Matematika 2-teorija

7/25/2019 Matematika 2-teorija

1/25

1.toka prostoraToka prostora A je jednoznano odreena koordinatama x, y, z koje su ujedno i

komponente radijvektora .duina- Duina je skup svih toaka pravca kroz toke P i Q koje se nalaze izmeu toaka P i Qukljuivi i njih.

usmjerena duina - Usmjerena duina

je duina kod koje su rubne toke ureene, odnosno

toka Pje poetak ili hvatite, a toka Q svretak.

ekvivalentnost dviju usmjerenih duina- Usmjerene duine i su ekvivalentne, odnosno , ako duine i imaju zajedniko polovite.svojstva relacije ekvivalentnosti relacija ekvivalentnosti je relacija ekvivalencije, to znai da je

ona refleksivna, simetrina i tranzitivna.

RefleksivnaOito je , pa je relacija refleksivnaSimetrinaAko je , onda je i , pa je relacija simetrinaTranzitivnaUkoliko toke P, Q, P, Q ne lee na istom pravcu, tada je ako i samo akosu toke PQQP susjedni vrhovi paralelograma. Ukoliko toke P, Q, P, Q lee na istom pra vcu,

tada je ako i samo ako vrijedi: d(P,Q) = d(P ,Q) d(P, P) = d(Q,Q). U ovom sluajukaemo da su toke PQQP susjedni vrhovi degeneriranog paralelograma. Stoga, ako je tada su toke PQPQ susjedni vrhovi paralelograma ili degeneriranogparalelograma, a isto vrijedi i za toke PQQP. Dakle, , pa je relacija tranzitivna.vektor prostoraVektor je klasa ekvivalencije usmjerenih duina. Oznaka: a, b, c, ...

reprezentant vektora - Vektor se moe predoiti pomou vie razliitih usmjerenih duina

reprezentanata ili predstavnika vektora.

jednakost dvaju vektoraDva vektora su jednaka ako su kolinearni (lee na istom ili paralelnim

pravcima), istog smjera i jednake duljine.

radijus-vektori Ako u prostoru

odaberemo toku O, svakoj toki P pripada jednoznano

odreen vektor . Vektor je radijus-vektor ili vektor poloaja toke P u odnosu na hvatite O.2.

kolinearni vektoriVektori ai bsu kolinearni ako lee na istom ili paralelnim pravcima.

duljina vektoraDuljina (norma, intenzitet) vektora aiji je reprezentant usmjerena duina jeudaljenost izmeu toaka P i Q.

smjer vektoraObjedinjuje pravac nosioc na kojem lei vektor i orijentaciju na pravcu nosiocu.

orijentacija vektora- Vektori a i b imaju istu orijentaciju ako se toke A i B nalaze s iste strane

toke O. Vektori a i bimaju suprotnu orijentaciju ako se toke A i B nalaze s razliitih strana tokeO.

nulvektorNulvektor (0) je vektor koji ima poetak i kraj u istoj toki (predstavnici sve usmjerene

duine oblika , nema orjentaciju).suprotni vektor- za svaki vektor a= postoji suprotni vektor a= takav da jea + (a) = a a = 0. Suprotni vektor je kolinearan s a, ima istu duljinu i suprotnu orijentaciju.

jedinini vektorJedinini vektor vektora a 0 je vektor . Iz definicije slijedi da mu jeduljina 1, da je kolinearan vektoru ai da ima istu orijentaciju.


2/25

3.

zbroj dvaju vektoraNeka su zadani vektori ai bi toke O, A i B takve da je a= , b= .Zbroj vektora a i b je vektor c = . Ovakav nain zbrajanja vektora zove se pravilo trokuta.Vektore takoer moemo zbrajati i popravilu paralelograma.

pravilo trokuta

pravilo paralelograma

teorem o svojstvima operacije zbrajanja vektora- Zbrajanje vektora ima sljedea svojstva:

Z1. (a + b) + c = a + (b + c) (asocijativnost),

Z2. a + b = b + a (komutativnost),

Z3. za nul-vektor 0 vrijedi a + 0 = 0 + a = a,

Z4. za svaki vektor a =

postoji suprotni vektor a =

takav da je a + (a) = a a = 0.

Suprotni vektor je kolinearan s a, ima istu duljinu i suprotnu orijentaciju.Svojstva Z2, Z3 i Z4 slijede direktno iz definicije zbrajanja vektora, dok je svojstvo Z1 prikazano

na slici:

asocijativnost zbrajanja vektora

oduzimanje vektora- Oduzimanje vektora se definira kao operacija zbrajanja sa suprotnimvektorom: ab = a + (-b).

pravilo trokuta za oduzimanje vektora

pravilo poligona- Vie vektora zbrajamo po pravilu poligona: ako su zadani vektori a1, a2, .

. . , ani toke O, A1, A2, . . . ,Antakve da je a1=

, ..., an=

. tada je a = a1 + a2 + +

an = .


3/25

4.mnoenje vektora skalarom (realnim brojem)Vektor amnoimo realnim brojemna sljedei

nain: ako je a = 0, tada je a= 0, . Ako je a 0, odaberemo toke O i A takve da je a= .Produkt vektora ai skalara je vektor b= a= , pri emu toka B lei na pravcu koji prolazikroz toke O i A i:

za > 0 toka B lei s iste strane toke O kao toka A i vrijedi

d(O,B) = d(O,A), |b| = |a|,za < 0 toka B lei sa suprotne strane toke O kao toka A i vrijedi

d(O,B) =- d(O,A),

|b| = -|a| = || |a|.

teorem o svojstvima operacije mnoenja vektora skalaromMnoenje vektora skalarom ima

sljedea svojstva:

M1. (a+ b) = a+ b,

M2. ( + )a= a+ a,

M3. ()a= (a),

M4. 0a= 0,

a,

M5. 1a= a,

a.

linearna kombinacija jednog, dvaju ili vie vektora- Linearna kombinacija vektora a1,,

akje vektor a= 1a1+ ... + kak, 1, ..., k .5.

koordinatni sustav na pravcu Odaberemo pravac p kroz toku te na njemu nanesemobrojevni pravac tako da je 0 u toki O. Jedinini vektor idefiniramo kao i= , pri emu je broju 1brojevnog pravca pridruena toka I. Vektor ije jednoznano odreen i vrijedi d(O,I)=|i|=1. S ovim

smo na pravcupzadali koordinatni sustav (O, i).

koordinatni sustav u ravniniU ravnini koja se nalazi u prostoru

prvo odaberemo toku O

kao ishodite. Zatim odaberemo meusobno okomite pravce p i qkoji lee u ravnini i prolazekroz toku O. Na pravcimapi qdefiniramo koordinatne sustave (O, i) i (O,j), redom, pri emu je

i= ,j= , |i| = |j| = 1.Desni pravokutni koordinatni sustavToke I i J su odabrane tako da toka I rotacijom oko toke

O za kut /2 u pozitivnom smjeru (suprotno od kazaljke na satu), prelazi u toku J.

Lijevi pravokutni koordinatni sustavToke I i J su odabrane tako da toka I rotacijom oko toke

O za kut /2 u negativnom smjeru (smjer kazaljke na satu), prelazi u toku J.

koordinatni sustav u prostoruprvo odaberemo ishodite O i meusobno okomite pravcep, qi r

koji prolaze kroz toku O. U ravnini razapetoj s pravcima pi qdefiniramo desni pravokutni sustav

(O, i,j).

Desni pravokutni sustavNa pravcu rdefiniramo koordinatni sustav (O, k) tako da vektori i,j, k

zadovoljavaju pravilo desnog vijka (Okretanjem desnog vijka udesno - smjer kazaljke na satu -

vijak ce se kretati prema gore, cime je odreen smjervektorak).

Lijevi pravokutni sustavvektori i,j, kne zadovoljavaju pravilo desnog vijka.

prikaz vektora u danom koordinatnom sustavuvektor u koordinatnom sustavu prikazujemo

kao linearnu kombinaciju vektora baze tog koordinatnog sustava.

skalarne komponente vektora skalari (realni brojevi) kojima mnoimo vektore baze

koordinatnog sustava da bi prikazali dani vektor

vektorske komponente vektoravektori baze koordinatnog sustava

komplanarni vektori vektori koji pripadaju istoj ili paralelnim ravninama. vektori

su komplanarniako imaju predstavnike koji su kolinearni jednoj ravnini.


4/25

6.izraunavanje duljine vektoraDuljina (norma) vektora a= {x, y, z} jedanaka je

|a|= . Naime, dvostrukom primjenom Pitagorinog pouka dobijemo: jedinini vektor - Jedinini vektor vektora a 0 je vektor

. Iz definicije slijedi da mu je

duljina 1, da je kolinearan vektoru ai da ima istu orijentaciju. kosinusi smjerova- Kosinusi smjerova su kosinusi priklonih kutova. Prikloni kutovivektora su kutovi koje taj vektor zatvara s vektorima i, j i k. Kosinusi smjerova vektora a0 jednakisu skalarnim komponentama jedininog vektora a0. Ako je a = xi + yj + zk i ako priklone kutove

oznaimo redom s , i , tada je

Oito je

7.

linearna zavisnost i nezavisnost vektoraVektori a1, ..., ak su linearno nezavisni ako za sve

skalare 1, ..., k 1a1+...+kak = 0 1 = ... = k = 0. U protivnom su vektori linearnozavisni. Drugim rijeima vektori a1, ..., aksu linearno zavisni ako i samo ako postoje 1, ..., ktakvi

da je 1a1+ ... +kak= 0, pri emu je |i| > 0.

odnos kolinearnosti, komplanarnosti i linearne zavisnosti (nezavisnosti)Svaka dva kolinearna

vektora i svaka tri komplanarna vektora su linearno zavisna. Svaka etiri vektora u prostoru

su

linearno zavisna. Svaka dva nekolinearna vektora i svaka tri nekomplanarna vektora su linearnonezavisna.

baza prostora (pravca, ravnine)- Svaka tri linearno nezavisna vektora a, bi cine bazu prostorai definiraju koordinatni sustav (O, a, b, c). Svaki vektor iz prostora moe sejednoznano prikazati kao linearna kombinacijavektora baze, odnosno


5/25

8.

kut izmeu dvaju vektoraNeka je a, b 0i neka su i njihovi predstavnici s hvatitem utoki O, redom. Kut izmeu vektora ai bdefiniramo kao kut izmeu usmjerenih duina i .skalarni produkt dvaju vektoraSkalarni produkt (ab ili (a, b)) vektora a i b je broj

.

svojstva skalarnog mnoenjaSkalarni produkt ima sljedea svojstva:

S1. a b = 0ako je a = 0ili b = 0ili a b,S2. a b 0ako je , a a b < 0 ako je ,S3. Vrijedi i i = j j = k k = 1, i j = j i = i k = k i = j k = k j = 0,

S4. a a = |a| |a| = |a|2,

S5. a b = |a| ba, gdje je ba = |b| cos (a, b) duljina projekcije vektora b na pravac definiran s

vektorom a pomnoena s odgovarajuimpredznakom prema svojstvu S2 (slika 3.9),

S6. a b = b a(komutativnost),

S7. a (b + c) = a b + a c(distributivnost),

S8. (a b) = (a) b = a (b)(homogenost).

9.

skalarni produkt vektora zadan u pravokutnom koordinatnom sustavuAko je a= axi + ayj +

+ azk, b = bxi + byj + bzk, tada je a b = axbx + ayby + azbz. Ako su vektori i zadani kaostupane matrice, iz definicija matrinog mnoenja u poglavlju 2.1.3i transponirane matrice u

poglavlju2.1.5slijedi da skalarni produkt moemo zapisati i kao

Definicija skalarnog produkta3.4i teorem3.2omoguuju raunanje kuta izmeu dva vektorau prostoru

pomou formuleraunanje kuta izmeu dva vektora pomou skalarnog produktavektora- 10.

vektorski produkt dvaju vektoraVektorski produkt vektora ai bje vektor c = a btakav da je . Pored toga, ako je |c| > 0, tada je c a c b, pri emu uredena trojkavektora (a, b, c) ini desni sustav.

svojstva vektorskog mnoenjaVektorski produkt ima sljedea svojstva:

V1. a b= 0ako je a = 0ili b = 0ili ako su vektori ai bkolinearni,

V2. vrijedi

i i=jj = k k = 0,ij = k,j k = i, k i = j,

j i = k, kj = i, i k = j,

V3. a b = b a(anti-komutativnost),

V4. a (b +c) = a b +a c(distributivnost),

V5. (a b) = (a) b= a (b) (homogenost),

V6. Norma |ab|je jednaka povrini paralelograma to ga razapinju vektori ai b.
http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.html#sec:matmulthttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.html#sec:matmulthttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.html#sec:matmulthttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node28.html#sec:transphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node28.html#sec:transphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node28.html#sec:transphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html#v2.22http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html#v2.22http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html#v2.22http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html#v2.23http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html#v2.23http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html#v2.23http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html#v2.23http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node59.html#v2.22http://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node28.html#sec:transphttp://lavica.fesb.hr/mat1/predavanja/node26.html#sec:matmult


6/25

11.vektorski produkt vektora zadanih u desnom pravokutnom koordinatnom sustavuAko je a

= axi + ayj + + azk, b= bxi+ byj+ bzk, tada je a b= (aybz- azby)i+ (azbxaxbz)j+ (axbyaybx)k,

odnosno a b=

.DokazTvrdnja slijedi iz svojstava V2, V4 i V5.zapis vektorskog produkta pomou determinante treeg reda - Ako je a= axi + ayj + + azk, b=

bxi+ byj+ bzk, tada je a b= .ObjanjenjePrimjenom svojstva V2, V4 i V5 dobivamo

.povrina paralelogramaP = |a b|

povrina trokuta povrine paralelograma

12.mjeoviti produkt triju vektoraMjeoviti (vektorsko-skalarni) produkt vektora a, bi cje broj

(a b) c= |a b| |c| cos

(a b, c) = |a| |b| sin

(a, b) |c| cos

(a b, c). Mjeoviti produkt

jednak je volumenu ili negativnoj vrijednosti volumena paralelopipeda kojeg razapinju

vektori , i . Naime,

je povrina baze koja je razapeta vektorima i , a ako s oznaimo ravninu baze, tada je

to je jednako visini ili negativnoj vrijednosti visinesvojstva mjeovitog produktaMjeoviti produkt triju vektora ima sljedea svojstva:

MP1. [x,y,z] = [y,x,z]

MP2. [x,y,z] = [z,x,y] = [y,z,x]

MP3. [x,y,z] = [x,y,z]

MP4. [x+ t,y,z] = [x,y,z] + [t,y,z]

zapis mjeovitog produkta triju vektora pomou determinantetreeg reda- Ako je

a= {ax, ay, az}, b= {bx, by, bz}, c= {cx, cy, cz}, tada je .


7/25

13.mjeoviti produkt i volumen paralelopipeda Mjeoviti produkt jednak je volumenu ili

negativnoj vrijednosti volumena paralelopipeda kojeg razapinju vektori a, bi c.

Objanjenje |a||b|sin (a,b) je povrina baze koja je razapeta vektorima ai b. Ako s oznaimoravninu baze, tada je |c| cos (a b, c) = |c| sin (, c), to je jednako visini ili negativnojvrijednosti visine.

volumen paralelopipedaapsolutna vrijednost mjeovitog produktavolumen tetraedra1/6 volumena paralelopipeda

14.

vektorsko-vektorski produktVektorsko-vektorski produkt vektora a, bi cje vektor (ab)c.

emu je jednako (ab)c i a(bc) - (a b) c = b (a c) a (b c), odnosno, rezultirajui

vektor lei u ravnini razapetoj s vektorima ai b.

Slino, a (b c) = b (a c) c (a b), pa rezultirajui vektor lei u ravnini razapetoj s vektorima

bi c.

1.

jednadba pravca u vektorskom zapisu Uz oznake s = , r1 = , r = , imamovektorsku jednadbu pravca rr1= ts, , odnosno r = r1+ ts, . Vektor sje vektor smjera

pravcap.

jednadba pravca u parametarskom zapisuNeka je u koordinatnom sustavu (O, i,j, k) s=

,r1 = , r = . Tada vektorska jednadba pravca prelazi u parametarsku jednadbu pravca .

jednadba pravca u kanonskom obliku Eliminacijom parametra t iz parametarske jednadbe

pravca dobivamo kanonsku (simetrinu) jednadbu pravca . U ovoj formuli

nazivnici ne oznaavaju dijeljenje nego skalarne komponente vektora smjera pa ih piemo i onda

kada su jednaki nula.

vektor smjera pravcaVektor smjera pravcapje vektor skojemu je nosa pravacp. Kao vektor

smjera moe se uzeti i bilo koji drugi vektor koji je kolinearan s vektorom s.

jednadba pravca kroz dvije toke - Jednadbu pravca kroz dvije toke moemo odrediti i

pomou formule uz uvijet da su x1x2 gdje su x1i y1koordinate prve, a x2iy2koordinate druge toke pravca. Ako je x1=x2onda je pravac paralelan s ordinatom.

pravac kao presjek dvije ravninePravac moemo zadati s dvije linearno nezavisne jednadbe s

tri nepoznanice od kojih svaka predstavlja jednu ravninu u prostoru: A1x+B1y+C1z+D1=0,

A2x+B2y+C2z+D2=0. Iz sustava eliminacijom jedne od varijabli dobijemo kanonsku jednadbu, iz

koje onda lako dobijemo parametarsku jednadbu pravca.


8/25

2.

jednadba ravnine u vektorskom obliku Uz oznake r1 = , r = , n = dobivamo vektorsku jednadbu ravnine (rr1) n = 0. Vektor nje normala ravnine.

jednadba ravnine u segmentnom obliku- .

jednadba ravnine kroz tri toke (determinantni zapis)Ako je T = (x,y,z), Ti= (xi,yi,zi), i = 1,

2, 3, tada vektorsku jednadbu moemozapisati pomoudeterminante. To daje jednadbu ravnine

kroz tri toke .jednadba ravnine kroz jednu toku uz zadani vektor normale n Ako je u koordinatnom

sustavu (O, i,j, k) n= {A, B, C}, r1= {x1, y1, z1}, r= {x, y, z}, tada vektorska jednadba ravnine

prelazi u jednadbu ravnine kroz toku T1= (x1,y1,z1), A(x x1) + B(y y1) + C(z z1) = 0.

Vektor normale ravnineVektor normale ravnine je vektor okomit na tu ravninu.

jednadba ravnine u opem obliku Sreivanje jednadbe ravnine kroz jednu toku daje opi

oblik jednadbe ravnine Ax+ By+ Cz+ D = 0.

3.

paralelnost pravaca Pravci p1 i p2 su paralelni (p1||p2) ako za njihove vektore smjera vrijedi

s1=ts2, . Paralelni pravci mogu, ali ne moraju leati jedan na drugom.paralelnost ravninaRavnine 1i 2su paralelne (1|| 2) ako za njihove normale vrijedi n1=tn2, . Paralelne ravnine mogu, ali ne moraju leati jedna na drugoj.kut izmeu pravca i ravnine- .kut izmeu dvije ravnineskalarni produkt normala .kut izmeu dva pravca- .

4.

sjecite dvaju pravaca Toka u kojoj se sijeku pravci i , . Sjecite

dvaju pravaca dobije se rjeavanjem sustava dviju jednadbi sa dvije nepoznanice (jednadbe

pravaca).

sjecite dvije ravninePravac koji je presjek ravnina i , Sjecite dvije

ravnine dobije se rjeavanjem sustava dviju jednadbi sa tri nepoznanice (jednadbe ravnina).

sjecite pravca i ravnineToka u kojoj pravac sijee ravninu , Sjecite

pravca i ravnine traimo tako da parametarsku jednadbu pravca uvrstimo u opi oblik jednadbe

ravnine i rijeimo jednadbu sa jednom nepoznanicom.


9/25

5.

udaljenost dvije tokeUdaljenost toaka T1= (x1, y1, z1) i T2= (x2, y2, z2): .udaljenost toke i pravcaPrvo naemo projekciju T' toke T na pravac p, a onda izraunamo

.

udaljenost dva pravca Udaljenost dva pravca jednaka je udaljenosti vektora smjera ta dva

pravca.

udaljenost dvije ravnineUdaljenost dvije ravnine jednaka je udaljenosti vektora normala na te

dvije ravnine.

udaljenost pravca i ravnineUdaljenost pravca i ravnine jednaka je udaljenosti vektora smjera

pravca i vektora normale ravnine.

6.

projekcija toke na ravninuProjekcija T' toke T na ravninu je sjecite ravnine i pravca koji

prolazi kroz toku T i okomit je na ravninu .

projekcija toke na pravacProjekcija T' toke T na pravacpje sjecite pravcapi ravnine koja

prolazi kroz toku T i okomita je na pravacp.projekcija pravca na ravninuProjekcijap'pravcapna ravninu je sjecite ravnine i ravnine

koja sadri pravacpi okomita je na ravninu .

7.

krivulja drugog redaopa jednadbaPod krivuljom drugog reda podrazumijevamo skup svih

toaka T = (x, y) u ravnini koordinate kojih zadovoljavaju jednadbu drugog stupnja

Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0 s danim realnim koeficijentima , takvima da jebarem jedan od A, B ili C razliit od nule.

krunicaNeka je S toka u ravnini i r pozitivan realni broj. Skup (S ; r) {T | d(S, T) = r}svih toaka T u ravnini udaljenih r od toke S nazivamo krunicom.

JednadbaNeka je, u sustavu (O; i,j), S = (x0, y0) i T = (x, y). Iz definicijske jednakosti d(S, T)=rdobivamo pripadnu jednadbu (xx0)

2+(yy0)2=r2.

elipsaNeka su F1 i F2toke u ravnini i neka je a takav realni broj da je 2a > d(F1, F2). Tada

tokovni podskup od nazivamo elipsom.Jednadba Neka je, u sustavu (O; i, j), F1 = (x0 e, y0), F2 = (x0 + e, y0) i T = (x, y). Tada

definicijska jednakost povlai , to daje . Ovarelacija je jednadba elipse u sluaju kad joj je velika os uspo redna s X-osi.

hiperbolaNeka su F1i F2toke u ravnini i neka je atakav realni broj da je 0 < 2a< d(F1, F2).

Tokovni podskup

od nazivamo hiperbolom.

Jednadba Neka je, u sustavu (O; i, j), F1 = (x0 e, y0), F2 = (x0 + e, y0) i T = (x, y). Tada

definicijska jednakost povlai , to daje . Ovarelacija je jednadba hiperbole u sluaju kad joj je velika os usporedna sa X-osi.

parabola Neka je ppravac u ravnini i neka je F toka u izvan p. Skup , svih toaka T u ravnini jednako udaljenih od toke F i od pravca pnazivamo parabolom (hitnicom).

JednadbaOznaimo d(F,p) a, pa neka je u sustavu (O, i,j) pravacpusporedan s Y-osi i zadanjednadbom

, a

, a

. Iz definicijskoga uvjeta se tada lako

izvede pripadna parabolina jednadba . Ako je ravnalica p zadanajednadbom , a arite , jednadba poprima oblik . Kad je ravnalicapusporedna s X-osi, dobivamo simetrine jednadbe.


10/25

8.

plohe drugog reda- Opa jednadba plohe drugog reda:

A x2

+ B y2

+ C z2

+ D y z + E x z + F x y + G x + H y + I z + K = 0 Pogodnim izborom koordinatnog sustava jednadba kvadrike se svodi na znatno jednostavniju,

kanonsku jednadbu.

kuglina ploha (sfera)skup toaka u prostoru jednako udaljen od iste toke, jednadba:

(xx0)2+(yy0)

2+ (zz0)2= r2

elipsoid Za dane realne konstante a, b i c, jednadba odreuje

plohu koju nazivamo elipsoidom.

hiperboloid jednokrilni eliptini hiperboloid: , dvokrilni eliptini hiperboloid:

.

paraboloideliptini paraboloid: , hiperbolini paraboloid: stoac

8./1

valjaste(cilindrine)ploheNeka je u ravnini dana krivulja te neka jeppravac koji probada. Promatrajmo skup svih pravaca u prostoru koji sijeku krivulju i usporedni su s pravcem p.Tretirajui svaki pravac tokovnim skupom, pripadnu tokovnu uniju nazivamo valjastom

(cilindrinom) plohom. Pritom govorimo da je pravac p izvodnica (generatrisa), a krivulja ravnalica (direktrisa) te valjaste plohe.

9.polarni koordinatni sustav u ravniniNeka jepbilo koji pravac u ravnini i neka je na njemu

zadan koordinatni sustav (O; p0) ||p0|| = 1. Za bilo koju toku T u ravnini , T O, neka je kut

izmeu vektora p0 i . (Ovdje je vano da je p0prvi, a drugi krak promatranog vektora; usuprotnom je taj kut.) Ako je T = O stavljamo, po dogovoru, da je pripadni kut = 0. Neka je

= d(O, T) udaljenost od O do T. Toka T je posve odreena brojevima polarnim koordinatama

i ,

i

, pa piemo T = (, ). Toku O = (0, 0) nazivamo ishoditem (polom), a

zraku odreenu s = i p0polarnom osi polarnoga koordinatnog sustava pod oznakom (O; , ).veze izmeu pravokutnih i polarnih koordinata i inverzne veze Zadamo li u ravnini i

pravokutni koordinatni sustav (O'; i, j) tako da bude O' = O i i= p0 lako emo ustanoviti koje su

veze izmeu Kartezijevih i polarnih koordinata bilo koje toke T u : x = cos , y = sin ; , = arctan.


11/25

10.cilindrini koordinatni sustavNeka je bilo koja ravnina u prostoru. Neka je u dan polarni

sustav (O; , ). Neka je qpravac tokom O okomit na ravninu . Napokon, neka je na q dan

koordinatni sustav (O: k), pa ga nazivamo Z-osi. Time je u prostoru definiran cilindrini

koordinatni sustav (O: , , ) u kojemu se svakoj toki T moe pridijeliti ureena trojka (, , ),

gdje su i polarne koordinate, u sustavu (O; , ) okomite projekcije T' toke T na ravninu , a

je koordinata, u sustavu (O, k), okomite projekcije T toke T na pravac q.veze izmeu pravokutnih i cilindrinih koordinata i inverzne vezex= cos , y = sin , z= ;

= , = atctan , = z.

11.sferni koordinatni sustavNeka je bilo koja ravnina u prostoru i neka je u zadan polarni

koordinatni sustav (O: , ). Neka je qpravac tokom O okomit na ravninu i neka q nosi

koordinatni sustav (O:k

), tj. Z-os. Oznaimo s T okomitu projekciju na ravninu po volji

odabrane toke T, T O, u prostoru. Tada su posve odreeni brojevi r = d(O, T) > 0, kut izmeu radijus-vektora i k i kut izmeu p0 i radijus vektora , kojenazivamo sfernim koordinatama toke T.Dobiveni sustav oznaujemo s(O: r, , ).

veze izmeu pravokutnih i sfernih koordinata i inverzne veze Zadamo li u prostoru pravokutni

koordinatni sustav (O: i,j, k) i sferni sustav (O: r, , ), tako da bude O = O, p0= ii da im se Z-

osi podudaraju moemo odrediti veze izmeu pravokutnih i sfernih koordinata bilo koje toke T:

x = cos sin , y = sin sin , z = rcos ; , = arccos , = arctan.1.realna funkcija od m realnih varijabliPreslikavanje koje svakoj toki izpodruja definicije D pridruuje realan broj zovemo realna funkcija od n realnih varijabla.Koristimo oznaku T f (T), ili (x1,x2, ...,xn) f(x1,x2, ...,xn), .uobiajeni naini zadavanja realne funkcije od m realnih varijabli Realne funkcije vie

varijabli moemo zadati eksplicitno, tablinoi implicitno.

Explicitnoanalitiki izraz koji sadri varijable (x1,x2, ...,xn), a po kojem se izraunava vrijednost

f(x1,x2, ...,xn).

Eksplicitno se funkcija zadaje pomou pravilay = f (x), gdje je f(x) izraz koji sadri samo nezavisnu

varijablu . Dakle, eksplicitno zadana funkcija je preslikavanjef : DKpri emu su domena i

kodomena podskupovi skupa . Domena je skup svih vrijednosti nezavisne varijable za kojeizraz f (x) ima smisla. Pri tome jednoj vrijednosti nezavisne varijable x e D odgovara samo

jednavrijednost zavisne varijable y.Primjer eksplicitno zadane funkcije je Domenu funkcijeodreujemo iz definicija elementarnih funkcija. Znamo da se ne smije dijeliti s nulom, a kako je kosinus

jednak nula u svim tokama , zakljuujemo da

je .

TablinoFunkcija f moe se zadati tablicom. Ovakav nain zadavanjafunkcije moe biti koristanu praksi. Naime, esto se funkcijom modeliraju razliite fizikalne pojave, pa se moe dogoditi da je

pri eksperimentalnim mjerenjima izmjerena vrijednost samo u odreenomkonanom broju toaka.


12/25

Tada se vrijednost funkcije u ostalim tokama interpolira glatkim krivuljama (najee su to

polinomi)

ImplicitnoFunkcija moe biti zadana i implicitno jednadbom F(x1,x2, ...,xn,y) = 0, pri emu je

F(x1,x2, ...,xn,y) analitiki izraz koji povezuje varijable (x1,x2, ...,xn) iy. Implicitno se funkcija

zadaje pomou pravilaF(x,y)=0gdje je F(x,y) izraz koji sadri nezavisnu varijablu i zavisnuvarijablu y . Primjer implicitno zadane funkcije je

Domenu funkcijeponovo odreujemo iz definicija elementarnih funkcija, ali u ovom sluaj potrebne su

dodatne transformacije. Funkcija je inverzna funkcija

Slijedi . Funkciju moemo zapisati i kao

2.

graf realne funkcije od m realnih varijabli Funkcijski graf Gf za , jepodskup od . Stoga je nacrtati ga (djelomino) mogue samo za m2.U sluaju m= 2 crtanjem istiemo samo neke njegove vane podskupove. To su, najee, presjeci

Gf odabranim ravninama u prostoru . Ako su te ravnine usporedne s ravninom z = 0(koordinatnom XY-ravninom), dobivene presjeke nazivamo razinskim krivuljama funkcije f (ili

grafa Gf). Po tomu, svaki broj odreuje jednu razinsku krivulju jednadbom f(x,y) = z0.Dakle, na svakoj razinskoj krivulji su funkcijske vrijednosti nepromijenjive.

Slino se u sluaju , dakle , govori o razinskim plohama (ili nivo-plohama) funkcije f. Pritom svaka jednadba f(x, y, z) = u0, , odreuje tono jednupripadnu razinsku plohu na kojoj su sve funkcijske vrijednosti jednake u0.

3.

standardna euklidska udaljenost u .otvorena kugla Za bilo koju toku i bilo koji broj , skup nazivamo otvorenom kuglom polumjera oko tokex0.okolina toke Rei emo da je skup

okolina toke

ako postoji neki

takav

da je kugla .otvoren skupZa skup emo rei da je otvoren ako je on unija neke mnoine (otvorenih)kugala


13/25

4.

gomilite skupaNeka je i . Rei emo da je toka x0gomilite skupa X akosvaka okolina odx0sijee skup X\{x0}.

zatvoren skupZa skup X kaemo da je zatvoren ako sadri sva svoja gomilita.

unutranja toka skupaToka je unutranja toka skupa X ako postoji okolina od x kojaje podakup od X.

izolirana toka skupaAko za toku postoji neka okolina koja ne sijee skup X\{x} ondakaemo da jexizolirana toka skupa X.omeen skupSkup X je omeen ako postoji neka kugla koja ga sadri.

5.granina vrijednost (limes) niza toaka u od m realnih varijabli Rei emo da je toka

granina vrijednost niza (xn) u

ako

.

6.

granina vrijednost funkcije fod mrealnih varijabli u toki Neka su dani funkcija i gomilitex0od X. Rei emo da je broj granina vrijednost funkcije f utokix0ako . Zapis oznaava da je L granina vrijednost (limes) funkcijefu tokix0.

U sluaju m= 2 zapis oznaava da je Lgranina vrijednost (limes) funkcijefu toki (x0,y0).

7.

uzastopni limesi za funkciju dviju varijablaNeka je . Ako postojeuzastopni limesi i onda jeL1= L =

L2.

8.

neprekidnost funkcije u toki (na skupu ) Funkcija f jeneprekidna u toki ako je . Ako je f neprekidna u svakoj toki kaemo da je f neprekidna na skupu A, a ako je A = kaemo da je f neprekidnafunkcija.

veza neprekidnosti funkcije f u toki i prirasta f (x) = f (x) f (x0) Funkcija f jeneprekidna u toki T0 ako i samo ako je

ili ekvivalentno

, odnosno, ako i samo ako prirast funkcije f u toki T0 tei k nuli imprirasti svih varijablixiistovremeno tee k nuli.


14/25

8./1osnovna svojstva neprekidnih funkcija Svojstva neprekidnih funkcija vie varijabli su slina

svojstvima neprekidnih funkcija jedne varijable. Osnovna svojstva su:

1. Neka je funkcijafneprekidna i neka je f (T0) > 0 (< 0) u nekoj toki . Tada postojiokolina toke T0za koju vrijedi .

2. Neka je funkcijafneprekidna i neka je

zatvoren i omeen podskup domene

. Tada

funkcijafna skupu A dostie svoju najmanju i svoju najveu vrijednost u nekim tokama.Drugim rijeima, postoje toke takve da je ,odnosno .

3. Ako su funkcije , neprekidne, tada su zbrojf + g, razlikafg, produktfgi kvocijentf / g(uz uvjetg 0) takoer neprekidne funkcije.

9.

prva parcijalna derivacija funkcije u toki po varijabli Parcijalna derivacija funkcije po varijabli xi u toki je derivacija funkcije jedne varijable , u toki . Dakle, .funkcija dviju varijabli parcijalna derivacija po x:

,parcijalna derivacija poy:

geometrijska interpretacija:Da opiemo geometrijsko znaenje parcijalne derivacije po xu (x0,y0),

presijecimo graf funkcije f ravninom s jednadbom y = y0, koja je usporedna s xz-ravninom.Dobijemo krivulju u toj ravnini kod koje se mijenjaju vrijednosti x i zprema formuli z = f(x, y0),

koja prolazi tokom (x0, y0, z0), gdje jez0= f(x0, y0). Poput injenice da je derivacija funkcije jedne

varijable u toki jednaka koeficijentu smjera (nagibu) tangente na graf te funkcije u toj toki za

funkcijufdviju varijablax,y, parcijalna derivacija je nagib tangente na gornju krivulju u

toki (x0, y0, z0). Tu je nagib tangens kuta to ga tangenta ini s novomx-osi.

10.

derivabilnost funkcije u toki (na skupu )Ako funkcijafimau toki x0 parcijalnu derivaciju po svakoj varijabli x

i, i = 1, ..., m, onda kaemo da je funkcija f

derivabilna u tokix0. Ako jefderivabilna u svakoj toki skupa , onda kaemo da je funkcijafderivabilna na skupuA.

derivabilnost i neprekidnost Za realne funkcije jedne varijable derivabilnost povlai

neprekidnost. Za funkcije vie varijabli to openito ne vrijedi.


15/25

11.

diferencijabilnost funkcije u toki (na skupu ) Neka jefunkcija f derivabilna u toki T0 i neka je . Ako je gdje je funkcija za koju vrijedi

, tada je funkcijafdiferencijabilna u toki T0, a izraz

je totalni diferencijal (krae diferencijal) funkcije f u toki T0. Funkcija je

diferencijabilna na skupu A ako je diferencijabilna u svakoj toki od A.

diferencijabilnost i neprekidnostFunkcijafkoja je diferencijabilna u toki T0nuno mora biti

neprekidna u toj toki.

diferencijal df (x0)Neka jefunkcijaf(x) derivabilna u tokix. Diferencijal funkcijefu tokixje

izraz .dovoljan uvjet diferencijabilnostiAko parcijalne derivacije , ..., postoje na otvorenomkrugu K za neki > 0, i ako su , ..., neprekidne u toki , tada jefunkcijaf(x1, ..., xn) diferencijabilna u toki (x1, ..., xn).

osnovna pravila diferenciranjaOsnovna pravila za diferenciranje koja vrijede za funkcije jedne

varijable ostaju valjana i za funkcije vie varijabla kad god imaju smisla:

a) ;b) ;c) ;d) .

12.

jednadba tangencijalne ravnine na plohu z= f(x , y)u toki (x0, y0, f(x0, y0))Neka je . Ako je fdiferencijabilna u toki (x0, y0), onda postoje parcijalne derivacije f'x(x0, y0) if'y(x0, y0), te moemo definirati dva pravca txi tyu prostoru koji prolaze tokom (x0, y0, z0), gdje jez0=f (x0, y0): , . Kad gledamodvodimenzionalno, pravac txmoemo interpretirati kao tangentu na krivulju z = f (x, y0) u toki s

koordinatama (x0, z0). Slino, pravac tymoemo interpretirati kao tangentu na krivuljuz = f (x0, y) u

toki s koordinatama (y0, z0). Pravci txi tyimaju vektore smjera sx= i +f'x(x0, y0)ki sx= j +f'y(x0,

y0)k, te odreuju tono jednu ravninu Rt koja prolazi tokom (x0, y0, z0) i ima vektor normale

.Prema tome, jednadba

ravnine Rt glasi .RavninaRtje tangencijalna ravnina na plohuz = f (x, y) u toki (x0, y0, z0).

linearna aproksimacija funkcije z = f (x, y) u toki (x0, y0)


16/25

13.teorem o sloenom deriviranju (deriviranje kompozicija) Neka su zadane funkcije , pri emu je . Tadamoemo definirati kompoziciju formulom

. Ako su funkcije 1, ..., ki fdiferencijabilne,

onda je i funkcija F takoer diferencijabilna, a njene parcijalne derivacije su dane formulom , gdje je .formule za sloeno deriviranje za funkcije dviju i triju varijabliDvije varijable: Neka jez=f

(x, y) diferencijabilna funkcija po varijablama x i y, te neka su x = g (u, v) i y = h (u, v)

diferencijabilne funkcije po varijablama ui v, tada je .

Tri varijable:F'x= f'u'x+ f'v'x, F'y= f'u'y+ f'v'x, F'z= f'u'z+ f'v'z.

14.parcijalne derivacije viih redova parcijalna derivacija drugog reda parcijalna derivacija

parcijalne derivacije; induktivno se definira parcijalna derivacija n-tog reda

Schwartzov teorem Neka je funkcija , derivabilna na nekoj -kugli i neka f ima na toj kugli i parcijalnu derivaciju drugoga reda po x i y redom, . Ako je funkcija neprekidna u toki (x0, y0), onda postojiparcijalna derivacija drugoga reda funkcijefpoyixi pritom je

.diferencijali viih redova(r + 1)-vi diferencijal je diferencijal r-tog diferencijala,

.

15.

Taylorova formulaAko funkcija , ima na nekoj -okolini toke neprekidne derivacije do ukljuivo (n+ 1)-og reda, n 0, onda za svaku toku vrijedi Taylorova formula:

, gdje je .teoremi o implicitno zadanoj funkciji (dviju, triju varijabla) i implicitne derivacije

Funkcija dviju varijabli:Neka je F definirana na otvorenom skupu koji sadri toku T0=(x0, y0) i neka je F(x0, y0) = 0 i Fy(x0, y0) 0. Ako su Fxi Fyneprekidne funkcije na U, tada je F(x, y)

= 0 implicitno definiraykao funkciju oaxna nekoj okolini odx0i pri tome je derivacija .

Funkcija triju varijabli:Neka je u = F(x, y, z) funkcija definirana na otvorenom skupu kojisadri toku T0= (x0, y0, z0). Ako je F(T0) = 0, Fz(T0) 0 i Fx, Fy, Fzsu neprekidne funkcije na U,

tada F(x, y, z) = 0 implicitno definira funkciju z = f(x, y) u nekoj okolini toke (x0, y0) i njene

parcijalne derivacije su .


17/25

16.lokalni minimum (maximum) Funkcija f ima u toki T0 lokalni minimum (maximum) ako

postoji okolina takva da za sve vrijedif (T) >f(T0) (f (T) f(T0) (f (T) 0 za sve indekse r, ondafu toki T0ima lokalni minimum;b) Ako je r< 0 za sve neparne indekse ri r> 0 za sve parne indekse r, ondafu toki T0ima

lokalni maksimum;

c) Ako je r< 0 za barem jedan paran indeks rili ako postoje dva neparna indeksa ri r'takva

da je r> 0 i r'< 0, ondafu toki T0nema lokalni ekstrem;d) Ako je r 0 za sve indekse r i r= 0 za barem jedan indeks r ili ako je r 0 za sve

indekse ri r= 0 za barem jedan indeks r, ondafmoe ali i ne mora imati lokalni ekstrem u

toki T0.

teoremi o dovoljnim uvjetima ekstrema za funkcije dviju i triju varijabli Dvije varijable:

Neka je T0= (x0, y0) Dstacionarna toka funkcije i neka su druge parcijalnederivacije funkcije f neprekidne na nekoj -kugli . Neka je . Tada vrijedi:

a) Ako jeD(T0) > 0 ifxx(T0) > 0, tadafu toki T0ima lokalni minimumf(T0);

b) Ako jeD(T0) > 0 ifxx(T0) < 0, tadafu toki T0ima lokalni maximumf(T0);c) Ako jeD(T0) < 0, tadafu toki T0nema ekstrem;d) Ako je D(T0) = 0, ne moemo zakljuiti nita o ekstremu (moe biti ekstrem ili sedlasta

toka), potrebno daljnje ispitivanje.

Tri varijable: Neka je T0= (x0, y0, z0) Dstacionarna toka funkcije i neka sudruge parcijalne derivacije funkcije f neprekidne na nekoj -kugli . Neka je ,

i 1=fxx .a) Ako je 3> 0, 2> 0 i 1> 0, tadafu toki T0ima lokalni minimumf(T0);

b) Ako je 3< 0, 2> 0 i 1< 0, tadafu toki T0ima lokalni maximumf(T0);c) U svim ostalim sluajevima kada je 2 0,fu toki T0nema lokalni ekstrem;d) Ako je 2= 0 nema odluke.


18/25

17./1odreivanje globalnih ekstrema funkcije na zatvorenom skupu

a) Nau se stacionarne toke (lokalni ekstremi) funkcijefi vrijednosti odfu njima;b) Nau se toke ekstrema odfna rubu odDi vrijednosti odfu njima;c) Toka kojoj pripada najvea vrijednost odfiz a) i b) je toka globalnog maksimuma, a toka

kojoj pripada najmanja vrijednost odfje toka globalnog minimuma

18.problem vezanog extremaProblem odreivanja toaka u kojima funkcijaz=f(x, y) ima vezane

lokalne ekstreme uz uvjet (x, y) krae zapisujemo .Lagrangeovi multiplikatori Problem vezanog ekstrema

ponekad

rjeavamo uvoenjem Lagrangeove funkcije (Lagrangeijana) L (x, y, ) triju nezavisnih varijablax,

y i : L(x, y, ) = f (x, y) + (x, y), . Parametar zove se Lagrangeovmultiplikator.

1.

m-struki integral omeene funkcije f na kvadru K=[a1, b1] ... [am, bm] u Viestruki integral(ili -terostruki integralje integral funkcije varijabli koja je definirana

na zatvorenom -dimenzionalnom kvadru

a definira se slino odreenom integralu funkcija .

Podjela kvadra K:Neka je , pri emu je , jedan rastav segmenta [ai, b i]. Neka Dioznaava skup svih rastava segmenta [ai, bi]. Kartezijevprodukt D = D1 ... Dn, , zove se rastav (dekompozicija) kvadra K. Skup svih rastavakvadra K oznait emo s .

Integralna suma funkcije f: Neka je omeena funkcija, tj. neka postoje takvida je m f (x1, ..., xn) M, . Tada svakom rastavu moemo pridruitigornju integralnu sumu

,

gdje je i donju integralnu sumu , gdje je .Viestruki integral: Ako je inf{g(f, D): } = sup{g(f, D): } = I, broj Ije odreeni(viestruki, n-terostruki) integral funkcije fna kvadru K. Kaemo da je funkcija f integrabilna na

kvadruKi piemo .dvostruki integral na pravokutniku K=[a, b] [c, d] u Neka je neprekidna funkcija definirana na pravokutniku K = [a, b] [c, d]. Tada je

.trostruki integral na kvadru K=[a, b] [c, d] [s, t] u analognodvostrukom integralu.


19/25

2.

m-struki integral omeene funkcije na omeenom skupu Neka je omeena funkcija i neka je D sadrano u nekom kvadru K (D ne mora biti kvadar).Funkciju definiramo kao proirenje funkcijef: .Ako je funkcija g integrabilna na kvadru K, integral funkcije f na skupu D definiramo kao . Skup D je podruje integracije.dvostruki integral na omeenom skupu Neka je zatvoreno ogranieno podruje u

Neka je ograniena funkcija na Neka je minimalni

pravokutnik koji sadri i neka je Kaemo da je

integrabilna na ako je integrabilna na i broj

zovemo dvostrukim integralom funkcije na .

trostruki integral na omeenom skupuNeka je zatvoreno ogranieno podruje u i neka

je ograniena funkcija.

Oko opiemo minimalnikvadar i definiramo novu funkciju

Kaemo da je integrabilna funkcija na ako je integrabilna na i broj

zovemo trostrukim integralom

funkcije po podruju


20/25

3.

geometrijska interpretacija dvostrukog integrala na omeenom skupu u sluaju neprekidne inenegativne funkcije

Dvostruki integral koristimo za raunanje volumena (obujma) i povrine. Neka je podintegralna

funkcija , ,neprekidna (tada je i omeena) inenegativna, i neka jepodruje omeeno s po dijelovima glatkom jednostavnom zatvorenom krivuljom

4.2.Tada je

vrijednost pripadnog dvostrukog integrala jednaka volumenu tijela koje je omeeno

bazom u -ravnini i plohom ,

Izraz oznaavaelement povrine, odnosno povrinu pravokutnika sa

stranicama i .

Ako je , tada dvostruki integral daje povrinu podruja (volumen tijela s

bazom visine 1 jednakje povrini baze):

Vrijednost dvostrukog integrala jednaka je volumenu tijela koje je omeeno bazom D u xy-ravnini i

plohomz=f(x, y). Ako jez= 1, tada dvostruki integral daje povrinu podruja D.

4.

Fubinijev teorem o izraunavanju dvostrukog integrala na pravokutniku K =[a, b] [c, d] Neka je neprekidna funkcija, pri emu je

pravokutnik. Tada vrijedi:

(i) funkcija je R-integrabilna na [c, d];(ii) Funkcija

je R-integrabilna na [a, b];

(iii) , tj. .Slino, izmjena daje .Dokaz:Budui da je funkcija fneprekidna, to je, za svaki , neprekidna i funkcija , pa je stoga i integrabilna. Slijedi da je funkcija dobro definirana.Dokaz da je F integrabilna: Promatrajmo bilo koju razdiobu . Po definiciji je D =D1D2, pri emu jeD1razdioba od [a, b] i D2razdioba od [c, d]. Za integralnu sumu s obzirom na

D1 dobivamo

. Budui da neprekidnost na

pravokutniku povlai omeenost, to postoje takvi da je mij f (ti, y) Mijza svaki , svaki i svaki iij. To povlai ,gdje sus(f;D) i S(f;D) redom pripadna donja i gornja Darbouxova suma polazne funkcijef. Neka
http://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/footnode.html#foot15292http://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/footnode.html#foot15292http://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/footnode.html#foot15292


21/25

su s (F ; D1) i S (F ; D1) redom pripadna donja i gornja Darbouxova suma polazne funkcije F s

obzirom na razdiobuD1. Razvidno je da vrijedis (F; D1) = inf {(F; D1; t1, ..., tk) | , i= 1, ..., k} i S (F; D1) = sup {(F; D1; t1, ..., tk) | , i = 1, ..., k}. Uvaavajui prethodnenejednakosti zakljuujemo s (f ; D) s (F ; D1) S (F ; D1) S (f ; D).Budui da je funkcija f

integrabilna naK, to za svaki > 0 postoji neki takav da bude S (f;D) -s(f;D) < . Toonda povlai is(F;D1) - S(F;D1) < , to znai da je funkcijaFintegrabilna.

Tvrdnja (iii): Za svaku razdiobu i svaku razdiobu vrijedi i . Prema tome, za svaki > 0postoji dostatno fina razdiobaDtakva da je . To upravoznai da je .

5.Fubinijev teorem o izraunavanju dvostrukog integrala na omeenom podruju Neka je

preslikavanje, pri emu se moe zapisati kao . Tada je . Posve slino, kad se moe zapisati kao vrijedi .promjena poretka integracijeRezultat ne ovisi o redosljedu integriranja.

6.

Fubinijev teorem za izraunavanje trostrukog integrala na kvadru Neka je preslikavanje, pri emu je kvadar. Tada vrijedi:

(i) funkcija je integrabilna na [c, d] [r, s];(ii) Funkcija je integrabilna na [a, b];(iii)

, tj.

=

.

7.

Fubinijev teorem o izraunavanju trostrukog integrala na omeenom podruju Neka je preslikavanje, pri emu se Vmoe zadati sa , a okomita projekcija X skupa V na xy-ravninu se moe zadati sa .Tada je .Posve slino, kad se okomita projekcija skupa Vna xy-ravninu moe zapisati sa

, dobivamo

.promjena poretka integracije Rezultat ne ovisi o redosljedu integriranja. Ukupno ima 6moguih poredaka integracije:xyz, xzy, yxz, yzx, zxy, zyx.


22/25

1.

bijektivna C1 transformacija x= (u, v), y= (u, v)Neka su

ravninska podruja i

neka je bijektivno preslikavanje odreeno sa , gdje su funkcije koje imaju neprekidne prve parcijalne derivacije. Oznaimosa inverzno preslikavanje. Za preslikavanje s ovim svojstvima kaemo da je C1transformacija koja Y preslikava u X.

Jacobijan Determinanta naziva se Jacobijeva determinanta ili Jacobijan

transformacije i oznaava sa

.teorem o zamjeni varijabla u dvostrukom integraluNeka je otvoren ogranien skupkoji ima povrinu. Neka je injekcija klase C1. Pretpostavimo da je Jacobijevadeterminanta J(x) razliita od 0 za svaki i da su | J(x)| i ograniene funkcije na C.Pretpostavimo da je D = (C) ima povrinu. Ako je integrabilna funkcija, tada je funkcija integrabilna na C i vrijedi .

2.

bijektivna C1 transformacija x= (u, v, w), y= (u, v, w), z= (u, v, w)Neka je

inegrabilna funkcija na podruju , a neka je bijektivna C1transformacija iji Jacobijan ne iezava. Tada je .Jacobijan

-

.

teorem o zamjeni varijabla u trostrukom inegraluNeka je zadan integral , i neka je funkcijafneprekidna i integrabilna na skupuD. Nekaje i neka su diferencijabilne funkcije za koje je preslikavanje definirano sp(u, v, w) = ( (u, v, w), (u, v, w), (u, v, w)) bijekcija. Ako je Jakobijan J (u, v, w)0, , tada je .3.

teorem o zamjeni varijabla u m-strukom integralu Neka je

injekcija

klase C1te neka je diferencijalD(P) regularan operator za sve . Tada za svaki kompaktanJ-izmjerljiv skup i svakuR-integrabilnu vrijedi .


23/25

4.izraunavanje dvostrukog integrala prijelazom na polarne koordinateNeka je podruje

zadano u polarnom koordinatnom sustavu kao D= {(r, ) : 1 1, r1() r r2()},gdje su neprekidne funkcije. Tada koristimo supstitucijux = r cos,y = rsin .Osim primjene teorema o zamjeni varijabla u dvostrukom integralu, do formule za izraunavanjeintegrala pomou polarnih koordinata moemo doi i pomou elementa povrine u polarnim

koordinatama (formula za povrinu krunog isjeka).

pri emu izraz moemo zanemariti jer tei k nuli bre od izraza . Prematome, vrijedi

Polarne koordinate je prirodno koristiti u sluajevima kada se podruje integracije lako opisuje

njima. Koristimo ih iako ne zadovoljavaju uvjete teorema o zamjeni varijabli, jer ih moemo

zadovoljiti iskljuivanjem skupa mjere 0 iz podruja integracije, to i tako ne utjee na integral.

5.pomaknute polarne koordinate

eliptike polarne koordinate

6.izraunavanje trostrukog integrala prijelazom na cilindrine koordinateCilindrini

koordinatni sustav odnosno cilindrine koordinate zadane su transformacijama:x = rcos ,y = r

sin ,z = z, pri emu jer 0 i . Dakle, element volumena jednak jeumnoku povrine baze i visine, s time to se povrina baze rauna u polarnimkoordinatama (vidi sliku4.9)

pa je
http://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/node78.html#fig:cilkhttp://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/node78.html#fig:cilkhttp://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/node78.html#fig:cilkhttp://lavica.fesb.hr/mat2/predavanja/node78.html#fig:cilk


24/25

7.izraunavanje trostrukog integrala prijelazom na sferne koordinateSferne koordinate ili

prostorne polarne koordinate zadane su transformacijama:x = rsin cos ,y = rsin sin ,z = rcos , pri emu je r 0, a obino se odabire . Uz oznaku = rsin moemo pisati:x= cos ,y= sin ,z = rcos .Dakle, u sfernim koordinatama vrijediKod prelaza iz Kartezijevog u sferni koordinatni sustav moemo uzeti

Nadalje, ako je tada je . Iz definicije sfernihkoordinata slijedi da je preslikavanje

bijekcija. Funkcije , i su diferencijabilne, a Jakobijan glasi

Konano, zbog je pa je

8.

izraunavanje povrine ravninskog lika pomou dvostrukog integralaAko jez = f (x, y) = 1,tada dvostruki integral daje povrinu podrujaD: .


25/25

9.izraunavanje volumena prostornog tijela pomou trostrukog integralaAko jef(x, y, z) = 1,

tada trostruki integral daje volumen podrujaD:

.

10.

glatka i po djelovima glatka ploha

Povrina:

Documents

Matematika 2-teorija