(n) Matrica dimenzije nxn iji su svi elementi jedinice

ones(m,n) Matrica dimenzije mxn iji su svi elementi jedinice

ones(size(A)) Matrica dimenzije date matrice A iji su svi elementi jedinice PRIMER 12: Formirati kvadratnu matricu reda 2 iji su svi elementi jednaki 1. >> X=ones(2) X = 1 1 1 1 Naredba zeros daje matricu iji su svi elementi nule.

Naredba Opiszeros(n) Matrica dimenzije nxn iji su svi elementi nule zeros(m,n) Matrica dimenzije mxn iji su svi elementi nule

zeros(size(A)) Matrica dimenzija date matrice A iji su svi elementi nule PRIMER 13: Formirati matricu dimenzija 2 3 iji su elementi jednaki 0. >> X=zeros(2,3) X = 0 0 0 0 0 0 Naredba magic(n) daje matricu sa celobrojnim elementima izmeu 1 i n2, dimenzija nxn, sa osobinom da je zbir elemenata po vrstama i kolonama konstantan (arobni kvadrat).

- 295 -

PRIMER 14: Formirati maginu matricu treeg reda. >> X3=magic(3) X3= 8 1 6 3 5 7 4 9 2 Naredbom diag(A) dobijamo dijagonalnu matricu date matrice A. PRIMER 15: Napisati matrice diag(A). >> A , X1=diag(A) , X2=diag(diag(A)) A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 X1 = 1 -3 -6 3. OPERACIJE SA MATRICAMA

Osnovne operacije sa matricama su: sabiranje, oduzimanje, mnoenje, stepenovanje i transponovanje.

3.1. Sabiranje i oduzimanje matrica

Sabiranje i oduzimanje matrica vri se tako to se sabiraju, odnosno oduzimaju odgovarajui elementi matrica. Tom prilikom moramo voditi rauna da matrice budu istih dimenzija.

PRIMER 16: Sabrati matrice A i B. >> A , B=[2, 3,-4; 1 -1, 1; 3, 2, -1] , C=A+B A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 B = 2 3 -4

- 296 -

1 -1 1 3 2 -1 C = 3 5 -1 3 -4 2 -1 -3 -7 Sabiranje i oduzimanje je izvodljivo i u sluaju kada je jedan inilac skalar. . PRIMER 17: Od date matrice A oduzeti skalar 1. >> D=A-1 D = 0 1 2 1 -4 0 -5 -6 -7 Napomena: U predhodnom primeru, skalar 1 MATLAB automatski shvata kao matricu istih dimenzija kao to je matrica A iji su svi elementi jednaki 1. 3.2. Mnoenje matrica

Mnoenje matrica skalarom se vri tako to svaki element te matrice pomnoimo vrednou datog skalara. Za mnoenje matrica skalarom vai zakon komutacije, tj. kA Ak= .

PRIMER 18: Ako je 5k = , odrediti matricu 5A . Mnoenje matrica se u obavlja korienjem operatora * . >> A , F=5*A A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 F= 5 10 15 10 -15 5 -20 -25 -30

Mnoenje dve matrice: Proizvod matrica A={ ( ),i j m ra } i B={ ( ),i j r nb } je nova matrica ( ){ },i j m nC c = iji su elementi , ,

1

r

ij i k k jk

c a b=

= .

- 297 -

PRIMER 19: Pomnoiti matrice A i A1. >> A ;A1=[1, 2 ; 2, -3 ; 1, 6] , P=A*A1 A1 = 1 2 2 -3 1 6 P= 8 14 -3 19 -20 -29 PRIMER 20: Pomnoiti matrice A1 i A. >> A1*A ??? Error using ==> * Inner matrix dimensions must agree. Napomena: Matrino mnoenje nije komutativna operacija i dimenzije matrica A i A1 moraju da budu usklaene. 3.3. Transponovanje matrica

Transponovanje matrica sa realnim koeficijentima, je zamena vrsta i kolona. Vri se pomou operatora ' .

PRIMER 21: Transponovati datu matricu A. >> A , E=A' A = 1 2 3 2 -3 1 -4 -5 -6 E = 1 2 -4 2 -3 -5 3 1 -6

- 298 -

PRIMER 22: Transponovati vektore x, y. >> x=[-1 3 8]' , y=[-1;-2;4]' x = -1 3 8 y = -1 -2 4 3.4. Determinanta matrice

Determinanta kvadratne matrice je broj koji se u MATLAB-u izraunava pomou naredbe det() .

PRIMER 23: Izraunti determinantu kvadratne matrice A. >> A ; D=det(A) D= -27 3.5. Inverzna matrica

Inverzna matrica date matrice A rauna se po obrascu adjAA

A)det(

11 = . U MATLAB-u inverzna matrica 1A , odreuje se korienjem naredbe inv(A). PRIMER 24: Nai inverznu matricu, zadate matrice A. >> A ; inv(A) -0.8519 0.1111 -0.4074 -0.2963 -0.2222 -0.1852 0.8148 0.1111 0.2593

- 299 -

PRIMER 25: Nai inverznu matricu, matrice

1 2 34 5 67 8 9

S =

.

>> S=[1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9] >> inv(S) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate.

Napomena: Kako je matrica S singularna (determinanta matrice je jednaka nuli), inverzna matrica ne postoji.

3.6. Stepenovanje matrica

Ako je A kvadratna matrica, a p N , matrini stepen definiemo kao: p

p

A AAAA AAAA= " . Stepenovanje moe da se vri i ako p nije ceo broj, ali to razmatranje prevazilazi ovaj kurs. Stepenovanje matrice matricom, davae poruku o greci.

Za regularnu matricu (determinanta razliita od nule) A, vai ( )pp AA 1 = . Stepenovanje matrica vri se pomou operatora ^ .

PRIMER 26:

Za datu matricu A odrediti 2 2,A A i proveriti da li vai da je IAA = 22 , gde je I jedinina matrica.

>> J=A^2 , M=A^(-2) , I=J*M J = -7 -19 -13 -8 8 -3 10 37 19 M = 0.3608 -0.1646 0.2209 0.1674 -0.0041 0.1139 -0.5158 0.0947 -0.2853 I = 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 -0.0000 -0.0000 1.000

- 300 -

3.7. Deljenje matrica

U matrinom raunu operacija deljenja nije definisana, ali u MATLAB - u postoje dve naredbe za deljenja:

\ oznaava deljenje sa leva, / oznaava deljenje sa desna.

Neka je A kvadratna regularna matrica, tada je

1\ *A B A B= , 1/ *A B B A= . Rezultati se dobijaju direktno, bez raunanja inverzne matrice.

PRIMER 27: Reiti matrinu jednainu AX B= gde su date matrice.

1 22 2

A = i 1 23 4

B =

Da bismo reili matrinu jednainu AX B= , kako za mnoenje matrica ne vai zakon komutacije, postupak je sledei:

AX B=

BAAXA 11 =

BAXBAIX

1

1

==

U MATLABu poslednja jednaina se moe napisati pomou simbola deljenja X=A\B. Zadati problem moe zato reiti na dva naina. >> A=[1,2;2,2]; B=[1,2;3,4]; >> X=A\B X = 2.0000 2.0000 -0.5000 0 >> X=inv(A)*B X = 2.0000 2.0000 -0.5000 0 PRIMER 28:

Reiti matrinu jednainu XA B= koristei matrice A i B iz prethodnog primera. Jednainu XA B= , odnosno njeno reenje 1= BAX moemo reiti matrinim deljenjem s desna X=A/B.

- 301 -

>> A;B; >> X=B*inv(A) X = 1 0 1 1 >> X=A/B X = 1 0 -1 1 3.8. Operacije nad poljem brojeva

Za mnoenje, stepenovanje i deljenje u polju brojeva ne vae pravila matrinog rauna, ve se mnoenje vri po principu lan po lan. U zapisu ove operacije sadre decimalnu taku ispred operatora .* , ./, .^.

PRIMER 29: Uoiti razliku izmeu mnoenja * i .* >> A=[1 2; 2 3]; B=[1 0; 2 3]; >> A*B ans = 5 6 8 9 >> A.*B ans = 1 0 4 9

Napomena: U prvom sluaju imamo matrino mnoenje , a u drugom mnoe se element po element.

- 302 -

VEBA: 1. Dati su elementi , , 2e . Formirati matricu 3x3, iju prvu vrstu ine dati brojevi,

drugu vrstu njihovi tangensi, a treu vrstu kvadratni koreni datih brojeva. 2. Koristei datu matricu A odrediti: a) lan na mestu (3,1), b) drugu vrstu matrice A, c) determinantu matrice 2A , d) transponovanu matricu matrice 1A . 3. Ukucati i objasniti:

A(:) , A(:,:) , A(1:2,3) , A(:,3:-1:1) , A([1 3],[2 3]).

4. Izraunati ( )2 1

4 det

TA A

A

++ koristei datu matricu A .

5. Izraunati ( )( )A I A I+ ako je 1 3 21 2 10 0 1

A =

.

6. Reiti matrinu jednainu CXBA =2 ako je:

=

0121

A ,

= 12

30B ,

=

118178

C .

- 303 -

VEBA 3 GRAFIKA

U MATLAB-u postoji mnogo komandi za crtanje grafika. Izgled grafika moe se

podeavati proizvoljnim izborom boje, debljine i vrste linija, unoenjem mree, naslova, komentara i slino. U ovoj vebi obraeno je crtanje dvodimenzionih grafika.

3.1. GRAFIKO PREDSTAVLJANJE FUNKCIJA JEDNE PROMENLJIVE Najjednostavniji nain za grafiko predstavljanje, sa linearnom podelom na osama,

je korienjem naredbe plot. Prilikom crtanja otvara se grafiki prozor za koji vae ista pravila kao kod Windows prozora.

Naredba ima oblik plot(x,y) Argumenti x i y su vektori, koji moraju imati isti broj elemenata.

PRIMER 1: Nacrtati vektor (1,2,4,8,16)x = . >> x=[1,2,4,8,16];plot(x)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

2

4

6

8

10

12

14

16

Iz ovog primera moemo videti da je MATLAB za vrednosti nezavisno promenljive x

uzeo redni broj elementa, a njihove slike, su vrednosti vektora x , tj. take nacrtanog grafika imaju koordinate )16,5(),8,4(),4,3(),2,2(),1,1( .

U optem sluaju naredba plot(x) crta grafik spajajui take

(i, x(i)), i=1, 2, 3,, N, gde je N duina vektora.

- 304 -

PRIMER 2: Nacrtati vektor dat koordinatama (1,2,4,8,16)x = i ( 1,2, 4,8,16)y = . >> x=[1,2,4,8,16]; y=[-1,2,-4,8,16]; plot(x,y)

0 2 4 6 8 10 12 14 16-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Naredba plot se koristi i za crtanje funkcija jedne promenljive. U ovom sluaju mora unapred da se definie domen promenljive x u kome e funkcija biti nacrtana.

PRIMER 3: Nacrtati funkciju 2 xy e= u domenu [ ]1,1x >> x=-1:1 x = -1 0 1 >> y=2*exp(x) y = 0.7358 2.0000 5.4366 >> plot(x,y)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

- 305 -

>> x=-1:.5:1 x = -1.0000 -0.5000 0 0.5000 1.0000 >> y=2*exp(x) y = 0.7358 1.2131 2.0000 3.2974 5.4366 >> plot(x,y)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

>> x=-1:.1:1; >> y=2*exp(x); >>plot(x,y)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Napomena:

U prvom sluaju koristili smo domen [ ]1,1 i MATLAB je za vrednosti nezavisno promenljive x uzeo tri uzastopne vrednosti 1,0,1 , a funkcija je nacrtana kao izlomljena linija kroz 3 take. U drugom i treem sluaju smo definisali korak 0,5 i 0,1 , pa je nezavisno promenljiva x imala 5 i 20 vrednosti , a funkcija je nacrtana kao izlomljena linija kroz 5, odnosno 20 taaka.

- 306 -

PRIMER 4: U istom koordinatnom sistemu nacrtati funkcije 1 2y x= i 2 2 xy e= , u domenu

[ ]1,1x , sa korakom 0.1 . >> x=-1:.1:1; y1=2*x ;y2=2*exp(x); plot(x,y1,x,y2)

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

3.2. IZBOR VRSTE I OBLIKA LINIJE

Naredbom plot u mogunosti smo da biramo izbor oblika i boje linija. Nareba ima oblik

plot( x,y,'vrsta linije boja').

Simbol linije Opis

. Takao Krugx x-znak+ Plus* Zvezda- Puna linija-. Taka crta: Takasta-- Isprekidana linija

- 307 -

Simbol boje Boja

y utam Ljubiastas Cijanr Crvenag Zelenab Plavak Crnaw Bela

PRIMER 5: U predhodnom primeru , proizvoljno, uvedimo oznake za vrstu i boju linije. >> x=-1:.1:1;y1=2*x; y2=2*exp(x); >> plot(x,y1,'g',x,y2,'m+')

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

3.3. CRTANJE GRAFIKA FUNKCIJA

Za crtanje grafika funkcija moemo da koristimo i naredbu fplot. Nareba ima oblik fplot(f(x),xmin,xmax)

( )f x je funkcija koju crtamo, x je vektor iji je prvi element xmin, a poslednji element xmax. U naredbi fplot funkcija se pie pod navodnicima ' f '.

- 308 -

PRIMER 6: Nacrtati funkciju 92 = xy u domenu [ ]3,3x . >> y='x^2-9'; fplot(y,[-3,3])

-3 -2 -1 0 1 2 3-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

3.4. OZNAAVANJE GRAFIKA I OSA

MATLAB nudi mogunosti oznaavanja osa, pisanje razliitog teksta i razne druge mogunosti.

Oznaka Opis

title() naziv grafika xlabel() naziv x oseylabel() naziv y osetext() naziv teksta na grafikugtext() tekst na poziciji oznaenoj miemgrid crtanje linija mree

Tekst u predhodnim naredbama pie se u zagradi pod navodnicima. Naredba hold on zadrava sliku na ekranu. Suprotna njoj je naredba hold off . U naredbi gtext korisnik naknadno sam odreuje miem mesto na koje eli da smesti tekst. PRIMER 7:

Nacrtati funkciju siny x= na domenu [ ]2 , 2x i koristei naredbe iz tabele obeleiti sliku.

>> y='sin(x)';fplot(y,[-2*pi,2*pi]) >> hold on >> grid >> title('sinusna funkcija')

- 309 -

>> xlabel('x osa') >> ylabel('y osa') >> gtext('max')

-6 -4 -2 0 2 4 6-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1sinusna funkcija

x osa

y os

a

max

Naredba subplot(m, n, p) formira vie grafika na ekranu. Ekran se deli na m n delova, a grafik se crta u p -tom delu ekrana. PRIMER 8:

Koristei naredbu subplot nacrtati funkcije: [ ], 1,1y x x= ; [ ], 0,1xy xe x= ; [ ]2 , 2, 2y x x= ; [ ]cos , ,y x x = .

>> x1=-1:1:1; y1=x1; >> x2=0:0.5:1; y2=x2.*exp(x2); >> x3=-2:.1:2; y3=x3.^2; >> x4=-pi:pi/16:pi; y4=cos(x4); >> subplot(2,2,1),plot(x1,y1) >> subplot(2,2,2),plot(x2,y2) >> subplot(2,2,3),plot(x3,y3) >> subplot(2,2,4),plot(x4,y4)

-4 -2 0 2 4-1

-0.5

0

0.5

1

-1 -0.5 0 0.5 1-1

-0.5

0

0.5

1

0 0.5 10

1

2

3

-2 -1 0 1 20

1

2

3

4

- 310 -

3.5. SKALIRANJE OSA Ose x i y automatski se postavljaju na osnovu minimalne i maksimalne vrednosti koordinata.

PRIMER 9: Nacrtati funkciju siny x= za -2 2x , a zatim postaviti da domen po x osi bude - x , a po y osi bude 2,2 . >> x=-2*pi:pi/16:2*pi; y=sin(x);plot(x,y),grid

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

>> axis([-pi,pi,-2,2])

-3 -2 -1 0 1 2 3-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Oznaka Opis

axis('equal') Provera se da li je prirataj po osama isti

axis(xmin,xmax,ymin,ymax) Zadaju se granice u kojima e biti nacrtan grafik

axis('normal') Vraanje na prvobitne dimnezije grafika axis('axis') Vraanje na prvobitno skaliranje

axis Dobija se informacija o trenutnim dimenzijama

- 311 -

VEBA:

1. Nacrtati funkcije siny x= i cosy x= u domenu od 0, 2 , sa korakom16

.

2. Nacrtati funkciju 2 5 6y x x= + u proizvoljnom domenu i opisati je tekstom. 3. Koristei naredbu subplot nacrtati sledee funkcije:

xy 21 = ; 32 xy = ; )sin(3 xy = ; xy =4 za: a) [ ]1,0x , 4. Nacrtati funkciju 2

21

xyx

= + u domenu x [-2,2]

5. Nacrtati funkciju 0.53.5 cos 6xy x= u domenu x [-2,4] sa korakom 0,01.

- 312 -

VEBA 4 UPRAVLJANJE PROGRAMOM

Raunarski program je niz naredbi. Kada je program jednostavan naredbe se izvravaju jedna za drugom, po redosledu kako su napisane. Meutim, postoje sloeni programi kada se naredbe ne moraju tako izvravati. MATLAB ima vie naredbi koje omoguavju korisniku da upravlja tokom programa. To su naredbe: if, for, while, else, break, error, while...

Uslovni iskaz je naredba koja omoguava MATLABu da se odlui da li e izvriti grupu naredbi koje slede ili e ih preskoiti. U uslovnom izrazu mora se zadati uslov.

1. USLOVNI IZRAZ : IF Naredba if se koristi za uslovno izvravanje programa. Prilikom izvravanja

programa prvo se dolazi na iskaz if . Ako je uslovni izraz u iskazu if taan, program izvrava komande koje neposredno slede, sve do iskaza end. Ako je uslovni iskaz netaan, program preskae komande izmeu if i end i nastavlja da izvrava komande iza iskaza end.

Oblik petlje je if izraz naredbe end

- 313 -

if izraz naredbe 1 else naredbe 2 end

if izraz 1 naredbe 1 elseif izraz 2 naredbe 2 else naredbe 3 end

- 314 -

Za unoenje vrednosti promenljive moe da se koristi naredba input. Naredba ima oblik ime promenljive=input (tekst koji e biti prikazan u prozoru). Za ispisivanje izlaznih rezultata koristi se naredba disp. Naredba ima oblik disp(tekts koji e biti prikazan u prozoru ). PRIMER 1:

Uneti godine starosti i ako je broj godina manji od 21 na izlazu ispisati 'zabranjen alkohol', a u suprotnom izai iz programa.

>> godine=input('godine su:'); Godine su:12 >> if godine > godine=input('godine su :'); Godine su :33 >> if godine

U prvom sluaju uneti broj godina je bio manji od 21, pa smo na ekranu dobili ispis zabranjen alkohol. U drugom sluaju je bio vei od 21 i na ekranu nije bilo ispisa.

PRIMER 2:

Uneti godine starosti i ako je broj godina manji od 21 ispisati na izlazu 'zabranjen alkohol', a u suprotnom ispisati na izlazu 'dozvoljen alkohol'.

>> godine =input ('godine su:'); godine su:23 >> if godine x=input('x=') x=4 x = 4 >> if x

elseif x= =2 y=2; else y=2*x; disp(y) end 8 Napomena:

Treba obratiti panju da u izrazu x= =2 koristi se oznaka = = , a ne =, zato to se u ovom izrazu koristi logiki operator za uporeivanje veliina.

2. USLOVNI IZRAZ: FOR- PETLJA

for petlja omoguava ponavljanje dela programa zadati broj puta. Zavrava se komandom end.

Oblik petlje: for promenljiva=izraz

naredbe end

PRIMER 4:

Za sve vrednosti promenljive { }1, 2,3, 4,5x izraunati vrednost funkcije sin 2y x= .

- 317 -

>> for x=1:5 y (x)=sin(2*x); end >> y y= 0.9093 -0.7568 -0.2794 0.9894 -0.5440 PRIMER 5 : Napisati matricu 4 3A iji se elementi izraunavaju po zakonu

( ) 1,2 2

a i ji j

= + >> for i=1:4 for j=1:3 A(i,j)=1/(2*i+j-2); end end >> A A = 1.0000 0.5000 0.3333 0.3333 0.2500 0.2000 0.2000 0.1667 0.1429 0.1429 0.1250 0.1111 U ovom primeru koriena je dupla for petlja.

3. USLOVNI IZRAZ: WHILE - PETLJA

`While petlja koristi se za ponavljanje skupa naredbi dokle god je neki uslov taan i kada nije poznat broj prolaza kroz petlju unapred. Uslov je obino neko poreenje u kome se koriste relacijski logiki operatori.

Oblik petlje: while izraz naredbe end

PRIMER 6: Izraunavati vrednosti promenljive x , po zakonu 2x x= , dogod je 15x . >> x=1; >> while x > x x = 16

- 318 -

Napomena: Na poetku zadatka mora se definisati poetna vrednost promenljive x .

Kako funkcionie nareba, preciznije se moe videti, ako prikaemo sve meu-rezultate promenljive x.

>> x=1 >> while x > s=0; >> n=1; >> while abs((-1)^n/n^2)>10^(-4) s=s+(-1)^n/n^2; n=n+1; end >> s s = -0.8225

- 319 -

PRIMER 8: Neka je !

1.....!3

1!2

1n

sn +++= . Reiti nejednainu 7.0> n=1 ; p=1 ; s=0 ; >> while s> n-1 ans = 3 VEBA: 1. Formirati matricu dimenzija 5x5 iji se elementi formiraju po zakonu

jijia 2),( += . 2. Za unete godine starosti, u zavisnosti da li je taj broj manji od 21 ispisati na

izlazu 'zabranjen alkohol', ako je broj godina vei od 65 ispisati 'alkohol zabranjen iz zdravstvenih razloga', inae, ispisati 'dozvoljeno piti umereno'.

3. Izraunati 5! koristei petlje.

4. Neka je 1 1 12 3n

an

= + + +" . Reiti nejednainu 2na < .

- 320 -

VEBA 5 M-FAJLOVI (DATOTEKE)

Svi dosadanji primeri bili su izvravani u komandnom prozoru. Nedostatak

ovakvog naina rada je gubljenje unetih podataka i svih dobijenih rezultata nakon

zavretka rada u MATLAB-u. Zato se namee potreba za formiranjem fajlova u koje se

mogu smestiti programi, numeriki rezultati, grafici, strukture, itd., a koji e ostati trajno

sauvani i po potrebi biti pozivani od strane korisnika.

Komande se upiu u fajlove, snime i zatim pokrenu. Pokretanjem takvog fajla

komande se izvravaju redom kojim su navedene.

M fajlovi su specifinost MATLAB-a. To su fajlovi koji sadre tekst u ASCII kodu i u

imenu imaju ekstenziju .m.

Postoje dve vrste M fajlova: komandni (script) i funkcijski (function).

1. KOMANDNI ILI SKRIPT FAJLOVI

Komandni ili skript fajl predstavlja niz MATLAB-ovih komandi snimljenih kao zaseban

program, koje se izvravaju kada se fajl pozove.

Formiranje fajlova vri se korienjem editora teksta koji se u MATLAB

programskom paketu pokree tako to se iz menija File komandnog prozora bira

komanda New, a zatim opcija M-file. Tada se otvara nov prozor za pisanje

programa. Komande se piu red po red. MATLAB automatski dodeljuje broj novom

redu kada se pritisne taster Enter. Skript fajl mora biti snimljen da bi se mogao

pokrenuti. To se radi naredbom Save As iz menija File, posle ega bira se mesto gde

e se snimiti fajl i ime pod kojim se snima. Pravila za imena su ista kao i za imena

promenljivih (poinju slovom, mogu sadrati cifre i imaju najvie 63 znaka). Imena skript

fajlova ne mogu biti imena MATLAB-ovih komandi ili imena promenljivih koje definiete.

Fajl se poziva ukucavanjem njegovog imena u komandnoj liniji.

Program se izvrava ukucavanjem imena fajla bez ekstenzije i pritiskom na

taster Enter.

- 321 -

PRIMER 1:

Napisati fajl za odreivanje zbira kvadrata prvih deset prirodnih brojeva i sauvati fajl pod imenom zbir.

Prvo je potrebno iz menija File komandnog prozora izabrati komandu New, a zatim opciju M-file. U novootvorenom prozoru ukucati program za izraunavanje traenog zbira.

% ime ovog m fajla je zbir x=1:10; x=[x.^2]; z=sum(x)

Fajl mora da se snimi naredbom Save As iz menija File. U ovom primeru snima se pod imenom zbir. Svaki put kada nam je potreban ovaj rezultat, dovoljno je samo otkucati re zbir, pod kojim smo upamtili ovaj fajl i pritisnuti taster Enter. Kao rezultat dobijamo:

z = 385 Napomena:

Ukoliko elimo da promenimo vrednosti u fajlu, moramo ga otvoriti, promeniti eljene vrednosti i ponovo snimiti ovako izmenjeni fajl.

- 322 -

PRIMER 2: Izmeniti fajl pod imenom zbir tako da broj sabiraka bude proizvoljan. Vrednost promenljive uneti naredbom input.

x=input('unesi broj eljenih sabiraka ') y=1:x; y=[y.^2]; S=sum(y)

Svaki put kada nam je potreban zbir kvadrata proizvoljno mnogo brojeva, dovoljno je samo otkucati re zbir pod kojom smo upamtili ovaj fajl i uneti broj eljenih sabiraka.

>> zbir unesi broj eljenih sabiraka: 33 x = 33 S = 12529

2. FUNKCIJSKI FAJLOVI Funkcijski fajl omoguava korisniku MATLAB-a da stvara nove funkcije. Funkcijski fajlovi se piu i ureuju isto kao i skript fajlovi. Osnovna osobina funkcijskog fajla je da ima ulaz i izlaz. Funkcijski fajlovi moraju u prvoj liniji da sadre naredbu function . Naredba je oblika: function [ izlazni argumenti y1, y2,] = ime funkcije (ulazni argumenti x1, x2,) function ime funkcije (x1, x2,) function [y1, y2,] = ime funkcije Posle ovoga izraza sledi niz MATLAB - ovih komandi i izraza. PRIMER 3:

Formirati funkcijski fajl u kome se definie nova funkcija ( ) sinxf x e x= + i zapamtimo ga pod imenom fi.

% funkcijski fajl % ime nove funkcije je fi function y=fi(x) y=exp(x)+sin(x);

- 323 -

Ako elimo da izraunamo vrednost ove funkcije, dovoljno je da pozovemo

funkciju fi i definiemo vrednost promenljive, na primer 2

x = . >> fi(pi/2) ans = 5.8105 PRIMER 4:

Formirati funkcijski fajl u kome se definie nova funkcija ( ) sinxf x e x= + pod imenom fa, a da se vrednost nezavisno promenljive unesi korienjem naredbe input

% ime nove funkcije je fa function y=fa x=input('unesi promenljivu x= ') y=exp(x)+sin(x);

Pozivanjem funkcije fa i odgovorom na postavljeno pitanje dobiemo odgovor: >> fa unesi promenljivu x=3 x = 3 ans = 20.2267 PRIMER 5:

Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim se odreuje broj slova u nekom imenu.

% funkcijski fajl ime kojim se odreuje broj slova u imenu function br(x) x=input('unesi svoje ime:','s') % oznaka s u naredbi oznaava da se unose stringovi n=length(x); disp(['broj slova u imenu je',num2str(n)]) >> ime unesi svoje ime: ivana x = ivana broj slova u imenu je 5

U naredbi disp, tekst je definisan kao dvodimenzioni vektor, ija je prva komponenta znak (string), a druga koja kao rezultat programa daje broj koji mora da se naredbom num2str prebaci u znak (string).

- 324 -

PRIMER 6: Formirati funkcijski fajl pod imenom element, za izraunavanje elemenata matrice

dimentija n m , gde je ( )sin 2ija ij i= za i j= , a ( ) 1sin 2 2ija ij i= + za i j .

% izraunavanje elemenata matrice function a=element(i,j) if i= =j a=sin(2*i*j-i); else a=sin(2*i*j-i)+0.5; end

Ako elimo da odredimo bilo koji element nae matrice, na primer element (2,3), pozvaemo formirani fajl pod imenom element:

>> element(2,3) ans = -0.0440

Koristei formirane fajlove moemo formirati nove funkcijske fajlove. PRIMER 7:

Formirati funkcijski fajl pod imenom matrica, za definisanje matrice prizvoljnog reda n m , iji su elementi dati funkcijskim fajlom pod imenom element.

% formiranje matrice iji su elementi sinusne funkcije iz fajla pod imenom element % ime novog fajla je matrica function A=matrica(m,n) for i=1:m for j=1:n A(i,j)=element(i,j); end,end

Ako elimo da definiemo neku odreenu matricu na primer matricu sa 2 vrste i 3 kolone moemo postupiti na sledei nain:

>> matrica(2,3) ans = 0.8415 0.6411 -0.4589 1.4093 -0.2794 -0.0440

- 325 -

VEBA: 1. Napraviti skript fajl za crtanje funkcije cosy x= , na intervalu ( ), pod

imenom funkcija.

2. Neka je 1 1 12 3n

an

= + + +" . Definisati fajl kojim se reava nejednaina na k< , za razne vrednosti parametra k .

3. Formirati funkcijski fajl pod imenom si kojim se izraunava funkcija xx)sin(

, zatim

izraunati 2

si , ( )0si . 4. Formirati funkcijski fajl pod imenom ime kojim svako unosi svoje ime i prezime,

prebrojava broj slova i ako je taj broj manji od 15 odreuje moduo i argument kompleksnog broja 1 3z i= + , ako je broj slova izmeu 15 i 20 definie jedininu matricu 3 3 , a ako je vei od 20 izraunava sumu kvadrata prvih 100 prirodnih brojeva.

5. Napravite skrip fajl pod imenom kvadkoreni koji rauna realna reenja jednaine

02 =++ cbxax . Koefcijente a,b,c unosi korisnik, diskriminanta se rauna po formuli acbd 42 = . Ako je:

i. 0>d prikazuje poruku Jednaina ima 2 reenja i izraunava 2,1x . ii. 0=d prikazuje poruku Jednaina ima 1 reenje i izraunava ga. iii. 0

VEBA 6 JEDNAINE I SISTEMI ALGEBARSKIH JEDNAINA 1. SREIVANJE POLINOMA

Za izraunavanje reenja, korena, odnosno nula polinoma koristi se naredba roots.

Naredba ima oblik r = roots (p)

r je vektor koji sadri reenja polinoma, a p vektor koji sadri koeficijente polinoma.

PRIMER 1: Odrediti nule polinoma 2 5 6 0x x + = . >> p=[1 -5 6]; >> r=roots(p) r = 3.0000 2.0000

Sa druge strane, kada su poznata reenja polinoma, pomou naredbe poly mogu se odrediti koeficijenti polinoma, odnosno napisati polinom.

Naredba ima oblik p=poly (r)

r je vektor koji sadri reenja polinoma, a p je vektor koji sadri koeficijente polinoma. PRIMER 2:

Odrediti polinom ija su reenja 2x = i 3x = . >> r=[2 3]; >> p=poly(r) p = 1 -5 6

Dakle, traeni polinom je 2 5 6x x + .

- 327 -

Vrednost polinoma u taki x moe se izraunati pomou funkcije polyval. Naredba ima oblik: polyval (p,x)

gde je p vektor koji sadri koeficijente polinoma, a x je broj, promenljiva kojoj je dodeljena vrednost ili izraz koji se moe raunati.

PRIMER 3:

Za polinom: ( ) 88.3595.71015.1759.401.12 2345 ++= xxxxxxf izraunati ( )9f i nacrtati grafik polinom za 7.65.1 x .

>> p=[1 -12.1 40.59 -17.015 -71.95 35.88] p = 1.0000 -12.1000 40.5900 -17.0150 -71.9500 35.8800 >> polyval(p,9) ans = 7.2611e+003 >> x=-1.5:0.1:6.7; >> y=polyval(p,x); >> plot(x,y)

- 328 -

2. OPERACIJE SA POLINOMIMA

Polinomi se sabiraju i oduzimaju tako to se saberu, odnosno oduzmu koeficijenti polinoma (odgovarajuih monoma).

PRIMER 4:

Sabrati polinome ( ) 3 21 3 2 4 6p x x x x= + i ( ) 4 3 22 2 7 3 1p x x x x x= + + .

>> p1=[3 -2 -4 6]; >> p2=[1 2 -7 -3 1]; >> p=[0 p1]+p2 p = 1 5 -9 -7 7

Kako polinomi nisu istog stepena krai vektor se mora dopuniti nulama da bi bio iste veliine kao dui vektor.

Polinomi se mnoe pomou naredbe conv.

Naredba ima oblik c=conv (a,b)

c je vektor koeficijenata polinoma rezultata, a a i b su vektori koeficijenta polinoma koji se mnoe.

PRIMER 5:

Pomnoiti polinome 1p i 2p . >> c=conv(p1,p2) c = 3 4 -29 3 49 -32 -22 6 Dakle, reenje je polinom 7 6 5 4 3 23 4 29 3 49 32 22 6x x x x x x x+ + + + Polinomi se dele pomou naredbe deconv. Naredba ima oblik [q,r]=deconv (a,b)

q je vektor koeficijenata polinoma kolinika, r vektor koeficijenata polinoma ostatka, a je vektor koeficijenta polinoma brojioca, b je vektor koeficijenta polinoma imenioca.

- 329 -

PRIMER 6: Podeliti polinome ( ) 3 21 2 9 7 6p x x x x= + + i ( )2 3p x x= + .

>> p1=[2 9 7 -6]; >> p2=[1 3]; >> [q r]=deconv(p1,p2) q = 2 3 -2 r = 0 0 0 0 Dobijamo da je kolinik polinom 22 3 2x x+ , bez ostatka.

3. REAVANJE JEDNAINA SA JEDNOM PROMENLJIVOM

Jednaina sa jednom promenljivom ima oblik ( ) 0f x = . Za izraunavanje nula funkcije koristi se naredba fzero.

Naredba ima oblik x=fzero('funkcija',x0)

x je skalarna vrednost.

Funkcija se unosi u obliku znakovnog niza ( string ). Funkcija se prethodno moe definisati u funkcijskom fajlu, a ime funkcije se zadaje u obliku znakovnog niza.

0x je vrednost promenljive x u blizini mesta gde funkcija preseca x osu.

0x moe biti skalar ija je vrednost bliska taki preseka funkcije sa x osom ili vektor sa dva elementa ije su vrednosti take na suprotnim stranama reenja. Ako ima vie reenja svako se izraunava za sebe.

Poetno reenje 0x se moe odrediti grafikim putem. Funkcija fzero pronalazi samo reenja u kojima funkcija preseca x osu.

PRIMER 7: Nai reenja jednaine 0.2xxe = Priblina reenja odreujemo grafiki. >> fplot('x*exp(-x)-0.2',[0 8]);grid

- 330 -

0 1 2 3 4 5 6 7 8-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

Sa slike itamo da su priblina reenja 0,3 i 2,8 . >> x1=fzero('x*exp(-x)-0.2',0.3) x1 = 0.2592 >> x2=fzero('x*exp(-x)-0.2',2.8) x2 = 2.5426

4. REAVANJE SISTEMA LINEARNIH JEDNAINA

Za reavanje sistema od n linearnih jednaina sa n nepoznatih mogu da se koriste razne metode: Gausova , Kramerova, matrina .

4.1. Kramerova metoda Kramerova metoda ili metoda determinanti Promenljive se izraunavaju po formulama

, ( 0, 1,2,..., )jjD

x D j nD

= = , gde je D determinanta tog sistema, a jD je pomona determinanta dobijena tako to su u D koeficijenti uz jx zamenjeni, redom, slobodnim lanovima jb .

Sistem ima jedinstveno reenje ako je 0D .

- 331 -

PRIMER 8: Kreirati fajl Cramer za reavanje sistema linearnih algebarskih jednaina koristei Kramerovo pravilo.

% Novi fajl pod imenom Cramer %Reavanje sistema AX=B- Cramerovim pravilom % m,n su dimenzije matrice A % samo kvadratni sistemi se mogu reavati ovom metodom function X=Cramer(A,B) %odreivanje dimenzija matrice A [m,n]=size(A); if m ~= n, error('Matrica nije kvadratna-ne moze da se primeni Kramerova metoda'), end if det(A)==0, error('Matrica je singularna-determinanta joj je nula'), end for j=1:n, C=A; C(:,j)=B; X(j)=det(C)/det(A); end X=X'; PRIMER 9:

Koristei kreirani fajl Cramer reiti sistem jednaina 2 4 0

2 2 63 6 6

x y zx y zx y

= + + =

+ =

>> A=[2 4 1 ; 1 2 2 ; 3 6 0]; >> B=[0 ; 6 ; 6]; >> Cramer(A , B) ans = 2 0 4 PRIMER 10:

Koristei kreirani fajl Cramer reiti sistem jednaina

2 3 13 2 16 3

x y zx y zx y z

+ + =+ = + =

.

- 332 -

>> A1=[2 3 1;1 3 2;1 6 1] A1 = -2 3 1 1 3 -2 1 -6 1 >> B1=[1;1;3] B1 = 1 1 3 Cramer(A1,B1) ??? Error using ==> cramer Matrica je singularna 4.2. Matrina metoda

Matrinom metodom, sistem od n linearnih jednaina sa n nepoznatih, mora da se napie u obliku AX B= , gde je A matrica sistema, X matrica nepoznatih, a B matrica slobodnog lana. Reenje dobijamo iz jednaine 1X A B= , samo ako postoji inverzna matrica

1A , odnosno ako je njena determinanta razliita id nule. PRIMER 11:

Reiti sistem jednaina matrinom metodom 2 3 1

3 2 16 3

x y zx y zx y z

+ + =+ = + =

.

>> A=[-2 3 1;1 3 -2;1 -6 -1] A = -2 3 1 1 3 -2 1 -6 -1 >> B=[1;1;3] B = 1 1 3 >> X=inv (A)*B X = -2.5000 -0.5000 -2.5000

- 333 -

PRIMER 12: Reiti sistem jednaina matrinom metodom i koristei kreirani fajl Cramer. Uporediti ovako dobijena reenja.

2 3 11

3 5 2 192 3 14

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

>> M=[2, 3, 1 ; 3, 5, 2 ; 1, 2, 3] M = 2 3 1 3 5 2 1 2 3 >> N=[11 ; 19 ; 14] N = 11 19 14 >> X1=inv(M)*N X1 = 1.0000 2.0000 3.0000 >> X2=Cramer(M,N) X2 = 1 2 3

- 334 -

VEBA: 1. Reiti jednainu 4 22 1 0x x + = koristei naredbu fzero. 2. Nacrtati grafik polinoma 25.1275.002.0 34 += xxxy u opsegu 66 x .

3. 0=+ BXXA , ako je

=

113120241

A i

=

030212101

B .

4. Reiti sistem jednaina matrinom metodom i koristei kreirani fajl Cramer.

Uporediti ovako dobijena reenja.

3 2 12 3

2 7

x y zx y zx z

+ = + =+ =

5. Napisati skript fajl kojim se za unete polinome: p(x)=x7+3x6+2x4-12x3-3x2+7x+3 i q(x)=x5-6x4+2x3 -3x -8, odreuje proizvod , kolinik i nule(koreni) zbira polinoma.

- 335 -

VEBA 7 SIMBOLIKA MATEMATIKA

Sve matematike operacije koje smo do sad koristili bile su numerike. Zadati izrazi sadrali su brojeve i promenljive kojima su predhodno dodeljene numerike vrednosti. Rezultat takvih operacija je numerika vrednost ( broj ili vektor brojeva).

Sa druge strane, mnogi matematiki problemi zadati su izrazima koji sadre simbolike promenljive, koje nemaju numeriku vrednost u trenutku izvrenja. Rezultat takvih operacija je simboliki izraz.

Symbolic Math Toolbox nam omoguava da radimo sa simbolikim promenljivim. Komande i funkcije za simbolike operacije imaju istu sintaksu i stil rada kao komande za numerike operacije.

1. SIMBOLIKI OBJEKTI I IZRAZI Simboliki objekti mogu biti promenljive ( kojoj nije dodeljena numerika vrednost ), brojevi ili izrazi sastavljeni od simbolikih promenljivih i brojeva . Naredbe za definisanje simbolikih promenljivih su sym ili syms. Naredba ima oblik ime objekta = sym ( ' znakovni izraz' ) >> a=sym('a') a= a PRIMER 1: Napisati 15 kao simboliku, a zatim kao numeriku promenljivu. > s=sym('15') s = 15 >> s=15 s = 15

- 336 -

Napomena: Rezultat u prvom sluaju je simbolika promenljiva i rezultat se prikazuje na ekranu sa uvlakom, nasuprot drugom rezultatu koji je numeriki rezultat i na ekranu se prikazuje bez uvlake.

Naredba syms koristi se za definisanje vie simbolikih objekata.

Syms ime promenljive ime promenljive ....... PRIMER 2: Napisati simboliki izraz 2f ax bx c= + + . To moemo uiniti na dva naina: >>% Prvi nacin >> syms a b c x >> f=a*x^2+b*x+c f = a*x^2+b*x+c >>% PDrugi nacin >> f=a*x^2+b*x+c f = a*x^2+b*x+c Napomena:

Za razliku od predhodnog primera gde smo definisali sve ulazne promenljive i dobili simboliki izraz f, u drugom primeru nismo definisali ulazne promenljive i samim time sa simbolikim izrazom f ne moemo vriti nove operacije u kojima uestvuju promenljive a,b,c,x, jer ih nismo posebno definisali. Na primer ne moemo sabrati izraz f i promenljivu x.

PRIMER 3:

Izraunati vrednost izraza 2y ba

= + za 3a = i 4b = . Prvo uzeti da su a i b simbolike promenljive, a zatim ih zadati kao numerike vrednosti.

> a=sym(3);b=sym(4); >> c=2/a+sqrt(b) c = 8/3 >> a=3;b=4; >> c=2/a+sqrt(b) c = 2.6667

- 337 -

Napomena: Ako raunamo sa simbolikim promenljivama rezultat je tana brojna vrednost i vidi se na ekranu bez uvlake, a u drugom sluaju rezultat je priblina numerika vrednost.

2. REAVANJE JEDNAINA Reavanje jednaina i sistema jednaina vri se naredbom solve(). Naredba ima oblik :

s=solve(jednaina) s=solve(jednaina, promenljiva )

PRIMER 4:

Reiti jednainu 2 5 0x = > syms x >> y=solve(2*x-5) y = 5/2

Jednaina sadri jednu ulaznu simboliku promenljivu x , a reenje je broj, dat kao simbolika promenljiva.

PRIMER 5:

Reiti jednainu 2 0ax bx c+ + = . >> syms x a b c >> solve(a*x^2+b*x+c) ans = [ 1/2/a*(-b+(b^2-4*a*c)^(1/2))] [ 1/2/a*(-b-(b^2-4*a*c)^(1/2))] Jednaina sadri vie ulaznih simbolikih promenljivih , , ,x a b c , a reenje je simbolika promenljiva u funkciji ulaznih parametara , ,a b c . 3. REAVANJE SISTEMA JEDNAINA

Naredbe imaju oblik :

[r1,r2,...]=solve (jednaina 1, jednaina 2,....)

rezultat=solve(jednaina 1, jednaina 2,..., promenljiva1 promenljiva2,.....,)

- 338 -

PRIMER 6: Reiti sistem jednaina 5 3x y+ = i 2 4x y = .

>> [x,y]=solve( 'x+5*y-3','2*x-y-4') x = 23/11 y = 2/11 Napomena:

Kako je sistem saglasan i ima jednoznano reenje, mi ga vidimo na ekranu kao par simbolikih brojeva.

PRIMER 7:

Reiti sistem jednaina 5 3x yz+ = i 2 4x y = . >> [x,y]=solve( 'x+5*y*z-3','2*x-y-4') x = (20*z+3)/(1+10*z) y = 2/(1+10*z) Napomena:

Kako je sistem saglasan, a ima beskonano mnogo reenja, mi reenje vidimo na ekranu kao simboliku promenljivu izraenu u funkciji promenljive z .

PRIMER 8:

Odrediti presek kruga 2 2 41x y+ = i prave 1 0y x = . >> syms x y > [x y]=solve('x^2+y^2-41','y-x-1') x = 4 -5 y = 5 -4

4. CRTANJE GRAFIKA KRIVE SIMBOLIKOG IZRAZA Crtanje grafika simbolikog izraza se radi korienjem naredbe ezplot. Naredba ima oblik :

ezplot(S)

ezplot(S,[xmin,xmax,ymin,ymax])

- 339 -

S je simboliki izraz krive koja se crta. U prvoj naredbi ezplot(S) grafik se crta u domenu ( )2 , 2 , a u drugoj sami zadajemo domen promenljive x i promenljive y .

PRIMER 9: Nacrtati grafik funkcije 2 2 1y x x= + + . >> syms x >> y=x^2+2*x+1; >> ezplot(y)

-6 -4 -2 0 2 4 6

0

10

20

30

40

50

x

x2+2 x+1

PRIMER 10: Nacrtati grafik funkcije cosy x= , na intervalu ( )0, 4 >> syms x >> y=cos(x); >> ezplot(y,[0,4*pi])

0 2 4 6 8 10 12

-1

-0.5

0

0.5

1

x

cos(x)

- 340 -

VEBA: 1. Reiti jednainu 2 2 0x x = . 2. Reiti jednainu 2 5 2 0ax bx+ = . 3. Reiti sistem jednaina 2 1 0x y = i 2 4 0x y+ + = . 4. Nacrtati funkciju 1xy e= + u razliitim domenima. 5. Ispitati uzajamni poloaj kruga 2 2 1x y+ = i pravih a) 4 0x y+ = , b) 1 0x y+ = , c) 2 0x y+ = . Zadatak uraditi raunski i grafiki.

- 341 -

VEBA 8 GRANINA VREDNOST I IZVOD FUNKCIJE 1. GRANINA VREDNOST FUNKCIJE Naredbom limit rauna se granina vrednost simboliki zadate funkcije. Naredba ima oblik limit(f,a) gde je f funkcija, a vrednost kojoj tei nezavisno promenljiva x . PRIMER 1:

Nai graninu vrednost funkcije 2

21

1lim2 3x

xx x

+ .

>> syms x >> limit( (x.^2-1)/(x.^2+2*x-3),1) ans = 1/2 PRIMER 2:

Nai graninu vrednost funkcije 2

2

1lim2 3x

xx x

+ .

>> syms x >> limit( (x.^2-1)/(x.^2+2*x-3),inf) ans = 1

2. IZVOD FUNKCIJE Naredbom diff dobija se izvod simboliki zadate funkcije. Naredba ima oblik

diff(f) prvi izvod funkcije, diff(f,n) n-ti izvod funkcije.

- 342 -

PRIMER 3: Nai prvi izvod funkcije xxy sin3= .

>> syms x >> y=x.^3*sin(x); >> diff(y) ans = 3*x^2*sin(x)+x^3*cos(x) >> pretty(ans) 2 3 3 x sin(x) + x cos(x) PRIMER 4:

Nai drugi izvod zadate funkcije. >> syms x >> y=x.^3*sin(x); >> diff(y,2) ans = 6*x*sin(x)+6*x^2*cos(x)-x^3*sin(x) 3. PRIMENE IZVODA

3.1. Odeivanje ekstremnih i prevojnih taaka

Ekstremne vrednosti funkcije dobijamo kao nule prvog izvoda funkcije, a prevojne take kao nule drugog izvoda funkcije.

Naredba double pretvara simboliku promenljivu u numeriku, dvostruke preciznosti sa decimalnim zarezom.

PRIMER 5:

Odrediti ekstremne i prevojne take funkcije )23( 2xxey x = . >> syms x >> y=exp(x)*(3*x-2*x.^2) ; >>% izracunavanje ekstrema >> E=diff(y) E = exp(x)*(3*x-2*x^2)+exp(x)*(3-4*x) >>% nule prvog izvoda >> xe=solve(E) xe =

- 343 -

1 -3/2 >>% prebacivanje simbolickih vrednosti u numericke >> xed=double(xe) xed = 1.0000 -1.5000 >> y1=exp(1)*(3*1-2*1.^2) y1 = 2.7183 >> double(y1) >> y2=exp(-1.5)*(3*(-1.5)-2*(-1.5).^2) y2 = -2.008 >>% izracunavanje prevoja >> P=diff(y,2) P = exp(x)*(3*x-2*x^2)+2*exp(x)*(3-4*x)-4*exp(x) >>% nule drugog izvoda >> xp=solve(P) xp = -5/4+1/4*41^(1/2) -5/4-1/4*41^(1/2) >>% prebacivanje simbolickih vrednosti u numericke >> xp=double(xp) xp = 0.3508 -2.8508 >> yp1=exp( 0.3508)*(3*( 0.3508)-2* (0.3508).^2) yp1 = 1.1451 >> yp2=exp( -2.8508)*(3*( -2.8508)-2* ( -2.8508).^2) yp 2= -1.4338 U predhodnom primeru nismo bili dovoljno precizni. Nule prvog izvoda koje smo

odredili predstavljaju samo stacionarne take, odnosno, mogue ekstreme. Da bismo odredili da li su izraunate stacionarne take zaista ekstremi, moramo

ispitati promenu znaka pravog izvoda u njima, ili koristiti znak drugog izvoda.

Ako je 0x dobijena stacionarna taka i ( )0 0y x > u toj taki funkcija ima minimum,

- 344 -

( )0 0y x < u toj taki funkcija ima maksimum. Ako je ( )0 0y x = , ne moemo odrediti vrstu ekstrema.

PRIMER 6 :

Odrediti ekstremne take funkcije xy xe= .

Primer emo reiti uz pomo M fajla koji emo nazvati stacionarna_tacka i if iskaza. % M file nazvati stacionarna_tacka syms x y=input('Unesite funkciju') y1=diff(y) x1=solve(y1) y2=diff(y1) x0=input('Unesite nule prvog izvoda: ') y0= input ('Unesite drugi izvod u funkciji x0: ') if y0< 0 disp('Funkcija ima maksimum') elseif y0> 0 disp('Funkcija ima minimum') else disp('Ne moze se odrediti ekstrem') end Pozivamo fajl u komandnom prozoru >> stacionarna_tacka Unesite funkciju: x*exp(x) y = x*exp(x) y1 = exp(x)+x*exp(x) x1 = -1 y2 = 2*exp(x)+x*exp(x) Unesite nule prvog izvoda: -1 x0 = -1

- 345 -

Unesite drugi izvod u funkciji x0: 2*exp(x0)+x0*exp(x0) y0 = 0.3679 Funkcija ima minimum

PRIMER 7 :

Nacrtati funkciju 2

2xyx

= i tekstom opisati sliku. >> syms x >> y=x.^2/(x-2); >> limit(y,2) ans = NaN >> limit(y,inf) ans = Inf >> solve(y) ans = 0 0 >> ezplot(y) >> grid, hold on >> gtext('nula(0,0)') >> d=diff(y) d = 2*x/(x-2)-x^2/(x-2)^2 >> s=solve(d) s = 0 4 >> y1=0.^2/(0-2) y1 = 0 >> y2=4.^2/(4-2) y2 = 8 >> gtext('max(0,0)') >> gtext('min(4,8)') >> xlabel('x osa') >> ylabel('y osa')

- 346 -

-6 -4 -2 0 2 4 6

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

x osa

x2/(x-2)

nula(0,0)

max(0,0)

min(4,8)

y os

a

3.2.Tejlorova formula

Naredbom taylor odreuje se Tejlorov odnosno Maklorenov polinom kojim se

aproksimira data funkcija.

Naredba ima oblik

taylor(f) odreuje se Maklorenov polinom petog stepena kojim se aproksimira

data funkcija,

taylor(f,n) odreuje se Maklorenov polinom n-1 vog stepena kojim se

aproksimira data funkcija,

taylor(f,a) odreuje se Tejlorov polinom petog Stepena u okolini take a kojim se

aproksimira data funkcija.

PRIMER 8:

Odrediti Maklorenov polinom funkcije xey = . >> syms x >> taylor(exp(-x)) ans = 1-x+1/2*x^2-1/6*x^3+1/24*x^4-1/120*x^5 >> pretty(ans) 2 3 4 5 1 - x + 1/2 x - 1/6 x + 1/24 x - 1/120 x

- 347 -

PRIMER 9:

Odrediti Tejlorov polinom estog stepena funkcije u okolini take 2=x .

>> syms x >> taylor(sin(x),pi/2,7) ans = 1-1/2*(x-1/2*pi)^2+1/24*(x-1/2*pi)^4-1/720*(x-1/2*pi)^6 >> pretty(ans) 2 4 6 1 - 1/2 (x - 1/2 pi) + 1/24 (x - 1/2 pi) - 1/720 (x - 1/2 pi)

PRIMER 10:

Odrediti Maklorenove polinome prvog treeg i petog stepena funkcije xy sin= i grafiki predstaviti.

% Maklorenovim polinomima prvog, treceg i petog stepena aproksimirati % funkciju sin(x) i graficki predstaviti. syms x y=sin(x); t1=taylor(y,3),t3=taylor(y,5),t5=taylor(y,7) t1 = x t3 = x-1/6*x^3 t5 = x-1/6*x^3+1/120*x^5 % crtanje funkcije i njenih polinoma ezplot(y,[-3,3]),grid,hold on, ezplot(t1,[-3,3]),ezplot(t3,[-3,3]),ezplot(t5,[-3,3]) %obelezavanje slike gtext('y'),gtext('t1'),gtext('t3'),gtext('t5') title('aproksimacija funkcije polinomima prvog, treceg i petog stepena')

- 348 -

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1

-0.5

0

0.5

1

x

aproksimacija funkcije polinomima, prvog, treceg i petog stepena

y

t1 t3

t5

3.3. Lagranova teorema

Ako je funkcija definisana na intervalu [ ]ba, , neprekidna i diferencijabilna na ( )ba, onda postoji taka ( ),c a b takva da je ( ) ( ) ( )

abafbfcf

=' . Geometrijski to znai da e u taki c tangenta funkcije biti paralelna sa pravom koja prolazi kroz take ( )( )afa, i ( )( )bfb, .

PRIMER 11:

Definisati fajl pod imenom lagr kojim se odreuje taka c na intervalu [ ]4,1x koja zadovoljava uslove Lagranove teoreme za funkciju ( ) xxf = .

% fajl pod imenom lagr % Lagranzova teorema srednje vrednosti % interval [a,b] syms x a=input ('a='); b=input ('b='); y=sqrt(x) k=(sqrt(b)-sqrt(a))/(b-a); % izvod funkcije df=diff(y) % nule prvog izvoda funkcije c=solve(df-k); yc=sqrt(c); pretty (c) c,yc

- 349 -

>> lagr a=1 b=4 y = x^(1/2) df = 1/2/x^(1/2) c = 9/4 yc = 3/2

U ovom primeru taka c je pripadala traenom intervalu [ ]1, 4 , pa su bili ispunjeni uslovi teoreme.

PRIMER 12: Odrediti taku c na intervalu [ ]1,1x koja zadovoljava uslove Lagranove teoreme za funkciju ( ) arcsinf x x= . Formirati fajl pod imenom lagr1 kojim se definie teorema. Grafiki predstaviti i tekstom opisati sliku.

% Lagranzova teorema za funkciju y=arcsin(x) % interval (-1,1) sa grafickim prikazom syms x a=-1;b=1; k=(asin(b)-asin(a))/(b-a); df=diff(asin(x)) % traena taka c=solve(df-k); c=double(c); n=length(c) % provera da li tacka pripada datom intervalu for i=1:n if c(i)b disp(['uslovi teoreme nisu zadovoljeni za c=' num2str(c(i))]) else disp(['odgovor c=' num2str(c(i))]) end end % graficko predstavljanje teoreme y=asin(x); % grafik funkcije ezplot(y,[-1.5,1.5]),hold on title('graficko predstavljanje Lagranzove teoreme') xlabel('x osa')

- 350 -

ylabel('y osa') x12=[a,b] y12=[asin(a),asin(b)] % grafik secice kroz tacke sa apsicisama a i b plot(x12,y12,'m') % dodirne tacke tangenti i krive plot(c(i),asin(c(i)),'b*') % k je koeficijent pravca secice % p1,2 su tangente kroz dve dodirne tacke for i=1:n p(i)=k*((x)-c(i))+asin(c(i)); % grafik tangenti ezplot(p(i),[-1.5,1.5]) title('graficko predstavljanje Lagranzove teoreme') xlabel('x osa') ylabel('y osa') end gtext('tangenta u prvom dodiru') gtext('tangenta u drugom dodiru') gtext('secica') >> lagr1 df = 1/(1-x^2)^(1/2) n = 2 odgovor c=0.77118 odgovor c=-0.77118 x12 = -1 1 y12 = -1.5708 1.5708

- 351 -

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

x osa

graficko predstavljanje Lagranzove teoreme

y os

a

tangenta u prvom dodiru

tangenta u drugom dodiru

secica

VEBA:

1. Izraunati 2lim 1xx

x .

2. Izraunati 21lim 1xx

x .

3. Nai prvi izvod funkcije xxey = . 4. Nai deseti izvod funkcije xnexy = . 5. Funkciju ( ) )1ln( 2xxxf ++= razviti u Maklorenov polinom etvrtog stepena

i nactrati sliku.

6. Dokazati da funkcija ( ) xxxxf 35 23 = na segmentu [ ]1,3 zadovoljava uslove Lagranove teoreme i odrediti odgovarajuu vrednost c . Grafiki predstaviti.

7. Nacrtati i opisati sliku funkcije xxey = . 8. Nacrtati i opisati sliku funkcije 2 1

xyx

= .

- 352 -

VEBA 9 INTEGRALI

1. Neodreeni integral

Naredbom int izraunava se neodreeni integral simboliki zadate funkcije. Naredba ima oblik:

int(f) int(f,x') ukoliko je funkcija konstanta i vraa vrednost funkcije u odnosu na promenljivu x.

PRIMER 1:

Izraunati integral 23 5

2 2x dx

x x+

+ + . >> syms x >> f=(3*x+5)/(x^2+2*x+2); >> int(f) ans = 3/2*log(x^2+2*x+2)+2*atan(x+1) >> pretty(ans) 2 3/2 log(x + 2 x + 2) + 2 atan(x + 1) PRIMER 2:

Izraunati integral 5 dx . > % broj 5 se mora prebaciti u simboliku promenljivu >> y=sym('5') y = 5 >> % sada se moe izraunati vrednost integrala >> int(y,'x') ans = 5*x

- 353 -

PRIMER 3:

Izraunati integral ( )dxxxx ++ 9535 23 >> syms x >> f=(5*x^3 + 3*x^2 -5*(sqrt(x)) +9) f = 5*x^3+3*x^2-5*x^(1/2)+9 >> r =int(f) r = 5/4*x^4+x^3-10/3*x^(3/2)+9*x >> pretty(r) 4 3 3/2 5/4 x + x - 10/3 x + 9 x

PRIMER 4 : Izraunati integral dxx

xxx

+ 3

>> syms x >> f=(x*sqrt(x) + x^(1/3)) / x f = (x^(3/2)+x^(1/3))/x >> r =int(f) r= 2/3*x^(3/2)+3*x^(1/3) >> pretty(r) 3/2 1/3 2/3 x + 3 x

2. Odreeni integral

Odreeni integral b

a

dxxf )( izraunavamo naredbom

int(f,a,b)

gde su a i b granice integracije. PRIMER 5:

Izraunati ++3

2

2

)2)(1(1233 dx

xxxxx

.

- 354 -

>> syms x >> f=(3*x^2+3*x+12)/x*(x-1)*(x-2); >> int(f,2,3) ans = 13/4+24*log(3)-24*log(2) >> pretty(ans) 13/4 + 24 log(3) - 24 log(2) >> double(ans) ans = 12.9812

PRIMER 6 : Izraunati integral 278

3 xdx

>> syms x >> f=1/x^(1/3) f = 1/x^(1/3) >> r =int(f,8,27) r= 3/2*27^(2/3)-3/2*8^(2/3) >> pretty(r) 2/3 2/3 3/2 27 - 3/2 8 >> double(r) ans = 7.5000

PRIMER 7 : Izraunati integral +2

1 12 xxdx

>> syms x >> f=1/(x+2*sqrt(x-1)) f = 1/(x+2*(x-1)^(1/2)) >> r =int(f,1,2) r = -1+2*log(2) >> pretty(r) -1 + 2 log(2) >> double(r) ans = 0.3863

- 355 -

PRIMER 8:

Izraunati integral 93

sin xdxx

>> syms x >> f=x*sin(x) f = x*sin(x) >> r =int(f,3,9) r = sin(9)-9*cos(9)-sin(3)+3*cos(3) >> pretty(r) sin(9) - 9 cos(9) - sin(3) + 3 cos(3) >> double(r) ans = 5.5012

3. Nesvojstveni Integral Nesvojstvene integrale izraunavamo istom naredbom kao i odreene integrale. Oznaka za beskonanu granicu je inf (infinity). PRIMER 9:

Izraunati nesvojstveni integral 1

2

dxxe x .

>> syms x >> y=x*exp(-x.^2); >> int(y,1,inf) ans = 1/2*exp(-1) >> pretty(ans) 1/2 exp(-1) >> double(ans) ans = 0.1839 PRIMER 10 :

Izraunati nesvojstveni integral +1

021 x

dx.

- 356 -

>> syms x >> f= 1/(1+x^2) f = 1/(1+x^2) >> r =int(f,0,1) r = 1/4*pi >> pretty(r) 1/4 pi >> double(r) ans = 0.7854

PRIMER 11:

Izraunati nesvojstveni integral +1

121 x

dx

>> syms x >> f= 1/(1+x^2) f = 1/(1+x^2) >> r =int(f,-1,1) r = 1/2*pi >> pretty(r) 1/2 pi >> double(r) ans = 1.5708

PRIMER 12:

Izraunati nesvojstveni integral + + 21 x

dx

>> syms x >> f=1/(1+x^2) f = 1/(1+x^2) >> r =int(f,-inf,inf) r = pi

- 357 -

VEBA: 1. Odrediti sledee integrale :

a) neodreene dxxx

x ++ + 22 532 , xxe dx , b) odreene

27

38

dxx , +

2

02cos35

xdx

,

c) nesvojstvene 21

11

dxx

+ , dxx x

12

2ln.

2. Odrediti sledee integrale :

a) neodreene 2 2cos 2 d

sin cosx x

x x , 2

sin cos d2 2x x x .

b) odreene 2

1

12

e x dxx+ , 22 11

b x

xa

e dxe

+ , c) nesvojstvene

2

0

xI xe dx

= , ( )2212

1

xI dxx

=

+

- 358 -

VEBA 10 INTEGRALI PRIMENA

1. Duina luka krive

Ako je zadata funkcija ( )xfy = , neprekidna i diferencijabilna na segmentu [ ]bax , , duina luka krive l izraunava se po obrascu

21b

a

l y dx= + . PRIMER 1:

Izraunati duinu luka krive )1ln( 2xy = na intervalu

21,

21x .

>> syms x >> y=log(1-x.^2); >> f=sqrt(1+diff(y).^2); >> l=int(f,-1/2,1/2) l = -1+2*log(3) >> double(l) ans = 1.1972 PRIMER 2:

Izraunati duinu luka parabole 2xy = izmeu taaka A(0,0) i B(2,4). >> syms x >>% granice integracije su x=0 i x=2 >> y=x.^2; >> f=sqrt(1+diff(y).^2); >> l=int(f,0,2) l = 17^(1/2)-1/4*log(-4+17^(1/2)) >> double(l) ans = 4.6468

- 359 -

PRIMER 3 :

Izraunati duinu luka krive xy ln= na intervalu

5

12,43x .

>> syms x >> y=log(x); >> f=sqrt(1+diff(y).^2); >> l=int(f,3/4,12/5) l = 27/20-atanh(5/13)+atanh(4/5) >> double(l) ans = 2.0431

2. Izraunavanje povrina

Funkcija fill se koristi za obelezavanje povrine na dobro poznatom objektu.

Naredba ima oblik fill(x, y,boja)

Funkcija koju posmatramo uzima tri ulazna parametra: dva polja, ovde imenovanih x i y. Oni sadre x i y koordinate ivica poligona koje treba popuniti i definiemo ih u obliku ([xp x xk],[yp y yk]), gde je xp, yp poetna taka ivice poligona, a xk, yk krajnja taka ivice poligona koji traimo. Trei parametar je boja koju korisnik odabire da bi popunio objekt.

Naredba fill e popuniti sav prostor izmeu zadate krive y i prave koja prolazi kroz take, (xp, yp) , (xk, yk).

PRIMER 4:

Data je funkcija 2y x= na intervalu 5 5x . Obeleiti oblast ogranienu datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje take zadatog intervala.

- 360 -

>> x=-5:5; >> xp=-5;yp=-5; >> xk=5;yk=5; >> y=x.^2; >> fill([-5,x,5],[-5,y,-5],'b')

Napomena: Povrina koju senimo mora da bude zatvorena. PRIMER 5:

Data je funkcija 2y x= na intervalu 10 x . Obeleiti oblast ogranienu datom funkcijom i pravom koja prolazi kroz krajnje take zadatog intervala i izraunati brojnu vrednost povrine.

>> % domen nezavisno promenljive x je (0,1) >> x=0:0.001:1; >> % (xp,yp) je poetna taka zadatog intervala >> % (xk,yk) je krajnja taka zadatog intervala >> xp=0;yp=0; >> xk=1;yk=1; >> y=x.^2; >> fill([0,x,1],[0,y,1],'r')

- 361 -

Prava koja prolazi kroz take ( )0,0 i ( )1,1 ima jednainu y x= , pa traena povrina ima vrednost: >> P=int('x',0,1)-int('x^2',0,1) P = 1/6 >> double(P) ans = 0.1667 PRIMER 6:

Data je funkcija 2y x= na intervalu 10 x . Obeleiti oblast ogranienu datom funkcijom i x -osom i izraunati brojnu vrednost te povrine.

Napomena: Ve smo naglasili da oblast koju raunamo mora biti zatvorena. U ovom sluaju mi traimo oblast koju zahvata polazna funkcuja 2y x= i prava 0y = .

>> %domen nezavisno promenljive x >> x=0:0.001:1; >> % (xp,yp) je poetna taka zadatog intervala >> xp=0;yp=0; >> % (xk,yk) je krajnja taka zadatog intervala >> xk=1;yk=0; >> y=x.^2; >> fill([0,x,1],[0,y,0],'r')

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

- 362 -

>> % traena povrina >> P=int('x^2',0,1) P = 1/3 >> double(P) ans = 0.3333 PRIMER 7:

Izraunti povrinu ogranienu lukom krive 2 9y x= i x osom i obeleiti traenu povrinu.

>> syms x >>y=x.^2-9; % presene take funkcije sa osom x dobijaju se reavanjem jednaine y=0 >> a=solve(y) a = [ 3] [ -3] % granice integracije su dakle -3 i 3 >>I= int(y,-3,3) I = -36 % povrina mora biti pozitivna >> abs(I) ans = 36 >>% obeleavanje oblasti integracije u datom domenu

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

- 363 -

>> x=-3:0.1:3; >> y=x.^2-9; >> fill([-3,x,3],[0,y,0],'r')

PRIMER 8:

Obeleiti povrinu ogranienu funkcijom 2 1y x= + i x osom na intervalu 0 1x i izraunati povrinu

>> x=0:0.001:1; >> y=x.^2+1; >> fill([0,x,1],[0,y,0],'g')

>> syms x >> y=x.^2+1; >> P=int(y,0,1) P = 4/3 >> double(P) ans = 1.3333

-3 -2 -1 0 1 2 3-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

- 364 -

PRIMER 9:

Obeleiti povrinu ogranienu funkcijama 21( )f x x= i ( )2f x x= i izraunati povrinu obeleene figure.

>> syms x >> f1=x.^2; >> f2=sqrt(x); >> % raunamo presene take krivih >> f3=f1-f2; >> x=solve(f3) x = 0 1 >> % presene take krivih su 0 i 1 >> % vrednosti funkcija u tim takama su takoe 0 i 1 >> x=0:0.001:1; >> fill([0,x,1],[0,x.^2,1],'g',[0,x,1],[0,sqrt(x),1],'r')

>> % izraunavanje povrine >> syms x >> f1=x.^2;f2=sqrt(x); >> P=int(f2,0,1)-int(f1,0,1) P = 1/3 >> double(P) ans = 0.3333

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 100.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

- 365 -

3. Izraunavanje zapremine PRIMER 10:

Izraunati zapreminu lopte poluprenika r. Lopta se dobija rotacijom kruga jednaine 222 ryx =+ oko x-ose.

>> syms x r >> f=2*pi*(r^2-x^2) f = 2*pi*(r^2-x^2) >> z=int(f,0,r) z = 4/3*pi*r^3 >> pretty(z) 3 4/3 pi r

PRIMER 11:

Izraunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x-ose povri ograniene

linijama 2xy = i 143 2 += xy .

>> syms x y >> %Presene take funkcija su reenje sistema y=x^2 i y=3/4x^2+1. >> [x y]=solve('x^2-y','3/4*x^2+1-y') x = -2 2 y = 4 4 >> f=2*pi*((3/4*x^2+1)^2 - (x^2)^2) f = 2*pi*((3/4*x^2+1)^2-x^4) >> z=int(f,0,2) z = 32/5*pi >> pretty(z) z = 32/5 pi >> double(z) ans = 20.1062

- 366 -

PRIMER 12: Izraunati zapreminu obrtnog tela koje se dobija kada povrine koju ine krive xy = 4, x = 2, x = 4, y = 0, rotira oko x-ose.

>> syms x >> f=pi*(16/(x^2)) f = 16*pi/x^2 >> z=int(f,2,4) z = 4*pi >> pretty(z) 4 pi

VEBA:

1. Izraunati povrinu koju ograniava x osa i grafik funkcije ( ) 24f x x x= i obeleiti traenu povrinu.

2. Izraunati povrinu koju ograniava x osa i grafik funkcije ( ) sinf x x= na intervalu 0,

2 i obeleiti traenu povrinu.

3. Izraunati povrini koju ograniavaju grafici datih funkcija

( ) ( )2 28 18 2 18f x x x f x x= + = + . (nacrtati sliku i obeleiti datu povrinu).

4. Izraunati duinu luka krive ( )22 ln 4y x= , na intervalu [0,1]x . 5. Izraunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom oko x - ose povri ograniene

linijama 2 2 4x y = i 2 3 0y x = oko x ose.

- 367 -

ZADACI ZA VEBANJE

1. Koristei naredbu subplot nacrtati 6 funkcija koje predstavljaju optu jednainu

drugog reda 022 =+++++ feydxcybxyax za razliite vrednosti parametara tako da se dobiju krug, elipsa, 2 hiperbole i 2 parabole.

2. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije 2 5 4x xy

x+ += . Tekstom opisati sliku.

3. Reiti matrinu jednainu 1 2 0 1 21 1 1 0 20 1 3 1 0

X =

.

4. Razviti funkciju 1y x= + u Maklorenovu formulu za 2n = i grafiki predstaviti.

5. Odrediti duinu luka krive ln cosy x= izmeu njenih nula.. 6. Odrediti duinu luka krive ( )1 3

3y x x= na [ ]0, ,

2a a < .

7. Odrediti duinu luka krive 2 2y x x= + koji se nalazi ispod x ose. 8. Primenom integralnog rauna izraunati duinu obima elipse. 9. Primenom integralnog rauna izraunati duinu obima kruga.

10. Date su matrice 1 3 2 2 3 11 2 1 , 1 1 10 0 1 0 0 1

A M = =

. Reiti jednainu

2 1X A AM + = .

11. Ispitati i grafiki prikazati funkciju ( )22 3xy e x x= . Tekstom opisati sliku. 12. Ispitati i grafiki prikazati funkciju 2cos cosy x x= . Tekstom opisati sliku.

- 368 -

13. Reiti jednainu AX BC D+ = , gde je

2 0 1 2 0 115

1 1 0 , 0 2 , , 63

3 1 2 0 1 9A B C D

= = = = .

14. Ispitati i grafiki prikazati funkciju 11

xyx

= + . Tekstom opisati sliku.

15. Ispitati i grafiki prikazati funkciju 2

31

xyx= + . Tekstom opisati sliku.

16. Ispitati i grafiki prikazati funkciju 1x

y xx

= + . Tekstom opisati sliku. 17. Koristei naredbu subplot nacrtati funkcije [ ], 1,6ny x n= .

18. Odrediti sva reenja jednaine ( )20

cos sina

x a dx a+ = na intervalu [ ]2,3

19. Odrediti skup svih pozitivnih reenja jednaine ( )2 30

3 4 5 2a

x x dx a+ = 20. Izraunati integral

20,25

0

xe dx sa tanou do 410 . 21. Izraunati povrinu figure ograniene linijama 2y x= i 23 1

4y x= + .i grafiki

predstaviti. Traenu povrinu obeleiti. 22. Izraunati povrinu figure ograniene linijama 2 24 20x y+ = i 4xy = . i

grafiki predstaviti. Traenu povrinu obeleiti. 23. Izraunati povrinu figure ograniene linijama ( )( )1 2y x x x= i x osom. i

grafiki predstaviti. Traenu povrinu obeleiti.

24. Izraunati povrinu figure ograniene linijom 22

1xyx

= + , ordinatom maksimuma i x osom. i grafiki predstaviti. Traenu povrinu obeleiti.

- 369 -

25. Dokazati da sistem jednaina

02 6 5 26 5 6 1

x y zx y zx y z

+ + =+ + =+ + =

ima jedinstveno reenje, a zatim reiti sistem matrinom metodom. 26. Odrediti povrinu koja je ograniena lukom krive xy e= , njenom asimptotom

i tangentom u taki ( )01 ,M y . i grafiki predstaviti. Traenu povrinu obeleiti.

27. Reiti sistema jednaina primenom Kramerovog pravila 2 3 1

63 2 1

x y zx y zx y z

+ = + + =+ =

28. Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije ( ) 12 xy x e= + . Tekstom opisati sliku.

29. Napisati Maklorenovu formulu za funkciju ( ) xf x xe= i 4n = . i grafiki

predstaviti.

30. Izraunati duinu luka krive ( )2ln 1y x= na [ ]3 , 4 . i grafiki predstaviti. 31. Izraunati duinu luka krive 2arcsiny x x x= od take ( )( )0 , 0A f

do take ( )( )1, 1B f . i grafiki predstaviti. 32. Reiti jednainu

ln 2 61

x

t

dte

= . 33. Dokazati da funkcija ( ) 2f x x x= na segmentu [ ]2,1 ispunjava uslove

Lagranove teoreme i odrediti odgovarajuu vrednost . i grafiki predstaviti. 34. Funkciju ( ) xf x e= razviti u Tejlorovu formulu po stepenima binoma 1x + do

lana koji sadri ( )31x + . i grafiki predstaviti.

- 370 -

35. Izraunati povrinu ogranienu krivim linijama ( )2 24 , 16y x y x= = . i grafiki predstaviti. Traenu povrinu obeleiti.

36. Dat je polinom ( ) 2 9P x x x= + i matrica 1 2 22 1 22 2 1

A =

. Odrediti

( )P A i ( )rang A .

37. Odrediti najveu i najmanju vrednost funkcije ( ) ( )2 2 3 12 3 2y x x x= na intervalu [ ]3,6 . Slika

38. Odrediti najveu i najmanju vrednost funkcije 33xy

x= + na intervalu

[ ]5, 1 Slika. 39. Odrediti najveu i najmanju vrednost funkcije 15 3cos cos3y x x= + na

intervalu 0,2 Slika.

40. Odrediti najveu i najmanju vrednost funkcije 3

3xy

x= + na intervalu

[ ]5, 1 Slika.

41. Izraunati sumu reda ( )2 21

11n

uzimajui sve lanove koji su po apsolutnoj

vrednosti vei od 0.0001 42. Izraunati priblinu vrednost funkcije siny x= razvojem u red sa tanou

0.0001

43. Dat je red ( ) 11

11 kk k

+

= . Izraunati zbir reda sa tanou do 0.1 .

- 371 -

44. Izraunati zbir kvadrata prvih 1000 prirodnih brojeva.

45. Za funkciju ( )sin xy x= i nai Maklorenove polinome prvog, treeg i petog stepena. Grafiki predstaviti.

- 372 -

SPISAK KOMANDI I FUNKCIJA

KOMANDE ZA UPRAVLJANJE help pomo u radu sa Matlabom. demo osnovni demonstracioni programi. clc brie se sadraj komandnog prozora. clear brie sve promenljive i funkcije iz memorije. who lista tekuih promenljivih. whos lista tekuih promenljivih, dua forma . size veliina promenljive. format izlazni format. load uitavanje promenljivih sa diska. save snimanje promenljivih na disk. delete brisanje fajlova. home skok na poetak ekrana. quit zavretak rada. exit zavretak rada. pause pauza do pritiska na neki taster. disp prikaz rezultata na ekranu input zahteva da korisnik unese podatke

ZNAKOVI, ARITMETIKI, RELACIJSKI I LOGIKI OPERATORI

+ plus. - minus. * mnoenje. .* mnoenje element po element. ^ stepenovanje. .^ stepenovanje element po element. / deljenje udesno. \ deljenje ulevo. (,) za pozivanje funkcija i redosled operacija. [,] definiu vektore i matrice. . decimalni zarez. ... nastavlja red. , razmak izmeu elemenata i argumenata funkcije. ; kraj reda ili iskljuuje prikazivanje rezultata. % komentar. = dodeljivanje vrednosti. = = jednakost.

- 373 -

< manje. > vee. >= vee ili jednako.

axis podeavanje osa. colormap podeavaju se boje na grafikonu. grid dodaje se ili oduzima reetka na grafikonu. gtext dodaje se tekst na grafikon. text dodaje se tekst na grafikon. title grafikonu se dodaje naslov. xlabel dodaje se natpis na osu x. ylabel dodaje se natpis na osu y.

KOMANDE ZA UPRAVLJANJE TOKOM PROGRAMA

break prekidanje izvravanja petlje. else uslovno izvravanje komandi. elseif uslovno izvravanje komandi. end kraj uslovnog iskaza ili petlje. for ponavljanje izvravanja grupe komandi. if uslovno izvravanje komandi. while ponavlja izvravanje grupe komandi.

FUNKCIJE ZA RAD SA POLINIMIMA roots izraunava nule polinoma. poly izraunava koeficijente polinoma. conv mnoi polinome. deconv deli polinome

SIMBOLIKA MATEMATIKA diff diferenciranje. Int integraljenje dsolve reavanje obine diferencijalne jednaine double pretvara broj simbolikog oblika u numeriki. ezplot crtanje krive koja predstavlja izraz. pretty prikazuje se izraz u matematikom formatu. simple uproavanje izraza. solve reavanje jednaina ili sistema jednaina. subs promenljive u zadatom izrazu zamenjuje vrednostima. sym formira se simboliki objekat. syms formira se simboliki objekat.

- 375 -

LITERATURA

1. I. Kovacevic, Z. Mikovi, A. Savi , MATEMATIKA ZA INENJERE, Visoka kola elektrotehnike i raunarstva, Beograd 2008.

2. O. Nikoli, M.iovi, I. Kovaevi, KVANTITATIVNE METODE, Univerzitet Singidunum, Beograd, 2009.

3. B. Borii, M. Ivovi, MATEMATIKA, Ekonomski fakultet Beograd 2003.

4. B. Borii, M. Ivovi D. Azdeljkovi, I. Spasi, ZBIRKA ZADATAKA IZ MATEMATIKE, Ekonomski fakultet Beograd 2003.

5. M. Merkle MATEMATIKA ANALIZA teorija i hiljadu zadataka, Akademska misao, Beograd 2005.

- 376 -

Odlukom Senata Univerziteta Singidunum, Beogrd, broj 636/08 od 12.06.2008, ovaj udbenik je odobren kao osnovno nastavno sredstvo na studijskim programima koji se realizuju na integrisanim studijama Univerziteta Singidunum.

CIP - ,

51(075.8)

, , 1952- Matematika : sa zbirkom zadataka / Ivana Kovaevi. - 1. izd. - Beograd : #Univerzitet#Singidunum, 2010 (Loznica : Mladost grup). -376 str. : graf. prikazi, tabele ; 21 cm

Tira 300. - Bibliografija: str. 376.

ISBN 978-86-7912-276-6

a) COBISS.SR-ID 177913868

2010.

Sva prava zadrana. Ni jedan deo ove publikacije ne moe biti reprodukovan u bilo kom vidu i putem bilo kog medija, u