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Gabriel Scherer TS3
LE PENDULE ÉLASTIQUE
1.Étude manuelle d’un pendule élastique vertical.Schéma :
Ressortconstante de raideur k
M asseloteM asse m
Support
Table
S chém a du m ontage utilisé
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1.1Détermination statique de la raideur k du ressort élastique.On fait varier la masse m suspendue au ressort élastique, et on mesure à chaque fois l’allongement x = l – l0, avec l = longueur du ressort, et l0 = longueur du ressort à vide.
On remplit le tableau suivant :
m(g)
.0.
.20
.
.40
.
.60
.
.80
.
.100
.
.150
.
mg (N) 0 0,196 0,392 0,588 0,784 0,98 1,47
x=llo(cm) 0 4 8 12 15,8 19,8 29,3
On montre que le module de la tension F du ressort est égale au module du poids P = m.g de la masse m suspendue au ressort.
On trace le graphe F = f(x) :
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On modélise cette courbe passant par l’origine.
On vérifie bien que l’on a la relation F = P = k.x
On peut déterminer à l’aide du graphe la constante de raideur k du ressort :
k = 5,42 N/m
1.2Détermination dynamique de la raideur k du ressort élastique.
On fait varier la masse m suspendue au ressort élastique et on fait osciller le ressort. On mesure à chaque fois 10 périodes T, et on remplit le tableau suivant :
.
.m ( g) 20.
50.
100.
150.
200.
.
.10 T (s) 3,74 6,35 8,39 10,29 11,44
.
.T (s) 0,374 0,365 0,839 1,029 1,144
On trace le graphe T = f(m) et on modélise avec le modèle « puissance » :
On en déduit que T = B.mn, avec :
n≈0.5
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On a donc :
T = B. m
On remplit le tableau suivant, avec T², ce qui permet de supprimer la racine de l’expression trouvée précédemment:
On trace le graphe T² = f(m) :
On modélise cette courbe passant par l’origine.
On a bien la relation T² = A.m, et on a donc :
B² = A
On peut donc calculer A :
A≈6. 75
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m (*10
3kg)0 20 50 100 150 200
T (s) 0 0,374 0,365 0,839 1,029 1,144
T2(s2) 0 0,139 0,4 0,7 1,06 1,31
Sachant que T = 2π mk
, on peut trouver une relation entre A et k :
A = 4 ²π
k
On a donc :
k=4 ²π
A =4 ²π6, 75
=5, 85
On peut comparer les valeurs de la constante de raideur k du ressort déterminée par les deux méthodes différentes :
Les deux valeurs de k trouvées sont assez proches, mais on peut supposer que la valeur trouvée avec le ressort statique sont plus proches de la valeur réelle, car les mesures sont beaucoup plus faciles à réaliser.
2.Étude d’un pendule élastique horizontal à l’aide d’une table à digitaliser.
2.1Rappel des formules du pendule horizontal (avec frottements négligeables).
Période :
T = 2π mk
Équation horaire :
x = xmax.sin(2 tπT
φ ), avec ω=2πT
Vitesse :
V = Vmax.cos(2 tπT
φ ), avec Vmax = 2πT
. x max
Energie cinétique :
Ek = 0,5.m.V²
Energie potentielle élastique (pour un pendule élastique oscillant dans un plan horizontal) :
Epp = 0,5.k.x²
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Energie mécanique (pour un pendule élastique oscillant dans un plan horizontal) :
Em = Ek + Epp
2.2Expérience.Schéma du dispositif expérimental :
T ab le ho rizon ta le
R essort, con stan te de
ra ide ur k
M ob ile au toporte u r
T ab le ho rizon ta le
R essort, con stan te de
ra ide ur k
M ob ile au toporte u r
S c hé m a du m o n ta ge à l ’é q u ilib re
S c hé m a du m o n ta ge lo rs d e l’e x pé rie nc e
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Photo d’une table à digitaliser.
Les ressorts restent tendus au cours du mouvement oscillatoire suivant l’axe du ressort.
2.3Enregistrement du mouvement en utilisant la table à digitaliser et le logiciel Digwin.
On choisit dans le logiciel Digwin d’avoir un nombre de points par seconde maximum, c'estàdire de 192.
Pour réaliser un enregistrement, on lance le pendule élastique avant d’accepter le déclenchement automatique sur le logiciel.
Après avoir réalisé les enregistrements, on les enregistre au format Regressi pour pouvoir les exploiter par la suite.
2.4Exploitation des enregistrements.
2.4.1Faible amplitude.On vérifie que l’on a pour l’enregistrement :
x = xmax.sin(2 tπT
φ ) −b
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Courbe :
On détermine xmax, T, et b par modélisation :φ
xmax = 43,77mm
T = 0,9s
= 0,37 radφ
b = 0,046 mm
b représente la force de frottements.
On créé la nouvelle variable X = xb. Cette variable représente la véritable variation d’abscisse de la masse.
La donnée xmax représente la valeur de l’amplitude maximum du mouvement.
La variable représente la phase du mobile au départ de l’enregistrement.φ
On peut comparer la valeur de T trouvée expérimentalement avec celle déduite des données de m et k :
T= 2π mk
=1,032s
Les deux valeurs de T sont peu éloignées l’une de l’autre.
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2.4.2Grande amplitude.Courbe :
On peut modéliser la courbe par :
X = Xmax.eh.t.sin(2 tπT '
φ )
On peut déterminer Xmax, h, T’ et par modélisation de la courbe :φ
Xmax = 78,6 mm
h = 0,72
T = 0,73s
= 0,46 radφ
Les frottements considérés sont de forme fluides, puisque le mobile est placé sur une table à coussin d’air. Les frottements solides sont donc quasiment nuls.
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Portrait de phase.
On crée sous Regressi les grandeurs V = dXdt , Vr =
Vω . x max
et Xr = X
xmax.
On trace la courbe Vr = f(Xr) :
Les points se rapprochent petit à petit de l’origine sous l’influence des frottements, mais ceuxci sont encore assez faibles, et le rapprochement est lent.
Étude énergétique.Pour ce même enregistrement, on créé les nouvelles variables Ek = 0,5.m.V², Epé = 0,5.k.X² et Em = Ek + Epp.
– En fonction du temps t.
On trace les graphes Epé et Ek en fonction de t :
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La période T1 de Ek et de Epp est de :
T1 = 0,45s
On trace Em en fonction de t :
Em baisse, ce qui prouve la présence de frottements fluides.
– En fonction de l’élongation X.
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On trace les graphes Ek, Epp et Em en fonction de X.
La cuvette de potentiel a une forme parabolique, les frottements ont peu d’influence.
Les barrières de potentiel sont atteintes pour x = 0,08m et x = 0,08m
3.Étude des oscillations d’un pendule élastique vertical à l’aide d’une webcam.
3.1Enregistrement, film, et numérisation du mouvement.A l’aide d’une webcam et du logiciel IPI, on filme le mouvement d’une masse au bout d’un pendule élastique.
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Schéma :
P lan de la c am éra
R ègle graduée (pour l’éc helle )
W ebc am
E c ran
M obile aux d if fé rents
ins tants du f ilm ( t é tant égal à
la durée de pers is tanc e
d ’une im age s ur la c am é ra , on av ait t= 0 ,04 s )
O rdinateur + log ic ie l
d ’aquis it ion et de traitem ent
v idéo ( IP I)
Schém a du dispositif expérim ental
0t
1t
2t
Photo d’un pendule élastique à l’état d’équilibre
On fait osciller le pendule librement, et on réalise l’enregistrement.
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Après avoir sélectionné les images « intéressantes » du film que nous venons de réaliser, c'estàdire celle où l’on voit le pendule osciller, on pointe sur chacune des images du film la position de la masse, avec le plus grand point possible, pour numériser le mouvement.
Une fois cette opération réalisée, on exporte les données vers Regressi pour pouvoir exploiter les résultats.
3.2Exploitation des résultats.
3.2.1Équation horaire.On admettra que le mouvement peutêtre considéré comme vertical, pour plus de simplicité. (On peut le vérifier à partir des données envoyées sous Regressi).
On créé une nouvelle variable Y avec Y = Y1 – Y1o avec Y1o ordonnée de O, point d’équilibre du pendule, l’axe des ordonnées étant orienté vers le bas.
On trace Y = f(t), et on modélise le mouvement par une fonction sinusoïdale :
On constate que les frottements sont négligeables, puisque Ymax ne semble pas diminuer au cours du temps.
On modélise donc par :
Y = Ymax.eh.t.sin(2 tπT
φ )
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On peut déterminer à partir de cette nouvelle modélisation la valeur de la période T :
T = 0,702s
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3.2.2Portrait de phase.
On crée la variable Y’ = dYdt .
On créé ensuite la variable B’ = Y 'ω , avec ω=
2πT , et avec pour T la valeur
trouvée précédemment.
On trace le graphe B’ = f(Y) :
Les points sont presque sur un cercle de rayon constant : on peut donc considérer les frottements comme négligeables.
4.Conclusion.Ce TP a permis de mieux comprendre les mécanismes liés au pendule élastique, on constate que le comportement général est similaire à celui du pendule simple vu précédemment, et ce par des montages simples et des études de courbe.
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