- Skup – ne definiše se- Podskup:

- D1 – A B ako svaki elemenat skupa A jeste u elemenat skupa B.- D2 – Partitivni skup skupa A, P(A) je skup svih podskupova skupa A.- D3 – - T1 – Ako je tada je

- Uređeni par:- (a,b) – elementi mogu biti različiti ili jednaki.- T2 – (a,b) = (c,d) ako i samo ako a = c i b = d.- D4 – Uređena n-torka (a1, a2, a3, ... an) je ((a1, a2, a3, ... an-1), an).- D5 – Dekartov proizvod skupova A i B, A × B je

A × B = {(a,b): a A, b B}A × A = A2 = {(a1,a2): a1, a2 A}An = An-1 × A, A1 = A.

- D6 – Preslikavanje je jedan podskup skupa A × B sa osobinama:1o skup prvih komponenti jeste skup A,2o ako (x,y) f i (x,z) f, tada je y = z.

- T3 – Preslikavanja f i g su jednaka ako i samo ako imaju iste domene i za za svako x iz domena je f(x) = g(x).

- Vrste preslikavanja- D7 – Preslikavanje je “1 - 1” preslikavanje (injekcija), ako se različiti originali

preslikavaju u različite slike.- D8 – Preslikavanje je preslikavanje NA skup B (sirjekcija) ako je svaki elemenat skupa

B slika nekog elementa iz skupa A.- D9 – Preslikavanje je obostrano jednoznačna korespodencija (bijekcija) ako je

istovremeno i “1 - 1” I NA. (skupovi su jednaki samo ako su konačni, ne moraju biti ako su beskonačni!!) (jedan original – jedna slika)

- D10 – Neka je i , proizvod (kompozicija) preslikavanja f i g je preslikavanje definiše sa x X.

- T4 – Ako je tada je (fg) h = f (gh). – osobina asocijativnosti kompozicije preslikavanja.

- D11 – Identičko preslikavanje skupa X definisano je sa - D12 – Ako je i ako postoji preslikavanje takvo da je identičko preslikavanje

skupa X i identičko preslikavanje f(x), kaže se da je inverzno preslikavanej skupa X.- T5 – Ako je f “1 - 1” preslikavanje, tada postoji inverzno preslikavanje i ono je jedinstveno.- D13 – Binarna relacija ρ u skupu A je svako preslikavanje ρ: A2 { }. (Ili {1,0})- D14 – Binarna relacija ρ u skupu A jeste svaki podskup ρ skupa A2.- D15 – n-arna relacija ρ u skupu A jeste svaki podskup ρ skupa An.- D16 – Relacija ρ je reflektivna ako je za x ρ x.- D17 – Relacija ρ je simetrična ako je za (x ρ y y ρ x).- D18 – Relacija ρ je antisimetrična ako je za ( x ρ y y ρ x x = y).- D19 – Relacija ρ je tranzitivna ako je za .- D20 – Relacija ρ koja je refleksivna, antisimetrična, i tranzitivna naziva se relacija parcijalnog uređenja.

- D21 – Ako su u relaciji parcijalnog uređenja ρ bilo koja dva elementa uporediva (tj. ili x ρ y ili y ρ x) onda se kaže da je skup tom relacijom potpuno uređen, ili da obrazuje lanac, a relacija ρ, naziva se relacija totalnog (striktnog ili linearnog) uređenja.

Opšta algebra

- D22 – Binarna operacija f u skupu A jeste svako preslikavanje f: - D23 – n-arna operacija f:

n = 1 – unarna operacija- D24 – Uređen par (G, ) gde je G skup, a binarna operacija u G, naziva se grupoid.- D25 – Operacija je komutativna - D26 – Operacija je asocijativna - D27 – Ako je u grupoidu (G, ) operacija komutativna, (G, ) je komutativan grupoid.- D28 – Ako u grupoidu (G, ) za neko važi elementi x i y su permutabilni.- D29 – Ako je u grupoidu (G, ) operacija asocijativna, (G, ) se naziva semi – grupa.- D30 – U semigrupi (G, ) definiše se prirodan stepen elementa a iz skupa b sa - D31 – Ako je (G, ) gtupoid i ako je levi neutralni elemenat grupoida

(G, ). Analogno: desni neutralni elemenat

- T6 – Ako u grupoidu postoje levi i desni neutralni elemenat, oni su jednaki.Dokaz: e’- levi, e’’- desni; e’· e’’ = e’ = e’’.

- D32 – Ako u grupoidu (G, ) postoji elemenat e tako da za e je neutralni elemenat grupoida.

- T7 – Grupoid ima najviše jedan neutralni elemenat.Dokaz: neka postoji e1 e2. e2 · e1 = e2 = e1.

- D33 – Semi – grupa sa neutralnim elementom naziva se monoid.- D34 – U monoidu sa neutralnim elementom e, stepen a0 definiše se sa a0 = e .

- Primeri: (N,+) – komutativna semi-grupa – komutativan monoid

- komutativan monoid – valjda... - 0 je desni neutralni elemenat, asocijativnost ne važi – grupoid sa desnim

neutralnim elementom

- grupoid sa levim neutralnim elementom- D35 – Neka je (G, ) grupoid sa neutralnim elementom e i Ako postoji tako da je

se naziva levi inverzni elemenat elementa a.Simetrično se definiše desni inverzni elemenat -

- T8 – U monoidu su levi i desni elemenat (ako postoje) jednaki.Dokaz: a', a''. a' · (a · a'') = a' · e = a’ = (a’· a) · a’’= e · a’’=a’’.

- D36 – Neka je (G, ) grupoid sa neutralnim elementom e i Ako je inverzan elementu a.

- T9 – U monoidu svaki elemenat ima najviše jedan inverzan elemenat.Dokaz: neka su a1

-1, a2-1: a1

-1 a2-1 || a1

-1 · (a · a2-1) = a1

-1 · e = a1-1 = (a1

-1 · a) · a2-1 = e · a2

-1 = a2-1.

- T10 – Neka je (G, ) monoid sa neutralnim elementom e. Tada je Dokaz: (a · b) · (b-1 · a-1) = ((a · b) · b-1) · a-1 = (a · (b · b-1)) · a-1 = (a · e) · a-1 = a · a-1 = e. I u

drugom poretku.

- D37 – U monoidu (G, ) negativan ceo stepen definiše se sa - D38 – Ako je (G, ) grupoid u kome je jednoznačno rešiva (tačno jedno rešenje!) svaka jednačina oblika

i (gde su) (G, ) se naziva kvazigrupa.- D39 – Kvazigrupa sa neutralnim elementom naziva se lupa (petlja).- D40 – Ako su (G, ) i (H, ) grupoidi i ako postoji bijekcija f: tako da je za

kaže se da su grupoidi (G, ) i (H, ) izomorfni, a f se naziva izomorfizam ovih grupoida. (izomorfizam – algebarska istovetnost)- D41 – Ako u prethodnoj definiciji umesto “bijekcija” stoji “proizvoljno preslikavanje” ili “surjekcija”, radi se o homomorfizmu grupoida (G, ) u odnosu na (H, ).

Grupe

- D42 – grupoid (G, ) sa osobinama:1o asocijativnost2 o ( ) ( ) (poseduje neutralni element)3 o ( ) ( ) (svaki element ima inverzan)jeste grupa.

- D43 – Ako je komutativna relacija, grupa se naziva komutativna ili Abelova grupa.- T11 – Svaka grupa jeste kvazigrupa.

Dokaz: (G, ) je grupa. a · x = b, (a,b G) || a · x = b / · a-1 || a-1 · (a · x) = a-1 · b (a-1 · a) · x) = a-1 · b e · x = a-1 · b x = a-1 · b.- T12 – Ako je (G, ) semigrupa i kvazigrupa, (G, ) je grupa.

Dokaz: Asocijativnost važi... a · x = a, a G || neka je ea rešenje: y · a = b, b G; neka je y0 njeno rešenje. b = y0 · a = y0 · (a · ea) = (y0 · a) · ea = b · ea ea je desni neutralni element postoji i levi neutralni element i oni su jednaki postoji jedinstveni neutralni element (e). a · x = e x = a-1. isto i levi i postoji za svako a G inverzan elemenat.- T13 – Ako je (G, ) semigrupa u kojoj postoji levi neutralni elemenat e’ i na ( ) ( )

(G, ) je grupa. (važi i za desni)- D44 – Ako je G konačan skup, grupa (G, ) je konačna.- D45 – Red konačne grupe jeste (- broj elemenata grupe)- Podgrupe- D46 – Neka je (G, ) grupa. Ako je i ako je (H, ) grupa, kaže se da je (H, ) podgrupa grupe (G, ).- T14 – (Lagranžova): Ako je (H, ) podgrupa reda m grupe (G, ) reda n, tada m|n.- T15 – Ako je p prost broj, postoji samo jedna grupa reda p. (u smislu izomorfizma)

Algebarske strukture sa dve operacije

- D47 – Algebarska struktura je (S,f), gde je S skup skupova, a F skup operacija u skupovima iz S.- D48 – Ako su u skupu S definisane dve binarne operacije + i sa osobinama:

1o (S,+) je Abelova grupa,2o (S, ) je semigrupa,3o ( ) (S, +, ) je prsten.Ako je operacija komutativna, prsten (S, +, ) je komutativni prsten.Ako operacija ima neutralni element, (S, +, ) je prsten sa jedinicom.

- T16 – U prstenu (S, +, ) je ( ) gde je 0 nulti elemenat prstena.- T17 – U prstenu (S, +, ) ( ) - D49 – U prstenu je x – y = (def) x + (- y).

- Primeri:1) (Z,+, ) je komutativni prsten sa jedinicom.2) (S,+, ) gde je S = {0,1,2,…,p-1} a + i sabiranje i množenje po modulu p. (komutativni

prsten sa jedinicom)3) (P,+, ) gde je P skup svih polinoma – komutativni prsten sa jedinicom.

- D50 – Ako su (S,+, ) i (P, , ) dva prstena, i ako postoji bijekcija f: tako da kaže se da su ta dva prstena izomorfna,

a f je izomorfizam ta dva prstena.- D51 – Algebarska struktura (S,+, ) sa osobinama:

1o (S,+) je Abelova grupa,2o (S\{0}, ) je grupa,3o važi leva i desna distributivnost, je telo.

- D52 – Ako je u tački 2 prethodne definicije Abelova grupa, ta struktura je polje.- T18 – Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi invertibilni, jeste telo.

Dokaz: pretpostavimo da su x, y : x · y = 0 /·x-1 || x-1 · (x · y) = (x-1· x) · y = y = x-1 · 0 = 0.- T19 – Svako konačno telo jeste polje.- T20 – Konačno polje sa n elemenata, postoji ako i samo ako je n = pk, p prost broj, a k N.- T21 – Sva konačna polja sa istim brojem elemenata su izomorfna.

Matrice

- D53 – Neka je (S,+, ) polje. Svaka pravougaona šema (raspored) elemenata skupa S jeste matrica nad poljem S. A = [ai,j]m,n .

- D54 – Matrica nad poljem F je svako preslikavanje - Kvadratna matrica (m=n)

a11, a22, a33,…, ann – glavna dijagonala.a11 + a22 + … + ann = tr A – trag matrice

- Napomena: dve matrice A = [ai,j]m,n i B = [bi,j]p,q nad istim poljem F, jednake su ako i samo ako je n = p i m = q i ai,j = bi,j.- D55 – Ako je A matrica nad poljem F i tada je (množenje matrice skalarom)- D56 – Ako su A = [ai,j]m,n i B = [bi,j]m,n matrice nad F, zbir A + B je C = A + B = [ci,j]m,n, gde je

ci,j = ai,j + bi,j.- D57 – Nula – matrica je svaka matrica čiji su svi elementi jednaki nuli (neutralnom elementu sabiranja).- D58 – Ako je A matrica nad poljem F, suprotna matrica – A je matrica sa elementima ai,j.- T22 – Sabiranje matrica je asocijativno i komutativno.- T23 – Skup svih matrica date dimenzije nad F u odnosu na operaciju +, ima strukturu Abelove

grupe.- D59 – Neka su A = [ai,j]m,n i B = [bi,j]n,p matrice nad poljem F proizvod jeste matrica C = = [ci,j]m,p

definisana sa:

- T24 – Množenje matrica je asocijativno.- T25 – Množenje matrica nije komutativno.- T26 – Množenje matrica je distributivno u odnosu na sabiranje.

- D60 – Kvadratna matrica naziva se jedinična matrica. (In).

- T27 – Za svaku matricu A = [ai,j]m,n je .- T28 – Skup svih kvadratnih matrica date dimenzije n nad poljem F ima strukturu prstena sa jedinicom u

odnosu na operacije “+” i “ ”.- Dijagonalna matrica – kvadratna matrica koja na glavnoj dijagonali ima proizvoljne elemente a iznad i

ispod glavne dijagonale svi elementi su nule.- Skalarna matrica – dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki.

- Trougaona matrica – matrica koja ili iznad, ili ispod glavne dijagonale ima samo nule.- D61– Transponovana matrica matrice A = [ai,j]m,n je matrica AT = [bi,j]n,m tako da bi,j = aj,i.- T29: 1o (AT)T = A,

2o (A + B)T = AT + BT,3o ( A)T = AT,4o (A B)T = BT + AT,5o (A1 A2 A3 … An)T = An

T An-1T … A1

T.- D62 – Matrica A je simetrična ako je A = AT.- D63 – Matrica A je kososimetrična ako je A = - AT.

Determinante

- Inverzija u permutaciji1 2 3 41 4 2 3 – dve inverzije (4 prema 2 I 4 prema 3)(ova permutacija sadrži dve inverzije)

- D64 – Permutacija je parna ili neparna prema tome da li sadrži paran ili neparan broj inverzija.- T29 – Broj inverzija u permutacijama p i p-1 je jednak.

- D65 – Neka je data kvadratna matrica . Matrici A pridružuje se broj (elemenat polja)

D(A) = det A = = gde se sumiranje vrši kroz sve permutacije skupa

{1,2,…,n} a j je broj inverzija u posmatranoj permutaciji.

Osobine determinanti

- T1(30) – det A = det AT.

Dokaz: a1j1 a2j2 … anjn. Taj sabirak postoji i u det AT. znak: na levoj strani

na desnoj strani: aj1,1 aj2,2 … ajn,n = a broj inverzija u p i p-1 je jednak, pa su sabirci

istog znaka.- T2(31) – Determinanta se može pomnožiti brojem tako što se jedna njena vrsta (ili kolona) pomnože tim

brojem.- T3(32) – Ako su elementi jedne vrste ili kolone jednaki nuli, determinanta je i sama jednaka nuli.- T4(33) – Ako u determinanti dve vrste (ili kolone) zamene mesta, determinanta menja znak.- T5(34) – Ako su dve vrste (ili kolone) međusobno jednake, determinanta je jednaka nuli.

- T6(35) – Ako su u determinanti elementi jedne vrste (ili kolone) proporcijalni elementima neke gruge vrste (ili kolone), determinanta je jednaka nuli.

- T7(36) – Neka su determinanti D elementi i-te vrste (ili kolone) oblika: aij = aij(1) + aij

(2), j = 1,2,…,n. Ako su D1 i D2 determinante koje se dobijaju iz D tako što za elemente i-te vrste u D1 uzmu aij

(1), a u D2 aij

(2), pri čemu ostali elementi ostaju neizmenjeni, tada je D = D1 + D2.- T8(37) – Determinanta ne menja vrednost ako se elementima jedne vrste (ili kolone) dodaju elementi neke

druge vrste (kolone) pomnoženom proizvoljnim brojem.

- D66 – Neka je Aij submatrica kvadratne matrice A dobijena uklanjanjem i-te vrste i j-te kolone. Det Ai

j = Dij naziva se minor determinante D(A) dobijen uklanjanjem i-te vrste i j-te kolone. (opšti pojam minora znači determinantu bilo koje kvadratne submatrice)

- D67 – Kofaktor (algebarski komplement) elementa aij determinante D je izraz: Aij = (-1)i+j Dij.

- T38 – (važna) Neka je D determinanta n-tog reda. Rada je za proizvoljno

ahalogno i za proizvoljno (La Plasova teorema o razvoju)

Posledica: determinanta trougaone matrice jednaka je proizvodu elemenata na glavnoj dijagonali.

- T39 – Ako su A I B kvadratne matrice – blokovi i , tada je .

- T40 – Ako su A I B kvadratne matrice istog reda, važi:

- T41 –

Inverzna matrica

- D68 – Adjungovana (pridružena) matrica kvadratne matrice jeste matrica . (gde

su Aij kofaktori elemenata aij pa se ondak transponuju)- T42 – (važna!) Za kvadratnu matricu A važi:

Dokaz: posmatramo elemenat na mestu (i,j) . Za i = j: DetA. Za i j: 0.

- T43 – Ako je A kvadratna matrica reka n, važi:

Dokaz: det(A · adjA) = detA · det(adjA) = (detA)n det(adjA) = (detA)n-1

- D69 – Matrica A-1 jeste inverzna matrica kradratne matrice A ako je - D70 – Ako je A je regularna matrica, a ako je det A = 0, A je singularna matrica.

- T44 – Skup svih regularnih kvadratnih matrica date dimenzije n ima strukturu grupe u odnosu na operaciju množenje.

Polinomi

a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn = Pn(x)

- D71 – Posmatraju se rasporedi (a0, a1,..., an,...) gde su ai = 0 počev od nekog konačnog mesta i gde su ai (i = 1,2,3,...) elementi nekog polja F. (skup rasporeda označimo sa φ) Neka su definisane operacije u skupu φ: (a0, a1,..., an,...) + (b0, b1,..., bn,...) = (po def) (a0 + b0, a1 + b1,..., an + bn,...)(a0, a1,..., an,...) ∙ (b0, b1,..., bn,...) = (c0, c1,..., cn,...), gde je

(k = 0, 1, 2,...)

Prsten (φ,+, ∙ ) naziva se prsten polinoma nad poljem F.Napomena: dva polinoma A = (a0, a1, a2,..., an,...) i B = (b0, b1,..., bn,...) jednaki su ako i samo ako je a0 = b0, a1 = b1,..., an = bn,...

- D72 – Stepen polinoma je najveći broj n za koji je Stepen polinoma P označava se sa dg P.- D73 – Elementi polja ai u polinomu P = (a0, a1,..., an,...) nazivaju se koeficijentima polinoma. Ako je dg P

= n, an se naziva glavni (vodeći) koeficijent. (poslednji koeficijent koji je )- D74 – (a0, 0, 0,...,0,...) = (def) (a0) = (def) a0.- D75 – (0,1) = (def) S. – promenljiva u polinomu.- T45 – (a0, a1,…, an,…) = a0 + a1 S + … + an Sn + …- D76 – Vrednost polinoma P = (a0, a1,…, an) (= a0 + a1 S + … + an Sn) u tački određena je sa:

(*) P(x) = a0 + a1 x + … + anxn.- D77 – Polinomska funkcija polinoma P je preslikavanje skupa (polja) F u sebe definisano sa (*).- T46 – Neka su P i Q polinomi nad poljem F. Tada je

(homomorfizam skupa polinoma u skupu polinomskih f-ja)

- T47 – dg (P + Q) ≤ max (dg P, dg Q),dg (P ∙ Q) = dg P + dg Q.

- T48 – Polinom P ima inverzni elemenat (u odnosu na množenje) ako i samo ako je P = a, a F, a ≠ 0. (ako je sam polinom konstanta ≠ 0)Dokaz: e = 1 – za množenje. p, p-1. dg(p · p-1) = dg p + dg p-1 = dg(e) = 0 dg(p) = dg(p-1) = 0.

- T49 – Neka su P0, P1,…, Pn polinomi, tako da dg Pi = i (i = 0, 1, 2,…, n) i neka je P polinom stepena n. Tada se na jedinstven način mogu odrediti koeficijenti ci (i = 0, 1, 2,…, n) tako da važi P = c0 P0 + c1 P1 + ... + cn Pn.

Deljenje polinoma

- T50 – Neka su dati polinomi U i V ≠ 0. Tada postoje jedinstveni polinomi Q i R, dg R < dg V, tako da je (*) U = V ∙ Q + R.

- D78 – Polinomi Q i R iz prethodne teoreme jesu količnik, odnosno ostatak, pri deljenju U sa V.- D79 – Ako je R = 0, polinom U je deljiv polinomom V.- T51 – Svaki polinom je deljiv proizvoljnom konstantom a, a ≠ 0.

Dokaz: U = a0 + a1 S + … + an Sn.V = a ≠ 0. Q = a-1 a0 + a-1 a1 S + … + a-1 an Sn.

- T52 – Neka su U, V, W polinomi nad F. Tada je:1o W | U i W | V W | U + V,2o W | U ( V) W | U ∙ V,3o U | V i V | U U = a ∙ V, a F,4o U | V i V | W U | W.

- D80 – Polinom W je najveći zajednički delilac polinoma U i V ako W | U i W | V i ( P) (P | U i P | V P | W).

- T53 – (fundamentalna) Neka su polinomi U i V polinomi (U,V ≠ 0). NZD za U i V postoji i određen je sa tačnošću do multiplikativne konstante.Dokaz: U,V: U = V ∙ Q1 + R1;V = R1 ∙ Q2 + R2, dgR1 < dgV;

R1 = R2 ∙ Q3 + R3, dgR2 < dg R1;Ri-1 = Ri ∙ Qi+1 + Ri+1, dgRi+1 < dg Ri;Rk-2 = Rk-1 ∙ Qk + Rk (važno!!)Rk-1 = Rk ∙ Qk+1

Rk| Rk-1 Rk| Rk-2 … Rk| R1 Rk| V Rk| U Rk je ZD. Neka je i W zajednički delilac W | U i W | V W | R1 W | R2 … W | Rk Rk je NZD. Neka je i Rk’ NZD. Rk’| Rk i Rk|

Rk’ Rk’ = a · R k.- T54 – (Bezuova - važna) Ostatak pri deljenju polinoma P polinomom S – a, (a F), jednak je P(a).

Dokaz: P = Q ∙ (S - a) + R. dg(S - a) = 1 dg R = 0 R = b. (b - const) p = Q ∙ (S – a) + b. p(a) = Q(a) ∙ 0 + b = b.

- T55 – (Hornerov algoritam - važno) Neka je P = a0 Sn + a1 Sn-1 + … +an-1 S + an (an ≠ 0) polinom nad F i a F. Tada je P = Q ∙ (S - a) + R, gde je Q = b0 ∙ Sn-1 + b1 ∙ Sn-2 + … + bn-2 ∙ S + bn-1 i: b0 = a0

bk+1 = a ∙ bk + ak+1 (k = 0, 1, 2,…, n-2),R = a ∙ bn-1 + an.

Faktorizacija polinoma

- D81 – Polinom nad poljem F je razloživ ako postoje polinomi U i V nad poljem F (pri čemu dgU,dgV ≥1) tako da je P = U ∙ V.

- T56 – Polinom s – a je faktor polinoma P ako i samo ako je P(a) = 0.- D82 – Neka je P polinom nad poljem F i P(a) = 0. Tada se za a kaže da je nula (koren) polinoma P.- T57 – Neka je P ≠ 0 polinom stepena n nad poljem F. Tada P ima najviše n različitih korena.

Dokaz: dgP = 0, P nema nula (jer je P ≠ 0) || dgP = 1 P = a + b · s, polinomska f-ja P(x) = a + b · x, a + b · x = 0 x = b -1 · (-a) – jedinstveno rešenje. Pretpostavimo da tvrđenje važi za polinome stepena n – 1 > 0 (polinomi stepena n – 1 imaju najviše n – 1 različitih korena). Dokažimo da P stepena n ima najviše n različitih korena. P, dgP = n, x1 – koren polinoma P P = Q(s – x1) dgQ = n – 1. pretpostavimo da P ima koren x2 ≠ x1 P(x2) = 0 Q(x2) (x2 – x1) = 0 Q(x2) = 0, Q ima najviše n –1 različitih korena, P = Q(s – x1) P ima najviše n različitih korena.- Posledica: Nad beskonačnim poljem F ne postoji polinom P ≠ 0 takav da je za ( a F) P(a)= 0.

- T58 – U beskonačnom polju F dve polinomske funkcije jednake su ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti jednaki, tj. njihovi polinomi su jednaki.Dokaz: : Pretpostavimo da su P ≠ Q P – Q = R ≠ 0. polinomske f-je su jednake ( a F) P(a) = Q(a) ( a F) P(a) - Q(a) = 0 ( a F) R(a) = 0 – kontradikcija!! Polinomi su jednaki (P = Q)

: ako su polinomi jednaki polinomske f-je su jednake. Zbog ove bijekcije nad beskonačnim poljem moguće je identifikovati polinom i polinomsku f-ju.

Faktorizacija kompleksnih polinoma

- D83 – Polinom nad poljem C je kompleksan polinom.- T59 – (osnovni stav algebre – važno!!) Svaki kompleksan polinom stepena ≥1 ima bar jedan koren.

- T60 – (o faktorizaciji kompleksnih polinoma) Neka je P kompleksan polinom stepena ≥1. Tada je P = P(Z) = an (Z – Z1) (Z – Z2) … (Z – Zn), Zi C, i =1,…,n, an ≠ 0 vodeći koeficijent.Dokaz: T1 P ima bar jedan koren P(z) = Q1(z)(z-z1), Q1 – kompleksan polinom stepena n-1

T1 Q1 ima bar jednu nulu (z2) Q1(z) = Q2(z)(z-z2), Q2 – polinom stepena n-2 P(z) = Q2(z)(z-z1)(z-z2)... Q3... Qn P(z) = c · (z-z1)(z-z2) ·…· (z-zn), an = c.

- D84 – Z0 C je koren reda k N polinoma P ako važi P(Z) = Q(Z) (Z – Z0)k i ako Z0 nije koren polinoma Q.

- T61 – Za svaki polinom P stepena ≥1 je P = P(Z) = an (Z – Z1)r1 ∙ … ∙ (Z - Zk)rk ( = n) Z1, Z2, Z3,…, Zn – različite nule polinoma P.

- T62 – Neka su P i Q kompleksni polinomi stepena > 0. Tada P | Q ako i samo ako je svaki koren reda r polinoma P koren reda ≥ r polinoma Q.

- T63 – (Vijetove veze): Neka je P(Z) = a0 + a1 Z + a2 Z2 + … + an Zn, an ≠ 0. Neka su Z1, Z2, Z3,…, Zn koreni P(Z) (ne obavezno različiti). Tada je:

Z1 + Z2 + … + Zn =

Z1 Z2+ Z2 Z3 + … + Zn-1 Zn =

…

Z1 Z2 Z3 ∙…∙ Zk + … + Zn-k+1 ∙…∙ Zn = (-1)k

…

Z1 Z2 Z3 ∙…∙ Zn = (-1)n .

Koreni realnih polinoma

- D85 – Realan polinom je kompleksan polinom sa realnim koeficijentima.- T64 – Ako je Z0 koren realnog polinoma P je takođe njegov koren.

Dokaz: P(z0) = 0 an z0n + an-1 z0

n-1 +…+ a1 z0 + a0 = 0 an + an-1 + … +

a1 + a0. = 0 an ( )n + an-1 ( )n-1 + … + a1 + a0 = 0 P( ) = 0.- T65 – Ako su Z0 i koreni polinoma P, tada je (Z – Z0) (Z - ) = Z2 + pZ + q, p,q R.- T66 – Ako je Z0 koren reda k polinoma P je njegov koren istog reda.

Dokaz: z0 je koren reda k, pretpostavimo da je koren reka l < k. P(z) = Q(z) · (z – z0)k · (z - )l = Q(z) (z – z0)k-l (z - z0) · (z - )l = Q(z) · (z – z0)k-l (z2 ?? - pz + q)l ((Q(z) · (z – z0)k-l = Q1, p,qR)). P, z2 + pz + q – realni polinom Q1(z) je realni polinom, z0 je koren Q1, nije koren polinoma Q1, kontradikcija l = k.

- T67 – o realnoj faktorizaciji realnog polinomaP = P(x) = a0+ a1 x + a2 x2 +…+ an-1 xn-1 + an xn = an (x2 + p x + q)r1 ∙…∙ (x2 + pk x + qk)rk ∙ (x – xk+1)rk+1 ∙…∙ (x - xm)rm

pi2 – 4qi < 0, 2 pi, qi R, xi R, ri N.

- T68 – Neka je P(x) = a0 + a1 x + … + an xn (ai Z). Ako je , (p,q Z, q ≠ 0) koren polinoma P i p i q

uzajamno prosti, onda p | a0 i q | an.

- T69 – Svaka nula reda k polinoma P reda n je nula reda k – 1 polinoma P’(x).Dokaz: P(x) = Q(x) · (x – x0)k, Q(x0) ≠ 0.P’(x) = Q’(x) · (x – x0)k + k Q(x) (x – x0)k-1 = (x – x0)k-1 [Q’(x) (x – x0) + k Q(x)] (u [] je Q1(x))P’(x) = (x – x0)k-1 · Q1(x), Q1(x0) = k Q(x0) ≠ 0 x0 je koren reda k – 1 polinoma P’(x)! (obrnuto ne važi!!)

- T70 – Ako je x0 nula reda k – 1 polinoma P’(x) i ako je x0 nula polinoma P(x), tada je x0 nula reka k polinoma P.

- T71 – Da bi x0 bila nula reda k polinoma P(x) potrebno je i dovoljno da je x0 nula polinoma P(x), P’(x),…, P(k-1)(x) i nije nula polinoma P(k)(x).

Racionalne funkcije

- D86 – Racionalna f-ja je definisana pomoću , x C \ K, P,Q realni polinomi, K – skup nula

polinoma Q(x).- D87 – Racionalna f-ja je prava ako je dg P < dg Q.- D88 – Racionalna f-ja je nesvodljiva ako je NZD (P,Q) = 1.- T72 – Svaka neprava racionalna f-ja može se razložiti na zbir polinoma i prave racionalne f-je.

Dokaz: P(x) = Q(x) ∙ R(x) + S(x), dg S < dg Q = R(x) + .

- D89 – Parcijalni (elementarni) razlomci su:

1o A,a R, k N;

2o , A,B,p,q R, p2 – 4q < 0, k N.

Matematička analiza

Kardinalni broj skupa

- D90 – Dva beskonačna skupa su ekvivalentna (imaju isti kardinalni broj ili istu moć) ako između njih postoji bijekcija.- D91 – Za svaki skup ekvivalentan skupu N kaže se da je prebrojiv.- T73 – Skup svih celih brojeva je prebrojiv.- T74 – Skup racionalnih brojeva je prebrojiv.- D92 – Skup algebarskih brojeva jeste skup svih realnih nula svih realnih polinoma sa celobrojnim koeficijentom.- T75 – Skup algebarskih brojeva jeste prebrojiv.- T76 – Unija prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je prebrojiv skup.

Skup realnih brojeva

- Kantorova aksioma – Svakoj tački brojevne prave odgovara samo jedan realan broj, i obrnuto, svakom realnom broju odgovara samo jedna tačka na brojevnoj pravi.

- Osobine:I Algebarska struktura: (R,+, · ) je polje .II Struktura poretka:

U skupu R postoji relacija ≤ sa osobinama:1o ( ) 2o (a b a · c b · c).

III Osobina neprekidnosti:(Dedekindova aksioma)Ako se skup R podeli na 2 podskupa (klase) A i B, A,B Ø, A B = Ø, A B = R, tako da: ( a A) ( b B) a < b, tada ili A ima najveći ili B ima najmanji broj.

-Otvoren interval: (a,b) = {x: x R, a < x < b}- Zatvoren interval: [a,b] = {x: x R, a x b}- Poluotvoren interval: (a,b] ili [a,b)- Okolina tačke a: svaki otvoren interval koji je sadrži.- ε okolina tačke a: (a – ε, a + ε).

- D93 – Apslolutna vrednost broja a je: ili .

- D94 – . .- Prožiren skup R, , uključuje fiktivne elemente +∞ i -∞. Za +∞ i -∞ važi:

( x R) -∞ < x < +∞,x + (+∞) = x – (-∞) = +∞,x + (-∞) = x – (+∞) = -∞,za ( x > 0) x · (+∞) = +∞, x · (-∞) = -∞,za ( x < 0) x · (+∞) = -∞, x · (-∞) = +∞,

+∞ +∞ = +∞,-∞ -∞ = -∞,+∞ · (+∞) = -∞ · (-∞) = +∞,-∞ · (+∞) = -∞.

- Nisu definisani: +∞ -∞, 0 · ∞, - T77 – Skup R nije prebrojiv.- D95 – Kardinalan broj skupa R je c (kardinalni broj kontinuuma).- T78 – card P(A) > card A.- D96 – Ako je A R, m R je donja granica (minoranta) skupa A, ako ( x A) x m. Ako minoranta postoji, kaže se da je A ograničen odozdo.Simetrično: gornja granica (majoranta), ograničen odozgo.- D97 – Skup A R je ograničen ako ( m,M R) ( x A) m x M, tj. Ako je ograničen odozdo i odozgo.- D97' – Skup A je ograničen ako ( M R, M > 0) ( x A) < M.- D98 – (važna) Minimum skupa majoranata skupa A R je njegova gornja međa ili supremum.Simetrično: donja međa (infimum).- D98' – S = sup A ako je ( x A) x ≤ S i ( ε > 0) ( a A) a > S – ε. Simetrično za inf A.- A – (aksioma supremuma). Svaki skup A R koji ima konačnu majorantu, ima supremum. (ekvivalentna aksiomi neprekidnosti).

Nizovi

- D99 – Realan niz (an) je svako preslikavanje a: N→R.- D100 – a je tačka nagomilavanja niza (an) ako se u proizvoljnoj okolini tačke a nalazi beskonačno mnogo članova tog niza.- Skoro svi = svi izuzev konačno mnogo.- D101 – Ako se u onolini neke tačke a niza (an) nalaze skoro svi članovi tog niza, kaže se da je a granična

vrednost tog niza (konačna!) i

- D101 '– Tačka a jeste granična vrednost niza (an) (konačna) i piše se , ako ( ε > 0) ( n0(ε))

( n > n0(ε)) .- D101 ''– Ako niz ima tačno jednu tačku nagomilavanja a, onda je a njegova granična vrednost.- Bernulijeva nejednakost: (1 + h)n > 1 + nh, h > -1, n = 2, 3, 4…- D102 – Niz (an) je konvergentan ako ima (konačnu) graničnu vrednost.- D103 – Niz je divergentan ako nije konvergentan.

- T79 - ( c R) ( ε > 0) ( n0(ε)) ( n > n0(ε)) .

Osobine konvergentnih nizova

- D104 – Niz (an) je ograničen ako mu je skup vrednosti ograničen.- T80 – Konvergentan niz je ograničen.

Dokaz: . Unutar intervala (a – ε, a + ε): skoro svi, izvan – njih konačno mnogo.

- T81 – Ako je R, R, tada je:

1o ,

2o ,

Dokaz za 1o za izabrano ε ||| za n > n1(ε) ||| za n > n2(ε) ||| |||

Posledica: , , .

- T82 – .

- D105 – Nula niz je niz čija je granična vrednost 0.- T83 – Ako je (an) nula niz i (bn) ograničen niz, tada je (cn) dat sa cn = an · bn nula niz.

Dokaz: , < M. (??) ||| = · < M · < M · ε |||

za n > n0(ε) .

- Osobine konvergentnih nizova

Primer: ; Niz je nula niz; Niz (sin n!) je ograničen…

- Beskonačne granične vrednosti

- D106 – Niz (an) ima graničnu vrednost +∞ ako ( E > 0) ( n0(E)) ( n > n0(E)) an > E. ( )

- D107 – ( E) ( n0(E)) ( n > n0) an < E.

- D108 – Okolina tačke +∞ je (E, +∞); Okolina tačke -∞ je (-∞,E).

- D106’ – (-∞) ako se u proizvoljnoj okolini tačke +∞ (-∞) nalaze skoro svi članovi niza.

- D109 – +∞ (-∞) je tačka nagomilavanja niza ako se u njenoj proizvoljnoj okolini nalazi beskonačno mnogo članova niza.- D110 – Niz koji ima graničnu vrednost +∞ ili -∞ je određeno divergentan.- D111 – Niz koji nema nikakvu graničnu vrednost (ni E, ni +∞, ni -∞) je divergentan u širem smislu.

- T84 – Ako je R, , tada:

1o ,

2o (za a = 0 je neodređena)

3o .

- T85 – Ako je i an > 0, tada je . (važno!!)

- Važno:

1) ,

2) ,

3) ,

4) .

5) .

- T86 – (važna!!) Neka su (yn) i (zn) nizovi sa istom graničnom vrednosti c (c ). Ako za n > n0 važi:

yn ≤ xn ≤ zn , tada je .

Dokaz: pošto je za c : za n > n1(ε) ||| : za n >

n2(ε) ||| n > max(n0, n1, n2) = n3(ε) .

Monotoni nizovi

- D112 – Niz (an) je:- monotono rastući ako je ( n) an+1 > an,- monotono opadajući ako je ( n) an+1 < an,- monotono nerastući ako je ( n) an+1 ≥ an,- monotono neopadajući ako je ( n) an+1 ≤ an.

- T87 – (može se uzeti i za aksiomu) 1o Svaki monoton niz ima konačnu ili beskonačnu graničnu vrednost.2o Svaki monoton i ograničen niz je konvergentan.Dokaz za 2o: Neka je (an) monotono rastući i ograničen. Prema tome postoji S = sup an. ( n) an ≤

S ||| ( a) ( n) an > S – a. ||| ( ε) ( n0 (ε)) a n0 > S – ε ( ε) ( n0) ( n > n0(ε)) an > S – ε, tj. S – an

< ε. . ( n) an+1 ≥ an.

( M) ( n0) an0 > M ( M) ( n0) ( n > n0) an > M .

- T88 – Niz an = (1 + )n je konvergentan.

Dokaz:

an+1 > an.

- D113 – e = .

- T89 – (Štolcova) Neka za nizove (an) i (bn) važi:

1o ,

2o niz (bn) je monotono rastući,

3o postoji (konačan ili beskonačan) . Tada postoji i .

- D114 – Niz umetnutih (iščezavajućih) intervala je niz [an,bn], gde nizovi (an) i (bn) zadovoljavaju sledeće uslove:

1o niz (an) je monotono neopadajući, a (bn) je monotono nerastući,2o ( n) an < bn,

3o .

- T90 – Ovako definisan niz umetnutih intervala sadrži jednu i samo jednu zajedničku tačku.

. (ova teorema ekvivalentna je aksiomi supremuma i ___

aksiomi neprekidnosti)

Košijev niz

- D115 – Ako za niz (an) važi: ( ε) ( n0(ε)) ( n > n0(ε)) ( p N) |an+p - an| < ε, (an) je Košijev niz.- T91 – Svaki konvergentan niz je Košijev niz.

Dokaz: . |an+p - an| = |an+p - a + a - an| ≤ |an+p - a| + |an - a| < 2 ε niz je Košijev.

- T92 – Ako je niz Košijev, on je konvergentan. (- peti oblik teoreme supremuma)

- Podnizovi- D116 – Neka je (an) dati niz i n1, n2, ... , nk, ... monotono rastući niz prirodnih brojeva. Tada je an1, an2, ... , ank, ... podniz niza (an).- D116’ – Tačka g R jeste tačka nagomilavanja niza (an) ako postoji njegov podniz (ank) takav da je

.

- D117 – Neka je (an) dati niz i G skup traničnih vrednosti njegovih podnizova. Tada je minG =

, maxG = .

- T93 – Niz (an) ima graničnu vrednost a ako i samo ako svaki njegov podniz ima graničnu vrednost a.

Dokaz: Ako svaki podniz → a, (očigledno), ako je ( ε) ( n0(ε)) ( n > n0(ε)) |

an - a| < ε ( ε) ( k0) ( nk > nk0) |ank - a| < ε (dokaz za a R, za a ide analogno)- T94 – Ako je niz (an) monoton i ako jedan njegov podniz ima graničnu vrednost a , tada je

. Dokaz na osnovu teoreme o monotonom nizu i prethodne teoreme...

- T95 – (Bolcano – Vajerštrasova) Svaki ograničen niz ima bar jedan konvergentan podniz. (-šesti oblik teoreme supremuma) Dokaz: Ako je skup vrednosti konačan, onda se bar jedan član niza ponavlja beskonačno mnogo puta, i onda je to konvergentan niz. Ako je skup vrednosti beskonačan: niz [ ] je niz umetnutih intervala. Niz ( ) je monotono neopadajući, a ( ) je monotono nerastući, za ( n) <

taj niz sadrži jednu i samo jednu zajedničku tačku

. Biramo: an1 iz [ ], an2 iz [ ] … ank iz [ ]… (po

teoremi o dva žandara)

Realne funkcije

- D118 – Svako preslikavanje f: D → R, D R, je realna f-ja (jedna nezavisna promenljiva) skup D je oblast definisanosti funkcije f.- D119 – Elementarne f-je su: 1o stepena f-ja, 2o

racionalna f-ja, 3o eksponencijalna i logaritamska f-ja, 4o

trigonometrijska f-ja, 5o inverzna trigonometrijska f-ja (1o – 5o su osnovne elementarne f-je) i 6o sve druge f-je koje se mogu dobiti primenom računskih operacija ili kompozicija.- D120 – Elementarne f-je u širem smislu je svaka f-ja dobijena iz elementarnih f-ja restrikcijom domena ili međusobnim kombinovanjem.- D121 – Funkcija f: D → R je ograni čen na D ako ( m, M R) ( x D) m ≤ f(x) ≤ M. (ili ( M R, M > 0) ( x D) |f(x)| ≤ M)- D122 - Funkcija f: D → R, definisana na intervalu I, na tom intervalu je monotono rastuća (opadajuća, neopadajuća, nerastuća) ako je ( x1, x2 I ) (x1 < x2 f(x1) < f(x2)); ( x1, x2 I ) (x1 < x2 f(x1) > f(x2)).- D123 - Funkcija f: D → R je parna (neparna) na D ako je ( x D) f(x) = f(-x) (f(x) = f(-x)).- D124 - Funkcija f: D → R je periodična ak opostoji broj T tako da je ( x) f(x + T) = f(x). Broj T je period f-je, a najmanji takav pozitivan broj T je osnovni period f-je.

Granična vrednost i neprekidnost realne f-je

- D125 – Neka je f: D → R, a R i neka je f-ja definisana u nekoj otolini tačke a, osim, mozda u a. Funkcija f ima u tački a graničnu vrednost A R ako vazi: ( ε > 0) ( > 0) ( x D) (0 < |x - a| <

|f(x) - A| < ε) .

- D126 – Neka je f: D → R, a R i neka je funkcija definisana u nekoj okolini tačke a, osim možda u samoj tački a. Funkcija f ima u tački a graničnu vrednost + ∞ , ako ( E > 0) ( > 0) ( x D) (0 < |

x - a| < f(x) > E) .

- D127 – Neka je f: D → R, a R i neka postoji neki (a - , a) tj. interval levo od tačke a, u kome je f definisana. Ako postoji A takva da je za x D (-∞, a) ispunjen zahtev jedne od prethodne tri definicije kaže se da je A leva granična vrednost f-je f u tački a. tj.

.

- D128 – .

Napomena: iz prethodne dve definicije – f-ja f u tački a ima graničnu vrednost ako i samo ako ima i levu i desnu graničnu vrednost – one su jednake.

- D129 – Neka je f-ja f: D → R i neka D nije ograničen odozgo. F-ja f ima graničnu vrednost A R kad x

→ +∞ ( ) ako za ( ε > 0) ( ∆(ε)) ( x D) (x > ∆ |f(x) - A| < ε)

- D130 – .

- D131 – Neka f-ja f: D → R i neka D nije ograničen odozgo. F-ja f ima graničnu vrednost +∞ kad x → +∞

( ) ako ( E > 0) ( ∆(E) > 0) ( x D) (x > ∆ (E) f(x) > E).

- D132 – ; ; .

- D133 – Neka je f-ja f: D → R i a D. f-ja f je neprekidna u tački a ako važi ( ε > 0) ( δ(ε) > 0) ( xD) (|x-a| < δ |f(x) – f(a)| < ε).Napomena: ova definicija važi čak i kada je f definisana u izolovanoj tački a. ako se ovo isključi, onda imamo sledeću definiciju:- D133’ – f: D → R, a D i postoji okolina tačke a u kojoj je f definisana, f-ja je neprekidna u tački a ako

je . ( - ova inverzija f-je f i limesa je obeležje

neprekidnosti)- D134 – Leva i desna neprekidnost u tački a definiše se ako se u prethodnoj definiciji uzmu levi i desni

limes.

- D135 – f-ja je neprekidna na datom skupu S = R ako je neprekidna u svakoj tački tog skupa.*Važno: sve osnovne elementarne f-je neprekidne su na domenu na kom su definisane. Tačka prekida: tačka D u kojoj f-ja nije neprekidna ili tačka van domena gde se f-ja prekida.- D136 – f-ja ima prekid prve vrste u tački a ako je a tačka prekida i ako su leva i desna granična vrednost u tački a konačne. Svaka druga tačka prekida je prekid druge vrste.- T96 – (Hajne) Neka je f: D → R, a i neka je f definisana u istoj okolini tačke a osim možda u tački

a. tada je (A ) ako i samo ako za svaki niz (xn) koji teži a (xn D \{a}) odgovarajući

niz yn = f(xn) teži A.Napomena: ova teorema može da se uzme za ekvivalentnu definiciju granične vrednosti f-je (Hajneova definicija granične vrednosti f-je) Dokazi ovih teorema svode se na teoreme kod nizova.

- T97 – Ako je f(x) = c (c R) x (a - ε, a + ε), ε > 0 tada je i .

- T98 – Ako je , (A,B R) i ako su , R, tada:

1) ,

2) .

Dokaz: 1) neka je (xn) proizvoljni niz takav da xn → a, tada f(xn) = fn teži B. Niz · f(xn) + · g(xn) → · A + · B. Prema Haneovoj definiciji granične vrednosti f-je

.

Napomena: (posledica teoreme) Iz ove teoreme zaključujemo da algebarski zbir i proizvod neprekidnih funkcija jesu neprekidne funkcije.- Sledeće tri teoreme su analogne odgovarajućim teoremema za nizove:

- T99 – Ako je (A R) i , tada je:

1) ,

2) za A 0, za A = 0 – neodređeni oblik (0 · ∞)

3) .

- T100 – Ako je i f(x) > 0 za x (a - ε, a + ε), ε > 0 tada je .

- T101 – (teorema o dva žandara) Ako je za x (a - ε, a + ε), ε > 0 f1(x) ≤ f(x) ≤ f2(x) i ako je

(A ) tada je i .

- T102 – (važna!!) Neka je (a,b ) i neka je u nekoj okolini tačke a g(x) b za x a. Neka

je , pri čemu je f-ja h(x) = f(g(x)) definisana u nekoj okolini tačke a. Tada je

.

Dokaz: Neka je (xn) proizvoljan niz takav da xn → a i xn a za n > n0. Neka je g(xn) = tn. Tada je tn

b za n> n0 i . (po hajneovoj definiciji) .

Ova teorema objašnjava tri važne stvari:I pravilo smene u limesu

II ako je f-ja neprekidna u tački b (smena g(x) = t)

. Ako je i f-ja g neprekidna f-ja, onda dobijamo sledeće:

III f(g(x)) je neprekidna f-ja.

Iz svega prethodnog sleduje:- T103 – Zbir, proizvod (količnik) kao i kompozicija neprekidnih f-ja jesu neprekidne f-je na domenu na kome su definisane.- T104 – Sve elementarne f-je su neprekidne (udomenu na kome su definisane)

Važni limesi

- T105 – . Dokaz: za x > 0 sin x < x < tg x. /:sin x ||| 1 < < ||| cos x < < 1 |||

kad x → 0, cos x → 1 po teoremi o dva žandara . Za x < 0 zbog parnosti je isto.

(x = -t t > 0)

Posledica prvog limesa: kao i .

- T106 – .

- T107 – , R.

Dokaz: (1+x) - 1 = y (kad x → 0, y → 0) (1+x) = y + 1 ln(1 + x) = ln(1 + y)

= . .

Osobine neprekidnih f-ja (!!)

- T108 – (Bolcmano - Košijeva) Neka je f-ja definisana i neprekidna na odsečku [a, b] i neka je f(a) · f(b) < 0. Tada, ( c (a, b)) f(c) = 0.

Dokaz: ???- T109 – Neka je f-ja definisana i neprekidna na odsečku [a, b] i neka je f(a) f(b). Tada:

( y0 (f(a), f(b))) ( x0 (a, b)) y0 = f(x0).- T110 – Neka je f-ja f monotono rastuća i neprekidna na odsečku [a, b]. Tada f ima inverznu f-ju f –1: [f(a), f(b)] → [a, b], koja je takođe neprekidna i monotono rastuća. (Analogno za monotono opadajuću)- T111 – f-ja f neprekina na odsečku [a, b] ograničena je na tom odsečku.- T112 – (Vojerštrasova) Ako je f-ja f neprekidna na odsečku [a, b], tada:

( x1 [a, b]) f(x1) = m = inf f(x), x [a, b];( x2 [a, b]) f(x2) = M = sup f(x), x [a, b].Dokaz: postoji M = sup f(x), x [a, b] (zbog aksiome supremuma i jer je f-ja ograničena).

Pretpostavimo da: ( x [a, b]) f(x) < M, M – f(x) > 0, g(x) = , (g(x) je neprekidna, pa je

ograničena !?) < G, G > 0 - kontradikcija!! (M je

najmanja majoranta) M – f(x) ≥ 0, tj. M – f(x) = 0.- D137 – f-ja f: I → R na intervalu I je ravnomerno (uniformno) neprekidna ako: ( ε > 0) ( δ(ε) > 0) (x1, x2 I) (|x1 – x2| < δ |f(x1) – f(x2)| < ε).- T113 – (Kantorova) f-ja f je definisana i neprekidna na odsečku [a, b] ravnomerno je neprekidna na [a, b]. (f-ja je ravnomerno neprekidna)

Beskonačno male i beskonačno velike veličine

- D138 – f-ja f je beskonačno mala veličina kad x → a ako je .

- D139 – f-ja f je beskonačno velika veličina kad x → a ako je .

- D140 – Neka je a i f i g f-je definisane u nekoj okolini tačke a, osim, možda, u a:1o kaže se da je f(x) = o (g(x)), x → a, ako postoji f-ja ω takva da je u nekoj okolini tačke a f(x) =

ω(x) · g(x), x a, i da je .

2o kaže se da je f(x) = O (g(x)), x → a, ako postoji K > 0 takvo da u nekoj okolini tačke a važi: |f(x)| ≤ K|g(x)|, x a.

3o kaže se da je f(x) ≈ g(x), x → a, ako je .

- T114 – Neka je . Tada:

1o L = 0 f(x) = o(g(x)),2o L = ± ∞ g(x) = o(f(x)),3o 0 < |L| < +∞ f(x) = O(g(x)) i g(x) = O(f(x)),4o L = 1 f(x) ≈ g(x). (≈ - istog reda)

Dokaz: 1o ako je L = 0 f(x) = ( = ω(x)), . f(x) = o(g(x)).

2o Recipročno.

3o , L 0, |L| < +∞. . Za ε > 0 postoji δ(ε) tako da za |x-a| < δ:

( = K)

4o očigledno. (…)- D141 – Neka su f i g beskonačno male kad x → a.

1o Ako je f(x) = o(g(x)), f je beskonačno mala višeg reda u odnosu na g.2o Ako je f(x) = O(g(x)) i g(x) = O(f(x)), f i g su beskonačno male istog reda.3o Ako su f i gk (k N) beskonačno male istog reda, f je beskonačno mala reda k u ognosu na g.4o Ako je f(x) ≈ g(x), f i g su ekvivalentne.

- D142 – Ako su f i g beskonačno velike i ako je f(x) = o(g(x)), onda je g beskonačno velika višeg reda u odnosu na f. Dalje tačke 2o, 3o i 4o iz prethodne definicije idu isto.

- T115 – (važno!!) Neka su m,n R i neka x → 0. Tada:1o c · o(xn) = o(xn), c R je konstanta.2o o(xm) + o(xn) = o(xmin(m,n)), (specijalno: o(xn) + o(xn) = o(xn))3o o(xn) · o(xm) = o(xn+m),4o xm · o(xn) = o(xm+n).

- T116 – Neka je f1(x) ≈ g1(x) i f2(x) ≈ g2(x), x → a. Tada je:1o f1(x) · f2(x) ≈ g1(x) · g2(x);

2o ;

3o f1(x) + f2(x) ≈ g1(x) + g2(x), g1(x) · g2(x) > 0.- T117 – Ako su f i g beskonačno male kad x → a i ako je g(x) 0 u nekoj okolini tačke a, tada f(x) ≈ g(x), kad x → a f(x) = g(x) + o(g(x)), x → a. (tj. f(x) – g(x) = o(g(x))).

Dokaz: Ako je f(x) = g(x) + o(g(x)) , tj. f(x) ≈

g(x).

Obrnuto: ako je f(x) ≈ g(x) f(x)-

g(x)=o(g(x)).

Izvod funkcije

- D143 – Neka je f-ja f(x) definisana u nekoj okolini tačke x0, uključujući i samu tačku x0. Ako postoji (konačan ili beskonačan)

, on se

naziva izvod f-je f(x) u tački x0. y = f(x), y’ = f ’ (x) .- D144 – Ako f-ja f u tački x0 ima konačan izvod, ona je u toj tački diferencijabilna. F-ja je diferencijabilna na skupu ako je diferencijabilna u svakoj tački tog skupa.- D145 – Ako se u prvoj definiciji posmatra samo levi (desni) limes, dobija se levi (desni) izvod f-je.

F-ja ima izvod u tački ako i samo ako ima izvod u levoj i desnoj tački i oni su jednaki.- T118 – f-ja f diferencijabilna u tački x0 neprekidna je u toj tački.

Dokaz: neka je f ’(x0) konačna.

.

- T119 – (c · f(x))‘ = c · f ‘(x).

Dokaz: .

- T120 – (f(x) + g(x))‘ = f ‘(x) + g‘(x).

Dokaz: .

- T121 – (važno!!) Neka je za neko x0 R f-ja f strogo monotona i neprekidna na intervalu (x0 – ε, x0 + ε), ε > 0 i neka postoji konačan izvod f ‘(x0) 0. Tada je inverzna f-ja f –1 diferencijabilna u tački y0 = f(x0) i

važi (f –1 (y0))‘ = .

Dokaz: Kad x → x0, y = f(x) → y0 = f(x0).

.

- T122 – Ako je f = U · V, i ako postoji U‘(x) i V ‘(x), tada je:

1o f ‘(x) = U‘(x) · V(x) + U(x) · V ‘(x);

2o g ‘(x) .

Dokaz za 1o U (x + h) · V (x + h) – U(x) · V(x) = [U(x + h) – U(x)] V(x + h) + [V(x + h) – V(x)] kad se podeli sa h i h → 0, dobija se izraz.- T123 – Neka je f-ja g(x) diferencijabilna u tački x0 i neka je f-ja h = g f (tj. h(x) = f(g(x))) definisana u nekoj okolini tačke x0, a f-ja f diferencijabilna u tački t0 = g (x0). Tada je i f-ja h diferencijabilna u tački x0

i važi: h‘(x0) = (f(g(x))‘)x=x0 = f ‘(t0) · y‘(x0), tj. (f(g(x)))‘ = f ‘(g(x)) · g‘(x).Dokaz: y = h(x) = f(g(x)) = f(t). f i g su diferencijabilne za ∆x 0 postoji ∆t i ∆t → 0 kad ∆x →

0. Kad ∆t → 0, i ∆y (odnosno ∆f(x), odnosno ∆h(x) → 0). ∆y = f ‘(t) · ∆t + ω(t) · ∆t (ω(t) → 0 kad ∆t →

0). .

Diferencijal funkcije

(A R) (tj. f je diferencijabilna u x).

, tj: f(x + ∆x) – f(x) ≈ A · ∆x. f(x + ∆x) – f(x) – A · ∆x = o(∆x) f(x + ∆x)

– f(x) = ∆y = A · ∆x + o(∆x). (A · ∆x = dy !!)- D146 – Neka je f-ja f diferencijabilna u tački x0. Za datu vrednost priraštaja ∆x izraz f ‘(x0) · ∆x = df(x0) jeste glavni deo priraštaja ili diferencijal.

dy = y ‘ · dx = f ‘(x) dx = f ‘(x) ∆x. y = f(g(x)) = f(t), t = g(x);; dy = y‘ dx = f ‘(t) · g‘(x) dx = f ‘(t) dt = y‘ dx – invarijantnost diferencijala.d(f(x) + g(x)) = df(x) + dg(x);; d(c · f(x)) = c · df(x).

d(U(x) · V(x)) = U(x) · dV(x) + V(x) · dU(x); ;

;

y = f(t), t = g(x); ; - lančasto pravilo.

Izvod parametarski zadate f-je.

x = φ(t), y = Φ(t), .

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

- D147 – Ako je f-ja f definisana u tački x0 i ako postoji ε > 0 tako da je f definisana na I = (x0 – ε, x0 + ε) i (x I, x x0) f(x) ≤ f(x0), kaže se da f-ja f u tački x0 ima lokalni maksimum. Simetrično: lokalni

minimum. (nestrogi ekstremum). Analogno: strogi ekstremum.- D148 – Tačka x0 u kojoj je f ‘(x0) = 0 je stacionarna tačka f-je f.- T124 – (Fermaova teorema) Ako f-ja f u tački x0 ima lokalni ekstremum, i ako u tački x0 ima izvod (konačan ili beskonačan), tada je f ‘(x0) = 0.

Dokaz: pretpostavimo da je u x0 lokalni maksimum, i pretpostavimo da postoji f ‘(x0).

Pretpostavimo: f ‘(x0) > 0 za dovoljno malo |h| i h < 0. > 0

f(x0 + h) > f(x0) – kontradikcija!! Znači: f ‘(x0) = 0. Analogno za pretpostavku da je lokalni minimum.- T125 – (Rolova teorema) Neka je f-ja f definisana i neprekidna na [a,b], neka ima izvod (konačan ili beskonačan) na (a,b) i neka je f(a) = f(b). Tada ( c (a,b)) f ‘(c) = 0.

Dokaz: Na [a,b] f ima maksimum i minimum (po Vajerštrasovoj teoremi) ako je f(a) = f(b) i maksimum i minimum onda je f(x) = c za x [a,b], i onda je ( x [a,b]) f ‘(x) = 0. Ako nije, onda postoji c (a,b) tako da je to tačka ili maksimum, onda po fermaovoj teoremi je izvod u toj tački jednak nuli.- T126 – (Košijeva teorema) Neka su f i g f-je definisane i neprekidne [a,b] i neka obe imaju izvode (konačne ili beskonačne) na (a,b), i neka je ( x (a,b)) g‘(x) 0. Tada:

( c (a,b)) tako da je .

Dokaz: g(b) – g(a) = 0 značilo bi g'(x) = 0 bar za neko x (po Rolovoj teoremi), što nije moguće!!

Uzmimo pomoćnu f-ju φ(x) = f(x) - · g(x). (φ’(x) = f’(x) - · g’(x)) f-ja φ(x)

zadovoljava uslove Rolove teoreme. ( c (a,b)) φ’(c) = 0 .

Posledica: Lagranžova teorema. Ako uzmemo g(x) = x.(- T127 –) Neka je f definisana i neprekidna na [a,b], ima izvod (konačan ili beskonačan) na (a,b). Tada: (

c (a,b)) . Tj. f(b) – f(a) = f '(c) (b-a) = f '(a + θ (b-a)) (b-a), 0 < θ < 1.b (stavovi o

srednjoj vrednosti)- T128 – Neka je f-ja f definisana i neprekidna na (a,b) (konačnom ili beskonačnom, tj. a,b ) i neka ima izvod (konačan ili beskonačan) na (a,b). Ako je ( x (a,b)) f '(x0) > 0 (alt. f ’(x) < 0), f je monotono rastuća (alt. opadajuća) na (a,b). Ako je ( x (a,b)) f ’(x) = 0, f(x) = c na (a,b).

Dokaz: x1, x2 (a,b), x1 < x2. f(x2) – f(x1) = (x2 – x1) · f ’(ξ), x1 < ξ < x2. Ako je f ’ > 0 f(x2) > f(x1) f je monotono rastuća.Ako je f ’ < 0 f(x2) < f(x1) f je monotono opadajuća.Ako je f ’ = 0 f(x2) = f(x1) f(x) = c.

- T129 – Ako je f-ja f definisana i neprekidna na (a – ε, a) i (a, a + ε) i ako postoji , tada

postoji i f ’(a) i jednak je A.- T130 – Ako je f-ja diferencijabilna u svakoj tački intervala I (otvoren, poluotvoren, zatvoren) i

, tada je f ravnomerno neprekidna na I.

Dokaz: uzmimo proizvoljno x1, x2 I. |f(x2) – f(x1)| = |(x2 – x1)| |f ‘(c)| ≤ M |x2 – x1|

|f(x2) – f(x1)| < ε ako je M |x2 – x1| < ε |x2 – x1| < = δ(ε).

- T131 – (Lopitalova teorema) Neka su f-je f i g diferencijabilne u nekoj okolini tačke a (osim možda u a) i neka je:

1º oblika ili ;

2º g’(x) 0 u nekoj okolini tačke a;

3º postoji (konačan ili beskonačan). Tada postoji i i jednak je L.

Izvodi i diferencijali višeg reda

- D149 – Ako je n N, n-ti izvod f-je f je f (n)(x) = (f (n-1)(x))’, n = 1,2,3,…, gde je f (0)(x) = f(x).- D150 – Ako postoji konačan f (n)(x), kaže se da je f-ja f n puta diferencijabilna u tački x.- T132 – (Lajbnicova) Neka je y = U · V i neka su U i V n puta diferencijabilne u tački x. Tada je i y n puta

diferencijabilna i važi (U · V) (n) = .

- D151 – Diferencijal reda n f-je f(x) je dn f(x) = d(dn-1 f(x)), n = 2,3,4,...- T133 – Ako je f-ja f n puta diferencijabilna u tački x, tada dn f(x) = f (n)(x)dxn.

Dokaz: n = 1. pretpostavimo za n

dn+1 f(x) = d(dn f(x)) = d(f (n)(x)dxn) = f (n+1)(x) dxn · dx = f (n+1)(x) dxn+1 y(n) = .

Konveksnost i konkavnost

- D152 – Neka je I proiyvoljan interval. Ako je ( x1, x2 I) ( λ [0,1]) f(λx1 + (1 - λ) x2) ≤ λ f(x1) + (1 - λ) f(x2) (*)f je konveksna na I. (na dole!) Inače je konkavna (≥).Napomena: ako je f konveksna, -f je konkavna, i obrnuto.

- T134 – Neka je f-ja f diferencijabilna na (a,b). F-ja f je konveksna na (a,b) ako i samo ako je f '(x) neopadajuća na (a,b).

Posledica: Neka je f-ja dvaput diferencijabilna na (a,b). F-ja f je konveksna na (a,b) ako i samo ako je ( x (a,b)) f ''(x) > 0, a konkavna ako i samo ako je ( x (a,b)) f ''(x) ≤ 0.

Napomena: jedina f-ja koja je konveksna i konkavna jeste prava.- D153 – Neka je f-ja f definisana u tački x0. Ako postoji ε > 0 tako da je f-ja f definisana u (x0 – ε, x0 + ε), i na (x0 – ε, x0) konveksna, a na (x0, x0 + ε) konkavna, ili obrnuto, onda je tačka x0 prevojna tačka f-je f.

Tejlorov polinom

- D154 – Ako f-ja f u tački a ima konačne izvode do reda n, polinom

Tn(x) = f(a) + (x - a) + (x - a)2 + ... + (x - a)n

jeste Tejlorov polinom f-je f stepena n u okolini tačke a.- D155 – f-ja Rn(x) = f(x) – T(x) jeste ostatak Tejlorovog polinoma f-je f u okolini tačke a.- T135 – (Tejlorova teorema) Neka je f-ja f n puta diferencijabilna u tački a i neka je Tn(x) njen Tejlorov polinom stepena n u okolini tačke a. Tada je: f(x) = Tn(x) + o((x - a)n), x → a, ((x-a)n – greška n-tog reda; ostatak u Peanovom obliku). Ako je a = 0, Tejlorov polinom se naziva i Maklorenov polinom.- T136 – Ako je f-ja f n puta diferencijabilna u tački a i ako je za neki polinom Pn(x) stepena n

f(x) = Pn(x) + o((x - a)n), x → a, Pn(x) je Tejlorov polinom f-je f u okolini tačke a.Dokaz: važi i: f(x) = Tn(x) + o((x - a)n), x → a.

0 = Pn(x) - Tn(x) + o((x - a)n) Pn(x) - Tn(x) = o((x - a)n), x → a.Pretpostavimo da je Pn(x) - Tn(x) = Rn(x).

. u brojiocu postoji (x - a) bar na

(n + 1). stepenu (kontradikcija!! jer je Rn(x) stepena n).

Procena greške

1) - Lagranžov oblik ostatka.

2) - Košijev oblik ostatka.

(Uslov je da f-ja ima (n + 1) izvod u okolini tačke a) ( )

- T137 – Neka f-ja ima izvode proizvoljnog reda u intervalu I koji sadrži tačku razvoja a i neka je ( x I) (

n N) |f(n)(x)| ≤ M, M R. Tada je za svako x I.

Asimptote

- D156 – Neka f: D → R.

1º Ako je , tada je x = a vertikalna asimptota f-je f.

2º Ako je , tada je y = A horizontalna asimptota f-je f.

3º Ako postoje a,b R, a ≠ 0, tako da je , y = ax + b jeste kosa asimptota f-

je f. .

- D157 – Ako je data f-ja f(x) i ako postoji f-ja g(x) tako da , kaže se da je f-ja g(x)

asimptota f-je f(x).