DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Diskretna matematika 1 / Teorija grafov1. Osnovni pojmi

Vladimir Batagelj

Univerza v Ljubljani

FMF, matematika – Financna matematikaLjubljana, december 2013 / februar 2008

1 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Kazalo

1 Primeri2 Osnove3 Podgrafi4 Homomorfizem5 Stopnje6 Posebni grafi

Pajek

Ucilnica: http://ucilnica.fmf.uni-lj.si/course/view.php?id=39Razlicica: 24. december 2013

2 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Primer 1: The Tube

4

4

4

32

2

3

3

3

2

456

5

56

3 2

BCD A

1

1

Self colours

Title

Print

Quad Royal Tube Map Version 2 Date

Size

1/9/2005

4 Colour Process + 4 Self Colours S/S

Pantone®

485 CPantone®

470 CPantone®

235 CPantone®

072 C

Process colours

River Thames

River Thames

A

B

C

D

E

F

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9

A

B

C

D

E

F

Tubemap

D2 Acton CentralD2 Acton TownD6 AldgateD7 Aldgate EastD8 All SaintsB2 AlpertonA1 AmershamC6 AngelB5 ArchwayA6 Arnos GroveB6 Arsenal

C4 Baker Street F4 BalhamD6 BankC6 BarbicanC9 BarkingB9 BarkingsideD3 Barons CourtC3 BayswaterE9 Beckton

D9 Beckton ParkC9 BecontreeB5 Belsize ParkD6 BermondseyC7 Bethnal GreenD5 BlackfriarsB7 Blackhorse RoadD8 BlackwallC4 Bond StreetE6 BoroughD1 Boston ManorA6 Bounds GreenC8 Bow ChurchC7 Bow RoadB4 Brent CrossF5 Brixton C8 Bromley-by-BowB3 BrondesburyB3 Brondesbury ParkA8 Buckhurst Hill A4 Burnt Oak

B6 Caledonian RoadB6 Caledonian Road

& BarnsburyB5 Camden RoadB5 Camden TownD7 Canada WaterD8 Canary WharfD8 Canning TownD6 Cannon StreetB7 CanonburyA3 Canons ParkA1 Chalfont & LatimerB5 Chalk FarmC5 Chancery LaneD5 Charing CrossA1 CheshamA9 ChigwellD2 Chiswick ParkA1 ChorleywoodF4 Clapham CommonF4 Clapham North F4 Clapham SouthA6 Cockfosters 

A4 ColindaleF4 Colliers WoodD5 Covent GardenE8 Crossharbour

& London ArenaA2 CroxleyD9 Custom HouseF8 Cutty SarkD9 Cyprus

B9 Dagenham EastB9 Dagenham HeathwayB7 Dalston KingslandA8 DebdenF7 Deptford BridgeC8 Devons RoadB3 Dollis Hill

C1 Ealing BroadwayD2 Ealing CommonD3 Earl's CourtC2 East ActonA2 EastcoteA5 East Finchley

C8 East HamD8 East IndiaE3 East PutneyA4 EdgwareC4 Edgware Road (Bakerloo)C4 Edgware Road

(Circle/District/H&C)E5 Elephant & CastleB9 Elm ParkF7 Elverson RoadD5 EmbankmentA8 EppingC5 EustonC5 Euston Square

B9 FairlopC6 FarringdonA5 Finchley CentralB4 Finchley RoadB4 Finchley Road & FrognalB6 Finsbury ParkE3 Fulham Broadway

E9 Gallions Reach

B8 Gants HillD3 Gloucester RoadB4 Golders GreenD3 Goldhawk RoadC5 Goodge StreetB5 Gospel OakA9 Grange Hill C5 Great Portland StreetB1 GreenfordF7 GreenwichD4 Green ParkE2 Gunnersbury

B7 Hackney CentralB7 Hackney WickA9 HainaultD3 HammersmithB5 HampsteadB5 Hampstead HeathC2 Hanger LaneB3 HarlesdenA3 Harrow & Wealdstone B2 Harrow-on-the HillE1 Hatton Cross

E1 Heathrow Terminals 1, 2, 3

E1 Heathrow Terminal 4A4 Hendon CentralD8 Heron QuaysA5 High BarnetB6 Highbury & IslingtonA5 HighgateD3 High Street KensingtonA1 HillingdonC5 Holborn C3 Holland ParkB6 Holloway RoadB7 HomertonB9 HornchurchE1 Hounslow CentralD1 Hounslow EastE1 Hounslow WestD4 Hyde Park Corner

A1 IckenhamE8 Island Gardens

E5 Kennington

B3 Kensal GreenB3 Kensal RiseD3 Kensington (Olympia)B5 Kentish TownB5 Kentish Town WestA3 KentonE2 Kew GardensB4 KilburnC3 Kilburn ParkB3 KingsburyC5 King’s Cross St. PancrasD4 Knightsbridge

C3 Ladbroke GroveE5 Lambeth NorthC4 Lancaster GateC3 Latimer RoadD5 Leicester SquareF7 LewishamB8 LeytonB8 LeytonstoneD7 LimehouseC6 Liverpool StreetD6 London Bridge

A8 Loughton

C3 Maida ValeB6 Manor HouseD5 Mansion HouseC4 Marble ArchC4 MaryleboneC7 Mile EndA5 Mill Hill EastD6 MonumentC6 MoorgateA2 Moor ParkF4 MordenB5 Mornington Crescent E8 Mudchute

B3 NeasdenB9 Newbury ParkF7 New CrossF7 New Cross GateC2 North ActonC2 North EalingD1 NorthfieldsD8 North Greenwich

A2 North HarrowB1 NortholtB3 North WembleyB3 Northwick ParkA2 NorthwoodA2 Northwood HillsE9 North WoolwichC3 Notting Hill Gate

A6 OakwoodC6 Old StreetD3 OlympiaD1 OsterleyF5 Oval C4 Oxford Circus

C3 PaddingtonC2 Park RoyalE3 Parsons GreenC1 PerivaleD5 Piccadilly CircusE4 PimlicoA2 PinnerC8 Plaistow

D8 PoplarB3 Preston RoadD9 Prince RegentC8 Pudding Mill LaneE3 Putney Bridge

A3 QueensburyB3 Queen’s ParkC3 Queensway

D3 Ravenscourt ParkB2 Rayners LaneB8 RedbridgeC4 Regent’s ParkE2 RichmondA1 RickmansworthA8 Roding ValleyD7 RotherhitheD9 Royal AlbertC3 Royal OakD9 Royal VictoriaA1 RuislipB1 Ruislip GardensA2 Ruislip Manor

C5 Russell Square

D4 St. James’s ParkC4 St. John’s WoodC6 St. Paul’sB7 Seven SistersD7 ShadwellC3 Shepherd’s Bush

(Central)D3 Shepherd’s Bush

(Hammersmith & City)C7 Shoreditch E9 SilvertownD4 Sloane SquareB8 SnaresbrookD2 South ActonD2 South EalingE3 SouthfieldsA6 SouthgateB2 South HarrowD4 South KensingtonB3 South KentonE8 South QuayB1 South Ruislip

E5 SouthwarkF4 South WimbledonB8 South WoodfordD2 Stamford BrookA3 StanmoreC7 Stepney GreenF5 StockwellB3 Stonebridge ParkC8 StratfordB2 Sudbury HillB2 Sudbury Town E7 Surrey QuaysB4 Swiss Cottage

D5 TempleA8 Theydon BoisF4 Tooting BecF4 Tooting BroadwayC5 Tottenham

Court RoadB7 Tottenham HaleA5 Totteridge &

WhetstoneD7 Tower Gateway

D6 Tower HillB5 Tufnell ParkD2 Turnham Green A6 Turnpike Lane

B9 UpminsterB9 Upminster BridgeC9 UpneyC8 Upton ParkA1 Uxbridge

E4 VauxhallD4 Victoria

B7 Walthamstow CentralB8 WansteadD7 WappingC5 Warren StreetC3 Warwick AvenueE5 WaterlooA2 WatfordB3 Wembley CentralB3 Wembley ParkC2 West Acton

C3 Westbourne ParkD3 West BromptonD7 WestferryA5 West FinchleyC8 West HamB4 West HampsteadB2 West HarrowD8 West India QuayD3 West KensingtonD5 WestminsterA1 West RuislipC7 WhitechapelC3 White CityB3 Willesden GreenB3 Willesden JunctionE3 WimbledonE3 Wimbledon ParkA8 WoodfordA6 Wood GreenA5 Woodside Park

µ:

Ÿ Á :

Ÿ Á

:

Á:

Á : µŸ :

Á µ

Á µÁ :

Á µ

Ÿ ÁÁ µ

:

ÁµÁŸ ÁÁ

Ÿ Á :Ÿ

µ

Á : µ: µÁ : µ

Ÿ Á :Ÿ Á : µ

:

Ÿ Á : µ

ÁŸ Á : µÁÁÁŸ Á :

Ÿ Á

µ

Ÿ Á :Á µÁ µÁ µ

Á: µ

Ÿ ÁÁ µµ:

Á :

µ

Ÿ :Ÿ Á

Á µÁ µÁŸ Á

µÁ µ

Ÿ Á : µ: ∏

Ÿ ::

Ÿ Á

Á :µ

Á µ

Á :Á

:

Ÿ Á :Á µ:

Á

Ÿ Á :Á µ

Á :

Ÿ µŸ Á :Ÿ Á

: µ ∏

:

µŸ Á :ÁŸ

Ÿ Á µ

Á

Ÿ ÁÁŸ : µŸ Á µ

Ÿ Á: µ

Á

: µ

Á : µÁ : µ Á :Á : ∏

ÁÁ

Á : µ:

Ÿ :µÁ : ∏: µ

Ÿ Á

Á :

Ÿ

Ÿ Á :Ÿ :

µ

:

Ÿ Á :Á µ

Ÿ Á :Á :Ÿ Á : µ

Á :Á :

Á :Ÿ Á ::

Ÿ Á :

: µŸ Á :

: :

ÁŸ Á :: ∏

Ÿ Á :Ÿ Á

Á : µ:

Á µµÁ

Ÿ Á :

ÁŸ Á :Ÿ Á :

Ÿ Á : µŸ Á :

ÁÁ µ

Á µŸ Á :Ÿ ::

Á :

Á :

Ÿ Á :

Ÿ:

µŸ Á

Á µ

Ÿ Á :Á :Ÿ Á : µ

µ:

Ÿ Á : µÁÁ

Ÿ :

Ÿ Á : µŸ Á :

µ

Ÿ Á : µ

: µ

Á µ  

: ∏

Ÿ ÁŸ

Á :Ÿ Á ::

Ÿ Á :Á :

µ: µµ:

:

µ

µŸ ::

:

Á :Á : µŸ Á : µ

Ÿ Á : µÁŸ Á : µ

231124D1

2/342

131145213

35222132114

3/42232

2/32254

22

22223125C211D53B22

2/35

4312

A3

2/33

5526

2/323

33

1/2253

3/42/32/3511

1/26

2/31611

5142222

3

413212514

2/313

2252

2/333355

5/6

6

63/4252316122264451

62

2

222224

3/422411

21121

2/33

3/4211

6

22/31112411

6/A422

3422

2/333

2/3

5544663

1/2

512421

13241153

243

2/32

421

25414A52323656

1

121322

2

2314333451425

13/442522334422

16331

34

1

12

2/33

66436

1/21

342121A443

2224325221622

2/3333434

A

B

C

D

F

G

H

I

K

L

M

N

O

Q

P

R

S

T

V

W

U

E

Grid Stations Zones Grid Stations Facilities Zones

Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities Zones Grid Stations Facilities ZonesIndex to stations

Sponsored by

Travel information

Step-free accessStations displaying this symbolin the index have step-freeaccess between the street andplatforms. This facility is usefulfor passengers with luggage,shopping or buggies as well asfor wheelchair users

To plan a journey in a wheelchair,see our leaflet ‘Tube access guide’ or call

0845 330 9880

For journey planning and travel advice call

µ

Station facilitiesThe index on this map also shows

Other RailwaysFor a map of all Railways in Greater London, consult the High Frequency Services Map nearby

‰ Car parksBicycle parking

Stations with toilets on siteor nearby

Á

∑

Travel Information Centres∏

Facilities

Transport for London

Key to lines and symbols

Central

Bakerloo

District

Circle

East London Docklands Light Railway

Northern

Metropolitan

Piccadilly

Victoria

Waterloo & City

National Rail

Connections withNational Rail

Connection withTramlink

Airport interchange

Connections withriverboat services

Interchange stations

Poster 09.05

OpensDecember 2005

020 7222 123424 hour travel information

020 7918 3015Textphone

www.tfl.gov.ukWebsite

020 7918 3015Textphone

www.tfl.gov.ukWebsite

Jubilee

Hammersmith & City

Covent Garden station gets very busy at weekends and in the evenings, but you can avoid the crowds by walking there from Holborn, Leicester Square or Charing Cross. The short walk is clearly signposted above ground and maps are on display at each station.

This diagram is an evolution of the original design conceived in 1931 by Harry Beck

Bermondsey

SouthwarkWaterloo East

Chalfont &Latimer

Moor Park

NorthwoodNorthwoodHills

Pinner

Eastcote North Harrow

Maida Vale

Queen's ParkKensal Green

Neasden

Dollis Hill

Willesden Green

Kilburn

WestHampstead

Swiss CottageSt. John's Wood

Finchley Road

Amersham

Ruislip Manor

Chesham

Chorleywood

Rickmansworth

Watford

Croxley

Harrow-on-the-Hill

PrestonRoad

Hillingdon Ruislip

Rayners Lane

West Harrow NorthwickPark Wembley

Park

Ealing Common

EalingBroadway

GreatPortland

StreetBakerStreet

FarringdonBarbican

Moorgate

Aldgate

EustonSquare

ActonTown

ChiswickPark

TurnhamGreen

WestActon

EastActon

Shepherd'sBush

StamfordBrook

RavenscourtPark

Hammersmith

WestKensington

West Brompton

Fulham Broadway

Parsons Green

Putney Bridge

East Putney

Southfields

Wimbledon Park

Wimbledon

VictoriaSouthKensington

GloucesterRoad

Embankment

Blackfriars

MansionHouse

Temple

Cannon Street

Bank

Monument

BaronsCourt

Fenchurch Street

Whitechapel

TowerGateway

TowerHill

AldgateEast

Stepney Green

Mile End

BowRoad Bow

ChurchBromley-by-Bow

West Ham

Plaistow

Upton Park

East Ham

Becontree

DagenhamHeathway

Elm Park

Upney

DagenhamEast

Hornchurch

UpminsterBridge

Upminster

High StreetKensington

NottingHill Gate

Bayswater

Kensal Rise Brondesbury

EdgwareRoad

St. James'sPark

SloaneSquare

Westminster

Barking

Latimer Road

Westbourne Park

Finchley Road& Frognal

Ladbroke Grove

Royal Oak

Shepherd'sBush

Goldhawk Road

West Ruislip

Greenford

RuislipGardens

SouthRuislip

Northolt

HangerLane

Perivale

NorthActon

WhiteCity

HollandPark

Paddington

Paddington

ChanceryLaneBond

StreetOxfordCircus

TottenhamCourt Road

St. Paul'sMarbleArch

Queensway

LancasterGate

BethnalGreen

Stratford

Leyton

Leytonstone

Snaresbrook

SouthWoodford

Woodford

Epping

Theydon Bois

DebdenLoughton

Buckhurst Hill

Redbridge

ChigwellRodingValley

Hainault

Fairlop

BarkingsideNewbury

Park

GrangeHill

Wanstead GantsHill

South Ealing

Knightsbridge

Hyde ParkCorner

Green Park

PiccadillyCircus

LeicesterSquare

RussellSquare

Caledonian Road

CaledonianRoad &

Barnsbury

DalstonKingsland

Homerton

Holloway Road

Arsenal

Manor House

Turnpike Lane

Wood Green

Bounds Green

Arnos Grove

Southgate

Oakwood

Cockfosters

Uxbridge Ickenham

ActonCentral

Waterloo

Morden

Colliers Wood Tooting Broadway

South Wimbledon

Tooting BecBalham

Clapham South ClaphamCommon

Clapham NorthClapham High Street 100m

StockwellOval

Kennington

Borough

SouthActon

Old Street

Angel

GoodgeStreet

Euston

MorningtonCrescent

Camden Town

Chalk Farm

Regent’s Park

Belsize Park

Hampstead HampsteadHeath

GospelOak

CanonburyHackneyCentral

HackneyWick

KentishTown West

CamdenRoad

Hendon Central

Colindale

BurntOak

Mill Hill East

High Barnet

Totteridge & Whetstone

Woodside Park

West Finchley

Finchley Central

East Finchley

Highgate

Archway

Tufnell Park

KentishTown

CanadaWater

Canary Wharf

Elverson Road

Deptford Bridge

Harrow &Wealdstone

Kenton

Stanmore

Canons Park

Queensbury

Kingsbury

South KentonNorth Wembley

Wembley Central

Stonebridge ParkHarlesden

Willesden Junction

Kilburn ParkWarwick Avenue

EdgwareRoad

BrondesburyPark

Marylebone

LambethNorth

Elephant & Castle

King's CrossSt. Pancras

CharingCross

Covent Garden

Highbury &Islington

BlackhorseRoad

SevenSisters

WalthamstowCentral

TottenhamHale

FinsburyPark

Pimlico

Brixton

Shoreditch

Wapping

Rotherhithe

Surrey Quays

New CrossNew Cross Gate

Vauxhall

Limehouse

Westferry

DevonsRoad

PuddingMill Lane

West IndiaQuay

Cutty Sarkfor Maritime Greenwich

Greenwich

Lewisham

Blackwall

EastIndia

Warren Street

Edgware

All Saints

Heron Quays

South Quay

Crossharbour &London Arena

Mudchute

Island Gardens

Shadwell

No service between Woodford - Hainault

after 2000 hours

Gunnersbury

Richmond

Kew Gardens

Poplar

London Bridge

Change atChalfont & Latimer

on most trains

No Piccadilly line serviceUxbridge - Rayners Lane

in the early mornings

Special fares apply forprinted single and return

tickets to and from this station

Also served byPiccadilly linetrains early

mornings andlate evenings

100m

100m

Euston 200m

150m

Charing Cross 100m

200m

HeathrowTerminals

1, 2, 3

Hounslow Central

Osterley

Northfields

Boston ManorHounslow

East

HounslowWest

LiverpoolStreet

No Hammersmith & City line serviceWhitechapel - Barking early mornings,late evenings or all day Sundays.

Mondays - Fridays open0700 - 1030 and 1530 - 2030

Saturdays closedSundays open 0700 - 1500

No entry from the streeton Sundays 1300 - 1730

(exit and interchange only)

Waterloo & City lineMondays - Fridays 0615 - 2130

Saturdays 0800 - 1830Sundays closed

At off-peak times most trains run to/from Morden via the Bank branch.To travel to/from the Charing Cross branch please change at Kennington.

Open Mondays -Saturdays

200m

South Harrow

Sudbury Hill

North Ealing

Park Royal

Alperton

Sudbury Town

Mondays - Saturdaysopen 0700-2345

Sundaysopen 0800-2345

Kensington(Olympia)

Earl'sCourt

Holborn

King George V

LondonCityAirport

WestSilvertown

PontoonDock

Opens

December 2005

Opens December 2005

Silvertown

North Woolwich

Royal Victoria

Custom Housefor ExCeL

Prince Regent

Royal Albert

Beckton Park

Cyprus

GallionsReach

Beckton

Canning TownBus to London City Airport

OpenMondays - Fridays

until 2100 onlySaturdays 0730 - 1930

Golders Green

Brent Cross

HeathrowTerminal 4

Hatton Crossfor Heathrow Terminal 4

Bus ser

vice

Improvement work to tracks and stations mayaffect your journey, particularly at weekends.

For help planning your journey look forpublicity at stations, call 020 7222 1234

or visit www.tfl.gov.uk

Closed until May 2006

Sudbury Hill Harrow150m

Station in Zone 11

Station in Zone 2

3

4

5

6

Station in Zone 3

Station in Zone 5

Station in Zone 6

2

Station in Zone 4

A Station in Zone A

B Station in Zone B

C Station in Zone C

D Station in Zone D

Station in Zone 6 and Zone A

Station in both zones

Station in both zones

Explanation of zones

TM Quad 2n Version 2 1/9/05 4 Colour Process + 4 Self Colours

NorthGreenwich

3 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Primer 2: They Rule

4 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Primer 3: Molekule

5 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Graf, vozlisce, povezave

Graf imenujemo trojicoG “ pV ,E ,Aq , kjer so V ,Ein A paroma locene (koncneali stevno neskoncne)mnozice. Mnozica V jemnozica vozlisc (ali tock)grafa G ; mnozici E in Apa zaporedoma mnozicaneusmerjenih povezav inmnozica usmerjenih povezavgrafa G . Mnozici E in A stalahko tudi prazni.

Graf lahko narisemo tako, da za vsako vozlisce narisemo krogec, povezavepa prikazemo s crtami, ki vezejo ustrezna vozlisca. Ce je povezavausmerjena, nakazemo smer s puscico. Pogosto tudi tako dobljeni sliki grafapravimo kar graf.

6 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Usmerjene in neusmerjene povezave, zanke

Vsaki povezavi iz L “ E Y A pri-padata dve vozlisci - njeni krajisci.Ce je povezava usmerjena, je enokrajisce zacetek, drugo pa konecpovezave.

Da ima neusmerjena povezava p krajisci u in v bomo zapisalippu : vq, oziroma enakovredno ppv : uq; in apy , xq, da je vozlisce yzacetek in vozlisce x konec usmerjene povezave a. Rekli bomo tudi,da povezava p P E veze svoji krajisci, in da povezava a P A gre (vodi)od svojega zacetka do svojega konca. V primeru, ko predstavlja obekrajisci povezave isto vozlisce, pravimo taki povezavi zanka. Vozlisce,ki ni krajisce nobene povezave, je osamljeno (izolirano) vozlisce.

7 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Opis grafa – mnozice

V “ ta, b, c , d , e, f , g , h, i , j , k , lu

A “ tpa, bq, pa, dq, pa, f q, pb, aq,

pb, f q, pc , bq, pc , cq, pc , gq1,

pc , gq2, pe, cq, pe, f q, pe, hq,

pf , kq, ph, dq, ph, lq, pj , hq,

pl , eq, pl , gq, pl , hqu

E “ tpb : eq, pc : dq, pe : gq, pf : hqu

G “ pV ,E ,Aq

L “ AY E

8 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Krajisce, zacetek, konec, dvojcek

Oznacimo z V p2q “ ttu, vu : u, v P V u mnozico vseh eno ali dvoelementnih podmnozic mnozice vozlisc V . Pri opisu zvez med vozlisciin povezavami bomo uporabljali naslednje funkcije:

ext : LÑ V p2q – krajisci povezaveinit : AÑ V – zacetek povezaveterm : AÑ V – konec povezavetwin : V ˆ LÑ V – drugo krajisce povezave

ki zadoscajo naslednjim zahtevam:

extpppu : vqq “ tu, vu extpapu, vqq “ tu, vuinitpapu, vqq “ u termpapu, vqq “ vtwinpu, apu, vqq “ v twinpu, apv , uqq “ vtwinpu, ppu : vqq “ v

9 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Razsiritev zapisa na vse povezave

V nadaljnem nam bosta prisli prav naslednji razsiritvi zapisa povezav:naj bo p P L, potem pomeni

ppu, vq ” pp P E ^ ppu : vqq _ pp P A^ ppu, vqq

inppu : vq ” ppu, vq _ ppv , uq

Povezavi sta vzporedni, ce imata isti krajisci.Ce je A “ H, pravimo, da je graf neusmerjen; in je usmerjen, ce jeE “ H.

10 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Enostavni grafi

Kadar veze vsak par vozlisc v danemgrafu kvecjemu ena neusmerjenapovezava ali pa vodi v vsako smernajvec po ena usmerjena povezavain graf nima neusmerjenih zank,pravimo da je graf enostaven. Enos-tavnim usmerjenim grafom pravimotudi relacijski ali Bergeovi grafi.

Pri enostavnih grafih je vsaka povezava enolicno dolocena s krajiscema invrsto (usmerjena/neusmerjena). Zato lahko neusmerjeno povezavo skrajiscema u in v oznacimo kar z pu : vq; usmerjeno povezavo z zacetkomu in koncem v pa z pu, vq. Potemtakem je mnozica povezav A relacijskegagrafa G “ pV ,H,Aq povratno enolicno povezana z relacijo:

RA “ tpu, vq : Da P A : apu, vqu Ď V ˆ V

Tako smo prisli do obicajne definicije relacijskega grafa kot dvojice pV ,Rq,pri cemer je R Ď V ˆ V dvomestna relacija nad V .

11 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Koncni grafi

Ce so vse tri mnozice V ,E in A koncne, je tudi graf koncen. V temsestavku se bomo v glavnem ukvarjali le s koncnimi grafi, zato bomota pridevnik opuscali. Stevilo vozlisc grafa bomo oznacevali z n,stevilo povezav pa z m. Torej

n “ cardpV q in m “ cardpLq

12 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Graf – Matrika

a b c d e f g h i j k l

a 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0

b 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0

c 0 1 1 1 0 0 2 0 0 0 0 0

d 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

e 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0

f 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0

g 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

h 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1

i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

j 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

k 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

l 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0

Graf G je enostaven ntk. vse vrednosti v matriki so 0 ali 1.

13 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Slika grafa / Matricni prikaz

usa

can

cub

hai

dom

jam

tri

mex

guahon

els

nic

cos

pan

col

ven

ecu

per

bra

bol

par

chi

arguru

uki

ire

net

bel

lux

fra

swi

spa

porwge

ege

pol

aus

hun

czeita

mat

alb

yug

gre

cyp

bul

rum

usr

fin

swe

nor

den

ice

mli

sen

dah

nau

nir

ivo

gui

upv

lib

sie

gha

tog

cam

nig

gab

car

chd

con

zai

uga

ken

bur

rwa

som

eth

saf

maa

mor

alg

tun

liy

sud

irn

tur

irq

egy

syr

leb

jor

isr

sau

yem

kuw afg

cha

mon

tai

kod

kor

japind

pak

brm

sri

nep tha

kmr

lao

vnd

vnr

mla

phi

ins

aut

nze

Pajek - shadow [0.00,1.00]

ukifrawgejapnetitausabelluxswedenswicannorspairnirqpakireauthunisrsaukuwausfinporbraargpolczeusregeyugindchagreturegybulrumsyrlebcypicetuncubliymoralgnigugakenethbrmthasudsrighakorvnrphinzetaimlainssafmexcoluruperchiveneculibdomzaijamtripansenivoelscosguahonniccarchdnautogdahnirgabsieconhaiguimatbolparcammaayemkodlaomonnepburrwavndsomafgmliupvalbkmrjor

uki

fra

wge

jap

net

ita usa

bel

lux

swe

den

swi

can

nor

spa

irn irq pak

ire aut

hun

isr

sau

kuw

aus

fin por

bra

arg

pol

cze

usr

ege

yug

ind

cha

gre

tur

egy

bul

rum

syr

leb

cyp

ice

tun

cub

liy mor

alg

nig

uga

ken

eth

brm

tha

sud

sri

gha

kor

vnr

phi

nze

tai

mla

ins

saf

mex

col

uru

per

chi

ven

ecu

lib dom

zai

jam

tri

pan

sen

ivo

els

cos

gua

hon

nic

car

chd

nau

tog

dah

nir

gab

sie

con

hai

gui

mat

bol

par

cam

maa

yem

kod

lao

mon

nep

bur

rwa

vnd

som

afg

mli

upv

alb

kmr

jor

Na sliki je prikazan graf trgovine med izbranimi drzavami sveta. Pri vecjih

grafih z veliko povezavami postane slika grafa nepregledna; v matricnem

prikazu, za ustrezni vrstni red vozlisc, pa lahko opazimo pravilnosti in

vzorce.

14 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Podgrafi

Graf H “ pV 1,E 1,A1q, za katerega velja V 1 Ď V in L1 Ď L,

imenujemo podgraf grafa G “ pV ,E ,Aq in zapisemo H Ď G . Pozor,

ker je H graf, so vsa krajisca povezav iz L1 v V 1.

15 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

. . . Podgrafi

Ce je V 1 “ V , govorimo o vpetem podgrafu. Poleg vpetih podgrafovpoznamo se podgrafe, porojene z mnozico vozlisc V 1 Ď V :

L1 “ LpV 1q “ tp P L : Du, v P V 1 : ppu : vqu, extppq Ď V 1

oziroma z mnozico povezav L1 Ď L:

V 1 “ V pL1q “ tv P V : Dp P L1Du P V : ppu : vqu

“ YpPL1 extppq “ extpL1q

16 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Homomorfizmi in izomorfizmi

Imejmo grafa G “ pV ,E ,Aq inH “ pV 1,E 1,A1q. Preslikavi ϕ :V Ñ V 1 in ψ : L Ñ L1 dolocatasibki homomorfizem grafa G v grafH natanko takrat, ko velja:

@u, v P V @p P L : pppu : vq ñ ψppqpϕpuq : ϕpvqqq

oziroma doloca (krepki) homomorfizem grafa G v graf H natankotakrat, ko velja:

@u, v P V @p P L : pppu, vq ñ ψppqpϕpuq, ϕpvqqq

Pri enostavnih grafih je krepki homomorfizem dolocen ze s preslikavo

ϕ.

17 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Izomorfizmi in stalnice

V primeru, ko sta ϕ in ψ bijekciji in v ustreznem pogoju veljanamesto implikacije ekvivalenca, pa govorimo o izomorfizmu grafovG in H . Da sta grafa sibko izomorfna zapisemo G „ H; da sta(krepko) izomorfna pa G « H. Obe izomorfnosti sta ekvivalencnirelaciji in velja «Ă„.Stalnica ali invarianta grafa imenujemo vsako grafu prirejeno stevilo,ki je enako za vse med seboj izomorfne grafe. Stalnice imajopomembno vlogo pri postopkih za ugotavljanje izomorfnosti grafov.V nadaljevanju bomo spoznali vec stalnic.

18 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Homomorfizem

a

b

c

d

e

f

g

i

h

j

lk

m

A

E

J

F

BC

G

D

H

I

1

2

3

4

5

6

7

89

t

u

v

x

y

z

Pajek

ϕ1 2 3 4 5 6 7 8 9t y z x v u z y t

Pajek: homoEna.net

ψa b c d e f g h i j k l mE J D H G C H G B F J I E

19 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Izomorfna grafa

1

2

34

5

6

7

89

10

Pajek

b

h

ja

g

c

e

id

f

Pajek

ϕ1 2 3 4 5 6 7 8 9 10b h j a g c e i d f

Pajek: izoPet.net

20 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Zvezde, kratnosti in stopnje

Stevila vseh povezav izbranevrste (usmerjene/neusmerjene,vstopajoce/ izstopajoce, vse, . . . )s krajiscem v danem vozliscu,oziroma stevila povezav, ki vezejodani vozlisci, imenujemo kratnostipovezav.

Formalno vpeljemo kratnosti s pomocjo zvezd. Zvezda v danemvozliscu je mnozica vseh povezav, ki imajo to vozlisce za krajisce:

Lpvq “ tp : v P extppqu

21 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Zvezde, kratnosti in stopnje

Pravzaprav poznamo vec vrst zvezd. Npr.:

L0pvq “ tp : extppq “ tvuu

E pvq “ tp : p P E ^ v P extppqu

Atermpvq “ tp : p P A^ termppq “ vu

Tako lahko definiramo kratnost povezav v vozliscu u ali stopnjovozlisca u

dpuq “ cardpLpuqq

kratnost povezav med vozliscema u in v

dpu, vq “ cardpLpuq X Lpvqq

in kratnost usmerjenih povezav iz vozlisca u v vozlisce v

Adoutpu, vq “ cardpAinitpuq X Atermpvqq

22 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Zveze

Med kratnostmi velja cel kup zvez. Na primer:

dpu, vq “ dpv , uq

indpuq “

ÿ

vPV

dpu, vq

Kadar zelimo posebej povedati, da se neko stevilo nanasa na graf G ,mu dodamo oznako grafa. Tako na primer z oznako dpu, v ;G qpoudarimo, da gre za kratnost povezav med vozliscema u in v gledena graf G .Ce je za vsako vozlisce v P V stopnja dpvq koncna, pravimo, da jegraf lokalno koncen.

23 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Graf – Sosedi

NApaq “ tb, d , f uNApbq “ ta, f uNApcq “ tb, c , g , guNApeq “ tc , f , huNApf q “ tkuNAphq “ td , luNApjq “ thuNAplq “ te, g , hu

NE peq “ tb, guNE pcq “ tduNE pf q “ thu

Npvq “ NApvq Y NE pvq

24 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Valence

Na povezave s krajiscem v danem vozliscu lahko gledamo na dvenacina (povezave v celoti; ali pa cisto lokalno, kot polpovezave –zanke stejemo dvakrat). Zato vpeljemo se pojem valence:

vpuq “ dpuq ` d0puq

kjer je d0puq “ cardpL0puqq stevilo zank v vozliscu u.Poglejmo si vsoto vseh valenc. Vzemimo povezavo p s krajiscema uin t. Ce je u ‰ t, stejemo povezavo enkrat v valenci vozlisca u indrugic v valenci vozlisca t; ce pa je u “ t, je p zanka in jo, podefiniciji valence, stejemo dvakrat v vozliscu u. V vsakem primeru jov vsoti vseh valenc stejemo natanko dvakrat. Torej je:

ÿ

uPV

vpuq “ 2m oziroma pÿ

uPV

vpuqq mod 2 “ 0

25 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Lema o rokovanjih

Od tu izhaja naslednja ugotovitev:V vsakem grafu je sodo vozlisc lihe valence.

Dokaz: Naj bo V0 mnozica vozlisc sode valence in V1 mnozicavozlisc lihe valence. Velja V0 Y V1 “ V in V0 X V1 “ H. Zato je

0 “ pÿ

uPV

vpuqq mod 2 “ pÿ

uPV0

vpuq `ÿ

uPV1

vpuqq mod 2

“ ppÿ

uPV0

vpuqq mod 2` pÿ

uPV1

vpuqq mod 2q mod 2

“ cardpV1q mod 2

l

Gornji izrek pogosto imenujejo tudi lema o rokovanjih, kar izhaja iznaslednje “preobleke”: Na nekem srecanju se je vec ljudi med sebojrokovalo. Vselej se je sodo izmed njih rokovalo z lihim stevilomudelezencev srecanja.

26 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Sosedi

Vozlisci sta sosednji, ce sta krajisci skupne povezave. Podobno kotobstaja vec vrst zvezd, obstajajo tudi ustrezne mnozice sosedov danevozlisce. Tako je na primer:

extpLpvqqztvu – (pravi) sosedi vozlisca vextpE pvq Y Atermpvqq – (neposredni) predhodniki vozlisca vextpE pvq Y Ainitpvqq – (neposredni) nasledniki vozlisca v. . .

V koncnem grafu je sodo vozlisc, ki ima liho pravih sosedov. To lahkosprevidimo takole. Grafu G “ pV ,E ,Aq priredimo ogrodje (skelet), toje enostaven neusmerjen graf SpG q “ pV ,E 1,Hq, pri cemer je:

E 1 “ tpu : vq : u, v P V , u ‰ v , Dp P L : ppu : vqu

Ker je vpu;Sq enaka stevilu pravih sosedov vozlisca u v grafu G , je,po prejsnji trditvi, trditev dokazana.

27 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

δpG q in ∆pG q

S stopnjo vozlisca sta povezani dve stalnici grafa: najmanjsa valencaδpG q in najvecja valenca ∆pG q

δpG q “ minuPV

vpuq in ∆pG q “ maxuPV

vpuq

Ce imajo vsa vozlisca grafa isto valenco r , pravimo, da je grafr–regularen (pravilen). 3–regularnim grafom pravimo tudi kubicnigrafi. Na sliki je prikazanih nekaj kubicnih grafov.

Drugi izmed njih jePetersenov graf, ki imav teoriji grafov pomem-bno vlogo kot “dezurni”protiprimer.

28 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Nicelni graf in polni graf

Pajek

Poglejmo si se nekaj primerkov enostavnih neusmerjenih grafov:Nicelni graf na n vozliscih: Nn “ pV ,Hq , cardpV q “ nPolni graf na n vozliscih: Kn “ pV ,E q, cardpV q “ n,E “ tpu : vq : u, v P V ^ u ‰ vuNa sliki sta prikazana grafa N4 in K5.

29 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Kocke

000

001

010

011

100

101

110

111

Pajek

Na sliki sta prikazana grafa trirazsezne kockeQ3 in stirirazsezne kocke Q4.k–razsezno kocko Qk lahko opisemo na primertakole. Za mnozico vozlisc V vzamemo nar-avna stevila od 0 do 2k ´ 1. Naj bo u “

uk´1uk´2 . . . u2u1u0 p2q dvojiski zapis stevila-vozlisca u. Tedaj mnozico povezav k–razseznekocke opisemo takole

E “ tpu : vq :k´1ÿ

i“0

pui Y vi q “ 1u

Dvojiski stevilki krajisc povezave se razlikujetanatanko na enem mestu.

30 / 31

DiMa 5Osnovno o

grafih

V. Batagelj

Primeri

Osnove

Podgrafi

Homomorfizem

Stopnje

Posebni grafi

Pravilni poliedri – Platonska telesa

31 / 31