OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMI - eVedez.sivedez.dzs.si/datoteke/mat2vaje-resitve.pdfRešitve – Osnovni geometrijski pojmi REŠITVE OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMI Določajo 6 različnih daljic,

Rešitve – Osnovni geometrijski pojmi

REŠITVE

OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMIDoločajo 6 različnih daljic, 4 različne trikotnike in en štirikotnik.

Določajo 10 različnih daljic, 10 različnih trikotnikov in 5 različnih štirikotnikov.

a) Da. b) Ne. c) Da. č) Ne.

e) Ne. e) Da. f) Ne. g) Ne.

a) D, C, V b) V

a) 6 b) 6 c) 15 č) 3 d) 8

a)

d)

1.

A B

C2.

3.

4.

5.

6.

7. Premici sta vzporedni. Premici se sekata. b) Premice so vzporedne. Dve premici sta vzporedni, tretja ju seka.

Vse tri premice se sekajo v eni točki.

Po dve premici se sekata v eni točki.

c) Premici sta vzporedni.

Premici se sekata.

Premici sta mimobežnici.

Ravnini sta vzporedni. Ravnini se sekata. e) Ravnine so vzporedne.

Dve ravnini sta vzporedni, tretja ju seka.

Vse tri ravnine se sekajo v eni premici.

Vse tri ravnine se sekajo v eni točki.

Po dve ravnini se sekata v eni premici.

f) Ravnina in premica sta vzporedni.

Premica prebadaravnino.

Premica leži na ravnini.

187

Rešitve – Osnovni geometrijski pojmi

a) 6 b) 10 c) 15 č) 45

a) 2 b) 3 c) 4 č) 9

a) 1 b) 3 c) 6 č) 10 d) 15 e) n·(n−1)2

a) 1 b) 4 c) 10 č) 20 d) 35 e) n·(n−1)·(n−2)6

ASD, ASC, ABC, ABD, ADC, BSC, BSD, BCD, SCD

a) B b) W c) p č) { } d) C

a) r b) p c) A č) A d) B

Premica p in ravnina W sta pravokotni.

Premici p in q sta vzporedni.

a) Dve ravnini, ki sta vzporedni W in sta od W oddaljeni za 3 enote.

b) Ravnina, ki je vzporedna W in S ter leži na sredini med njima.

c) Ravnina, ki je pravokotna na daljico AB in poteka skozi razpolovišče daljice AB.

d) Neskončni plašč valja z osjo p in polmerom osnovne ploskve 2 enoti.

e) Neskončni valj z osjo p in polmerom osnovne ploskve 2 enoti.

f) Sfera (krogelna lupina, kroglino površje) s središčem A in polmerom 3 enote.

g) Krogla s središčem B in polmerom 3 enote.

Premice p, q in r so vzporedne.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17. a) Krožnica s središčem A in polmerom 3 enote.

b) Krog s središčem B in polmerom 3 enote.

c) Krožnica s središčem C in polmerom 2 enoti ter točke ravnine izven območja, ograjenega s to krožnico.

d) Simetrala daljice MN. e) Dve premici, ki sta vzporedni p in od p oddaljeni 2 enoti.

f) Pas točk med vzporednicamapremici q, oddaljenih od q za manj kot 2 enoti.

A B

C

1:2

N

M

pq

18.

19.

188

Rešitve – Konveksne množice, Merjenje

KONVEKSNE MNOŽICE

a) CBA = γ , ACB = ϕ, BAC = α + β, AMB = δ, BAM = α

b) CBA = 90◦, BAC = α, ECA = α + δ, ADE = γ + 90◦

a) α = BAC , β = CBA, γ = ACB

b) α = BAD, β = CBA, γ = DCB, δ = CDA

c) α = DCA, ε = BAC , ϕ = ACB

a) Sosednji koti: AED in DEC , ACD in DCB, EDA in CDE, CDE in BDC , CDA in BDC , ECD in DCB Sokoti: AED in DEC , ACD in DCB Ostri koti: DEC , ACD, EDA, BDC , DAE Topi koti: AED, DCB, CDA, BDE , BDA

b) Sosednji koti: ADB in BDC , ADB in BDE , ADC in CDE , ACB in DCA, ACB in ECA, DCB in ECD, BAC in CAE , DBA in EBDSokoti: ADB in BDE , ADC in CDE , ACB in ECA, DCB in ECD Ostri koti: BAC , CAE , BAE , DBA, EBD, EBA, DCA, ECD, BDC , CDE , DEC DCA, ECD, BDC , CDE , DEC Topi koti: ADC , BDE , DCB

a) Da. b) Da. c) Da. č) Ne. d) Da. e) Ne. f) Ne. g) Ne.

i) Da. i) Ne. j) Da. k) Ne. l) Ne. m) Da. n) Da. o) Ne.

Presek dveh pravokotnikov je množica točk, ki ležijo v obeh pravokotnikih. Zveznica poljubnih dveh točk preseka zato leži v enem in v drugem pravokotniku, torej leži v preseku. Presek dveh pravokotnikov je konveksna množica. Ker je prazna množica konveksna, to velja tudi, če je presek dveh pravokotnikov prazna množica.Unija dveh pravokotnikov ni vedno konveksna množica, kar prikazuje slika.

a) 5 b) 9 c) 35 č) 4850

a) 6-kotnik b) 8-kotnik c) 10-kotnik č) 15-kotnik

Ima 527 diagonal. Petkotnik. Osemkotnik.

Trinajstkotnik. Ima 9 diagonal.

a) 35 b) 45 c) 21 a) 90 b) 105 c) 30

MERJENJE

20.

21.

22.

23.

24.

AAAA

BBBB

25.

26.

27. 28. 29.

30. 31.

32. 33.

34. A B C D

AB - CD

A BM

AB + CD

A B N

189

Rešitve – Merjenje

a) 89 55′ b) 47 39′ c) 187 č) 58 46′ 52′′ d) 14 59′ 6′′ e) 68 16′ 40′′

g) 22 10′ g) 42 38′ h) 0 19′ i) 39 10′ 13′′ j) 120 5′ 43′′ k) 137 53′ 3′′

a) 34 30′ b) 25 6′ c) 58 25′ 12′′ č) 36 7′ 30′′ d) 12 31′ 30′′

a) 34,3333 b) 23,4333 c) 25,3569 č) 24,5736 d) 3,9197

35.

ab

a+ba-b

36.

A c

ab

B

C

b

g

a

a) b) Vsota kotov trikotnika je 360.M c a b N

bga

37.

A

c

a

b

d

B

C

D

b

g

a

d

a)

b) Vsota kotov štirikotnika je 360.

M Nca b d

b

g

a

d

38.

ab

a + ba - b

39.

b a a+b a-b

40. a)

a+b

b)

a+d

Vsota je v obeh primerih enaka 180.

ba

A B

CD

d

aA B

CD

41.

ba a+b b - a

42.

43.

44.

190

Rešitve – Skladnost trikotnikov

Komplementaren kot je velik 63 36′, suplementaren pa 153 36′.

Komplementaren kot je velik 6 34′ 44′′, suplementaren pa 96 34′ 44′′.

60 Kota sta velika 23 16′ in 66 44′.

Kota sta velika 145 23′ 16′′ in 34 36′ 44′′. Kota sta velika 120 32′ in 59 28′.

e = 66◦, j = 24◦ 38 Kot je velik 20.

Ob 12.15 oklepata urna kazalca kot 82,5 in ob 5.42 kot 81. Ob 14 : 43 : 38.

Posamezni kot je velik 6. Koti so veliki 18, 27, 36, 45 in 54.

Za posestvo na sliki je potrebnih 812 palic in 4060 m žice.

Za 3 m ograje bi potrebovali 7 cipres, za 132 m 265 cipres in za posestvo na sliki 225 cipres.

Razpolovišči daljic CD in DE sta oddaljeni 11 cm.

Daljica AB je dolga 26 cm.

SKLADNOST TRIKOTNIKOV a) b) c) d) e)

f) g) h) i) j)

Trikotnika D A1B1C1 in D A2B2C2 sta skladna.Trikotnika sta skladna, če imata paroma skladne vse tri stranice.

45. Kot Zaokroži na minuto natančno

Zaokroži na stopinjo natančno

Zaokroži na stotinko stopinje natančno

47 35′ 25′′ 47 35′ 48 47,59

123 29′ 32′′ 123 30′ 123 123,49

42 56′ 47′′ 42 57′ 43 42,95

4,875 4 53′ 5 4,88

33,55 33 33′ 34 33,55

34,123 34 7′ 34 34,12

46.

47.

48. 49.

50. 51.

52. 53. 54.

55. 56.

57. 58.

59.

60.

61.

62.

30

6063.

45

30

60

75

90

12060

90

120

60

22,5

30

15

60

150180

120

60

210180

240

120 60

247,5

180

240 270

255300

120 60

285180

240270

300

12060

315180

240

300

330

120 60

64.

A1 c1

a1b1

B1

C1

1:2

A2 c2

a2b2

B2

C2 1:2

191


Trikotnika D A1B1C1 in D A2B2C2 sta skladna.Trikotnika sta skladna, če imata skladno stranico in kota ob njej.

Trikotnika D A1B1C1 in D A2B2C2 sta skladna.Trikotnika sta skladna, če imata paroma skladen kot in njemu priležni stranici.

a) Trikotnika D A1B1C1 in D A2B2C2 sta skladna.

b) Trikotnika D A1B1C1 in D A2B2C2 nista nujno skladna.

Trikotnika sta skladna, če imata skladni dve stranici in skladen kot, ki leži daljši stranici nasproti.

a) 1. Stranica AB dolžine c = 5,5 cm. 2. Lok1 v A polmera b = 5 cm. 3. Lok2 v B polmera a = 3 cm seka lok1 v točki C. 4. Trikotnik ABC.

b) 1. Stranica AB dolžine c = 6 cm. 2. Lok1 v A polmera b = 7 cm. 3. Lok2 v B polmera a = 5 cm seka lok1 v točki C. 4. Trikotnik ABC.

c) 1. Stranica AB dolžine c = 6 cm. 2. Kot a pri A. 3. Kot b pri B, katerega krak seka krak kota a v točki C. 4. Trikotnik ABC.

65.

A1

a1b1

B1

C1g1

1:2

c1ccc111b1bbbbbb111a1aaaaaa111

A2c2

a2

B2

C2

b2

1:2

b2bbb222

a2aaa222

g2ggggggggg222

66.

A1

b1

B1

C11:2

c1ccc111

a1aaa111

b1bbb111 A2

a2

B2

C2 1:2

c2ccc222

b2bbb222

a2aaaaaa222

67.

A1

c1B1

C1 1:2

a1aaa111b1bbb111

b1bbb111 A2

a2

B2

C2 1:2

c2ccc222

b2bbb222g2ggg222

A1

c1′a2′

c1 B1

C2′B1′C1

A2

a2B2

C2

1:2

1:2a1aaa111

b1bbb111

a1aaaaaa111111111111111 b2bbbbbbbbb222c2ccc222

b2bbb222

68.

A c

ab

B

C1:2

A c

ab

B

C1:2

A c

ab

B

C

90

120

30

60

a b

60

1:2

192


d) 1. Stranica AC dolžine b = 5 cm. 2. Kot g pri C. 3. Kot a pri A, katerega krak seka krak kota g v točki B. 4. Trikotnik ABC.

e) 1. Stranica AC dolžine b = 5 cm. 2. Kot a pri A. 3. Lok v C polmera a = 6 cm seka krak kota a v točki B. 4. Trikotnik ABC.

f) 1. Stranica BC dolžine a = 4 cm. 2. Kot b pri B. 3. Lok v C polmera b = 3 cm seka krak kota b v točkah

A1 in A2. 4. Trikotnika A1BC in A2BC.

g) 1. Stranica BC dolžine a = 6 cm. 2. Kot g pri C. 3. Kot β = 90◦ pri B, katerega krak seka krak kota g

v točki A. 4. Trikotnik ABC.

h) 1. Stranica AC dolžine b = 5 cm. 2. Kot a pri A. 3. Kot γ = 105◦ pri C, katerega krak seka krak kota a

v točki B. 4. Trikotnik ABC.

a) 1. Stranica DC dolžine c = 6 cm. 2. Kot d pri D. 3. Lok v D polmera d = 4 cm seka krak kota d v A. 4. Kot g pri C. 5. Lok v A polmera a = 5 cm seka krak kota g v B1 in B1. 6. Štirikotnika AB1CD in AB2CD.

30

60A

c

a

b

B

C

a

g1:2

A c

ab

aB

C

90120

60

1:2

b

30

60

A1

A2c1

c2

a

b

B

C1:2

g30

60

A c

ab

B

C1:2

g

a 30

60

60

90

120

A

c

a

b

BC 1:2

69. d g

6060

90120

A

c

a1

a2

db1

b2

B1

B2

CD 1:2

193


b) 1. Stranica AB dolžine a = 5 cm. 2. Lok1 v B polmera b = 4 cm. 3. Lok2 v A polmera e = 7 cm seka lok1 v C. 4. Lok3 v točki A polmera d = 5 cm. 5. Lok4 v C polmera c = 3 cm seka lok3 v D. 6. Štirikotnik ABCD.

c) 1. Stranica AB dolžine a = 5 cm. 2. Lok1 v B polmera b = 4 cm. 3. Lok2 v A polmera e = 7 cm seka lok1 v C. 4. Lok3 v C polmera c = 3 cm. 5. Lok4 v B polmera f = 6 cm seka lok3 v D. 6. Štirikotnik ABCD.

d) 1. Stranica AB dolžine a = 7 cm. 2. Kot DBA v B. 3. Lok v B polmera f = 8 cm seka krak kota DBA v D. 4. Lok1 v B polmera b = 5 cm. 5. Lok2 v D polmera c = 4 cm seka lok1 v C. 6. Štirikotnik ABCD.

e) 1. Stranica AB dolžine a = 4 cm. 2. Kot b pri B. 3. Lok v B polmera b = 4 cm seka krak kota b v C. 4. Lok1 v C polmera c = 4 cm. 5. Lok2 v A polmera d = 4 cm seka lok1 v C. 6. Štirikotnik ABCD.

f) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kot b pri B. 3. Kot α = 105◦ pri A. 4. Lok v A polmera d = 5 cm seka krak kota a v D. 5. Kot d, ki seka krak kota b v C. 6. Štirikotnik ABCD.

Kot a je velik 47.

V tretjem koraku uporabimo 9 trikotnikov, v četrtem 16 in v dvajsetem 400.

1. Trikotnika DBC in D′B ′C ′ sta skladna, saj se ujemata v stranici in njej priležnima kotoma (|CB| = |C B | , CBA = C B A , DCB = D C B ).

2. ACD = ACB − DCB = A C B − D C B = A C D , saj sta D ABC in D A′B ′C ′ ter D DBC in D D′B ′C ′ skladna ( ACB = A C B in DCB = D C B ).

3. Trikotnika ADC in A′D′C ′ sta skladna, saj se ujemata v kotu in njemu priležnima stranicama ( ACD = A C D , |AC| = |A C | , |CD| = |C D | ).

4. |AD| = |A D | , saj sta trikotnika ADC in A′D′C ′ skladna.

A

c

de

a

b

B

CD 1:2

A

d

f

e

a

c

b

C

B

D1:2

30

60

A

d

f

a

c

b

C

B

D 1:2

60

A

d

a

b

c

b

C

B

D 1:2

60

60

90

120

12060A

d

d

a

a

c

bb

C

B

D1:2

70.

71.

72.

194

Rešitve – Vzporednost in pravokotnost

1. |AB| = |EG| , ker je |AB| = |AE| + |EB| = |BG| + |EB| = |EG|. 2. ∆ABC in ∆EGF sta skladna, ker se ujemata v stranici in njej priležnima kotoma

( |AB| = |EG| , BAC = FEG, CBA = EGF ).

Trikotnika ABF in CBE sta skladna, ker se ujemata v dveh kotih in eni stranici ( ECB = 90◦ = BAF , CBA FBA je skupen, |AB| = |BC| ). Ker sta trikotnika ABF in CBE skladna, je |AF | = |CE|.

VZPOREDNOST IN PRAVOKOTNOST

a) b) c)

a) b) c)

d) e) f)

A(0, 4), B(2, 0), C(1, 4), D(2, 2), E(3, 3)

|A1B1| = 1, |A2B2| = 1, |A3B3| = 1, |A4B4| = 1, |A5B5| = 0

3 cm 6 cm

73.

74.

75. (i) (iv)(iii)(ii)

76. (i) (iv)(iii)(ii)

77.

AqAAAAAAqqqqqq

ApAAAAAAppppppppp

A

p

qqqq

Ap

qqqqAqAAAAqqqqqqqqq

ApAAAAAAAAAppppppA

pqqqq AqAAAAAAAAAqqqqqq

ApAAAAAAppppppppp

78.

AAAA

A′AAAA′′′′′′′′′ B′BBBBBB′′′

BBBB

p

AAAA

BBBB

p

A′AAAAAAAAAAA′′′′′′B′BBBBBB′′′′′′

AAAA

BBBB

pA′AAAA′′′′′′′′′

B′BBBBBB′′′

AAAA BBBB

p A′AAAAAAAA′′′′′′′′′

B′BBBBBBBBB′′′

AAAABBBB

p

A′AAAAAAAAAAAA′′′

B′BBBBBB′′′′′′AAAA

BBBBBBB

p

A′=B′AAAAAAAAAAAA′′′′′′======BBBBBBBBB′′′′′′

79.

80.

81. 82.

195

Rešitve – Vzporednost in pravokotnost

a) α = 42◦, β = 138◦ b) α = 138◦, β = 42◦ c) α = 62◦, β = 90◦

d) α = 58◦ d) α = 70◦, β = 40◦ e) α = 43◦, β = 137◦

a) x = 10◦ b) x = 10◦

a) b) c)

a) b) c)

a) b)

Kot MLK je velik 60. Ostri kot med premicama r in q je velik 76 ali 40.

a) 5 cm b) 2 cm c) 5 cm č) 0 cm

a) 6 cm b) 3√

2 cm c) 0 cm

a) 5 cm b) 5√

3 cm

Vsota dolžin pravokotnih projekcij obeh katet na hipotenuzo je enaka c.

Razdalja je enaka 4 cm. 24

83.

BA

1:2

84.

A

C

B

1:2

85.

a=105

6090

120

a

sa

86.

A B

C

1:2

87.

88.

89.

A A

1:2

A

1:2

90.

p pp

1:2

91.

75

90

120 60

1 cm

1 cmA

75

90

120 60

3 cm

2 cm

A

1:2

92. 93.

94.

A B

D D ′′

D ′

C1:2 95.

96.

97.

98.

99. 100.

196

Rešitve – Toge preslikave

a) b) c)

Trikotnika AED in AFD sta skladna, saj se ujemata v kotu in stranicah ob njem ( EAD = DAF , stranica AD je skupna, |AE| = |AF | ). Ker sta AFD in AED skladna, velja |DE| = |DF |.

Trikotnika ABD in ACD sta skladna, saj se ujemata v stranici in njej priležnima kotoma (AD je skupna, ADB = 90◦ = ADC , BAD = DAC

ADB = 90◦ = ADC , BAD = DAC ). Ker sta D ABD in D ACD skladna, je |AB| = |AC| in zato je trikotnik ABC enakokrak.

TOGE PRESLIKAVE

101. 1:2

p

A

M

N

PF

1:2

p

PFA

B

C

1:2

p

PFA

TK

102.

M

N

A

p

103.

104.

105.

106.

pp

p

107. yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4

1111

2222

3333

4444

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4

A(3, 4)

A3(4, 3)

A1(3, -4)A4(-4, -3)

A2(-3, 4) 108. yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555555 6666-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5 -6 -6 -6 -6

1111

2222

3333

4444

5555555

6666

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4

-5-5-5-5-5-5-5

-6-6-6-6

A(3, -2)

B(6, 1)

A1(3, 2)

B1(6, -1)

A2(-3, - 2)

A3(-2, 3)

B2(-6, 1)

B3(1, 6)

A4(2, -3)

B4(-1, -6)

197


a) y = 0 b) x = 0 c) y = 3

d) x = −2 e) y = x f) y = −x

a) b) c) d)

109. yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555 6666666666 7777 8888 9999 10101010 11111111111111111111 12121212-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4

1111

2222

3333

-1-1-1-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4-4-4-4

-5-5-5-5

-6-6-6-6

-7-7-7-7-7-7-7-7-7-7

-8-8-8-8

C(1, 2)

A(-4, -1)B(3, -2)

A1(12, -1)

A2(-4, -5)

B1(5, -2)

B2(3, -4)

C1(7, 2)

C2(1, -8)

110. yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555 6666-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5 -6 -6 -6 -6 -7 -7 -7 -7 -8 -8 -8 -8

1111

2222

3333

4444

5555

6666

7777

8888

9999

10101010

11111111

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

A2(-6, 11) B2(-2, 11)

D2(-6, 7) C2(-2, 7)

C2(0, 1) D2(4, 1)

B2(0, -3) A2(4, -3)

D(-6, 1) C(-2, 1)

A(-6, -3) B(-2, -3)

111. yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5

1111

2222

3333

4444

5555

6666

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4

-5-5-5-5

-6-6-6-6

A

A

yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5

1111

2222

3333

4444444

5555

6666

-1-1-1-1

0000000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4

-5-5-5-5

-6-6-6-6

B B

yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5

1111

2222

3333333

4444

5555

6666

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4

-5-5-5-5

-6-6-6-6

C

C

yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5

1111

2222

3333

4444

5555

6666

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4

-5

Č Čyyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5

1111

2222

3333

4444

5555

6666

-1-1-1-1

0000000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4

-5

D

D

yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5

1111

2222

3333

4444

5555

6666

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

-4-4-4-4

-5

E

E

112.

1:2A

BC

C ′

1:2

AB

CB ′

1:2

A

B C

D

B ′ C ′

1:2

A = A′ B

C = C ′D

B ′

D ′

113.

198


a) (iii) b) (iv) c) (iii) d) (v) e) (iii)

a) b) c) d) e)

a) b)

c) d)

2, 4, 3, 6, 1 2, 4, 2, 8, 4

a) 180 b) -90 c) 180 d) 90

a) b) c) d)

114.

115.

116.

A

B

CČ

D

117. yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555 6666 7777-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3

1111

2222

3333

4444

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

A(3, 0)

A1(0, 3)

A5(1, 0)

A4(7, 4)

A2(0, -3)

A3(-3, 0)

118. yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5 -6 -6 -6 -6 -7 -7 -7 -7 -8 -8 -8 -8 -9 -9 -9 -9

1111

2222

3333

4444

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

A(2, 1)

A4(-6, 1)

B(4, 1)B4(-8, 1)

A3(3, 0)

B3(3, 2)A1(-1, 2)

B1(-1, 4)

A2(-2, -1)B2(-4, -1)

119. 1:2

60

A = A ′B

CC ′

B ′

A A ′B

C = C ′

B ′30 60

1:2

120

60

A

D

A ′B

B ′

D ′

CC ′

1:2

A

D

A ′

B = B ′

D ′

C

C ′

60

1:2

120. 121.

122.

SS

S

S

123.

M M M

M

199

Rešitve – Trikotnik

Rotacija za kot 180 s središčem v koordinatnem izhodišču.

Rotacija za kot -90 s središčem v koordinatnem izhodišču.

Rotacija za kot 180 s središčem v točki (1, 1).

M(x, y), M1(y, x), M2(y, -x), M3(-x, -y), M4(x, y). Torej točka M4 sovpada s točko M.

M(x, y), M1(-x, y), M2(-y, -x), M3(x, y). Torej točka M3 sovpada s točko M.

Trikotnika AEB in CEB sta skladna, saj se ujemata v kotu in njemu priležnima stranicama ( |AB| = |BC|, BE je skupna, ABE = EBC, ker sta oba suplementarna kotu 45 ). Trikotnik AEC je enakokrak, saj je |AE| = |EC| .

a) V območju s številko 4. b) V območju s številko 2. c) V območju s številko 6.

Dekle mora prehoditi pot 15 m.

Naj bo S središče rotacije za kot a. Narišemo poljubni premici p in q, ki potekata skozi S in oklepata kot α2 . Naj bo A poljubna točka in A

′ njena zrcalna slika glede na p. Naj bo A′′ zrcalna slika A′ glede na q. Naj bo M presečišče p in AA′ ter N presečišče q in A′A′′.

1. |SA| = |SA | , saj sta D ASA′ in D A′SA′′ enakokraka trikotnika. 2. ASA = ASM + MSA + A SN + NSA = 2 ( MSA + A SN) = 2 · α2 = α

Torej zrcaljenje čez premici p in q res nadomesti rotacijo za kot a s središčem S.

TRIKOTNIK

β = 111◦ 12 , β1 = 68◦ 48 , α1 = 143◦ 45 , γ1 = 147◦ 27

β = 50◦ 37 47 , α = 56◦ 58 13 , α1 = 123◦ 1 47 , γ1 = 107◦ 36

Neznana notranja kota sta velika 77 37′ 30′′, zunanji koti pa 155 15′, 102 22′ 30′′ in 102 22′ 30′′.

Notranji koti so veliki α = 24◦, β = 36◦, γ = 120◦, zunanji pa α1 = 156◦, β1 = 144◦, γ1 = 60◦.

Nastala trikotnika imata kote velike 90, 40 in 50.

Razlika je enaka 100.

Iz α + β + γ = 2x + 7x + 9x = 18x = 180◦ sledi, da je x = 10◦ in zato γ = 9x = 90◦.

124.

yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4 -5 -5 -5 -5

1111

2222

3333

4444

5555

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

BA

CD

A′

D ′

B ′

C ′

A′′

D ′′

B ′′

C ′′

125.

yyyy

xxxx1111 2222 3333-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3

1111

2222

3333

4444

5555

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

BA

C

A′ B′

C ′

A′′

B ′′

C ′′

A′′′

B ′′′

C ′′′

126.

yyyy

xxxx1111 2222 3333 4444 5555555555 6666 7777-1-1-1-1-1-1-1-2 -2 -2 -2 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -3 -4 -4 -4 -4

1111

2222

3333

4444

5555

-1-1-1-1

0000

-2-2-2-2

-3-3-3-3

B

A

C

A′

B ′

C ′ A′′

B ′′

C ′′

127.

128.

129.

130.

131.

132.

133.

134.

135.

136.

137. 40 50

9050 90 40A c

ab

B

C

138.

139.

200


90, 20, 70 α = 53◦, β = 33◦, γ = 94◦

α = 100◦, β = 20◦, γ = 60◦ α + β + γ + δ − ε = 180◦

a) Naj bosta p in q poltraka z začetkom A (p je podaljšek AB, q je vzporeden BC), kot prikazuje slika.Kot med p in q je enak b, ker ima kraka vzporedna krakoma kota CBA in mu je skladen.Kot med q in AC je enak g, ker ima kraka vzporedna krakoma kota ACB in mu je skladen.Torej velja: α + β + γ = BAC + (AC, q) + (q, p) = 180◦

b) α + β + γ = 180◦ − α + 180◦ − β + 180◦ − γ = 360◦ − (α + β + γ) = 540◦ − 180◦ = 360◦

a) Ne. b) Da. c) Ne. č) Da.

3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm, 7 cm, 8 cm, 9 cm 9 cm, 10 cm, 11 cm … 26 cm, 27 cm

Naredimo lahko en trikotnik. a) 0 b) 1 c) 1 č) 2 d) 3

Težišče. Vače.

A

V

B

C1:2

ASo

B

C

c2

c2

a2

a2

b2

b2

1:2

A B

α2

β2

γ2

γ2

β2

α2

C

1:2

Sv

A c

ab

B

V

C1:2

A B

C

c2

c2

a2

a2

b2

1:2

So AB

C

α2

β2

γ2

γ2

β2

α2

1:2

Sv

Simetrali kotov sβ in sγ oklepata kot 67,5. Višini vc in va oklepata kot 43.

CSA = 105◦

140. 141.

142. 143.

144.

p

q

A c

a

a a

g

gb

b

B

C

145.

146. 147.

148. 149.

150. 151.

152.

A

T

B

C

c2

c2

a2

a2

b2

b2

1:2

153.

A

T

B

C

c2

c2

a2

a2

b2

b2

1:2

154. 155.

156.

201


Naj bo sα simetrala notranjega kota pri oglišču A in sα simetrala zunanjega kota pri oglišču A.

1. (sα, AC) = α2 ker simetrala sα, razpolavlja notranji kot a.

2. (sα , AC) = 180−α2 ker simetrala sα razpolavlja zunanji kot α = 180 − α, .

3. (sα, sα ) = α2 +180◦−α

2 = 90◦. Torej sta sα in sα res pravokotni.

a) 1. Stranica AB dolžine c = 5 cm. 2. Vzporednica c na razdalji vc = 3 cm. 3. Kot 75 v točki A, katerega krak seka vzporednico v

točki C. 4. Trikotnik ABC.

b) 1. Stranica AC dolžine b = 6 cm. 2. Vzporednica b na razdalji vb = 2 cm. 3. Kot 90 v točki C, katerega krak seka vzporednico v

točki B. 4. Trikotnik ABC.

c) 1. Stranica AB dolžine c = 5 cm. 2. Vzporednica c na razdalji vc = 3 cm. 3. Lok v A polmera b = 4 cm seka vzporednico v

točkah C1 in C2. 4. Trikotnika ABC1 in ABC2.

d) 1. Stranica BC dolžine a = 5 cm. 2. Vzporednica a na razdalji va = 2 cm. 3. Lok v C polmera b = 3 cm seka vzporednico v

točkah A1 in A2. 4. Trikotnika A1BC in A2BC.

e) 1. Poltrak p z začetkom B, ki poteka skozi C. 2. Kot b pri B. 3. Vzporednica p na razdalji va = 4 cm seka krak

kota b v točki A. 4. Kot α = 45◦ v A, katerega krak seka p v C. 5. Trikotnik ABC.

f) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Vzporednica p na razdalji vc = 4 cm. 3. Kot a v A, katerega krak seka vzporednico v C. 4. Lok v C polmera a = 6 cm seka p v točki B. 5. Trikotnik ABC.

g) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Vzporednica p na razdalji vc = 3 cm. 3. Lok v A polmera b = 5 cm, ki seka vzporednico

v točkah C1 in C2 . 4. Vzporednici AC1 in AC2 na razdalji vb = 4 cm,

ki sekata poltrak p v točki B. 5. Trikotnika ABC1 in ABC2 .

157.

158.

A c

ab

B

C

90

12060

1:2

A

ca

b

B

C 1:2

A

c

b1

a1

b2a2

B

C1

C2 1:2

C

ab2

b1

c2

c1

BA2

A11:2

30

60

A c

ab

B

C 1:2

6090

120

c

ab

BA

C 1:2

A B

1:2

C1C2

c

b2

b1a2

a1

202


h) 1. Poltrak p z začetkom B, ki poteka skozi A. 2. Vzporednica poltraku p na razdalji vc = 4 cm. 3. Kot b v točki B, katerega krak seka vzporednico v

točki C. 4. Vzporednica BC na razdalji va = 3 cm seka p v A. 5. Trikotnik ABC.

a) 1. Stranica BC dolžine a = 6 cm. 2. Razpolovišče S stranice a. 3. Lok1 v S polmera ta = 4 cm. 4. Lok2 v B polmera c = 3 cm seka lok1 v A. 5. Trikotnik ABC.

b) 1. Stranica AC dolžine b = 5 cm. 2. Razpolovišče S stranice b. 3. Lok v S polmera tb = 4 cm. 4. Kot 30 v oglišču C, katerega krak seka lok v točki B. 5. Trikotnik ABC.

c) 1. Stranica AB dolžine c = 6 cm. 2. Vzporednica c na razdalji vc = 3 cm. 3. Razpolovišče S stranice c. 4. Lok v S polmera tc = 4 cm seka vzporednico v

točkah C1 in C2. 5. Trikotnika ABC1 in ABC2.

d) 1. Poltrak p z začetkom B, ki poteka skozi C. 2. Vzporednica p na razdalji va = 6 cm. 3. Kot 75 v B, katerega krak seka vzporednico v točki A. 4. Razpolovišče S stranice c. 5. Lok v S polmera tc = 5 cm seka krak kota b v

točki C. 6. Trikotnik ABC.

e) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Vzporednica p na razdalji vc = 4 cm. 3. Lok v A polmera b = 4,5 cm seka vzporednico

v točkah C1 in C2. 4. Loka v C1 in C2 polmera tc = 5 cm sekata

p v točkah S1 in S2. 5. Lok v S2 polmera |AS2| seka p v točki B2.

Lok v S1 polmera |AS1| seka p v točki B1. 6. Trikotnika AB1C1 in AB2C2.

f) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi C. 2. Vzporednica poltraku na razdalji vb = 4 cm. 3. Kot 30 v A, katerega krak seka vzporednico v B. 4. Razpolovišče S stranice AB. 5. Lok v S polmera tc = 5 cm seka p v točki C. 6. Trikotnik ABC.

A c

b a

B

C 1:2

60

159. B

a

cb

C

A

S1:2

A

C

c

b

a

B

S

60

1:2

A c B

C2

a2

b2

C1

a1

b1

S1:2

90

12060

1:2

c

ab

BSA

C

va

1:2

A

C1C2

S1 B1S2 B2c2 c1

b1b2

a2 a1

60

1:2

c

ab

BSA

C

203


a) 1. Stranica AB dolžine c = 5 cm. 2. Kot a pri A. 3. Simetrala kota a. 4. Lok v A polmera sα = 4 cm seka simetralo kota a v M. 5. Nosilka MB seka krak kota a v C. 6. Trikotnik ABC.

b) 1. Stranica BC dolžine a = 4 cm. 2. Kot g pri C. 3. Lok v B polmera sβ = 4,5 cm seka krak kota g v M. 4. Kot CBM prenesemo v kot MBA. Njegov krak seka krak

kota g v A. 5. Trikotnik ABC.

a) 1. Krožnica s polmerom R = 3 cm. 2. Na krožnici izberemo točko B. 3. Lok v B polmera a = 5 cm seka krožnico v C. 4. Lok v C polmera b = 3 cm seka krožnico v A. 5. Trikotnik ABC.

b) 1. Krožnica s polmerom R = 4 cm. 2. Na krožnici izberemo točko A. 3. Lok v A polmera c = 6 cm seka krožnico v B. 4. Vzporednica AB na razdalji vc = 2 cm seka krožnico v točkah

C1 in C2. 5. Trikotnika ABC1 in ABC2.

1:2

cB

A

vcC2

a2b2

C1b1

a1

c) 1. Krožnica s polmerom R = 2,5 cm. 2. Na krožnici izberemo točko B. Lok v B polmera a = 4 cm

seka krožnico v C. 3. Kot g pri C, katerega krak seka krožnico v A. 4. Trikotnik ABC.

d) 1. Krožnica s polmerom R = 3 cm. 2. Na krožnici izberemo točko A. 3. Lok v A polmera c = 4 cm seka krožnico v B. 4. Simetrala AB seka krožnico v C. 5. Trikotnik ABC.

a) 1. Stranica AB dolžine c = 4 cm. 2. Simetrala AB. 3. Vzporednica AB na razdalji vc = 5 cm seka simetralo v C. 4. Trikotnik ABC.

b) 1. Višina MC dolžine vc = 4 cm. 2. Pravokotnica na MC skozi M. 3. Kota 30 pri C, katerih kraka sekata pravokotnico v A in B. 4. Trikotnik ABC.

160.

90

12060

1:2

c

a

b

BA

M

C

120

60

1:2

c

ab

BA

M

C

161. 1:2

c

ab

BA

C

1:2

ca

b

B

A

C60

1:2

c

a

b

B

A

C

162.

1:2

c a

b

B

A Cvc

1:2

c

ab

BA M

C

vc

120

60

60

204


c) 1. Poltrak p z začetkom C, ki poteka skozi A. 2. Kot g pri C. 3. Simetrala kota g. 4. Vzporednica p na razdalji r = 3 cm seka simetralo

kota g v središču včrtane krožnice SV . 5. Lok v SV polmera r = 3 cm seka simetralo v M. 6. Pravokotnica na simetralo skozi M seka kraka kota g

v A in B. 7. Trikotnik ABC.

a) 1. Stranica AC dolžine b = 3 cm. 2. Pravi kot pri C. 3. Lok v A polmera c = 5 cm seka krak pravega kota v B. 4. Trikotnik ABC.

b) 1. Stranica BC dolžine a = 3 cm. 2. Pravi kot pri C. 3. Lok v B polmera Sba = 3,5 cm seka krak pravega kota v M. 4. Kot CBM prenesemo v kot MBA. Njegov krak seka krak pravega

kota v A. 5. Trikotnik ABC.

a) 1. Višina MC dolžine vc = va = 3 cm. 2. Pravokotnica na MC v M. 3. Kota 30 pri C, katerih kraka sekata pravokotnico v točkah A in B. 4. Trikotnik ABC.

b) 1. Krožnica s polmerom R = 3 cm. 2. Na krožnici izberemo premer MC. 3. Kota 30 ob MC pri C, katerih kraka sekata krožnico v A in B. 4. Trikotnik ABC.

c) 1. Poltrak p z začetkom v A, ki poteka skozi B. 2. Kot α = 60◦ pri A. 3. Vzporednici krakoma kota a na razdalji r = 2 cm se sekata v

središču včrtane krožnice SV . 4. Pravokotnica na p skozi SV seka krak kota a v C. 5. Lok v C polmera |AC| seka p v B. 6. Trikotnik ABC.

1:2

c

ab

BA

C

SV

60

1:2

c

ab

p

BA

M

C

SV

90

120

60

163. 1:2

c

ab

B

A

C

120

60

1:2

c

ab

B

A

M

C

164. 1:2

c

ab

BA

C

M

vc = va

60

1:2

c

ab

BA

M

C

60

205


a) 1. Daljica AM dolžine a + c = 10 cm. 2. Kot a pri A. 3. Lok v A polmera b = 4 cm seka krak kota a v C. 4. Daljica MC. 5. Simetrala MC seka AM v B. 6. Trikotnik ABC.

b) 1. Daljica CM dolžine a + c = 10 cm. 2. Kot g pri C. 3. Lok v C polmera b = 4 cm seka krak kota g v A. 4. Daljica AM. 5. Simetrala daljice AM seka MC v B. 6. Trikotnik ABC.

c) 1. Daljica MC dolžine b + c = 8 cm. 2. Kot γ = 75◦ pri C. 3. Kot 30 pri M, katerega krak seka krak kota g v B. 4. Daljica MB. 5. Simetrala MB seka MC v A. 6. Trikotnik ABC.

d) 1. Daljica MC dolžine b + c = 7 cm. 2. Vzporednica MC na razdalji vb = 3 cm. 3. Lok v C polmera a = 4 cm seka vzporednico v

točkah B1 in B2. 4. Daljici MB1 in MB2. 5. Simetrali MB1 in MB2 sekata MC v točkah

A1 in A2. 6. Trikotnika A1B1C in A2B2C.

e) 1. Daljica MN dolžine a + b + c = 12 cm. 2. Kot 15 pri M in kot 37,5 pri N. Njuna kraka

se sekata v C. 3. Daljici MC in NC. 4. Simetrali daljic MC in NC sekata MN v točkah

A in B. 5. Trikotnik ABC.

f) 1. Daljica MN dolžine a + b + c = 10 cm. 2. Vzporednica MN na razdalji vc = 4 cm. 3. Kot 37,5 pri N, katerega krak seka vzporednico v C. 4. Daljici MC in NC. 5. Simetrali daljic MC in NC sekata MN v A in B. 6. Trikotnik ABC.

a) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Lok v A polmera c - a = 2 cm seka p v M. 3. Kot a pri A. 4. Vzporednica p na razdalji vc = 4 cm seka krak kota a v C. 5. Daljica MC. 6. Simetrala daljice MC seka p v B. 7. Trikotnik ABC.

165. 1:2

ca

b

B

M

A

C60

1:2

c

a

bB

MA

C

60

1:2

ca

b

BM

A

C90 120

60

60

1:2

C

M

b1

b2

a1

a2

c2

c1A1

A2

B1

B2

1:2

a

c

b B

A

M

N

C 9075

120

60

60

30

1:2

a

c

b

BAM N

C

90

75 120

60

166.

1:2

c

ab

M BA

C

60

206


b) 1. Poltrak p z začetkom C, ki poteka skozi B. 2. Lok v C polmera a - c = 2 cm seka p v M. 3. Kot g pri C. 4. Vzporednica p na razdalji va = 4 cm seka krak kota g v A. 5. Daljica AM. 6. Simetrala AM seka p v B. 7. Trikotnik ABC.

c) 1. Poltrak p z začetkom C, ki poteka skozi A. 2. Lok v C polmera b - c = 1 cm seka p v M. 3. Kot g pri C. 4. Lok v C polmera a = 3 cm seka krak kota g v B. 5. Daljica MB. 6. Simetrala daljice MB seka p v A. 7. Trikotnik ABC.

d) 1. Poltrak p z začetkom C, ki poteka skozi A. 2. Lok v C polmera b - c = 1 cm seka p v M. 3. Kot g pri C. 4. Kot CMB = 120◦ pri M, katerega krak seka krak kota g v B. 5. Daljica MB. 6. Simetrala MB seka p v A. 7. Trikotnik ABC.

Naj bo S razpolovišče stranice b, M pravokotna projekcija točke A na nosilko težiščnice in N pravokotna projekcija točke C na nosilko težiščnice. 1. Trikotnika ASM in CSN sta skladna, saj se ujemata v dveh kotih in eni stranici

( |AS| = |CS| , AMS = 90◦ = CNS , MSA = NSC ). 2. |AM | = |CN |, ker sta D ASM in D CSN skladna.

Torej je nosilka težiščnice na stranico b trikotnika ABC enako oddaljena od oglišč A in C.

Naj bo ABC enakokraki trikotnik z vrhom C. Naj bo M nožišče višine va, N pa nožišče višine vb. Trikotnika ABM in ABN sta skladna, saj se ujemata v dveh kotih in eni stranici (AB je skupna,

ANB = 90◦ = AMB, BAC = CBA, ker je ABC enakokrak).

FDE = 180◦ − 3α2 , CFD =5α2 , ECF = 180

◦ − 3α, DEC = 2α

FBE = α, EFB = 180◦ − 4α, BEF = 3α, CBF = α, FCB = 180◦ − 5α, BFC = 4αFBE = α, EFB = 180◦ − 4α, BEF = 3α, CBF = α, FCB = 180◦ − 5α, BFC = 4α

80 60

Trikotnika ABD in BCE sta skladna, saj se ujemata v kotu in njemu priležnima stranicama ( |AB| = |EB| , |AD| = |EC| , BAD = BEC ). Ker sta D ABD in D BCE skladna, je |BC| = |BD|.

a) Enakokraki trikotnik. b) Enakostranični trikotnik. c) Topokotni trikotnik. d) Topokotni trikotnik. d) Točka T leži na Eulerjevi daljici. e) Razmerje je enako |ST | : |TV | = 1 : 2.

Ostra kota sta velika 30 in 60. Koti trikotnika so veliki 50, 50, 80 ali 70, 70, 40.

Koti trikotnika so veliki 30, 30 in 120.

c

ab

B

M

A

C60

1:2

1:2

c

a

b

B

M

A

C

60

c

a

b

BA

M

C

30

60120

60

167.

168.

169.

170.

171. 172.

173.

174.

175. 176.

177.

207

Rešitve – Obodni in središčni kot

Naj bo M pravokotna projekcija točke D na nosilko BC in N pravokotna projekcija D na nosilko AC. Naj bo M′ presečišče pravokotnice na nosilko AB skozi M z nosilko DN. Označimo BAC = α. 1. NDA = 90◦ − α, saj je D ADN pravokoten. 2. BDM = 90◦ − α, saj je D BMD pravokoten in je

MBD sovršen CBA = BAC = α . 3. |DM | = |DM | , saj je NDA = BDM in

je MM′ pravokotna na AD. 4. Nosilka BM′ je vzporedna nosilki AC, saj sta D BMD in

D BM′D skladna ( |MD| = |M D| , M DB = BDM , BD je skupna).

5. Razlika |DN | − |DM | = |DN | − |DM | je konstantna, saj je enaka razdalji med nosilko AC ter njej vzporedno premico, ki poteka skozi B in je neodvisna od položaja točke D.

Presečišče p in q označimo SV . Topi kot med p in q, to je kot med nosilkama simetral notranjih kotov pri B in C, je velik 90◦ + α2 , pri čemer je a velikost notranjega kota pri A. 1. Topemu kotu med p in q odštejemo 90 in dobimo α2 . 2. Narišemo daljico ASV . 3. Narišemo kota α2 ob ASV z vrhom A, katerih kraka sekata q in p v

C in B.

Presečišče p in q označimo T. Naj bo A′ razpolovišče AT. Dolžine stranic trikotnika DTA′ so enake tretjini dolžin težiščnic trikotnika ABC. 1. Daljica DT. 2. Vzporednica premici p skozi D, ki seka q v A′. 3. Trikotnik A′DT iz tretjin težiščnic. 4. Nanos dolžin |AA | = |A T | , |TC| = 2 |DT | , |TB| = 2 |A D|.

1. Narišemo trikotnik DEF. 2. Narišemo vzporednico DE skozi F, vzporednico EF skozi D in

vzporednico DF skozi E. Vzporednice se sekajo v ogliščih iskanega trikotnika ABC.

Naj bo D razpolovišče AB in E razpolovišče BC. Ker se težiščnice sekajo v razmerju 1 : 2, je |TA| = 2 |TE| in |TC| = 2 |DT |. 1. Na poltrak z začetkom D, ki poteka skozi T, nanesemo 2 |DT |

in dobimo C. 2. Na poltrak z začetkom E, ki poteka skozi T, nanesemo 2 |TE|

in dobimo A. 3. Nosilki daljic AD in CE se sekata v B.

OBODNI IN SREDIŠČNI KOT

a) Kota BLA in BMA sta velika 30. b) Obodni koti nad istim lokom so enako veliki.

c) Kot AMB je velik 150. č) Velja β = 180◦ − α.

a) Središčni kot je velik 80. b) Obodni kot je velik 20.

c) Središčni kot je dvakratnik obodnega kota nad istim lokom.

178.

c

a

a a aa

b

BD

M ′

M

N

A

C

90 - a90 - a

179.

c

a

pppp

qqqq

b

BA

C

SV90

60

α2α

2

α2

β2

β2

γ2

γ2

180.

c

ab

BDA

C

T

pppp

qqqq

A ′

181.

182.

|TD

|2 |TE|

|TE|

2 |TD

|

c

a

b

BD

T

E

A

C

183.

184.

208


a) Kot v polkrogu je pravi kot.

b) Središče pravokotnemu trikotniku očrtane krožnice leži v razpolovišču hipotenuze. Njen polmer je enak polovici hipotenuze (R = c2).

c) Dolžina težiščnice na hipotenuzo v pravokotnem trikotniku je enaka polovici dolžine hipotenuze: tc = c2.

a) 90 b) 135 c) 210 č) 131,78 d) 85,94 e) 11,46

a) π6 b) π4 c)

3π4 č)

π180 d) 2π e)

3π2

Notranji koti so veliki α = 70◦, β = 50◦ in γ = 60◦.

a) α = 40◦ b) α = 144◦ c) α = 32◦ č) α = 40,5◦ d) α = 90◦ e) α = 23◦

g) α = 70◦ g) α = 30◦ h) α = 115◦ i) α = 160◦ j) α = 120◦ k) α = 10◦

Obodni kot je velik 18 50′, središčni pa 37 40′.

Obodni kot je velik 45 23′ 23′′, središčni pa 90 46′ 46′′.

Večjemu loku pripada središčni kot 200, manjšemu loku pa obodni kot 80.

Obodni kot je velik 36.

60, 80, 40 α = 25◦, β = 25◦, γ = 130◦ α = 105◦, β = 100◦, γ = 75◦, δ = 80◦

Iz točk na daljšem loku vidimo tetivo pod kotom 30, iz točk na krajšem loku pa pod kotom 150.

Najmanjši neničelni kot je velik 40. Največji kot je velik 100.

a) b) Igralci morajo sedeti na loku krožnice, ki je obarvan črno.

a) 1. Stranica AB dolžine c = 5 cm. 2. Razpolovišče S daljice AB. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |AS|. 4. Vzporednica c na razdalji vc = 2 cm seka krožnico v točkah


185.

186.

187.

188.

189.

190.

191.

192.

193.

194. 195. 196.

197.

198. 199.

200.

3030

3030A B

S2

S1

1:2

3030

3030

60

A B

S2

S1 1:2 201.

Zaslon60 60

S

1:2

202.

A c

b1a1b2

a2

BS

C2 C1 1:2vc

209


b) 1. Stranica AB dolžine c = 2R = 6 cm. 2. Razpolovišče S stranice c. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |AS|. 4. Vzporednica c na višini vc = 2 cm seka krožnico v točkah


c) 1. Stranica AB dolžine c = 8 cm. 2. Razpolovišče S stranice c. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |AS|. 4. Vzporednica c na razdalji vc = 3 cm seka krožnico v točkah


A c

b1

a1b2a2

B

C2 C11:2vc

S

a) 1. Stranica AB dolžine c = 6 cm. 2. Razpolovišče S stranice c. 3. Krožnica v S s polmerom |AS|. 4. Lok v A s polmerom va = 4 cm seka krožnico v M. 5. Lok v B s polmerom vb = 5 cm seka krožnico v N. 6. Nosilki daljic AN in BM se sekata v točki C. 7. Trikotnik ABC.

b) 1. Stranica BC dolžine a = 6 cm. 2. Središče S daljice BC. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |SB|. 4. Lok v C s polmerom = 5,5 cmvc seka krožnico v M. 5. Lok v B s polmerom vb = 5 cm seka krožnico v N. 6. Nosilki daljic CN in BM se sekata v A. 7. Trikotnik ABC.

a) 1. Stranica AB dolžine c = 6 cm. 2. Kota 30 ob c, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |AS|. 4. Vzporednica stranici c na razdalji 2 cm seka krožnico v točkah


b) 1. Stranica BC dolžine a = 5 cm. 2. Kota 60 ob a, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |SB|. 4. Razpolovišče M stranice BC. 5. Lok v M s polmerom ta = 4 cm, ki seka krožnico v točkah

A1 in A2. 6. Trikotnika A1BC in A2BC.

c) 1. Stranica AC dolžine b = 5 cm. 2. Kota 30 ob zunanji strani b, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |SA|. 4. Vzporednica b na razdalji vb = 1 cm seka krožnico v točkah

B1 in B2. 5. Trikotnika AB1C in AB2C.

A c

b1a1b2

a2

B

C2 C11:2

vc

S

203. CMN

A c

b a

BS

1:2

M

N

A

c

ab

B

C

S

1:2

204.

A c

b1a1b2

a2

B

C2 C11:2

vc

60 S

S

a

b1

c1

c2

b2B M

A1

C

A2

1:2

60

A

S

b

c1

a1

c2

a2

C

B1

B2

1:2

vc

60

210


d) 1. Stranica AC dolžine b = 6 cm. 2. Kota 15 ob zunanji strani b, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |SA|. 4. Razpolovišče M daljice AC. 5. Lok v M s polmerom = 2,5 cmtb seka krožnico v točkah

B1 in B2. 6. Trikotnika AB1C in AB2C.

a) α = 65◦ b) α = 118◦ c) α = 55◦ č) α = 120◦

1. Narišemo dve poljubni nevzporedni tetivi.

2. Narišemo simetrali obeh tetiv, ki se sekata v središču krožnice.

1. Točke označimo A, B in C. 2. Narišemo daljici AB in AC. 3. Narišemo simetrali daljic AB in AC, ki se sekata v

središču krožnice S. 4. Narišemo krožnico s središčem S in polmerom |SA|.

1. Na premici izberemo točko, skozi katero narišemo pravokotnico. 2. Na eno stran pravokotnice odmerimo 3 cm (označimo S1), na drugo

stran 2 cm (označimo S2). 3. Narišemo krožnico s središčem S1 in polmerom 3 cm ter krožnico s

središčem S2 in polmerom 2 cm.

S1

S2

1:2

120

60

1. Narišemo daljico SM. 2. Narišemo pravokotnico

na SM skozi M.

1. Narišemo razpolovišče S daljice AB. 2. Narišemo krožnico s središčem S in polmerom |AS|.

Presečišči obeh krožnic označimo M in N. 3. Narišemo nosilki daljic BN in BM, ki sta iskani

tangenti. A

M

S

N

B

1:2

A

S b

c1

a1

c2

a2

C

B1

B2

1:2

3060

205.

206.

S

207.

AB

C

S

208.

209.

S

M120

60

1:2

210.

211


1. Narišemo krožnico s polmerom 3 cm in središčem S. 2. Narišemo središčni kot ASB = 120◦, katerega kraka

sekata krožnico v točkah A in B. 3. Narišemo pravokotnico na SA skozi A in pravokotnico

na SB skozi B. Ti pravokotnici sta tangenti na narisano krožnico, ki oklepata kot 60.

A

MS

B 1:2120

60

120

120

60

60

33

1. Načrtamo kot 75. 2. Narišemo vzporednici obema krakoma na razdalji 3 cm, ki

se sekata v središču krožnice S. 3. Skozi S položimo pravokotnico na en krak, ki ga seka v

točki M. 4. Narišemo krožnico s središčem S in polmerom |SM |.

1:2

M

S

90120 60

a) Točke A, M in N povežemo s središčem krožnice S. 1. D AMS in D ANS sta skladna, saj se ujemata v dveh stranicah in kotu nasproti

daljše stranice (AS je skupna, |MS| = r = |NS| , SMA = 90◦ = ANS). 2. AN in MN sta skladni, saj sta skladna D AMS in D ANS.

b) MSN = 100◦, NMS = 40◦, SNM = 40◦

Koti trikotnika SDC so veliki SDC = 30◦, DCS = 90◦, DSC = 60◦. Kot CEA je velik 60.

Narišemo daljico SB. 1. ABS = 24◦, ker je D SBA enakokrak. 2. CBD = CBS − SBA = 66◦ 3. ADS = 180◦ − SAD − DSA = 66◦ (D SAD). 4. CDB = 66◦, ker sta BDC in ADS sovršna. 5. D DBC je enakokrak, torej je |BC| = |CD|.Enakost |BC| = |CD| velja tudi, če je velikost kota a drugačna. Dokaz je analogen.

Notranji koti trikotnika MRT so veliki: TRM = 41◦, MTR = 41◦ in RMT = 98◦, pripadajoči zunanji koti pa 139, 139 in 82.

Oddaljena je 15 cm.

Označimo SEC = α. 1. DSE = SEC = α, ker je ∆SDE enakokrak. 2. EDS = 180◦ − SED − DSE = 180◦ − 2α. 3. SDC = 2α, ker sta EDS in SDC suplementarna. 4. SCD = SDC = 2α, ker je ∆SCD enakokrak. 5. CSD = 180◦ − SCD − SDC = 180◦ − 4α 6. FSC = 180◦ − CSD − DSE = 3α

Kot med tangentama je velik 60. ADC = 30◦. D ABC je pravokotni trikotnik.

211.

212.

213.

214. A

N

SM

215.

216.

217.

218.

219.

S

FC

D

E

r

ra

a

2a

2a

3a180 - 4a

180

- 2a

220. 221.

212

Rešitve – Štirikotniki

Označimo BAC = α in CBA = β ter S razpolovišče AB in N nožišče višine na hipotenuzo. 1. ACS = α, saj je D ASC enakokrak ( |AS| = c2 = tc). 2. NCB = 90◦ − β, ker je komplementaren kotu CBN . 3. SCN = ACB − ACS − NCB = β − α. Torej je v pravokotnem trikotniku kot med težiščnico in hipotenuzo res enak razliki velikosti ostrih kotov.

Naj bo ABC pravokotni trikotnik s hipotenuzo c in kotom a = 15. Naj bo S razpolovišče hipotenuze in N nožišče višine na hipotenuzo. 1. Trikotnik ASC je enakokrak, saj je |AS| = c2 = |SC|. 2. ACS = 15◦, saj je D ASC enakokrak. 3. SCN = ACB − ACS − NCB = 60◦. 4. D SNC je polovica enakostraničnega trikotnika, zato je vc = |NC| = |SC|2 =

c2

2 =c4.

5. Razmerje c : vc je enako c : c4 = 4 : 1 .

Naj bo AB poljubna tetiva in t tangenta na krožnico v točki B. Pravokotnica na t naj seka krožnico v točkah B in C. Označimo ACB = α. 1. BAC = 90◦, ker je kot v polkrogu. 2. ABC = 180◦ − BAC − ACB = 90◦ − α.Ostri kot med tetivo in tangento je zatorej enak 90 - ABC = α.

ŠTIRIKOTNIKI

a) N b) P c) P č) N d) P e) N

g) P g) P h) N i) P j) P

a) α = 42◦, β = 138◦, δ = 138◦ b) α = 48◦, γ = 130◦

c) α = 45 , β = 45◦◦ , δ = 135◦ č) α = 110◦, β = 75◦

e) ε = 70◦ e) α = 55◦, γ = 55◦, δ = 125◦

a = 10 cm, b = 4 cm, c = 8 cm, d = 4 cm

a) 1. Stranica AB dolžine a = 5 cm. 2. Kot 90 pri oglišču A. 3. Stranica AD dolžine 5 cm. 4. Vzporednica AD skozi B in vzporednica AB skozi D

se sekata v C. 5. Kvadrat ABCD.

b) 1. Diagonala AC dolžine 6 cm. 2. Koti 45 ob AC v oglišču A in v oglišču C. Njihovi kraki

se sekajo v točkah B in D. 3. Kvadrat ABCD.

222.

223.

224.

A

S

B

t

C

a

a

90 -

a

225.

226.

227.

228.

A B

D1:2

a

aa

a

A B

CD

a

aa

a1:2

30

30

60

60

213


c) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Kot 45 pri A. 3. Daljica AS dolžine e − a = 2 cm. 4. Kot 67,5 v točki S, katerega krak seka p v B. 5. Kot 90 v B in stranica BC dolžine |AB|. 6. Vzporednica AB skozi C in vzporednica BC skozi A

se sekata v D. 7. Kvadrat ABCD.

d) 1. Daljica AM dolžine e + a = 8 cm. 2. Kot 45 pri A in kot 22,5 pri M. Njuna kraka se sekata v B. 3. Kot 90 pri B, katerega krak seka AM v točki C. 4. Vzporednica BC skozi A in vzporednica AB skozi C

se sekata v D. 5. Kvadrat ABCD.

a) 1. Daljica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kot 90 pri A. 3. Daljica AD dolžine b = 2 cm. 4. Vzporednica AB skozi D in

vzporednica AD skozi B se sekata v C. 5. Pravokotnik ABCD.

b) 1. Daljica AB dolžine a = 5 cm. 2. Lok v A s polmerom e = 6 cm. 3. Kot 90 pri B, katerega krak seka lok v C. 4. Daljica BC. 5. Vzporednica AB skozi C in vzporednica BC

skozi A se sekata v D. 6. Pravokotnik ABCD.

c) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kot 30 pri A. 3. Pravokotnica na AB skozi B seka krak kota 30 v C. 4. Vzporednica AB skozi C in vzporednica BC skozi A

se sekata v D. 5. Pravokotnik ABCD.

d) 1. Diagonala BD dolžine e = 6 cm. 2. Kot 60 pri D in kot 30 pri B. Njuna kraka se sekata

v A. 3. Vzporednica AB skozi D in vzporednica AD

skozi B se sekata v C. 4. Pravokotnik ABCD.

e) 1. Stranica AD dolžine b = 3 cm. 2. Kot 60 pri D. 3. Pravokotnica v A na AD seka krak kota 60 v B. 4. Vzporednica AB skozi D in vzporednica AD

skozi B se sekata v C. 5. Pravokotnik ABCD.

A

S

B

CD

a

aa

a1:2

30

60

90120

60

75

A B

M

CD a

a

a

a

1:2

3060

3015 60

229.

A B

CD a

a

bb1:2

A B

CD a

b

a

b

1:2

A B

CD a

a

bb

1:2

60

1:2

A B

CD a

a

bb60

60

1:2

A B

CD a

a

bb

60

214


f) 1. Stranica CD dolžine a = 6 cm. 2. Kot DCA = 15◦. 3. Pravokotnica na DC skozi D seka krak kota DCA v A. 4. Vzporednica DC skozi A in vzporednica DA skozi C

se sekata v B. 5. Pravokotnik ABCD.

g) 1. Daljica AM dolžine a + b = 10 cm. 2. Kot 45 pri M. 3. Lok v A s polmerom e = 8 cm seka krak kota 45

v C1 in C2. 4. Pravokotni projekciji točk C1 in C2 na AM

označimo B1 in B2. 5. Vzporednica AB1 skozi C1 in vzporednica B1C1

skozi A se sekata v D1. 6. Vzporednica AB2 skozi C2 in vzporednica B2C2

skozi A se sekata v D2. 7. Pravokotnika AB1C1D1 in AB2C2D2.

h) 1. Daljica AM dolžine a − b = 2 cm. 2. Kot 45 pri M. 3. Lok v A s polmerom e = 5 cm seka krak kota 45 v C. 4. Vzporednica AB skozi C in

vzporednica BC skozi A se sekata v D. 5. Pravokotnik ABCD.

i) 1. Daljica AM dolžine a + e = 10 cm. 2. Pravokotnica na AM skozi A. 3. Daljica AD dolžine b = 3 cm. 4. Daljica MD. 5. Simetrala MD seka AM v B. 6. Pravokotnica na AB skozi B seka

vzporednico AB skozi D v točki C. 7. Pravokotnik ABCD.

j) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Pravokotnica p na AB skozi B. 3. Lok v B s polmerom e − b = 2 cm seka p v M. 4. Simetrala AM seka p v C. 5. Vzporednica AB skozi C in

vzporednica BC skozi A se sekata v D. 6. Pravokotnik ABCD.

1:2

A B

CD a

a

bb 6030

a2

a2

b2

B2

C2

B1

C1

A M

D2

D1 a1

a1

b1

b2

b1

1:2

30

60

1:2

A M B

CD

e

a

a

bb3060

1:2

A B M

CD a

a

b

e fb

1:2

A

M

B

CD a

a

bb

215


a) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kot a pri A. 3. Lok v A s polmerom b = 2 cm seka krak kota a v D. 4. Vzporednica AB skozi D in vzporednica AD

skozi B se sekata v C. 5. Paralelogram ABCD.

b) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kot b pri B. 3. Lok v B s polmerom b = 2 cm seka krak kota b v C. 4. Vzporednica AB skozi C in vzporednica BC

skozi A se sekata v D. 5. Paralelogram ABCD.

c) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Lok v B s polmerom b = 2 cm in lok v A

s polmerom e = 7 cm se sekata v C. 3. Vzporednica AB skozi C in vzporednica BC

skozi A se sekata v D. 4. Paralelogram ABCD.

d) 1. Stranica AB dolžine a = 5 cm. 2. Lok v A s polmerom b = 4 cm in lok v B

s polmerom f = 6 cm se sekata v D. 3. Vzporednica AB skozi D in vzporednica AD

skozi B se sekata v C. 4. Paralelogram ABCD.

e) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Vzporednica AB na razdalji va = 3 cm. 3. Lok v B s polmerom b = 4 cm seka vzporednico

v C1 in C2. 4. Vzporednica AB skozi C1 in vzporednica BC1

skozi A se sekata v D1. 5. Vzporednica AB skozi C2 in vzporednica BC2 skozi A se sekata v D2. 6. Paralelograma ABC1D1 in ABC2D2.

f) 1. Poltrak z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Kot α = 60◦ v A. 3. Vzporednica AB na razdalji va = 3 cm seka krak

kota a v D. 4. Lok v A s polmerom e = 6 cm seka vzporednico v C. 5. Vzporednica DC skozi A in vzporednica AD skozi C se sekata v B. 6. Paralelogram ABCD.

g) 1. Stranica BC dolžine b = 5 cm. 2. Lok v C s polmerom e2 = 3 cm in lok v B

s polmerom f2 = 4 cm se sekata v S. 3. C prezrcalimo čez S v A. B prezrcalimo čez S v D. 4. Paralelogram ABCD.

230.

1:2

A B

CD a

a

bb

60

1:2

A B

CD a

a

bb90

12060

1:2

A B

CD a

a

bb

1:2

A B

CD a

a

bb

a

b2

C1C2D2 D1 a

b1b2 b1

1:2

A Ba

1:2

A B

CD a

a

bb

60

1:2

A B

CD

S

a

a

bb

216


h) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kota 60 ob AB, katerih

kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in

polmerom |SA|. 4. Vzporednica AB na razdalji

va = 3 cm seka krožnico v točkah C1 in C2. 5. Vzporednica AB skozi C1 in vzporednica BC1 skozi A se sekata v D1. 6. Vzporednica AB skozi C2 in vzporednica BC2 skozi A se sekata v D2. 7. Paralelograma ABC1D1 in ABC2D2.

i) 1. Diagonala BD dolžine f = 6 cm. 2. Kota 30 ob BD, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica v S s polmerom |SB|. 4. Lok v razpolovišču BD s polmerom e2 = 5 cm seka

krožnico v A1 in A2. 5. Vzporednica A1B skozi D in

vzporednica A1D skozi B se sekata v C1. 6. Vzporednica A2B skozi D in

vzporednica A2D skozi B se sekata v C2. 7. Paralelograma ABC1D1 in ABC2D2

j) 1. Diagonala BD dolžine f = 6 cm. 2. Kota 45 ob BD, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica v S s polmerom |SB|. 4. Lok v razpolovišču BD s polmerom e2 = 5 cm seka

krožnico v točkah C1 in C2. 5. Vzporednica BC1 skozi D in vzporednica DC1

skozi B se sekata v A1. 6. Vzporednica BC2 skozi D in vzporednica DC2

skozi B se sekata v A2. 7. Paralelograma ABC1D1 in ABC2D2.

k) 1. Daljica AM dolžine a + b = 10 cm. 2. Kot a pri A. 3. Vzporednica AB na razdalji va = 3 cm seka krak

kota a v D. 4. Kot 75 v M, katerega krak seka vzporednico v C. 5. Daljica MC. 6. Simetrala MC seka AM v B. 7. Paralelogram ABCD.

l) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Vzporednica p na razdalji va = 3 cm. 3. Lok v A s polmerom e = 6 cm seka vzporednico v C. 4. Lok v A s polmerom a − b = 3 cm seka p v M. 5. Daljica MC. 6. Simetrala MC seka p v B. 7. Vzporednica BC skozi A seka vzporednico AB skozi C v točki D. 8. Paralelogram ABCD.

b2

C2C1

A B

D2D1

b1

a

1:2

a

S

a

b2

b1 60 60

A2

C2

A1

C1

B

S

D

1:2

60

60

A2

C2

A1

C1

D

B

S 1:2

30

60

30 60

A B M

CD a

a

bb

1:2

9012060

60

A M B

CD a

a

bb

1:2

217


m) 1. Daljica AM dolžine a + f = 8 cm. 2. Vzporednica AM na razdalji va = 3 cm. 3. Kot α = 60◦ pri A, katerega krak seka vzporednico

v D. 4. Daljica MD. 5. Simetrala MD seka AM v B. 6. Vzporednica AD skozi B in vzporednica AB skozi D se sekata v C. 7. Paralelogram ABCD.

n) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kot a pri A. 3. Daljica AM dolžine f − b = 3 cm, ki je podaljšek kraka

kota a. 4. Daljica MB. 5. Simetrala MB seka krak kota a v D. 6. Vzporednica AB skozi D in

vzporednica AD skozi B se sekata v C. 7. Paralelogram ABCD.

a) 1. Stranica AB dolžine a = 4 cm. 2. Kot a pri A. 3. Lok v A s polmerom a = 4 cm seka krak kota a v D. 4. Vzporednica AB skozi D in vzporednica AD skozi

B se sekata v C. 5. Romb ABCD.

b) 1. Stranica AB dolžine a = 5 cm. 2. Lok v A s polmerom e = 3 cm in lok v B s polmerom

a = 5 cm se sekata v C. 3. Vzporednica AB skozi C in vzporednica BC skozi

A se sekata v D. 4. Romb ABCD.

A B

CD a

a

aa

1:2

c) 1. Stranica AB dolžine a = 4 cm. 2. Lok v A s polmerom a = 4 cm in lok v B s polmerom

f = 5 cm se sekata v D. 3. Vzporednica AB skozi D in vzporednica AD skozi

B se sekata v C. 4. Romb ABCD.

d) 1. Diagonala AC dolžine e = 4 cm. 2. Razpolovišče S daljice AC. 3. Simetrala AC. 4. Lok v S s polmerom f2 cm seka simetralo v točkah B in D. 5. Romb ABCD.

e) 1. Stranica AB dolžine a = 4 cm. 2. Vzporednica AB na razdalji va = 3 cm. 3. Lok v A s polmerom a = 4 cm seka vzporednico v

D1 in D2. 4. Vzporednica AB skozi D1 in vzporednica AD1 skozi

B se sekata v C1. 5. Vzporednica AB skozi D2 in vzporednica AD2 skozi B se sekata v C2. 6. Romba ABC1D1 in ABC2D2.

A B M

CD a

a

bb

1:2

60

A

M

B

CD a

a

bb

1:2

60

231.

60

A B

CD a

a

aa

1:2

A B

CD a

a

aa

1:2

AB

C

D

S

a

a

a

a

1:2

C1D1

A B

D2 C2

a

218


f) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Vzporednica AB na razdalji va = 2 cm. 3. Lok v A s polmerom e = 6 cm seka vzporednico v C. 4. Simetrala daljice AC seka p v B in vzporednico v D. 5. Romb ABCD.

g) 1. Diagonala AC dolžine e = 6 cm. 2. Simetrala AC. 3. Koti 37,5 ob AC, katerih kraki se sekajo v B in D. 4. Romb ABCD.

h) 1. Daljica AM dolžine e + a = 6 cm. 2. Kot 15 pri M in kot 30 pri A. Njuna kraka se sekata v B. 3. B prezrcalimo čez AM v točko D. 4. Vzporednica AB skozi D seka AM v C. 5. Romb ABCD.

i) 1. Daljica AM dolžine e2 +f2 = 5 cm.

2. Lok v A s polmerom a = 4 cm. 3. Kot 45 pri M, ki seka lok v B1 in B2. 4. Daljici MB1 in MB2. 5. Simetrali MB1 in MB2 sekata AM v S1 in S2. 6. Točki A in B1 prezrcalimo čez S1 v C1 in D1. 7. Točki A in B2 prezrcalimo čez S2 v C2 in D2. 8. Romba AB1C1D1 in AB2C2D2.

j) 1. Poltrak p z začetkom B, ki poteka skozi A. 2. Kot β = 60◦ pri B. 3. Simetrala kota b pri B. 4. Lok v B s polmerom f − a = 2 cm seka simetralo v M. 5. Kot 75 pri M, ki seka p v A. 6. Kot a pri A, katerega krak seka simetralo v D. 7. Vzporednica AB skozi D seka krak kota b v C. 8. Romb ABCD.

a) 1. Stranica AB dolžine a = 7 cm. 2. Vzporednica AB na razdalji v = 3 cm. 3. Lok v A s polmerom d = 4,5 cm seka vzporednico

v D1 in D2. 4. Lok v B s polmerom b = 3,5 cm seka vzporednico

v C1 in C2. 5. Trapezi ABC1D1, ABC1D2, ABC2D1 in ABC2D2.

A B

CD a

a

aa

1:2

A B

CD a

a

aa

1:2

75

75

90

90

120

120

60

60

A B

CM

D a

a

aa1:2

30 60

60

1:2a2

a2

a2

D2 D1

a1

a1

a1

a2

a1

B2

C2 B1

C1

A

M

S2

S1

3060

90 120

60

A B

M

CD a

a

aa

232.

b2

C2

C1

A

B

D2

D1

b1

a

d2

d11:2

219


b) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kot a pri A. 3. Lok v A s polmerom d = 3 cm seka krak kota a v D. 4. Vzporednica AB skozi D. 5. Lok v B s polmerom b = 4 cm seka vzporednico v

C1 in C2. 6. Trapeza ABC1D in ABC2D.

c) 1. Stranica AB dolžine a = 7 cm. 2. Lok v A s polmerom e = 6 cm in lok v B s polmerom

b = 4 cm se sekata v C. 3. Vzporednica AB skozi C. 4. Lok v C s polmerom c = 3 cm seka vzporednico v D. 5. Trapez ABCD.

d) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Vzporednica AB na razdalji v = 3 cm. 3. Kot a pri A, katerega krak seka vzporednico v D. 4. Kot β = 180◦ − γ = 60◦ pri B, katerega krak

seka vzporednico v C. 5. Trapez ABCD.

e) 1. Stranica AB dolžine a = 8 cm. 2. Lok v A s polmerom a − c = 5 cm seka AB v M. 3. Lok v A s polmerom d = 5 cm in lok v M s polmerom

b = 4 cm se sekata v D. 4. Vzporednica AB skozi D in vzporednica MD

skozi B se sekata v C. 5. Trapez ABCD.

f) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Lok v A s polmerom a − c = 3 cm seka AB v M. 3. Kot a pri A. 4. Kot b pri M, katerega krak seka krak kota a v D. 5. Vzporednica AB skozi D. 6. Lok v D s polmerom c = 3 cm seka vzporednico v C. 7. Trapez ABCD.

g) 1. Stranica AB dolžine a = 7 cm. 2. Kota 30 ob AB, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |AS|. 4. Vzporednica AB na razdalji v = 3 cm seka krožnico

v točkah C1 in C2. 5. Loka v C1 in C2 s polmerom c = 4 cm sekata

vzporednico v D1 in D2. 6. Trapeza ABC1D1 in ABC2D2.

c2

b2

C2 C1

A B

D c1

b1

a

d

1:260

A B

CD c

a

bd

1:2

A B

CD1:2

30

60 60

MA B

CD c

a - c a

b bd

1:2

MA B

CD c

a

bd

1:2

30

60 60

c2

b2

C2

C1

A

S

B

D2

D1

c1 b1

a

d2

d1

1:2

60

60

220


h) 1. Stranica AB dolžine a = 7 cm. 2. Kota 15 ob AB, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |AS|. 4. Vzporednica AB na razdalji v = 4 cm seka krožnico

v točkah D1 in D2. 5. Lok v A s polmerom e = 7 cm seka vzporednico v C. 6. Trapeza ABCD1 in ABCD2.

i) 1. Daljica AM dolžine a + c = 10 cm. 2. Vzporednica AM na razdalji v = 3 cm. 3. Kot a v A, katerega krak seka vzporednico v D.

Kot b v M, katerega krak seka vzporednico v N. 4. Razpolovišče C daljice DN. 5. Vzporednica MN skozi C seka AM v B. 6. Trapez ABCD.

j) 1. Daljica MN dolžine a + b + d = 10 cm . 2. Vzporednica MN na razdalji v = 2 cm. 3. Kot 30 pri M, katerega krak seka vzporednico v D. 4. Kot 22,5 pri N, katerega krak seka vzporednico v C. 5. Simetrala MD seka MN v A, simetrala CN

seka MN v B. 6. Trapez ABCD.

k) 1. Poltrak p z začetkom B, ki poteka skozi A. 2. Lok v B s polmerom a − e = 1 cm, ki seka p v M. 3. Vzporednica p na razdalji v = 4 cm. 4. Kot β = α = 60◦ pri B, katerega krak seka

vzporednico v C. 5. Daljica MC. 6. Simetrala MC seka p v A. 7. Kot a pri A, ki seka vzporednico v D. 8. Trapez ABCD.

l) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kota 30 ob AB, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |AS|. 4. Vzporednica AB na razdalji v = 4,5 cm seka krožnico

v točkah C in D. 5. Trapez ABCD.

a) 1. Stranica AB dolžine a = 6 cm. 2. Kot a v A. 3. Lok v A s polmerom b = 3 cm seka krak kota a v D. 4. A prezrcalimo čez BD in dobimo C. 5. Deltoid ABCD.

c2

A

S

B

CD2 D1c1

a

d2 d1

1:2

b

3060 30 60

A B

C N

M

D c

a

bd

1:2

90

120 60 60

A B

C

NM

D c

a

bd

1:2

3015

6060

A B

C

M

D c

a

bb

1:2

60 60

A B

C

S

D c

a

bb

1:2

60 60

233.

A

B

C

D

ab

ab

1:2

60120

221


b) 1. Diagonala AC dolžine e = 6 cm. 2. Lok v A s polmerom a = 5 cm in lok v C s polmerom

a = 5 cm se sekata v B. 3. Lok v A s polmerom b = 4 cm in lok v C s polmerom

b = 4 cm se sekata v D. 4. Deltoid ABCD.

c) 1. Diagonala AC dolžine e = 4 cm. 2. Simetrala AC. 3. Lok v A s polmerom b = 3 cm seka simetralo v D. 4. Lok v D s polmerom f = 6 cm seka simetralo v B. 5. Deltoid ABCD.

d) 1. Diagonala AC dolžine e = 4 cm. 2. Simetrala AC. 3. Lok v A s polmerom a = 5 cm seka simetralo v B. 4. Lok v B s polmerom f = 7 cm seka simetralo v D. 5. Deltoid ABCD.

e) 1. Diagonala BD dolžine f = 6 cm. 2. Lok v B s polmerom a = 5 cm in lok v D s polmerom

b = 3 cm se sekata v A in C. 3. Deltoid ABCD.

f) 1. Diagonala BD dolžine f = 7 cm. 2. Kota 15 pri B in kota 30 pri D. Njuni kraki se sekajo

v A in C. 3. Deltoid ABCD.

g) 1. Diagonala AC dolžine e = 5 cm. 2. Kota 60 pri A in C, katerih kraka se sekata v D. 3. Kota 75 pri A in C, katerih kraka se sekata v B. 4. Deltoid ABCD.

h) 1. Diagonala BD dolžine f = 7 cm. 2. Kota 30 ob BD, katerih kraka se sekata v S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom |BS|. 4. Vzporednici BD na razdalji e2 = 1, 5 cm1,5 cm sekata krožnico v

točkah A1 in C1 ter A2 in C2. 5. Deltoida A1BC1D in A2BC2D.

A

B

C

D

a

ba

b

1:2

A

B

C

D

a

b a

b

1:2

A

B

C

D

a

b a

b

1:2

A

B

C

D

a

ba

b

1:2

A

B

C

Da

b a

b1:2

30 6060

1:4

A

B

C

Da

b a

b 90120

60

60

60

90

120

60

A1a2

b2

C2

A2

C1S

a1b1

a2b2

a1b1

BD

1:260 60

222


i) 1. Daljica MC dolžine a + e = 8 cm. 2. Kot 37,5 pri M in kot 75 pri C. Njuna kraka se sekata v B. 3. Simetrala MB seka MC v točki A. 4. Pravokotnica na AC skozi B. 5. Lok v C polmera b = 3 cm seka pravokotnico v D. 6. Deltoid ABCD.

j) 1. Poltrak p z začetkom B, ki poteka skozi A. 2. Lok v B s polmerom a − b = 3 cm seka p v M. 3. Kot 30 pri M. 4. Lok v B s polmerom f = 7 cm seka krak kota 30 v D. 5. Simetrala MD seka p v A. 6. A prezrcalimo čez BD in dobimo C. 7. Deltoid ABCD.

a) 1. Stranica AB dolžine c = 6 cm. 2. Vzporednica AB na razdalji vc = 3 cm . 3. Lok v A s polmerom 2ta = 8 cm seka vzporednico v M. 4. Razpolovišče S daljice AM. 5. Nosilka BS seka vzporednico v C. 6. Trikotnik ABC.

b) 1. Poltrak p z začetkom A, ki poteka skozi B. 2. Kot a v A. 3. Lok v A s polmerom b = 4 cm seka

krak kota a v C. 4. Vzporednica AB skozi C. 5. Lok v A s polmerom 2ta = 10 cm seka

vzporednico v M. 6. Razpolovišče S daljice AM. 7. Nosilka CS seka p v B. 8. Trikotnik ABC.

c) 1. Stranica AB dolžine c = 4 cm. 2. Lok v A s polmerom a = 4 cm in lok v B

s polmerom 2tb = 7 cm se sekata v M. 3. Razpolovišče S daljice MB. 4. A prezrcalimo čez S v točko C. 5. Trikotnik ABC.

d) 1. Stranica AC dolžine b = 5 cm. 2. Lok v A s polmerom a = 3 cm in lok v C

s polmerom 2tc = 6 cm se sekata v M. 3. Razpolovišče S daljice MC. 4. Oglišče A prezrcalimo čez S v oglišče B. 5. Trikotnik ABC.

1:2

AM

B

C

D

a

b

a

b

90

120 7560

90

12060

1:2

A

M

B

C

D

a

b a

b

60

234. 1:2

A

S

M

B

C

c

b a

1:2

AS

M

B

C

c

ba

90

120

60

1:2

A

S

M

B

C

c

ba

1:2A

S

M B

C

c

b

a

223


a) α = 60◦, δ = 50◦ b) γ = 89◦, δ = 68◦ a) c = 6 cm b) a = 4 cm

a) x = 30◦ b) x = 122,5◦ c) x = 23◦

d) x = 75◦ d) x = 100◦ e) x = 110◦

Označimo LNA = ε. 1. AKL = 180◦ − ε, ker je ANLK tetivni štirikotnik. 2. LKC = ε, ker sta AKL in LKC suplementarna. 3. BNL = 180◦ − ε, ker sta LNA in BNL suplementarna. 4. LMB = ε, ker je NBML tetivni štirikotnik. 5. CML = 180◦ − ε, ker sta LMB in CML

suplementarna.Štirikotnik LMCK je tetivni, saj je vsota nasprotnih kotov CKL in LMC enaka 180.

Označimo ACE = ϕ. 1. EBA = 180◦ − ϕ, ker je CABE tetivni

štirikotnik. 2. ABF = ϕ, ker sta EBA in ABF

suplementarna. 3. ADF = 180◦ − ϕ, ker je ADFB tetivni

štirikotnik. 4. Sokot kota FDA je velik j. CE in DF sta

vzporedni, ker sekata nosilko CD pod enakim kotom j.

Označimo AED = α, N nožišče va, M nožišče vc. 1. MEN = 180◦ − α, ker sta AEM in MEN suplementarna. 2. MBN = α, ker je vsota kotov v štirikotniku MBNE enaka 360. 3. CDA = α, ker sta CDA in CBA obodna kota nad istim

lokom. D ADE je enakokrak, saj je EDA = α = AED.

Slamica je dolga 22 cm.

a) Pod kotom 40. b) Pod kotom 80. c) Pod kotom 80.

Označimo ESB = α in CSF = β. 1. DSE = ESB = α 2. FSD = CSF = β 3. FSE = DSE + FSD = α + β 4. CSB = ESB + DSE + FSD + CSF = 2α + 2β Središčni kot nad manjšim lokom, ki ga določata B in C, je enak 2α + 2β, kot FSE pa je enak polovici njegove velikosti. Zato ostaja enak, ne glede na izbiro točke D.

a) 108 b) 144 c) 174,55 Pravilni 45-kotnik ima notranji kot velik 172.

a) 51,43 b) 30 c) 6 Pravilni 10-kotnik ima zunanji kot velik 36.

235. 236.

237.

238.

e

e

e

A B

C

N

K

L

M180 - e

180 - e

180

- e

239.

D

A

B

C

N

E F

K1K2

180 - j

180 - j

j

j

240.

E N

A BM

C

K

Da

a

a18

0 - a

241.

242.

243. B

aab

b

F

E

AS

C

D

244. 245.

246. 247.

224


a) 119 b) 158,82 Notranji kot je velik 157,5. MCB = 50◦

Včrtan pravilni 6-kotnik 1. Na krožnici izberemo poljubno točko A. 2. Lok v A s polmerom 4 cm seka krožnico v B in F. 3. Lok v B s polmerom 4 cm seka krožnico v C. 4. Lok v C s polmerom 4 cm seka krožnico v D. 5. Lok v D s polmerom 4 cm seka krožnico v E. 6. Šestkotnik ABCDEF.

Očrtan pravilni 6-kotnik 1. Na krožnici s središčem S izberemo poljubno točko A1. 2. Lok v A1 s polmerom 4 cm seka krožnico v B1 in F1. 3. Lok v B1 s polmerom 4 cm seka krožnico v C1. 4. Lok v C1 s polmerom 4 cm seka krožnico v D1. 5. Lok v D1 s polmerom 4 cm seka krožnico v E1. 6. Pravokotnice na SA1, SB1, SC1, SD1, SE1, SF1 skozi

A1, B1, C1, D1, E1, F1 se sekajo v A, B, C, D, E, F. 7. Šestkotnik ABCDEF.

Včrtan pravilni 8-kotnik 1. Narišemo poljubno premico skozi središče krožnice S,

ki seka krožnico v E in A. 2. Pravokotnica na EA skozi S seka krožnico v C in G. 3. Simetrale kotov ASC, CSE, ESG, GSA sekajo krožnico

v B, D, F, H. 4. Osemkotnik ABCDEFGH.

Očrtan pravilni 8-kotnik 1. Narišemo poljubno premico skozi središče krožnice S,

ki seka krožnico v A1 in E1. 2. Pravokotnica na A1E1 skozi S seka krožnico v C1 in G1. 3. Simetrale kotov A1SC1, C1SE1, E1SG1, G1SA1. 4. Pravokotnice na SA1 skozi A1, na SB1 skozi B1,

na SC1 skozi C1, na SD1 skozi D1 … se sekajo v točkah A, B, C, D …

5. Osemkotnik ABCDEFGH.

A′B ′C ′D je kvadrat, saj so trikotniki A′B ′A, B′BC ′, C ′CD′ in D′DA′ skladni z dvema komplementarnima kotoma. Ploščina kvadrata A′B ′C ′D je enaka 5a2.

248. 249. 250.

251. 1:2

B

F

AE

C

D

1:2B

F

A

E

C

SD

D1

C1

B1

A1

F1

E1

252. 1:2

B

F

AE

C

D

H

G

S

1:2B

F

A

E

C

D

H

G

D1

C1

H1

B1

A1

G1

F1

E1S

253.

225


RPM= 220◦, PMV = 20◦, MV R = 100◦, V RP = 20◦

30, 90, 90, 150

c) Označimo presečišče UP in MN s točko T. 1. Trikotnika MP T in MUT sta skladna, saj se ujemata v kotu in njemu

priležnima stranicama. ( UTM = MTP , |UT | = |TP |, MT je skupna)

2. Ker sta D MP T in D MUT skladna, je |MU | = |MP | in zato je D MPU enakokrak trikotnik.

d) Točka S je razpolovišče daljice MN in razpolovišče daljice PR. Obe daljici sta diagonali štirikotnika RMPN. Ker se razpolavljata, je štirikotnik paralelogram.

a) BSA = 80◦, SAE = 90◦, AEB = 100◦, EBS = 90◦

b) ADB = 40◦, DAE = 110◦, BEA = 100◦, DBE = 110◦

Naj bo A′ pravokotna projekcija točke A na BD in C ′ pravokotna projekcija točke C na BD. 1. A′ sovpada z razpoloviščem BD, ker je ABD enakokrak trikotnik. 2. C ′ sovpada z razpoloviščem BD, ker je BCD enakokrak trikotnik.Torej A′ in C ′ sovpadata in zato se AA′ in C ′C povežeta v daljico AC, ki je pravokotna na BD.

Vsota kotov pravilnega petkotnika je enaka 540, vsota kotov pravilnega šestkotnika pa 720.

A7A6A3 = 90◦, A3A7A6 = 67,5◦, A7A3A6 = 22,5◦

60

Nastali štirikotnik je enakokraki trapez, saj: 1. sta EE ′ in FF ′ vzporedni, ker sta obe pravokotni na AC, 2. je |EF | = |E F | , ker je E ′F ′ zrcalna slika EF glede

na nosilko BD.

Označimo presečišče diagonal s točko S. Trikotnika AES in CFS sta skladna, ker se ujemata v kotu in stranicah ob njem ( ASB = CSD, |AS| = |SC| , |ES| = |SF | ). Ker sta SEA in CSF skladna, je |AE| = |FC|. Kot AGE je velik 30.

18 cm, 12 cm Osnovnici trapeza sta dolgi 40 cm in 24 cm.

Osnovnica AB je dolga 100 cm.

Stranice paralelograma so dolge 9,5 cm, 14,5 cm, 9,5 cm in 14,5 cm.

70 cm ali 52,5 cm Kot CED je velik 150. o = 70 cm, S = 300 cm2

Stranici paralelograma sta dolgi 10 cm in 17 cm.

254.

255.

256.

M

NT

U

R

SP

257.

258.

259.

260.

261.

262.

1:2

B

F

E

b

A

CD

E ′

F ′

263.

264. 265.

266.

267.

268. 269. 270.

271.

226


Naj bo v D ABC točka P nožišče vc, Q nožišče va in R nožišče vb. Višinsko točko označimo V, kot QAR = ϕ . 1. V PR = V AR = ϕ , ker je APRV tetivni štirikotnik. 2. ACQ = 90◦ − ϕ , ker je vsota kotov v D AQC enaka 180. 3. QBR = ϕ , ker je vsota kotov v D RBC enaka 180. 4. QPV = QBV = ϕ , ker je PBQV tetivni štirikotnik.Torej je PC simetrala kota RPQ. Analogno dokažemo, da sta tudi AQ in BR simetrali kotov trikotnika PQR. Ker je V presečišče simetral notranjih kotov trikotnika PQR, je tudi središče včrtane krožnice.

Štirikotnik ABDE je tetivni štirikotnik, saj po Talesovem izreku vrha pravih kotov ADB in AEB ležita na krožnici. Torej lahko ABDE očrtamo krožnico. 1. Narišemo daljico ED. 2. Narišemo simetralo ED, ki seka premico p v točki S. 3. Krožnica s središčem S in polmerom SE, ki seka p v

točkah A in B. 4. Poltraka AE in BD se sekata v točki C. (Točki D in E sta lahko na različnih bregovih premice p – tedaj je trikotnik ABC topokoten. Trikotnik ne obstaja, če poteka premica p skozi razpolovišče daljice DE.)

1. Točki U in T prezrcalimo čez S. Njuni sliki U ′ in T ′ ležita na istih dveh nosilkah stranic kvadrata kot U in T.

2. Premici (nosilki stranic kvadrata) skozi U, T ′ in T, U ′. 3. Pravokotnica na nosilki skozi S, ki ju seka v točkah M in N. Dolžina

stranice kvadrata je enaka |MN |. 4. Levo in desno od M in N odmerimo |MN |2 in dobimo oglišča

kvadrata.

Naj premica q leži med p in r. Naj bo A poljubna točka na q. 1. Pravokotnica na q skozi A naj seka p v P in r v R. 2. Narišemo kvadrat RPP1R1, kjer P1 leži na p, R1 pa na r. 3. Narišemo C na daljici P1R1 tako, da je |P1C| = |RA|. 4. Narišemo simetralo daljice AC, ki seka r v B in p v D. 5. Narisali smo kvadrat ABCD.

1. Narišemo trikotnik TUV. 2. Simetrali stranic TU in UV sta simetrali kotov TDU in UCV

zaradi |TD| = |DU | in |UC| = |CV |. Presečišče simetral označimo S.

3. Krožnica s središčem S in polmerom |SU | je včrtana kotoma TDU in UCV.

4. Narišemo pravokotnice na polmere ST, SU in SV, ki se sekajo v točkah D in C.

5. Narišemo daljici DA in CB dolžine |DC|. 6. Narisali smo štirikotnik ABCD.

272.

B

R

Q

j j jj

A

V

C

P

90 - j

273.

A BS p

C

D

E

274.

T

M

UN

S

U ′

T ′

275.

A

Pp

q

rRB

C

R1

P1D

276.

AS

V

U

T

B

CD

227

VEKTORSKE KOLIČINE−−AA,

−−−AB ,

−−−AC ,

−−−AD,

−−−BB,

−−−BA,

−−−BC ,

−−−BD,

−−−CA,

−−−CB ,

−−−CC ,

−−−CD,

−−−DA,

−−−DB,

−−−DC ,

−−−DD

a) −−−AD,

−−−BA,

−−−BC ,

−−−CB,

−−−CD,

−−−DA,

−−−DC b)

−−−BA,

−−−DC ,

−−−CD c) −−−DC č)

−−−BA,

−−−CD

−−AA,

−−−AB ,

−−−AC ,

−−−AD,

−−−AE ,

−−−AF ,

−−−BB,

−−−BA,

−−−BC ,

−−−BD,

−−−BE ,

−−−BF ,

−−−CA,

−−−CB,

−−−CC ,

−−−CD,

−−−CE ,

−−−CF ,

−−−DA,

−−−DB,

−−−DC ,

−−−DD,

−−−DE ,

−−−DF ,

−−−EA,

−−−EB,

−−−EC ,

−−−ED,

−−−EE ,

−−−EF ,

−−−FA,

−−−FB,

−−−FC ,

−−−FD,

−−−FE ,

−−−FF

a) −−−AC ,

−−−AE ,

−−−BD,

−−−CE ,

−−−CA,

−−−DB,

−−−DF ,

−−−EA,

−−−EC ,

−−−FB,

−−−FD

b) −−−AF c)

−−−FA,

−−−CD,

−−−DC ,

−−−BE ,

−−−EB č)

−−−BC ,

−−−FE

−−AA,

−−−AB ,

−−−AC ,

−−−AD,

−−AS ,

−−−BB,

−−−BA,

−−−BC ,

−−−BD,

−−BS,

−−−CA,

−−−CB,

−−−CC ,

−−−CD,

−−CS ,

−−−DA,

−−−DB,

−−−DC,

−−−DD,

−−DS ,

−−SA,

−−SB,

−−SC ,

−−SD,

−−SS

a) −−AA,

−−−BB ,

−−−CC ,

−−−DD,

−−SS in

−−−AB,

−−−BA,

−−−CD,

−−−DC in

−−−AD,

−−−DA,

−−−BC ,

−−−CB in

−−AS ,

−−BS ,

−−CS,

−−DS ,

−−SA,

−−SB,

−−SC ,

−−SD in

−−−AC ,

−−−CA,

−−−BD,

−−−DB

b) −−−AB,

−−−BA,

−−−CD,

−−−DC in

−−−AD,

−−−DA,

−−−BC ,

−−−CB in

−−AS,

−−CS ,

−−SA,

−−SC ,

−−−AC ,

−−−CA in

−−BS ,

−−DS,

−−SB,

−−SD,

−−−BD,

−−−DB

c) −−DS č)

−−SB,

−−DS

a) −−−B B ,

−−−A A,

−−−AA ,

−−−C C ,

−−−CC ,

−−−−D D,

−−−−DD b)

−−−BA,

−−−CD,

−−−DC ,

−−−−A B ,

−−−−B A ,

−−−−C D ,

−−−−D C

c) −−−−B A ,

−−−−C D ,

−−−CD,

−−−BA č)

−−−AB,

−−−BA,

−−−CD,

−−−DC ,

−−−−A B ,

−−−−B A ,

−−−−C D ,

−−−−D C

a) −−−AB,

−−−BA,

−−−BC ,

−−−CB,

−−−AC ,

−−−CA,

−−−−A B ,

−−−−B A ,

−−−−B C ,

−−−−C B ,

−−−−A C ,

−−−−C A

b) −−−BA,

−−−−A B ,

−−−−B A c)

−−−A A,

−−−B B,

−−−C C c)

−−−BA,

−−−−A B ,

−−−−B A c)

−−−A A,

−−−B B,

−−−C C

a) Vektorjev je 2n − 1. b) Če je n liho število, ni enak noben vektor; če je n sodo število, je enak en vektor.

c) Vektorjev je n · (n − 3).

a) Določajo 4 vektorje. b) Določajo 6 vektorjev. c) Določajo 96 vektorjev.

a) Enotskih je 38 vektorjev. b) Dolgih 2 cm je 36 vektorjev. c) Dolgih 3 cm je 34 vektorjev.

a) 2 točki določata 4 vektorje. b) 3 točke določajo 9 vektorjev. c) 8 točk določa 64 vektorjev.

Enotska vektorja sta −−−BC in

−−−CB.

Enaki so −−−AB =

−−−AD,

−−−BC =

−−−DC ,

−−−BE =

−−−DE ,

−−−BA =

−−−DA,

−−−CB =

−−−CD,

−−−EB =

−−−ED.

VZPOREDNI PREMIK V RAVNINI

a) b) c)

277.

278.

279.

280.

2

Documents

OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMI - eVedez.sivedez.dzs.si/datoteke/mat2vaje-resitve.pdfRešitve – Osnovni geometrijski pojmi REŠITVE OSNOVNI GEOMETRIJSKI POJMI Določajo 6 različnih daljic,