Embed Size (px)
Citation preview
MODUL PEMBELAJARAN
MATEMATIKA
KELAS XI
SEMESTER 2
TAHUN PELAJARAN 2019/2020
1
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ............................................................................................................... 1
I PENDAHULUAN ........................................................................................................................................ 2
A. Deskripsi .................................................................................................... 2
B. Tujuan ....................................................................................................... 2
C. Peta Konsep KD pada Mata Pelajaran ........................................................... 3
II PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ........................................................................................................ 4
A. Kegiatan Pembelajaran................................................................................ 4
B. Refleksi .................................................................................................... 13
C. Tugas ...................................................................................................... 13
D. Evaluasi ................................................................................................... 14
2
I PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul ini merupakan modul untuk siswa SMK mata pelajaran matematika untuk
Kelas XI dengan KD 3.19 yaitu Menentukan nilai variabel pada persamaan
dan fungsi kuadrat, dan KD 4.19 yaitu Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat. Pengetahuan meliputi
fakta, konsep dan prosedur tentang persamaan dan fungsi kuadrat.
Keterampilan meliputi teknik menentukan akar-akar persamaan kuadrat, teknik
menyusun persamaan kuadrat baru, teknik menggambar grafik fungsi kuadrat,
serta penerapan fungsi kuadrat. Sedangkan sikap meliputi pembentukan sikap
kerja dalam mengamati, menanya/diskusi, mencoba, menalar/mengasoaiasi dan
mengkomunikasikan dan pembentukan empat karakter yaitu religius,
nasionalisme, gotong royong, serta integritas dalam kegiatan pembelajaran.
B. Tujuan
1. Melalui kegiatan mengamati, menanya/diskusi peserta didik dapat
menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan tranformasi
geometri (translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi).
2. Melalui melakukan identifikasi, peserta didik dapat membedakan rumus yang
digunakan untuk menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
tranformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi).
3. Melalui penalaran/asosiasi, peserta didik dapat menganalisis masalah yang
berkaitan dengan tranformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi).
3
C. Peta Konsep KD pada Mata Pelajaran
3.19 Menentukan nilai variabel pada persamaan dan fungsi
kuadrat
4.19 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat
3.25 Menganalisi kaidah pencacahan, permutasian, dan kominasi pada
masalah kontekstual
4.25 Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual berkaitan dengan kaidah pencacahan, permutasian dan kombinasi
3.26 Menentukan peluang kejadian 4.26 Menyelesaikan masalah yang berkaitan
dengan peluang kejadian
3.27 Mengevaluasi kajian statistika dalam masalah kontekstual
4.27 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kajian statistika
3.28 Menganalisi ukuran pemusatan data tunggal dan data kelompok
4.28 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ukuran permusatan data tunggal dan data kelompok
3.29 Menganalisi ukuran data tunggal dan data kelompok
4.29 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ukuran penyebaran data tunggal
dan data kelompok
KOMPETENSI DASAR
MATA PELAJARAN MATEMATIKA
KELAS XI
3.20 Menganalisis operasi komposisi dan
operasi invers pada fungsi
4.20 Menyelesaikan masalah operasi komposisi dan operasi invers pada fungsi
3.21 Menentukan persamaan
lingkaran 4.21 Menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan persamaan lingkaran
3.23 Menganalisis titik, garis dan bidang pada geometri dimensi tiga
4.23 Menyajikan penyelesaian masalah yang berkaitan dengan jarak antara titik ke titik, titik ke garis dan garis ke bidang pada geometri dimensi tiga
3.22 Menganalisis masalah kontekstual yang berkaitan dengan logika matematika (pernyataan sederhana, negasi pernyataan sederhana, pernyataan majemuk, negasi pernyataan majemuk dan penarikan kesimpulan)
4.22 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan logika matematika (pernyataan sederhana, negasi pernyataan sederhana, pernyataan majemuk, negasi pernyataan majemuk dan penarikan kesimpulan)
3.24 Menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri
4.24 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri
Gambar 1 Peta Konsep KD pada Mata Pelajaran
4
II PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
A. Kegiatan Pembelajaran
1. Persamaan Kuadrat
a. Definisi Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan dengan pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah
dengan
Perhatikan contoh persamaan kuadrat berikut.
b. Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat
Menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dalam x berarti mencari nilai x
sedemikian hingga jika nilai x disubstitusikan pada persamaan tersebut, maka
persamaan akan bernilai benar. Penyelesaian persamaan kuadrat disebut juga
akar-akar persamaan kuadrat. Akar-akar persamaan kuadrat adalah nilai x
yang memenuhi persamaan kuadrat. Akar-akar tersebut ditentukan dengan
cara berikut.
1) Faktorisasi
Untuk menyelesaikan persamaan , dengan
faktorisasi, terlebih dahulu cari dua bilangan yang memenuhi syarat
sebagai berikut.
Hasil kalinya adalah sama dengan ac
Jumlahnya sama dengan b
Misalkan dua bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah ,
maka berlaku hal berikut.
Jadi, dalam hal ini akan mengubah atau memfaktorkan bentuk baku
persamaan kuadrat
5
Contoh Soal
Carilah akar-akar persamaan kuadrat berikut dengan faktorisasi
a. b.
Pembahasan
a.
Cari dua bilangan sehingga hasil kalinya = 1.(- 28) = -28 dan jumlahnya
= -3. Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah – 7 dan 4,
sehingga
( )( )
atau
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah – 4 dan 7
b.
Cari dua bilangan sehingga hasil kalinya = 3 . (-5) = -15 dan jumlahnya = 2.
Bilangan yang memenuhi syarat tersebut adalah – 3 dan 5, sehingga
( )( )
atau
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah
dan 1.
2) Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna
Persamaan kuadrat dapat diubah menjadi bentuk
kuadrat sempurna dengan cara sebagai berikut.
(a) Pastikan koefisien adalah 1. Jika belum bernilai 1, bagi dengan
bilangan sedemikian hingga koefisiennya adalah 1.
6
(b) Tambahkan ruas kiri dan kanan dengan kuadrat dari setengah
koefisien .
(c) Buat ruas kiri menjadi bentuk kuadrat sempurna, sedangkan ruas
kanan disederhanakan.
Contoh Soal
Dengan cara melengkapkan bentuk kuadrat sempurna, carilah akar-akar dari
persamaan berikut.
a.
b.
Pembahasan
a.
(
( ))
(
( ))
( ) ( )
( )
atau
atau
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah – 2 dan 8
b.
.
/
.
/
.
/
√
atau
Jadi, akar-akar persamaan kuadratnya adalah – 3 dan 0.
7
3) Rumus abc
Jika dan adalah akar-akar persamaan kuadrat
, maka berlaku rumus abc berikut.
√
Contoh Soal
Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat dengan
menggunakan rumus abc
Pembahasan
√
( ) √( ) ( )
( )
√
dan
Jadi, penyelesaiannya adalah – 4 dan 6.
c. Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
1. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahuinya Akar-akarnya
Contoh Soal:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya – 8 dan 3
Pembahasan:
Cara I
Dengan menggunakan rumus perkalian faktor.
Misalkan dan , persamaan kuadratnya adalah
( )( )
8
( ( ))( )
( )( )
Cara II
Dengan menggunakan rumus jumlah dan hasil kali akar
Misalkan dan
dan ( )
Jadi, persamaan kuadratnya adalah
( )
( ) ( )( )
2. Menyusun Persamaan Kuadrat Berdasarkan Akar-akar Persamaan Kuadrat
Lain
Contoh Soal:
Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya lima lebihnya dari akar-
akar persamaan kuadrat .
Pembahasan:
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat adalah dan ,
maka
dan
Misalkan akar-akar persamaan kuadrat baru yang akan dicari adalah dan
,
Maka dan .
( ) ( )
( )
( )( )
9
( )
( )
( )
Jadi, persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar-akar dan adalah
( )
( )
2. Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat adalah suatu fungsi dalam himpunan bilangan yang dinyatakan
dengan rumus fungsi berikut.
( )
Dengan dan
Untuk menggambar grafik fungsi kuadrat pada koordinat Cartesius, lambang
( ) dapat diganti dengan y sehingga ( ) dapat ditulis
, dengan disebut variabel bebas dan disebut variabel terikat.
Grafik fungsi kuadrat ( ) berbentuk parabola simetris.
1) Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat
Langkah-langkah menggambar grafik fungsi kuadrat adalah sebagai berikut.
a. Menentukan titik potong dengan sumbu X
Titik potong dengan sumbu X diperoleh jika atau .
b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y
Titik potong dengan sumbu Y diperoleh jika , yaitu dengan
mensubstitusikan nilai ke dalam persamaan fungsi kuadrat.
c. Menentukan sumbu simetri dan koordinat titik balik.
Persamaan sumbu simetri adalah
Koordinat titik puncak/titik balik adalah .
/
d. Menentukan beberapa titik bantu lainnya (jika diperlukan). Ambil
sembarang nilai kemudian substitusikan ke persamaan kuadrat. Titik
10
tersebut merupakan titik bantu. Hubungkan titik-titik tersebut untuk
mendapatkan grafik fungsi kuadrat yang diinginkan.
Contoh Soal
Gambarkan grafik fungsi kuadrat
Pembahasan:
Karena , maka grafik terbuka ke atas.
(i) Titik potong dengan sumbu X ( )
( )( )
atau
Jadi, titik potong grafik dengan sumbu X adalah titik (- 1,0) dan (5, 0).
(ii) Titik potong dengan sumbu Y (
( )
Jadi, titikpotong grafik dengan sumbu Y adalah titik (0, -5).
(iii) Sumbu simetri dan koordinat titik balik.
( )
( ) ( )( )
( )
Jadi, sumbu simetrinya adalah dan koordinat titik baliknya (2, -
9).
(iv) Menentukan beberapa titik bantu
Misalnya untuk , maka
( ) ( )
Jadi, titik bantunya adalah (1, -8)
11
Dari keempat langkah tersebut, gambar grafik ke dalam koordinat
Cartesius sebagai berikut.
2) Sifat-sifat Grafik Fungsi Kuadrat
Sifat-sifat grafik fungsi kuadrat ( ) adalah sebagai berikut.
a. Berdasarkan nilai
1. Jika (positif), maka grafik atau parabola terbuka ke atas. Fungsi
kuadrat memiliki nilai ekstrim minimum, dinotasikan atau titik
balik minimum.
2. Jika (negatif), maka grafik atau parabola terbuka ke bawah.
Fungsi kuadrat memiliki nilai ekstrim maksimum, dinotasikan
atau titik balik maksimum.
Gambar 2 Parabola (a) terbuka ke atas dan (b) terbuka ke bawah
b. Berdasarkan nilai diskriminan (D)
Nilai diskriminan suatu persamaan kuadrat adalah sebagai
berikut.
(a) (b)
12
Secara geometri, nilai diskriminan ini berkorespondensi dengan titik potong
grafik dengan sumbu X sebagai berikut.
1. Jika , maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang berbeda
2. Jika , maka grafik menyinggung sumbu X di sebuah titik
3. Jika , maka grafik tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu
X
Gambar 3 Posisi grafik fungsi kuadrat berdasarkan nilai diskriminan
Grafik fungsi kuadrat yang tidak memotong sumbu X mempunyai sifat-sifat
sebagai berikut.
1. Untuk dan , seluruh grafik berada di atas sumbu X. Hal ini
berarti peta atau nilai fungsi bernilai positif untuk seluruh harga dan
biasa disebut dengan definit positif.
2. Untuk dan , seluruh grafik berada di bawah sumbu X. Hal ini
berarti peta atau nilai fungsi bernilai negatif untuk seluruh harga dan
biasa disebut dengan definit negatif.
Contoh Soal
Tanpa menggambar, sebutkan sifat-sifat grafik fungsi kuadrat ( )
13
Pembahasan:
( )
( bernilai positif), maka grafik fungsi terbuka ke atas
( ) ( )( )
Oleh karena , maka grafik memotong sumbu X di dua titik yang
berbeda. Jadi, grafik fungsi berupa parabola yang terbuka ke atas dan
memotong sumbu X di dua titik yang berbeda.
B. Refleksi
a. Deskripsikan hal-hal yang telah anda pelajari/temukan selama pembelajaran
persamaan dan fungsi kuadrat.
b. Apakah penyajiannya sudah dapat dipahami?
c. Apakah kalian sudah dapat menentukan akar-akar persamaan kuadrat?
d. Apakah kalian sudah dapat menggambar grafik fungsi kuadrat?
C. Tugas
Buatlah kelompok yang terdiri dari 3 orang, kemudian diskusikan soal berikut dan
presentasikan hasil diskusi masing-masing kelompok.
1. Jika dan akar-akar persamaan , tentukan nilai dari
2. Jika dan adalah nilai yang memenuhi persamaan ,
tentukan nilai dari
( )( )
( )( )
3. Gambarkan grafik fungsi
14
D. Evaluasi
1. Test Formatif a. Jika dan adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ,
maka tentukan nilai dari
b. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 2 kurangnya dari akar-akar
persamaan
c. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik (1, -4)
dan melalui titik (2, -3)
2. Tes Keterampilan
a. Sejumlah siswa patungan untuk membeli alat praktikum seharga
Rp612.000,00. Setelah masing-masing membayar dengan jumlah yang
sama, ada 3 temannya yang ingin bergabung. Jika ketiga temannya ikut
bergabung, masing-masing akan membayar Rp34.000,00 kurangnya dari
yang telah mereka bayar. Tentukan jumlah siswa yang berencana akan
membeli alat praktikum tersebut.
b. Panjang seutas kawat adalah 200 m. Kemudian kawat itu dibentuk menjadi
persegi panjang dengan panjang x meter dan lebar y meter. Jika luas
persegi panjang tersebut dinyatakan dengan L, jawablah persoalan berikut.
1) Nyatakan L sebagai fungsi
2) Tentukan luas maksimum L
15
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ...................... ........................................................................................................................15
1. JUDUL MATERI ...........................................................................................................16
2. KOMPETENSI DASAR .................. ...............................................................................................16
3. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI ................ ............................................................16
4. TUJUAN PEMBELAJARAN ..................... ....................................................................................16
5. MATERI AJAR. .................... ............................................................................................................17
6. LATIHAN SOAL ......................................................................................................... 31
16
1. JUDUL MATERI
Peluang.
2. KOMPETENSI DASAR
KD 3.25 Menganalisis kaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi pada masalah
kontekstual.
KD 3.26 Menentukan peluang kejadian.
KD 4.25 Menyajikan penyelesaian masalah kontekstual berkaitan dengan kaidah
pencacahan, permutasi, dan kombinasi.
KD 4.26 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang kejadian.
3. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI
Menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa dengan
menggunakan Pengisian tempat yang tersedia (Filling Slots)
Menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa dengan
menggunakan aturan Permutasi
Menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa dengan
menggunakan aturan Kombinasi
Menentukan percobaan, ruang sampel, dan kejadian
Menentukan frekuensi relatif
Memahami konsep peluang kejadian
Menentukan peluang kejadian
Menentukan frekuensi harapan suatu kejadian
Menentukan kejadian majemuk
Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan peluang kejadian
4. TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari LKPD ini diharapkan peserta didik dapat :
Menggunakan kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi.
Menentukan banyaknya kemungkinan kejadian dari berbagai situasi.
Menentukan peluang kejadian melalui percobaan.
Mampu menentukan percobaan, ruang sampel, dan kejadian.
17
Mampu menentukan banyaknya frekuensi relatif.
Mampu menentukan nilai peluang suatu kejadian.
Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai peluang suatu kejadian.
Mampu menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan nilai peluang suatu kejadian
pada kombinasi.
Mampu menentukan banyaknya frekuensi harapan.
Mampu menentukan kejadian majemuk.
5. MATERI AJAR.
Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan
beberapa permasalahan matematika yang menyangkut peluang diharapkan peserta didik
secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar
terdahulu serta pengembangan dasar dari beberapa sumber referensi maupun media
interaktif. Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal
simaklah pembelajaran berikut ini :
Materi Perhitungan peluang yang sering dipopulerkan dengan istilah Probabilitas
pertama kali dikenalkan oleh Blaise Pascal dan Pierre de Fermat pada abad ke-17 melalui
permainan dadu. Dari permainan dadu inilah akhirnya berkembang permainan permainan
yang lain seperti pelemparan koin, permainan kartu bridge (remi) dan permainan lainnya.
Oleh karena itu, konsep peluang lahir melalui suatu permainan. Dalam perkembangannya,
perhitungan peluang mendapatkan perhatian yang serius dari para ilmuwan karena
mempunyai peran yang sangat penting dalam perkembangan ilmu pengetahuan lainnya,
seperti Ilmu fisika modern, Statistika, dan lain-lain.
Pascal Fermat
Pada awalnya peluang hanya dilakukan dalam
permainan judi. Seorang penjudi menghendaki
18
kemenangan besar, sehingga meminta bantuan seorang
ahli matematika untuk mengatur siasat memenangkan
permainan. Tetapi akibat perkembangan teori
peluang yang pesat, akhirnya digunakan dalam bidang politik, ekonomi, peramalan cuaca
dan penelitian ilmiah.
Teori peluang berkaitan dengan
perhitungan peluang atau kemungkinan
terjadinya suatu kejadian. Suatu kejadian
merupakan bagian dari suatu kejadian
yang lebih besar atau ruang sample.
Untuk menentukan peluang suatu
kejadian perlu menentukan terlebih
dahulu berapa banyak kejadian itu dapat
terjadi dan berapa banyak ruang
sampelnya dapat terjadi.
A. Kaidah Pencacahan
Kaidah pencacahan atau Caunting Rules adalah suatu kaidah yang digunakan untuk
menentukan atau menghitung berapa banyak cara yang terjadi dari suatu peristiwa. Kaidah
pencacahan terdiri atas :
1. Pengisian Tempat Yang Tersedia (Filling Slots).
Aturan pengisian tempat (Filling Slots) atau aturan perkalian, karena dalam menghitung
semua kemungkinan yang terjadi dalam suatu kejadian digunakan operasi perkalian.
Contoh :
Misalkan Alam mempunyai dua celana berwarna hitam dan biru serta empat baju
berwarna kuning, merah, putih, dan ungu. Ada berapa banyak pasangan warna celana
dan baju yang dapat dipasangkan oleh Alam ?
Jawab :
Dari masalah di atas dapat diselesaikan dengan kaidah pencacahan, banyak cara yang
mungkin terjadi dari peristiwa tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan metode
berikut ini:
19
a. Tabel Silang :
Warna baju
Warna Celana
Kuning Merah putih ungu
Hitam (h,k) (h,m) (h,p) (h,u)
Biru (b,k) (b,m) (b,p) (b,u)
b. Diagram Pohon :
Dari diagram pohon di atas tampak ada 8 macam pasangan warna celana dan baju yang
dapat dibentuk, yaitu : (h,k,), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), dan (b,u).
c. Dengan Pasangan Terurut
Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {h,b} dan himpunan warna
baju dinyatakan B = {k,m,p,u}. Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan
himpunan B dapat ditulis {(h,k), (h,m), (h,p), (h,u), (b,k), (b,m), (b,p), (b,u)}. Banyak
unsur dalam himpunan pasangan terurut ada 8 macam warna.
Dari uraian tersebut, dapat disimpulkan adanya aturan berikut. Jika kejadian
pertama terdiri atas k1 cara yang berberda, kejadian kedua terdiri atas k2 cara yang
berbeda, dan seterusnya sampai kejadian ke-n, banyak cara yang berbeda yang dapat
terjadi dari seluruh kejadian tersebiut adalah k1 x k2 x . . . x kn. Aturan ini disebut
sebagai aturan pengisian tempat atau aturan perkalian.
Contoh :
Dari lima buah angka 0, 1, 2, 3, dan 4 hendak disusun suatu bilangan yang terdiri atas
20
4 angka. Berapa banyak bilangan yang dapat disusun apabila angka-angka itu tidak
boleh berulang?
Jawab:
Angka pertama (sebagai ribuan) dapat dipilih dari 4 angka yaitu 1, 2, 3, dan 4.
Misalnya terpilih angka 1. Karena angka-angka itu tidak boleh berulang, maka angka
kedua (sebagai ratusan) dapat dipilih dari 4 angka, yaitu 0, 2, 3 dan 4. Misalnya
terpilih angka 0. Angka ketiga (sebagai puluhan) dapat dipilih dari 3 angka, yaitu 2, 3,
dan 4. Misalkan yang terpilih angka 2. Angka keempat (sebagai satuan) dapat dipilih
dari 2 angka, yaitu 3, dan 4. Jadi, seluruhnya ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bilangan yang
dapat disusun dengan angka-angka yang tidak boleh berulang.
2. Faktorial.
Untuk mempermudah perhitungan peluang suatu kejadian kita gunakan notasi
faktorial. faktorial dinotasikan dengan tanda seru “ ! “. Faktorial merupakan penulisan
singkat dari perkalian sederajat bilangan bulat positif terurut hingga 1. Faktor dapat
didefinisikan sebagai berikut :
0 ! = 1
1 ! = 1
2 ! = 2 x 1 = 2
4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 12 , dan seterusnya, sehinggga
n ! = n x ( n – 1 ) x ( n – 2 ) x … x 3 x 2 x 1 atau dapat ditulis
n ! = n x ( n – 1 ) ! n =
( )
Jadi, n! Merupakan perkalian dari n bilangan asli yang terurut. Notasi n faktorial
dilambangkan dengan n! ( dibaca : “ n faktorial”)
Contoh :
4 ! = 4 x 3 x 2 x 1 = 2 4
=
= 8.7 = 56
21
n Pk
3. Permutasi.
a) Permutasi Dari Unsur – Unsur Yang Berbeda.
Permutasi adalah suatu susunan yang berbeda atau urutan yang berbeda yang
dibentuk oleh sebagian atau keseluruhan objek atau unsur yang diambil dari
sekelompok objek atau unsur yang tersedia.
Banyak permutasi dari k unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia sama
dengan:
Contoh :
Tentukan banyak kata yang dapat disusun dari semua huruf M,A,S,T,E, dan R.
Jawab :
Banyak kata yang dapat disusun merupakan permutasi 6 huruf berbeda dari 6 huruf
yang tersedia .
6P6 =
( ) =
= 6 . 5. 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Jadi,banyak kata yang dapat disusun adalah 720 kata.
b. Permutasi Yang Memuat Beberapa Unsur Yang Sama
Banyak permutasi n unsur yang memuat k1 unsur yang sama, k2 unsur yang sama,
dan seterusnya hingga kn unsur yang sama, dengan k1 + k2 + k3+ ... + kn = n,dapat
ditentukan dengan rumus berikut :
nP( ...., ) =
Contoh :
Tentukan banyak kata yang dapat disusun dari semua huruf kata “
PENCACAHAN”.
Jawab :
Pada kata “ PENCACAHAN” terdapat 10 huruf dengan 2 huruf N, 3 huruf A, dan 2
huruf C. Banyak kata yang dapat diisusun adalah :
P =
=
= 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 = 151.200.
22
Jadi, banyak kata yang dapat disusun dari semua huruf pada kata “ PENCACAHAN”
adalah 151.200 kata.
c. Permutasi Siklis
Permutasi siklis merupakan permutasi melingkar. Permutasi siklis dari n unsur yang
tersedia memperhitungkan tempat kedudukan unsur di lingkaran terhadap unsur
lainnya karena n unsur tersebut ditempatkan secara melingkar. Perhatikan ilustrasi
berikut.
Jika ada dua unsur duduk melingkar, banyak susunan ada 1 = (2 – 1)!, yaitu:
AB dianggap sama dengan BA
Jika ada tiga unsur duduk melingkar, banyak susunan ada 2 = (3 – 1)!, yaitu:
Berdasarkan ilustrasi tersebiut, dapat disimpulkan sebagai berikut. Jika ada n
unsur yang berbeda dan disusun dalam bentuk siklis (melingkar). Banyak
susunan yang terjadi adalah (n – 1)!. Sehingga banyak permutasi siklis dari n
unsur dapat dirumuskan sebagai berikut.
( ) ( )
Contoh:
Tujuh siswa pengurus OSIS suatu sekolah dengan Aldi, Tiara, dan Yusuf ada di
dalamnya, akan duduk mengelilingi meja bundar. Tentukan banyak susunan
posisi duduk yang terjadi jika :
1) Semua pengurus OSIS bebas untuk memilih tempat duduk
2) Aldi, Tiara dan Yusuf harus duduk berdampingan, serta
3) Aldi, Tiara dan Yusuf tidak boleh ketiganya duduk berdampingan
A B
A
B
C B A
C
23
Jawab:
1. Jika semua pengurus OSIS bebas untuk memilih, banyak susunan posisi duduk
yang terjadi merupakan permutasi siklis. Jadi, banyak susunan posisi duduknya
adalah
(7 – 1)! = 6! = 720 susunan.
2. Jika Aldi, Tiara da Yusuf harus duduk berdampingan,mereka bertiga dianggap
satu unsur dalam susunan siklis, maka jumlah unsur dalam susunan sikliis
menjadi 5 unsur. Sehingga, banyak susunan posisi duduknya adalah (5 – 1)! = 4!
= 24. Tetapi Aldi, Tiara dan Yusuf dapat bertukar tempat sebanyak 3! = 6. Jadi,
banyak susunan posisi duduknya menjadi = 24 x 6 = 144 susunan.
3. Banyak posisi duduk jika Aldi, Tiara dan Yusuf tidak boleh ketiganya duduk
berdampingan sama dengan selisih banyak posisi duduk semua pengurus dan
banyak posisi mereka bertiga duduk berdampingan. Jadi, banyak susunan posisi
duduknya adalah 720 – 144 = 576 susunan.
4. Kombinasi
Kombinasi adalah susunan dari sekelompok objek tanpa memperhatikan
susunannya atau urutannya. Kombinasi dapat disebut pengelompokan sejumlah
unsur. Di dalam kombinasi AB = BA , ABC = ACB = CBA
Banyaknya kombinasi dari r objek yang diambil dari n objek yang tersedia dinotasikan
dengan
nCr atau C( n , r) atau C n,r atau:
Contoh :
Berapakah kombinasi 3 huruf dari A, B , C dan D ?
Jawab:
=
( ) =
= 4
24
B. Percobaan, Ruang Sampel, Frekuensi Relatif, Dan Peluang Suatu Kejadian.
a. Percobaan, Ruang Sampel , dan Kejadian.
Percobaan atau eksperimen adalah suatu kegiatan yang dapat memberikan beberapa
kemungkinan dan himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan itu
disebut ruang sampel, dinotasikan huruf S. Anggota dari ruang sampel disebut titik
sampel dan banyak titik sampel dinotasikan dengan n(S).
Pada percobaan melambungkan sebuah dadu, himpunan dari semua hasil yang mungkin
muncul atau ruang sampelnya adalah S = * + . Angka – angka 1,2,3,4,5, dan 6
merupakan titik – titik sampelnya dan n (S) = 6.
Contoh :
Dua uang logam dilambungkan bersamaan. Tentukan:
1. Ruang sampel dan banykanya ruang sampel, serta
2. Banyaknya titik sampel
Jawab:
1. Perhatikan tabel berikut.
A G
A (A, A) (A, G)
G (G, A) (G, G)
Ruang sampelnya adalah S = {(A, A), (A, G), (G, A), (G, G)} dan banyak raung
sampel n(S) = 4.
2. Titik sampelnya ada 4, yaitu (A, A), (A, G), (G, A), dan (G, G).
b. Frekuensi Relatif.
Frekuensi relatif kejadian A atau (A) adalah perbandingan banyaknya kejadian A
muncul dengan banyaknya percobaan.
(A) =
=
Contoh:
Rino melempar dadu sebanyak 200 kali. Hasilnya adalah muncul mata dadu sebagai
berikut.
a. Bermata dadu 1 sebanyak 25 kali.
b. Bermata dadu 3 sebanyak 15 kali.
25
c. Bermata dadu 6 sebanyak 56 kali.
Tentukan frekuensi relatif kejadian munculnya mata dadu bertitik 1, 3, dan 6.
Jawab:
Banyaknya percobaan adalah 200
a. Kejadian munculnya mata dadu bertitik 1 sebanyak 25 kali.
Jadi, frekuensi relatif munculnya mata dadu bertitik 1 adalah
.
b. Kejadian munculnya mata dadu bertitik 3 sebanyak 15 kali.
Jadi, frekuensi relatif munculnya mata dadu bertitik 3 adalah
.
c. Kejadian munculnya muka dadu bertitik 6 sebanyak 56 kali.
Jadi, frekuensi relatif munculnya mata dadu bertitik 6 adalah
.
c. Peluang Suatu Kejadian.
Misalnya suatu percobaan mempunyai ruang sampel yang berhingga banyaknya dan
setiap titik sampel mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka peluang
kejadian A dinyatakan sebagai berikut :
P(A) = ( )
( )
Dengan :
P(A) = peluang kejadian A
n(A) = banyak anggota A dalam ruang sampel
n(S) = banyak anggota ruang sampel.
Peluang suatu kejadian nilainya berkisar antara 0 sampai 1, ditulis 0 P(A) 1. P(A)
= 1 adalah suatu kejadian yang pasti dan P(A) = 0 adalah suatu kejadian yang
mustahil.
Contoh :
26
Pada pelemparan sebuah dadu, tentukan peluang kejadian muncul :
a. Mata dadu 5 dan
b. Mata dadu genap
Jawab:
S = * + dan n(S) = 6
a. Misalkan A adalah kejadian muncul mata dadu 5, maka A = * + dan n(A) =1.
Peluang muncul mata dadu 5 adalah :
P(A) = ( )
( ) =
b. Misalkan B adalah kejadian muncul mata dadu genap, maka B = * + dan n(B)
= 3. Peluang muncul mata dadu genap adalah :
P(B) = ( )
( ) =
=
Menentukan Peluang dengan Kombinasi
Peluang suatu kejadian dapat juga ditentukan dengan menggunakan konsep
kombinasi.
Contoh:
Dalam sebuah kotak, ada 9 bola yang diberi nomor 1 sampai 9. Jika dua bola diambil
secara acak (random) sekaligus, tentukan peluang terambilnya:
a. Kedua bola bernomor prima
b. Satu bola bernomor ganjil dan satu bola bernomor genap
Jawab:
Banyak ruang sampel memilih 2 bola dari 9 bola adalah
a. Misalkan A adalah kejadian muncul kedua bola bernomor prima. Banyak kejadian
mengambil 2 bola sekaligus dari 4 bola bernomor prima adalah
( )
Jadi, peluang terambilnya kedua bola bernomor prima adalah ( ) ( )
( )
b. Misalkan B adalah kejadian muncul 1 bola bernomor ganjil dan 1 bola bernomor
genap. Banyak kejadian terambil 1 bola bernomor ganjil dan 1 bola bernomor genap
adalah ( )
Peluang terambilnya 1 bola bernomor ganjil dan 1 bola bernomor genap adalah
27
( ) ( )
( )
d. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian
Frekuensi harapan suatu kejadian dari suatu percobaan adalah hasil kali peluang
kejadian tersebut dengan banyak percobaan.
Secara matematis dapat dituliskan seperti di bawah ini:
( ) ( )
Dengan:
( ) = frekuensi harapan yang diinginkan terjadi
( ) = peluang harapan kejadian tersebut terjadi
n = banyak percobaan yang dilakukan
Contoh:
Tiga uang logam yang dilempar bersama-sama sebanyak 120 kali. Tentukan frekuensi
harapan munculnya:
a. Satu angka b. Tiga gambar
Jawab:
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
sehingga ( )
a. Jika K adalah kejadian muncul satu angka, maka
*( ) ( ) ( )+ dan ( ) , sehingga ( )
( ) ( )
Jadi, frekuensi harapannya adalah 45 kali.
b. Jika L adalah kejadian muncul tiga gambar, maka *( )+ dan ( ) ,
sehingga ( )
( ) ( )
Jadi, frekuensi harapannya adalah 15 kali.
28
C. Kejadian Majemuk
Kejadian majemuk merupakan dua atau lebih kejadian yang dioperasikan sehingga akan
membentuk sebuah kejadian yang baru.
Aturan Penjumlahan dalam Peluang Kejadian Majemuk
1) Kejadian Saling Lepas
Terdapat dua buah kejadian A dan B bisa disebut sebagai kejadian saling lepas jika
tidak ada satupun elemen yang terjadi pada kejadian A yang sama dengan elemen
yang berlangsung pada kejadian B.
Sehingga peluang salah satu A atau B mungkin terjadi, rumus untuk kejadian saling
lepas yaitu:
( ) ( ) ( )
2) Kejadian Tidak Saling Lepas
Maksudnya yaitu elemen A ada yang sama dengan elemen B, rumus matematikanya
bisa kita tuliskan seperti di bawah ini:
( ) ( ) ( ) ( )
Contoh:
Dua dadu dilempar bersama. Tentukan peluang muncul:
a. Mata dadu berjumlah 4 atau berjumlah 11
b. Mata dadu berjumlah 5 atau muncul mata dadu 3 di dadu pertama
Jawab:
Ruang sampel dua dadu dilempar bersama disajikan dalam tabel berikut.
Dadu I
Dadu II
1 2 3 4 5 6
1 (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1,6)
2 (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3 (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4 (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5 (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6 (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
( )
29
a. Misalkan:
kejadian muncul mata dadu berjumlah *( ) ( ) ( )+
( ) , sehingga ( )
kejadian muncul mata dadu berjumlah *( ) ( )+
( ) , sehingga ( )
A dan B adalah kejadian yang saling lepas.
Jadi, ( ) ( ) ( )
b. Misalkan:
kejadian muncul mata dadu berjumlah *( ) ( ) ( ) ( )+
( ) , sehingga ( )
kejadian muncul mata dadu 3 di dadu pertama
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+
( ) , sehingga ( )
A dan B adalah kejadian tidak saling lepas, karena *( )+ dan
( ) , sehingga ( )
Jadi, ( ) ( ) ( ) ( )
Aturan Perkalian dalam Peluang Kejadian Majemuk
1) Kejadian Saling Bebas
Kejadian A dan B disebut dua kejadian saling bebas jika kemunculan kejadian
yang satu tidak dipengaruhi oleh kemunculan kejadian lainnya. Kejadian A dan B
saling bebas jika dan hanya jika
( ) ( ) ( )
Jika ( ) ( ) ( ), kejadian A dan B tidak saling bebas.
𝑃(𝐴 𝐵) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵)
𝑃(𝐴 𝐵) 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 𝐵)
Ingatlah :
A dan B saling lepas
A dan B tidak saling lepas
Ciri khusus aturan penjumlahan pada peluang dua
kejadian majemuk menggunakan kata “atau”
30
Contoh:
Dua dadu dilempar bersama. Jika A merupakan kejadian muncul angka 4 pada
dadu pertama dan B merupakan kejadian muncul angka 4 pada dadu kedua.
Apakah kejadian A dan B merupakan dua kejadian saling bebas?
Jawab:
Banyak titik sampel dua dadu yang dilempar bersama, ( )
A = kejadian muncul angka 4 pada dadu pertama
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ sehingga ( )
B = kejadian muncul angka 4 pada dadu kedua
*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ sehingga ( )
*( )+ ( )
( ) ( ) ( )
Oleh karena ( ) ( ) ( ), sehingga A dan B merupakan dua kejadian yang
saling bebas.
2) Kejadian Bersyarat atau Tidak Saling Bebas
Dua kejadian dengan kejadian yang satu saling memengaruhi kejadian yang lain,
maka dikatakan bahwa dua kejadian itu tidak saling bebas atau kejadian bersyarat.
Diketahui kejadian A dan B. Peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian
A telah terjadi, dinotasikan ( | ), adalah
( | ) ( )
( )
atau
( ) ( ) ( | )
Contoh:
Dari seperangkat kartu bridge, diambil satu per satu sebanyak dua kali tanpa
pengembalian. Tentukan peluang muncul:
31
a. Keduanya kartu wajik
b. Kartu pertama King dan kartu kedua As
Jawab:
Misalkan A adalah kejadian pada pengambilan pertama dan B adalah kejadian pada
pengambilan kedua. Kejadian B tidak saling bebas terhadap kejadian A, karena
kartu yang diambil saat pengambilan pertama tidak dikembalikan untuk diikutkan
pada pengambilan kedua. Jadi, kejadian B terjadi dengan syarat kejadian A terjadi
lebih dahulu.
a. ( ) ( )
( )
( | ) ( )
( )
( | ) ( )
( )
( ) ( ) ( | )
Jadi, peluangnya adalah
b. ( ) ( )
( )
( | ) ( )
( )
( ) ( ) ( | )
Jadi, peluangnya adalah
6. LATIHAN SOAL
1. Dari angka-angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, dan 7 akan dibentuk bilangan dengan 4 angka dan
tidak boleh ada angka yang diulang.
a. Berapa banyak bilangan dapat dibentuk?
b. Berapa banyak bilangan ganjil yang dapat dibentuk?
c. Berapa banyak bilangan yang nilainya kurang dari 5.000 yang dapat dibentuk?
2. Tentukan banyak pasang pakaian yang dapat dikenakan seorang siswa apabila ia
mempunyai 5 celana panjang dan 8 kemeja.
3. Tentukan nilai dari :
32
a.
= c. 3! + 4! =
b.
= d. 8! =
4. Dari angka – angka 1 , 2, 3, 5, 7, 8, dan 9 akan dibentuk bilangan terdiri atas empat
angka berbeda. Tentukan banyak susunan bilangan yang terbentuk.
5. Dalam suatu perlombaan balap sepeda yang terdiri dari 7 orang akan diambil 3 orang
sebagai juara yaitu : juara I, juara II dan juara III. Tentukan kemungkinan susunan juara
yang terjadi !
6. Berapa banyaknya cara duduk yang dapat terjadi jika 8 orang disediakan 4 kursi,
sedangkan salah seorang dari padanya selalu duduk dikursi tertentu.
7. Tentukan banyak kata yang dapat disusun dari semua huruf pada kata “
MATEMATIKA” !
8. Tentukan banyak kata yang dapat disusun dari semua huruf P, E, N, D, I, D, I, K !
9. Dari suatu kotak, terdapat 12 bola yang terdiri atas 6 bola warna putih, 4 bola warna
hijau, dan sisanya berwarna hitam. Jika diambil 3 bola sekaligus dari kotak tersebut ,
tentukan banyak cara untuk mendapatkan bola berwarna :
a. Dua bola putih dan satu bola hitam.
b. Semuanya bola hijau.
10. Dari 15 orang anggota Karang Taruna akan dipilih 4 orang sebagai petugas ronda.
Tentukan banyak susunan petugas ronda yang dapat dibentuk!
11. Pada pelemparan sebuah uang logam dan sebuah dadu, tentukan peluang munculnya :
a. Angka pada uang logam dan mata dadu lebih dari 3, serta
b. Gambar pada uang logam dan angka komposit pada dadu.
12. Suatu kotak berisi 15 kelereng merah dan 5 kelereng hijau. Dari kotak tersebut diambil
sebuah kelereng secara acak. Tentukan peluang yang terambil kelereng hijau !
13. Tiga uang logam dilambungkan bersamaan. Tentukan ruang sampel, titik sampel, dan
banyaknya titik sampel.
14. Sebuah dadu dilempar sekali. Tentukan peluang muncul angka prima atau genap.
15. Misalkan A dan B adalah kejadian yang saling bebas. Tentukan nilai ( ) jika:
a. ( ) dan ( ) ; serta
b. ( ) dan ( )
******************** SELAMAT MENGERJAKAN ********************
33
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI ............................................................................................................................................... 33
DAFTAR TABEL ...................................................................................................................................... 34
BAB 1 PENDAHULUAN ....................................................................................................................... 35
A. Deskripsi ....................................................................................................................... 35
B. Tujuan ........................................................................................................................... 35
C. Peta Konsep KD pada Mata Pelajaran .......................................................................... 36
BAB 2 PELAKSANAAN PEMBELAJARAN ...................................................................................... 37
A. Kegiatan Pembelajaran ................................................................................................. 37
B. Refleksi ......................................................................................................................... 40
C. Tugas ............................................................................................................................. 40
34
DAFTAR TABEL
Tabel 1. Rumus Bayangan Translasi (Pergeseran) .................................................................. 37
Tabel 2. Rumus Bayangan Refleksi (Pencerminan) ................................................................ 37
Tabel 3.Matriks yang Sesuai dengan Refleksi (Pencerminan) ................................................ 38
Tabel 4. Rumus Bayangan Rotasi (Perputaran) ....................................................................... 38
Tabel 5. Matriks yang Bersesuaian dengan Rotasi (Perputaran) ............................................. 39
Tabel 6. Rumus Bayangan Dilatasi .......................................................................................... 39
35
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Deskripsi
Modul Siswa SMK Mata Pelajaran Matematika untuk Kelas XI, KD 3.24 yaitu
Menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri,
dan KD 4.24 yaitu Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan
transformasi geometri, menjabarkan pengetahuan, ketrampilan dan sikap yang harus
dikuasi oleh siswa. Pengetahuan meliputi fakta, konsep dan prosedur tentang
transformasi geometri yang meliputi translasi (pergeseran), refleksi (pencerminan), rotasi
(perputaran) dan dilatasi. Keterampilan meliputi masalah kontekstual yang berkaitan
dengan transformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi). Sedangkan sikap
meliputi pembentukan sikap kerja dalam mengamati, menanya/diskusi, mencoba,
menalar/mengasoaiasi dan mengkomunikasikan dan pembentukan empat karakter yaitu
religius, nasionalisme, gotong royong, serta integritas dalam kegiatan pembelajaran.
B. Tujuan
4. Melalui kegiatan mengamati, menanya/diskusi peserta didik dapat menentukan
masalah kontekstual yang berkaitan dengan tranformasi geometri (translasi, refleksi,
rotasi dan dilatasi).
5. Melalui melakukan identifikasi, peserta didik dapat membedakan rumus yang
digunakan untuk menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan tranformasi
geometri (translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi).
6. Melalui penalaran/asosiasi, peserta didik dapat menganalisis masalah yang berkaitan
dengan tranformasi geometri (translasi, refleksi, rotasi dan dilatasi).
36
C. Peta Konsep KD pada Mata Pelajaran
KOMPETENSI DASAR
MATA PELAJARAN
MATEMATIKA KELAS
XI
4.24 Menyelesaikan masalah
kontekstual yang
berkaitan dengan
transformasi geometri
3.20 Menganalisis operasai
komposisi dan operasi
invers pada fungsi
4.20 Menyelesaikan masalah
operasi komposisi dan
operasi invers pada
fungsi
3.21 Menentukan
persamaan lingkaran
4.21 Menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan
persamaan lingkaran
3.22 Menganalisis masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan logika matematika
(pernyataan sederhana, negasi
pernyataan sederhana,
pernyataan majemuk, negasi
pernyataan majemuk dan
penarikan kesimpulan)
4.22Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan logika matematika
(pernyataan sederhana,
negasi pernyataan
sederhana, pernyataan
majemuk, negasi
pernyataan majemuk dan
penarikan kesimpulan)
3.23 Menganalisis titik,
garis dan bidang pada
geometri dimensi tiga
4.23 Menyajikan penyelesaian
masalah yang berkaitan dengan
jarak antara titik ke titik, titik ke
garis dan garis ke bidang pada
geometri dimensi tiga
3.24 Menentukan masalah
kontekstual yang
berkaitan dengan
transformasi geometri
4.19 Menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan
persamaan dan fungsi kuadrat
3.19 Menentukan nilai
variabel pada
persamaan dan fungsi
kuadrat
4.25 Menyajikan penyelesaian
masalah kontekstual berkaitan
dengan kaidah pencacahan,
permutasian dan kombinasi
3.26 Menentukan
peluang kejadian
4.26 Menyelesaikan maslah
yang berkaitan dengan
peluang kejadian
3.27 Mengevaluasi
Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan kajian statistika luasi
kajian statistika dalam masalah
kontekstual
4.27 Menyelesaikan masalah
kontekstual yang berkaitan
dengan kajian statistika
3.28 Menganalisi
ukuran
pemusatan data
tunggal dan data
kelompok
4.28 Menyelesaikan
masalah yang
berkaitan dengan
ukuran permusatan
data tunggal dan data
kelompok
4.29 Menyelesaikan masalah
yang berkaitan dengan ukuran
penyebaran data tunggal dan
data kelompok 3.29 Menganalisi ukuran data
tunggal dan data
kelompok
4.25 Menganalisi kaidah
pencacahan, permu
Menganalisi kaidah
pencacahan,
permutasian, dan
kominasi pada
37
BAB 2
PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
A. Kegiatan Pembelajaran
Mengamati
Ayo Membaca
1. Translasi (Pergeseran)
Translasi atau pergeseran adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik
pada bidang dengan jarak dan arah tertentu. Jarak dan arah tertentu dapat diwakili
oleh ruas garis berarah atau suatu pasangan bilangan . / Translasi oleh .
/ ditulis
. / dengan a menyatakan jarak dan perpindahan secara horizontal, serta b
menyatakan jarak dan perpindahan secara vertikal.
Jika titik A (x,y) ditranslasikan dengan T = . /, bayangan titik tersebut adalah titik
A‟ yang dirumuskan sebagai berikut :
Tabel 1. Rumus Bayangan Translasi (Pergeseran)
Koordinat Titik Asal (A) Translasi Koordinat Titik Bayangan (A‟)
(x,y) T =. / (x + , y + )
2. Refleksi
Refleksi atau pencerminan adalah suatu transformasi yang memindahkan setiap titik
pada bidang dengan menggunakan sifat bayangan cermin. Suatu titik A(x,y) yang
dicerminkan terhadap “cermin” tertentu akan menghasilkan bayangan A‟(x‟,y‟)
dengan koordinat bayangannya menyesuaikan “cermin-cermin” berikut:
Tabel 2. Rumus Bayangan Refleksi (Pencerminan)
Koordinat Titik Asal (A) Dicerminkan terhadap Garis Koordinat Titik Bayangan (A‟)
(x, y) Y = 0 (sumbu X ) ( x, -y)
(x, y) X = 0 (sumbu Y ) ( -x, y)
(x, y) y = x ( y, x)
(x, y) y = -x ( -y, -x)
(x, y) x = a ( 2a – x, y)
(x, y) y = b ( x, 2b – y)
38
Tabel 3.Matriks yang Sesuai dengan Refleksi (Pencerminan)
Refleksi Matriks
Sumbu X ( garis y = 0) .
/
Sumbu Y (garis x = 0) .
/
Garis y = x .
/
Garis y = - x .
/
3. Rotasi (Perputaran)
Rotasi atau perputaran pada bidang datar ditentukan oleh titik pusat rotasi, besar sudut
rotasi dan arah rotasinya.
Bayangan titik A(x, y) yang dirotasikan terhadap pusat O(0, 0) sebesar berlawanan
arah putaran jarum jam adalah A‟(x‟, y‟) dengan
{
(
) .
/ . /
Bayangan titik A(x, y) yang dirotasikan terhadap pusat P(a, b) sebesar berlawanan
arah putaran jarum jam adalah A‟(x‟, y‟) dengan
{ ( ) ( )
( ) ( ) sehingga diperoleh
(
) .
/ . / .
/
Tabel 4. Rumus Bayangan Rotasi (Perputaran)
Koordinat Titik Asal (A) Besar dan Arah Putaran Koordinat Titik Bayangan (A‟)
(a, b) (-b,a)
(a, b) (b,-a)
(a, b) (-a,-b)
(a, b) (-a,- b)
Dengan:
a. = rotasi dengan pusat 0 (0,0) berlawanan arah jarum jam,
b. = rotasi dengan pusat 0 (0,0) searah jarum jam,
c. = rotasi dengan pusat 0 (0,0) berlawanan arah jarum jam,dan
d. = rotasi dengan pusat 0 (0,0) searah jarum jam.
39
Tabel 5. Matriks yang Bersesuaian dengan Rotasi (Perputaran)
Rotasi Matriks
.
/
.
/
.
/
.
/
4. Dilatasi
Dilatasi adalah suatu transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau
memperkecil)suatu bangun, tetapi tidak mengubah bentuk bangun tersebut. Suatu
dilatasi ditentukan oleh pusat dilatasi dan faktor dilatasi atau faktor skala.
Bayangan titik A(x, y) yang didilatasikan terhadap pusat O(0, 0) dengan faktor skala k
adalah A‟(x‟, y‟) dengan
{ ( ) ( )
( ) ( ) (
) .
/ . /
Bayangan titik A(x, y) yang didilatasikan terhadap pusat P(a, b) dengan faktor skala k
adalah A‟(x‟, y‟) dengan
{ ( ) ( )
( ) ( ) (
) .
/ . / .
/
Tabel 6. Rumus Bayangan Dilatasi
Koordinat Titik Asal Pusat dan Faktor Dilatasi Koordinat Titik Bayangan
(a,b) , - ( )
(a,b) ,( ) - ( ( ) ( ))
Dengan :
D, - = dilatasi dengan pusat O (0,0) dan faktor dilatasi k, dan
D,( ) - = dilatasi dengan pusat (p,q) dan faktor dilatasi k.
Matriks yang sesuai dengan D, - adalah .
/.
Contoh soal
1. Bayangan titik A(-2,5) oleh translasi T= .
/, dilanjutkan rotasi sejauh
berlawanan arah jarum jam terhadap pusat O(0,0) adalah.....
40
Pembahasan:
Bayangan titik A(-2,5) oleh translasi T= .
/.
T=.
/
A(-2, 5) A‟ (-2+3 , 5+(-2)) A” (1,3)
Bayangan titik A‟ (1,3) oleh rotasi sejauh berlawanan arah jarum jam terhadap
pusat O(0,0).
, -
A‟(1,3) A”(-3,1)
2. Bayangan titik P(3,12) oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dan skala -2,dilanjutkan
oleh pencerminan terhadap gari x= -2 adalah ...
Pembahasan:
Bayangan titik P(3,-2) oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala -2.
, -
P(3,-2) P‟(-2(3),-2(-2)) P‟(-6,4)
Bayangan titik P‟(-6,4) oleh pencerminan terhadap garis = -2
P‟(-6,4) P”(2(-2)-(-6),4) P”(2,4)
3. Bayangan titik R(5,8) oleh refleksi terhadap sumbu Y kemudian dilanjutkan dengan
dilatasi ,( ) - adalah.....
Pembahasan :
B. Refleksi
e. Deskripsikan hal-hal yang telah anda pelajari/temukan selama pembelajaran
transformasi geometri .
f. Apakah penyajiannya sudah dapat dipahami?
g. Apakah kalian sudah dapat mengedentifikasi jenis transformasi geometri?
C. Tugas
Kejakan !
1. Bayangan titik A(-3,4) oleh translasi T= .
/, dilanjutkan rotasi sejauh
berlawanan arah jarum jam terhadap pusat O(0,0) adalah.....
2. Bayangan titik P(3,-2)oleh dilatasi terhadap pusat O(0,0) dan faktor skala -3,
dilanjutkan oleh pencerminan terhadap garis x= -4 adalah .....
3. Bayangan titik R(8,5) oleh refleksi terhadap sumbu Y kemudian dilanjutkan dengan
dilatasi D ,( ) - adalah ......
41
DAFTAR ISI
1. JUDUL MATERI .................................................................................................................... 42
2. KOMPETENSI DASAR ................................................................................................................... 42
3. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI ............................................................................. 42
4. TUJUAN PEMBELAJARAN .......................................................................................................... 42
5. MATERI AJAR .................................................................................................................................. 42
6. LATIHAN SOAL ............................................................................................................................... 57
42
1. JUDUL MATERI
Statistika
2. KOMPETENSI DASAR
3.27 Mengevaluasi kajian statistika dalam masalah kontekstual
3.28 Menganalisis ukuran pemusatan data tunggal dan data kelompok
3.29 Menganalisis ukuran penyebaran data tunggal dan data kelompok
4.27 Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan kajian statistika
4.28 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ukuran pemusatan data tunggal dan data
kelompok
4.29 Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan ukuran penyebaran data tunggal dan
data kelompok
3. INDIKATOR PENCAPAIAN KOMPETENSI
Memahami pengertian dasar satistika
Menyajikan suatu data
Menghitung ukuran pemusatan data
Menghitung ukuran letak data
Menghitung ukuran penyebaran data
4. TUJUAN PEMBELAJARAN
Setelah mempelajari modul ini peserta didik diharapkan dapat:
Memahami pengertian statistika, data, datum, populasi dan sampel
Menyajikan suatu data dalam bentuk tabel, diagram dan grafik
Menghitung ukuran pemusatan data, yaitu rataan hitung (mean), modus dan median
Menhitung ukuran letak data, yaitu kuartil, desil dan persentil
Menghitung ukuran penyebaran data, yaitu jangkauan, simpangan rata-rata, ragam,
simpangan baku, angka baku z, dan koefisien variansi
5. MATERI AJAR
A. Pengertian Dasar Statistika
1) Datum, Data dan Statistika
Dalam kehidupan sehari-hari, sering ditemukan keterangan-keterangan dari suatu kejadian
atau objek baik yang berupa angka, simbol, atau sifat sebelum mengambil keputusan.
43
Kumpulan keterangan tersebut disebut data. Sedangkan masing-masing keterangan disebut
datum. Berdasarkan jenisnya, data dikelompokkan menjadi dua, yaitu sebagai berikut.
a. Data kuantitatif, apabila data yang dikumpulkan berupa bilangan atau angka. Data
kuantitatif diperoleh dengan cara menghitung atau mengukur. Misalnya, data nilai
ulangan matematika.
b. Data kualitatif, apabila data yang ada bukan berupa bilangan tetapi berupa sifat-sifat
atau gambaran kualitas dari suatu objek. Misalnya, data bidang studi favorit siswa.
Dari kumpulan keterangan-keterangan yang berupa angka atau bilangan, ada ukuran-ukuran
yang mewakili data tersebut. Ukuran-ukuran ini disebut statistik. Ilmu yang mempelajari cara
atau metode pengumpulan data, penyajian data, pengolahan data sampai dengan penarikan
kesimpulan disebut statistika.
2) Populasi dan Sampel
Populasi adalah keseluruhan obyek yang diteliti.
Sampel (contoh) adalah sebagaian dari populasi benar-benar diteliti.
B. Penyajian Data
Setelah pengumpulan data, langkah selanjutnya adalah melakukan penyajian data. Ada
beberapa bentuk penyajian data, yaitu dalam bentuk tabel, diagram, histogram dan poligon
frekuensi.
Contoh:
Berikut ini data yang menunjukkan jumlah SMK di lima kota, yaitu kota A terdapat 100 SMK,
kota B terdapat 200 SMK, kota C terdapat 400 SMK, kota D terdapat 80 SMK, dan kota E
terdapat 20 SMK
Sajikanlah data tersbut dalam bentuk:
a) Tabel
b) Diagram batang
c) Diagram garis
d) Diagram lingkaran
Jawab:
a) Tabel berikut menunjukkan data jumlah SMK di lima kota.
Kota A B C D E Jumlah
Banyak SMK 100 200 400 80 20 800
44
b)
C. Penyajian Data dalam Bentuk Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram merupakan diagram batang yang saling berimpit dan digunakan untuk menyajikan
data dalam bentuk distribusi frekuensi. Sedangkan poligon frekuensi meruapakan diagram
garis yang digunakan untuk menyajikan data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi.
Ada beberapa hal yang dilakukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi, yaitu sebagai
berikut.
1) Menentukan jangkauan data (J)
J = datum maksimum – datum minimum
2) Menentukan banyak kelas interval (K)
Banyak kelas dapat dicari dengan menggunakan aturan Sturgess, yaitu
K = 1 + 3,3 log n dengan n adalah banyak data.
Urutan kelas interval pertama memuat datum terkecil dan kelas terakhir memuat datum
terbesar. Nilai K selalu berupa bilangan bulat.
3) Panjang kelas interval (p), ditentukan dengan rumus berikut.
Contoh:
Berikut merupakan data nilai ulangan matematika dari 40 siswa.
65 55 74 90 64 82 46 38
78 60 54 76 80 62 53 40
58 60 50 92 90 62 73 50
49 62 58 78 82 70 48 60
55 78 48 68 79 50 68 71
Buat histogram dan poligon frekuensi dari data tersebut.
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
A B C D E
Ban
yak
SMK
Nama Kota
45
Jawab:
Berdasarkan data tersebut, dapat ditentukan:
Jangkauan (J) = 92 – 38 = 54
Banyak kelas (K) = 1 + 3,3 log 40 = 1 + 5,29 = 6,29 7 pembulatan ke atas.
Panjang kelas ( )
Jadi, data terbagi dalam kelas 38 – 45, 46 – 53, 54 – 61, 62 – 69, 70 – 77, 78 – 85, 86 – 93.
Tabel distribusi dari data tersebut adalah sebagai berikut.
Nilai Nilai Tengah (xi) Frekuensi
38 – 45 41,5 2
46 – 53 49,5 8
54 – 61 57,5 8
62 – 69 65,5 7
70 – 77 73,5 5
78 – 85 81,5 7
86 – 93 89,5 3
Jumlah 40
Dari tabel tersebut dapat dijelaskan sebagai berikut.
Batas bawah kelas, yaitu 38, 46, 54, 62, 70, 78, 86
Batas atas kelas, yaitu 45, 53, 61, 69, 77, 85 dan 93
Nilai tengah kelas (xi), yaitu 41,5; 49,5; 57,5; 65,5; 73,5; 81,5; dan 89,5
Dengan xi =
(batas atas + batas bawah)
Tepi bawah kelas = batas bawah – 0,5
Tepi bawah kelas data tersebut yaitu 37,5; 45,5; 53,5; 61,5; 69,5; 77,5; dan 85,5
Tepi atas kelas = batas atas – 0,5
Tepi atas kelas data tersebut yaitu 45,5; 53,5; 61,5; 69,5; 77,5; 85,5; dan 93,5
Histogram dari tabel distribusi frekuensi tersebut adalah sebagai berikut.
46
Jika setiap tengah sisi atas persegi panjang pada histogram dihubungkan dengan garis lurus, maka
akan terbentuk poligon frekuensi.
D. Ukuran Pemusatan Data
1. Rata-rata Nilai
a. Rata-Rata Hitung
Rata-rata hitung disebut juga mean, dilambangkan dengan notasi dibaca „ bar‟. Data
dalam perhitungan mean ada tiga jenis, yaitu data tunggal (tak berbobot), data tunggal
berbobot (berfrekuensi), dan data berkelompok.
1) Mean data tunggal tak berbobot dan data tunggal berbobot
Data tunggal (tak berbobot) adalah data tunggal yang disajikan satu persatu. Data
tunggal berbobot adalah data tunggal yang disajikan sengan menggunakan frekuensi.
Contoh:
Tentukan mean dari data berikut.
a. 6, 4, 8, 10, 11, 10, 7
b.
x 5 10 15 20
f 4 6 8 2
Jawab:
Soal a adalah data tunggal tak berbobot, sedangkan soal b adalah tunggal berbobot
a) ∑
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
38 – 45 46 – 53 54 – 61 62 – 69 70 – 77 78 – 85 86 – 93
Fre
kue
nsi
Nilai
Histogram dan Poligon Frekuensi
Histogram
Poligon Frekuensi
47
b) Cara I
Dengan menggunakan rumus
( ) ( ) ( ) ( )
Cara II Dengan bantuan tabel
xi fi fixi
5 4 20
10 6 60
15 8 120
20 2 40
Total 20 240
∑
∑
2) Mean data berkelompok
Contoh:
Perhatikan tabel distribusi frekuensi berikut.
Nilai Frekuensi (fi)
20 – 24 4
25 – 29 8
30 – 34 14
35 – 39 12
40 – 44 10
45 – 49 2
Jumlah 50
Tentukan mean dari data tabel tersebut.
Jawab:
Nilai Frekuensi (fi) Nilai Tengah (xi) fi . xi
20 – 24 4 22 88
25 – 29 8 27 216
48
30 – 34 14 32 448
35 – 39 12 37 444
40 – 44 10 42 420
45 – 49 2 47 94
Jumlah ∑
∑
∑
∑
Jadi, nilai rata-ratanya adalah 34,2
b. Rata-Rata Harmonis
Rata-rata harmonis (H) untuk data tunggal adalah sebagai berikut.
∑
Rata-rata harmonis untuk data tunggal berbobot adalah sebagai berikut.
∑
∑
Contoh:
Hitung rata-rata harmonis dari data berikut.
1) 3, 4, 6, 6, 10, 12
2)
x 5 10 15 20 25
f 1 4 5 10 5
Jawab:
1) Banyak datum (n) = 6
∑
2) Banyak datum (n) = 25
∑
∑
49
2. Modus
Modus (Mo) suatu data adalah datum yang sering muncul atau datum yang memiliki
frekuensi tertinggi.
a. Modus data tunggal
Contoh: tentukan modus dari data berikut.
1) 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7
2) 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 8
3)
x 5 10 15 20 25
f 1 4 5 10 5
Jawab:
1) Modus adalah 5
2) Modus adalah 6 dan 7
3) Modus adalah 20
b. Modus data berkelompok
3. Median
Median (Me) adalah ukuran tengah dari sekelompok data yang telah diurutkan menurut
besarnya.
a. Median data tunggal
Misalkan s
b. Median data berkelompok
50
Contoh:
Diketahui data sebagai berikut
Penyelesaian:
51
E. Ukuran Letak Data
1. Kuartil
Kuartil adalah datum yang membagi data menjadi seperempat bagian setelah data
diurutkan. Kuartil ada tiga, yaitu kuartil bawah (Q1), kuartil tengah atau median (Q2) dan
kuartil atas (Q3).
Kuartil Data Berkelompok
Kuartil Pertama (Bawah) = Q1
(
)
Dengan:
Q1 = Kuartil pertama (bawah)
tepi bawah kelas kuartil pertama
banyak data
frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil pertama
frekuensi kelas kuartil pertama
panjang kelas atau interval
Kuartil Tengah (Median) = Q2
(
)
Dengan:
Q2 = Kuartil tengah (median)
tepi bawah kelas kuartil tengah
banyak data
frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil tengah
frekuensi kelas kuartil tengah
panjang kelas atau interval
Kuartil Ketiga (Atas) = Q3
(
)
52
Dengan:
Q3 = Kuartil ketiga (atas)
tepi bawah kelas kuartil ketiga
banyak data
frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil ketiga
frekuensi kelas kuartil ketiga
panjang kelas atau interval
2. Desil
Desil adalah datum yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama setelah data
diurutkan.
Desil Data Berkelompok
(
)
Dengan:
desil ke- m
tepi bawah kelas desil ke- m
banyak data
frekuensi kumulatif sebelum kelas desil ke- m
frekuensi kelas desil ke- m
panjang kelas atau interval
3. Persentil
Persentil adalah datum yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama setelah data
diurutkan.
Persentil Data Berkelompok
(
)
Dengan:
persentil ke- m
tepi bawah kelas persentil ke- m
banyak data
frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil ke- m
53
frekuensi kelas persentil ke- m
panjang kelas atau interval
Contoh:
Perhatikan tabel berikut.
Nilai Frekuensi
53 – 60 2
61 – 68 5
69 – 76 11
77 – 84 15
85 – 92 4
93 – 100 3
Jumlah 40
Tentukan kuartil ketiga dan persentil ke-60
Jawab:
Kuartil Ketiga
Q3 = data ke -
n = data ke -
. 40 = data ke – 30, sehingga Q3 terletak pada interval
77 – 84
77 – 0,5 = 76,5; ; 15; n = 40; i = 61 – 53 = 8
(
)
(
)
Persentil ke-60
P60 = data ke -
n = data ke -
. 40 = data ke – 24, sehingga P60 terletak pada interval
77 – 84
77 – 0,5 = 76,5; ; 15; n = 40; i = 61 – 53 = 8
(
)
54
(
)
F. Ukuran Penyebaran Data
1. Jangkauan
Jangkauan adalah nilai yang diperoleh dari nilai datum terbesar dikurangi nilai datum
terkecil.
Jangkauan (J) =
Dengan:
J = jangkauan
= nilai datum terbesar
nilai datum terkecil
2. Jangkauan Antar Kuartil
Dengan:
jangkauan antar kuartil
kuartil ketiga
kuartil pertama
3. Simpangan Kuartil (Jangkauan Semi Interkuartil) =
4. Simpangan Rata-rata
Simpangan (deviasi) rata-rata adalah ukuran penyebaran data yang mencerminkan
penyebaran setiap nilai datum terhadap nilai rataan hitungnya.
Simpangan Rata-rata untuk Data Tunggal
∑| |
Dengan:
simpangan rata-rata
nilai rataan hitung (mean)
55
banyak data
nilai datum ke- i
i = 1, 2, 3, . . . , n
Simpangan Rata-rata untuk Data Berkelompok
∑ | |
simpangan rata-rata
nilai rataan hitung (mean)
banyak data
nilai datum ke- i
frekuensi kelas ke- i
i = 1, 2, 3, . . . , n
5. Ragam dan Simpangan Baku
Ragam (variansi) dan simpangan baku (standar deviasi) menjelaskan penyebaran data di
sekitar rataan.
Ragam dan simpangan baku populasi
( )
∑( )
( ) √
∑( )
Ragam dan simpangan baku sampel
( )
∑( )
( ) √
∑( )
6. Angka Baku atau z atau Skor z
Angka baku mengukur seberapa besar simpangan baku sebuah pengamatan terletak di atas
atau di bawah nilai rataannya.
56
Dengan:
angka baku
nilai data
nilai rataan hitung (mean)
simpangan baku/standar deviasi
7. Koefisien Variansi
Koefisien variansi (Kv) menyatakan simpangan baku sebagai persentase dari nilai rataan.
Contoh:
Diketahui data 5, 10, 4, 8, dan 3. Tentukan:
a. Simpangan baku
b. Koefisien variansi
c. Nilai baku untuk datum 10
Jawab:
a. Simpangan baku
n = 5;
( ) √
∑( )
√
,( ) ( ) ( ) ( ) ( ) -
√
( )
√
√
b. Koefisien variansi
57
c. Nilai baku untuk datum 10
6. LATIHAN SOAL
1) Data berikut menunjukkan nilai ujian materi Statistika dari 60 siswa di sebuah SMK.
36 44 53 58 63 67 69 74 83 89 40 50 55 60 64 68 70 78 95 89 90 83 75 69 67 63 59 53 45 37 39 49 55 60 63 68 70 77 86 95 95 85 76 69 68 63 59 53 45 37 39 48 55 60 63 68 70 78 88 95
a. Buat tabel distribusi frekuensinya
b. Buat histogram dan poligon frekuensinya
2) Tentukan rata-rata hitung (mean), median, dan modus dari data berikut
a. Data tunggal
2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 7, 4, 4, 2, 3, 3, 2, 5, 5, 5, 5, 7
b. Data berkelompok
Nilai Frekuensi
1 – 7 4
8 – 14 7
15 – 21 15
22 – 28 9
29 – 35 5
36 – 42 6
44 – 49 4
Jumlah 50
3) Tentukan :
a. Simpangan kuartil
b. Desil ke – 2
c. Persentil ke- 45
Dari data berikut
Berat (kg) Frekuensi
2 – 5 8
6 – 9 12
10 – 13 10
14 – 17 6
18 – 21 4
Jumlah 40
58
4) Tentukan simpangan rata-rata, simpangan baku, dan variansi dari data berikut
a. 4, 6, 8, 5, 5, 15, 9, 8,10, 12, 14, 17, 16, 11
b. 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11, 11, 13
************************ SELAMAT MENGERJAKAN*************************
Orang-orang yang berhenti belajar akan
menjadi pemilik masa lalu. Sedangkan orang-
orang yang masih terus belajar, akan
menjadi pemilik masa depan. Tugas kita
bukanlah untuk berhasil. Tugas kita adalah
untuk mencoba, karena di dalam mencoba
itulah kita menemukan dan belajar
membangun kesempatan untuh berhasil
