Integralgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA...Odreƒeni integral Motivacija Motivacija. Odreƒivanje povrıine nepravilnih ravninskih likova. Uoµcimo: meƒu

Integral

Jelena Sedlar

Fakultet gra�evinarstva, arhitekture i geodezije

Jelena Sedlar (FGAG) Integral 1 / 71

Odre�eni integralMotivacija

Motivacija. Odre�ivanje površine nepravilnih ravninskih likova.

Uocimo: me�u ravninskim likovima postoje

pravilni ravninski likovi (trokut, pravokutnik, te pravilni mnogokuti),

nepravilni ravninski likovi (svi ostali).

Pravilni likovi Nepravilni likovi



Motivacija.

Odre�ivanje površine nepravilnih ravninskih likova.















Uocimo:

me�u ravninskim likovima postoje















pravilni ravninski likovi

(trokut, pravokutnik, te pravilni mnogokuti),















nepravilni ravninski likovi

(svi ostali).















Pravilni likovi

Nepravilni likovi









Odre�eni integral

Uocimo da:

površinu pravilnih likova znamo odrediti,

površinu nepravilnih likova ne znamo odrediti (bar ne još)!

Pitanje. Kako odrediti površinu nepravilnih ravninskih likova?Odgovor. Osnovna ideja - aproksimiramo površinu nepravilnog ravninskoglika površinama pravilnih ravninskih likova.


Odre�eni integral

Uocimo da:





Odre�eni integral

Uocimo da:


površinu nepravilnih likova ne znamo odrediti

(bar ne još)!



Odre�eni integral

Uocimo da:





Odre�eni integral

Uocimo da:



Pitanje.

Kako odrediti površinu nepravilnih ravninskih likova?Odgovor. Osnovna ideja - aproksimiramo površinu nepravilnog ravninskoglika površinama pravilnih ravninskih likova.


Odre�eni integral

Uocimo da:



Pitanje. Kako odrediti površinu nepravilnih ravninskih likova?

Odgovor. Osnovna ideja - aproksimiramo površinu nepravilnog ravninskoglika površinama pravilnih ravninskih likova.


Odre�eni integral

Uocimo da:



Pitanje. Kako odrediti površinu nepravilnih ravninskih likova?Odgovor.

Osnovna ideja - aproksimiramo površinu nepravilnog ravninskoglika površinama pravilnih ravninskih likova.


Odre�eni integral

Uocimo da:



Pitanje. Kako odrediti površinu nepravilnih ravninskih likova?Odgovor. Osnovna ideja -

aproksimiramo površinu nepravilnog ravninskoglika površinama pravilnih ravninskih likova.


Odre�eni integral

Uocimo da:





Odre�eni integral

Primjer iz prakse

Primjer iz povijesti


Odre�eni integral

Primjer iz prakse



Odre�eni integral

Primjer iz prakse



Odre�eni integral

Primjer iz prakse Primjer iz povijesti


Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral

Definicija.

Pseudotrapez je svaki ravninski lik ispod grafa pozitivnefunkcije f nad intervalom [a, b].

Mi cemo razviti matematicki alat za odre�ivanje površine pseudotrapeza.


Odre�eni integral

Definicija. Pseudotrapez je svaki ravninski lik

ispod grafa pozitivnefunkcije f nad intervalom [a, b].



Odre�eni integral

Definicija. Pseudotrapez je svaki ravninski lik ispod grafa pozitivnefunkcije f

nad intervalom [a, b].



Odre�eni integral

Definicija. Pseudotrapez je svaki ravninski lik ispod grafa pozitivnefunkcije f nad intervalom [a, b].



Odre�eni integral




Odre�eni integral




Odre�eni integralDarbouxov odre�eni integral

Definicija. Rastav ili dekompozicija ome�enog intervala [a, b] je svakapodjela tog intervala na podintervale.

Definicija. Rastav ili dekompozicija je ekvidistantna, ako su svipodintervali jednake širine. Širina svih podintervala ekvidistantnedekompozicije oznacava se sa ∆x .

Formalno matematicki: rastav intervala [a, b] ⊂ R je svaki konacan skuptocaka {x0, x1, . . . , xn} za kojeg vrijedi

a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.

Ako je rastav ekvidistantan, onda vrijedi

∆x =b− an

.



Definicija.

Rastav ili dekompozicija ome�enog intervala [a, b] je svakapodjela tog intervala na podintervale.



a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.



Definicija. Rastav ili dekompozicija ome�enog intervala [a, b]

je svakapodjela tog intervala na podintervale.



a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.






a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.




Definicija.

Rastav ili dekompozicija je ekvidistantna, ako su svipodintervali jednake širine. Širina svih podintervala ekvidistantnedekompozicije oznacava se sa ∆x .


a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.




Definicija. Rastav ili dekompozicija je ekvidistantna,

ako su svipodintervali jednake širine. Širina svih podintervala ekvidistantnedekompozicije oznacava se sa ∆x .


a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.




Definicija. Rastav ili dekompozicija je ekvidistantna, ako su svipodintervali jednake širine.

Širina svih podintervala ekvidistantnedekompozicije oznacava se sa ∆x .


a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.




Definicija. Rastav ili dekompozicija je ekvidistantna, ako su svipodintervali jednake širine. Širina svih podintervala ekvidistantnedekompozicije

oznacava se sa ∆x .


a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.






a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.





Formalno matematicki:

rastav intervala [a, b] ⊂ R je svaki konacan skuptocaka {x0, x1, . . . , xn} za kojeg vrijedi

a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.





Formalno matematicki: rastav intervala [a, b] ⊂ R

je svaki konacan skuptocaka {x0, x1, . . . , xn} za kojeg vrijedi

a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.





Formalno matematicki: rastav intervala [a, b] ⊂ R je svaki konacan skuptocaka {x0, x1, . . . , xn}

za kojeg vrijedi

a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.






a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.






a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.

Ako je rastav ekvidistantan,

onda vrijedi

∆x =b− an

.






a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b.


∆x =b− an

.


Odre�eni integral

Rastav intervala [a, b] na n = 4 podintervala

ne-ekvidistantni ekvidistantni


Odre�eni integral


ne-ekvidistantni

ekvidistantni


Odre�eni integral


ne-ekvidistantni

ekvidistantni


Odre�eni integral


ne-ekvidistantni

ekvidistantni


Odre�eni integral


ne-ekvidistantni

ekvidistantni


Odre�eni integral




Odre�eni integral




Odre�eni integral

Definicija.

Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jegornja integralna suma Un definirana sa

Un =n

∑i=1Mi∆x

pri cemu je Mi = sup {f (x) : x ∈ [xi−1, xi ]} .

Alternativni naziv: gornja Darbouxova integralna suma.


Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija.

Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jegornja integralna suma Un definirana sa

Un =n

∑i=1Mi∆x




Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] .

Tada jegornja integralna suma Un definirana sa

Un =n

∑i=1Mi∆x




Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jegornja integralna suma Un

definirana sa

Un =n

∑i=1Mi∆x




Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jegornja integralna suma Un definirana sa

Un =n

∑i=1Mi∆x




Odre�eni integral


Un =n

∑i=1Mi∆x




Odre�eni integral


Un =n

∑i=1Mi∆x


Alternativni naziv:

gornja Darbouxova integralna suma.


Odre�eni integral


Un =n

∑i=1Mi∆x




Odre�eni integral

Geometrijska interpretacija:

aproksimiramo površinu pseudotrapezapozitivne funkcije f nad [a, b].

rastavimo interval [a, b] na n jednakihpodintervala,

nad svakim podintervalom konstruiramopravokutnik koji je Opisan psudotrapezu,na i−tom intervalu je:

∆x baza pravokutnikaMi visina pravokutnika,Mi∆x površina pravokutnika,

Sada jeUn = M1∆x +M2∆x + . . .+Mn∆x

suma površina svih pravokutnika Opisanih pseudotrapezu funkcije.


Odre�eni integral

Geometrijska interpretacija: aproksimiramo površinu pseudotrapezapozitivne funkcije f nad [a, b].







Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral



nad svakim podintervalom konstruiramopravokutnik koji je Opisan psudotrapezu,

na i−tom intervalu je:





Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral








Odre�eni integral




∆x baza pravokutnika

Mi visina pravokutnika,Mi∆x površina pravokutnika,




Odre�eni integral




∆x baza pravokutnikaMi visina pravokutnika,

Mi∆x površina pravokutnika,




Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral

Definicija.

Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jedonja integralna suma Ln definirana sa

Ln =n

∑i=1mi∆x

pri cemu je mi = inf {f (x) : x ∈ [xi−1, xi ]} .

Alternativni naziv: donja Darbouxova integralna suma.


Odre�eni integral


Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jedonja integralna suma Ln definirana sa

Ln =n

∑i=1mi∆x




Odre�eni integral


Tada jedonja integralna suma Ln definirana sa

Ln =n

∑i=1mi∆x




Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jedonja integralna suma Ln

definirana sa

Ln =n

∑i=1mi∆x




Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jedonja integralna suma Ln definirana sa

Ln =n

∑i=1mi∆x




Odre�eni integral


Ln =n

∑i=1mi∆x




Odre�eni integral


Ln =n

∑i=1mi∆x


Alternativni naziv:

donja Darbouxova integralna suma.


Odre�eni integral


Ln =n

∑i=1mi∆x




Odre�eni integral




nad svakim podintervalom konstruiramopravokutnik koji je Upisan psudotrapezu,na i−tom intervalu je:

∆x baza pravokutnikami visina pravokutnika,mi∆x površina pravokutnika,

Sada jeLn = m1∆x +m2∆x + . . .+mn∆x

suma površina svih pravokutnika Upisanih pseudotrapezu funkcije.


Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral



nad svakim podintervalom konstruiramopravokutnik koji je Upisan psudotrapezu,






Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral









Odre�eni integral








Odre�eni integral





mi visina pravokutnika,mi∆x površina pravokutnika,




Odre�eni integral




∆x baza pravokutnikami visina pravokutnika,

mi∆x površina pravokutnika,




Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral








Odre�eni integral

Zadatak.

Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa U3, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:

n = 3 ⇒ 3 podintervala od [a, b] = [0, 2]

⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1

nad intervalom [0, 2] sa U3, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2]

sa U3, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa U3,

te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa U3, te ilustriraj racun skicom.

Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa U3, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .

Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa U3, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .Rješenje.

Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa U3, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral


n = 3 ⇒

3 podintervala od [a, b] = [0, 2]

⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=

2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=

23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤

23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤

43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤

2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 =

M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+

(( 43 )2 + 1) · 2

3+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+

(22 + 1) · 23=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 03

=23

⇒ 0 ≤ 23≤ 43≤ 2

Integralna suma:

U3 = M1∆x +M2∆x +M3∆x =

= (( 23 )2 + 1) · 2

3+ (( 43 )

2 + 1) · 23+ (22 + 1) · 2

3=

=23(139+259+ 5) =

16627


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa U3, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine M1, ∆x i M1 · ∆x .Rješenje. Sada je:

M1 =139 visina pravokutnika,

∆x = 23 baza pravokutnika,

M1∆x = 139 ·

23 površina pravokutnika

konstruiranog nad prvim podintervalom.


Odre�eni integral


M1 =

139 visina pravokutnika,


M1∆x = 139 ·




Odre�eni integral


M1 =139

visina pravokutnika,


M1∆x = 139 ·




Odre�eni integral




M1∆x = 139 ·




Odre�eni integral



∆x = 23

baza pravokutnika,

M1∆x = 139 ·




Odre�eni integral




M1∆x = 139 ·




Odre�eni integral




M1∆x = 139 ·

23

površina pravokutnika



Odre�eni integral




M1∆x = 139 ·




Odre�eni integral




M1∆x = 139 ·




Odre�eni integral

Zadatak.

Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa L4, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1

nad intervalom [0, 2] sa L4, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2]

sa L4, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa L4,

te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa L4, te ilustriraj racun skicom.

Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa L4, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa L4, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .Rješenje.

Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa L4, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral


n = 4 ⇒


⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=

2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=

12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤

12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤

1 ≤ 32≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤

32≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤

2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 =

m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+

(( 12 )2 + 1) · 1

2+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+

(12 + 1) · 12+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+

(( 32 )2 + 1) · 1

2=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral



⇒ ∆x =b− an

=2− 04

=12

⇒ 0 ≤ 12≤ 1 ≤ 3

2≤ 2

Integralna suma:

L4 = m1∆x +m2∆x +m3∆x +m4∆x =

= ((0)2 + 1) · 12+ (( 12 )

2 + 1) · 12+ (12 + 1) · 1

2+ (( 32 )

2 + 1) · 12=

=12(1+

54+ 2+

134) =

154


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [0, 2] sa L4, te ilustriraj racun skicom. Koliko iznose i štogeom. znace velicine m3, ∆x i m3 · ∆x .Rješenje. Sada je:

m3 = 2 visina pravokutnika,


m3∆x = 2 · 12 površina pravokutnikakonstruiranog nad trecim podintervalom.


Odre�eni integral


m3 =

2 visina pravokutnika,




Odre�eni integral


m3 = 2

visina pravokutnika,




Odre�eni integral






Odre�eni integral



∆x =

12 baza pravokutnika,



Odre�eni integral



∆x = 12

baza pravokutnika,



Odre�eni integral






Odre�eni integral




m3∆x =

2 · 12 površina pravokutnikakonstruiranog nad trecim podintervalom.


Odre�eni integral




m3∆x = 2 · 12

površina pravokutnika

konstruiranog nad trecim podintervalom.


Odre�eni integral




m3∆x = 2 · 12 površina pravokutnika

konstruiranog nad trecim podintervalom.


Odre�eni integral






Odre�eni integral

Zadatak.

Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa: a) gornjim integralnim sumama U3 i U6, b)donjim integralnim sumama L3 i L6.Rješenje. a) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa:

a) gornjim integralnim sumama U3 i U6, b)donjim integralnim sumama L3 i L6.Rješenje. a) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa: a) gornjim integralnim sumama U3 i U6,

b)donjim integralnim sumama L3 i L6.Rješenje. a) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa: a) gornjim integralnim sumama U3 i U6, b)donjim integralnim sumama L3 i L6.

Rješenje. a) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa: a) gornjim integralnim sumama U3 i U6, b)donjim integralnim sumama L3 i L6.Rješenje.

a) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa: a) gornjim integralnim sumama U3 i U6, b)donjim integralnim sumama L3 i L6.Rješenje. a)

Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa: a) gornjim integralnim sumama U3 i U6, b)donjim integralnim sumama L3 i L6.Rješenje. a) Vrijedi:

n = 3 ⇒

∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒

− 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2

⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9n = 6 ⇒ ∆x = 1

2 ⇒ − 1 ≤ −12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 =

1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9n = 6 ⇒ ∆x = 1

2 ⇒ − 1 ≤ −12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+

1 · 2+ 1 · 5 = 9n = 6 ⇒ ∆x = 1

2 ⇒ − 1 ≤ −12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+

1 · 5 = 9n = 6 ⇒ ∆x = 1

2 ⇒ − 1 ≤ −12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 =

9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒

∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒

− 1 ≤ − 12 ≤ 0 ≤12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 =

12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 =

7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b)

Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒

∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒

− 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2

⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4n = 6 ⇒ ∆x = 1

2 ⇒ − 1 ≤ −12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 =

1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4n = 6 ⇒ ∆x = 1

2 ⇒ − 1 ≤ −12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+

1 · 1+ 1 · 2 = 4n = 6 ⇒ ∆x = 1

2 ⇒ − 1 ≤ −12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+

1 · 2 = 4n = 6 ⇒ ∆x = 1

2 ⇒ − 1 ≤ −12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 =

4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒

∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒

− 1 ≤ − 12 ≤ 0 ≤12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 =

12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 =

4. 88


Odre�eni integral


n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ U3 = 1 · 2+ 1 · 2+ 1 · 5 = 9

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ U6 = 12 · 2+

12 ·

54 +

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 +

12 · 5 = 7.38

b) Vrijedi:

n = 3 ⇒ ∆x = 1⇒ − 1 ≤ 0 ≤ 1 ≤ 2⇒ L3 = 1 · 1+ 1 · 1+ 1 · 2 = 4

n = 6 ⇒ ∆x = 12 ⇒ − 1 ≤ −

12 ≤ 0 ≤

12 ≤ 1 ≤

32 ≤ 2

⇒ L6 = 12 ·

54 +

12 · 1+

12 · 1+

12 ·

54 +

12 · 2+

12 ·

134 = 4. 88


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa: a) gornjim integralnim sumama U3 i U6, b)donjim integralnim sumama L3 i L6.Rješenje. Zakljucujemo

4 ≤ 4.88 ≤ P ≤ 7.38 ≤ 9

Moze se pokazati da je P = 6.


Odre�eni integral

Zadatak. Aproksimiraj površinu pseudotrapeza funkcije f (x) = x2 + 1nad intervalom [−1, 2] sa: a) gornjim integralnim sumama U3 i U6, b)donjim integralnim sumama L3 i L6.Rješenje. Zakljucujemo

4 ≤ 4.88 ≤ P ≤ 7.38 ≤ 9

Moze se pokazati da je P = 6.


Odre�eni integral

Podsjetimo se:

motivacija: odre�ivanje površine ravninskih likova;

osnovna ideja: aproksimacija nepravilnih likova pravilnima;

osnovni problem: greška aproksimacije.

Pitanje. Kako smanjiti grešku aproksimacije?


Odre�eni integral

Podsjetimo se:

motivacija:

odre�ivanje površine ravninskih likova;





Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:


osnovna ideja:

aproksimacija nepravilnih likova pravilnima;




Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:



osnovni problem:

greška aproksimacije.



Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:




Pitanje.

Kako smanjiti grešku aproksimacije?


Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:






Odre�eni integral

Podsjetimo se:




Definicija.

Profinjenje rastava je novi rastav koji se iz postojeceg rastavadobiva umnozavanjem broja podintervala.

Zakljucak. Bolja aproksimacija površine dobiva se profinjenjem rastava, asavršena za n→ +∞.


Odre�eni integral

Podsjetimo se:




Definicija. Profinjenje rastava je novi rastav

koji se iz postojeceg rastavadobiva umnozavanjem broja podintervala.



Odre�eni integral

Podsjetimo se:




Definicija. Profinjenje rastava je novi rastav koji se iz postojeceg rastavadobiva umnozavanjem broja podintervala.



Odre�eni integral

Podsjetimo se:





Zakljucak.

Bolja aproksimacija površine dobiva se profinjenjem rastava, asavršena za n→ +∞.


Odre�eni integral

Podsjetimo se:





Zakljucak. Bolja aproksimacija površine dobiva se profinjenjem rastava,

asavršena za n→ +∞.


Odre�eni integral

Podsjetimo se:







Odre�eni integral

Definicija.

Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Kazemo da jefunkcija f integrabilna, ako vrijedi

limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .

Broj I se tada naziva odre�enim integralom funkcije f na intervalu [a, b] ioznacava sa

∫ ba f (x) dx .

Ako je funkcija integrabilna, onda mozemo pisati

b∫a

f (x)dx = limn→∞

n

∑i=1Mi∆x︸︷︷︸Un

= limn→∞

n

∑i=1mi∆x︸︷︷︸Ln

.

Alternativni naziv: Darbouxov odre�eni integral.


Odre�eni integral


Kazemo da jefunkcija f integrabilna, ako vrijedi

limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


= limn→∞

n


.



Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Kazemo da jefunkcija f integrabilna,

ako vrijedi

limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


= limn→∞

n


.



Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Kazemo da jefunkcija f integrabilna, ako vrijedi

limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


= limn→∞

n


.



Odre�eni integral


limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .

Broj I se tada naziva odre�enim integralom funkcije f na intervalu [a, b]

ioznacava sa

∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


= limn→∞

n


.



Odre�eni integral


limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


= limn→∞

n


.



Odre�eni integral


limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a

f (x)dx =

limn→∞

n


= limn→∞

n


.



Odre�eni integral


limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


=

limn→∞

n


.



Odre�eni integral


limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


= limn→∞

n


.



Odre�eni integral


limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


= limn→∞

n


.

Alternativni naziv:

Darbouxov odre�eni integral.


Odre�eni integral


limn→+∞

Un = limn→+∞

Ln = I .


∫ ba f (x) dx .


b∫a


n


= limn→∞

n


.



Odre�eni integral

Namecu se sljedeca pitanja vezana za definiciju integralnih suma:

1 Zašto su integralne sume definirane samo za ome�ene funkcije?2 Zašto su integralne sume definirane samo za funkcije na ome�enimintervalima?

3 Zašto su mi i Mi definirani kao infimum i supremum, a ne kaominimum i maksimum?

4 Jesu li sve funkcije integrabilne?


Odre�eni integral


1 Zašto su integralne sume definirane samo za ome�ene funkcije?

2 Zašto su integralne sume definirane samo za funkcije na ome�enimintervalima?




Odre�eni integral






Odre�eni integral






Odre�eni integral






Odre�eni integral

Pitanje 1.

Zašto su integralne sume definirane samo za ome�enefunkcije?Odgovor. Neome�ene funkcije ne moraju imati supremum Mi ili infimummi na nekom od podintervala raspodjele.


Odre�eni integral

Pitanje 1. Zašto su integralne sume definirane samo za ome�enefunkcije?

Odgovor. Neome�ene funkcije ne moraju imati supremum Mi ili infimummi na nekom od podintervala raspodjele.


Odre�eni integral

Pitanje 1. Zašto su integralne sume definirane samo za ome�enefunkcije?Odgovor.

Neome�ene funkcije ne moraju imati supremum Mi ili infimummi na nekom od podintervala raspodjele.


Odre�eni integral

Pitanje 1. Zašto su integralne sume definirane samo za ome�enefunkcije?Odgovor. Neome�ene funkcije ne moraju imati supremum Mi ili infimummi

na nekom od podintervala raspodjele.


Odre�eni integral

Pitanje 1. Zašto su integralne sume definirane samo za ome�enefunkcije?Odgovor. Neome�ene funkcije ne moraju imati supremum Mi ili infimummi na nekom od podintervala raspodjele.


Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral

Pitanje 2.

Zašto su integralne sume definirane samo za funkcije naome�enim intervalima?Odgovor. Na neome�enom intervalu (interval "beskonacne širine"primjerice [a,+∞〉) velicina ∆x bi bila beskonacna.


Odre�eni integral

Pitanje 2. Zašto su integralne sume definirane samo za funkcije naome�enim intervalima?

Odgovor. Na neome�enom intervalu (interval "beskonacne širine"primjerice [a,+∞〉) velicina ∆x bi bila beskonacna.


Odre�eni integral

Pitanje 2. Zašto su integralne sume definirane samo za funkcije naome�enim intervalima?Odgovor.

Na neome�enom intervalu (interval "beskonacne širine"primjerice [a,+∞〉) velicina ∆x bi bila beskonacna.


Odre�eni integral

Pitanje 2. Zašto su integralne sume definirane samo za funkcije naome�enim intervalima?Odgovor. Na neome�enom intervalu

(interval "beskonacne širine"primjerice [a,+∞〉) velicina ∆x bi bila beskonacna.


Odre�eni integral

Pitanje 2. Zašto su integralne sume definirane samo za funkcije naome�enim intervalima?Odgovor. Na neome�enom intervalu (interval "beskonacne širine"primjerice [a,+∞〉)

velicina ∆x bi bila beskonacna.


Odre�eni integral

Pitanje 2. Zašto su integralne sume definirane samo za funkcije naome�enim intervalima?Odgovor. Na neome�enom intervalu (interval "beskonacne širine"primjerice [a,+∞〉) velicina ∆x bi bila beskonacna.


Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral

Pitanje 3.

Zašto su mi i Mi definirani kao infimum i supremum, a ne kaominimum i maksimum?Odgovor. Ome�ena funkcija ne mora imati minimum i/ili maksimum nanekim podintervalima (npr. u tockama prekida), dok supremum i infimumsigurno ima.


Odre�eni integral

Pitanje 3. Zašto su mi i Mi definirani kao infimum i supremum,

a ne kaominimum i maksimum?Odgovor. Ome�ena funkcija ne mora imati minimum i/ili maksimum nanekim podintervalima (npr. u tockama prekida), dok supremum i infimumsigurno ima.


Odre�eni integral

Pitanje 3. Zašto su mi i Mi definirani kao infimum i supremum, a ne kaominimum i maksimum?

Odgovor. Ome�ena funkcija ne mora imati minimum i/ili maksimum nanekim podintervalima (npr. u tockama prekida), dok supremum i infimumsigurno ima.


Odre�eni integral

Pitanje 3. Zašto su mi i Mi definirani kao infimum i supremum, a ne kaominimum i maksimum?Odgovor.

Ome�ena funkcija ne mora imati minimum i/ili maksimum nanekim podintervalima (npr. u tockama prekida), dok supremum i infimumsigurno ima.


Odre�eni integral

Pitanje 3. Zašto su mi i Mi definirani kao infimum i supremum, a ne kaominimum i maksimum?Odgovor. Ome�ena funkcija ne mora imati minimum i/ili maksimum nanekim podintervalima

(npr. u tockama prekida), dok supremum i infimumsigurno ima.


Odre�eni integral

Pitanje 3. Zašto su mi i Mi definirani kao infimum i supremum, a ne kaominimum i maksimum?Odgovor. Ome�ena funkcija ne mora imati minimum i/ili maksimum nanekim podintervalima (npr. u tockama prekida),

dok supremum i infimumsigurno ima.


Odre�eni integral

Pitanje 3. Zašto su mi i Mi definirani kao infimum i supremum, a ne kaominimum i maksimum?Odgovor. Ome�ena funkcija ne mora imati minimum i/ili maksimum nanekim podintervalima (npr. u tockama prekida), dok supremum i infimumsigurno ima.


Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral



Odre�eni integral

Pitanje 4.

Jesu li sve funkcije integrabilne?Odgovor. Nisu, jer npr. funkcija f : [a, b]→ R definirana sa

f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral

Pitanje 4. Jesu li sve funkcije integrabilne?

Odgovor. Nisu, jer npr. funkcija f : [a, b]→ R definirana sa

f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral

Pitanje 4. Jesu li sve funkcije integrabilne?Odgovor.

Nisu, jer npr. funkcija f : [a, b]→ R definirana sa

f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral

Pitanje 4. Jesu li sve funkcije integrabilne?Odgovor. Nisu,

jer npr. funkcija f : [a, b]→ R definirana sa

f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral

Pitanje 4. Jesu li sve funkcije integrabilne?Odgovor. Nisu, jer npr. funkcija f : [a, b]→ R

definirana sa

f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral

Pitanje 4. Jesu li sve funkcije integrabilne?Odgovor. Nisu, jer npr. funkcija f : [a, b]→ R definirana sa

f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1

Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1

Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1

Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1

Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1

Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1

Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Ln = (b− a) · 1 Un = (b− a) · 2


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Teorem.

Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Ako je funkcija fneprekidna, onda je funkcija f integrabilna.

Zakljucujemo: sve elementarne funkcije su integrabilne.


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Teorem. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija.

Ako je funkcija fneprekidna, onda je funkcija f integrabilna.



Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.

Teorem. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Ako je funkcija fneprekidna, onda je funkcija f integrabilna.



Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.


Zakljucujemo:

sve elementarne funkcije su integrabilne.


Odre�eni integral


f (x) ={1 za x ∈ Q

2 za x ∈ I

nije integrabilna.




Odre�eni integralRiemannov integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jeRiemannova integralna suma Rn definirana sa

Rn = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x =

n

∑i=1f (x∗i )∆x ,

pri cemu je f (x∗i ) funkcijska vrijednost u nekoj tocki x∗i iz i−tog

podintervala za svaki i = 1, . . . , n.



Definicija.

Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jeRiemannova integralna suma Rn definirana sa

Rn = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x =

n

∑i=1f (x∗i )∆x ,






Neka jea = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn = b ekvidistantni rastav intervala [a, b] . Tada jeRiemannova integralna suma Rn definirana sa

Rn = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x =

n

∑i=1f (x∗i )∆x ,






Tada jeRiemannova integralna suma Rn definirana sa

Rn = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x =

n

∑i=1f (x∗i )∆x ,






Rn = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x =

n

∑i=1f (x∗i )∆x ,






Rn = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x =

n

∑i=1f (x∗i )∆x ,


podintervala

za svaki i = 1, . . . , n.




Rn = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x =

n

∑i=1f (x∗i )∆x ,




Odre�eni integral




nad svakim podintervalom konstruiramopravokutnik s bazom ∆x i visinom f (x∗i ),


∆x baza pravokutnikaf (x∗i ) visina pravokutnika,f (x∗i )∆x površina pravokutnika,

Sada jeRn = f (x∗1 )∆x + f (x

∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,

suma površina svih konstruiranih pravokutnika.


Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral






f (x∗i ) visina pravokutnika,f (x∗i )∆x površina pravokutnika,


∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral





∆x baza pravokutnikaf (x∗i ) visina pravokutnika,

f (x∗i )∆x površina pravokutnika,


∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral







∗2 )∆x + . . .+ f (x∗n )∆x ,



Odre�eni integral


Uocimo da vrijedi:

Rn ≥ LnRn ≤ Un

}⇒ Ln ≤ Rn ≤ Un


Odre�eni integral


Uocimo da vrijedi:

Rn ≥ Ln

Rn ≤ Un



Odre�eni integral


Uocimo da vrijedi:

Rn ≥ Ln

Rn ≤ Un



Odre�eni integral


Uocimo da vrijedi:

Rn ≥ LnRn ≤ Un



Odre�eni integral


Uocimo da vrijedi:

Rn ≥ LnRn ≤ Un



Odre�eni integral


Uocimo da vrijedi:

Rn ≥ LnRn ≤ Un



Odre�eni integral

Zadatak.

Za f (x) =√x na intervalu [1, 3] odredi R4 ako su x∗i polovišta

podintervala rastava. Koliko iznose i što geom. znace ∆x , f (x∗2 ),f (x∗2 )∆x?Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral

Zadatak. Za f (x) =√x

na intervalu [1, 3] odredi R4 ako su x∗i polovištapodintervala rastava. Koliko iznose i što geom. znace ∆x , f (x∗2 ),f (x∗2 )∆x?Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral

Zadatak. Za f (x) =√x na intervalu [1, 3]

odredi R4 ako su x∗i polovištapodintervala rastava. Koliko iznose i što geom. znace ∆x , f (x∗2 ),f (x∗2 )∆x?Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral

Zadatak. Za f (x) =√x na intervalu [1, 3] odredi R4

ako su x∗i polovištapodintervala rastava. Koliko iznose i što geom. znace ∆x , f (x∗2 ),f (x∗2 )∆x?Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral

Zadatak. Za f (x) =√x na intervalu [1, 3] odredi R4 ako su x∗i polovišta

podintervala rastava.

Koliko iznose i što geom. znace ∆x , f (x∗2 ),f (x∗2 )∆x?Rješenje. Rastav intervala:


⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral


podintervala rastava. Koliko iznose i što geom. znace ∆x , f (x∗2 ),f (x∗2 )∆x?



⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral


podintervala rastava. Koliko iznose i što geom. znace ∆x , f (x∗2 ),f (x∗2 )∆x?Rješenje.

Rastav intervala:


⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral



n = 4 ⇒


⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an =

3−14 = 1

2

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 =

12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral




⇒ ∆x = b−an = 3−1

4 = 12

⇒ 1 ≤ 32 ≤

42 ≤

52 ≤ 3

Integralna suma:

R4 = f (x∗1 )∆x + f (x∗2 )∆x + f (x

∗3 )∆x + f (x

∗4 )∆x =

= 12

√54 +

12

√74 +

12

√94 +

12

√114 .


Odre�eni integral


podintervala rastava. Koliko iznose i što geom. znace ∆x , f (x∗2 ),f (x∗2 )∆x?Rješenje. Sada je:

∆x = 12 baza pravokutnika

f (x∗2 ) =√

74 visina pravokutnika

f (x∗2 )∆x =12

√74 površina pravokutnika

nad drugim podintervalom.


Odre�eni integral




f (x∗2 ) =√


f (x∗2 )∆x =12




Odre�eni integral




f (x∗2 ) =√


f (x∗2 )∆x =12




Odre�eni integral




f (x∗2 ) =√


f (x∗2 )∆x =12




Odre�eni integral




f (x∗2 ) =√


f (x∗2 )∆x =12




Odre�eni integral

Definicija.

Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Riemannov odre�eniintegral funkcije f je broj I ∈ R za koji vrijedi da je

limn→∞

Rn = I

neovisno o izboru tocaka x∗i . Ako takav broj I ne postoji, onda kazemo dafunkcija f nije integrabilna po Riemannu.


Odre�eni integral


Riemannov odre�eniintegral funkcije f je broj I ∈ R za koji vrijedi da je

limn→∞

Rn = I



Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Riemannov odre�eniintegral funkcije f je broj I ∈ R

za koji vrijedi da je

limn→∞

Rn = I



Odre�eni integral

Definicija. Neka je f : [a, b]→ R ome�ena funkcija. Riemannov odre�eniintegral funkcije f je broj I ∈ R za koji vrijedi da je

limn→∞

Rn = I



Odre�eni integral


limn→∞

Rn = I

neovisno o izboru tocaka x∗i .

Ako takav broj I ne postoji, onda kazemo dafunkcija f nije integrabilna po Riemannu.


Odre�eni integral


limn→∞

Rn = I

neovisno o izboru tocaka x∗i . Ako takav broj I ne postoji,

onda kazemo dafunkcija f nije integrabilna po Riemannu.


Odre�eni integral


limn→∞

Rn = I



Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

mi ≤ f (x∗i ) ≤ Mi ,

mi∆x ≤ f (x∗i )∆x ≤ Mi∆x ,n

∑i=1mi∆x ≤

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤

n

∑i=1Mi∆x ,

I = limn→∞

n

∑i=1mi∆x ≤ lim

n→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤ lim

n→∞

n

∑i=1Mi∆x = I ,

pa po Teoremu o dva policajca slijedi

limn→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x = I =

∫ b

af (x)dx .

Vrijedi i obrat.


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

mi ≤ f (x∗i ) ≤ Mi ,

mi∆x ≤ f (x∗i )∆x ≤ Mi∆x ,

n

∑i=1mi∆x ≤

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤

n

∑i=1Mi∆x ,

I = limn→∞

n


n→∞

n


n→∞

n

∑i=1Mi∆x = I ,


limn→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x = I =

∫ b

af (x)dx .

Vrijedi i obrat.


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

mi ≤ f (x∗i ) ≤ Mi ,


∑i=1mi∆x ≤

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤

n

∑i=1Mi∆x ,

I = limn→∞

n


n→∞

n


n→∞

n

∑i=1Mi∆x = I ,


limn→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x = I =

∫ b

af (x)dx .

Vrijedi i obrat.


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

mi ≤ f (x∗i ) ≤ Mi ,


∑i=1mi∆x ≤

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤

n

∑i=1Mi∆x ,

I = limn→∞

n


n→∞

n


n→∞

n

∑i=1Mi∆x = I ,


limn→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x = I =

∫ b

af (x)dx .

Vrijedi i obrat.


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

mi ≤ f (x∗i ) ≤ Mi ,


∑i=1mi∆x ≤

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤

n

∑i=1Mi∆x ,

I = limn→∞

n


n→∞

n


n→∞

n

∑i=1Mi∆x = I ,


limn→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x =

I =∫ b

af (x)dx .

Vrijedi i obrat.


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

mi ≤ f (x∗i ) ≤ Mi ,


∑i=1mi∆x ≤

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤

n

∑i=1Mi∆x ,

I = limn→∞

n


n→∞

n


n→∞

n

∑i=1Mi∆x = I ,


limn→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x = I =

∫ b

af (x)dx .

Vrijedi i obrat.


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

mi ≤ f (x∗i ) ≤ Mi ,


∑i=1mi∆x ≤

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤

n

∑i=1Mi∆x ,

I = limn→∞

n


n→∞

n


n→∞

n

∑i=1Mi∆x = I ,


limn→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x = I =

∫ b

af (x)dx .

Vrijedi i obrat.


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

mi ≤ f (x∗i ) ≤ Mi ,


∑i=1mi∆x ≤

n

∑i=1f (x∗i )∆x ≤

n

∑i=1Mi∆x ,

I = limn→∞

n


n→∞

n


n→∞

n

∑i=1Mi∆x = I ,


limn→∞

n

∑i=1f (x∗i )∆x = I =

∫ b

af (x)dx .

Vrijedi i obrat.


Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral

su me�usobno ekvivalentni.

Geometrijski interpretirano, svejedno je hocemo li površinu pseudotrapezaaproksimirati:

opisanim pravokutnicima,

upisanim pravokutnicima,

pravokutnicima koji su po visini negdje izme�u opisanog i upisanog,

jer u beskonacnosti dobivamo isti broj.


Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral








Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral








Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral








Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral


Geometrijski interpretirano,

svejedno je hocemo li površinu pseudotrapezaaproksimirati:






Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral








Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral








Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral








Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral








Odre�eni integral

Zakljucujemo:

Darbouxov integral

Riemannov integral








Odre�eni integralGeometrijska svojstva

Proširujemo pojam pseudotrapeza:

pozitivna funkcija negativna funkcija

∫ b

af (x)dx = limn→∞

n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,




pozitivna funkcija

negativna funkcija

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b

af (x)dx =

limn→∞n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b

af (x)dx =


= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b

af (x)dx =


= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b

af (x)dx =


= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b

af (x)dx =


= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b

af (x)dx =

limn→∞n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b

af (x)dx =


= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b

af (x)dx =


= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b

af (x)dx =


= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b

af (x)dx =


= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,





∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≥0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≥0

≥ 0,

∫ b


n∑i=1mi∆x︸︷︷︸≤0

= limn→∞n∑i=1Mi∆x︸︷︷︸≤0

≤ 0,



Proširujemo pojam pseudotrapeza:pozitivna funkcija negativna funkcija

Zakljucujemo:∫ b

af (x)dx =

{P ako je f pozitivna funkcija,−P ako je f negativna funckija.




Zakljucujemo:∫ b

af (x)dx =





Zakljucujemo:∫ b

af (x)dx =

{P

ako je f pozitivna funkcija,−P ako je f negativna funckija.




Zakljucujemo:∫ b

af (x)dx =

{P ako je f pozitivna funkcija,

−P ako je f negativna funckija.




Zakljucujemo:∫ b

af (x)dx =

{P ako je f pozitivna funkcija,−P

ako je f negativna funckija.




Zakljucujemo:∫ b

af (x)dx =



Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

∫ b

af (x)dx = P1 − P2 + P3


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

∫ b

af (x)dx = P1 − P2 + P3


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

∫ b

af (x)dx =

P1 − P2 + P3


Odre�eni integral

Uocimo da vrijedi:

∫ b

af (x)dx = P1 − P2 + P3


Odre�eni integral

Zadatak.

Geometrijski interpretiraj integrale:

a)∫ 1

0(1− x2)dx , b)

∫ 2

1(1− x2)dx , c)

∫ 2

0(1− x2)dx .

Odgovori (bez izracunavanja integrala) je li taj integral pozitivan ilinegativan broj!


Odre�eni integral

Zadatak. Geometrijski interpretiraj integrale:

a)∫ 1

0(1− x2)dx , b)

∫ 2

1(1− x2)dx , c)

∫ 2

0(1− x2)dx .



Odre�eni integral


a)∫ 1

0(1− x2)dx ,

b)∫ 2

1(1− x2)dx , c)

∫ 2

0(1− x2)dx .



Odre�eni integral


a)∫ 1

0(1− x2)dx , b)

∫ 2

1(1− x2)dx ,

c)∫ 2

0(1− x2)dx .



Odre�eni integral


a)∫ 1

0(1− x2)dx , b)

∫ 2

1(1− x2)dx , c)

∫ 2

0(1− x2)dx .



Odre�eni integral


a)∫ 1

0(1− x2)dx , b)

∫ 2

1(1− x2)dx , c)

∫ 2

0(1− x2)dx .

Odgovori (bez izracunavanja integrala)

je li taj integral pozitivan ilinegativan broj!


Odre�eni integral


a)∫ 1

0(1− x2)dx , b)

∫ 2

1(1− x2)dx , c)

∫ 2

0(1− x2)dx .



Odre�eni integral

Sada slijedi:

ako je funkcija f (x) parna:

∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx

ako je funkcija f (x) neparna:

∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx =

P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 =

2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx =

− P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 =

0.


Odre�eni integral

Sada slijedi:


∫ a

−af (x)dx = P1 + P1 = 2P1 =

= 2∫ a

0f (x)dx


∫ a

−af (x)dx = − P1 + P1 = 0.


Odre�eni integral

Definiciju odre�enog integrala proširujemo sa:

a∫a

f (x) dx = 0a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx


Odre�eni integral


a∫a

f (x) dx = 0

a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx


Odre�eni integral


a∫a

f (x) dx = 0

a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx


Odre�eni integral


a∫a

f (x) dx = 0a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx


Odre�eni integral


a∫a

f (x) dx = 0a∫b

f (x) dx = −b∫a

f (x) dx


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx

Ako je c ∈ 〈a, b〉 , onda

= +


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= +


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= +


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= +


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= +


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= +


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx

Ako c 6∈ 〈a, b〉 ,

onda

= −

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx −

c∫bf (x) dx


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx

Ako c 6∈ 〈a, b〉 , onda

= −

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx −

c∫bf (x) dx


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


=

−

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx −

c∫bf (x) dx


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= −

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx −

c∫bf (x) dx


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= −

b∫af (x) dx

=c∫af (x) dx −

c∫bf (x) dx


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= −

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx

−c∫bf (x) dx


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= −

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx −

c∫bf (x) dx


Odre�eni integral

Vrijedi formula:

b∫a

f (x) dx =

c∫a

f (x) dx +

b∫c

f (x) dx


= −

b∫af (x) dx =

c∫af (x) dx +

b∫cf (x) dx


Odre�eni integralIzracunavanje odre�enog integrala

Teorem (Newton-Leibnizova formula). Ako je ome�ena funkcijaf : [a, b]→ R neprekidna, onda vrijedi Newton-Leinbizova formula

b∫a

f (x) dx = F (b)− F (a)

pri cemu je F bilo koja primitivna funkcija od f .

Kraci zapis:b∫a

f (x) dx = F (x)∣∣∣ba



Teorem (Newton-Leibnizova formula).

Ako je ome�ena funkcijaf : [a, b]→ R neprekidna, onda vrijedi Newton-Leinbizova formula

b∫a

f (x) dx = F (b)− F (a)


Kraci zapis:b∫a

f (x) dx = F (x)∣∣∣ba



Teorem (Newton-Leibnizova formula). Ako je ome�ena funkcijaf : [a, b]→ R neprekidna,

onda vrijedi Newton-Leinbizova formula

b∫a

f (x) dx = F (b)− F (a)


Kraci zapis:b∫a

f (x) dx = F (x)∣∣∣ba




b∫a

f (x) dx = F (b)− F (a)


Kraci zapis:b∫a

f (x) dx = F (x)∣∣∣ba




b∫a

f (x) dx = F (b)− F (a)


Kraci zapis:b∫a

f (x) dx = F (x)∣∣∣ba




b∫a

f (x) dx = F (b)− F (a)


Kraci zapis:

b∫a

f (x) dx = F (x)∣∣∣ba




b∫a

f (x) dx = F (b)− F (a)


Kraci zapis:b∫a

f (x) dx = F (x)∣∣∣ba


Odre�eni integral

Zadatak.

Odredi racunski, te geometrijski interpretiraj integrale:

a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .

Rješenje. a) Vrijedi:∫ 3

1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π

0sin xdx = − cos x

∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2

cos xdx = sin x∣∣∣π

π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral

Zadatak. Odredi racunski, te geometrijski interpretiraj integrale:

a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx ,

b)∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx ,

c)∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .

Rješenje.

a) Vrijedi:∫ 3

1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .

Rješenje. a)

Vrijedi:∫ 3

1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=

33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=

263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263=

P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b)

Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π

0sin xdx =

− cos x∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0=

− cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 =

− (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 =

2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 =

P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c)

Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2

cos xdx =

sin x∣∣∣π

π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

=

sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2=

0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 =

− 1 = − P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 =

− P


Odre�eni integral


a)∫ 3

1x2dx , b)

∫ π

0sin xdx , c)

∫ π

π2

cos xdx .


1x2dx =

x3

3

∣∣∣∣31=33

3− 1

3

3=263= P

b) Vrijedi∫ π


∣∣∣∣π0= − cosπ + cos 0 = − (−1) + 1 = 2 = P

c) Vrijedi∫ π

π2


π2

= sinπ − sin π

2= 0− 1 = − 1 = − P


Odre�eni integral

Odre�eni integral ima svojsva:

aditivnosti, tj. vrijedi∫ b

a(f (x) + g(x))dx =

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx ,

homogenosti, tj. vrijedi∫ b

aαf (x)dx = α

∫ b

af (x)dx .

Napomena. Ova svojstva su posljedica Newton-Leibnizove formule.


Odre�eni integral


aditivnosti,

tj. vrijedi∫ b

a(f (x) + g(x))dx =

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx ,


aαf (x)dx = α

∫ b

af (x)dx .



Odre�eni integral



a(f (x) + g(x))dx =

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx ,


aαf (x)dx = α

∫ b

af (x)dx .



Odre�eni integral



a(f (x) + g(x))dx =

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx ,

homogenosti,

tj. vrijedi∫ b

aαf (x)dx = α

∫ b

af (x)dx .



Odre�eni integral



a(f (x) + g(x))dx =

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx ,


aαf (x)dx = α

∫ b

af (x)dx .



Odre�eni integral



a(f (x) + g(x))dx =

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx ,


aαf (x)dx = α

∫ b

af (x)dx .

Napomena.

Ova svojstva su posljedica Newton-Leibnizove formule.


Odre�eni integral



a(f (x) + g(x))dx =

∫ b

af (x)dx +

∫ b

ag(x)dx ,


aαf (x)dx = α

∫ b

af (x)dx .



Odre�eni integral

Teorem (Osnovni teorem integralnog racuna).

Ako je funkcijaf : [a, b]→ R neprekidna funkcija, onda je funkcija F : [a, b]→ R

definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt

primitivna funkcija od f .


Odre�eni integral

Teorem (Osnovni teorem integralnog racuna). Ako je funkcijaf : [a, b]→ R neprekidna funkcija,

onda je funkcija F : [a, b]→ R

definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt



Odre�eni integral

Teorem (Osnovni teorem integralnog racuna). Ako je funkcijaf : [a, b]→ R neprekidna funkcija, onda je funkcija F : [a, b]→ R

definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt



Odre�eni integral


definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt



Odre�eni integral


definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt



Odre�eni integral


definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt



Odre�eni integral


definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt



Odre�eni integral


definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt



Odre�eni integral


definirana pravilom

F (x) =

x∫a

f (t) dt



Odre�eni integral

Zadatak.

Zadana je funkcija f (x) = x2 za x ∈ [1, 5]. Odredi F (x) premaosnovnom teoremu integralnog racuna. Izracunaj F (1) i F (3), te ihgeometrijski interpretiraj.Rješenje. Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = x2 za x ∈ [1, 5].

Odredi F (x) premaosnovnom teoremu integralnog racuna. Izracunaj F (1) i F (3), te ihgeometrijski interpretiraj.Rješenje. Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = x2 za x ∈ [1, 5]. Odredi F (x) premaosnovnom teoremu integralnog racuna.

Izracunaj F (1) i F (3), te ihgeometrijski interpretiraj.Rješenje. Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = x2 za x ∈ [1, 5]. Odredi F (x) premaosnovnom teoremu integralnog racuna. Izracunaj F (1) i F (3), te ihgeometrijski interpretiraj.

Rješenje. Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = x2 za x ∈ [1, 5]. Odredi F (x) premaosnovnom teoremu integralnog racuna. Izracunaj F (1) i F (3), te ihgeometrijski interpretiraj.Rješenje.

Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = x2 za x ∈ [1, 5]. Odredi F (x) premaosnovnom teoremu integralnog racuna. Izracunaj F (1) i F (3), te ihgeometrijski interpretiraj.Rješenje. Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =

t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=

x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =

13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13=

0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 =

P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =

33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=

263= P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263=

P2


Odre�eni integral


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫1

t2 dt =t3

3

∣∣∣∣x1=x3

3− 13

Sada je:

F (1) =13

3− 13= 0 = P1

F (3) =33

3− 13=263= P2


Odre�eni integral

Zadatak.

Zadana je funkcija f (x) = 11+x 2 za x ∈ [0,+∞〉 . Odredi F (x)

prema osnovnom teoremu integralnog racuna. Izracunaj F (π4 ) i

limx→+∞ F (x), te ih geometrijski interpretiraj.Rješenje. Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =

= arctg t∣∣∣∣x0= arctg x − 0 = arctg x

Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = 11+x 2 za x ∈ [0,+∞〉 .

Odredi F (x)prema osnovnom teoremu integralnog racuna. Izracunaj F (π

4 ) ilimx→+∞ F (x), te ih geometrijski interpretiraj.Rješenje. Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral

Zadatak. Zadana je funkcija f (x) = 11+x 2 za x ∈ [0,+∞〉 . Odredi F (x)

prema osnovnom teoremu integralnog racuna.

Izracunaj F (π4 ) i


F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral



limx→+∞ F (x), te ih geometrijski interpretiraj.

Rješenje. Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral



limx→+∞ F (x), te ih geometrijski interpretiraj.Rješenje.

Vrijedi

F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =

= arctg t∣∣∣∣x0=

arctg x − 0 = arctg x

Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =

= arctg t∣∣∣∣x0= arctg x − 0 =

arctg x

Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) =

arctgπ

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4=

1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 =

P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) =

limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =

π

2= P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2=

P2


Odre�eni integral




F (x) =

x∫a

f (t) dt =

x∫0

11+ t2

dt =


Sada je:

F (π

4) = arctg

π

4= 1 = P1

limx→+∞

F (x) = limx→+∞

arctg x =π

2= P2


Odre�eni integralNepravi integral

Definirali smo pojam odre�enog integrala za:

1 ome�ene funkcije2 na ome�enim intervalima.








1 ome�ene funkcije

2 na ome�enim intervalima.




1 ome�ene funkcije

2 na ome�enim intervalima.















Proširujemo definiciju odre�enog integrala na:

1 neome�ene intervale,2 neome�ene funkcije.

Naziv proširenja: nepravi integral.




1 neome�ene intervale,

2 neome�ene funkcije.





1 neome�ene intervale,

2 neome�ene funkcije.
















Naziv proširenja:

nepravi integral.







Odre�eni integral

Definicija.

Ako je funkcija f : [a,+∞〉 → R integrabilna na svakompodintervalu [a, b] domene, onda definiramo nepravi integral

+∞∫a

f (x)dx = limb→+∞

b∫a

f (x)dx .

= limb→+∞


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : [a,+∞〉 → R

integrabilna na svakompodintervalu [a, b] domene, onda definiramo nepravi integral

+∞∫a


b∫a

f (x)dx .

= limb→+∞


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : [a,+∞〉 → R integrabilna na svakompodintervalu [a, b] domene,

onda definiramo nepravi integral

+∞∫a


b∫a

f (x)dx .

= limb→+∞


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : [a,+∞〉 → R integrabilna na svakompodintervalu [a, b] domene, onda definiramo nepravi integral

+∞∫a

f (x)dx =

limb→+∞

b∫a

f (x)dx .

= limb→+∞


Odre�eni integral


+∞∫a


b∫a

f (x)dx .

= limb→+∞


Odre�eni integral


+∞∫a


b∫a

f (x)dx .

= limb→+∞


Odre�eni integral


+∞∫a


b∫a

f (x)dx .

= limb→+∞


Odre�eni integral


+∞∫a


b∫a

f (x)dx .

= limb→+∞


Odre�eni integral

Definicija.

Ako je funkcija f : 〈−∞, b]→ R integrabilna na svakompodintervalu [a, b] domene, onda definiramo nepravi integral

b∫−∞

f (x)dx = lima→−∞

b∫a

f (x)dx .

= lima→−∞


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : 〈−∞, b]→ R

integrabilna na svakompodintervalu [a, b] domene, onda definiramo nepravi integral

b∫−∞


b∫a

f (x)dx .

= lima→−∞


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : 〈−∞, b]→ R integrabilna na svakompodintervalu [a, b] domene,


b∫−∞


b∫a

f (x)dx .

= lima→−∞


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : 〈−∞, b]→ R integrabilna na svakompodintervalu [a, b] domene, onda definiramo nepravi integral

b∫−∞

f (x)dx =

lima→−∞

b∫a

f (x)dx .

= lima→−∞


Odre�eni integral


b∫−∞


b∫a

f (x)dx .

= lima→−∞


Odre�eni integral


b∫−∞


b∫a

f (x)dx .

= lima→−∞


Odre�eni integral


b∫−∞


b∫a

f (x)dx .

= lima→−∞


Odre�eni integral


b∫−∞


b∫a

f (x)dx .

= lima→−∞


Odre�eni integral

Definicija.

Ako je funkcija f : 〈−∞,+∞〉 → R integrabilna na svakompodintervalu domene, onda definiramo nepravi integral

+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : 〈−∞,+∞〉 → R

integrabilna na svakompodintervalu domene, onda definiramo nepravi integral

+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : 〈−∞,+∞〉 → R integrabilna na svakompodintervalu domene,


+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral

Definicija. Ako je funkcija f : 〈−∞,+∞〉 → R integrabilna na svakompodintervalu domene, onda definiramo nepravi integral

+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral


+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral


+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral


+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral


+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral


+∞∫−∞

f (x)dx =

c∫−∞

f (x)dx +

+∞∫c

f (x)dx

= +


Odre�eni integral

Obzirom da je nepravi integral definiran kao limes,

kazemo da nepraviintegral:

konvergira, ako taj limes postoji i konacan je,

divergira (u uzem smislu), ako taj limes postoji i beskonacan je,

divergira (u širem smislu), ako taj limes ne postoji.


Odre�eni integral

Obzirom da je nepravi integral definiran kao limes, kazemo da nepraviintegral:

konvergira,

ako taj limes postoji i konacan je,




Odre�eni integral






Odre�eni integral



divergira (u uzem smislu),

ako taj limes postoji i beskonacan je,



Odre�eni integral






Odre�eni integral




divergira (u širem smislu),

ako taj limes ne postoji.


Odre�eni integral






Odre�eni integral

Zadatak.

Odredi i geometrijski interpretiraj integrale:

a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .

Rješenje. a) Vrijedi∫ 0

−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral

Zadatak. Odredi i geometrijski interpretiraj integrale:

a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx ,

b)∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx ,

c)∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .

Rješenje.

a) Vrijedi∫ 0

−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .

Rješenje. a)

Vrijedi∫ 0

−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx =

lima→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx =

lima→−∞

(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) =

lima→−∞

(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) =

1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 =

P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b)

Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx =

limb→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx =

limb→+∞

( ln |x |∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) =

+∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ =

P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞exdx = lim

a→−∞

∫ 0

aexdx = lim

a→−∞(ex∣∣∣0a) = lim

a→−∞(e0 − ea) = 1 = P

b) Vrijedi ∫ +∞

1

1xdx = lim

b→+∞

∫ b

1

1xdx = lim

b→+∞( ln |x |

∣∣∣b1) =

= limb→+∞

(ln b− ln 1) = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .

Rješenje. c)

Vrijedi∫ +∞

−∞

11+ x2

dx = lima→−∞b→+∞

∫ b

a

11+ x2


(arctg x∣∣ba ) =

= lima→−∞b→+∞

(arctg b− arctg a) =π

2− (−π

2) = π = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .

Rješenje. c) Vrijedi∫ +∞

−∞

11+ x2

dx =

lima→−∞b→+∞

∫ b

a

11+ x2



= lima→−∞b→+∞


2− (−π

2) = π = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞

11+ x2


∫ b

a

11+ x2

dx =

lima→−∞b→+∞


= lima→−∞b→+∞


2− (−π

2) = π = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞

11+ x2


∫ b

a

11+ x2



= lima→−∞b→+∞


2− (−π

2) = π = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞

11+ x2


∫ b

a

11+ x2



= lima→−∞b→+∞

(arctg b− arctg a) =

π

2− (−π

2) = π = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞

11+ x2


∫ b

a

11+ x2



= lima→−∞b→+∞


2− (−π

2) =

π = P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞

11+ x2


∫ b

a

11+ x2



= lima→−∞b→+∞


2− (−π

2) = π =

P


Odre�eni integral


a)∫ 0

−∞exdx , b)

∫ +∞

1

1xdx , c)

∫ +∞

−∞

11+ x2

dx .


−∞

11+ x2


∫ b

a

11+ x2



= lima→−∞b→+∞


2− (−π

2) = π = P


Odre�eni integral

Definicija.

Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom podintervalu [a, b− ε] domene, onda definiramonepravi integral

b∫a

f (x)dx = limε→0+

b−ε∫a

f (x)dx .

= limε→0+


Odre�eni integral

Definicija. Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R

ome�ena iintegrabilna na svakom podintervalu [a, b− ε] domene, onda definiramonepravi integral

b∫a


b−ε∫a

f (x)dx .

= limε→0+


Odre�eni integral

Definicija. Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom podintervalu [a, b− ε] domene,

onda definiramonepravi integral

b∫a


b−ε∫a

f (x)dx .

= limε→0+


Odre�eni integral

Definicija. Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom podintervalu [a, b− ε] domene, onda definiramonepravi integral

b∫a

f (x)dx =

limε→0+

b−ε∫a

f (x)dx .

= limε→0+


Odre�eni integral


b∫a


b−ε∫a

f (x)dx .

= limε→0+


Odre�eni integral


b∫a


b−ε∫a

f (x)dx .

= limε→0+


Odre�eni integral


b∫a


b−ε∫a

f (x)dx .

= limε→0+


Odre�eni integral


b∫a


b−ε∫a

f (x)dx .

= limε→0+


Odre�eni integral

Definicija.

Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom podintervalu [a+ µ, b] domene, onda definiramonepravi integral

b∫a

f (x)dx = limµ→0+

b∫a+µ

f (x)dx .

= limµ→0+


Odre�eni integral


ome�ena iintegrabilna na svakom podintervalu [a+ µ, b] domene, onda definiramonepravi integral

b∫a


b∫a+µ

f (x)dx .

= limµ→0+


Odre�eni integral

Definicija. Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom podintervalu [a+ µ, b] domene,

onda definiramonepravi integral

b∫a


b∫a+µ

f (x)dx .

= limµ→0+


Odre�eni integral

Definicija. Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom podintervalu [a+ µ, b] domene, onda definiramonepravi integral

b∫a

f (x)dx =

limµ→0+

b∫a+µ

f (x)dx .

= limµ→0+


Odre�eni integral


b∫a


b∫a+µ

f (x)dx .

= limµ→0+


Odre�eni integral


b∫a


b∫a+µ

f (x)dx .

= limµ→0+


Odre�eni integral


b∫a


b∫a+µ

f (x)dx .

= limµ→0+


Odre�eni integral


b∫a


b∫a+µ

f (x)dx .

= limµ→0+


Odre�eni integral

Definicija.

Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom zatvorenom podintervalu domene koji ne sadrzitocku c ∈ 〈a, b〉 , onda definiramo nepravi integral

b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx .

= +


Odre�eni integral


ome�ena iintegrabilna na svakom zatvorenom podintervalu domene koji ne sadrzitocku c ∈ 〈a, b〉 , onda definiramo nepravi integral

b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx .

= +


Odre�eni integral

Definicija. Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom zatvorenom podintervalu domene koji ne sadrzitocku c ∈ 〈a, b〉 ,


b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx .

= +


Odre�eni integral

Definicija. Ako je neome�ena funkcija f : [a, b]→ R ome�ena iintegrabilna na svakom zatvorenom podintervalu domene koji ne sadrzitocku c ∈ 〈a, b〉 , onda definiramo nepravi integral

b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx .

= +


Odre�eni integral


b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx .

= +


Odre�eni integral


b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx .

= +


Odre�eni integral


b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx .

= +


Odre�eni integral


b∫a

f (x)dx =

c∫a

f (x)dx +

b∫c

f (x)dx .

= +


Odre�eni integral

Zadatak.

Odredi i geometrijski interpretiraj integrale:

a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim

µ→0+(−ln |cos x |

∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx ,

b)∫ π

2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .

Rješenje.

a) Vrijedi∫ 1

0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .

Rješenje. a)

Vrijedi∫ 1

0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx =

limε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx =

limε→0+

(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) =

2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 =

P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b)

Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx =

limµ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx =

limµ→0+

(−ln |cos x |∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] =

+∞ = P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ =

P


Odre�eni integral


a)∫ 1

0

1√xdx , b)

∫ π2

0tg xdx .


0

1√xdx = lim

ε→0+

∫ 1

0+ε

1√xdx = lim

ε→0+(2√x∣∣∣1ε) =

= limε→0+

(2√1− 2

√ε) = 2 = P

b) Vrijedi∫ π2

0tg xdx = lim

µ→0+

∫ π2 −µ

0tg xdx = lim


∣∣∣ π2 −µ

0) =

= limb→+∞

(− ln∣∣cos(π

2 − µ)∣∣+ ln |cos 0|) =

= [−(−∞) + 0] = +∞ = P


Odre�eni integralPrimjene odre�enog integrala

Primjene odre�enog integrala su:

izracunavanje površine,izracunavanje duljine luka,izracunavanje volumena rotacijskih tijela,izracunavanje oplošja rotacijskih tijela.

U svim ovim primjenama graf funkcije f (x) aproksimira se izlomljenomlinijom Cn.









izracunavanje površine,

izracunavanje duljine luka,izracunavanje volumena rotacijskih tijela,izracunavanje oplošja rotacijskih tijela.





izracunavanje površine,izracunavanje duljine luka,

izracunavanje volumena rotacijskih tijela,izracunavanje oplošja rotacijskih tijela.





izracunavanje površine,izracunavanje duljine luka,izracunavanje volumena rotacijskih tijela,

izracunavanje oplošja rotacijskih tijela.























Odre�eni integralPovršina

P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP

Naziv: dP = f (x)dx se zove element površineGeometrijski: dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" pravokutnika, tj.pravokutnika nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP




P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP




P =

∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP




P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP




P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP




P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP

Naziv:

dP = f (x)dx se zove element površineGeometrijski: dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" pravokutnika, tj.pravokutnika nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP

Naziv: dP =

f (x)dx se zove element površineGeometrijski: dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" pravokutnika, tj.pravokutnika nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP

Naziv: dP = f (x)dx

se zove element površineGeometrijski: dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" pravokutnika, tj.pravokutnika nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP

Naziv: dP = f (x)dx se zove element površine

Geometrijski: dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" pravokutnika, tj.pravokutnika nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP

Naziv: dP = f (x)dx se zove element površineGeometrijski:

dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" pravokutnika, tj.pravokutnika nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP

Naziv: dP = f (x)dx se zove element površineGeometrijski: dP

predstavlja površinu "infinitezimalnog" pravokutnika, tj.pravokutnika nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP

Naziv: dP = f (x)dx se zove element površineGeometrijski: dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" pravokutnika,

tj.pravokutnika nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



P =∫ b

af (x)dx =

∫ b

adP




⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)

2{∆x → 0} ⇒ dP = f (x)dx (element površine)

Geometrijski: dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" trapeza, tj.trapeza nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)





⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)





⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)





⇒ ∆P =

f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)





⇒ ∆P =

f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)





⇒ ∆P = f (x)∆x +

∆x · ∆f (x)2

= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)2

{∆x → 0} ⇒ dP = f (x)dx (element površine)




⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2=

∆x · f (x) + f (x + ∆x)2





⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)

2





⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)

2{∆x → 0} ⇒

dP = f (x)dx (element površine)




⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)

2{∆x → 0} ⇒ dP =

f (x)dx (element površine)




⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)

2{∆x → 0} ⇒ dP = f (x)dx

(element površine)




⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)





⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)


Geometrijski:

dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" trapeza, tj.trapeza nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)


Geometrijski: dP predstavlja površinu "infinitezimalnog" trapeza,

tj.trapeza nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)





⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)


Sada je:

P =

∫ b

adP =

∫ b

af (x)dx



⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)


Sada je:

P =∫ b

adP =

∫ b

af (x)dx



⇒ ∆P = f (x)∆x +∆x · ∆f (x)

2= ∆x · f (x) + f (x + ∆x)


Sada je:

P =∫ b

adP =

∫ b

af (x)dx


Odre�eni integralDuljina luka

⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2

{∆x → 0} ⇒ ds =√1+ (f ′(x))2dx (element luka)

Geometrijski: ds predstavlja duljinu "infinitezimalnog" luka, tj. luka nadbeskonacno malenim segmentom [x , x + dx ]



⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2





⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2





⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2





⇒ ∆s =

√∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2





⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 =

∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2





⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2





⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2

{∆x → 0} ⇒

ds =√1+ (f ′(x))2dx (element luka)




⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2

{∆x → 0} ⇒ ds =

√1+ (f ′(x))2dx (element luka)




⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2

{∆x → 0} ⇒ ds =√1+ (f ′(x))2dx

(element luka)




⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2





⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2


Geometrijski:

ds predstavlja duljinu "infinitezimalnog" luka, tj. luka nadbeskonacno malenim segmentom [x , x + dx ]



⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2


Geometrijski: ds predstavlja duljinu "infinitezimalnog" luka,

tj. luka nadbeskonacno malenim segmentom [x , x + dx ]



⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2





⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2


Sada je:

s =

∫ b

ads =

∫ b

a

√1+ (f ′(x))2dx .



⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2


Sada je:

s =∫ b

ads =

∫ b

a

√1+ (f ′(x))2dx .



⇒ ∆s =√

∆x2 + ∆f (x)2 = ∆x

√1+ (

∆f (x)∆x

)2


Sada je:

s =∫ b

ads =

∫ b

a

√1+ (f ′(x))2dx .


Odre�eni integralVolumen rotacijskog tijela

⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))

{∆x → 0} ⇒ dV = πf (x)2dx (element volumena)

Geometrijski: dV predstavlja volumen "infinitezimalnog" krnjeg stošca, tj.krnjeg stošca nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =

π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))

{∆x → 0} ⇒

dV = πf (x)2dx (element volumena)




⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))

{∆x → 0} ⇒ dV =

πf (x)2dx (element volumena)




⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))

{∆x → 0} ⇒ dV = πf (x)2dx

(element volumena)




⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))


Geometrijski:

dV predstavlja volumen "infinitezimalnog" krnjeg stošca, tj.krnjeg stošca nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))


Geometrijski: dV predstavlja volumen "infinitezimalnog" krnjeg stošca,

tj.krnjeg stošca nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))





⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))


Sada je: V =

∫ b

adV =

∫ b

aπf (x)2dx = π

∫ b

af (x)2dx .



⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))


Sada je: V =∫ b

adV =

∫ b

aπf (x)2dx = π

∫ b

af (x)2dx .



⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))


Sada je: V =∫ b

adV =

∫ b

aπf (x)2dx =

π∫ b

af (x)2dx .



⇒ ∆V =π∆x3(f (x)2 + f (x + ∆x)2 + f (x) · f (x + ∆x))


Sada je: V =∫ b

adV =

∫ b

aπf (x)2dx = π

∫ b

af (x)2dx .


Odre�eni integralOplošje rotacijskog tijela

⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s

{∆x → 0} ⇒ dO = 2πf (x)ds = 2πf (x)√1+ (f ′(x))2dx (el. oplošja)

Geometrijski: dO predstavlja oplošje "infinitezimalnog" krnjeg stošca, tj.krnjeg stošca nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O =

π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s

{∆x → 0} ⇒

dO = 2πf (x)ds = 2πf (x)√1+ (f ′(x))2dx (el. oplošja)




⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s

{∆x → 0} ⇒ dO =

2πf (x)ds = 2πf (x)√1+ (f ′(x))2dx (el. oplošja)




⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s

{∆x → 0} ⇒ dO = 2πf (x)ds =

2πf (x)√1+ (f ′(x))2dx (el. oplošja)




⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s

{∆x → 0} ⇒ dO = 2πf (x)ds = 2πf (x)√1+ (f ′(x))2dx

(el. oplošja)




⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s


Geometrijski:

dO predstavlja oplošje "infinitezimalnog" krnjeg stošca, tj.krnjeg stošca nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s


Geometrijski: dO predstavlja oplošje "infinitezimalnog" krnjeg stošca,

tj.krnjeg stošca nad beskonacno malenim segmentom [x , x + dx ].



⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s





⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s


Sada je: O =

∫ b

adO = 2π

∫ b

af (x)

√1+ (f ′(x))2dx



⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s


Sada je: O =∫ b

adO =

2π∫ b

af (x)

√1+ (f ′(x))2dx



⇒ ∆O = π(f (x) + f (x + ∆x))∆s


Sada je: O =∫ b

adO = 2π

∫ b

af (x)

√1+ (f ′(x))2dx


Documents

Integralgradst.unist.hr/Portals/9/docs/katedre/Matematika/PSGG MA...Odreƒeni integral Motivacija Motivacija. Odreƒivanje povrıine nepravilnih ravninskih likova. Uoµcimo: meƒu