INSTITUTO DE CIENCIAS Y ESTUDIOS SUPERIORES DE TAMAULIPAS, A.C.

Qu es la lgica?Originalmente logos significa palabra o discurso, por lo que en un principio se defini la lgica como la rama de la gramtica que se ocupaba de ciertas formas de lenguaje.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaOBJETIVO DE LA ASIGNATURA:Al finalizar el curso, el alumno:Comprender los mtodos para inferir en razonamientos de situaciones reales y los utilizar en la toma de decisiones para la solucin de problemas.Analizar y aplicar tcnicas de razonamiento y lgica matemtica, con el objeto de tomar decisiones para analizar, evaluar y mejorar la toma de decisiones en reas tcnicas especiales.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaUNIDAD I: LGICA PROPOSICIONALOBJETIVO DE LA UNIDAD:Aplicar los conocimientos bsicos de la lgica proposicional para representar determinadas situaciones de la vida cotidiana a travs del uso de tablas de verdad. Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaActividad I : Algunas preguntas importantesQu entiendes por lgica?Porqu es importante la competencia lgica matemtica para aplicarla en las actividades de ingeniera?Qu diferencia hay entre lenguaje simblico y lenguaje natural?Menciona una expresin de la cual puedas decir que es verdaderaIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaTAUTOLOGAse dice que una tautologa es una funcin lgica que es verdadera para todas las combinaciones posibles de los valores de verdad de sus premisas.Ejemplo: Demostremos que la proposicin (p q) p es una tautologa; debemos construir la tabla de verdad y verificar que efectivamente la funcin lgica es verdadera para todos los casos. pqp ^ q(p q) p VVVVVFFVFVFVFFFVIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaUn poco de historia.Aristteles, el padre de la lgica, creo mtodos sistemticos para analizar y evaluar dichos argumentos, para lo cual desarrollo la lgica proposicional estableciendo procedimientos para determinar la verdad o falsedad de proposiciones compuestas.En 1847 el matemtico ingles George Boole en compaa de Augustus de Morgan hizo notar el parentesco entre las operaciones logicas con las matemticas, pues a partir de los operadores aritmeticos de adicin, multiplicacin y sustraccin crearon los operadores lgicos equivalentes de unin, interseccin y negacin. A Boole se le atribuye la invencin de las tablas de verdad para comprobar la veracidad de proposiciones compuestas.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaPropsito de la LgicaLa lgica ofrece mtodos que ensean como formar proposiciones, evaluar sus valores de verdad y determinar si unas conclusiones se pueden deducir correctamente a partir de proposiciones supuestas; adems, la lgica es una ciencia que se interesa por las relaciones existentes entre las proposiciones, con el fin de obtener precisin, claridad y generalidad en los razonamientos.La precisin la logra mediante el uso de smbolos, los cuales tienen como funcin primordial eliminar las ambigedades que la estructura del lenguaje ordinario no puede evitar con facilidad.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaProposicionesLa proposicin lgica constituye el elemento fundamental de la lgica.Una proposicin lgica es un enunciado lingstico que debe cumplir con la condicin de ser susceptible de poder ser verdadero o falso.

Por ejemplo:La temperatura ambiente es mayor de 20 grados es un enunciado que puede ser Verdadero o Falso.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaRepresentacin de las proposicionesLas proposiciones se representan simblicamente mediante el uso de letras minsculas del alfabeto tales como p, q, r, s, ..., x, y, z, las cuales reciben el nombre de letras o variables proposicionales; de esta forma, el lenguaje proposicional se hace mas simple y exacto que el lenguaje natural.

Ejemplos:p : Hoy es sbadoq : Estudio filosofar : Mxico es el pas con el mayor porcentaje de lectores en el mundo.x : 4 + 3 = 10Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaOtros ejemplosEn el lenguaje cotidiano se encuentran expresiones como las siguientes: Las rosas son rojas y tienen espinas. PEMEX es pblico o privado? En el pas no hay violencia. Si estudio lgica matemtica entonces podr determinar la validez de un razonamiento lgico. 4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por 2.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaExplicacinPara la formacin de las oraciones del ejemplo anterior se utilizaron las expresiones especiales: Y ONosi entoncess y slo sique sirvieron para unir o enlazar los enunciados. Denominamos a estas partculas o trminos de enlace "nexos o conectivas", que establecen relaciones sintcticas como funcin de coordinacin y subordinacin determinadas entre las proposiciones que la integran.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaNotacin Simblica

Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjemplos de Notacin Simblicaa) Las rosas son rojas y tienen espinas.p : Las rosas son rojasq : Las rosas tienen espinasp q b) Pemex es pblico o privado?r: Pemex es pblico?s: Pemex es privado?r sc) En el pas no hay violencia.t : En el pais hay violencia.tIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjemplos de Notacin Simblicad) Si estudio lgica matemtica entonces podr determinar la validez de un razonamiento lgicox : Estudio logica matematicay : Determino la validez de un razonamiento lgicox ye) 4 es un nmero par si y slo si se puede dividir por 2.u : 4 es un numero parv : 4 es divisible por 2uvACTIVIDAD: PRACTICA 1Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaProposiciones CompuestasSi se unen dos o mas proposiciones simples, mediante terminos de enlace, tales como no, y, o, si..entonces, se forman las proposiciones compuestas; el valor de verdad de dichas proposiciones es verdadero o falso, dependiendo solo de los valores de verdad de las proposiciones simples que las conforman.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjemplos de Proposiciones Compuestas Sean: p : Esta lloviendoq: El sol brillap q Est lloviendo y el sol brilla Sean: x : Quieres cafe?y : Quieres te?x y quieres caf o t? Sean: s : Lluever : Hace frior s Si llueve entonces hace fro Sean: p : Un triangulo es equilteroq: Un triangulo tiene sus tres lados igualesp qUn tringulo es equiltero si y slo si tienesus tres lados iguales.ACTIVIDADPRCTICA 2Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaInterpretacin de una proposicin compuestaEl valor de verdad de una proposicin compuesta no solo depende del conectivo lgico, sino del valor de verdad de cada una de sus proposiciones simples. Por lo tanto, surgen las siguientes posibilidades:Caso 1: Que p sea verdadera y q sea verdaderaCaso 2: Que p sea verdadera y q sea falsaCaso 3: Que p sea falsa y q sea verdaderaCaso 4: Que p sea falsa y q sea falsaIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaConjuncin: ^ Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin compuesta p y q simbolizada por p q, se denomina la conjuncin de p y q.Ejemplo :Mxico tiene yacimientos grandes y ricos en petrleo, en donde:p : Mxico tiene yacimientos grandes q: Mxico tiene yacimientos ricos en petrleo p q Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjemplo de la interpretacin de la conjuncin6 es numero par y entero positivoCaso 1: r: Mxico tiene yacimientos grandes s: Mxico tiene yacimientos ricos en petrleor s : Verdadera (V)Caso 2: r: Mxico tiene yacimientos grandess: Mxico no tiene yacimientos ricos en petrleor s : Falsa (F)Caso 3: r: Mxico no tiene yacimientos grandess: Mxico tiene yacimientos ricos en petrleor s : Falsa (F)Caso 4: r : Mxico no tiene yacimientos grandess: Mxico no tiene yacimientos ricos en petrleor s : Falsa (F).Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaTabla de Verdad de la Conjuncinpqp ^ qVVVVFFFVFFFFDe tal manea que podemos concluir que la conjuncin es verdadera nicamente cuando las dos proposiciones simples son verdadera, en cualquier otro caso la conjuncin es falsa.ACTIVIDADPRCTICA 3Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaDisyuncin v Sean p y q dos proposiciones simples. La proposicin p o q, simbolizada p v q se llama disyuncin de p y q.Ejemplo 1: Uso del o incluyente Juan estudia ingeniera o Paola estudia medicinar : Juan estudia ingenieras: Paola estudia medicina r V sEjemplo 2: Uso del o excluyente : Reparamos o perforamos el pozo.x : Reparamos el pozo.y: Perforamos el pozo.x v y Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjemplo de la interpretacin de la disyuncinJuan estudia ingeniera o Paola estudia medicinaCaso 1: r: Juan estudia ingenieras: Paola estudia Medicinar V s : Verdadera (V)Caso 2: r: Juan estudia ingenieras: Paola no estudia medicinar V s : Verdadera (V)Caso 3: r: Juan no estudia ingenieras: Paola estudia medicinar V s : Verdadera (V)Caso 4: r : Juan no estudia ingenieras: Paola no estudia medicinar V s : Falsa (F).Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaTabla de Verdad de la Disyuncinpqp V qVVVVFVFVVFFFEs decir, la disyuncin es falsa solamente cuando las dos proposiciones simples son falsas. En los otros casos es verdadera.ACTIVIDAD PRCTICA 4Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaLa negacin Sea p una proposicin simple. Se define la negacin de p mediante la proposicin compuesta no p simbolizada por: ~ p o por p Ejemplo 1: p : PEMEX optimiza la explotacin racional petrolera.p : PEMEX no optimiza la explotacin racional petrolera ; tambin se puede leer: es falso que PEMEX optimiza la explotacin racional petrolera.Ejemplo 2: q : La camioneta de Francisco es roja.~ q: La camioneta de Francisco no es roja ,o, es falso que la camioneta de Francisco es roja.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaTabla de Verdad de la Negacinp~pVFFVClaramente se puede establecer que si una proposicin es verdadera su negacin es falsa y reciprocamente, si una proposicin es falsa su negacin es verdadera,Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaProposicin condicional Se dice que una proposicin compuesta es condicional, si esta formada por dos proposiciones simples enlazadas por la expresin sientonces.Si p y q representan dos proposiciones, la expresin si p entonces q se simboliza as:p q y se lee p implica q.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica Matemtica. ContinuacinLa proposicin precedida por la expresin si, se llama antecedente o hiptesis y la proposicin precedida por la expresin entonces, se llama consecuente o conclusin de la implicacin. En la expresin p q , el antecedente es p y el consecuente es q.Las proposiciones condicionales se pueden enunciar en nuestro lenguaje natural de diferentes maneras, algunas son: Si p entonces q p solo si q q si p p es suficiente para q q es necesaria para pIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjemplos de proposiciones CondicionalesLos siguientes ejemplos ilustran los anteriores enunciados: Diseo la terminacin del pozo slo si desarrollo las reas de explotacin del mismo Desarrollo un buen yacimiento, si tengo la capacidad de interpretar los datos. Si dos rectas nunca se cortan necesariamente son paralelas Si interpreto bien estudios geolgicos de la tierra entonces podr lograr la explotacin del subsuelo.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaValor de verdad de la proposicin condicionalSupongamos verdadera la siguiente proposicin:Si interpreto los resultados, entonces realizo la extraccin de fluidos. Sea p: Interpreto los resultadosq: Realizo la extraccin de fluidosComo lo analizamos en los casos anteriores, surgen cuatro posibilidades:Caso 1: Interpreto los resultados y realizo la extraccin de fluidos. En este caso el antecedente y el consecuente se cumplen. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera.Caso 2: Interpreto los resultados pero no realizo la extraccin de fluidos. En este caso el antecedente se cumple pero no se cumple el consecuente. Por lo tanto la proposicinp q es falsa.

Cmo seran entonces los otros dos casos? Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaTabla de verdad para la proposicin condicionalpqp qVVVVFFFVVFFVIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaProposicin bicondicional Se denomina bicondicional a la proposicin formada por dos proposiciones simples conectadas por la expresin si y solo si. Simblicamente si p y q son proposiciones simples, la doble implicacin p q constituye un bicondicional, donde p recibe el nombre de primer miembro y q segundo miembro.El bicondicional esta formado por las implicaciones p q y q p , las cuales deben tener el mismo valor de verdad para formar una equivalencia entre p y q; en consecuencia, se dice que la proposicin p es equivalente a la proposicin q y se acostumbra a escribir p q .Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica Matemtica. ContinuacinLa proposicin bicondicional tiene varias formas de traduccin mas no de significacin, veamos: p si y solo si q q si y solo si p si p entonces q y recprocamente si q entonces q y recprocamente p es una condicin necesaria y suficiente para q q es una condicin necesaria y suficiente para pIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjemplos de proposiciones bicondicionalesDadas las proposiciones :p: Un pozo es un tnel verticalq: Un pozo perfora la tierraEl bicondicional p q se puede traducir de las siguientes formas: Un pozo es un tnel vertical si y solo si perfora la tierra.Si un pozo es un tnel vertical entonces perfora la tierra. Una condicin necesaria y suficiente para que un pozo perfore la tierra es que sea un tnel vertical. Una condicin necesaria y suficiente para que un pozo sea un tnel vertical es que perfore la tierra.

Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaValor de verdad de las proposiciones bicondicionalesSupongamos verdadera la siguiente proposicin:Si y slo si el yacimiento es una unidad porosa y permeable del subsuelo Sea: p: El yacimiento es una unidad porosaq: El yacimiento es una unidad permeable del subsueloComo lo analizamos en los ejemplos anteriores, surgen cuatro posibilidades:Caso 1: El yacimiento es una unidad porosa y permeable del subsuelo En este caso ambas proposiciones se cumplen. Por lo tanto la proposicin compuesta p q es verdadera.Caso 2: El yacimiento es una unidad porosa y no permeable del subsuelo. En este caso se cumple solo una de las dos proposiciones simples, lo que de acuerdo con la expresin Si y slo si el yacimiento es una unidad porosa y permeable del subsuelo no debera darse. Por lo tanto tal proposicin compuesta ( p q ) es falsa.

Cmo seran los siguientes dos casos?Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaTabla de verdad para la bicondicionalpqp qVVVVFFFVFFFVAs podemos concluir que el bicondicional es verdadero solamente cuando ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad.ACTIVIDAD : PRCTICA 5 Y 6Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica Matemtica ContinuacinPaso 2: De acuerdo al numero total de proposiciones simples se determina la cantidad de combinaciones posibles entre los valores de verdad de las proposiciones simples:El ejercicio propuesto tiene dos proposiciones simples p y q, luego, las combinaciones posibles de los valores de verdad sern:quep = Vy queq = Fquep = Vy queq = Vquep = Fy queq = Vquep = Fy queq = FpqVFVVFVFFEs decir que en el caso de tener dos (2) proposiciones simples, solo hay cuatro(4) casos posibles:Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjercicio de entendimientoCuntos casos posibles tendremos para la proposicin compuesta ? (p q) rPaso 1: Cuntos proposiciones simples tendremos para la proposicin ..?R: p, q, rPaso 2: Cuntas combinaciones posibles de las tablas de valor existen entre las proposiciones?El numero de combinaciones posibles sera de: 2 x 2 x 2 = 23 = 8Esta conclusin nos permite encontrar una formula para calcular el numero de combinaciones posibles de acuerdo al numero de variables lgicas o letras proposicionales involucradas en la frmula proposicional:2nIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica Matemtica.ContinuacinPaso 3: Se hace un recorrido desde adentro hacia afuera de acuerdo a los signos de agrupacin: Los signos de agrupacin que encontraremos en una formula proposicional sigue el orden:{ [ ( { [ (....) ] } ) ] }..Paso 4: Se identifica el conectivo que aparece dentro del parntesis, en este ejemplo propuesto ( p q) es la conjuncin.Paso 5: Se precisa el termino de enlace que precede al parntesis, en el ejemplo la negacin.Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica Matemtica.ContinuacinPaso 6: Se elabora la tabla con el numero de columnas determinado por: Proposiciones que intervienen: Conectivos utilizados dentro del parntesis Conectivo utilizado fuera del parntesispqp ^ q(p ^ q)VVVFFVFFPaso 7: Se completa la tabla por columnas, teniendo en cuenta el conectivo y el valor de verdad de cada proposicin simple:pqp ^ q(p ^ q)VVVFVFFVFVFVFFFVACTIVIDAD: PRCTICA 7Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaProposiciones EquivalentesDos proposiciones compuestas se consideran lgicamente equivalentes, si tienen los mismos valores de verdad para cada caso en su tabla de verdad.Ejemplo: Demostrar que las proposiciones p q y la proposicin p q son lgicamente equivalentes:pq(p q) VVVVFVFVVFFV p V q( p q)(p q )VVFVVVVVIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaImplicacin directa, contraria, recproca y contrarecprocaExisten varias formas de enunciar proposiciones condicionales asi:Implicacin directa: p qImplicacin contraria: p (q)Implicacin reciproca: q pImplicacin contrarrecproca: q (p)Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaEjemploDadas las proposiciones :p: Es un animal mamferoq: Tiene peloentonces:Implicacin directa: Si es mamfero entonces tiene peloImplicacin contraria: Si no es mamfero entonces no tiene peloImplicacin reciproca: Si tiene pelo entonces es mamferoImplicacin contrarreciproca: Si no tiene pelo entonces no es mamferoIng. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica MatemticaTabla de verdad de las cuatro formas de implicacin

ACTIVIDAD: PRCTICA 8Ing. Edgar Alberto Gonzlez MoralesMateria: Lgica Matemtica