M. Beśka, Statystyka matematyczna - Strona Główna ... · M. Beśka, Statystyka matematyczna 3 Zad. 14 : ZmiennalosowaXmarozkładPoissonazparametrem . Rozkładwarunkowy zmiennej

M. Beśka, Statystyka matematyczna 1

Mat. Fin. i Bio., Gdańsk, 01.10.2018

Zestaw zadań ze statystyki matematycznej

Zestaw 1

Zad. 1. Wykazać, że jeśli X1, X2, . . . są zmiennymi losowymi o jednakowych wartościachoczekiwanych EXi = m dla i = 1, . . . to

E

(1

N

N∑i=1

Xi

)= m,

niezależnie od tego czy N jest ustaloną liczba naturalną, czy zmienną losową niezależnąod X1, X2, . . .

Zad. 2. Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1)). Obliczyć war-tość oczekiwaną zmiennej losowej Y = min X

1−X ,1−XX .

Zad. 3∗. Niech X1, . . . , Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkła-dzie jednostajnym na przedziale (0, 1). Wykazać, że zmienna losowa Y = 1

n

∑ni=1Xi ma

gęstość

g(x) =

nn

(n−1)!

∑ki=0(−1)i

(ni

)(x− i

n

)n−1, gdy k

n ≤ x ≤k+1n , k = 0, 1, . . . , n− 1,

0 w przeciwnym przypadku

Zad. 4. Niech X1, . . . , Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładziedwumianowym Ber(ni, p), 1 ≤ i ≤ n. Wykazać, że zmienna losowa Y = X1 + · + Xn marozkład dwumianowy.

Zad. 5. Niech X1, . . . , Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładziePoisona P (λi), 1 ≤ i ≤ n. Wykazać, że zmienna losowa Y = X1 + · + Xn ma rozkładPoissona.

Zad. 6. Niech X1, . . . , Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzieCauchy’ego C(αi, λi), αi ∈ IR, λi > 0, 1 ≤ i ≤ n. Wykazać, że zmienna losowa Y =X1 + ·+Xn ma rozkład Cauchy’ego.


Zad. 7. Niech X1, . . . , Xn będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładziewykładniczym z parametrem λ > 0. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y = X1 + · · ·+Xn.

Zad. 8. Niech zmienna losowa U ma rozkład jednostajny na przedziale (0, 1) i niech Fbędzie dystrybuantą pewnego rozkładu. Wykazać, że zmienna losowa Y = F−1(U) madystrybuantę F .

Zad. 9. Zmienne losowe X i Y są niezależne o gęstościach:

fX(x) =

2x dla x ∈ (0, 1),

0 dla pozostałych x,x ∈ IR,

fY (y) =

exp(−y) dla y > 0,

0 dla pozostałych y,y ∈ IR.

Niech S = X + Y . Obliczyć E(S |X ≤ 1/2).

Zad. 10. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach dwumiano-wych Ber(n, p) i Ber(m, p) odpowiednio. Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowejX pod warunkiem X + Y = t oraz obliczyć E(X |X + Y = t).

Zad. 11. Niech N1, N2 będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissona zparametrem λ1 = 20 i λ2 = 30 odpowiednio. Obliczyć wariancję warunkową: var(N1 |N1 +N2 = 50).

Zad. 12. Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie Poissonaz parametrem λ > 0. Znaleźć rozkład warunkowy zmiennej losowej X1 pod warunkiem Sn,gdzie Sn =

∑ni=1Xi.

Zestaw 2

Zad. 13. Niech N,X1, X2, . . . będzie ciagiem niezależnych zmiennych losowych. Zmiennalosowa N na rozkład Poissona z parametrem λ, a zmienne losowe Xi dla i = 1, 2, . . . mająrozkład dwupunktowy tj.

PXi = 1 =2

3, PXi = 2 =

1

3.

Niech SN =∑N

i=1Xi. Obliczyć E(N |SN = 3).


Zad. 14∗. Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Rozkład warunkowyzmiennej losowej Y przy warunku X = k jest rozkładem dwumianowym z parametrami(k, p). Wykazać, że zmienna losowa Y ma rozkład Poissona z parametrem λp. Następniewykazać niezależność zmiennych losowych Y i X − Y oraz wyznaczyć rozkład warunkowyX przy warunku Y = y.

Zad. 15. Niech będzie dane σ-ciało B generowane przez skończone lub przeliczalne nieskoń-czone rozbicie Aii∈I zbioru Ω. Wykazać, że

P (B | B) =∑

i∈I,P (Ai)>0

P (B |Ai) IAi , B ∈ F

oraz dla całkowalnej zmiennej losowej X (E|X| <∞)

E(X | B) =∑

i∈I,P (Ai)>0

1

P (Ai)

∫Ai

X(ω) dP (ω) IAi .

Zad. 16. Niech Ω = [0, 1], a P bedzie miarą Lebesgue’a na zbiorach borelowskich Ω.Niech B będzie σ-algebrą generowaną przez rodzinę zbiorów [0, 1/3), 1/3, (1/3, 1/2).Wyznaczyć dwie różne wersje E(X | B) jeśli

(a) X(ω) = ω, (b) X(ω) = sinπω, (c) X(ω) = ω2, (d) X(ω) = 1− ω,

(e) X(ω) =

1, ω ∈ [0, 1/3],

2, ω ∈ (1/3, 1],ω ∈ Ω.

Wyznaczyć dystrybuanty otrzymanych zmiennych losowych.

Zad. 17. Niech Ω = [0, 1], a P będzie miarą Lebesgue’a na zbiorach borelowskich Ω.Niech B będzie σ-algebrą generowaną przez rodzinę zbiorów [0, 1/4), [1/4, 3/4), [3/4, 1].Wyznaczyć P (· | B) oraz E(X | B), gdzie X(ω) = ω2, ω ∈ Ω.

Zad. 18. Niech Ω = [0, 1], a P będzie miarą Lebesgue’a na zbiorach borelowskich Ω.Dana jest zmienna losowa X(ω) = ω, ω ∈ Ω. Wyznaczyć E(X | B) jeśli B jest σ-algebrągenerowaną przez zmienną losową Y (ω) = min2ω, 1, ω ∈ Ω.

Zad. 19. Niech Ω = [0, 1], a P będzie miarą Lebesgue’a na zbiorach borelowskich Ω. Danajest zmienna losowa X(ω) = ω, ω ∈ Ω. Wyznaczyć warunkowy rozkład zmiennej losowejX względem σ-algebry generowanej przez zmienną losową Y , jeśli

(a) Y (ω) = sinπω, (b) Y (ω) =

1, ω ∈ [0, 1/3),

0, ω ∈ [1/3, 1],,


(c) Y (ω) =

1− 3ω, ω ∈ [0, 1/3),

(3ω − 1)/2, ω ∈ [1/3, 1],, ω ∈ Ω.

Zad. 20. Niech X będzie nieujemną zmienną losową i niech B ⊂ F będzie σ-algebrą.Wykazać, że E(X | B) <∞ (P −p.w.) wtedy i tylko wtedy, gdy miara Q określona wzorem

Q(A) =

∫AX(ω) dP (ω), A ∈ B

jest σ-skończona.

Zad. 21. Niech B będzie rodziną zdarzeń losowych takich, że P (A) = 1 lub P (A) = 0 dlaA ∈ B. Wykazać, że B jest σ-algebrą oraz wyznaczyć regularna wersję prawdopodobieństwaP (· | B).

Zad. 22. Niech X, Y ∈ L1(Ω,F , P ) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o takimsamym rozkładzie. Wykazać, że

E(X | X + Y ) = E(Y |X + Y ) =X + Y

2, P=p.w.

Zad. 23∗. Niech X, Y ∈ L1(Ω,F , P ) będą zmiennymi losowymi. Wykazać(E(X |Y ) = Y ∧ E(Y |X) = X, P-p.w.

)⇒(X = Y, P-p.w.

)Zad. 24. Zmienne losowe X i Y są niezależne o skończonej wariancji. Wykazać, że

Var(XY ) = E(Var(XY |X)) + Var(E(XY |X)).

Zestaw 3

Zad. 25. Wykazać, że zmienna losowa X jest niezależna od σ-algebry B wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnej funkcji borelowskiej ograniczonej ϕ takiej, że E|ϕ(X)| < ∞spełniony jest warunek

E(ϕ(X) | B) = Eϕ(X).

Zad. 26. Niech µ będzie regularną wersją rozkładu warunkowego zmiennej losowej Xwzględem σ-algebry B. Ponadto niech Y będzie zmienną losową B-mierzalną. Wykazać,


że dla dowolnej funkcji borelowskiej ϕ takiej, że E|ϕ(X,Y )| <∞ zachodzi

E(ϕ(X,Y ) | B)(·) =

∫Rϕ(x, Y (·))µ(dx, ·), P-p.w.

Jak się przedstawia powyższy wzór w przypadku, gdy zmienna losowa X jest niezależnaod σ-algebry B.

Zad. 27. Rozwiązać zadanie 1 z zestawu 1 korzystając z powyższego zadania.

Zad. 28∗. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem α = 1. Rozkładwarunkowy zmiennej losowej Y pod warunkiem X = x jest rozkładem Poissona z parame-trem λ = x. Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X,Y ) oraz obliczyć cov(X,Y ).

Zad. 29∗. Niech N,X1, X2, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, gdziezmienna losowa N ma rozkład geometryczny z parametrem p ∈ (0, 1) tzn.

PN = n = (1− p)np dla n = 0, 1, 2, . . . ,

a zmienne losoweXi, i = 1, 2, . . .mają rozkład wykładniczy z parametrem α = 1. Określmy

Y =

∑Ni=1Xi dla N 6= 0,0 dla N = 0.

Wykazać, że dla y > 0 zachodzi równość

Var(N |Y = y) + 1 = E(N |Y = y).

Zad. 30. Niech X i Y będą danymi zmiennymi losowymi o gęstościach fX i fY względemmiar σ-skończonych λ1 i λ2 odpowiednio. Niech ponadto wektor losowy (X,Y ) ma gęstośćf(X,Y ) względem miary produktowej λ1 ⊗ λ2. Wtedy dla każdego A ∈ B(IR) mamy

P (X ∈ A |Y = y) =

∫AfX|Y (x| y) dλ1(x), µY − p.w,

gdzie µY jest rozkładem zmiennej losowej Y oraz

fX|Y (x| y) =f(X,Y )(x, y)

fY (y), x ∈ IR

dla y ∈ IR takich, że fY (y) 6= 0.

Zad. 31. Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X,Y ) ma gęstość

f(x, y) =

1π dla x2 + y2 < 1,

0 dla x2 + y2 ≥ 1,(x, y) ∈ IR2.


Wyznaczyć fX|Y oraz obliczyć Cov(X,Y ).

Zad. 32. Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X,Y ) ma gęstość postaci:

f(x, y) =

cx(2− 2y − x) dla x, y ≥ 0 ∧ x/2 + y ≤ 1,

0 dla pozostałych x, y,(x, y) ∈ IR2.

(i) Wyznaczyć stałą c.

(ii) Obliczyć gęstości brzegowe fX i fY .

(iii) Wyznaczyć gęstości warunkowe fX|Y i fY |X .

(iv) Obliczyć warunkowe warości oczekiwane E(X |Y = y) i E(Y |X = x).

(v) Obliczyć warunkowe wariancje Var(X |Y = y) i Var(Y |X = x).

Zad. 33. Wyznaczyć gęstość wektora losowego (X,Y ), jeśli gęstość brzegowa fX jest po-staci

fX(x) =

c(x− 2)2 dla 2 < x ≤ 7,

c(12− x)2 dla 7 < x ≤ 12,

0 dla pozostałych x,

x ∈ IR

dla pewnej stalej c oraz dana jest gęstość brzegowa fY |X postaci

fY |X(y|x) =

1/3 dla x/2− 1 ≤ y ≤ x/2 + 2,

0 dla pozostałych y.y ∈ IR, dla x ∈ (2, 12).

Zad. 34. Wektor losowy (X,Y ) ma gęstość

f(x, y) =

x+ y dla (x, y) ∈ [0, 1]2,

0 dla (x, y) 6∈ [0, 1]2,(x, y) ∈ IR2.

Wyznaczyć E(X|Y = y) oraz E(X exp(Y + 1/Y ) |Y = y).

Zad. 35∗. Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X,Y ) ma gęstość

f(x, y) =

c(|x|+ |y|) dla (x, y) ∈ K,

0 dla (x, y) 6∈ K,(x, y) ∈ IR2,


gdzie K ⊂ IR2 jest równoległobokiem ograniczonym prostymi: y = x − 1, y = x + 1,y = x/3 − 1, y = x/3 + 1. Wyznaczyć stałą c oraz E(X |Y = y) , E(X2 |Y = y),E(Y |X = x).

Zad. 36. Dwuwymiarowy wektor losowy (X,Y ) ma gęstość

f(x, y) =

0, 2(x+ 2y) dla (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 2],

0 dla (x, y) 6∈ [0, 1]× [0, 2],(x, y) ∈ IR2.

Wyznaczyć: E(X |Y = y) , E(X2 + 1 |Y = y), E(Y |X = x).

Zestaw 4

Zad. 37. Niech wektor losowy (X,Y ) ma gęstość dana wzorem (k ≥ 2)

f(X,Y )(x, y) =

k(k − 1)(y − x)k−2 dla 0 < x < y < 1,

0 dla pozostałych (x, y),(x, y) ∈ IR2.

Wyznaczyć E(X |Y = y) oraz E(Y |X). Wykorzystując otrzymane wzory obliczyć E(X).

Zad. 38. NiechX1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładni-czym z parametrem α = 1. Znaleźć rozkład Sn oraz rozkład warunkowyX1 pod warunkiemSn, gdzie Sn =

∑ni=1Xi.

Zad. 39. Niech X1, . . . , Xn będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normal-nym N(m, 1). Znaleźć rozkład warunkowy zmiennej losowej X1 pod warunkiem Sn/n,gdzie Sn =

∑ni=1Xi.

Zad. 40. Niech A1, . . . , Ad będą podzbiorami otwartymi IRk takimi, że dla wektora loso-wego X : Ω→ IRk mamy

PX ∈

d⋃i=1

Ai

= 1, PX ∈ Ai ∩Aj = 0, i 6= j, i, j = 1, 2, . . . , d.

Załóżmy ponadto, że odwzorawanie g :⋃di=1Ai → IRk będzie funkcją o następujących

własnościach:a) funkcja g jest ciągła i różnowartościowa na każdym Ai, i = 1, . . . , d.b) funkcja g−1 jest lokalnie lipschitzowska na każdym g(Ai), i = 1, . . . , d.


Udowodnić, że jeżeli fX jest gęstością wektora losowego X to wektor losowy Y = g(X) magęstość postaci

fY (y) =

d∑i=1

fX(g−1i (y)) |J(g−1

i (y))| Ig(Ai)(y), y ∈ IRk,

gdzie gi oznacza obcięcie przekształcenia g do zbioru Ai dla i = 1, . . . , d.

Zad. 41. Wektor losowy (X,Y ) ma gęstość

f(x, y) =

x+ y dla (x, y) ∈ [0, 1]2,

0 dla (x, y) 6∈ [0, 1]2,(x, y) ∈ IR2.

(a) Wyznaczyć gęstość f(U,V ) wektora losowego (U, V ) = (sin(πX), cos(πY )).

(b) Wyznaczyć gęstość f(U,V ) wektora losowego (U, V ) = (X exp(Y+1Y ), Y ), a następnie

obliczyć EX exp[(Y + 1)/Y ] |Y = y

Zad. 42∗. Niech dwuwymiarowy wektor losowy (X,Y ) ma gęstość

f(x, y) =

c(x+ y) dla 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 2− x,

0 dla pozostałych (x, y),(x, y) ∈ IR2.

Wyznaczyć stałą c oraz f(U,V ) gęstość wektora losowego (U, V ), gdzie U = |Y − 1| + X,V = 2X + Y + 1.

Zad. 43. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na przedziale (0, 1). Wyznaczyćrozkłady zmiennych losowych Y = −λ ln(1−X) i U = −λ ln(X), gdzie λ > 0.

Zad. 44. Zmienna losowa X ma rozklad jednostajny na przedziale (0, π). Wykazać, żezmienna losowa Y = tg(X) ma rozkład Cauchy’ego.

Zad. 45. Wykazać, że jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie stan-dardowym normalnym to zmienna losowa X/Y ma rozkład Cauchy’ego.

Zad. 46. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie wykładniczymz parametrem α = 1. Oznaczmy U = X−Y , V = Y . Wyznaczyć gęstość wektora losowego(U, V ).

Zad. 47. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie jednostajnymna przedziale (0, 1). Określmy

U =√−2 ln(X) cos(2πY ), V =

√−2 ln(X) sin(2πY ).


Wykazać, że U i V są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym N(0, 1).

Zad. 48. Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnymN(0, 1). Wyznaczyć gęstość rozkładu wektora losowego (U, V ), gdzie

U =√X2 + Y 2, V = X/Y.

Czy zmienne losowe U i V są niezależne?

Zestaw 5

Zad. 49. Mówimy, że wektor losowy X = (X1, . . . , Xn) ma rozkład normalny (gaussow-ski), jeśli jego funkcja charakterystyczna ϕ = ϕX ma postać

(1) ϕ(t) = exp[i(t,m)− 1

2(Rt, t)

], t ∈ IRn,

gdzie m ∈ IRn jest ustalonym wektorem oraz R jest macierza kwadratową stopnia n syme-tryczną i nieujemnie określoną tzn. (Rt, t) ≥ 0 dla t ∈ IRn, a (·, ·) jest iloczynem skalarnymw IRn. Wykazać, że funkcja dana wzorem (1) jest rzeczywiście funkcją charakterystycznąpewnego wektora losowego (rozkładu).

Zad. 50. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie wektorem losowym o rozkładzie normalnym,którego funkcja charakterystyczna dana jest wzorem (1). Wykazać, że

E(X) = m, cov(X) = R, PX ∈ m+ Im(R) = 1.

Wykazać ponadto, że jeśli H ⊂ Im(R) jest podprzestrzenią liniową taką, że PX ∈ m +H = 1 to H = Im(R).

Zad. 51. Dany jest normalny wektor losowy X = (X1, . . . , Xn) ∈ N(m,R). Wykazać, żewektor losowy Y = AX + a, gdzie A jest macierzą wymiaru k × n i a ∈ IRk ma rozkładnormalny. Wyznaczyć jego parametry.

Zad. 52. Wyznaczyć płaszczyznę (podać jej równanie ogólne) na której skoncentrowanyjest normalny wektor losowy X = (X1, X2, X3) o macierzy kowariancji R i o wektorześrednim m, jeśli

m = (1, 2, 1), R =

5 4 −24 5 2−2 2 8

.


Zad. 53. Wektor losowy X = (X1, X2, X3) ma rozkład normalny o macierzy kowariancji

R i o wektorze średnim m, gdzie m = (1, 2, 1), R =

5 4 −24 5 2−2 2 8

. Podać równanie

ogólne płaszczyzny na której jest skoncentrowany wektor losowy Y = AX, jeśli A = 1 0 11 −1 11 1 0

.Zad. 54. Wektor losowy X = (X1, X2, X3) ma rozkład normalny o macierzy kowariancji

R i o wektorze średnim m, gdzie m = (1, 2, 1), R =

5 4 −24 5 2−2 2 8

. Podać równanie

krawędziowe prostej na której jest skoncentrowany wektor losowy Y = AX, jeśli A = 1 2 12 4 2−1 −2 −1

.Zad. 55. Wykazać, że:a) Wektor losowy X = (X1, . . . , Xn) ma rozkład normalny wtedy i tylko wtedy gdy, dlakażdego u = (u1, . . . , un) ∈ IRn zmienna losowa (u,X) ma rozkład normalny.b) Jeśli wektor losowy X = (X1, . . . , Xn) ma rozkład normalny to jego rozkłady brzegoweteż są normalne.

Zad. 56. Wyznaczyć odwzorowanie liniowe, które przeniesie standartowy rozkład nor-malny w IR2 na rozkład normalny w IR3 o macierzy kowariancji

R =

1 1 11 1 11 1 1

.Zad. 57. Wykazać, że składowe normalnego wektora losowego X = (X1, . . . , Xn) są nie-zależne wtedy i tylko wtedy, gdy są nieskorelowane. Podać przykład wektora losowego(X,Y ), którego rozkłady brzegowe są normalne, X,Y są nieskorelowane, a rozkład (X,Y )nie jest normalny.

Zad. 58. Wykazać, że jeśli wyznacznik macierzy kowariancji normalnego wektora losowegojest dodatni to rozkład tego wektora posiada gęstość.

Zad. 59. Wykazać, że gęstość (o ile istnieje) normalnego wektora losowego (X,Y ) można


przedstawić w postaci:

f(x, y) =1

2πσXσY√

1− ρ2×

exp

− 1

2(1− ρ2)

[(x−mX)2

σ2X

− 2ρ(x−mX)(y −mY )

σXσY+

(y −mY )2

σ2Y

],

gdzie: mX = EX, mY = EY , σX , σY - odchylenia standardowe zmiennych losowych X iY oraz ρ - współczynnik korelacji X i Y .

Zad. 60∗. Niech (X,Y ) będzie wektorem normalnym takim, że X, Y ∈ N(0, 1) orazE(XY ) = ρ, gdzie |ρ| < 1. Wykazać, że

E|XY | = 2

π

(√1− ρ2 + ρ arcsin(ρ)

).

Wsk. Przedstawić macierz1

1− ρ2

[1 −ρ−ρ 1

]w postaci iloczynu macierzy AAT i zastosować odpowiednie podstawienie.

Zestaw 6

Zad. 61. Wektor losowy W = (X,Y, Z) ma rozkład normalny o gęstości

f(x, y, z) = C exp

[−1

2(2x2 + y2 + 3z2 − 2xy − 2yz + 4xz)

].

Wyznaczyć C oraz macierz kowariancji tego wektora losowego oraz wyznaczyć gęstość

wektora losowego Y = AW jeśli A =

1 0 11 −1 11 1 0

.Zad. 62. Dane są niezależne zmienne losowe X, Y , Z są o rozkładzie normalnym N(0, 1).

Wykazać, że zmienna losowa U =X + Y Z√

1 + Z2ma rozkład normalny N(0, 1).

Zad. 63. Niech (Y,X1, . . . , Xn) będzie wektorem normalnym, gdzie zmienne losoweX1, . . . , Xn

są niezależne. Wykazać, że

E(Y |X1, . . . , Xn) = EY +n∑i=1

cov(Y,Xi)

var(Xi)(Xi − EXi).


Wsk. Udowodnić najpierw, że

E(Y − EY |X1, . . . , Xn) =n∑i=1

ai (Xi − EXi),

gdzie ai ∈ IR dla i = 1, 2, . . . , n.

Zad. 64. Zmienna losowa X ma rozkład gamma G(a, p) jeśli jej gęstość wynosi

f(x) =

0 dla x ≤ 0,ap

Γ (p)xp−1e−ax dla x > 0,

gdzie a > 0, p > 0 oraz Γ (p) jest funkcją gamma. Wykazać, że

E(X) =p

a, Var(X) =

p

a2.

Dany jest ciąg niezależnych zmiennych losowych Xini=1 o rozkładzie normalnym N(0, 1).Wykazać, że zmienna losowa

Y = X21 + · · ·+X2

n

ma rozkład gamma G(1/2, n/2). Mówimy wtedy, że zmienna losowa Y ma rozkład χ2

(chi-kwadrat) o n stopniach swobody.

Zad. 65. Zmienna losowa X ma rozkład t Studenta o n stopniach swobody jeśli jej gęstośćwynosi

f(x) =1√

nB(1/2, n/2)

(1 +

x2

n

)−n+12

,

gdzie B(1/2, n/2) jest funkcją beta. Dane są niezależne zmienne losowe X i Y o rozkładach(odpowiednio) N(0, 1) i G(1/2, n/2). Wykazać, że zmienna losowa

Z =X√Y/n

ma rozkład t Studenta o n stopniach swobody. Korzystając ze wzoru Stirlinga dla funkcjigamma (patrz np. G. M. Fichtenholz „rachunek różniczkowy i całkowy“ tom II)

ln Γ(a) =√

2π +(a− 1

2

)ln a− a+

θ

12a, a > 0, 0 < θ < 1.

wykazać, że

f(x) −−−→n→∞

1√2π

exp(− x2

2

), x ∈ IR.


Zad. 66. Zmienna losowa X ma rozkład beta B(p, q) jeśli jej gęstość wynosi

f(x) =

0 dla x ≤ 0 ∨ x ≥ 1,1

B(p, q)xp−1(1− x)q−1 dla 0 < x < 1,

gdzie p > 0, q > 0 oraz B(p, q) jest funkcją beta. Udowodnić, że jeśli zmienna losowa Xma rozkład t Studenta o n stopniach swobody to zmienna losowa

Y =1

1 +X2/n

ma rozkład beta B(n/2, 1/2).

Zad. 67. Wykazać, że jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne o rozkładach gammaodpowiednio G(1, p1) i G(1, p2) to zmienna losowa

Z =X

X + Y

ma rozkład beta B(p1, p2).

Zad. 68. Zmienna losowa X ma rozkład F Snedecora o (n,m) stopniach swobody jeśli jejgęstość wynosi

f(x) =

0 dla x ≤ 0,

1

B(n/2,m/2)

( nm

)n2x

n2−1(

1 +n

mx)−n+m

2dla x > 0,

gdzie B(n/2,m/2) jest funkcją beta. Wykazać, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład χ2

(patrz zad. 2) o n stopniach swobody i zmienna losowa Y ma rozkład χ2 o m stopniachswobody i zmienne te są niezależne to zmienna losowa

F =X/n

Y/m

ma rozkład F Snedecora o (n,m) stopniach swobody.

Zad. 69. Wykazać, że jeżeli zmienna losowa X ma rozkład t Studenta o n stopniachswobody, to zmienna losowa Y = X2 ma rozkład F Snedecora o (1, n) stopniach swobody.

Zad. 70. Wykazać, że jeśli zmienna losowa X ma rozkład F Snedecora o (m,n) stopniachswobody to zmienna losowa

Y =mX

n+mX


ma rozkład beta B(m/2, n/2).

Zad. 71. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m,σ2). Wyka-zać, że statystyki:

X =1

n

n∑i=1

Xi i S2 =1

n

n∑i=1

(Xi −X )2

są niezależne (jako zmienne losowe) oraz X ma rozkład normalny N(m,σ2/n), a statystykanS2/σ2 ma rozkład χ2 o n− 1 stopniach swobody.

Zad. 72. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m,σ2). Wyka-zać, że statystyka t Studenta określona wzorem

tn =X −mS

√n− 1

ma rozkład t Studenta o n−1 stopniach swobody. Definicja X i S jest w zadaniu powyżej.

Zestaw 7

Zad. 73. Niech X= (X1, . . . , Xn) i Y= (Y1, . . . , Yk) będą dwiema niezależnymi próbamiprostymi z rozkladu normalnego N(m,σ2). Wykazać, że statystyka

Z =X − Y√nS2

X + kS2Y

√nk

n+ k(n+ k − 2),

gdzie

X =1

n

n∑i=1

Xi, Y =1

k

k∑i=1

Yi, S2X =

1

n

n∑i=1

(Xi −X )2, S2Y =

1

k

k∑i=1

(Yi − Y )2

ma rozkład Studenta o n+ k − 2 stopniach swobody.

Zad. 74. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu symetrycznego (E|X|3 < ∞).Udowodnić, że statystyki

X =1

n

n∑i=1

Xi i S∗ 2 =1

n− 1

n∑i=1

(Xi −X )2


są nieskorelowane.

Zad. 75. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład gamma G(a, p). Wyznaczyć rozkład statystyki X.

Zad. 76. Niech tn będzie statystyka Studenta o n− 1 stopniach swobody. Wykazać słabązbieżność tn

D−→N(0, 1), gdy n→∞.

Zad. 77. Podać przykład dystrybuanty F rozkładu dyskretnego dla której F−1(1/2) jestjej punktem ciągłości.

Zad. 78. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(1, 2). ObliczyćE[F10(1.2;X)] i Var(F10(1.2;X)).

Zad. 79. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu wykładniczego z parametremα = 1. Wykazać, że dla każdego x ∈ IR

limn→∞

P(X(n) − lnn ≤ x

)= exp[− exp(−x)].

Zad. 80. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu o ciągłej dystrybuancie F .Wykazać, że zmienna losowa F (X(k)) ma rozkład beta B(k, n− k + 1).

Zad. 81. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem λ > 0.Korzystając z definicji, udowodnić, że T (X) =

∑ni=1Xi jest statystyką dostateczną dla

parametru λ.

Zad. 82∗. NiechX = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu wykładniczego z parametremα > 0. Korzystając z definicji, udowodnić, że T (X) =

∑ni=1Xi jest statystyką dostateczną

dla parametru α > 0.

Zad. 83. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu wykładniczego ujemnego oparametrach µ ∈ IR i σ > 0 tj. o gęstości

f(x) =1

σexp

(−x− µ

σ

)χ(µ,+∞)(x), x ∈ IR.

a) Udowodnić, że (X(1),∑n

i=1Xi) jest statystyką dostateczną dla wektora parametrów(µ, σ).

b) Pokazać, że statystyka T (X) = min(X1, . . . , Xm) jest statystyką dostateczną dla para-metru µ przy ustalonej wartosci parametru σ > 0.

c) Znaleźć statystykę dostateczną dla parametru σ > 0 przyjmując wartość parametru µza znaną.


Zad. 84. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z z rozkładu cechy X. Wyznaczyć staty-stykę dostateczną dla rodziny rozkładów cechy X jeśli jest to:

1. Rodzina rozkładów gamma G(a, p), gdzie a, p > 0;

2. Rodzina rozkładów jednostajnych na (a, b), gdzie a, b ∈ IR

3. Rodzina rozkładów beta B(p, q), gdzie p, q > 0;

4. Rodzina rozkładów Pareto z parametrem α > 0 tj. o gęstości f(x) = α/xα+1 I(1,∞)(x)

5. Rodzina rozkładów dwumianowych ujemnych z parametrami: p ∈ (0, 1) i znanymr ∈ IN.

Zad. 85. Niech Z = ((X1, Y1), . . . , (Xn, Yn)) bedzie próbą z dwuwymiarowego rozkladumormalnego N(m,Σ), gdzie m = (m1,m2) oraz macierz kowariancji Σ (det(Σ) > 0) jestpostaci (

σ21 ρσ1σ2

ρσ1σ2 σ22

).

Rozważyć wszystkie możliwe przypadki, w których niektóre z pięciu parametrów są znane(a pozostałe nieznane) i za każdym razem wyznaczyć statystyke dostateczną. Porównaćwymiar statystyki z liczbą nieznanych parametrów.

Zestaw 8

Zad. 86. Niech (X1, . . . ,Xn) będzie próbą z k-wymiarowego rozkładu normalnegoN(m,Σ)

(det(Σ) > 0). Korzystając z tożsamości XTAX = tr(AXX

T) że wektor (X,S2), gdzie

X =n∑i=1

Xi/n, S2 =1

n

n∑i=1

(Xi −X)(Xi −X)T

jest statystyką dostateczną dla parametru (m,Σ).

Zad. 87. Pokazać, że statystyka T (X) jest dostateczna dla parametru θ wtedy i tylkowtedy, gdy dla dowolnej statystyki S(X) przyjmującej wartości w IR i spełniającej warunekEθ(|S(X)|) < ∞ dla wszystkich θ, warunkowa wartość oczekiwana Eθ(S(X) |T (X)) niezależy od parametru θ.


Zad. 88. Losujemy bez zwracania n jednostek z partii N wyrobów, spośród których Nθjest wadliwych. Dla i = 1, 2, . . . , n niech Xi = 1, gdy i-ta jednostka jest wadliwa orazXi = 0 gdy nie jest wadliwa. Pokazać, że statystyka T (X) =

∑ni=1Xi jest dostateczna dla

parametru θ.

Zad. 89. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z pewnego rozkładu ciągłego o gęstościf . Traktując f jako parametr, pokazać, że wektor statystyk pozycyjnych (X(1), . . . , X(n))jest statystyką dostateczną dla f .

Zad. 90. NiechX = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu beta B(θ, θ), θ > 0. Wyznaczyćminimalną statystykę dostateczną dla parametru θ.

Zad. 91. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu beta B(p, q), p, q > 0. Wyzna-czyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru θ = (p, q).

Zad. 92. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu o gęstości

fθ(x) =2

θ2(θ − x) I(0,θ)(x), x ∈ IR, θ ∈ Θ = (0,∞).

Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru θ.

Zad. 93. Pokazać, że rodzina rozkładów Poissona z parametrem λ > 0 należy do wykład-niczej rodziny rozkładów. Podać przedstawienie rozkładu Poissona w naturalnej parame-tryzacji tej rodziny.

Zad. 94. Sprawdzić, czy1. Rozkłady beta tworzą dwuparametrową rodzinę wykładniczą;2. Rodzina rozkładów Rayleigha z parametrem σ > 0 należy do rodziny wykładniczej;3. Dwuwymiarowe rozkłady normalne tworzą pięcioparametrową rodzinę wykładniczą.4. Rodzina rozkładów normalnych N(m,σ) należy do rodziny wykładniczej.5. Rodzina rozkładów o gestościach

fθ(x) =2 (x+ θ)

1 + 2θ, x ∈ (0, 1), θ ∈ Θ = (0,∞)

należy do rodziny wykładniczej.

Zad. 95. Niech X będzie liczba niezależnych zarzuceń wędki do pierwszego sukcesu. Wy-znaczyć rozkład X (prawdopodobieństwo sukcesu przy każdym zarzuceniu wędki jest takiesame). Wyznaczyć rozkład X oraz wykazać, że rodzina rozkładów

∑ni=1Xi stanowi jed-

noparametrową rodzinę wykładniczą, gdzie X1, . . . , Xn jest próbą z X.


Zad. 96. Wykazać, że rozkładay wielomianowe

fθ(x) =n!

x1! · · ·xk!θx11 · · · θ

xkk , x = (x1, . . . , xk), xi ∈ IN∪0, i = 1, . . . , k,

k∑i=1

xi = n,

gdzie

θ = (θ1, . . . , θk), θi ∈ (0, 1), i = 1, . . . , k,k∑i=1

θi = 1

tworzą (k − 1)-parametrową rodzinę wykładniczą.

Zad. 97. Niech X bedzie zmienną losowa o rozkładzie normalnym N(0, σ). Udowodnić, żeX nie jest zupełną dostateczną dla σ2, natomiast X2 jest zupełną statystyką dostatecznądla σ2.

Zestaw 9

Zad. 98. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m,σ). Wykazać,że dla n ≥ 2 próba X jest dostateczna, ale nie jest zupełna dla prametru θ = (m,σ).

Zad. 99. Niech P = µnn∈N będzie rodziną rozkładów na prostej IR cechy X taką, że

µn = 1/n

n∑i=1

δi

1. Wykazać, P jest zupełną rodziną rozkładów.

2. Wykazać, że rodzina P0 = P \ µn, gdzie n jest ustaloną liczbą naturalną, nie jestzupełna.

Zad. 100.Udowodnić, że rodzina rozkładów µθθ∈Θ, gdzie µθ jest rozkładem normalnymN(θ, 1) jest zupełna.

Zad. 101.Niech X oznacza czekanie na k-sukces w schemacie Bernoulliego z prawdopodo-bieństwem sukcesu θ ∈ Θ = (0, 1). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. NiechX = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu zmiennej losowej X. Wyznaczyć statystykędostateczną dla θ oraz jej rozkład. Sprawdzić, czy jest zupełna.

Zad. 102. Niech zmienna losowa X ma rozkład

µθ(−1) = PX = −1 = θ, µθ(k) = PX = k = (1− θ)2θk, k = 0, 1, 2, . . . ,


gdzie θ ∈ (0, 1). Udowodnić, że rodzina rozkładów µθθ∈Θ jest ograniczenie zupełna, alenie jest zupełna.

Zad. 103. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale(0, θ), θ ∈ Θ = (0,∞). Wykazać, że statystyka T (X) = X(n) jest zupełna dla θ.

Zad. 104. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parame-trem θ ∈ Θ. Pokazać, że jeśli Θ ma wiecej niż n punktów to statystyka T (X) =

∑ni=1Xi

jest zupełna.

Zad. 105.Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z danego rozkładu Poissona z parametremθ ∈ Θ = (0,∞). Wykazać zupełność statystyki T (X) =

∑ni=1Xi.

Zad. 106. Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z populacji w której cecha X ma roz-kład normalny N(θ, θ2), θ ∈ Θ = IR. Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dlaparametru θ i sprawdzić, czy jest ona zupełna.

Zad. 107.Niech X = (X1, . . . , Xn) będzie próbą z populacji w której cecha X ma rozkładnormalny N(0, σ2). Uzasadnić, że następujące statystyki

T1(X) = (X1, . . . , Xn), T2(X) = (X21 , . . . , X

2n),

T3(X) = (X21 + . . .+X2

m, X2m+1 + . . .+X2

n), T4(X) = X21 + . . .+X2

n.

są dostateczne dla parametru σ2. Czy jest wśród nich minimalna statystyka dostateczna?Jeżeli jest, to czy jest ona zupełna?

Zad. 108. Zbadać zupełność minimalnych statystyk dostatecznych dla parametru θ, gdyX = (X1, . . . , Xn) jest próbą z rozkładu:

(a) normalnego N(aθ, θ2), gdzie a jest znaną stałą, θ > 0,

(b) jednostajnego na przedziale (θ − 1/2, θ + 1/2), θ ∈ IR.

(c) jednostajnego na przedziale (a, b), a, b ∈ IR, a < b, θ = (a, b).

Zad. 109. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m,σ). Dobraćstałą k tak aby estymator

T (X) = k

n−1∑i=1

(Xi+1 −Xi)2

był nieobciążonym estymatorem parametru σ2. Prównać wariancję tego estymatora zwariancją estymatora S∗2 (skorygowana wariancja empiryczna).


Zestaw 10

Zad. 110.Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowgo z parametremθ ∈ Θ = (0, 1). Wykazać, że nie istnieją nieobciążone estymatory funkcji

g1(θ) =θ

1− θ, g2(θ) =

1

θ.

Zad. 111.Niech cecha X ma rozkład Bernoulliego z nieznanym parametrem θ ∈ Θ = (0, 1)i znanym parametrem n ≥ 2. Wyznaczyć nieobciążony estymator funkcji g(θ) = θ2

Zad. 112. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem θ > 0.Obliczyć obciążenie i ryzyko estymatora

T (X) =(

1− a

n

)∑ni=1Xi

funkcji g(θ) = exp(−aθ), gdzie a 6= 0 jest znaną stałą.

Zad. 113.Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowgo z parametremθ ∈ Θ = (0, 1). Wykazać, że istnieje nieobciążony estymator funkcji g(θ) wtedy i tylkowtedy, gdy g(θ) jest wielomianem stopnia nie większego niż n.

Zad. 114. Niech X= (X1, . . . , Xn) i Y= (Y1, . . . , Yn) będą niezależnymi próbami z rozkła-dów odpowiednio N(mX , σ

2X) oraz N(mY , σ

2Y ). Który z następujących estymatorów

T1(X,Y) = X Y , T2(X,Y) =1

n

n∑i=1

XiYi

należy przyjąć za ocenę mXmY .

Zad. 115.Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu o nieznanej wartosci oczekiwa-nej m i znanej wariancji σ2.(a) Udowodnić, że statystyka

(1) T (X) =n∑i=1

aiXi, gdzien∑i=1

ai = 1,

jest nieobciążonym estymatorem wartości oczekiwanej m.


(b) Obliczyć wariancję estymatora T .(c) Wykazać, że w klasie estymatorów (1), estymator T minimalizuje wariancję wtedy itylko wtedy, gdy ai = 1/n, i = 1, 2, . . .

Zad. 116. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale(0, θ), θ ∈ Θ = (0,∞). Wykazać, że statystyka T1(X) = n+1

n X(n) jest lepszym (ze względuna ryzyko) estymatorem parametru θ niż estymator T2(X) = 2

n

∑ni=1Xi. Sprawdzić ich

obciążenie.

Zad. 117. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próba z rozkładu wykładniczego z parametremα. Wykazać, że Tn(X) = nX(1) jest nieobciążonym estymatorem parametru 1/α, jednakżeciąg estymatorów Tn nie jest zgodny.

Zad. 118. Niech X ma rozkład Poissona z parametrem λ. Pokazać, że statystyka

T (X) =

1 gdy X = 0,0 gdy X > 0.

jest ENMW swojej wartości oczekiwanej.

Zad. 119.Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(θ, 1). Wykazać,że

T1(X) = X2 − 1

n

jest ENMW parametru θ2. Pokazać, że następujący estymator T2(X) = max0, T1(X)jest obciążony, ale ma mniejsze ryzyko niż T1(X) dla każdego θ ∈ IR. A jak jest z wariancją?

Zad. 120. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m,σ2). Wyka-zać, że podane poniżej estymatory są nieobciążone.

T1(X) =

√nΓ ((n− 1)/2)√

2Γ (n/2)

√√√√ 1

n

n∑i=1

(Xi −X)2, T2(X) =

√nπ

2(n− 1)

1

n

n∑i=1

|Xi −X|.

Który z nich jest lepszy? Odpowiedź uzasadnij.

Zad. 121.Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parametremθ ∈ (0, 1). Wyznaczyć ENMW[θm], gdzie m ≤ n.


Zestaw 11

Zad. 122.Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(θ, 1). Rozważmyproblem estymacji funkcji

g(θ) = PθX1 ≤ c = Φ(c− θ),

gdzie c jest ustaloną liczbą. Uzasadnić, że

Φ

(c−X√

(n− 1)/n

)

jest ENMW[g(θ)]. Zbadać zachowanie graniczne tego estymatora.

Zad. 123. Niech cecha X ma rozkład:

PX = θ − 1 = PX = θ = PX = θ + 1 =1

3, θ ∈ Θ = ZZ.

Wykazać, że nie istnieje ENMW[θ] mimo, że istnieją nieobiążone estymatory θ.

Wsk. Zauważyć, że Tm(X) = 3[X+1−m

3

]+m dla m ∈ ZZ są nieobciążonymi estymatorami

θ oraz sprawdzić, że V arθ(Tθ(X)) = 0 dla θ ∈ Θ.

Zad. 124. Niech X= (X1, . . . , Xn) , n ≥ 2 będzie próbą z rozkładu gamma G(θ, 2), θ > 0.Wyznaczyć ENMW[θ]. Zbadać jego efektywność.Wsk. Zauważyć, że 1/X1 jest nieobciążonym estymatorem parametru θ, ponadto statystykaT =

∑ni=1Xi jest zupełna i dostateczna. Następnie obliczyć E(1/X1 |T ).

Zad. 125. Niech X= (X1, . . . , Xn) (n ≥ 2) będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład wykładniczy z parametrem θ > 0. Wyznaczyć ENMW funkcji gu(θ) = PX > u,gdzie u > 0 jest znane.

Zad. 126. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z z rozkładu jednostajnego na przedziale(0, θ), gdzie θ > 0. Wyznaczyć ENMW funkcji różniczkowalnej g(θ). Następnie podaćpostać estymatora dla g1(θ) = θ/2 = E(X1) oraz g2(θ) = θ2/12 = Var(X1).

Zad. 127. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem θ > 0.Wyznaczyć ENMW funkcji g(θ) =

∑∞i=0 aiθ

i, θ > 0. Następnie podać postać estymatoradla g(θ) = θm, gdzie m ∈ IN.


Zad. 128. Niech zmienna losowa X ma rozkład µθ. Obliczyć informację Fishera I(θ) jeśliµθ jest rozkładem normalnym N(θ, θ2), θ > 0.

Zad. 129. Obliczyć informację Fishera dla rozkładu normalnego N(m,σ), gdy jeden z pa-rametrów jest znany.

Zad. 130. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem λ > 0.Pokazać, że X realizuje dolne ograniczenie w nierówności Cramera-Rao. Jaka własność Xstąd wynika?

Zad. 131. Niech X= (X1, . . . , Xn) (n > 1) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego zparametrem θ ∈ (0, 1). Sprawdzić, czy ENMW

T (X) =n

n− 1X(1−X)

funkcji g(θ) = θ(1− θ) osiąga dolne ograniczenie Cramera-Rao.

Zad. 132. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(m,σ2), gdziem jest znane. Pokazać, że estymator

U(X) =

√nΓ(n/2)√

2Γ((n+ 1)/2)S0,

gdzie S0 jest półempirycznym odchyleniem standardowym jest nieobciążonym estymatoremparametru σ, ale nie jest estymatorem efektywnym.

Zad. 133. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na (0, θ). Wy-kazać, że statystyka

T (X) =n+ 1

nX(n)

jest nieobciążonym estymatorem parametru θ. Wyznaczyć jego efektywność.

Zestaw 12

Zad. 134∗. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu normalnego N(θ, 1). Wyka-zać, że mediana próbkowa jest nieobciążonym estymatorem parametru θ. Wyznaczyć jejefektywność asymptotyczną.

Zad. 135. Niech X= (X1, . . . , Xn) bedzie próbą z rozkładu gamma G(1/θ, p), gdzie p > 0


jest znane. Udowodnić, że jeżeli np > 2, to statystyka

Tn(X) =np− 1

nX

jest nieobciążonym i zgodnym estymatorem funkcji g(θ) = 1/θ, a jego efektywność wynosi

ef(Tn) = 1− 2

np.

Zad. 136. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu zero-jedynkowego z parame-trem θ ∈ (0, 1). Uzasadnić, że wszystkie estymatory funkcji g(θ) oparte na metodziepodstawienia częstości mają postać g(X).

Zad. 137. Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu, którego gęstość jest postacif(x) = (ax+ b)I[0,1](x). Wyznaczyć estymatory parametrów a i b metodą momentów.

Zad. 138.Niech X= (X1, . . . , Xn) będzie próbą z rozkładu geometrycznego z parametremθ ∈ (0, 1). Wyznaczyć estymator parametru θ metodą największej wiarogodności.

Zad. 139. Niech X= (X1, . . . , Xn), n > 1 będzie próbą z populacji w ktorej cecha X marozkład:

PX = 1 = θ2, PX = 2 = 2θ(1− θ), PX = 3 = (1− θ)2, θ ∈ (0, 1).

Wyznaczyć estymator parametru θ metodą momentów oraz metodą podstawiania częstości.

Zad. 140∗. W jeziorze jest nieznana liczba N ryb. W celu oszacowania N zlowiona mryb oznakowano je i wpuszczono do jeziora. Po pewnym czasie złowiono ponownie mryb i okazało się, że k z nich jest oznakowanych. Podać oszacowanie N uzyskane metodąnajwiększej wiarogodności.

Zad. 141. Niech X= (X1, . . . , Xn), n > 1 będzie próbą z populacji w ktorej cecha X marozkład jednostajny na przedziale (0, θ), θ ∈ Θ = (0,∞). Udowodnić, że następująceprzedziały (T

(1)L , T

(1)U ) oraz (T

(2)L , T

(2)U ), gdzie

T(1)L =

2X

2−√α, T

(1)U =

2X√α, T

(2)L = X(2), T

(2)U =

X(2)√α

są przedziałami ufności dla parametru θ na poziomie ufności 1− α.

Zad. 142.Niech Zmienna losowa Yn, n ≥ 1 ma rozkład chi-kwadrat o n stopniach swobody.Korzystając z centaralnego twierdzenia granicznego uzasadnić, że dla dużych n, zmiennalosowa Yn ma w przybliżeniu rozkład normalny N(n, 2n). Korzystając z tego przybliżenia


podać asymptotyczny (dla dużych rozmiarów próby) przedzedział ufności na poziomie uf-ności 1 − α dla wariancji σ2 rozkładu normalnego N(m,σ2), gdy m jest nieznane. A jakbędzie wyglądał ten przedział, gdy wykorzystamy następującą aproksymację√

9n

2

[(Ynn

)1/3− 9n− 7

9(n− 1)

]≈ N(0, 1)?

Zad. 143. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład Poissona z parametrem λ > 0. Uzasadnić, że

2√n(√

X −√λ)≈ N(0, 1).

Następnie korzystając z powyższego przybliżenia podać asymptotyczny przedział ufnościna poziomie ufności 1− α dla parametru λ.

Zad. 144. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład normalny N(m, 9). Wyznaczyć najmniejsze n takie, że

PX − 1 < m < X + 1 ≥ 9

10.

Zad. 145. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą i T (X) statystyką o rozkładzieQ ∈ P = Qm : m ∈ IR z parametrem położenia m. Korzystając ze statystyki T (X),skonstruować przedział ufności na poziomie ufności 1 − α dla parametru m i obliczyćwartość oczekiwaną długości otrzymanego przedziału ufności.

Zestaw 13

Zad. 146. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład normalny N(m,σ2), gdzie m jest znane, a σ2 jest nieznanym parametrem. Niech0 < a < b. Pokazać, ze wartość oczekiwana długości przedziału losowego[

n∑i=1

(Xi −m)2

b,

n∑i=1

(Xi −m)2

a

]

jest równa nσ2(b− a)/ab.


Zad. 147. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład zero-jedynkowy z parametrem θ ∈ Θ = (0, 1). Korzystając z następujących dwóchaproksymacji √

n(X − θ)√X(1−X)

≈ N(0, 1),

√n(X − θ)√θ(1− θ)

≈ N(0, 1)

skonstruować przedziały ufności na poziomie ufności równym w przybliżeniu 1 − α dlaparametru θ.

Zad. 148. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład zero-jedynkowy z parametrem θ ∈ Θ = (0, 1). Skonstruować przedziały ufności napoziomie ufności równym 1− α dla parametru θ w oparciu o nierówność Hoeffdinga tj.

P|X − θ| ≥ ε ≤ 2 exp(−2nε2).

Jaką postać będzie miał ten przedział, gdy skorzystamy z nierówności Bernsteina tj.

P|X − θ| ≥ ε ≤ 2 exp

[− nε2

2(θ + ε)

]?

Porównaj oczekiwane długości otrzymanych przedziałów ufności.

Zad. 149. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład nromalny N(θ, 1), gdzie θ ∈ Θ = IR jest nieznanym parametrem. Rozpatrzmyproblem weryfikowania hipotezy

H0(θ ≤ 0) −→ H1(θ > 0)

przy użyciu testu

ϕ =

1, gdy

√nX ≥ 2,

0, gdy√nX < 2.

Wyznaczyć moc testu ϕ przy alternatywie θ = 1/2 i obliczyć jego wartość dla n = 9i n = 100. Wyznaczyć rozmiar testu ϕ i obliczyć jego wartość dla n = 9 i n = 100.Następnie zmodyfikować test ϕ tak, żeby dla n = 9 miał on rozmiar 0,05. Obliczyć moctak zmodyfkowanego testu przy alternatywie θ = 1/2.

Zad. 150. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha X marozkład zero-jedynkowy z parametrem θ ∈ Θ = (0, 1). Korzystając z lematu Neymana-Pearsona, podać postać najmocniejszego testu na poziomie istotności α = 0, 02 do weryfi-kowania hipotezy

H0(θ = 0, 3) −→ H1(θ = 0, 2)


przyjmując n = 20.

Zad. 151. Korzystając z lematu Neymana-Pearsona, podać postać najmocniejszego testuna poziomie istotności α = 0, 05 do weryfikowania hipotezy

H0(B(10, 0, 1)) −→ H1(P (1)),

gdzie B(10, 0, 1) oznacza rozkład Bernoulliego z parametrami n = 10 i p = 0, 1, a P (1)oznacza rozkład Poissona z parametrem λ = 1.

Zad. 152. Niech X= (X1, . . . , Xn), n ≥ 1 będzie próbą z populacji w której cecha Xma rozkład Poissona z parametrem λ > 0. Niech ϕ będzie najmocniejszym testem doweryfikowania hipotezy

H0(λ = λ0) −→ H1(λ = λ1)

na poziomie istotności α. Podać postać testu ϕ. Dla n = 6, λ0 = 1, λ1 = 2 oraz α =0, 05 wyznaczyć dokładną postać testu ϕ oraz obliczyć jego moc. Wyznaczyć najmniejsząliczność n próby X taką, aby moc testu dla powyższych danych wynosiła co najmniej 0, 8.

Zad. 153. Niech będą spełnione założenia lematu Neymana-Pearson. Testujemy hipotezę

H0(θ = θ0)→ Ha(θ = θ1).

Oznaczmy

T (x) =

f1(x)

f0(x), f0(x) > 0,

+∞, f0(x) = 0,

x ∈ X

oraz niechF (t) = µθ0(x ∈ X : T (x) ≤ t), t ∈ IR.

Dla α ∈ (0, 1) niech tα = F−1(1− α). Niech

φ(x) =

1, f1(x) ≥ tαf0(x),

0, f1(x) < tαf0(x)

bedzie testem na poziomie istotności α ∈ (0, 1) do werefikacji powyższych hipotez. Wyka-zać, że βφ(θ0) = α.


H0(θ = θ0)→ Ha(θ = θ1).

Dla α ∈ (0, 1) niech tα = F−1(1 − α), (definicja F patrz zadanie powyżej). Na pozio-mie istotności α ∈ (0, 1) wyznaczyć niezrandomizowany najmocniejszy test do testowaniepowyższych hipotez. Wsk. Rozważyć trzy przypadki


(i) F (tα) = 1− α,(ii) F (tα) > 1− α ∧ F (t−α ) = 1− α.(iii) F (tα) > 1− α ∧ F (t−α ) < 1− α.


H0(θ = θ0)→ Ha(θ = θ1),

gdzie µθ0 i µθ1 są rozkładami dyskretnymi skoncentrowanymi (skupionymi) na niepustychzbiorach skończonych. Na poziomie istotności α ∈ (0, 1) wyznaczyć niezrandomizowanynajmocniejszy test do testowanie powyższych hipotez.

Zad. 156. Dokonano n - krotnej obserwacji cechy X, której rozkład µθ ma postać

µθ0 =1

2δ0 +

1

2δ1 albo µθ1 =

1

3δ0 +

2

3δ2.

Testujemy hipotezęH0(θ = θ0)→ Ha(θ = θ1).

Na poziomie istotności α ∈ (0, 1) wyznaczyć najmocniejszy test do weryfikacji powyższychhipotez. Wykonać obliczenia dla n = 9 ∧ α = 0, 05 oraz n = 9 ∧ α = 0, 001. Obliczyćmoc tych testów.

Zad. 157. Dokonano n - krotnej obserwacji cechy X, której rozkład µθ ma postać

µθ0 =1

2δ0 +

1

2δ1 albo µθ1 =

1

3δ0 +

1

3δ1 +

1

3δ2.

Testujemy hipotezęH0(θ = θ0)→ Ha(θ = θ1).

Na poziomie istotności α ∈ (0, 1) wyznaczyć najmocniejszy test do weryfikacji powyższychhipotez. Obliczyć jego moc. Ile conajmniej obserwacji trzeba wykonać aby moc testu napoziomie istotności α = 0, 05 była wieksza niż 0, 999

Zad. 158. Ekonomista analizując dochody supermarketu zakłada, że są one zgodne z roz-kładem (Pareto) o gęstości

f(x) =8

x3I(2,∞)(x), x ∈ IR.

Przyjmując poziom istotności α = 0, 1 sprawdzić jego założenie o modelu na podstawienastępujących danych:

xi 5,2 8,8 12,9 5,3 9,5 13,2 3,1 15,3 4,1 2,4 11,0 2,9


Zad. 159. Korzystając z testu Kołmogorowa, zweryfikować hipotezę, że następujące dane

x1 = 0, 16, x2 = 0, 55, x3 = 0, 87, x4 = 1, 35, x5 = 2, 47

pochodzą z rozkładu wykładniczego z parametrem λ = 1. Przyjąć poziom istotności α =0, 05

Zad. 160. Wyprodukowane elementy pakowane są w komplety po 16 sztuk. Wylosowano200 kompletów i zanotowano liczby elementów wybrakowanych w każdym komplecie. Uzy-skane wyniki podano w następującej tabelce:

Liczbawybrakowanych

elementówLiczba kompletów

0 7

1 18

2 45

3 60

4 46

5 19

6 i więcej 5

Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że liczba wybrakowanych elemen-tów w komplecie ma rozkład dwumianowy z parametrem p = 0, 1.

Zad. 161. Poniższa tabelka podaje częstości pojawień się cyfr 0, 1, . . . , 9 na pierwszych10002 miejscach po przecinku liczby π − 3.

k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Nk 968 1026 1021 974 1014 1046 1021 970 948 1014

Korzystając z testu χ2 zweryfikować hipotezę adekwatności tego rozszerzenia jako genera-tora liczb losowych.

Zad. 162. Dostawca masowo produkowanego towaru sztukowego twierdzi, że liczba sztuknizgodnych z normą nie przekracza 6%. W 100-elementowej próbce z całej dostawy stwier-dzono 9 sztuk niezgodnych z normą. Czy liczba ta przeczy zapewnieniom dostawcy, czyjuż nie mieści się w ramach losowości. Przyjąć poziom istotności α = 0, 05.

Documents

M. Beśka, Statystyka matematyczna - Strona Główna ... · M. Beśka, Statystyka matematyczna 3 Zad. 14 : ZmiennalosowaXmarozkładPoissonazparametrem . Rozkładwarunkowy zmiennej