MATEMATICA Y COGNICION PROGRAMA DE INVESTIGACION

CONSTRUCCIÓN DE LA OPERACIÓN MULTIPLICATIVA Y DEL SISTEMA NOTACIONAL EN BASE 10:

UNA RELACIÓN POSIBLE

INFORME TÉCNICO FINAL

Mariela Orozco Hormaza Investigador Principal Escuela de Psicología Universidad del Valle

Christian Hederich

Co-investigador Centro de Investigaciones

Universidad Pedagógica Nacional

Centro de Investigaciones y

Estudios Avanzados en Psicología, Cognición y Cultura

UNIVERSIDAD DEL VALLE

JULIO, 2000

0. INTRODUCCIÓN Este documento contiene los logros generales alcanzados en la realización de la investigación “Construcción de la operación multiplicativa y del sistema de notación en base 10: una relación posible. Se trata de un estudio de tipo descriptivo que indaga sobre la relación entre construcción de la operación multiplicativa y la comprensión del sistema de notación en base diez. El estudio se realiza con 123 niños y niñas que asisten a los 7 primeros grados de educación básica primaria. Los resultados arrojan una correlación alta entre estrategias multiplicativas y éxito al escribir numerales, uno de los indicadores de comprensión del sistema. La relación entre utilización de estrategias multiplicativas y el manejo de las equivalencias, el otro indicador de comprensión del sistema, es menos alta, pero igualmente significativa. El análisis de los errores de los niños al escribir numerales, produce desarrollos conceptuales que permiten especificar los tipos de error en función del tipo de proceso que llevan al niño a cometerlos. Para presentar estos y otros resultados, hemos dividido el contenido de este informe en los siguientes capítulos: El primer capítulo contiene las reflexiones conceptuales sobre el sistema de notación en base 10 y la multiplicación. Las reflexiones sobre el sistema se abordar desde tres perspectivas, la histórica, la psicológica y el análisis operatorio del sistema. En la perspectiva psicológica se distinguen dos tipos de enfoques, el psicolingüístico y los enfoques evolutivos. Las concepciones sobre la multiplicación constituyen una síntesis de posiciones ampliamente expuestas por uno de nosotros en un trabajo de investigación previo. (Ver Orozco, 1996) El segundo capítulo está dedicado a los aspectos metodológicos del estudio, el: diseño, la muestra, los criterios de selección de los sujetos y las tareas que se les propusieron. En el tercer capítulo presentamos los resultados, consignados en las siguientes secciones: La primera sección presenta las relaciones encontradas entre los resultados que los niños logran al resolver los dos tipos de tareas, las de multiplicación y las relativas al sistema; en la segunda sección se analiza la relación entre las características individuales y el éxito que los niños alcanzan; la tercer sección está dedicada a mostrar las relaciones encontradas entre las tareas de multiplicación, en función de éxito fracaso y tipos de estrategas utilizadas y el manejo del sistema de notación en base 10, en función de éxito y fracaso al resolver los dos tipos de tareas. Finalmente, en la última sección de este capítulo se presenta el análisis de los errores que los niños comenten al escribir números dictados.

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El cuarto capítulo está dedicado a las conclusiones y la discusión de las mismas. Incluye un resumen los hallazgos, sus limitaciones y preguntas e hipótesis que se desprenden de este estudio.

I. REFLEXIONES CONCEPTUALES La lógica de la notación numérica que utilizamos, se fundamenta en el sistema de notación en base 10, un producto histórico reciente, que los alumnos deben comprender si queremos que manejen adecuadamente la escritura de los sistemas numéricos, la mayoría de los sistemas de medida y los algoritmos de las operaciones aritméticas. Los análisis sobre el sistema, propuestos desde enfoques históricos, lingüísticos y psicológicos, señalan el carácter posicional del mismo, simultáneamente aditivo y multiplicativo. En la primera sección de este informe presentamos una breve revisión de análisis históricos y psicolingüísticos del sistema de notación en base 10, que permiten señalar el carácter operatorio del mismo, así como, las posiciones diferenciadas utilizadas por la psicología para estudiar el desarrollo del sistema; en la segunda, el análisis operatorio de los numerales arábigos y de las expresiones verbales utilizadas en castellano para expresarlos; en el tercer apartado, algunas bases teóricas que permiten ubicar la multiplicación en el contexto de la resolución de problemas y diferenciar las estrategias aditivas de las estrategias multiplicativas que los niños utilizan par resolver problemas de multiplicación; finalmente, los apartados correspondientes a metodología y resultados así como una discusión de los mismos.

1. EL SISTEMA DE NOTACIÓN EN BASE 10

1.1. Enfoque Histórico El análisis histórico revela la evolución de los sistemas de notación desde los llamados sistemas concretos, pasando por los aditivos, hasta los sistemas híbridos, simultáneamente aditivos y multiplicativos, que según Hurford (1987) y Dehaene (1992) permiten analizar el sistema de notación en base 10 desde la doble perspectiva de las expresiones numéricas verbales del inglés y desde los sistemas posicionales, de los cuales los numerales arábigos, constituyen un buen ejemplo. En lugar de presentar las características del cada tipo de sistema1, interesa presentar la caracterización que desde el enfoque histórico se ha hecho de los sistemas híbridos, simultáneamente multiplicativos y aditivos y de los sistemas posicionales, pues estos dos tipos de notaciones permiten distinguir los dos

1 Para un análisis completo de los sistemas de notación, desde una perspectiva histórica consultar Menninger, (1969) e Ifrah (1981).

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componentes del sistema de notación en base 10, los numerales arábigos propiamente dichos y las expresiones verbales habladas y escritas que sirven para expresarlos.

1.1.1. Sistemas híbridos Según Dehaene (1992) el carácter simultáneamente aditivo y multiplicativo de las notaciones híbridas genera una sintaxis compleja. En este tipo de notación los números fundamentales están precedidos por otro número que lo multiplica. Por ejemplo, “three hundred”. En las notaciones híbridas, el autor distingue dos tipos de palabras: “referidas a cantidades numéricas específicas y multiplicadoras, como ‘cientos”, que Guitel (1975) llama signos σ que frecuentemente no tienen valor numérico intrínseco y sirven como marcadores gramaticales en la cadena de palabras”. (Dehaene, 1992, p. 4) Las expresiones numéricas verbales en inglés, constituyen un buen ejemplo de un sistema híbrido. Hurford (1978) utiliza el esquema de árbol para describir las operaciones sucesivas e inclusivas implícitas en las palabras que designan los numerales en inglés2. Si M denota a la multiplicación y A la adición, las expresiones verbales que permiten enunciar el numeral para 350,172 se puede descomponer de la siguiente manera:

A

M

A A

M M AThree Hundred Fifty Thousand One Underd and Seventy Two

Tomado de Dehaene (1992, p. 4)

Dehaene igualmente señala que en el sistema inglés, marcadores morfológicos como teen o ty indican la adición de 10 y la multiplicación por 10. “Como resultado, el léxico en inglés se aumenta con dos clases de palabras número: las palabras ‘teens’ (sixteen) y las palabras ‘ty’ (sixty).” (Dehaene, 1992, p. 4). Para este autor, las notaciones híbridas limitan el rango de los números que denotan, no proveen un código compacto, y no facilitan el cálculo.

2 Hurford (1987) siguiendo a Chomsky discute el origen de la facultad numérica y propone que “surge de la interacción de las características centrales de la facultad del lenguaje con otras capacidades cognitivas relacionadas con el reconocimiento y manipulación de objetos concretos y colecciones. Las características relevantes de la facultad lingüística incluyen el apareamiento, por medio del signo lingüístico (a la manera de Saussure), de palabras con conceptos y una sintaxis altamente recursiva. Por lo tanto, no es necesario postular, una ‘facultad del número’, autónoma, como un modelo separado de mente. (Hurford, 1987, p. 3).

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1.1.2. Sistemas posicionales En las notaciones escritas, de tipo posicional, el léxico se reduce a un conjunto reducido de símbolos, por ejemplo, en el caso de la notación arábiga, los 9 dígitos y el 0, que permiten codificar los números enteros menores que la base. En el numeral, la posición de cada dígito determina la potencia de la base por el cual es multiplicado. Por ejemplo, 123 = 1 × 102 + 2 × 101 + 3 × 100. “Si solamente se definen dígitos de 1 - 9, entonces el sistema es ambiguo.” Para prevenir esta ambigüedad, se inventó el 0, un símbolo especial que, en la descomposición del número, explícitamente indica la ausencia de unidades en una potencia dada de la base. Antes que tener poder propio, el dígito 0, únicamente trabajaba como artefacto sintáctico.” (Dehaene, 1992, p 4).

1.2. Enfoques Psicológicos Análisis recientes, de tipo psicológico, sobre el sistema de notación en base 10 abarcan desde los enfoques neuropsicológicos, que toman sus bases teóricas de la psicolingüística y sobre los cuales se apoyan un grupo de psicólogos que abordan el desarrollo de estas nociones en el niño, hasta la perspectiva del valor de posición, que aborda la problemática del desarrollo de estas nociones.

1.2.1. Enfoque Psicolingüístico Desde la perspectiva psicolingüística, McCloskey y colaboradores (1985, 1991, McCloskey, 1992 y Macaruso, P., McCloskey, M. & Aliminosa, D., 1993) proponen un modelo de tipo modular que permite describir el procesamiento numérico normal y sus características. El modelo posee una arquitectura funcional e incluye los componentes de procesamiento, así como los correspondientes mecanismos cognitivos que lo posibilitan. Según estos autores, el sistema de procesamiento numérico está compuesto por dos módulos independientes y funcionalmente autónomos: el de comprensión y el de producción. En función del tipo de estímulo o respuesta que procesan, los componentes están subdivididos en mecanismos de procesamiento de numerales verbales y numerales arábigos. En los componentes de comprensión y producción de numerales arábigos y verbales distinguen los mecanismos de procesamiento léxico y sintáctico. “El procesamiento léxico involucra la comprensión o producción de los elementos individuales en un numeral (por ejemplo, el dígito 3 o la palabra tres); en cambio, el procesamiento sintáctico involucra el procesamiento de relaciones entre los elementos (p. e. orden de las palabras) con el fin de comprender o producir números como un todo” (McCloskey, 1992, p. 114). En el mecanismo de procesamiento léxico del sistema numérico verbal, distinguen el componente de procesamiento fonológico, que permite producir o comprender números hablados, del componente de procesamiento grafémico, que permite producir o componer números escritos.

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McCloskey y sus colaboradores no distinguen entre los mecanismos de sintaxis fonológica y grafémica porque suponen que la sintaxis de las expresiones verbales numéricas es la misma para los números hablados que para los escritos. Como los numerales arábigos solamente ocurren bajo la forma escrita, entonces, no necesitan diferenciar sus componentes de procesamiento fonológico y léxico. En el modelo, igualmente suponen “que el mecanismo de comprensión convierte el imput numérico en representaciones semánticas centrales que son utilizadas en procesamientos cognitivos subsecuentes, como calcular. El mecanismo de producción de numerales traduce las representaciones semánticas de los números en la forma adecuada para el ´output´.” Igualmente, proponen que “...la representación semántica interna de los números especifica, en forma abstracta, las cantidades básicas en un número y la potencia de diez asociada con cada uno (p. e, en el número 47, cuatro dieces y siete unos)”. (McCloskey, M., Alminosa, D., & Sokol, S. M., 1991, p. 156). McCloskey (1992) presenta los siguientes ejemplos, que le permiten aclarar la categorización previa. El primero se refiere a la representación semántica del estímulo 5.030, generada por el proceso de comprensión de numerales arábigos y el segundo, a los procesos léxicos y sintácticos requeridos para generar las representaciones internas de las palabras seis, cien y cuarenta: Ejemplo 1. El estímulo 5.030 genera “la representación semántica {5}10EXP3, {3}10EXP1. Los dígitos entre paréntesis (p. e., {5}) indican la representación de la cantidad y 10EXPn especifica el poder de 10 (p. e., 10EXP3, especifica diez a la tres, o mil. Entonces, {5}10EXP3, {3}10EXP1 indica un número hecho de cinco miles y tres dieses” Ejemplo 2. “La traducción del numeral verbal ‘six hundred forty’ en la representación [6}10EXP2, {4}10EXP1 requiere procesamiento léxico para generar la representación interna de las palabras ‘six’, ‘hundred’ y ‘forty’, (p. e., [6}10EXP0, 10EXP2, y {4}10EXP1) lo mismo que procesamiento sintáctico para determinar que la palabra ‘hundred’ sigue al ‘six’, en el numeral estímulo, entonces, en la representación semántica final, la cantidad 6 se debe asociar con el marcador de potencia de diez 10EXP2.” (McCloskey, 1992, p. 114) Para estos autores la comprensión del numeral arábigo 4.759 requiere:

• procesamiento léxico para acceder al significado de los dígitos 4,7,5,9, y • procesamiento sintáctico para entender que la posición de los dígitos

determina que el número está conformado por cuatro mil, setecientos, etc. Comprensión del numero verbal cuatro mil setecientos cincuenta y nueve requiere:

• procesamiento léxico para interpretar las palabras numéricas individuales: cuatro, mil, etc.

• procesamiento sintáctico que utiliza el orden y los significados de las palabras que especifican la potencia de la base numérica. Por ejemplo, miles para construir una representación semántica del número como un todo.

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Desde la perspectiva de este modelo, los errores en la producción escrita pueden revelar dificultades en el procesamiento léxico o en el sintáctico. Los primeros involucran errores en la producción de los elementos del número, como los dígitos o las palabras numéricas, pero ”preservan la habilidad para ensamblar los elementos (probablemente errados) en un número que conserva la forma sintáctica apropiada y el mismo orden de magnitud.” (McCloskey, M., Caramazza, A., Basili, A., 1985, p. 177). En cambio, los errores producidos por deficiencias en el procesamiento sintáctico involucran respuestas en las cuales el orden de magnitud del numeral es incorrecto. En este caso, los errores revelan las dificultades de los pacientes para ensamblar dígitos y palabras numéricas (correctas) como un todo numérico; estos errores son producto de dificultades para procesar “las relaciones entre los elementos con el propósito de producir los números como un todo.” (McCloskey, Caramazza & Basili, 1985, p. 173). Aunque McCloskey y colaboradores implícitamente reconocen el carácter multiplicativo del sistema al tener en cuenta la potencia de diez asociado con cada número, no postulan la necesidad de tener en cuenta esta característica en el sistema de procesamiento que describen. En otras palabras, proponemos que un sistema de procesamiento numérico debe incorporar las operaciones necesarias para su procesamiento además del procesamiento de relaciones entre elementos, tal como estos autores proponen para el mecanismo sintáctico. Seron y colaboradores (1991, 1994) Lerner y Sadovsky (1994) han estudiado lectura y notación de numerales a partir del dictado de números de diversas denominaciones. Seron y colaboradores trabajaron con niños Belgas de 2o y 3o curso y utilizaron la diferenciación entre errores léxicos y sintácticos, propuesta por McCloskey y colaboradores (1985) y las operaciones involucradas en los errores sintácticos al analizar los errores en la transcodificación de la secuencia verbal al formato arábigo. Los resultados de este estudio coinciden con los de Lerner y Sadovsky (1993). Estas autoras señalan que los niños extraen información del sistema lingüístico para notar numerales, pero a la vez aplican sus conocimientos sobre el sistema notacional. Varias objeciones pueden hacerse al modelo de McCloskey y colaboradores. El hecho de que el modelo describa la representación interna del número en términos de dígitos multiplicados con potencias de 10, es fácilmente cuestionable en el sentido en que esta forma de representación alude directamente a la forma en que los números se representan sistema de notación en base 10 que, como sabemos, es uno de muchos posibles en la representación de los números. Así, aun en el caso en que aceptemos esta característica del modelo, este quedaría restringido a algunos contextos culturales en los cuales este sistema de notación es de uso común. Una objeción más radical al modelo de McCloskey es la planteada por Campbell y Clark (1991). En oposición a un modelo modular-abstracto, estos autores proponen un modelo de tipo integrado-específico, en el cual los diferentes códigos numéricos específicos (visoespaciales, verbales,...) están asociativamente

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conectados en una codificación compleja, y las diferentes facetas del procesamiento numérico generalmente involucran procesos más comunes que independientes (p. 204). Todavía es posible formular una tercera objeción. De acuerdo con el modelo, cada uno los componentes del subsistema de comprensión, cada uno con sus mecanismos de procesamiento léxico y sintáctico, arrojan como resultado una representación interna que posteriormente se utiliza para el cálculo. Esta descripción ignora el hecho de que es absolutamente necesario hacer un manejo de tipo operatorio para la construcción de la representación interna del número a partir de cualquier notación, ya sea numérica o verbal. La necesidad de hacer este manejo queda fundamentada en un análisis operatorio del sistema de notación en base 10, que expondremos en el siguiente numeral.

1.2.2. Enfoques evolutivos: psicolingüístico y valor de posición Partiendo del modelo de McCloskey y colaboradores, un grupo de psicólogos del desarrollo han trabajado el desarrollo de los sistemas notacionales en niños, que incluyen el sistema de notación en base 10. Karmiloff-Smith & Tolchinsky (1991), por ejemplo, analizan los errores que niños pequeños (entre 3 y 7 años) cometen diferenciando los aspectos sintácticos y léxicos de los mismos, tanto en la notación escrita como en la producción verbal. Otras autoras adoptan el mismo enfoque para analizar producciones de niños en edad escolar (Martínez-Ruiz, 1995), de niños sordos en lenguaje de señas (Fuentes-Loss, 1996) y del desarrollo de sistemas simbólicos externos de notación en niños pequeños que incluyen tareas relativas al sistema notacional en base 10 (Lee & Karmiloff-Smith, 1996). Igualmente, desde la perspectiva lingüística Igualmente, desde la perspectiva lingüística Lerner y Sadovsky (1993), Pontecorvo (1996 ) y Sinclair (1992), analizan producciones de niños pequeños (de 5 a 8 años, de 3 a 6 años y de 5 a 9 años, respectivamente) relacionadas con el desarrollo de la capacidad numérica infantil para comprender palabras numéricas y escribirlas. Lerner y Sadovsky (1993) postulan cierta direccionalidad en el desarrollo del sistema de numeración en base 10 que parte de una correspondencia estricta entre la notación arábiga con el orden de la enunciación en el numeral verbal. Cuando estos niños incorporan al sistema las relaciones aditivas y multiplicativas, surge finalmente un conflicto al reconocer la correspondencia entre la cantidad de cifras y la magnitud del número representado. Los modelos de análisis de otro grupo de autores se conciben desde la perspectiva del valor de posición, término que parece estar circunscrito a la transposición del saber matemático a la escuela. Esta concepción hace referencia expresa al valor diferenciado de las cifras dependiendo del lugar que ocupan en la escritura. En el ámbito de la historia de las cifras, este término es conocido como “numeración decimal de posición” (Ifrah, 1985)

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Fuson (1990a, 1992) adopta un enfoque estructural y en su trabajo distingue entre “las palabras numéricas habladas y el “sistema de marcas numéricas escritas” y define este último, como “un sistema posicional en base diez, en el cual los valores mayores se indican colocando las marcas en posiciones diferenciadas hacia la izquierda de la posición de las unidades.” Para los valores que no están presentes se requiere la marca de un 0 que guarda a las otras marcas en su posición relativa correcta.” (Fuson, 1992, p. 247) Parece ser que Fuson fundamentalmente utiliza esta concepción para trabajar los procedimientos y la comprensión de los niños al sumar y restar Para este fin, inicialmente considera la estructura conceptual unitaria de los números hasta cien y posteriormente, la estructura conceptual multiunitaria que se construye para los números enteros. Fuson (1990a) distingue cinco tipos de estructuras conceptuales para el valor/posicional: como ‘regular ten-for-one and one-for-ten trades’; como ‘trades’ acumulados, por ejemplo, diez mil, como cuatro “trades3”; como múltiplos acumulados de 10, por ejemplo, diez mil como cuatro múltiplos de 10 (d × d × d × d)4; como expresiones exponenciales5, para los múltiplos de diez, por ejemplo, ‘ten to the fourth power’ (diez a la cuarta potencia), y finalmente, como marcas exponenciales para los múltiplos de diez (104, por diez mil). (Fuson, 1992) Kamii (1990) y Kamii & Clark (1985) igualmente analizan el problema de la notación numérica desde la perspectiva del valor de posición, adoptando un enfoque de desarrollo. Estas autoras plantean la necesidad de construir sistemas jerárquicos sucesivos (por ejemplo. el sistema de las decenas sobre el sistema de las unidades), segmentando el todo en partes iguales y repitiendo el mismo proceso para cada sistema en el cual debe ordenar cada parte e incluirlas jerárquicamente (incluyendo el 10 en el 20, el 20 en el 30,...). En consecuencia, señalan que, para construir el sistema en base 10 el niño debe poseer la operación multiplicativa; sin embargo, parece ser que no investigan este supuesto. Resnick (1983/1986), señala que algunos estudios sobre el desarrollo del conocimiento del niño sobre el valor de posición se pueden interpretar como un caso especial de las relaciones parte a todo entre números. Igualmente concluye “que tal comprensión es accesible al común de los niños, en la escuela primaria (incluyendo a algunos que provienen de los ambientes socioeconómicos más bajos y que están un poco por debajo del nivel correspondiente a su grado en logros matemáticos).” Igualmente señala, como los datos disponibles muestran, “que la mayoría de los niños pueden interpretar los números en base 10 es en términos de composición, cuando hacen aritmética mental o trabajan con representaciones físicas del sistema en base 10, tales como los bloques de Dienes, pero tienen grandes dificultades en interpretar, en esos términos, las notaciones que involucran llevar o prestar.” (Resnick, 1986, p. 170) 3 Se puede traducir como veces, pero pierde sentido en el siguiente párrafo. 4 Utilizo d por t, la letra inicial de diez (en inglés ten). Supongo que no utiliza la expresión: 10 × 10 × 10 × 10, para que el lector no entienda que se trata de una estructura numérica. 5 Exponential words: palabras exponenciales, en el original.

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Todas las autoras que trabajan desde la perspectiva del valor de posición, aceptan la estructura multiplicativa de la notación o marcas que los niños deben dominar; sin embargo, ninguna trabaja la relación que posiblemente exista entre la construcción de la operación multiplicativa y el dominio del sistema.

1.3 Análisis Operatorio del sistema

1.3.1. Numerales arábigos Como todos los sistemas posicionales de notación, nuestro sistema en base 10 descompone los enteros en sumas “de unidades sucesivas”. Específicamente en el sistema de notación en base 10, esta descomposición se hace de la forma:

∑=

=m

i

ikn i1

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donde n es el número a descomponer, m representa el "orden del número", i varía entre 0 y m, y los ki son enteros entre 0 y 9.

2345 = 2000 + 300 + 40 + 5 = 2(10x10x10) + 3(10x10) + 4(10) + 5(1) = 2x103 + 3x102 + 4x101 + 5x100 = 2(u3) + 3(u2) + 4 (u1) + 5 (u0)

“Formalmente, la unidad decimal o unidad en base 10 se define como la clase conceptual cuyos componentes son las unidades decimales de órdenes 0, 1, 2, 3, etc.:

Unidad decimal de orden 0 1 (10°) Unidad decimal de orden 1 10 (10¹) Unidad decimal de orden 2 100 (10²) Unidad decimal de orden n 100...0 (10n) n ceros”

(Bedoya & Orozco, 1991, p. 56) “Para construir una unidad decimal y en general un número, en un cierto período, es necesario recurrir aditiva o multiplicativamente a unidades y números de períodos anteriores. Por ejemplo, definir la unidad de orden 3 (10³) exige recurrir aditiva o multiplicativamente a las unidades de órdenes 2 (10²), 1 (101) y 0 (100):

10³ = 10² + 10² + … + 10² = 10 X 10² 10 veces 10²

= ( 10 + 10 + … + 10 ) + ( 10 + 10 + … + 10 ) + ... + ( 10 + 10 + … + 10 ) 10 veces 10 10 veces 10 10 veces 10

10 Veces ( 10 + 10 + … + 10 ) 10 veces 10

= 10 x ( 10 x 10 ) [ 10 Veces ( 10 veces 10 ) ]

10

Análogamente, se puede demostrar que la unidad de orden 3 (10³) es 100 veces 10 y 1.000 veces 1. En otras palabras, la unidad de orden 3 es una unidad compuesta de unidades de orden 2, las cuales a su vez son unidades compuestas de unidades de orden 0. El número o numeral 243 (en el tercer período), contiene las unidades de ordenes 2, 1 y 0 y números o numerales de los períodos tercero, segundo y primero.” “Igualmente, para construir un número natural cualquiera o una unidad decimal, es necesario manejar la sucesión de unidades 1 × 10n, 2 × 10n, 3 × 10n, ..., 9 × 10n, n = 1, 2, 3, etc.).” “De cierta manera, 100 también es el resultado de la enunciación secuencial de los diez primeros términos de la sucesión de unidades 10, 20, 30, ..., 90, 100. Formalmente se puede afirmar que la construcción del concepto de número natural exige, igualmente, extrapolar de manera sucesiva la secuencia de dígitos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Esta extrapolación conjuntamente con el manejo de la sucesión de unidades 1 × 10n, 2 × 10n,..., 9 × 10n, lo llamaremos proceso de recurrencia de la sucesión de unidades. La construcción del concepto de número natural como sucesión numérica exige la extrapolación sucesiva de los dígitos y, de alguna manera, el proceso de recurrencia de la sucesión de unidades.” (Bedoya & Orozco, 1991, p. 57) Es así como, el sistema de numeración en base diez se basa, tanto en composiciones multiplicativas, como aditivas. El primer tipo de composición, fundamenta la construcción de las unidades del sistema – cualquier unidad en el sistema es producto de la potenciación: 100 = 102; 1000 = 103… = 10n; y la formación de los numerales que lo configuran – 20 es 2 veces 10, la unidad de orden uno; 200, es igual a 2 veces 100, la unidad de orden dos; 2000 es igual a 2 veces 1000, la unidd de orden 3… etc. La composición aditiva permite la inclusión de los números de un período en el siguiente. Para escribir el numeral correspondiente a un número natural cualquiera, se utiliza una versión abreviada de lógica del sistema, pues solamente se escriben los operadores de las potencias: 222 = 2 × 102 + 2 × 101 + 2 × 100. Es interesante anotar que, en algunos sistemas antiguos la base no era constante. En el sistema de los babilonios, por ejemplo, la base era igual, bien a 10, bien a 6; en el de los mayas la base era igual a 20, excepto en la unidad de orden 2, en que era igual a 18. La adopción de una misma base para todos los ordenes de las unidades fue un avance muy significativo (Bourbaki, 1969). La estructura aditiva y multiplicativa del sistema es evidente. Primero, el número representado de la forma arábiga, en términos de cantidad, es una suma de unidades de diferente orden. Segundo, cada símbolo incluido en la expresión arábiga debe ser interpretado como la multiplicación, del dígito que representa, por la potencia de 10 que marca su posición en la expresión. Así, la interpretación del grafismo arábigo requiere de la realización de adiciones, de multiplicaciones, y si se quiere, incluso de potenciaciones (que en sí, son multiplicaciones

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generalizadas). Así, es innegable desde un punto de vista matemático, el carácter multiplicativo de las expresiones arábigas.

1.3.2. Expresiones numéricas verbales en castellano El análisis de las expresiones verbales en castellano que presentamos se realiza desde una doble perspectiva: 1] morfofonológica, que permite diferenciar prefijos de sufijos y analizar contracciones de las expresiones numéricas verbales, y 2] sintáctica, que permite la diferenciación de las palabras que componen cada expresión. Obsérvese la siguiente expresión verbal:

“trescientos cincuenta mil seiscientos setenta y dos” Como primer paso, denotemos las composiciones aditivas con un slash (/). Hecho así la expresión queda

{trescientos / cincuenta} mil / seiscientos / setenta y/ dos Como se observa tuvimos que introducir paréntesis ({}) para evitar ambigüedades en la interpretación de las asociaciones en la expresión. Debe notarse que la conjunción (y) denota una composición aditiva “explícita”, pero que en la mayoría de los casos no hay una marca gramatical específica que denote la adición. Denotamos ahora las primeras composiciones multiplicativas por medio de paréntesis cuadrados ( [ ] ) Hecho así, la expresión queda

{tres[cientos] / cincuenta}[mil] / seis[cientos] / setenta y/ dos La inclusión de los marcadores morfológicos - que para el caso de este numero se reducen al sufijo “enta”, que indica una composición multiplicativa específica: la de un dígito por 10 (cincu-enta=5*10, ses-enta=6*10,...) –, permite descomponer la expresión de la siguiente manera:

{tres[cientos] /cincu[enta]} [mil] / seis[cientos] / set[enta] /(y) dos Como se observa, esta expresión denota directamente una serie de sumas y multiplicaciones. Obsérvese que si traducimos ahora las palabras que denotan dígitos o expresiones numéricas específicas al formato arábigo, y los símbolos / y [ ] usuales en aritmética, esta expresión en su formato operatorio sería:

(3*100 + 5*10)*1000 + 6*100 + 7*10 + 2 Completemos esta expresión añadiendo explícitamente las multiplicaciones de las unidades de primer orden (100=1):

= (3*100 + 5*10 + 0*1)*1000 + 6*100 + 7*10 + 2*1 Como se observa, el factor de los miles (350), esta expresado de la misma forma que el factor de las unidades. Esto se hace más visible si asociamos y factorizamos el segundo término así:

= (3*100 + 5*10 + 0*1)*1000 + (6*100 + 7*10 + 2*1)*1

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Queda clara, en esta forma, la “regla de las tres posiciones”: sumas de centenas, decenas y unidades se multiplican sucesivamente por factores (unidades, miles, millones, ….). Cuando, como en este caso, la expresión de esta secuencia de centenas, decenas y unidades se expresa sin explicitar las unidades de algún orden (por ejemplo, en “trescientos cincuenta” falta la denotar las unidades), esto se interpreta como ausencia de cantidad en ese orden de la unidad. En conclusión, las expresiones verbales numéricas en castellano, tal y como lo mostrábamos para las expresiones arábigas, denotan una secuencia de operaciones aditivas y multiplicativas entre dígitos y ciertas potencias de 10. Estos dos sistemas, el arábigo y el verbal, siguen ciertas reglas comunes, aunque en la aplicación de algunas de ellas se observan diferencias muy importantes. Tal vez la más importante de estas diferencias es el uso del símbolo “0”: en la notación arábiga el cero denota la ausencia de unidades en un orden dado, mientras que en la verbal es la pausa en la vocalización de la secuencia completa (centenas - decenas - unidades) lo que denota esta ausencia. Esto hace del sistema de palabras numéricas verbales un sistema considerablemente más complejo que el de la escritura arábiga. El análisis general de las expresiones verbales numéricas en castellano permite señalar varias particularidades específicas de la lengua, a saber:

• Se conservan algunas raíces del latín, a veces fonológicamente vinculadas con el número original en su pronunciación española, a veces no tanto (por ejemplo en el número veinte: de viginta en latín, muy lejano al dos-enta; o en el quinientos: de quinque, en latín, relativamente lejano del cinco-cientos) y el uso frecuente de contracciones y supresiones de letras (veintiocho: veinte y ocho). Esta característica permiten suponer que el sistema de expresiones numéricas verbales en castellano resulta ligeramente menos transparente que el del inglés.

• La supresión del uno (1) cuando actúa como operador multiplicativo (no decimos uno-cientos o uno-cien) tal y como se utilizaría en inglés (one-hundred), y la adopción del plural o singular como substitución de la regla para este caso particular (cien=1*100; trescientos=3*100).

• Un cierto uso específico de la “y” para denotar una composición aditiva, lo cual ocurre también en la forma inglesa de las palabras numéricas. Sin embargo, parece que en castellano esto ocurre de forma ligeramente diferente, como se observa en el siguiente ejemplo. En inglés la expresión para el numeral 172 es: one hundred and seventy two; en castellano, ciento setenta y dos; aunque en los dos sistemas se utiliza la pausa y la “y” (and) como marcador de composición aditiva, su posición en la frase difiere.

Este análisis puede encontrar fundamento en el examen de errores mas frecuentes cometidos por los niños a la hora de transcribir a código numérico los inputs verbales.

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Utilizando el código previamente definido para hacer visible la estructura operatoria de las palabras numéricas habladas en castellano, a continuación se presenta el análisis de las expresiones numéricas verbales incluidas en el dictado. Se incluye una denotación, marcada con cursiva, de palabras numéricas que responden a su acepción latina original. Las omisiones a este código se deben a que las acepciones latinas originales aún no están claras para algunos casos (sete: siete,…)

Tres[cientos] /veinti/cinco 325 Nove[cientos]/ och[enta] / y dos 987 Mil / [cuatro][cientos] / cincu[enta] / y dos 1.452 Ocho[mil] / nove[cientos] / ses[enta] /y siete 8.967 [Tre[(i)nta] /y cuatro]mil] /dos[cientos] /veinti/tres 34.223 [Nov[enta] /y siete][mil] / quini[entos] och[enta] / y seis 97.586 {Quini[entos] / cuar[enta] / y tres} [mil] /ciento /doce 543.112 [Nove[cientos] /och[enta] / y siete}[mil] / sete[cientos] / cincu[enta] / y ocho

987.758

[Ciento / veinti/cuatro] [millones] / {tres[cientos] / veinti/dos} [mil] / ciento / cincu[enta] / y cuatro

124.322.154

{Seis[cientos] / nov[enta] /y ocho} [millones] /{sete[cientos] / cincu[enta] / y nueve} [mil] / ocho [cientos] /set[enta] / y seis

698.759.876

Expresiones numéricas verbales cuyas cifras incluyen 0

Dos[cientos] / uno 201 Nove[cientos] / ocho 908 Tres [mil] / cuatro 3.004 Nueve [mil]/ set[enta] 9.070 Veinte [mil]/ ciento/ tres 20.103 {Och[enta]/ y cinco[mil]/ siete 85.007 {Ciento/ cuatro} [mil]/ dos 104.002 {Ocho[cientos]} [mil]/ nueve 800.009 [Ciento/ tres] [millones] /{dos[cientos] cuatro} [mil] 103.204.000 {Ocho[cientos]} [millones]/{ set[enta]/ y nueve} [mil] 800.069.000

Tal y como se observa, tanto las expresiones numéricas arábigas como las verbales tienen en común una estructura operatoria de adiciones, multiplicaciones y potencias. Por lo tanto quisiéramos proponer que el elemento que permite al niño comprender y producir números en el sistema de notación en base 10 es el dominio del componente operatorio del sistema. Como consecuencia, para analizar las producciones escritas de los niños se deben tener en cuenta, tanto las características operatorias del imput lingüístico, como las reglas y características operatorias de la escritura arábiga. Un punto debe recalcarse. Primero, aunque la interpretación de un numeral requiera de multiplicaciones y potenciaciones, en sentido estricto estas no se

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requieren de forma generalizada, sino que se encuentran restringidas a ciertas multiplicaciones específicas (del dígito por el orden la unidad) y a ciertas potenciaciones específicas (todas sobre la misma base: 10k). En este sentido, podría pensarse que el sistema tiene una estructura multiplicativa sobre un rango restringido de números enteros: dígitos y potencias de 10. Así, es previsible que, para el manejo del sistema de notación en base 10 el niño requiera un cierto nivel de construcción de la operación multiplicativa que no necesariamente pasa por la construcción completa de la operación, sino que puede fundamentarse en construcciones parciales, y específicamente en un multiplicación restringida a ciertos conjuntos de números. Hasta que punto se puede realizar esta construcción parcial? Y más aún, hasta que punto la experiencia con el sistema permite o facilita la construcción de la operación multiplicativa?

2. LA MULTIPLICACIÓN

El proceso de construcción de la multiplicación en un proceso lento, que sabemos no esta exento de dificultades para muchos niños. Resnick propone como hipótesis que los “únicos conceptos fáciles de adquirir y que parece se adquieren universalmente, son los basados en la composición aditiva.” (Resnick, 1986, p. 189) Nunes y Bryant (1998) señalan que comprender la multiplicación tiene mayores implicaciones que sumar porque para hacerlo, el niño debe “comprender un conjunto totalmente nuevo de significados del número y una nueva serie de invariantes” (Nunes y Bryant, 1998, p. 172). En esta investigación, la multiplicación se trabaja en el contexto de la resolución de problemas, en los cuales se diferencian las estrategias de enumeración y aditivas, que permiten a los niños resolver correctamente problemas de multiplicación, de las estrategias propiamente multiplicativas.

2.1. La multiplicación en el contexto de la resolución de problemas El contexto de resolución de problemas permite examinar más fácilmente los diferentes tipos de estrategias que los niños utilizan para resolver la multiplicación. Para trabajar la multiplicación en el contexto de la resolución de problemas, adoptamos las concepciones propuestas por Vergnaud (1983, 1989) y Behr, Harel, Lesh y\ Post (1991), autores que ubican los problemas multiplicativos en el campo conceptual de las estructuras multiplicativas. Vergnaud (1983, 1989) analiza los problemas pertenecientes al campo conceptual de las estructuras multiplicativas desde la doble perspectiva de las características matemáticas y de las propiedades que resultan más “naturales” a los estudiantes Utiliza el isomorfismo de medida para describir la estructura de proporción directa simple y distinguirla de la estructura de productos de medida y las proporciones

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múltiples. En esta investigación utilizamos problemas de proporción directa simple y de producto de medida. Desde la perspectiva de los estudiantes, en la estructura de proporción directa simple Vergnaud analiza el tipo de operador que tienden a utilizar y en la de producto de medida, la unidad que deben trabajar. Desde la perspectiva de la matemática, Vergnaud ubica los problemas en el campo de las funciones y señala que: “mientras el producto de medida y la proporción múltiple involucran 3 o más variables y un modelo de función bilineal, el isomorfismo de medida involucra dos variables y está adecuadamente modelado para la función lineal” (Vergnaud, 1983, p. 133). Para Vergnaud el isomorfismo de medida consiste en una estructura que establece una proporción directa simple entre dos espacios de medida M1 y M2. En ella identifica cuatro subclases de problemas: de multiplicación, dos tipos de división y la regla de tres. Vergnaud señala que los problemas de multiplicación y de división son casos simples de la clase más general de los problemas de regla de tres, que involucran 4 términos, uno de los cuales es igual a 1” (Vergnaud, 1983, p. 133) y que para resolver los problemas de multiplicación, los niños naturalmente utilizan las propiedades isomórficas de la función lineal. Para Vergnaud, el producto de medida es una estructura que consiste en la composición cartesiana de dos espacios de medida M1 y M2 en un tercero, M3. En estos problemas se manejan tres variables y la selección y expresión de unidades no obedece a las mismas reglas. Las unidades de productos se expresan como productos de unidades elementales: una pareja, centímetros cuadrados.

2.2. Diferencias entre estrategias aditivas y multiplicativas En estudios previos insistentemente hemos señalado que los niños no siempre utilizan la multiplicación (Orozco, 1996). Schliemann (1997) señala que los vendedores de dulces no utilizan la multiplicación para resolver tareas de compra-venta de dulces. En general, los niños pueden resolver exitosamente problemas multiplicativos utilizando estrategias o procedimientos aditivos, como: enumerar o contar, completar y sumar (Vergnaud, 1983; Fischbein et all, 1985; Gómez-Granell, 1987; Siegler, 1988; Anghileri, 1989; Kouba, 1989; Mulligan, 1992; Mitchelmore & Mulligan, 1996; Orozco, 1996). La utilización de cualquier tipo de estrategia aditiva para resolver problemas multiplicativos, exige que el sujeto: maneje reiteradamente la operación aditiva, registre las veces que la reitera y utilice el valor numérico correspondiente a la variable 2 como cota o límite de la reiteración. Varios trabajos han señalado la diferencia existente entre la operación aditiva y la multiplicativa. Piaget (1983, 1987) señala que la multiplicación no se puede entender como una manera rápida de sumar repetidamente, sino que es una

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operación que requiere pensamiento multiplicativo de alto orden, que el niño construye a partir de su habilidad para pensar aditivamente. Piaget describe las diferencias entre la multiplicación y la adición como el número de niveles de abstracción y de relaciones de inclusión que un niño puede realizar simultáneamente. El pensamiento aditivo solamente involucra un primer nivel de abstracción, en el cual, cada unidad que el niño suma está hecha de unos; igualmente, le exige establecer relaciones de inclusión en un primer nivel: los grupos se combinan sucesivamente. En contraste, la multiplicación involucra dos tipos de relaciones que no son necesarias para la adición: la correspondencia múltiple y la composición de relaciones de inclusión de más de un nivel. En el caso de 3 veces 5, el niño debe convertir 5 unidades de uno en una unidad de cinco (patrón interno de Anghileri, 1989; por supuesto, esto exige una abstracción superior a la requerida para pensar en unidades de uno. Ahora bien, al nivel de las unidades de cinco el niño debe contabilizar tres unidades de cinco. En la multiplicación, estas relaciones sucesivas de inclusión se deben dar simultáneamente. Anghileri (1989) y Vergnaud (1983) consideran los procedimientos aditivos como operaciones unarias. Anghileri señala que la adición repetida es un procedimiento más complejo que la suma de dos numerales porque los niños tienen que manejar un patrón interno y guardar cada total. Con esta afirmación, la autora señala diferencias fundamentales en la manera como los niños manejan cada uno de los factores que los problemas multiplicativos presentan, pues deben utilizar el segundo factor para terminar la reiteración del patrón que el niño utiliza en un punto determinado. En una investigación previa, señalo que la coordinación de la cota y la operación de reiteración permiten la transformación de las estrategias aditivas en multiplicativas. (Orozco, 1996)

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II. METODOLOGÍA

1. Diseño Se utiliza un diseño cuasi experimental y transversal que compara el carácter de las producciones de 4 grupos de niños con edades diferenciadas, con capacidad mental superior o baja en relación con la que la teoría prescribe para la edad y con estilos cognitivos diferenciados, al resolver las tareas relativas a los dos tipos de contenidos: la multiplicación y el sistema notacional; igualmente, se relacionan estas producciones con las diferencias en capacidad mental y con el tipo de estilo cognitivo, para establecer cual de estas variables está relacionada con sus diferencias.

2. Muestra Se trabajó con un total de 123 niños y niñas, que cursaban de 1o. a 7o. grados de educación básica primaria, en un colegio privado de alto nivel académico de Cali, Colombia. Los niños se escogieron de acuerdo con los siguientes criterios:

• pertenecer al mismo nivel socio-económico: medio-alto o medio-medio; • edad correspondiente con la edad normal para los 6 primeros grados de la

educación básica primaria, como se muestra en la tabla 1. • Poseer una capacidad de atención mental superior o más baja que la prescrita

por la teoría para su edad. La Tabla 1 presenta la distribución de los niños en función del grado y el rango de edad aceptado para cada grado.

Grado Edad (años) N 1° 6 – 6:9 18 2° 7 – 7:9 18 3° 8 – 8:9 17 4° 9 -9:9 16 5° 10 –10:9 18 6° 11 – 11:9 18 7° 12 – 12:9 18 Total 123

Tabla 1. Distribución de niños según edad/grado

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La muestra presupuestada por grado (15 niños) se aumentó en tres niños para evitar que el número de sujetos propuestos disminuyera por causa de cualquier imprevisto en la filmación y registro de la aplicación de las tareas6. La capacidad de atención mental, o potencia M, se encuentra definida desde la Teoría de los Operadores Constructivos de Juan Pascual-Leone (1984) y se refiere a la cantidad de “esquemas” que el sujeto puede mantener simultáneamente activados en memoria funcional. Para escoger una muestra homogénea, desde la perspectiva de su capacidad mental, los niños se seleccionaron utilizando el FIT, Figural Intersection Test (Pascual-Leone, 1994b), prueba que permite medirla. El indicador de capacidad de atención mental es el resultado de la aplicación de la prueba FIT. Para el caso de la muestra del presente proyecto, se seleccionaron sujetos que poseen una capacidad M mayor y menor, que la propuesta por la teoría para su rango de edad. La Tabla 2 muestra el número de sujetos seleccionados en función de capacidad mental, grado y rango de edad.

Tamaño de la muestra Grados Edad M teórico Baja M Alta M Total N N N 1 6-6:9 2 5 13 18 2y 3 7-8:9 3 10 25 35 4 y 5 9-10:9 4 15 19 34 6 y 7 11-12:9 5 15 21 36 Total 45 79 123

Tabla 2. Distribución de sujetos según capacidad mental

El estilo cognitivo, entendido en la dimensión de independencia - dependencia de campo, se fundamenta en la Teoría de la Diferenciación Psicológica, desarrollada por Hermann Witkin y sus colaboradores (1962, 1981). El indicador más frecuentemente utilizado de independencia es la velocidad de reestructuración perceptiva, medida a través de la aplicación de la Prueba de Figuras Enmascaradas (EFT) en el formato de aplicación grupal. La variante específica de esta prueba utilizada en el presente proyecto es la constituida por la versión de Sawa – Gotschaldt, la cual ha sido aplicada en repetidas ocasiones en Colombia en grandes muestras, mostrando niveles de confiabilidad superiores a 0.90 (Hederich y cols., 1995; 1999). Una vez fue seleccionada la muestra con respecto a sus niveles altos y bajos de M (niños con un nivel superior y un nivel inferior al que la teoría propone para su edad) se aplicó la prueba EFT a la totalidad de la muestra, exceptuando el grado 1o, porque no disponemos del instrumento adecuado para este nivel. El puntaje de este instrumento varía en una escala numérica entre 0 y 50 puntos.

6 Tres niños fueron retirados de la muestra, uno en tercero y dos en cuarto, porque no asistieron a la aplicación de la totalidad de las pruebas y tareas.

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3. Tareas

3.1. Sistema de notación en base 10 Dos tareas de utilizaron para verificar el nivel de manejo del sistema de notación en base 10: la tarea de escritura de numerales (tarea de dictado de palabras numéricas) y la tarea de equivalencia.

3.1.1. Tarea de escritura de numerales En términos sintéticos la tarea de escritura de numerales consiste en escuchar la expresión verbal correspondiente a un número y escribirla usando el formato arábigo. Se trata de una tarea de lápiz y papel. El entrevistador pronuncia el numeral, espera que el niño lo escriba y no permite que borre. Solamente repite los números cuyo rango es mayor que el presupuestado para la edad y grado escolar del niño entrevistado. Teniendo en cuenta la variable relativa al grupo de sujetos, edad/grado, no se puede dictar el mismo rango de numerales a los niños pequeños que a los mayores. Así, el rango de los números propuestos a cada niño depende del grado cursado. Ver Tabla 3.

Grado Rango Numérico No. de ítems 1° 10-100 4 2° y 3° 100-1,000 4 4° y 5° 1.000-10.000 4 6° Y 7° 10.000-1.000.000.000 8

Tabla 3. Rango numérico y número de ítems en función de grado

En total, se dictaron hasta un máximo posible de 20 números, en cuatro diferentes órdenes según el grado. Dos variables se tuvieron en cuenta para la selección de los números específicos:

• Numerales arábigos que incluyen y no incluyen ceros (10 numerales de cada tipo)

• El rango del numeral. Teniendo en cuenta la variable relativa al grupo de sujetos, edad/grado, no se puede dictar el mismo rango de numerales a los niños pequeños que a los mayores. Así, el rango de los números dictados varía en función del grado que cursan. Ver Tabla 4.

Expresión arábiga de numerales dictados

Grado

Sin ceros Con ceros 1o 23

87 40 90

2o y 3o 325 201 987 908

20

Expresión arábiga de numerales dictados

Grado

Sin ceros Con ceros 4o y 5o 1.452 3.004 8.967 9.070 6o y 7o 34.223 20.103 97.586 85.007 543.112 104.002 987.658 800.009 124.322.154 103.204.000 698.759.876 800.069.000

Tabla 4. Variaciones en los numerales dictados en función de grado

3.1.2. Tarea de equivalencia La segunda tarea, que permite examinar el estado de construcción del sistema de notación en base diez, es la de equivalencia. Esta tarea exige al niño establecer relaciones de equivalencia entre unidades del sistema. Tal y como lo ha expuesto Nunes y Bryant (1998), la comprensión de la equivalencia constituye un pre-requisito para el manejo del sistema de notación en base diez. Una vez el niño ha escrito los numerales que se le dictan, se le pide pensar, antes de contestar, las preguntas que a continuación se le formulan. Para todos las edades/grados se inicia con una pregunta demostrativa que permite al investigador establecer si comprenden o no el enunciado: ¿Para formar o tener 32, cuántos de 10, cuántas decenas necesitas? ¿Para formar o tener 32, cuántos de 1, cuántas unidades necesitas? Si el niño no conseguía resolver este ítem, se varia la forma de presentación, pasando de la presentación verbal a preguntas formuladas “como si” tuviera dinero7, y finalmente utilizar material concreto como billetes y monedas. Si el niño no conseguía resolver el ítem demostrativo, la prueba se suspendía. Si el niño lograba resolver el ítem demostrativo, se le presentaban los otros problemas. Como en el caso de la tarea de escritura, los ítems varían en el rango numérico en función de la edad/grado y sin y con ceros intermedios. En la formulación de las preguntas se seguía el mismo criterio expuesto para el ítem demostrativo, así: ¿Para formar o tener 325, cuántos de 100 (cuántas centenas) necesitas? ¿Para formar o tener 325, cuántos de 10 (cuántas decenas) necesitas? ¿Para formar o tener 325, cuántos de 1, cuántas unidades necesitas? Si el niño falla al responder las preguntas anteriores, se presenta la tarea del “como si”: 7 La metáfora del dinero se utiliza para facilitar al niño la comprensión de la tarea y para ayudarle a superar la lógica escolar que enseña que en 32 hay 2 unidades y 3 decenas. Con 2 monedas no se obtienen 32 pesos.

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Haz de cuenta que tienes 325 pesos ¿Cuántas monedas de 100 necesitas para tener $325? ¿Cuántas monedas de 10 necesitas para tener $325? Si el niño responde “dos”, entonces el entrevistador le dice: ¿Si tienes 2 monedas de 10 pesos, tienes 325 pesos? Si el niño responde “si”, se pasa al siguiente tipo de presentación. Si el niño responde “no”, el entrevistador le dice: Entonces, ¿cuántas monedas de $10 necesitas para tener $325? Si responde correctamente, se continua. Si el niño no responde correctamente, las preguntas anteriores se presenta la tarea utilizando material concreto. Se entregan al niño grupos de 10 monedas de 1, 10 y 100 pesos y se formulan las siguientes preguntas: ¿Esta moneda cuánto vale? (señalando la moneda correspondiente) Si el niño responde correctamente, se le dice: Ahora quiero que me entregues 325 pesos. ¿Cuántas monedas de 100 necesitas para tener $325? ¿Solamente tienes monedas de $10, ¿cuántas necesitas para tener $325? Si no entiende, o no responde correctamente se le dice: ¿Por cuantas monedas de 10 me cambias una moneda de 100 ¿Entonces, para completar 325 pesos ¿cuantas monedas de 10 me debes entregar? Si el niño responde “dos”, se le dice: Solamente tienes monedas de $1, ¿cuántas necesitas para tener $325? Si el niño responde correctamente, se continua con el siguiente problema, conservando el rango numérico correspondiente a su edad/grado. La Tabla 5 muestra los números utilizados en función de los grados:

Numerales arábigos Grado Sin ceros Con ceros 1 23 – 58 2 y 3 325 908 4 y 5 1.452 9.070 6 y 7 97.586 20.103

Tabla 5. Tarea de equivalencia: números utilizados en función de grado

La escala según la cual se califica el logro en la tarea de equivalencia es de tipo ordinal, con valores que oscilan entre 0 y 9, como aparece en la Tabla 6.

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Puntaje Descripción 1 No resuelve el ítem demostrativo en ninguna forma 2 Sólo resuelve el ítem demostrativo 3 Sólo resuelve un ítem (no contiene ceros intermedios) 4 Resuelve dos ítems

Tabla 6. Calificación de logro para la tarea de equivalencia

3.2. Multiplicación Para la evaluación del estado de construcción de la multiplicación se presentaron dos tipos de problemas:

• de proporción simple directa (tareas de compra-venta) • de producto de medida: (tareas de área) Tal y como lo mostramos en las tareas del sistema de notación en base 10 los ítems específicos de las tareas multiplicativas varían en función de la edad/grado de los niños, así:

• rango numérico. Ver Tabla 7. • enunciado: para proporción compra-venta de caramelos y cachuchas; para

producto de medida número de baldosas necesarias para piso de una casa de muñecas y piso del aula de clase y auditorio.

• tipo de presentación: con y sin material Grado Proporción Producto de Medida 1o 4 × 5 3 × 4 2o y 3o 5 × 10 7 × 8 4o y 5o 5 × 1.000 70 × 80 6o y 7o 5 × 10.000 700 × 800

Tabla 7. Tarea de producto de medida: problemas propuestos en función de grado

3.2.1. Tareas de proporción simple De los diferentes tipos de problemas multiplicativos, las tareas de proporción simple directa resultan las más simple posible. Se pregunta al niño

¿Alguna vez vas a la tienda a comprar bananas8? Yo voy a ser la tendera y te voy a vender bananas. Una banana vale $5. ¿Cuánto valen 4 bananas?

La tarea se presenta oralmente, sin utilizar objetos materiales. Si el niño no responde, se repite el enunciado a medida que se coloca sobre la mesa 1 banana, frente a ésta, una moneda de $5, a un lado las 4 bananas, cuyo valor el niño debe obtener.

8 Caramelo típicamente colombiano

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3.2.2. Tareas de producto de medida La tarea de producto de medida es, como lo habíamos mencionado, la tarea más típicamente multiplicativa.

(1o. , 2o. y 3er. grados). Se presentan al niño una baldosa y un piso formado completamente por esas baldosas, tapado por una pantalla de forma que solo resultan visibles los cuatro bordes exteriores (las diomensiones del piso varían para cada grado así: 3x4 para 1o, y 7x8 para 2o. y 3o.) y se le dice: Con una baldosa como esta, construí este piso para una casa de muñecas. Este piso tiene baldosas por todas partes. ¿Cuántas baldosas necesité para construirlo? Para los grados restantes solo se hace la presentación verbal con dimensiones diferentes (4o. y 5o grados: 70 x 80; 6o. y 7o: 700x800)

Dos variables fueron examinadas en relación con cada una de las dos tareas multiplicativas: 1] el logro frente a la misma (indicado por la expresión de la respuesta esperada) y 2] el tipo de estrategia seguida. Para la determinación de la estrategia, la situación de prueba fue grabada en vídeo y posteriormente analizada. El examen de las cintas permitió inferir la estrategia seguida a partir de la determinación de los tiempos de latencia de respuesta (tiempos muy cortos indicaban estrategias multiplicativas), y del examen de movimientos reiterativos de dedos o cabeza, que podían indicar estrategias enumerativas o aditivas, dependiendo del conteo efectuado.

4. Procesamiento Los resultados fueron codificados y digitados para su procesamiento y análisis. Para el análisis exploratorio y el correlacional se utilizó paquete estadístico SPSS(v8). Para el análisis de correspondencias múltiples se utilizo el paquete SPAD(v3.5).

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III. RESULTADOS Los resultados se presentan en función de los objetivos propuestos para esta investigación. En la primera sección se exponen las relaciones encontradas entre los logros de los niños al resolver las tareas de multiplicación y las tareas relativas al sistema. En la segunda, se consigna la relación encontrada entre las características individuales y los resultados alcanzados por los niños en los dos tipos de tareas. A partir de la tercera sección se presentan los análisis que sustentan la pertinencia y los límites de las tareas utilizadas: la sección tres está dedicada a las tareas multiplicativa y la cuatro, a las tareas relativas al sistema. Finalmente, la sección quinta de este capítulo se dedica a a la presentación de las categorías que detallan los errores de tipo sintáctico que los niños cometen y al análisis de sus relaciones con las variable grado.

1. Relaciones entre tareas de multiplicación y sistema de notación Un primer objetivo de este estudio era establecer la relación entre la construcción de la operación multiplicativa y la comprensión del sistema en base diez que alcanzan los niños en los 7 grados de la educación básica primaria. Los resultados muestran una correlación alta y significativa entre la complejidad de las estrategias que utilizan para resolver problemas multiplicativos y el éxito en la tarea de escritura de numerales. Este hallazgo permite confirmar el supuesto inicial. Para examinar las relaciones entre las dos tareas procedimos de dos maneras: 1] el examen de las correlaciones ordinales (Spearman rho); y 2] un análisis de correspondencias múltiples.

1.1. Análisis de correlaciones Estos resultados confirman los supuestos propuestos sobre las relaciones entre las tareas multiplicativas y el uso del sistema de notación en base 10. Es particularmente significativa la relación entre las estrategias utilizadas para resolver las tareas de multiplicación, con el éxito alcanzado en la tarea de escritura. Aunque la tarea de equivalencia aparece relacionada con estrategias multiplicativas, la relación es más baja. La Tabla 8 muestra correlaciones altas entre los logros en escritura y equivalencia, y las estrategias seguidas en proporcionalidad y producto de medida, destacándose particularmente la tarea de escritura en relación con los niveles de complejidad de las estrategias seguidas en las tareas de multiplicación (en proporción simple, rho=0.582, sig.< 0.0001; en producto de medida, rho=0.688, sig<0.0001). Algo similar, aunque no tan claro, ocurre con las asociaciones entre la tarea de equivalencia y las dos tareas multiplicativas; que presentan correlaciones moderadamente bajas, siendo la más alta la que se presenta con la

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estrategia seguida en la tarea de proporción simple (rho=0.35, sig=0.0001).9 Las correlaciones entre las tareas del sistema de notación en base 10 y los éxitos en las tareas multiplicativas resultan relativamente bajas.

Tareas del sistema de

notación en base 10

Tareas multiplicativas

Proporción simple

Producto de medida

Escritura Equival.

Logro Estrategia Logro Estrategia

Grado

Escritura Corr. 1.0000 0.2359 0.1543 0.5823 0.2308 0.6879 0.8054 Signi. . 0.0086 0.0924 0.0000 0.0105 0.0000 0.0000 Equivalencia Corr. 0.2359 1.0000 0.2803 0.3537 0.2470 0.2730 0.0503 Signi. 0.0086 . 0.0019 0.0001 0.0061 0.0023 0.5810

Corr. 0.1543 0.2803 1.0000 0.2618 0.2089 0.1788 0.0452 Proporción Logro Signi. 0.0924 0.0019 . 0.0042 0.0220 0.0507 0.6238

Corr. 0.5823 0.3537 0.2618 1.0000 0.2749 0.5151 0.6267 Proporción Estrategia Signi. 0.0000 0.0001 0.0042 . 0.0026 0.0000 0.0000

Corr. 0.2308 0.2470 0.2089 0.2749 1.0000 0.4135 0.0650 Producto de medida Logro

Signi. 0.0105 0.0061 0.0220 0.0026 . 0.0000 0.4771

Corr. 0.6879 0.2730 0.1788 0.5151 0.4135 1.0000 0.6908 Producto de medida Estrategia

Signi. 0.0000 0.0023 0.0507 0.0000 0.0000 . 0.0000

Corr. 0.8054 0.0503 0.0452 0.6267 0.0650 0.6908 1.0000 Grado Signi. 0.0000 0.5810 0.6238 0.0000 0.4771 0.0000 .

Estrategia 0,69 0,0000 0,35 0,0001 Tabla 8. Correlaciones entre logros de tareas y estrategias

1.2. Análisis de correspondencias Los resultados que se logran en el análisis de correspondencias múltiples confirman el supuesto y en parte explican las diferencias entre las tareas de escritura y de equivalencia. Para el análisis de correspondencias múltiples, se incluyen como variables principales10 los resultados de las tareas de escritura, equivalencia y las dos tareas multiplicativas. Después de las primeras exploraciones se excluyó de este grupo de variables, el exito o fracaso en la tarea de proporción simple, dado que casi la totalidad de la muestra resolvió esta tarea exitosamente. Además de estas variables, el grado cursado por el estudiante se considera como variable ilustrativa.11.

9 En la sección dedicada a presentar el análisis de las dos tareas de multiplicación, se sustentan las diferencias encontradas entre las dos tareas. 10 También llamadas “variables nominales activas” o variables efectivamente consideradas en la generación de los factores 11 Aunque se grafican en el mapa, no son utilizadas para la generación de factores.

26

El procedimiento genera un total de 12 factores (o valores propios) que explicarían el 100% de la variación. Se observa una fuerte distancia entre el primer factor (con un valor propio de 0.59, que explica el 22.5% de la variación) y el segundo (con un valor propio de 0.32, que solamente explica el 13.4% de la variación). A partir del tercer factor los valores propios son despreciables. Los resultados del cruce entre los dos primeros factores, que explican la mayor parte de la variación en los datos (36%), y se sintetizan en el Gráfico 1.

Gráfico 1. Análisis de correspondencias múltiples

Tal y como se observa, el primer factor separa de forma drástica las categorías que resultan indicadoras de altos logros en todas las tareas (a la izquierda de la gráfica) de las indicadoras de bajos logros (a la derecha de la gráfica). Contribuyen de forma especialmente alta a este factor el logro en escritura, y las estrategias seguidas en las tareas de proporción simple y producto de medida. El segundo factor no ofrece una interpretación tan clara como el primero. Según parece, este factor diferencia, por un lado los sujetos con valores medios en las tareas de equivalencia y multiplicación, de los valores extremos, muy altos o muy bajos. Contribuyen de forma notable este factor la tarea de equivalencia, y el éxito y la estrategia en la tarea de producto de medida. La situación de los grados en este mapa de variables muestra a los primeros grados muy cercanos a los logros bajos en todas las tareas, y a los grados superiores más cercanos a los logros altos (primer factor). Parece que el segundo factor establece una separación de los últimos grados (6o y 7o) que los vincula

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con logros intermedios en la tarea de equivalencia y con estrategias aditivas en la tarea de producto de medida. Este hallazgo podría explicarse en relación con ciertas características de la matemática aprendida en la escuela, ya mucho más cristalizadas en los niños de estos grados, que dificulta de forma notable la resolución exitosa de la tarea de equivalencia (recuerdese que, según la concepción imperante en la matemática escolar, el numeral “325” contiene sólo 2 decenas). No hay mayor vinculo entre este factor y la tarea de escritura.

2. Características individuales El segundo objetivo propuesto para este estudio explora la relación entre diferencias individuales, como capacidad mental, estilo cognitivo y edad de los niños, con los logros en las tareas de multiplicación y del sistema de notación. Los resultados indican asociaciones altas entre las estrategias seguidas en las tareas de proporcionalidad y producto de medida y el logro en la tarea de escritura, con las tres variables individuales. Las correlaciones son particularmente altas para el caso del rango de edad. En la muestra, la medida del EFT tuvo una media de 17 y una desviación estándar de 9. El comportamiento de la variable es bastante cercano al de la curva normal (Kolmogorov-Smirnov=0.046 sig=0.200). (Ver Gráfico 2)

EFT

40,035,030,025,020,015,010,05,00,0

Histogram

Freq

uenc

y

30

20

10

0

Std. Dev = 8,62 Mean = 16,9

N = 103,00

Gráfico 2. Resultados del EFT

28

La Tabla 9 muestra las correlaciones (Spearman rho) y los niveles de significación entre las tareas matemáticas y las características individuales: 1] rango de edad (estrechamente vinculado con grado), 2] puntaje en la prueba EFT (capacidad de reestructuración perceptual), principal indicador de estilo cognitivo en la dimensión de independencia - dependencia de campo, y 3] puntaje en la prueba FIT (capacidad de atención mental).

Edad EFT FIT Corr Sig. Corr Sig. Corr Sig.

Éxito 0,05 0,6238

0,13 0,2006

0,07 0,4688 Proporción

Estrategia 0,63 0,0000

0,47 0,0000

0,40 0,0000

Éxito 0,06 0,4771

0,06 0,5589

0,32 0,0003 Producto de medida.

Estrategia 0,69 0,0000

0,53 0,0000

0,48 0,0000

Escritura 0,81 0,0000

0,53 0,0000

0,49 0,0000

Equivalencia 0,15 0,0904

0,36 0,0002

0,32 0,0003

Tabla 9. Correlaciones entre el éxito en las tareas, la edad y los instrumentos En relación con las tareas multiplicativas, se puede concluir que el tipo de estrategia seguida por el sujeto está en relación directa con su nivel de desarrollo; no así el éxito al resolver la tarea. No se observan correlaciones apreciables entre el éxito en la tarea de proporcionalidad y las variables individuales. La única correlación moderadamente alta con éxito se da en la tarea de producto de medida en relación con el puntaje en el FIT. En relación con los indicadores de uso del sistema, se concluye la tarea de escritura esta en relación directa con los niveles de desarrollo. La tarea de equivalencia sólo muestra relaciones parciales con el rango de edad y moderadamente bajas con el EFT y FIT. Las diferencias encontradas en las relaciones entre logros y estrategias con las variables individuales se pueden explicar porque los niños pueden resolver correctamente las tareas de multiplicación utilizando cualquier tipo de estrategia y esto no garantiza el éxito en las tareas relativas al sistema. Solamente la utilización de estrategias multiplicativas garantiza el éxito en las tareas del sistema, particularmente en la tarea de escritura.

3. Multiplicación Con el fiín de apoyar los hallazgos de este estudios, a continuación se presentan los análisis de las tareas que permiten evaluar el nivel de comprensión que el niño logra tanto en la multiplicación como en el sistema. En la sección 3, se presenta el

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análisis de los resultados obtenidos en cada una de las tareas de multiplicación y las relaciones encontradas entre ellas y en la 4, el análisis de las tareas relativas al sistema de notación.

3.1. Tarea de proporcionalidad En las tareas de multiplicación – proporción directa simple y producto de medida - se obtienen dos indicadores: el indicador de logro y la estrategia seguida. En relación con el indicador de logro, examinada la muestra general, los resultados indican que la tarea de proporcionalidad es bastante sencilla, el 94% de los sujetos la resuelven exitosamente. Solamente 9 sujetos fracasaron en la tarea (6% de la muestra). En relación con las estrategias utilizadas para resolver esta tarea, los resultados indican una tendencia generalizada a utilizar la estrategia multiplicativa (64%), le sigue en orden de frecuencia, las aditivas, un 28% de los sujetos las utilizan y una minoría, el 8%, utiliza estrategias de enumeración. Ver Tabla 10.

Tarea de proporción Estrategias Enumera Adiciona Multiplica Total Fracaso N 4 1 2 7 % 4 1 1 6 Éxito N 5 32 74 111 % 5 27 63 94 Total N 9 33 76 118 % 8 28 64 100,00

Tabla 10. Tarea de proporción: distribución de porcentajes de éxito y fracaso en función de tipo de estrategia utilizada

Es observable una relación significativa entre estos dos indicadores: los sujetos que utilizan estrategias multiplicativas y en menor grado, estrategias aditivas, tienden a producir respuestas correctas, mientras que los sujetos que siguen estrategias de enumeración muestran una mayor tendencia a producir respuestas incorrectas (Chi cuadrado=25.90 sig<0.001) En la tarea de proporción simple, la relación entre logro y grado no parece indicar nada claro: de los 9 sujetos que fracasaron en esta tarea, 5 están entre primero y segundo grado, y los 4 restantes, entre sexto y séptimo grado. Otro es el caso de la relación entre la estrategia seguida y la edad-grado: de los 9 sujetos que utilizaron la estrategia de enumeración, 8 de ellos se encuentran entre 1o. y 2o. grados; la correlación entre grado y estrategia en esta tarea es bastante alta (rho=0.6267 sig<0.0001). Este resultado confirma el carácter evolutivo de la estrategia que utilizan.

30

3.2.Tarea de producto de medida Para la generalidad de la muestra, los resultados en la tarea de producto de medida muestran que resulta mucho más compleja que la de proporción simple. Sólo el 35% de los sujetos obtienen resultados correctos en esta tarea. En relación con la estrategia que utilizan para resolverla, se observa que la muestra se distribuye de forma más o menos equitativa entre las diferentes estrategias. el 35%, enumera; el 32%, adiciona y el 33% multiplica. Ver Tabla 11.

Tarea de producto de medida Estrategias

Enumera Adiciona Multiplica Total Fracaso N 33 35 11 79 % 27 29 9 65 N 10 4 29 43 Éxito % 8 3 24 35 N 43 39 40 122 Total % 35 32 33 100,00

Tabla 11. Tarea de producto de medida: distribución de porcentajes de éxito y fracaso en función de tipo de estrategia utilizada

La relación entre éxito y la estrategia utilizada es alta y significativa y bastante más fuerte que en el caso de la tarea de proporción: mientras que los sujetos que utilizan estrategias multiplicativas resuelven la tarea exitosamente en un 72% de los casos, en los sujetos que enumeran esto solo ocurre en el 22% (Chi cuadrado=37.70 sig<0.001) Como sucede en la tarea de proporción simple, la relación entre logro en la tarea de producto de medida y el grado cursado por el estudiante es bastante escasa. Sujetos cursando todos los grados parecen tener éxito o fracasar en la tarea sin que se detecte una asociación apreciable. En contraste, los resultados sobre la estrategia seguida muestran un alto nivel de asociación entre el grado/edad y la estrategia (rho=0.6908, sig<0.0001), que incluso supera al encontrado para el caso de la tarea de proporción simple. Este resultado confirma el caracter evolutivo de la estrategia.

3.3. Relaciones entre los indicadores de las tareas de multiplicación El examen de las relaciones entre las dos tareas multiplicativas es bastante esclarecedor. En relación con el logro en las tareas, 42 sujetos tienen éxito en las dos tareas, 69 sujetos tienen éxito sólo en la tarea de proporción simple y 9 sujetos no resuelven exitosamente ninguna de las dos tareas. En ningún caso se resuelve la tarea de producto de medida sin resolver la de proporción simple. Este resultado es perfectamente coherente con el supuesto de mayor complejidad de la tarea de producto de medida. La asociación entre las estrategias seguidas muestra que, en la gran mayoría de los casos, los sujetos tienden a llevar la misma estrategia para las dos tareas (52

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casos, 44% del total) o bien muestran estrategias más complejas en la tarea de proporción simple que en la de producto de medida (61 casos, 52% del total). Sólo 5 casos son excepciones a esta regla: en 4 de ellos se sigue una estrategia multiplicativa en producto de medida y aditiva en proporción simple, y en 1 caso se sigue una estrategia aditiva en producto de medida y de enumeración en proporción simple. Estos resultados son coherentes con lo ya encontrado antes en el sentido en que indican, dentro de un marco de relativa estabilidad de las estrategias, que los niños tienden a retornar al uso de estrategias menos complejas en el abordaje de problemas más difíciles. De cualquier forma, la correlación entre los niveles de complejidad de las estrategias seguidas en las dos tareas es bastante alta y significativa (rho=0.5151, sig.<0.0001): a mayor complejidad de la estrategia seguida en una tarea, mayor complejidad de la estrategia seguida en la otra. Ver Tabla 12. Estrategia en proporción simple Enumera Adiciona Multiplica Total Enumera 8 20 13 41

19.51 48.78 31.71 34.75 89.88 60.61 17.11 Adiciona 1 9 28 38 2.63 23.6842 73.6842 32.20 11.11 27.2727 36.8421 Multiplica 0 4 35 39 0 10.2564 89.7436 33.05

Estrategia en producto de medida

0 12.1212 46.0526 Total 9 33 76 118 7.63 27.97 64.41 100

Tabla 12. Relación entre estrategias utilizadas al resolver las dos tareas de multiplicación. En general, tal y como se esperaba, se observan correlaciones positivas y significativas entre los indicadores de las dos tareas multiplicativas. Se destacan correlaciones altas (mayores que 0.4) entre las estrategias seguidas en las dos tareas (0.52), y entre el éxito y la estrategia seguida en la tarea de producto de medida: mientras la estrategia multiplicativa esta asociada con el éxito, la enumeración está asociada con el fracaso. Ver Tabla 13. Proporción Producto de medida Éxito Estrategia. Éxito Estrategia Corr Sig. Corr Sig. Corr Sig. Corr Sig.

Éxito. 1,00 0,26 0,0042 0,21 0,0220 0,18 0,0507 Proporción Estrategia 0,26 0,0042 1,00 0,27 0,0026 0,52 0,0000 Éxito. 0,21 0,0220 0,27 0,0026 1,00 0,41 0,0000 Producto

de medida Estrategia 0,18 0,0507 0,52 0,0000 0,41 0,0000 1,00 Tabla 13. Correlación entre éxito y tipo de estrategia al resolver tareas de multiplicación

No resulta sorprendente la asociación entre el éxito en la tarea de producto de medida y la estrategia seguida (.41), pues la tarea de producto de medida es, por su definición, la tarea multiplicativa por excelencia. Seguir en esta tarea una

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estrategia de enumeración o aditiva implica la movilización de gran cantidad de recursos del sistema para que ésta se lleve a cabo exitosamente. El seguimiento de una estrategia multiplicativa es comparativamente mucho más económico y eficiente, y por tanto menos propenso a producir errores. Mucho más interesante resulta la asociación entre las estrategias seguidas en los dos casos. La alta correlación encontrada (.52) indica que la estrategia parece trascender los elementos particulares de la tarea ejecutada, constituyéndose en un modo de funcionamiento relativamente estable para la resolución de problemas aritméticos.

4. Manejo del Sistema de Notación en Base 10

4.1. Escritura Los resultados la tarea de escritura se codifican de acuerdo con la cantidad de producciones correctamente efectuadas hasta un máximo posible de 24. Examinada la muestra en su totalidad, los sujetos efectuaron 16.3 producciones correctas. El mínimo, 4 para 10 sujetos de primer grado y máximo 24, obtenido por 16 sujetos entre los grados 4o. y 7o. La distribución de la variable muestra un sesgo hacia la derecha Como cabe esperar, existe una muy alta asociación entre el puntaje en la tarea de escritura y el grado cursado por el estudiante (Spearman rho=0.805, sig<0.0001).

2 42 2

2 01 8

1 61 4

1 21 0

86

4

a a a3 0

2 0

1 0

0

S td . D e v = 6 ,5 8M e a n = 1 6 ,3N = 1 2 4 ,0 0

Frecuency

Gráfico 3. Frecuencia de producciones correctas en escritura

El número total de producciones escritas obtenidas, asciende a 1.455. En total los niños logran 1.171 notaciones exitosas (80.5% de la producción total). Las notaciones exitosas incluyen sus correcciones, sin intervención del entrevistador.12

12 Durante el dictado, el niño podía equivocarse y corregir. Su corrección se evalúa como respuesta correcta.

33

Solamente 15 niños (2 en 4o, 3 en 5o, 5 en 6o y 5 en 7o) no cometen error alguno (9.67% del grupo de sujetos).

18181816171818N =

Grado

7654321

24

16

8

0

7B1

1B41A13

1B2

.

ProduccIones

Correctas

Gráfico 4. Distribución de producciones correctas en escritura en función de grado

Tal y como se observa en el Gráfico 413 existe una clara asociación entre el grado que los alumnos cursan y el número de producciones escritas exitosas que logran.

En la Tabla 14, igualmente se observa que existe una clara asociación entre el grado cursado por los estudiantes y el orden de numeral que alcanzan a escribir correctamente. Hasta 3o los niños escriben correctamente los numerales cuyo rango corresponde con el previsto para su edad. Los niños de primer grado resuelven en su totalidad la escritura de números menores que 100. Con los números entre 100 y 1000, el porcentaje de logro oscila entre el 17% y el 33%. Uno de los niños de primero fue capaz de escribir correctamente números hasta

13 Las gráficas de cajas, como se conoce a este tipo de gráficas, representan la mediana (linea negra al interior de la caja), los cuartiles y los valores extremos. La longitud de la caja es rango intercuartil, que contiene el 50% de los valores. Los “bigotes” son lineas que se extienden desde los extremos superior e inferior de la caja hasta los valores más altos y más bajos respectivamente, excluyendo los valores atípicos (siyuados entre 1.5 y 3 longitudes de caja) y los extremos (situados a más de tres longitudes de caja.

34

de 4 cifras. Los niños de 2o y 3o grado resuelven en su totalidad la tarea de escritura de números entre 100 y 1000. En el siguiente orden, los porcentajes de éxito bajan para ubicarse entre el 39% y el 72%, los de 2o y el 72 y el 100%, los de 3o.

Grado Numeral 1 2 3 4 5 6 7 23 100

1º 40 100 87 100

90 100 325 33.33 100 100

2º y 3º 201 22.22 100 100 987 16.67 100 100

908 22.22 100 100 1452 5.56 72.22 88.89 93.75 100

4º y 5º 3004 5.56 50.00 72.22 100 94.44 8967 5.56 44.44 100 93.75 94.44

9070 5.56 38.89 83.33 93.75 94.44 34223 0.00 27.78 44.44 75.00 100 88.89 83.33 20103 5.56 38.89 55.56 87.50 94.44 94.44 94.44 97586 0.00 27.78 66.67 75.00 83.33 94.44 94.44 85007 0.00 16.67 44.44 87.50 88.89 83.33 94.44 533112 0.00 5.56 27.78 31.25 72.22 72.22 66.67

6º y 7º 104002 0.00 5.56 16.67 75.00 61.11 66.67 100 987658 0.00 5.56 16.67 68.75 72.22 72.22 83.33

800009 0.00 5.56 33.33 68.75 77.78 72.22 72.22 124322154 0.00 0.00 16.67 50.00 61.11 72.22 66.67 103204000 0.00 0.00 11.11 50.00 61.11 55.56 83.33 698759876 0.00 0.00 0.00 37.50 66.67 61.11 83.33 800069000 0.00 0.00 0.00 62.50 44.44 61.11 61.11

Tabla 14. Porcentaje de éxito en función de grado e ítem

Los alumnos de 4o y 5o solamente logran éxito total en dos ítems (3.004 y 1.452) los y los de 6o y 7o, en el ítem, 34.223. Los niños de 6o. grado, en ningún numeral logran el 100% de respuestas exitosas y en 7o., solamente en el numeral 104.002. Sin embargo a partir de 5o. grado, la mayoría de los niños logran escribir correctamente casi todos los numerales: logro por encima del 70% con excepción de los numerales en el rango de las centenas de millón, cuya escritura resultó difícil aún para alumnos de 7o grado. A pesar de la producción desigual de respuestas, inicialmente clasificamos la totalidad de los numerales que escriben como producciones exitosas o erradas, y en las erradas distinguimos los errores producidos por dificultades en el procesamiento léxico de aquellos que son producto de dificultades en el

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procesamiento sintáctico. (McCloskey y col., 1985, 1986a, 1991, McCloskey, 1992)14 En total se obtiene una muestra de 284 notaciones no exitosas, realizadas por 110 sujetos. Un promedio: 2.58 errores/sujeto15. El 33% de los errores analizados son de tipo léxico y el 67%, de tipo sintáctico. En el error léxico, el niño logra transcribir el numeral verbal hablado en un numeral arábigo del formato esperado que solamente difiere del numeral arábigo convencional porque cambia uno o varios dígitos aislados (p.e. por “mil cuatrocientos cincuenta y dos”, escriben 1472). Niños, a través de todos los grados, cometen este tipo de error. Los errores sintácticos introducen modificaciones en la magnitud del numeral. Niños de todos los grados/edades cometen este tipo de error, en todos los ítems. Suponemos que dificultades en la memoria de corto plazo permiten explicar los errores léxicos. Sin embargo, ¿cómo explicar los errores sintácticos? ¿Qué tipos de dificultades en el procesamiento se presentan para que los niños cometan con mayor frecuencia este tipo de error? ¿Resulta conveniente incluir en una sola categoría errores tan variados como los que a continuación ejemplificamos? Numeral dictado Error “Doscientos uno” 2101, 21001, 21 “Tres mil cuatro” 3104, 314, 304,

3.04 “Veinte mil ciento tres” 20100103 “Quinientos cuarenta y tres mil ciento doce” 500.043.112,

500403 “Ciento tres millones doscientos cuatro mil” 103.200.4.000 La variedad de los errores de tipo sintáctico y la imposibilidad de explicar porque se producen con una frecuencia tan alta, justifica la necesidad de postular categorías más precisas que permitan diferenciarlos.

4.2. Equivalencia Como previamente se señaló, el logro en la tarea de equivalencia se califica en una escala de cuatro puntos así: 1 no responde ningún ítem, 2 resuelve sólo ítem demostrativo, 3 resuelve sólo un ítem y 4 resuelve dos ítems. La mayoría de los niños sólo resuelven el ítem demostrativo (47 niños, 38%), los demás niños resolvieron correctamente dos ítems (41 sujetos, 33%); les siguen

14 Con el fin de abreviar la expresión, en adelante llamaremos estos errores, léxicos y sintácticos. 15 De 284 errores, 266 resultan perfectamente comprensibles desde las categorías postuladas para los análisis específicos de relaciones entre tipos de error y otras variables. 18 (6.34%) fueron rotulados como “no clasificados” y no se consideran para estos análisis. Así, la muestra efectiva está constituida por un total de 266 ocurrencias de error: (93.66%) del total de errores que los niños cometieron.

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aquellos que sólo resolvieron un ítem (24 niños, 20%) y finalmente los que no lograron resolver ítem alguno (11 niños, 9%) (Ver Tabla 15.

Puntaje Tarea de Equivalencia

Frecuencia Porcentaje

1 Ningún ítem 11 9 2 Item Demostrativo 47 38 3 Un ítem 24 20 4 Dos ítems 41 33 Total 123 100

Tabla 15. Tarea de equivalencia, frecuencia y porcentajes de logro No parece haber una relación entre este puntaje y el grado cursado por el estudiante (rho=0.050, sig.=0.581). La baja correlación entre la tarea de equivalencia y el grado del estudiante podría estar indicando varias puntos. En primer lugar, la tarea de equivalencia examina la relación entre unidades de orden inferior con las de orden superior (32 decenas en 325). Esta relación se contradice directamente con el modelo imperante en la escuela o modelo de “valor de posición” (según el cual, en 325 hay 2 decenas). Esta contradicción puede alterar los resultados de la correlación entre las dos tareas, elevando los puntajes de equivalencia en grados inferiores, que no han tenido gran exposición al modelo escolar y disminuyéndola en grados superiores. Este resultado igualmente podría sugerir que el indicador de la tarea de equivalencia esté distanciado de la competencia que realmente se quiere evaluar.

4.3. Relación entre los indicadores de las tareas relativas al sistema El examen de la asociación entre los puntajes de escritura y equivalencia muestra una correlación que, si bien resulta significativa, es moderadamente baja (rho=0.236, sig=0.0086). Esta situación no nos aclara de manera satisfactoria la pertinencia de las dos variables como indicadoras del uso del sistema de notación decimal. Para aclarar un poco las características de esta relación se calcularon las correlaciones de forma independiente para cada grado. Los resultados se muestran en la siguiente tabla.

Grado Corr Sig 1o -0.0113 0.9645 2o 0.7313 0.0006 3o 0.5303 0.0236 4o 0.2990 0.2606 5o -0.1586 0.5433 6o 0.3904 0.1093 7o 0.0716 0.7777

Tabla 16. Correlaciones entre escritura y equivalencia en función de grado Tal y como se observa, las mayores correlaciones entre las dos tareas se presentan en segundo y tercer grados. Es difícil interpretar este resultado,

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podríamos suponer que podría estar indicando que la tarea de equivalencia parece estar relacionada con la tarea de escritura en un cierto momento específico de la construcción del sistema de notación. Los niños de segundo y tercer grado se encuentrarían en el momento crítico en el que se estructurarían la relaciones de entre las diferentes unidades del sistema. A partir del tercer grado, todos los niños estarían en capacidad de resolver de forma satisfactoria la tarea de equivalencia. Sin embargo, la interferencia del modelo de “valor de posición” haría cada vez más difícil que el niño expresara la respuesta esperada para esta tarea. No resulta clara la ausencia de correlaciones en primer grado. En general, podemos aceptar que la tarea de escritura se podría considerar como un indicador mucho más directo del uso del sistema de notación en base diez que la tarea de equivalencia, en tanto que la primera involucra el manejo simultáneo de la notación arábiga y de la expresión numérica verbal, mientras que la segunda podría constituir un indicador indirecto del factor de comprensión del numeral arábigo, enmascarado por factores relativos a las particularidades del aprendizaje matemático en la escuela.

5. Tipos de error de escritura16 En la sección anterior señalamos la generalidad de la categoría de errores sintácticos. En esta sección asumimos el análisis detallado de los mismos desde la perspectiva de los procedimientos y procesos que suponemos llevan al niño al error. Para escribir los numerales que se les dictan, los niños deben convertir el imput fonológico, propio del formato verbal hablado (FVH), a los grafemas y reglas que permiten codificarlo, en el formato arábigo (FA). Para describir la conversión, resulta entonces necesario inferir el proceso de comprensión del FVH, identificando como fragmentan el imput fonológico y el proceso de producción del numeral arábigo, estableciendo como codifican las partículas que obtienen y cuales reglas ponen en funcionamiento.17 Con este fin, resulta preciso preguntarse: ¿qué partículas obtienen y cómo fragmentan el FVH y qué partículas codifican y cómo las codifican en el FA? Para fragmentar las expresiones verbales los niños deben obtener partículas de cantidad y partículas sintácticas que enuncian potencia de diez y para codificar el tipo de partícula que obtienen, deben utilizar los signos y las reglas del FA. El análisis del numeral que producen, nos permite inferir uno y otro proceso. El análisis de los errores sintácticos desde esta perspectiva, permite proponer las siguientes categorías de error.

16 Agradecemos especialmente a Martha Lucía Sarria y Luz Amparo Sepulveda por su valiosa colaboración en la elaboración de las categorías. 17 Utilizamos para el término codificar la segunda acepción del diccionario de la Lengua Española: “Transformar mediante las reglas de un código la formulación de un mensaje.” (p. 498)

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Categorías de error Frecuencia Porcentaje

1 Codificación literal part. sintáctica 10 4 2 "0" cod. part. sintáctica 11 4 3 Solo cod. part. cantidad 14 5 4 "." cod. part. sintáctica 21 7 5 Inhibe part. sintáctica 7 2 6 Yuxtaposición 27 10 7 Compactación 16 6 8 Conservación tres posiciones 20 7 9 "." después de 1er.dígito 7 2 10 Léxico 87 31 11 Combinación 46 16 12 No clasificados 18 6 Total 284 100

Tabla 17. Errores sintácticos, frecuencia y porcentaje de ocurrencia

A continuación se describe y ejemplifica cada una de las categorías identificadas así como variaciones de la misma. Entre paréntesis se incluyen los códigos que permiten su presentación en tablas y gráficos. 1 Codificación literal de partícula sintáctica (Cod. literal part. sintáctica) Un primer tipo de error que distinguimos en las producciones de los niños es la utilización en el formato arábigo de uno o varios códigos que traducen literalmente la partícula sintáctica que en el formato verbal hablado enuncia la potencia de diez. A continuación se presentan algunos ejemplos:

Fragmentación de expresión numérica verbal Error “Dos |cientos uno” 2101 “Dos | cientos | uno” 21001 “Tres | cientos | veinticinco” 31025 “Tres | mil | cuatro” 3104

314 Ocho | mil novecientos sesenta y siete” 81967

Estos errores rompen la sintaxis del numeral18. Un 4% de los errores cometidos corresponden a esta categoría. El 90% de estos errores los cometen niños de 1o y 2o19 y prioritariamente, en numerales con cero (70%). Es probable que los niños procedan de la siguiente manera: al escuchar el numeral verbal dictado, lo fragmentan en partículas con sentido para ellos20 (“Dos |

18 Solamente 3104 conserva la magnitud. 19 Para referirse a la distribución de la categoría de error en función de grado, ver Anexo 1.

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cientos uno”), codifican literalmente la partícula “cientos” que expresa potencia de diez (21001) y yuxtaponen los numerales que escriben. En este tipo de error, los niños no entienden que las partículas sintácticas definen las posiciones de los dígitos en la escritura del numeral y tienden a codificarlas literalmente, como si fuesen partículas de cantidad. En otros casos, al codificar los fragmentos que obtienen, escriben el numeral que les permite codificar la palabra numérica correspondiente a unidades de orden inferior, en la posición del último cero del numeral que utilizan para codificar la expresión sintáctica (por ejemplo, por “ciento veinticinco”, escriben 1025).21 Suponemos que este tipo de error se produce por una dominancia de las reglas del FVH sobre las del arábigo. 2 Codificación de partícula sintáctica utilizando cero (“0” cod. part. sintáctica) En este tipo de error, se puede suponer que los niños diferencian las partículas que en el formato verbal hablado marcan cantidad y potencia de diez y codifican las partículas sintácticas utilizando cero (0). Por ejemplo, por “quinientos cuarenta y tres mil ciento doce”, escriben 5430112.22 Estos errores rompen la sintaxis del numeral. En total (4%) de los errores se incluyen en esta categoría. Niños de 1o, 2o. y 3o. grado y un niño de 6o, cometen este tipo de error. El 91% de este tipo de error ocurre en numerales que presentan cero. El procedimiento que estos niños utilizan puede ser: codifican los dígitos que corresponden con marcas de cantidad y marcan la partícula sintáctica (en este caso, “mil”), utilizando 0. En este y el siguiente error, los niños utilizan signos del FA para codificar la partícula sintáctica. 3 Codificación de partículas de cantidad (Sólo cod. part. cantidad) En esta categoría se incluyen producciones en las cuales los niños únicamente codifican las partículas de cantidad que en el formato arábigo definen dígitos y suprimen cualquier referencia a partículas sintácticas que expresan potencia de diez. Para la codificación este tipo de error se presentan dos tendencias:

20 Por supuesto toda fragmentación tiene sentido para el niño, pero en este caso el tipo de fragmento que utiliza no consulta la lógica propia del sistema: partículas relativas a cantidad y partículas relativas a potencias de diez. 21 Ver más adelante la descripción de la notación compactada. 22 En algunos casos, el error admite otra interpretación. Por ejemplo, por “tres mil cuatro”, escriben 304. La omisión del 0, se podría interpretar como omisión del dígito posterior a la expresión “mil”. Sin embargo, las características del numeral, dos ceros después de la partícula mil que codifican el silencio de la expresión, y algunos errores que combinan expresión de la partícula sintáctica utilizando “0” y punto (.) que indica mil o viceversa, nos llevan a asignar este error a esta categoría.

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Ejemplo 1: por “doscientos | uno”, escribe 21 por “veinte mil | ciento | tres”, escribe 213 Ejemplo 2: por “nueve mil | setenta”, escribe 970. En el primer ejemplo, el caso más extremo, ignoran todos los ceros y solamente escriben dígitos diferentes de 0; en el segundo, es probable que conciban la palabra “setenta”, la última de la expresión numérica verbal, como un “bloque soldado en lugar de una composición de partes” (Scheuer y otros, 2000 p. 9) y yuxtaponen el numeral correspondiente al 9 de nueve mil.23 El 5% de los errores pertenecen a esta categoría. Los niños de 1o a 5o cometen estos errores, con mayor incidencia en 2o (43%). Este error se comete únicamente en numerales con cero. En este tipo de error igualmente suponemos que las reglas del FVH dominan el subsistema de producción del numeral arábigo. 4 Codificación de partícula sintáctica utilizando punto que indica mil (“.” cod. part. sintáctica) Este error consiste en codificar la partícula que expresa potencia de diez utilizando punto (.) que indica mil. Ejemplo 1: por “ochocientos mil nueve”, escribe, 8.009. Ejemplo 2: por “ochocientos millones sesenta y nueve mil, escribe 8.069.000 El 7% de los errores que los niños cometen pertenecen a esta categoría.

El procedimiento puede ser: fragmenta “ochocientos mil | nueve” y ochocientos millones | sesenta y nueva mil y escriben, “8.”, por “ochocientos mil” (ejemplo 1) y por ochocientos millones (ejemplo 2). Parece ser que estos niños ignoran el sufijo “cientos”, que define las unidades de cien en el orden de los miles (ejemplo 1) y en el de los millones (ejemplo 2) y no utilizan ceros para codificarlo. Sin embargo, logran coordinar las partículas sintácticas y de cantidad con los dígitos y su correspondiente posición, para las unidades de orden inferior. Este error ocurre únicamente en numerales con cero y se presenta en todos los grados menos en 4o. 5 Codificación de partículas de cantidad excepto dígito anterior o posterior a punto que indica mil (.) (Inhibe part. sintáctica) Suponemos que los niños que cometen este tipo de error diferencian las partículas de cantidad de las partículas sintácticas y han entendido que no se utilizan dígitos

23 Cuando los niños cometen este error en numerales que superan el rango de los cien mil (por ejemplo, “ciento cuatro mil dos”), solamente codifican las partículas de cantidad del componente de la expresión numérica correspondiente a las unidades de orden superior (por “ciento cuatro mil”, escriben 14) y codifican y componen adecuadamente el resto de la expresión (por “dos”, escriben 002). En este caso utilizan ceros para “codificar el silencio” de la expresión verbal y conservar la posición del dígito en el numeral arábigo. En el rango de las unidades ya se han apropiado de regla de las tres posiciones del formato arábigo, no así en el de los miles.

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para codificar la partícula que enuncia potencia de diez; sin embargo, sobre generalizan la regla y la aplican a los dígitos que ocupan la posición anterior o posterior a punto (.) que indica mi. Ejemplo 1: por “treinta y cuatro mil doscientos veintitrés”, escribe 3423. Ejemplo 2: por “quinientos cuarenta y tres mil | ciento doce” escribe 54.112. El 2% de los errores corresponde a esta categoría.24 Niños de todas la edades cometen este tipo de error al escribir numerales sin cero, excepto los de 7o grado. El procedimiento evidente, que rompe con la sintaxis del numeral, es que “eliminan” un solo dígito. Ahora bien, cuando se analiza el dígito que omiten, se encuentra que corresponde con el dígito inmediatamente anterior o posterior a punto que indica mil. Se puede suponer que el niño se centra en la partícula sintáctica que designa los miles y al codificar la expresión, inhibe la codificación de partícula sintáctica, pero sobre generaliza la regla y suprime el dígito posterior (ejemplo 1) o anterior (ejemplo 2) a la posición del punto que indica mil (.), en el numeral arábigo. Este error permite postular una cierta interferencia de punto (.) que indica mil, regla del formato arábigo, con la escritura correcta de numerales. 6 Codificación de fragmentos diferenciados utilizando numerales yuxtapuestos (Yuxtaposición) En este tipo de error, los niños codifican expresiones numéricas verbales25, que designan unidades en un orden dado, con los correspondiente numerales y yuxtaponen los numerales que obtienen. Ejemplo 1: por “trescientos | veinticinco”, escribe 30025 Ejemplo 2: por “quinientos | cuarenta y tres mil ciento doce”, escribe 500.43.112 El 10% de los errores se incluyen en esta categoría. Este error ocurre en todos los grados, desde 1o a 7o, excepto en 3o. El mayor porcentaje de este tipo de errores se presenta entre los niños de primero (41%) y ocurre al escribir numerales con y sin cero. En el primer ejemplo, el procedimiento que los niños siguen puede ser el siguiente: fragmentan las palabras numéricas que componen la expresión numérica verbal que se les dicta (trescientos | veinticinco) y codifican el numeral arábigo correspondiente a cada fragmento (300, 25) yuxtaponiéndolos (30025). Para Scheuer y otros “los niños proceden como si cada una de estas palabras poseyera un logograma digital." (Scheuer y otros, 2000, p. 14)

24 Desafortunadamente, los numerales con dígitos repetidos no permiten confirmar cuál dígito eliminan. Por ejemplo treinta y cuatro mil doscientos veintitrés → 3423. 25 Utilizamos el término expresiones numéricas verbales y no palabras numéricas como Scheuer y otros (2000) emplean, porque mil es una palabra y cuando se les dicta, por ejemplo, tres mil cuatro, los niños fragmentan tres mil y escriben 3000. Tres mil constituye una expresión numérica compuesta de palabras numéricas: tres y mil.

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En el ejemplo 2, fragmentan la expresión numérica verbal en expresiones con sentido para ellos, pero la lógica de la codificación supera la correspondencia entre el fragmento de expresión verbal y el numeral que escriben. En este caso, el niño sabe que “quinientos” pertenece al rango de los miles y lo codifica utilizando punto (.) que indica mil (500.) y yuxtapone el numeral correspondiente a la expresión verbal restante (43.112 por “cuarenta y tres mil ciento doce”). Errores de este tipo son ampliamente analizados por otros autores. McCloskey y colaboradores presentan el caso de un paciente que escribe 2000500 por two hundred five thousand como ejemplo de errores debidos a dificultades en el procesamiento sintáctico (McCloskey y colaboradores, 1985, p. 177). Tolchinsky reporta que los niños escriben 600403 por seiscientos cuarenta y tres (Tolchinsky, 1994, p. 231) y analiza este error como ejemplo de la concepción aditiva que los niños manejan sobre el sistema en base 10.26 Lerner y Sadovsky para describir la manera como los niños extraen información de la numeración hablada al escribir numerales, presentan el siguiente ejemplo: por “seis mil trescientos cuarenta y cinco”, escriben “600030045”. Para analizar esta notación no convencional, proponen que estos niños manejan una hipótesis “según la cual la escritura numérica resulta de una correspondencia con la numeración hablada” (Lerner y Sadovsky, 1994, p. 116, 117). Scheuer y otros denominan esta categoría “notaciones logográmicas, que resultan de una correspondencia estricta entre la forma oral de un número y su notación” (Scheuer y otros, 2000, p. 14)27; igualmente, Power y Dal Martello (1990) Seron y Fayol (1994) Numes y Bryant (1998) describen este tipo de notación cuando los niños resuelven tareas de dictado de números. Estos autores no describen, ni analizan los procedimientos ligeramente diferenciados que los niños utilizan para la codificación. Desde nuestra perspectiva, este tipo de error igualmente revela la dominancia del FVH en la producción de numerales arábigos. 7 Codificación de fragmentos diferenciados utilizando numerales compactados (Compactación) Codifica las expresiones numéricas verbales, correspondientes a unidades en un orden dado, utilizando numerales que compactan. Scheuer y otros (2000) llaman estas notaciones, no convencionales, notaciones compactadas porque empiezan “a integrar el principio de notación posicional, transcribiendo algunas o todas la

26 Resulta conveniente señalar que se trata de la descomposición aditiva de la expresión numérica verbal pero no de la composición aditiva del numeral arábigo. 27 Scheuer y otros incluyen en esta categoría notaciones como 620 por veintiséis. En esta investigación no encontramos este tipo de error. Sin embargo consideramos que no constituye un buen ejemplo de “correspondencia estricta entre la forma oral del número y su notación.”

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palabras numéricas componentes de forma abreviada” (Scheuer y otros, 2000, p. 15)28 Ejemplo 1: por “trescientos veinticinco”, escribe 3025 Ejemplo 2: por “quinientos cuarenta y tres mil ciento doce”, escribe 543001012. Como en los errores anteriores, este nuevo tipo de error rompe con la sintaxis del numeral. En total el 6% de los errores se incluyen en esta categoría. Niños de todos los grados cometen estos errores, con mayor frecuencia en los dos primeros grados (44% y 31%, respectivamente) y se presenta prioritariamente en numerales sin cero (81% de los casos). En el primer ejemplo, el niño probablemente establece correspondencia entre cada expresión verbal que fragmenta y los numerales que las codifican (error 6), pero escribe el numeral que codifica la palabra numérica correspondiente al numeral de orden inferior (25: veinticinco), en el lugar del último cero del numeral que codifica la palabra numérica correspondiente al numeral de orden superior (300: trescientos). El procedimiento puede ser el siguiente: el niño fragmenta el formato verbal en las palabras (“trescientos | veinticinco”) e inicia la codificación, escribiendo el numeral arábigo correspondiente a la palabra numérica que designa la unidad de orden superior; pero lo abrevia y superpone el otro numeral, que codifica la segunda palabra numérica que expresa la unidad de orden inferior, en el espacio que corresponde al último cero del numeral que escribe. En el segundo ejemplo, igualmente codifica numerales en correspondencia con los fragmentos que obtiene (“quinientos cuarenta y tres mil | ciento | doce”, error 6) pero los compacta de la siguiente manera: escribe el numeral correspondiente a la expresión numérica de orden superior que fragmenta (“quinientos cuarenta y tres mil”: 54300) y en el lugar del último 0, escribe de manera abreviada el numeral que codifica la partícula de cantidad ciento (10); escribe el numeral correspondiente a las unidades de orden inferior (“ciento doce”) en el lugar del ultimo 0 del numeral que utiliza para codificar la partícula de cantidad “ciento”, que igualmente compacta. La superposición del numeral correspondiente a las unidades de orden inferior, en el último espacio del numeral correspondiente a las unidades de orden superior permite suponer un inicio de composición, no presente en el error anterior. Esta pseudo composición, igualmente permite postular que el niño trabaja sobre una de las regularidades, propias del formato arábigo: la composición de numerales de ordenes diferenciados.

28 Nunes y Bryant igualmente mencionan que los niños del Brasil eliminaron algunos ceros “pero no lograron una representación compactada mediante el valor posicional.” (Nunes y Bryant, 1998, p. 88)

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8 Codificación de partículas diferenciadas con interferencia de regla de tres posiciones (Conservación tres posiciones) En este tipo de error, los niños codifican las partículas de cantidad o las sintácticas utilizando los correspondientes numerales y los yuxtaponen (error 6) o los compactan (error 7), pero limitan el numeral que escriben al número de posiciones del numeral arábigo que escriben. Ejemplo 1: por “ciento | cuatro mil | dos”, escribe 100402. Ejemplo 2: por “quinientos cuarenta y tres mil ciento doce”, escribe 500403 El 7% de los errores se clasifican en esta categoría. Niños de todos los grados, exceptuando 4o, cometen este tipo de error, preferentemente en numerales con 0.29 En estos errores, el niño preserva a toda costa el número final de posiciones correspondientes al rango del numeral arábigo que se les dicta, aunque para ello deban eliminar dígitos que permiten codificar partículas propias del numeral verbal hablado, como en el ejemplo 2. En este caso, podemos suponer que el niño anticipa el número total de posiciones del numeral. En el ejemplo 1, el niño escribe el numeral correspondiente a cada fragmento (“ciento | cuatro mil | dos”) y los yuxtapone o compacta (100402; errores 6 y 7). En términos de McCloskey y colaboradores (1985) este error se clasificaría como léxico, porque no contraviene la magnitud del numeral arábigo. Sin embargo, el análisis del siguiente ejemplo nos permite suponer que la centración del niño en el número de posiciones lo lleva a compactar el numeral que codifica la expresión verbal “cuatro mil” y a escribir el numeral 2, que codifica las unidades de orden inferior, manteniendo el número de posiciones propias de los numerales en este rango. El análisis del numeral que escribe en el ejemplo 2, permite señalar que inicialmente codifica el numeral correspondiente a los fragmentos que obtiene (“quinientos | cuarenta | y tres | mil ciento doce”) y los yuxtapone y compacta (500403, como en los errores 6 y 7). Sin embargo, parece ser que la centración en el número de posiciones correspondientes al rango del numeral dictado, le impide codificar el numeral correspondiente al componente restante de la expresión numérica verbal (“ciento doce”). 30 La centración del niño en el número de posiciones del numeral arábigo, que probablemente anticipa, permite señalar que trabaja sobre otra regla del formato arábigo. 29 Solamente en 1.452 y en 543.112, numerales sin 0, cometen este tipo de error. 30 Un tercer ejemplo, que se incluye en esta categoría, incluye errores en los cuales inicialmente solamente codifican expresiones de cantidad pero, finalmente conservan número de posiciones aumentando uno o dos ceros. Por ejemplo, por “doscientos uno” escriben 210. Otro ejemplo que igualmente aplica es cuando al yuxtaponer numerales correspondientes a las expresiones numéricas que fragmentan aumentan ceros para conservar 3 posiciones. Por “ochenta y cinco mil siete”, escribe 85000007.

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9 Coordina codificación de partículas sintácticas con posición de dígitos, pero cambia posición de punto que indica mil (“.” después de 1er. dígito) Los niños que cometen este tipo de error son capaces de coordinar la codificación de las partículas referidas a cantidad y a potencia de diez con los dígitos y la posición de los mismos en el numeral arábigo, pero cambian la posición del punto. En otras palabras, transcriben el numeral verbal hablado a un numeral arábigo del formato esperado, pero cambia la posición del símbolo correspondiente al punto (.) que indica mil. Por ejemplo, por “novecientos ochenta y siete mil seiscientos cincuenta y ocho”, escribe 9.87658. El 2% de los errores pertenecen a esta categoría. Lo cometen los niños a partir de 3o, exceptuando los de 6o, en mayor proporción (57%) los de 2o. Los niños siempre colocan el punto después del primer dígito.31 Este hecho, permite suponer que este tipo de error esta ligado con el rango que el niño domina, en este caso el de los miles. Se puede suponer que sobre generaliza el punto después del primer dígito. 11 Combinación de errores (Combinación)32 Las categorías anteriores no siempre son mutuamente excluyentes para una producción dada; por esto, ya hemos presentado combinaciones de errores de yuxtaposición y compactación en los cuales podemos señalar interferencias de las reglas del sistema. Con el fin de lograr una mayor precisión en las categorías y por lo tanto en el procesamiento que suponemos los niños siguen al equivocarse, incluimos en esta categoría errores que combinan errores de yuxtaposición (error 6) y compactación (error 7) con errores léxicos, de cantidad (error 3), de codificación literal de la partícula sintáctica (error 1) o utilizando punto que indica mil (error 4), en diferentes períodos del numeral. Ejemplo 1: por “noventa | y siete mil | quinientos |ochenta y seis”, escribe 904005086. El niño codifica la palabra “noventa”, primer fragmento que obtiene, con el correspondiente numeral (error tipo 6); codifica la expresión “siete mil” como 400; cambian el 7 por el 4 (error léxico) y superpone en la posición del último cero; el numeral 50, la forma abreviada de la palabra numérica quinientos (error 7); finalmente, reserva el último espacio del 500 para escribir 86. Ejemplo 2: Por “ochocientos millones sesenta y nueve mil” escribe: 8.609.000 En este error, los niños codifican la expresión verbal “ochocientos mil” como “8.” (error 4) y yuxtaponen los numerales correspondientes a sesenta y a nueve mil, los otros dos fragmentos que obtiene. Este error corresponde a la categoría 6.

31 Resulta necesario aclarar que en las ejecuciones consideradas correctas, muchos niños no utilizan puntos, por lo que no podemos saber si hubieran incurrido en este mismo error. 32 La categoría de error 10, corresponde a los léxicos.

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El 16% de los errores corresponden a esta categoría y se distribuyen entre todos los grados. Tienden a cometerlos en numerales con 0 (74% de los casos) y al escribir los numerales de mayor rango. 12. Errores no clasificados (No clasificados) Finalmente, desde el inicio de la clasificación (ver pie de página 17) reconocimos que existen producciones que desafían nuestras interpretaciones. Estas producciones corresponden al 6% de los errores. Aunque no encontramos una lógica que permita clasificarlos, si queremos señalar que revelan la profunda confusión que se crea en la mente de los niños cuando no son capaces de coordinar las reglas de los dos formatos: el verbal y el arábigo. Por ejemplo, por doscientos uno, escribe 1210; por novecientos ochenta y siete mil seiscientos cincuenta y ocho, escribe 9.47.408. Resumiendo, la categoría que agrupó mayor número de errores fue la categoría de los errores léxicos (30 %), la sigue, la categoría que agrupa la combinación de errores (17%), y en orden decreciente, la yuxtaposición de numerales (10%), la codificación de la partícula sintáctica (8%), la compactación de numerales y en último término, las categorías restantes con una variación entre el 5 y el 3%. A manera de resumen presentamos el gráfico que muestra las relaciones encontradas entre el tipo de error y el grado escolar (edad) cursado por el estudiante.

46877201627721141110N =

Categoría de error

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105106

35

19

10

Gráfico 5. Relación tipos de error/grado

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Todas las medias, con excepción de la media relativa a los errores de tipo léxico y conserve tres posiciones (error de tipo sintáctico), están por debajo de 5o grado. Este hecho sugiere que la mayoría de los errores de tipo sintáctico son cometidos por niños que pertenecen a los 5 primeros grados. Como previamente señalamos estos niños prácticamente no cometen errores en los numerales con rango inferior o igual al presupuestado para su grado/edad. Por lo tanto podemos concluir que la mayoría de los errores sintácticos33 corresponden a la llamada escritura no convencional (Lerner y Sadovsky, 1994, Scheuer y otros, 2000)

En dos categorías la media se desplaza hacia los grados altos: errores léxicos y conserve 3 posiciones. Esto resulta explicable. Aún en adultos normales los errores léxicos pueden resultar comunes, pues son producidos por dificultades en la memoria a corto plazo. Ahora bien, el error “conserve tres posiciones” se presenta mayoritariamente (63%) en numerales con un rango mayor a cien mil y se distribuyen prioritariamente entre los niños de 4o, 5o y 6o grado.

Si el tipo de error se asume como variable ordinal y se relación con grado, la correlación no paramétrica con el grado resulta ser moderadamente baja (correc.=0.234 sig.<0.007), en otras palabras, ni apoya la hipótesis de una variable ordinal, ni la rechaza.

33 Con algunas excepciones, discriminadas por la prolongación de las rayas a partir de los rectángulos.

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IV. CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN Existe una relación clara entre el desarrollo de la operación multiplicativa en el niño y su manejo del sistema de notación en base 10. Presumiblemente, esta relación se encuentra limitada a manejos multiplicativos restringidos a cierto rango de números enteros (dígitos y potencias de 10) sin que, al parecer, se requiera de una multiplicación generalizada para el correcto uso del sistema notacional. La relación entre multiplicación y uso del sistema notacional se encuentra estrecha y directamente vinculada con el grado cursado y con la edad de los sujetos, aunque se observan interesantes variaciones en relación con los últimos grados. En efecto, los sujetos de los grados 6o y 7o. parecen retornar a uso de estrategias aditivas para la resolución de problemas multiplicativos complejos y a mantener, de forma fija, ciertas concepciones erróneas de la matemática escolar respecto del sistema de notación en base 10. Aunque esta situación no parece afectar su rendimiento en la escritura de numerales, si evidencian una relativa dificultad para hacer manejos flexibles de la notación en base 10 que, presumimos, aparecerán después vinculados con un manejo de la información matemática de tipo más bien mecánico y algorítmico que verdaderamente comprensivo. La aplicación del análisis operatorio a los formatos verbal y arábigo, que permiten expresar el sistema de numeración en base diez, revela que las operaciones de adición y multiplicación subyacen a uno y otro formato. Lerner y Sadovsky (1994) ya habían señalado el carácter aditivo y multiplicativo tanto de la numeración hablada como de la escrita y Nunes y Schliemann (1983) y Nunes y otros (en prensa; citado por Nunes y Bryant, 1998) señalan que ”el entendimiento de la composición aditiva del número es la base para aprender a escribir numerales.” (Nunes y Bryant, 1998, p. 94) El análisis de las expresiones numéricas verbales y de los números arábigos, así como los resultados de Nunes y Bryant y los de esta investigación nos permiten afirmar que el manejo de los principios operatorios del sistema simultáneamente aditivos y multiplicativos, esta en la base de la comprensión que los niños alcanzan de la escritura de numerales. Sin embargo, el análisis de la estructura de las expresiones numéricas verbales y de los numerales arábigos revela diferencias en las sintaxis de uno y otro formato: la sintaxis del formato verbal enuncia o expresa explícitamente las potencias de diez; en cambio, la sintaxis del numeral arábigo, oculta su expresión y convierte las expresiones en posiciones que definen el valor de los dígitos en el numeral. Esta diferenciación entre las sintaxis del formato verbal y del arábigo es la primera distinción que establecemos con el modelo de McCloskey y colaboradores. Desde nuestra perspectiva, este es el problema que los niños deben manejar para traducir los numerales hablados en numerales arábigos. Se trata de dos sintaxis diferenciadas que exigen coordinaciones entre el sistema de comprensión del formato verbal hablado y el de producción del arábigo.

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Para transformar el imput verbal hablado en producciones de tipo arábigo, los niños deben fragmentar el imput verbal en partículas de cantidad y partículas sintácticas y codificarlas de acuerdo con signos y las reglas del formato arábigo. En el proceso de conversión, las partículas sintácticas, correspondientes a potencias de diez (cientos, mil, millón, etc.) no se codifican; por lo tanto, es necesario que el sistema inhiba su codificación y las entienda o maneje como marcas que definen la posición de los dígitos en el numeral.34 En otras palabras, la aplicación de las reglas propias del formato arábigo exige inhibir la codificación de las partículas sintácticas y manejar principios de composición o la regla relativa a número de posiciones para poder asignar a cada dígito, que expresa partícula de cantidad, su posición en el numeral. Este análisis y el de los errores que los niños cometen nos permite afirmar que ellos se equivocan al escribir los numerales que se les dictan, porque no logran coordinar la sintaxis, propia del formato verbal hablado, con la del formato arábigo. Sin excepción todos los niños son capaces de realizar la conversión porque escriben numerales,35 sin embargo, la coordinación de los dos tipos de sintaxis, presenta dificultades variadas y diferenciadas. Cuando fragmentan el numeral verbal hablado que escuchan como palabras o expresiones numéricas verbales, con sentido para ellos, no contemplan la lógica subyacente a la composición de las expresiones numéricas verbales, a saber, partículas que marcan cantidad o partículas que marcan potencia de diez y escriben el numeral correspondiente a cada fragmento que obtienen y los yuxtaponen; cuando fragmentan el formato verbal hablado en partículas de cantidad y partículas sintácticas, las codifican sin tener en cuenta las reglas y las características de los signos propios del formato arábigo. La yuxtaposición de numerales indica que ya saben escribir algunos36, pero que aún no manejan la composición aditiva de las unidades de orden inferior en las de orden superior, uno de los principios operatorios del sistema. En cambio, la compactación de los numerales que escriben, puede indicar que empiezan a integrar este principio. Otra dificultad general que encontramos es la tendencia a codificar las potencias de diez, inicialmente, lo hacen literalmente, posteriormente, utilizando ceros y punto (.) que indica mil. Sin embargo, la comparación de este segundo tipo de error con el primero (codificación literal de las potencias de diez) permite señalar avances en la integración progresiva de reglas del formato arábigo, pues no escriben literalmente los numerales que permiten codificar las expresiones cientos, mil, etc., sino que utilizan signos convencionales para hacerlo. Cuando el niño entiende que las expresiones de potencia de diez del formato verbal no se codifican y que simplemente define en el numeral arábigo las 34 Recordemos que los dígitos permiten expresar las partículas de cantidad. 35 Solamente algunos niños, que no se registraron, preguntan: ¿Con letras, o con números? 36 Parece ser que se trata de los “nudos” o los “primitivos léxicos”.

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posiciones de los dígitos, dos nuevas dificultades se presentan: inhiben la codificación pero parece que sobre generalizan la inhibición a códigos que expresan cantidad y entonces eliminan dígitos particularmente antes y después de mil. En otras palabras, las reglas del formato arábigo comienzan a integrarse y a interferir en el proceso de conversión. En términos generales, las dificultades se presentan porque al codificar, establecen correspondencia entre las expresiones verbales que fragmentan y los numerales que escriben, ignoran o codifican las partículas sintácticas que expresan potencia de 10; o, la incorporación de la regla y los principios operatorios propios de la notación arábiga, que empiezan a utilizar, interfiere con la codificación. Finalmente al escribir los numerales, los yuxtaponen o compactan pero no logran componerlos. Parece ser que en el proceso que permite a los niños traducir progresivamente el formato verbal hablado en formato arábigo, inicialmente tienden a aplicar a las producciones escritas reglas del formato verbal hablado. Estas reglas lo llevan a traducir cada fragmento de la expresión numérica al correspondiente numeral, sin tener en cuenta las reglas del sistema de notación arábigo. Posteriormente, los niños inhiben la codificación de las partículas sintácticas y trabajan sobre el formato arábigo tratando de integrar la regla relativa al número de posiciones y el principio de composición, sin lograr coordinarlas con las del formato verbal. El análisis del proceso de conversión del formato verbal hablado a numerales arábigos escritos permite postular, de manera hipotética que el sistema de procesamiento de la información que el niño construye atiende de manera alterna a las características sintácticas de uno u otro formato. Inicialmente, las características del formato verbal dominan el procesamiento y entonces el sistema se centra en la fragmentación del imput verbal hablado identificando partículas con sentido para el sistema. El sentido de estas partículas esta centrado en la información que el sistema posee y la fragmentación no coincide con la lógica convencional de las partículas del formato verbal hablado; en estos casos codifica para cada expresión verbal el correspondiente numeral, en una especie de correspondencia simple entre el numeral verbal y el arábigo. Se puede suponer que el dominio de las reglas del formato verbal hablado se mantiene, aún cuando el sistema fragmenta la expresiones numéricas verbales en función de las partículas convencionales que definen marcas de cantidad y expresan potencia de diez, pero al codificarlas elimina las marcas sintácticas o las traduce literalmente al formato arábigo. Se podría postular que el primer tipo de fragmentación corresponde a una representación procedimental, o sea, un conjunto de datos para el sistema pero las partes que componen el procedimiento no están disponibles como datos. Cuando inhibe la codificación de las partículas sintácticas se puede suponer que el sistema inicia la incorporación de reglas del formato arábigo, sin embargo, como

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aún no logra coordinar la regla relativa al número de posiciones y el principio de composición, entonces los errores continúan apareciendo. Finalmente, coordina las partículas de cantidad y sintácticas con los dígitos y la posición de los mismos. Que lleva al sistema a fragmentar el imput fonológico de manera convencional, es algo que aún no podemos responder. En cambio, reconocemos que la progresiva incorporación de las reglas del formato arábigo se encuentra sujeta a “influencias comunicativas externas”, del medio en general y de los maestros en particular. Ahora bien, cuando se usa un entrenamiento exógeno, un cambio interno posterior resulta indispensable. De otra manera, los niños simplemente se limitan a construir una “descripción estructural independiente37. … simplemente añaden una nueva representación independientemente almacenada que tendrá que producir una redescripción representacional (un proceso provocado de manera endógena) antes de que pueda convertirse en una estructura de datos disponibles para la generalización y usos más flexibles.” (Karmiloff-Smith, 1994, p. 202) Esta falta de un cambio interno, suscitado por el propio niño, podría explicar la falta de integración de los dos tipos de sintaxis, que los errores sintácticos de los niños mayores revelan. Esta descripción inicial del funcionamiento del sistema que permite traducir numerales verbales a numerales arábigos, exige igualmente postular la necesidad de un mecanismo central que posibilite la coordinación de los dos subsistemas, el de comprensión del numeral verbal y el de producción del arábigo sobre todo cuando el componente de representación semántica interna de los números se encuentra en proceso de construcción. Finalmente los análisis y resultados de esta investigación suscitan todo tipo de preguntas: ¿Permite un modelo de tipo modular, como el propuesto por McCloskey y colaboradores, describir la coordinación entre las sintaxis del formato verbal y del formato arábigo requerida para convertir numerales hablados a numerales arábigos, más aún, cuando el componente de representación semántica interna de los números se encuentra en proceso de construcción? ¿Cuál es la composición de la representación semántica interna de los números que posee el sistema que posibilita errores como los descritos y de que manera se articula con el proceso de conversión de imputs de tipo verbal a outputs propios del formato arábigo? ¿Cuál es su relación de la representación semántica interna de los números con la concepción de cantidad y de número que el niño maneja?

37 Refiriéndose a la manera como las influencias externas pueden afectar el dibujo de los niños.

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¿Cómo logran los niños diferenciar en el formato verbal hablado las partículas que marcan cantidades básicas, de las que expresan potencia de 10, asociadas con ellas? ¿Constituye la codificación de la partícula sintáctica una etapa en el proceso de coordinación de los dos tipos de sintaxis por la que todos los niños pasan? ¿Cuál es el papel de las operaciones en la coordinación de la sintaxis? El tipo de método utilizado, en el cual no manejamos un diseño experimental para seleccionar y dictar los numerales, que permita contrastar hipótesis; una única presentación del dictado, sin seguimiento a través del tiempo introduciendo modificaciones en concordancia con las hipótesis generadas por el análisis; la falta de control sobre las condiciones de aplicación y de registro del dictado, por ejemplo, no se controlan pausas al dictar los numerales, ni se registra el tiempo de reacción del niño al escribir el numeral; el tipo de categorías obtenidas, se trata de categorías nominales que aún no permiten describir procesos de transformación y cambio, constituyen limitaciones de este estudio que no permiten contestar estas preguntas. Estudios posteriores que involucren diseños experimentales de tareas, seguimiento de niños a través del tiempo y corrijan estas deficiencias, posiblemente permitirán responderlas.

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66

VI. ALCANCE DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS Y SU RELACIÓN CON METAS Y PROUESTAS 1. En relación con el primer objetivo: explorar las posibles relaciones entre la

construcción y comprensión de la operación multiplicativa y la construcción del sistema notacional en base 10, podemos concluir que:

• Se encontró una correlación moderada y significativa entre éxito al resolver problemas multiplicativos y éxito en la tarea de escritura.

• Se encontró una correlación moderada y significativa entre éxito al resolver problemas de multiplicación y éxito en la tarea de equivalencia.

• Se encontró una correlación alta entre tipo de estrategias para resolver problemas multiplicativos y éxito en la tarea de escritura: si los niños utilizan estrategias multiplicativas, entonces tienden a resolver exitosamente la tarea de escritura. Esta asociación permite confirmar el supuesto planteado.

• Se encontró una correlación media entre tipo de estrategias para resolver tareas multiplicativas y éxito en la tarea de equivalencia.

2. En relación con el segundo objetivo: explorar el efecto de las diferencias individuales en el procesamiento y/o representación en la construcción de la operación multiplicativa y el sistema de numeración en base 10, podemos concluir que:

• Se encontraron altas asociaciones entre las estrategias seguidas en las tareas de proporcionalidad y producto de medida y el logro en la tarea de escritura con las tres variables individuales. Las correlaciones son particularmente altas para el caso del rango de edad.

• No se observan correlaciones apreciables entre el éxito en la tarea de proporcionalidad y ninguna de las variables individuales. La única correlación apreciable entre el éxito en la tarea de producto de medida se da en relación con el puntaje FIT.

• Para la tarea de equivalencia, no se observa relación con el rango de edad, pero si se observan relaciones moderadamente bajas con el EFT y el FIT.

VII. APORTES TEORICOS Y METODOLOGICOS Desde la perspectiva teórica, señalamos los siguientes aportes: En primer lugar y tal vez este es el aporte teórico más significativo, se logra al establecer una diferenciación clara entre la sintaxis del formato verbal y la sintaxis del formato arábigo y simultáneamente, mostrar el carácter operatorio de los dos subsistemas. La diferenciación de la sintaxis del formato verbal nos permitió realizar el análisis lingüístico de la expresiones numéricas verbales en castellano y mostrar el carácter operatorio de las mismas.

67

Un primer análisis de las expresiones verbales en castellano y de las regularidades que de el se derivan, se presento en una conferencia, dictada por Mariela Orozco, en calidad de conferencista invitada, en el marco del I Encuentro Colombiano de Educación Matemática. Universidad Distrital, entre el 14 y 16 de Octubre, 1999, Bogotá. A partir de la categoría “errores sintácticos” asignada a las notaciones arábigas erradas que introducen modificaciones que afectan la magnitud del numeral, categoría ampliamente reconocida por otros investigadores, se realizó un análisis exhaustivo de las producciones erróneas de los niños, cuando traducen las expresiones numéricas verbales que se les dictan, a los códigos y reglas del formato arábigo. El análisis se realiza desde la perspectiva del proceso que lleva al niño al error y provee una descripción detallada de la fragmentación que los niños realizan del formato verbal que escuchan y de la manera como codifican las partículas que obtienen. Esta descripción permite formular un conjunto de preguntas e hipótesis sobre el proceso que probablemente los niños siguen para cometer el error. Es importante destacar este logro pues se convierte en un elemento esencial para la elaboración del modelo de procesamiento numérico, objetivo que nos proponemos alcanzar en el futuro inmediato. Desde la perspectiva metodológica, señalamos como aportes:

• En el campo de la investigación, si bien encontramos algunas limitaciones, reconocerlas nos permite proponer cambios metodológicos para implementar un modelo de procesamiento numérico. Señalamos entonces que en una próxima investigación, para poner a prueba las hipótesis que se han generado, debe realizarse un diseño experimental de las tareas, consideramos como aspectos a destacar:

Los niños deben leer lo que escriben, con el fin de confirmar supuestos en relación con la fragmentación.

Es necesario ejercer un mayor control en la presentación de las tareas. Por ejemplo, en el dictado, sistematizar la manera de pronunciar los numerales, utilizando una grabación, de tal manera que a todos los niños se presente un solo tipo de estímulos. Igualmente, controlar sistemáticamente las variaciones en los numerales: por ejemplo, 3.400, 3.040, 3.004.

Durante el dictado, se le debe solicitar al niño que piense antes de escribir. En el dictado se deben presentar todos los ítems que correspondan a un

rango de edad determinado. • En el campo de la educación matemática, se implementó un modelo de

intervención con niños que cursan la básica primaria, cuyo objetivo principal se centra en la construcción y comprensión de los niños del sistema de numeración en base 10. El modelo de intervención contempla en una primera etapa la formación de maestros. El modelo propuesto parte de los análisis de esta investigación y se aplica en el marco de otra investigación, financiada por COLCIENCIAS: “Diagnóstico de las dificultades de escolares en relación con la comprensión del sistema de notación en base diez”.

68

VIII. IMPACTO ACTUAL DE LA INVESTIGACION En su función educativa, los análisis de esta investigación aportaron las bases para diseñar un seminario de formación de maestros en la ciudad de Cali, en el marco de la investigación “Diagnóstico de las dificultades de escolares en relación con la comprensión del sistema de notación en base diez”. Un segundo aspecto a destacar es la próxima publicación de un libro que contribuya a la formación de maestros en dos temas específicos de esta investigación: la multiplicación y el sistema de notación en base 10. La estructura del libro es la siguiente: I. Multiplicación 1. Contextos para el estudio de la multiplicación

- La multiplicación como tabla de multiplicar - La multiplicación como operación mental - La multiplicación como resolución de problemas

2. Los niños y la multiplicación - Dificultades con la tabla - Estrategias de los niños para resolver problemas multiplicativos - Diferencia entre estrategias aditivas y estrategias multiplicativas

3. Cómo enseñar a multiplicar - Transformación de enumeraciones a adiciones: tareas y estrategias de

enseñanza - Cómo enseñar a sumar: tareas y estrategias de enseñanza - Cómo enseñar a multiplicar: tareas y estrategias de enseñanza

II. El sistema de notación en base 10 1. Contextos para el estudio del sistema de notación en base 10

- Enfoque histórico - Enfoque psicolingüístico - Enfoque Operatorio

2. Los niños y el sistema - Dificultades con el sistema: composición aditiva y multiplicativa - Dificultades con el sistema: noción de unidad - Dificultades con el sistema: relaciones de orden y equivalencia

3. Cómo enseñar el sistema - Las unidades en el sistema: tareas y estrategias de enseñanza - Manejo operatorio del sistema: tareas y estrategias de enseñanza - Relaciones de orden y equivalencia: tareas y estrategias de enseñanza

69

Igualmente, los resultados de esta investigación se publicarán en revistas internacionales, así: Artículo 1: Errores de los niños al escribir numerales dictados, se enviará a la revista Cognitiva de España. Artículo 2: Relación entre construcción de la multiplicación y el uso del sistema notacional en base 10, se enviará a la revista Educación Matemática, de México. Traducciones y adaptaciones de estos de los artículos se enviarán a las revistas europeas British Journal of Educational Psychology y European Journal of Cognitive Psychology.

70

IX. RESULTADOS INDIRECTOS

Resultados indirectos Compromiso adquirido Logros Capacitación: Comprensión por sujetos sordos del sistema de notación en base 10, signado en lenguaje de señas Colombiano

Trabajo de grado de maestría del estudiante Juan Carlos Manrique

Anteproyecto

Publicaciones Nacionales El Análisis de Tareas: Cómo utilizarlo en la enseñanza de la matemática en primaria.

Publicado en: Revista EMA. Investigación e innovación en educación matemática. Vol. 5, 2, marzo de 2000, p. 139-151

Bogotá, Colombia

Publicaciones Internacionales Los niños e sus dificultades con el sistema notacional en base diez

Publicado en: Revista de Educaçao: Projeto matemática. Ano II, número 03, Julho / Dezembro 2000, p. 20-28

Porto Alegre, Brasil

Otras Publicaciones Relación entre construcción de la multiplicación y el uso del sistema notacional en base diez. Errores de los niños al escribir numerales dictados

Artículos presentados para publicación en: 1. Cognitiva. ISSN0214-3550.

Publicación semestral Educación Matemática. ISBN 970-625-107-3

1. Revista española 2. Revista mexicana

Participación de eventos Análisis del sistema de notación en base 10 y sus implicaciones para la enseñanza de los naturales en primaria Porque se equivocan los niños al escribir numerales

I Encuentro Colombiano de Educación Matemática. Universidad Distrital. 14-16 de Octubre, 1999, Bogotá III Congresso Brasileiro de Psicologia do Desenvolvimento: Desenvolvimento Humano e Práticas Sociais. 13 – 15 de julho de 2000, Universidade Federal Fluminense,

Conferencista invitada

71

Resultados indirectos Compromiso adquirido Logros Niteroi/RJ

Realización de eventos Seminario taller de formación de Maestros en la enseñanza del sistema de notación en base 10. Este seminario se realiza en el marco del proyecto “Diagnóstico de las dificultades de escolares para comprender el sistema de notación en Base diez. Proyecto financiado por COLCIENCIAS

Participaron 30 maestros que trabajan en los 6 primeros grados de la educación básica primaria (incluido, transisición), en las escuelas públicas de Cali.

I

TABLA DE CONTENIDO 0. INTRODUCCIÓN.............................................................................1 I. REFLEXIONES CONCEPTUALES .................................................2

1. EL SISTEMA DE NOTACIÓN EN BASE 10 .................................................... 2 1.1. Enfoque Histórico...................................................................................... 2

1.1.1. Sistemas híbridos ............................................................................... 3 1.1.2. Sistemas posicionales ........................................................................ 4

1.2. Enfoques Psicológicos .............................................................................. 4 1.2.1. Enfoque Psicolingüístico..................................................................... 4 1.2.2. Enfoques evolutivos: psicolingüístico y valor de posición................... 7

1.3 Análisis Operatorio del sistema.................................................................. 9 1.3.1. Numerales arábigos............................................................................ 9 1.3.2. Expresiones numéricas verbales en castellano................................ 11

2. LA MULTIPLICACIÓN ................................................................................... 14 2.1. La multiplicación en el contexto de la resolución de problemas.............. 14 2.2. Diferencias entre estrategias aditivas y multiplicativas............................ 15

II. METODOLOGÍA............................................................................17 1. Diseño............................................................................................................ 17 2. Muestra.......................................................................................................... 17 3. Tareas............................................................................................................ 19

3.1. Sistema de notación en base 10 ............................................................. 19 3.1.1. Tarea de escritura de numerales ...................................................... 19 3.1.2. Tarea de equivalencia ...................................................................... 20

3.2. Multiplicación........................................................................................... 22 3.2.1. Tareas de proporción simple ............................................................ 22 3.2.2. Tareas de producto de medida ......................................................... 23

4. Procesamiento............................................................................................... 23 III. RESULTADOS ..............................................................................24

1. Relaciones entre tareas de multiplicación y sistema de notación .................. 24 1.1. Análisis de correlaciones......................................................................... 24 1.2. Análisis de correspondencias.................................................................. 25

2. Características individuales ........................................................................ 27 3. Multiplicación ................................................................................................. 28

3.1. Tarea de proporcionalidad ...................................................................... 29 3.2.Tarea de producto de medida .................................................................. 30 3.3. Relaciones entre los indicadores de las tareas de multiplicación............ 30

4. Manejo del Sistema de Notación en Base 10 ................................................ 32 4.1. Escritura .................................................................................................. 32 4.2. Equivalencia............................................................................................ 35 4.3. Relación entre los indicadores de las tareas relativas al sistema ........... 36

5. Tipos de error de escritura............................................................................. 37

II

IV. CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN ..................................................48 V. BIBLIOGRAFIA .................................¡Error! Marcador no definido. VI. ALCANCE DE LOS RESULTADOS OBTENIDOS Y SU RELACIÓN CON METAS Y PROUESTAS.............................................................66 VII. APORTES TEORICOS Y METODOLOGICOS.............................66 VIII. IMPACTO ACTUAL DE LA INVESTIGACION .............................68 IX. RESULTADOS INDIRECTOS........................................................70

III

TABLAS

Tabla 1. Distribución de niños según edad/grado.............................................................................................17 Tabla 2. Distribución de sujetos según capacidad mental ................................................................................18 Tabla 3. Rango numérico y número de ítems en función de grado ...................................................................19 Tabla 4. Variaciones en los numerales dictados en función de grado ..............................................................20 Tabla 5. Tarea de equivalencia: números utilizados en función de grado........................................................21 Tabla 6. Calificación de logro para la tarea de equivalencia...........................................................................22 Tabla 7. Tarea de producto de medida: problemas propuestos en función de grado .......................................22 Tabla 8. Correlaciones entre logros de tareas y estrategias.............................................................................25 Tabla 9. Correlaciones entre el éxito en las tareas, la edad y los instrumentos ...............................................28 Tabla 10. Tarea de proporción: distribución de porcentajes de éxito y fracaso en función de tipo de estrategia utilizada.............................................................................................................................................................29 Tabla 11. Tarea de producto de medida: distribución de porcentajes de éxito y fracaso en función de tipo de estrategia utilizada ............................................................................................................................................30 Tabla 12. Relación entre estrategias utilizadas al resolver las dos tareas de multiplicación...........................31 Tabla 13. Correlación entre éxito y tipo de estrategia al resolver tareas de multiplicación ............................31 Tabla 14. Porcentaje de éxito en función de grado e ítem ................................................................................34 Tabla 15. Tarea de equivalencia, frecuencia y porcentajes de logro................................................................36 Tabla 16. Correlaciones entre escritura y equivalencia en función de grado...................................................36 Tabla 17. Errores sintácticos, frecuencia y porcentaje de ocurrencia..............................................................38

IV

GRAFICOS Gráfico 1. Análisis de correspondencias múltiples ...........................................................................................26 Gráfico 2. Resultados del EFT ..........................................................................................................................27 Gráfico 3. Frecuencia de producciones correctas en escritura ........................................................................32 Gráfico 4. Distribución de producciones correctas en escritura en función de grado .....................................33 Gráfico 5. Relación tipos de error/grado ..........................................................................................................46