Modul ke:

Matematika Ekonomi

Himpunan dan Bilangan

Pusat Bahan Ajar dan E-learning

01

2

Selamat Datang

di Perkuliahan

MATEMATIKA EKONOMI

MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM.

08159122650

mafiz_69@yahoo.com

3

BUKU BACAAN

• Dumairi, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi ke III BPFE Yogyakarta

• Josep Bintang Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis. Salemba Empat. Buku 1 dan Buku 2.

4

MATERI PERKULIAHAN 1. Teori Himpunan

2. Deret

3. Penerapan Deret

4. Fungsi Linier

5. Penerapan Fungsi Linier : keseimbangan pasar, pajak dan subsidi

6. Penerapan Fungsi Linier : Analisis Break Even Point, fungsi konsumsi

7. Fungsi Kuadrat

8. Diferensial sederhana, diferensial majemuk

9. Penerapan ekonomi diferensial : analisis profit maximum, elastisitas, optimasi bersyarat

10. Kaidah integral tak tentu dan tertentu

11. Penerapan integral : Surplus konsumen dan surplus produsen

12. Kaidah matriks, Determinan invers matriks

13. Penyelesaian persamaan linier

14. Linier Programming

5

PENILAIAN

POKOK PENILAIAN BOBOT NILAI

Kehadiran kuliah (minimal 65%) 10%

Tugas 40%

Ujian Tengah Semester (UTS) 20%

Ujian Akhir Semester (UAS) 30%

6

KEHADIRAN KULIAH HADIR 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1

2

3 100 67 33

4 100 75 50 25 D

5 100 80 60 40 20 O

6 100 83 67 50 33 17 S

7 100 86 71 57 43 29 14 E

8 100 88 75 63 50 38 25 13 N

9 100 89 78 67 56 44 33 22 11

10 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

11 100 91 82 73 64 55 45 36 27 18 9

12 100 92 83 75 67 58 50 42 33 25 17 8

13 100 92 85 77 69 62 54 46 38 31 23 15 8

14 100 93 86 79 71 64 57 50 43 36 29 21 14 7

MAHASISWA

7

KETUA KELAS

• TUGAS KETUA KELAS:

– Mengkoordinasi kelas, terkait dengan:

• ketidakhadiran dosen,

• tugas (PR)

• modul kuliah

8

ATURAN PERMAINAN (umum)

• Kehadiran mahasiswa minimal 65%, bila kurang dari 65% nilai E. • Tidak ada toleransi keterlambatan kehadiran mahasiswa. • Anda diberi kesempatan 4 kali tidak hadir di kelas. • Tidak hadir dikelas dianggap tidak masuk. Tidak perlu surat ijin. • Mahasiswa harus berpakaian sopan dan berperilaku sopan. • Dilarang memakai kaos oblong di kelas • Dilarang memakai sandal di kelas. • Mahasiswa dilarang makan, merokok, mencoret tembok, kursi

dan melakukan aktivitas lain yang mengganggu di dalam kelas • Segala alat komunikasi selama perkuliahan berlangsung dinon-

aktifkan atau dibuat getar.

9

• Tugas dikumpulkan tepat waktu. Terlambat mengumpulkan tugas tidak akan dinilai.

• Ketahuan curang didalam mengerjakan tugas, UTS dan UAS, kertas kerja tidak dikoreksi, nilai langsung E.

• Terlambat masuk kuliah dan sudah diabsen, dianggap tidak hadir, tidak akan diabsen.

ATURAN PERMAINAN (khusus)

10

HIMPUNAN DAN BILANGAN

11

HIMPUNAN

• Himpunan (set) adalah suatu kumpulan atau gugusan dari sejumlah objek (benda).

• Objek-objek yang mengisi atau membentuk sebuah himpunan disebut anggota atau unsur atau elemen.

12

Menyatakan HIMPUNAN

1. CARA DAFTAR / Enumerasi

yaitu menuliskan semua anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal.

contoh:

A = {1, 2, 3, 4, 5}

berarti himpunan A beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif 1,2, 3, 4 dan 5.

13

2. CARA KAIDAH / Dengan Sifat

yaitu menuliskan sifat – sifat / karakteristik tertentu yang ada pada semua anggota himpunan di antara 2 kurung kurawal.

contoh:

a. A = {x; 0 < x < 6}

berarti himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari nol tetapi lebih kecil dari enam.

b. A = { x ; 1 X 5 }

berarti himpunan A beranggotakan obyek x yang harganya paling sedikit sama dengan satu dan paling banyak sama dengan lima.

14

Contoh :

1. A = Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 5

2. B = Himpunan yang anggotanya adalah : kucing, meja,

buku, air

3. C = Himpunan bilangan riil yang lebih besar daripada 1

Enumerasi Dengan sifat

A = { 1, 2, 3 , 4 ,5} A = { x | x Z, 1 x 5

B = { kucing, meja, buku,

air}

B tidak dapat dinyatakan dengan

cara menuliskan sifat – sifatnya

karena tidak ada sifat yang sama

di antara anggota – anggotanya

C tidak bisa dinyatakan

dengan menuliskan anggota

– anggotanya karena jumlah

anggota C yang tak berhingga

banyaknya

C = { x | x R, x > 1}

Jika suatu objek x merupakan anggota dari himpunan A, maka

dituliskan x A dan dibaca : “ x adalah anggota A”, atau x ada di

dalam A”, atau “x adalah elemen A”. Sebaliknya jika x bukan

anggota A, dituliskan x A.

Lambang-lambang dari Teori Himpunan dan Artinya

No. Lambang Arti Contoh Penggunaan

1. anggota

(element)

x A : obyek x adalah anggota

dari himpunan A

2. himpunan bagian

(subset)

A B: A adalah humpunan

bagian dari B

3. gabungan

(union)

A B : gabungan antara him-

punan A dan himpunan B

4. irisan

(intersection)

A B : irisan antara himpunan A

dan himpunan B

5 - selisih A – B : selisih antara A

dikurangi B

6. A

atau A’

komplemen A

(bukan A)

A = { x; x adalah semua

bilangan positif}.

A = { x ; x adalah semua bilangan

yang tidak positif}

7. U

Atau S

himpunan universal

himpunan semesta

-

8.

atau { }

himpunan kosong - 15

16

HUKUM-HUKUM DALAM PENGOPERASIAN HIMPUNAN

• Misalkan S adalah semesta pembicaraan dan A, B, C adalah himpunan – himpunan dalam S, maka operasi himpunan memenuhi beberapa hukum berikut :

1. 1. Hukum Komutatif

A B = B A ;

A B = B A;

A B = B A

2. 2. Hukum Asosiatif

( A B ) C = A ( B C ) ;

( A B ) A = A ( B A ) ;

( A B ) C = A ( B C )

17

3. Hukum Distributif

( A B ) C = ( A C ) ( B C );

( A B ) C = ( A C ) ( B C ) ;

4. Hukum Identitas

A = A ; A S = A ; A = A

5. Hukum Null

A S = S ; A = ; A A =

6. Hukum Komplemen

A Ac = S ; A Ac =

7. Hukum Idempoten

A A = A ; A A = A

8. Hukum Involusi

( Ac ) c = A

18

9. Hukum Absorbsi (penyerapan) A ( A B ) = A ;

A ( A B)

10 Hukum de Morgan

( A B ) c = Ac Bc;

( A B) c = Ac Bc

11. Hukum I / O c = S ;

S c =

19

1. U={bilangan cacah<8), A={1,3,7}, B={0,2,4}, C={1,2,6}. Tentukan himpunan :

a. A – (BC) b. (ABC)’

c. (BC) – A d. C’(AB)

2. U={bilangan riil}, A={X2-6X-16≤0),

B={X2-X-20≤0). Tentukan himpunan :

a. AB b. AB

c. A – B d. B – A

Latihan Soal :

20

3. Jika himpunan universal U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, sedangkan P = { 2, 4, 6, 8 } dan Q = { 0, 5, 9 } serta R = { 3, 7, 9 }, tentukan :

1. P , Q , R

2. P Q, P Q, P Q, P R.

3. P – Q, Q – P, P – ( Q – R ), ( P – Q ) – R,

P Q

1. P ( Q R ),

2. (P Q) (P R),

3. P (Q R),

4. (P Q) (P R).

5. (P Q), P Q, (P Q), P Q

21

12. Misalkan himpunan A = { x, y, z } ,

B = { x, y, 2}. Dan C = { 1, 2, 3 }, maka tentukan

1. A B, A B, A C, A C

2. A B C; (A B) C; A ( B C)

3. B – A; B – C; C – B; A – C; C – A; ( B C ) – A

13. Dengan himpunan A, B, dan C seperti pada soal nomor 2 ujilah kedua hukum distributif

1. A ( B C ) = (A B) ( A C)

2. A ( B C ) = (A B) ( A C)

BILANGAN

• Bilangan adalah ungkapan dari penulisan satu atau beberapa simbul bilangan.

– Misalnya :

• 187, terdiri dari simbul bilangan 1, 8, 7.

JENIS-JENIS BILANGAN

Bilangan Riil

Bil Rasional Bil Irrasional

Bil Bulat Bil Pecahan Negatif Positif

Bil Bulat Negatif Bil Cacah

Nol Bil Asli

Bil Genap Bil Gasal Bil Prima

26

27

KETERANGAN:

A = Bilangan asli yaitu {1,2,3,…}

C = Bilangan cacah yaitu {0,1,2,3,…}

B = Bilangan bulat yaitu { …,-2,-1,0,1,2,…}

Q = Bilangan rasional misal 1/3 ; 4/1 ; 0,25

I = Bilangan irasional bukan bilangan rasional misal: √3 ; 0,143964032…

R = Bilangan real terdiri dari bilangan asli, cacah, bulat, rasional dan irasional

M = bilangan imajiner bukan bilangan real misal: √-1 , log (–1), dan lain-lain

28

Sifat-sifat operasi dasar pada bilangan real

Pada penjumlahan:

1. a+b = b+a, untuk setiap a,b bilangan real disebut sifat komutatif pada penjumlahan.

2. (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat asosiatif pada penjumlahan.

3. Ada bilangan nol yang merupakan bilangan real sedemikian hingga 0+a = a+0 = a; untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1 sebagai elemen identitas penjumlahan.

4. Untuk setiap a bilangan real terdapat –a anggota bilangan real sedemikian hingga a+(-a) = (-a) + a = 0 disebut sifat invers.

29

Pada perkalian: 1. a.b = b.a, untuk setiap a,b bilangan real disebut

sifat komutatif pada perkalian. 2. (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a,b,c bilangan real

disebut sifat asosiatif pada perkalian. 3. Ada a yang tidak sama dengan nol, bilangan real

maka ada 1/a sedemikian hingga a.1/a = 1/a.a = 1 untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1 elemen identitas sedangkan 1/a adalah invers perkalian dari a.

4. a.(b+c) = a.b + a.c dan (b+c) a = b.a + c.a untuk setiap a,b,c bilangan real disebut sifat distributif.

30

+ =

+

+ +

=

=

= =

Operasi bilangan pecahan

31

Kaidah-kaidah Dasar dalam Pemangkatan dan Pengakaran

No. Kaidah Dasar Contoh

1. x 0 = 1 3

0 = 1

2. 0x = 0 0

3 = 0

3. x1 = x 3

1 = 3

4. xa . x

b = x

a + b

32 . 3

3 = 3

2 + 3 = 243

5. (xa)b = x

ab (3

2)3 = 3

2 . 3 = 3

6 = 729

6. (xy)a = x

ay

a (3 . 4)2 = 3

2 . 4

2 = 9 . 16 = 144

7. (x / y)a = x

a / y

a (3/4)2

= 32 / 4

2 = 9/16

8. 1 / xa = x

-a 1 / 3

2 = 3

-2 atau: 1 / 9 = 9

-1

9 xa / x

b = x

a-b = 1 / x

b-a 32 / 3

3 = 3

2-3 = 3

-1 = 1/3

10. x a/b

= bx

a 2 ¾

= 42

3 =

48

11. axy =

ax .

ay

23.4 =

23

24 = 2 .

23 = 2 3

12. ax = x

1/a 23 = 3

1/2

13. a

bx =

abx

2

39 =

2.39 =

69

14. ax/y =

ax /

ay

23/4 =

23 /

24 = 3 / 4 = 1/2 3

32

SOAL-SOAL PANGKAT DAN AKAR

1. Jika f(x) = x3 – x

2 + 6 , carilah:

a. f (0)

b. f (-2)

c. f (a)

d. f (y2)

2. Jika f (x) = (3x2 – 8) / (x – 1), carilah :

a. f (3)

b. f (-1)

c. f (x-2)

d. f (a-b)

3. Jika f (y) = (y2-4 / y), carilah :

a. f (-1)

b. f (4)

c. f (a2)

d. f (x+2)

4. Jika f (y) = 2y + y,

carilah:

a. f (0)

b. f (-1)

c. f (5)

d. f (y+b)

5. Jika f (x) = 3x – x2 ,

carilah:

a. f (1)

b. f (-2)

c. f (a)

d. f (1/h)

33

6.

7.

34

7. Dipunyai a, b, dan c merupakan bilangan-

bilangan asli berbeda sehingga

cba

111 =

6

5 .

Tentukan nilai a2 + b

2 + c

2.

8.

34

LOGARITMA • Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan

dari proses pengakaran. Logaritma dari suatu bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.

Contoh: 100 = 102 maka 10log 100 = 10log 102 = 2, atau pada umumnya alog ap = p , karena ap = ap Adapun 10 10log 100 = 102 = 100 ; atau pada umumnya a alog b = b

35

• Suatu bilangan pokok logaritma, namakan a, harus positif dan tidak sama dengan satu; jadi a > 0 dan a 1.

• Dari sekian banyak kemungkinan bilangan pokok yang ada, lazimnya yang dipakai dalam logaritma adalah bilangan 10 dan bilangan e ( = 2,718287).

• Berdasarkan jenis bilangan pokok yang digunakan ini maka dikenal dua macam logaritma.

• Pertama, logaritma persepuluhan atau logaritma Brigg (nama penemunya, hidup antara tahun 1560 – 1631), yaitu logaritma dengan bilangan pokok 10.

• Sedangkan yang lain, logaritma alam atau logaritma Napier (hidup antara tahun 1550 – 1617), yaitu logaritma dengan bilangan pokok e.

• Logaritma Brigg dituliskan dengan simbul log, adapun logaritma Napier dituliskan dengan simbul ln.

36

elog x . xlog 10 . 10log e = 1 elog x . 10log e = 10log x

ln x . 0,4343 = log x

ln x = log x / 0,4343

ln x = 2,3026 log x

• Untuk mengubah logaritma natural menjadi logaritma Brigg dapat diperoleh dengan kaidah rantai:

Contoh:

• ln 10 = 2,3026 log 10 = 2,3026

• log e = 0,4343 ln e = 0,4343

• ln 2 = 2,3026 log 2 = 0,693

37

No. KAIDAH-KAIDAH LOGARITMA

1. alog ap = p

2 a alog b = b

3 alog x y = alog x + alog y

4 alog x / y = alog x - alog y

5 alog xn = n alog x

6 alog a = 1

7 alog 1 = 0

8 alog b = 1 / blog a atau alog b . blog a = 1

9 alog b . blog c . clog a = 1

10 alog b . clog a = clog b

38

CONTOH-CONTOH Kaidah 1

a. 10

log 100 = 10

log 102 = 2

b. 10

log 10000 = 10

log 104 = 4

Kaidah 2

a. 10 10

log 100 = 10

log 102 = 10

2 = 100

b. 10 10

log 10000 = 10

log 104 = 10

4 = 10000

Kaidah 3

a. 10

log (10000) (100) = 10

log 10000 + 10

log 100

= 10

log 104 +

10log 10

2 = 4 + 2 = 6

b. 10

log (1000) (100) = 10

log 1000 + 10

log 100

= 10

log 103 +

10log 10

2 = 3 + 2 = 5

39

Kaidah 4

a. 10

log 10000/100 = 10

log 10000 - 10

log 100

= 10

log 104 -

10log 10

2 = 4 – 2 = 2

b. 10

log 1000 /100 = 10

log 1000 - 10

log 100

= 10

log 103 +

10log 10

2 = 3 – 2 = 1

Kaidah 5

a. 10

log 1002 = 2

10log 100 = 2

10log 10

2 = 2 . 2 = 4

b. 10

log 1003 = 3

10log 100 = 3

10log 10

2 = 3 . 2 = 6

Kaidah 6

10log 10 = 1, sebab 10

1 = 10

Kaidah 7

10log 1 = 0, sebab 10

0 = 1

40

Kaidah 8

10log 100 = 2, sebab 10

2 = 100

10log 10 = 1/2 , sebab 100

1/2 = 100 = 10

dengan demikian :

10log 100 .

100log 10 = 2 . 1/2 = 1

Kaidah 9

10log 100 = 2 , sebab 10

2 = 100

100log 10000 = 2 , sebab 100

2 = 10000

10000log 10 = 1/4 , sebab 10000

1/4 =

410000 = 10

dengan demikian :

10log 100 .

100log 10000 .

10000log 10 = 2 . 2 . 1/4 = 1

41

SOAL-SOAL LOGARITMA

1. Hitunglah :

a. log xy

b. log x/y

c. log x2y

d. log x2 / y

apabila x = 100 dan y = 50

2. Carilah x jika :

a. log x = 0,3010

b. log x = 1,2304

c. log x2 = 1,7482

d. log x2 = 2,6021

3. Carilah x dari persamaan x37

= 2500 (7,50) 37

4. Carilah x jika 100x = 50.000

5. Carilah x jika x5 = 50.000

42

38

Terima Kasih Mafizatun Nurhayati, SE. MM.