Iniciação a Lógica Matemática · Unidade 01 – Iniciação a Lógica Matemática 2 Lógica Matemática Computacional O Nascimento da Lógica • “É lógico que eu vou!”

1Unidade 01 – Iniciação a Lógica Matemática

Lógica Matemática Computacional

Iniciação a Lógica Matemática

Faculdade Pitágoras

Prof. Edwar Saliba Júnior

Julho de 2012



O Nascimento da Lógica• “É lógico que eu vou!” , “Lógico que ela disse isso!” são

expressões que indicam alguma coisa evidente;

• Pode-se perceber que as palavras lógica e lógico significam:– uma inferência: visto que conheço x, disso posso concluir y como

consequência;– a exigência de coerência: visto que x é assim, então é preciso que y

seja assim;– a exigência de que não haja contradição entre o que sabemos de x e

a conclusão y a que chegamos;– Exigência de que, para entender a conclusão y, precisamos saber o

suficiente sobre x para conhecer por que se chegou a y.



O Nascimento da Lógica

• Ao usarmos as palavras lógica e lógico, estamos participando de uma tradição de pensamento (com origem na Filosofia grega);

• Para Chauí (2006), é uma parte da filosofia que estuda o fundamento e a estrutura do pensamento-conhecimento (lógos);

• A lógica se ocupa das leis de raciocínio; • No estudo dessas leis a Lógica está interessada

principalmente na forma e não no conteúdo dos argumentos; Ex: Todo X é Y. Z é X. Portanto, Z é Y.



Fatos Históricos



Importância da Lógica• Psicologia: Análise lógica dos argumentos das

pessoas pode permitir que se crie inferências sobre os princípios que movem as ações desta pessoa;

• Direito: Determinação da coerência em petições elaboradas por um profissional, evitando a sua contestação;

• Engenharias: Desenvolvimento de dispositivos digitais. Construção de circuitos digitais que contém combinações de portas lógicas, que produzem os resultados das operações utilizando lógica binária.



Importância da Lógica

• Inteligência Artificial e Ciência da Computação: Determinação dos passos lógicos necessários para a elaboração de um programa;

• Conclusão: – O estudo da lógica é de grande importância

para filósofos, matemáticos, físicos, engenheiros, advogados, administradores, profissionais de computação e etc.



Lógica

• Friedrich Ludwig Gottlob Frege (1848-1925) foi um dos criadores da lógica matemática moderna;

• Lida com a formalização das coisas (estrutura dos pensamentos) utilizando, para tal, símbolos ou algoritmos. Ex.: cálculo de proposições e de predicados.

ovem($x))viajante_j

) 30)($y y)idade($x,$ )integer($y$y ( $x)(viajante($x

↔<∧∧∃∧∀

∀ $x (ônibus_local($x )→ônibus($x ))



Conceitos Preliminares

• Proposição (objeto da lógica);• Princípios da lógica;• Valores lógicos das proposições;• Conectivos proposicionais.



Proposição

• Conjunto de palavras ou símbolos que exprime um pensamento de sentido completo e que pode ser verdadeiro ou falso;

• As proposições transmitem pensamentos, isto é, afirmam fatos ou exprimem juízos que formamos a respeito de determinados entes;

• Exemplos:– A Lua é um satélite da Terra; (V)– 3/5 é um número inteiro; (F)– Sete é menor do que dez. (V)



Não são exemplos de proposições

• Qual a cor do céu?• Vai chover hoje?• Quantos anos você tem?• É a pura realidade!



Princípios Lógicos Fundamentais

• Princípio da Identidade: Um ser é sempre idêntico a si mesmo, sem contradições, ou seja, A é A;

• Princípio da Não Contradição: Garante ser impossível ser e não ser ao mesmo tempo, isto é, uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo;

• Princípio do Terceiro Excluído: Toda proposição ou é verdadeira ou é falsa, e nunca um outro valor, não havendo uma terceira possibilidade.



Valores Lógicos das Proposições

• Verdade (1) ou (V): Se a proposição é verdadeira;

• Falso (0 – zero) ou (F): Se a proposição é falsa;

Conclusão:Conclusão:• Toda a proposição tem um, e somente

um, dos valores V ou F.



Exemplos

(p) O mercúrio é mais pesado que a água; (V)

Representação: V(p)=V (lê-se: o valor lógico da proposição p é igual a verdadeiro)

(q) O Sol gira em torno da Terra; (F)

Representação: V(q)=F



Proposição Simples ou Atômica

• Formada por uma única proposição;• Geralmente designada por letras

minúsculas p, q, r, s, ..., chamadas letras proposicionais;

• Exemplos:p: O número 6 é par;

q: Ontem choveu;

r: Jorge é engenheiro;

s: O número 25 é um quadrado.



Proposição Composta ou Molecular

• Formada pela combinação de duas ou mais proposições;

• Geralmente designada por letras maiúsculas P, Q, R, S, ..., também chamadas letras proposicionais;

• Exemplos:P: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito;Q: O triângulo ABC é retângulo ou é isósceles;R: Se Jorge é engenheiro então sabe matemática.



Conectivos Proposicionais• São conectivos usuais na Lógica Matemática utilizados

para formar novas proposições a partir de outras;– Exemplos:

P: O número 6 é par e o número 8 é um cubo perfeito;

Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles;

R: Não está chovendo;

S: Se Jorge é engenheiro, então sabe Matemática;

T: O aluno fará nova prova se e somente se puder justificar sua falta;

Z: Carlos é alagoano ou gaúcho - pode ser um ou outro.



Conectivos Proposicionais

• Representação:– Negação (não): “~”– Conjunção (e): “ᐱ”– Disjunção (ou): “ᐯ”– Disjunção exclusiva (ou um ou outro): “v”– Condicional (se… então): “→” – Bicondicional (…se e somente se…): “↔”.



Mudança de Linguagem

• Exemplo 1:p: Roma é capital da França. (F)~p: Roma não é capital da França. (V)q: Carlos é mecânico.~q: Carlos não é mecânico. OUNão é verdade que Carlos é mecânico.




• Exemplo 2:p: A neve é branca. (V)q: 2 < 5 (V)p ^ q : A neve é branca e 2 < 5. (V)

r: Paris é capital da França. (V)s: 9 – 4 = 5 (V)p v q:Paris é capital da França ou 9 – 4 = 5 (V)




• Exemplo 3:p: Cláudio fala inglês.q: Cláudio fala alemão.p v q: Cláudio fala inglês ou Cláudio fala alemão.p ^ q: Cláudio fala inglês e Cláudio fala alemão.p^~q: Cláudio fala inglês e Cláudio não fala alemão.~p^~q: Cláudio não fala inglês e Cláudio não fala alemão.~(~p^~q): Não é verdade que Cláudio não fala inglês e Cláudio não fala alemão.



Exercícios

• Lista 01



Bibliografia• AFONSO, Amintas Paiva. Matematiquês. Disponível em:

<http://www.matematiques.com.br/conteudo.php?id=423> Acesso em: 31 jul. 2012.

• ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação a lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002.

• TELES, Diana de Barros. Slides da Disciplina de Matemática Computacional. Faculdade Pitágoras, Belo Horizonte - MG, 2010.

• FLOYD, Thomas L. Sistemas digitais fundamentos e aplicações. 9. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007.

• GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para a ciência da computação. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2004.

• MENDONÇA, Fabrício Martins. Slides da Disciplina de Lógica Matemática Computacional. Faculdade Pitágoras, Belo Horizonte - MG, 2010.

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