Elementarna matematika II in Teorija ˇstevilomr.fnm.um.si/wp-content/uploads/Zaposleni/claniOddelka/daniel.eremita/... · Elementarna matematika II in Teorija ˇstevil Vzorci pisnih

Elementarna matematika II in Teorija stevil

Vzorci pisnih izpitov in kolokvijev

26.2.1996, kolokvij

1. Dokazite, da za vsako naravno stevilo n velja(1 +

1

2+ · · ·+ 1

n

)2

+(

1

2+ · · ·+ 1

n

)2

+ · · ·+(

1

n− 1+

1

n

)2

+(

1

n

)2

=

= 2n−(1 +

1

2+ · · ·+ 1

n

).

2. Poiscite D(191, 291) ter celi stevili x in y tako, da bo veljalo 191x + 291y = D(191, 291).

3. Poiscite vse celostevilcne resitve enacbe 121x + 1331y = 11.

4. Dolocite dve zadnji cifri stevila 111213

.

5. Dolocite vsa naravna stevila n, za katera je 5n + n5 deljivo s 13. Katero med njimi jenajmanjse?

Pripravil Uros Milutinovic

3.6.1996, kolokvij

1. Naj bo f : N −→ N definirana s formulo f(n) =∑d|n

d2. Dokazite, da je funkcija f multi-

plikativna in izracunajte∑d|n

f(d)µ(n

d).

2. Z uporabo navadnih veriznih ulomkov resite linearno diofantsko enacbo 17137x− 881y = 1.Dolocite vse resitve.

3. Razvijte√

14 v neskoncni navadni verizni ulomek in dolocite najmanjso pozitivno resitevdiofantske enacbe x2 − 14y2 = 1.

4. Pokazite, da obstaja neskoncno mnogo pitagorejskih trojk (x, y, z) taksnih, da sta x in yzaporedni stevili. Primer: 1192 + 1202 = 1692.

5. Dolocite vse primitivne resitve diofantske enacbe x2 + y2 = 712.


5.9.1996

1. Dolocite vsa prastevila p, za katera velja, da je 2p + 1 popoln kub.

2. Dokazite, da obstaja neskoncno mnogo primitivnih Pitagorovih trojk (x, y, z) za katere jevsaj eno izmed stevil x, y, z popoln kvadrat.

3. Prikazite√

n2 − 1 kot neskoncni verizni ulomek in resite Pellovo enacbo x2−(n2−1)y2 = ±1.


1

19.9.1996

1. Izracunajte ostanek deljenja vsote cifer desetiskega zapisa 111111z 9.

2. Resite diofantsko enacbo 1171x− 3711y = 1.

3. Dolocite najmanjse naravno stevilo n > 1, tako da bo

√12 + 22 + · · ·+ n2

nnaravno stevilo.

Nasvet: reducirajte problem na resevanje Pellove enacbe.


5.12.96

1. Naj bo f : N −→ Z funkcija, definirana na naslednji nacin: ce je akak−1 · · · a2a1a0(10) de-

setiski zapis naravnega stevila n, tedaj je f(n) =∑k

i=0(−1)iai. Izracunajte ostanek f(121110)

pri deljenju z 11.

2. Dolocite vse resitve diofantske enacbe 547x− 641y = 1.

3. Prikazite√

15 v obliki navadnega periodicnega veriznega ulomka ter izracunajte prve stiripozitivne resitve Pellove enacbe x2 − 15y2 = 1.


4.2.97

1. Poiscite vse celostevilcne resitve sistema kongruenc

x ≡ 2 (mod 3)x ≡ 3 (mod 4)x ≡ 4 (mod 5)x ≡ 6 (mod 7).

Poiscite tudi najmanjso pozitivno resitev.

2. Z uporabo teorije kongruenc dokazite, da diofantska enacba x3 − x = y2 + 1 nima resitev.

3. Dolocite dve najmanjsi pozitivni resitvi Pellove enacbe x2− 18y2 = 1. Zakaj Pellova enacbax2 − 18y2 = −1 nima resitev?


24.2.1997, kolokvij

1. Dokazite, da 9 | (3 · 4n+1 + 10n−1 − 4), n ∈ N.

2. Poiscite vse cele resitve diofantske enacbe 91x+221y = 1053, nato pa raziscite ali obstajajoresitve v mnozici naravnih stevil.

3. Poiscite zadnji dve cifri desetiskega zapisa stevil (z uporabo kongruenc) 20320 in 243402.

2

4. Funkcija F je definirana na naslednji nacin: F : N −→ R in F (n) =∑d|n

1

d. Dokazite, da je

funkcija F multiplikativna in izracunajte∑d|n

F (d)µ(

n

d

).

Pripravila Irena Kosi-Ulbl

26.3.97

1. Resite sistem diofantskih enacb 71x− 13y = 1843, 17y − 31x = 373.

2. Naj bo f : N −→ Z funkcija, za katero velja ∀n ∈ N, µ(n) =∑d|n

f(d) (µ je Mobiusova

funkcija).

(a) Izracunajte f(p1 · · · pk), kjer so p1, . . . , pk razlicna prastevila.

(b) Pokazite, da je f(n) = 0, ce je stevilo n deljivo s kubom nekega prastevila.

3. Dolocite najmanjso pozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 95y2 = 1. Zakaj Pellova enacbax2 − 95y2 = −1 nima resitev?


14.5.1997

1. Resite sistem diofantskih enacb

11x ≡ 3 (mod 26)13x ≡ 4 (mod 33)17x ≡ 5 (mod 35).


2. Dokazite (npr. z uporabo kongruenc), da diofantska enacbax4 + 1 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3)(y + 4) nima nobene resitve.

3. Dolocite najmanjsi pozitivni resitvi Pellovih enacb x2 − 29y2 = 1 in x2 − 29y2 = −1.


30.5.1997, kolokvij

1. Poiscite vsa naravna stevila n, za katera ϕ(n) ni deljivo s 4 (ϕ je Eulerjeva funkcija).

2. Poiscite vse resitve diofantske enacbe x2 + y2 = 2212. Lahko se omejite na resitve, kizadoscajo pogoju 0 < x ≤ y. Opomba: 221 = 13 · 17.

3. Pokazite, da je mogoce vsako realno stevilo zapisati kot vsoto dveh takih realnih stevil, daje ti stevili mogoce zapisati kot enostavna verizna ulomka, katerih prvi clen je 1. (∀x ∈R,∃a0, b0 ∈ Z,∃a2, b2, a3, b3, . . . ∈ N : x = [a0; 1, a2, a3, . . .] + [b0; 1, b2, b3, . . .])

4. Poiscite najmanjso pozitivno resitev enacbe x2 − 41y2 = 1.

5. Resite diofantsko enacbo 234x− 23y = 1. Poiscite vse resitve.

Pripravil Blaz Lorger

3

23.6.1997

1. S koliko nicel se koncuje zapis stevila 1000! v sistemu z osnovo 16? (Pozor: stevilo 1000 jezapisano v desetiskem sistemu!)

2. Naj bo F : N −→ N funkcija definirana s formulo ∀n ∈ N, F (n) =∑d|n

ϕ(d), kjer je ϕ

Eulerjeva funkcija. Eksplicitno izracunajte F (pk11 · · · pkm

m ), ce so p1, . . . , pm razlicna prastevilain k1, . . . , km naravna stevila.

3. Resite diofantski enacbi x2 − 9y2 = ±1.

4. Prikazite stevilo

√5

3v obliki navadnega veriznega ulomka.


16.9.1997

1. Dolocite ostanek pri deljenju stevila 101112s 13.


(µ(d))2, kjer je

µ Mobiusova funkcija. Eksplicitno izracunajte F (pk11 · · · pkm

m ), ce so p1, . . . , pm razlicnaprastevila in k1, . . . , km naravna stevila.


4. Prikazite stevilo

√7



6.11.1997

1. Dokazite, da za poljubna naravna stevila x, y, z, a, b, c, iz1

2x+

1

3y+

1

5z=

1

2a+

1

3b+

1

5c

sledi x = a, y = b, z = c.


µ(d)ϕ(d), kjer je

µ Mobiusova, ϕ pa Eulerjeva funkcija. Eksplicitno izracunajte F (pk11 · · · pkm

m ), ce so p1, . . . ,pm razlicna prastevila in k1, . . . , km naravna stevila. Napisite podrobno razlago.

3. Podana je diofantska enacba (n + 1)2x + (n2 + 1)y = 1.

(a) Dolocite za katere n je ta enacba resljiva.

(b) Za vsak tak n dolocite mnozico vseh resitev.

4. Z matematicno indukcijo dokazite, da za vsako naravno stevilo n velja trditev:

n∑i=1

i3 =

(n∑

i=1

i

)2

.


4

22.1.1998

1. Poiscite najmanjso pozitivno resitev sistema kongruenc

x ≡ 5 (mod 23)x ≡ 4 (mod 22)x ≡ 3 (mod 21)x ≡ 7 (mod 19).

2. Dokazite, da za vsako naravno stevilo a velja 2730 | a13 − a. (Nasvet: uporabite Fermatovizrek.)

3. Dokazite: ce je (x, y, z) primitivna pitagorejska trojka s sodo prvo koordinato, tedaj je to

tudi (xy,x2

4− y2,

x2

4+ y2).

4. Prikazite√

3, 5 v obliki navadnega veriznega ulomka.


12.2.1998

1. Dolocite najvecji skupni delitelj stevil 1010001000001 in 1001000100001.

2. Dokazite, da za vsako naravno stevilo n velja∑d|n

1

d=

σ(n)

n.

3. Dolocite stevilo primitivnih pitagorejskih trojk (x, y, z) naravnih stevil za katere velja, da jex sodo stevilo, ki zadosca pogoju 100 ≤ x ≤ 200.

4. Dokazite, da Pellova enacba x2− 2y2 = 1 ima neskoncno mnogo resitev (a, b) za katere veljab ≡ 0 (mod 8), enacba x2 − 2y2 = −1 pa nobene.


23.2.1998, kolokvij

1. Z matematicno indukcijo dokazite, da za vsako naravno stevilo n velja trditev:

32n − 1 ≡ 0 (mod 2n+2).

2. Dano je zaporedje s splosnim clenom an = 3 + 2(n− 1)k, k je naravno stevilo. Pokazite, dapoljubni trije zaporedni cleni zaporedja niso vsi prastevila, ce prvi ni a1.

3. Dolocite ostanek pri deljenju stevila 1316 − 225 · 515 s 37.

4. Katerega leta so rojeni ljudje, ki so bili leta 1997 stari toliko, kolikor je vsota cifer stevila,ki predstavlja leto njihovega rojstva? Resite ustrezno diofantsko enacbo.

5. Resite sistem linearnih kongruenc:

2x ≡ 7 (mod 5)5x ≡ 2 (mod 11)3x ≡ 1 (mod 13).


5

12.3.1998, kolokvij

1. Naj bo sn =n∑

i=1

(−1)n−ii, n ∈ N. Pokazite, da za vsak k ∈ N velja s2k−1 = s2k = k.

2. Poiscite vse resitve naslednjih enacb:

(a) ϕ(n) =2n

5, n ∈ N

(b) ϕ(n) =n

6, n ∈ N

3. Resite diofantsko enacbo: 215x + 165y = 5.

4. Resite kongruenco 17302x ≡ 30217 (mod 21).

5. Pokazite, da lahko za poljubni naravni stevili m in n, poisces m takih zaporednih naravnihstevil, da je vsako izmed njih deljivo z n-to potenco kakega naravnega stevila, ki je vecje od1.


23.3.1998

1. Dokazite: ce je zadnja cifra desetiskega zapisa naravnega stevila m enaka 5, tedaj je 12m +9m + 8m + 6m deljivo z 11.

2. Dolocite vse primitivne resitve diofantske enacbe x2 + y2 = 12012 (torej vse primitivnepitagorejske trojke, v katerih je tretja koordinata fiksirana in znasa 1201).

3. Dokazite, da za poljubni naravni stevili m in n velja n | m ⇒ ϕ(n) | ϕ(m).

4. Prikazite√

55 v obliki navadnega veriznega ulomka in dolocite prvi dve resitvi (minimalnoin naslednjo) Pellove enacbe x2 − 55y2 = 1.


11.5.1998

1. Dolocite vsa prastevila p, za katera velja, da je 3p + 8 popoln kub.


17x ≡ 1 (mod 26)13x ≡ 1 (mod 33)11x ≡ 1 (mod 35).



ϕ(d)µ(d), kjer je ϕ

Eulerjeva funkcija, µ pa Mobiusova. Eksplicitno izracunajte F (pk11 · · · pkm

m ), ce so p1, . . . , pm

razlicna prastevila in k1, . . . , km naravna stevila.

6

4. Dolocite tri najmanjsa naravna stevila n > 1, za katera je√

1 + 2 + · · ·+ n naravno stevilo.Nasvet: reducirajte problem na resevanje Pellove enacbe.


3.6.1998, kolokvij

1. Poiscite vse celostevilske resitve enacbe 110101111010x+1101011y = 1. Nasvet: Pomagajtesi z veriznimi ulomki.

2. Naj bo n naravno stevilo. Pokazite, da je τ(n) liho stevilo natanko takrat, ko je n popolnkvadrat.

3. Naj bo (x, y, z) primitivna pitagorejska trojka. Pokazite, da je xy deljivo z 12 in da je xyzdeljivo s 60.

4. Poiscite vsaj dve pozitivni celo vstevilski resitvi enacbe x2 − 95y2 = 1.


8.6.1998, kolokvij

1. Definirajmo funkcijo λ s predpisom λ(1) = 1 in λ(n) = (−1)α1+α2+···+αk za vsako naravnostevilo n > 1 s prastevilsko faktorizacijo n = pα1

1 pα22 · · · pαk .

(a) Pokazite, da je λ multiplikativna funkcija.

(b) Pokazite, da je za dano naravno stevilo n > 1∑d|n

λ(d) =

{1 ; n je popoln kvadrat0 ; sicer

2. (a) Pokazite, da obstaja neskoncno pitagorejskih trikotnikov, pri katerih je razlika medhipotenuzo in eno kateto enaka 1.

(b) Poiscite vse pitagorejske trikotnike, katerih dolzine stranic so tuja si stevila, ena odkatet pa ima dolzino 15.

3. Dokazite naslednjo trditev:

Ce je n liho naravno stevilo, ki ni veckratnik 5, potem n deli naravno stevilo,katerega cifre so same enice. (Nasvet: uporabite Eulerjev izrek.)

4. Z uporabo enostavnih veriznih ulomkov dolocite vse resitve linearne diofantske enacbe 472x−169y = 4.


10.6.1998

1. Za vsako stevilo s ∈ N0 definiramo funkcijo σs s predpisom σs(n) =∑d|n

ds, n ∈ N. Pokazi,

da velja:

(a) σ0 = τ in σ1 = σ.

7

(b) σs je multiplikativna funkcija.

(c) Ce je n = pα11 pα2

2 · · · pαkk prastevilska faktorizacija stevila n, je

σs(n) =p

s(α1+1)1

ps1 − 1

· ps(α2+1)2

ps2 − 1

· · · ps(αk+1)k

psk − 1

.

2. Doloci vse resitve diofantske enacbe 15x + 12y + 30z = 24.

3. Z neskoncnim veriznim ulomkom predstavi stevilo√

n2 + 2n, kjer je n naravno stevilo indoloci najmanjsi pozitivni resitvi Pellove enacbe x2 − (n2 + 2n)y2 = 1.

4. Dokazi naslednjo trditev:

Ce je a1, a2, · · ·, an, · · · zaporedje stevil, za katero je a1 = 2, a2 = 3, an =3an−1 − 2an−2, n ≥ 3, potem je an = 1 + 2n−1 za vsako naravno stevilo n.


24.6.1998

1. Poisci vsa taka naravna stevila n, n 6= 3, da n− 3 deli n3 − 3.

2. Poisci ostanek 24(71998) pri deljenju z 11.

3. Naj bo µ Mobiusova funkcija. Pokazi, da za vsak n ∈ N, n ≥ 3 velja

n∑k=1

µ(k!) = 1.

4. Poisci eno pitagorejsko trojko oblike (x, 2x + 1, z), x > 0.


26.8.1998

1. Poisci vsa naravna stevila manjsa od 1000, ki resijo naslednjo kongruenco

783000 + x ≡ 2215 (mod 111).

2. Za katera naravna stevila n je τ(n) = 21? (τ(n) je stevilo naravnih stevil, ki delijo n.)

3. Poisci vse celostevilske resitve enacbe x2 + y2 = 3252. Lahko se omejis na 0 < x ≤ y.

4. Poisci eno resitev enacbe x2 − 130 y2 = 1.


9.9.1998

1. Pokazi, da za vsako naravno stevilo n ≥ 3, obstaja pitagorejski trikotnik (to je pravokotnitrikotnik s celostevilskimi stranicami), katerega ena kateta je enaka n.

8

2. (a) Pokazi, da je stevilo a12 − b12 deljivo s 65, ce sta a in b naravni stevili in je D(a, 65) =D(b, 65) = 1.

(b) Pokazi, da se stevila oblike 22nkoncujejo s cifro 6 za vsako naravno stevilo n > 1 (v

desetiskem zapisu).

3. Ce odstranjujemo iz kosare po 2, 3, 4, 5 ali 6 jajc hkrati, nam v kosari vedno ostane enojajce. Ce pa odstranjujemo po 7 jajc hkrati, ostane kosara prazna. Doloci najmanjse stevilojajc, ki so lahko bila v kosari.

4. Pokazi, da za vsako naravno stevilo n velja ϕ(n) = n∑d|n

µ(d)

d.


11.12.1998

1. Naj bodo a, b in c cela stevila in c 6= 0. Dokazi ali ovrzi naslednjo trditev: c deli a + bnatanko takrat ko c deli a ali b.

2. Poisci ostanek stevila 26(31305) pri deljenju s 15.

3. Poisci vse pitagorejske trojke oblike (x, y, 317).

4. Poisci eno resitev Pellove enacbe x2 − 370 y2 = 1.


22.1.1999

1. Barbari je bilo med nekim predavanjem dolgcas, pa si je na list papirja izmed naravnih stevilod 1 do 100 napisala tista, ki dajo pri deljenju s 4 od nic razlicen kvocient in ostanek, ki jeprastevilo. Ker se je predavanje vleklo, je sklenila, da bo od teh stevil zbrisala vsa, katerihkvadrat je deljiv z 9. Sosolka Andreja je opazila, da je Barbara pozabila zbrisati ravnonajmanjse stevilo z nastetimi lastnostmi. Katero?

2. Poisci vse resitve diofantske enacbe 6x + 24y − 41z = 91.

3. Pokazi, da za vsako naravno stevilo n velja: n =∑d|n

ϕ(d).

4. Prikazi√

4, 8 v obliki navadnega veriznega ulomka.


9.2.1999

1. Naj bo n naravno stevilo, ki ni deljivo niti z 2 niti s 3. Pokazi, da je v tem primeru stevilon2 − 1 deljivo s 24.

2. Poisci vse resitve kongruence 3 x19 ≡ 14 (mod 35)

3. Naj bo n naravno stevilo. Izracunaj∑d|n

σ(d) µ(n

d). Pri tem je σ(d) vsota vseh deliteljev

stevila d, µ pa Mobiusova funkcija.

9

4. Poisci vsaj dve resitvi Pellove enacbe x2 − 155 y2 = 1.


11.6.1999

1. Dokazi naslednjo trditev: Ce je 2n − 1 prastevilo, potem je tudi n prastevilo.

2. Resi sistem linearnih kongruenc: 3x ≡ 1 (mod 10)4x ≡ 3 (mod 5)2x ≡ 7 (mod 9).

3. Pokazi, da enacba 2x2 + 5xy − 3y2 = 17 nima celostevilskih resitev. (Nasvet: levo stranenacbe zapisi kot produkt dveh faktorjev.)

4. Poisci dve pozitivni resitvi enacbe x2 − 33y2 = 1.


24.6.1999

1. Poisci vse resitve diofantske enacbe 669 x + 92 y = 3.

2. Pokazi, da 18 deli 681456 − 766547.

3. Pokazi, da za vsako naravno stevilo n velja:∑d|n

(µ(d))2 ϕ(d) 6= 490.

4. Izracunaj vrednost veriznega ulomka [3; 1, 1, 1, 2].


27.8.1999

1. Pokazi, da je za vsako naravno stevilo n izraz n4 + 2n3 − n2 − 2n deljiv s 24. Za kaksne nta izraz ni deljiv s 120? Odgovor utemelji.

2. Med naravnim stevilom n i prastevilom p velja zveza n4 = 16p + 1. Poisci vse pare stevil n,p, za katere je izpolnjen ta pogoj.

3. Pokazi, da za poljubno naravno stevilo n velja:∑d|n

σ(d) =∑d|n

n

dτ(d).

4. Prikazi stevilo5 +

√37

4v obliki periodicnega veriznega ulomka.


10.9.1999

1. Naj bosta a in b tuji celi stevili. Pokazi, da je v tem primeru D(a2 + b2, a + b) lahko le 1 ali2. Nasvet: a2 + b2 = (a− b) (a + b) + 2 b2.

10

2. Poisci vse resitve kongruence x171 + 275 x32 − 14 x7 + 203 ≡ 0 (mod 9).

3. Naj bo P (n) =∑d|n

(µ(d))2. Izracunaj P (n) za poljubno naravno stevilo n. Kaj predstavlja

log2 P (n)?

4. Poisci eno pozitivno celostevilsko resitev enacbe x2 − 269 y2 = 1.


16.11.1999

1. Naj bo a1 ∈ {0, 1, 2, . . . 9} poljubno stevilo. Za vsak n ∈ N oznacimo z an+1 zadnjo cifrostevila 19an + 98, zapisanega v desetiskem zapisu. Dokazite, da je 0, a1a2a3 . . . racionalnostevilo.

2. (a) Dokazite, da je τ(n) liho stevilo natanko takrat, kadar je n popolni kvadrat.

(b) Dolocite, ali je vsota τ(1) + τ(2) + · · ·+ τ(1998) + τ(1999) sodo ali liho stevilo.

3. Dokazite, da ne obstajata celi stevili x, y, za kateri bi veljalo x2 − 4y2 = 246834.

4. Dolocite dve najmanjsi resitvi enacbe x2 − 131y2 = 1 v mnozici naravnih stevil.


18.1.2000

1. Dolocite vsa prastevila p, q, r, ki zadoscajo enacbi pq + qp = r.

2. Dolocite najvecji skupni delitelj stevil 12345678910111213 in 123456789101112.

3. Resite diofantsko enacbo x2 + 4y2 = 3692 v mnozici naravnih stevil.

4. Dolocite dve najmanjsi resitvi enacbe x2 − 77y2 = 1 v mnozici naravnih stevil.


1.2.2000

1. Dokazite, da je 1367 prastevilo.

2. Resite naslednji sistem kongruencnih enacb:

2x ≡ 3 (mod 7)3x ≡ 7 (mod 11)7x ≡ 11 (mod 2)

11x ≡ 2 (mod 3).

3. Dokazite, da za vsako naravno stevilo n velja∑d|n

(µ(d))5 =∑d|n

(µ(d))7.

11

4. Pokazite, da ima sistem diofantskih enacb

3x + 2y = 1x2 + y2 = z2

vsaj eno resitev.


3.3.2000, kolokvij

1. Pokazite, da a2n+ 1 deli a2m − 1 za vsak m > n, kjer so a, m, n ∈ N.

2. Poiscite vse cele resitve diofantske enacbe

1001x− 57y = 10.

3. Ali je stevilo 1232031055 − 6201030102 deljivo s 43?

4. Poiscite najmanjse naravno stevilo, ki da pri deljenju z 10, 13, 17 ostanke 3, 11, 15; v temvrstnem redu.

5. Pokazite, da vsota kvadratov petih zaporednih naravnih stevil ni popoln kvadrat.

Pripravila Irena Hrastnik

7.3.2000

1. Dolocite ostanek pri deljenju stevila 137137137s stevilom 44.

2. Dolocite vse pitagorejske trojke (x, y, z), ki imajo stevilo 20 kot eno svojo koordinato.

3. Funkcija F : N −→ N je definirana s formulo

F (n) =∑d|n

µ(d)ϕ(n

d).

Dokazite, da je F (m2) popolni kvadrat, za vsako naravno stevilo m.

4. Prikazite√

112 v obliki periodicnega navadnega veriznega ulomka in dolocite najmanjsonetrivialno resitev Pellove enacbe x2 − 112y2 = 1.


4.4.2000

1. Dolocite mnozico vseh resitev diofantske enacbe 6x + 10y + 15z = 1.

2. Dolocite ostanek pri deljenju 171717s 37.

12

3. Funkcija F : N −→ N je definirana s formulo

F (pk11 · · · pkm

m ) = p1 · · · pm,

ce je pk11 · · · pkm

m kanonicni razcep stevila na prafaktorje, oziroma s formulo F (1) = 1. Dolocitef(17), f(256) in f(111), ce je f : N −→ N funkcija, za katero za vsako naravno stevilo nvelja

F (n) =∑d|n

f(d).

4. Prikazite√

2599 v obliki periodicnega navadnega veriznega ulomka in dolocite najmanjsopozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 2599y2 = 1.


9.5.2000

1. Dolocite mnozico vseh resitev diofantske enacbe 661x + 116y = 1.

2. Dolocite vse pitagorejske trojke naravnih stevil (x, y, z), za katere velja y = 1111.

3. Funkcija f : N −→ N je definirana s formulo

f(pk11 · · · pkm

m ) = 2k1+···+km ,

ce je pk11 · · · pkm

m kanonicni razcep stevila na prafaktorje, oziroma s formulo f(1) = 1. FunkcijaF : N −→ N je definirana s formulo

F (n) =∑d|n

f(d), n ∈ N.

(a) Dokazite, da je F multiplikativna.

(b) Izracunajte F (pk11 · · · pkm

m ), ce je pk11 · · · pkm

m kanonicni razcep stevila na prafaktorje.

4. Naj bo d naravno stevilo, ki ni popoln kvadrat. Oznacimo z (xk, yk) k-to pozitivno resitevPellove enacbe x2 − dy2 = 1 (uredimo jih po velikosti, od najmanjse dalje). Dokazite, daizraz xkyk+1 − xk+1yk ni odvisen od izbire k.


2.6.2000, kolokvij

1. Dokazite, da je ∑d|n

1

d=

σ(n)

n

za vsako naravno stevilo n.

2. Naj bo (x, y, z) poljubna pitagorejska trojka. Pokazite, da je vsaj eno izmed stevil x, ydeljivo s 3 in vsaj eno izmed stevil x, y, z deljivo s 5.

3. Izracunajte vrednost veri znega ulomka [4; 2, 1, 3, 1, 4].

13

4. Za vstevilo zlatega reza (1+√

52

) na standarden nacin definiramo priblizke pn in qn. Pokazite,da je D(pnpn+3, pn+1pn+2) = 1 za vsako stevilo n ∈ N ∪ {0}.

5. Dokazite, da obstaja neskoncno stevil oblike x(x+1)2

, x ∈ N, ki so hkrati kvadrat naravnegastevila.


15.6.2000

1. Naj bodo a, m, n ∈ N in m 6= n. Pokazi, da je tedaj

D(a2m

+ 1, a2n

+ 1) ∈ {1, 2}.

2. Druzba odraslih ljudi in otrok je placala za kosilo 1000 denarnih enot. Vsak odrasel clovekje placal 19, vsak otrok pa 13 denarnih enot. Koliko je bilo v druzbi odraslih ljudi in kolikootrok?

3. Sestavljenemu naravnemu stevilu n pravimo psevdoprastevilo, ce deli 2n − 2. Ali je 561psevdoprastevilo?

4. Doloci prve tri pozitivne resitve Pellove enacbe x2 − 27y2 = 1. Zakaj Pellova enacba x2 −27y2 = −1 nima resitev?


29.6.2000

1. Pokazite, da je za vsako naravno stevilo n in vsako prastevilo p izraz 1 + 1n(p−1) + 2n(p−1) +· · ·+ pn(p−1) deljiv s p.

2. Poiscite tri zaporedna liha stevila, taka da je prvo deljivo s 32, drugo s 52 in tretje s 72.

3. Poiscite tiste resitve diofantske enacbe x2 + y2 = 2052, ki zadoscajo pogoju 0 < x ≤ y.

4. Naj bosta m in n poljubni naravni stevili. Z neskoncnim veriznim ulomkom predstavitestevilo

√m + m2n2 in poiscite najmanjso pozitivno resitev Pellove enacbe

x2 − (m + m2n2)y2 = 1.


23.8.2000

1. Pokazite, da za vsako celo stevilo n velja, da je tudi1

15(3n5 + 5n3 + 7n) celo stevilo.

2. Poiscite vsa naravna stevila n, ki zadoscajo enacbi

2τ(2n)σ(2n) = 2n(2n+1 − 1).

3. Dolocite naravna stevila x, y in z, ce je27

10= 2 +

1

x + 1y+ 1

z

, nato pa z dobljenim veriznim

ulomkom resite diofantsko enacbo 27x− 10y = 9.

14

4. Poiscite najmanjso pozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 370y2 = 1 in najmanjso pozitivnoresitev Pellove enacbe x2 − 370y2 = −1.


6.9.2000

1. Naj bo p prastevilo. Dokazite, da p3 deli (p!)2 − p2.

2. Poiscite vse celostevilcne resitve diofantske enacbe 123x + 360y = 99, nato pa raziscite aliobstajajo resitve v mnozici naravnih stevil.

3. Poiscite zadnji dve cifri stevila 171921

.

4. Prikazite√

130 v obliki navadnega periodicnega veriznega ulomka, nato pa poiscite naj-manjso pozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 130y2 = 1 in najmanjso pozitivno resitevPellove enacbe x2 − 130y2 = −1.


20.11.2000

1. Poiscite vse resitve diofantske enacbe 3x− 6y + 5z = 4.

2. Poiscite ostanek stevila 1316 − 225 · 515 + 24202000pri deljenju s 37.

3. Dokazite, da je 1ϕ(n)

= 1n

∑d|n

µ(d)2

ϕ(d)za vsako naravno stevilo n.

4. Zapisite tri pozitivne resitve vsake izmed Pellovih enacb x2 − 24y2 = 1 in x2 − 24y2 = −1.Kaj lahko poveste o resitvah Pellove enacbe x2− (n2 + 2n)y2 = −1, pri cemer je n poljubnonaravno stevilo?


25.1.2001

1. Poiscite najvecje naravno stevilo k, da bo veljalo 1030! = 14k · t, t ∈ N.


2x ≡ 7 (mod 5)5x ≡ 2 (mod 11)3x ≡ 1 (mod 13).

3. Poiscite neskoncno naravnih resitev enacbe (x− 1)2 + (x− 1)2 = y2 + 1.

4. Z matematicno indukcijo na k pokazite, da za vsako liho prastevilo p, celo stevilo r innaravno stevilo k ≥ 2 velja

(1 + rp)pk−2 ≡ 1 + rpk−1 (mod pk)


15

14.2.2001

1. Naj bosta a in b celi, tuji si stevili. Pokazite, da je tedaj D(a + b, a− b) lahko le 1 ali 2.

2. Pokazite, da diofantska enacba x2 + y2 = m ni resljiva za m ≡ 3 (mod 4).

3. Poiscite vse celostevilcne resitve linearne diofantske enacbe 414x− 293y = 11.

4. Poiscite vsaj tri pozitivne celostevilske resitve Pellove enacbe x2 − 80y2 = 1. Zakaj Pellovaenacba x2 − 80y2 = −1 nima resitev?


18.4.2001

1. Poiscite pet zaporednih naravnih stevil (najmanjse naj ne bo 2) takih, da je prvo deljivo sstevilom 2, drugo s 3, tretje s 4, cetrto s 5 in peto s stevilom 6.

2. Naj bo n poljubno naravno stevilo. Pokazite, da je1

2

√n ≤ ϕ(n) ≤ n.

3. Pokazite, da obstaja neskoncno pravokotnih trikotnikov, katerih dolzine stranic so naravnastevila, razlika med dolzinama katet pa je 1.

4. Prikazite

√24



7.6.2001

1. Ali je stevilo 321201118

+ 17543210 deljivo z 31?

2. Poiscite vse celostevilske resitve enacbe x2 + y2 = 3172.

3. Naj bo p ≡ 1 (mod 4). Pokazite, da ce je x2 − py2 = 1, potem je x liho in y sodo stevilo.

4. Izracunajte vrednost veriznega ulomka {1; 2, 1, 4, 1}.Pripravila Irena Hrastnik

28.6.2001

1. Poiscite vse celostevilcne resitve diofantske enacbe 493x − 578y = 51, nato pa raziscite aliobstajajo resitve v mnozici naravnih stevil.

2. Naj bo f : N −→ N funkcija definirana s formulo f(n) =∑

d|n d3. Pokazite, da je fmultiplikativna funkcija in izracunajte

∑d|n f(d)µ(n

d).

3. Dolocite tri pozitivne resitve Pellove enacbe x2 − 18y2 = 1.

4. Naj bo (x, y, z) primitivna pitagorejska trojka. Pokazite, da je tedaj (x− y)2 ≡ 1 (mod 8).Nasvet: poglejte cemu je kongruenten izraz x− y po modulu 8.


16

30.8.2001

1. Za naravni stevili x in y naj velja, da je njun najvecji skupni delitelj stevilo 8. Poiscite vsemozne vrednosti najvecjega skupnega delitelja stevil x3 in y4.


8x ≡ 7 (mod 5)3x ≡ 2 (mod 7)2x ≡ −1 (mod 13).

3. Poiscite vse resitve enacbe ϕ(n) =2n

7, n ∈ N.

4. Prikazite stevilo5 +

√37



13.9.2001

1. Poiscite ostanek stevila (7126 − 3522)51 pri deljenju z 48.

2. Poiscite vse resitve diofantske enacbe x2 + y2 = 2212, ki zadoscajo pogoju 0 < y ≤ x.

3. Dokazite: Ce je 2p + 1 sestavljeno stevilo in p prastevilo, tedaj ne obstaja naravno stevilon, tako da je ϕ(n) = 2p.

4. Prikazite√

107 v obliki navadnega periodicnega veriznega ulomka, nato pa poiscite naj-manjso pozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 107y2 = 1.


17.1.2002

1. Dokazite: ce je vsota n lihih naravnih stevil enaka njihovemu produktu, tedaj je n ≡1 (mod 4).

2. Resite diofantsko enacbo xy = 7x + 11y.

3. Naj bo f : N −→ Z funkcija, za katero velja

∀n ∈ N, µ(n) =∑d|n

f(d),

kjer je µ Mobiusova funkcija.

(a) Izracunajte f(p1p2 · · · pk), ce so p1, p2, . . . , pk razlicna prastevila.

(b) Izracunajte f(p3), ce je p prastevilo.

4. Prikazite√



17

13.2.2002

1. Naj bo m stevilo vseh naravnih deliteljev naravnega stevila n. Dokazite, da je produkt tehdeliteljev enak

√nm.

2. Dokazite, da diofantska enacba 5x2 − 4y2 = 2002 nima resitev.

3. Podan je sistem linearnih kongruencnih enacb:

x ≡ a (mod 15)x ≡ 4 (mod 21)x ≡ 5 (mod 11).

(a) Izberite a tako, da bo sistem resljiv ter za tako izbrani a dolocite mnozico vseh resitevsistema.

(b) Izberite a tako, da sistem ne bo resljiv. Zakaj obstoj taksnega a ni v nasprotju skitajskim izrekom o ostankih?

4. Prikazite√

132 v obliki navadnega periodicnega veriznega ulomka, nato pa poiscite 3 naj-manjse pozitivne resitve Pellove enacbe x2 − 132y2 = 1.


22.2.2002, kolokvij

1. Z matematicno indukcijo dokazite:

(a)n∑

k=0

(−1)k

(n

k

)= 0 za vsak n ∈ N;

(b)n∑

k=0

(−1)k k

(n

k

)= 0 za vsak n ≥ 2.


13x + 8y = 23x + y + 6z = 4.

Poiscite tiste resitve (x0, y0, z0) za katere je x0 + y0 + z0 naravno stevilo manjse od 100.

3. Poiscite vsa naravna stevila manjsa od 500, ki resijo naslednji sistem

23x ≡ 322 (mod 3)15x ≡ 13 (mod 4)3x ≡ −29 (mod 5).

4. (a) Dokazite, da obstaja natanko eno tako prastevilo p, da sta p + 4 in p + 8 prastevili.

(b) Dokazite, da obstajata natanko dva para takih prastevil p in q, da sta p+2q ter p+2q+1

prastevili.

Pripravil Daniel Eremita

18

12.3.2002

1. Dokazite, da je stevilo

an = 52n+1 + 32 · 2n+1(1 + 18n−1)− 13n

deljivo s 46 pri poljubnem naravnem n.

2. Dolocite najvecji skupni delitelj d stevil 1234567 in 7654321 ter resite diofantsko enacbo1234567x + 7654321y = d.

3. Naj bo M ⊆ Z×Z mnozica vseh resitev diofantske enacbe x2 + y2 = n in naj bo N ⊆ Z×Zmnozica vseh resitev diofantske enacbe x2 + y2 = 2n, kjer je n podano naravno stevilo.Dokazite, da je funkcija ϕ : M −→ N , podana s ϕ(a, b) = (a− b, a + b), bijekcija.

4. Bodita za poljubno naravno stevilo n stevili xn, yn doloceni z

xn + yn

√2 = (3 + 2

√2)n, xn, yn ∈ N.

Dokazite, da je poljubni (xn, yn) resitev enacbe x2 − 2y2 = 1 ter da nobeno stevilo xn nideljivo s 5.


16.4.2002

1. Dokazite, da je 2539 prastevilo.

2. Dolocite ostanek pri deljenju stevila

1234567891011121314151617 · · · 19981999200020012002

(ki ga dobimo tako, da po vrsti zapisemo vsa naravna stevila od 1 do 2002) s 3.

3. Dokazite, da v nobenem pozicijskem stevilskem sistemu ne obstaja nenicelna cifra x, zakatero bi veljalo xxx = x3. Pri tem xxx oznacuje trimestno stevilo, ki ima na vseh mestihcifro x.

4. Prikazite√



31.5.2002, kolokvij

1. Dokazite, da za poljubno naravno stevilo n velja

∑d|n

τ (d)3 =

∑d|n

τ (d)

2

.

2. Naj bo (x, p− 1, p) taka primitivna pitagorejska trojka, da je p prastevilo in x ni deljiv s 3.

(a) Dokazite, da je p ≡ 1 (mod 12).

19

(b) Poiscite vse zgoraj opisane pitagorejske trojke za p < 200.

3. Poiscite minimalno pozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 28y2 = 1.

4. Naj bo a ∈ N in {1; a} navadni verizni ulomek z zaporedjem (qn) definiranim na klasicennacin. Dokazite, da za poljubno naravno stevilo n velja

qn = qn−kqk + qn−k−1qk−1

za vsak k ∈ {0, 1, . . . , n− 1}.Pripravil Daniel Eremita

13.6.2002

1. Poiscite prva tri naravna stevila, ki resijo sistem

5x ≡ 73 (mod 3)10x ≡ 3 (mod 7)74x ≡ 5 (mod 11).

2. Naj bo p prastevilo in ap ≡ bp (mod p). Dokazite, da je

ap ≡ bp (mod p2).

3. Naj bo ϕ(mn) = ϕ(m) za neki naravni stevili m in n, kjer je n > 1. Dokazite, da je n = 2in m liho stevilo.

4. Izracunajte vrednost periodicnega veriznega ulomka {2; 3, 5, 2}.Pripravil Daniel Eremita

1.7.2002


2. Pokazite, da velja61! + 1 ≡ 63! + 1 ≡ 0 (mod 71).

3. Poiscite vse pitagorejske trikotnike, katerih dolzina hipotenuze je 1025. Kateri izmed tehtrikotnikov so primitivni?

4. Dolocite najmanjse naravno stevilo n, za katero je√2

5+

4

5+ · · ·+ 2n

5

naravno stevilo, ki da pri deljenju s 3 ostanek 1.


20

27.8.2002

1. Poiscite vse celostevilske resitve diofantske enacbe

137x + 101y − 1111z = 1.

2. Naj bo p liho prastevilo. Dokazite: ce je ap + 1 deljivo s p, potem je ap + 1 deljivo s p2.

3. Naj bosta m in n taki naravni stevili, da je D(m, n) = pα za neko prastevilo p in nekonaravno stevilo α. Pokazite, da velja

2τ (mn) = 2τ (m) τ (n) + τ

(mn

p

)− τ

(m

p

)τ (n)− τ (m) τ

(n

p

).

4. Stevilo√

5, 5 zapisite v obliki navadnega veriznega ulomka.


13.9.2002

1. Dokazite, da je 5 · 24n − 72n+1 − 19 · 102n + 21n+1 deljivo s 14 za vsak n ∈ N.

2. Naj bosta a in b tuji celi stevili. Pokazite, da je D(a + b, ab) = 1.

3. Poiscite najmanjse naravno stevilo, ki da pri deljenju s 5, 9, 11, 17 ostanke 2, 7, 5, 12 (vtem vrstnem redu).

4. Naj bo n poljubno naravno stevilo.

(a) Stevilo√

n2 + n zapisite v obliki neskoncnega navadnega veriznega ulomka.

(b) Dolocite najmanjsi pozitivni resitvi Pellove enacbe x2 − (n2 + n) y2 = 1.


13.12.2002

1. Stevilo 1+√

157

zapisite v obliki navadnega veriznega ulomka.

2. Poiscite vse resitve kongruence 4x3 ≡ 22 (mod 33).

3. Funkcija F : N −→ Z je podana s predpisom F (n) =∑d|n

d |µ(d)|.

(a) Izracunajte F (28).

(b) Poiscite vse resitve enacbe F (n) = 12.

4. Dokazite, da za vsako liho naravno stevilo n ≥ 3 obstaja primitivna pitagorejska trojka

oblike (x, y,(

n2+12

)2).


21

24.1.2003

1. Poiscite vse pitagorejske trojke oblike (100, y, z). Katere so primitivne?

2. Poiscite vsa naravna stevila n, za katera velja 5n ≡ 20 (mod 55).

3. Naj bo π(n) produkt vseh prastevil, ki delijo naravno stevilo n > 1 in naj bo π(1) = 1.

(a) Dokazite, da sta π in µ ◦ π multiplikativni funkciji.

(b) Dokazite: ce π(n)2 |/ n, potem je∑

d|n µ(π(d)) = 0.

4. Poiscite minimalno pozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 21y2 = 1.


14.2.2003

1. Dokazite, da 4 deli 3n+1 − 2n2 + 13 za vsako naravno stevilo n.

2. Resite sistem191x ≡ 11 (mod 21)17x ≡ 1 (mod 5).

3. Funkcija F : N −→ Z je podana s predpisom

F (n) =∑d|n

ϕ(d)σ(d)µ2(d).

(a) Izracunajte F (6).

(b) Izracunajte F (pα11 pα2

2 · · · pαkk ), kjer so p1,. . . ,pk razlicna prastevila in α1,. . . ,αk naravna

stevila.

4. Naj bo n poljubno naravno stevilo.

(a) Stevilo√

4n2 + 2 zapisite v obliki neskoncnega veriznega ulomka.

(b) Dolocite najmanjsi pozitivni resitvi Pellove enacbe

x2 − (4n2 + 2)y2 = 1.


7.4.2003

1. Poiscite zadnji dve stevki desetiskega zapisa stevila 3272003.

2. Stevilo√

505 zapisite v obliki navadnega veriznega ulomka in poiscite minimalno pozitivnoresitev Pellove enacbe x2 − 505y2 = 1.

3. Poiscite vsa naravna stevila n z lastnostjo ϕ (n) = 4.

4. Naj bo p prastevilo in (x, p, z) primitivna pitagorejska trojka za katero velja x2 + p2 = z2.Dokazite, da je z ≡ 1 (mod 4).


22

13.6.2003

1. Dolocite ostanek stevila 666777777pri deljenju s 25.

2. Maja in Dominik prodajata hruske. Vemo, da ima Dominik dvomestno liho stevilo hrusk,da jih ima Maja manj kot Dominik in da je stevilo Majinih hrusk prastevilo. Ce bi Dominikvsak dan prodal po 11 hrusk, bi mu naposled ostali le dve. Ce bi Dominik Maji odstopiltoliko hrusk, da bi se njena zaloga podvojila in bi nato Dominik vsak dan prodal po 5 hrusk,bi mu na koncu ostale 3. Ce bi Dominik Maji podaril vse svoje hruske in bi nato Maja vsakdan prodala po 5 hrusk, bi prodala vse. Koliko hrusk ima Maja in koliko Dominik?

3. Izracunajte vrednost navadnega veriznega ulomka {1; 2, 3, 2, 1}.

4. Naj bo n > 1 naravno stevilo in k stevilo vseh prastevil, ki delijo n. Dokazite:

n

2k≤ ϕ(n) < n.


30.6.2003

1. Poiscite vse celostevilske resitve enacbe 1207x + 575y = 111.

2. Poiscite vsa naravna stevila n, za katera je 31n31 − 8 deljivo s 13.

3. Dokazite: ce je vsota stevk naravnega stevila n enaka vsoti stevk stevila 5n, potem je ndeljivo z 9.

4. Dokazite, da za vsako naravno stevilo n ≥ 2 velja

σ(n)

τ(n)≤ 3

4n .


26.8.2003

1. Dokazite, da obstajata natanko dve prastevili oblike n(n+1)2

− 1, kjer je n naravno stevilo.

2. Naj bo n = ϕ (10!). Stevilo n razcepite na prafaktorje.

3. Izracunajte vrednost navadnega veriznega ulomka {3; 1, 4}.

4. Pokazite, da obstaja neskoncno mnogo takih naravnih sodih stevil n, da sta n + 1 in n2

+ 1popolna kvadrata. Poiscite dve taki stevili n.


9.9.2003

1. Poiscite vsa prastevila p za katera je 2p + 1 popoln kub.

23

2. Sedem gusarjev si poskusa pravicno razdeliti vsebino ukradene vrece zlatnikov. Ker pridelitvi ostane sest zlatnikov, izbruhne pretep v katerem dva gusarja padeta v morje. Todapreostalih pet gusarjev si tudi sedaj ne zna razdeliti zlatnikov, saj jim tokrat ostaneta dvazlatnika. Spet se vname pretep in eden od gusarjev pade v morje. Sedaj so na krovu le sestirje gusarji. Ko si poskusajo razdeliti plen, jim ostane en zlatnik. Od razburjenja enemuod gusarjev odpove srce in umre. Naposled si preziveli gusarji brez tezav pravicno razdelijozlatnike. Najmanj koliko zlatnikov je bilo v vreci?

3. Stevilo1 +

√23

2zapisite v obliki navadnega veriznega ulomka.

4. Funkcija f : N −→ Z je podana s predpisom f(n) = (−1)n−1.

(a) Dokazite, da je funkcija f multiplikativna.

(b) Upostevajte tocko (a) in za vsako naravno stevilo n izracunajte vrednost funkcije

F (n) =∑d|n

(−1)d−1µ(d) .


30.1.2004

1. Poiscite vse celostevilske resitve enacbe 15x− 22y + 33z = 4.

2. Stevilo√

2, 5 zapisite v obliki navadnega veriznega ulomka.

3. Poiscite vse resitve kongruence x5 ≡ 3 (mod 49).

4. Naj bo n tako naravno stevilo, da je σ(n) = 2n. Dokazite, da stevilo n:

(a) ni popoln kvadrat;

(b) ni potenca prastevila.


13.2.2004

1. Resite naslednji sistem linearnih kongruenc:12x ≡ 1 (mod 5), 25x ≡ 7 (mod 11), 19x ≡ 8 (mod 14).

2. Dokazite, da lahko naravno stevilo n zapisemo kot razliko dveh kvadratov celih stevil natankotedaj, ko n− 2 ni deljivo s 4.

3. Poiscite najmanjso pozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 70y2 = 1.

4. Naj bo n produkt dveh prastevil. Dokazite, da enakost σ (n) = 2n velja natanko tedaj, koje n = 6.


24

25.2.2004, kolokvij (dvopredmetna matematika)

1. Dokazite, da za vsako naravno stevilo n ≥ 2 velja, da je√√√√n +

√n− 1 +

√n− 2 + · · ·+

√2 +

√1

iracionalno stevilo.

2. Poiscite vse resitve diofantske enacbe 148x + 15y = 6.

3. Resite sistem linearnih kongruenc22x ≡ −4 (mod 5), 124x ≡ 7 (mod 11), 101x ≡ 148 (mod 18).

4. Resite kongruenco 139x11 ≡ 12 (mod 15).


25.2.2004, kolokvij (enopredmetna matematika)

1. Dokazite, da za vsako naravno stevilo n ≥ 2 velja, da je√√√√n2 +

√(n− 1)2 +

√(n− 2)2 + · · ·+

√22 +

√12

iracionalno stevilo.

2. Poiscite vse resitve diofantske enacbe 148x + 17y = 6.

3. Resite sistem linearnih kongruenc22x ≡ −4 (mod 5), 124x ≡ 7 (mod 11), 19x ≡ 148 (mod 14).

4. Resite kongruenco 148x11 ≡ 6 (mod 15).

5. Dokazite, da obstaja natanko ena taka trojica naravnih stevil (p, q, n), da sta p in q prasteviliter, da velja

2p + 3p = qn.


21.4.2004

1. Resi diofantsko enacbo 385x− 14y + 166z = 2.

2. Doloci ostanek stevila 577777+ 777775

pri deljenju s 13.

3. Poisci vse naravne resitve diofantske enacbe x2 + 6372 = z2. Katere od tako dobljenihpitagorejskih trojk (x, 637, z) so primitivne?

4. Naj bo p tako liho prastevilo, da je tudi 2p + 1 prastevilo. Poisci vse resitve enacbe

ϕ(n) = 2p.


25

9.6.2004, kolokvij (dvopredmetna matematika)

1. Izracunajte vrednost periodicnega veriznega ulomka {3; 2, 1, 2, 1}.

2. Poiscite tri pozitivne resitve Pellove enacbe x2 − 231y2 = 1.

3. Naj bo x sodo stevilo. Dokazite: ce je (x, y, z) primitivna pitagorejska trojka, potem je tudi(x2

2, yz, y2+z2

2

)primitivna pitagorejska trojka.

4. Naj bo funkcija F : N −→ N podana s predpisom

F (n) =∑d|n

nϕ(d)

d.

(a) Izracunajte F (16) in F (33).

(b) Dokazite, da je F (n) sodo stevilo natanko tedaj, ko je n ≡ 0 (mod 4).


9.6.2004, kolokvij (enopredmetna matematika)

1. Poiscite tri pozitivne resitve Pellove enacbe x2 − 235y2 = 1.

2. Naj bo y ≡ 3 (mod 4). Dokazite: ce je (x, y, z) primitivna pitagorejska trojka, potem je tudi(x + y + z, x + z−y

2, x + y+3z

2

)primitivna pitagorejska trojka.

3. Naj bo funkcija F : N −→ N podana s predpisom

F (n) =∑d|n

dϕ(

n

d

).

Dokazite, da je F (n) sodo stevilo natanko tedaj, ko je n ≡ 0 (mod 4).

4. Naj bosta a in b naravni stevili ter x = {a; 2b} navadni verizni ulomek. Izracunajte vrednostx in stevilo 2x zapisite v obliki navadnega veriznega ulomka.


15.6.2004 (dvopredmetna matematika)

1. Resite sistem linearnih kongruenc

7x ≡ 1 (mod 3)25x ≡ 7 (mod 11)19x ≡ 8 (mod 16).

2. Resite kongruenco 13x ≡ 1071111156(mod 25).

3. Poiscite vse pitagorejske trojke naravnih stevil oblike (x, 5353, z). Katere so primitivne?

4. Stevili 32141

in√

72

zapisite v obliki navadnih veriznih ulomkov.


26

29.6.2004 (dvopredmetna matematika)

1. Poiscite vse resitve diofantske enacbe

55x− 17y + 100z = 3.

2. Poiscite najmanjso pozitivno resitev Pellove enacbe x2 − 52y2 = 1.

3. Pokazite, da za vsako prastevilo p in vsako celo stevilo a velja:

(a) p | ap + (p− 1)!a ,

(b) ce p 6= 2, potem p | 2(p− 3)!ap + a.

4. Dokazite, da za poljubno naravno stevilo n velja

σ(n)ϕ(n) ≤ n2.


27

Documents

Elementarna matematika II in Teorija ˇstevilomr.fnm.um.si/wp-content/uploads/Zaposleni/claniOddelka/daniel.eremita/... · Elementarna matematika II in Teorija ˇstevil Vzorci pisnih