Manual de Calculo Integral Secuencia 1_2015

2015

MANUAL DE CALCULO INTEGRAL

Ciclo escolar: Febrero – Julio 2015 Recopilado y Presentado por:

Ing. Trinidad del Carmen Rodríguez Cámara

[email protected]

Escuela Preparatoria Diurna.

Academia que presenta:

ACADEMIA DE MATEMÁTICAS.

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL CARMEN


2

|

INDICE

Introducción

3

Bloque I Diferenciales e integral indefinida.

Diferenciales 6

Práctica 1 11

Práctica 2 14

Integral Definida 18 Práctica 3 24

Integrales por sustitución 28

Práctica 4 31

Integrales Trascedentes y Logarítmicas 35

Práctica 5 37

Práctica 6 40

Bibliografía 44


3

INTRODUCCION

El cálculo Integral se introduce normalmente como el método inverso del

cálculo diferencial, lo cual se puede justificar y comprobar desde el punto de vista matemático. Sin embargo, para muchos permanece el concepto abstracto de un cálculo diferencial inverso sin significado ya que no pueden relacionarse fácilmente la derivación y la integración como tales procesos inversos.

El Manual de Cálculo Integral está dirigido a estudiantes de bachillerato

como parte de la unidad de aprendizaje llamada calculo integral ubicada en el sexto semestre. En él se encontraran las técnicas para resolver ejercicios acorde a cada objeto que conforme la unidad de aprendizaje. La Unidad de Aprendizaje está dividida en tres bloques: BLOQUE I: Diferenciales e integral indefinida. Se presenta el concepto de la diferencial, se resolverán problemas mediante las diferenciales. Se abarca el concepto de la antiderivada. BLOQUE II: Integral indefinida y métodos de integración.

. Se aplican los fundamentos teóricos para la resolución de ejercicios de los siguientes métodos: cambio de variable, integración por partes, sustitución trigonométrica y e integración por fracciones parciales. BLOQUE III: Teorema fundamental del cálculo y las aplicaciones de la integral definida.

Se realizarán ejercicios en donde se aplique el Teorema Fundamental del Cálculo, se muestran las aplicaciones de la integral definida que ponen de relieve no sólo las técnicas que se deben manejar, sino también los principios fundamentales involucrados. La intención del manual es contribuir al desarrollo de las competencias disciplinares: 2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. 3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. 4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las tecnologías de la información y la comunicación.


4

7. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos. Finalmente como parte del proceso formativo de la evaluación se anexan los instrumentos que permitan medir el desempeño de las actividades realizadas dando validez al desarrollo de las competencias propuestas.

SUSTENTO TEORICO

Este material que lleva por nombre Manual de Cálculo Integral, servirá para

hacer más comprensible el tema de las integrales a los estudiante de sexto

semestre podrá aplicar los conceptos de diferencial e integral indefinida, para

solucionar problemas de aproximación, aplicar métodos y técnicas establecidas

para resolver integrales indefinidas por, cambio de variable, integración por partes,

sustitución trigonométrica y fracciones parciales.

Este manual abarca los objetos de aprendizaje de las tres secuencias de la

Unidad de Aprendizaje de Cálculo Integral, pretende que el estudiante de

Preparatoria que cursa como optativa esta Unidad de Aprendizaje logré aaplicar

los conceptos y propiedades de la integral definida, métodos y técnicas de

integración, en la resolución de problemas relacionados con el cálculo de áreas y

problemas vinculados con las ciencias experimentales y sociales.


5

Objetivo: Aplicar los

conceptos de

diferencial e integral

indefinida, para

solucionar problemas

de aproximación.


6

DIFERENCIALES

CONCEPTO

La diferencial de una función es el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.

Para expresar la derivada de una función podemos utilizar cualquiera de las formas siguientes:

Df(x) Cauchy f′(x) Lagrange y′ Lagrange

dx

dy

Leibniz

Por lo tanto:

Derivada: yxfxDf

x

ylím

dx

dy

x

)()(

0

Sea la función y = f(x), la primera derivada se expresa)(xf

dx

dy

. Si multiplicamos ambos miembros por dx, tenemos:

Que aceptamos como otra definición de la diferencial de una función. Ésta se lee: la diferencial de una función es igual al producto de la derivada por la diferencial de la variable independiente.

Definición: Sea )(xfy una función derivable en un intervalo abierto que contiene a x. La diferencial de x (denotada dx) es cualquier número real no nulo. La diferencial de y (denotada dy) es.

dxxfdy )('

En muchas aplicaciones, la diferencial de y se puede utilizar como aproximación del cambio en y. Es decir.

dyy o dxxfy )('

dxxfdy )(


7

Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferenciales. Se llama

diferencial de la variable independiente x, denotada por dx, al incremento ;

esto es .

Objetivo

Aplicar el concepto de diferencial y sus definiciones en la resolución de problemas de aproximación de incremento y de errores pequeños, utilizando las reglas de diferenciación y relacionándolo con ciencias naturales, económico administrativas y sociales.

Descripción

En esta práctica el estudiante usara el concepto de diferencial para estimar el Cálculo de errores al efectuar mediciones (Valor Real menos Valor Aproximado), Cálculo de Variaciones de la variable dependiente cuando la variable independiente varía “un poco” y Aproximar valores de funciones.

Técnica

Encontrar el producto de la derivada de la función por el incremento de la variable independiente.

Procedimiento

a) Encontrar el valor de la primera derivada

b) Expresar la derivada acode a la forma propuesta por Leibniz ( dx

dy

)

c) Despejar el la diferencial de x (dx)

d) Obtener el valor de la diferencial de la variable dependiente dxxfdy )(

Material

Materiales:

Hojas blancas Lápiz Formulario


8

Ejemplos:

1. Calcula la diferencial de la función 236 xxy Paso 1.- Encontrar la primera derivada

2´ 18 2y x x

Paso 2.- Expresar en términos de dx

dy

218 2dy

x xdx

Paso 3.- Despejar dx

218 2dy x x dx

Paso 4.- Valor de la diferencial

218 2dy x x dx

2. Calcula la diferencial de la función 32 xy Paso 1.- Encontrar la primera derivada

2 1´

2 2 3 2 3y

x x

Paso 2.- Expresar en términos de dx

dy

1

2 3

dy

dx x

Paso 3.- Despejar dx

1

2 3dy dx

x


9

Valor medido

Valor Exacto

Paso 4.- Valor de la diferencial

218 2dy x x dx

Problemas que se resuelven en forma aproximada, calculando el incremento de una función. APROXIMACIÓN POR MEDIO DE DIFERENCIALES.

Propagación del error.

Los físicos y los ingenieros tienden a usar dy como aproximación de y de

un modo muy libre. Tal sucede en la práctica al estimar errores propagados a

partir de los cometidos por los aparatos de medida. Por ejemplo, si x denota el

valor medido de una variable y x + x representa el valor exacto, entonces x es

el error de medida. Finalmente, si el valor medido de x es utilizado en el cálculo

de algún otro valor f(x), la diferencia entre )( xxf y )(xf es el error propagado.

3. La medida del radio de una bola de cojinete resulta ser 0,7 pulgadas. Si ese

aparato de medida comete un error no superior a 0,01 pulgadas, estimar el error

propagado en el volumen de la bola.

Solución: La fórmula para el volumen de una bola es 3

3

4rV , donde r es el

radio. Así pues, podemos escribir

r = 0,7 Radio medido

y

-0,01 r 0,01 Posible error

Para aproximar el error propagado en el volumen, derivamos V, con lo que

se obtiene dV/dr = 24 r y escribimos

Error de medida

Error propagado

yxfxxf )()(


10

dVV Aproximar ΔV por dV

06158,0

)01,0()7,0(4

4

2

2

drr

Sustituir r y dr

Por lo tanto, el volumen tiene un error propagado de unas 0,06 pulgadas cúbicas.

4. Calcular el incremento aproximado del área de un cuadrado de lado de 5 m, si

éste recibe un aumento de 0.002 .

Solución:

Fórmula del área de un cuadrado: 2lA

l = 5 m

Δl = 0.002 m

dA = 2l ∙ dl

dA = 2(5)(0.002) = 0.020 m2

5. Si 636 , calcular el valor aproximado de 38 .

Función: xy

636

Δx = 38 – 36 = 2

xy

166.06

1

362

2

2

x

dxdy

166.6166.0638

166.638

.

Incremento = 0.020 m2


11

Práctica 1

Calcula las diferenciales de las siguientes funciones

1. y x (5 )3

2. y e x 4 2

3. yx

x

sen

4. y x arccos2

5. y bx cos 2

6. ( )

7. ( )

8. ( ) √


12

9. ( )

10. ( )

11. ( )

12. ( ) √

13. ( ) ( √ )

14. ( ) √( )


13

15. ( )

16. ( ) ( )

17. ( ) ( )

18. ( ) ( )

19. ( ) 20. ( ) ( )


14

Práctica 2 En los siguientes problemas, emplee la "ecuación" de aproximación lineal para estimar el valor de la expresión dada:

f x x f x f x dx( ) ( ) ( )

1. 37

2. 3 26

3. 35

4. (28)2

5. 67

6. 46


15

7. (127)3 8. 253

9. 3 67 10. 3 345

11. Los balones de futbol puede sufren pequeñas variaciones dependiendo de las condiciones del lugar donde se efectúa el partido o por las características de construcción del balón. El diámetro de un balón es de 28 cm y con el calor puede aumentar hasta 28.7 cm, ¿Cuánto varia el área del balón?

12. Al calentar una placa cuadrada de 15 cm de longitud, su lado aumenta 0.04 cm ¿Cuánto aumento aproximadamente su área?


16

13. Emplee diferenciales para estimar el incremento en el volumen de un cubo cuando sus lados cambian de 10 a 10.1 cm.¿Cuál es el incremento exacto en el volumen? Resp. 30 pulg3 ; 30.301 pulg3

14. Un globo esférico se infla con gas. Use diferenciales para estimar el incremento del área de la superficie del globo cuando el diámetro varia de 60 a 60.6 cm.

15. Al enfriar una placa cuadrada metálica de 20 cm. de longitud, su lado disminuye un 0.03%. ¿Cuánto disminuirá porcentualmente su área?

16. Debido al uso, un balín de hierro que tiene 10 cm de radio, sufre un desgaste hasta que su radio disminuye a 9.2 cm. Determina la disminución en el volumen y en el área del balín.

17. Las medidas de la base y de la altura de un rectángulo han dado 36 cm y 50 cm, con una cota de error en las medidas de 0,25 cm. Aproximar, usando diferenciales, la cota de error propagado al calcular su área.

18. La resistencia eléctrica R de un conductor (cable) es directamente proporcional a su longitud e inversamente proporcional al cuadrado de su diámetro. Suponiendo que la longitud es constante, ¿con qué precisión debe medirse el diámetro (en términos del error porcentual) para mantener el error porcentual de R entre -3% y 3%?


17

19. Al calcular la altura de un cerro se encuentra que desde un punto situado a100m de la proyección en el suelo de la parte más alta del cerro, esta última se ve con un ángulo de elevación de 30º. Encuentre aproximadamente el mayor error que se comete al calcular la altura, sabiendo que la medición del ángulo se hace con un posible error de 0.3º.

20. La medida de la circunferencia de un círculo ha dado 56 cm, con cota de error de 1,2 cm. Aproximar el porcentaje de error en el cálculo del área del círculo.


18

INTEGRAL INDEFINIDA

CONCEPTO

LA INTEGRAL

Primitivas e integración indefinida.

Primitivas

Supongamos que se nos pide encontrar una función F cuya derivada sea

23)( xxf

Por lo que sabemos de derivación, probablemente diríamos que.

233 3)( xxdx

dqueyaxxF

La función F es una primitiva (o antiderivada) de f. En general, una función

F es una primitiva (o antiderivada) de f en un intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x

en I.

Decimos que F es una primitiva de f y no que es la primitiva de f. La razón

es que, por ejemplo.

97)(,5)(,)( 3

3

3

2

3

1 xxFyxxFxxF

son, todas ellas, primitivas de f(x) = 3x2. De hecho, para cualquier valor de la

constante C, F(x) = x3 + C es primitiva de f.

TEOREMA 1.- FAMILIA DE PRIMITIVAS

Si F es una primitiva de f en un intervalo I, entonces G, es una

primitiva de f en I si y sólo si G es de la forma

CxFxG )()( , para todo x en I

donde C denota una constante.


19

Integrando

Según el TEOREMA 1. se puede representar todas las primitivas de una

función añadiendo una constante a una primitiva concreta conocida. Así, una vez

sabido que xxDx 22 la familia de todas las primitivas de f(x) = 2x viene dada por

CxxG 2)( Familia de todas las primitivas de f(x) = 2x

donde C es una constante, llamada constante de integración. La familia de

funciones representada por G se llama la primitiva general de f, y G(x) = x2 + C

es la solución general de la ecuación diferencial.

xxG 2)(' Ecuación diferencial

Una ecuación diferencial en x e y es una ecuación que involucra a x, a y y

a derivadas de y. Por ejemplo, y’ = 3x o y’ = x2 + 1 son ecuaciones

diferenciales.

Notación para las primitivas

Al resolver una ecuación diferencial de la forma.

)(xfdx

dy

conviene expresarla en la forma equivalente

dxxfdy )(

La operación de hallar todas las soluciones de esta ecuación se llama

integración indefinida o antiderivación, y se denota por un signo integral . La

solución general se denota por

CxFdxxfy )()(

Variable de integración

Constante de integración


20

La expresión dxxf )( se lee «la integral indefinida de f con respecto a x». Así

pues, la diferencial dx sirve para identificar x como la variable de integración.

En este libro, siempre que escribimos CxFdxxf )()( queremos

significar que F es una primitiva de f en un intervalo.

Objetivo

Aplicar el concepto de integral indefinida.

Descripción

A la operación de calcular la antiderivada (primitiva) de una función se le llama integración y se

denota por el símbolo que es la inicial de la palabra suma.

Si F(x) es una función primitiva de f(x) se expresa:

CxFdxxfy )()( si y solo si F´(x) + C = f(x)

La expresión dxxf )( es la antiderivada de F(x).

es el signo de integración, se lee integral de

f(x) integrando dx Diferencial de la variable x Variable de integración F(x) función primitiva C Constante de integración

Si en la expresión CxFdxxfy )()(

Y como en la definición de la anti derivada señalamos que F´(x)=f(x), sustituimos en la expresión anterior

CxFdxxF )()´(

queda

CxFdx

ddxxf

dx

d )()(

)´()( xFxf

como la derivación y la integración son operaciones inversas, ello nos permite obtener las

fórmulas de integración directamente de las fórmulas de derivación.


21

Técnica

Aplicar las fórmulas de integración inmediata

FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.

1. Cxfdxxf

dx

d )()(

2. dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3. ,)()( dxxfadxxaf a constante arbitraria

4. 1,1

1

mCm

xdxx

mm

5. CxLnx

dx

Procedimiento

Paso 1. Simplificar lo que se quiere integrar por un procedimiento algebraico.

Paso 2. Clasificar el integrando de acuerdo a su forma.

Paso 3. Anotar la fórmula que usara para resolver y sustituir.

Paso 4. Simplificar si el proceso lo requiere

Paso 5. Obtener el resultado

Material


Ejemplos

1. Resuelve la siguiente integral 1xdx

x


1xdx

x x

por algebra se obtienen 2 fracciones


22


dxxx 2/12/1

se clasifica como una integral con exponentes fraccionarios

Paso 3. Anotar la fórmula que usara para resolver y sustituir.

1

, 11

nn x

x dx C nn

1

12

11

2

x

+

11

2

11

2

xC

Integrar


=2/3

2/3x +

1/2

1/ 2

x=

2/3

3

2x +

1/22x


1xdx

x

2/3

3

2x + Cx 2/12

2. Resuelve la integral dtt 22 )1(


dttt )12( 24 se desarrolla el binomio


4 2 4 2( 2 1) 2t t dt t dt t dt dt 2 integrales son con exponentes y la tercera

es la integral de la constante 1 Paso 3. Anotar la fórmula que usara para resolver y sustituir.

∫

∫

4 1 2 1

24 1 2 1

t tt



23

5 31 2

5 3t t t


Cttt 35

3

2

5

1


24

Práctica 3

Calcular cada una de las siguientes integrales.

1. x dx4

2. dx

x 2

3. dx

x3

4. ( )4 22x x dx

x

5.

6.

http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solinm1.gif



25

7.

8.

9.

10.

11.

12.








26

13. dxxx )4(3

14. dxxx )12( 2/3

15.

16. dxxx )23()1(

17. dxx

x

2

2 1

18. dyyy 2



27

19. dxx

x

2

3 3

20. dtt 22 )12(

21. dxx 14 3

22. dtt 2)31(

23. dxx

xx

12

24.

dx

xx

2

1

25. dxx

xx

12


28

INTEGRAL POR SUSTITUCION

CONCEPTO

Existen varias técnicas para aplicar una sustitución pero el propósito de todas es identificar en el integrando una función que este multiplicada por la diferencial de esa función, y así, poder aplicar una fórmula de integración.

En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se escoge una literal. En nuestro caso se eligió la u, que se iguala a la función que incluye el integrando, por ello es necesario señalar que está en función de la variable de dicha función

Objetivo

Aplicar las formulas inmediatas de integración a través del cambio de variable.

Descripción

Para hallar una primitiva ,)( dxxf suele resultar útil sustituir x por una nueva

variable u por medio de una sustición .)('),( duugdxugx

La ecuación

duugugfdxxf )(')(()( es válida.

Técnica

Sustitución por cambio de variable

Procedimiento

Paso 1. Identificar en el integrando una función que este multiplicada por la

diferencial de esa función Paso 2. Encontrar la diferencial de la función encontrada.

Paso 3. Realizar la sustitución y completar la diferencial

Paso 4. Integrar y simplificar



29

Material


Ejemplos

1. Integrar dxx 11)3(


diferencial de esa función Para hallar dxx 11)3( sustituimos x + 3 por u; esto es, hacemos

x = u - 3. Entonces dx = du y obtenemos

Paso 2. Encontrar la diferencial de la función encontrada.

Si 3u x la diferencial es du dx


( )nu du


1 11 1 12

( )1 11 1 12

n

nu u u

u dun


12 12

3

12 12

u xC

2. Resuelve la integral dxxx 2213


diferencial de esa función

dxxx 2213 por medio del método de sustitución.Hacer 221 xu , , Paso 2. Encontrar la diferencial de la función encontrada.

Si 221 xu , la diferencial es dxxdu 4



30

3 u du si dxxdu 4 la diferencial se debe completar

13 4

4u du


1/2 2 3/2 2 3/21 3 2 13 ( ) 4 (1 2 ) (1 2 )

4 4 3 2u du x x


2 2 3/213 1 2 (1 2 )

2x x dx x C


31

Práctica 4

Mediante cambio de variable resuelva las siguientes integrales algebraicas

1. ∫( )

2. dx

x2

3. a bxdx

4. dy

a by

5. x x dx( )2 2 2

6. t t dt2 32

7. 4

8

2

3

x dx

x

8. ( )a x dx

x

2


32

9. t dt

a bt

2

3 2( )

10. ( )x dx

x x

2

3

1

3

11. ( ln )2

x dx

x

12. ( )2 3

32

x dx

x x

13. e d

a be

14. sec2 ydy

a btany


33

15. ( )2 3

2

x dx

x

16. ( )x dx

x

4

2 3

17. ∫ ( ) ⁄

18. 322

x

xdx

19. 13

2

x

dxx

20. 4953 22

dxx-x


34

21. ∫√

22. ∫

( )

23. ∫

√

24. ∫

25. ∫

26. ∫

27. ∫ 28. ∫

√


35

INTEGRALES TRASCENDENTES Y LOGARITMICAS

CONCEPTO

Existen varias técnicas para aplicar una sustitución pero el propósito de todas es identificar en el integrando una función que este multiplicada por la diferencial de esa función, y así, poder aplicar una fórmula de integración.

En el método de sustitución, llamado también cambio de variable, se escoge una literal. En nuestro caso se eligió la u, que se iguala a la función que incluye el integrando, por ello es necesario señalar que está en función de la variable de dicha función

Objetivo

Aplicar las formulas inmediatas de integración a través del cambio de variable.

Descripción

Para hallar una primitiva ,)( dxxf suele resultar útil sustituir x por una nueva

variable u por medio de una sustición .)('),( duugdxugx

La ecuación

duugugfdxxf )(')(()( es válida.

Técnica

Sustitución por cambio de variable

Procedimiento


diferencial de esa función Paso 2. Encontrar la diferencial de la función encontrada.





36

Material


Ejemplos

1. Resuelve la integral ,2

1dxxsen


diferencial de esa función

,2

1dxxsen haciendo

2

1u , dxdu

2

1 ,

Paso 2. Encontrar la diferencial de la función encontrada.


Si dxdu2

1 la integral se debe completar

12 ( )( )

2sen udu senu du


12

2Cos x


1 1

22 2

sen xdx Cos x C


37

Práctica 5

Resuelve las siguientes integrales exponenciales

1. dx

e x

2. 10x dx

3. e dx

x

x

4. e e dxx

a

x

a

2

5. e xdxxsen cos

6. dxexx

5


38

7. e

xdx

x

3

8.

9. dxex 22

10. dxxe

xx)2(

342

11. dxaexx 55

12. dxba

baxx

xx

2

)(

http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust11.gif


39

13. dx

e

ex

x

43

14. 2xa x dx

15.

16.

17. 3

12.x

dx

e

18. 32 xx e dx

19. 24 x

dx 20.

ln5 x

dxx

http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Solsust9.gif



40

Práctica 6

Calcula las siguientes integrales trigonométricas

1. sen2xdx

2. secax dx

3. sec3 3t tan t dt

4. cot x dx

2

5.

dx

xsen2

6. tan d cot

2

7. ∫

8. ∫ ( )


41

9. ∫ ( )

10.

dx

x1 sen

11.

dx

x xcsc cot2 2

12. x

dx

3 ctg

13.

dx

xx

4ctg4 tg

14. dxeexx

) (ctg


42

15. ∫

16. dxxx2

3cos

17. dxx tg2

18. x

dxxcos

19. ∫

20. 2tan sec

2 2

x xdx


43

21. ∫

22. ∫

23. ∫ √

√

24. ∫

25. 23

dt

Sen t

26. 2

dx

Cos x


44

BIBLIOGRAFIA

Granville, W. (2009). Cálculo Diferencial e Integral. México: Editorial Limusa.

Contreras, L. (2010) Cálculo diferencial e integral, Físico-matemáticas y químico-

biológicas. México: Editorial Santillana.

Cuellar, J.(2008). Cálculo Integral. México: Editorial McGraw-Hill.

Cuesta, V.(2008). Cálculo Integral con enfoque en competencias. México: Editorial Book

Mart.

Ibañez, P.(2008). Cálculo Integral. México: Editorial CENGAGE Learning.

Larson, R. (2002). Cálculo diferencial e integral. México: Editorial McGraw-Hill.

Ortiz, A. (2007). Cálculo Calculo Integral. México: Editorial Patria

Stewart, J. (2007). Cálculo Diferencial e Integral. México: Editorial CENGAGE Learning.

Stewart, J. (2010). Cálculo Conceptos y Contextos. México: Editorial CENGAGE

Learning.


45


46

Universidad Autónoma del Carmen Coordinación de la Función Académica

Escuela Preparatoria Diurna. Unidad Académica del Campus II

Instrumento de evaluación:

LISTA DE COTEJO Tipo de

evaluación: SUMATIVA/FORMATIVA

Departamento: MATEMATICAS Academia: MATEMATICAS

Unidad de Aprendizaje

Curricular:

Calculo Integral

Semestre: Sexto Número de secuencia: Grupo:

Bloque: Evidencia:

Competencias Genéricas

Atributos Nombre del Estudiante:

Nombre del Docente:

Porcentaje: Fecha de aplicación:

Características Cumple

Si No

PRESENTACION Entrega el manual o cuaderno de trabajo

limpio y ordenado

Entrega puntual, en la hora y fecha acordada

CONTENIDO ¿Letras, números y símbolos son legibles?

Calcula integrales acorde al método de

solución.

En el desarrollo se indica y hace evidente la

realización de todos los pasos que incluye el ejercicio.

Realiza las operaciones algebraicas incluidas

en cada ejercicio.

Anota la formula a emplear en cada ejercicio.

Contiene los ejercicios de autoevaluación

Contiene el total de ejercicios marcados

Encuentra el resultado correcto en el 80% de

los ejercicios

Observaciones

Evaluó Fecha

Nombre y firma

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Manual de Calculo Integral Secuencia 1_2015