ING. MS.C. SEGUNDO ÁNGEL CEVALLOS BETÚN

MÓDULO 3: MATEMÁTICAS

UNIDAD ACADÉMICA: CIENCIAS DE LA INGENIERÍA Y APLICADAS

CARRERA: INGENIERÍA EN DISEÑO GRÁFICO

TEMA: LÓGICA MATEMÁTICA

HISTORIA Y CLASIFICACIÓN DE LA LÓGICA

Etimológicamente la lógica es la ciencia del logos. Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se definió la lógica como la rama de la gramática que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.

Como la palabra es la expresión, o manifestación del pensamiento y el pensamiento racional es la base de la filosofía, puede decirse en general, que la lógica es la ciencia del pensamiento racional; es de aclarar que la lógica no se ocupa del contenido de los pensamientos sino de la manera o forma de los pensamientos.

En respuesta a la necesidad de construir argumentos, para defender o refutar pensamientos de los demás, Aristóteles, considerado por los griegos. “El padre de la lógica”, creo métodos sistemáticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarrollo la lógica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas.

HISTORIA Y CLASIFICACIÓN DE LA LÓGICA

El gran matemático Gottfried Leibniz en 1646 fue el primero en intentar reformar la lógica clásica, planteando que la dependencia lógica entre proposiciones es demostrada, reduciendo argumentos complejos en simples, para lo cual propuso representar el conocimiento, en una forma que pudiera ser usado por un razonamiento mecánico y a este esquema (lógica simbólica) lo llamo una característica universal.

El proceso de la lógica continuo en el siglo XIX. En 1847 el matemático ingles George Boole en compañía de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones lógicas con las matemáticas, pues a partir de los operadores aritméticos de adición, multiplicación y sustracción crearon los operadores lógicos equivalentes de unión, intersección y negación; además formularon los principios del razonamiento simbólico y el análisis lógico. A Boole se le atribuye la invención de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas.

HISTORIA Y CLASIFICACIÓN DE LA LÓGICA

Este trabajo fue retomado por Bertrand Russell y Alfred Whitehead en 1910 en su obra “Principio Matemático”, quienes codificaron la lógica simbólica en su presente forma definiéndola como la “Ciencia de todas las operaciones conceptuales posibles”, por esta razón la fundación de la lógica formal moderna se le atribuye a ellos.

La lógica se puede clasificar como:

1. Lógica tradicional o no formal.2. Lógica simbólica o formal.

En la lógica tradicional se consideran los procesos psicobiológicos del pensamiento lógico, y los métodos de inferencia que están relacionados con la destreza para interpretar y distinguir el razonamiento correcto del incorrecto; se puede considerar que la lógica no formal resume las experiencias humanas obtenidas del conocimiento y de la observación del mundo circundante.

La lógica como ciencia constituye la lógica formal o simbólica, la cual se encarga de investigar, desarrollar y establecer los principios fundamentales que siguen la validez de la inferencia; es considerada como uno de los sistemas mediante el cual se llega a formas puras y rigurosas. En el pensamiento simbólico, las palabras se manipulan, según las reglas establecidas, como si fueran simples signos sin preocuparse por su sentido.

Conceptualización

La lógica ofrece métodos que enseñan como formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; además, la lógica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisión, claridad y generalidad en los razonamientos.

La precisión la logra mediante el uso de símbolos, los cuales tienen como función primordial eliminar las ambigüedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad.

Una proposición es una declaración sobre la que se puede decidir su veracidad o falsedad. Es decir, es un enunciado verdadero o es falso, pero no puede ocurrir ambas cosas.

SON PROPOSICIONES

“El 2 es un número primo”.

“ 25 es divisible entre 3 ”.

“ 6 + 5 = 10 ”.

“El aula de diseño gráfico está en el 2do piso”.

NO SON PROPOSICIONES

“ Pare inmediatamente!”

“¿15 y 18 tienen la misma cantidad de divisores?”.

“ En realidad, ¿a qué se refiere?”.

“ Lávalo”.

¿Cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones? (Explica por qué lo son o no lo son)

1) “ El trabajo en grupo es lo más fácil que existe”.

2) “ 2 es divisor de 15”.

3) “ ¿Fuiste a la manifestación del sábado?”.

4) “ El aula de diseño gráfico de la UTC tiene más de 50 m2”.

5) “ x + 3 es un entero positivo”.

6) “ Tranquilícese”.

EJEMPLOS:

Clasificación de las proposiciones

En lógica se consideran y se simbolizan dos clases de proposiciones: atómicas o simples y moleculares o compuestas, veamos:

Proposiciones simples:

Se denominan proposiciones simples aquellas oraciones que no utilizan conectivos lógicos.

Estos son algunos ejemplos:

p : El eclipse es un fenómeno natural.q : La luna es un satélite de la tierra.r : 2 es el inverso multiplicativo de –2.s: -3 es el inverso aditivo de 3.

El valor de verdad de una proposición simple puede ser verdadero (V) o falso (F), pero no los dos valores al mismo tiempo, pues dejaría de ser proposición.

Proposiciones Compuestas

Las proposiciones compuestas son aquellas que se obtienen combinando dos o mas proposiciones simples mediante términos de enlace.

Estos son algunos ejemplos de proposiciones compuestas:

p : Esta lloviendo.q: El sol brilla.p ᴧ q: Esta lloviendo yel sol brilla.

x : Quieres café?.y : Quieres te?.x v y : quieres café o te?.

La veracidad o falsedad de una proposición compuesta, depende del valor de verdad de cada una de las proposiciones simples que la conforman y de la forma como estén combinadas.

s : Llueve.r : Hace frio.s →r : Si llueve entonces hace frio.

p : Un triangulo es equilátero.q: Un triangulo tiene sus tres lados iguales.p ↔ q : Un triangulo es equilátero si y solo si tiene sus tres lados iguales.

CONECTIVOS LOGICOS

Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, siendo los más importantes los que se detallan a continuación.

NEGACION ( ~ ): Dada una proposición p, entonces la negación de p es otra proposición a la que se le antepone la palabra “no” o “no es cierto”. La notación matemática utilizada es ~p.

EJEMPLO

Quito es frío (V), entonces la negación es: Quito no es frío (F)

Cuando la palabra "no" se encuentra en el interior de una proposición simple, puede pasar inadvertida, pero se trata de una proposición compuesta. Ejemplo: “El día no está caluroso”; Puede presentarse como: “No ocurre que el día esté caluroso”

DISYUNCION ( v ): Es un conectivo lógico que unes dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta; la unión se realiza con nexo “o” cuyo símbolo es v, es decir “p v q” que se lee “p o q”.

EJEMPLO:Hallar el valor de verdad de:p :: 3 + 2 = 5 ó q:: “ Ambato es la capital del Ecuador”.

La primera proposición es verdadera y la segunda es falsa, entonces: V v F = V (De acuerdo a la tabla V v F = V)

EJEMPLO

La expresión: “Es tarde o está muy oscuro”, también puede expresarse como: “O es tarde o está muy oscuro”. En este último caso las dos "o" son parte del mismo término de enlace y la forma de la proposición es: p o q.

CONJUNCION (Ù): Es un conectivo lógico que une dos proposiciones simples para formar una proposición compuesta; la unión se realiza con nexo “y” cuyo símbolo es Ù , es decir “p Ù q” que se lee “p y q”.

EJEMPLO:Hallar el valor de verdad de:p :: 3 > 2 y q:: “ Loja está ubicada en el norte del Ecuador”.

La primera proposición es verdadera y la segunda es falsa entonces: V Ù F = F ( De acuerdo a la tabla V Ù F = F )

Nota: Hay palabras como “pero”, “sin embargo”, “además”, “aunque”, “no obstante”, “a la vez”, “,”, etc. que también unen proposiciones conjuntivamente y se pueden simbolizar por “ Ù ”.

CONDICIONAL (®): Si p y q son proposiciones, el conectivo lógico condicional o implicación nos da una nueva proposición p ® q que se lee “p entonces q” o “p condición q” o “si p, entonces q”. La proposición p ® q por definición equivale ~p v q. A la expresión p se le denomina antecedente y a q consecuente.

EJEMPLO:Hallar el valor de verdad de:p :: 3 - 2 =1 y q:: “ Sebastián de Benalcázar fundó la ciudad de Quito”.Solución:La implicación quiere decir que “si 3 – 2 = 1” entonces “Sebastián de Benalcázar fundó la ciudad de Quito”. P es verdadera (V) ; Q es verdadera (V) , entonces: V ® V = V ( De acuerdo a la tabla V ® V = V)

EJEMPLO:Si madrugo entonces llego temprano.En este ejemplo puede suprimirse la palabra "entonces" y remplazarse por una "," así:Si madrugo, llego temprano.Nota: También son conectivos condicionales los términos “por que”, “puesto que”, “ya que”, “cuando”, “cada vez que”, etc.

BICONDICIONAL («): La doble implicación o bicondicional de dos proposiciones p y q, es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico “si y solo si” que se simboliza como p « q o lo que es lo mismo (p ® q Ù q ® p ).

DISYUNCION EXCLUSIVA ( D o Ú ): La disyunción exclusiva de dos proposiciones p y q, es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico “o” que se simboliza como p D q o también p v q, lo que es equivalente a (p Ú q) Ù ~ (p Ù q) .

BARRA DE SHAFFER O DE INCOMPATIBILIDAD ( | ): Siendo “p” y “q” dos proposiciones cualesquiera, la proposición de Shaffer respecto a “p” y “q” se denota “p | q” y se lee “p incompatible con q”.

La proposición de Shaffer es la negación de la conjunción: p | q = ~ (p Ù q)

FLECHA DE NICOD O DE NEGACION CONJUNTA ( ¯ ): Siendo “p” y “q” dos proposiciones cualesquiera, la proposición de Nicod se simboliza: p ¯ q y se lee “ni p ni q”.

La proposición de Nicod es la negación de la disyunción: p ¯ q = ~ (p Ú q)

ORDEN DE LOS OPERADORES

Se necesita mantener cierto orden para el desarrollo de las tablas de verdad de los polinomios. 1.Regla.- Si la proposición compuesta está encerrada en símbolos de agrupación, la ubicación de estos nos indica cual es la conectiva predominante. Ejemplo:

[( p q) (q p)] q. La conectiva predominante es la conjunción. [(p V q) r]. La conectiva predominante es la negación.(p q) V (p q). La conectiva predominante es la disyunción.

CUADRO DE LOS VALORES DE VERDAD DE LOS CONECTIVOS LOGICOS

p q p q p q p V q p V q p q p q p q V V F F V V F V V F V F F V F V V F F F F V V F F V V V F F F F V V F F F V V V

2.Regla.- Si la proposición compuesta está expresada con signos de puntuación, éstos pueden ser reemplazados por símbolos de agrupación y el polinomio quedará como en la 1.Regla. Ejemplos: 4-1=6 y 1-3=2, o 3=4 y 3 - 1=2.Simbolizamos los enunciados con variables.

p y q o r y t. El polinomio queda (p q) V (r t). No es verdad que, 2+1=6 y 35 (p q). No es verdad que Ecuador es un país capitalista o Colombia está en América del Norte, entonces Ecuador y Colombia son países en vías de desarrollo.

Simbolizando queda (p V q) ( p q).

3.Regla.- Si no hay signos de puntuación, ni símbolos de agrupación se debe considerar el siguiente orden: , V, v , , .

Ejemplos: p q V r s. El orden es el siguiente:

[(p q) V r] s, también podría ser: [p (q V r)] s p q q. El orden es el siguiente:

(p q) q. p q r V q p. El orden es el siguiente:

p [q (r V q)] p.

4.Regla.- Si la proposición no tiene signos de puntuación, ni paréntesis, se puede indicar el orden de los operadores al mencionar cual es el operador predominante. Ejemplos: Realizar la conjunción: p V q p q

El polinomio queda [(p V q) p] q. Realizar la disyunción: p V q p r p. Si la conectiva predominante es la disyunción.

El polinomio queda expresado así:

p V [q (p r)] p.

CONSTRUCCION DE TABLAS DE VERDAD

Es la forma simple de indicar el valor de verdad de los polinomios.

En la construcción de tablas de verdad debemos tener los siguientes hechos:

1. Determinar el número posibles de combinaciones. Si hay proposiciones, el número de combinaciones será

2. Se debe procurar respetar el orden de los valores de verdad dentro de la tabla así por ejemplo:

Si hay tres proposiciones, el número de combinaciones serán =8; por lo tanto para primera proposición serán 4 verdaderas y 4 falsas; para la segunda proposición 2 verdaderas y 2 falsas y para la tercera: una verdadera y la otra falsa.

3. En la última columna de una tabla de verdad pueden suceder 3 casos:

a. Si todos los valores son VERDADEROS, se dice que la proposición es TAUTOLOGÍA.

b. Si todos los valores son FALSOS, se dice que la proposición es una CONTRADICCION.

c. Si aparecen valores de verdaderos y falsos, se dice que la proposición es una INDETERMINACION.

Ejemplos:

Desarrollar las tablas de verdad de los siguientes polinomios.

(p V q) q (p V q) r r (q V p)

(p

V q) q (p V q) r r (q V p)

V F V V F F V V F F V V V V V F V V F F V F V V F F F F V V V F F V V F F F V V V F V V F F F F F F F F V F V V V F F F V F F F V F F F V V V V V V V V F F F F F F V V V V F F V V F V V V F V V F F V V F F F V F V V

EQUIVALENCIA E IMPLICACION LOGICA Equivalencia.- Dos polinomios son lógicamente equivalentes si: 1. Al desarrollar las tablas de verdad de los polinomios, y en la última columna de la tabla de verdad de izquierda a derecha se observa que son idénticas en valor y orden. 2. Al desarrollar el bicondicional entre los dos polinomios se obtiene una tautología. Símbolos: , .

Implicación Lógica.- Un polinomio implica lógicamente a otro si cumple con cualquiera de las siguientes condiciones:  p q

a. p q es una tautología.b. p V q es una tautología.c. p q es una contradicción.

PROBLEMAS PROPUESTOS  Escriba con símbolos las proposiciones siguientes, si se conoce que:  p: 5 7; q: 1 + 1 = 2; r: 3 + 2 = 5; s: 4 – 2 = 5

5 7,entonces 1 + 1 = 2, y 3 + 2 = 55 7 si solo si 1 + 1 = 2 y 3 + 2 = 5 o 4 – 2 = 51 + 1 = 2 o 3 + 2 = 5, pero no ambos.

Enuncie con palabras las siguientes proposiciones.

p: 3 1; q: 1 + 3 = 5; r: 2 +1 = 3 (p q) (q r)(p q) V (p v q)[p (q V r) Determinar el valor de verdad de los problemas anteriores.

Determine el valor de verdad de: 1 – 4 = 3 y 2 + 1 = 5 , o 1 – 4 3 y 2 + 1 5Si 4 + 2 = 6 entonces 4 + 2 6 o 1 – 1 = 3No es verdad que: “ 2 + 3 = 5 y 1 – 2 = 3 o 1 – 3 = 3 ”

Escriba con símbolos, lea y encuentre el valor de verdad de: Si 1 – 3 = 4 y 1 + 1 = 2, implica que 1 + 1 2 2 + 3 5 si solo si 2 + 2 = 4 , y 2 + 2 4 y 2 + 3 = 5No es verdad que : “1 + 3 = 4 o 4 + 1 = 5”  Encuentre el valor de verdad de las siguientes proposiciones. (p q) (p V q)[(p q) q] p[p® ( { ( r® t) v q } Ù p) ] Ù ( p Ù ( t® p ) )

PRINCIPALES LEYES LOGICAS Y TAUTOLOGICAS

PRINCIPIOS LOGICOS

· Ley de Identidad

p ® pp « p Una proposición solo es idéntica a sí misma

· Ley de no contradicción

~ (p Ù ~ p) Una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez

· Ley del tercio excluido

(p Ú ~ p) Una proposición es verdadera o falsa, no hay tercera posibilidad

EQUIVALENCIAS NOTABLES

· Ley de la doble negación

a) ~ (~p) º p

· Ley de idempotencia

a) (p Ù p) º p b) (p Ú p) º p

· Ley conmutativa

a) (p Ù q) º (q Ù p) b) (p Ú q) º (q Ú p)c) (p « q) º (q « p)

· Ley asociativa

d) p Ù (q Ù r) º (p Ù q) Ù re) p Ú (q Ú r) º (p Ú q) Ú rf) p « (q « r) º (p « q) « r

· Ley distributiva

g) p Ù (q Ú r) º (p Ù q) Ú (p Ùr)

h) p Ú (q Ù r) º (p Ú q) Ù (p Úr)

i) p®(q Ù r) º (p ® q) Ù (p ® r)d) p®(q Ú r) º (p ® q) Ú (p ® r)

· Leyes De Morgan

j) ~ (p Ù q) º (~ p Ú~ q) k) ~ (p Ú q) º (~ p Ù~ q)

· Leyes del condicional

a) p®q º~ p Ú q b) ~ (p®q) º (p Ù ~ q)

· Leyes del bicondicional

c) p « q º (p®q) Ù (q®p)d) p « q º (p Ù q) Ú (~ p Ù ~ q)e) p « q º ~(p v q)

· Leyes de Absorción

f) p Ù (p Ú q) º p g) p Ú (p Ù q) º p h) p Ù (~ p Ú q) º p Ù q i) p Ú (~ p Ù q) º p Ú qj) p Ú (p Ù ~ q) º pk) p Ù (p Ú ~ q) º p

· Leyes de transposición

l) p ® q º~ q®~ p m) p « q º~ q«~ p

· Leyes de Exportación

· Leyes de Complementación

a) p Ú ~ p º V b) p Ù ~ p º F

· Elementos neutros para la conjunción y disyunción

c) p Ù V º p d) p Ù F º Fe) p Ú V º Vf) p Ú F º p

· Diferencia Simétrica

a) p D q º (p Ú q) Ù ~ (p Ù q)

· Otras

g) (p Ú q) Ù (p Ú ~ q) º p b) (p Ù q) Ú (p Ù ~ q) º p c)p®( p Úq ) º V

EJEMPLOS

1. Reducir la expresión: [(p®q) Ù q]®p

Solución:

[(p®q) Ù q]®p

~[(p®q) Ù q] Ú p Ley del condicional

[~(p®q) Ú ~ q] Ú p Ley de Morgan

[(pÙ~q) Ú ~ q] Ú p Ley del condicional

[~q Ú (~q Ù p)] Ú p Ley conmutativa

(~q) Ú p Ley de absorción

q®p Ley del condicional

2. Reducir la expresión: (p Ù q)®(p Úq)

Solución:

(p Ù q)®(p Ú q)

~(p Ù q) Ú (p Ú q) Ley del condicional

(~p Ú ~ q) Ú (p Ú q) Ley de Morgan

(~p Ú p) Ú (~ q Ú q) Ley asociativa

V Ú V Ley de complementación

V Ley de idempotencia

3. Reducir la expresión:

([p®(p Ú q)] Ù q)®(p Ú q)

Solución:

([p®(p Ú q)] Ù q)®(p Ú q)

([~p Ú (p Ú q)] Ù q)®(p Ú q) Ley del condicional

([(~p Ú p) Ú q)] Ù q)®(p Ú q) Ley asociativa

([V Ú q)] Ù q)®(p Ú q) Ley de complementación

(V Ù q)®(p Ú q) Ley de elementos neutros

q®(p Ú q) Ley de elementos neutros

q Ú ~ (p Ú q) Ley del condicional

(q Ú ~ p) Ú q Ley asociativa

V Ú q Ley de elementos neutros

V Ley de elementos neutros

EJERCICIOS PROPUESTOS

Reducir la expresión:

(p Ù q)®p

Simplificar la siguiente proposición:

(~ p«~ q)®p

Reducir la expresión:

(p Ú ~ q)®(~ p®~ q)

Simplificar las expresión: p Ù ~ q®~ p

Demostrar las siguientes proposiciones:

( p → q ) ( p → r ) p → ( q r )∨ ⇔ ∨

( p → r ) ( q → r ) ( p q ) → r∨ ⇔ ∧

( p ↔ q )’ p’ ↔ q⇔

SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS

(p Ù q)®p

~(p Ù q) Ú p Ley del condicional(~p Ú ~ q) Ú p Ley de Morgan(~p Ú p) Ú ~ q Ley asociativaV Ú ~ q Ley de elementos neutrosV Ley de elementos neutros

(~ p«~ q)®p

[(~ p®~ q) Ù (~ q ®~ p)]®p Ley bicondicional~ [(p Ú ~ q) Ù (q Ú ~ p)] Ú p Ley condicional[~ (p Ú ~ q) Ú ~ (q Ú ~ p)] Ú p De Morgan[(~ p Ù q) Ú (~ q Ù p)] Ú p De Morgan(~ p Ù q) Ú[(~ q Ù p) Ú p] Asociativa(q Ù ~ p) Ú p Absorciónp Ú q Absorción

(p Ú ~ q)®(~ p®~ q)

~ (p Ú ~ q) Ú (p Ú ~ q) Ley del condicional(~ p Ù q) Ú (p Ú ~ q) Ley de Morgan[(q Ù ~ p) Ú p] Ú ~ q Ley asociativa(q Ú p) Ú ~ q Ley de absorciónp Ú (q Ú ~ q) Ley asociativap Ú V Elemento neutroV Elemento neutro

p Ù ~ q®~ p

p Ù ~ q®~ p º (p Ù ~ q)®~ p º~(p Ù ~ q) Ú ~ p Agrupamiento y ley del condicional(~p Ú q) Ú ~ p º q Ú (~p Ú ~ p) Ley de Morgan y asociativaq Ú ~p Ley de idempotenciap ® q Ley del condicional

( p ® q ) ∨ ( p ® r ) ⇔ p ® ( q ∨ r )

( p ® q ) ∨ ( p ® r ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∨ ( p’ ∨ r ) ( Definición ) ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∨ p’ ) ∨ r ( Asociatividad ) ⇔ ( p’ ∨ ( q ∨ p’ ) ) ∨ r ( Asociatividad ) ⇔ ( p’ ∨ ( p’ ∨ q ) ) ∨ r ( Conmutatividad ) ⇔ ( ( p’ ∨ p’ ) ∨ q ) ∨ r ( Asociatividad ) ⇔ ( p’ ∨ q ) ∨ r ( Idempotencia ) ⇔ p’ ∨ ( q ∨ r ) ( Asociatividad ) ⇔ p → ( q ∨ r ) ( Definición )

( p ® r ) ( q ∨ ® r ) ⇔ ( p q ) ∧ ® r

( p ® r ) ( q ∨ ® r ) ⇔ ( p’ r ) ( q’ r ) ∨ ∨ ∨ ( Definición ) ⇔ p’ ( r ( q’ r ) ) ∨ ∨ ∨ ( Asociatividad ) ⇔ p’ ( ( r q’ ) r ) ∨ ∨ ∨ ( Asociatividad ) ⇔ p’ ( ( q’ r ) r ) ∨ ∨ ∨ ( Conmutatividad ) ⇔ p’ ( q’ ( r r ) ) ∨ ∨ ∨ ( Asociatividad ) ⇔ p’ ( q’ r ) ∨ ∨ ( Idempotencia ) ⇔ ( p’ q’ ) r ∨ ∨ ( Asociatividad ) ⇔ ( p q )’ r ∧ ∨ ( De Morgan ) ⇔ ( p q ) ∧ ® r ( Definición )

( p ↔ q )’ ⇔ p’ ↔ q

( p ↔ q )’ ⇔ ( ( p → q ) ∧ ( q → p ) )’ ( Definición ) ⇔ ( ( p’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p ) )’ ( Definición ) ⇔ ( p’ ∨ q )’ ∨ ( q’ ∨ p )’ ( De Morgan ) ⇔ ( ( p’ )’ ∧ q’ ) ∨ ( ( q’ )’ ∧ p’ ) ( De Morgan ) ⇔ ( p ∧ q’ ) ∨ ( q ∧ p’ ) ( Doble Negación ) ⇔ ( ( p ∧ q’ ) ∨ q ) ∧ ( ( p ∧ q’ ) ∨ p’ ) ( Distributividad ) ⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ q ) )∧( ( p ∨ p’ ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) )

( Distributividad ) ⇔ ( ( p ∨ q ) ∧ V ) ∧ ( V ∧ ( q’ ∨ p’ ) ) ( Complemento ) ⇔ ( p ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ( Identidad ) ⇔ ( ( p’ )’ ∨ q ) ∧ ( q’ ∨ p’ ) ( Doble Negación ) ⇔ ( p’ → q ) ∧ ( q → p’ ) ( Definición ) ⇔ p’ ↔ q ( Definición )

FUNCION PROPOSICIONAL

Una función proposicional (a una o varias variables) sobre un conjunto A, es una expresión tal que al reemplazar la variable o las variables por elementos del conjunto A se obtiene una proposición.

EJEMPLOS:

1. P(x):: “x-3=5” Es función proposicional pues al reemplazar x por un número, ejemplo, x=7 tenemos que P(7):: “7-3=5” ésta se convierte en proposición en este caso falsa.

2. P(y):: “3y-1>4” . Si y=2, se convierte en proposición, en este caso verdadera

3. P(z):: “z+2 =10”. Si z=6, se convierte en proposición falsa.

CUANTIFICADORES

Los cuantificadores son símbolos que nos permiten evaluar una función proposicional.

CUANTIFICADOR UNIVERSAL: Se simboliza como x y se lee “para todo”. Al colocar este cuantificador delante de una función proposicional la convierte en una proposición. Puede escribirse como: x : P(x) , x / P(x) , (x )[P(x)]

Ejemplo:

Sea P(x):: “x-3=7”.

Podemos transformarla en una proposición anteponiendo la frase “para todo”.

E.d: “Para todo x : : x-3=7”. O lo que es lo mismo, (x )( x - 3 = 7) ;

Se lee “ Para todo x se cumple que: x-3=7”

CUANTIFICADOR EXISTENCIAL: Se simboliza como $ y se lee “ existe por lo menos un”. Al colocar este cuantificador delante de una función proposicional la convierte en una proposición. Puede escribirse como: $x : P(x) , $x / P(x) , ($x)[P(x)]

Ejemplo:

Sea P(x):: “x-3=7”. Podemos transformarla en una proposición anteponiendo la frase “existe un”. E.d:

“Existe por lo menos un x : : x-3=7”. O lo que es lo mismo,

($x)( x - 3 = 7) ; Se lee: “ Existe por lo menos un x tal que x-3=7”

Nota: Si P(x) es verdadera para un único elemento de A, se usa el signo $! que se lee como “ existe un único”.

Las proposiciones universales pueden aparecer negadas, como en el enunciado: "No todos son médicos". En este caso la simbolización será: ~ [("x)(Px)] donde Px es la función proposicional "x es medico" que toma valores dentro del conjunto de referencia formado por los hombres.

Las palabras "ningún", "ninguno", "nada", "nadie" corresponden también a enunciados universales con negaciones, pero de una manera distinta a las proposiciones anteriores. La proposición "ninguno es medico" no equivale a la proposición "no todos son médicos" sino a la expresión "para todo x, x no es medico" que se simboliza ("x) ~ (Px) .

Las proposiciones existenciales pueden estar negadas, como por ejemplo "no es cierto que hay fantasmas" la cual se simboliza como ~ ($x)(Fx) donde Fx simboliza la expresión "x es un fantasma".

Análogamente a lo que ocurre con los cuantificadores universales, las proposiciones existenciales pueden tener negaciones internas como "algo no es mortal" la cual se simboliza como ($x) ~ (Fx) donde Fx simboliza la expresión "x es mortal".

CONVERSIONES (EQUIVALENCIAS)

[" x Î A: P(x)] º ~ [ $ x Î A: ~ P(x)][ $ x Î A: P(x)] º ~ [" x Î A: ~ P(x)]

Cuatro modelos básicos de enunciados de la lógica clásica:

· Enunciado Universalmente Afirmativo: "x : P(x) [Todos los x son P] · Enunciado Universalmente Negativo: ("x) : ~ P(x) [Ningún x es P] · Enunciado Particularmente Afirmativo: $x : P(x) [Algún x es P] · Enunciado Particularmente Negativo: $x : ~ P(x) [Algún x no es P]

NEGACIÓN DE UN CUANTIFICADOR

DISTRIBUTIVIDAD DE LOS CUANTIFICADORES

Sean P , Q fórmulas no cuantificadas en x , entonces:

· ("x)(P ÙQ) º [("x)(P) Ù ("x)(Q)] · ("x)(P Ú Q) º [("x)(P) Ú ("x)(Q)] · ($x)(P ÙQ) º [($x)(P) Ù ($x)(Q)] · ($x)(P Ú Q) º [($x)(P) Ú ($x)(Q)] · ("x)(P®Q) º [("x)(P)®("x)(Q)]

EJEMPLO 1

Escribir con símbolos y cuantificadores, la proposición: “Todas las hormigas son insectos”

Solución:

Si definimos a: H(x): x es hormiga I(x): x es insecto ∪ : Conjunto de todos los insectos

Entonces tenemos: (" x Î ∪) [H (x) ® I (x)]

Nota 1: El conjunto U se denomina dominio de referencia, que en algunos casos se omite y el cuantificador universal se refiere a cada elemento de este conjunto.

Nota 2: Se denomina conjunto de verdad de una función proposicional P(x), al subconjunto A del dominio U de la variable, tal que el conjunto A hace verdadera la proposición P(x).

EJEMPLO 2

Escribir con símbolos y cuantificadores, la proposición: “Hay animales carnívoros”

Solución:

Si definimos a: A(x): x es animalC(x): x es carnívoro∪ : Conjunto de todos los animales

Entonces tenemos: ( $ x Î ∪) [A(x) Ù C(x)]

EJEMPLO 3

Hallar el conjunto de verdad de: P(x)«2x -1 = 0 , donde ∪ es el conjunto de los naturales.

Solución

Esta proposición es falsa, ya que no existe ningún x Î ℕ tal que 2x -1 = 0 .

EJEMPLO 4

Escribir con símbolos y cuantificadores, la proposición: “Todos los gatos tienen cola”

Solución

Si definimos a: G(x): x es gatoC(x): x tiene cola∪ : Conjunto de todos los animales

Entonces tenemos: ("x Î ∪) [G(x)®C(x)]

EJEMPLO 5

Hallar el conjunto de verdad de: P(x) Ù Q(x) , donde P(x)« x ³1 , Q(x)« x < 10 . ∪ es el conjunto de los reales.

Solución

S = {x Î ℝ / P(x) Ù Q(x) es verdad} = {x Î ℝ / x ³ 1 Ù x <10} = {x Î ℝ / 1 £ x<10}

EJERCICIOS PROPUESTOS

Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones y luego negarlas.

Considerar x, y Î R .

a) "x : x + 5 = 0

b) $y, "x : (x + y = 7 Ù x - y = 5)

Negar la proposición: “Ningún hombre es mortal”

Simbolizar los siguientes enunciados

c) “Existe un número real; que sumado con cualquier número real, da por resultado dos.“

d) Todo número entero positivo elevado al cuadrado es no negativo.