Lógica matemática III_Tablas Semánticas

III.2. Tablas semnticas 131

III.2 Tablas semnticasComo ya sabemos, significa que siempre que sea verdadera (respecto a una

asignacin), tambin lo es (respecto a la misma asignacin). Demostrar tal relacinno es fcil en ocasiones; en particular, cuando es infinita es imposible establecer mediante tablas de verdad. Incluso en el caso en que es finita, pero contieneuna gran cantidad de variables proposicionales, es prcticamente imposible recurrir atablas de verdad.

A continuacin desarrollaremos un mtodo alternativo para establecer la relacin . El mtodo en cuestin se conoce como tablas semnticas.

Se supone que una cierta proposicin es falsa y tras investigar las varias posibili-dades a las que conduce esta suposicin, y si se llega slo a contradicciones, habremosprobado que la proposicin es verdadera. Para empezar, consideramos =, y trate-mos de describir cmo este procedimiento est relacionado con |= .

Por ejemplo, considere la frmula (PP) y suponga que es falsa (F), ponemosla raz de un rbol (que crecer "hacia abajo") como (PP) F .

(PP) F.

Ahora razonamos lo recin escrito;para que (P P) sea falsa se requiereque P y P sean falsas, de donde se siguede la ltima que P debe ser verdadera (V);es claro que este anlisis da lugar a unacontradiccin que en el rbol se repre-senta mediante el smbolo

. El rbol es:

(P P ) F

P F

P F

P V

Analicemos una frmula ligeramente ms complicada: (PQ P). Otra vezsupongamos que es F, la tabla semntica se inicia:

(PQ P) F.

Para que esta frmula sea falsa se requiere que el antecedente sea V y el conse-cuente sea F.

132 III. Pruebas formales y sistemas deductivos

Esto se refleja en la tabla como sigue:(P Q P ) F

P Q V

P F

Pero para que PQ sea verdadero serequiere que P y Q sean verdaderas, lo queda lugar a la contradiccin, pues tenamosP F y ahora P V . La tabla queda:

(P Q P ) F

P Q V

P F

P V

Qu ocurre si analizamos de esta manera una frmula que no es una tautologa?Consideremos la frmula (PQ) P e iniciemos la tabla:

(PQ) P F.

Como antes, el antecedente debe ser V y el consecuente F, lo que da lugar a

(P Q P ) F

P Q V

P F

Para que el antecedente sea verdadero,tenemos ahora dos posibilidades: que Psea V o que Q sea V. Esto se refleja en latabla como:

(P Q P ) F

P Q V

P F

P V

Q V

Note que en la tabla slo aparecen, al final de ambas ramas, frmulas atmicas; yano podemos proseguir el anlisis, pues no tenemos frmulas complejas que descom-poner. Una de las ramas da lugar a una contradiccin, pero la otra no. Por lo tanto,


no podemos concluir que la frmula sea una tautologa. De hecho, la tabla indica concerteza que la frmula (PQ) P no es una tautologa.

Suponga que como raz colocamos una frmula , pero en lugar de suponerlafalsa, asumimos que es verdadera. Realizamos el anlisis ya descrito y al final todaslas ramas son contradictorias. En este caso la tabla indica que la frmula es unacontradiccin. Si alguna de las ramas no hubiese dado lugar a una contradiccin, nopodramos concluir que la frmula sea una contradiccin. De hecho, la tabla indicaraque no es una contradiccin.

Con estos ejemplos es posible vislumbrar cmo se construye una tabla semntica.El rbol tiene entradas que son frmulas valuadas (verdaderas o falsas). La raz delrbol es una frmula con un valor de verdad asociado. Se escoge el conectivoprincipal en y, de acuerdo con ste y el valor de verdad asignado a , se descompone . Con las nuevas frmulas que se obtuvieron de esta descomposicin, que tambintienen un valor de verdad asociado, se contina la descomposicin siempre de acuerdocon el conectivo principal y el valor de verdad asociado.

A continuacin damos la definicin formal de tabla semntica.

Definicin III.2.1. Una tabla semntica finita es un rbol binario cuyas entradas (onodos) son proposiciones con una etiqueta F o V que satisface la siguiente definicininductiva:

Todas las tablas tomicas son tablas finitas.

Si T es una tabla finita, P es una trayectoria en T , N un nodo de T en P y T seobtiene de T aadiendo la nica tabla atmica con raz N a T en el extremo dela trayectoria P, entonces T tambin es una tabla finita.

Si T0,T1, . . . es una coleccin (finita o infinita) de tablas finitas tales que para cadan 0, Tn+1 se obtiene de Tn mediante , entonces T =

Tn es una tabla semntica.


1a

V

1b

F

2a V

V

V

2bF

F F

3a

V

F

3b

F

V

4aV

V V

4b F

F

F

5aV

F V

5b F

V

F

6a V

V F

V F

6b F

V F

F V

Ejemplo III.2.2. Dada la proposicin ((( ) ( )) ( )), de-terminemos si es una tautologa. Em-pezamos la tabla suponiendo que es F .

Hemos terminado pues ya no hay de-cisiones o posibles caminos que tomar.Puesto que no llegamos a contradicciones,no podemos afirmar que sea V o F .

((( ) ( )) ( )) F

( ) F

F

F

( ) ( ) F

( ) F

( ) F

F

F

V

F

Definicin III.2.3. Sea T una tabla, P una trayectoria en T y N un nodo en P.

1. N se ha reducido en P si todos los nodos en una trayectoria de la tabla atmicacon raz N aparecen en P. Por ejemplo: A V y A F estn reducidos para toda variable proposicional A. V est reducido (en P) si F aparece en P. V est reducido si V o V aparecen en P. ( ) F est reducido si F y F aparecen en P.


( ) F est reducido en P si V y F aparecen en P.

2. P es una trayectoria contradictoria si, para alguna proposicin , V y F sonnodos de P. P est terminada si es contradictoria o todo nodo en P est reducido.

3. T est terminada si toda trayectoria en T termina.

4. T es contradictoria si toda trayectoria en T es contradictoria.

Ejemplo III.2.4. Considere la frmula (((A B) A) A). Construimos su tablasuponindola falsa

(((A B) A) A) F

((A B) A) V

A F

(A B) F

A V

B F

A V

De la tabla se desprende, puesto que sus ramas son contradictorias, que es unatabla contradictoria.

Definicin III.2.5. Una prueba por tablas de una proposicin es una tabla contra-dictoria con raz F . Una frmula es demostrable por tablas, en smbolos , sitiene una prueba por tablas.

Una refutacin por tablas de una proposicin es una tabla contradictoria quecomienza con V . Una proposicin es refutable por tablas, si tiene una refutacin portablas.

Ejemplo III.2.6. Ahora queremos construir una tabla semntica con raz falsa para lafrmula ( ) (( ) ).


( ( )) (( ) ) F

( ) V

(( ) ) F

V

F

F

V

V

V

V

F

V

F

V

V

As que es demostrable por tablas.

En lugar de decir "demostrable por tablas", tambin se acostumbra decir "Beth-de-mostrable", lo mismo ocurre con refutable y demostracin.Ejemplo III.2.7. Suponga que las siguientes proposiciones son ciertas.

(1) Jorge quiere a Mara o Jorge quiere a Catalina.(2) Si Jorge quiere a Mara, entonces l quiere a Catalina.A quin quiere Jorge? Averigmoslo.Sean M Jorge quiere a Mara y U Jorge quiere a Catalina.(1) MU(2) M U MUSea A (M U ) (MU ) (1) (2) que es cierta por hiptesis. Queremos

saber si Jorge quiere a Catalina o, en forma equivalente, si U es V . Suponga que no escierto, es decir, U es F y construimos una tabla semntica, pero usando la informacinde que disponemos, es decir, usando el hecho de que (1) es V lo mismo que (2). Se debenotar que esta es una modificacin de la construccin que hemos descrito de una tablasemntica. En el caso de que contemos con informacin adicional, como ahora, sim-


plemente se incorpora sta en forma de proposiciones verdaderas en cualquier puntode la tabla:

U F

(M U) (M U) V

M U V

M U V

M F

M V

U V

U V

De esta tabla nos gustara concluir que U es V , es decir, que Jorge quiere a Catalina.

Esto requiere formalizarse. Supongamos que queremos probar una proposicin apartir de un conjunto de premisas . Procedemos como sigue:

Definicin III.2.8. [Tablas a partir de premisas] Sea un conjunto de proposiciones.Definimos una tabla con premisas por induccin:

Toda tabla atmica es una tabla finita a partir de .

Si T es una tabla finita con premisas y , entonces la tabla formada alponer V al final de cada camino no contradictorio tambin es una tabla finitacon premisas .

Si T es una tabla finita con premisas , P una trayectoria en T , N un nodo de Tque pertenece a P y T se obtiene de T al aadir la nica tabla atmica con razN al final de P, entonces T tambin es una tabla finita con premisas .

Si T0, T1, ..., Tn,... es una sucesin de tablas finitas con premisas tal que, paracada n 0, Tn+1 se construye a partir de Tn aplicando o , entonces T = nNTnes una tabla con premisas .


Definicin III.2.9. Una prueba para tablas de una proposicin con premisas esuna tabla con premisas y raz F que es contradictoria, es decir, una en la que cadatrayectoria es contradictoria.

Si hay tal prueba decimos que es Beth-demostrable con premisas y escribimos .

El lector, despus de una corta reflexin, apreciar que la nica diferencia connuestra definicin de tabla semntica sin premisas es que, al disponer de premisas, podemos incorporar cada frmula en como verdadera en la tabla y proseguir laconstruccin de la misma como ya sabamos hacerlo.

Ejemplo III.2.10. Sea = {B,AB}, demuestre A a partir de .

A F

B V

A B V

A V

B V

B F

Ejemplo III.2.11. Sea el conjunto depremisas {AB,AC}. Demuestre que

BC.

Recurrimos a la definicin e iniciamosla tabla con B C F . Construimos latabla como ya sabemos, pero incorpo-raremos las premisas, conforme sea nece-sario, como frmulas verdaderas.

B C F

B F

C F

A B V

B V

A V

A C V

A F

C V

Puesto que la tabla result contradic-toria, podemos concluir que BC es de-mostrable por tablas con premisas , esdecir, BC.


Ejemplo III.2.12. Ahora considere ={ABC,A B} y demuestre que

AC.

Procedemos a construir la tabla que reflejacmo transcurre la demostracin a partirdel conjunto .

A C F

A V

C F

A B V

A F

B V

A B C V

A B F

C V

Ejemplo III.2.13. Un conjunto msabundante de premisas permite ilustrarmejor el procedimiento. Para ello tomecomo al conjunto = {A B,A C,B D}. Pruebe por tablas que

CD.

La tabla queda como

C D F

C F

D F

A C V

C V

A F

B D V

D V

B F

A B V

A V

B V

Ejemplo III.2.14. finalmente adopte como a las frmulas {A (BC),DA,B}y muestre que

DC.

En esta ocasin la tabla es:


D C F

D V

C F

D A V

D V

D F

A V

A (B C) V

A F

B C V

B F

B V

C V

Hasta ahora hemos definido un procedimiento que suena plausible para probar queuna frmula es una tautologa o una contradiccin. Pero nada nos garantiza que hayauna relacin entre ser demostrable por tablas y ser una tautologa.

A continuacin formalizamos la relacin entre las frmulas demostrables por ta-blas y las tautologas, as como entre las frmulas demostrables por tablas con premi-sas y las consecuencias lgicas de conjuntos de frmulas: es decir, demostraremos losimportantes teoremas de completud y correctud para tablas semnticas.

Nos dedicamos primero a la relacin entre ser demostrable y ser tautologa. Paraello requerimos algunas definiciones y resultados previos.

Una tabla semntica completa es aquella en la que todas las frmulas que aparecenen una trayectoria no contradictoria se han reducido hasta sus variables constitutivas.En realidad esta definicin intuitiva es insuficiente para trabajar en forma adecuadacon ella, por lo que debemos formalizarla.

NUna trayectoria en un rbol T es un subconjunto mximo linealmente ordenado de

T , es decir, una rama.En el caso de una tabla semntica T , si P es una trayectoria, est construida me-

diante tablas finitas Tn. Si N es un nodo de T , podemos suponer que N es un nodo dePn, donde Pn es la trayectoria formada por P en Tn. Por ejemplo:


(G A) [B (S E)] V

(G A) F

G F A F

[B (S E)] V

B V S E V

S V

E V

La primera tabla es T0: GA [B (SE)] V . Slo hay una posible trayectoriaP0: la que consiste en GA [B (SE)] V .

P1 podra ser GA [B (SE)] V , seguido de B (SE) V y as sucesiva-mente.

Definicin III.2.15 (Tabla semntica completa). Sea K una frmula valuada, dondeK {V,F}. La tabla semntica completa (TSC) con raz K se define por recursincomo:

Sea T0 la nica tabla atmica que tiene a K como raz. Suponga que ya tenemosla tabla Tm para m 0, y que tiene un nodo que an no se ha reducido en alguna de sustrayectorias no contradictorias (si es que hay alguna). Sea n el primer nivel en el queacontece ese nodo, y l la posicin del primer nodo no reducido en el nivel n contandodesde la izquierda. Obtenemos la tabla Tm+1 al aadir la nica tabla atmica con razN al extremo de la trayectoria no contradictoria en Tm que contiene a N. Continuamosde esta forma para obtener las tablas Tm para toda m N. La tabla T =

nNTn es la

TSC buscada.

Teorema III.2.16. Toda TSC T est terminada.

Demostracin. La demostracin es inmediata de la definicin de TSC, pues todo nodoN T aparece en un nivel n y en una posicin l contando de izquierda a derecha en elnivel n, por lo que en algn momento se consider en la construccin de T y se redujoo pertenece a una trayectoria contradictoria.

Note que si T1,T2, . . . son tablas finitas, T =

nNTn puede no ser finita; sin em-bargo podemos regresar, en ciertos casos, a tablas finitas mediante el siguiente razona-miento.


Teorema III.2.17. Toda TSC es finita.

Demostracin. Sea T una TSC. Por la forma de construirla podemos suponer queT =

nNTn, donde cada Tn es una tabla finita. Concedamos que se ha demostrado

que toda trayectoria P en T es finita. Sabemos que cada nodo en T tiene una cantidadfinita de sucesores inmediatos (a lo ms dos). Si T fuese infinito, por el teorema deKnig, T tendra una trayectoria infinita, contrario a lo supuesto.

En consecuencia, basta probar que toda trayectoria en T es finita.Tomemos una trayectoria arbitraria P en T y mostremos que es finita. A P la

podemos ver como la unin de trayectorias Pn en Tn. Para pasar de Pn a Pn+1, se aadeuna tabla atmica TN con raz N en el extremo de Pn, para algn nodo N Pn que anno se ha reducido.

Decimos que la frmula se ha descompuesto en la trayectoria P si: y en P aparece . 12, {,,,} y en P aparece 1 y/o 2.Usamos la siguiente nocin g de grado para frmulas y trayectorias: Por recursin,

definimos:

g(A) = 0 para toda variable A.g() = g()+1.g( ) = g()+g( )+1, donde {,,,}.

Si P es una trayectoria en T , definimos

g(P) = {g() : P, no se ha descompuesto}.En nuestro ejemplo: g(P3) = 0, mientras que g(P2) = g(S E) = 1 y g(P1) =

g(B (SE)) = 2.Afirmacin 1.

g(Pn+1)< g(Pn).

Por ejemplo((A B) C) F

A B V

C F


Demostracin de la afirmacin 1. Con este ejemplo seguramente ser fcil vis-lumbrar que si la raz de la tabla es F , g(P0) = g() y que al colocar la nica tablaatmica con raz F , g(P1) < g(P0); si hay una segunda trayectoria P1, tambin secumple g(P1) < g(P0), pues g() desaparece en el clculo de g(P1) y g(P1). As queel caso n = 0 es cierto.

Supongamos que se cumple para n, es decir, g(Pn+1) < g(Pn) y probemos paran+1, es decir, debemos verificar que

g(Pn+2)< g(Pn+1).

Para construir Pn+2 se eligi un nodo sin descomponer N (una frmula valuada)en Pn+1, y en el extremo de Pn+1 se coloc la nica tabla atmica con raz K (K {V,F}). Consideremos todos los posibles casos para tal tabla atmica. En todos ellospara calcular g(Pn+2) ya no se contabiliza g(). Refirase a la figura de la pgina 133.

Caso 1. K es (1 2) V1 2 V

1 F 2 V

entonces se generan dos trayectorias P y P a travs de K. Se cumple

g(P) = g(Pn+1)g()+g(1);

pero g(1) < g(), por lo que g(P) < g(Pn+1). En forma similar podemos verificarque g(P)< g(Pn+1).

Caso 2. K es (12) F . Se genera una trayectoria Pn+2 a travs de K1 2 F

1 F

2 F

g(Pn+2) = g(Pn+1)g()+g(1)+g(2),pero g() = g(1)+g(2)+1, as que

g(Pn+2)< g(Pn+1).


Caso 3. K es (1 2) V . Se generan dos trayectorias, P y P a travs de K.

1 2 V

1 V

2 V

1 F

2 F

g(P) = g(Pn+1)g()+g(1)+g(2),e igualmente g() = g(1)+ g(2)+ 1, de donde se sigue que g(P) < g(Pn+1). Enforma similar, g(P)< g(Pn+1).

El resto de los casos se tratan en forma anloga. Por lo tanto,

g(Pn+1)< g(Pn).

Puesto que cada g(Pn) es un nmero natural, tenemos una cantidad finita de g(Pn)posibles, ya que no podemos tener una sucesin infinita decreciente de nmeros na-turales, pues los naturales estn bien ordenados. Por consiguiente, slo tenemos unacantidad finita de trayectorias Pn, cada una finita y su unin P es entonces finita.

Lema III.2.18. Si A es una asignacin que coincide con la raz de una tabla dadaT , donde T =

nNTn, entonces T tiene una trayectoria P cuyos nodos coinciden con

A .

Aqu decimos que A coincide con la raz de la tabla T , cuando la raz es K yA () = K. En forma correspondiente decimos que A coincide con cada nodo de unatrayectoria, si A coincide con cada nodo en la trayectoria.

Demostracin. Construiremos trayectorias P0,P1, . . . tales que Pn Pn+1 y Pn es unatrayectoria en Tn cuyos nodos coinciden con A . Una vez que tengamos los Pn, sim-plemente tomamos su unin: P =

Pn.

Procedemos por recursin. P0 es la raz que por hiptesis coincide con A . Supon-gamos que ya hemos construido la trayectoria Pn cuyos nodos coinciden con A y esuna trayectoria en Tn.


Si Tn+1 se obtuvo de Tn sin extender Pn, hacemos Pn+1 = Pn. En otro caso, Tn+1 seobtuvo de Tn extendiendo Pn, es decir, se aadi a su extremo una tabla atmica conraz N para algn nodo sin reducir N Pn. Por hiptesis de induccin, A coincide conN. Debemos considerar varios casos.

Supongamos que N es ( ) V ; como A ( ) = V , se debe tener A () =V = A ( ) y por construccin de Tn+1, sus nodos contienen a V y V , as que Acoincide con los nodos de Pn+1.

Si N es ( ) F , entonces A () = F y A ( ) = F , mientras que Tn+1 debecontener los nodos F y F , por lo que A coincide con los nodos de Pn+1.

Supongamos que N es V ; en este caso A () =F o A ( ) =V ; escogemoscomo Pn+1 la trayectoria en Tm+1 que coincide con alguno de estos valores. Recuerdeque A est dada de antemano por lo que ya est definida en y .

El resto de los casos se trata en forma similar.

Teorema III.2.19 (Correctud). En tablas semnticas:

|= .

Demostracin. Supongamos que no es una tautologa, es decir, que 6|= . Existe unaasignacin A tal que A () = F . Por el lema III.2.18, para cualquier asignacin quecoincida con la raz de una tabla debe existir una trayectoria cuyos nodos coincidencon la asignacin. Pero en una asignacin no puede ocurrir A (B) = V y A (B) = Fsimultneamente para ninguna variable B. As que la asignacin dada A impide quetengamos una tabla contradictoria con raz F , por lo que no puede haber una pruebapor tablas de , es decir, 6 .

En resumen, hemos probado:

6|= 6 ,

que es equivalente a |= .

Ahora probaremos la completud.


Lema III.2.20. Sea P una trayectoria no contradictoria en una tabla T terminada.Considere la siguiente funcin g del conjunto de variables a {V,F}:

g(A) =

{V, si A V aparece en P;F, en otro caso.

Sea A la asignacin que extiende g a Fml en forma nica. Entonces A coincidecon cada nodo de P.

Demostracin. Note que A est bien definida, pues P no es contradictoria, por lo queno puede ocurrir que A (C) =V y A (C) = F , simultneamente, para ninguna variableC. Procedemos por induccin en la definicin de las frmulas que aparecen en P. Sea una frmula que aparece en P.

Si es una variable, por definicin de A , A () = g(). Si V aparece en P,entonces A () =V y terminamos. Si F ocurre en P, A () = F por definicin.

Si ( ) aparece como verdadera en P, V y V aparecen en P. Porhiptesis de induccin A () =V y A ( ) =V , as que A ( ) =V .

En caso de que aparezca como falsa en P, F o F aparece en P,por lo que A () = F o A ( ) = F , de donde se sigue que A ( ) = F .

Si aparece como verdadera en P, F aparece en P, por lo que A () =Fy A () =V .

En caso de que ocurra en P como falsa, se sigue que ocurre en P comoverdadera, as que A () =V y A () = F .

Teorema III.2.21 (Completud). En tablas semnticas:

|= .

Demostracin. Suponga que es vlida, entonces A () = V para cada asignacinA . Construimos una TSC con raz F .

Si T tuviese una trayectoria no contradictoria P, por el lema III.2.20 existira unaasignacin A que coincide con cada nodo de P, en particular A () = F , una con-tradiccin. As que toda trayectoria de T es contradictoria y T es una prueba portablas de .


Resta entonces demostrar los correspondientes teoremas de correctud y completudcon premisas, es decir, mostrar que en tablas semnticas se cumple tambin

|= .

para cualesquiera conjuntos de frmulas y frmulas .Iniciemos con el teorema de correctud.

Lema III.2.22. Si una asignacin A hace verdadera a toda frmula de un conjunto y coincide con la raz de una tabla con premisas , entonces existe una trayectoriaen T cuyos nodos concuerdan con A .

Demostracin. Como en el lema correspondiente para tablas sin premisas, procede-mos a construir una sucesin de trayectorias {Pn : n N} tales que Pn Pn+1 y Pn esuna trayectoria en Tn cuyos nodos coinciden con A .

Por hiptesis, A concuerda con la raz de una tabla dada, as que tenemos P0.Asumimos que ya tenemos Pn, una trayectoria en Tn con la propiedad de que cada

uno de sus nodos concuerda con A . Analicemos las posibilidades que se tuvieron paraconstruir Tn+1. Si Tn+1 se obtuvo sin extender Pn, hacemos Pn+1 = Pn.

Si para construir Tn+1 se extendi Pn, se aadi una tabla atmica con raz N paraalgn N Pn. Puesto que A no discrepa de ningn nodo de Pn, basta tener en cuentalas posibles tablas atmicas, tal como se hizo en el lema III.2.18, para cerciorarnosde que A casa con cada nodo de la trayectoria Pn+1. O bien, para lograr Tn+1 seaadi una premisa valuada V al extremo de Pn y se desarroll segn su estructura.Por hiptesis A () =V y como A combina con cada nodo de Pn, se deduce que Acoincide con cada nodo de Pn+1.

finalmente tomamos P =

nNPn.

Teorema III.2.23 (Correctud). Sean un conjunto de frmulas y una fr-mula. Entonces

|= .Demostracin. Supongamos que 6|= , entonces existe una asignacin A que haceverdaderas a todas las frmulas en , pero A () = F .

Si asumimos que contamos con una tabla contradictoria T con raz F y premisas, por el lema previo podramos encontrar una trayectoria P en T cuyos nodos nodiscrepan de A . Pero T es contradictoria, quiere decir que en P podemos encontrar


un nodo A F y otro A V , por lo que A (A) =V y A (A) = F , lo cual es imposible. Porlo tanto, no puede existir tal tabla T y concluimos

6 .

En lo que al teorema de completud concierne ser necesario disponer de al menosuna tabla terminada que atestige en ciertos casos. Para ello recurrimos a lanocin ya mencionada de TSC.

Definicin III.2.24. Una tabla semntica T con premisas est terminada si todonodo en T en una trayectoria no contradictoria est reducido y aparece V en T paracada .

Definicin III.2.25. Sea K una frmula con V o F asociado. Una tabla semnticacompleta (TSC) con premisas y raz K se define por recursin. Sean = {n :n N}, T0 la nica tabla atmica con raz K y T 0 la tabla que se obtiene de T0 de lasiguiente manera:

K

0 V

Concedamos que disponemos de T m. Por recursin rastreamos nodos sin reduciren T m. Empezamos con el nivel 0 y en cada nivel superior avanzamos de izquierda aderecha. Si N es el primer nodo que encontramos sin reducir, sea Tm+1 la tabla quese obtiene al aadir la nica tabla atmica con raz N al extremo de la trayectoria nocontradictoria de T m en el que est N. T m+1 se obtiene de Tm+1 al aadir m V alextremo de cada trayectoria no contradictoria en Tm+1.

La TSC con premisas es entonces la unin de las tablas con premisas Tn para nN.Teorema III.2.26. Toda tabla TSC est terminada.

Demostracin. Sea T la TSC. Recorremos T , como ya se mencion, desde el niveln = 0 y en cada nivel superior nos movemos de izquierda a derecha. Si T no estuvieseterminada, existira un nodo N sin reducir. A cada nodo le asociamos la pareja (k, l),


donde k es el nivel del nodo y l su posicin de izquierda a derecha en el nivel k. Porconstruccin de T , N se redujo cuando se convirti en el menor nodo a considerar,donde menor se considera respecto al orden:

(k, l)< (k, l) k < k k = k l < l.Por lo tanto, la tabla T est terminada.

Como un ejemplo de cmo formalizar la bsqueda mediante el buen orden men-cionado, considere la siguiente tabla

(0,0)

(1,00)

(2,000)

(3,0000)

(1,01)

(2,010)

(3,0100)

(4,01000) (4,01001)

(3,0101)

(4,01010) (4,01011)

Es importante reconocer que en la demostracin supusimos = {m : m N}.Para que esto tenga sentido, debe ser finito o numerable. Recuerde que el conjuntode frmulas Fml es numerable, as que cumple el requisito, pues Fml.Lema III.2.27. Sea P una trayectoria no contradictoria en una tabla terminada T conpremisas . Definimos una asignacin A , primero en las variables, que se extiende atoda frmula.

A (A) =

{V, si A V est en PF, en otro caso.

Entonces A concuerda con cada nodo en P. En particular A () = V para toda .Demostracin. Si construimos A como se sugiere, A est bien definida pues P no escontradictoria. Adems, A () =V para toda , pues T est terminada por lo que V aparece como nodo en T . El resto de la demostracin es exactamente como ladel lema III.2.20.


Teorema III.2.28 (Completud). Sean un conjunto de frmulas y unafrmula. Entonces

|= .Demostracin. Si |= , toda asignacin que hace cierta a cada frmula en , hacecierta a . Considere la TSC T con raz F . Si T no es contradictoria, definimosuna asignacin A segn el lema III.2.27; deducimos A () = V y A () = F , unacontradiccin.

Teorema III.2.29. Sean un conjunto de frmulas, una frmula y T unaTSC que es una prueba por tablas de con premisas . Entonces T esfinita.

Demostracin. Por la definicin de la construccin de T , podemos suponer que T =nNTn, donde cada Tn es una tabla finita. Por definicin cada nodo tiene una cantidad

finita de sucesores inmediatos; apoyndonos en el Teorema de Knig, basta mostrarque cada trayectoria en T es finita. Sea P una trayectoria arbitraria en T . Puesto queP es contradictoria, existe una variable A tal que A V y A F aparecen en P, digamosque en el nivel k ya estn presentes ambos nodos. Pero en tal caso, de acuerdo a cmose construye una TSC, la trayectoria se interrumpe en el nivel k+1 o alguno posterior,por lo que P es finita. Por lo tanto, T es finita.

Una consecuencia relevante del teorema III.2.29 es que si es demostrable a partirde , tenemos una tabla finita que lo prueba.

Teorema III.2.30 (Compacidad). Sean un conjunto de frmulas y unafrmula. Entonces |= si y slo si existe un subconjunto finito 0 talque 0 |= .Demostracin. Supongamos que |= . Por completud tenemos . Tenemosentonces una demostracin por tablas de con premisas ; podemos suponer quecontamos con una TSC. De acuerdo con nuestra observacin previa, una tabla finitahace el mismo trabajo. Extraemos de esta tabla finita las premisas que se utilizaronpara conformar 0. Entonces 0 y por correctud 0 |= .

Demos por vlido que existe un subconjunto finito 0 tal que 0 |= . Esinmediato que |= .

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Lógica matemática III_Tablas Semánticas