1LOGIKAMATEMATIKAKalimatTerbukaTertutupNegasi,KataPenghubungPenarikanKesimpulanSoalSoalDisusunoleh:MuhammadIrfan,S.SiLOGIKA MATEMATIKA Logikamatematikameliputi:logikapernyataanatauproposisi (propositionallogic)suatuyangmenelaahmanipulasiantar pernyataan dan logika penghubung atau predikat (predicate logic) yangmenelaahmanipulasihubunganrelasioanalantarapernyataan pertamadenganpernyataankedua.Olehkarenaitulogika matematika adalah ilmu yang menelaah manipulasi antar pernyataan matematik(mathematicalStatement).Namunsebelummelangkah lebihjauh,kitaperlumemahamiterlebihdahulupengertian pernyataandanpengertianpenghubung.Berikutinidiberikan definisi suatu pernyataan : A. Pengertian Logikamatematikaadalahpolaberpikirberdasarkanpenalarandan dapat di uji kebenarannya secara matematika. Sebuahpernyataanatauproposisiadalahsebuahkalimatdeklaratif yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: Benar (B) saja atau Salah (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya. Logika Natematika2010/201121. Kalimat terbuka Kalimatterbukaadalahkalimatyangbelumdapatditentukannilai kebenarannya.Ataudengankatalainkalimatyangmasih bervariabel. Contoh a. 2x + 5 = 7 b. x2 + 1 = 10 c. Jarak kota A dan kota B 200 km d. Usia A lebih muda dari B, dll. 2. Pernyataan Jikavariabelpadakalimatterbukadigantimakaakanmenjadi pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar. Contoh pernyataan a. 2 x 5 = 10 b. 20 : 2 = 6 c. Toni lebih muda dari Susi Pernyataan a bernilai benar Pernyataan b bernilai salah Pernyataan c bisa benar atau salah Latihan 1.Diantara kalimat-kalimat berikut ini tentukanmanakah yang merupakanpernyataandanmanakahyangmerupakan kalimatterbuka.Jikapernyataantentukannilai kebenarannya. a.x + 5 > 0. b.x2 + 5 0. c.Satu windu sama dengan n tahun. d.Bilanganaslimerupakanhimpunanbagianbilangan bulat. e.2k+1merupakanbilanganganjil,untukkbilangan cacah. f.2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real. g.Itu adalah benda cair. h.Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap 2.Diberikankalimatterbukaberikut:x2-1=0,xbilangan real.TentukanHimpunanxagarkalimatitumenjadisuatu pernyataan. B. Penghubung / Konektif (Connective) Dalam logika matematika dikenal sebanyak 5 operator logika (penghubung), yaitu: Negasi (Negation), Konjungsi (Conjunction), Logika Natematika2010/20113Disjungsi (Disjunction), Implikasi (Implication) , Biimplikasi, atau Ekuivalensi (Equivalence). 1.NEGASI Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan tidak benar di awal kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata tidak atau bukan pada pernyataan tersebut. Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi pp BS SB Contoh Pernyataan : pNegasi (ingkaran) : p TigapuluhsembilanadalahTiga puluh sembilan bukan bilangan prima (S) bilangan prima (B) Semuabinatangadalah mahluk hidup (B) Tidaksemuabinatang adalah mahluk hidup (S) 2.KONJUNGSI Padabagiansebelumnyatelahdipelajarisuatupernyataan tunggal.Namunselanjutnyaakandipelajariduaataulebih pernyataantunggalyangdigabungdandisebut denganpernyataanmajemuk.Konjungsimerupakankata penyambungantarbeberapapernyataanyangbiasanyaberupa katadan.Katapenghubungdanpadaperkataanmajemuk dilambangkan dengan A yang disebut Konjungsi. Konjungsi didefinisikan sebagai berikut : Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk sembarang pernyataan p, negasi dari pdilambangkandenganp dandibacabukanpSuatu pernyataanyangbernilaisalah(S)jikapbenar(B),dan bernilai benar (B ) jika p salah (S) Konjungsi PernyataanmajemukpdanqdisebutKonjungsidaripdanq dinyatakan dengan: p A q adalahsebuahpernyataanbernilaibenarjikapernyataanpdan qkeduanyabernilaibenar,danbernilaisalahjikasalahsatup atau q (keduanya) salah Logika Natematika2010/20114Tabel Kebenaran Konjungsi pqp A q BBB BSS SBS SSS Contoh Pernyataan : pPernyataan : qp A q SMK 1 Sragen berada di Kabupaten Sragen (B) Sragentermasukke dalamwilayahJawa Tengah (B) B Jumlahsudutdalam suatusegitigaselalu 180o(B) Besar sudut segitiga sama sisi adalah 90o (S) S Duaadalahbilangan ganjil (S) Duaadalahbilangan prima (B) S 2 + 6 = 7(S)6 = 7 2(S)S 3.DISJUNGSI Disjungsimerupakankatapenghubungberupakataatau dalammenghubungkanduapernyataanmenjadikalimat majemuk.Katapenghubungataupadapernyataanmajemuk dilambangkandenganvyangdisebutDisjungsi.Disjungsi didefinisikan sebagai berikut : Tabel Kebenaran Disjungsi pqp v q BBB BSB SBB SSS Disjungsi : Pernyataan majemuk p dan q disebut Disjungsi dari p dan q dinyatakan dengan: p V q adalah sebuah pernyataan bernilai benar jika pernyataan p dan q salah satu atau keduanya bernila benar, dan bernilai salah hanya jika keduanya bernilai salahLogika Natematika2010/20115Contoh Pernyataan : pPernyataan : qp v q SMK1Sragenberadadi Kabupaten Sragen (B) Sragentermasukkedalam wilayah Jawa Tengah (B) B Jumlahsudutdalamsuatu segi tiga selalu 180o(B) Besarsudutsegitigasama sisi adalah 90o (S) B Duaadalahbilanganganjil (S) Duaadalahbilanganprima (B) B 2 + 6 = 7(S)6 = 7 2(S)S 4.IMPLIKASI (Proporsi Bersyarat) Untukmemahamiimplikasi,perhatikanuraianberikutini. MisalkanBobyberjanjipadaTogarJikasayadapatmedali olimpiadesains-matematikanasionaltahuninimakaakuakan membelikankamusepatubola.JanjiBobyinihanyaberlaku jikaBobymendapatkanmedaliolimpiadesains-matematika. KalimatyangdiucapkanBobypadaTogardalambahasalogika matematika dapat ditulis sebagai berikut : Jika p : dapat medali olimpiade sains-matematika nasional. Maka q : membelikan sepatu bola SehinggadapatdinyatakansebagaiJikapmakaqatau dilambangkandenganp - osuatupernyataanmajemuk yangdisebutdenganImplikasi.Implikasidaripernyataanpke pernyataanqdinyatakandengan,p - o,ialahsebuah pernyataanyangbernilaisalahjikadanhanyajikapbernilai benardanqbernilaisalah.Pernyataanpdisebuthipotesa (premis)danpernyataanqdisebutkesimpulan(konklusi). Selanjutnya Implikasi didefinisikan sebagai berikut : Tabel Kebenaran Implikasi pqp - q BBB BSS SBB SSB Implikasi: Pernyataanmajemukpdanqdisebutimplikasi(pernyataan bersyarat)adalahsebuahpernyataanmajemukyang dilambangkan : p q bernilai salah hanya jika hipotesa p bernilai benar dan konklusi q bernilai salah. Untuk kasus lainnya bernilai benar. Logika Natematika2010/20116Contoh Pernyataan : pPernyataan : qp - q SMK 1 Sragen berada di Kabupaten Sragen (B) Sragentermasukkedalam wilayah Jawa Tengah (B) B Jumlahsudutdalam suatusegitigaselalu 180o(B) Besarsudutsegitigasama sisi adalah 90o (S) S Duaadalahbilangan ganjil (S) Dua adalah bilangan prima (B) B 2 + 6 = 7(S)6 = 7 2(S)B 5.BIIMPLIKASI (EKUIVALENSI) Pernyataan p dan q apabila dirangkai dengan menggunakan hubungan Jika dan hanya jika Sehingga menjadi suatu kalimat yang dapat dinyatakan sebagai p Jika dan hanya jika q atau dilambangkan dengan : p q suatu pernyataan majemuk disebut dengan biimplikasi. Pernyataan majemuk biimplikasi menyiratkan suatu gabungan dari: p q dan qp Olehkarenaitunilaikebenaranbiimplikasipqdikatakan bernilaibenarjikapdanqmempunyainilaikebenaranyang sama seperti yang diungkapkan pada definisi berikut ini : Tabel Kebenaran Biimplikasi pqp = q BBB BSS SBS SSB Biimplikasi: Pernyataanmajemukpdanqdisebutbiimplikasi(pernyataan bersyaratduaarah)adalahsebuahpernyataanmajemukyang dilambangkan : p q bernilaibenarjikapdanqmempunyainilaikebenaranyang sama.Logika Natematika2010/20117Contoh Nyatakanpernyataanberikutdengansymboldantentukan kebenarannya. IrfanBachdimadalahpemainTimnasdantidakbenarbahwa JakartaadalahibukotaIndonesiaatauSMKN1Sragenterletakdi Kabupaten Sragen Penyelesaian: Setiap pernyataan kita misalkan dengan symbol: p : Irfan Bachdim adalah pemain Timnas (B) q : Jakarta adalah ibukota Indonesia (B) r : SMK N 1 Sragen terletak di Kabupaten Karanganyar (S) Secarasimbolik,pernyataantersebutdapatdinyatakansebagai berikut: (p A o) Vr Kemudian,untukmencarinilaikebenarandaripernyataandiatas yaitu: (p q ) r (B B ) S (B S ) S S S S Jadi, pernyataan di atas bernilai salah. C.TABEL KEBENARAN (Truth Table) Untukmengevaluasiapakahsebuahpernyataanmajemukbenar atausalahkitaperlutablekebenarandarikalimatpenghubung yangadadalampernyataantersebut.Untuksembarang pernyataanpdanq,rangkumantabelkebenarandarisemua penghubung adalah sebagai berikut: pqpqpA qpv qp- qp= q BBSSBSBB BSSBSSSS SBBSSSBS SSBBSBBB p = qNilai kebenaran ABCD adalah persegi = ABCD segi empat yang sisinya sama B n adalah bilangan prima = n habis dibagi 7S SMK1SragenterletakdiJawaTengah= Sragen adalah Kota yang ada di Yogyakarta S Grafik(x)bukangarislurus=(x) adalah fungsi yang tidak linier B Logika Natematika2010/20118 Contoh Berikut ini beberapa contoh fungsi pernyataan dan himpunan daerah asal : 1.n 2 + 2n adalah bilangan ganjil, dengan daerah asal himpunan bilangan bulat. 2.x 2 - x - 6 = 0 , dengan daerah asal himpunan bilangan real. 3.Seorang pemain bisbol memukul bola melampaui 300 ft pada tahun 1974, dengan daerah asal himpunan pemain bisbol. Soal Latihan 1.Tentukan ingkaran atau negasi dari setiap kalimat berikut: a.Dua ratus tujuh belas adalah bilangan prima. b.Diagonal ruang pada suatu kubuas ada 4 buah c.Pulau Madura termasuk wilayah propinsi Jawa Timur. d.49 adalah bilangan kuadrat. 2.Diberikan pernyataan sebagai berikut: p : Dua garis sejajar mempunyai titik potong q : Nilai maksimal sinus suatu sudut adalah 1 r : Syamsir Alam bukan pemain Tenis Tentukannilaikebenarandaripernyataanpernyataan berikut: a.pA o b.(pv r) -o c.p= rd.(p= o) A o = r 3.PeriksalahnilaikebenarandariImplikasiberikut,jikasalah berikan contoh kesalahannya. a.Jika x=2 maka 2x2 -Sx +2 = u b.Jika x = 9u0 maka sinx + cos x = u DEFINISIMisalkanP(x)merupakansebuahpernyataanyangmengandung variabel x dan D adalah sebuah himpunan. Kita sebut P sebuah fungsi pernyataan(dalamD)jikauntuksetiapxdiD,P(x)adalah pernyataan.KitasebutDdaerahasalpembicaraan(domainof discourse) dari P. Logika Natematika2010/20119D.KUANTOR 1.Kuantor Universal dan Kuantor Eksistensial Jadipernyataanyangmenggunakankatasemuaatau setiapdisebutpernyataankuantoruniversal(umum), sedangkanpernyataanyangmenggunakankataBeberapa atauadakuantoreksistensial(khusus).Pernyataanuntuk setiap x, P(x) bernilai benar jika untuk setiap x e D, maka P(x) bernilaibenar.Pernyataanuntukbeberapax,P(x)bernilai benarjikaterdapatsekurangkurangnyasatuxe Dsehingga P(x) bernilai benar. Jadiuntukmengevaluasisebuahpernyataandalambentuk simbulikdanmemuatpenghubung,kitaharusmenetapkan daerahasaldarisetiapvariabelnyadanmemberikan interpretasi(makna)terhadapfungsidanpenghubungyang ada didalamnya. 2.Negasi dari Pernyataan berkuantor Seperti yang telah diuraikan sebelumnya bahwa negasi adalah ingkaran dari suatu pernyataan p yang dilambangkan dengan p . Selanjutnya dapat dengan mudah dapat dirumuskan bahwa: - Negasidarisebuahkuantoruniversalpastilahkuantor eksistesial. - Negasi dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal. Contoh: Tentukan negasi dari kalimat yang berkuantor berikut: a.+xe R, x2 - 1 = u b.vxe R, x2 +1 < u Jawab: a.+xe R, x2 - 1 = u adalah pernyataan yang benar Negasi dari pernyataan tersebut adalah: DEFINISI MisalkanP(x)adalahfungsipernyataandengandaerah asal D. 1. Pernyataanuntuksetiapx,P(x)dikatakan sebagaipernyataankuantoruniversaldansecara simbulik ditulis sebagai berikut "vx; P(x) " Simbulvdisebutkuantoruniversal(universal quantifier). 2.Pernyataanuntukbeberapax,P(x)dikatakan sebagai pernyataan kuantor eksistensial dan secara simbulik ditulis sebagai berikut "+x; P(x) " Simbul+disebutkuantoreksistensial (existensial quantifier). Logika Natematika2010/201110+xe R, x2 - 1 = u

vx e R, x2 - 1 = ubernilai salah b.vxe R, x2 +1 < u adalah pernyataan yang salah Negasi dari pernyataan tersebut adalah: vxe R, x2 +1 < u

+x e R, x2 +1 > ubernilai benar 3.Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi Untukmelihathubunganantaraimplikasidengankonvers, inversdankontraposisiperhatikanpernyataanimplikasi berikut ini : i.Jika Nena seorang mahasiswa maka Nena lulus SMA Daripernyataanimplikasiini,dapatdibuat pernyataan baru: ii.Jika Nena lulus SMA, maka Nena seorang mahasiswa iii.JikaNenabukanseorangmahasiswa,makaNena tidak lulus SMA iv.JikaNenatidaklulusSMA,makaNenabukan seorang mahasiswa Pernyataan pernyataan i, ii, iii, dan iv dapat ditulis sebagai berikut: i.p - o: disebut implikasi ii.o - p: disebut konvers dari implikasi p - o iii.p- o: disebut invers dari implikasi p - o iv.o - p : disebut kontraposisi dari implikasi p - o BerikutadalahtablekebenarandariKonvers,Invers,dan Kontraposisi. KomponenImplikasiKonversInversKontraposisipqpqp- qq- pp- qq- p BBSSBBBB BSSBSBBS SBBSBSSB SSBBBBBB Berdasarkantablekebenarandiatas,dapatdisimpulkan bahwa: -Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi -Konvers ekuivalen dengan Invers Logika Natematika2010/2011114.Dua Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen Perhatikan contoh kalimat berikut: p : Markus tidak malas q : Markus giat berlatih Dari pernyataan di atas, akan dibuat kalimat majemuk sebagai berikut: a: Markus tidak malas maka Markus giat berlatih : p- q bernilai B b:MarkusmalasatauMarkusgiatberlatih:pv q bernilai B Dari pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasinya: a= h p- q = pv q Contoh Denganmenggunakantabelkebenaran,tunjukkanlahbahwa pernyataan p- q ekuivalen dengan pernyataanpv q Jawab: pqpp- qpv qp- q= pv q BBSBBB BSSSSB SBBBBB SSBBBB Dari tabel dapat disimpulkan bahwa p- q = pv q Cobakitaperhatikankolomke-6padatabletersebut.Pada kolomtersebutselalubernilaibenaruntuksetiap kemungkinannilaikebenarandaripernyataankomponen yangada.PernyataanmajemuktersebutdisebutTautologi (benar logis). Tautologi yang berbentuk a= hdisebutEkuivalenLogisditulisdenganlambang o b dibaca (a ekuivalen b) Sedangkanuntuksetiapkemungkinannilaikebenarandari pernyataankomponenyangbernilaisalahpernyataan majemuk tersebut disebut Kontradiksi. Tautologi: Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya. Logika Natematika2010/201112Kontradiksi: SebuahpernyataandikatakanbernilaiKontradiksi,jika pernyataantersebutbernilaisalahterhadapsetiappemberian nilai kebenaran bagi setiap variabelnya. Contoh Tunjukkanbahwap v p adalahtautologydanp A p adalah kontradiksi Jawab ppp v pp A p BSBS SBBS Dari table tersebut dapat kita simpulkan bahwa p v p adalah Tautologi dan p v p adalah Kontradiksi. Contoh Tunjukkanbahwapernyataan(p - o)

- oadalah tautology Jawab: pqp - q(p - q)

q(p - q)

- qBBBSSB BSSBBB SBBSBB SSBSBB Dapatdisimpulkanbahwapernyataan(p - o)

- oadalah tautology Latihan 1.Tentukankonvers,invers,dankontraposisidari pernyataan berikut: a.Jika Timnas juara AFF Cup, maka Timnas punya piala. b.JikaRyanseorangmahasiswa,makaRyanlulus SMA. c.Jikanbilanganganjil,maka n +1adalah bilangan genap. 2.Tentukannegasidarisetiappernyataanberkuantor berikut ini: a.Setiap bilangan bulat adalah bilangan real. b.Terdapat bilangan real n sehingga n2 -4n < u Logika Natematika2010/201113c.Ada siswa di kelas ini yang suka bercanda. d.Semua segitiga sama sisi mempunyai sudut 6u0. 3.Tunjukkan bahwa pernyataan berikut adalah tautology: a.(p - o ) - p b.p - p v p c.(p - o A o - r) - (p - r) 5.Silogisme, Modus Tollens, dan Modus Ponens SilogismeModusPonensdanModusTollensadalahmetode ataucara yang digunakan dalammenarik kesimpulan. Proses penarikankesimpulanterbagiatasbeberapahipotesayang diketahuinilaikebenarannyayangkemudiandengan menggunakanprinsip-prinsiplogikaditurunkansuatu kesimpulan(konklusi).Penarikankesimpulaninidisebut dengan argumentasi. Prinsip-prinsiplogikayangdigunakanuntukmenariksuatu kesimpulan adalah sebagai berikut : i.Argumen dikatakan berlaku atau sah: Jika konjungsi dari hipotesa-hipotesanya berimplikasi dengan kesimpulan ii.Misalkan hipotesa yang diketahui adalah a dan b sedangkan kesimpulannya adalah c, Argumen yang berlaku atau sah: o A b - c iii.Argumen dikatakan berlaku atau syah: Jika hipotesa-hipotesanya benar maka kesimpulannya juga benar. iv.Argumendisusundengancaramenuliskanhipotesa- hipotesanyabarusdemibariskemudiandibuatgaris pqrp - qq - rp - r (p - q)A (q - r) (p - q)A (q - r)- (p - r) BBBBBBBB BBSBSSSB BSBSBBSB BSSSBSSB SBBBBBBB SBSBSBSB SSBBBBBB SSSBBBBB Logika Natematika2010/201114mendatardankesimpulandiletakkanbarispaling bawah sebagai berikut : a hipotesa 1 b hipotesa 2 ckesimpulan Tanda cdibacaJadicatauOlehkarena itu. 1.Silogisme Prosespenarikankesimpulanyangmenggunakansifat menghantardaripernyataanimplikasi,yaitudilakukan dengan cara menyusun baris baris: p - ohipotesa 1 o - rhipotesa 2 p - r kesimpulan Dalam bentuk implikasi, silogisme dapat ditulis menjadi: (p - q) A (q - r) - (p - r)Silogismedikatakansahjikanilaidaribentukimplikasi tersebut merupakan tautologi Berikut ini adalah table kebenarannya. Contoh Tentukan kesimpulan dari argument berikut: Hipotesa 1 :Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. Hipotesa 2 :Jika n2 ganjil maka n2+1 genap. Jawab: Hipotesa 1 :Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. pq Hipotesa 2 :Jika n2 ganjil maka n2+1 genap. q r Kesimpulan: p - r.Jadi,kesimpulannyaadalah:Jikanbilanganganjilmaka n2+1 genap 2.Modus Ponens Prosespenarikankesimpulanyangmenggunakansifat menghantardaripernyataanimplikasi,yaitudilakukan dengan cara menyusun baris baris: p - o hipotesa 1 p hipotesa 2 o kesimpulan Dalambentukimplikasi,modusponensdapatditulis menjadi: (p - q) A p - qLogika Natematika2010/201115ModusPonensdikatakansahjikanilaidaribentuk implikasi tersebut merupakan tautologi Berikut ini adalah table kebenarannya. pqp - q(p - q) A p(p - q) A p - q BBBBB BSSSB SBBSB SSBSB Contoh Tentukan kesimpulan dari argument berikut: Hipotesa 1 :Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. Hipotesa 2 :n bilangan ganjil. Jawab: Hipotesa 1 :Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. pq Hipotesa 2 :n bilangan ganjil. p Kesimpulan: o.Jadi, kesimpulannya adalah: n2 ganjil 3.Modus Tollens Prosespenarikankesimpulanyangmenggunakansifat menghantardaripernyataanimplikasi,yaitudilakukan dengan cara menyusun baris baris: p - o hipotesa 1 o hipotesa 2 pkesimpulan Dalambentukimplikasi,modustollensdapatditulis menjadi: (p - q) A q - pModusTollensdikatakansahjikanilaidaribentuk implikasi tersebut merupakan tautologi Berikut ini adalah table kebenarannya. pqqp - q(p - q) A qp(p - q) A q - pBBSBSSB BSBSSSB SBSBSBB SSBBBBB Caralainuntukmenunjukkansahatautidaknyasebuah ModusTollensadalahdenganmengambilkontaposisi dari argument sebagai berikut: Logika Natematika2010/201116p - q Kontraposisi: q - p Contoh Tentukan kesimpulan dari argument berikut: Hipotesa 1 :Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. Hipotesa 2 :n2 tidak ganjil. Jawab: Hipotesa 1 :Jika n bilangan ganjil maka n2 ganjil. pq Hipotesa 2 :n2 tidak ganjil. o Kesimpulan: p .Jadi, kesimpulannya adalah: n bilangan tidak ganjil Latihan 1.Tentukan kesimpulan dari argument berikut ini: a.Hipotesa 1 : Jika kena hujan aku basah. Hipotesa 2 : Aku basah b.Hipotesa1:JikaYongkimencetakgolmakaYongki akan melakukan selebrasi. Hipotesa 2 : Yongki tidak mencetak gol. c.Hipotesa 1 : Jika ub > u maka b = u. Hipotesa 2 : Jika b = umaka o. b > u d.Hipotesa 1 : Jika o. b = obmaka b. bo = bo. Hipotesa 2 : Jika b. bo = bo.maka b = u e.Hipotesa 1 : Jika x2 -4 > umaka x = u. Hipotesa 2 : x = u 2.Periksalah keabsahan dari setiap argument berikut: a.p - o hipotesa 1 o - r hipotesa 2 r- p kesimpulan b.p v o hipotesa 1 o - p hipotesa 2 o kesimpulan 17MATRIKSMacammacamMatriksOperasipadaMatriksDeterminandanInverspadaMatriksMenyelesaikanSistemPers.LinierSoalSoalDisusunoleh:MuhammadIrfan,S.SiA.MacammacamMatriks1.PengertianMatriksMatriks adalah susunan elemen elemen yang berbentuk persegiatau persegi panjang dengan dibatasi oleh tanda kurung ( ) ataukurung siku [ ]. Elemen elemen tersebut bias berbentuk bilanganataupunhuruf.Namasuatumatriksdinotasikandenganhurufcapital,sedangkanelemenelemennyamenggunakanhurufkecil.A = |o11o12o13o21o22o23. . . o1n. o2n .om1om2om3 omn|o11adalahelemenpadabarispertamakolompertama.o12adalahelemenpadabarispertamakolomkedua.o21adalahelemenpadabariskeduakolompertama.omnadalahelemenpadabariskemkolomken.Matriks Amxn adalah matriks A dengan m baris dan n kolom. Mxndisebut juga dengan ukuran suatu matriks atau biasa dikenal dengannamaordosuatumatriks.Contoh1Tentukanordodarimatriksberikut:A = |1 S2 4| , B = |2 1 2]Matriks A mempunyai ordo 2x2 karena mempunyai 2 baris dan 2kolom.SedangkanBberordo1x3.182.MacammacamMatriksa.MatiksNolMatriksNoladalahmatriksdimanasemuaelemennyabernilainol.Contoh2A = |u uu u| , B = |u u uu u u|b.Matrikspersegi(bujursangkar)Matriks persegi adalah matriks yang jumlah baris sama denganjumlahkolom.Contoh3A = |2 4S u| , B = |2 1 46 4 29 7 8|c.MatrikspersegipanjangMatriks persegi panjang adalah matriks yang jumlah kolomnyatidaksamadenganjumlahbaris.Contoh4A = |2 S 74 1 9|d.MatriksKolomMatrikskolomadalahmatriksyanghanyaterdiridarisatukolom.Contoh5A = |S21|e.MatriksBarisMatrikskolomadalahmatriksyanghanyaterdiridarisatukolom.Contoh6A = |S 2 1]f.MatriksDiagonalMatriks diagonal adalah matriks yang semua elemennya bernilainolkecualipadadiagonalutamatidaknolsemuanya.Contoh7A = |1 uu 2| , B = |2 u uu uu u 1|g.MatriksIdentitasMatriks identitas adalah matriks persegi yang elemen padadiagonalutamanyabernilai1danlainnyabernilai0.Contoh8A = |1 uu 1| , B = |1 u uu 1 uu u 1|19h.MatriksSegitigaMatriksSegitigaAtasMatriks segitiga atas adalah matriks yang elemenelemen dibawahdiagonalutamaseluruhnyanol.Contoh9A = |4 7u 1| , B = |1 8 1uu 6 Su u 11|MatriksSegitigaBawahMatriks segitiga atas adalah matriks yang elemenelemen diatasdiagonalutamaseluruhnyanol.Contoh10A = | 4 u1u 1| , B = | 1 u u1u 6 u9 8 11|i.MatriksTranspose(T)Matriks transpose didapat dari menukar baris menjadi kolom dankolommenjadibaris.Contoh11TentukanA1 Jon B1A = |2 S 74 1 9| , B = |2 1 46 4 29 7 8|A1 = |2 4S 17 9|Jon B1 = |2 6 91 4 74 2 8|3.KesamaanDuaBuahMatriksDua matriks dikatakan sama, apabila mempunyai ordo sama danelemenelemen yang seletak (bersesuaian) dari kedua matrikstersebutsama.Contoh12A = | 4 u1u 1| , B = | 4 u1u 1| , C = |u 41 1u|Matriks A=B karena ordo dan elemenelemen seletak sama. A=Ckarenaelemenelemenseletaknyatidaksama.Contoh13Tentukannilaix,ydanzdaripersamaanmatriksbeerikut!A = |2x +y 6x +2y y| , B = |8 6x -y x +2|Penyelesaian:A = B|2x + y 6x +2y z| = |8 6x -y x +2|Didapatkan:2x +y = 8pers.1x + 2y = x -y20x - x +2y - y = uy = y = udisubstitusikankedalampers.1menjadi:2x +y = 82x +u = 8x = 4z = x +2z = 4 +2- z = 1.Tentukannilaix,y,danzdaripersamaanmatriksdibawahini.a.|2x + S 6z +y2y - S -Su| = |-S x +2yx +S -Su|b.|x + 1 6z +y-2y u| = |2 1ux +S u |2.Tentukannilaia,b,c,d,danedaripersamaanmatriksdibawahini.|4 b +1 So 6 -82 2c S| = |2b o SSJ 2c - 2 -82 c S|3.JikaA = B1 Jimono A = |u 1 11 u uu 1 1|Jon B = |x +y 1 ux -y u z +Sy -2w u 1|Tentukanw,x,y,danz!B.OperasipadaMatriks1.PenjumlahandanPenguranganMatriksDua buah Matriks dapat dijumlahkan maupun dikurangkan jika keduabuah matriks tersebut mempunyai ordo yang sama. Hasil jumlahataupun selisih didapat dengan cara menjumlahkan ataumengurangkan elemenelemen yang seletak dari kedua matrikstersebut.Contoh14Diketahui:A = |S 4 -2-1 6 -1| , B = |-2 S -S6 S -S| , C = |S 14 1|A + B = |S +(-2) 4 +S (-2) +(-S)(-1) +6 6 +S (-1) +(-S)| = |S 9 -7S 11 -4|A - B = |S -(-2) 4 -S (-2) -(-S)(-1) -6 6 -S (-1) -(-S)| = |7 -1 S-7 1 2|A - C tidak dapat dijumlahkan maupun dikurangkan, karena ordokeduamatrikstersebuttidaksama.L A T IH A N Apakah kita bisa untuk mengemban misi kita? Insya Allah kita bisa, karena Allah Mahatahu, Allah tahu sampai dimana potensi dan kemampuan kita. Jika kita tidak merasa mampu berarti kita belum benar-benar mengoptimalkan potensi kita. 21SifatsifatPenjumlahandanPenguranganMatriks1.A + (B + C) = (A + B) +C sifatassosiatif2.A + B = B +A sifatkomutatif3.A(B +C) = AB +AC sifatdistributive4.A(B -C) = AB -AC5.terdapatmatriksXsedemikiansehinggaA+X=B. 2.PerkalianMatriksa.PerkalianMatriksdenganscalar(k)Misalkan A merupakan sebuah matriks dan k sebuah scalar, makakA adalah sebuah matriks yang didapat dengan cara mengalikansetiapelemenmatriksAdenganscalark.Contoh15DiketahuiA = |1 -S6 2|maka4A = |4.1 4. (-S)4.6 4.2| = | 4 -1224 8|Contoh16Tentukannilaia,b,cjikadiketahuiP = |2 4-1 u| , 0 = |o c - 2b -4| , Jon R = |4 -21 8| sehinggaberlakuP2Q=R.Penyelesaian:P - 20 = R|2 4-1 u| - 2 |o c - 2b -4| = |4 -21 8|-2 |o c -2b -4| = |4 -21 8| -|2 4-1 u||o c -2b -4| = -12|2 -62 8||o c -2b -4| = |-1 -S1 -4|Daripersamaanmatriksdiatasdidapat:o = -1: b = 1: c -2 = -S - c = -1Contoh17TentukanmatriksXyangmemenuhipersamaanberikut:2X - |7 S9 1| = |S 1S -1|Penyelesaian:2X - |7 S9 1| = |S 1S -1|2X = |S 1S -1| + |7 S9 1|2X = |1u 614 u|X = |S S7 u|UntuksetiapmatriksAdanByangberordosamadanuntuksetiapscalar k1 dan k2 dan AB terdefinisi, berlaku sifat sifat perkalianmatriksdenganscalarsebagaiberikut:22a.(k1 + k2)A = k1A +k2Ab.(k1 - k2)A = k1A -k2Ac.(k1k2)A = k1(k2A)d.k1(AB) = (k1A)Be.k1(A + B) = k1A +k1Bf.k1(A - B) = k1A -k1Bb.PerkalianMatriksdenganMatriksDuabuahmatriksA denganordomxndanmatriks Bdenganordopxq, hasil kali antara A dan B adalah sebuah matriks C = A.B yangberordo mxq, dengan syarat n=p. Didapatkan dengan caramengalikan setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolommatriks B. Dua buah matriks tidak dapat dikalikan jika dan hanyajikan = p,mengakibatkanA.Btakterdefinisi.Perhatikangambarberikut:MatriksA MatriksBbaris kolom baris kolomBarismatriksA=kolommatriksB,matriksdapatdikalikanHasilkalikeduamatriksdenganordobarismatriksAxkolommatriksBContoh18DiketahuiA = |1 -12 u|danB = |1 u -12 -2 u|TentukanA.BPenyelesaian:Matriks A berordo 2x2 dan B berordo 2x3, maka hasil kali A.Badalahmatriksyangberordo2x3.A. B = |1 -12 u| |1 u -12 -2 u| = | | = 1.u + (-1). (-2) = 2 adalah elemen baris ke1 dan kolomke2darimatriksA.B.Diperolahdengancaramengalikanelemenelemen baris ke1 matriksA dengan elemen elemen kolom ke2matriks B, kemudian menjumlahkannya. Demikian seterusnyauntukmengisikotakkotaktersebut.A. B = |1 -12 u| |1 u -12 -2 u|A. B = |1.1 + (-1). 2 1.u + (-1). (-2) 1. (-1) + (-1). u2.1 +u.2 2.u +u. (-2) 2. (-1) +u.u|A. B = |-1 2 -12 u -2|Contoh19Diketahui A = |2 -12 S| dan B = |2-2|serta C = |1 1-1 2|. Tentukan A.BdanA.CsertaC.A23Penyelesaian:A. B = |2 -12 S| |2-2| = |2.2 + (-1). (-2)2.2 +S. (-2)| = |6-2|A. C = |2 -12 S| |1 1-1 2| = |2.1 + (-1). (-1) 2.1 + (-1). 22.1 +S. (-1) 2.1 +S.2|A. C = |S u-1 8|C. A = |1 1-1 2| |2 -12 S| = |1.2 +1.2 1. (-1) +1.S(-1). 2 +2.2 (-1). (-1) +2.S|C. A = |4 22 7|Daricontohdiatas,dapatdisimpulkanbahwaA. C = C. A(perkaliantidakkomutatif)Contoh20Ibu Fira berbelanja di Toko ASA sebanyak 5 kg beras dengan harga Rp.7.000, per kg, 4 kg terigu dengan harga Rp. 8.000, per kg, dan 3 literminyak goreng dengan harga Rp. 9.000, per liter. Sedangkan Ibu IraberbelanjadiTokoyangsamadanbarangyangsamadengankuantitas10kgberas,8kgterigu,dan2literminyakgoreng.Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalian matriks dantentukanjumlahyangharusdibayarolehibuFiradanIra.Penyelesaian:Darisoaldiatas,jikadisajikankedalambenukmatrikssebagaiberikut:|FI| = | S 4 S1u 8 2| |7uuu8uuu9uuu|ket:F=IbuFira,danI=IbuIra.JumlahyangharusdibayarkanolehIbuFiradanIbuIraadalah|FI| = | S 4 S1u 8 2| |7uuu8uuu9uuu||FI| = | S.7uuu +4.8uuu +S.9uuu1u.7uuu + 8.8uuu +2.9uuu| = | 94.uuu1S2.uuu|Jadi, jumlah yang harus dibayar Ibu Fira adalah Rp. 94.000, dan Ibu IraadalahRp.152.000,.1.DiketahuiA = |2 -11 S| , B = |-2 2-1 S| , Jon C = |S -1S S|Tentukanlah:a)A. Bb)A(C1 + B)c)(A1 -C)Bd)A2 + B2e)TunjukkanlahbahwaA(B. C) = (A. B)C2.TentukanlahmatriksXdaripersamaanmatriksberikut:a.4X + |S S-S -4| = |-1 -S7 12|b.4 |u -28 4| -2X = |2 -4-1u 8|L A T IH A N Jadilah orang yang CERDAS. Comperhensive (think) Emphatic (heart) Religius (Views) Dicipline (time) Active (move on) Social (responbility) 24c.|-4 -6 72 -6 4u -2 -2| = 2X +|u 4 S-2 u -S8 -2 4|3.Diketahui A = |4 S1 2|, carilah (A) = 2A2 - 4A + SI (I matriksidentitas)4.Tentukannilaia,b,c,danddaripersamaanmatriksberikut:a.|o + S 2b +1c -S 2J -2| = |2 1-S 2| |u -S4 S|b.|2o + S 2b -2c -4o 2J +b| = |o -S S1 2| +2 |u 64 S|5.Diketahui|6 -1 uS S 4| |x y4 -1z 4| = |14 -1721 2|Tentukanlahx,y,danz!!!!6.Kimmembeli8bukudenganharga@Rp.3.000,,12pensildenganharga@Rp.2.500,,dan5pulpendenganharga@Rp.2.000,.SedangkanOktomembelibarangyang sama dengankuantitas 1 lusinbuku,8 pensil,dan2 pulpen. Sederhanakan persoalan di atas dalam bentuk perkalianmatriks dan tentukan jumlah uang yang harus dibayar oleh Kim danOkto.C.DeterminanSuatuMatriks1.DeterminanMatriksordo2x2Misalkan A = |o bc J|, maka determinan matriks A adalah uet(A) =|o bc J| = oJ -bcContoh:TentukandeterminandariA = |2 1-4 -S|Penyelesaian:uet(A) = |2 1-4 -S| = 2. (-S) - 1. (-4) = -6 +4 = -2Contoh21Jika|2x x9 S| = 2x +1.Tentukanlahnilaix.Penyelesaian:|2x x9 S| = 2x +12x. S -x. 9 = 2x +1 x = 2x + 1 x = -12.DeterminanMatriksordo3x3MisalkanA = |o11o12o13o21o22o23o31o32o33|makauet(A) = |A| = |o11o12o13o21o22o23o31o32o33|25Ada banyak sekali cara untuk menghitung determinan matriks ordo3x3. Akan tetapi, metode yang paling banyak digunakan adalahdenganaturanSarrus.Langkahlangkahnyasebagaiberikut:a.Letakkankolompertamadankeduadisebelahkanangarisvertikaldarideterminan.b.Jumlahkan hasil kali unsurunsur yang terletak pada diagonalutama dengan hasil kali unsurunsur yang sejajar diagonal utamapada arah kanan, kemudian dikurangi dengan hasil kali unsurunsuryangterletaksejajardengandiagonalsamping.Perhatikanskemaberikut:uet(A) = o11. o22. o33 + o12. o23. o31 +o13. o21. o32 - o13. o22. o31-o11. o23. o32 -o12. o21. o33Contoh22TentukandeterminanA = |1 2 11 2 12 1 2|.Penyelesaian:|A| = |1 2 11 2 12 1 2|1 21 22 1|A| = 1.2.2 +2.1.2 + 1.1.1 -1.2.2 -1.1.1 -2.1.2|A| = 4 +4 + 1 - 4 - 1 - 4 = uContoh23Jika diketahui determinan matriks S = |x -1 1 S-1 2 -4Sx 2 S| adalah 5. TentukannilaiX.Penyelesaian:|S| = |x - 1 1 S-1 2 -4Sx 2 S|x - 1 1-1 2Sx 2|S| = (x - 1). 2.S +1.2.S + 1. (-4). Sx + S. (-1). 2 - S.2.Sx- (x -1). (-4). 2 - 1. (-1). S|S| = (x - 1)1u +1u - 12x -6 - 18x + (x -1)8 + S|S| = -12x -19|S| = S-12x -19 = S-12x = S + 19 x =24-12 = -2263.Minor,Kofaktor,danAdjoinJikaAadalahmatrikspersegi,makaminorelemenaijdinyatakanolehMij dan didefinisikan sebagai determinan submatriks yang tinggalsetelah baris keI dan kolom kej dicoret dari A. Bilangan (1)i+j MijdinyatakanolehCijyangdisebutkofaktorelemenaij.Jika A adalah sembarang matriks persegi dan Cij adalah kofaktor aij,makamatriks|C11C12C13C21C22C23. . .

C1n C2n.Cn1Cn2Cn3C Cnn|DisebutmatrikskofaktordariA.TransposematriksinidisebutadjoindariAdandinyatakandenganAdj(A).Contoh24Tentukanminor,matrikskofaktor,danadj(A)dariA = |-2 1S 4|.Penyelesaian:MinormatriksAadalahH11 = 4 H21 = 1H12 = SH22 = -2KofaktordarimatriksAadalahC11 = (-1)1+1H11 = (1)4 = 4C12 = (-1)1+2H12 = (-1)S = -SC21 = (-1)2+1H21 = (-1)1 = -1C22 = (-1)2+2H22 = (1)(-2) = -2Matrikskofaktornyaadalah|C11C12C21C22| = |4 -S-1 -2|Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor,sehinggaAJ](A) = |4 -S-1 -2|1= |4 -1-S -2|Contoh25Tentukanminor,matrikskofaktor,danadjoindariA = |1 2 12 -1 22 1 1|Penyelesaian:Minormatrikstersebutadalah:H11 = |-1 21 1| = (-1). 1 -2.1 = -SH12 = |2 22 1| = 2.2 -2.1 = 2H13 = |2 -12 1| = 2.1 -2. (-1) = 4H21 = |2 11 1| = 2.1 -1.1 = 1H22 = |1 12 1| = 1.1 -2.1 = -1H23 = |1 22 1| = 1.1 -2.2 = -SH31 = |2 1-1 2| = 2.2 -(-1).1 = S27H32 = |1 12 2| = 1.2 -2.1 = uH33 = |1 22 -1| = 1. (-1) -2.2 = -SKofaktordariminorminortersebutadalah:C11 = (-1)1+1H11 = -S C13 = (-1)1+3H13 = 4C12 = (-1)1+2H12 = -2C21 = (-1)2+1H21 = -1 C23 = (-1)2+3H23 = SC22 = (-1)2+2H22 = -1C31 = (-1)3+1H31 = S C33 = (-1)3+3H33 = -SC32 = (-1)3+2H32 = uMatrikskofaktornyaadalah|C11C12C13C21C22C23C31C32C33| = |-S -2 4-1 -1 SS u -S|Adjoin dari matriks kofaktor adalah transpose dari matriks kofaktor,sehinggaAJ](A) = |-S -2 4-1 -1 SS u -S|1= |-S -1 S-2 -1 u4 S -S|D.InversSuatuMatriksJika A dan B adalah matriks persegi yang berordo sama, sedemikiansehinggahasilkaliAB=BA=I,denganImatriksidentitas,makaBadalahinversdariAdansebaliknya,yaituB=A1atauA=B1.JikaAadalahmatrikspersegi,makainversdarimatriksAadalah:A-1 =1dt(A)adj(A)Contoh26TentukaninversdariA = |o bc J|Penyelesaian:uet(A) = |A| = |o bc J| = oJ -bcMinorAadalahH11 = |J| = J H21 = |b| = bH11 = |c| = c H22 = |o| = oKofaktordariAadalahC11 = J C21 = -bC11 = -cC22 = oMatrikskofaktor| J -c-b o|sedangkanmatriksadjoinadalahoJ](A) = | J -c-b o |1= | J -b-c o|Jadi,inversmatriksAadalahA-1 =1dt(A)adj(A) =1ad -b| d -h-c a|28Contoh27Tentukaninversdaria.A = |2 -21 -2|b.A = |1 2 12 -1 22 1 1|Penyelesaian:a.Det(A)=2.(2)1.(2)=4(2)=2A-1 =1uet(A)oJ](A) =1-2|-2 21 2| = |1 -1-12-1|b.ct(A) = 1. (-1). 1 + 2.2.2 +1.2.1 -1. (-1). 2 - 1.2.1 -2.2.1ct(A) = -1 + 8 +2 + 2 - 2 - 4 = SA-1 =1uet(A)oJ](A) = 1S|-S -1 S-2 -1 u4 S -S| =llllll-SS-1S1-2S-1Su4SSS-1111111*)matriksadjoinAberasaldaricontoh25Contoh28Dari P = |4 -7S -S|Jon 0 = |-S 7-S 4|, tunjukkan bahwa kedua matrikstersebutsalinginvers!Penyelesaian:P. 0 = |4 -7S -S| |-S 7-S 4| = |-2u +21 28 -28-1S +1S 21 -2u| = |1 uu 1|0. P = |-S 7-S 4| |4 -7S -S| = |-2u +21 SS -SS-12 +12 21 -2u| = |1 uu 1|Karena P. 0 = 0. P = I maka terbukti bahwa kedua matriks tersebutsalinginvers.Contoh29ManakahyangtermasukmatrikssingulardannonsingularA = |2 4S 6| B = |4 12 S|Penyelesaian:ct(A) = 2.6 -S.4 = 12 - 12 = u(matrikssingular)ct(B) = 4.S - 2.1 = 12 -2 = 1u(matriksnonsingular)NOTE:a.Matriksyangmempunyaiinversadalahmatriksyangnilaideterminannya= u,matrikssepertiinidisebutmatriksnonsingular.Sedangkanmatriksyanghargadeterminannya=0disebutmatrikssingular.b.Inverssuatumatriksjikaadadantunggal,berlaku:(A-1)-1 = A(AxB)-1 = B-1 x A-1291.Tentukandeterminanmatriksberikut:a.P = |1 -2-2 -S|b.0 = |-S -2-9 2|c.R = |2 8u -S|d.S = |-S 26 -S|e.I = |1 -1 uu -2 -11 2 1|f.u = |1 2 S-1 u 4-S -2 -4|g.I = |1 -2 S1 2 -1-1 2 2|2.TentukannilaiXdaripersamaanberikut:a.u = | 1 -22x S|b.|2x S-S -4| = 7xc.|x -1 x 22 1 14 u -S| = 2x + Sd.|x2x 2u 1 1u u 1| = x + 23.Tunjukkanbahwakeduamatriksdibawahinisalinginvers.a.|S S2 S| Jon |-S S2 -S|b.|-S 7-4 9| Jon |9 -74 -S|c.|4 S1 1| Jon |1 -S-1 4|d.|6 -S-S 4| Jon |-4 -S-S -6|4.Tentukaninversdarimatriksdibawahini:a.P = |1 -2-2 -S|b.0 = |-S -2-9 2|c.R = |2 8u -S|d.S = |-S 26 -S|e.I = |1 -1 uu -2 -11 2 1|f.u = |1 2 S-1 u 4-S -2 -4|g.I = |1 -2 S1 2 -1-1 2 2|5.Manakahyangtermasukmatrikssingulardannonsingular!a.P = |1 -22 -S|b.0 = |2 -2-1 2|c.R = |2 SS -S|d.S = |S S-2 -6|6.DiketahuiP = |1 22 S| , 0 = |-1 11 2|tentukan:a.P-1b.0-1c.P-10-1d.(P. 0)-1e.Apakah(P. 0)-1 = 0-1P-1?f.Apakah(0. P)-1 = P-10-1?L A T IH A N 30E.MenyelesaikanSistemPersamaanLinierSistem persamaan linier dua ataupun tiga variable selain menggunakaneliminasi dan substitusi juga dapat digunakan invers dan kaidah Crameruntuk mencari himpunan penyelesaiannya. Langkah langkah untukmencari himpunan penyelesaian system persamaan linier denganmenggunakaninversadalahsebagaiberikut:Ubahlahsystempersamaankedalambentukmatriks.Nyatakan bentuk tersebut kedalam perkalian matriks koefisiendenganmatriksvariabelnya.o11x +o12y = c1o21x +o22y = c2|o11o12o21o22|

A|xy|

X= |c1c2|

CPersamaanmatriksA.X=CKalikankeduaruasdenganinversA:A-1. A. X = A-1. CI. X = A-1. CX = A-1. CContoh30:Tentukannilaixdanydarisystempersamaan4x - Sy = -2-Sx + 4y = 4Penyelesaian:Sistem persamaan |4x -Sy = -2-Sx +4y = 4 jika dibuat dalam bentuk matriksmenjadi|4 -S-S 4|

A|xy|

X= |-24|

C.UntukmencarinilaiX,maka:X = A-1. CA-1 =14.4 - (-S). (-S)|4 SS 4| = 11|4 SS 4| = |4 SS 4||xy| = |4 SS 4| |-24| = |-8 + 2u-6 + 16| = |121u|Jadi, himpunan penyelesaian dari system persamaan tersebut adalah{12,10}.Di samping menggunakan cara invers, dapat juga digunakan aturanCramer. Jika A.X = C adalah matriks system persamaan linier yang terdiriatas n persamaan linier dan n variable yang tidak diketahui, sehinggauet (A) = u, maka system tersebut mempunyai penyelesaian yang unik(tunggal).Penyelesaiantersebutadalah:x1 = uet (A1)uet(A), x2 = uet (A2)uet(A), , xn = uet (An)uet(A) DimanaA]adalahmatriksyangdidapatdengancaramenggantielemenelemen di dalam kolom kej dari A dengan elemen elemen di dalammatriksC = |C1C2. |.31Contoh31:Gunakan aturan Cramer untuk mencari himpunan penyelesaian darisystempersamaanberikut:Sx - Sy = 112x + y = SPenyelesaian:Bentuk perkalian matriksnya adalah |S -S2 1| |xy| = |11S |, dari bentuk inididapat:A = |S -S2 1| : uet(A) = S.1 -2. (-S) = 1SA1 = |11 -SS 1| : uet(A1) = 11.1 - (-S). S = 26A2 = |S 112 S | : uet(A2) = S.S - 2.11 = -1SSehingga,x = uet(A1)uet(A)= 261S = 2y = uet (A2)uet(A)= -1S1S= -1Jadi,himpunanpenyelesaiannyaadalah{2,1}.Contoh32:Tentukanx,y,danzdarisystempersamaandenganaturanCramer:x +z = 7-Sx + 4y +6z = 7-x - 2y +Sz = 12Penyelesaian:Bentukperkalianmatriknyaadalah|1 u 2-S 4 6-1 -2 S| |xyz| = | 7712|,didapat:A = |1 u 2-S 4 6-1 -2 S| , uet(A) = 12 +u +12 +8 + 12 - u = 44A1 = | 7 u 27 4 612 -2 S| , uet(A1) = 84 +u -28 -96 +84 -u = 44A2 = |1 7 2-S 7 6-1 12 S| , uet(A2) = 21 - 42 -72 + 14 -72 + 6S = -88A3 = |1 u 7-S 4 7-1 -2 12| , uet(A3) = 48 + u + 42 +28 + 14 - u = 1S2x = uet(A1)uet(A)= 4444 = 1 : z = uet(A3)uet(A)= 1S244= Sy = uet (A2)uet(A)= -8844= -2|-2 -SS S| . P = |4 u-1 2|TentukanmatriksPdaripersamaan:*)gunakanP = A-1. B32Contoh33:Harga 3 baju dan 2 kaos adalah Rp. 280.000,. Sedangkan harga 1 bajudan3kaosadalahRp.210.000,.Tentukanharga5kaosdan6baju.!!!Penyelesaian:Misalkan,hargabajuadalahxdanhargakaosadalahy.diperoleh:Sx +2y = 28u.uuux +Sy = 21u.uuuDarisystempersamaantersebut,jikadibuatdalambentukmatriks:|S 21 S| |xy| = |28uuuu21uuuu|X = A-1. CA-1 =1S.S - 1.2|S -2-1 S| = 17|S -2-1 S||xy| = 17|S -2-1 S| |28uuuu21uuuu| = 17|Sx28uuuu + (-2)x21uuuu-1x28uuuu +Sx21uuuu|= 17|42u.uuuSSu.uuu| = |6u.uuuSu.uuu|Harga6baju,dan5kaos=6x60.000+5x50.000=550.000Jadi,harga6bajudan5kaosadalahRp.550.000,.1.Tentukanhimpunanpenyelesaiandenganmenggunakaninvers:a.Sx + 8y = -7 ;x -4y = 11b.y = 8 - 2x:Sx -Sy = S1c.4x + y = -19: -2x +y = 112.Gunakan kaidah Cramer untuk menentukan himpunan penyelesaianberikut:a.y -8 = 2x:Sx -S1 = Syb.Sx + y = 8 :2x +2y = 4c.x - Sy +z = 1u2x - y = 44x - Sz = -Sd.x + y -z = -1x - y +z = 4x - y -z = 13.TentukanmatriksXyangmemenuhipersamaanberikut:a.|-2 14 S| . X = |-7-1|b.X. |6 -S-1 1| = |S -24 7|c.|2 1S 2| . X = |1 4 u-2 -S S|d.|u 6-1 2| . X = |-S -24]4.Carilahnilaixdanyberikut:a.|-2 14 S| |x - 2-y + 1| = |2S-7|b.|-4 S-1 2| |2x - 4-y + 2| = |-2u-1u|5.Ashanty menjual dua jenis komoditas. Komoditas jenis pertamamerupakan campuran dari 10 kg kualitas A dan 30 kg kualitas B.Komoditas jenis ke2 merupakan campuran dari 20 kg kualitas A dan50kgkualitasB.HargakomoditasjenispertamaadalahRp.100.000,L A T IH A N 33danhargakomoditasjeniske2adalahRp.170.000,.Tentukanhargamasingmasingkualitasperkilogramnya.6.Limamejadandelapankursiberharga$115,sedangkantigamejadanlimakursiberharga$70.Tentukanharga10mejadan9kursi.DidYouKnow???OTAKOtak manusia, seperti mesin yang bisa melakukan perawatannya sendiri, ia bisamenyembuhkandirinyadarisegalakerusakaninternal,sambilbergerakketingkatkinerjayanglebihtinggi,Prof.RobertOatesandGeraldSwanson,Ph.D.Tidak bisa dipungkiri bahwa otak merupakakn organ tubuh kita yang sangat penting.Setiap aktivitas kita, baik sadar maupun tidak sadar, pasti berawal dari otak kita. Parailmuwansudahmenemukanbahwaotakdibagimenjadiduaruang,yaituotak kanandankiri.Keduabelahotaktersebutternyatamemilikikarakteryangberbeda.OTAKKIRI OTAKKANANPemikiranAnalitisLogikaBahasaSainsdanMatematikaVerbal,ProporsionalFokusPerbedaanBergantungWaktuSegmentalPemikiranHolistikaIntuitifKreativitasSenidanMusikNonverbal,imaginativeDifusPersamaanTakbergantungwaktuGlobalJika kemampuan otak kanankiri seimbang, maka kemampuan dirinya pun akan optimal,akantetapijikaotakkanankiritidakseimbang/tidakbisabersatumakaseseorangdalammenjalani hidupnyaakandipenuhiberbagaiprasangka.Jikakeadaansepertiini dibiarkanterusmenerus,makaorangtersebutakanmenyangkabahwatidakadahubungandengansatu sama lain, saling mengalahkan untuk sukses. Akan sangat mirip dengan duniabinatangsurvivalofthefittest.Tingkat kemampuan berfikir logis dan tingkat kemampuan berperasaan bervariasiantara individu (dan) manusia yang dapat mencapai keseimbangan antara keduanyaakanberhasilhidupdiduniadanakhirat,Prof.DR.Dr.H.M.NurhalimShahib(ahliBiokimiadan Biologi Molekuler dalam bukunya Mengenal Allah dengan Mencerdaskan OtakKanan.Olehkarenaitu,kitaharusselalumembiasakanotakkitauntukbelajaragarbisabekerjasamadenganbaikantarotakkanandanotakkiri.Untukmencapaiitu,kitatelahdiajarkanuntukmengembangkandiri,maulebihberinteraksiantarsatusamalain.*)sumber:QuantumIkhlas:ErbeSentanu.200734DIMENSIDUASudutBangunDatarKelilingBangunDatarLuasBangunDatarTransformasiBangunDatarDisusunoleh:MuhammadIrfan,S.Si2011A.SUDUTBANGUNDATARSudut adalah daerah yang dibatasi oleh dua ruas garis yangbertemu pada satu titik. Besarnya sudut dinyatakan denganderajatatauradian.Secaragarisbesar,sudutdibagimenjadi3,yaitu:a.Sudutsikusikub.Suduttumpulc.Sudutlancip.Ukuran sudut dalam derajat yang lebih kecil dapat dinyatakandalammenit()dandetik().1derajat=60menit.Contoh:Nyatakanukuransudutdibawahinidalamderajat,menit,detik.a.34,30 b.79,180Penyelesaian:a.34,30=340+0,30=340+0,3x60=34018.b.79,180=790+0,180=790+0,18x60=790+10,8=790+10+0,8x60=7901048.35rOrContoh:Ubahlahukuransudut3802518kedalamderajatsaja.Penyelesaian:3802518=(S8 +2460+183.600)0= (S8 +u,4 + u,uuS) =S8,4uS0PengubahanderajatkeradianatausebaliknyaPengukuran sudut berdasarkan ukuran radian didasarkananggapan bahwa: satu radian = besarnya sudut pusat lingkaranyang dibatasi oleh busur lingkaran yang panjangnya samadenganjarijari.Perhatikangambarberikut:A B zA0BsuJut lingkoron=pon]ong busur ABkcliling lingkoron1 roJionS6u0=r2nr2n roJion = S6u0n roJion = 18u01 rad|an = 57, 3Contoh:DiketahuiukuransudutSu0.ubahlahkedalambentukradian,setelahitu,ubahlahkembalikedalambentukderajat.Penyelesaian:Su0=SuS7,S= u,S24 roJion. otou Su.n18uroJion =n6roJionn6roJion =16x 18u0= Su0. otou u,S24 roJion x S7,S =Su0JikaOA=OB=r,danbusurABjugapanjangnyar,makazA0Bsebesar1radian.1putaranlingkaran=3600dankelilinglingkaran=2nrMakaberlakurumusperbandinganpadalingkaran36LATIHAN1.Ubahlahukuransudutberikutkedalamderajat,menit,dandetik:a.S9,90c.4S,70b.1Su,80 J. 18S,4202.Ubahlahukuransudutdibawahinimenjadiderajatsaja:a.S906'9''c.4S016iS9''b.1S9016'19''J.14S0S6iS9''3.Ubahlahukuranderajatinikeradian:a.1S0c.2S,70b.S1S0 J. 22S04.Ubahlahukuranradianinikederajat:a.2,3radian 3n4roJionb.0,5radian 5n3roJion5.Tentukanjenissudutnya,apakahtumpul,lancip,atausikusiku:a.12S0 d.2201254b. n2roJionc.1 roJionB.KELILINGDANLUASBANGUNDATAR1.PERSEGIA BD CSifatSifat:Memiliki4sumbusimetriKeempatsudutnyasikusikuKedua diagonalnya sama panjang dan salingberpotongantegaklurusditengahtengahnyaKeempatsisinyasamapanjang2.PERSEGIPANJANGA B D CSisiyangberhadapansamapanjangKeempatsudutnyasikusikuKeduadiagonalnyasamapanjangMemilikiduasumbusimetriLuaspersegi=sxsKelilingpersegi=4s37Luax= p x |Ke||||ng = 2(p + |)Contoh:Panjang suatu persegi panjang 2 lebihnya dari lebarnya. Jikaluaspersegipanjang48cm2,tentukankelilingnya.Penyelesaian:Misalkan:lebar=x,danpanjang=x+2Maka L=p.l=(x+2).x 48=x2+2x0=x2+2x480=(x+8)(x6)X=8(tidakmemenuhi)X=6.Lebar=6cm,danpanjang=8cm.Sehinggakeliling=2(p+l)=28cm.3.SEGITIGAJenisjenissegitiga: Aa.Segitigasamakakib.Segitigasamasisic.Segitigasikusiku btcd.Segitigalancipe.Segitigatumpul C a BLuax xeg|t|ga =axt2 Ke||||ng xeg|t|ga = AC +AB + BC = a +h +cLuas segitiga sembarang jika diketahui panjang sisinyaadalaha,b,danc:L = .x(x -a)(x -h)(x -c)Dengan,x =12(a + h +c) =12KContoh:Tentukan luas segitiga jika diketahui tinggi segitiga 6cmdanalasnya7cm.Penyelesaian:Luax xeg|t|ga =7x2= 21cm238Contoh:Tentukan luas segitiga jika diketahui sisi sisinya adalah13cm,13cm,dan10cm.Penyelesaian:s =12(o +b +c) =12(1S +1S + 1u) = 18cmL = .s(s -a)(s -b)(s - c)L = .18(18 - 1S)(18 - 1S)(18 -1u)L = 18.8.S.S = 6u cm2Untuksegitigasamasisi,didapatdariaturansinus.L =14s23.4.JAJARGENJANGA BtD CSifatsifat:SisiyangberhadapansamapanjangdansejajarSudutyangberhadapansamabesarMemilikiduadiagonalyangsalingmembagiduasamapanjang.5.BELAHKETUPATADd1 Bd2CSifatsifat:KeempatsisinyasamapanjangSudutsudutyangberhadapansamabesarMemilikiduadiagonalyangsalingmembagiduasamapanjangKedua diagonalnya berpotongan dan saling tegaklurus.L = a|ax x t|ngg|K = 2(AB +BCL =12AC. BDK = 4x396.LAYANGLAYANG7.TRAPESIUMa.Trapesium sembarang hanya memiliki sepasang sisi yangsejajar.b.Trapesiumsikusikuadalahtrapeziumyangmempunyaisudutsikusiku.c.Trapesiumsamakakimempunyaisifat:Mempunyaisatupasangsisisejajar,Mempunyaisatupasangsisisamapanjang,Mempunyaiduapasangsudutyangsamabesar.L =12(jum|ah x|x| xejajar)x t|ngg|K = jum|ah keempat x|x|nya8.LINGKARANKeterangan:OadalahpusatlingkaranOA=OBadalahjarijarilingkaran(r).ABadalahdiameter(d).GarislengkungCDadalahbusurlingkaran.CDadalahtalibusurlingkaranArsiranPOQadalahjuringlingkaranArsiranCSDadalahtemberenglingkaranOSadalahapotema.L = ar2: K = 2arPanjang huxur =u3. 2arLuax jur|ng =u3. ar2Ke|. jur|ng = panjang huxur +2rL =12AC x BDK = 2x +2ySifatsifat:SisiyangberdekatansamapanjangKeduadiagonalnyaberpotongansalingtegaklurus40C.TRANSFORMASIBANGUNDATAR1.TRANLASIMinggu lalu, Candra duduk di pojok kanan baris pertama dikelasnya. Minggu ini, ia berpindah ke baris ketiga lajur keempatyang minggu lalu ditempati Dimas. Dimas sendiri berpindah kebaris kedua lajur kedua yang minggu lalu ditempati Sari.PerhatikanperpindahantempatdudukCandradanDimasini. Candra berpindah 2 lajur ke kiri dan 2 baris ke belakang. Saatberpindahini,Candratelahmelakukantranslasi2satuankekiridan2satuankeatasyangditulissebagai 22 Kemudian,Dimasberpindah2lajurkekiridan1bariskedepan.Saatberpindahini,Dimastelahmelakukantranslasi2satuankekiridan1satuankebawahyangditulissebagai 12 Misalkan,tempatdudukCandraminggulaludititikN(a,b)padakoordinatCartesius.Dengantranslasi 22,diketahuitempatduduknya inggu ini pada titik N (a2,b+2). Kalian dapatmenuliskantranslasiinisebagaiberikut( ) ( ) 2 , 2 ' ,22+ b a N b a N Dengan prinsip yang sama, jika titik P(x, y) ditranslasikan dengan=baT1makadiperolehbayangannya ( ) b y a x P + + ,'.Secaramatematis,ditulissebagaiberikut.( ) ( ) b y a x P y x PbaT+ + , ,'1Sekarang, translasikan lagi bayangan yang telah kalian perolehdengan=dcT2Didapat, ( ) ( ) d b y c a x P b y a x PdcT+ + + + + +, ,' ' '2Perhatikanbahwa,( ) ( ) ( ) ( ) d b y c a x P d b y c a x P + + + + = + + + + , ,' ' ' '41Ini berarti ( ) d b y c a x P + + + + ,' ' diperoleh denganmentranslasikan ( ) y x P , dengan++=d bc aT Translasi T inimerupakan translasi T1 dilanjutkan dengan T2, yang ditulissebagai2 1T To Olehkarena=baT1dan=dcT2maka++=d bc aT T2 1 o Akibatnya, titik ( ) y x P , ditranslasikan dengan T1 dilanjutkandengantranslasiT2menghasilkanbayangan' 'P sebagaiberikut( ) ( ) d b y c a x P y x Pd bc aT T+ + + + ++, ,' '2 1oSifat:Dua buah translasi berturutturut baditeruskan dengandcdapatdigantikandengantranslasitunggal++d bc aPadasuatutranslasisetiapbangunnyatidakberubah.Contoh:1.Translasi=qpT1memetakantitikA(1,2)ketitikA'(4,6)a.Tentukantranslasitersebut!b.Tentukanlah bayangan segitiga ABC dengan titik sudutA(1,2),B(3,4),danC(5,6)olehtranslasitersebut.c.Jika segitiga yang kalian peroleh pada jawaban bditranslasikan lagi dengan=112T Tentukanbayangannya!d.Translasikan segitiga ABC dengan translasi T2 T1.Samakahjawabannyadenganjawabanc?Penyelesaiana. ( ) ( ) ( ) 6 , 4 2 , 1 2 , 11 '1A q p A AqpT= + + Diperoleh 1+p=4sehinggap=3 2+q=6sehinggaq=4 Jaditranslasitersebutadalah=431T 42b. translasi=431T artinya artinya memindahkan suatu titik 3satuan ke kanan dan 4 satuan ke atas. Dengan mentranslasikantitiktitikA',B',danC'darisegitigaABCdengantranslasiT1,kalianmemperolehsegitigaA'B'C'sebagaiberikut( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 10 , 2 ' 4 6 , 3 5 ' 6 , 58 , 6 ' 4 4 , 3 3 ' 4 , 36 , 4 ' 4 2 , 3 1 ' 2 , 1434343111 = + + = + + = + + C C CB B BA A ATTTJadi bayangan segitiga ABC adalah segitiga A'B'C' dengan titikA'(4,6),B'(6,8),danC'(2,10)c. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 , 3 ' ' 1 6 , 1 4 ' ' 6 , 4 '112A A AT= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 , 3 ' ' 1 10 , 1 2 ' ' 6 , 4 '7 , 5 ' ' 1 8 , 1 6 ' ' 8 , 6 '111122 = + + = + + A A AB A ATTJadi bayangan segitiga A'B'C' adalah segitiga A''B''C'' dengantitikA''(3,5),B''(5,7)danC''(3,9)d.translasititik( )( )= + +=321 41 32 1T To ( ) ( ) ( ) 5 , 3 ' 3 2 , 2 1 ' 2 , 132A A A = + + ( ) ( ) ( ) 7 , 5 ' 3 4 , 2 3 ' 4 , 332B B B = + + ( ) ( ) ( ) 9 , 3 ' 3 6 , 2 5 ' 6 , 532 = + + C C C JadibayangansegitigaABCadalahsegitigaA'B'C'dengantitikA'(3,5), B'(5,7) dan C'(3,9) Perhatikan bahwa segitiga yangkalian peroleh pada jawaban c sama dengan segitiga yangkalianperolehpadajawaband. 2.Tentukan bayangan lingkaran (x3)2 + (y+1)2 = 4 jikaditranslasikan=25T !JawabAmbilsembarangtitikP(a,b)padalingkaran(x3)2+(y+1)2=4sehinggadiperoleh(a3)2+(b+1)2=4Translasikan titik P dengan =25T sehingga diperoleh( ) ( ) 2 , 5 ' ' ,25+ b a P b a P 43JadititikP'(a5,b+2)Perhatikan bahwa: a'= a 5. Dari persamaan (*), didapat a =a'+5.b'=b+2.Daripersamaan(*),didapatb=b'2.Denganmensubstitusinilaiadanbinikepersamaan(*),akanDiperoleh(a'+53)2+(b'2+1)2=4 (a'+2)2+(b'1)2=4Jadi bayangan dari (a'+ 53)2 + (b' 2+1)2 = 4 jikaditranslasikandengan =25T adalah(a'+2)2+(b'1)2=41.REFLEKSIKalianpastiseringbercermin.Ketikabercermin,amatilahdiridanbayangankalian.Apakahmemilikibentukdanukuranyangsama?Amati pula jarak diri kalian ke cermin. Samakah dengan jarakbayangan kalian ke cermin? Dengan bercermin dan menjawabpertanyaanpertanyaan tersebut, kalian akan menemukanbeberapasifatpencerminan.Darigambartersebut,kaliandapatmengatakanbahwa:LingkaranQkongruendenganbayangannya,yaitulingkaranQJaraksetiaptitikpadalingkaranQkecerminsamadenganjaraksetiaptitikbayangannyakecermin,yaituQA=QAdanPB=PB. Sudut yang dibentuk oleh cermin dengan garis yangmenghubungkan setiap titik ke bayangannya adalah sudut sikusiku.Sifatsifattersebutmerupakansifatsifatrefleksi.MatriksyangbersesuaiandengantranformasigeometriRefleksi Rumus MatriksRefleksiterhadap( ) ( ) y x A y x Ax sb , ' ,.=yxyx1 00 1''44sumbuxRefleksiterhadapsumbuy( ) ( ) y x A y x Ay sb, ' ,. =yxyx1 00 1''Refleksiterhadapgarisy=x( ) ( ) x y A y x Ax y, ' , ==yxyx0 11 0''Refleksiterhadapgarisy=x( ) ( ) x y A y x Ax y =, ' ,=yxyx0 11 0''Refleksiterhadapgarisx=k( ) ( x k A y x Ak x, 2 ' , =Refleksiterhadapgarisy=k( ) ( k x A y x Ak y =2 , ' ,Refleksiterhadaptitik(p,q)( )( )( ) ' , ' ' ,,y x A y x Aq p Samadenganrotasipusat(p,q)sejauh180 =q yp x180 cos 180 sin180 sin 180 cos''Refleksiterhadap( )( )( y x A y x A , ' ,0 , 0=yxyx1 00 1''titikpusat(0,0)Refleksiterhadapgarisy=mx,m=tan( ) ( )co 2 sin 's 2 cos '' , ' ' ,y x yy x x dengany x A y x Amx y =+ = ==yxyx 2 cos 2 sin2 sin 2 cos''Refleksiterhadapgarisy=x+k( ) ( )k x yk y x dengany x A y x Ak x y+ = = + =''' , ' ' ,+=k k yxyx 00 11 0''Refleksiterhadapgaris y=x+k( ) (k x yk y x dengany x A y x Ak x y+ =+ = + ='', ' ' ,+=k k yxyx 00 11 0''SIFATSIFATa.Duarefleksiberturutturutterhadapsebuahgarismerupakansuatuidentitas,artinyayangdirefleksikantidakberpindah.b.Pengerjaanduarefleksiterhadapduasumbuyangsejajar,menghasilkantranslasi(pergeseran)dengansifat:45Jarak bangun asli dengan bangun hasil sama dengan duakalijarakkeduasumbupencerminan.Arahtranslasitegakluruspadakeduasumbusejajar,darisumbupertamakesumbukedua.Refleksiterhadapduasumbusejajarbersifattidakkomutatip.c.Pengerjaaan dua refleksi terhadap dua sumbu yang salingtegak lurus, menghasilkaan rotasi (pemutaran) setengahlingkaran terhadap titik potong dari kedua sumbupencerminan.Refleksiterhadapduasumbuyangsalingtegakluresbersifatkomutatif.d.Pengerjaan dua refleksi berurutan terhadap dua sumbu yangberpotongan akan menghasilkan rotasi (perputaran) yangbersifat:Titikpotongkeduasumbupencerminanmerupakanpusatperputaran.Besarsudutperputaransamadenganduakalisudutantarakeduasumbupencerminan.Arahperputaransamadenganarahdarisumbupertamakesumbukedua.2.ROTASIRotasi Rumus MatriksRotasidenganpusat (0,0)dan sudutputar( )( )( ) cos sin 'sin cos '' , ' ' ,, 0y x yy x x dengany x A y x AR+ = = =yxyx cos sinsin cos''RotasidenganpusatP(a,b) dansudutputar( )( )( )( ) ( )( ) ( ) cos sin 'sin cos '' , ' ' ,,b y a x b yb y a x a x dengany x A y x AP R + = = + =bab ya xyx cos sinsin cos''Keterangan+:arahputaranberlawananputaranjarumjam:arahputaransearahputaranjarumjamSIFATSIFATDua rotasi bertumtturut mempakan rotasi lagi dengan sudutputar dsama dengan jumlah kedua sudut putar semula.Padasuatu rotasi, setiap bangun tidak berubah bentuknya.46Catatan:Pada transformasi pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi)dan perputaran (rotasi), tampak bahwa bentuk bayangan samadan sebangun (kongruen) dengan bentuk aslinya. Transformasijenisinidisebuttransformasiisometri.3.DILATASIAini dan temantemannya berkunjung ke IPTN. Di sana, merekamengamati miniatur sebuah pesawat terbang. Miniatur pesawatterbang ini mempunyai bentuk yang sama dengan pesawatterbang sesungguhnya, tetapi ukurannya lebih kecil. Bentukseperti miniatur pesawat terbang ini telah mengalami dilatasidiperkecil dari pesawat terbang sesungguhnya. Selain dilatasidiperkecil,terdapatpuladilatasidiperbesar,misalnyapencetakanfoto yang diperbesar dari klisenya. Faktor yang menyebabkandiperbesar atau diperkecilnya suatu bangun ini disebut faktordilatasi. Faktor dilatasi ini dinotasikan dengan huruf kecil,misalnyak.Jikak$_1atauk01,makahasildilatasinyadiperbesarJika_1$k$1,makahasildilatasinyadiperkecilJikak_1,makahasildilatasinyatidakmengalamiperubahanDilatasi Rumus MatriksDilatasidenganpusat (0,0)dan factordilatasik( )[ ]( ) ky kx A y x Ak, ' ,, 0 =yxkkyx00''DilatasidenganpusatP(a,b) danfaktordilatasik( )[ ]( )( )( ) b y k b ya x k a x dengany x A y x Ak P = = ''' , ' ' ,,+=bab ya xkkyx00''4.KOMPOSISITRANSFORMASIDENGANMARIKSMatriksyangbersesuaiandengantransformasigeometriTransformasi Rumus MatriksIdentitas( ) ( ) y x A y x A , ' ,1 =yxyx1 00 1''Translasi( ) ( q y p x A y x Aqp+ + , ' ,+=qpyxyx''47Refleksiterhadapsumbux( ) ( ) y x A y x Ax sb , ' ,.=yxyx1 00 1''Refleksiterhadapsumbuy( ) ( ) y x A y x Ay sb, ' ,. =yxyx1 00 1''Refleksiterhadap garisy=x( ) ( ) x y A y x Ax y, ' , ==yxyx0 11 0''Refleksiterhadap garisy=x( ) ( ) x y A y x Ax y =, ' , =yxyx0 11 0''Refleksiterhadap garisx=k( ) ( ) y x k A y x Ak x, 2 ' , =Refleksiterhadap garisy=k( ) ( ) y k x A y x Ak y =2 , ' , Refleksiterhadap titik(p,q)( )( )( ) ' , ' ' ,,y x A y x Aq p Sama dengan rotasi pusat(p,q)sejauh180 =q yp xq yp x180 cos 180 sin180 sin 180 cos''Refleksiterhadap titikpusat(0,0)( )( )( ) y x A y x A , ' ,0 , 0=yxyx1 00 1''Refleksiterhadap garisy=mx,m=tan( ) ( ) 2 cos 2 sin '2 sin 2 cos '' , ' ' ,y x yy x x dengany x A y x Amx y =+ = ==yxyx 2 cos 2 sin2 sin 2 cos''Refleksiterhadap garisy=x+k( ) ( )k x yk y x dengany x A y x Ak x y+ = = + =''' , ' ' ,+=k k yxyx 00 11 0''Refleksiterhadap garisy=x+k( ) ( )k x yk y x dengany x A y x Ak x y+ =+ = + =''' , ' ' ,+=k k yxyx 00 11 0''Rotasi denganpusat (0,0)dan sudutputar( )( )( ) cos sin 'sin cos '' , ' ' ,, 0y x yy x x dengany x A y x AR+ = = =yxyx cos sinsin cos''Rotasi denganpusat P(a,b)dan sudutputar( )( )( )( ) ( )( ) ( ) cos sin 'sin cos '' , ' ' ,,b y a x b yb y a x a xy x A y x AP R + = = + =bab ya xyx cos sinsin cos''Dilatasidengan pusat( )[ ]( ) ky kx A y x Ak, ' ,, 0 =yxkkyx00''48(0,0) danfactor dilatasikDilatasidengan pusatP(a,b) danfaktor dilatasik( )[ ]( )( )( ) b y k b ya x k a x dengany x A y x Ak P = = ''' , ' ' ,,+=bab ya xkkyx00''Komposisitransformasi1.komposisiduatranslasiberurutanDiketahuiduatranslasi=baT1dan=dcT2.Jikatranslasi1T dilanjutkan translasi2T maka dinotasikan 2 1T To dan translasitunggalnyaadalahT=T1+T2=T2+T1(sifatkomutatif).2.komposisiduarefleksiberurutana.refleksiberurutanterhadapduasumbusejajarJika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkanterhadapgarisx=b.MakabayanganakhirAadalah ( ) ' , ' ' y x A yaitu:x'=2(ba)+xy'=yJika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis y=a dilanjutkanterhadapgarisy=b.MakabayanganakhirAadalah ( ) ' , ' ' y x A yaitu:x'=xy'=2(ba)+yb.refleksiterhadapduasumbusalingtegaklurusJika titik A(x,y) direfleksikan terhadap garis x=a dilanjutkanterhadapgarisy=b(duasumbuyangsalingtegaklurus)makabayangan akhir A adalah ( ) ' , ' ' y x A sama dengan rotasi titikA(x,y)denganpusattitikpotongduasumbu(garis)dansudutputar180c.refleksiterhadapduasumbuyangsalingberpotonganJika titik A(x,y) direleksikan terhadap garis g dilanjutkanterhadapgarish,makabayanganakhirnya adalah ( ) ' , ' ' y x A dengan pusat perpotongan garis g dan h dan sudut putar2(sudutantaragarisgdanh)sertaarahputarandarigarisgkeh.49Catatank garis gradien ml garis gradien mm mm mkll kl k== + =1tand.sifatkomposisirefleksiKomposisi refleksi (refleksi berurutan) pada umumnya tidakkomutatif kecuali komposisi refleksi terhadap sumbu xdilanjutkan terhadap sumbu y (dua sumbu yang saling tegaklurus).3.rotasiberurutanyangsepusata.Diketahui rotasi R1(P(a,b),) dan R2(P(a,b),), makatransformasi tunggal dari komposisi transformasi rotasiR1dilanjutkanR2adalahrotasiR(P(a,b),+)b.RotasiR1dilanjutkanR2samadenganrotasiR2dilanjutkanR14.komposisitransformasiDiketahui transformasi==s rq pT dand cb aT2 1 makatransformasitunggaldaritransformasi:a.T1dilanjutkanT2(T2

T1)adalahT=T2.T1b.T2dilanjutkanT1(T1

T2)adalahT=T1.T2CatatanT1.T2=T2.T15.bayangansuatukurva/bangunolehduatransformasiataulebihContoh: Tentukan bayangan garis 4x+y=5 oleh pencerminanterhadapgarisy=xdilanjutkantranslasi23!Jawab:misaltitikP(x,y)padagaris4x+y=5 P(x,y) dicerminkan terhadap garis y=x, bayangannyaP'(y,x) P'(y,x) ditranslasi 23. Bayangannya P''(y+3,x+2)=P''(x'',y'') Jadi x''=y+3y=x''3 y''=x+2x=y''2 persamaan4x+y=54(y''2)+(x''3)=5 4y''+8+x''3=5 x''4y''=0 jadibayanganakhirnyaadalahx4y=0506.luasbangunhasiltranformasiJika suatu bangun (segitiga, lingkaran, dan lainlain)ditransformasikanmaka:a.Luas bangun bayangan tetap untuk transformasi :translasi,refleksi,danrotasi.b.Luas bangun bayangan berubah untuk transformasidilatasi, yaitu jika luas bangun mulamula L setelahdidilatasi oleh [P(a,b),k], maka luas bangun bayangannyaadalahL'=k2+LLATIHAN1.TentukanbayangantitikA(2,8)oleha)Translasi 32a)Refleksiterhadapgarisx=6b)Refleksiterhadapgarisy=xc)Refleksiterhadapgarisy=4d)Refleksiterhadapgarisy=x2.Diketahuigarisk:2x+3y=2Tentukanpersamaanbayangangariskoleh:a)Translasi32b)Refleksiterhadapgarisy=4c)Refleksiterhadapgarisx+y=0 SoalOlimpiade2010Diketahuipanjangsisipersegidiatasadalah14.Tentukanluasyangdiarsir.51Referensi: Banuung Aiy S.,ukk.2uu8. MatematikaSMKBisnisdanManajemen. Iakaita:Bepaitemen Penuiuikan Nasional Bis. Sukiiman,N.Pu.2uu6.LogikadanHimpunan.Yogyakaita:Banggai Kieatoi BEPBIKNAS.2uuS.PanduanMateriMatematikaSMK.Iakaita.Bepaitemen Penuiuikan Nasional Bis. Naikaban,N.Si.2uu4.LogikaMatematikaDiklatInstruktur/PengembangMatematikaSMAJenjangDasar.Yogyakaita:PPPu Natematika Bamuy Taha. (1996). RisetOperasi. Iiliu satu. Iakaita: Binaiupa Aksaia Toali. (2uu8). Natematika X SNK Kelompok Penjualan uan Akuntansi. Iakaita: Bepatemen Penuiuikan Nasional PenulisNama :MuhammadIrfan,S.SiTTL :Sleman,13September1988Alamat :Jln.KaliurangKm.12,5KarangasemSukoharjoNgaglikSlemanYogyakartaNo.HP :085228380303Email :vahn45@gmail.comRiwayatPendidikanNo.Nama InstansiTahunJurusan 1TK ABA Losari1993 2SDN Seloharjo1994 3SLTP N 2 Ngaglik2000 4SMA N 2 Ngaglik2003IPA 5Universitas Negeri Yogyakarta2006Pend. Matematika 6AndiIT School2009Photoshop & 3D Riwayatorganisasi(20072011)No.Nama OrganisasiTahunJabatan 1Padmakanda2008-2010Koord. Diklat 2Padmakanda2010 - 2011Wakil Ketua 3HIMATIKA UNY2007Staf Bid. Pendidikan dan Penalaran4HIMATIKA UNY2008Direktur Teknologi Indormasi dan Multimedia 5HIMATIKA UNY2009Dewan Pertimbangan Organisasi 6BEM FMIPA UNY2008KaDiv. IT KOMINFO 7BEM REMA UNY2009Dirjen IT KOMINFO 52 TRANSLASI, DILATASI, ROTASI 01. EBT-SMP-95-28 Koordinat bayangan titik P (3, 1) jika dicerminkan terhadap garis x = 4 adalah A.(11, 1) B.(5, 1) C.(3, 7) D.(12, 4) 02. EBT-SMP-96-19 Bayangan koordinat titik (5, 9) jika dicerminkan terhadap garis x = 7 adalah A.(5, 5) B.(5, 23) C.(12, 9) D.(19, 9) 03. EBT-SMP-92-18 Koordinat titik P (5, 16) jika dicerminkan terhadap garis x = 9, maka koordinat bayangannya adalah A.P(23, 16) B.P(13, 16) C.P(5, 34) D.P(5, 2) 04. EBT-SMA-98-23 Bayangan titik A(1,3) oleh gusuran searah sumbu X dengan faktor skala 3 adalah A.(1 , 6) B.(1, 10) C.(4, 3) D.(10, 3) E.(3, 9) 05. EBT-SMA-92-37 KoordinatbayangandarititikA(1,6)yangdicerminkanterhadapgarisx=1 dilanjutkan terhadap garis x = 4 adalah A.(1 , 12) B.(5 , 6) C.(5 , 10) D.(6 , 5) E.(12 , 1) 06. EBT-SMA-88-23 Pencerminan terhadap garis x = 3dilanjutkan pencermin anterhadap garis x = 5 maka bayangan titik (3,2) adalah A.( 2 , 3 ) B.( 3 , 6 ) C.( 7 , 2 ) D.( 7 , 6 ) E.( 6 , 2 ) 07. EBT-SMP-97-38 Titik A (2, 3) dicerminkan pada garis x = 2, bayangan-nya A. A dicerminkan pada garis y = 3, bayangannya A. a.Buatlah gambar titik A beserta bayangan-bayangan-nya. b.Tentukan koordinat A dan A 08. EBT-SMP-03-25 Titik B (8, 13) dicerminkan terhadap garis x = 16, kemudian dilanjutkan dengan translasi 59. Koordinat bayangan titik B adalah A.(31, 18) B.(81, 8) C.(17, 21) D.(1, 14) 53 09. EBT-SMP-99-25 Titik A (1, 4) dicerminkan terhadap sumbu x dan dilanjutkan dengan translasi 52. Koordinat bayangan dari titik A adalah A.(3,1) B.(3, 1) C.(3, 1) D.(3, 1) 10. EBT-SMP-98-21 Titik A (3, 5) dicerminkan terhadap garis y = 7, kemudian hasilnya ditranslasikan dengan 32. Koordinat bayangan akhir titik A adalah A.(5, 12) B.(5,12) C.(1, 12) D.(1, 12) 11. EBT-SMP-01-24 Diketahui persegi panjang PQRS dengan koordinat titik P (5, 1), Q (3, 1) dan R (3, 8). Bayangan S pada translasi 32 adalah A.{7, 11} B.{7, 5} C.{3, 11} D.{3, 5} 12. EBT-SMP-94-25 Koordinat bayangan titik P (2, 6) oleh translasi 23 dilanjutkan dengan 12 adalah A.(7, 9) B.(7, 3) C.(3, 9) D.(3, 3) 13. EBT-SMP-96-20 Bayangan koordinat titik A (5, 2) pada translasi 23 yang dilanjutkan dengan translasi 35 adalah A.A (7, 3) B.A (2, 0) C.A (10, 5) D.A (2, 1) 14. EBT-SMP-95-29 Koordinat bayangan titik (3, 4) pada translasi 91 dilanjutkan dengan 21 adalah A.(4, 8) B.(4, 7) C.(3, 9) D.(2, 6) 15. EBT-SMP-00-26 Koordinat titik B (a, 7) jika ditranslasi oleh 34 kemudian dilanjutkan dengan translasi 25 menghasil-kan bayangan B (4, b). Nilai a dan b adalah A.a = 5 dan b = 2 B.a = 3 dan b = 2 C.a = 8 dan b = 5 D.a = 6 dan b = 4 16. EBT-SMP-94-31 Bayangan titik P (2, 6) oleh dilatasi (O, 1) adalah 54 A.P (2, 8) B.P (3, 5) C.P (2, 5) D.P (2, 7) 17. EBT-SMP-95-35 Dari gambar di samping. OP = k OP. Nilai k adalah A. 34P B. 43 P C. 31O D. 41 18. EBT-SMP-92-31 Koordinat titik P (6, 9) diperoleh dari titik P (2, 3) dengan perkalian/dilatasi (O, k). Nilai k adalah A.3 B. 31C. 31 D.3 19. EBT-SMP-93-41 Bayangan titik P pada dilatasi (O, 3) adalah (12, 15), maka koordinat titik P adalah A.(4,5) B.(4, 5) C.(36, 45) D.(36, 45) 20. EBT-SMP-98-22 Hasil dilatasi PQR denganpusat Q dan faktor skala 21 ,A kemudian direfleksikan P terhadap garis FG adalah A. GQFD B. GBFR C. AFRFQ D. PGC BG EC 21. EBT-SMP-97-20 Koordinat titik P (4, 2), Q (9, 4) dan R (6, 8) merupakan titik-titik sudut PQR. Koordinat bayangan ketiga titik tersebut oleh dilatasi (O, 2) berturut-turut adalah A.(0, 4), (0, 8) dan (0, 16) B.(4, 4), (9, 8) dan (6, 16) C.(6, 4), (11, 6) dan (8, 10) D.(8, 4), (18, 8) dan (12, 16) 22. EBT-SMP-02-24 Sebuah persegi panjang PQRS dengan P (3, 4), Q (3, 4). Dan R (2, 4) didilatasi dengan pusat O (0, 0) dengan faktor skala 3. Luas persegi panjang setelah dilatasi adalah A.40 satuan luas B.120 satuan luas C.240 satuan luas D.360 satuan luas 23. EBT-SMP-03-26 Titik (6, 9) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan faktor skala 3, kemudian bayangannya di translasi dengan 1810. Koordinat bayangan P adalah A.(7, 30) B.(7, 6) C.(8, 15) 55 D.(8, 9) MATRIKS 24. EBT-SMA-93-03 Diketahui matriks== =5 1 32 4 16 5 2C ,7 4 55 57B ,24 1 43 2 2 A -- -- --r -q - -p- q r- -a p Jika A + B = Cmaka nilai p , q dan rberturut-turut adalah A.2 , 3 dan 2 B.2 , 3 dan -2 C.2 , 4 dan 2 D.2 , 3 dan 2 E.2 , 4 dan 2 25. EBT-SMA-87-11 Nilai c dari persamaan matriks : =ab a c

a b32223 325adalah A.2 B.4 C.6 D.8 E.10 26. EBT-SMA-87-12 Jika += 1 00 15 21 323 42 7q pmaka p dan q berturut-turut adalah A.2 dan 13 B.2 dan 13 C.2 dan 13 D.7 dan 13 E.7 dan 13 27. MA-86-09 Jika 3s rq p = sp16 + ++34s rq p maka harga p, q, r dan s adalah A.p = 2 ,q = 3,r = 4 , s = 1B.p = 2 ,q = 4,r = 1 , s =3 C.p = 2 ,q = 4 ,r =1 , s =-3 D.p = 2 ,q = 4 ,r = 1 , s =3 E.p = 2 ,q = 4,r =1 , s =3 28. MA-84-02 Jika : 221211 + 3404 + k213 = 234 maka k adalah A.4 B.2 C.2 D.3 E.4 29. MD-00-28 Jika =+7 20 82 3 20 42xy x maka x + y A. 415B. 415 C. 49D. 49 E. 421 56 30. MD-99-24 Diketahui persamaan =+ 1 2217561 252 zy xNilai z = A.2 B.3 C.0 D.6 E.30 31. MD-86-15 Jika y x yx22 = 218 24 6y, maka nilai y adalahA.2 B.3 C.4 D.6 E.8 32.MA-04-05 Oleh matriks ++=1 12aa aA , titik P (1, 2) dan titik Q masing-masing ditransformasikan ke titik P(2, 3) dan titik Q(2, 0). Koordinat titik Q adalah A.(1, 1) B.(1, 1) C.(1, 1) D.(1, 1) E.(1, 0) 33. MD-95-16 Nilai x yang memenuhi persamaan =2143212 loglog 1log logzyz yx adalah A.3 B.3 C.2 D.3 E.0 34. MD-89-21 Jika =1 log1 log1 4 log2 2 log log b a) (b-) a- ( ax maka x = ... A.6 B.10 C.1 D.106 E.4 35. MD-99-29 DiketahuiA+xx x3 55 dan B = 4 79 x Jika determinan A dan determinan B sama, maka harga x yang memenuhi adalah A.3 atau 4 B.3 atau 4 C.3 atau 4 D.4 atau 5 E.3 atau 5 57 36. MD-97-25 Nilai t yang memenuhi det01 43 2= tt adalah (1)2 (2)2 (3)5 (4)1 37. MD-90-06 Jika2x + 3y 3 = 0 4x y + 7 = 0 dany = 1 43 2amaka a = A.26B.19C.2D.2 E.26 38. MD-89-24 Jumlah akar-akar persamaan ) (x ) (x+) x- ( 2 22 1 2+ = 0 adalah ... A.321 B.21 C.0 D. 21 E.321 39. MD-89-27 Nilai 1 dan 2 untuk agar matriks 34 1 + tidak mempunyai invers memenuhi ... A.| 1 | + | 2 | = 5 B.| 1 + 2 | = 1 C.1 2 = 6 D.1 dan 2 berlawanan tanda 40. MD-87-21 Bila persamaan garis lurus dinyatakan oleh ay x 3 2 11 11 = 0mempunyai gradien 2, maka a = A.0 B.1 C.1 D.2 E. 21

41. MD-85-12 Nilai determinan 0 2 32 0 43 4 0 sama dengan A.0 B.1 C.2 D.3 E.4 58 42. MD-04-21 Jika matriks :=5 24 13 2aaaATidak mempunyai invers, maka nilai a adalah A.2atau2 B.2atau 2 C.1atau1 D.2 E.22 43. MD-87-22 Persamaan x xx - x 2 sin sin2 cos cos=12 , dipenuhi oleh x =A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 E. 18 44. MD-04-18 Jika matriks =1 01 p aAdan =1 021bA , maka nilai b adalah A.1 B.21 C.0 D.21 E.1 45. MD-99-25 JikaA = 3 15 2dan B = 1 14 5makadeterminan (A . B ) 1 = A.2 B.1 C.1 D.2 E.3 46. MD-98-24 At adalah transpose dari A, Jika C = =8 22 4B ,72717174 , A = C 1 Maka determinan dari matriks At B adalah A.196B.188C.188 D.196 E.212 47. MD-01-24 Jika matriks A = 3 24 1, maka nilai x yang memenuhi persamaan | A x I | = 0 dengan I matriks satuan dan| A x I | determinan dari A x I adalah ... A.1 dan 5 B.1 dan 5 C.1 dan 5 D.5 dan 0 E.1 dan 0 59 48. MD-84-14 Diketahui matriks A = 1 24 3danI = 1 00 1Carilah bilangan x yang memenuhi persamaan | A x I | = 0jika | A x I | determinan dari matriks A x I A.1 atau 0 B.5 atau 0 C.1 atau 5 D.1 atau 5 E.1 atau 5 49. MD-92-19 Matriks+ b a aa a-b tidak mempunyai invers bila A.a dan b sembarang B.a 0 , b 0 dan a = b C.a 0 , b 0 dan a = - b D.a = 0 dan b sembarang E.b = 0 dan a sembarang 50. MD-98-28 Diketahui matriks A = 4 23 1u uu u dan un adalah suku ke-n barisan aritmetik. Jika u6 = 18 dan u10 = 30 maka determinan matriks A sama dengan A.30B.18C.12 D.12 E. 18 INVERS 51. MA-85-17 Jikab c 0, invers matriks 0 cb a adalah A. 01cb abc B. 01bc abc C. a cbbc01 D. a cbbc01 E. a bcbc01 52.. MD-87-18 Invers matriks A = 8642 adalah A. 4143211 B. 4143211 C. 1432141 60 D. 1432141 E. 4143211 53. MD-92-18 Invers matriks (a+b) (a-b)-(a+b) (a-b)21212121 A. + + b a b aa-b a-b B. a+b a+b-a+b a-b C. + b a -a-b-a+b a-b D. + + b a b aa-b -a+b E. + + b -a b aa-b a+b 54. MD-83-13 Jika M N = matriks satuan dan N = 5 - 23 - 1maka matriks M = A. - 5 3- 2 1B. 5 2- 3 - 1C. - 1 2- 3 5D. - 1 - 23 5E. 1 2- 3 - 5 55. MD-82-12 Jika M . 2 11 1 = matriks satuan , maka M = A. 1 21 1 B. 1 12 1 C. 1 11 2 D. 2 11 1 E. 1 12 1 56. MA-84-08 Jika M = 2121 21 212 2 maka inversnya yaitu M-1 adalah : A. 2121212122 B. 2121212122 61 C. 1 21 22121 D. 1 21 22121 E. 1 21 22121 57. MD-82-29 JikaA = 2 34 5danI = 1 00 1 (1)A I = 2 34 5(2)I A = (3)I I = I (4)A A = A 58. MD-85-13 Diketahui matriks A = 2 33 4maka matriks B yang memenuhi A B = I dengan I matriks satuan ialah A. 4 33 2 B. 4 33 2 C. 2 33 4 D. 4 33 2 E. 2 33 4 59. MD-03-21 Jika X adalah invers dari matriks 2 22 3, maka X2 adalah matriks A. 3 22 2 B. 2 22 3 C. 4121213 22 2 D. 2 22 3212141 E. 2141212 32 2 60. MD-91-19 Diberikan matriks A = a aa a . Himpunan nilai a yang memenuhi hubungan invers A = A transpose adalah A.{2 , 2} B.{ 1 , 1 } C.(212 , 212 } D.{ 21 , 21} E.(412 , 412 } 3 25 462 61. MA-90-04 Jika ad bc, dan dari sistem persamaan + dy' y = cxby' x = ax' + ' dapat dihitung menjadi sy y' = rx + = px + qy x' , maka t mh gd cb as rq p= A. g mh t B. t mh g C. g hm t D. t mh g E. t mh g 62. EBT-SMA-98-04 Diketahui matriks A = 2 32 6, B =+ 1 3 05 1k dan C =5 33 2. Nilai k yang memenuhi A + B = C-1

(C-1 invers matriks C) adalah A.1 B. 31 C. 32 D.1 E.3 PERKALIAN 63. EBT-SMA-86-02 Bila matriks A berordo 3 2 dan matriks B berordo 2 1 maka matriks perkalian AB mempunyai ordo A.3 2 B.2 1 C.2 3 D.1 3 E.3 1 64. MD-86-16 Jika diketahui matriks A = 32 dan B = 1 34 3 yang benar di antara hubungan berikut adalah A.A B = 3A B.A B = 3B C.B A = 3A D.B A = 3B E.3B A = A 65. MA-79-49 Diketahui matriks P = z wvfdbecau= Q dan Diantara operasi-operasi di bawah ini, mana saja yang dapat dikerjakan ? (1)P Q (2)P + Q 63 (3)5 Q (4)Q P 66. MA-94-10 Jika =5 162 01 21 42 54 5yx maka A.y = 3x B.y = 2x C.y = x D.y = 3x E.y = 2x 67. MD-81-44 Diketahui matriks A = 2 00 2 dan B = 8 76 5. Pernyataan di bawah ini mana yang benar ? (1)A2 = 2A (2)A . B = B . A (3)A . B = 2B (4)B . A . B = 2B2 68. MD-00-26 Hasil kali matriks (B A) (B + A-1) B1 = A.A B + 1 B.B A + 1 C.A + B1 D.A1 + B E.AB + A 69. MD-84-32 Diketahui matriks A dan B berordo sama, 2 2 Berapakah (A + B)2 ? (1)A2 + 2AB + B2 (2)A2 + AB + AB + B2 (3)AA + 2AB + BB (4)A(A + B) + B (A + B) 70. MD-96-15 Jika=+20 715 17 2131 4 b aa -.amaka b = A.1 B.2 C.3 D.4 E.5 71. MD-02-06 Harga x yang memenuhi = + 1 13 04 21 326 118 62 32 4 x adalah A.0 B.10 C.13 D.14 E.25 72. MD-87-23 += +11 23 41 235 431a cc -- b - -bd -

makaa = A.2B.34 64 C. 32 D.2 E.32 73. EBT-SMA-01-02 Diketahui +=+1 11 23 41 22 35 43 24 1qp Maka nilai p+ q = A.3 B.1 C.1 D.2 E.3 74. MD-03-20 Jika x dan y memenuhi persamaan matriks=+14212 31 1yx maka x + y = A.4 B.2 C.2 D.4 E.8 75. EBT-SMA-95-23 Diketahui transformasi T1 bersesuaian dengan 0 1 -2 1 dan T2 bersesuaian dengan 0 1 -2 1 . Matriks yang bersesuaian dengan T1 o T2 adalah A. 4 7 -6 1 - B. 4 3 -14 1 - C. 4 314 1 D. 4 76 1 - E. 4 143 1 - 76. MD-96-21 Titik potong dari dua garis yang disajikan sebagai persamaan matriks = 542 13 2yx. adalah A.(1, 2) B.(1,2) C.(1, 2) D.(1,2) E.(2,1) 77. MD-94-28 Persamaan matriks : = 43

2 33 2yx merupakan persamaan garis-garis lurus yang (1)berpotongan di titik (1,1) (2)melalui titik pangkal sistem koordinat (3)berimpit (4)saling tegak lurus 78. MD-93-27 Jika =24136 45 1yx , maka x dan y berturut-turut 65 A.3dan2 B.3dan2C.3dan2D.4dan5 E.5dan 6 79. MD-01-03 Persamaanmatriks = 155 43 2yxmerupakanpersamaanduagarislurusyang berpotongan di titik yang jumlah absis dan ordinatnya sama dengan ... A.0 B.2 C.3 D.4 E.5 80. MD-87-16 Jika =236 44 1 -yx, maka A.x = 1dany = 1 B.x = 1dany = 1 C.x = 2dany = 1 D.x = 2dany = 1 E.x = 1dany = 1 81. MD-83-12 Pasangan (x , y) yang di dapat dari :=1292 31 3yx ialah A.(3 , 1) B.(1 , 3) C.(2 , 3) D.(3 , 2) E.(1 , 1) 82. EBT-SMA-88-12 Jika =yxyxmaka ,1810 - 2 - 16 - 1 = A. 737 B. 4 -32 C. 14 - D. 2 -18 - E. 18 -2 - 83. MA-85-02 Diketahui A = 1 53 5 , B = yx, C = 42 Apabila A . B = C, maka nilai x dan y berturut-turut adalah A.213dan 21 B.23dan-21 C. 23dan213 D.23 dan21 E. 213dan21 84. EBT-SMA-03-09 Nilai x2 + 2xy + y2 yang memenuhi persamaan = 523 16 2yx adalah 66 A.1 B.3 C.5 D.7 E.9 85. EBT-SMA-92-03 Matriks X berordo 2 2 yang memenuhi persamaan ( )4 23 1 X = ( )8 10 -4 7 -adalah A. 0 24 1 B. 0 12 4 C. 1 04 2 D. 0 24 1 E. 0 12 0 86. EBT-SMA-91-03 Diketahui persamaan matriks =1 912 10X2 1 -3 2 dengan X adalah matriks bujur sangkar ordo 2.Matriks X = A. 4 23 1 - B. 2 44 1 - C. 2 43 1 D. 2 43 1 - E. 21/ 9 -4 5 87. EBT-SMA-90-05 Diketahui matrks: A = ( )1 -12 3, B =( )-7 -311 14x = c bd a dan A . X = B . Nilai d pada matriks x tersebut adalah A.3 B.2 C.2 D.3 E.4 88. EBT-SMA-89-10 Perkalian dua matriks ordo 2 22 18 2 M = 2 14 2 maka matriks M adalah A. 0 02 1 B. 0 01 2 C. 0 03 1 67 D. 2 11 2 E. 1 00 1 89. MA-89-02 Jika 1 23 4.A = 0 11 0, maka2A sama dengan A. 3 44 2 B. 23212 1 C. 3 14 2 D. 6 28 4 E. 2 14 2 90. MA-79-39 Matriks X berordo 2 2 yang memenuhi1 23 432 1 X=4 , adalah matriks A. 1 00 1 B. 0 11 0 C. 5 46 5 D. 212111 2 E. 4 55 6 91. EBT-SMA-87-13 Matriks A berordo 2 2 . Jika 8 711 4A1 32 1=maka A adalah matriks A. 5 12 1 B. 5 21 1 C. 5 15 2 D. 1 51 2 E. 2 11 5 92. MD-91-20 JikaP . =5 43 29 87 6makaP = A. 1 22 3 B. 1 22 3 C. 3 22 1 68 D. 2 13 2 E. 1 22 3 93. MD-98-25 Diketahui matriks 0 12 3B ,11A ==yx dan 2 - 1 -0 1C= . Nilai x + y yang memenuhi persamaan AB 2B = C adalah A.0 B.2 C.6 D.8 E.10 94. MD-95-28 Diketahui : A = 4 32 1 dan B = 4 55 6. (A . B) 1 = A. 1 23 4 B. 4 23 1 C. 2 112121 D. 2 112121 E. 2 112121 95. MD-02-02 Jika A = 4 33 1dan B =3 12 2 , maka(A B)1 AT = A. 42414243 B. 42414243 C. 82818283 D. 2 12 3 E. 2 12 3 96. MD-01-23 A = + s pq p p21, B = t s0 1 dan C = 1 01 1. Jika A + B = C2makaq + 2t = ... A.3 B.2 C.1 D.0 E.1 97. MD-93-13 Matriks A = +c ab a 1 , B = d ca 0 1 dan69 C = 1 10 1. Jika A + Bt = C2 , dengan Bt tranpose dari B, maka d = A.1 B.2C.0 D.1 E.2 98. MD-90-15 Jika C adalah hasil kali matriks A dengan matriks B yakni C = A B dan C = 18 197 6 dan B = 2 13 4 maka A adalah A. 3 24 1 B. 4 23 1 C. 3 42 1 D. 4 32 1 E. 2 43 1 99. MD-90-21 ( )yxy x 0 11 0= 5merupakan persamaan A.lingkaran B.elips C.parabol D.hiperbol E.dua garis berpotongan 100. MD-88-14 Matrik A = c ba3 24dan B = 71 2 3 2b+ aa+ b c- Supaya dipenuhi A = 2Bt , dengan Bt menyatakan transpos matrik B maka nilai c = A.2 B.3 C.5 D.8 E.10 101. MD-87-20 Jika , dan sudut-sudut segitiga ABC dan=0 1cos sin cos sin sin- cos sincoscos sin 21 maka = A.300 B.450 C.600 D.900 E.1200 102. MD-86-33 Dengan matriks 1001untuk mentranformasikan titik P(2, 3) bayangannya P (2, 3) SEBAB 100123 = 23 103. MD-81-17 70 Si A berbelanja di toko P: 3 kg gula @ Rp. 400,00, 10 kg beras @ Rp. 350,00 dan di toko Q : 2 kg gula @ Rp. 425,00, 5 kg beras @ Rp. 325,00. Pengeluaran belanja di toko P dan di toko Q dapat ditulis dalam bentuk matriks ... A. 325 425350 4005 210 3 B. 325 350425 4005 210 3 C. 325 350425 4005 102 3 D. 325 350425 4005 102 3 E. 425 400325 3505 102 3 104. EBT-SMA-97-13 Diketahui matriks A =3 41 2. Nilai k yang memenuhik det AT = det A1 (det = determinan) adalah A.2 B.141 C.1 D. 21 E. 41 105. EBT-SMA-96-02 Diketahui matriks A = 1 01 2 dan I = 1 00 1. Matriks (A kI) adalah matriks singular untuk k = ... A.1 atau 2 B.1 atau 2 C.1 atau 2 D.1 atau 2 E.1 atau 1 UAN-SMA-04-12 Diketahui matriks S = 3 00 2 dan M = 3 02 1. Jika fungsi f (S, M) = S2 M2, maka matriksF (S + M, S M) adalah A. 40 420 4 B. 30 420 4 C. 38 48 4 D. 40 420 4 E. 36 48 4 106. EBT-SMA-00-07 Diketahui = =10 412 6B ,2 13 2AdanA2 = xA + yB. Nilai x y = A.4B.1 C.21 D.121 E.2 107. EBT-SMA-99-07 71 Diketahui matrik A = 1 53 2, B = 3 24 1,C = +18 3 62 3 2 n. Nilai n yang memenuhiA B = C + At (At tranpose matriks A) adalah A.631 B.232 C. 32 D.2 E.232 108. EBT-SMA-90-04 Diketahui matriks A = ( )2 -13 4 dan B = ( )1 2-2 1

A2. B = A. 49 84 13 B. 49 84 13 C. 23 84 13 D. 16 182 4 E. 22 19 2 109. EBT-SMA-95-04 Diketahui matriks A = 2 21 - 1 dan B = 4 01 - 1 , X adalah matriks bujur sangkar ordo dua. Jika X A = B , maka X adalah matriks A. 1 00 1 B. 1 2 -0 1 C. 1 20 1 D. 1 - 20 1 E. 2 - 1 -0 1 110. EBT-SMA-03-40 Jika x dan y memenuhi persamaan: =5541log log 3log log 22 22 2x yy x , maka x . y = A. 412 B. 212 C.2 D.22 E.42 111. MA-87-10 Bentuk kuadrat ax2 + bx + cdapat ditulis sebagai per-kalian matriks (x1)A 1x,A adalah matriks (1) ac01 (2) cb a0 (3) a bc 0 72 (4) c ba 0 112. EBT-SMA-01-34 Bayangan segitiga ABC dengan A(2, 1), B(5, 2) dan C(5,4) jika dicerminkan terhadap sumbu Y dilanjutkan dengan rotasi (O, 90o) adalah A.A(1, 2), B(2,-6) dan C(4, 5) B.A(2,1), B(2,6) dan C(3,5) C.A(1, 2), B(2, 6) dan C(4, 5) D.A(2, 1), B(6, 2) dan C(5, 4) E.A(2,1), , B(6,2) dan C(5,4) 113. EBT-SMP-02-23 Bayangan sebuah titik M (6, -8) dirotasikan dengan pusat O sejauh 90o adalah M. Koordinat M adalah A.(8, 6) B.(8, 6) C.(8, 6) D.(8, 6) 114. EBT-SMP-99-26 Segi tiga ABC dengan koordinat A (4, 1), B (1, 2) dan C (2, 4) dirotasikan dengan pusat O sebesar 90o. Koordinat titik sudut bayangan ABC adalah A.A (1, 4), B (2, 1), C (4, 2) B.A (4, 1), B (1, 2), C (2, 4) C.A (4, 1), B (1, 2), C (2, 4) D.A (1, 4), B (2, 1), C (4, 2) 115. EBT-SMP-01-25 Titik-titik K (2, 6), L (3, 4) dan M (1, 3) adalah segi tiga yang mengalami rotasi berpusat di O (0, 0) sejauh 180o, Bayangan K, L dan M berturut-turut adalah A.K (6, 2), L (4, 3) dan M (3, 1) B.K (6, 2), L (4, 3) dan M (3, 1) C.K (2, 6), L (3, 4) dan M (1, 3) D.K (2, 6), L (3, 3) dan M (1, 3) 116. MA-88-08 Diketahui suatu transformasi T dinyatakan oleh matrik 0 11 0 maka transformasi T adalah A.pencerminan terhadap sumbu x B.pencerminan terhadap sumbu y C.perputaran 21 D.perputaran 21 E.pencerminan terhadap garis y = x 117. EBT-SMP-93-32 Koordinat titik (3, 4) dicerminkan dengan garisy = x, koordinat bayangan titik A adalah A.(4, 3) B.(4, 3) C.(3, 4) D.(4, 3) 118. EBT-SMP-03-24 Titik A (5, 3) di translasi 710, kemudian dilanjutkan dengan rotasi yang pusatnya O dengan besar putaran 90o berlawanan arah jarum jam. Koordinat bayangan titik A adalah A.(10, 15) B.(10, 15) C.(10, 15) D.(10, 15) 119. EBT-SMA-90-30 Bayangangarisx+3y+2=0olehtransformasiyangberkaitandenganmatriks2 13 2dilanjutkan matriks4 32 1 adalah 73 A.13x 5y + 4 = 0 B.13x 5y 4 = 0 C.5x + 4y + 2 = 0 D.5x + 4y 2 = 0 E.13x 4y + 2 = 0 120. EBT-SMA-88-13 Matriks yang bersesuaian dengan pencerminan terhadap garis y = x adalah A. 1 00 1 B. 1 00 1 C. 0 11 0 D. 0 11 0 E. 0 11 0 121. EBT-SMA-98-24 Garis dengan persamaan 2x + y + 4 = 0 dicerminkan terhadap garis y = x dan dilanjutkan dengan transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 02 1. Persamaan bayangannya adalah A.x 2y + 4 = 0 B.x + 2y + 4 = 0 C.x + 4y + 4 = 0 D.y + 4 = 0 E.x + 4 = 0 122. EBT-SMA-94-22 Garis yang persamaannya x 2y + 3 = 0 ditransformasi-kan dengan transformasi yang berkaitan dengan matriks 5 23 1. Persamaan bayangan garis itu adalah A.3x + 2y 3 = 0 B.3x 2y 3 = 0 C.3x + 2y + 3 = 0 x + y + 3 = 0 D.x y + 3 = 0 123. EBT-SMA-03-35 Persamaan peta garis 3x 4y = 12karena refleksi terhadap garis y x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks 1 15 3 adalah A.y + 11x + 24 = 0 B.y 11x 10 = 0 C.y 11x + 6 = 0 D.11y x + 24 = 0 E.11y x 24 = 0 124. EBT-SMA-02-36 Bayangan garis y = 2x + 2 yang dicerminkan terhadap garis y = x adalah A.y = x + 1 B.y = x 1 C.y = 21x 1 D.y = 21x + 1 E.y = 21x 21 125. EBT-SMA-00-38 Persamaan peta garisx 2y + 4 = 0yang dirotasikan dengan pusat (0,0) sejauh +90o, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = xadalah A.x + 2y + 4 = 0 B.x + 2y 4 = 0 74 C.2x + y + 4 = 0 D.2x y 4 = 0 E.2x + y 4 = 0 126. EBT-SMA-99-37 Garis y = 3x + 1 diputar dengan R(0, 90o), kemudian dicerminkan terhadap sumbu X. Persamaan bayangannya adalah A.3y = x + 1 B.3y = x 1C.3y = x 1D.y = x 1E.y = 3x 1 127. EBT-SMA-91-37 Garisyangpersamaanyay=2x+2dirotasikansejauh450denganpusatO(0,0). Garis yang terjadi persamaan-nya adalah A.y + 3x + 2 = 0 B.y 3x + 2 = 0 C.y + 2x 3 = 0 D.y + x 2 = 0 E.3y + x + 4 = 0 UAN-SMA-04-35 Persamaanpetakurvay=x23x+2karenapencerminanterhadapsumbuX dilanjutkan dilatasi dengan pusat O dan faktor skala 3 adalah A.3y + x2 9x + 18 = 0 B.3y x2 + 9x + 18 = 0 C.3y x2 + 9x + 18 = 0 D.3y + x2 + 9x + 18 = 0 E.y + x2 + 9x 18 = 0 128. EBT-SMA-91-38 M adalah pencerminan terhadap garis x + y = 0.R ada-lah pemutaran sejauh 900 searah jarum jam dengan pusat O(0,0).Matriks transformasi yang bersesuaian dengan(R o M) adalah A. 1 00 1 B. 1 - 00 1 C. 1 00 1 - D. 0 1 -1 - 0 E. 0 11 - 0 129. EBT-SMA-02-40 Diketahui segitiga ABC panjang sisi-sisinya 4, 5 dan 6 satuan terletak pada bidang . Tadalahtransformasipadabidangyangbersesuaiandenganmatriks4 34 1.Luas bayangan segitiga ABC oleh transformasi T adalah A. 1657 satuan luas B. 457 satuan luas C.107 satuan luas D.157 satuan luas E.30 7satuan luas 130. EBT-SMA-97-09 Titik (4, 8) dicerminkan terhadap garis x = 6, dilanjutkan dengan rotasi (O, 60o). Hasilnya adalah A.(4 + 43, 4 43) B.(4 + 43, 4 43) C.(4 + 43, 4 43) D.(4 43, 4 43) E.(4 + 43, 4 + 43) 75 131. EBT-SMA-01-35 Persegi panjang PQRS dengan titik P(1, 0), Q(1, 0), R(1,1)danS(1,1).Karenadilatasi[0,3]dilanjutkanrotasipusatObersudut 2. Luas bayangan bangun tersebut adalah A.2 satuan luas B.6 satuan luas C.9 satuan luas D.18 satuan luas E.20 satuan luas 132. EBT-SMA-96-23 Lingkaran yang berpusat di (3, 2) dan jari-jari 4. Diputar dengan R(0,90o) kemudian dicerminkan terhadap sumbu x. Persamaan bayangannya adalah A.x2 + y2 4x + 6y 3 = 0 B.x2 + y2 + 4x 6y 3 = 0 C.x2 + y2 + 6x 6y 3 = 0 D.x2 + y2 6x + 4y 3 = 0 E.x2 + y2 + 4x + 6y + 3 = 0 133. EBT-SMA-93-32 Persamaan bayangan dari lingkaranx2 + y2 + 4x 6y 3 = 0 oleh transformasi yang berkaitan dengan matriks0 1 -1 0 adalah A.x2 + y2 6x 4y 3 = 0 B.x2 + y2 6x 4y + 3 = 0 C.x2 + y2 + 6x 4y 3 = 0 D.x2 + y2 6x + 4y 3 = 0 E.x2 + y2 + 6x 4y + 3 = 0 134. EBT-SMA-92-38 Diketahui T1 dan T2 berturut-turut adalah transformasi yang bersesuaian dengan matriksT1 = 0 22 0danT2= 1 01 1.KoordinatbayangantitikP(6,4)karenatransformasipertama dilanjutkan dengan transformasi kedua adalah A.(8 , 4) B.(4 , 12) C.(4 , 12) D.(20 , 8) E.(20 , 12) 135. EBT-SMA-89-26 Lingkaran (x 2)2 + (y + 3)2 = 25 ditransformasikan oleh matriks 0 11 - 0 dan dilanjutkan oleh matriks 1 00 1 maka persamaan bayangan lingkaran itu adalah A.x2 + y2 + 6x 4y 12 = 0 B.x2 + y2 6x 4y 12 = 0 C.x2 + y2 4x 6y 12 = 0 D.x2 + y2 + 4x 6y 12 = 0 E.x2 + y2 + 4x + 6y 12 = 0 137. EBT-SMA-86-46 Diketahui sistem persamaan : 2x + y = 12 3x 2y = 25 Selesaikan persamaan itu dengan matriks. a. matriks koeffisien persamaan di atas adalah A = b. determinan matriks A adalah c. invers dari matriks A adalah d. nilai x dan y dari persamaan di atas adalah UAN-SMA-04-34 T1adalahtransformasirotasipusatOdansudutputar90o.T2adalahtransformasi pencerminan terhadap garis y = -x. Bila koordinat peta titik A oleh transfor-masi T1 o T2 adalah A(8, 6), maka koordinat titik A adalah 76 A.(6, 8) B.(6, 8) C.(6, 8) D.(8, 6) E.(10, 8) 136. MA-93-09 Vektor =21xxx rdiputarmengelilingipusatkoordinatOsejauh900dalamarah berlawananperputaranjarumjam.Hasilnyadicerminkanterhadapsumbux, menghasilkan vektor =21yyyr Jikay Axr r= , maka A = A. 0 11 0 B. 0 11 0 C. 0 11 0 D. 1 00 1 E. 1 00 1 138. MD-00-25 Diketahui B = 0 21 3, C = 6 32 0 dan determinan dari matriks B . C adalah K. Jika garis 2x y = 5 danx + y = 1 berpotongan di titik A, maka persamaan garis yang melalui A dan bergradien K adalah A.x 12y + 25 = 0 B.y 12x + 25 = 0 C.x + 12y + 11 = 0 D.y 12x 11 = 0 E.y 12x + 11 = 0